Jak pomóc dziecku pokonać niepowodzenia w nauce matematyki?

Kraków

Edyta Gruszczyk-Kolczyñska

Podrêcznik dla rodziców, terapeutów i nauczycieli z serii Dzieciêca matematyka 2021

Jak pomóc dziecku pokonaæ niepowodzenia w nauce matematyki?

Podrêcznik dla rodziców, terapeutów i nauczycieli z serii Dzieciêca matematyka

Jak pomóc dziecku pokonaæ niepowodzenia w nauce matematyki?

Autor:Edyta

Sk³ad:Mateusz Sudziñski

Fotografie:drhab.Ma³gorzata Makiewicz, prof. APS

CopyrightRysunekIlustracje:DorotaProñczukmotylka:AleksandraBu³hak©byCEBP 24.12 Sp. z o.o. Wszystkie prawa zastrze¿one Kraków 2021 ISBN Wydawca:978-83-65915-72-6CEBP24.12Sp.z o.o.ul.Kwiatowa330-437Krakówtel.126310410www.blizejprzedszkola.pl

RecenzjaGruszczyk-Kolczyñskanaukowa:drhab.Stanis³awDomoradzki, prof. UR

Korekta:Marta Stasiñska Alicja Halik

Czêœæ

Niepowodzeniapierwsza w pocz¹tkowej nauce matematyki

DlaczegoWstêp nale¿a³o napisaæ tê ksi¹¿kê i jak z niej korzystaæ 11

5.4.1. Za³o¿enia wspomagania dzieci w opanowaniu umiejêtnoœci liczenia i kszta³towaniu zarysów pojêæ liczbowych w zakresie pomagania im w sytuacjach ¿yciowych i w edukacji szkolnej 62

dzieci w pokonywaniu niepowodzeñ w nauce matematyki w kolejnych obszarach edukacyjnych

5.1. Jak kszta³tuje siê umiejêtnoœæ liczenia w umyœle dziecka, zanim rozpocznie naukê w szkole – prawid³owoœci psychologiczne i pedagogiczne 49

5

5.4.2. Rozpoznawanie blokad w nabywaniu umiejêtnoœci liczenia u dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki 63

5.2. O konsekwencjach wadliwego kszta³towania zarysów pojêæ liczbowych w klasie I szko³y podstawowej i ograniczania dzieciom zakresu liczenia 55

1. Dlaczego dzieci zbyt ma³o wiedz¹ i potrafi¹ z matematyki. Jakie s¹ tego przyczyny oraz konsekwencje. Ile dzieci doznaje niepowodzeñ w nauce matematyki i kiedy doroœli to dostrzegaj¹ 17

5.4.3. Wspomaganie dziecka w opanowaniu umiejêtnoœci liczenia i w pos³ugiwaniu siê regularnoœciami dziesi¹tkowego systemu w zakresie wystarczaj¹cym do sprostania wymaganiom szkolnym oraz radzenia sobie w sytuacjach ¿yciowych 64

5.3. Najczêœciej pope³niane b³êdy w kszta³towaniu umiejêtnoœci liczenia w klasach II i III na podstawie analizy pakietów edukacyjnych, z których korzystaj¹ nauczyciele i uczniowie 59

5.4. Dzia³ania naprawcze – liczenie. Jak wspomagaæ dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki w opanowaniu umiejêtnoœci liczenia w edukacji domowej i szkolnej

3. O koniecznoœci rozwijania u dzieci zdolnoœci do wysi³ku intelektualnego i wspomagania ich w doskonaleniu operacyjnego rozumowania w edukacji matematycznej 34

5. Liczenie. Jak dzieci ucz¹ siê liczyæ. B³êdy pope³niane przez doros³ych w kszta³towaniu tej wa¿nej umiejêtnoœci. W jaki sposób pomagaæ dzieciom z niepowodzeniami w nauce matematyki opanowaæ umiejêtnoœæ liczenia odpowiednio do wymagañ szkolnych i potrzeb ¿yciowych

2. Proces narastania niepowodzeñ w nauce matematyki: nak³adanie siê przyczyn wtórnych na pierwotne. Niszcz¹ce konsekwencje tego mechanizmu dla rozwoju umys³owego i edukacji dzieci 27

Czêœæ Wspomaganiedruga

4. Krótko o regu³ach, których trzeba przestrzegaæ, je¿eli chce siê skutecznie pomóc dziecku pokonaæ niepowodzenia w nauce matematyki. Tak¿e o tym, jak korzystaæ z ustaleñ zawartych w drugiej czêœci tej ksi¹¿ki 44

6. Rachowanie. Prawid³owoœci kszta³towania umiejêtnoœci rachowania. B³êdy pope³niane przez doros³ych w kszta³towaniu tej wa¿nej umiejêtnoœci. Jak wspomagaæ dziecko z niepowodzeniami w nauce matematyki w opanowaniu umiejêtnoœci rachunkowych

6.1. Jak kszta³tuje siê umiejêtnoœæ rachowania w umys³ach dzieci, zanim rozpoczn¹ naukê w szkole – prawid³owoœci psychologiczne i pedagogiczne 70

6.5. Dzia³ania naprawcze – rachowanie. Jak wspomagaæ dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki w opanowaniu umiejêtnoœci rachunkowych w edukacji domowej i szkolnej

6.5.1. Za³o¿enia wspomagania dzieci w opanowaniu umiejêtnoœci rachunkowych odpowiednio do wymagañ stawianych im w klasach pocz¹tkowych 81

6.5.2. Rozpoznawanie blokad w nabywaniu umiejêtnoœci rachunkowych u dzieci i wnioskowanie o sposobach ich pokonania 82

8.3. Wspomaganie dzieci w coraz precyzyjniejszej orientacji w zakresie potrzebnym im w pierwszym roku szkolnej edukacji i w latach nastêpnych 134

7.3. Konsekwencje rozbie¿noœci dzieciêcych strategii rozwi¹zywania zadañ z treœci¹ z nauczycielskim sposobem kierowania aktywnoœci¹ dzieci podczas ich rozwi¹zywania. Wyniki badañ i wnioski pedagogiczne 113

8. Orientacja przestrzenna w edukacji szkolnej. Jak wspomagaæ dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki i w coraz lepszej orientacji przestrzennej

6

6.5.3. Wspomaganie dziecka z niepowodzeniami w opanowaniu umiejêtnoœci rachunkowych w zakresie wystarczaj¹cym do sprostania wymaganiom szkolnym oraz radzenia sobie w sytuacjach ¿yciowych 85

6.2. Co utrudnia dzieciom nabywanie umiejêtnoœci rachunkowych w klasie I. O edukacji matematycznej prowadzonej w stylu papierowej matematyki, niedobrych skutkach ograniczania zakresu liczenia i wadach szkolnego wdra¿ania dzieci do przekraczania progu dziesi¹tkowego w dodawaniu i odejmowaniu 73

7.2. Dlaczego zalecane nauczycielom metody rozwi¹zywania zadañ nie przynosz¹ oczekiwanych rezultatów na poziomie edukacji wczesnoszkolnej 110

6.3. Jak ograniczenia w liczeniu w klasach II i III przeszkadzaj¹ dzieciom korzystaæ z regularnoœci dziesi¹tkowego systemu liczenia w opanowaniu umiejêtnoœci rachunkowych 76

7.4. Jak skutecznie uczyæ dzieci uk³adania i rozwi¹zywania zadañ z treœci¹ w edukacji domowej, przedszkolnej i szkolnej 118

7. Zadania z treœci¹ w edukacji domowej, przedszkolnej i szkolnej. Przyczyny nadmiernych trudnoœci w ich uk³adaniu i rozwi¹zywaniu. Skuteczne sposoby wspomagania dzieci w tym zakresie dzia³alnoœci matematycznej

7.1. Z czego wywodz¹ siê zadania z treœci¹ i jak¹ rolê pe³ni¹ w edukacji matematycznej. Nadmierne trudnoœci dzieci w rozwi¹zywaniu zadañ z treœci¹ 102

6.4. Dlaczego dzieci maj¹ tyle trudnoœci w opanowaniu umiejêtnoœci mno¿enia i dzielenia i jak to mo¿na zmieniæ na lepsze 77

8.2. Rozpoznawanie faktycznych umiejêtnoœci dzieci w orientacji przestrzennej pocz¹tkiem realizacji dzia³añ naprawczych 131

8.1. Krótko o prawid³owoœciach kszta³towania orientacji przestrzennej u dzieci 127

10.2. Wspomaganie dzieci w przechodzeniu od intuicji do zarysów pojêæ geometrycznych: za³o¿enia, treœci i metody kszta³cenia 163

12.3. Wspomaganie dziecka w kszta³towaniu umiejêtnoœci pomiaru ciê¿aru obiektów, a tak¿e pos³ugiwanie siê dodawaniem i odejmowaniem oraz mno¿eniem i dzieleniem w zadaniach wymagaj¹cych rozumienia sensu pomiaru ciê¿aru 211

12.2. Jak dzieci dochodz¹ do rozumienia sensu pomiaru ciê¿aru i nabywaj¹ umiejêtnoœæ ustalania ciê¿aru obiektów. Co utrudnia dzieciom nabywanie tych kompetencji 206

9. Mierzenie d³ugoœci w edukacji szkolnej. Jak wspomagaæ dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki w kszta³towaniu pomiaru d³ugoœci w codziennych sytuacjach i w edukacji szkolnej

12.1. Argumenty przemawiaj¹ce za stosowaniem w edukacji dzieci okreœleñ: ciê¿ar obiektów, wa¿enie, jednostki pomiaru ciê¿aru 205

11.1. Jak dzieci ucz¹ siê mierzenia p³ynów. Krótko o wadach szkolnego kszta³towania u dzieci umiejêtnoœci mierzenia p³ynów 195

9.3. Wspomaganie dzieci w radzeniu sobie w sytuacjach, w których trzeba ³¹czyæ orientacjê przestrzenn¹ z wizualizacj¹ oraz mierzeniem d³ugoœci i wykonywaniem obliczeñ 150

9.1. Jak kszta³tuje siê w umys³ach dzieci rozumienie pomiaru i umiejêtnoœæ mierzenia d³ugoœci. Tak¿e o nieprawid³owoœciach tego zakresu kszta³cenia 139

7

9.2. Wspomaganie dzieci w opanowaniu umiejêtnoœci mierzenia d³ugoœci i pos³ugiwania siê nimi w uk³adaniu i rozwi¹zywaniu zadañ szkolnych i w codziennych sytuacjach 142

11. Pomiar p³ynów. Wspomaganie dzieci w rozumieniu pomiaru p³ynów i pos³ugiwaniu siê umiejêtnoœci¹ mierzenia, np. wody, w sytuacjach ¿yciowych i szkolnych zadaniach

10. Intuicje i zarysy pojêæ geometrycznych. Wspomaganie dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki w takim rozwijaniu tych intuicji i zarysów, aby mog³y sprostaæ wymaganiom stawianym im w dalszej edukacji szkolnej

10.5. Obliczanie pola oraz objêtoœci wybranych figur geometrycznych i zagospodarowanie nimi przestrzeni 188

11.2. Wspomaganie dzieci w rozumieniu sensu mierzenia p³ynów, kszta³towanie umiejêtnoœci pomiaru p³ynów oraz stosowanie tych kompetencji w sytuacjach ¿yciowych i szkolnych zadaniach matematycznych 198

10.3. Bry³y. Wspomaganie dzieci w rozwijaniu intuicji i tworzeniu zarysów pojêæ geometrycznych z uwzglêdnieniem wizualizacji, pomiarów i obliczeñ oraz rysunków geometrycznych 166

10.4. Figury p³askie. Wspomaganie dzieci w rozwijaniu intuicji i tworzeniu zarysów pojêæ geometrycznych. Obliczanie obwodów wybranych figur 180

12. Pomiar ciê¿aru. Wspomaganie dzieci w rozumieniu sensu pomiaru i opanowaniu umiejêtnoœci wa¿enia obiektów. Stosowanie tych kompetencji w sytuacjach ¿yciowych oraz w uk³adaniu i rozwi¹zywaniu zadañ szkolnych

10.1. Co wiemy o rozwijaniu siê intuicji i zarysów pojêæ geometrycznych w umys³ach dzieci. Krótko o wadach kszta³cenia geometrycznego w nauczaniu pocz¹tkowym 154

13.3.3. Pomiar czasu na zegarze: stopniowanie trudnoœci w odczytywaniu informacji zawartych na cyferblacie (sekundy, minuty, godziny) i obliczenia zegarowe 232

14.2. Jak w przedszkolnej i szkolnej edukacji wprowadza siê dzieci w œwiat pieni¹dza. Tak¿e o powa¿nych niedostatkach tej edukacji 242

14. Obliczenia pieniê¿ne i ma³a ekonomia. Jak pomagaæ dziecku poznaæ gradacjê i wartoœæ nabywcz¹ pieniêdzy, wdra¿aæ do gospodarowania nimi w sytuacjach ¿yciowych i wspieraæ w rozwi¹zywaniu zadañ szkolnych wymagaj¹cych obliczeñ pieniê¿nych

16. Bibliografia 265

14.3.3. Respektowanie ma³ej, domowej ekonomii: oszczêdzanie i koniecznoœæ oddawania d³ugów, dochody i wydatki, czyli domowy bud¿et 250

14.3. Wspomaganie dziecka w pos³ugiwaniu siê pieniêdzmi w sytuacji kupna i sprzeda¿y, w wykonywaniu obliczeñ pieniê¿nych i gospodarowaniu pieniêdzmi zgodnie z regu³ami ma³ej, domowej ekonomii

13.2. Krótko o wa¿niejszych niedostatkach szkolnego kszta³towania orientacji w up³ywie czasu, pomiaru czasu oraz umiejêtnoœci obliczeñ kalendarzowych i zegarowych 221

14.3.1. Za³o¿enia, treœci kszta³cenia i metody wprowadzania dziecka w œwiat pieniêdzy, z uwzglêdnieniem ma³ej, domowej ekonomii 244

13.1. Co sprawia, ¿e dzieciom tak trudno orientowaæ siê w up³ywie czasu oraz pos³ugiwaæ siê zegarem i kalendarzem 219

13.3. Wspomaganie dzieci w orientowaniu siê w up³ywie czasu, opanowaniu umiejêtnoœci mierzenia go i w sprawnym wykonywaniu obliczeñ kalendarzowych i zegarowych

13.3.1. Wa¿niejsze za³o¿enia wspomagania uczniów w opanowaniu umiejêtnoœci mierzenia czasu i sprawnym wykonywaniu obliczeñ kalendarzowych i zegarowych 224

14.1. Jak dzieci nabywaj¹ umiejêtnoœci pos³ugiwania siê pieniêdzmi. Pogl¹dy rodziców o wdra¿aniu dzieci do gospodarowania pieniêdzmi. Dlaczego trzeba dzieciom przybli¿aæ problemy ma³ej, domowej ekonomii 238

13.4. Stosowanie nieco bardziej z³o¿onych obliczeñ zegarowych i kalendarzowych w sytuacjach ¿yciowych oraz w uk³adaniu i rozwi¹zywaniu zadañ szkolnych 235

13.3.2. Metoda rytmicznej organizacji czasu, korzystanie z kalendarzy oraz proste obliczenia kalendarzowe 225

8

13. Czas. Jak wspomóc dziecko w orientowaniu siê w up³ywie czasu, mierzeniu go oraz radzeniu sobie z obliczeniami kalendarzowymi i zegarowymi

15. Zakoñczenie, czyli o przygotowaniu uczniów do lepszego korzystania z edukacji matematycznej w klasie IV i nastêpnych 255

14.3.2. Wspomaganie dziecka w poznawaniu pieniêdzy, kszta³towaniu umiejêtnoœci rozmieniania pieniêdzy i wykonywaniu obliczeñ pieniê¿nych 245

14.4. Szacowanie kosztów podró¿y okazj¹ do kierowania siê regu³ami ekonomicznymi oraz korzystania z wiadomoœci i umiejêtnoœci ukszta³towanych w innych obszarach edukacji, nie tylko matematycznej 254

y wymusza daleko idącą pomoc w odrabianiu zadań domowych, bo przestało wierzyć we własne moż liwości intelektualne i niewiele umie z matematyki.

