Pozwolmy dzeciom myslec by Joanna Apanasewicz

Mirosáaw Dąbrowski

Pozwólmy dzieciom myĞleü! O umiejĊtnoĞciach matematycznych polskich trzecioklasistów Wydanie II zmienione

Warszawa 2008

Autor ksiąĪki: Mirosáaw Dąbrowski Opracowanie graficzne: Stefan Drobner Recenzent: dr hab. Dorota Klus-StaĔska, prof. UWM Redaktor jĊzykowy: Sylwia Dorcz Wydawca: Centralna Komisja Egzaminacyjna Warszawa 2008 ISBN 83-7400-238-7

SPIS TREĝCI Wprowadzenie

Struktura systemu dziesiĊtnego Najpierw sens, potem symbol Zobaczyü strukturĊ na wáasne oczy Cyfra czy liczba? Rozpakowaü woreczek?

7 10 12 16 17

Obliczenia proste i záoĪone Pozorne uáatwienie metodyczne Czy warto siĊ spieszyü?

20 29 31

Stosowanie róĪnych strategii liczenia W róĪnorodnoĞci siáa Zamiast trudnego – áatwe Którą strategiĊ wybraü? Pomóc trochĊ losowi Niespodziewane korzyĞci Rzut oka w przyszáoĞü

34 40 43 44 45 48 49

Stosowanie algorytmów dziaáaĔ pisemnych Czy to musi byü ten algorytm? Z pamiĊci na papier? Przez analogiĊ z dodawaniem? A moĪe dwa algorytmy? Cel czy narzĊdzie?

51 59 63 65 68 70

Rozwiązywanie zadaĔ tekstowych Pora na kilka szkodliwych stereotypów Próbuj i wyciągaj wnioski Czasami wystarczy rysunek, wiĊc rysuj! Zrób tabelkĊ Co wynika z tego tekstu?

73 88 94 97 102 105

Obliczanie obwodu prostokąta Trudna czy áatwa? Przede wszystkim dobre modele Matematyczne eksperymenty?

107 111 113 114

Dostrzeganie i stosowanie prawidáowoĞci A to matma wáaĞnie!

116 128

Rozwiązywanie problemów Co uczeĔ miaá na myĞli?

133 138

Analfabetyzm czy alfabetyzm matematyczny?

141

WPROWADZENIE Pod koniec 2005 r. Centralna Komisja Egzaminacyjna uruchomiáa, wspóáfinansowany przez Europejski Fundusz Spoáeczny, projekt pod tytuáem: Badanie podstawowych umiejĊtnoĞci uczniów trzecich klas szkoáy podstawowej. Celem tego projektu byáo zebranie informacji na temat rzeczywistego zakresu oraz poziomu opanowania podstawowych umiejĊtnoĞci przez uczniów koĔczących I etap ksztaácenia, a takĪe czynników Ğrodowiskowych i edukacyjnych, wpáywających na te umiejĊtnoĞci. Na przeáomie maja i czerwca 2006 r. w 137 szkoáach na terenie caáej Polski przeprowadzono seriĊ testów osiągniĊü szkolnych, w których uczestniczyáo prawie 2500 trzecioklasistów. Uczniowie otrzymali do rozwiązania áącznie siedem zestawów zadaĔ – trzy testy dotyczące umiejĊtnoĞci jĊzykowych oraz cztery testy badające umiejĊtnoĞci matematyczne. Pozwoliáo to zebraü informacje nie tylko o poziomie poszczególnych badanych umiejĊtnoĞci w skali caáego kraju, ale takĪe o bardziej lub mniej typowych sposobach rozumowania uczniów – zarówno w kategorii rozwiązaĔ poprawnych, jak i báĊdnych. Pod koniec paĨdziernika 2006 r. w ramach projektu przeprowadzono badanie dodatkowe, którym objĊto ponad 400 uczniów klas czwartych – uczestników badania trzecioklasistów sprzed prawie piĊciu miesiĊcy. Jego celem byáa próba oceny, w jakim stopniu w tym okresie ulegáy zmianie niektóre waĪne matematyczne umiejĊtnoĞci uczniów. CzwartoklasiĞci otrzymali dwa zestawy zadaĔ matematycznych, wĞród których znalazáa siĊ czĊĞü zadaĔ z testów wykorzystanych w badaniu w klasach trzecich. Zadania przedstawiono dzieciom w niezmienionej postaci lub teĪ róĪniące siĊ od pierwowzoru jedynie wykorzystywanymi liczbami. W badaniu klas czwartych wziĊáy udziaá te szkoáy z badania zasadniczego, których dyrektorzy wyrazili na to zgodĊ – w wiĊkszoĞci byáy to szkoáy wiejskie. Sposób doboru szkóá sprawiá, Īe próba ta nie jest reprezentatywna dla polskiego systemu edukacji, jednak i tak porównanie wyników obu testów dostarcza ciekawego materiaáu do rozwaĪaĔ. W niniejszym opracowaniu chcemy zaprezentowaü wyniki badaĔ i przykáady uczniowskich rozumowaĔ w zakresie kilku podstawowych dla I etapu ksztaácenia umiejĊtnoĞci matematycznych, np. umiejĊtnoĞci rozwiązywania zadaĔ tekstowych czy wykonywania obliczeĔ záoĪonych.

Analiza tych wyników jest dobrą okazją do refleksji nad stanem polskiej edukacji początkowej oraz panującymi w szkole stereotypami edukacyjnymi. Mamy nadziejĊ, Īe zarówno przedstawione wyniki, jak i towarzyszący im bogaty komentarz metodyczny, zachĊcą nauczycieli klas 1–3, oraz nauczycieli matematyki klas 4–6, do refleksji takĪe nad doskonaleniem wáasnego warsztatu zawodowego. WiĊcej informacji na temat badaĔ moĪna znaleĨü w raporcie koĔcowym na stronie www.cke.edu.pl.

STRUKTURA SYSTEMU DZIESIĉTNEGO Klasy 1–3 w polskiej tradycji edukacyjnej „od zawsze” zdominowane byáy przez „rachunki” – takie teĪ jest pierwsze skojarzenie wiĊkszoĞci osób wracających myĞlami do początków swojej szkolnej edukacji: Rachunki, rachunki, rachunki. Wystarczy rzut oka na obowiązującą podstawĊ programową czy wykorzystywane aktualnie podrĊczniki, aby przekonaü siĊ, Īe wciąĪ taka wáaĞnie jest rzeczywistoĞü wspóáczesnej szkoáy polskiej. Z tego powodu waĪne jest wiĊc, zwáaszcza z punktu widzenia efektywnoĞci procesu ksztaácenia, dobre zrozumienie przez uczniów systemu dziesiĊtnego i jego struktury. Zapisywanie, odczytywanie i porównywanie liczb, wykonywanie obliczeĔ w pamiĊci oraz pisemnie, posáugiwanie siĊ liczbami w Īyciu codziennym – wszystkie te umiejĊtnoĞci (i wiele innych) budowane są na bazie stopniowo rozwijanej u dzieci wiedzy o systemie dziesiĊtnym. Wiedza ta nie jest áatwa ani do zrozumienia, ani stosowania, o czym Ğwiadczy takĪe historia. System dziesiĊtny zostaá wprowadzony do uĪytku przez Hindusów w I tysiącleciu naszej ery, a do Europy dotará, dziĊki Arabom, okoáo XIII wieku. Kilka wieków minĊáo, zanim Europejczycy oswoili siĊ z notacją dziesiĊtną i zaczĊli ją powszechnie stosowaü. Nasi uczniowie muszą to zrobiü w nieporównywalnie krótszym czasie. Z jakim skutkiem? W testach wykorzystanych do badania umiejĊtnoĞci uczniów klas trzecich znajdowaáy siĊ dwa zadania wprost nawiązujące do struktury systemu dziesiĊtnego:

Pierwsze zadanie jest typowe – do wiĊkszoĞci okienek pasuje wiĊcej niĪ jedna cyfra, co takĪe ma wpáyw na poziom jego záoĪonoĞci. Z rozwiązaniem tego zadania uczniowie nie mieli trudnoĞci. Kolejne przykáady uzupeániáo dobrze odpowiednio: 91,5%, 85,8% oraz 81,8% dzieci (por. diagram 1).

W przypadku tego zadania prawie ¾ uczniów uzupeániáo poprawnie wszystkie trzy przykáady (por. diagram 2). Zadanie 5. ma nietypowy charakter, prawdopodobnie wiĊkszoĞü badanych uczniów nie rozwiązywaáa w szkole tego typu zadaĔ. W efekcie dziecko stanĊáo przed nowym dla siebie wyzwaniem. Nie mogąc odwoáaü siĊ do pamiĊci w poszukiwaniu skutecznego sposobu pokonania trudnoĞci, musiaáo ujawniü, na ile potrafi posáugiwaü siĊ swoją wiedzą z zakresu struktury systemu dziesiĊtnego oraz na ile wiedza ta ma operacyjny charakter. Zadanie to wypadáo zdecydowanie gorzej od poprzedniego – poziom poprawnoĞci dla kolejnych przykáadów wyniósá: 19,2%, 30,4% i 34,2% (por. diagram 1), a prawie poáowa uczniów nie uzupeániáa dobrze ani jednego przykáadu (por. diagram 2). 100%

91,5% 85,8%

90%

81,8%

80% 70% 60% 50% 40% 30,4%

30%

34,2%

19,2%

20% 10% 0% zadanie 4 odpowiedĨ a)

zadanie 5 odpowiedĨ b)

odpowiedĨ c)

Diagram 1. Porównywanie liczb naturalnych – procent poprawnych rozwiązaĔ. 80%

71,7%

70% 60% 50%

45,4%

40%

33,7%

30% 19,6%

20% 10%

12,7% 4,0%

4,7%

8,2%

0% zadanie 4 0 przykáadów

zadanie 5 1 przykáad

2 przykáady

3 przykáady

Diagram 2. Porównywanie liczb naturalnych – procent poprawnie uzupeánionych przykáadów.

Liczba báĊdnych rozwiązaĔ zadania 4. byáa stosunkowo niewielka i naleĪy sądziü, Īe – przynajmniej w czĊĞci – báĊdy te byáy efektem nieuwagi uczniów:

DuĪo wiĊcej ciekawego materiaáu do analizy dostarczają rozwiązania drugiego z omawianych zadaĔ. Bardzo czytelnie pokazują one, w jaki sposób najczĊĞciej rozumowali uczniowie i jakie przy tym przeĪywali rozterki:

Jak pokazują przykáady, niektórzy uczniowie podstawiali w miejsce kleksa jakąĞ cyfrĊ i wpisywali w okienko znak odpowiedni dla otrzymanej konkretnej sytuacji. W przypadku przykáadów a i b musiaáo to doprowadziü do báĊdnych odpowiedzi. Dziwi jednak sáaby wynik w przykáadzie c (34,2%), w którym ta akurat strategia gwarantuje sukces. Wydaje siĊ, Īe w tym przypadku wiĊkszoĞü dzieci skupiáa siĊ na widocznej czĊĞci zapisu liczb, a nie na sensie caáoĞci zapisu. Pozostali uczniowie zdecydowali siĊ prawdopodobnie na kilka prób i wyciągnĊli z nich wáaĞciwe (w czĊĞci lub w caáoĞci) wnioski:

Zadanie 5. wykorzystane zostaáo takĪe w testach przeprowadzonych w klasie 4. Wyniki uczniów (tych samych!) byáy o kilka procent lepsze niĪ w klasie 3, odpowiednio: 27,2%, 38,1% i 39,5%. Jak widaü, w obu przypadkach hierarchia trudnoĞci przykáadów byáa analogiczna, a przykáad c w klasie 4 nadal okazywaá siĊ równie trudny jak pozostaáe. W wiĊkszoĞci stosowanych programów nauczania oraz podrĊczników rozwijanie umiejĊtnoĞci matematycznych uczniów w klasie 4 rozpoczyna siĊ od szeregu tematów dotyczących wáaĞnie systemu dziesiĊtnego: zapisywania i odczytywania liczb wielocyfrowych, porównywania ich, znaczenia cyfr w liczbie wielocyfrowej itp. Przytoczone wyniki nasuwają przypuszczenie, Īe w przypadku znacznej czĊĞci uczniów nie spowodowaáo to istotnej zmiany w rozumieniu systemu dziesiĊtnego w stosunku do stanu z koĔca klasy 3.

WyodrĊbniü moĪna dwa typowe sposoby wprowadzania nowych pojĊü czy symboli matematycznych1: 1)

wprowadzamy nowe pojĊcie czy symbol matematyczny, odwoáując siĊ do innych pojĊü i symboli, z którymi uczniowie zapoznali siĊ juĪ wczeĞniej, po czym szukamy przykáadów czy sytuacji Īyciowych, które pozwolą uczniom zrozumieü sens i przydatnoĞü danego pojĊcia lub symbolu;

zaczynamy od zorganizowania takiej sytuacji i uruchomienia takich dziaáaĔ uczniów, z których wynika sens i uĪytecznoĞü interesującego nas pojĊcia czy symbolu, po czym, gdy „grunt bĊdzie juĪ przygotowany”, wprowadzamy odpowiednią nazwĊ czy znak.

Warto zwróciü uwagĊ na to, Īe oba podejĞcia skáadają siĊ dokáadnie z tych samych dwóch etapów – nazwijmy je

Zob. H. Freudenthal, Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht 1973.

odpowiednio: etapem nadawania sensu i etapem definiowania – tyle, Īe uáoĪonych w odwrotnej kolejnoĞci. Pierwsze podejĞcie: najpierw definicja, potem sens jest w polskiej szkole zdecydowanie bardziej rozpowszechnione, niezaleĪnie od wieku uczniów. Drugie: najpierw sens, potem nazwa czy symbol, zgodne ze wspóáczesną wiedzą psychologiczną i pedagogiczną, jest zdecydowanie skuteczniejsze. Jego przydatnoĞü jest tym wiĊksza, im uczeĔ jest máodszy, a jego sposób myĞlenia bardziej konkretny. Dlaczego wiĊc tak chĊtnie siĊgamy po przekaz werbalny z duĪą iloĞcią symboliki? PrzecieĪ, w ostatecznym rozrachunku, zarówno jedno, jak i drugie podejĞcie zajmują i tak mniej wiĊcej tyle samo czasu oraz wymagają porównywalnego wysiáku – oczywiĞcie, o ile tylko chcemy, aby nasi uczniowie choü w czĊĞci zrozumieli to, czego siĊ uczą. Dziecko, ucząc siĊ, tworzy trzy typy reprezentacji opisujących badany i poznawany Ğwiat: enaktywne, ikoniczne i symboliczne2. Upraszczając nieco – dziecko moĪe komunikowaü siĊ z otaczającym Ğwiatem (z rodzicami, nauczycielem, rówieĞnikami, rozwiązywanym zadaniem, ...) na trzech poziomach záoĪonoĞci jĊzyka: í enaktywnie, czyli za pomocą gestów i dziaáania; í ikonicznie, czyli uĪywając rysunków, które oznaczają to, co przedstawiają, wiĊc mogą byü zrozumiaáe bez Īadnych dodatkowych umów i ustaleĔ; oraz í symbolicznie, czyli za poĞrednictwem obrazków o umownym znaczeniu; ich zrozumienie jest moĪliwe dopiero wówczas, gdy komunikujące siĊ osoby umówią siĊ, co dokáadnie one przedstawiają, jaki jest ich sens. Dziecko (i zazwyczaj takĪe dorosáy), badając i poznając jakiĞ nowy obszar Ğwiata, siĊga czĊsto po wszystkie trzy typy reprezentacji i to na ogóá w takiej wáaĞnie kolejnoĞci, jaką podano wyĪej – kolejnoĞü ta oddaje naturalną záoĪonoĞü tych trzech sposobów komunikowania siĊ. Páynie stąd nauka, której wagi nie sposób przeceniü: starajmy siĊ tak organizowaü proces uczenia siĊ, aby dziecko zaczynaáo swoje myĞlenie i dziaáanie, o ile tylko odczuje taką potrzebĊ, na poziomie enaktywnym oraz ikonicznym po to, aby mogáo byü aktywne intelektualnie i ze swoich dziaáaĔ mogáo wydobywaü sens tego, co jest naszym edukacyjnym celem. WáaĞciwa nazwa czy symbol powinny pojawiaü siĊ dopiero wówczas, gdy dziecko wie i rozumie, co bĊdą one oznaczaü. Dopiero wtedy jest ono tak 2

Zob. J. Bruner, Poza dostarczone informacje, Warszawa, PWN 1978.

naprawdĊ gotowe zrozumieü i zapamiĊtaü poznawane pojĊcie czy symbol – jest gotowe siĊ nim posáugiwaü. Na potrzebĊ, czy nawet koniecznoĞü, takiej wáaĞnie chronologii poznawania matematyki i jej jĊzyka, od lat zwracają uwagĊ takĪe wybitni matematycy3. JĊzyk matematyki – nazwy i symbole – jest tworzony po to, aby uáatwiü komunikowanie siĊ, aby pewne informacje moĪna byáo przekazywaü szybciej, proĞciej(!) i bardziej niezawodnie. BĊdzie dobrze peániá swoją funkcjĊ, gdy sens pojĊü i symboli bĊdzie w procesie uczenia siĊ poprzedzaü ich nazwy. Powtórzmy raz jeszcze: najpierw sens, potem symbol! Po tych bardziej ogólnych refleksjach, do których jeszcze wielokrotnie bĊdziemy nawiązywaü, wróümy do systemu dziesiĊtnego.

Z systemem dziesiĊtnym uczeĔ obcuje od początku do koĔca swojego ksztaácenia. Budowanie i pogáĊbianie jego rozumienia to proces, który trwa caáymi latami – po liczbach naturalnych w ĞwiadomoĞci ucznia pojawiają siĊ liczby dziesiĊtne, po liczbach wymiernych – liczby rzeczywiste. Proces ten przebiega duĪo páynniej, gdy od początku wiedza dziecka budowana jest na bazie wáaĞciwych wizualnych wyobraĪeĔ. Najáatwiej i najlepiej je tworzyü, dając uczniom moĪliwoĞü operowania dobrze dobranymi modelami. JeĞli uwaĪnie rozejrzymy siĊ wokóá, na pewno dostrzeĪemy przedmioty, które mogą pomóc w tworzeniu podwalin wiedzy dzieci na temat systemu dziesiĊtnego. Jedną z najprostszych pomocy dydaktycznych, a równoczeĞnie sytuacyjnie i merytorycznie najbogatszych, są przezroczyste foliowe woreczki z zamkniĊciem strunowym oraz Īetony. Gdy mamy przed sobą kilkanaĞcie Īetonów, najbezpieczniejszą metodą ich przeliczenia jest oddzielenie dziesiĊciu z nich. Ta sama strategia postĊpowania zdaje doskonale egzamin przy przeliczaniu wiĊkszej liczby przedmiotów – Īeby siĊ nie pomyliü, warto grupowaü je po dziesiĊü. Teraz juĪ tylko wystarczy wáoĪyü po 10 Īetonów do kaĪdego woreczka, zamknąü je – i pomoc gotowa:

3 Por. np. Rene Thom, Matematyka „nowoczesna” – pomyáka pedagogiczna i filozoficzna? „WiadomoĞci Matematyczne”, XVIII, 1974.

SiĊgając po tĊ pomoc, warto pamiĊtaü o tym, Īeby: í

umówiü siĊ z dzieümi, Īe w woreczku musi byü 10 Īetonów, nie 8, 9 czy 11, ale zawsze 10; jeĞli nie ma ich tylu, to woreczek zostaje pusty;

wszystkie woreczki i Īetony byáy identyczne: tej samej wielkoĞci i tego samego koloru, w innym przypadku uczniowie szybko zaczną wprowadzaü dodatkowe kody, które najprawdopodobniej zmienią i zaburzą charakter pomocy; pamiĊtajmy o tym, Īe zwáaszcza kolor jest bardzo silnie oddziaáującą cechą przedmiotu.

Teraz uczniowie mogą juĪ (prawie) wszystko z zakresu „pierwszej setki”, np. mogą: í

ustalaü, ile jest áącznie Īetonów (cztery woreczki i jeszcze piĊü Īetonów, to cztery dziesiątki, czyli 40 i jeszcze 5, czyli 45),

szybko dobieraü odpowiednią liczbĊ Īetonów (56 – potrzebujemy 5 woreczków i jeszcze 6 Īetonów),

porównywaü iloĞci(!) Īetonów i samodzielnie odkrywaü oraz formuáowaü reguáy rządzące porównywaniem liczb dwucyfrowych,

formuáowaü, operując modelem, zadania, zagadki, pytania, problemy związane z systemem dziesiĊtnym, co uruchamia aktywnoĞü intelektualną dzieci i pogáĊbia rozumienie samego systemu.

Sáowo iloĞü jest uĪyte powyĪej Ğwiadomie, choü puryĞci jĊzykowi pewnie woleliby w tym miejscu zobaczyü sáowo liczba. PamiĊtajmy jednak, Īe sáowo iloĞü jest naturalnie jĊzykowo związane z pytaniem ile – gdy zadajemy pytanie zaczynające siĊ od ile, pytamy o iloĞü pewnych obiektów, a podawana w odpowiedzi liczba jest miarą iloĞci, tak samo jak litry są miarą pojemnoĞci, a metry dáugoĞci. Pozwalajmy, aby jĊzyk ucznia rósá razem z nim. Warto, aby dzieci, operując tym narzĊdziem mogáy przechodziü kolejno przez wszystkie wspomniane wczeĞniej poziomy komunikowania siĊ: najpierw dziaáanie z pomocą modelu, potem stopniowo coraz bardziej uproszczony rysunek, na koĔcu zapis symboliczny, takĪe o stopniowo rosnącym poziomie formalizmu. Pozwoli im to Ğwiadomie i ze zrozumieniem poszerzaü swój matematyczny jĊzyk:

Rozszerzając zakres liczbowy do 1000, stajemy przed wyborem: Pakowaü po dziesiĊü woreczków z Īetonami do wiĊkszych torebek czy poszukaü innego modelu? Na przykáad takiego:

NiezaleĪnie od tego, czy naszym celem jest rozwijanie arytmetycznych, czy geometrycznych umiejĊtnoĞci uczniów, warto pamiĊtaü o tym, Īe im wiĊcej dobrych modeli bĊdą mieli uczniowie w rĊkach, tym peániejsze, lepsze i bardziej noĞne bĊdą ich intuicje i wyobraĪenia. Modele pokazane powyĪej (i inne o podobnie naturalnym charakterze) pozwalają na zobaczenie struktury systemu dziesiĊtnego na wáasne oczy, bez Īadnych utrudnieĔ czy zakáóceĔ. Nie zastąpią ich Īadne ustne opisy i wyjaĞnienia, zabawy kartami czy dziesiĊcioĞcienną kostką z cyframi od 0 do 9, tabelki lub inne pomoce o symbolicznym charakterze, choü oczywiĞcie mogą one stopniowo pogáĊbiaü i poszerzaü wiedzĊ uczniów.

Jedną z takich pomocy, o której warto tu dodatkowo wspomnieü, poniewaĪ daje uczniom wiele edukacyjnych moĪliwoĞci, a wciąĪ jest w naszej szkole maáo znana, jest tzw. plansza stu liczb: 91

99 100

Warto zwróciü uwagĊ na sposób, w jaki ponumerowane są kolejne pola tej planszy. Pierwszy wiersz od doáu to I dziesiątka, drugi wiersz to II dziesiątka itd., w kaĪdym wierszu liczby uporządkowane są rosnąco. Pierwsza kolumna od lewej strony to liczby, w których cyfrą jednoĞci jest 1, druga kolumna ma cyfrĊ jednoĞci 2 itd. Taki ukáad liczb jest zamierzony – ma na celu pokazanie, choü w inny sposób niĪ we wczeĞniejszych pomocach, struktury systemu dziesiĊtnego, w tym m.in. roli cyfr w liczbie dwucyfrowej. Ta plansza jest takĪe potĊĪnym liczydáem, Īeby to dostrzec wystarczy siĊgnąü po pionek i zacząü wĊdrówkĊ po jej polach. KaĪdy ruch w prawo to dodawanie: do numeru pola, z którego ruszamy dodajemy liczbĊ kroków: 34 + 3 = 37, bo jeĞli ruszamy z pola 34 i robimy trzy kroki w prawo, to stajemy na polu 37. Obowiązuje przy tym tylko jedna zasada – wĊdrujemy po polach zgodnie z ich numerami, zatem nastĊpnym polem po polu 10 jest pole 11, a po polu 40 – pole 41. Stwarza to uczniom okazjĊ do budowania strategii przekraczania progów dziesiątkowych: najpierw do peánej dziesiątki, a potem reszta. Analogicznie: kaĪdy ruch w lewo to odejmowanie. Skok o jeden wiersz do góry, to dodanie jednej dziesiątki do liczby, na której staá pionek, skok o trzy wiersze – to dodanie 30. ZejĞcie o jeden wiersz w dóá – to odjĊcie dziesiątki itd. 15

Dziecko, bawiąc siĊ planszą lub grając na niej w jakąĞ grĊ ma moĪliwoĞü samodzielnego rozwijania swojej sprawnoĞci rachunkowej, a nawet odkrywania pewnych strategii rachunkowych, np. dodaü 9 to ruch do góry i w lewo, czyli dodanie 10 i odjĊcie 1 itp. Warto po tĊ planszĊ siĊgaü i to jak najczĊĞciej. PamiĊtajmy jednak, Īe przemawia ona do ucznia jĊzykiem symboli – odkrycie jej tajemnic wymaga nieco czasu. Symboliczne w swym charakterze jest takĪe wykorzystywanie np. Īetonów róĪnej wielkoĞci czy koloru do reprezentowania liczb. JeĞli umówimy siĊ, Īe wiĊkszy Īeton ma wartoĞü 10, a mniejszy 1, to Īetony ze zdjĊcia przedstawiają liczbĊ 35.

No wáaĞnie, jeĞli siĊ umówimy! Ta umowa daje nam uĪyteczne narzĊdzie do sprawnego liczenia, ale nie do pokazania, wbrew ewentualnej nadziei, istoty systemu dziesiĊtnego.

JĊzyk, którym posáugujemy siĊ, mówiąc o liczbach zapisanych dziesiĊtnie, jest doĞü trudny, co dodatkowo komplikuje nam Īycie. Oto kilka ilustrujących to przykáadów: í czym innym jest np. liczba dziesiątek w liczbie, a zupeánie czym innym cyfra dziesiątek: w liczbie 354 jest 35 dziesiątek (tyle byáoby woreczków z Īetonami), ale jej cyfrą dziesiątek jest 5; na liczbĊ tĊ skáada siĊ 354 jednoĞci (Īetonów), ale jej cyfrą jednoĞci jest 4; í liczba 346 jest liczbą trzycyfrową, liczba 222 takĪe, choü zapisano ją za pomocą tylko jednej cyfry: 2; í ile liczb dwucyfrowych moĪna zbudowaü z cyfr 5 i 8: dwie czy cztery? Mówienie o liczbach w systemie dziesiĊtnym wymaga w wielu sytuacjach uwagi i precyzji. Trudno o to, gdy znaczna czĊĞü dzieci, a takĪe ludzi dorosáych, uĪywa pojĊü cyfra i

liczba wymiennie. Skąd siĊ bierze to powszechne juĪ zjawisko? MoĪna zaryzykowaü tezĊ, Īe sami sobie tworzymy ten káopot. Sáowo cyfra pada po raz pierwszy (i wiele razy kolejnych) wówczas, gdy dzieci operują liczbami jednocyfrowymi: 7 jest raz znakiem graficznym, czyli cyfrą, a zaraz potem liczbą okreĞlającą iloĞü jabáek w koszyku. I tak na zmianĊ: cyfra 3, liczba 3, cyfra 8 i liczba 8 – i ani jednego przykáadu liczby, który burzyáby wáaĞnie powstające w uczniu przekonanie, Īe cyfra i liczba to to samo. ĩadne werbalne rozróĪnianie cyfry i liczby nie usuwa tego mankamentu definiowania – gdy wprowadzamy jakąĞ definicjĊ naleĪy pokazaü zarówno obiekty tĊ definicjĊ speániające, jak i takie, które do definiowanej klasy nie naleĪą. Czy staáoby siĊ coĞ záego, gdybyĞmy przez pierwsze dwa albo trzy lata nauki, np. od „zerówki” do klasy 2, w ogóle w kontaktach z dzieümi nie uĪywali sáowa cyfra i wprowadzili je dopiero wówczas, gdy dzieci budują (np. uĪywając kart z cyframi) liczby dwu- czy trzycyfrowe? Spróbujmy zapomnieü o: bo tak zawsze byáo, zawsze tak siĊ przecieĪ robi, taka jest tradycja itp. i zastanowiü siĊ nad konsekwencjami znikniĊcia tego okreĞlenia na jakiĞ czas z naszego sáownika. Byü moĪe okaĪe siĊ, Īe odpowiedzią na tak postawione pytanie jest: nic záego by siĊ nie staáo, bo ta nazwa tak naprawdĊ wcale przez te początkowe lata nie jest potrzebna! A moĪe nawet mówienie o liczbach byáoby prostsze: tak zapisujemy liczbĊ 3, tak 7, a tak liczbĊ 10 – i koniec.

Gdy juĪ raz uruchomiliĞmy dziĊki woreczkom i Īetonom dziaáania dzieci, to warto z pomocą tego narzĊdzia zrobiü kolejny krok i zorganizowaü taką sytuacjĊ, w której uczniowie bĊdą np.: í uzupeániaü liczbĊ Īetonów tak, aby wszystkie Īetony znalazáy siĊ w woreczkach, czyli dopeániaü do peánych dziesiątek; í ustalaü, ile Īetonów mają áącznie dwie osoby, czyli dodawaü, takĪe z przekraczaniem progu dziesiątkowego; í ustalaü, ile Īetonów zostanie, jeĞli zabierzemy pewną iloĞü woreczków i Īetonów, czyli odejmowaü, takĪe z przekraczaniem progu dziesiątkowego.

JeĞli Adam ma 2 woreczki i jeszcze 7 Īetonów, a Ewa ma 3 woreczki i 5 Īetonów to – aby ustaliü, ile mają razem – wystarczy (tak jak zawsze przy dodawaniu na konkretach) záoĪyü wszystko razem: 5 woreczków i jeszcze 12 Īetonów. Na koniec warto zapakowaü 10 Īetonów do nowego woreczka, aby lepiej byáo widaü, ile jest wszystkich Īetonów razem:

Nie sprawi teĪ dziecku trudnoĞci przedstawienie caáej operacji na rysunku. Przypomnijmy raz jeszcze: dziaáanie i rysunek budują rozumienie, nadają sens kryjącym siĊ za nimi matematycznym operacjom. W Ğlad za nimi moĪe (i powinien) iĞü zapis symboliczny – dziĊki takiemu wáaĞnie nastĊpstwu symbole wynikają z wczeĞniejszych doĞwiadczeĔ dziecka, zaczynają mieü dla niego pewien „konkretny” sens. Jak bĊdzie wyglądaü zapis symboliczny pokazanej na zdjĊciach sytuacji? MoĪe on przyjąü róĪne formy, zwáaszcza gdy uczniowie sami bĊdą go tworzyü, np.:

Po naszej podpowiedzi, Īe dodawane liczby wygodnie jest zapisywaü jedna pod drugą, moĪe powstaü takĪe taki zapis (por. s. 63):

Na stole leĪą: 6 woreczków, i jeszcze 4 Īetony. Zabranie 2 woreczków i 2 Īetonów, czyli wykonanie odejmowania 64 – 22 nikomu nie sprawi trudnoĞci. Co jednak, gdy trzeba zabraü 2 woreczki i 8 Īetonów, czyli wykonaü odejmowanie 64 – 28? Tu teĪ odpowiedĨ jest szybka: naleĪy rozpakowaü jeden woreczek. To wczeĞniejsze pakowanie i rozpakowywanie woreczka moĪe nadaü sens czynnoĞciom, które są kluczowe dla algorytmów dziaáaĔ pisemnych: „przenoszeniu jedynki” przy dodawaniu oraz „poĪyczaniu” czy „rozmienianiu” przy odejmowaniu. Rozmienianie to przecieĪ nic innego jak rozpakowywanie woreczka czy rozrywanie duĪego opakowania chusteczek po to, by mieü do dyspozycji 10 paczuszek. Wiele ciekawych i wartych dokáadniejszego zbadania pomysáów moĪe pojawiü siĊ przy próbach opisania przez uczniów wykonanych czynnoĞci. Tym razem dziaáania uczniów (związane z odejmowaniem 64 – 28) mogą biec bowiem bardzo róĪnymi torami: í Najpierw rozpakowujĊ jeden woreczek i mam 14 Īetonów, wiĊc juĪ mogĊ zabraü. Zabieram dwa woreczki i 8 Īetonów, wiĊc zostaje 6 Īetonów i trzy woreczki. Przy takim postĊpowaniu dziecko jest o krok od samodzielnego zbudowania algorytmu pisemnego odejmowania – pozostaje zasugerowaü mu formĊ zapisu. í Najpierw zabieram dwa woreczki, potem te cztery Īetony luzem i mam jeszcze zabraü 4, wiĊc rozpakowujĊ woreczek i zostaje mi 6 Īetonów. GdybyĞmy chcieli zapisaü tĊ procedurĊ symbolicznie, to efekt byáby taki: 64 – 28 = 44 – 8 = 40 – 4 = 36 Zapis trudny, ale jakĪe sprytna i skuteczna strategia odejmowania w pamiĊci! MoĪna by ją nazwaü: odejmowaniem po kawaáku (por. s. 42). í Zabieram trzy woreczki i oddajĊ z powrotem dwa Īetony, bo trzy woreczki to za duĪo. Prawda, Īe piĊknie? í ...

