APUNTES Y GUIA PRIMERO by Andres Xverso

FRACCIÓN PROPIA, FRACCIÓN IMPROPIA, NÚMERO MIXTO Y CONVERSIÓN DE NÚMERO MIXTO A FRACCIÓN IMPROPIA Recuerda que los elementos de una fracción son:

2 3

Numerador ( Término colocado sobre la raya e indica las partes que se han tomado del entero) Denominador ( Término colocado abajo de la raya e indica el número de partes en que se divide el entero)

También recordemos que una:

Fracción común propia Es la que vale menos que un entero y se conoce porque su numerador es menor que su denominador.

3 5

26 30

1 4

2 7

4 8

6 9

7 23

5 10

2 3

Fracción común impropia Es la que vale un entero o más y se conoce porque el numerador es igual o mayor que el denominador.

17 7

3 2

27 5

12 8

4 3

33 6

6 9

100 47

9 4

Número mixto Es el formado por un número entero y una fracción propia juntos

4 10

2 17

3 9

1 2

9 22

2 7

2 5

Conversión de números mixtos a fracciones impropias. Sigue los siguientes pasos:  Multiplica la parte entera por el denominador de la fracción común y al producto súmale el numerador de la fracción.  Después escribe el resultado obtenido como numerador  Y la fracción tendrá como denominador el que tenía el número mixto.

18 4 = 7 7

2 x 7 + 4 = 18

19 1 = 3 10

6 x 3 + 1 = 19

5 14 = 9 9

1 x 9 + 5 = 14

2 41 = 13 13

3 x 13 + 2 = 41

Ejercicio 1

De Las siguientes fracciones circula las propias y tacha las impropias:

7 9

2 7

16 5

1 9

8 8

3 6

17 10

8 23

1 2

16 4

10 9

2 2

2 3

Ejercicio 2

Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias :

2 = 5

4 = 7

1 = 3

5 = 10

2 = 13

CONVERSIÓN DE FRACCIÓN COMÚN A FRACCIÓN DECIMAL Las fracciones no son tan complicadas como podrías creer, para convertir fracciones comunes a decimales necesitas seguir un sólo paso muy simple. Divides el numerador entre el denominador:

1 = 0.25 4 0. 2 5 4 100 20 0

2 = 0.66 3

3 = 0.60 5

5 = 2.5 2

0. 6 6

0. 6 0

2. 5

3 200

5 300

2 50

CONVERSIÓN DE FRACCIÓN DECIMAL A FRACCIÓN COMÚN Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es 10 ó una potencia de 10 Para hacer la conversión sólo fíjate en: si son décimos se divide entre 10, si son centésimos se divide entre 100, si son milésimos se divide entre 1 000, si son diezmilésimos se divide entre 10 000, y así sucesivamente.

17 100 20 1000 5 10

0.17

Son centésimos se divide entre cien

0.015

Son milésimos se divide entre mil

0.5

Son décimos se divide entre diez

0.00003

Son cienmilésimos se divide entre cien mil

20 1 2 = = 1000 100 50 5 1 Simplificando = 10 2

Simplificando

3 100 000

Ahora fíjate lo que se hace cuando hay enteros: 4.035

Son milésimos se divide entre mil

27.25

Son centésimos se divide entre cien

35 1 000

4 27

25 100

4 27

Simplificando

7 200 1 4

Ejercicio 1 Convierte las siguientes fracciones comunes a fracción decimal

4 = ______ 5

9 = ______ 4

16 = ______ 3

1 = ______ 4

7 = ______ 8

22 = ______ 30

Ejercicio 2 Convierte las siguientes fracciones decimales a fracción común o número mixto 0.18 =

0.178 =

0.7 =

0.245 =

0.0005 =

0.03 =

0.345 =

0.25 =

2.6 =

17.000005 =

8.088 =

9.005 =

0.00345 =

476.9 =

0.000065 =

2,2 =

LOCALIZACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA DE FRACCIONES COMUNES Y DECIMALES La recta numérica es una línea recta en la que asociamos cada número con un punto de la recta. Ejemplo

4 se divide cada entero en 5 partes ya que el denominador es 5 y se toman 4 porque el 5

Para localizar numerador es 4

4 5

4 partes

1 5 partes

5 partes

Ahora para localizar la fracción común

5 partes

23 el denominador me dice las partes en que voy a dividir cada entero 9

en este caso son en 9 partes y el numerador las partes que voy a tomar en esta fracción común voy a tomar 1. 23 9

23 partes

9 partes

Para localizar el número decimal 0.7 observamos que es un número comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales ya que son décimos y tomamos 7 de esas 10 partes.