1) Do ważniejszych należą: a) monografie:  Niepowodzenia w uczeniu się matematyki u dzieci z klas początkowych. Diagnoza i terapia (Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Prace Naukowe Uniwersytetu Śląskiego nr 553, Katowice 1985); Dzieci ze spe cyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Przyczyny, diagnoza, zajęcia korekcyjno-wyrównawcze (WSiP, Warszawa 1992 – pierwsze wydanie, ostatnie z roku 2013), b) artykuły: Papierowa matematyka („Matematyka. Czasopismo dla Nauczy cieli” nr 1/2013); Grzechy matematycznej edukacji („Matematyka. Czasopismo dla Nauczycieli” nr 3/2013); O kryzysie edukacji matematycznej dzieci. Rozpaczliwe wołanie o działania naprawcze („Matematyczna Edukacja Dzieci” nr 1/2016), c) wywiady w prasie codziennej:  Jak trzeba uczyć matematyki („Gazeta Wyborcza” z dnia 29 maja 2014 roku); Szczęście do matematyki („Rzeczpospolita” z dnia 29–30 sierpnia 2015 roku).

2) W tym czasie pomogłam wielu dzieciom – ostrożnie szacując, jest ich ponad sześćdziesięcioro – pokonać niepowodzenia w na uce matematyki. Po diagnostycznym ustaleniu przyczyn niepowodzeń konstruowałam program zajęć dydaktyczno-wyrównaw czych dostosowany do potrzeb każdego dziecka. Potem prowadziłam zajęcia według tego programu tyle czasu, ile dziecko potrzebowało, żeby sprostać wymaganiom stawianym mu w ramach edukacji matematycznej. Tym żmudnym działaniom na prawczym towarzyszyły badania naukowe, dzięki którym dane mi było stosunkowo dobrze poznać złożoność nie tylko zjawiska niepowodzeń w nauce matematyki, lecz także wniknąć w tajemnice działań naprawczych.

nale¿a³o napisaæ tê ksi¹¿kê i jak z niej korzystaæ

Ukoronowaniem wyżej wymienionej działalności jest ten podręcznik. Wyjaśniam w nim, w jaki spo sób rodzice, terapeuci i nauczyciele mogą pomóc dziecku pokonać niepowodzenia w nauce matematyki i zapewnić mu sukcesy w dalszej edukacji szkolnej. W tytule tej publikacji zaznaczyłam też, że niniej szy podręcznik jest kolejną książką ze znanej serii Dziecięca matematyka3 Oznacza to, że został napisany w przystępny sposób i zawiera opisy konkretnych – łatwych w realizacji – zajęć z dziećmi, opracowanych zgodnie z wnioskami z badań naukowych.

Takie zachowania wskazują na to, że na przyczyny pierwotne nałożyły się już przyczyny wtórne, które skutecznie utrudniają działania naprawcze. Żeby sobie z tym poradzić, dorośli muszą orientować się w przyczynach i mechanizmach narastania niepowodzeń w nauce matematyki.

Ten zakres wiedzy omawiam w rozdziałach części pierwszej tego podręcznika. Wyjaśniam w nich, dlaczego uczniowie klas początkowych zbyt mało wiedzą i potrafią z matematyki, aby sprostać wymaga niom stawianym im od klasy IV wzwyż. Omawiam też przyczyny blokad w nauce matematyki występu jące już w pierwszych miesiącach nauki w klasie I oraz blokady narastające w następnych latach szkolnej

3) Tak oznaczona jest znana seria książek adresowanych do rodziców i nauczycieli: E. Gruszczyk-Kolczyńska, E. Zielińska, Dzie cięca matematyka – dwadzieścia lat później. Książka dla rodziców i nauczycieli starszych przedszkolaków (Wydawnictwo CEBP, Kraków 2015); Edukacja matematyczna w klasie I. Książka dla nauczycieli i rodziców. Cele i treści kształcenia, podstawy psycho logiczne i pedagogiczne oraz opisy zajęć z dziećmi (red. E. Gruszczyk-Kolczyńska, Wydawnictwo CEBP, Kraków 2014).

Problem jest poważny, gdyż przy ostrożnym szacowaniu – co czwarte dziecko zaczynające naukę szkolną jest spychane na ścieżkę klęski szkolnej, bo nie potrafi sprostać oczekiwaniom stawianym na zajęciach matematycznych. Na dodatek rodzice i nauczyciele orientują się, że źle się dzieje dopiero wów czas, gdy dziecko:

y oświadcza, że nie lubi szkoły i wszystkiego, co łączy się z matematyką;

11

y pogodziło się już, że jest słabym uczniem i utraciło motywację do nauki szkolnej;

WstêpDlaczego

Od blisko pół wieku zajmuję się problemami dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki. Prowadzę badania naukowe i publikuję ich wyniki1. Jednocześnie z dobrym skutkiem pomagam dzieciom pokonać blokady oraz niepowodzenia w nauce matematyki 2

12 edukacji. Wskazuję na niszczące konsekwencje tego, że dorośli zbyt późno je dostrzegają, a potem nie potrafią udzielić dziecku należytej pomocy. Następnie podaję reguły, których trzeba przestrzegać, jeżeli dorośli zamierzają skutecznie pomóc dziecku pokonać niepowodzenia w nauce matematyki.

y umiejętności i zarysy pojęć matematycznych kształtowanych w kolejnych klasach początkowych, nie zależnie od mankamentów szkolnej edukacji4. To, że dzieci nie radzą sobie na lekcjach matematyki w następnych klasach, wynika z faktu, że zbyt mało wiedzą i potrafią z matematyki, aby sprostać wy maganiom nauczycieli tego przedmiotu.

Działaniadziecka.naprawcze

4) Do najważniejszych należą: a) ograniczanie dzieciom zakresu liczenia, skutecznie blokujące im dostrzeganie regularności dzie siątkowego systemu liczenia, a potem korzystanie z nich w dodawaniu i odejmowaniu oraz w pomiarach długości, ciężaru, po jemności i w obliczeniach pieniężnych, b) przymuszanie dzieci do przekraczania progów dziesiątkowych w trakcie obliczania sum i różnic z zastosowaniem przekształceń symbolicznych, których sensu pojąć jeszcze nie potrafią (rozumują na poziomie operacji konkretnych, a przekształcenia symboliczne wymagają rozumowania na poziomie wczesnych operacji formalnych), c) wadliwy sposób kształtowania umiejętności mnożenia i dzielenia sprawiający, że większość uczniów klasy III nie potrafi obliczać iloczy nów i ilorazów w trakcie rozwiązywania zadań matematycznych i w sytuacjach życiowych, d) szkolna metodyka rozwiązywania zadań z treścią, która sprawia, że dzieci doznają niepotrzebnych trudności, gdy mają rozwiązywać tego typu zadania.

są rdzeniem każdego rozdziału części drugiej tego podręcznika. Ręczę za sku teczność zawartych tam zaleceń, gdyż sprawdzałam je wielokrotnie w trakcie prowadzenia zajęć z dzieć mi. Dotyczy to także wzorcowych sytuacji zadaniowych i zadań zamieszczonych w tych rozdziałach. Niektóre dzieci potrzebują bowiem więcej doświadczeń do ukształtowania umiejętności i zarysów pojęć matematycznych i dorosły musi to uwzględnić. Dlatego wzorcowe sytuacje zadaniowe i zadania przed stawiam tak, aby dorosły – wzorując się na nich – mógł wymyślić ich więcej.

Przestrzegam przed manierą – niestety częstą – pomagania dziecku pokonać niepowodzenia w na stępujący sposób:  Jeżeli ma kłopoty z obliczaniem sum i różnic, trzeba mu wyjaśnić, jak się to robi i do pilnować, aby nabrało wprawy w rachowaniu. Przecież powodem tego, że dziecko nie radzi sobie z do dawaniem i odejmowaniem, jest fakt, że nie zadbano o to, aby dostrzegło i korzystało z regularności dziesiątkowego systemu liczenia w rachowaniu. Jeżeli dorosły chce pomóc dziecku w pokonaniu niepo wodzeń, musi usunąć przyczyny. W opisanej sytuacji wymaga to zrealizowania zajęć, które są zalecane w rozwijaniu umiejętności liczenia, i na tej bazie kształtowania umiejętności rachunkowych.

Część druga podręcznika zawiera rozdziały, w których omawiam, w jaki sposób trzeba wspomagać dziecko w pokonywaniu niepowodzeń we wszystkich zakresach edukacji matematycznej i przygotować je do nauki matematyki w klasie IV. Ponieważ niepowodzenia w nauce matematyki pojawiają się już w pierw szych miesiącach nauki szkolnej, rekonstruowanie wiadomości i umiejętności musi obejmować:

y to, co dziecko musi wiedzieć i umieć z matematyki, rozpoczynając naukę w szkole. Pierwsze blokady w nauce matematyki są bowiem spowodowane zbyt niską dojrzałością do nauki matematyki w szko le, a ich konsekwencją są szybko narastające niepowodzenia w nauce matematyki;

Choćby z tego przykładu wynika, że skuteczne wspomaganie dzieci w pokonywaniu niepowodzeń w nauce matematyki wymaga rekonstruowania umiejętności i zarysów pojęć w porządku, który przedsta wiam w kolejnych rozdziałach części drugiej tego podręcznika. Proszę więc dorosłych, aby – przed przy stąpieniem do działań naprawczych – przeczytali uważnie wszystkie zawarte w nim rozdziały. Pomoże im

Uzyskanie dobrych efektów w tak szerokim zakresie wspomagania dziecka w pokonywaniu nie powodzeń zależy od znajomości prawidłowości rozwoju umysłowego i kształtowania umiejętności oraz zarysów pojęć matematycznych. Kwestie te wyjaśniam na początku każdego rozdziału części drugiej tego podręcznika. Nieco uwagi poświęcam też omówieniu ciemnych stron szkolnej edukacji matematycznej, aby dorośli nie popełniali „szkolnych błędów”, rekonstruując system wiadomości i umiejętności matema tycznych

Edyta Gruszczyk-Kolczyńska

13 to uświadomić sobie zakres problemów, z którymi muszą się uporać. Potem trzeba systematycznie i cierp liwie rekonstruować od podstaw umiejętności i wiadomości matematyczne dziecka, respektując zasadę stopniowania trudności.

Osobne podziękowania należą się recenzentowi tej książki – Profesorowi Stanisławowi Domoradz kiemu – za cierpliwe wysłuchiwanie moich rozterek i wspieranie imponującą wiedzą matematyczną.

5) W pakiecie Dary Froebla znajduje się czternaście starannie wykonanych drewnianych pudełek z zasuwanymi wieczkami zawie rającymi przedmioty do nauki i zabawy. Są to zestawy wełnianych piłeczek na sznurkach, większych i mniejszych drewnianych klocków o określonym kształcie, kolorowych płytek (do układania mozaik), pierścieni (oraz ich fragmentów), patyczków o różnej wielkości, kołeczków. Jest tam też plansza z nadrukowaną siecią kwadratową i plansza z otworkami w węzłach sieci (pełni rolę geoplanu). Przedmioty te są wykonane ze szlachetnego drewna bukowego, a niektóre z nich – np. płytki mozaiki – są w pięk nych, wyrazistych kolorach. Kształty, wymiary i wzajemne proporcje oraz kolory przedmiotów znajdujących się w pakiecie Dary Froebla sprawiają, że pakiet ten jest pierwowzorem zabawek edukacyjnych, przydatnych w edukacji matematycznej dzieci. Wię cej informacji znajduje się w publikacji E. Gruszczyk-Kolczyńskiej i J. Kozieł Zastosowanie Darów Froebla w Dziecięcej Matema tyce. Treści kształcenia, komentarze metodyczne oraz opisy zajęć wspomagających rozwój umysłowy i edukację matematyczną przedszkolaków (Wydawnictwo Froebel.pl, Lublin 2017).

Ze swej strony zapewniam, że na efekty nie trzeba będzie zbyt długo czekać, gdyż matematyczne kształcenie dzieci – także to realizowane w edukacji domowej – jest podobne do starannego nawlekania w naszyjniku dobrze dobranych koralików, w odpowiedniej kolejności. Jeżeli zadba się o właściwy do bór treści i zastosuje się stosowne metody kształcenia, pomoże się dziecku zbudować logiczny i elegan cki system wiadomości i umiejętności matematycznych. Dzięki temu będzie z powodzeniem korzystało z edukacji szkolnej, nawet gdy nie będzie ona najwyższych lotów.

Kończąc wstęp, chcę podziękować wszystkim tym, którzy przyczynili się do napisania tej książki. Szcze gólnie dzieciom, którym pomagałam przez prawie pół wieku pokonywać niepowodzenia w nauce ma tematyki, bo w trakcie zajęć z nimi mogłam gromadzić doświadczenia pedagogiczne. Dziękuję też ich rodzicom za to, że stosowali się do moich rad, wierząc w moje kompetencje naukowe i pedagogiczne. Nie chcąc zawieść ich nadziei, mozolnie studiowałam publikacje, aby upewnić się, czy to, co kształtuję w umyśle dziecka, zmierza w dobrą stronę. W ten sposób – rok po roku przez prawie pół wieku – dosko naliłam wiedzę i umiejętności potrzebne do wspomagania dzieci w pokonywaniu niepowodzeń w nauce matematyki. I na tej podstawie napisałam tę książkę.

