PROJECTE: " LA TACA DEL PRESTIGE"

PROJECTE: “LA TACA DEL PRESTIGE” Calcular l’àrea de la taca del Prestige.

Bermúdez, Jordi Dalmases, Eva Oliver, Marina Pons, Víctor Rosa, Pili

La taca té la següent forma:

4,8

1,6

Km

Km

Estimació de l’area de la taca a escala 1:100.000 Per tal de poder mesurar l’àrea, hem pensat fer una primera estimació amb una figura petita. Per simplificar els càlculs, dibuixarem una taca de 1,6 cm d’amplada per 4,8 cm de llargada. Això vol dir que estem aplicant la següent escala: 1km =100.000 cm 

1:100.000

Estimació de l’Àrea de la taca: 1+1+1+0,5+0,5+0,5+0,5+0,5 5 cm² 5,5 km²

1,6 cm

0,5x1= 0,5 cm² 4,8 cm 1x1= 1cm²

Els 5,5 km² és una estimació per excés, un límit superior de la mida real, ja que hem tapat les voreres de la taca amb la unitat de mesura sempre excedint la línia.

Ara sabem que la taca té un àrea aproximada de 5km², però també sabem que el càlcul és una estimació aproximada perquè amb una figura tant petita, les unitats de mesura de 1cm² fan que la precisió de la mesura sigui molt baixa.

Per exemple, si tenim en compte la mesura de la llargada de la taca, podem fer un càlcul estimatiu de quin serà el tant per cent d’error que podem cometre :

Si la taca amida 4,8 cm de llargada, i la unitat de mesura amida 1 cm, sabem que l’error màxim aproximat que tindrem en mesurar aquesta longitud serà de ±1cm: (1 / 4,8) *100 = 20 Es a dir, que la mesura que hem obtingut amb l’escala 1:100.000, pot arribar a tenir fins un 20% d’error.

Per tant, hem decidit fer una maqueta de la taca de petroli a una escala més petita, que ens donarà una taca més gran i ens ajudarà a minimitzar l’error.

Per tal de minimitzar la dificultat del càlcul, farem servir una escala múltiple de 10, però que no surti de les dimensions d’un full DIN-A3. Com que la llargada de la taca són 4,8 Km, calcularem quina escala caldria per obtenir una mida de 48 cm, que ens hi cap al full DIN-A3: Volem que 48 cm de llargada representin 4,8 km.

Això vol dir que 1 cm de la maqueta seran 0,1 km (perquè hem dividit els dos per 48).

Com que 0,1 km són 10.000cm, l’escala resultant serà: 1:10.000 i la mesura de la taca serà de 16cm d’amplada per 48 cm de llargada.

Per conservar les proporcions irregulars de la taca, prenem mides en diferents punts i la dibuixem:

Estimació de la precisió de la mesura a escala 1:10.000 La taca amidarà aplicant aquesta escala 48 cm de llargada. Si tenim en compte que la unitat de mesura serà igualment un quadre d’un centímetre de costat (equivalent en aquest cas a 0,1cm d’àrea), sabem que l’error màxim aproximat que tindrem en mesurar aquesta longitud serà de ±1cm: (1 / 48) *100 = 2

Es a dir, que la mesura de la llargada amb l’escala 1:100.000, pot arribar a tenir fins un 2% d’error.

OBSERVACIÓ: Hi ha dues consideracions a tenir en compte a l’hora de parlar “d’error de mesura”: 1- Aquest error només contempla les variacions que poden donar-se en funció de la precisió amb la que estem mesurant la representació (±1cm), i no contempla les altres fonts d’error presents que poder haver-hi.

2- El càlcul de l’error de mesura s’ha fet respecte a la longitud de la taca. Tenint en compte que amb les dades de longitud fem una multiplicació per obtenir l’àrea, també estem multiplicant l’error comés en mesurar les dimensions de la taca i, per tant, estem també variant l’error de mesura.