OBLICZENIA PROSTE I ZàOĩONE JuĪ we wczesnym okresie przedszkolnym dziecko rozpoczyna swoją edukacjĊ w zakresie posáugiwania siĊ liczbami (naturalnymi) oraz ich dodawania i odejmowania. DziĊki róĪnorodnym osobistym doĞwiadczeniom stopniowo buduje intuicje i wyobraĪenia dotyczące tych dwóch dziaáaĔ – powtarzając za Arystotelesem: abstrahuje je wraz ze wszystkimi ich podstawowymi wáasnoĞciami z otaczającego Ğwiata. A okazji do tego ma mnóstwo, bo przecieĪ prawie nieustannie coĞ dokáada, dosuwa, dowozi, dorysowuje, ... oraz odkáada, odsuwa, odwozi, Ğciera, ... Z tymi intuicjami dziecko rozpoczyna edukacjĊ elementarną, w której swoje doĞwiadczenia, dotychczas najczĊĞciej o charakterze enaktywnym i ikonicznym (por. s. 11), poszerza o ich wymiar symboliczny. Na ogóá juĪ na początku pierwszej klasy dziecko ma duĪo wiĊksze moĪliwoĞci arytmetyczne niĪ to zwyczajowo siĊ przyjmuje, ma natomiast trudnoĞci ze stosowaniem jĊzyka symbolicznego oraz z symbolicznym sposobem reprezentowania liczb. Rozumienie symboli i operowanie nimi to zdecydowanie najtrudniejszy element edukacji matematycznej – to symbole, czy raczej brak ich zrozumienia, generują najwiĊcej niepowodzeĔ szkolnych, takĪe w zakresie arytmetyki. Stąd tak waĪna jest ostroĪnoĞü i starannoĞü w trakcie stopniowego budowania jĊzyka symbolicznego ucznia: najpierw sens – potem symbol, najpierw znaczenie – potem wzbogacenie sáownika o nowe pojĊcie. Rozwijanie sprawnoĞci rachunkowej dzieci to, zgodnie z naszą tradycją, podstawowy i najobszerniejszy cel edukacji elementarnej w zakresie umiejĊtnoĞci matematycznych. Znaczna czĊĞü badania umiejĊtnoĞci trzecioklasistów musiaáa wiĊc dotyczyü wáaĞnie tej grupy umiejĊtnoĞci – zaczynając od dziaáaĔ na liczbach jednocyfrowych, a koĔcząc na algorytmach dziaáaĔ pisemnych. PrezentacjĊ wyników w tym obszarze zacznijmy od obliczeĔ prostych i záoĪonych, wykonywanych na liczbach jedno- i dwucyfrowych. Zbadaniu umiejĊtnoĞci miĊdzy innymi dodawania i mnoĪenia niewielkich liczb sáuĪyáo nastĊpujące zadanie: 4. Zobacz, jak zbudowane są te tabelki. Uzupeánij w nich wszystkie puste pola.

W podpunkcie a uczeĔ miaá wykonaü tak naprawdĊ dwie róĪne rzeczy: wpisaü, zgodnie z podanym przykáadem, wyniki odpowiednich obliczeĔ w pola dwóch górnych wierszy tabelki; ta czĊĞü rozwiązania ucznia byáa zaliczana, jeĞli podaá 4 lub 5 poprawnych wyników;

oraz í

ustaliü, dziĊki znajomoĞci wyniku (56) i jednego skáadnika (29), jaki jest nagáówek ostatniego wiersza, po czym uzupeániü pozostaáe dwa puste pola; ta czĊĞü rozwiązania ucznia byáa uznawana za dobrą, jeĞli podaá poprawnie nagáówek oraz przynajmniej jeden z dwóch pozostaáych wyników.

Dokáadnie w ten sam sposób zbudowany jest i oceniany podpunkt b tego zadania, dotyczący mnoĪenia. Oto zestawienie szczegóáowych danych na temat sprawnoĞci rachunkowej uczniów w zakresie dodawania liczb jedno- i dwucyfrowych (litera n oznacza brakujący nagáówek): Dziaáanie

5 + 13

5 + 29

18 + 32

18 + 13

18 + 29

n (27)

n + 32

n + 13

Poprawne wyniki

90,9%

89,1%

85,3%

83,1%

78,8%

64,5%

75,8%

75,5%

Tabela 3. Dodawanie liczb jedno- i dwucyfrowych – procent poprawnych obliczeĔ

Dwa ostatnie obliczenia: n + 32 i n + 13 mogáy byü wykonane poprawnie takĪe dla báĊdnie obliczonego nagáówka (n), stąd taki wáaĞnie ukáad wyników. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku mnoĪenia: Dziaáanie

9×6

8×6

5 × 12

9 × 12

8 × 12

n (7)

5×n

8×n

Poprawne wyniki

78,3%

76,0%

78,8%

60,5%

59,7%

70,0%

73,5%

64,8%

Tabela 4. MnoĪenie liczb jedno- i dwucyfrowych – procent poprawnych obliczeĔ

Pierwszą czĊĞü podpunktu a (dodawanie, dwa górne wiersze obliczeĔ) zaliczyáo 83,4% uczniów – 67,0% uczniów wykonaáo poprawnie wszystkie piĊü obliczeĔ, a 16,4% zrobiáo jeden báąd. Z drugą czĊĞcią tego podpunktu poradziáo sobie 62,6% uczniów – 58,2% podaáo trzy poprawne wyniki. Pierwszą czĊĞü podpunktu b (mnoĪenie, dwie początkowe kolumny obliczeĔ) zrobiáo dobrze 61,3% uczniów – 21

44,7% podaáo piĊü dobrych wyników, a 16,6% – cztery. 56,8% uczniów wpisaáo do ostatniej kolumny tabelki trzy dobre wyniki – z tym etapem zadania poradziáo sobie áącznie 67,9% uczniów. Spójrzmy na kilka najbardziej typowych kategorii braków i báĊdów: 1.

Autor rozwiązania 1. poprawnie uzupeániá ostatnią kolumnĊ w podpunkcie b, ale szybko zrezygnowaá z mnoĪenia liczby 12 – i to nawet przez 5. W rozwiązaniu 2. uczeĔ bezbáĊdnie dodaje i mnoĪy, ale nie potrafi znaleĨü brakujących nagáówków. Kolejny uczeĔ (3) ma trudnoĞci i z jednym, i z drugim. Te trzy rozwiązania pokazują „hierarchiĊ” typowych báĊdów. Z powyĪszych tabel wynika, Īe okoáo 1/3 uczestników badania nie umiaáa ustaliü wáaĞciwej postaci nagáówka dolnego wiersza w podpunkcie a. Niektórzy uczniowie tworzyli wáasne reguáy uzupeániania tabeli (np. 4). TakĪe przy mnoĪeniu wáaĞciwe uzupeánienie nagáówka sprawiáo trudnoĞü prawie 1/3 dzieci (5, 6) – w tym takĪe uczniom sprawnie mnoĪącym w „zwykáej” sytuacji (2, 5). UmiejĊtnoĞü wykonywania obliczeĔ záoĪonych badana byáa w typowy sposób:

Przykáady obliczeĔ zostaáy tak dobrane, aby dawaáy okazjĊ do zastosowania wszystkich podstawowych reguá dotyczących kolejnoĞci wykonywania obliczeĔ: í najpierw nawiasy (b), mnoĪenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaí niem (a, e, f), od lewej do prawej (c, d). í Diagram pokazuje procent poprawnych obliczeĔ dla kaĪdego z przykáadów tego zadania. 88,8%

90%

83,5%

80%

73,9%

70% 61,2% 60% 50%

45,1% 37,2%

40% 30% 20% 10% 0% a) 40 - 20 : 4

b) 36 - (16 - 9)

c) 18 : 9 x 2

d) 37 - 11 + 6

e) 16 + 4 x 5

f) 60 : 6 + 4 x 7

Diagram 5. KolejnoĞü wykonywania dziaáaĔ – procent poprawnych obliczeĔ.

Z przytoczonych wyĪej reguá uczniowie najskuteczniej zastosowali pierwszą: 88,8% z nich poprawnie wykonaáo obliczenie, w którym uĪyto nawiasów. Z trzech przykáadów, w których pojawiáy siĊ dziaáania o róĪnym priorytecie (czyli: a, e i f) zdecydowanie najlepiej wypadáo na pozór najbardziej skomplikowane, czyli f: 83,5% dobrych wyników. W przykáadach a i e spora czĊĞü uczniów wykonaáa obliczenia báĊdnie, w ogromnej wiĊkszoĞci stosując zasadĊ od lewej do prawej. Zdecydowanie najwiĊcej káopotu sprawiáy uczniom te obliczenia, w których wystąpiáy dziaáania o jednakowym priorytecie: przykáad c zrobiáo poprawnie tylko 45,1% uczniów, a przykáad d tylko 37,2%, czyli mniej wiĊcej co trzeci uczeĔ. Analiza báĊdnych rozwiązaĔ w obu tych przykáadach pokazuje, Īe dla znacznej czĊĞci uczniów mnoĪenie ma pierwszeĔstwo przed dzieleniem, a dodawanie naleĪy wykonaü przed odejmowaniem.

12,8% uczniów wykonaáo poprawnie wszystkie szeĞü obliczeĔ, a 4,2% nie wykonaáo dobrze Īadnego z nich. NajczĊĞciej, bo aĪ w 37,5% przypadków, uczeĔ poprawnie wykonywaá cztery obliczenia: 37,5%

40% 35% 30% 25%

19,4%

20%

16,8% 12,8%

15% 10% 5%

4,2%

3,0%

6,5%

0% 2

Diagram 6. KolejnoĞü wykonywania dziaáaĔ – procent poprawnie wykonanych przykáadów.

Warto przyjrzeü siĊ uwaĪnie obliczeniom uczniów, poniewaĪ w niektórych fragmentach są one zaskakujące. CzĊĞü uczniów (1, 2) stara siĊ konsekwentnie stosowaü strategiĊ zapisywania wyniku nad dziaáaniem (dziaáaniami), od którego naleĪy zacząü, choü nie zawsze przynosi to wáaĞciwe efekty (2): 1.

Niekiedy pojawia siĊ takĪe dodatkowa strategia: wziĊcie w nawias tego dziaáania, od którego naleĪy zacząü (3), ale przynosi to czĊsto fatalne skutki – uczeĔ bowiem swobodnie zmienia wáaĞciwą kolejnoĞü wykonywania obliczeĔ:

Umieszczenie kilku obliczeĔ w jednym zapisie nie jest tak naturalnym zabiegiem, jak mogáoby siĊ wydawaü. Symboliczna záoĪonoĞü takiego zapisu znacznie wzrasta, co widaü takĪe w przykáadach 4–8, wybranych spoĞród wielu podobnych. By poradziü sobie z tym nowym obliczeniem, trzeba nie tylko pamiĊtaü o kolejnoĞci wykonywania dziaáaĔ, ale takĪe rozumieü, Īe znak równoĞci to nie woáanie o wynik, ale symbol informujący, Īe po jego obu stronach „stoi to samo”, co najwyĪej inaczej zapisane. Zaawansowanie i skutecznoĞü podejmowanych przez uczniów prób pokonania tej trudnoĞci jest róĪna: – od starannego rozbicia obliczenia na pojedyncze dziaáania, nie zawsze jednak wykonywane we wáaĞciwej kolejnoĞci (4) i prowadzące do koĔcowego sukcesu: 4.

– przez niepoprawne, ale doĞü konsekwentne, i niekiedy szczĊĞliwe, operowanie równoĞcią (5, 6): 5.

– po „áagodną rezygnacjĊ” i poprzestanie tylko na pierwszym dziaáaniu (7): 7.

Autorzy obliczeĔ 5 i 6, podobnie jak prawie poáowa ich kolegów, zdecydowanie są zdania, Īe „mnoĪenie przed dzieleniem, a dodawanie przed odejmowaniem”. To przekonanie nie wyczerpuje listy typowych „oczekiwanych” báĊdów:

A jak rozumowali autorzy obliczeĔ przedstawionych poniĪej? Skąd takie wyniki? 1.

Zagadka iĞcie detektywistyczna. MoĪe pomogą kolejne obliczenia z tej samej „serii”: 3.

I jeszcze kilka obliczeĔ, rzucających coraz wiĊcej Ğwiatáa na tok rozumowania uczniów: 5.

Kolejne obliczenia wyjaĞniają coraz wiĊcej, ale zacznijmy od początku. Autorzy obliczeĔ 1 i 2 wykonują kaĪde z dziaáaĔ wystĊpujących w obliczeniu, ale osobno, wykorzystując Ğrodkową liczbĊ dwukrotnie: 40 – 20 = 20, 20 : 4 = 5;

36 – 16 = 20, 16 – 9 = 7;

...

po czym zapisują oba wyniki obok siebie, czasami w innej kolejnoĞci. Nie są to liczby trzy- czy nawet szeĞciocyfrowe (101028), lecz wyniki dziaáaĔ, które uczniowie „wyáowili” z tego obliczenia. W analogiczny sposób postĊpują kolejni uczniowie, tyle Īe dorzucają jeszcze jeden element tej procedury: na uzyskanych liczbach wykonują jakieĞ operacje, np.: 40 – 20 = 20, 20 : 4 = 5, 20 + 5 = 25 (3, 6); 40 – 20 = 20, 20 : 4 = 5, 5 × 20 = 100 (4),

czĊsto zapisując uzyskane wyniki nad znakami odpowiednich dziaáaĔ (4, 5, 7, 8). Dlaczego? Skąd wziĊáa siĊ taka strategia? Widaü bowiem, Īe jest to doĞü konsekwentne dziaáanie, co wiĊcej – wystĊpujące u znacznej czĊĞci uczniów, z róĪnych szkóá i obszarów Polski. Bardzo prawdopodobną odpowiedĨ podsuwają obliczenia 7 i 8: ich autorzy wyraĨnie budują „drzewko”. MoĪna podejrzewaü, Īe uczniowie tworzą sobie, i to doĞü powszechnie(!), wáasną „strategiĊ drzewka” przy obliczeniach záoĪonych: robimy kaİde dziaâanie z osobna, a potem âċczymy otrzymane wyniki.

Jak áączymy? Na to pytanie jest tylko jedna odpowiedĨ, wynikająca z analizy prac dzieci: róĪnie. W efekcie moĪliwe wyniki dla tego samego obliczenia mogą byü zupeánie inne, takĪe z winy pomyáek rachunkowych, choü metoda ewidentnie jest ta sama:

MoĪliwe zresztą są róĪne „wzbogacenia” tej strategii, np. zwiĊkszenie wyniku o jedną z liczb wystĊpujących w obliczeniu (9) albo „ujednolicenie” koĔcowego dziaáania (10): 9.

10.

W latach siedemdziesiątych minionego wieku, w ramach tzw. „nowej matematyki”, zawitaáo do naszych szkóá, podobnie jak do wiĊkszoĞci szkóá na Ğwiecie, wiele nowych pomysáów metodycznych i nowych pomocy dydaktycznych4. Wprowadzano je, aby zwiĊkszyü efektywnoĞü matematycznego ksztaácenia dzieci. Wtedy wáaĞnie w polskim nauczaniu początkowym pojawiáy siĊ zbiory, grafy, oĞ liczbowa, drzewka ... Od początku wielu wybitnych matematyków i dydaktyków matematyki zwracaáo uwagĊ na to, Īe zmiany te idą w záym kierunku, bo prowadzą do podniesienia poziomu formalizmu matematycznego na lekcjach, co moĪe doprowadziü do szybkiego „zgubienia” w procesie ksztaácenia znacznej czĊĞci dzieci, zwáaszcza tych, które nie znalazáy siĊ jeszcze w peáni na poziomie myĞlenia operacyjnego. I rzeczywiĞcie – praktyka szkolna bardzo szybko pokazaáa, Īe ostrzeĪenia te byáy sáuszne. Wprowadzony na lekcje jĊzyk mnogoĞciowy okazaá siĊ, zarówno w swej warstwie werbalnej, jak i symbolicznej, trudny. A zdarzaáo siĊ przecieĪ, Īe zachĊcano dzieci np. do badania áącznoĞci záączenia zbiorów rozáącznych. Kto dziĞ potrafi dokonaü „rozbioru” tego sformuáowania? KaĪde szeĞcioletnie dziecko jest w stanie wybraü z klocków leĪących na áawce wszystkie klocki niebieskie albo wszystkie prostokątne, a nawet wszystkie niebieskie prostokątne klocki. ĩaden szeĞciolatek czy siedmiolatek, bez intensywnego treningu, nie jest w stanie zaznaczyü czĊĞci wspólnej zbioru klocków prostokątnych i zbioru klocków niebieskich. To, czego siĊ od niego oczekuje w takiej sytuacji, jest obce jego naturalnemu jĊzykowi i nieformalnej wiedzy – w jego Ğwiecie nie ma struktury o nazwie zbiór klocków, są po prostu klocki. Przeliczanie klocków jest nieporównywalnie prostsze i bardziej naturalne niĪ okreĞlanie liczebnoĞci zbioru klocków, a prowadzi dokáadnie do tego samego. JĊzyk zbiorów nie jest potrzebny w nauczaniu początkowym:

ani ze wzglĊdów metodycznych – straty wynikające z jego wprowadzenia zdecydowanie przekraczają ewentualne zyski,

ani ze wzglĊdów merytorycznych – zbiory o skoĔczonej liczbie elementów mogą okazaü siĊ matematycznie przydatne dopiero przy okazji definiowania pojĊcia

Por. Z. Semadeni (red.), Nauczanie początkowe matematyki, t. 1–4, WSiP, Warszawa 1980.

funkcji, czyli aktualnie na przeáomie gimnazjum i liceum; piĊü lat przerwy to oczywista gwarancja rozpoczynania wszystkiego od nowa. W chwili obecnej jĊzyk zbiorów na szczĊĞcie prawie caákowicie zniknąá juĪ z polskiej szkoáy. W obowiązującej aktualnie podstawie programowej zachowaáo siĊ tylko jedno sformuáowanie z dawnych lat: porównywanie liczebnoĞci zbiorów i to tylko dlatego, Īe jest duĪo krótsze niĪ: porównywanie iloĞci przedmiotów dziĊki áączeniu ich w pary, a znaczy to samo. Podobnie staáo siĊ z jĊzykiem grafów, który jeszcze nie tak dawno byá wszechobecny w polskich podrĊcznikach do klasy 1. Badania pokazaáy5, Īe dla dzieci jest to trudny symboliczny jĊzyk, którego czĊĞü z nich uczy siĊ po prostu na pamiĊü. Wystarczy zmieniü kierunek czy kolor strzaáek w grafie albo zmodyfikowaü jego ksztaát, aby dzieci zaczĊáy go traktowaü jako coĞ zupeánie nowego, czego trzeba „nauczyü siĊ” od nowa. Wprowadzenie jĊzyka zbiorów czy grafów do pracy z maáymi dzieümi okazaáo siĊ pozornym uáatwieniem metodycznym – intencje byáy dobre, ale efekt opáakany. Sytuacja powtarza siĊ w przypadku osi liczbowej, która czasami jest wprowadzana po to, aby üwiczyü na niej przekraczanie progu dziesiątkowego. DuĪo áatwiej, szybciej i lepiej moĪna zrobiü to np. za pomocą chodniczka liczbowego – dwudziestu kolejno ponumerowanych pól, uáoĪonych w jednym lub dwóch rzĊdach. Podobnie ma siĊ rzecz z wykorzystywaniem osi liczbowej do porównywania i porządkowania liczb naturalnych – kaĪde inne narzĊdzie, choüby centymetr krawiecki, da duĪo lepsze efekty i to przy znacznie mniejszym nakáadzie pracy wszystkich zainteresowanych. OĞ liczbowa, która jest bardzo trudnym pojĊciem z pogranicza arytmetyki (liczby) i geometrii (prosta) jest potrzebna dopiero przy porządkowaniu uáamków zwykáych i liczb zapisanych dziesiĊtnie, ale to juĪ klasy starsze. Wczesne wprowadzanie osi liczbowej to kolejne pozorne uáatwienie metodyczne. TakĪe w wyniku tych prób zagoĞciáo na dobre w naszych szkoáach juĪ na poziomie klas 1–3, zjawisko zdegenerowanego formalizmu6, polegające na bezmyĞlnym operowaniu symbolami, bez wnikania w ich sens i cel ich uĪycia. WczeĞniej pojawiaáo siĊ ono zazwyczaj pod koniec szkoáy podstawowej, gdy uczniowie zaczynali uĪywaü jĊzyka algebry. 5 Por. np. E. Gruszczyk-KolczyĔska, Dzieci ze specyficznymi trudnoĞciami w uczeniu siĊ matematyki, WSiP, Warszawa 1992. 6 Por. np. Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, t. 2, WSiP, Warszawa 1977, s. 105.

ĩeby ograniczyü zakres tego zjawiska, a moĪe nawet nie dopuĞciü do jego powstania, starajmy siĊ rozmawiaü z dzieümi, uĪywając naturalnego jĊzyka i unikając matematycznego „Īargonu”. Zamiast siĊgaü po pozorne uáatwienia metodyczne, odwoáujmy siĊ do rzeczywistych doĞwiadczeĔ uczniów i posiadanej przez nich wiedzy, zwáaszcza zdobytej poza szkoáą. I starajmy siĊ, aby to, co robimy w szkole wywodziáo siĊ, czy chociaĪ nawiązywaáo do tego, co nas otacza i z czym obcujemy na co dzieĔ – Īeby byáo realistyczne z punktu widzenia ucznia. A co z jĊzykiem drzewek, wciąĪ czĊsto uĪywanym przy okazji wprowadzania reguá rządzących kolejnoĞcią wykonywania dziaáaĔ? To takĪe doĞü skomplikowany i formalny jĊzyk symboliczny. Nie wiemy, czy autorzy prezentowanych wczeĞniej „drzewkopodobnych” obliczeĔ poznawali i üwiczyli stosowanie reguá dotyczących kolejnoĞci wykonywania dziaáaĔ za pomocą drzewek, choü wydaje siĊ to bardzo prawdopodobne (por. rozwiązanie 7, s. 27). JeĞli tak byáo rzeczywiĞcie, to przedstawione prace dzieci mogą byü powaĪnym sygnaáem, Īe mamy do czynienia z kolejnym pozornym uáatwieniem metodycznym – zysk niewielki, natomiast trudnoĞci wiele. Z przytoczonych prac uczniów moĪe páynąü pewna ogólniejsza nauka: Gdy dziecko nie rozumie tego, co mu proponujemy, czĊsto zaczyna budowaü wáasne strategie, które mają zastąpiü te proponowane przez nas. JeĞli nie bĊdziemy zachĊcaü uczniów do dziaáania oraz mówienia i jeĞli nie bĊdziemy ich uwaĪnie sáuchaü (zamiast nimi dyrygowaü i wkáadaü w ich usta oczekiwaną odpowiedĨ), to nie zauwaĪymy w porĊ, Īe strategie te są báĊdne i nie bĊdziemy mogli szybko oraz skutecznie ich skorygowaü. A to oznacza liczne i bolesne zawodowe rozczarowania.

Zarówno ogólne wyniki, jak i prace dzieci pokazują, Īe obliczenia záoĪone są dla uczniów trudniejsze niĪ siĊ powszechnie uwaĪa i mogą byü Ĩródáem sporych káopotów – i to zarówno ze wzglĊdu na samą towarzyszącą im notacjĊ, jak i przestrzeganie przyjĊtych w związku z nimi reguá. Co moĪemy zrobiü, Īeby káopoty te byáy moĪliwie jak najmniej dokuczliwe?

Zanim podejmiemy próbĊ udzielenia odpowiedzi na to pytanie, sformuáujmy jeszcze jedno: 31

Do czego są nam potrzebne obliczenia záoĪone?

Na ostatnie pytanie odpowiedĨ jest stosunkowo prosta: przydają siĊ przy rozwiązywaniu zadaĔ tekstowych – zamiast kilku kolejnych zapisów, moĪemy zrobiü jeden i szybciej dojĞü do celu. I to jedyny racjonalny powód, dla którego warto siĊ nimi zajmowaü. Jest to zatem narzĊdzie sáuĪące wygodnemu rozwiązywaniu zadaĔ tekstowych, ale – jak kaĪde narzĊdzie – bĊdzie dobrze peániü swoją funkcjĊ, jeĞli uczeĔ bĊdzie gotowy rozsądnie siĊ nim posáuĪyü. W innym przypadku, nie tylko nie pomoĪe, ale wrĊcz utrudni rozwiązywanie zadaĔ. Skoro obliczenia záoĪone sáuĪą zadaniom tekstowym, to moĪe warto zacząü o nich mówiü wáaĞnie przy okazji rozwiązywania zadaĔ? Janek kupiâ 4 butelki wody mineralnej, a jego tata jeszcze trzy zgrzewki tej samej wody, po 8 butelek w kaİdej zgrzewce. Ile butelek wody âċcznie kupili?

Rozwiązując „arytmetycznie” to zadanie, moĪna sporządziü przynajmniej trzy róĪne zapisy: I.

3 × 8 = 24 24 + 4 = 28

II. 3 × 8 + 4 = 24 + 4 = 28

Pierwszy jest dla dziecka najprostszy. Jest równieĪ najlepszy z punktu widzenia sztuki rozwiązywania zadaĔ tekstowych – dziecko stawia sobie kolejne pytania: Ile butelek wody byáo razem w zgrzewkach? To ile butelek byáo áącznie?

i odpowiadając na nie, buduje rozwiązanie zadania. Warto pozwoliü uczniom jak najdáuĪej stosowaü tĊ metodĊ – zaowocuje to wyĪszym poziomem umiejĊtnoĞci rozwiązywania zadaĔ. Drugi sposób, dziĊki zmianie kolejnoĞci zapisu danych, omija kwestiĊ kolejnoĞci dziaáaĔ – do sukcesu wystarczy naturalna reguáa „od lewej do prawej”. Dopiero przy trzeciej formie zapisu „dotykamy” kolejnoĞci. Jednak porządek wykonania tych obliczeĔ moĪe byü tylko jeden, bo wynika on z kontekstu, z tego, co oznacza kaĪda z liczb:

III. 4 + 3 × 8 = 4 + 24 = 28

Jaki sens moĪe mieü dodawanie butelek do zgrzewek? Co najpierw trzeba obliczyü?

MoĪe warto sprawiü, aby reguáy dotyczące kolejnoĞci wykonywania dziaáaĔ wiązaáy siĊ, czy nawet wynikaáy, w ĞwiadomoĞci dziecka z pewnych konkretnych kontekstów sytuacyjnych? Aby dziecko, widząc np. zapis 8 + 5 × 12 mogáo mu nadaü, przynajmniej na początku, pewien realistyczny sens, uruchamiający wáaĞciwy szyk obliczeĔ? Okazji do tego jest przecieĪ wiele: Ania miaâa zapakowaþ do pudeâek 30 bombek. Zapakowaâa juİ 3 pudeâka, do kaİdego wkâadajċc po 6 bombek. Ile bombek ma jeszcze zapakowaþ? W stoâówce jest 6 duİych stoâów i 4 maâe. Przy duİym stole moİe siedzieþ 10 osób, a przy maâym 4. Ile jest miejsc w tej stoâówce?

Byü moĪe powinniĞmy takĪe pamiĊtaü o tym, Īe jĊzyk mówiony i pisany ma charakter liniowy – sáowa padają i są odbierane w pewnej jednoznacznej kolejnoĞci. Jaki to ma związek z kolejnoĞcią wykonywania dziaáaĔ? Prawie zawsze, gdy podajemy reguáy rządzące kolejnoĞcią, z naszych ust pada taka (lub bardzo zbliĪona) formuáa: najpierw mnoĪenie i dzielenie, potem dodawanie i odejmowanie. Jaki jest niezmienny(!) szyk wymienianych dziaáaĔ? Pierwsze: mnoĪenie, drugie: dzielenie, trzecie: dodawanie, czwarte: odejmowanie. MoĪe powtarzając wielokrotnie i niezmiennie te sáowa, nieĞwiadomie tworzymy warunki do tego, aby dzieci zbudowaáy sobie takie wáaĞnie priorytety dziaáaĔ jak powyĪej? Znaczna czĊĞü uczniów ujawniáa je w swoich obliczeniach. MoĪe warto zmieniaü ten szyk: najpierw dzielenie oraz mnoĪenie, potem odejmowanie i dodawanie oraz samo sformuáowanie: w pierwszej kolejnoĞci dzielenie albo mnoĪenie... JeĞli przy pierwszej takiej próbie zauwaĪymy u dzieci oznaki zaniepokojenia, to moĪe byü sygnaá, Īe proces generalizowania wáasnych reguá juĪ trwa. PamiĊtajmy, Īe áatwiej jest zapobiegaü niĪ leczyü.

STOSOWANIE RÓĩNYCH STRATEGII LICZENIA ĩyjemy w epoce gwaátownego postĊpu technicznego i cywilizacyjnego, kaĪdego roku pojawiają siĊ kolejne urządzenia uáatwiające nam Īycie. W roku 1974 powstaá pierwszy kieszonkowy kalkulator – urządzenie, które zbudowano po to, Īeby zdjąü z nas ciĊĪar Īmudnych mechanicznych obliczeĔ. Jest to wciąĪ doĞü „ĞwieĪy” wynalazek – niedawno obchodziá swoje trzydziestolecie. DziĞ kalkulatory montowane są w telefonach komórkowych, zegarkach, lampkach biurowych. NajtaĔsze, czterodziaáaniowe kalkulatory kosztują kilka záotych. Czy nauczyliĞmy siĊ z nich korzystaü w procesie rozwijania umiejĊtnoĞci matematycznych dzieci albo chociaĪ „wspóáĪyü” z nimi? A moĪe raczej Īyjemy w skrywanym lĊku przed tym niewielkim urządzeniem, które doĞü powszechnie w naszym kraju uwaĪane jest za powaĪne zagroĪenie dla uczniowskiej umiejĊtnoĞci wykonywania obliczeĔ? Historia uczy, Īe postĊpu technicznego nie da siĊ zatrzymaü, wiĊc wczeĞniej czy póĨniej „widmo kalkulatora” energicznie zapuka do drzwi polskiej szkoáy. Puka juĪ dziĞ, o czym Ğwiadczą obliczenia wykonywane pod áawkami, ale maáo kto ma odwagĊ sobie to w peáni uĞwiadomiü. Czy moĪna sprawiü, Īeby kalkulator byá sprzymierzeĔcem, a nie wrogiem? Wydaje siĊ, Īe jest tylko jedno dobre wyjĞcie z tej sytuacji: jeĞli chcemy, aby dzieci nie siĊgaáy przy kaĪdym obliczeniu po kalkulator, musimy je przekonaü, Īe mogą i potrafią wiele rzeczy obliczyü, np. w pamiĊci – skutecznie i bezpiecznie, a czĊsto takĪe szybciej niĪ na kalkulatorze!