Chcę też wyrazić wdzięczność znakomitym fachowcom z Wydawnictwa CEBP w Krakowie za książ kę tak pięknie wydaną, że miło ją oglądać i czytać.

Zadania zawarte w tej książce są ilustrowane fotografiami, dzięki którym Czytelnik lepiej rozumie sens opisanych zadań. Jest to zasługa Profesor Małgorzaty Makiewicz, autorki znanego projektu Mate matyka w obiektywie. Dodam, że sporo fotografii zostało wykonanych w trakcie zajęć z dziećmi, z zacho waniem dziecięcej nieporadności w układaniu patyczków, kolorowych płytek, brył. Nie korygowaliśmy tego, aby pokazać, że w działalności matematycznej ważne jest uchwycenie sensu zadania, a nie przesadne dbanie o to, aby np. patyczki były idealnie ułożone. Na wielu fotografiach przedstawione są pięknie wyko nane przedmioty do zabawy i edukacji wchodzące w skład Darów Froebla5. Za zgodę na ich wykorzystanie dziękuję Rafałowi Iskrze oraz Froebel.pl ® z siedzibą w Lublinie.

* * *

Czêœæ w pocz¹tkowejNiepowodzeniapierwszanaucematematyki

y dane o lawinowo rosnącej liczbie rodziców, którzy opłacają korepetycje już dla dzieci z klas IV, bo nie potrafią one sprostać wymaganiom na lekcjach matematyki;

3) Por. Ogólnopolskie Badanie Umiejętności Trzecioklasistów Raport OBUT 2013 (red. A. Pregler, Instytut Badań Edukacyjnych, Warszawa 2013, publikacja współfinansowana przez UE) oraz Raport z ogólnopolskiego badania umiejętności trzecioklasistów OBUT m 2014 (opracowany w Instytucie Badań Edukacyjnych w ramach programu Kapitał ludzki ).

4) Badania zrealizowała E. Gruszczyk-Kolczyńska w latach 2007–2010 i przedstawia je w rozdziale Charakterystyka wiadomości i umiejętności matematycznych dzieci. Wnioskowanie o ich uzdolnieniach matematycznych. Wyniki badań, interpretacje i wnio ski, [w:] O dzieciach matematycznie uzdolnionych. Książka dla rodziców i nauczycieli, red. E. Gruszczyk-Kolczyńska, Wydawni ctwo Nowa Era, Warszawa 2012.

Jakie s¹ tego przyczyny oraz konsekwencje. Ile dzieci doznaje niepowodzeñ w nauce matematyki i kiedy doroœli to dostrzegaj¹

1. Dlaczego dzieci zbyt ma³o wiedz¹ i potrafi¹ z matematyki.

1) Potwierdzają to następujące dane: a) w roku 2015 tzw. zdawalność matury z matematyki oszacowano na 74%, chociaż w ocenie maturzystów i dydaktyków matematyki zadania maturalne nie były zbyt trudne. Do matury przystąpiło wówczas 275 568 osób, a zdało ją 204 467 maturzystów (zob. https://maturzysta.dlastudenta.pl/artykul/Wyniki_matur_2015_Matematyka_znowu_sla bo,113975.html), b) w roku 2016 oszacowano, że maturę z matematyki zdało około 83% abiturientów (zob. https://wiadomosci. gazeta.pl/wiadomosci/1,156046,20352327,matura-2016-wyniki-co-5-maturzysta-oblal-mature-katastrofa.html), c) w roku 2017 egzamin (poziom podstawowy) zdało także 83% maturzystów (zob. https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/ Informacje_o_wynikach/2017/sprawozdanie/Sprawozdanie%202017%20-%20Matematyka.pdf). Oznacza to, że 17% zdających nie zdołało uzyskać minimum, czyli 30 punktów.

2) Zob. https://cke.gov.pl/images/_EGZAMIN_MATURALNY_OD_2015/Informacje_o_wynikach/2018/sprawozdanie/Sprawozdanie%20 2018%20-%20Matematyka.pdf

17

y wyniki Ogólnopolskich Badań Umiejętności Trzecioklasistów3 z lat 2013 i 2014 wskazujące na niski poziom wiadomości i umiejętności matematycznych. Jednocześnie ustaliłam4, że więcej niż połowa dzieci polskich przed rozpoczęciem szkolnej edukacji wykazuje się zadatkami uzdolnień matematycznych, a co czwarte dziecko – wysokim stopniem tych uzdolnień. Niestety – już po kilku miesiącach nauki w szkole – tylko co ósme dzie cko manifestuje wysokie uzdolnienia matematyczne. Zakres i metody matematycznego kształ cenia nie uwzględniają bowiem możliwości umysłowych uzdolnionych dzieci. Dlatego tracą one radość z działalności matematycznej, są mniej twórcze i przestają wykazywać się poczuciem sensu

Jeszcze do niedawna nie łączono porażek podczas egzaminu z matematyki na maturze1 z niskim poziomem edukacji matematycznej w klasach początkowych. Dopiero w dokumencie Sprawozda nie z egzaminu maturalnego. Matematyka 20182 w części Wnioski i rekomendacje podano, że nie powodzenia na egzaminie maturalnym z matematyki są często spowodowane błędami w ob liczeniach rachunkowych oraz nieznajomością praw i własności działań. Ponieważ ten zakres kształcenia jest realizowany w nauczaniu początkowym, uznano, że jedną z głównych przyczyn porażek maturalnych jest zła jakość edukacji matematycznej na tym etapie kształcenia. Potwier dzają to:

„ W innym zeszycie ćwiczeń integrowano edukację polonistyczną z matematyczną w zadaniu, w którym ciężar samogłosek i spółgłosek określono w dekagramach (!), podano kilka wyrazów

5) Wskazują na to także wyniki badań K. Skarbek (Losy matematycznie uzdolnionych dzieci warszawskich szkół na początku nauki szkolnej, niepublikowana rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem E. Gruszczyk-Kolczyńskiej, Akademia Pedagogiki Spe cjalnej, Warszawa 2015).

18 w trakcie rozwiązywania zadań zawartych w podręcznikach i zeszytach ćwiczeń do nauki ma tematyki5. W następnych latach edukacji szkolnej proces ten nasila się do tego stopnia, że tylko nieliczni uczniowie wykazują się uzdolnieniami matematycznymi6

Jakie są przyczyny niskiego poziomu matematycznego kształcenia dzieci w klasach I–III

Od ponad dwudziestu lat w klasach początkowych prowadzi się edukację dzieci w konwencji zin tegrowanego kształcenia. Dopiero w ostatnich latach7 władze oświatowe zezwalają na wydziele nie edukacji matematycznej z kształcenia zintegrowanego. Okazało się bowiem, że złej jakości matematycznego kształcenia w klasach I–III nie sposób naprawić w następnych etapach edukacji szkolnej.Powodem

7) Jednym z dowodów są daty wydawanych przez Ministerstwo Edukacji Narodowej darmowych uczniowskich podręczników dla klas I–III. I tak: a) w roku 2014 wydano Nasz elementarz. Podręcznik dla klasy I napisany według zaleceń zintegrowanego kształ cenia, b) już w roku 2015 wydano podręcznik Nasza szkoła. Matematyka. Klasa 2. Podręcznik do szkoły podstawowej, opracowany do edukacji matematycznej wydzielonej z nauczania zintegrowanego, c) w roku 2016 wydano podręcznik Nasza szkoła. Matema tyka. Klasa 3. Podręcznik do szkoły podstawowej, także napisany tylko do edukacji matematycznej.

Warto więc poważnie się zastanowić nad przyczynami zbyt niskiej skuteczności matematycz nego kształcenia w klasach początkowych. W tym czasie dzieci tworzą w umysłach zarysy pojęć i nabywają ważne umiejętności matematyczne. Są to fundamenty kształcenia w kolejnych latach edukacji. Jeżeli są kiepskie, spodziewać się trzeba – wcześniej lub później – niepowodzeń w na uce matematyki. Gdy są mocne, zbuduje się na nich solidny gmach kompetencji matematycz nych zapewniający sukcesy edukacyjne i życiowe.

6) Ustalono, że w szkołach średnich uzdolnieniami matematycznymi wykazuje się zaledwie od 8 do 12% uczniów. Por. W. Limont, Uczeń zdolny. Jak go rozpoznać i jak z nim pracować, GWP, Gdańsk 2005, s. 18.

tej sytuacji jest to, że w zintegrowanym nauczaniu kolejność i rytm realizowanych treści matematycznego kształcenia regulują pory roku i wydarzenia społeczne, w których dzie ci uczestniczą, a nie psychologiczne i pedagogiczne prawidłowości kształtowania zarysów po jęć i umiejętności matematycznych. W pakietach edukacyjnych (podręczniki i zeszyty ćwiczeń) opracowanych według zaleceń zintegrowanego nauczania łączy się bowiem kształtowanie wia domości i umiejętności matematycznych z wiedzą przyrodniczą, społeczną i polonistyczną. Oto przykłady pokazujące złe skutki tak organizowanej edukacji matematycznej:

„ W pewnym zeszycie ćwiczeń na stronach matematycznych dążono jednocześnie do kształto wania przemienności dodawania i wzbogacania dziecięcej wiedzy o świecie zwierząt w zada niach matematycznych o krokodylach, słoniach i żyrafach. Dzieci – jak to dzieci – całą uwagę skupiły na zwierzętach. Nie dostrzegły problemu matematycznego – że dla wygody liczenia można zmieniać kolejność dodawanych składników, bo suma się nie zmienia. Nie pomogły starania nauczycielki, aby im to uświadomić, bo dla dzieci nadal najważniejsze były zwierzęta i tylko o nich chciały rozmawiać.

Na realizację edukacji matematycznej na poziomie wczesnoszkolnym należy przeznaczyć co naj mniej cztery godziny lekcyjne w rozliczeniu tygodniowym. Jednym z powodów jest to, że kształ towanie umiejętności matematycznych wymaga sporo czasu. Od ćwierć wieku reguła ta jest lekce ważona, gdyż w zintegrowanym kształceniu nauczyciel decyduje – według własnej woli – o tym, ile czasu w kolejnych dniach przeznacza na realizację edukacji polonistycznej, przyrodniczej, ma tematycznej itd.

i dzieci miały ustalać ciężar tych wyrazów (!) i uporządkować je rosnąco. Dodam, że zadanie to dzieci miały rozwiązać w czasie, gdy jeszcze zbyt słabo orientowały się w pomiarze ciężaru, aby dostrzec absurdalność tego zadania.

Można mnożyć przykłady integrowania na siłę wszystkiego ze wszystkim. Na dodatek realizo wanie treści matematycznego kształcenia według pór roku i wydarzeń społecznych zaburza mery toryczny porządek kształtowania wiadomości i umiejętności matematycznych. Nie ulega wątpliwo ści, że w dobrze prowadzonej edukacji matematycznej trzeba respektować prawidłowości rozwoju umysłowego dzieci, modele pedagogiczne kształtowania wiadomości i umiejętności matematycz nych, a nie pory roku i wydarzenia społeczne według kojarzenia wszystkiego ze wszystkim.

8) Na przygotowanie przyszłych nauczycieli wychowania przedszkolnego i nauczania początkowego do prowadzenia edukacji mate matycznej dzieci przeznacza się rażąco mało czasu, szczególnie na studiach licencjackich. To się zapewne zmieni z przejściem na jednolite magisterskie studia pedagogiczne, ale w przedszkolach i w szkołach edukacją dzieci będą jeszcze długo zajmowali się nauczyciele z dyplomami licencjackimi.

19

Główną przyczyną faktycznego skracania czasu przeznaczonego na edukację matematycz ną jest fakt, że wielu nauczycieli klas początkowych osobiście doświadczyło kłopotów w nauce matematyki w szkole średniej i na maturze. Na dodatek w trakcie studiów pedagogicznych8

Efekty tego bywają często takie: w poniedziałek, w pewnej klasie I, wszystkie zajęcia koncen trowały się wokół zmian atmosferycznych zapowiadających nadejście zimy. Sprzyjał temu śnieg, który spadł w nocy. Na pierwszych zajęciach dzieci zastanawiały się, co sprawiło, że spadł śnieg (edukacja przyrodnicza). Potem lepiły bałwana na boisku i rzucały do celu śnieżkami (rozwijały sprawność fizyczną). Wróciły do klasy i uczyły się piosenki Zima zła (wychowanie muzyczne). Następne uczestniczyły w pogadance o zabawach zimowych, zakończonej układaniem i zapisy waniem zdań (kształtowanie umiejętności polonistycznych). Nauczycielka spojrzała z niepoko jem na zegarek i ograniczyła edukację matematyczną do… ustalenia, z ilu kawałków węgla dzieci zrobiły bałwankowi oczy i guziki. Na więcej nie było czasu. Z czterech godzin lekcyjnych na edu kację matematyczną (w rozliczeniu tygodniowym) nauczycielka poświęciła tego dnia dosłownie cztery minuty. Na dodatek policzenie węgielków jest banalne nawet dla pięciolatków. Opisany fragment edukacji nie jest wyjątkowy, bo w zintegrowanym kształceniu nagminnie skraca się rażąco czas przeznaczony na edukację matematyczną. Dyrektorzy szkół skarżą się na to, że nie sposób ustalić, ile czasu nauczyciel przeznacza na edukację matematyczną w zintegro wanym kształceniu. Gdy udają się na hospitację, dowiadują się, że edukacja matematyczna już się odbyła albo będzie realizowana… gdy zakończy się czas hospitacji.

O narastającej tendencji do skracania czasu trwania edukacji matematycznej w klasach I–III

Czêœæ Wspomaganiedruga dzieci w pokonywaniu niepowodzeñ w nauce matematyki w kolejnych obszarach edukacyjnych

5.1. Jak kszta³tuje siê umiejêtnoœæ liczenia w umyœle dziecka, zanim rozpocznie naukê w szkole – prawid³owoœci psychologiczne i pedagogiczne1

3) R. Gelman, Logical Capacity of Very Young Children: Number Invariance Rules, „Child Development” 43/1972; R. Gelman, C.R. Gal listel, The Child’s Understanding of Number, Harvard University Press 1978 oraz R. Gelman, What Young Children Know About Numbers, „Education Psychologist” vol. 14, 1980.