0.7

Ahora localicemos 2.6

2.6

Ejercicio 1 Ubica en la recta numérica las fracciones comunes que se te indican. 1.-

1 3 10 , , , 5 5 5

7 12 , , 5 5

15 , 5

5 1 , , 10 5

6 , 10

14 30 , , 10 10

2 , 10

1 , 20

4 17 , 20 20

2.-

1 2 3 8 11 2 5 4 22 16 5 1 12 6 26 , , , , , , , , , , , , , , 8 16 16 4 4 4 4 4 8 8 8 8 4 16 16

3.-

1 10 16 14 7 2 3 4 2 1 8 5 5 9 5 , , , , , , , , , , , , , , 8 16 8 4 4 8 4 8 4 16 4 8 16 8 4

4.-

1 30 1 10 3 12 17 6 15 2 12 4 18 6 3 , , , , , , , , , , , , , , 9 18 9 18 9 18 9 18 3 3 3 3 3 18 9

5.-

1 3 5 20 18 15 27 21 1 2 6 4 5 6 30 , , , , , , , , , , , , , , 9 9 9 9 18 18 9 9 9 9 3 3 3 3 3

4.-

1 7 3 16 4 2 5 4 4 6 , , , , , , , , , , 16 10 16 2 4 8 2 4 2 4

1 3 4 8 6 , , , , 12 8 6 8 16

0 Ejercicio 2 Ubica en la recta numĂŠrica las siguientes fracciones decimales 1.- 0.2 , 0.1 , 0.5 , 2.3 , 0.8, 0.9 , 1.1 , 2.8 , 1.6 , 2.5 , 1. 8 , 0.3 , 2.9 , 0.4 , 1.5 , 2.9

2.- 0.18 , 0.63 , 0.50 , 0.98 , 0.40 , 0.24 , 0.35 , 0.76 , 0.80 , 0.62, 0.39 , 0.59 , 0.33 , 0.23

0 1

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA A PARTIR DE DISTINTAS INFORMACIONES.

1 , 2

2 1

Observa la siguiente recta numérica, vamos a localizar en ella a:

1 1 y . No olvides que al haber dos 2 4

valores ubicados en la recta numérica está definida la posición de cero.

1 3 4

3 4

partes

Observa que de será

3 3 , existen , por lo que se divide nuestro segmento en tres partes iguales y cada parte 4 4

1 , y con esta medida ya puedes ubicar al cero así como los demás valores, como se muestra a 4

continuación.

3 4

1 4

1 0

Otro ejemplo es donde sólo se localiza

1 y tienes que localizar 5

1 2 ,

1 , 5

3 y 2.6 5

1 5 En esta recta numérica no está ubicado el número cero, por lo cual se puede localizar donde tu creas que sea más adecuado, nada más fíjate que haya el espacio suficiente para localizar los enteros y fracciones que tienes que localizar.

1 5

1 10 décimos

10 décimos 1 entero

3 5

2 6 décimos

1 entero

2.6

También para localizar fracciones decimales hacemos lo mismo: En la siguiente recta numérica se tienen localizados los números 0, 1.2 y 2.3 Y te piden localizar las fracciones decimales 1.50, 2.25, 1.8, 2.65, 0.7, 3.25 y 1.

1.2

2.3

12 partes

11 partes

0 Ve que del 0 al 1.2 debe haber 12 divisiones de igual tamaño, así como del 1.2 al 2.3 debe haber 11 divisiones de igual tamaño que las anteriores y ahora si a ubicar lo que se te pide

1.2

0 1

0.7

2.3 1.8

1.50

2.25

3.25

2.65

Ejercicio 1 Localiza en la recta numérica las siguientes fracciones

1) Localiza:

1 3 8 , 0.8, y 5 10 2

2) Localiza: 1.5, 0,

1 y 2 6

3 5

2 3

3) Ubica los siguientes números: 1.250,

3 , 2

4 5 , 1.80 y 5 4

1.700

2.2

4) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha: 3

______ 0 _________

TRAZO DE PARALELAS CON ESCUADRAS Las rectas o segmentos paralelos siempre están a la misma distancia es decir están equidistantes una de la otra

TRAZO DE PERPENDICULARES CON ESCUADRAS Dos rectas o segmentos son perpendiculares cuando al cortarse forman ángulos de 90° es decir ángulos rectos.

TRAZO DE PERPENDICULARES CON COMPÁS Y ESCUADRA O REGLA

C mediatri z

TRAZO DE UNA MEDIATRIZ La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento. La mediatriz de un segmento es el eje de simetría del segmento, es decir todos sus puntos son equidistantes a los extremos del segmento.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales pasando por el vértice, es decir es la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

bisectriz

TRAZOS DE TRIÁNGULOS Conociendo la medida de sus tres lados Si queremos trazar un triángulo cuyos lados midan, por ejemplo, 6 cm, 5 cm y 4 cm, hemos de seguir estos pasos: Primer paso Escogemos el lado mayor de los tres, el de 6 cm, y trazamos con la regla un segmento de esa longitud. En sus extremos rotulamos los puntos A y B:

Segundo paso Ayudándonos de la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 5 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el extremo izquierdo del segmento y trazamos un arco de circunferencia:

Tercer paso Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco de circunferencia que cortará al anterior en un punto, que rotulamos como C:

Cuarto paso Usando de nuevo la regla, abrimos el compás de forma que entre una punta y la otra haya 4 cm. Sin cambiarlo de abertura, pinchamos sobre el otro extremo, el derecho del segmento, y trazamos otro arco de circunferencia que cortará al anterior en un punto, que rotulamos como C:

Ahora observa que: Si intentas construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 3 cm y 2 cm comprobarás que los arcos trazados desde los dos extremos del segmento no se cortan: es imposible situar el punto C y por tanto no se puede dibujar el triángulo. En cualquier triángulo debe cumplirse que cualquiera de sus lados ha de ser menor que la suma de los otros dos. En este último caso, 6 cm no es menor que 3 + 2 = 5 cm y, por tanto, el triángulo no se puede construir. Conociendo dos lados y el ángulo que lo forman. Traza un triángulo donde se conocen dos lados, c = 8 cm y b = 6 cm y el ángulo que está comprendido entre ellos, ∠ A = 50º Primer paso Se traza el segmento AB con una de las medidas dadas 8 cm:

Segundo paso Se traza en uno de los extremos del segmento AB la medida del ángulo dado 50º:

Tercer paso Se traza el segmento AC de 6 cm, sobre el nuevo lado del ángulo formado

Cuarto paso Se une C y B, quedando trazado el triángulo pedido.

Conociendo un lados y dos ángulos adyacentes. Traza un triángulo que tenga un lado c = 7 cm y dos ángulos adyacentes que midan ∠ A = 30º y ∠ B = 70º Primer paso Se traza el segmento AB de 7 cm

Segundo paso Se traza en un extremo del segmento AB, la medida de uno de los ángulos dados 30º:

Tercer paso Se traza en el otro extremo del segmento AB la medida del otro ángulo dado 70º:

Cuarto paso Se forma el vértice C del triángulo y se trazan los lados de triángulo uniendo C con el punto A y C con el punto B, quedando construido el ángulo pedido.

Ejercicio Construye un triángulo: 1. con un lado de 9 cm y sus dos ángulos contiguos o adyacentes de 40º y 60º 2. que tenga dos lados de 10 cm y 5 cm, formando ambos un ángulo de 45º 3. de lados: a = 12 cm, b = 9 cm y c = 9 cm 4. con los siguientes datos: a = 6 cm, b = 4 cm y ∠ C = 120º 5. con estos datos: a = 4 cm, ∠ B = 120º y ∠ c = 40º

PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO CIRCUNCENTRO 1. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en el punto medio. 2. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos con O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO. 3. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

INCENTRO 1. La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. 2. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO. 3. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

BARICENTRO 1.

Se llama mediana de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Las tres medianas de un triángulo, se cortan en un ÚNICO punto, que recibe el nombre de BARICENTRO, y que denotaremos con G.

El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto

ORTOCENTRO 1. La altura de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo recto. 2. Las alturas de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que llamaremos ORTOCENTRO, y que denotaremos por H.

Puedes consultar la siguiente página electrónica: http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trian1.htm Ejercicio Construye un triángulo: 1) equilátero de 8 cm de lado 2) que tenga un lado de 5 cm y dos ángulos adyacentes de 120º y 130º, y explica qué es lo que sucede. 3)

cuyos lados miden a = 7 cm, b = 4 cm y c = 2 cm, y explica que es lo qué sucede.

4) isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y forman un ángulo recto. 5) con los siguientes datos AB = 6 cm, ∠ A = 57º y ∠ B = 73º Ejercicio 1 Marca con una  el punto que corresponda a la característica descrita Características

Circuncentro Baricentro Ortocentro (mediatrices) (medianas) (alturas)

Incentro (bisectrices)

Las líneas son perpendiculares a los lados del triángulo o a la prolongación de éstos Las líneas pasan por un vértice del triángulo Las líneas cortan los lados del triángulo en los puntos medios Las líneas dividen a la mitad los ángulos del triángulo Las líneas se cortan en un punto Las líneas son paralelas a los lados del triángulo Las líneas cortan los lados del triángulo en una razón de 2 a 1

Ejercicio 2 Analiza los puntos donde se cortan las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas en un triángulo cualquiera y anota una  donde se cumplan las características señaladas y una X donde no se cumplan.