NajwyĪsza pora, abyĞmy zdali sobie sprawĊ z tego, Īe zadaniem szkoáy jest nie tylko nauczyü dzieci liczyü, ale przede wszystkim: nauczyü dzieci liczyü sprytnie! Co to znaczy sprytnie? To znaczy np. tak: Nauczycielka: Ania: Nauczycielka: Ania:

Nauczycielka: Ania:

Ile to jest 58 + 76? ProszĊ, Ania. 134. A jak to policzyáaĞ? Z pierwszej liczby wziĊáam 50 i z drugiej 50, to razem 100. Tu zostaáo 8, a tu 26, to razem 34, czyli 134. Sprytnie. To policz jeszcze, ile to jest 45 + 39. Tu muszĊ zastosowaü inną metodĊ. 45 i 35 to 80. Razem 84!

Okazaáo siĊ, Īe Ania, uczennica klasy 3, nie tylko zna i stosuje kilka metod dodawania w pamiĊci, ale zauwaĪyáa równieĪ, Īe w róĪnych sytuacjach warto siĊgaü po róĪne metody. ZaczĊáa rozwijaü swoją zaradnoĞü arytmetyczną – umiejĊtnoĞü, która powinna byü zasadniczym celem edukacji matematycznej nie tylko w klasach 1–3. TakĪe wspóáczesna psychologia zwraca szczególną uwagĊ na znaczenie samodzielnoĞci i aktywnoĞci intelektualnej uczniów w procesie ksztaácenia dla ich rozwoju7. Jednym z podstawowych zadaĔ stojących przed szkoáą, i to na kaĪdym etapie jej funkcjonowania, powinno byü tworzenie warunków do budowania przez dzieci róĪnych strategii: liczenia, rozwiązywania zadaĔ, radzenia sobie z problemami itd. W ten sposób uczą siĊ one posáugiwaü swoją wiedzą, nabierają zaufania do siebie, poprawiają swoją samoocenĊ, rozwijają kreatywnoĞü, a takĪe przekonują siĊ o uĪytecznoĞci matematyki. Ucząc siĊ tworzenia i stosowania strategii, uczą siĊ tego, co w ich dorosáym Īyciu moĪe byü jednym z najwaĪniejszych i najbardziej przydatnych narzĊdzi intelektualnych. Jedno z zadaĔ w badaniu umiejĊtnoĞci trzecioklasistów miaáo skáoniü uczniów wáaĞnie do ujawnienia stosowanych strategii obliczeniowych:

Dwa pierwsze przykáady miaáy zachĊciü uczniów do zademonstrowania swojej zaradnoĞci w zakresie dodawania i odejmowania – ich wyniki są, przy odrobinie matematycznego sprytu, doĞü oczywiste na pierwszy rzut oka. W przypadku trzeciego przykáadu uczniowie powinni byü skazani na metody „niepisemne”, poniewaĪ algorytm pisemnego dzielenia przez liczby wielocyfrowe pojawia siĊ dopiero w klasie czwartej.

Por. np. D. Klus-StaĔska, M. Nowicka, Sensy i bezsensy edukacji wczesnoszkolnej, WSiP, Warszawa 2005.

Efekty poczynaĔ uczniów prezentuje poniĪszy diagram: 90%

80,8%

80% 70%

57,2%

60%

52,7%

50% 39,4%

40% 28,4%

30% 20%

14,3% 6,7% 12,5%

7,9%

10% 0%

199 + 87 poprawnie pisemnie

106 – 99 poprawnie w inny sposób

150 : 25 báĊdnie lub brak

Diagram 7. „Wáasne” strategie liczenia uczniów – procent poprawnych obliczeĔ.

Ogromna wiĊkszoĞü uczniów, bo aĪ 90,2%, zastosowaáa do znalezienia sumy 199 + 87 algorytm dodawania pisemnego – 80,8% wykonaáo obliczenia poprawnie, a 9,4% báĊdnie. Tylko 9,1% uczniów siĊgnĊáo po inne metody, przy czym 6,7% uzyskaáo dobry wynik, najczĊĞciej po prostu go podając, a 2,4% pomyliáo siĊ. W przypadku odejmowania 106 – 99 po algorytm pisemny siĊgnĊáo 81,6% uczniów – 57,2% zastosowaáo go poprawnie, a 24,4% – czyli ok. ¼ wszystkich uczniów – popeániáo w obliczeniach pisemnych báąd. Inną strategiĊ zastosowaáo 16,8% uczniów: 14,3% skutecznie, takĪe i tu najczĊĞciej od razu podając poprawny wynik, a 2,5% báĊdnie. TakĪe w przypadku dzielenia 150 : 25, czyli liczby trzycyfrowej przez dwucyfrową(!), spora czĊĞü uczniów, bo 36,6%, staraáa siĊ zastosowaü algorytm pisemnego dzielenia – i aĪ 7,9% uczniów zrobiáo to skutecznie. Innych metod próbowaáo 58,3% dzieci – 39,4% z sukcesem. Zwraca uwagĊ fakt, Īe ponad poáowa uczniów nie poradziáa sobie z tym prostym dzieleniem. Tylko 3,5% uczniów w kaĪdym z trzech przypadków siĊgnĊáo z powodzeniem po inny, niĪ algorytm pisemny, sposób znalezienia wyniku. Jak widaü, z zaradnoĞcią arytmetyczną naszych uczniów jest zwyczajnie Ĩle. Potwierdzają to zresztą takĪe wszystkie inne prowadzone badania8.

8 Por. np. R. Dolata, B. Murawska, E. Putkiewicz, M. ĩytko, Monitorowanie osiągniĊü szkolnych jako metoda doskonalenia edukacji, Wydawnictwo „ĩak”, Warszawa 1997.

Spójrzmy na „niepisemne” strategie stosowane przez uczniów w przypadku dodawania. Dwie pierwsze polegają na rozbiciu obu lub jednego skáadnika na dziesiątki i jednoĞci: 1.

Obliczenia 3 i 4 to „dodawanie po kawaáku” lub dopeánianie do peánych setek, róĪnią siĊ one tylko zapisem. Ostatnia strategia (5) jest bardziej zagadkowa – uczeĔ dodawanie 199 + 1 zastąpiá dziaáaniem 190 + 10, trudno powiedzieü, czym siĊ kierowaá. 5.

3. 4.

Zapis drugiej i czwartej strategii jest charakterystyczny dla kilkuetapowego obliczenia wykonywanego w pamiĊci. Z formalnego punktu widzenia jest on oczywiĞcie niepoprawny, ale precyzyjnie oddaje dynamikĊ i kolejnoĞü wykonywanych operacji. W badaniu tego typu rozwiązania byáy „zaliczane”. Bardzo áadna strategia dodawania pojawiáa siĊ takĪe przy okazji rozwiązywania zupeánie innego zadania:

Wypeániając piramidkĊ uczeĔ, zamiast trudnego dodawania 39 + 25, wykonaá zdecydowanie prostsze dziaáanie: 40 + 24. Nieco wiĊkszą róĪnorodnoĞü stosowanych strategii przyniosáo odejmowanie: 1.

Dwie pierwsze metody są analogiczne do początkowych strategii dodawania. W trzecim obliczeniu uczeĔ uznaá, i sáusznie, Īe dziaáanie 106 – 100 jest duĪo prostsze, trzeba

tylko potem dokonaü korekty wyniku. Podobnie w strategii 4: uczeĔ zacząá od dziaáania 100 – 99, po czym odpowiednio zwiĊkszyá uzyskany wynik. 5.

Strategie 5 i 6 to dwa róĪne przykáady sprytnego „odejmowania po kawaáku”. Inny przykáad zastosowania tej samej strategii pojawiá siĊ przy okazji odejmowania wyraĪeĔ dwumianowanych:

Bardzo ryzykownie, ale skutecznie, rozumowaá autor strategii 7, który (Ğwiadomie lub nie), wykorzystaá zapis z minusem przed nawiasem. Stosowanie tej strategii wymaga albo sporej dojrzaáoĞci matematycznej, albo szczĊĞcia, czego zabrakáo np. autorowi tych obliczeĔ:

Podczas dzielenia 150 : 25 dominowaáy dwie metody postĊpowania: í rozkáad:

í oraz dzielenie pisemne lub jego próby:

Pojawiáy siĊ takĪe róĪne metody sprawdzenia, czy obliczony w pamiĊci wynik jest poprawny. Warto zwróciü uwagĊ na bardzo dojrzaáy pomysá sprawdzenia dzielenia za pomocą ... innego dzielenia.

Przy okazji: czy przekreĞlone dzielenie pisemne na ostatniej kartce powyĪej jest poprawnie wykonane? Sporej liczby ciekawych obserwacji dostarczają báĊdne próby uczniów, niekiedy bardzo trudne do zinterpretowania – zarówno te związane przede wszystkim z rozkáadem liczby 150:

jak i dotyczące dzielenia pisemnego:

W dwóch początkowych próbach widaü wyraĨnie, jak uczniowie usiáują – przez analogiĊ – zbudowaü ten algorytm: jeĞli dwucyfrowa, to moĪe raz jedna cyfra, a raz druga?

I tylko martwi „krzyk bezradnoĞci” czĊĞci uczniów:

oraz niski ogólny poziom wykonania tego dzielenia – poniĪej 50%. A co z tą „wiĊkszą poáówką”? Prawdopodobnie ich wiedza dotycząca dzielenia nie daje siĊ zastosowaü skutecznie nigdzie, poza najbardziej typowymi, „utrwalonymi” sytuacjami.

RozwiĔmy nieco i wzbogaümy strategie, które pojawiáy siĊ w obliczeniach uczniów. Zacznijmy od dodawania:

26 + 37 = ? 20 i 30 to 50, 6 i 7 to 13, razem 63; jest to najpopularniejszy sposób dodawania w pamiĊci u dzieci i u dorosáych: najpierw dziesiątki, potem jednoĞci; 6 i 7 to 13, 20 i 30 to 50, 50 i 13 to 63; mniej í popularny od poprzedniego, ale równieĪ doĞü czĊsto wystĊpujący, bo bardzo „szkolny” – najpierw jednoĞci, potem dziesiątki, czyli „od prawej do lewej”; 26 i 30 to 56, 56 i 7 to 63; zaczynamy dodawaü „po í kawaáku”, ale na razie w sposób doĞü mechaniczny. Zaletą tych trzech strategii jest, bez wątpienia, ich ogólnoĞü – dokáadnie w ten sam sposób postĊpujemy w przypadku kaĪdego wykonywanego dodawania (liczb dwucyfrowych). To, Īe nie zwracamy uwagi na specyfikĊ liczb wystĊpujących w dziaáaniu jest takĪe podstawową sáaboĞcią tych strategii – nie uáatwiają nam one specjalnie Īycia. najpierw do 26 dodajmy 4, to bĐdzie 30, i teraz í dodajmy resztĐ, czyli 33, to razem 63; znowu „po kawaáku”, ale sprytniej, bo zaczynamy od dopeánienia do peánych dziesiątek;

37 i 3 to 40, i 23 to 63; dopeánienie „w drugą stronĊ”, które dla czĊĞci dzieci moĪe byü obliczeniowo duĪo prostsze od strategii poprzedniej – im liczba bliĪsza peánej dziesiątki, tym áatwiejsze jest jej dopeánienie; 26 i 34 to 60, i jeszcze 3, to 63 (albo „w drugą stronĊ”); znowu dopeánienie, ale do duĪo wiĊkszej liczby dziesiątek; 25 i 35 to 60, z pierwszej liczby zostaâo 1, z drugiej 2, to razem 63 (albo „w drugą stronĊ”); niektóre dzieci

preferują dodawanie „okrągáych” liczb, np. koĔczących siĊ piątkami, takie dodawanie jest dla nich duĪo áatwiejsze. Te strategie odwoáują siĊ juĪ do postaci dodawanych liczb, dziĊki czemu obliczenia stają siĊ znacznie prostsze. MoĪna je stosowaü tam, gdzie wystĊpuje przekraczanie progu dziesiątkowego. Ostatnia strategia wymaga dodatkowo, aby cyfry jednoĞci w dodawanych liczbach nie byáy mniejsze od 5. Kolejne metody jeszcze szybciej prowadzą do celu: í 30 i 37 to 67, ale to o 4 za duİo, wiĐc 63 (albo: 40 i 26 to 66, ale to o 3 za duİo...); duĪo áatwiej jest dodawaü peáne dziesiątki, wiĊc zastąpmy 26 przez 30, zróbmy proste dodawanie, a potem odpowiednio zmodyfikujmy wynik – trzeba go zmniejszyü o 4; 30 i 40 to 70, tu wziĐliĤmy o 4 za duİo, a tu o 3, to í razem 7, czyli 63; tym razem zmienione zostaáy oba skáadniki; zamiast 26 i 37 mogĐ dodaþ 30 i 33 (albo: 40 i 23), í to 63; jeĞli jedną z liczb zwiĊkszymy, a drugą zmniejszymy o tyle samo, to wynik pozostanie bez zmian, zróbmy to tak, aby otrzymaü peáną dziesiątkĊ. To tylko „pierwsza dziesiątka” moĪliwych sposobów znalezienia wyniku tego dziaáania. JeĞli bĊdziemy regularnie zachĊcaü dzieci do opowiadania, w jaki sposób wykonują obliczenia, to powyĪsza lista szybko uzupeáni siĊ o kolejne pomysáy. Podobne, a moĪe i wiĊksze, bogactwo moĪliwych strategii istnieje takĪe dla odejmowania:

53 – 28 = ? í

13 odjċþ 8 to 5, 40 odjċþ 20 to 20, razem 25; najbardziej typowo „szkolny” sposób odejmowania, osoby dorosáe odejmujące w ten sposób w pamiĊci, czĊsto „widzą przed oczyma” odpowiedni „sáupek”;

53 minus 20 to 33, 33 minus 8 to 25; zaczynamy odejmowaü po kolei, najpierw dziesiątki, potem jednoĞci, czyli doĞü mechanicznie, bez zwracania uwagi na postaü liczb;

53 minus 8 to 45 i jeszcze odjċþ 20 to 25;

analogicznie jak powyĪej, ale zaczynając od jednoĞci, niektórym osobom ta kolejnoĞü wydaje siĊ bardziej naturalna, bo „od prawej do lewej”. Trzy metody, które mają dokáadnie te same zalety i wady, co analogiczne metody dla dodawania: ogólnoĞü i wysoki poziom trudnoĞci wykonywanych obliczeĔ. í 53 minus 3 to 50, teraz odejmujemy resztĐ, czyli 25; ponownie odejmowanie „po kawaáku”, ale znacznie sprytniej niĪ poprzednio, bo odejmowanie od peánych dziesiątek jest duĪo áatwiejsze; 53 odjċþ 23, to 30, odjċþ 5, to 25; znowu po kolei, í ale zaczynając od najwiĊkszej moĪliwej wygodnej liczby. Sprytne odejmowanie po kolei to potĊĪna strategia, której uĪytecznoĞü roĞnie wraz z wielkoĞcią odejmowanych liczb (por. dalej). 50 minus 28 to 22, ale to o 3 za maâo, wiĐc 25; zastĊí pujemy odejmowanie innym, prostszym, po czym robimy odpowiednią korektĊ wyniku; 48 odjċþ 28, to 20, dodaþ 5, to 25; znowu í zastĊpujemy dziaáanie innym, duĪo prostszym, o mniejszym wyniku, po czym uzupeániamy „braki”; 58 minus 28, to 30, ale to o 5 za duİo, wiĐc 25; tym í razem koĔcowa korekta ma na celu odpowiednie zmniejszenie wyniku. Okazuje siĊ, Īe przy odrobinie sprytu odejmowanie staje siĊ prostym dziaáaniem. „Wygodne” zmniejszanie i zwiĊkszanie odjemnej jest bezpieczną operacją – jest doĞü oczywiste, jak zmiany te wpáywają na wielkoĞü otrzymywanego wyniku. DuĪo ryzykowniejszym pomysáem (por. s. 38), choü teĪ skutecznym, jest „grzebanie” przy odjemniku: í duİo âatwiej jest odjċþ peâne dziesiċtki, wiĐc najpierw 53 odjċþ 30, to 23, ale odjĐliĤmy o 2 za duİo, wiĐc wynik bĐdzie o 2 wiĐkszy, czyli 25;

50 odjċþ 30 to 20, teraz jeszcze 3 i 2, to 25.

Dwie nastĊpne strategie wymagają nie tylko sprytu, ale takĪe spostrzegawczoĞci: í zamiast 53 odjċþ 28, mogĐ wykonaþ duİo prostsze odejmowanie: 50 – 25, czyli 25; jeĞli obie liczby zwiĊkszymy lub zmniejszymy o tĊ samą liczbĊ, to nadal bĊdą róĪniü siĊ o tyle samo; 42

jeszcze proĤciej jest, gdy odejmujemy peâne dziesiċtki: 55 odjċþ 30, to 25.

Tym razem mamy „pierwszą dwunastkĊ” strategii odejmowania w pamiĊci, a to jeszcze nie koniec. Które z tych strategii dodawania i odejmowania są najlepsze? OdpowiedĨ jest prosta: te, które dają uczniowi najwiĊksze poczucie bezpieczeĔstwa, które rozumie i potrafi stosowaü, bo – byü moĪe – sam je wymyĞliá.

Kolejka w sklepie spoĪywczym. Teraz my. TrzydzieĞci cztery piĊüdziesiąt – informuje kasjerka. Dajemy 50 zá. JeĞli mamy szczĊĞcie, to – mimo obecnoĞci na ladzie kasy fiskalnej – usáyszymy za chwilĊ nastĊpujące sáowa, towarzyszące wydawaniu reszty: TrzydzieĞci piĊü (w naszą stronĊ wĊdruje moneta piĊüdziesiĊciogroszowa); CzterdzieĞci (tym razem 5 záotych); PiĊüdziesiąt (banknot 10 záotych); DziĊkujĊ (na tym koniec, wiĊcej juĪ nie bĊdzie). Ile reszty dostaliĞmy? Trudne, czy nawet bardzo trudne, odejmowanie: 50 zá – 34,50 zá = ? zostaáo zastąpione bardzo prostym dodawaniem: 0,50 zá + 5 zá + 10 zá = 15,50 zá. Dlaczego ta metoda jest dobra? Bo róĪnica mówi nam o tym, o ile róĪnią siĊ obie liczby, czyli ile trzeba dodaü do mniejszej, aby otrzymaü wiĊkszą z nich. Taką strategiĊ odejmowania przyjĊto nazywaü odejmowaniem przez dopeánianie. PrzeĞledĨmy jej dziaáanie na kilku przykáadach: 16 – 9 = ?

1 (do 10) i 6 (do 16) to 7

34 – 16 = ?

4 (do 20) i 10 (do 30) i 4 (do 34) to 18

81 – 37 = ?

3 (do 40) i 40 (do 80) i 1 (do 81) to 44

103 – 46 = ?

4 (do 50) i 50 (do 100) i 3 (do 103) to 57

I stopniowo upraszczając zapis w miarĊ oswajania siĊ z metodą i nabierania wprawy: 76 – 29 = ?

1 (do 30) i 46 (do 76) to 47

151 – 117 = ?

3 (do 120) i 31 (do 151) to 34

133 – 59 = ?

41 (do 100) i 33 (do 133) to 74

67 – 18 = ?

2 i 47 to 49

165 – 88 = ?

12 i 65 to 77

612 – 384 = ?

16 i 212 to 228

1006 – 539 = ? 61 i 400 i 6 to 467. Proste obliczenia w pamiĊci (plus zapisanie kilku liczb, Īeby nie trzeba byáo ich pamiĊtaü) zamiast pisemnego odejmowania z trzykrotnym „rozmienianiem” obok siebie? Strategia ta jest bardzo skuteczna w przypadku przykáadów z wielokrotnym „rozmienianiem”, i raczej nieskuteczna, gdy mamy obliczyü np. 689 – 235. ZaradnoĞü arytmetyczna to nie tylko znajomoĞü strategii, to takĪe, a moĪe nawet przede wszystkim, umiejĊtnoĞü podjĊcia przez ucznia decyzji, która metoda w danej sytuacji bĊdzie najlepsza.

Skuteczna metoda to taka, która uwzglĊdnia specyfikĊ liczb wystĊpujących w dziaáaniu, bo tylko do konkretnych liczb uczeĔ moĪe dobraü wáaĞciwy „chwyt”. Tam, gdzie pojawia siĊ przekraczanie progów, zawsze jest do wyboru kilka sposobów sprytnego i bezpiecznego(!) wykonania obliczeĔ. Przy okazji mogą ujawniü siĊ dodatkowo zupeánie nowe strategie: 35 + 47 = ?

35 + 45 + 2

33 + 47 + 2

35 + 50 – 3

40 + 50 – 8

....

50 + 50 + 16 + 8

66 + 60 – 2

64 + 60

....

80 + 80 + 8 – 1

90 + 79 – 2

....

165 + 55 + 2

....

66 + 58 = ?

66 + 4 + 30 + 24 88 + 79 = ?

90 + 80 – 3 165 + 57 = ?

160 + 60 + 5 – 3 117 + 36 = ?

120 + 40 – 7

....

A jak sprytnie poradziü sobie np. z dodawaniem: 48 + 29 + 25?

Tak: 50 + 30 + 25 – 3, tak: 48 + 2 + 29 + 1 + 22, czy w inny jeszcze sposób? Taka sama sytuacja wystĊpuje w przypadku odejmowania – zawsze istnieje kilka moĪliwoĞci: 61 – 39 = ?

61 – 31 – 8

1 + 21

69 – 39 – 8

62 – 40

90 – 53

....

94 – 57 = ?

94 – 54 – 3

3 + 34 115 – 66 = ?

34 + 15

115 – 15 – 51

....

331 – 164 = ?

36 + 131

.... KwestiĊ wyboru strategii do wykorzystania bez wątpienia warto zostawiü najbardziej zainteresowanemu – czyli uczniowi. Nawet jeĞli jego wybór nie bĊdzie zgodny z naszym, co na pewno czĊsto bĊdzie miaáo miejsce, to bĊdzie to doskonaáa okazja do dyskusji o róĪnych moĪliwych metodach wykonywania obliczeĔ oraz plusach i minusach kaĪdej z nich.

Dodawanie i odejmowanie to dziaáania arytmetyczne, z którymi dziecko czĊsto obcuje w swoim codziennym Īyciu. Od samego początku buduje swoje wyobraĪenia na ich temat i tworzy strategie wykonywania tych operacji. Wystarczy pozwoliü uczniom na stosowanie wáasnych metod obliczeniowych i opowiadanie o nich, aby w naturalny sposób ujawniaáy siĊ róĪne strategie i uczniowie uczyli siĊ ich wzajemnie od siebie. Pytajmy wiĊc nie tylko: „Ile to jest?”, ale takĪe jak najczĊĞciej: „Jak to obliczyáaĞ (obliczyáeĞ)?”. Czasami moĪna zrobiü krok dalej, zadając pytanie: „Dlaczego ten sposób jest dobry?”. Nie zraĪajmy siĊ nieskáadnymi odpowiedziami czy nawet ich brakiem – pytania tego typu uruchamiają duĪo powaĪniejsze procesy myĞlowe niĪ sztampowe pytanie o wynik wykonanego dziaáania. Uczą one wyjaĞniania i uzasadniania, dotykają 45

wprost rozumienia, a nie tylko stosowania schematów. KaĪda kolejna próba ucznia bĊdzie lepsza i skáadniejsza od wczeĞniejszych – rozwijanie tych umiejĊtnoĞci wymaga bowiem okazji i czasu. Warto nagradzaü (komentarzem, pochwaáą, ...) sprytne i oryginalne strategie – przyczyni siĊ to do wiĊkszego zainteresowania ich ujawnianiem, a takĪe poszukiwaniem. ZachĊcenie uczniów do opowiadania o swoich metodach ma jeszcze jedną, trudną do przecenienia, zaletĊ: dziĊki temu moĪemy siĊ dowiedzieü, jak uczniowie naprawdĊ myĞlą, co jest dla nich jasne i zrozumiaáe, a co trudne. Im uczniowie wiĊcej mówią, tym lepiej orientujemy siĊ w ich rzeczywistej wiedzy, a co za tym idzie – dokáadniej moĪemy Ğledziü ich rozwój. Gdy brakuje takiego „sprzĊĪenia zwrotnego”, gdy to przede wszystkim my mówimy, a dzieci sáuchają i wykonują proste polecenia, moĪemy przeĪyü spore rozczarowanie, gdy wreszcie dopuĞcimy je do gáosu – ich wiedza czy sposób rozumowania mogą daleko odbiegaü od tego, czego siĊ spodziewaliĞmy. Tylko niektórzy uczniowie są w stanie skutecznie budowaü strategie, poruszając siĊ jedynie w Ğwiecie symboli. DuĪo wiĊcej szans na to jest wówczas, gdy uczeĔ operuje narzĊdziami, gdy strategie mogą wyrosnąü z dziaáania czy rysunku. Wielu okazji moĪe nam dostarczyü samo Īycie: Kupiáem dwa pudeáka ciastek. Jedno kosztowaáo 4 zá 90 gr, a drugie 5 zá 85 gr. Ile za nie áącznie zapáaciáem? Tu 5 zá bez 10 gr, a tu 6 zá bez 15 gr, razem 11 zá bez 25 gr, czyli 10 zá 75 gr.

Warto wiĊc losowi pomagaü, Ğwiadomie aranĪując odpowiednie sytuacje albo wykorzystując te, które pojawią siĊ w sposób przez nas niezaplanowany. í

Adam i Marek grają w grĊ typu „wyĞcig”. Pionek Adama znajduje siĊ na polu 25, a pionek Marka na polu 28. O ile pól pionek Marka jest bliĪej mety? W kolejnej rundzie gry kaĪdy z nich wyrzuciá po 3 oczka. Gdzie staną ich pionki? Jaka jest teraz przewaga Marka?

W pierwszym stosiku jest 35 klocków, a w drugim 20. Gdzie jest wiĊcej klocków? O ile? Z kaĪdego stosika zabieramy po jednym klocku. Gdzie teraz jest ich wiĊcej? O ile?

Ania narysowaáa na kartce 18 kóáek, a Jagoda 30. Która z nich narysowaáa ich wiĊcej? O ile? KaĪda z dziewczynek dorysowaáa jeszcze po 2 kóáka. Ile kóáek ma kaĪda z nich teraz? Która ma ich wiĊcej? O ile?

Na áawce leĪą dwa stosiki klocków – w mniejszym jest 26 klocków, a w wiĊkszym 37. Przekáadamy 3 klocki z mniejszego stosika na wiĊkszy. Co siĊ staáo z áączną

liczbą klocków? Ile klocków bĊdzie teraz w kaĪdym ze stosików? A ile ich bĊdzie razem?

Trzech cháopców dostaáo po tyle samo klocków. KaĪdy z nich rozáoĪyá swoje klocki na dwie kupki i przeliczyá, ile klocków jest w kaĪdej kupce. Marek miaá w mniejszej kupce 16 klocków, a w wiĊkszej 28. Piotr miaá 18 i 26, a Adam – 14 i 30. Któremu z nich bĊdzie najáatwiej obliczyü, ile ma klocków? Dlaczego?

...

„Okazje” symboliczne to nastĊpny, bardziej zaawansowany krok. í

Spójrz na te dziaáania. Czym siĊ one róĪnią? A co je áączy? Uzupeánij wyniki.

30 + 17 =

33 + 17 =

20 + 26 =

15 + 40 =

29 + 17 =

33 + 18 =

19 + 25 =

16 + 39 =

28 + 17 =

33 + 19 =

18 + 24 =

17 + 38 =

27 + 17 =

33 + 20 =

17 + 23 =

18 + 37 =

...

... ... ... Jak bĊdą wyglądaáy kolejne dziaáania? Dlaczego?

Ponownie przyjrzyj siĊ seriom dziaáaĔ. Co je áączy? Uzupeánij wyniki.

30 – 17 =

35 – 20 =

30 – 17 =

53 – 30 =

31 – 17 =

35 – 19 =

31 – 18 =

52 – 29 =

32 – 17 =

35 – 18 =

32 – 19 =

51 – 28 =

33 – 17 =

35 – 17 =

33 – 20 =

50 – 27 =

...

... ... ... Jakie bĊdą wyniki kolejnych dziaáaĔ w kaĪdej z tych serii?

Wszystkie te dziaáania mają taki sam wynik. Jaki? 21 – 7 22 – 8 23 – 9 24 – 10 Dlaczego ich wyniki są takie same?

52 – 47 = 5. Jakie inne liczby dwucyfrowe trzeba odjąü, aby otrzymaü w wyniku 5?

...

Praktyka pokazuje, Īe nie naleĪy zmuszaü dzieci, aby to samo obliczenie wykonywaáy na kilka róĪnych sposobów – trudno jest im wyjaĞniü w zrozumiaáy (dla nich!) sposób sens ponownego liczenia czegoĞ, co juĪ jest znane. Nie przeszkadza to jednak temu, Īeby róĪni uczniowie pokazali swoje (róĪne) sposoby dojĞcia do wyniku. Nie jest równieĪ dobrym pomysáem zmuszanie uczniów do zmiany stosowanej strategii liczenia, jeĞli tylko strategia ta jest wystarczająco skuteczna. Zawsze natomiast warto pokazywaü, Īe postĊpując w inny sposób, moĪna byáo ten sam cel osiągnąü proĞciej i szybciej. Gdy dziecko zrozumie nową metodĊ, samo ją zastosuje, o ile faktycznie jest prostsza – z jego punktu widzenia!

WiĊkszoĞü z tworzonych strategii ma znacznie szerszą przydatnoĞü niĪ na pierwszy rzut oka siĊ wydaje. PrzeĞledĨmy to na przykáadach: 64 dag + 57 dag = ?

1 m 78 cm + 63 cm = ?

5 zá 85 gr + 3 zá 60 gr = ?

50 + 50 + 14 + 7 (dag) 64 + 36 + 21 (dag) 70 + 60 – 9 (dag) 60 + 60 + 4 – 3 (dag) ...

1 m 78 cm + 22 cm + 41 cm 1 m 70 cm + 60 cm + 11 cm 1 m 80 cm + 60 cm – 2 cm + 3 cm 2 m + 63 cm – 22 cm ...

3 zá 60 gr + 40 gr + 5 zá 45 gr 5 zá 40 gr + 3 zá 60 gr + 45 gr 9 zá 60 gr – 15 gr 10 zá – 55 gr ...

93 cm – 67 cm = ?

2 kg 30 dag – 94 dag = ?

7 zá 36 gr – 5 zá 88 gr = ?

93 – 63 – 4 (cm) 3 + 23 (cm) 96 – 70 (cm) 97 – 67 – 4 (cm) ...

6 dag + 1 kg 30 dag 2 kg 30 dag – 30 dag – 64 dag 2 kg 36 dag – 1 kg ...

12 gr + 1 zá 36 gr 7 zá 36 gr – 5 zá 36 gr – 52 gr ...

3,99 zá + 2,85 zá = ?

4,88 zá + 0,30 zá = ?

/4 + 1/4 + 2/4 ...

7 zá – 0,16 zá ...

4,70 zá + 0,30 zá + 0,18 zá ...

11/5 – 4/5 = ? /5 + 1/5 ...

16,30 zá – 7,89 zá = ? 0,11 zá + 2 zá + 6,30 zá ...