5) Korzystałam z dwóch rozpraw S. Szumana: a) Badania nad rozwojem i znaczeniem gestu wskazywania i ruchu rzucania za siebie oraz wykrzykników wskazujących i wyrazów stwierdzających nieobecność dziecka, b) Rozwój pytań u dziecka. Badania nad roz wojem umysłowości dziecka na tle jego pytań Rozprawy te znajdują się w monografii S. Szumana Dzieła wybrane. Tom 1 (WSiP, Warszawa 1985).

2) Zajmowałam się wówczas wspomaganiem rozwoju umysłowego dzieci z niepełnosprawnością intelektualną. Dążyłam do tego, aby dzieci te mogły lepiej korzystać ze szkolnego nauczania i radzić sobie w sytuacjach życiowych. Uznałam, że gdy będą znały prawidłowości liczenia, uda się zmienić na lepsze ich losy szkolne.

49

1) W podrozdziale tym korzystam z fragmentów publikacji: E. Gruszczyk-Kolczyńska, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki… (rozdział Dziecięce liczenie podstawą uczenia się matematyki w szkole), O dzieciach matematycznie uzdolnio nych… (rozdział 2 i 5), Edukacja matematyczna w klasie I. Książka dla nauczycieli i rodziców… (rozdział 5), E. Gruszczyk-Kolczyń ska, E. Zielińska, Dziecięca matematyka – dwadzieścia lat później… (rozdział 4).

4) Wyniki tych badań są zawarte w publikacji Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki…, rozdział Dziecięce liczenie podstawą uczenia się matematyki w szkole. W badaniach tych przyjęłam założenia badawcze R. Gelman, ale posłuży łam się własną metodą ustalania poziomu opanowania umiejętności liczenia u dzieci. W dostępnych publikacjach R. Gelman metody badań opisane były zbyt ogólnie, a w latach osiemdziesiątych ubiegłego stulecia nie sposób było wyjechać na Zachód, nawet w celach naukowych. Nie miałam więc możliwości bliższego poznania procedur badawczych R. Gelman.

Nim przedstawię prawidłowości kształtowania umiejętności liczenia w umysłach dzieci – po dam kilka informacji o badaniach, w których je ustalano. W latach osiemdziesiątych ubiegłe go stulecia postanowiłam 2 wyjaśnić, jak to się dzieje, że dziecko – wcześniej czy później – na uczy się liczyć. Częściową odpowiedź wraz z wynikami badań znalazłam w publikacjach Rochel Gelman3. Ponieważ uznałam, że nie można wniosków z tych badań odnosić bezpośrednio do dzieci wychowywanych w innych środowiskach, przeprowadziłam podobne badania4 w Polsce. Uwzględniłam w nich też ustalenia Stefana Szumana 5 dotyczące stosowania przez dzieci ryt mów i gestów wskazywania oraz prawidłowości rozwoju mowy we wczesnych okresach życia dzieci6, gdyż podobne mechanizmy procesu uczenia się występują w przyswajaniu reguł grama tycznych, gdy dzieci uczą się mówić i w trakcie nabywania umiejętność liczenia.

6) Chodzi o ustalenia zawarte w publikacjach: I. Kurcz, Język a reprezentacja świata w umyśle (PWN, Warszawa 1987), G.W. Shu gar, M. Smoczyńska, Nowe kierunki badań nad językiem dziecka, [w:] Badania nad rozwojem języka dziecka (red. G.W. Shugar, M. Smoczyńska, PWN, Warszawa 1980), M. Donaldson, Myślenie dzieci (Wydawnictwo Wiedzy Powszechnej, Warszawa 1986).

5. Liczenie. Jak dzieci ucz¹ siê liczyæ. B³êdy pope³niane przez doros³ych w kszta³towaniu tej wa¿nej umiejêtnoœci. W jaki sposób pomagaæ dzieciom z niepowodzeniami w nauce matematyki opanowaæ umiejêtnoœæ liczenia odpowiednio do wymagañ szkolnych i potrzeb ¿yciowych

Jak dzieci uczą się liczyć?

7) Przypominam w tym miejscu, dlaczego w swoich rozważaniach posługuję się określeniami liczenie i rachowanie. Otóż w codzien nych sytuacjach dorośli zwracają się do dziecka: Policz, gdy oczekują, że ustali ono liczbę obiektów. Mówią też: Policz, gdy chcą, aby ustaliło sumę, różnicę, iloczyn lub iloraz. Dbając o precyzję porozumiewania się z Czytelnikiem, stosuję słowa policz (licz), gdy opisuję kształtowanie umiejętności liczenia, a słowa porachuj (rachuj ), gdy będę się zajmować prawidłowościami ustalania sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu.

Ponadto – już na początku tych badań – dostrzegałam silne powiązania kształtowania się umiejętności liczenia z rachowaniem7, dlatego ustalałam łącznie prawidłowości rozwijania się tych umiejętności w umysłach dzieci. Interesowały mnie także powody sprawiające, że sporo dzieci o nieźle ukształtowanej umiejętności liczenia często nie radzi sobie z wyznaczeniem sum, różnic, iloczynów oraz ilorazów.

8) Więcej informacji o roli rytmów w rozwoju umysłowym dzieci podaję w publikacji O zdolności wychwytywania prawidłowości. Czyli o zastosowaniu rytmów w procesie wspomagania rozwoju umysłowego dzieci, [w:] Wspomaganie dzieci z genetycznie uwarun kowanymi wadami w rozwoju i ich rodzin (red. A. Twardowski, Wydawnictwo Naukowe Polskiego Towarzystwa Pedagogicznego, Poznań 2006).

9) Znaczenie gestu wskazywania w rozwoju umysłowym dzieci omawia S. Szuman w rozprawie Badania nad rozwojem i znacze niem gestu wskazywania i ruchu rzucania za siebie… Tekst ten został pierwszy raz opublikowany w 1929 roku w czasopiśmie „Chowana”, a potem włączony do publikacji S. Szumana Dzieła wybrane. Tom 1…

Ze względu na złożoność kształtowania umiejętności rachowania uznałam za właściwe omó wić problemy kształtowania umiejętności liczenia w tym rozdziale. W następnym skupię się na problemach kształtowania umiejętności rachunkowych, oczywiście w powiązaniu z rozszerza niem zakresu liczenia.

życia, gdy dziecko potrafi siedzieć – niedługo zacznie chodzić – zaczyna z wielką natarczywością wskazywać obiekty, którymi się interesuje. Gestem wskazywania wy dobywa je z otoczenia i skłania dorosłych, żeby spojrzeli na nie. Dorośli spełniają te oczekiwania i nazywają to, co ono wskazuje. Gdy są to np. dwa kotki, pytają:  To i to…? Stwierdzają:  Ko tek i kotek… Pokazują każdego kotka z osobna i mówią:  Jeden, dwa… Dwa kotki… Liczebniki i rzeczownik kotek traktują jako nazwy tych samych obiektów. Dzieje się to często, gdyż dzieci są natarczywe w geście wskazywania wyróżnianych obiektów, a dorośli zachowują się tak, jak opisałam.Dzięki temu dzieci – bardzo wcześnie, bo już w pierwszym roku życia – ustalają relację po między istniejącymi obiektami a ich umysłową reprezentacją, na zasadzie: jeden gest wska zujący – jeden realny obiekt – jedna nazwa . Ustalanie takiej relacji pełni bardzo znaczącą rolę w rozwoju mowy oraz w porozumiewaniu się z dorosłymi odnośnie do tego, czym dziecko jest

W pierwszymedukacyjne.roku

50

Początek kształtowania się umiejętności liczenia obiektów łączy się u maleńkich dzieci z rozwo jem zdolności do dostrzegania regularności8 i posługiwania się gestem wskazywania9. Pod ko niec pierwszego roku życia w zachowaniu dziecka można dostrzec aktywności zapowiadające, że nauczy się liczyć. Trzeba jednak sześciu lat mozolnego gromadzenia doświadczeń, aby dziecko dysponowało taką umiejętnością liczenia, którą można się posługiwać w każdej sytuacji. W gro madzeniu i uwewnętrznianiu tych doświadczeń ważną rolę odgrywają dorośli z otoczenia dzie cka. Jeżeli wiedzą, jak wspomagać je w coraz lepszym opanowaniu liczenia, uzyskają znakomite efekty

12) Na rytm wskazywania, dotykania i mówienia nakłada się dzieciom rytm oddechu i bicia serca.

Jeżeli dorosły chce wspierać dziecko w kształtowaniu umiejętności liczenia, ma układać obiek ty w szeregu (lub w rzędzie) i z zaangażowaniem je liczyć, wskazując każdy. Prowokuje dziecko do naśladowania, do wskazywania kolejnych obiektów i nazywania ich tak, jak potrafi. Dodam, że w takim wspomaganiu rozwoju liczenia trzeba stosować przedmioty jednorodne (np. kasztany, klocki, kamyki) i ma ich być sześć i więcej11. Jeżeli dorosły okaże radość, gdy dziecko naśladuje pokazywany sposób liczenia, dziecko będzie chętnie powtarzać te aktywności.

14) Bo nie mają świadomości, że w liczeniu nie o „klepanie” liczebników chodzi, lecz o respektowanie reguł, które opisałam w tym podrozdziale.

Wiele zależy od tego, jak dorośli odnoszą się do dziecka, które tak liczy obiekty. Jeżeli stwier dzają: Źle! gdy dziecko wymienia liczebniki bez zachowania ich kolejności14, ono wstrzymuje się od liczenia i nie doskonali tej umiejętności. Stąd znaczne różnice w opanowaniu liczenia u dzieci przedszkolnych i uczniów klasy I.

13) Opisane kłopoty koordynacyjne gestu wskazywania i wymieniania liczebników same ustępują, jeżeli dziecko jest zachęcane do liczenia i gdy ma okazję do obserwowania, jak dorośli liczą obiekty.

10) Dzięki takiej aktywności dziecko łączy wyodrębniony obiekt z jego nazwą podaną przez dorosłego. Ma to fundamentalne znacze nie dla rozwoju mowy, chociaż dziecko nie potrafi jeszcze wypowiedzieć usłyszanej nazwy. Ponieważ kojarzy ją ze wskazywanym obiektem, może rozpoznać go, gdy ponownie zobaczy np. bułkę, pociąg. Wyjaśnia to S. Szuman w cytowanej publikacji, podkre ślając znaczenie tej aktywności w rozwoju mowy u dzieci. Dodam, że badania nad rozwojem dziecięcego liczenia zrealizowałam pół wieku później, ale ustalenia Szumana pomogły mi określić początki kształtowania się schematu liczenia w umysłach dzieci.

Jeżeli dorośli wstrzymają się od pouczania i strofowania, a okażą radość – dzieci będą dążyć do precyzji w stosowaniu reguły „jeden do jednego”: jeden gest – jeden wskazywany obiekt – je den wypowiadany liczebnik. W czwartym roku życia większość dzieci przestrzega już tej reguły, ale wypowiada znane liczebniki w dowolnej kolejności, np.  Jeden, dwa, pięć, osiem, jeden, dwa, pięć itd. Nie nadają bowiem liczbowego znaczenia wymienianym liczebnikom – nie łączą np. li czebnika pięć z pięcioma policzonymi obiektami ( jest ich pięć ) ani z piątym policzonym obiektem (ten jest piąty).

11) Gdy przedmiotów jest mniej – np. dwa, trzy, cztery – nie prowokują dziecka do rytmicznego wskazywania „jeden do jednego” i oznaczania ich słowami do liczenia. Liczebność takich zbiorów może być bowiem w miarę trafnie oszacowana po przyglądnię ciu się im.

O tym, że w tym okresie rozwojowym najważniejszy jest czas i rytm liczenia, świadczy fakt, że gdy dziecko słyszy pytanie: Ile jest policzonych kamyków?, zaczyna je ponownie liczyć. W ten spo sób informuje: Tyle, bo tak je liczyłem! Niektóre dzieci stwierdzają: Dużo, bo długo liczyłem! Mało, bo szybko policzyłem! Określenie dużo lub mało dotyczy wykonanych czynności: czasu trwania rytmicznego wskazywania obiektów, a nie ich liczebności.

Efekty są zadziwiające, gdyż trzylatki – a nawet nieco młodsze dzieci – motywowane polece niem:  Policz zaczynają liczyć tak, jak potrafią. W zależności od rozwoju mowy mruczą:  Hm, hm, hm… lub mówią: Jeden, dwa, jeden, dwa, jeden, dwa… Bywa też, że wypowiadając niektóre liczeb niki, wskazują jeden liczony obiekt dwa razy12. Następuje to, gdy wymawiany liczebnik składa się z dwóch sylab – np. jeden – i wypowiadaniu każdej towarzyszy gest wskazywania13. Dodać trzeba, że w tym okresie rozwojowym dzieci traktują wypowiadane liczebniki jako słowa, które trzeba mówić w trakcie wskazywania obiektów ułożonych w rzędzie lub w szeregu.

51 zainteresowane10. Jest to też początek kształtowania się pierwszej reguły stosowanej przez dzie cko w liczeniu, reguły nazywanej „jeden do jednego”.

z Ruchowe doznania efektu przemienności dodawanych składników. Dorosły zwraca się do dzie cka:  Pokaż wyprostowanymi palcami jednej ręki trzy… Palcami drugiej ręki pokaż cztery… Ile masz razem?… Dobrze. Teraz skrzyżuj dłonie z wyprostowanymi palcami… Ile jest teraz wy prostowanych palców?… Dobrze, jest także siedem palców… Prostuję dwa palce i przysuwam je do twoich… Ile jest teraz razem wyprostowanych palców?… Zmieniamy kolejność rąk… Po tej zmianie, ile jest razem wyprostowanych palców?… I jeszcze raz zmieniamy kolejność rąk… Ile jest wyprostowanych palców?… Co zauważyłeś?…

25) Ile razy dziecko ruchowo doświadczyło efektu przemienności dodawanych palców przy obliczaniu sumy, tyle razy widziałam błysk zrozumienia w oczach i słyszałam wyjaśnienie zbliżone do wniosku: Przy dodawaniu można zamieniać kolejnością doda wane liczby i będzie tyle samo

Jeśli dziecko jeszcze nie zauważyło, że dla wygody obliczania sumy można w dodawaniu zmienić kolejność dodawanych składników – trzeba mu w tym pomóc. Radzę zacząć od tego, aby dziecko doświadczyło ruchem rąk efektu zmiany kolejności dodawanych składników25. Potem – w zaba wie – trzeba pomóc dziecku dojść do wniosku, że warto zmieniać kolejność dodawanych skład ników dla wygody ustalania sum.

26) Mogą to być także czyste kartoniki z zapisanymi liczbami.