1

2

3

4

5

Dibuixem la taca a escala 1:10.000

4,8

0 1 2 3 4 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

Mida a escala 1:100.000 (cm) 4,8 1,5 1 1 0,6 1,3 1,4 1 0,8 0,5

Mida a escala 1:10.000 (cm) 48 15 10 10 6 13 14 10 8 5

Primer de tot quadriculem una cartolina DinA2 per tal de poder plasmar les coordenades calculades a la taula anterior.

Dibuixarem la taca al llarg d’un eix central que passi pel mig, de manera que podrem prendre mides de la distància de la vorera de la taca per dalt i per baix a

diferents

distàncies.

D’aquesta

manera

mantindrem al màxim la forma original de la taca.

Una vegada hem marcat tots els punts a dalt i a baix de l’eix central, marquem la vorera de la taca a escala 1:10.000

Primer hem intentat retallar unitats de mesura de 1cm x 1 cm i altres múltiples més grans, per tal d’omplir la superfície de la taca i després sumar l’àrea de cada tros.

Però finalment hem decidit que seria molt més fàcil dibuixar les unitats dintre de le taca,

numerar-les i

després contar-les.

Els espais de les voreres, els contem dibuixant triangles i altres figures geomètriques sencilles de les quals podem calcular l’àrea.

Anem calculant i anotant l’àrea de cada trosset.

Per saber quin valor té l’àrea de la taca, només haurem de sumar les àrees de totes les unitats de mesura marcades i numerades, juntament amb les figures geomètriques marcades al llarg de la vorera. Hem recollit totes les dades en la següent taula: Figura Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Àrea en cm² 2,5 8 8 4 3 3 1 3,5 2,5 2,5 1,5 1 7,5 1,8 2,5 2 2

Figura Nº 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

SUMA TOTAL= 465,8 cm²

Àrea en cm² 2 7,5 1 1 3 3 8 20 120 8 112 4 45 15 6 3 44

Finalment, només haurem d’aplicar el factor 10.000 de l’escala per saber la mesura de l’àrea a la realitat. Àrea de la representació a escala 1:10.000: 465,8cm² Àrea de la taca del Prestige a la realitat:

4,658 Km²

---------------------Valoració de la pràctica Una de les dificultats que ens hem trobat, ha estat la diferència entre l’escala de longituds i l’escala quadràtica referida a l’àrea de la taca. Primer volíem aplicar les diferents escales als valors de superfície, però ens hem adonat que els resultats eren incongruents amb el primer càlcul estimatiu que havíem fet.

Per altra banda, ens hem entretingut força en investigar com es pot valorar l’error d’un resultat i quina relació que té amb la precisió de la mesura. En aquest sentit, hem trobat que la precisió augmenta (i per tant l’error disminueix), a mesura que disminueix la proporció : “grandària de la unitat de mesura

/ grandària l’objecte amidat”

És a dir, que quan disminuïm l’escala de 1:100.000 fins a 1:10.000, fem augmentar de tamany la representació de la taca i, com que fem servir la mateixa unitat de mesura de “1cm x 1cm”, estem augmentant la precisió de la mesura i minvant l’error del càlcul de l’àrea.

Pel que fa a l’anàlisi de dades, i tractant-se de cicle superior, pensem que aquesta seria una bona oportunitat per introduir l’ús dels fulls de càlcul (com per exemple l’Èxcel), ja que el fet de poder introduir una petita fórmula que sumés totes les àrees mesurades, connecta els estàndards de mesura i anàlisi de dades amb l’estàndard d’àlgebra.

Finalment, valorem l’experiència d’haver dut a terme aquesta pràctica molt positivament pel fet que ens ha fet adonar de moltes de les situacions que viuran els nostres alumnes davant projectes com aquest: -

Diversitat d’idees i punts de vista entorn al mateix problema matemàtic.

-

Dificultats que van sorgint i com s’aborda el plantejament de solucions.

-

Importància de disposar dels recursos materials i documentals necessaris.

-

Beneficis pedagògics que aporta el fet d’afrontar problemes sense pauta, pel fet que aquestes situacions desperten la imaginació i la creativitat del nen.