1,12 zá – 0,87 zá = ? 0,13 zá + 0,12 zá ...

/4 + 3/4 = ?

Jak widaü, czas poĞwiĊcony na budowanie przez dzieci strategii dodawania i odejmowania liczb naturalnych moĪe procentowaü w wielu innych momentach procesu ksztaácenia: przy operacjach na wyraĪeniach jedno- i dwumianowanych, przy dodawaniu i odejmowaniu wyraĪeĔ dwumianowanych zapisanych dziesiĊtnie, a nawet przy okazji uáamków zwykáych. Musimy tylko sami mieü tego ĞwiadomoĞü, Īeby w odpowiednim momencie uáatwiü dzieciom zauwaĪenie tych analogii albo zwróciü na nie ich uwagĊ. W ten sposób uczniowie nie tylko przekonują siĊ o uĪytecznoĞci stosowanych przez siebie metod i nabierają wiary w swoje siáy, ale takĪe poznają jedno z najpotĊĪniejszych narzĊdzi matematycznej twórczoĞci – rozumowanie przez analogiĊ.

Te same strategie przydadzą siĊ jeszcze wielokrotnie w klasach starszych: í

gdy trzeba bĊdzie dodawaü i odejmowaü wiĊksze liczby

5088 + 1976 = ?

1976 + 24 + 5064

5100 + 1900 – 12 + 76

...

5031 – 3848 = ?

52 + 100 + 1031

5048 – 3848 – 17

...

gdy w centrum zainteresowania ucznia znajdą siĊ liczby dziesiĊtne

4,85 + 3,67 = ?

4,85 + 3,15 + 0,52

5 + 4 – 0,15 – 0,33

...

13,12 – 8,8 = ?

0,2 + 1 + 3,12

13,32 – 9

...

gdy operacje na uáamkach o takich samych mianownikach zaczną siĊ komplikowaü

45/7 + 34/7 = ?

5 + 32/7

5 + 4 – 2 /7 – 3 /7

...

71/8 – 56/8 = ?

71/8 – 51/8 – 5/8

...

/8 + 11/8

a nawet w takich, spĊdzających czĊsto uczniom sen z powiek, sytuacjach: 41/8 – 38/9 = 1/9 + 1/8 = ...,

w których wprawdzie nie dostaniemy od razu wyniku, ale bardzo trudne odejmowanie zastąpimy nieporównywalnie prostszym dodawaniem. I tylko przy okazji nasuwa siĊ pytanie: Do czego potrzebne są nam tradycyjne algorytmy dodawania i odejmowania pisemnego?

STOSOWANIE ALGORYTMÓW DZIAàAē PISEMNYCH Algorytmy dziaáaĔ pisemnych to chyba najbardziej „stabilny” obszar tematyczny szkolnej matematyki. Od lat jest to jedno z najwaĪniejszych matematycznych zagadnieĔ polskiego nauczania początkowego (i klas nastĊpnych), które pocháania mnóstwo czasu i energii wszystkich najbardziej zainteresowanych: nauczycieli, uczniów, a takĪe ich rodziców. Przez ostatnie piĊüdziesiąt lat w polskiej szkole pod tym wzglĊdem nie zmieniáo siĊ nic. Na ogóá nie zmieniá siĊ równieĪ sposób, w jaki dzieci uczą siĊ algorytmów dziaáaĔ pisemnych – dzisiaj uczniowie poznają i opanowują je w ten sam sposób, jak ich rodzice üwierü wieku temu, a rodzice robili to tak samo jak ich rodzice, kolejnych dwadzieĞcia piĊü lat wczeĞniej. Trudno znaleĨü inny fragment szkolnej edukacji, w którym tradycja byáaby bardziej namacalna i bardziej powszechnie akceptowalna. Opanowanie kaĪdego z czterech algorytmów dziaáaĔ pisemnych badane byáo za pomocą trzech przykáadów o rosnącym stopniu trudnoĞci: A

Procent poprawnie wykonanych obliczeĔ dla kaĪdego z tych przykáadów przedstawia diagram: 100% 90%

93,1%92,5%

88,7%

86,0% 80,4% 72,3%

80% 70%

69,3%

71,7%

59,5%

60%

51,4%50,8%

47,4%

50% 40% 30% 20% 10% 0%

– A

x B

Diagram 8. Stosowanie algorytmów dziaáaĔ pisemnych – procent poprawnych obliczeĔ.

UwagĊ zwraca wysoki poziom wykonania dodawania, odpowiednio: 93,1%, 92,5% oraz 88,7%. Jak widaü, rosnąca liczba kolejnych „przekroczeĔ” (jedno, dwa obok siebie i trzy) nie miaáa wyraĨnego wpáywu na liczbĊ bezbáĊdnych obliczeĔ. Jest to zdecydowanie najlepiej opanowany przez uczniów algorytm. AĪ 74,7% uczniów wykonaáo poprawnie wszystkie trzy obliczenia (por. diagram 9), a tylko 1,2%, czyli mniej wiĊcej 30 uczniów spoĞród okoáo 2500 biorących udziaá w badaniu, nie poradziáo sobie z Īadnym z trzech przykáadów. W podobny sposób dobrano przykáady dotyczące odejmowania – jedno „rozmienianie”, dwa „rozmieniania” obok siebie i trzy „rozmieniania” z zerem w odjemnej. Obliczenia te wykonaáo poprawnie odpowiednio: 80,4%, 72,3% oraz 47,4% uczniów. Ostatnie dziaáanie odejmowania (przykáad C) okazaáo siĊ najtrudniejsze do wykonania ze wszystkich dwunastu obliczeĔ pisemnych. Odejmowanie sprawiáo uczniom wyraĨnie wiĊcej trudnoĞci niĪ dodawanie: 35,6% uczniów poradziáo sobie ze wszystkimi trzema przykáadami, a 11,3% nie wykonaáo poprawnie Īadnego z nich. Zdecydowana wiĊkszoĞü báĊdów wiązaáa siĊ z niewáaĞciwie wykonywaną operacją „rozmieniania” (por. s. 54). W przypadku mnoĪenia o trudnoĞci obliczenia decydowaáa przede wszystkim wielkoĞü wystĊpujących w nim liczb. Kolejne przykáady zrobiáo poprawnie 86,0%, 69,3% i 59,5% uczniów, a 42,1% z nich poradziáo sobie ze wszystkimi trzema „sáupkami”. Stosunkowo najsáabiej wypadáo dzielenie – odpowiednio 71,7%, 51,4% oraz 50,8% poprawnych obliczeĔ dla

kolejnych przykáadów. Przykáad A to jedno z najprostszych dziaáaĔ dzielenia, „kwalifikujące siĊ” do pisemnego wykonania. TakĪe przykáad B, o nieco wiĊkszych liczbach, wymagaá zastosowania algorytmu w najprostszej typowej postaci. W przykáadzie C pojawia siĊ zero w ilorazie, co sprawiáo uczniom, zgodnie z oczekiwaniami, sporo káopotu (por. s. 56). Widaü wyraĨnie, Īe rozkáad procentowy poprawnie wykonanych przez dzieci obliczeĔ jest dla dzielenia zdecydowanie bardziej wyrównany niĪ dla trzech pozostaáych dziaáaĔ. Zwraca uwagĊ fakt, Īe ponad 1/5 badanych uczniów nie wykonaáa poprawnie Īadnego z trzech przykáadów dzielenia pisemnego – nawet przykáadu A, który, przy odrobinie wprawy, daje siĊ obliczyü w pamiĊci.

Diagram 9. Stosowanie algorytmów dziaáaĔ pisemnych – procent poprawnie wykonanych przykáadów.

W przypadku dodawania pisemnego báĊdów byáo niewiele i w znacznej mierze wynikaáy one z nieuwagi uczniów, np. pominiĊcia ostatniej cyfry sumy (1), dwukrotnego dodania tej samej cyfry krótszego skáadnika (2) czy zakoĔczonej niepowodzeniem próby wykonania odejmowania zamiast dodawania (3). Daáa siĊ zauwaĪyü jedna, powtarzająca siĊ kategoria báĊdów: w którymĞ momencie obliczenia uczeĔ przestawaá dodawaü i zaczynaá niespodziewanie mnoĪyü (4, 5) – nowy algorytm zaburza algorytm poznany wczeĞniej. 1.

Analogiczną sytuacjĊ dostrzec moĪna w mnoĪeniu pisemnym – uczeĔ zaczyna mnoĪyü, po czym „przechodzi” na dodawanie (por. 1 i 2 poniĪej). Jest to byü moĪe sygnaá, Īe zapoznawanie dzieci z algorytmami róĪnych dziaáaĔ pisemnych powinno byü w procesie ksztaácenia bardziej od siebie oddalone w czasie, niĪ to jest w tej chwili w przypadku wiĊkszoĞci podrĊczników. 2.

Warto zwróciü uwagĊ na jeszcze jedną kategoriĊ pojawiających siĊ báĊdów – uczeĔ wykonuje w pamiĊci wáaĞciwe obliczenie, po czym cyfry wyniku zamienia miejscami (3–5). Obliczenia czĊĞci uczniów pokazują, Īe dopiero oswajają siĊ oni z nowym algorytmem (6–8), jednak zdecydowana wiĊkszoĞü popeánianych przez nich báĊdów byáa konsekwencją káopotów z tabliczką mnoĪenia oraz zwykáego gapiostwa (9). 7.

O tym, Īe odejmowanie pisemne jest trudnym dziaáaniem wiemy wszyscy. Ale – Īeby w peáni uĞwiadomiü sobie, jak bardzo trudną dla uczniów operacją jest pisemne odejmowanie, zwáaszcza zaĞ tzw. „rozmienianie” – trzeba mieü przed oczyma ich próby:

10.

11.

12.

13.

Jedno dziaáanie – dwa „rozmieniania” obok siebie, wiĊc raczej Ğrednio trudne – i 13 róĪnych báĊdnych wyników, a kaĪdy jest efektem innej pomyáki przy rozmienianiu! Warto je uwaĪnie przeanalizowaü. ħródáo niektórych (np. 2, 5, 6, 7, 10 – powyĪej) jest doĞü oczywiste, ale jak rozumowali autorzy np. obliczeĔ 1, 8 czy 11? Wbrew pozorom, to bogactwo typów báĊdów nie jest efektem bezmyĞlnoĞci dzieci – raczej wprost przeciwnie: jest to efekt ich pomysáowoĞci. Autorzy tych obliczeĔ nie zrozumieli procedury pisemnego odejmowania, nie opanowali jeszcze sztuki wykonywania kolejnych kroków algorytmu, zaczĊli wiĊc budowaü swoje wáasne strategie postĊpowania, niestety báĊdne, natomiast rozmaitoĞü zastosowanych metod jest rzeczywiĞcie zaskakująca. Spójrzmy takĪe na dwa pozostaáe dziaáania odejmowania: 1.

10.

WiĊkszoĞü typów báĊdów siĊ powtarza, ale nie wszystkie. Jak np. rozumowaá autor obliczenia 3? Zwraca takĪe uwagĊ pewna liczba báĊdów, wynikających z przestawiania cyfr w odjemnej i odjemniku:

TakĪe i one mogą byü efektem ucieczki od „rozmieniania”. Bogactwo báĊdów pojawiáo siĊ takĪe w pisemnym dzieleniu. Widaü, Īe znaczna czĊĞü uczniów zupeánie nie wie, co przez co naleĪy podzieliü czy pomnoĪyü (2, 3, 6, 7, 8 – poniĪej), co od czego odjąü (1, 5, 7, 8) i gdzie zapisaü otrzymane wyniki (1, 3, 4, 5, 6) – i to niezaleĪnie od záoĪonoĞci przykáadu:

Przykáad C (1228 : 4) pokazaá duĪą rozpiĊtoĞü uczniowskich reakcji na obecnoĞü zera w ilorazie – od obliczeĔ w peáni poprawnych, przez dające siĊ zrozumieü próby „dopasowania” zapisu do zaistniaáej sytuacji (por. 1–5 – poniĪej), po dziaáania i zapisy juĪ doĞü abstrakcyjne (6–8): 1.

2..

Uderza bezkrytycznoĞü uczniów, którym nie przeszkadzają wyniki ani szokująco maáe, ani teĪ zadziwiająco duĪe (por. teĪ wyĪej): 2.

Widaü, Īe algorytm pisemnego dzielenia jest dla znacznej czĊĞci uczniów koĔczących klasĊ 3 procedurą niezrozumiaáą, która nie zostaáa jeszcze wystarczająco „utrwalona” (por. s. 92). OdrĊbną kwestią jest sprawdzanie poprawnoĞci wykonywanych obliczeĔ, które – niezaleĪnie od typu dziaáania – pojawiaáo siĊ sporadycznie i byáo traktowane przez uczniów z duĪą beztroską: 1.

Wydaje siĊ, Īe dla czĊĞci uczniów sprawdzanie poprawnoĞci obliczenia jest co najwyĪej zewnĊtrznym przymusem, pozbawionym gáĊbszego sensu. Autor jednego tylko z powyĪszych obliczeĔ (6) wyciągnąá wniosek z tego, Īe sprawdzenie daáo inny wynik niĪ powinno, ale jego reakcja nie byáa zbyt konstruktywna – przekreĞliá wynik, zamiast podjąü próbĊ szukania báĊdu. Byü moĪe za maáo uwagi poĞwiĊcamy nie tyle samej czynnoĞci sprawdzenia, co jej sensowi, a zwáaszcza sposobom zachowania siĊ, gdy sprawdzenie pokazuje, Īe pomyliliĞmy siĊ w obliczeniach. Co wtedy naleĪy zrobiü? Czy moĪna jakoĞ wykorzystaü wynik sprawdzenia? W rozwiązaniu 6 jest on o 30 wiĊkszy od odjemnej, wiĊc… W badaniu przeprowadzonym w klasie 4 takĪe wykorzystano przykáady sprawdzające umiejĊtnoĞü odejmowania, mnoĪenia i dzielenia pisemnego – identyczne co do swej struktury i poziomu trudnoĞci z przykáadami z serii C w klasie 3 (np. 1405 – 537, 869 × 8, 1545 : 5). Oto porównanie wyników przykáadów tego samego typu z klas trzecich i czwartych: 70% 59,5% 60% 50%

50,8%

47,4% 41,6%

40,1%

40% 30% 18,1%

20% 10% 0%

–

X klasa 3

: klasa 4

Diagram 10. Stosowanie algorytmów dziaáaĔ pisemnych – porównanie wyników klas trzecich i czwartych.

Przypomnijmy, Īe w badaniu w klasie 4 uczestniczyáo ponad 400 uczniów spoĞród prawie 2500 uczestników badania w klasie 3 – zatem to ci sami uczniowie, starsi o kilka miesiĊcy. Testy w klasach czwartych przeprowadzono w drugiej poáowie paĨdziernika, czyli dla wiĊkszoĞci (a moĪe nawet wszystkich) uĪywanych w naszych szkoáach podrĊczników matematyki przed realizacją tematów dotyczących mnoĪenia i dzielenia pisemnego przez liczby wielocyfrowe. MoĪna wiĊc uznaü, Īe zestawienie to ilustruje trwaáoĞü opanowania przez uczniów w klasie 3 umiejĊtnoĞci odejmowania, mnoĪenia i dzielenia pisemnego.

Spadek poziomu wyników jest szczególnie wyraĨny w przypadku dzielenia oraz mnoĪenia, czyli tych algorytmów, z którymi uczniowie obcowali najkrócej, poniewaĪ zapoznają siĊ z nimi na ogóá w trakcie drugiego semestru klasy 3. Co ciekawsze, w przypadku dzielenia najgorzej wypadáy szkoáy miejskie: 12,4% poprawnych obliczeĔ. Oczywiste jest, równieĪ w Ğwietle prezentowanych wyników, Īe wiĊkszoĞü uczniów opanowuje algorytmy dziaáaĔ pisemnych w sposób caákowicie mechaniczny, bez zrozumienia sensu i istoty kolejnych skáadających siĊ na nie kroków. Co wiĊcej – ich doĞwiadczenia i wiedza dotyczące algorytmów są oderwane od innych, byü moĪe trwalszych, obszarów wiedzy matematycznej. Efektem jest szybkie i nieuchronne zapominanie – chyba, Īe wiedza dzieci na ten temat bĊdzie co pewien czas odĞwieĪana i ponownie utrwalana, aĪ do wystąpienia zjawiska zwanego „przeuczeniem” i sprowadzenia dziaáaĔ uczniów do poziomu „odruchu”. W związku z tym nasuwają siĊ dwa pytania: Czy satysfakcjonującego, z punktu widzenia rachunkowej sprawnoĞci uczniów, efektu nie moĪna osiągnąü w inny, niĪ stosowany od lat w polskiej szkole, sposób? I czy w ogóle warto dziĞ, na początku XXI w., poĞwiĊcaü tyle czasu i wspólnego wysiáku na algorytmy dziaáaĔ pisemnych?

PróbĊ sformuáowania odpowiedzi na pierwsze z zadanych wyĪej pytaĔ zacznijmy od algorytmu pisemnego dzielenia i od rozwaĪenia nastĊpującej sytuacji: Szesnastoosobowa grupa uczniów wróciáa z wycieczki. Po dokonaniu wszystkich opáat okazaáo siĊ, Īe z zebranych pieniĊdzy pozostaáo 576 záotych. Postanowiono zwróciü je uczestnikom wycieczki, kaĪdemu po tyle samo. Po ile dostaá kaĪdy uczeĔ?

Co trzeba zrobiü, Īeby odpowiedzieü na to pytanie? Pierwsza, nasuwająca siĊ w naturalny sposób, odpowiedĨ dorosáego brzmi: naleĪy wykonaü dzielenie 576 : 16. Odruchowo dokonaliĞmy matematyzacji sytuacji przedstawionej w zadaniu, narzucając pewien schemat rozwiązania. Mimo, Īe dzieci nie potrafią jeszcze wykonaü takiego 59

dzielenia, to z rozwiązaniem tego realistycznego zadania i tak sobie doskonale poradzą. O co chodzi w tym zadaniu? O rozdanie 576 záotych po równo miĊdzy 16 osób. Zacznijmy je wiĊc rozdawaü. Na początku kaĪdemu uczestnikowi wycieczki moĪemy daü po 10 záotych, czyli áącznie 160 záotych. Do rozdania zostaáo nam jeszcze 416 záotych. To jeszcze raz po 10 záotych dla kaĪdego, czyli znowu 160. Zostaáo jeszcze 256. Kolejne 10 záotych dla kaĪdego, 160 áącznie. Do rozdania zostaáo jeszcze 96 záotych. Po 10 záotych juĪ nie moĪemy, ale moĪemy po 5. To razem 80 záotych. Zostaje jeszcze 16. To kaĪdemu po záotówce i koniec rozdawania. KaĪdy uczestnik wycieczki otrzymaá po 36 záotych. Dzielenie – i to przez liczbĊ dwucyfrową – wykonane. Algorytm to procedura, która speánia dwa warunki: 1) skáada siĊ z powtarzalnych kroków, 2) poprawnie zastosowana – gwarantuje sukces.

1 5 10 razem 36 10 10 576 : 16 - 160 416 - 160 256 - 160 96 - 80 16 - 16 0

PoniewaĪ kolejne kroki postĊpowania zapisywaliĞmy i moĪemy to postĊpowanie z sukcesem powtórzyü dla kaĪdego innego dzielenia, wiĊc mamy tu do czynienia z algorytmem dzielenia pisemnego. Z algorytmem, który powstaá w efekcie zapisywania kolejnych czynnoĞci wykonywanych przez ucznia, po to, by uáatwiü znalezienie wyniku. Taka jest wáaĞnie naturalna geneza algorytmów dziaáaĔ pisemnych – notowanie wykonywanych w pamiĊci czynnoĞci, Īeby áatwiej i pewniej dojĞü do poszukiwanego wyniku. Dodatkowo, dzieląc w przedstawiony wyĪej sposób, robimy, mówimy i piszemy dokáadnie to samo. Nie ma wiĊc Īadnych umów, tajemnic, skrótów myĞlowych czy sáów, które znaczą co innego niĪ powinny – z czym mamy do czynienia w przypadku algorytmu dzielenia (i innych algorytmów równieĪ) powszechnie stosowanego w naszej szkole. PrzeĞledĨmy tĊ procedurĊ raz jeszcze, na nieco prostszym przykáadzie. 294 uczniów wybiera siĊ siedmioma autokarami na wycieczkĊ. W kaĪdym autokarze ma jechaü tylu samo uczniów. Po ilu uczniów bĊdzie w kaĪdym autokarze?

Czyli: 294 uczniów mamy „po równo” rozmieĞciü w 7 autokarach. Zacznijmy wiĊc ich sadzaü. Do kaĪdego autokaru wchodzi po 10 uczniów, to razem 70. Zostaáo jeszcze 224. To znowu po 10, czyli 70 áącznie. Jeszcze 154.

2 20

razem 42 10 10 294 : 7 – 70 224 – 70 154 – 140 14 – 14 0

Widaü, Īe moĪemy ten proces trochĊ przyspieszyü, tym razem do kaĪdego autokaru wsiada po 20 uczniów, czyli razem 140. Jeszcze po 2 i moĪna jechaü. Wynik: w kaĪdym autokarze bĊdzie po 42 uczniów. Zobaczmy, jak w inny jeszcze sposób mogáo przebiegaü rozumowanie ucznia w przypadku tego dzielenia: 1.

2 10 10 razem 42 10 10 294 : 7 – 70 224 – 70 154 – 70 84 – 70 14 – 14 0

2 30 razem 42 10 294 : 7 – 70 224 – 210 14 – 14 0

20 20 razem 42 2 294 : 7 – 14 280 – 140 140 – 140 0

Cztery róĪne sposoby wykonania tego samego dzielenia – kaĪdy tak samo dobry. Stosując ten algorytm, uczeĔ moĪe dobieraü takie operacje, które dają mu najwiĊksze poczucie bezpieczeĔstwa – jeĞli ma káopoty z mnoĪeniem, moĪe „rozdawaü” po 10, 5 i 1, a i tak dojdzie do wáaĞciwego wyniku. Przy odrobinie sprytu moĪe tak „regulowaü” przebieg dzielenia, aby unikaü, czy chociaĪ zmniejszaü iloĞü, trudnych odejmowaĔ do wykonania. Algorytm pisemnego dzielenia, przy którym moĪna byü sprytnym? Jak to siĊ ma do wizerunku algorytmu jako czegoĞ zupeánie zwalniającego z myĞlenia? Gdy uczeĔ nabierze wprawy, moĪe podjąü próbĊ rozdania wszystkich dziesiątek od razu. Jej efekt jest chyba doĞü zaskakujący, zwáaszcza w zestawieniu z klasycznym algorytmem: 2

razem 42

40 294 : 7 – 280 14 – 14 0

42 294 : 7 – 28 14 – 14 0

Jedynie dwie nieznaczne róĪnice w zapisie dzielenia i ogromna przepaĞü w dostĊpnoĞci kaĪdej z tych procedur oraz jej „zrozumiaáoĞci”. NajwyĪsza pora usunąü nieĞcisáoĞü, która pojawiáa siĊ w tytule tego paragrafu – to nie jest inny algorytm! To ten sam, ale zupeánie inaczej pokazany dzieciom, nie od razu w swej najkrótszej, najtrudniejszej i najbardziej hermetycznej postaci, lecz w postaci, która moĪe rozwijaü siĊ wraz z uczniem, aĪ – jeĞli uznamy to za wskazane – do swojej wersji klasycznej. Jak wygląda sytuacja w przypadku dzielenia np. liczby trzycyfrowej przez jednocyfrową?

888 : 6 = ? 3 5 10 20 10 100 888 : – 600 288 – 60 228 – 120 108 – 60 48 – 30 18 – 18 0

148

Tu lepiej rozdaü po 20, áatwiej bĊdzie odjąü!

8 20 148 20 100 888 : 6 – 600 288 – 120 168 – 120 48 – 48 0

Trzy poprawne obliczenia, o rosnącej zwiĊzáoĞci i tempie dojĞcia do poszukiwanego wyniku. Powtórzmy raz jeszcze: w tej róĪnorodnoĞci jest siáa tego algorytmu – umiejĊtnie wykorzystywany pozwala on kaĪdemu dziecku na wybór wáasnego bezpiecznego sposobu osiągniĊcia celu. Algorytm ten umoĪliwia indywidualny, ciągáy rozwój ucznia i stopniowe doskonalenie stosowanych przez niego metod obliczeniowych – pozwala dziecku na uczenie siĊ. Chroni takĪe uczniów przed znuĪeniem i zniechĊceniem, bĊdącym czĊstym

8 40 148 100 888 : 6 – 600 288 – 240 48 – 48 0

efektem Īmudnego i bezmyĞlnego powtarzania tych samych czynnoĞci9. Poznawanie, takĪe konkretnego algorytmu, to proces. PamiĊtajmy, Īe algorytm moĪe i powinien „rozwijaü siĊ” wraz z dzieckiem i Īe w przypadku róĪnych dzieci moĪe rozwijaü siĊ w róĪny sposób, a takĪe w róĪnym tempie.

Nikomu nie sprawia trudnoĞci dodanie czy odjĊcie w pamiĊci dwóch liczb dwucyfrowych, gdy dziaáania te nie wymagają przekraczania progów. Káopoty zaczynają siĊ pojawiaü, gdy rosną liczby czy komplikują siĊ dziaáania i podczas obliczeĔ trzeba „przechowywaü” pewne wyniki cząstkowe w pamiĊci. Jak moĪna w takiej sytuacji uáatwiü sobie Īycie? Wystarczy kartka papieru, na której moĪemy zapisywaü efekty wykonywanych w pamiĊci operacji – rachowanie w pamiĊci staje siĊ naturalnym punktem wyjĞcia do narodzin kolejnych algorytmów dziaáaĔ pisemnych. 67 + 28 = ?

WiĊkszoĞü osób – zarówno dzieci, jak i dorosáych – wykonuje tego typu dodawanie nastĊpująco: 60 i 20 to 80; 7 i 8 to 15; 80 i 15 to 95.

Wykonywane skáadowe obliczenia moĪna „dla pamiĊci” zapisaü (zachowując ich kolejnoĞü) na kilka sposobów, w tym np. tak: 67 + 28 80 + 15 95

W ten sposób otrzymaliĞmy jasny, czytelny i – co wiĊcej – zgodny z wczeĞniejszymi doĞwiadczeniami i dziaáaniami dzieci, algorytm dodawania pisemnego. W przypadku dwóch liczb o tej samej dáugoĞci, czyli dwucyfrowych lub trzycyfrowych, naturalne jest wykonywanie dodawania w pamiĊci „od lewej do prawej”, czyli 9

Z. Semadeni (red.), Nauczanie początkowe matematyki, t. 3, WSiP, Warszawa 1985.

najpierw dziesiątki, potem jednoĞci lub najpierw setki, potem dziesiątki, na koĔcu jednostki. Jest to zresztą rozsądna metoda – przy wszelkiego rodzaju szacowaniach decydujący wpáyw na skalĊ wyniku ma wáaĞnie rząd najwyĪszy. Wynika ona równieĪ z naturalnego kierunku czytania. Co dzieje siĊ, jeĞli uczeĔ dodaje w pamiĊci liczby, zaczynając od strony prawej, czyli od jednoĞci? Wówczas jego „sáupek” moĪe przyjąü taką postaü: 67 + 28 15 + 80 95

i kolejna wersja algorytmu dodawania pisemnego gotowa. Oba zapisy są w peáni równoprawne, poniewaĪ dodawanie jest przemienne – kolejnoĞü sumowania liczb 15 i 80 nie ma wpáywu ani na wynik, ani na poziom trudnoĞci obliczenia. Warto pamiĊtaü, Īe kolejnoĞü „od prawej do lewej” staje siĊ istotna dopiero wówczas, gdy zaczynamy wprowadzaü umowy związane ze skracaniem zapisu algorytmu i gdy pojawia siĊ owo pamiĊtne „jeden w pamiĊci”. Najlepiej byáoby, gdyby uczeĔ sam tej koniecznoĞci doĞwiadczyá. Nie jest równieĪ wykluczone, Īe dziecko, operując woreczkami i Īetonami (por. s. 18), pakując w miarĊ potrzeby woreczek i zapisując najpierw w tabelce, a potem w „sáupku” efekty swoich poczynaĔ, samo juĪ doszáo do typowego algorytmu pisemnego dodawania: 1

+ 28

+ 28 5

67 + 28 95

Mając 15 Īetonów, warto z 10 z nich zrobiü jeszcze jeden woreczek. Pozostaje 5 Īetonów, a liczba woreczków roĞnie o 1. A jeĞli uczeĔ dodaje w pamiĊci w jeszcze inny sposób? To moĪe zaskoczy nas i zbuduje wáasny algorytm albo zaakceptuje któryĞ z przytoczonych wyĪej – stanie siĊ tak na pewno, o ile tylko pozwolą mu one szybciej i proĞciej, niĪ inne stosowane sposoby, osiągaü wynik. 64

Przyjrzyjmy siĊ jeszcze jednemu przykáadowi. 378 + 564 = ? 1 1

378

+ 564

800

942

130

12 942

800 942

Mamy tu ponownie do czynienia z trzema wersjami tego samego algorytmu. Do zrozumienia dwóch pierwszych nie są potrzebne Īadne dodatkowe umowy i konwencje – na kaĪdym kroku robi siĊ, mówi i pisze to samo. Trzeci zapis powstaje z drugiego, dziĊki innej formie zapisywania wyników cząstkowych – zrobimy to tak, aby wynik daá siĊ zapisaü w jednej linii. Trzy obliczenia róĪniące siĊ przede wszystkim zapisem, ale w efekcie – takĪe záoĪonoĞcią i poziomem wprowadzanego formalizmu. JeĞli chcemy, Īeby dzieci rozumiaáy wykonywane operacje i zapisywane symbole, to stwórzmy im warunki do zbudowania jednej z dáuĪszych wersji tego algorytmu. Kolejnym krokiem moĪe byü poszukiwanie i wspólne wprowadzanie uproszczeĔ – duĪo áatwiej je zrozumieü, jeĞli najpierw zrozumie siĊ rzeczywisty sens wykonywanych czynnoĞci.

MnoĪenie w wielu elementach jest bardzo podobne do dodawania, trudno zresztą, Īeby byáo inaczej, w koĔcu to „skrócone” dodawanie. Widaü to np. przy okazji mnoĪenia w pamiĊci: 24 x 8 = ?

WiĊkszoĞü dzieci i dorosáych, licząc w pamiĊci zaczyna w naturalny sposób od mnoĪenia duĪych liczb: 20 razy 8 to 160, 4 razy 8 to 32, 160 i 32 to 192.

Zdecydowanie mniejsza liczba osób odwraca tĊ kolejnoĞü, zaczynając od strony prawej, czyli jednoĞci: 4 razy 8 to 32, 20 razy 8 to 160, 160 i 32 to 192.