Características Siempre se encuentra en el interior del triángulo Se puede localizar en un vértice del triángulo Puede localizarse fuera del triángulo Es el centro de un círculo que toca los tres vértices de triángulo Es el centro de un círculo que toca los tres lados del triángulo Es el punto de equilibrio de un triángulo Está a la misma distancia de los vértices del triángulo Se encuentra alineado con otros puntos notables del triángulo

Circuncentro Baricentro (mediatrices (medianas) )

Ortocentro (alturas)

Incentro (bisectrices)

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Nos sirven para saber si un número es divisible entre otro sin necesidad de realizar la división. Divisible significa que al dividirlo entre ese número el resultado es una división exacta con residuo cero. Por ejemplo, 30 es divisible entre 5 porque al dividirlo entre 5 el residuo es cero 30 ÷ 5 = 6 Divisibilidad entre 2 Un número es divisible entre 2 si termina en 0 o cifra par. Ejemplos: 2, 38, 94, 521 346, 40, ... Divisibilidad entre 3 Un número es divisible entre 3 si la suma de todos sus dígitos es un múltiplo de 3. Ejemplos: 36, 2 142, 42, 2 439, 717, 30 651 ... Divisibilidad entre 4 Un número es divisible entre 4 cuando sus dos últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 4. Ejemplos: 216, 64, 860, 1 500 Divisibilidad entre 5 Un número es divisible entre 5 si la última cifras es 5 ó 0. Ejemplos: 35, 2 145, 400, 367 870, 85, ... Divisibilidad entre 6 Un número es divisible entre 6 cuando es divisible entre 2 y 3 a la vez; es decir, tiene que ser par o terminar en 0 y la suma de todas sus cifras ser un múltiplo de 3 Ejemplos: 132, 654, 552 Divisibilidad entre 8 Un número es divisible entre 8 cuando sus tres últimos dígitos son ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplos: 6 120, 120 000, 12 520, Divisibilidad entre 9 Un número es divisible entre 9 si la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 9. Ejemplos: 495, 945, 53 640, 1 764, ... Divisibilidad entre 10 Un número es divisible entre 10 si termina en 0. Ejemplos: 70, 234 140, 900, 7 870, 858 670, ... Estos criterios son importantes dado que te facilitan el cálculo de la descomposición de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones.

Ejercicio Coloca una X en la columna que corresponda Número

Divisible entre 2

Divisible entre 3

Divisible entre 4

Divisible entre 5

Divisible entre 6

Divisible entre 8

Divisible entre 9

Divisible entre 10

311 040 270 1 080 54 224 2 160 360

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Los números primos son aquellos que sólo admiten dos divisores, la unidad y el mismo número: como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, etc. Los números compuestos son aquellos que admiten más de dos divisores como 4, 6, 8, 9, 10, 12, etc. El número 1, sólo tiene un divisor, y se llama unitario o unidad. FACTORIZACIÓN Para descomponer números en factores primos puedes utilizar divisiones sucesivas entre números primos, empezando por el número 2:, hasta tener como residuo cero. Los factores primos de 60 se obtienen: 30 2 60 00

15 30 10 0

5 15 0

1 5 5 0

Observa que dividiste entre: 2, 2, 3, 5 y éstos son los factores primos, es decir: 60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5 Puedes facilitar el procedimiento colocando una línea vertical para indicar, las divisiones:

Factores primos

60 = 2 x 2 x 3 x 5

60 = 22 x 3 x 5

Ejercicio 1 Escribe en donde corresponda, los números primos y compuestos: 21, 16, 12, 30, 17, 24, 40, 29, 35, 56, 45, 46, 4, 14, 11, 51, 7, 28, 3, 46, 25, 31, 70 NÚMEROS PRIMOS

NÚMEROS COMPUESTOS

Ejercicio 2 Obtén los factores primos de los siguientes números y escríbelos sobre la línea correspondiente: 1)

3) 5 2 5

330

75 = _____________

90 = _____________

525 = ____________

330 = _____________

6) 1 4 4

7) 1 5 0

648 = ____________

144 = _____________

150 = ____________

224 = _____________

7) 4 7 0

470 = ____________

720 = _____________

6 48

324

324 = ____________

15 = _____________

224

720

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Se llama mínimo común múltiplo de dos o más números al menor de sus múltiplos comunes. Se designa por las iniciales m.c.m. Ejemplo: El mínimo común múltiplo de 12 y 30 es: 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, . . . .

30: 30, 60, 90, 120, 150, . . .

Ve que el múltiplo común menor de 12 y 30 es 60; simbolizando tenemos: m. c. m. ( 12 y 30 ) = 60 Una manera más sencilla para obtener el m.c.m. es obteniendo los factores primos con mayores exponentes y multiplicarlos. Ejemplo: Obtener el mínimo común múltiplo de 12 y 30 12

1 12 = 22 x 3

1 30 = 2 x 3 x 5

Observa que los dos números tienen como factor común a 2 2

12 = 22 x 3

30 = 22

x 3 X 5

Este factor común difiere en el exponente y se elige al mayor exponente que es 2 2 Otro factor común es el 3, como tienen el mismo exponente se elige cualquier 3 12 = 22 x 3

30 = 2

x 3 x 5

Además hay un factor no común que es 5 12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Y para obtener el mínimo común múltiplo, se multiplica el factor común de mayor exponente, por los factores no comunes. m. c. m. ( 12, 30 ) = 22 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5

m. c. m. ( 12, 30 ) = 60

Ejercicio 1 Calcula el m.c.m. de los siguientes números: a) m.c.m. ( 9, 18 ) =

b) m.c.m. ( 18, 30, 24 ) =

c) m.c.m. ( 15, 65, 25 ) =

d) m.c.m. ( 20, 40, 60 ) =

e) m.c.m. ( 50, 75, 100 ) =

f) m.c.m. ( 60, 45, 50 ) =

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. El número de días que han de transcurrir como mínimo para que tres agentes viajeros vuelvan a coincidir en Guadalajara ya que el primero tarda en su recorrido 18 días, el segundo 15 días y el tercero 8 días.