-

Les múltiples dimensions que incorpora qualsevol projecte matemàtic, amb la inherent connexió de tots els estàndards matemàtics.

Anàlisi del projecte “LA TACA DEL PRESTIGE” Continguts matemàtics treballats al projecte de “La taca del Prestige” en relació amb els Estàndards Matemàtics de la NCTM.

ESTÀNDARD Nombres i Operacions

CONTINGUT TREBALLAT ● ● ● ●

Àlgebra

Geometria

Anàlisi del canvi en contextos diversos, pel que fa als canvis que es produeixen quan es fa un canvi d’escala en la representació.

Comprendre patrons i relacions, assolint que el sumatori de les àrees de les subdivisions de la taca donarà com a resultat l’àrea total de la taca. ● ● ● ● ● ●

Càlcul d’àrees.

Enquadraments.

Instruments d’orientació (GPS).

Traçar una ruta amb cartes de navegació.

Utilització de mapes (quan mesurem el rumb).

Meridians i paral·lels.

Creació d’un sistema d’unitats.

Concepte de precisió i error.

Diversitat d’escales. Àrea màxima. Àrea mínima.

Sentit de les unitats.

Enquadraments.

Raonabilitat de càlculs.

El camp de futbol com a unitat de mesura.

Magnitud, longitud, àrees i amplitud.

Mesurar rumbs.

Longitud i latitud.

Amplitud d’angles.

Magnitud temps (hores, minuts i segons).

Relació entre magnituds (longitud i superfície).

Instruments de mesura.

La milla com a unitat de mesura.

Mesura

Recollida de valors d’àrea de les subdivisions de la taca en taules.

Anàlisi de la precisió de les dades de mesura i de l’acceptabilitat de l’error en els resultats.

Anàlisi de dades i probabilitat

Resolució de problemes

Comprendre la relació existent entre les fraccions i els nombres decimals.

Operacions amb nombres decimals.

Les fraccions (3/4 parts de la taca).

Enquadraments.

● ● ●

Construcció de rellotges de sol per buscar l’hora solar.

Canvis de grau provoquen canvis d’hora.

Construcció d’una taula que esdevé una eina matemàtica per fer canvis d’escala.

Raonament i demostració

● ● ●

Raonament d’estratègies per mesurar àrees.

Esbrinar l’hora solar.

Planificació del projecte (mapa conceptual).

Comunicació

● ● ●

Realització d’un mural.

Comunicar les diferents estratègies emprades.

Explicació dels càlculs desenvolupats en les distàncies per calcular el rumb.

Redacció del què hem aprés a l’hora de treballar el tema de les hores.

Recollir el procés que han seguit de manera individual.

● ● Connexions

Representació

Connexions entre mesura i geometria.

Connexions entre mesura i nombre i operacions.

Connexions entre comunicació i raonament.

Passar d’una escala petita a una més gran per poder dibuixar la taca del Prestige.

Aplicació de plantilles.

Dibuixar el rumb.

Estratègies emprades en el moment de desenvolupar la taca de Prestige.

Utilitzar un referent conegut (la rajola de la classe) per fer un càlcul estimat de l’àrea.

Cobrir la superfície amb figures geomètriques típiques.

Estimació màxima.

Representació de l’escala utilitzant una taula de conversió de l’escala.

Reducció de la figura a figures geomètriques.

Adequació de l’escala.

Enquadrament.

Calcular l’àrea externa de la taca i el rectangle màxim.

Raonabilitat de resultats.

Calcular el perímetre amb una cinta que el segueix.

Crear una escala a la mida del paper.

Inventar una unitat Trobar l’escala.

Calcular l’àrea del rectangle màxim.

Cobrir amb figures geomètriques la superfície no taca.

Restar del total.

Tornar a les mesures reals.

Dificultats amb què ens hem trobat Donar l’escala amb les mateixes unitats.

Escala en superfície.

Relació longitud - superfície.

Conversió d’escales.

Canvi d’unitat en superfície.

Relació perímetre - àrea.