Nie oznacza to wcale, Īe dzieci wykonujące w ten sposób mnoĪenie w pamiĊci, Ğwiadomie odwoáują siĊ do rozdzielnoĞci mnoĪenia wzglĊdem dodawania. Ta nazwa jest im zupeánie obca i do niczego nie potrzebna. Ta wáasnoĞü tkwi w wykorzystywanych w procesie edukacyjnym sytuacjach oraz modelach i jest dla dzieci naturalną cechą mnoĪenia – cechą, którą poznają równoczeĞnie z samym dziaáaniem. I znowu, uáatwiając sobie liczenie, zapiszmy uzyskiwane w trakcie obliczeĔ wyniki, zachowując kolejnoĞü wykonywanych operacji, np. w taki sposób: 24

x 8

160

+ 32

+ 160

192

Dwa naturalne i zrozumiaáe dla uczniów algorytmy mnoĪenia pisemnego gotowe – tak, jak w przypadku dodawania (por. s. 63). I – identycznie jak dla dodawania – zapis uĪywany na co dzieĔ w polskich szkoáach powstaje z drugiego zapisu (z przedstawionych powyĪej), dziĊki innej formie zapisywania wyników cząstkowych – zrobimy to tak, aby wszystko daáo siĊ zapisaü w jednej linii: 3

24 x 8 192

Znowu trzy wersje tego samego algorytmu. Z mnoĪeniem jest przynajmniej w jednej kwestii áatwiej niĪ z dodawaniem – nie ma innych powszechnie stosowanych ogólnych strategii mnoĪenia w pamiĊci, niĪ te dwie powyĪej. Mówimy tu o ogólnych strategiach, a nie o róĪnych szczególnych przypadkach, w których moĪna sobie sprytnie uáatwiü Īycie, np. 37 × 9 = 370 – 37 = 333; 49 × 6 = 300 – 6 = 294 itp. 66

A jak bĊdzie w przypadku wiĊkszych liczb? SprawdĨmy. 354 × 8 = ? 4 3

354 x

2400

400

+ 2400

2832

354 x

8 2832

Ponownie dwa pierwsze sposoby zapisu obliczeĔ nie siĊgają po dodatkowe skróty, umowy czy symbole. Wykonując w ten sposób obliczenia, mówimy, zapisujemy i robimy dokáadnie to samo: 300 razy 8 to 2400, 50 razy 8 to 400, 4 razy 8 to 32, ...

Inaczej jest w trzecim przypadku – tu wpadamy w jĊzykową puáapkĊ trudnych dla dziecka do zrozumienia uproszczeĔ. Na ogóá brzmi to tak: 4 razy 8, to 32, 2, 3 dalej; 5 razy 8 to 40, i 3 to 43, 3, 4 dalej; 3 razy 8, to 24, i 4 to 28

Tylko pierwsza z tych wypowiedzi jest dosáowna – opisujemy w niej rzeczywiĞcie to, co robimy. KaĪda nastĊpna jest juĪ pewnym szyfrem, kierowanym do wtajemniczonych. Wróümy do obu dáuĪszych zapisów. Tym razem, z punktu widzenia dziecka, nie muszą one byü w peáni równoprawne. RóĪnica ujawnia siĊ dla wiĊkszych liczb na etapie zapisywania iloczynów cząstkowych: proĞciej jest zapisywaü je w kolejnoĞci od najmniejszego do najwiĊkszego, czyli tak, jak w zapisie Ğrodkowym, bo nie powstaje trudnoĞü znalezienia wáaĞciwego miejsca dla pierwszej zapisywanej cyfry. MoĪe warto wiĊc, aby rozwój umiejĊtnoĞci mnoĪenia pisemnego uczniów przebiegaá w trzech kolejnych krokach odpowiadających trzem powyĪszym wersjom algorytmu?

Powtórzmy juĪ po raz ostatni: dobry algorytm dziaáania pisemnego to taki, który powstaje jako zapis i naturalna kontynuacja sposobu wykonywania przez dziecko obliczeĔ w pamiĊci czy innej formy jego dziaáania. DziĊki temu algorytm ĞciĞle wiąĪe siĊ z wczeĞniejszymi doĞwiadczeniami i wiedzą ucznia, co umoĪliwia oraz uáatwia jego zrozumienie, a takĪe pozwala m.in. na utrwalenie za pomocą mniejszej liczby powtórzeĔ. Podobnie jak przy dodawaniu, takĪe przy odejmowaniu pisemnym ogromnie uĪytecznym narzĊdziem mogą okazaü siĊ woreczki i Īetony czy inne pomoce, pokazujące strukturĊ systemu dziesiĊtnego. Dziecko, operując woreczkami i Īetonami w kontekĞcie zabierania pewnej ich iloĞci (por. s. 19) oraz zapisując wykonywane kolejno czynnoĞci i ich efekty, znowu np. najpierw w tabelce, a potem w „zwykáym sáupku”, moĪe stopniowo samo dojĞü do typowego algorytmu pisemnego odejmowania:

67 – 28

5 17

– 28

– 28 39

Gdy mamy 7 Īetonów, a naleĪy zabraü ich 8, to trzeba rozpakowaü jeden woreczek. Mamy wtedy przed sobą 5 woreczków i 17 Īetonów – moĪemy juĪ zabieraü. „Rozpakowywanie woreczka” moĪe byü czynnoĞciowym pierwowzorem operacji „rozmieniania” przy odejmowaniu pisemnym, moĪe nadaü jej realistyczny, zrozumiaáy dla ucznia, sens. JeĞli zachĊcaliĞmy uczniów do budowania wáasnych strategii odejmowania w pamiĊci, to jest bardzo prawdopodobne, Īe czĊĞü z nich zaczĊáa „odejmowaü przez dopeánianie”. JeĞli tak siĊ staáo, to spróbujmy zacząü zapisywaü kolejne kroki tej procedury w jakiĞ uporządkowany i czytelny sposób, np. tak, jak w jednym z przykáadów poniĪej: 67 67 – 28 – 28

67 – 28

do 30

do 60

+ 37

do 67

+ 37

+ 7

do 67

BadaliĞmy juĪ moĪliwoĞci tej strategii (por. s. 43). Wykorzystanie jej jako podstawy do zbudowania algorytmu pisemnego odejmowania znacznie jeszcze je zwiĊksza: 631 – 84 16

do 100

500

do 600

+ 31

do 631

547

1306

655

– 428

– 478 22

do 500

+ 155

do 655

177

do 430

do 500

500

do 1000

+ 306

do 1306

878

Zapis „w sáupku” ogromnie uáatwia wykonywanie prostych odejmowaĔ bez „rozmieniania”. W czytelny sposób porządkuje on operacje skáadowe. Nie ma prostszej metody wykonania odejmowania tego typu: 4859 – 3607 1252

Algorytm odejmowania przez dopeánianie bardzo dobrze funkcjonuje tam, gdzie klasyczny algorytm staje siĊ bardzo trudny – w dziaáaniach, w których kilka razy po kolei trzeba „rozmieniaü”. Skomplikowane odejmowanie zamienia on na banalnie proste dodawanie: 1 10 9 13

2103

– 1487

616

do 1500

500

do 2000

103

do 2103

616

Dwa algorytmy – kaĪdy doskonale zdający egzamin w przypadku innego typu obliczeĔ. Káopot czy okazja? Na przykáad do rozwijania umiejĊtnoĞci dobierania metody postĊpowania do konkretnej sytuacji, czyli do inteligentnego stosowania posiadanej wiedzy.

WiĊkszoĞü nauczycieli, nie tylko klas 1–3, uwaĪa, Īe algorytmy dziaáaĔ pisemnych są jedną z najbardziej uĪytecznych w Īyciu codziennym umiejĊtnoĞci, dostarczanych przez matematykĊ. Czy rzeczywiĞcie? Spróbujmy odpowiedzieü na dwa pytania: í

Kiedy ostatnio w Īyciu codziennym (czyli nie nauczając!) dzieliliĞmy pisemnie np. liczbĊ piĊciocyfrową przez trzycyfrową, albo mnoĪyliĞmy pisemnie liczbĊ czterocyfrową przez trzycyfrową?

Ile razy w ciągu ostatniego roku korzystaliĞmy z tych umiejĊtnoĞci?

WspóáczeĞnie z umiejĊtnoĞci tych korzysta siĊ poza szkoáą sporadycznie, poniewaĪ tylko z rzadka jest okazja do ich zastosowania. Jak na ironiĊ, najpotrzebniejszą w Īyciu codziennym umiejĊtnoĞcią rachunkową jest szacowanie – najczĊĞciej nie interesuje nas dokáadny wynik, lecz skala jego wielkoĞci. Akurat na tĊ umiejĊtnoĞü w szkole nie káadzie siĊ duĪego nacisku, a szkoda, poniewaĪ pomogáaby np. zmniejszyü liczbĊ „gáupich” báĊdów nie tylko podczas obliczeĔ na kalkulatorze, ale takĪe w trakcie obliczeĔ pisemnych. Przed przystąpieniem do obliczeĔ wystarczyáoby oceniü, jakiej mniej wiĊcej wielkoĞci powinien byü wynik: 2103 – 1487 to mniej wiĊcej 600.

JeĞli wynik koĔcowy znacząco odbiega od naszych przewidywaĔ, to trzeba poszukaü przyczyny – byü moĪe zamiast odjąü liczby dodaliĞmy je. JeĞli juĪ rzeczywiĞcie mamy „prywatnie” wykonaü jakieĞ obliczenia na duĪych liczbach, to prawdopodobnie siĊgamy po kalkulator, a jeĞli nie ma go akurat pod rĊką, to albo liczymy pisemnie, albo... odkáadamy to na póĨniej. í

Do czego w ogóle potrzebna jest nam umiejĊtnoĞü wykonywania obliczeĔ?

Jest potrzebna do rozwiązywania róĪnych zadaĔ czy problemów, takĪe dnia codziennego. Naszym celem jest rozwiązanie zadania, a wykonanie obliczeĔ to jeden z kroków pozwalających ten cel zrealizowaü. Wybrana metoda wykonania obliczeĔ jest narzĊdziem, które umoĪliwia zrobienie tego kroku – takim samym jak linijka, miarka stolarska czy centymetr przy mierzeniu dáugoĞci i szerokoĞci pokoju, gdy chcemy kupiü do niego wykáadzinĊ. W tej ostatniej sytuacji celem jest kupienie odpowiedniej iloĞci wykáadziny, musimy wiĊc zmierzyü pokój. 70

A podstawowym kryterium wyboru narzĊdzia do mierzenia jest wygoda jego uĪycia! Algorytmy dziaáaĔ pisemnych są narzĊdziem, które umoĪliwia bezpieczne otrzymanie wyniku wykonywanych operacji podczas rozwiązywania zadania czy problemu. Dokáadnie tĊ samą funkcjĊ peáni (dla mniejszych liczb) liczenie w pamiĊci czy liczenie za pomocą kalkulatora. MoĪe przy obliczeniach takĪe wybierając narzĊdzie warto kierowaü siĊ wygodą jego uĪycia? í

Czy zatem w ogóle warto zajmowaü siĊ algorytmami dziaáaĔ pisemnych?

Tu najczĊĞciej padający argument brzmi tak: warto, bo musimy byü niezaleĪni od jakiĞ tam urządzeĔ liczących. Owszem, lepiej by byáo, ale rzeczywisty powód znaczenia algorytmów dziaáaĔ pisemnych dziĞ wiąĪe siĊ chyba jednak z czymĞ innym. Przez ostatnie dwadzieĞcia lat Īycie w sposób prawie dla nas niezauwaĪalny przeniosáo punkt ciĊĪkoĞci waĪnoĞci algorytmów dziaáaĔ pisemnych ze sáowa „dziaáaĔ” na sáowo „algorytm”. W naszym codziennym Īyciu maáo jest dziĞ okazji do pisemnego rachowania, ale z roku na rok roĞnie liczba napotykanych przez nas algorytmów. Programowanie pralki, kuchenki mikrofalowej czy magnetowidu, dostrajanie telewizora czy zapamiĊtywanie w radiu wybranych stacji, wprowadzanie numerów do pamiĊci telefonu czy wysyáanie SMS-ów, wypáacanie pieniĊdzy z bankomatu czy wypeánianie zeznania podatkowego, wysáanie listu pocztą elektroniczną czy wydrukowanie dokumentu na drukarce – wszystkie te czynnoĞci mają charakter algorytmiczny. Musimy uczyü siĊ rozumieü i stosowaü algorytmy, powinniĞmy równieĪ opanowaü sztukĊ ich tworzenia i modyfikowania. W szkole nie mamy do tego zbyt wielu okazji. Jedną z najlepszych są wáaĞnie algorytmy dziaáaĔ pisemnych. JeĞli stwarzamy warunki do wspólnego budowania róĪnych strategii liczenia w pamiĊci, to naturalną kontynuacją jest zapisywanie tych obliczeĔ w uporządkowany sposób – i tak dzieci mogą konstruowaü wáasne algorytmy dziaáaĔ pisemnych. Badania i praktyka pokazują, Īe jest to pod kaĪdym wzglĊdem efektywniejsze od prezentowania ich przez nauczyciela. Dzieci bowiem nie tylko budują w ten sposób swoją wiedzĊ o algorytmach, ale takĪe przekonują siĊ o uĪytecznoĞci jĊzyka symbolicznego, wspóátworzą uĪyteczne narzĊdzia matematyczne – uczą siĊ modelowaü i matematyzowaü. Przyczynia siĊ to równieĪ do rozwoju ich umiejĊtnoĞci uczenia siĊ.

Od pewnego czasu na Ğwiecie duĪo mówi siĊ o alfabetyzmie matematycznym uczniów (por. s. 141), czyli ich zdolnoĞci do stosowania posiadanej wiedzy i umiejĊtnoĞci w róĪnych sytuacjach, w tym takĪe o charakterze Īyciowym. Badania pokazują, Īe polskie dzieci nie wypadają tu dobrze, a ich zaradnoĞü matematyczna na kaĪdym etapie ksztaácenia jest znikoma. MoĪna ją rozwijaü nawet przy okazji tak maáo efektownych rzeczy, jak algorytmy dziaáaĔ pisemnych. W tym celu trzeba jednak konsekwentnie stwarzaü uczniom warunki do zaangaĪowania intelektualnego, do aktywnoĞci poznawczej związanej z konstruowaniem swojej wiedzy i Ğwiadomym stosowaniem posiadanych umiejĊtnoĞci.

ROZWIĄZYWANIE ZADAē TEKSTOWYCH UmiejĊtnoĞü rozwiązywania zadaĔ tekstowych jest jedną z podstawowych i najwaĪniejszych umiejĊtnoĞci pojawiających siĊ w procesie matematycznego ksztaácenia, zwáaszcza w szkole podstawowej. Inne rozwijane przez tych szeĞü lat umiejĊtnoĞci: liczenia w pamiĊci oraz pisemnie, dokonywania pomiarów i operowania wyraĪeniami dwumianowanymi, operowania liczbami dziesiĊtnymi czy rozwiązywania równaĔ mają charakter usáugowy wáaĞnie w stosunku do rozwiązywania zadaĔ tekstowych. Są one narzĊdziami, których opanowanie uáatwia, czy wrĊcz umoĪliwia, sprawne i inteligentne radzenie sobie z róĪnorodnymi zadaniami, stawianymi przed nami takĪe przez nasze codzienne Īycie. W trakcie badania uczniowie rozwiązywali szeĞü zadaĔ tekstowych o zróĪnicowanym stopniu trudnoĞci i wzajemnie dopeániającej siĊ strukturze:

Zadanie A to typowe zadanie proste (jednodziaáaniowe), dotyczące porównywania róĪnicowego. Jest to jedna z najprostszych i najbardziej podstawowych kategorii zadaĔ, z jaką stykają siĊ uczniowie podczas I etapu ksztaácenia, a dla uczniów klasy trzeciej byü moĪe nawet najprostsza. Z caáą pewnoĞcią w procesie ksztaácenia kaĪdy uczeĔ rozwiązywaá wiele zadaĔ o dokáadnie takiej strukturze, róĪniących siĊ co najwyĪej zakresem wystĊpujących w nich liczb. 73

Zadanie B to zadanie proste z nadmiarem danych – jedna z informacji podanych w zadaniu jest niepotrzebna do jego rozwiązania. Po jej pominiĊciu zadanie staje siĊ identyczne z zadaniem A. Podobnie jak poprzednio, w celu jego rozwiązania trzeba wykonaü jedną prostą operacjĊ arytmetyczną. Te dwa zadania miaáy pomóc ustaliü, na ile wprowadzenie dodatkowej informacji do zadania zaburzy uczniom proces rozwiązywania. Zadanie C to z kolei najbardziej typowe dla klas 1–3 zadanie záoĪone, równieĪ nawiązujące do porównywania róĪnicowego. TakĪe i ten typ zadaĔ na pewno byá wielokrotnie rozwiązywany przez uczniów w trakcie nauki. Pojawia siĊ on takĪe w wiĊkszoĞci „testów kompetencji” wykorzystywanych w I etapie ksztaácenia. Jego uzupeánienie to zadanie D, które jest zadaniem záoĪonym z nadmiarem danych – takĪe i tu jedna z danych nie jest potrzebna do znalezienia odpowiedzi na postawione pytanie. Zadanie E jest zadaniem záoĪonym, w którym „ukryte” są informacje potrzebne do jego rozwiązania. MoĪna je rozwiązaü na wiele sposobów, wykorzystując doĞü róĪnorodne narzĊdzia arytmetyczne. Tego typu zadania, dotyczące „proporcjonalnoĞci”, rzadziej pojawiają siĊ w procesie rozwijania umiejĊtnoĞci matematycznych w klasach 1–3, a szkoda, bo są doskonaáą okazją do stosowania przez uczniów posiadanej wiedzy. Zadanie F jest strukturalnie trudniejsze – reprezentuje typ zadaĔ, który w polskiej szkole tradycyjnie rozwiązywany jest za pomocą ukáadu dwóch równaĔ z dwiema niewiadomymi, czyli aktualnie na poziomie gimnazjum. Tymczasem daje siĊ ono rozwiązaü zupeánie elementarnymi narzĊdziami, posiadanymi przez kaĪdego ucznia klasy 3. Kontekst sytuacyjny zadania i dane zostaáy tak dobrane, aby moĪna je byáo rozwiązaü praktycznie w pamiĊci. Tego typu zadania nie pojawiają siĊ w klasach 1–3 – zadanie to bada wiĊc, jak uczniowie poradzą sobie w sytuacji dla nich nietypowej. W procesie sprawdzania zadaĔ przyjĊto zasadĊ, Īe o poprawnoĞci rozwiązania decyduje jedynie zastosowanie przez ucznia dowolnej poprawnej metody postĊpowania. Rozwiązania z usterkami rachunkowymi byáy zatem w zbiorczym zestawieniu uznawane za poprawne.

PoniĪszy diagram prezentuje procent poprawnych rozwiązaĔ dla kaĪdego z tych zadaĔ: 100% 90%

86,0%

80% 70%

63,4%

60%

59,3%

52,4%

50% 40% 25,5%

30%

20,3% 20% 10% 0% A. typow e zadanie proste

B. zadanie proste z nadm iarem danych

C. typow e zadanie záoĪone

D. zadanie záoĪone z nadm iarem danych

E. zadanie záoĪone (czas)

F. nietypow e zadanie záoĪone

Diagram 11. Rozwiązywanie zadaĔ tekstowych – procent poprawnych rozwiązaĔ.

Zadanie A (typowe zadanie proste) rozwiązaáo poprawnie 86,0% dzieci, w tym 2,5% z báĊdami rachunkowymi. Oznacza to, Īe 14,0% uczniów nie poradziáo sobie z jednym z najprostszych moĪliwych zadaĔ tekstowych. DuĪo czy maáo? Zadanie B (zadanie proste z nadmiarem danych) wypadáo zdecydowanie gorzej – rozwiązaáo je poprawnie 52,4% uczniów (w tym báĊdy rachunkowe: 4,0%), czyli niewiele ponad poáowa dzieci. ZbĊdna informacja podana w tym zadaniu pogorszyáa jego wynik w porównaniu z zadaniem A aĪ o 33,6%. W zadaniu C (typowym zadaniu záoĪonym) 63,4% uczniów zastosowaáo dobrą metodĊ postĊpowania, w tym 5,0% z usterkami rachunkowymi. Z zadaniem D poradziáo sobie 59,3% dzieci (7,0% z báĊdami rachunkowymi). Zwraca uwagĊ niewielka róĪnica poziomów poprawnych rozwiązaĔ zadaĔ záoĪonych C i D – tylko 4,1%. Jak widaü, wprowadzenie zbĊdnej informacji w zadaniu záoĪonym sprawiáo znacznie mniej zamieszania niĪ analogiczny zabieg dla zadaĔ prostych. Dwa pozostaáe zadania wypadáy juĪ zdecydowanie gorzej. Zadanie E rozwiązaáo poprawnie jedynie 25,5% uczniów, czyli mniej wiĊcej ¼ uczestników badania. Z zadaniem F poradziáo sobie 20,3% dzieci, czyli mniej wiĊcej co piąty uczeĔ. AĪ 11,5% uczniów nie podjĊáo nawet próby rozwiązania zadania F. BáĊdy rachunkowe w tych zadaniach wyniosáy poniĪej jednego procenta. 75

PoniĪszy diagram przedstawia rozkáad liczby poprawnie rozwiązanych przez ucznia zadaĔ tekstowych: 25% 21,2% 18,8%

20%

17,0% 14,7%

15%

13,0% 8,6%

10% 6,7% 5%

0% 0

Diagram 12. Rozwiązywanie zadaĔ tekstowych – procent poprawnie rozwiązanych zadaĔ.

Wszystkie zadania rozwiązaáo poprawnie 8,6% uczniów. Prawie tyle samo dzieci, bo 6,7%, nie zrobiáo dobrze Īadnego z nich. NajczĊĞciej uczniowie rozwiązywali cztery zadania (21,2%) albo tylko jedno (18,8%). Przyjrzyjmy siĊ bardziej i mniej typowym rozwiązaniom uczniów, zaczynając od zadania A: A

W przypadku tego zadania, zgodnie z oczekiwaniami, najczĊĞciej popeánianym báĊdem (8,8% wszystkich uczniów) byáo pomylenie porównywania róĪnicowego z ilorazowym, i w efekcie pomnoĪenie podanych w zadaniu liczb, zamiast ich dodania (1, 2). Nie przeszkodziáo w tym nawet samodzielne, poprawne zakodowanie treĞci zadania (1), które powinno sugerowaü dobre jej zrozumienie. . 1.

Inne báĊdy, np. wykonanie kilku kolejnych operacji, najczĊĞciej mnoĪenia i dodawania (3), czy podzielenie podanych w zadaniu liczb (4, 5), pojawiaáy siĊ rzadziej. Czym mógá kierowaü siĊ uczeĔ, który wykonaá poprawnie dzielenie z resztą i podaá w odpowiedzi, Īe Ela zebraáa 6 kasztanów i reszty 1? W rozwiązaniach nawet tego typowego zadania zaczĊáy pojawiaü siĊ róĪne „indywidualne” notacje: niektóre nieszczĊĞliwe (6), niektóre absolutnie neutralne (7), a niektóre rzeczywiĞcie uĪyteczne (8) i w efekcie konsekwentnie przez autora stosowane takĪe przy okazji innych zadaĔ (9). 6.

Niektórzy uczniowie podejmowali (chyba) próbĊ „sprawdzenia” swojego rozwiązania. Nie upewniali siĊ jednak, czy otrzymany wynik speánia warunki zadania – na czym powinno polegaü takie sprawdzenie, ale ograniczali siĊ do sprawdzenia poprawnoĞci wykonanego obliczenia (10, 11). Zresztą i tak czĊsto traktowali tĊ czynnoĞü w sposób czysto „formalny” – sprawdzenie musi potwierdziü to, co sprawdza i juĪ (11). To samo zjawisko wystąpiáo takĪe przy obliczeniach pisemnych (por. s. 57). 10.

11.

Wprowadzenie do zadania B dodatkowej informacji nie tylko znacznie pogorszyáo jego wyniki, ale takĪe zwiĊkszyáo róĪnorodnoĞü popeánianych przez uczniów báĊdów: 1.

Znów nasuwa siĊ pytanie o tok rozumowania autorów niektórych z tych rozwiązaĔ. Najbardziej popularną „metodą” rozwiązania okazaáo siĊ obliczenie: 50 + 9 – 16 = 43. Tak wáaĞnie postąpiáa ponad ¼ uczniów (28,2%). CzĊĞü dzieci nie potrafiáa zdecydowaü siĊ, który z otrzymanych wyników jest tym wáaĞciwym, wiĊc caákowicie lub czĊĞciowo (8) rezygnowaáa z podania odpowiedzi. 8.

Inni – i byáa to caákiem liczna grupa uczniów – takĪe wykonywali wiĊcej obliczeĔ niĪ potrzeba, ale podawana odpowiedĨ rozstrzygaáa na ich korzyĞü wątpliwoĞci co do poprawnoĞci rozwiązania (9–11): 9.

10.

11.

WiĊkszoĞü báĊdów w przypadku tego bardzo typowego zadania záoĪonego wynikaáa z potraktowania go jak zadania prostego, do rozwiązania którego wystarczy jedno obliczenie. Co czwarty uczeĔ (25,7%) swoje rozwiązanie ograniczyá do wykonania odejmowania: 156 – 24, czyli do znalezienia liczby miejsc w drugiej sali, najczĊĞciej odpowiednie obliczenie wykonując pisemnie (1). Podobnie jak w innych zadaniach, takĪe i tu uczniowie niekiedy sprawdzali poprawnoĞü wykonanych obliczeĔ (2), nie mając pewnie ĞwiadomoĞci, Īe ze sprawdzeniem, czy metoda rozwiązania jest sensowna nie ma to nic wspólnego. Niektórzy w miejsce odejmowania wstawiali dodawanie (3). 2.

Jak na typowe, i na pewno starannie przeüwiczone w procesie ksztaácenia zadanie, lista kategorii báĊdów popeánianych przez uczniów jest doĞü krótka. CzĊĞü z nich to efekt báĊdnego ustalenia, w której sali jest mniej, a w której wiĊcej miejsc (5, 6). 4.

Niektóre báĊdy (6, 7) są byü moĪe efektem podjĊcia próby sprytnego rozwiązania zadania. Gdyby w rozwiązaniu 6 uczeĔ pomnoĪyá i odjąá, otrzymaáby bardzo oryginalne rozwiązanie. W rozwiązaniu 7 trzeba by na koniec dodaü jeszcze 24. Poprawne rozwiązania równieĪ są maáo urozmaicone. Zwraca uwagĊ to, Īe uczniowie bardzo czĊsto siĊgają po algorytmy dziaáaĔ pisemnych – i to nawet w takiej sytuacji jak ta, gdy ani w dodawaniu, ani w odejmowaniu nie ma Īadnego przekraczania progów (8). Jak zawsze, czĊĞü rozwiązaĔ, zwáaszcza tych, w których uczniowie wykonują obliczenia w pamiĊci, zawiera typowe „skróty myĞlowe” (9). 8.

I znowu, podobnie jak przy zadaniach prostych, wprowadzenie zbĊdnej informacji ogromnie wzbogaca liczbĊ róĪnych typów rozumowaĔ dzieci – zwáaszcza tych báĊdnych. Uczniowie dodają, mnoĪą, nawet odejmują, otrzymując sporą rozpiĊtoĞü wyników: od 0 do 276. 1.

W niektórych z tych rozwiązaĔ jest „Ğlad” racjonalizmu: w 1 uczeĔ wziąá poáowĊ opakowaĔ, w 2 cztery Ğrednie i jedno duĪe, w 3 teĪ początek obliczeĔ jest dobry, a w 4 dziecko niepotrzebnie zwiĊkszyáo wynik o 4.

W innych (np. 5, 6, 7) autorzy Īonglują liczbami podanymi w zadaniu w oderwaniu od treĞci zadania i w niektórych przypadkach (np. 6) bez Ğladu krytycyzmu. 5.

WĞród báĊdnych rozwiązaĔ dominują obliczenia typu 2 oraz 5 – áącznie rozumowaáo w ten sposób ponad 21% uczniów, czyli tego typu báąd popeániaá mniej wiĊcej co piąty uczeĔ. Ponownie pojawiają siĊ próby sprawdzeĔ i, tak jak poprzednio, nie chronią one uczniów przed báĊdnymi rozwiązaniami zadania (8, 9): 8.

W niektórych rozwiązaniach moĪna znaleĨü próby stosowania ogólniejszych strategii postĊpowania: podkreĞlania danych w zadaniu (10) czy wypisania danych (11), ale – jak widaü – nie przynoszą one spodziewanego skutku. Zwracają uwagĊ powtarzające siĊ báĊdy, wynikające ze záego zastosowania algorytmu pisemnego dodawania (11, 12). W tym drugim przypadku moĪe to byü efekt „zaburzającego” dziaáania algorytmu mnoĪenia: 8 i 12 dodane w pamiĊci to 20, natomiast pisemnie to 100. 10.

12.

11.

CzĊĞü uczniów (6,2%) nie mogáa siĊ zdecydowaü, co zrobiü z obliczonymi liczbami jajek w Ğrednich i duĪych opakowaniach: 13.

14.

WĞród poprawnych rozwiązaĔ dominowaáa wersja z trzema kolejnymi obliczeniami (1), sporadycznie tylko uzupeániona, np. rysunkiem. Nieco rzadziej pojawiaá siĊ zapis rozwiązania w jednym obliczeniu (2, 3), takĪe bardzo rzadko wzbogacony jakimĞ elementem. Inne rozwiązania, np. takie, jak 4, zdarzaáy siĊ pojedynczo. 1.

2. 4.

Tylko 0,5% uczniów, czyli 13 spoĞród prawie 2500, zauwaĪyáo, Īe obliczenia w zadaniu moĪna sobie uproĞciü, zapisując je jako (8 + 12) × 4, ale dwóch z nich skorzystaáo z rozdzielnoĞci mnoĪenia wzglĊdem dodawania i ponownie utrudniáo sobie Īycie (por. 7): 6.

To, na pozór groĨnie wyglądające, zadanie daje siĊ rozwiązaü za pomocą elementarnych Ğrodków – czĊĞü uczniów to zauwaĪyáa i z sukcesem wykorzystaáa: 1.

Jak widaü, wystarczy tylko rozsądnie skorzystaü z podanych w zadaniu danych, a rozwiązanie „samo wyjdzie” i to z pomocą prostego dodawania (1–3) czy prostego mnoĪenia (4, 5). Niekiedy tylko początek rozwiązania byá zapisywany – reszta obliczeĔ odbywaáa siĊ w pamiĊci: 7.

Na szczĊĞcie, na koĔcu zawsze byáa podawana wáaĞciwa konkluzja:

Jak zawsze, dzieci tworzyáy swoje lokalne, „dynamiczne” notacje, niekiedy doĞü skomplikowane (np. 11):

10.

11.

Byáy teĪ oczywiĞcie rozwiązania bardziej konwencjonalne, w których caáoĞü rozumowania zapisano symbolicznie: 13.

12.

15.

14.

16.

W 21,5% wszystkich rozwiązaĔ podane w zadaniu wielkoĞci: 15 minut, 10 stron byáy (w kolejnoĞci czĊstoĞci wystąpieĔ): mnoĪone (1), dodawane (2, 3), odejmowane (4) albo dzielone (5). Uczniom nie przeszkadzaáo to, Īe do minut dodają strony albo mnoĪą minuty i strony przez siebie – i tak wynik podawany w odpowiedzi zawsze dotyczyá stron. 1. 3.

2. 4.

Mniej wiĊcej co piąty uczeĔ skupiá siĊ nie na treĞci zadania, lecz na podanych w nim w jawny sposób dwóch liczbach i próbowaá dopasowaü czy „trafiü” we wáaĞciwe dziaáanie. Ta „strategia” jest, jak widaü, doĞü rozpowszechniona. Niektórzy uczniowie starali siĊ uwzglĊdniü w swoim rozwiązaniu czas, przez jaki Ania miaáa czytaü ksiąĪkĊ, czyli póátorej godziny (rzadziej póá godziny). Póátorej godziny to czasami 130 minut (11, 12), a w kilku przypadkach 150 minut – przez analogiĊ z innymi jednostkami. 6.

10.

11.

14.

12. 13.

TakĪe i wĞród rozwiązaĔ tego typu widaü wyraĨne przykáady wspomnianej wyĪej „strategii”: z dodawania lub odejmowania minut wychodzą strony (7, 8), do stron dodaje siĊ minuty (6, 13) itd. Tego typu rozumowania są kolejnym przykáadem pojawienia siĊ zdegenerowanego formalizmu (por. s. 30) juĪ na I etapie ksztaácenia.

WiĊkszoĞü poprawnych rozwiązaĔ tego zadania byáa efektem porównania obu zakupów: za drugim razem kupiono o jedną czekoladĊ mniej. Reszta to prosta konsekwencja tej obserwacji: 1.

CenĊ batonu moĪna obliczyü zarówno korzystając z pierwszych zakupów (1, 2), jak i z drugich (3). W ten sposób rozumowaáo áącznie 14,3% uczniów. 4.