2. Los soldados de un regimiento pueden formar filas de dos en dos, de tres en tres, de cuarenta y ocho en cuarenta y ocho, de ciento veinte en ciento veinte y de ciento veintiséis en ciento veintiséis, sin que sobre ni falte ninguno. ¿ Cuántos soldados integran el regimiento ?

3. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 48 y 54 segundos, respectivamente, y lo hacen simultáneamente a las 9.00 p.m. ¿A qué hora vuelven a encenderse juntos?

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Se llama máximo común divisor de dos o más números al mayor de sus divisores comunes. Se designa por las iniciales M. C. D. Para calcular el M. C. D. de dos o más números, se descompone cada uno en sus factores primos. Ejemplo: Calcula el M. C. D. de los números 24, 48, 72 = 24

24 = 23 x

48 = 24 x 3 72 = 23 x 32

1 Los números tienen divisores comunes que son 2 y 3 y se elige el divisor común con menor exponente los divisores comunes 23 y 3, que al tener el mismo exponente no presentan problemas ya que cualquiera que se escoja es igual. M.C.D. ( 24, 48, 72 ) = 23 x 3 = 8 x 3 = 24 Ejercicio 1 Calcula el M. C. D. de los siguientes números: a) M. C. D. ( 15, 30 ) =

b) M. C. D. ( 24, 36, 48 ) =

c) M. C. D. ( 140, 160, 100 ) =

a) M. C. D. ( 60, 40, 30 ) =

b) M. C. D. ( 50, 75, 100 ) =

c) M. C. D. ( 40, 48, 72 ) =

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas: 1. Se tienen tres rollos de listón respectivamente 8m, 12m y 60m. Si se deben cortar en tramos iguales de la mayor medida posible, sin que falte o sobre listón ¿ De que medida tiene que ser cada tramo? y ¿ cuántos tramos resultarán de cada rollo ?

2. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 cm de largo y 96 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado?

3. Diego cuenta con 12 juguetes, 36 chocolates y 48 dulces. Desea hacer unas cajas sorpresas iguales que contengan lo mismo para sus amigos. ¿ Cuál es la cantidad de cajas que puede formar ?

4. Leticia tiene tres carretes con hilo cáñamo, uno de 30 cm, otro de 20 cm y el último de 80 cm y desea cortarlos en tramos de igual medida sin que le sobre nada- ¿ Cuál es el máximo tamaño que pueda tener los trozos de cáñamo ?

5. Pablo compró una canasta de 24 huevos y otra de 36 huevos. Para venderlos, Pablo debe empacarlos en cajas pequeñas del mismo tamaño que contengan el mismo número de huevos. ¿Cuál es el mayor número de huevos que puede empacar Pablo en cada caja, si no debe sobrar ni faltar ninguno? ¿De cuántas cajas debe disponer?

6. En un colegio hay 120 niños y 180 niñas en el quinto grado. Si se desea formar grupos con igual cantidad de estudiantes, de manera que en cada grupo haya niños y niñas, ¿Cuál es la mayor cantidad de grupos que se pueden formar? ¿Cuántos niños y cuantas niñas habrá en cada grupo?

7. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 48 y 54 segundos, respectivamente, y lo hacen simultáneamente a las 9.00 p.m. ¿A qué hora vuelven a encenderse juntos?

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES COMUNES CON IGUAL DENOMINADOR Sólo se suman o restan según sea el caso los numeradores y se anota el mismo denominador. Recuerda siempre saca enteros si la fracción es impropia o simplificar. Siempre ten presente que para obtener los enteros necesitas realizar la división y para simplificar una fracción a su mínima expresión, se dividirán sus dos términos sucesivamente por los divisores comunes que tengan, hasta que resulte una fracción irreducible. Ejemplo Ejemplo: 11 14 25    15 15 15

10 = 15

1 1

2 3

Fracción impropia se debe sacar enteros 23 15 8 4    10 10 10 5

Simplificación ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES COMUNES CON DIFERENTE DENOMINADOR Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, el número obtenido será el denominador común, el m.c.m. se divide entre el denominador de la primera fracción y el cociente obtenido se multiplica por el numerador de esa fracción. El número obtenido se coloca como sumando en el numerador de la fracción resultante y se procede igual para el resto de las fracciones; en la sustracción se siguen los mismos pasos, sólo que los números obtenidos se restan. Ejemplo: 2 x 5 = 10