90 Wynik dodawania nie zależy od kolejności dodawanych składników

z Gra Kto ma więcej, kto ma mniej. Trzeba przygotować papier w kratkę i długopis oraz zgro madzić sporą liczbę (około czterdziestu) zwyczajnych pocztówek 26. Na każdej zapisać liczby od 0 do 9. Pocztówki potasować i utworzyć z nich stos (nie widać zapisanych wartości liczbowych). Dorosły i dziecko biorą kolejno ze stosu po osiem pocztówek i układają je przed sobą tak, aby widoczne były zapisane liczby. Odczytują na swoich pocztówkach zapisane liczby i ustalają ich sumę. Wygrywa ten, kto ma większą sumę. Pragnienie wygranej sprawia, że dziecko chce szybko – tak, jak dorosły – obliczyć sumę. Przy gląda się więc i widzi np. na pocztówkach dorosłego liczby: 7, 1, 8, 5, 3, 2, 5, 0. Obserwuje, jak dorosły odkłada pocztówkę z liczbą 0, a pozostałe dobiera tak, aby łatwiej było obliczyć sumę tych liczb (7 i 3, 8 i 2, 5 i 5, 1). Słyszy też, jak dorosły półgłosem liczy:  siedem dodać trzy to dziesięć, osiem dodać dwa to też dziesięć, pięć dodać pięć to także dziesięć i jeszcze jeden, razem jest: dziesięć dodać dziesięć dodać dziesięć dodać jeden równa się trzydzieści jeden. Dziecko naśladuje taki sposób rachowania i doświadcza, że dla wygody obliczania sumy warto prze stawiać jej składniki tak, aby dopełniać do dziesięciu, potem trzeba policzyć dziesiątki i po zostałe składniki. Gra nabiera tempa, bo sumy są szybciej obliczane.

Przy powtórzeniu tej gry każdy z grających zapisuje swoje obliczenia np. tak: y liczby znajdujące się na pocztówkach: 2, 0, 7, 4, 6, 9, 0, 1; y odłożone liczby: 0, 0; y liczby uporządkowane dla łatwości obliczania sum: 2 i 1 i 7, 6 i 4 oraz 9; y zapis symboliczny rachowania: (2 + 1 + 7) + (6 + 4) + 9 = 29. Taki zapis jest dobrą okazją do przybliżania dziecku roli wprowadzania nawiasów do zapisów arytmetycznych. Więcej informacji dziecko zgromadzi, gdy będzie obliczało sumy i różnice oraz iloczyny i ilorazy w zbiorze liczb mianowanych.

y występują te same liczby, ale inaczej nazywają się w dodawaniu, inaczej w odejmowaniu; y liczba 9 jest w dodawaniu sumą, a w odejmowaniu odjemną;

Ponieważ dziecko zapewne nieźle sobie radzi z ustalaniem sum i różnic, trzeba pomóc mu do strzec ważniejsze związki pomiędzy dodawaniem i odejmowaniem oraz sens stosowania nawia sów w rozwiązywaniu nieco bardziej złożonych zadań. z Serie zadań sprzyjających dostrzeganiu związków pomiędzy dodawaniem i odejmowaniem. W tej serii zadań dorosły i dziecko siedzą naprzeciw siebie, w zasięgu ręki mają ziarna fasoli upakowane w woreczki oraz papier w kratkę i długopis. Zadania w tej serii są tak dobrane, aby prowokować dziecko do rozumowania przez analogię w rozszerzeniu umiejętności rachunko wych, z uwzględnieniem regularności dziesiątkowego systemu liczenia.

91

y liczba 5 w dodawaniu jest składnikiem, w pierwszym odejmowaniu jest odjemną, a w dru gim różnicą;

Związki pomiędzy dodawaniem i odejmowaniem

Dorosły zapisuje działanie: 5 + 4 = 9, a obok działania: 9 − 5 = 4 oraz 9 − 4 = 5. Dziecko wskazu je w pierwszym działaniu składniki i sumę, w następnych odjemną, odjemnik i różnicę. Potem wspólnie ustalają podobieństwa i różnice w zapisanych działaniach. Dochodzą do wniosku, że w działaniach tych:

Dorosły zwraca się do dziecka:  Wiem, że można za pomocą odejmowania ustalić, czy dobrze obliczono sumę i że za pomocą dodawania można się dowiedzieć, czy wynik odejmowania jest prawidłowy. Sprawdzimy, czy to jest prawda. Ułóż dodawanie i zapisz je, a ja posłużę się odej mowaniem, żeby sprawdzić, czy nie pomyliłeś się, obliczając sumę. Potem ja zapiszę i rozwiążę zadanie, a ty sprawdzisz, czy się nie pomyliłem. Zaczynamy… Dziecko zapisało np. 37 + 15 = 52, dorosły stwierdza: Do trzydziestu siedmiu dodałeś piętnaście i ustaliłeś, że sumą tych składników jest liczba 52. Sprawdzam: jeżeli od sumy, czyli od pięćdzie sięciu dwóch, odejmę jeden ze składników, a więc liczbę 15, powinno być trzydzieści siedem. Zapi szę… (zapisuje 52 − 15 = …) i rozwiążę to zadanie, pomagając sobie rachowaniem na fasolkach… Pokazuje liczbę 52 i układa pięć woreczków po dziesięć fasolek i dwie pojedyncze fasolki. Po kazuje liczbę 15 i stwierdza:  Piętnaście to jedna dziesiątka i pięć fasolek. Żeby odjąć piętnaście, muszę wysypać fasolki z jednego woreczka… Mam teraz cztery dziesiątki i dwanaście pojedyn czych fasolek. Odejmuję jeden woreczek z dziesięcioma fasolkami… i jeszcze pięć fasolek… Razem odjąłem piętnaście. Zostały trzy woreczki po dziesięć fasolek i siedem pojedynczych fasolek. To jest trzydzieści siedem (52 − 15 = 37). Stwierdzam – dobrze rozwiązałeś zadanie. Dorosły zapisuje:  120 + 25 = 145 i zwraca się do dziecka:  Sprawdź, czy dobrze rozwiązałem zadanie. Dziecko, wspierane przez dorosłego, odczytuje działanie i ustala, jak poprzez odej mowanie można sprawdzić poprawność rozwiązania. Zapisuje: 145 − 25 = … i rozwiązuje je. Może rozwiązać w pamięci (145 − 25 = 120), może pomagać sobie rachowaniem upakowa nych fasolek. Następnie, wzorując się na poprzednim sposobie, wnioskuje, czy dorosły dobrze ustalił sumę w swoim zadaniu. Im więcej takich zadań zostanie rozwiązanych, tym lepiej.

y podobnie liczba 4: w dodawaniu jest składnikiem, w pierwszym odejmowaniu jest różnicą, w drugim odejmowaniu jest odjemną.

27) Wartości kształcące tej serii zadań sprawiają, że zalecałam je wielokrotnie, w różnych wersjach. Ilustrowane opisy podobnej serii zadań znajdują się w publikacjach: E. Gruszczyk-Kolczyńska, E. Zielińska, Dziecięca matematyka. Metodyka i scenariusze zajęć z sześciolatkami w przedszkolu, w szkole i w placówkach integracyjnych (WSiP, Warszawa 2000) i E. Gruszczyk-Kolczyń ska, M. Skura, Skarbiec matematyczny. Poradnik metodyczny, klasy 0 i klasy I–III (Wydawnictwo Nowa Era, Warszawa 2008).

Liczymy po dwa i pokazujemy to na palcach. Wysuwają po dwa palce i liczą:  dwa, cztery, sześć, osiem… trzydzieści. Dorosły zwraca się do dziecka:  Taki sposób liczenia pokaż na taśmie kra wieckiej, przypinając klamerki na numerowanych płytkach. Dziecko wspierane przez dorosłego przypina klamerki na płytkach: 2, 4, 6, 8… 30.

Przejdźmy do wspomagania dziecka z niepowodzeniami w nauce matematyki. Najpierw za dbamy o to, aby opanowało mnożenie, potem zajmiemy się kształtowaniem umiejętności dzielenia. Gdy obliczanie i zapisywanie iloczynów oraz ilorazów nie będzie sprawiać dziecku poważniejszych kłopotów, trzeba pomóc mu dostrzec związki pomiędzy działaniami i korzystać z nich.

92 Na tym nie kończy się wspomaganie dziecka w opanowaniu umiejętności rachunkowych. Bę dzie ono kontynuowane w trakcie rozwiązywania i układania zadań z treścią, a także podczas kształtowania umiejętności mierzenia wielkości ciągłych (długość, ciężar, czas) i w oblicze niach pieniężnych. Chodzi o to, aby dziecko potrafiło możliwie sprawnie ustalać sumy i różni ce oraz iloczyny i ilorazy w zbiorach liczb mianowanych. W ten sposób dziecko zostanie moż liwie dobrze przygotowane do edukacji matematycznej w klasie IV i następnych, a to uchroni je przez niepowodzeniami w nauce matematyki.

„ Liczenie po dwa, po trzy, po pięć i po dziesięć. W tej serii zadań dorosły i dziecko siedzą na przeciw siebie przy stoliku, w zasięgu ręki mają miarkę krawiecką i trzydzieści klamerek (spina czy do przypinania bielizny). Dorosły zwraca się do dziecka:

z Trójkątny kartonik i klamerki. Dorosły oraz dziecko przypinają po jednej klamerce do bo ków trójkątnego kartonika. Stwierdzają: Trzy razy po jednej klamerce. Dopinają jeszcze po

Mnożenie Zapisywaniei dzielenie.sensuwykonywanych czynności na poziomie symbolicznym

Teraz liczymy po pięć i pokazujemy na palcach. Wysuwają kolejno po pięć palców i liczą:  pięć, dziesięć, piętnaście, dwadzieścia… pięćdziesiąt. Dorosły poleca dziecku:  Podobnie jak poprzed nio pokaż ten sposób liczenia na taśmie krawieckiej, przypinając klamerki… Jeżeli dziecko ma z tym kłopoty, dorosły wspiera je tak, jak w poprzednim zadaniu.

W podrozdziale Dlaczego dzieci mają tyle trudności w opanowaniu umiejętności mnożenia i dzie lenia i jak to można zmienić na lepsze wyjaśniłam, dlaczego dzieciom tak trudno opanować mno żenie i dzielenie. Podałam też argumenty przemawiające za tym, aby rozwijać u dzieci intuicyjne rozumienie mnożenia i dzielenia równolegle z dodawaniem i odejmowaniem.

Liczymy po dziesięć i pokazujemy na palcach. Wysuwają kolejno po dziesięć palców i liczą: dzie sięć, dwadzieścia, trzydzieści… sto czterdzieści, sto pięćdziesiąt. Dorosły stwierdza:  Pokaż taki sposób liczenia na taśmie krawieckiej, przypinając klamerki… Przypinaj klamerki…

„ Przypinanie po kilka klamerek do kartoników i zapisywanie sensu wykonanych czynności27 . Potrzebne są klamerki (spinacze do bielizny) i większe kartoniki w kształcie trójkąta, kwadratu, pięciokąta, sześciokąta. Do kartoników układa się takie zadania:

z Do pustego pojemnika wrzucaj trzy razy po siedem kasztanów… Ile kasztanów jest w po jemniku?… Jeżeli dziecko milczy, dorosły radzi: Wysyp kasztany… Policz je… Trzy razy po siedem jest… Zapisuje: 3 · 7 = 21. Dziecko odczytuje iloczyn.

Po takim wprowadzeniu należy układać i naprzemiennie rozwiązywać sporo podobnych za dań na mnożenie: dorosły układa zadanie, dziecko je rozwiązuje i następuje zamiana ról. Waż ne jest, aby – po wykonaniu zadania na liczmanach tyle razy tyle zapisać iloczyn i przeczytać go.

93

jednej klamerce do każdego boku. Stwierdzają:  Teraz jest trzy razy po dwie klamerki. Ta sytuacja zadaniowa jest pokazana na fotografii obok. Dopinają po jednej klamerce:  Teraz jest trzy razy po trzy klamerki. Dopinają po jednej klamerce:  Teraz jest trzy razy po cztery klamerki. Dorosły pokazuje kolejno boki trójkątnego kartonika z przypiętymi klamerkami i stwierdza: Trzy razy cztery to dwanaście. Zapiszę to… Zapisuje: 3 · 4 = 12, dziecko odczytuje działanie.

z Pięć razy po cztery kasztany wrzuć do pustego pojemnika… Ile kasztanów jest w pojemni ku?… Jeżeli dziecko milczy, dorosły radzi:  Wysyp kasztany z pojemnika… Policz je… Pięć razy po cztery jest… Trzeba to zapisać. Zapisuje: 5 · 4 = 20, dziecko odczytuje iloczyn.

z Kwadratowy kartonik i klamerki. Dorosły i dziecko przypinają po jednej klamerce do boków kwadratowe go kartonika. Mówią:  Jest cztery razy po jednej klamerce… Dopinają po jednej klamerce. Stwierdzają: Teraz jest cztery razy po dwie klamerki. Dopinają po jednej klamerce: Jest czte ry razy po trzy klamerki. Dopinają po jednej klamerce:  Jest cztery razy po cztery klamerki Dorosły pokazuje boki kwadratowego kartonika oraz przypięte do nich klamerki i stwier dza:  Cztery razy po cztery to szesnaście. Zapiszę to w formie działania. Zapisuje:  4  · 4 = 16. Dziecko odczytuje działanie. Na fotografiach jest przedstawiona ta sytuacja zadaniowa oraz sytuacja, gdy dziecko przypina klamerki do kartonika w kształcie pięciokąta:

„ Kilka razy po tyle. Do tej serii zadań potrzebny jest pojemnik (np. pudełko) i taca z trzydzie stoma kasztanami (orzechami, ziarnami fasoli itp.). Dorosły układa dla dziecka zadania:

z Kartka papieru. Jej brzegi: górny, dolny, lewy, prawy. Dziecko i do rosły mają frotkę założoną na lewy nadgarstek – chodzi o to, aby pomóc dziecku różnicować stronę lewą i prawą. Dorosły przypina kartkę (karton z bloku rysunkowego) do ściany na wysokości oczu dziecka i zwraca się do dziecka:  Podejdź do kartki… Pokaż jej gór ny brzeg… Dolny… Lewy brzeg… Prawy brzeg… Odepnij kartkę, przyłóż do brzuszka i podejdź do stołu… Stań twarzą do stołu i wolno kładź kartkę na stół… Na rysunku jest przedstawiona taka sytuacja, strzałka na rysunku pokazuje ruch kartki. Gdy dziecko położyło kartkę papieru na stole, doro sły podaje umowy wynikające z odwzorowania sche matu własnego ciała na kartce, stwierdzając: Teraz górny brzeg kartki jest tu (pokazuje)… Tu jest jej dolny brzeg (pokazuje)…, tu lewy (pokazuje)…, a tu prawy (pokazuje)… Przesuń palec wzdłuż górnego brzegu kartki…, wzdłuż dolnego brzegu kartki… Przesuwaj palec od lewego do prawego brzegu kartki… Teraz od prawego do lewego brzegu kartki… z Kartka papieru: rogi dolne i górne. Dorosły zwraca się do dziecka:  Połóż dłonie na górnych rogach kartki… Klepnij lewy róg…, klepnij prawy… Połóż dłonie na dolnych rogach kartki… Klepnij lewy róg…, klepnij prawy…

134

Odwzorowanie schematu własnego ciała na kartce papieru i umowy dotyczące nazywania jej brzegów i kątów

Weź do ręki długopis i rysuj kreski na kartce tak, jak ci powiem. Najpierw od góry na dół… Teraz z dołu do góry… Z lewego brzegu do prawego… Z prawego do lewego…

17) O kształtowanie tego zakresu kompetencji należało zadbać w przedszkolu, na kilka miesięcy przed rozpoczęciem przez dzieci nauki w szkole. Zapewne dziecko doznające niepowodzeń w nauce matematyki nie miało szczęścia uczestniczyć w takich zaję ciach lub były one nieprawidłowo realizowane.