Warto zwróciü uwagĊ na rozwiązanie 4 – jego autor sprawdza otrzymane wyniki z jednym z warunków zadania. Wprawdzie z tym samym, z którego korzystaá wczeĞniej, ale i tak jest to duĪy krok w stronĊ rzeczywistego sprawdzenia poprawnoĞci rozwiązania zadania tekstowego. 85

Niektórzy uczniowie zaczĊli od zrobienia rysunku, i to wystarczyáo, Īeby szybko dojĞü do rozwiązania: 5.

Ciekawych rozwiązaĔ byáo zresztą wiĊcej: 7.

Autor rozwiązania 7 uáoĪyá, po czym rozwiązaá, prawdziwy ukáad dwóch równaĔ z dwiema niewiadomymi: czekolada i baton. Bardzo oryginalnie rozumowaá inny uczeĔ (8), który po prostu „eliminowaá” z zakupów kolejne czekolady. Niekiedy zadanie byáo rozwiązywane w pamiĊci, a na teĞcie, poza poprawną odpowiedzią, pojawiaáo siĊ tylko sprawdzenie. 9.

Znaczna czĊĞü uczniów (31,7%) rozpoczĊáa proces rozwiązywania obiecująco: ustalając cenĊ jednej czekolady lub zestawu czekolada i baton, a czasem nawet obu tych rzeczy (2), po czym nie posunĊáa siĊ dalej. Byü moĪe nie uĞwiadomili sobie oni sensu otrzymanego wyniku albo zabrakáo wiary we wáasne siáy. 1.

Inni (3–9) wykonywali róĪne dziaáania na liczbach z zadania, dodając je wszystkie (3), albo tylko niektóre z nich (4, 5), a takĪe mnoĪąc (6), dzieląc z resztą (7) czy áącząc róĪne dziaáania (8, 9): 3.

5. 6.

8. 9.

Byü moĪe liczyli na áut szczĊĞcia albo nie odbiegaáo to od ich dziaáaĔ przy rozwiązywaniu zadaĔ tekstowych na co dzieĔ. ObecnoĞü tej „strategii” widaü w rozwiązaniach wszystkich zadaĔ tekstowych wykorzystanych w badaniach.

1) NaleĪy dąĪyü do tego, aby uczeĔ jak najwczeĞniej zacząá rozwiązywaü zadania tekstowe, zapisując i wykonując odpowiednie obliczenie. Zadanie tekstowe to historyjka zakoĔczona jednym lub kilkoma pytaniami. Im jest ona bliĪsza doĞwiadczeniom dziecka, im ĞciĞlej nawiązuje do jego intuicji i stosowanego na co dzieĔ jĊzyka, czyli – im jest bardziej realistyczna z punktu widzenia ucznia, tym znalezienie odpowiedzi na postawione pytanie jest prostsze. DoĞwiadczenia dziecka rozpoczynającego naukĊ szkolną bazują przede wszystkim na jego dziaáaniach, w mniejszym stopniu na reprezentacji ikonicznej, a zupeánie sporadycznie mają charakter symboliczny. Dlatego teĪ zadanie tekstowe, zwáaszcza realistyczne, uruchamia przede wszystkim dziaáania ucznia – najbardziej naturalnym sposobem jego rozwiązania jest odtworzenie sytuacji z zadania. Przyjmijmy, Īe uczeĔ ma rozwiązaü na przykáad nastĊpujące zadanie: Na stole stoją dwa talerze. Na jednym leĪy 8 jabáek, a na drugim 5. Ile jest áącznie jabáek na tych talerzach?

Najbardziej naturalnym sposobem znalezienia odpowiedzi na to pytanie jest ustawienie na stole dwóch talerzy, uáoĪenie na nich odpowiedniej liczby jabáek i przeliczenie, ile ich jest áącznie. Taką metodĊ rozwiązania zadania tekstowego nazwijmy metodą naturalną. Jej zasadniczą wadą jest to, Īe wymaga bogatego „ekwipunku”.

JeĪeli nie dysponujemy ani talerzami, ani jabákami, moĪemy dokonaü symulacji sytuacji opisanej w zadaniu: kasztany, Īetony lub inne przedmioty zastąpią jabáka, natomiast kartki papieru lub cokolwiek innego – talerze. Ukáadamy, przeliczamy i rozwiązujemy zadanie, stosując metodĊ symulacji. 88

Te dwie metody: naturalna i symulacji pozwalają dzieciom na samodzielne rozwiązanie zadania na poziomie reprezentacji enaktywnej – przypomnijmy: najprostszej z punktu widzenia komunikowania siĊ dziecka z otaczającym Ğwiatem. Tego typu zadanie daje siĊ takĪe szybko i wygodnie rozwiązaü za pomocą, bardziej lub mniej realistycznego, rysunku, czyli na poziomie reprezentacji ikonicznej:

W miarĊ nabierania przez uczniów wprawy rysunki mogą stawaü siĊ coraz bardziej umowne, i – w efekcie – nabierają cech symbolu (por. s. 86). DziĊki temu dziecko samodzielnie „oswaja” jĊzyk symboliczny. Najtrudniejszą metodą rozwiązania zadania tekstowego jest rozwiązanie symboliczne, w którym trzeba dokonaü matematyzacji opisanej w zadaniu sytuacji, czyli trzeba wyraziü ją za pomocą pewnego obliczenia. W przypadku zadania przytoczonego wyĪej – za pomocą dodawania 8 + 5 = 13. Jest to, powtórzmy, zdecydowanie najtrudniejszy i najbardziej formalny sposób rozwiązania zadania, wymagający od ucznia najwiĊkszej dojrzaáoĞci i najbardziej zaawansowanej wiedzy. Jego zaletą, i jest to ogólna zaleta jĊzyka symbolicznego, jest tempo otrzymania rozwiązania. Stosując symbole szybko otrzymujemy wynik, chyba Īe … same symbole pojawiáy siĊ za szybko. Rozwiązania: „przez dziaáanie” (enaktywne) oraz „przez rysunek” (ikoniczne) wynikają w naturalny sposób z treĞci zadania oraz doĞwiadczeĔ dziecka. Rozwiązanie „przez obliczenie” (symboliczne) wymaga umiejĊtnoĞci dokonania matematyzacji sytuacji opisanej w zadaniu – wymaga zastąpienia czynnoĞci lub stanu opisanego w zadaniu odpowiednim dziaáaniem lub serią dziaáaĔ. Matematyzowanie to jedna z najwaĪniejszych, ale i najtrudniejszych, umiejĊtnoĞci matematycznych, rozwijanych w procesie ksztaácenia. Stopniowo ją doskonaląc musimy dbaü o to, Īeby dziecko rozumiaáo, co i dlaczego robi; w przeciwnym przypadku moĪemy niespodziewanie stanąü twarzą w twarz z kilkakrotnie juĪ wspominanym zjawiskiem zdegenerowanego formalizmu.

Najlepszą metodą budowania takiego rozumienia jest pokazywanie rozwiązania symbolicznego równolegle z rozwiązaniami enaktywnymi i ikonicznymi – te prostsze wyjaĞniają wówczas te trudniejsze, nadają sens symbolom i operacjom arytmetycznym. Pozwólmy wiĊc uczniom tak dáugo, jak bĊdzie im to potrzebne, rozwiązywaü zadania „przez dziaáanie” czy „przez rysunek”, a gdy znana jest juĪ odpowiedĨ na postawione w zadaniu pytanie, zastanówmy siĊ wspólnie, jak inaczej – szybciej – moĪna byáo ją otrzymaü. Niech operacje arytmetyczne wynikają w ĞwiadomoĞci dzieci z sytuacji dla nich realistycznych, których są matematyzacją. Niech sens – jak zawsze – poprzedza symbole. Warto zwróciü uwagĊ na jeszcze jedną, na pozór oczywistą, rzecz, ale przez tĊ oczywistoĞü czĊsto zapominaną. Rozwiązanie przytoczonego wczeĞniej zadania jest dla wiĊkszoĞci dzieci duĪo áatwiejsze niĪ wykonanie samego dodawania 8 + 5. Dlaczego? Zadanie nadaje konkretny sens wystĊpującym w nim liczbom (iloĞci jabáek) oraz operacji, którą naleĪy wykonaü. Co ciekawsze, w tym zadaniu – tak dáugo, jak dziecko moĪe dziaáaü i rysowaü – nie ma káopotu z przekraczaniem progu dziesiątkowego, bo ten ostatni pojawia siĊ tylko na poziomie symbolicznym. UczeĔ moĪe nawet sam zacząü budowaü sobie jakieĞ uĪyteczne strategie związane z przekraczaniem progu, np. przeáoĪyü dwa jabáka z talerza na talerz. Liczby wystĊpujące w oderwanym od kontekstu dodawaniu 8 + 5 nie mają dla dziecka Īadnego konkretnego sensu. JeĞli uczeĔ ma juĪ opanowaną procedurĊ dodawania na poziomie symbolicznym, to wykona jej odpowiednie kroki, jeĞli jeszcze nie, to – Īeby zrobiü cokolwiek – musi nadaü liczbom i dziaáaniu jakiĞ zrozumiaáy dla siebie sens, np. uáoĪyü na wáasny uĪytek zadanie o jabákach na talerzach. Realistyczne zadania tekstowe mogą uczyü liczyü i tworzyü warunki do budowania przez dzieci wáasnych strategii obliczeniowych. Oprócz tego, peánią waĪną funkcjĊ motywującą – dostarczają przyjemnoĞci páynącej z tego, Īe daáo siĊ pokonaü pewną trudnoĞü, a takĪe podnoszą samoocenĊ. Wszystko to jednak pod jednym warunkiem – Īe dziecko ma moĪliwoĞü poszukiwania oraz wyboru metody jego rozwiązania. Nie marnujmy tych moĪliwoĞci, zbyt wczeĞnie zmuszając dzieci do operowania symbolami na kaĪdym kroku. Symbole u dzieci w tym wieku na ogóá nie budują zrozumienia, jedynie uruchamiają zapamiĊtane procedury.

2) Podstawową pomocą przy rozwiązywaniu zadaĔ tekstowych jest staranne wypisanie danych i szukanych. Początki heurystyki, czyli nauki o metodach (twórczego) rozwiązywania problemów siĊgają StaroĪytnej Grecji, a wĞród jej „rodziców” moĪna wymieniü m.in. Sokratesa – twórcĊ i propagatora tzw. metody poáoĪniczej, w której, dziĊki stawianiu pytaĔ pobudzających myĞlenie ucznia, prowadzimy go do samodzielnego „urodzenia” rozwiązania. Do powstania wspóáczesnej wersji heurystyki w znacznej mierze przyczyniá siĊ wybitny amerykaĔski matematyk George Polya, którego dwie ksiąĪki: Jak to rozwiązaü? oraz Odkrycie matematyczne zostaáy przetáumaczone na jĊzyk polski. Obie te prace poĞwiĊcone są wáaĞnie sztuce rozwiązywania problemów (i to nie tylko matematycznych!). WĞród formuáowanych w nich rad i wskazówek znajduje siĊ równieĪ ta, zwracająca uwagĊ na potrzebĊ uwaĪnego analizowania(!) danych i szukanych. W najbardziej ogólnej wersji rady G. Polyi, dotyczące procesu rozwiązywania zadaĔ, brzmią nastĊpująco10: 1.

Staraj siĊ zrozumieü zadanie.

ZnajdĨ związek miĊdzy danymi i niewiadomymi. UáóĪ plan rozwiązania.

Wykonaj swój plan.

Przestudiuj otrzymane rozwiązanie.

Byü moĪe efektem ksiąĪek G. Polyi jest istniejący od lat w naszej szkole zwyczaj wypisywania danych i szukanych w procesie rozwiązywania zadania tekstowego. Heurystyczna wskazówka staáa siĊ obowiązkowym etapem procedury i zadomowiáa siĊ juĪ nawet w I etapie ksztaácenia. Jej zwolennicy i propagatorzy nie zwrócili jednak uwagi na dwie rzeczy: í

G. Polya zachĊca nie do wypisywania danych i szukanych, lecz do poszukiwania związków miĊdzy nimi;

a swoje wskazówki stworzyá dla kilkunastolatków przygotowujących siĊ do studiów i na nich testowaá ich sáusznoĞü.

A co w takim razie z dziewiĊcio- czy dziesiĊciolatkami? W ich przypadku wypisanie danych i szukanych ma tylko jedną zaletĊ: í

zwraca uwagĊ na informacje podane w zadaniu i sformuáowane w nim pytanie;

oraz kilka ogromnie istotnych wad, zwáaszcza z punktu widzenia dzieci mniej formalnie myĞlących: 10

G. Polya, Jak to rozwiązaü?, PWN, Warszawa 1993.

buduje „tamĊ” miĊdzy treĞcią zadania a tworzonym rozwiązaniem, zachĊcając, czy wrĊcz zmuszając uczniów do manipulowania – czĊsto przypadkowego – wypisanymi danymi;

kieruje dziecko w stronĊ rozwiązania symbolicznego, opartego na operacjach arytmetycznych, ograniczając – czy wrĊcz zmniejszając do zera – szanse na inny sposób rozwiązania zadania (np. rysunkowy);

uczniów, którzy nie są jeszcze gotowi w ten sposób radziü sobie ze záoĪonym zadaniem, zachĊca w efekcie do tworzenia róĪnych „strategii obronnych”.

JeĞli chcemy zwróciü uwagĊ dzieci na dane umieszczone w zadaniu, zachĊümy je do kilkakrotnego przeczytania jego treĞci, do podkreĞlenia w nim oáówkiem waĪnych informacji, sformuáujmy seriĊ pytaĔ dotyczących sytuacji opisanej w zadaniu, poproĞmy dzieci, aby „po swojemu” opowiedziaáy o tym, o co w nim chodzi – ale nie wpychajmy ich w kolejny, bardzo wąski i ograniczający, schemat. OczywiĞcie, kaĪda heurystyka, czyli wskazówka dotycząca metod rozwiązywania zadaĔ czy problemów, jest takĪe pewnym schematem, lecz jej siáa polega na tym, Īe jest to schemat bardzo ogólny, który daje siĊ zastosowaü zawsze i który tworzy warunki do budowania wáasnych, bardziej szczegóáowych, strategii prowadzących do sukcesu. 3) JeĞli chcemy, aby uczniowie opanowali umiejĊtnoĞü rozwiązywania zadaĔ tekstowych, musimy przerobiü z nimi duĪą liczbĊ typowych zadaĔ. Zacznijmy od sáowa-klucza: „utrwaliü”. Co to znaczy, Īe dzieci coĞ „utrwaliáy”? NajczĊĞciej kryje siĊ za tym zwrotem zrobienie przez nie, z wiĊkszym lub mniejszym zaangaĪowaniem (takĪe intelektualnym), serii zbliĪonych czy nawet bardzo podobnych przykáadów lub zadaĔ. Celem tego zabiegu jest „wdrukowanie” w ĞwiadomoĞü dzieci pewnej mechanicznej procedury postĊpowania, pewnej typowej reakcji na konkretną sytuacjĊ dydaktyczną. W przypadku zadaĔ tekstowych moĪna wyróĪniü kilka podstawowych kategorii zadaĔ pojawiających siĊ w I etapie ksztaácenia i utrwaliü metody ich rozwiązywania. MoĪna, ale czy warto? Jak pokazuje takĪe praktyka, w efekcie takiego podejĞcia umiejĊtnoĞü rozwiązywania zadaĔ „rozpadnie siĊ” w ĞwiadomoĞci ucznia na dwie umiejĊtnoĞci skáadowe: í

rozpoznanie typu zadania;

przywoáanie z pamiĊci wáaĞciwej procedury postĊpowania.

Takie podejĞcie do zadaĔ tekstowych ma swoje praktyczne zalety – daje sporą szansĊ, Īe znaczna czĊĞü dzieci poradzi sobie z zadaniami „utrwalonych” typów na popularnych w naszych szkoáach testach kompetencji trzecioklasisty lub na początku swojej edukacji w klasach starszych. Na początku, bo potem pojawią siĊ nowe klasy zadaĔ i wszystko trzeba bĊdzie zaczynaü od nowa. Trudno powiedzieü, jak duĪa jest wspomniana wczeĞniej szansa – procent poprawnych rozwiązaĔ zadania C (por. s. 79), czyli najbardziej typowego zadania záoĪonego, nie jest przecieĪ imponujący. To podejĞcie ma jednak przede wszystkim wady, poniewaĪ: í

wypacza i degeneruje sens umiejĊtnoĞci rozwiązywania zadaĔ tekstowych – jak juĪ wspominaliĞmy – najwaĪniejszego celu edukacji matematycznej w szkole podstawowej;

wzmacnia i utrwala jako podstawową, czy nawet jedyną, strategiĊ intelektualną – strategiĊ przypominania.

Sam odruch poszukiwania wzorca w pamiĊci nie jest niczym záym. Káopoty pojawiają siĊ dopiero wtedy, gdy strategia ta jest jedynym narzĊdziem intelektualnym, stosowanym przez ucznia. Prowadzi to bowiem szybko do tego, Īe uczeĔ jest w stanie poradziü sobie tylko(!) z tymi zadaniami, które poprawnie rozpozna (Na co to jest? Na mnoĪenie czy odejmowanie?) i do których „klucz” posiada w pamiĊci. A jeĞli nie rozpozna? Wtedy rezygnuje z próby sensownego rozwiązania zadania, uruchamiając jakieĞ „strategie zastĊpcze” (Dodajmy wszystkie liczby z zadania, moĪe to jest zadanie na dodawanie, moĪe bĊdzie dobrze.). Efekty takich dziaáaĔ widaü analizując np. wyniki polskich piĊtnastolatków, biorących udziaá w badaniach PISA (por. s. 141) czy w innych badaniach miĊdzynarodowych – dobre wyniki w sytuacjach typowych i bezradnoĞü (wyuczona?) wszĊdzie tam, gdzie sytuacja jest nowa i wymaga zastosowania posiadanej wiedzy. Rozwiązanie serii typowych, podobnych zadaĔ, wbrew obiegowym opiniom, nie tylko nie pomaga opanowaü umiejĊtnoĞci rozwiązywania zadaĔ, ale wrĊcz uniemoĪliwia jej zdobycie! Zamiast rzeczywistej umiejĊtnoĞci, w ostatecznym rozrachunku udziaáem dziecka staje siĊ kilka schematów, znudzenie i zniechĊcenie, brak wiary we wáasne siáy oraz intelektualna bezradnoĞü11. Czasami takĪe garĞü „obronnych strategii”, których celem jest ukrycie tej bezradnoĞci:

Por. np. D. Klus-StaĔska, M. Nowicka, Sensy i bezsensy edukacji wczesnoszkolnej, WSiP, Warszawa 2005.

í jeĞli liczby w zadaniu są mniej wiĊcej tej samej wielkoĞci, naleĪy je dodaü, í jeĞli obie są nieduĪe, to naleĪy je pomnoĪyü, í jeĞli jedna jest nieco wiĊksza od drugiej, to od wiĊkszej odejmujemy mniejszą, í ...

A chodziáo nam przecieĪ o coĞ zupeánie innego! PamiĊtajmy! JeĞli nie stworzymy warunków do tego, Īeby dzieci budowaáy sobie (z naszą pomocą!) sensowne strategie postĊpowania, to wymyĞlą wáasne, które, gdy zabraknie we wáaĞciwym momencie informacji zwrotnej, mogą mocno nas zaskoczyü. Przytoczmy na koniec sáowa wspomnianego wczeĞniej G. Polyi: Uczenie mechanicznego wykonywania typowych operacji matematycznych i niczego wiĊcej leĪy niewątpliwie poniĪej poziomu ksiąĪki kucharskiej, gdyĪ przepisy kucharskie zostawiają coĞ dla fantazji i sądu kucharki, a przepisy matematyczne – nic12.

Co robi dziecko, gdy ma rozwiązaü zadanie tekstowe i nie wie, w jaki sposób to zrobiü? NajczĊĞciej w takiej sytuacji zaczyna zgadywaü – podobnie zresztą postĊpują teĪ na ogóá doroĞli: a moĪe 14? albo 20? ... Metoda prób i báĊdów jest jedną z najbardziej naturalnych metod postĊpowania w sytuacji, gdy nie wiemy, co trzeba zrobiü. I dobrze! Bo wprawdzie metoda ta jest maáo efektywna, ale moĪe staü siĊ podstawą do zbudowania przez uczniów znacznie potĊĪniejszego narzĊdzia, które – przez analogiĊ – moĪemy nazwaü strategią prób i poprawek. W tym celu wystarczy wspólnie zacząü zastanawiaü siĊ nad tym, co wynika z kolejnych prób i jakich nowych informacji nam dostarczają. Niekiedy wystarczy jedno dobre pytanie postawione we wáaĞciwym momencie. 1.

W zagrodzie byáy kury i króliki. Razem byáo 20 gáów i 68 nóg. Ile byáo kur, a ile królików?

G. Polya, op.cit., s. 244.

Tego typu zadania od lat pojawiają siĊ na róĪnego rodzaju konkursach matematycznych. Dorosáy na ich widok od razu zaczyna pisaü ukáad dwóch równaĔ z dwiema niewiadomymi. Czy rzeczywiĞcie musimy strzelaü z armaty do wróbla? Spróbujmy inaczej: Wszystkich zwierząt jest 20. To moĪe królików jest 10? SprawdĨmy, czy tak rzeczywiĞcie jest:

10 królików to: kur teĪ byáoby 10: razem byáoby wiĊc

10 × 4 = 40 nóg 10 × 2 = 20 nóg 60 nóg.

A miaáo byü 68. Pierwszy strzaá i pudáo. Nóg jest za maáo. Ale co to oznacza? Co wynika z tego, Īe gdy królików jest 10, to nóg áącznie jest za maáo? Czy królików powinno byü wiĊcej czy mniej niĪ 10? WiĊcej, bo to one „dodają” nóg. Pora na poprawkĊ! To moĪe 12? Znacznie lepiej! Widaü juĪ, Īe królików byáo 14. Ale sprawdĨmy to na wszelki wypadek:

12 królików to: 8 kur to: razem wiĊc

12 × 4 = 48 nóg 8 × 2 = 16 nóg 64 nogi.

14 królików to: 6 kur to: razem:

14 × 4 = 56 nóg 6 × 2 = 12 nóg 68 nóg!

Zrobione!

Jak widaü, do rozwiązania tego zadania wystarczy umiejĊtnoĞü dodawania i mnoĪenia w niezbyt duĪym zakresie liczbowym i nic wiĊcej! MoĪe jeszcze tylko jedna, na ogóá zupeánie niedoceniania rzecz – chĊü rozwiązania zadania, wynikająca, byü moĪe, z przekonania, Īe jeĞli siĊ spróbuje, to na pewno siĊ uda. Jedną z waĪniejszych rzeczy w procesie rozwijania umiejĊtnoĞci matematycznych uczniów jest wzmacnianie w dziecku wiary w swoje siáy, w siáĊ posiadanej wiedzy, budowanie przekonania, Īe jeĞli spróbuje, to powinno byü dobrze. Trzeba tylko próbowaü i wyciągaü z tych prób wnioski! Bo jeĞli dziecko nie ma odwagi próbowaü, to… Nie naleĪy myliü przedstawionej na powyĪszym przykáadzie strategii z metodą prób i báĊdów. Metoda prób i báĊdów, w której nie ma miejsca na refleksjĊ o wnioskach páynących z kolejnych wykonywanych prób, nie gwarantuje koĔcowego sukcesu. Strategia prób i poprawek tĊ gwarancjĊ daje. Jej zbudowanie na bazie spontanicznych „strzaáów” uczniów jest proste – wystarczy zacząü konsekwentnie stawiaü po kolejnych próbach jedno krótkie i zrozumiaáe pytanie: Co z tej próby wynika?

I jeszcze kilka zadaĔ: 2.

Wybraáem pewną liczbĊ, dodaáem do niej 16 i otrzymaáem 44. Jaką liczbĊ wybraáem na początku?

No to znowu spróbujmy. Zawsze warto zaczynaü od czegoĞ „okrągáego”, co daje proste obliczenia i szybką orientacjĊ w treĞci zadania. MoĪe 10: MoĪe 20: 30? Zatem 28:

10 + 16 = 26 – pudáo, o wiele za maáo. Czyli – ta liczba jest wiĊksza! 20 + 16 = 36 – lepiej, ale ciągle za maáo. Jeszcze wiĊksza. 30 + 16 = 46 – tym razem troszkĊ za duĪa. O 2! 28 + 16 = 44. Dobrze!

A teraz, gdy juĪ wiemy, jaka to byáa liczba, moĪemy siĊ wspólnie zastanowiü, czy moĪna byáo znaleĨü ją szybciej. 3.

W pudeáku byáo 26 klocków. Janek zabraá czĊĞü z nich. W pudeáku zostaáo tylko 8 klocków. Ile klocków zabraá Janek?

MoĪe wziąá 10 klocków? Wziąá wiĊcej czy mniej niĪ 10? SprawdĨmy, co by byáo, gdyby wziąá 16: Czyli wziąá jeszcze wiĊcej – 18?

26 – 10 = 16 – pudáo. 26 – 16 = 10 – bliĪej. 26 – 18 = 8.

W zadaniu są podane dwie liczby, jedna wiĊksza od drugiej, wiĊc pewnie trzeba je odjąü (por. s. 94). Káopot w tym, Īe z treĞci zadania wynika odejmowanie 26 – ? = 8, a nie 26 – 8 = ?. Ilu uczniów rzeczywiĞcie rozumie, dlaczego to drugie odejmowanie daje rozwiązanie? MoĪe ich procent bĊdzie wiĊkszy, gdy najpierw rozwiąĪą to zadanie, stosując strategiĊ prób i poprawek, a potem zastanowią siĊ nad szybszą drogą do celu. Przy okazji mają szansĊ odkryü waĪną, i wcale nie taką prostą jak siĊ wydaje, wáasnoĞü odejmowania: im wiĊkszą liczbĊ odejmujemy, tym wynik jest mniejszy. 4.

Ojciec i syn mają razem 60 lat. Ojciec jest trzy razy starszy od syna. Ile lat ma kaĪdy z nich? Ile lat moĪe mieü syn? MoĪe 10: to ojciec ma 3 × 10 = 30 lat, a razem mają 40 – za maáo. Czyli syn musi byü starszy. 15? 3 × 15 = 45, 45 + 15 = 60, zrobione!

Ponownie, zamiast ukáadu równaĔ czy jednego równania, kilka prostych operacji.

Strategia prób i poprawek ma wiele zalet, przede wszystkim: í

daje siĊ z sukcesem zastosowaü do ogromnej liczby zadaĔ róĪnych typów,

najczĊĞciej wymaga zastosowania bardzo prostych narzĊdzi matematycznych,

doskonali sprawnoĞü rachunkową dzieci i pozwala im poznawaü wáasnoĞci dziaáaĔ,

nawet gdy nie prowadzi do sukcesu, to pozwala lepiej zrozumieü treĞü rozwiązywanego zadania, co moĪe umoĪliwiü dziecku siĊgniĊcie po inną metodĊ.

I jeszcze jedna, bardzo istotna zaleta – uczy sprawdzaü poprawnoĞü rozwiązania zadania. Bo sprawdzenie to nie polega na kontroli poprawnoĞci wykonywanych obliczeĔ, ale na ustaleniu, czy otrzymany wynik speánia warunki zadania, czy pasuje do przedstawionej w nim sytuacji.

O potrzebie rysowania podczas rozwiązywania zadaĔ tekstowych wspominaliĞmy juĪ wczeĞniej, w kontekĞcie róĪnych typów reprezentacji, tworzonych przez dziecko. „Rysowanie zadania” jest takĪe jedną z najpotĊĪniejszych strategii sáuĪących ich rozwiązywaniu na kaĪdym szczeblu edukacji, nie tylko w klasach 1–3. Niekiedy zrobienie rysunku niespodziewanie przynosi rozwiązanie. Tak jest na przykáad w przypadku zadania, od którego rozpoczĊliĞmy: 1.

W zagrodzie byáy kury i króliki. Razem byáo 20 gáów i 68 nóg. Ile byáo kur, a ile królików?

Byáo 20 gáów, narysujmy je:

Do kaĪdej gáowy „doczepmy” po dwie nogi:

Tak wyglądaáaby sytuacja, gdyby byáy to same kury. „UĪyliĞmy” juĪ 40 nóg. Zostaáo nam jeszcze 28 nóg „bez przydziaáu", wiĊc dorysujmy je parami, zamieniając w ten sposób niektóre kury na króliki.

Zadanie narysowane. Teraz wystarczy przeliczyü: 14 królików i 6 kur. Warto sprawdziü, czy czegoĞ nie pominĊliĞmy: 14 + 6 = 20, 14 × 4 + 6 × 2 = 68. Dobrze!

Analogicznie postĊpujemy w przypadku innych, podobnych strukturalnie zadaĔ, których wcale nie trzeba rozwiązywaü za pomocą ukáadu równaĔ – wystarczy dobry rysunek: 5.

Ania karmiáa w schronisku psy i koty. KaĪdy pies dostaá 6 kawaáków miĊsa, a kaĪdy kot 4 kawaáki. Ile byáo psów, a ile kotów, jeĞli áącznie byáo ich 13, a Ania daáa im 68 kawaáków miĊsa?

Spróbujmy narysowaü to, o czym opowiada historyjka z zadania: Byáo 13 zwierząt, kaĪde z nich miaáo pewnie swoją miseczkĊ, narysujmy wiĊc 13 miseczek:

Do kaĪdej miseczki wkáadamy po 4 kawaáki miĊsa, czyli tyle, ile dostaje kot:

To razem 40 i 12, czyli 52 kawaáki. To zostaáo ich jeszcze 16 do rozáoĪenia. To są te dodatkowe kawaáki dla psów, rozáóĪmy wiĊc je po dwa do kolejnych miseczek, aĪ razem bĊdzie ich 16: 2, 4, 6, ..., 16.

To są miski psów, a to miski kotów:

Czyli w schronisku byáo 8 psów i 5 kotów. SprawdĨmy, czy gdzieĞ siĊ nie pomyliliĞmy: 8 + 5 = 13 – liczba zwierząt siĊ zgadza; 8 × 6 = 48, 5 × 4 = 20, 48 + 20 = 68 – liczba kawaáków miĊsa teĪ.

Ale przecieĪ uczeĔ nie zapisaá Īadnego obliczenia – moĪe powiedzieü zwolennik obowiązku stosowania symboliki matematycznej „na co dzieĔ”. A czy musiaá? MoĪe lepiej, Īe nie zapisaá? MoĪe dziĊki temu kaĪdy uczeĔ przekona siĊ, Īe rozwiązywanie nawet na pozór tak trudnych zadaĔ jest w zasiĊgu jego moĪliwoĞci?

Kolejne zadanie podobne jest do zadania F z testu (por. s. 73), choü odrobinĊ trudniejsze: 6.

Za 6 filiĪanek i 6 talerzyków pani Irena zapáaciáa 42 záote. NastĊpnego dnia pani Irena dokupiáa jeszcze 2 filiĪanki i 6 talerzyków z tego samego zestawu. Tym razem zapáaciáa 26 zá. Ile kosztowaáa filiĪanka, a ile talerzyk?

Narysujmy te zakupy:

42 zâ 26 zâ Na razie nic nowego, po prostu treĞü zadania przedstawiona na rysunku. Rysunek przemawia jednak duĪo mocniej i pozwala zobaczyü to, co w zapisie umyka, np.: í

Za którym razem pani Irena kupiáa wiĊcej naczyĔ? O ile wiĊcej? Ile wiĊcej za nie zapáaciáa? …

Za pierwszym razem pani Irena kupiáa 6 kompletów: filiĪanka + talerzyk. Ile kosztuje jeden taki komplet? …

Informacja o cenie kompletu moĪe byü wykorzystana w róĪny sposób, takĪe do poszukiwania ceny filiĪanki i talerzyka z pomocą strategii prób i poprawek: jeĞli komplet kosztuje 7 záotych, to moĪe… Czasami nie daje siĊ od razu zrobiü wáaĞciwego rysunku, ale daje siĊ go dopasowaü do warunków zadania wáaĞnie z pomocą prób i poprawek – te dwie strategie wzajemnie bardzo siĊ wzmacniają: 7.