Se multiplica

10 5 2 9    15 3 10 30

÷ Se divide 30 ÷ 15 = 2

5 2 9 10  20  27 57      15 3 10 30 30

44  35 11 7 9    10 8 40 40

27 = 30

15 15 5 1 1 1

3 3 5 1

10 5 5

2 3

m.c.m. (15, 3, 10) = 2 x 3 x 5 = 30

9 10

1 1

m.c.m. (10,8) = 23 x 5 = 40

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN CON NÚMEROS MIXTOS Se convierten los números mixtos a fracciones impropias (multiplicando el denominador de la fracción por el entero y al producto obtenido se le suma el numerador), y se deja el mismo denominador de la fracción del número mixto. Ejemplo: 2 + 3

4 + 8

5 6 3 3 – 4

6 3

136  156  76 368 1 17 19 52 = + + = = = 24 24 6 3 6 8

1 27 7 27  14 13 = – = =  2 2 4 4 4

8 = 24

15 15

1 3

1 4

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones 1)

6 10 3    4 4 4

3 2

2 13 8 7     15 15 15 15

11 7   10 8

9 4   5 8

5 2 1    6 3 4

4 3   12 16

9 2   10 8

10)

2  7

4  7

1 2 + + 3 9

2 1

9 4 5

–

5 = 6

9 = 10

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas

1. El maestro de electricidad tenía conexión y le ha quedado

2. Elisa compra

1 m de cable eléctrico. Lo usó para mostrar cómo se hace una 2

3 m, ¿cuánto cable utilizó en la conexión ? 4

3 1 kg de papas, kg de carne y 4 2

3. De una pieza de tela de

2 de tortillas, ¿Cuánto pesa todo junto? 5

1 m se vendieron 2 retazos de 2

queda sin vender?

1 my 2

3 4

¿Qué cantidad de tela

4. En la Delegación Política Benito Juárez se realiza una competencia de ciclismo, en la que se tienen que 3 1 recorrer, km y en la cual Eduardo lleva recorrido km ¿Qué distancia le falta para llegar a la 4 4 meta?

28 4 toneladas y el Satélite" Anna l-B" pesa de tonelada ¿ Cuál 25 125 es la diferencia de peso entre ambos satélites ?

5. El Satélite "Explore 40" tiene un peso de

2 2 1 del total de alumnos votó por Juan, votaron por Alfredo y votaron por René. ¿Votaron 4 10 5 los 60 alumnos del grupo?

6. En un grupo

3 3 3 m de tela azul, m de tela amarilla y m de tela roja ¿ 8 9 4 cuánta tela en total se usará para elaborar el vestido ?

7. Para hacer los hacer un vestido se necesitan:

OPERACIONES COMBINADAS DE FRACCIONES COMUNES Hay veces que se tienen que aplicar varias operaciones y siempre debes tener presente lo siguiente para poder resolverlas: 1º Convertir las fracciones mixtas y números decimales a fracción común. 2º Efectuar las adiciones y sustracciones

Ejemplo:

3 6 3 4 6 3

216 1 17 52 19 136  156  76 = + – = = = 3 6 24 24 8 6

2 + 3

4 – 8

3 – 4

27  14  1 1 1 27 7 3 14 7 + = – + = = = = 4 4 2 4 2 4 4 2

1 2

Recuerda que siempre debes simplificar las fracciones y convertir a número mixto cuando se requiera, es decir reducir a su mínima expresión. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes operaciones 1.

7 4 1 2 – – + = 3 6 9 3

2 1 2 4 2 3 1 4 1 2 – 5

3 + 7

3 = 14

3 – 4

2 – 9

1 = 6

5 – 3

2 + 3

1 4 7 + + = 9 6 18

1 – 7

3 – 4

1 = 2

4 6 3 5 4 6 1 3 3 – + – = 14 2 4 5

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. Un coche lleva circulando 26 minutos, en los cuales ha recorrido en la primera parte

1 de su recorrido, en la 5

3 de su trayecto. ¿Cuánto tiempo empleará en recorrer todo el trayecto, yendo siempre a la 6 misma velocidad? segunda parte

2. En una tienda había

2 metros de cable, se vendieron en el día 3

1 3 m, de metro, 2 4

1 m, 4

1 5 my m. ¿ Cuántos metros de cable quedan en la tienda ? 2 6

litro el martes,

1 de litro el miércoles, 8

1 3 1 litros, se utilizan en la cocina de litro el lunes, de 2 4 6 1 1 de litro el jueves y de litro el viernes ¿Cuánto aceite queda 7 2

3. De un bote de aceite, cuya capacidad es de

en el bote?