Przed rozpoczęciem wspomagania dziecka w coraz precyzyjniejszej orientacji przestrzennej trze ba koniecznie nadrobić zaległości z edukacji przedszkolnej, zgodnie ze wskazówkami podanymi w interpretacji w końcowej części wszystkich zadań diagnostycznych. Następnie należy wspoma gać dziecko w orientowaniu się na kartce papieru17. Punktem wyjścia w procesie wspomaga nia dziecka w orientacji przestrzennej na kartce papieru jest umiejętność przenoszenia na dwu wymiarową kartkę papieru doświadczeń gromadzonych w trójwymiarowej przestrzeni. Dlatego pierwsza seria ćwiczeń tego właśnie dotyczy.

8.3. Wspomaganie dzieci w coraz precyzyjniejszej orientacji w zakresie potrzebnym im w pierwszym roku szkolnej edukacji i w latach nastêpnych

Ta seria ćwiczeń – oprócz orientacji na kartce papieru – wyrabia precyzję w wykonywaniu po leceń i gotowość do nauki pisania. Trzeba więc powtórzyć kilka razy opisaną serię i wymyślić podobne19. Początek każdego ćwiczenia dorosły zaznacza kropką w miejscu stykających się kra tek i „dyktuje” trzy sekwencje wzoru, aby dziecko zorientowało się w konwencji i mogło konty nuować kreślenie szlaczków i labiryntów. Do zrealizowania tej serii ćwiczeń potrzebne są kartki papieru w kratkę, zaostrzony ołówek lub długopis zostawiający wyrazisty ślad.

18) Inspiracją do tej serii ćwiczeń były próby diagnostyczne Ł.A. Wengiera (Domaszniaja szkola myszlenija, Izdatielstwo Pedagogi ka, Moskwa 1975), nazwane graficznym dyktandem, służące do badania gotowości dzieci rosyjskich do nauki szkolnej. Wcześ niej – jak twierdzi Wengier – tego typu zadania diagnostyczne stosował słynny A. Łuria w diagnozie uszkodzeń centralnego układu nerwowego. Wzory w tym graficznym dyktandzie są mojego autorstwa, ustaliłam też, że są na miarę sprawności dzieci w szóstym roku życia.

z Grecki wzór. Dziecko siedzi wygodnie przy stoliku, ma przed sobą kartkę papieru (w kratkę) i np. długopis. Dorosły stoi za dzieckiem i zapowiada ćwiczenie:  Rysujemy szlaczek. Zazna czę ci kropką początek… Rysuje kropkę w miejscu stykających się kratek, w lewym górnym rogu kartki (pięć kratek od górnego brzegu, cztery kratki od lewego brzegu kartki). Będę ci mówił, w którą stronę masz rysować kreski. Każda kreska ma długość kratki. Zaczynamy od kropki. Rysuj: jedna kratka w górę…, jedna w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo…, jedna w górę…, jedna w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo…, jedna w górę…, jedna w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo… Dalej potrafisz sam. Dokończ szlaczek…

135 Łączymy rogi. Pokaż palcem lewy górny róg i poszukaj wzrokiem prawego dolnego rogu. Połącz je kreską… Pokaż palcem lewy dolny róg, poszukaj wzrokiem prawego górne go i połącz je… Na rysunku po prawej przedstawiony jest efekt tych ćwiczeń. Jeżeli dziecko jest leworęczne, może wskazywać palcem prawej ręki, a rysować lewą. Ćwiczenie przebiega wów czas tak: Pokaż palcem prawy górny róg… Wzrokiem po szukaj lewego dolnego rogu… Połącz je… Pokaż palcem prawy dolny róg… Poszukaj wzrokiem lewego górnego rogu… Połącz je. W tej serii ćwiczeń dziecko przenosi sens doświadczeń przestrzennych na kartkę papieru i kojarzy je z podany mi umowami. W trakcie przesuwania palcem od brzegu do brzegu, od rogu do rogu kartki wzbogaca słowne polecenia o doświadczenia ruchowe. I o to chodzi.

Kreślenie graficznego dyktanda18 sposobem orientowania się na kartce papieru

19) Nieco inne wzory są podane w cytowanej już książce Starsze przedszkolaki. Jak skutecznie je wychowywać i kształcić w przed szkolu i w domu…, rozdział Wspomaganie rozwoju umysłowego starszych przedszkolaków wraz z edukacją matematyczną

z Wzory w układzie pionowym. Dorosły zwraca się do dziecka: Rysujemy coś innego. Zaczynasz od tej kropki (pokazuje)… Uważaj i rysuj: jedna w dół…, jedna w prawo…, jedna w dół…, dwie w lewo…, jedna w dół…, dwie w prawo…, jedna w dół…, dwie w lewo…, jedna w dół…, dwie w prawo…, jedna w dół… Dalej potrafisz sam. Dokończ… Na rysunku przedstawiony jest wzór rozpoczynający się od skrętu w prawo. Drugi wzór zaczyna się od skrętu w lewo. Dziecko ma narysować jeden i drugi.

136

z Kreślenie jeszcze trudniejszych wzorów. Dorosły zwraca się do dziecka: Rysuj od kropki (po kazuje)… Dwie do góry…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w lewo…, jedna w dół…, dwie w prawo…, dwie do góry…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w lewo…, jedna w dół…, dwie w prawo…, dwie do góry…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w lewo…, jedna w dół… Dalej potrafisz sam. Dokończ szlaczek.

z Skomplikowane wzory. Dorosły zwraca się do dziecka: Zaczynasz rysować od kropki (wskazu je) Rysuj – dwie do góry…, jedna w prawo…, jedna w górę…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo…, dwie w dół…, dwie w prawo…, dwie do góry…, jedna w prawo…, jedna w górę…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo…, dwie w dół…, dwie w prawo…, dwie w górę…, jedna w prawo…, jedna w górę…, dwie w prawo…, jedna w dół…, jedna w prawo…, dwie w dół… Dalej potrafisz sam. Dokończ szlaczek.

32) Dorosły może wspólnie z dzieckiem wykonać małą poziomicę. Na przykład – do czystej, przeźroczystej fiolki trzeba wlać wodę i zakorkować fiolkę. Położyć ją np. na blacie stolika, obserwować położenie bańki powietrza i… oznaczyć kreskami miejsce bańki z powietrzem, gdy pokazuje poziom. Można też postarać się o gotową poziomicę typu szkolnego (są w zestawach po mocy dydaktycznych).

Geometria brył: zalecenia metodyczne wspomagania uczniów w tworzeniu intuicji i zarysów pojęć

Zacznę od zaleceń dotyczących procesu uczenia się, w którym respektuje się zależności pomię dzy działaniem i rozumowaniem. Dorosły i dziecko muszą mieć w zasięgu ręki bryły i przed mioty pomocne w precyzyjnym określaniu ich cech. Przed wspomaganiem ucznia w tworzeniu intuicji i zarysów pojęć geometrycznych trzeba zgromadzić:

y wykonuje żeberkowy model bryły z patyczków i grudek plasteliny; y kreśli siatkę bryły, wycina ją i skleja tak, aby otrzymać jej kartonowy model; y sporządza rysunek geometryczny przedstawiający np. konstrukcję z klocków z podaniem jej realnych wymiarów.

y narzędzia pomocne w precyzyjnym określaniu cech poznawanych brył: mała poziomica32 , pion33, kątownica (węgielnica)34, linijka z podziałką milimetrową, płyta lub grubszy karton z wykreśloną siecią kwadratową 35 (o oczkach wielkości 1 cm2);

35) Może to być gruby karton w kształcie kwadratu lub kwadratowa płyta ze sklejki (o boku około 50 cm) z wykreśloną siecią kwa dratową o oczkach kwadratowych o boku 1 cm.

167

y zwyczajne przedmioty: patyczki, sznurki o ustalonych wymiarach, plastelinę, kartony, no życzki i przeźroczyste taśmy klejące, papier w kratkę, klej, kilkadziesiąt sześciennych klo cków (o boku 1 cm);

34) Wykonanie małej kątownicy jest jeszcze łatwiejsze. Trzeba ze sztywnego kartonu wyciąć kształt prostokąta o wymiarach np. 5 cm × 7 cm, w rogu tego prostokątnego kartonika narysować mniejszy prostokąt (np. o wymiarach 4 cm × 6 cm) i wyciąć go. Kątownica jest gotowa.

y przybory szkolne: ołówki, kredki, nożyczki itd. Z moich doświadczeń wynika, że najlepsze efekty edukacyjne uzyskuje się, gdy dorosły or ganizuje pole uwagi i działania wokół wybranej bryły i stopniowo rozszerza zakres aktywno ści poznawczych dziecka 36. Skłania dziecko do samodzielnego działania, wspiera je, wykonując trudniejsze czynności i jednocześnie odpowiada na jego pytania. Na koniec dziecko opowiada o efektach swoich czynności lub formułuje uogólnienie (także przy wsparciu dorosłego) i wspól nie z dorosłym:

36) W literaturze dotyczącej procesu kształcenia matematycznego nie znalazłam ustaleń dotyczących epizodów organizowania wspólnego pola uwagi i działania. Natomiast w publikacjach dotyczących rozwoju umysłowego dzieci (zwłaszcza mowy) coraz częściej wskazuje się na skuteczność edukacyjną epizodów wspólnego zaangażowania (wspólne pole uwagi i działania) i roz szerzania aktywności poznawczych na miarę strefy najbliższego rozwoju. Por. H.R. Schaffer, Rozwój języka w kontekście ([w:] Dziecko w zabawie i świecie języka, red. A. Brzezińska, T. Czuba, G. Lutomski, B. Smykowski, Wydawnictwo Zysk i S-ka, Poznań 2002), H.R. Schaffer, Psychologia dziecka…, (rozdziały 7 i 8). Taki sposób opisania procesu uczenia się przedstawiam w pub likacji Jak w społecznym uczeniu się małe dzieci korzystają z naśladownictwa i modelowania. Naśladownictwo i modelowanie w zabawach równoległych w żłobku i w przedszkolu, [w:] Wspomaganie rozwoju i wychowywanie małych dzieci. Podręcznik dla rodziców, opiekunów w żłobkach i nauczycieli w przedszkolach…

y bryły: sześcian, prostopadłościan, walec, stożek i kulę. Mogą być to klocki z drewna lub pla stiku (np. ze styropianu) o podanych kształtach. Ważne, żeby były tak duże, aby z trudem mieściły się w dłoni dziecka;

33) Wykonanie pionu także nie jest trudne: wystarczy mały ciężarek (np. uformować z modeliny mały stożek z uszkiem ze sznurka, całość… ugotować) umocować na końcu cienkiego sznurka.

Ważne są rozmowy towarzyszące takiej działalności. Dorosły nie tylko obdarza uwagą dzie cko i wspiera je w działaniu, lecz także prowokuje do słownego przedstawiania przemyśleń i za dawania pytań, odpowiada na nie i wyjaśnia wątpliwości.

Sześcian: intuicje i zarysy pojęć

37) Na tej i następnej fotografii są przedstawione układanki ułożone przez dzieci.

168

„ Intuicyjne ustalanie własności sześcianu. Dziecko i do rosły mają po sześciennym klocku. Oglądają palcami pod kontrolą wzroku ścianki klocka i ustalają, że są podobne w kształcie i wielkości. Dorosły pyta o kształt ścian bry ły, dziecko stwierdza: Są kwadratowe (wszak posługuje się słowem kwadrat). Liczą ścianki i ustalają, że klocki mają po sześć takich ścian. Dorosły stwierdza:  Dlatego klocek, który ma wszystkie ściany w kształcie kwadratów, nazywamy sześcianem . Taki klocek jest bryłą sześcien ną. Można powiedzieć krótko: sześcian . Następnie dorosły i dziecko zajmują się krawędziami sześcianu. Wodzą po nich palcami: stawiają bryłę na sto le, liczą górne krawędzie (jest ich cztery), dolne krawędzie (jest ich także cztery) i boczne krawę dzie (ich też jest cztery). Razem jest dwanaście krawędzi. Ujmują sześcian dłonią i palcami pod kontrolą wzroku oglądają miejsca stykania się krawędzi. Dorosły wyjaśnia, że są to wierzchołki Dziecko liczy je i ustala, że jest ich osiem.

z Układanka pierwsza . Dorosły zwraca się do dziecka: Każdy z nas weźmie dziewięć małych klocków sześcien nych… Będziemy z nich układać małe sześciany na planszy tak, aby stykały się ścianami. Możliwości jest sporo, na fotografii po prawej są przedstawione tego typu układanki 37 Dziecko sprawdza, czy wszystkie sześciany ułożone na planszy stykają się ściankami z innymi sześciana mi oraz które sześciany stykają się z innymi sześcia nami jedną ścianką, dwiema ściankami oraz większą liczbą ścianek. Na koniec dziecko ma zauważyć – przy

Na koniec jeszcze kilka uwag organizacyjnych. Wprowadzenie dzieci w świat geometrii brył przedstawiam w formie krótkich opisów zajęć. Nie oznacza to jednak, że dorosły ma kopiować opisane zajęcia. Wystarczy, aby respektował podane reguły metodyczne.