Dorota trzyma swoje ksiąĪki na regale o trzech póákach. Najmniej ksiąĪek ma na górnej póáce. Na Ğrodkowej ma ich o 4 wiĊcej, a na dolnej o 7 wiĊcej niĪ na górnej. àącznie ma 47 ksiąĪek. Ile ksiąĪek stoi na kaĪdej z póáek?

Ile ksiąĪek moĪe staü na najwyĪszej póáce? MoĪe 10? Zróbmy odpowiedni rysunek:

100

Na górnej 10, to na Ğrodkowej 14, a na dolnej 17, razem 41. Za maáo.

To dorysujmy kolejne ksiąĪki, po jednej na póáce, tak, aby byáo dobrze: 42, 43, 44, …

Na górnej jest 12 ksiąĪek, na Ğrodkowej 16 (czyli o 4 wiĊcej), na dolnej 19, czyli o 7 wiĊcej niĪ na górnej, razem 47 ksiąĪek. Wszystko siĊ zgadza.

Przy rozwiązywaniu wielu zadaĔ – zarówno áatwiejszych, jak i trudniejszych – rysunek moĪe ogromnie pomóc: moĪe daü rozwiązanie „na tacy”, moĪe pozwoliü odkryü drogĊ prowadzącą do rozwiązania, a w najgorszym razie pozwoliü lepiej zrozumieü, o co w zadaniu chodzi. Bez zrozumienia treĞci zadania wszelkie próby jego sensownego rozwiązania są z góry skazane na niepowodzenie.

101

Jedna z przytoczonych wczeĞniej (s. 91) rad G. Polyi, dotyczących sztuki rozwiązywania zadaĔ tekstowych mówi o potrzebie szukania związku miĊdzy danymi i niewiadomymi. Spróbujmy poszukaü tego związku w sposób bardziej niĪ dotychczas uporządkowany: 7’.

Dorota trzyma swoje ksiąĪki na regale o trzech póákach. Najmniej ksiąĪek ma na górnej póáce. Na Ğrodkowej ma ich o 7 wiĊcej, a na dolnej o 18 wiĊcej niĪ na górnej. àącznie ma 73 ksiąĪki. Ile ksiąĪek stoi na górnej póáce?

Zacznijmy od strategii prób i poprawek oraz „ustawienia” 10 ksiąĪek na górnej póáce, ale zbierane informacje zapiszmy w tabelce, np. takiej: Górna póáka

ĝrodkowa póáka

Dolna póáka

Razem

Razem 55, czyli za maáo. Zobaczmy, co i jak bĊdzie siĊ zmieniaü, jeĞli bĊdziemy dostawiaü na kaĪdą póákĊ po jednej ksiąĪce: Górna póáka

ĝrodkowa póáka

Dolna póáka

Razem

10 11 12 13 14

17 18 19 20 21

28 29 30 31 32

55 58 61 64 67

Jeszcze dwa wiersze i koniec: na górnej póáce stoi 16 ksiąĪek.

Najtrudniejszą czynnoĞcią jest zbudowanie tabelki. Potem juĪ tylko wykorzystywanie prostych zaleĪnoĞci: tu roĞnie o 1, tu o 1, tu o 1, a tu o 3. Wypeánianie tabelki moĪna teĪ zacząü od „samego początku”: 8.

102

Janek, Tomek, Piotr i Karol zbierają modele samochodów. Tomek ma o 7 modeli wiĊcej niĪ Janek, Karol ma o 18 modeli wiĊcej niĪ Tomek, a Piotr o 3 wiĊcej niĪ Karol. Razem mają 88 modeli. Ile modeli ma kaĪdy z nich?

Który z cháopców ma najmniej modeli? Janek. Warto budowanie tabeli i jej wypeánianie zacząü wiĊc od Janka. Janek

1 2 3 4 5 6 7

Tomek

Karol

Piotr

Razem

8 9 10 11 12 13 14

26 27 28 29 30 31 32

29 30 31 32 33 34 35

64 68 72 76 80 84 88

SprawdĨmy jeszcze, czy liczby z ostatniego wiersza tabeli speániają warunki z zadania: Tomek o 7 wiĊcej od Janka; Karol o 18 wiĊcej od Tomka; Piotr o 3 wiĊcej od Karola; razem 88. Wszystko tak, jak trzeba.

Janek, Tomek i Karol zbierają modele samochodów. Tomek ma dwa razy wiĊcej modeli niĪ Janek, a Karol ma trzy razy wiĊcej modeli niĪ Tomek. Razem mają 135 modeli. Ile modeli ma kaĪdy z nich?

Zacznijmy od 10 modeli u Janka: Janek

Tomek

Karol

Razem

10 11 12

20 22 24

60 66 72

90 99 108 117 126 135

Tu o 1 wiĊcej, tu o 2, tu o 6, a tu o 9. Acha, dalej bĊdą kolejno: 117, 126, 135.

Nie musimy wypeániü caáej tabelki, Īeby wiedzieü, jakie jest rozwiązanie. Spójrzmy jeszcze raz na dwa ostatnie zadania. Zadanie 8 dotyczy porównywania róĪnicowego, zadanie 9 – ilorazowego. MoĪe takie doĞwiadczenia z wypeánianiem tabelek pomogą niektórym uczniom uĞwiadomiü sobie róĪnicĊ miĊdzy jednym a drugim? 103

Te dwie, związane ze sobą, strategie: Próbuj i wyciągaj wnioski oraz Zrób tabelkĊ pozwalają dziecku na rozwiązanie wielu zróĪnicowanych zadaĔ – wystarczy umieü liczyü. Trzeba takĪe zrobiü dwie rzeczy, które podczas rozwiązywania zadaĔ tekstowych są byü moĪe najistotniejsze: trzeba zrozumieü zadanie i trzeba podjąü próbĊ jego rozwiązania – o to drugie zdecydowanie áatwiej, gdy uczeĔ wie, od czego moĪe zacząü. Bardzo czĊsto zrozumienie zadania jest konsekwencją przeprowadzonych prób: strzelając i sprawdzając swoje strzaáy czy wypeániając tabelkĊ, uczeĔ bada sytuacjĊ opisaną w zadaniu, bada związki istniejące miĊdzy wystĊpującymi w zadaniu wielkoĞciami i zaczyna dostrzegaü, o co w nim tak naprawdĊ chodzi. Przytoczone strategie to teĪ pewne schematy postĊpowania. Jednak ich siáą, w odróĪnieniu od innych schematycznych metod, z którymi zapoznają siĊ uczniowie, jest uniwersalnoĞü ich zastosowania – mogą przydaü siĊ dosáownie wszĊdzie! Rozwiązywanie tego samego zadania kilkoma róĪnymi metodami ma wiele walorów ksztaácących. Zwraca miĊdzy innymi uwagĊ na to, Īe róĪne drogi mogą prowadziü do tego samego celu, Īe przy rozwiązywaniu zadaĔ moĪliwe i poprawne są róĪne sposoby myĞlenia oraz postĊpowania. KaĪda z metod moĪe ujawniü inną wáasnoĞü badanej sytuacji, moĪe pokazaü inne związki miĊdzy wystĊpującymi w zadaniu obiektami. ZachĊcajmy wiĊc uczniów, aby prezentowali swoje rozwiązania, opowiadali o stosowanych metodach, o pytaniach, dziĊki którym wpadli na taki czy inny pomysá. Szybko okaĪe siĊ, Īe pomysáy te są róĪnorodne i rzeczywiĞcie zaskakujące. I pamiĊtajmy – zawsze najlepsza jest ta metoda rozwiązania, którą uczeĔ samodzielnie wymyĞli!

104

Przeczytajmy uwaĪnie ten tekst:

Czego moĪemy siĊ dowiedzieü z tej oferty o oĞrodku?

Na jakie pytania moĪemy odpowiedzieü, korzystając z podanych informacji?

Zróbmy listĊ tych pytaĔ. Poszukajmy na nie wspólnie odpowiedzi.

Czy wymyĞlając pytania i – w efekcie – ukáadając zadania tekstowe, uczniowie wymyĞlą, Īeby dodawaü liczbĊ pokoi do ceny noclegu albo mnoĪyü cenĊ obiadu przez koszt wynajĊcia saĔ (por. s. 84)? JeĞli nawet to siĊ zdarzy, to bardzo szybko sobie uĞwiadomią, Īe tego typu operacja nie ma Īadnego praktycznego (i matematycznego takĪe) sensu. Oferta ta jest na tyle bogata, Īe stwarza uczniom naprawdĊ wiele moĪliwoĞci: í

od stwierdzenia, ile kosztuje nocleg jednej osoby w pokoju dwuosobowym i na przykáad o ile jest droĪszy od noclegu w pokoju trzyosobowym,

po rozwaĪania o tym, jak moĪe ulokowaü siĊ wycieczka záoĪona z 8 dziewcząt i 7 cháopców, aby koszt pobytu byá jak najniĪszy.

DziĊki temu kaĪdy uczeĔ moĪe w niej „znaleĨü” coĞ na swoją miarĊ.

105

Rozwijanie umiejĊtnoĞci rozwiązywania zadaĔ tekstowych to záoĪony proces, bo i sam proces rozwiązania zadania obejmuje wiele etapów – zrozumienie sytuacji opisanej w zadaniu, przeanalizowanie podanych w nim informacji i zbadanie ich przydatnoĞci, uáoĪenie planu rozwiązania itd. Tego typu „kruszenie” krótszych i dáuĪszych (choü zawsze bogatych!) tekstów13 moĪe byü skutecznym narzĊdziem na drodze do mistrzostwa, nie tylko w rozwiązywaniu zadaĔ, ale takĪe w rozwiązywaniu problemów. A – niejako przy okazji – uczeĔ ma okazjĊ poznaü kolejną waĪną strategiĊ poszukiwania rozwiązaĔ problemów i zadaĔ tekstowych – znaną od kilku tysiĊcy lat pod nazwą syntezy.

Por. A. Kaufmann, M. Fustier, A. Drevet, Inwentyka, WNT, Warszawa 1975.

106

OBLICZANIE OBWODU PROSTOKĄTA W klasach 1–3 polskiej szkoáy elementy geometrii pojawiają siĊ w bardzo ograniczonym zakresie, co jest konsekwencją nie tylko zdominowania tego etapu ksztaácenia przez umiejĊtnoĞci obliczeniowe, ale takĪe wynikiem pewnej tradycji edukacyjnej, opartej na doĞü dedukcyjnym i formalnym spojrzeniu na pojĊcia oraz umiejĊtnoĞci geometryczne. To jeden z powodów, dla których w badaniu pojawiáo siĊ tylko jedno zadanie o charakterze geometrycznym, czy raczej arytmetyczno-geometrycznym:

Jak widaü, umiejĊtnoĞü obliczania obwodu prostokąta badana byáa w dwóch sytuacjach: í

gdy prostokąt narysowany jest na kratce o boku 1 cm (z tego typu przykáadami uczniowie powinni wielokrotnie zetknąü siĊ w procesie ksztaácenia)

oraz í gdy nazwa „prostokąt” zostaáa uĪyta w stosunku do kwadratu narysowanego na kratce o boku 5 mm. Z przykáadem a poradziáa sobie nieco ponad poáowa dzieci, z przykáadem b tylko okoáo 1/3: 60%

54,5%

55,1%

50% 38,7% 40%

34,1%

30% 20% 10,8%

6,8% 10% 0% przykáad a poprawne rozwiązanie

przykáad b báĊdne rozwiązanie

brak rozwiązania

Diagram 13. Obliczanie obwodu prostokąta – rozkáad rozwiązaĔ.

107

Uderza duĪa róĪnorodnoĞü metod zastosowanych przez uczniów, co prawdopodobnie oznacza, Īe czĊĞü z nich nie miaáa zbyt wielu okazji do liczenia obwodu. Rozwiązania 1–5 pokazują istotĊ samego pojĊcia: dziĊki umieszczeniu prostokątów na kratce moĪna obwód policzyü „na palcach”, przeliczając odpowiednie odcinki kratki, albo od razu sumując ich dáugoĞci. 1.

108

Rozwiązanie zadania wymaga zatem – co widaü – elementarnych czynnoĞci. CzĊĞü uczniów, zapewne na wszelki wypadek, uzupeániáa swoje rozumowanie o dodatkowe obliczenia (2, 5). Wprowadzenie kratki o boku 5 mm pozwoliáo niektórym uczniom na zademonstrowanie swojego matematycznego sprytu: 6.

7. 8.

Autorzy rozwiązaĔ 6 i 7 zastosowali najprawdopodobniej tĊ samą metodĊ postĊpowania: poáączmy odcinki tak, aby otrzymaü peáne centymetry, choü zapisali ją w zupeánie róĪny sposób. TakĪe i trzecie rozwiązanie (8) charakteryzuje siĊ oryginalnym sposobem zapisu. Inne poprawne rozwiązania wyglądaáy juĪ bardziej konwencjonalnie, takĪe ze wzglĊdu na typ pojawiających siĊ w nich usterek:

W obliczeniach pojawiáy siĊ takĪe próby siĊgniĊcia po wzory i symbole literowe:

109

choü doĞü czĊsto koĔczyáy siĊ one jedynie na Īonglerce symbolami:

WĞród rozwiązaĔ tego zadania trudno jest wskazaü jakieĞ typowe kategorie báĊdów. CzĊĞü báĊdnych rozwiązaĔ byáa konsekwencją niezrozumienia treĞci zadania, np. uczniowie odnosili dane dotyczące boku kratki do prostokąta, którego obwód mieli obliczyü (1, 2). Niewielka czĊĞü dzieci – 5,0% dla przykáadu a oraz 4,2% dla przykáadu b – pomyliáa pojĊcia obwodu i pola (3). 1.

WiĊkszoĞü báĊdów wyraĪaáa siĊ w doĞü przypadkowych obliczeniach (4–6) i najprawdopodobniej byáa efektem niezrozumienia pojĊcia obwodu (por. teĪ 7):

110

Podobnie, jak w innych zadaniach, takĪe i tu pojawiáy siĊ przykáady pozornego sprawdzania poprawnoĞci rozwiązania (6).

Dlaczego w polskim nauczaniu początkowym tradycyjnie jest tak maáo elementów geometrii? O jednej z moĪliwych przyczyn takiego stanu rzeczy juĪ wspominaliĞmy – w ĞwiadomoĞci bardzo wielu osób (matematyków, nauczycieli ...) proces uczenia siĊ geometrii powinien zaczynaü siĊ od punktu, prostej i páaszczyzny. W kolejnych „odsáonach” punkt powinien trafiü na prostą, dzieląc ją na dwie póáproste, a dwie póáproste o wspólnym początku powinny z páaszczyzny wyciąü kąt (ĞciĞlej mówiąc: podzieliü ją na dwa kąty). Przy takim podejĞciu w doĞü krótkim czasie dziecko zapoznawane jest z najwaĪniejszymi (z aksjomatycznego, nie praktycznego, punktu widzenia), ale równoczeĞnie najtrudniejszymi, pojĊciami geometrycznymi – najtrudniejszymi, bo pozbawionymi m.in. dobrych, wizualnych modeli, pozwalających dziecku na rozpoczĊcie procesu budowania swoich geometrycznych intuicji. Wymienione pojĊcia są takĪe nieobecne we wczeĞniejszych doĞwiadczeniach dziecka – brak ich Ğladu w jego wiedzy nieformalnej i uĪywanym jĊzyku. Czeka siĊ wiĊc, aĪ dziecko bĊdzie „gotowe” uczyü siĊ o nich. To, do czego ludzkoĞü dochodziáa przez kilka tysiĊcy lat, i to idąc w dokáadnie odwrotnym kierunku, prezentuje siĊ dzieciom szybko i bez gáĊbszej refleksji nad skutecznoĞcią takiego podejĞcia. Wspominany juĪ Hans Freudenthal, jeden

111

z najwybitniejszych dydaktyków matematyki XX w., tego typu dziaáania zwyká nazywaü inwersją antydydaktyczną: í

inwersją, bo proces rozwoju idei jest odwracany i „stawiany na gáowie”,

antydydaktyczną, bo przynosi to duĪo gorsze efekty niĪ te, które byáyby moĪliwe, gdyby zabiegu tego nie stosowaü.

Jednym z ulubionych „geometrycznych” üwiczeĔ autorów róĪnych materiaáów edukacyjnych, takĪe dla I etapu ksztaácenia, jest rozróĪnianie narysowanych prostych od odcinków. Káopot polega na tym, Īe tych dwóch typów obiektów nie da siĊ rozróĪniü na podstawie rysunku – stąd potrzeba wprowadzenia dwóch dodatkowych maáych kresek koĔczących odcinek. I juĪ wiadomo, co uczeĔ ma zrobiü: sprawdziü, gdzie są „wąsy”, a gdzie ich nie ma – kreska z „wąsami” to odcinek, kreska bez nich – prosta. W efekcie, zamiast z geometrią mamy do czynienia z doĞü bezmyĞlnym rozpoznawaniem kodu. (Przy okazji: czy te dwie kreski to teĪ odcinki? JeĞli tak, to powinny mieü „wąsy” na koĔcu, jeĞli nie, to przedstawiają, zgodnie z przyjĊtą konwencją … proste.) UczeĔ bardzo czĊsto ma równieĪ zaznaczaü, które z par prostych narysowanych na gáadkim papierze są równolegáe, a które prostopadáe. Ale na jakiej podstawie ma to stwierdziü? Jakie narzĊdzie pozwala zrobiü to z caáą pewnoĞcią? Káopot polega na tym, Īe nie ma takiego narzĊdzia. UczeĔ nie jest w stanie stwierdziü, uĪywając np. ekierki czy dokonując pomiaru, czy dwie przecinające siĊ proste tworzą 90°, czy tylko 89,999°. A jeĞli tworzą ten drugi kąt, to czy jeszcze są prostopadáe, czy juĪ nie? Jak uczeĔ ma ustaliü, czy narysowany na gáadkim papierze czworokąt jest rzeczywiĞcie prostokątem? Jak ma ustaliü coĞ, co nie jest moĪliwe do ustalenia? Przykáadów tego typu „geometrycznych” zadaĔ i sytuacji moĪna wymieniaü wiĊcej. Nasuwa siĊ pytanie – co mają one wspólnego z geometrią i rozumowaniami geometrycznymi? OdpowiedĨ jest niestety doĞü oczywista. Geometria moĪe byü, z punktu widzenia jej nauczania i uczenia siĊ, doĞü paradoksalnie, dyscypliną albo bardzo trudną albo áatwą:

MoĪe staü siĊ trudna, gdyĪ jej obiekty – zwáaszcza, gdy patrzy siĊ na nie jako na nieskoĔczone zbiory punktów – są abstrakcyjne i záoĪone. Co wiĊcej, jak wspominaliĞmy juĪ, najtrudniejsze w swej naturze są te z nich, które leĪą u podstaw dedukcyjnego systemu wiedzy, zwanego geometrią.

MoĪe staü siĊ dla uczniów áatwa i interesująca, gdyĪ moĪe byü wizualna, intuicyjna i zrozumiaáa.

112

W otaczającym nas Ğwiecie moĪna znaleĨü wiele atrakcyjnych ksztaácących modeli róĪnych obiektów geometrycznych. Przez obcowanie z tymi modelami, wykonywanie z ich pomocą róĪnych eksperymentów, badanie ich wáasnoĞci, uczniowie mogą budowaü swoje intuicje geometryczne, wiedzĊ i rozumienie.

Obiekty geometryczne, w materialnym sensie tego sáowa, nie istnieją. NaturĊ tych obiektów poznajemy, obcując z ich róĪnymi modelami, które w mniej lub bardziej niedoskonaáy sposób oddają ich cechy oraz wáasnoĞci. Efekt procesu ksztaácenia zaleĪy w znacznej mierze od tego, czy w jego trakcie zostaną dobrane takie modele, które pozwolą zdobyü dobre intuicje i wyksztaáciü wáaĞciwe wyobraĪenia o reprezentowanym przez siebie obiekcie. Od ich róĪnorodnoĞci i siáy oddziaáywania, a takĪe sposobu ich wykorzystania zaleĪy, czy w ĞwiadomoĞci ucznia zostanie wyabstrahowane z nich to, co dla danego pojĊcia i dla caáej geometrii jest istotne, czy teĪ powstanie wyobraĪenie, które daleko odbiega od naszych oczekiwaĔ. Poznawanie geometrii powinno rozpoczynaü siĊ wiĊc od tych obiektów, które są dostĊpne poznaniu dziecka i których wáasnoĞci moĪe ono, obcując z modelami, samodzielnie obserwowaü i badaü. Wokóá nas bardzo áatwo znaleĨü dobre modele dla figur przestrzennych, czyli bryá: wiĊkszoĞü budynków i opakowaĔ ma ksztaát prostopadáoĞcianu, drewniane szeĞcienne klocki wciąĪ moĪna znaleĨü w wiĊkszoĞci dzieciĊcych pokojów, w typowym pokoju przeciwlegáe Ğciany są do siebie (zgodnie z planem) równolegáe, podobnie podáoga i sufit. Ba, nawet trudne pojĊcie kąta znajduje swój model (a nawet kilka) w kaĪdej klasie szkolnej. MoĪe warto wiĊc pomyĞleü o tym, Īeby – nieco wbrew tradycji – siĊgnąü w klasach 1–3 po róĪne, takĪe doĞü nietypowe, „przestrzenne” okazje dydaktyczne: í

Dlaczego kulka poáoĪona na póáce stacza siĊ z niej? Kiedy siĊ stoczy, a kiedy nie? Od czego to zaleĪy?

Dlaczego stóá o czterech nogach czĊsto siĊ kiwa? Dlaczego tak siĊ dzieje?

Czy stóá o trzech nogach teĪ bĊdzie siĊ kiwaü?

113

Dlaczego regaáów czĊsto nie daje siĊ ustawiü przy Ğcianie albo obok siebie, choü przed ich zmontowaniem taki wáaĞnie mieliĞmy zamiar? I skąd siĊ wziĊáy szpary miĊdzy nimi?

Dlaczego komódki o kwadratowym blacie na ogóá nie daje siĊ ustawiü w rogu pokoju?

Do czego sáuĪą przyrządy, zwane pionem i poziomnicą?

Dlaczego czĊsto na podáodze ukáada siĊ kwadratowe páytki? Jakie innego ksztaátu páytki moĪna tak uáoĪyü, aby pokryáy podáogĊ?

...

Podobno matematyka (geometria) rozwija wyobraĨniĊ przestrzenną. MoĪe to robiü, ale tylko pod jednym warunkiem – Īe dzieci bĊdą dziaáaáy w przestrzeni, a nie na tablicy czy na kartce papieru.

Co dziecko musi zrobiü, Īeby znaleĨü odpowiedĨ na przykáad na pierwsze z postawionych wyĪej pytaĔ? Najáatwiej jest wziąü kulkĊ lub piáeczkĊ i sprawdziü, w jakiej sytuacji siĊ stoczy, a w jakiej nie. Innymi sáowy – najproĞciej i najlepiej jest poeksperymentowaü. Z punktu widzenia procesu ksztaácenia warto przyjąü, Īe geometria (i caáa matematyka takĪe) jest nauką empiryczną – czyli taką, w której wykonuje siĊ róĪnego rodzaju eksperymenty i wyciąga z nich wnioski. W taki wáaĞnie sposób, dziĊki wykonywaniu róĪnorodnych eksperymentów z otaczającą rzeczywistoĞcią, dziecko buduje swoje wyobraĪenia o Ğwiecie. Zatem nic nowego. Piáeczka, pion, poziomnica – to nie jedyne narzĊdzia uáatwiające realizacjĊ geometrycznych eksperymentów.

Bardzo uĪytecznym narzĊdziem moĪe okazaü siĊ zwykáa kartka w kratkĊ. Papier w kratkĊ wyznacza rytm, który – i na tym polega „geometryczna” róĪnica miĊdzy papierem w kratkĊ i gáadkim – pozwala rozstrzygaü wszelkie spory dotyczące na przykáad prostopadáoĞci i równolegáoĞci narysowanych na nim odcinków. Dziecko moĪe samodzielnie to stwierdziü, moĪe, odwoáując siĊ do tego wáaĞnie rytmu, zbudowaü odpowiednie wyjaĞnienie, sformuáowaü geometryczną argumentacjĊ. Wiele moĪliwoĞci stwarza podáoga wyáoĪona kwadratowymi páytkami. Wystarczy kawaáek sznurka lub gumy i moĪna zacząü budowaü oraz badaü

114

róĪnorodne wielokąty. Posadzki zbudowane, czy budowane przez dzieci, z páytek innego ksztaátu (trójkątnych, szeĞciokątnych…) stwarzają kolejne geometryczne „okazje”. DoĞwiadczenia z lusterkiem pozwalają na zdobywanie intuicji dotyczących jednego z najwaĪniejszych pojĊü geometrycznych – pojĊcia odbicia lustrzanego (symetrii). Budowanie za pomocą lusterka lub dwóch lusterek róĪnych figur z narysowanego ksztaátu, czy rysowanie „w lusterku”, to kolejne bogate klasy moĪliwych geometrycznych eksperymentów. GarĞü patyczków jednakowej dáugoĞci pozwala na ukáadanie róĪnorodnych figur i badanie na przykáad ich obwodu. Gdy patyczki są róĪnej dáugoĞci, uczeĔ moĪe zainteresowaü siĊ tym, z których trzech patyczków uda siĊ uáoĪyü trójkąt, a z których nie. Jednymi z czĊĞciej uĪywanych typów modeli wielokątów są modele wyciĊte z kartki papieru. W kaĪdym sklepie papierniczym znaleĨü moĪna bloczki kartek róĪnego ksztaátu. Potrzebne są jeszcze tylko noĪyczki, aby uczeĔ zacząá zgáĊbiaü kolejne tajniki figur... Gdy juĪ zbierzemy wiele „zabawek” i narzĊdzi, a takĪe nabierzemy wprawy w posáugiwaniu siĊ nimi, to moĪemy zacząü projektowanie nowego osiedla, zrobiü makietĊ szkoáy czy uruchomiü inny geometryczny projekt. Geometria rozumiana jako nauka eksperymentalna i empiryczna stwarza uczniom okazjĊ do prób i doĞwiadczeĔ, do samodzielnego poszukiwania i budowania, do wyciągania wniosków z obserwacji, do formuáowania hipotez i ich Ğwiadomego weryfikowania – czyli do myĞlenia! UmoĪliwiając uczniom badanie bryá i figur przez manipulowanie, stwarzamy dobre podstawy do bardziej formalnych rozumowaĔ w klasach starszych. DziĊki takiemu podejĞciu ksztaátują oni swoją intuicjĊ geometryczną, wzbogacają wyobraĨniĊ, a wiĊc wspóátworzą wáasną wiedzĊ o obiektach geometrycznych i ich wzajemnych powiązaniach. Tak zdobyta wiedza ma dla nich gáĊboki sens, gdyĪ jest wynikiem ich wáasnej aktywnoĞci. Dzieci przeĪywają róĪne sytuacje, widzą je na „wáasne oczy”, co sprawia, Īe lepiej je rozumieją i w nie wierzą, bo same ich doĞwiadczyáy.

115

DOSTRZEGANIE I STOSOWANIE PRAWIDàOWOĝCI Wybitny polski matematyk, Hugo Steinhaus, sformuáowaá kiedyĞ takie, czĊĞciowo tylko Īartobliwe, twierdzenie: NiezaleĪnie od tego, co bĊdziesz robiü w przyszáoĞci, po matematyce bĊdziesz robiü to lepiej.

Matematyka moĪe uczyü bardzo wielu rzeczy o uniwersalnej przydatnoĞci: dostrzegania prawidáowoĞci, dostrzegania i badania związków (np. typu przyczyna–skutek), wnioskowania, argumentowania, przekonywania… Od lat zwraca siĊ uwagĊ na jej walory ksztaácące i akcentuje, Īeby nie tylko uczyü matematyki, ale przede wszystkim – i to zwáaszcza na niĪszych poziomach edukacji! – uczyü przez matematykĊ czy dziĊki matematyce. W testach, których wyniki prezentujemy, znalazáo siĊ kilka zadaĔ, których celem byáo miĊdzy innymi zbadanie, czy uczniowie klasy 3 potrafią dostrzegaü prawidáowoĞci i wykorzystywaü je. Oto jedno z nich:

116

Szlaczek, którego 18 początkowych figur znajduje siĊ na rysunku, ma doĞü typowy charakter – zbudowany jest z piĊciu powtarzających siĊ w regularny sposób figur, wyraĨnie róĪniących siĊ kolorem i ksztaátem. Zadaniem ucznia byáo kolejno: í

odkrycie reguáy rządzącej uáoĪeniem figur i wykorzystanie jej do okreĞlenia, które figury są w tym szlaczku odpowiednio na 12, 20 i 44 miejscu (podpunkt a);

opisanie sposobu, w jaki moĪna ustaliü, która figura jest na miejscu o podanym numerze (podpunkt b);

okreĞlenie, na którym miejscu w tej „kolejce” figur znajdują siĊ okreĞlone figury, np. piąty krzyĪyk – jest to odwrotna sytuacja do tej z podpunktu a (podpunkt c);

wreszcie – narysowanie analogicznego szlaczka záoĪonego z innej iloĞci powtarzających siĊ figur (podpunkt d).

FigurĊ znajdującą siĊ w tym szlaczku na 12 miejscu wáaĞciwie wskazaáo 89,4% uczniów – w tym celu wystarczyáo przeliczyü początkowe figury. Pozostaáe dwa pytania z podpunktu a dotyczyáy juĪ figur, których nie byáo na rysunku – poprawnej odpowiedzi na nie udzieliáo odpowiednio 41,9% i 34,1% uczniów (por. diagram 14). Pytania z podpunktu c tego zadania dotyczyáy tego samego szlaczka i dokáadnie tej samej prawidáowoĞci, ale byáy sformuáowane inaczej. I inny byá procent poprawnych rozwiązaĔ – wyniósá on dla kolejnych pytaĔ odpowiednio: 20,6%, 13,0% oraz 12,9%. 100% 90%

89,4%

80% 70% 60% 50% 40%

41,9%

34,1%

30%

20,6%

20%

13,0%

12,9%

10% 0% Podpunkt a

Podpunkt c Pytanie 1

Pytanie 2

Pytanie 3

Diagram 14. PrawidáowoĞü przedstawiona za pomocą rysunku – procent poprawnych rozwiązaĔ (podpunkty a i c).

117

Mniej wiĊcej poáowa uczniów albo nie udzieliáa w podpunkcie a Īadnej odpowiedzi, albo tylko ustaliáa, która figura znajduje siĊ w tym szlaczku na dwunastym miejscu (por. diagram 15). Tylko co czwarty uczeĔ odpowiedziaá poprawnie na wszystkie pytania z podpunktu a. W podpunkcie c aĪ 76,7% uczniów, czyli ponad ¾ uczestników badaĔ, nie podaáo ani jednej poprawnej odpowiedzi, a tylko 8,6% dzieci dobrze odpowiedziaáo na wszystkie trzy pytania. 90%

76,7%

80% 70% 60% 43,7%

50% 40%

26,6%

30% 20%

25,5%

8,2%

10,1%

4,6%

10%

8,6%

0% Podpunkt a 0 przykáadów

Podpunkt c 1 przykáad

2 przykáady

3 przykáady

Diagram 15. PrawidáowoĞü przedstawiona za pomocą rysunku – procent poprawnie udzielonych odpowiedzi.