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES COMUNES Para multiplicar las fracciones generalizamos como sigue:

a c ac ac    b d bd bd

Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejemplos:

3 5 15 3    5 7 35 7

3 2

1 13 8 2 8 2 x = x = = 4 4 12 3 3 3 El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores como:

8 8

Se multiplica numerador por numerador

2 5

3 2

1 4

6 3 2 x 3 x1 = = 40 20 5x2x4

Se multiplica denominador por denominador

Se simplifica

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones comunes: a)

7 1 7 x x = 4 2 4

4 3 2 x x = 5 6 3

2 4 2 x x = 3 5 5

1 2 12 x x = 3 3 3

4 8

1 7 x = 4 4

9 9 9 x x = 5 5 5

4 x 6

2 x 6

3 2 1 7 x x x = 4 3 5 10

5 1 3 x 4

2 = 9

1 x 7

2 = 9

1 7 x = 6 6

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. ¿Cuántos litros de agua contiene un depósito de 400 litros que está ocupado en sus

3 partes? 5

1 de su peso sobre la Tierra. ¿Cuánto pesaba allí el vehículo Lunar 6 Rover, con un peso de 450 libras sobre la Tierra

2. El peso de un objeto sobre la Luna es de

3. Mi mamá con ?

1 naranjas hace un vaso de jugo ¿cuántas naranjas necesita para hacer 2

1 vasos de jugo 2

DIVISIÓN DE FRACCIONES COMUNES Para efectuar una división lo que hacemos es multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Ejemplo:

9 2 9 8 72      10 8 10 2 20

12 = 20

3 3

3 5

Inverso multiplicativo O bien para dividir una fracción generalizamos de la siguiente forma:

a c a  d ad    b d b  c bc Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda

Ejemplo:

11  4 4 3 11 11 11 44 = ÷ = x = = = 33 4 4 11 3  11 3 3

3 2 2 ÷ 3

1 1 11 = 33

1 3

Inverso multiplicativo Ejercicio 1

3 15 ÷ = 15 3

2 5

9 11 ÷ = 4 10

6 14

6 = 14

1 3 ÷ = 12 10

3 ÷ 8

9 5

2 4

2 = 9

5 2 1    6 3 4

9 2   10 8

1  3

3 1 2    4 5 3

2 3 ÷ = 6 8

10)

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas

3 m de largo. Un lazo azul mide 4 lazo azul en el largo del lazo rojo ?

1. Un lazo rojo mide

1 m de largo. ¿ Cuántas veces cabe el largo del 4

1 1 km, Jaime camina km. ¿ Cuántas veces camina más Luz que Jaime ? 2 8 3 3. La señora Olivia cobró en su cremería $ 76.50 por kilogramos de crema ¿A cómo dio el kilogramo 4 de crema?

2. Luz camina

REPASO DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para sumar o restar decimales, escribimos los números en columna, alineando el punto (quedando enteros con enteros, décimos con décimos centésimos con centésimos etc.); realizando la operación como en los números naturales. En la sustracción cuando el minuendo no tiene el mismo número de dígitos que el sustraendo se sugiere agregar ceros para igualarlos evitando errores al hacer el algoritmo. Ejemplos 45.2 + 26 + 3.872 + 1.3 = 43.75 – 17.4854 =

45.2 26. + 3.872 1.3 76.372

–

4 3.7 5 0 0 1 7.4 8 5 4 2 6.2 6 4 6

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes adiciones 1) 2) 4.6 + 0.0091 + 57 = 89.8 + 10.0876 + 4.7 =

5) 7.32 – 3.256 =

1) 254.687 + 1.91 + 1 =

4) 7 9 5.9 8 6. 0 0 9 8 + 0. 3 0 0 3 7 1 0 0 8.5 9 0 0 1

6) 989 – 654.8642 =

7. 9 8 1 9 7 5.0 0 9 8 8 7 8.8 6 5 1. 7 6 5 9 8

–

27 – 15.78534 =

1 0 7.2 9 0. 8 0 7 7 5

–

3 3 3.3 1 9 7.9 0 1 9 8

–

700 .000001 9 9. 9 9 9 8

8) 3. 2 7 6 4 4 5 0.0 1 0. 0 0 0 0 1 4. 7 7 0 1

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. María Luisa tiene que rodear con encaje tres carpetas, cuyas circunferencias miden respectivamente 60 .8 cm, 76.2 cm y 97.5 cm, ¿cuánto encaje en total debe comprar ? 2. Alicia compró 0.750 kg de queso rallado y sólo empleó 0.295 kg, ¿cuánto queso quedó ? 3. Martha en 7 días compró diario una toronja los pesos de las 7 toronjas fueron: 0 .575 kg, 0.628 kg, 0.425 kg, 0.450 kg, 0.495 kg, 0.533 kg y 0.695 kg. Si las hubiera comprado juntas ¿ Cuántos kilogramos habría comprado ? 4. Gregorio tiene que mandar a un cliente, 7 000 kg de papa, en cuatro envíos, si el primer envío mandó 2 094.18 kg, en el segundo 1 214.78 kg, en el tercero 1 876.99 kg ¿Cuántos kilogramos de papa quedan para el cuarto envío ? 5. Daniel gasta $ 87.75 en carne, $ 42.60 en la papelería y $ 24.80 en la tienda si paga con un billete de $ 200 ¿ cuánto dinero le queda del billete ? 6. En un tambo hay 125 litros de agua. Si se utilizan 89.65 litros, ¿ cuántos litros de agua quedan en el tambo ? 7. Los cuatro atletas del equipo de relevos de 4 x 100 consiguieron estos tiempos: 12 .245, 11.983, 13.028 y 12.524 segundos. ¿Cuál fue el tiempo total del equipo?