„ Układanki z sześcianów – seria sytuacji zadaniowych. Dorosły i dziecko mają do dyspozycji pięćdziesiąt małych klocków w kształcie sześcianów (o boku 1 cm) oraz planszę z siecią kwa dratową (oczka to kwadraty o boku 1 cm). Dorosły zapowiada:  Będziemy układać sześciany na planszy w specjalny sposób.

„ Sześcian. Mierzenie krawędzi. Dorosły zwraca się do dziecka:  Potrafisz już mierzyć długość z dokładnością do milimetra, zmierzysz krawędzie sześcianu. Zapiszę wynik pomiaru. Dziecko mierzy wybraną krawędź, podaje wynik pomiaru, dorosły zapisuje i zastanawia się: Czyż by krawędzie sześcianu miały tę samą długość? Sprawdź to. Dziecko mierzy kilka następnych i stwierdza:  Krawędzie są tej samej długości. Dorosły pokazuje mu prostopadłościan i jego krawędzie… Radzi:  Musisz dodać – krawędzie sześcianu, bo w tej bryle krawędzie już nie są tej samej długości. Dziecko skorygowało wcześniejsze uogólnienie: Krawędzie sześcianu są tej samej długości.

„ Sześcian. Ile naroży ma ta bryła? Dorosły zwraca się do dziecka: Zajmujemy się rogami sześcianu. Oglądamy je palcami… Nazywa się je narożami sześcianu. Oznaczymy je grudkami plasteliny i policzymy je. Jest to pokazane na fotografii obok.

169 małej sugestii dorosłego – że wymiar kratek na planszy pasuje do wymiaru ścianek małych sześcianów. Że można też ustalić – licząc kratki na planszy – jaką przestrzeń zajmują małe ułożone sześciany w danej układance.

z Układanka druga. Dorosły zwraca się do dziecka:  Te raz będziemy układać sześciany inaczej. Mogą się sty kać tylko krawędziami. Na fotografii po prawej poka zane jest kilka sposobów takiego ułożenia sześcianów. Tak, jak poprzednio dziecko sprawdza, czy wszystkie sześciany ułożone na planszy stykają się krawędzia mi. Ustala też, które sześciany stykają się z innymi sześcianami jedną krawędzią, dwoma krawędziami, trzema, a nawet czterema krawędziami. W trakcie tej układanki dziecko upewniło się, że wy miar kratek na planszy pasuje do wymiaru ścianek ma łych sześcianów.

wspomaganieSześcian: dziecka w tworzeniu zarysów pojęć

Potrzebne są dwa większe sześciany, kartonowe pudełko o kształcie sześcianu, kątownica, linij ka z podziałką milimetrową, patyczki, plastelina, papier w kratkę, ołówek, nożyczki i przeźro czysta taśma klejąca.

Dorosły i dziecko ustalają, że u góry sześcianu są cztery naroża, a u dołu także cztery – razem osiem naroży. Oglą dają mniejsze klocki w kształcie sześcianu, dotykają naro ży i liczą je… Na koniec dziecko – przy niewielkiej pomo cy dorosłego – formułuje uogólnienie:  Sześciany mają po osiem naroży.

„ Sześcian. Pod jakim kątem stykają się jego ściany? Do rosły zwraca się do dziecka: Co wiemy o ścianach tej bry ły? Dziecko spogląda na ściany sześcianu i stwierdza: Są kwadratami! Dorosły potwierdza:  Tak. Są kwadratami i stykają się w krawędziach tej bryły. Ustalimy, pod jakim kątem się stykają. Pomoże nam w tym kątownica. Oglądają kątownicę, dorosły wyjaśnia, że jest to narzędzie, którym posługuje się każdy budowniczy, dbając o to, aby ściany w budynkach stykały się pod kątem prostym38. Ką townica jest narzędziem do ustalania, które kąty są pro ste, a które takie nie są 39. Okazuje się, że ustalenie, pod jakim kątem stykają się ściany sześcianu, jest proste: wy starczy przyłożyć kątownicę do krawędzi bryły tak, aby jej ramiona stykały się ze ścianami.

40) Fotografie przedstawiają sześciany ułożone przez dzieci.

Po dokonaniu kilku pomiarów kątów dziecko – przy niewielkiej pomocy ze strony dorosłego –formułuje uogólnienie: W sześcianach ściany stykają się w krawędziach pod kątem prostym. z Układanie małych sześcianów tak, aby tworzyły większy sześcian. Dorosły zwraca się do dzie cka: Postaraj się zbudować na planszy z siecią kwadratową duże sześciany z małych sześciennych klocków. Najpierw z ośmiu małych klocków, potem z większej liczby klocków. Na fotografiach przedstawiony jest sześcian ułożony z ośmiu mniejszych sześciennych klocków oraz sześcian ułożony z dwudziestu siedmiu mniejszych sześciennych klocków40.

39) Jeżeli dziecko jest zainteresowane, dorosły pokazuje gestami i wyjaśnia: To są kąty ostre (pokazuje, że mieszczą się w kącie pro stym), a te kąty nazywamy rozwartymi (pokazuje, że wychodzą poza zakres kąta prostego). Na tym etapie kształcenia wystarczy intuicyjne rozumienie kątów. W następnych latach szkolnej edukacji dziecko stworzy zarys pojęcia kąt i ustali, czym się mierzy kąty, jakie są wymiary kątów ostrych, prostych i rozwartych.

38) Jeżeli dziecko chce sprawdzić, czy ściany w pokoju stykają się pod kątem prostym, dorosły zachęca i pokazuje, w jaki sposób można się o tym przekonać.

Na koniec dziecko wspólnie z dorosłym ustala, że sześciany zbudowane z mniejszych klocków sześciennych mają także po sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków.

170

1) Zależności pomiędzy rozumowaniem operacyjnym na poziomie konkretnym (w sensie Piageta) wyjaśniłam w pierwszej części tej książki. Rozumowania dzieci realizowane w trakcie podobnych eksperymentów omawiają J. Piaget i B. Inhelder (Operacje umysłowe i ich rozwój…, s. 94–97), J.S. Bruner (Poza dostarczone informacje. Studia z psychologii poznawania…, s. 562–572), E. Gruszczyk-Kolczyńska, E. Zielińska, Nauczycielska diagnoza edukacji matematycznej dzieci. Metody, interpretacje i wnioski…, s. 102–108), Dziecięca matematyka – dwadzieścia lat później…, rozdział Mierzenie płynów.

O rozumieniu sensu pomiaru płynów decyduje to, co dziecko sądzi o ilości np. wody, gdy po przelaniu do innego naczynia wydaje się jej więcej lub mniej1. Można to ustalić w trakcie prostego eksperymentu2: plastikową butelkę z nakrętką (bez etykiety, o objętości ½ litra) trzeba napełnić wodą do wysokości 1/3 i zabarwić kroplą tuszu, odrobiną farby lub mleka3. Dorosły stawia butel kę z zabarwioną wodą przed dzieckiem i mówi: Zakręć butelkę i sprawdź, czy woda się nie wylewa… Przyjrzyj się wodzie… Ile jest jej w butelce?… Wolniutko przewracaj butelkę i obserwuj, co się dzieje z wodą.

3) Ułatwi to dziecku obserwację zmian w wyglądzie wody.

11. Pomiar p³ynów. Wspomaganie dzieci w rozumieniu pomiaru p³ynów i pos³ugiwaniu siê umiejêtnoœci¹ mierzenia, np. wody, w sytuacjach ¿yciowych i szkolnych zadaniach

2) Eksperyment ten jest opisany (wraz z interpretacją) w cytowanej już publikacji Dziecięca matematyka – dwadzieścia lat póź niej…, s. 162. Nieco inne eksperymenty diagnostyczne służące do rozeznania, jak dzieci rozumują w zakresie ustalania stałości płynów, są opisane w publikacji: E. Gruszczyk-Kolczyńska, E. Zielińska, Nauczycielska diagnoza edukacji matematycznej dzieci. Metody, interpretacje i wnioski…, rozdział 5.3.

Dziecko obserwuje zmianę w wyglądzie wody w butelce. Na rysunku przedstawiony jest sche mat tego eksperymentu (strzałka pokazuje zmianę położenia butelki):

195

11.1. Jak dzieci ucz¹ siê mierzenia p³ynów. Krótko o wadach szkolnego kszta³towania u dzieci umiejêtnoœci mierzenia p³ynów

trzeba koniecznie organizować dziecku serie zajęć sprzyjających wnioskowaniu o sta łości ilości płynów, mimo obserwowania zmian sugerujących, że jest ich więcej lub mniej. Do piero potem można wspomagać je w pojmowaniu sensu pomiaru i kształtować umiejętność mie rzenia płynów. Zwieńczeniem tego złożonego procesu jest układanie i rozwiązywanie zadań, których rozwiązanie wymaga stosowania obliczeń rachunkowych z uwzględnieniem jednostek pomiaru płynów.

Dorosły pyta: Czy teraz – gdy butelka leży – jest tyle samo wody, ile było poprzednio? Nie nale ży się dziwić, gdy dziecko odpowie: Teraz wody jest mniej (obserwowało słupek wody) lub Wody jest teraz więcej (popatrzyło na powierzchnię, a nie na wysokość słupka wody). To, że własnoręcz nie zakręciło butelkę, aby nic się z niej nie wylało, nie ma znaczenia w jego rozumowaniu.

Zapewne kilkoro dzieci będzie rozumowało na poziomie zwanym przejściowym. Nie po trafią jeszcze w wyobraźni kompensować zmiany wywołanej zmianą w położeniu butelki i chcą posłużyć się odwróceniem wprowadzonej zmiany w działaniu. Zaniepokojone pytają, czy mogą postawić butelkę. Jeżeli im się zezwoli, stawiają ją i stwierdzają np. Teraz jest tyle, ile było. Takie zachowania zapowiadają, że niedługo zaczną w tym zakresie rozumować operacyjnie na pozio mie konkretnym w zakresie ustalania stałości ilości płynów.

Zdecydowana większość dzieci przedszkolnych i uczniów klasy I rozumuje na poziomie przedoperacyjnym odnośnie do wnioskowania o stałości płynów. Kierują się obserwacją po wierzchni (lub słupka) wody i twierdzą, że po każdej zmianie położenia butelki wody jest albo więcej, albo mniej. Niestety, dzieci te nie potrafią jeszcze pojąć sensu pomiaru płynów i doznają niepowodzeń w szkolnej edukacji matematycznej.

196

Wydawać by się mogło, że w korzystniejszej sytuacji są dzieci wychowywane na wsi – mają przecież więcej okazji do gromadzenia doświadczeń w przelewaniu wody z naczynia do naczynia w trakcie zabaw z wodą, podlewania roślin, pojenia zwierząt itd. Mimo to mają one także sporo kłopotów z wnioskowaniem o stałości ilości np. wody. Paradoks ten można wyjaśnić następująco –zabawom z wodą towarzyszy sporo silnych doznań: uczucie zimnej wody, niewygoda zmoczone go ubrania, wsiąkanie („znikanie”) rozlanej wody, bulgotanie wody wylewanej z butelki itd. Dzie ci koncentrują się na tych doznaniach i nie zwracają uwagi na zmianę wyglądu wody po przelaniu z jednego naczynia do drugiego. Zaś dorośli rzadko uczestniczą w dziecięcych zabawach z wodą, a jeszcze rzadziej potrafią we właściwym momencie zadać pytanie i pokierować rozumowaniem dziecka.Dlatego

Wśród starszych przedszkolaków i uczniów klasy I zdarzają się dzieci, które twierdzą: Wody jest tyle samo. Potrafią w wyobraźni kompensować efekt wywołany zmianą położenia butelki z wodą. Dlatego mogą wnioskować o stałej ilości wody, mimo obserwowanych zmian sugerują cych, że może być jej – po zmianie położenia butelki – więcej lub mniej. A to oznacza, że w tym zakresie rozumują już operacyjnie na poziomie konkretnym (w sensie Piageta).

Problem jest bardzo poważny, gdyż dzieci – zwłaszcza miejskie – mają rażąco mało okazji do gromadzenia doświadczeń logicznych, które są im potrzebne do wnioskowania o stałości ilości płynów w trakcie ich przelewania. Rodzice nie akceptują dziecięcych zabaw z wodą z obawy, że… dziecko nachlapie, zmoczy ubranie i się przeziębi itd. Rzadko zezwalają dziecku np. na rozlewa nie wody do kubków, bo… trzeba będzie sprzątać.

Żeby ustalić, czy i w jakim stopniu prawidłowości te są respektowane w szkolnej edukacji dzieci, analizowałam pakiety edukacyjne, z których korzystają nauczyciele w klasach I–III. Sku piłam się na zadaniach, które mają sprzyjać kształtowaniu umiejętności mierzenia płynów. Na tej podstawie formułuję wnioski dotyczące – niestety – poważnych uchybień szkolnego kształ cenia dzieci. Przedstawię ważniejsze z nich, gdyż – mam taką nadzieję – pomogą dorosłym sku teczniej kierować kształtowaniem wiadomości i umiejętności matematycznych dziecka z niepo wodzeniami w nauce w tym zakresie matematycznego kształcenia. Krytycznie o szkolnych sposobach kształtowania wiadomości i umiejętności w zakresie pomiaru płynów Główną wadą jest to, że polecenia i zadania z tego zakresu kształcenia są opracowane tak, że nauczyciele mogą je realizować w konwencji papierowej matematyki. Większość zadań – cza sami wszystkie – zawartych w pakietach edukacyjnych dla klas początkowych zawiera bowiem tak dokładne obrazkowe instrukcje, że można je rozwiązywać bez działań w trójwymiarowej rzeczywistości. Oto przykład: W zadaniu jest polecenie, żeby dzieci napełniały szklanki wodą z naczynia o pojemności 1 litra, a potem ustaliły, do ilu szklanek zostanie rozlana woda. Zada nie to jest jednak opatrzone obrazkiem przedstawiającym dziecko, które już napełniło cztery szklanki wodą z butelki z napisem:  1 l . Wystarczy więc spojrzeć na obrazek i zadanie… jest rozwiązane.Dlauzasadnienia stwierdzenia, że zadania zawarte w analizowanych podręcznikach są na gminnie rozwiązywane w konwencji papierowej matematyki, spytałam uczniów klas I, II i III z kilku szkół:

197

Czy w szkole na zajęciach z matematyki oglądałeś naczynia o różnej pojemności?…

Czy nalewaliście wodę do butelek i przelewaliście ją do innych naczyń?

Wszyscy stwierdzali:  Nie… Po co?… Są narysowane w książce. Potwierdza to moje rozezna nie – drobiazgowo ilustrowane zadania zawarte w podręcznikach skłaniają nauczycieli do prowa dzenia zajęć w stylu papierowej matematyki.