Jeszcze mniej, bo jedynie 8,1% uczniów potrafiáo w czytelny i zrozumiaáy sposób sformuáowaü odkrytą reguáĊ (podpunkt b), natomiast aĪ 30,9% dzieci ominĊáo tĊ czĊĞü zadania. Stosunkowo najlepiej wypadá ostatni podpunkt zadania: z narysowaniem podobnego szlaczka z czterema powtarzającymi siĊ kolejno figurami poradziáo sobie 56,6% uczestników badania. Najbardziej typowe báĊdy polegaáy na wykorzystaniu innej liczby figur niĪ podana w poleceniu albo ograniczeniu siĊ do narysowania tylko jednego zestawu wybranych figur. Spójrzmy na wybrane rozwiązania uczniów. Byü moĪe najprostszym sposobem „rozgryzienia” tego zadania, byáo umiejĊtne i uwaĪne(!) ponumerowanie kolejnych figur (1, 2, 3).

118

W opisie metody uczniowie czĊsto odwoáywali siĊ do takiego wáaĞnie „liczenia w kóáko”, i to na dwa róĪne sposoby – z pominiĊciem początku widocznej czĊĞci szlaczka (4–6) albo jego koĔca (7): 4.

119

Ale równoczeĞnie, postĊpując w ten wáaĞnie sposób, moĪna byáo áatwo siĊ „oszukaü”:

Gdy sposób numerowania byá báĊdny, musiaáo to oczywiĞcie znaleĨü takĪe odbicie w opisie samej metody, choü samo „przeáoĪenie” na opis jest caákiem czytelne:

Analizując szlaczek, czĊĞü uczniów (4,8%) zwróciáa uwagĊ na fakt, Īe figury powtarzają siĊ co piĊü miejsc, wiĊc wystarczy skupiü siĊ na pierwszej piątce (8) i przeliczyü ją

120

odpowiednią liczbĊ razy albo „patrzeü” na szlaczek piątkami (9–11). TakĪe i przy takim rozumowaniu dorysowanie kolejnych figur najwyraĨniej zwiĊksza poczucie bezpieczeĔstwa (11, 12). 8.

10.

11.

12.

121

àadne i bardzo róĪnorodne jĊzykowo i matematycznie odbicie znajduje to „powtarzanie siĊ co piĊü miejsc” w opisach metody postĊpowania (podpunkt b). Od sformuáowaĔ doĞü nieprecyzyjnych (1, 2), przez znacznie bardziej jednoznaczne (3–5), po próby wykorzystania liczb i dziaáaĔ (6, 7) oraz bardzo dojrzaáe matematycznie sformuáowanie ogólnej reguáy (8). 1.

122

Niektórzy uczniowie widzieli w szlaczku powtarzające siĊ dziesiątki czy nawet dwudziestki znaczków:

Pojawiaáy siĊ takĪe opisy metod zdecydowanie mniej skutecznych:

123

Jak widaü, bogactwo metod i opisów jest duĪe. Zwraca uwagĊ, Īe dzieci chĊtnie siĊgają w swoich wyjaĞnieniach po przykáady, ilustrujące jakąĞ ogólną prawidáowoĞü czy metodĊ. Taki paradygmatyczny, czyli przedstawiający pewną ogólną zasadĊ, przykáad jest dla nich prawdopodobnie wygodnym narzĊdziem do pokazywania, wyjaĞniania i przekonywania. Odwoáywanie siĊ do takich wáaĞnie przykáadów moĪe byü dobrą metodą argumentowania na tym etapie ksztaácenia. Warto o tym pamiĊtaü. Podpunkt c zadania wymagaá od uczniów nieco innego rozumowania niĪ podpunkt a, czyli zwrócenia uwagi na miejsca kolejnych kóáek, kwadratów itd.:

W czĊĞci przypadków skoĔczyáo siĊ tylko na próbach:

124

Niewielka grupa uczniów nie mogáa sobie wyobraziü, Īe szlaczek ciągnie siĊ dalej:

A niektórzy uczestnicy testu chyba uruchomili swoje osobiste „strategie”:

Druga z wykorzystanych w teĞcie prawidáowoĞci byáa przedstawiona za pomocą zapisu symbolicznego i dotyczyáa sekwencji dziaáaĔ:

125

Mniej niĪ ¼ uczniów (23,5%) poprawnie odczytaáa ukáad dziaáaĔ oraz cyfr w iloczynach i dopisaáa dwie kolejne równoĞci, a niektórzy nawet duĪo wiĊcej:

Autor rozwiązania 1 „zatrzymaá siĊ” we wáaĞciwym miejscu – od nastĊpnego dziaáania zauwaĪona prawidáowoĞü zmienia swoją postaü, z rzĊdu do rzĊdu zaczynają „wĊdrowaü” jedynki. Trzy koĔcowe równoĞci z rozwiązania 2 są wiĊc matematycznie niepoprawne (co nie miaáo wpáywu na zaliczenie tego rozwiązania), choü uczeĔ bardzo konsekwentnie i – ze swojego punktu widzenia – racjonalnie stosuje zauwaĪoną prawidáowoĞü. Nie poradziáo sobie z tym zadaniem 76,5% uczniów, choü niektórym z nich zabrakáo naprawdĊ niewiele:

126

Inni tworzyli swoje wáasne reguáy i konsekwentnie siĊ ich trzymali: 5.

10,6% uczniów zastosowaáo tĊ samą „strategiĊ obronną” – zamiast dopisaü nowe, powtórzyáo kilka spoĞród równoĞci podanych juĪ w zadaniu. Jeden z uczniów przy tej okazji wykazaá siĊ caákiem niezáym wyczuciem symetrii (por. 8). 7.

AĪ 9,9% uczniów nie podjĊáo próby rozwiązania tego zadania.

127

Badaniem takich „rytmów”, jak w pierwszym z przytoczonych wyĪej zadaĔ dzieci mogą zajmowaü siĊ z powodzeniem juĪ w przedszkolu14. Mogą, praktyka to jednoznacznie potwierdza. I warto, aby to robiáy! Od lat naukowcy, a i praktycy takĪe, zadają sobie pytanie: dlaczego tak siĊ dzieje, Īe niektóre dzieci odnoszą sukcesy w uczeniu siĊ matematyki, a dla innych jest to wrĊcz „droga przez mĊkĊ”? PrzecieĪ: KaĪdy normalny uczeĔ jest zdolny do poprawnego rozumowania matematycznego, jeĪeli odwoáamy siĊ do jego aktywnoĞci i jeĪeli uda siĊ nam usunąü zaburzenia emocjonalne, które czĊsto wywoáują uczucie niĪszoĞci na lekcjach z tej wáaĞnie dziedziny wiedzy.15

Z tą opinią J. Piageta, wybitnego szwajcarskiego psychologa, trudno polemizowaü. No wáaĞnie: jeĪeli bĊdziemy siĊ odwoáywaü do aktywnoĞci (intelektualnej!) dzieci. PowtarzaliĞmy to juĪ wielokrotnie. Jest to zabieg, którzy przekáada siĊ takĪe na obniĪenie poziomu powstających zaburzeĔ emocjonalnych – znacznie efektywniej jest zapobiegaü ich powstawaniu niĪ borykaü siĊ z nimi, gdy juĪ zaistnieją. Potwierdzają to jednoznacznie prowadzone w ostatnich latach badania, dziĊki którym formuáuje siĊ coraz wiĊcej praktycznych wniosków oraz dydaktycznych sugestii dotyczących procesu rozwijania umiejĊtnoĞci matematycznych dzieci. Badania te pokazują16, Īe jedną z zasadniczych cech róĪniących dzieci, które odnoszą sukcesy ucząc siĊ matematyki od tych, które mają z nią káopoty, jest sposób podejĞcia do „matematycznej materii” pojawiającej siĊ w procesie ksztaácenia. Ci pierwsi uczniowie spontanicznie poszukują związków i zaleĪnoĞci, zestawiają nowe obiekty i sytuacje z wczeĞniejszymi, zwracają uwagĊ na to, co siĊ powtarza i na uderzające róĪnice – nastawieni są na dostrzeganie i badanie regularnoĞci. W naturalny (dla siebie!) sposób zauwaĪone reguáy czy związki wykorzystują w kolejnych etapach swojej dziaáalnoĞci, w radzeniu sobie z trudnoĞciami, w argumentowaniu, w wyjaĞnianiu. Widzą i rozumieją, Īe róĪne rzeczy siĊ ze sobą wiąĪą i są sobie wzajemnie „potrzebne”. 14

Por. E. Gruszczyk-KolczyĔska, E. ZieliĔska, DzieciĊca matematyka, WSiP, Warszawa 1997. J. Piaget, Dokąd zmierza edukacja, Warszawa 1977, s. 87. 16 Gray, E., Tall. D.: Duality, Ambiguity and Flexibility: A “Proceptual” View of Simple Arithmetic, Journal forResearch in Mathematics Education, Vol. 25, No. 2 (Mar., 1994), pp. 16–140. 15

128

Ci drudzy – kaĪdy obiekt, dziaáanie, zjawisko, sytuacjĊ traktują odrĊbnie i w izolacji od innych. Zawsze wiĊc uczą siĊ „od nowa”. Ich matematyka skáada siĊ z odrĊbnych, nie związanych ze sobą cegieáek, miĊdzy którymi nie ma Īadnego „spoiwa”. Gmach budowany w ten sposób zawali siĊ przy najmniejszym podmuchu wiatru. Co z tych obserwacji wynika dla praktyki? Przede wszystkim to, Īe na kaĪdym kroku warto zachĊcaü dzieci do poszukiwania regularnoĞci i związków miĊdzy wykorzystywanymi obiektami (liczbami, figurami) do rozwijania umiejĊtnoĞci dostrzegania, formuáowania i wykorzystywania prawidáowoĞci, bo są to umiejĊtnoĞci, które przekáadają siĊ bezpoĞrednio na matematyczny rozwój dziecka. Te umiejĊtnoĞci moĪna i naleĪy(!) rozwijaü. Warto robiü to systematycznie, zachĊcając przy tym uczniów do wymyĞlania i prezentowania zagadek. MoĪna do tego wykorzystywaü róĪnorodne sekwencje figur czy liczb – zaczynając od takich, w których powtarza siĊ dwa, piĊü albo dziesiĊü ksztaátów (pozwalają one generowaü stosunkowo proste reguáy) i stopniowo przechodząc do sytuacji trudniejszych:

czy nawet znacznie trudniejszych :

o ile tylko dzieci polubią tego typu wyzwania. Podobne okazje moĪemy dzieciom stwarzaü na kaĪdym kroku17, nawet tam, gdzie na pozór zupeánie nie ma na nie miejsca: 1.

16 + 12 = 15 + 12 = 14 + 12 = 13 + 12 = 12 + 12 = …

Wpisz wyniki. Co áączy dziaáania w kaĪdej serii? A czym siĊ one róĪnią? Dopisz nastĊpne pasujące obliczenia.

16 + 12 = 16 + 13 = 16 + 14 = 16 + 15 = 16 + 16 = …

16 + 12 = 17 + 13 = 18 + 14 = 19 + 15 = 20 + 16 = …

16 + 12 = 15 + 13 = 14 + 14 = 13 + 15 = 12 + 16 = …

16 + 12 = 15 + 11 = 14 + 10 = 13 + 9 = 12 + 8 = …

Por takĪe: D. Klus-StaĔska, A. Kalinowska, Rozwijanie myĞlenia matematycznego máodszych uczniów, Wydawnictwo Akademickie „ĩak”, Warszawa 2004.

129

A co áączy te dziaáania? Dopisz nastĊpne.

26 – 12 = 25 – 12 = 24 – 12 = 23 – 12 = 22 – 12 = …

26 – 12 = 27 – 12 = 28 – 12 = 29 – 12 = 30 – 12 = … 3.

26 – 12 = 26 – 11 = 26 – 10 = 26 – 9 = 26 – 8 = …

26 – 12 = 25 – 11 = 24 – 10 = 23 – 9 = 22 – 8 = …

26 – 12 = 27 – 13 = 28 – 14 = 29 – 15 = 30 – 16 = …

Dodaj liczby z kóáek. Wynik zapisz wewnątrz trójkąta. Co áączy te rysunki? A co siĊ w nich zmienia? Jaki rysunek powinien byü nastĊpny? Zrób go.

WymyĞl wáasną zagadkĊ. 4.

Te kwadraty są wypeánione zgodnie z pewną zasadą. Jaka to moĪe byü zasada? Dorysuj kilka pasujących kwadratów.

130

WymyĞl wáasną zagadkĊ. 5.

Wykonaj dziaáania. Jak powinien wyglądaü nastĊpny przykáad? Zapisz go.

36 + 24

36 + 34

36 + 44

36 + 54

38 + 62

39 + 52

40 + 42

41 + 32

WymyĞl wáasną zagadkĊ. 6.

Wykonaj dziaáania. Jak powinien wyglądaü nastĊpny przykáad? Zapisz go.

106

– 24

– 34

– 44

– 54

106

105

104

103

– 24

WymyĞl wáasną zagadkĊ. 7.

Te kwadraty są wypeánione zgodnie z pewną zasadą. Jaka to moĪe byü zasada? Dorysuj kilka pasujących kwadratów.

131

Jak powstaje liczba w kwadracie? Dorysuj kilka pasujących kwadratów.

8 1

39 3

WymyĞl wáasną zagadkĊ. Daj ją kolegom do rozwiązania. 9.

Liczby zostaáy podzielone na dwie grupy, w zaleĪnoĞci od tego, czy speániają pewien warunek, czy teĪ nie. Gdzie naleĪy „wrzuciü” podane niĪej liczby? Dlaczego?

5, 35, 53, 104, 2008, 3000

10.

Wykonaj obliczenia i porównaj ich wyniki. Czy podobnie bĊdzie dla innych takich par dziaáaĔ? SprawdĨ to. Spróbuj wyjaĞniü, dlaczego tak siĊ dzieje.

9×9= 10 × 8 =

8×8= 9×7=

7×7= 8×6=

W ten sposób niepostrzeĪenie, zaczynając od szukania prostych prawidáowoĞci i robiąc tylko jeden niewielki krok, weszliĞmy w Ğwiat matematycznych problemów.

132

10 2

ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW Problem to zadanie, którego metody rozwiązania nie znamy, ale dysponujemy wiedzą wystarczającą do tego, aby metodĊ tĊ samodzielnie zbudowaü. Rozwiązując problem mamy okazjĊ coĞ odkryü, zauwaĪyü coĞ dla siebie nowego – wyjĞü poza dostarczone informacje. W efekcie, problem to zadanie na rzeczywiste zastosowanie posiadanej wiedzy i sprawdzenie poziomu jej uĪytecznoĞci. Podczas badania uczniowie rozwiązywali nastĊpujący problem:

Pierwsza, wypeániona piramidka pokazuje, w jaki sposób i zgodnie z jaką zasadą uczeĔ powinien uzupeániü trzy kolejne piramidki. Ta czĊĞü zadania jest bazą dla stawianych dalej pytaĔ. Jest to takĪe okazja do zauwaĪenia przez uczniów pewnej bardzo prostej reguáy. 28,2% uczniów nie potrafiáo ustaliü, co dzieje siĊ z liczbami w wypeánionej piramidce – nie potrafiáo wiĊc uzupeániü, zgodnie z reguáą, kolejnych piramidek. Niektórzy z nich tworzyli wáasne reguáy: 133

Dwa początkowe pytania dotyczą zauwaĪonych przez ucznia podobieĔstw i róĪnic pomiĊdzy wypeánionymi piramidkami. Wykorzystywane przez uczniów cechy piramidek mogáy dotyczyü zarówno ich zawartoĞci, jak i np. wyglądu. Wszystkie podane przez uczniów faktyczne róĪnice i podobieĔstwa, nawet te nie związane wprost ze stroną merytoryczną problemu, byáy zaliczane. Z tą czĊĞcią zadania poradziáo sobie 43,8% uczniów, czyli mniej niĪ poáowa. NajczĊĞciej uczniowie zwracali uwagĊ na to, Īe na dole są te same liczby a na górze róĪne (1) (21,3%) oraz Īe na dole są te same liczby, ale róĪnią siĊ kolejnoĞcią (2-3) (14,1%). 1.

Pozostaáe rozwiązania zwracaáy uwagĊ na ksztaát piramidek, ich wielkoĞü, wykonywane dziaáanie itp.:

134

Wypeánione przez uczniów piramidki miaáy im pozwoliü na sformuáowanie hipotezy, dotyczącej związku sposobu wpisywania liczb w dolnym rzĊdzie pól z wielkoĞcią koĔcowego wyniku. Sposób wáaĞciwego wpisania liczb 6, 9 i 33, po uprzednim poprawnym wypeánieniu trzech górnych piramidek, podaáo 41,8% uczniów. 11,7% uczniów opuĞciáo tĊ czĊĞü zadania. Na koniec uczeĔ miaá uzasadniü, dlaczego zaproponowany przez niego sposób wpisywania liczb gwarantuje otrzymanie najwiĊkszego moĪliwego (dla danej trójki liczb) wyniku. Celem tej czĊĞci zadania byáo sprawdzenie, jak dzieci poradzą sobie ze sformuáowaniem krótkiej argumentacji. Tylko 11,0% uczniów zaprezentowaáo racjonalną argumentacjĊ, np. wprost zwracając uwagĊ na to, Īe liczba wpisana w Ğrodkowe pole jest dwukrotnie dodawana (8,3%):

Niektórzy siĊgali po negacjĊ:

135

Jak widaü, czĊĞü uczniów byáa bardzo precyzyjna w swoich wyjaĞnieniach. Pojawiáo siĊ takĪe sporo sformuáowaĔ bardziej jĊzykowo „dynamicznych”: 1.

Stworzone przez dzieci zwroty: dobrze ją dodawaü (1), liczba wszystkie dodaje (2), dodawaü przez tĊ liczbĊ (3, 4, 6) … mają nieco nietypową formĊ, ale ich sens jest doĞü oczywisty. W innych argumentacjach pojawiáy siĊ jeszcze bardziej barwne, ale nadal czytelne i zrozumiaáe, sformuáowania: 7.

136

10.

11.

Nieznaczna czĊĞü uczniów (0,7%) analizowaáa wszystkie moĪliwoĞci wpisania liczb:

Inni uczniowie –

albo opisywali sáownie, jak wpisali liczby do piramidki:

–

albo stwierdzali po prostu: tak naleĪy wpisaü, aby wynik byá najwiĊkszy i to takĪe wtedy, gdy sposób wpisania liczb wcale nie dawaá najwiĊkszej moĪliwej sumy:

–

albo „zaáatwiali” sprawĊ jeszcze krócej:

137

Niektórzy poszukiwali bardziej pragmatycznych, czy – ich zdaniem – bardziej matematycznych „argumentów”:

Zdarzaáy siĊ równieĪ pojedyncze przypadki „matematycznego protestu”:

àącznie, tego typu próby argumentacji sformuáowaáo 58,2% uczniów. AĪ 30,8% uczniów w ogóle pominĊáo tĊ czĊĞü zadania.

Przyjrzyjmy siĊ bliĪej przytoczonym wypowiedziom uczniów. Co to znaczy, Īe liczba spotka siĊ z dwiema mniejszymi (7), albo Īe liczba ze Ğrodkowej czĊĞci idzie w boki (9)? PrzecieĪ liczby nie chadzają sobie w celach towarzyskich i nie áączą siĊ (10) z innymi liczbami. Traktując te zwroty dosáownie, naleĪaáoby stwierdziü, Īe są one pozbawione sensu. A przecieĪ ich sens jest jasny i zrozumiaáy. 138

Co robimy, gdy ktoĞ poprosi nas o podanie tego kwadratowego czy okrągáego pudeáka stojącego na póáce? Szybko siĊgamy po odpowiednie opakowanie (o kwadratowej podstawie w pierwszym przypadku oraz po puszkĊ w ksztaácie walca w drugim – opakowaĔ w ksztaácie kuli raczej siĊ nie produkuje, bo ciĊĪko siĊ je przewozi, stawia oraz otwiera) i podajemy. ĩeby speániü oczekiwania proszącej osoby, wcale nie musimy wiedzieü, Īe pierwsze opakowanie to prostopadáoĞcian, a drugie to walec. I tak doskonale rozumiemy, o co jej chodzi. A co wtedy, gdy kuzyn zapyta nas, kiedy ostatnio rozmawialiĞmy z Krakowem, albo koleĪanka polonistka zada nam pytanie, kiedy ostatnio czytaliĞmy Prusa? Wiadomo, Īe w pierwszym przypadku chodzi o rozmowĊ z ciotką (straszna gaduáa), która mieszka w Krakowie, a nie o sáuchanie echa na krakowskim rynku, a w drugim o utwory literackie. ĩywy jĊzyk obfituje w róĪnorodne figury stylistyczne, które charakteryzują siĊ „nietypowym” uĪyciem pewnych sáów. DoĞü czĊsto spotykanym, choü chyba maáo znanym, typem figury stylu, jest metonimia18. Metonimia, to zastąpienie jednego sáowa innym, najczĊĞciej z nim jakoĞ związanym, np.: relacją czĊĞü za caáoĞü lub caáoĞü za czĊĞü (opakowanie i jego podstawa, miasto i osoba w nim mieszkająca). Metonimie tworzone są na ogóá nieĞwiadomie i nieĞwiadomie odbierane oraz rozumiane. Związek istniejący miĊdzy sáowem zastĊpowanym i zastĊpującym sprawia, Īe metonimia jest prawie zawsze áatwo, szybko i dobrze rozumiana. Inną kategorią figur stylu są metafory – metafora pojawia siĊ wtedy, gdy uĪytemu sáowu nadajemy pewne umowne, czĊsto bardziej obrazowe czy bardziej wyraziste, znaczenie: inne liczby korzystają z tej w Ğrodku (8); i wtedy 33 dysponuje najwiĊkszym zasiĊgiem (11). Metafory czĊsto eksponują pewne podobieĔstwa, bazują na zauwaĪonych analogiach. Są one zazwyczaj tworzone Ğwiadomie i ich sformuáowanie wymaga juĪ pewnego wysiáku intelektualnego. Byü moĪe wypowiedzi zacytowane wczeĞniej (7, 9, 10) takĪe mają metaforyczny charakter – nie zawsze daje siĊ to jednoznacznie rozstrzygnąü. Zasadnicza róĪnica pomiĊdzy metonimiami i metaforami polega na tym, Īe te pierwsze są tworzone nieĞwiadomie i áatwo, a te drugie wymagają skupienia i zrozumienia tego, co chce siĊ opisaü. Obie te figury stylu mają duĪe znaczenie dla matematyki, zwáaszcza w trakcie jej budowania. Praktyka szkolna 18

H. Bauersfeld, W. Zawadowski, Metafory i metonimie w nauczaniu matematyki, Dydaktyka Matematyki 155–186, PWN, Warszawa 1988

139

pokazuje, Īe dzieci, odkrywając coĞ, dostrzegając jakiĞ związek, zaczynają mówiü (a czĊsto i pisaü) figuratywnie – brakuje im precyzyjnych i dosáownych sformuáowaĔ, czĊsto nie mogą znaleĨü wáaĞciwych sáów, zaczynają wiĊc tworzyü pewne zwroty „na gorąco”, aby jak najszybciej przekazaü swój pomysá czy spostrzeĪenie. W takiej sytuacji, zwáaszcza, gdy odkrycie jest efektem pewnego dziaáania, biorą sáowo, które jest „pod rĊką” i uĪywają go w innym niĪ zwykáe znaczeniu – tworzą i wykorzystują metonimie. Bardzo czĊsto próba opisania przez dziecko swoich czynnoĞci ma charakter metonimiczny – jedne sáowa zastĊpują inne sáowa. Osobie nastawionej na jĊzykową poprawnoĞü moĪe wydawaü siĊ, Īe ma do czynienia z jakimĞ beákotem, gdy tymczasem w rzeczywistoĞci ma do czynienia z rodzącym siĊ zrozumieniem tego, co siĊ wydarzyáo, co dziecko zobaczyáo. Wystarczy pozwoliü uczniowi na spokojne powtórzenie swojej obserwacji czy argumentacji, aby stopniowo w miejscu metonimii zaczĊáy siĊ pojawiaü sformuáowania dosáowne albo metafory – rozumienie dziecka pogáĊbia siĊ, jego wypowiedĨ staje siĊ bardziej Ğwiadoma, zmienia siĊ wiĊc jej jĊzykowy charakter. ZachĊcajmy dzieci, aby jak najczĊĞciej mówiáy o swoich spostrzeĪeniach, rozwiązaniach, odkryciach, bo tylko wtedy bĊdą rozwijaü swój jĊzyk – takĪe matematyczny. I nie wartoĞciujmy pochopnie wypowiedzi ucznia, bo to, czego w niej nie zrozumieliĞmy, moĪe mieü charakter figuratywny, moĪe byü dopiero pierwszym krokiem w stronĊ czytelniejszego „wyáoĪenia” myĞli. Zamiast powiedzieü: mówisz gáupstwa, poproĞmy go, aby spróbowaá powiedzieü to samo w trochĊ inny sposób. Lepiej, Īeby dzieci mówiáy „nieprecyzyjnie”, niĪ nie mówiáy wcale. Im dáuĪej bĊdą mówiáy na konkretny temat, tym trafniejsze, lepiej umotywowane i áatwiejsze do zrozumienia dla obserwatora „z zewnątrz” bĊdą padające sformuáowania. Im „dokáadniej” bĊdziemy sáuchaü uczniów, tym wiĊcej bĊdziemy wiedzieü o ich sposobach rozumowania i rzeczywistym poziomie wiedzy i tym áatwiej bĊdzie nam ich wspieraü w dalszym matematycznym rozwoju.

140

ANALFABETYZM CZY ALFABETYZM MATEMATYCZNY? Polskie spoáeczeĔstwo boi siĊ matematyki i ma na jej temat faászywe wyobraĪenia. JakĪe czĊsto doroĞli wyksztaáceni ludzie wspominają w Ğrodkach masowego przekazu o swoich káopotach z matematyką – na ogóá zachowując siĊ tak, jakby jej nieznajomoĞü byáa czymĞ cennym, wáaĞciwym i nobilitującym. Czy to rzeczywista duma, czy moĪe tylko reakcja obronna? A jeĞli duma, to z czego? Przy okazji nasuwa siĊ jeszcze jedno pytanie: dlaczego japoĔska áamigáówka sudoku staáa siĊ tak popularna w naszym kraju peánym humanistów? PrzecieĪ wymaga ona metod postĊpowania i wnioskowania typowych wáaĞnie dla matematyki. Czy dlatego, Īe nie kojarzy siĊ nam ze szkoáą? Podobnie jest teĪ w innych krajach. PowszechnoĞü zjawiska, polegającego na braku elementarnej umiejĊtnoĞci posáugiwania siĊ na co dzieĔ narzĊdziami proponowanymi przez matematykĊ, skáania do zastanowienia siĊ, czy nie mamy do czynienia ze zjawiskiem spoáecznym, które trzeba by nazwaü analfabetyzmem matematycznym19. Z drugiej strony, od kilku lat coraz gáoĞniej mówi siĊ o tym, Īe dla rozwoju spoáeczeĔstw i dla jakoĞci ich Īycia ogromne znaczenie ma (i bĊdzie mieü) poziom matematycznego oraz technicznego wyksztaácenia obywateli. Dlatego teĪ Unia Europejska káadzie coraz wiĊkszy nacisk na podnoszenie szeroko rozumianej kultury matematycznej obywateli krajów czáonkowskich, widząc w tym miĊdzy innymi klucz do budowania opartej na wiedzy nowoczesnej europejskiej gospodarki. Podobnie myĞlą rządy innych paĔstw, o czym Ğwiadczą dziaáania Organizacji Wspóápracy Gospodarczej i Rozwoju (OECD), skupiającej najbardziej rozwiniĊte paĔstwa Ğwiata. Z inspiracji tej miĊdzynarodowej instytucji kilka lat temu uruchomiono program PISA – Program MiĊdzynarodowej Oceny UmiejĊtnoĞci Ucznia, który stawia sobie za cel systematyczne badanie trzech, zdaniem ekspertów programu zasadniczych z perspektywy wyzwaĔ dorosáego Īycia, komponentów wiedzy piĊtnastoletnich uczniów: rozumienia tekstu, alfabetyzmu matematycznego oraz myĞlenia naukowego20. Alfabetyzm w dziedzinie matematyki zdefiniowano na potrzeby badaĔ PISA jako zdolnoĞü do rozpoznawania

Por. J. A. Paulos, Analfabetyzm matematyczny i jego skutki, GWO, GdaĔsk 1999. 20 Por. I. Biaáecki, A. Blumsztajn, D. Cyngot: PISA – Program MiĊdzynarodowej Oceny UmiejĊtnoĞci Ucznia, Warszawa 2003.

141

i zrozumienia roli, jaką matematyka odgrywa we wspóáczesnym Ğwiecie, do formuáowania sądów opartych na matematycznym rozumowaniu oraz do wykorzystywania umiejĊtnoĞci matematycznych tam, gdzie wymagają tego potrzeby codziennego Īycia.21 W pierwszej edycji badaĔ PISA, w roku 2000, skupiono siĊ przede wszystkim na umiejĊtnoĞci czytania ze zrozumieniem. Trzy lata póĨniej, w drugiej turze badaĔ, zasadniczym obszarem badanym byá wáaĞnie alfabetyzm matematyczny. Jak wypadają matematyczne umiejĊtnoĞci polskich piĊtnastoletnich uczniów w porównaniu z umiejĊtnoĞciami ich rówieĞników z 40 paĔstw Ğwiata? Mówiąc najogólniej – polskie wyniki są poniĪej Ğredniej wyników badaĔ22, zatem powodu do radoĞci raczej nie mamy. Okazaáo siĊ, Īe nasi uczniowie dobrze radzą sobie przede wszystkim z zadaniami, do rozwiązania których moĪna zastosowaü algorytm rozwiązania znany ze szkoáy albo algorytm opisany w treĞci zadania. Natomiast wypadają kiepsko – w porównaniu z uczniami z innych krajów – na przykáad w tych sytuacjach, w których trzeba samodzielnie i twórczo myĞleü, czyli tam, gdzie mają zastosowaü posiadaną wiedzĊ w nowej dla siebie sytuacji. UmiejĊtnoĞü stosowania posiadanej wiedzy moĪna rozwijaü tylko … próbując stosowaü (w nowych sytuacjach!) posiadaną wiedzĊ. Im w bezpieczniejszych warunkach, tym lepiej. By nauczyü siĊ tworzyü, trzeba przede wszystkim mieü okazjĊ i moĪliwoĞü tworzenia. Nic tego nie zastąpi. Prawda, jakie to proste i oczywiste? JeĪeli istniejąca sytuacja ma siĊ zmieniü, jeĞli alfabetyzm ma pokonaü analfabetyzm, musimy od samego początku edukacji káaĞü nacisk na intelektualną aktywnoĞü i samodzielnoĞü uczniów, musimy ich zachĊciü do matematycznych poszukiwaĔ i matematycznych rozumowaĔ na miarĊ ich moĪliwoĞci. Zatem: í siĊgajmy w procesie ksztaácenia po sytuacje bliskie i zrozumiaáe dla dzieci, í odwoáujmy siĊ jak najczĊĞciej do doĞwiadczeĔ uczniów i ich wiedzy pozaszkolnej, í starajmy siĊ, aby dziaáanie i rysunek poprzedzaáy symbole i im towarzyszyáy, í korzystajmy z jĊzyka potocznego, stopniowo wzbogacając go tylko o te pojĊcia i symbole, których sens jest juĪ dzieciom znany, 21 22

I. Biaáecki i in., op. cit., s. 24. Wyniki badaĔ PISA moĪna znaleĨü na przykáad na stronie Instytutu Filozofii i Socjologii PAN: www.ifispan.waw.pl.

142

twórzmy okazje do dzieciĊcych doĞwiadczeĔ i eksperymentów,

zachĊcajmy dzieci do budowania oraz stosowania wáasnych strategii,

pozwólmy im opowiadaü i rozmawiaü na temat swoich spostrzeĪeĔ i odkryü, ale takĪe trudnoĞci i wątpliwoĞci,

zawsze bardzo uwaĪnie ich sáuchajmy,

a przede wszystkim

143