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES En la multiplicación de números decimales debes considerar los números de dígitos que siguen al punto decimal tanto del multiplicando como del multiplicador. Ejemplo: 4.3 2 1 x 0. 2 3

3 dígitos después del punto decimal 2 dígitos después del punto decimal

12963 8642

5 dígitos después del punto decimal

.9 9 3 8 3

De derecha a izquierda se cuentan 5 dígitos y se coloca el punto decimal

54321 Otro ejemplo es 8.9 4 0 6

4 dígitos después del punto decimal

x 2. 1 2

2 dígitos después del punto decimal

178812

6 dígitos después del punto decimal

89406 178812 1 8.9 5 4 0 7 2 654321

De derecha a izquierda se cuentan 6 dígitos y se coloca el punto decimal

No se te olvide que, para multiplicar números decimales tienes que hacer la multiplicación como ya lo sabes hacer y luego, debes contar los dígitos que están colocados después del punto decimal en los factores ( multiplicando y multiplicador ), para separar ese mismo número de dígitos, de derecha a izquierda en el producto con el punto decimal.

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes multiplicaciones 1)

4.9 8 7 3

1 8. 0 0 7 3

7 8 9.8 7 0 3

x 7.8 7

x 9.6 5

x 2.57

6 7 9.9 8 7 3 x 3 4. 9

39 5 9 8 x 8 7. 8

9.9 7 0 0 9 x 0.8 7 6

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. Un trabajador lijó 179 tablas de 37.8 cm cada una ¿ Cuántos centímetros lijó en total ?

2. Juan compró 97 dulces a $ 1.75 cada uno ¿ Cuánto dinero debe pagar ? 3. Fátima ha comprado 3 bandejas de flores. Cada bandeja tiene 3 filas con 3 flores cada una. Si cada flor cuesta $ 19.75, ¿ cuánto dinero ha pagado en total ?

4. Adriana compró 2.5 kg de manzanas a $ 24.70 el kilogramo ¿cuánto dinero ha pagado en total? 5. Halla el área de un rectángulo de 26.47 cm de largo y 9.79 cm de ancho. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES En la división de números decimales se presentan tres casos: Recuerda que en la división de números decimales se pueden presentar tres casos: 1) División de un decimal entre un número natural 2) División de un número natural entre un número decimal 3) División de un número decimal entre un número decimal Ejemplo de cada caso Un decimal entre un número natural: recuerda que siempre debes subir el punto decimal del dividendo al cociente.

.53 48 / 25.90 1 90 46

Un número natural entre un número decimal: el divisor se multiplica por 100 para convertirlo en entero, pero también el dividendo se multiplica por 100 en este caso

0.26 /526 0.26 x 100 26 52600

Ten presente que siempre debes subir el punto decimal al cociente

526 x 100

Un número decimal entre otro número decimal: el divisor se multiplica por 100 para convertirlo en entero, pero también el dividendo se multiplica por 100 para que no se altere la división.

0.34

2.465

0.34 x 100 34

246.5

2.465 x 100 Recuerda que siempre debes subir el punto decimal al cociente cuando se requiera

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes divisiones con números decimales.

2) 6 5 9 3.9 7 2

3) 2. 7 4 3 9.4 8 5

6) 0.756

5. 0 7 2.3 7 5 6

9.8 7 2.3 7 5 6

0.001

0.876

0.001

Ejercicio 2 Resuelve los siguientes problemas 1. Elsa quiere cortar un listón que mide 6.95 cm en 15 partes iguales ¿ cuánto listón le sobrará ?

2. ¿ Cuál es el número que al multiplicarlo por 2 .7 da como producto 214.92 ?

3. Se embotellaron 5 694 litros en botellas de 0.65 litros, ¿ Cuántas botellas se llenaron ?

4. En un zoológico se compraron 342 kilogramos de alpiste para alimentar a las aves. Si el cuidador desea repartirlo en sacos de 2.5 kilogramos. ¿ Cuántos sacos tendrá ? y ¿ Sobra algo de alpiste ?

5. Susana tiene 70.85 cm de listón y quiere cortarlo en tramos de 5.45 cm, ¿cuántos tramos le saldrán?