Sporo poważnych wątpliwości budzi maniera podawania uczniom informacji do zapamię tania stosowana w pakietach edukacyjnych. Takie informacje znajdowały się „od zawsze” w ucz niowskich podręcznikach do nauki matematyki: były umieszczane w ramkach i każdy uczeń wiedział, że są sformułowane przez dorosłych autorów, a więc ważne i godne zapamiętania. Pod wpływem krytyki nauczania podającego w pakietach edukacyjnych zmieniono… tylko graficzny sposób podawania uczniom gotowych informacji do zapamiętania. Przedstawia się tam sylwet kę dziecka, a w chmurce wpisuje się ważną informację, np.  W dwóch półlitrowych naczyniach mieści się jeden litr soku… Gdy przeleję litr soku po równo do czterech takich samych szklanek, to w każdej będzie ćwierć litra. Problem w tym, że taki sposób podawania uczniom informacji do zapamiętania:

y jest nadal przejawem nauczania podającego. Niczego nie zmienia graficzna sugestia, że dzie cko podaje tę informację (sugeruje to zapis w chmurce), gdyż uczeń ma ją zapamiętać i sto sować;

y wpycha zdolniejszych uczniów w poczucie winy, bo nie potrafią sami sformułować informa cji, która wywodzi się z praktycznej działalności, nie bacząc, że realizowanie zadań w kon wencji papierowej matematyki temu nie sprzyja.

Wspomaganie dzieci w rozumieniu sensu mierzenia płynów trzeba rozpocząć od zorganizowa nia dziecku kilku sytuacji zadaniowych4 sprzyjających wnioskowaniu o stałości ilości płynów, chociaż po przelaniu wydaje się go więcej lub mniej.

z W których butelkach jest więcej wody, a w których mniej? Trzeba przygotować pięć butelek plastikowych (przeźroczystych, bez naklejek) z pasującymi zakrętkami, dzbanek z zabarwio ną wodą, lejek. Dorosły ustawia na stole w szeregu butelki. Wlewa do nich zabarwioną wodę, tak że w jednej butelce jest wody mniej, a w innej więcej. Ważne, aby butelki znajdowały się na wysokości wzroku dziecka. Może to wyglądać tak, jak na rysunku:

11.2. Wspomaganie dzieci w rozumieniu sensu mierzenia p³ynów, kszta³towanie umiejêtnoœci pomiaru p³ynów oraz stosowanie tych kompetencji w sytuacjach ¿yciowych i szkolnych zadaniach matematycznych

Ponadto w analizowanych pakietach edukacyjnych nieudolnie wspomaga się dzieci we wnio skowaniu o stałości ilości płynu mimo zmian, że po przelaniu do innego naczynia wydaje się go mniej lub więcej. Oglądanie narysowanych pojemników z płynami o różnym kształcie oraz informacje typu po przelaniu z jednego naczynia do drugiego, np. soku, jest go tyle samo to kiepska namiastka realnych doświadczeń.

4) Niektóre z tych sytuacji zadaniowych zostały opisane w cytowanej już publikacji Dziecięca matematyka – dwadzieścia lat póź niej…, w podrozdziale 11.2. Ponieważ przyniosły zadziwiające efekty edukacyjne – organizowałam je też w ramach zajęć dydak tyczno-wyrównawczych, w których uczestniczyły dzieci z niepowodzeniami w nauce matematyki. Ponieważ i tutaj okazały się skuteczne, umieściłam je także i w tej publikacji.

y narusza normy zwyczajnej pedagogicznej uczciwości: informacje te są sformułowane w ję zyku dorosłych, bystrzy uczniowie się w tym orientują i coraz mniej ufają temu, co przedsta wiają obrazki w edukacji matematycznej;

198

13.3.2. Metoda rytmicznej organizacji czasu, korzystanie z kalendarzy oraz proste obliczenia kalendarzowe

W metodzie nazwanej rytmiczną organizacją czasu11 korzystam z wrodzonej u dzieci zdolności do wychwytywania tego, co się powtarza (regularności). Zdolność do dostrzegania regularności i korzystania z nich w rozumowaniu jest nośnikiem inteligencji i warunkuje sukcesy we wszyst kich zakresach edukacji matematycznej. Umożliwi więc dziecku rozumienie umów dotyczących pomiaru czasu w kalendarzach, bez konieczności wnikania w niedziesiątkowe systemy licze nia. Metodę tę przedstawię w formie dostosowanej do potrzeb dzieci, które doznają niepowodzeń w nauce matematyki. Dorosłym zależy przecież na tym, aby możliwie wcześnie je pokonały i za częły korzystać z edukacji szkolnej. Metoda rytmiczna organizacja czasu Zacząć trzeba od wdrażania dziecka do dostrzegania regularności i przekładania ich z jednej reprezentacji na inną. Jest to seria króciutkich zadań, w których dziecko wychwytuje regular ności i z nich korzysta. Przypominam, że dziecko dostrzeże regularność, jeżeli dorosły ułoży co najmniej trzy sekwencje rytmu (np. z płaskich klocków o różnych kształtach i kolorach) i zachę ci do kontynuowania rytmu, mówiąc: Dalej układaj sam.

z Seria zadań: dostrzeganie i kontynuowanie rytmu w układanych szlaczkach. Potrzebne są pła skie klocki o kształtach i kolorach przedstawionych na zdjęciu. W trzech zadaniach z tej serii dorosły układa z płaskich klocków początek szlaczka (trzy sekwencje) tak, jak na zdjęciu. Potem zwraca się do dziecka: Dalej układaj sam… Wzorcowe szlaczki są przedstawione na fotografii:

11) Opis tej metody w wersji dostosowanej do edukacji przedszkolnej znajduje się w wielokrotnie cytowanej już publikacji Dzie cięca matematyka – dwadzieścia lat później…, s. 174–183, natomiast opis w wersji dostosowanej do edukacji matematycznej realizowanej w klasie I można znaleźć w publikacji Edukacja matematyczna w klasie I…, s. 192–194.

Wystarczy, że dziecko w każdym zadaniu ułoży następne trzy sekwencje rytmu. Gdy się z tym upora, trzeba je pochwalić i polecić mu wskazywanie kolejnych klocków i odczytanie ułożo nego rytmu, np. kółko – trójkąt – paseczek – kółko – trójkąt – paseczek – kółko – trójkąt – pase czek… Dodam, że dostrzeżenie regularności w układanym rytmie z klocków i kontynuowanie go jest łatwe nawet dla sześciolatka. Trzeba te zadania zrealizować z dziećmi starszymi, gdyż stanowią łagodne wprowadzenie do opanowania następnych, znacznie trudniejszych treści.

225

z Rytm bicia serca dziecko przedstawia, układając rytmicznie płaskie klocki, a potem rytm uło żony z klocków stara się wystukać lub zaśpiewać. Zadanie to ma następujący przebieg:

y w pierwszym zadaniu: a) dorosły wystukuje rytm, dziecko słucha i kontynuuje go (wystukuje) przez chwilkę, b) wychwycony słuchem rytm dziecko przekłada na rytm ułożony z płaskich klocków (szlaczek);

Po takim przygotowaniu w przekładaniu regularności z jednej reprezentacji na inną można przystąpić do uświadamiania dziecku regularności występujących w czasie.

226

z Dni i noce – ich stałe następstwo. Do zorganizowania tej serii zadań potrzebne są małe, kar tonowe, białe i granatowe kółka (mogą to być także małe, jednorodne ciemne i jasne klocki) oraz wycięte z szarego papieru pierścienie tak, jak na fotografii:

Trzy serie zadań: przekładanie regularności z jednej reprezentacji na drugą

z Wystukany rytm dziecko układa z płaskich klocków12 i odwrotnie – rytm ułożony z płaskich klocków ma wystukać. Są to dwa zadania:

12) Mogą to być też płytki plastikowe, np. z mozaiki geometrycznej.

y w drugim zadaniu: a) dorosły układa rytm z płaskich klocków (trzy sekwencje) w formie szlaczka, dziecko kontynuuje układanie szlaczka, tworząc jeszcze co najmniej trzy sekwen cje rytmu, b) następnie wystukuje rytm wyrażony układem płaskich klocków w szlaczku.

y dziecko podskakuje energicznie kilka razy, układa dłonie tak, aby odczuć i wsłuchać się w rytm bicia swojego serca; y układa rytm bicia serca z płaskich klocków w formie szlaczka; y przedstawia rytm ułożony z klocków, stukając (może go też zaśpiewać).

z Rytm wyrażony ruchem (pląsy) dziecko układa z płaskich klocków i odwrotnie – rytm uło żony z płaskich klocków ma wyrazić ruchem, pląsając. Są to także dwa zadania: y w pierwszym zadaniu: a) dorosły pokazuje ruchem układ rytmiczny (pląsy), dziecko patrzy i przez chwilkę kontynuuje ten układ ruchowy, b) rytm ten dziecko przekłada na rytm uło żony z płaskich klocków (szlaczek); y w drugim zadaniu: a) dorosły układa rytm z płaskich klocków (trzy sekwencje) w formie szlaczka, dziecko kontynuuje układanie szlaczka, tworząc jeszcze co najmniej trzy sekwen cje rytmu, b) następnie ma wyrazić rytm ułożony z płaskich klocków (szlaczek) i w ukła dzie rytmicznym (pląsy).

Dorosły kładzie przed dzieckiem pierścień wycięty z szarego papieru oraz granatowe i białe kółka. Stwierdza: Dowiemy się, jak to jest z dniem i nocą.

Od jakiego dnia zaczyna się tydzień?

Dowiemy się, jak to jest z dniami tygodnia.

Słoneczko wstało, zaczyna się dzień (kładzie białe kółeczko na kartonowym pierścieniu). Gdy zachodzi, dzień się kończy. Jest coraz ciemniej, zaczyna się noc (do białego kółeczka dokłada granatowe).

Noc się kończy, bo słoneczko wstało, zaczyna się dzień (dokłada białe kółeczko). Gdy zacho dzi, dzień się kończy. Jest coraz ciemniej, zaczyna się noc (dokłada granatowe kółeczko).

z Tydzień jako siedem kolejnych dni (od poniedziałku do niedzieli) oraz tydzień jako siedem dni, niezależnie od którego dnia zaczyna się liczyć. Nieco bardziej skomplikowane jest uświa domienie dziecku rytmicznej organizacji dni w tygodniu. Musi przecież zapamiętać nazwy dni tygodnia i wymienić je we właściwej kolejności – bo tydzień to siedem kolejnych dni, po cząwszy od poniedziałku, do niedzieli włącznie. Trzeba dziecku także przybliżyć drugie zna czenie pojęcia tydzień: jest to też okres równy siedmiu dniom, niezależnie od którego dnia zacznie się je liczyć.

Do realizacji tej serii zajęć trzeba przygotować: a) pierścienie wycięte z szarego papieru (z po przedniego zadania), b) wąskie karteczki z zapisanymi nazwami dni tygodnia (cztery kom plety po siedem karteczek, na każdej karteczce jeden dzień).

Zaczynamy układać kalendarz na kartonowym pierścieniu (pokazuje go).

227

Dorosły i dziecko odczytują ułożony kalendarz, akcentując przemienność dni i nocy: wska zują ciemne i jasne kartoniki, mówiąc: dzień – noc – dzień – noc itd. Bywa, że dziecko dostrze ga ciągłość czasu, stwierdzając np. Zawsze po nocy następuje dzień, a po dniu przychodzi noc Jest to dziecięce rozumienie nieskończoności.

Dorosły kładzie przed dzieckiem okrąg wycięty z szarego papieru oraz wąskie karteczki z na zwami dni tygodnia i wyjaśnia:

Dalej potrafisz sam. Układaj kalendarz. Ma się składać z dni i nocy… Oto przykłady kalendarzy ułożonych z kartoników o różnym kształcie:

Noc się kończy, bo słoneczko wstało, zaczyna się dzień (dokłada białe kółeczko). Gdy sło neczko zachodzi, dzień się kończy. Jest coraz ciemniej, zaczyna się noc (dokłada granatowe kółeczko).

2 1 6 5776 5 4 3 71265 4 3 4 3 52176 4 3 2 1

Dorosły proponuje dziecku: Sprawdzamy, czy kalendarz jest dobrze ułożony. Pokaż karteczkę z nazwą dnia, od którego rozpoczyna się tydzień. Dziecko pokazuje karteczkę z napisem po niedziałek i razem z dorosłym sprawdza kolejność dni (na rysunku pokazują to strzałki). Po odliczeniu siedmiu dni na karteczce zaczynającej następny tydzień będzie napis poniedzia łek . I znowu trzeba odliczyć siedem dni itd. Wniosek stąd taki – tydzień to siedem kolejno wymienionych dni, licząc od poniedziałku. Takie znaczenie tygodnia nie budzi dziecięcych Dorosłyzastrzeżeń.pyta

więc:  Czy tydzień może się zacząć w środę? Dziecko zapewne będzie protesto wać. Dorosły wskazuje karteczkę z napisem środa, dziecko odlicza siedem dni. Na karteczce z dniem zaczynającym nowy tydzień jest napis środa. Trzeba więc odliczyć siedem dni, aby dziecko znowu zobaczyło karteczkę z napisem środa zaczynającą nowy tydzień itd. Z moich doświadczeń wynika, że w podobny sposób trzeba było analizować po kolei pozostałe dni tygodnia, aby dziecko przyjęło do wiadomości, że tydzień może się także zacząć w każ dym dniu tygodnia, ale musi obejmować siedem dni. Bez akceptacji tej regularności dziecko nie będzie potrafiło wykonywać obliczeń kalendarzowych.

z Miesiące w roku. Rok jako dwanaście kolejnych miesięcy od stycznia do grudnia i rok jako dwanaście miesięcy, niezależnie od którego miesiąca zaczyna się je liczyć. Równie skom plikowane jest uświadomienie dziecku rytmicznej organizacji miesięcy w roku. Musi też za pamiętać nazwy miesięcy i wymienić je we właściwej kolejności – bo rok składa się z kolejno wymienionych miesięcy, poczynając od stycznia. Następnie trzeba dziecku przybliżyć drugie znaczenie pojęcia rok: jest to okres równy dwunastu miesiącom, niezależnie od którego mie siąca zacznie się je liczyć.

Dziecko zapewne wymieni poniedziałek . Dorosły umieszcza na pierścieniu karteczkę z na pisem poniedziałek . Następnie wspólnie z dzieckiem układa karteczki z kolejnymi dniami tygodnia tak, aby na okręgu zmieściły się cztery komplety takich karteczek (cztery tygo dnie). Kalendarz jest gotowy.

228