CLASE VIRTUAL 4 CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
Consecuencias del Teorema de Green 1. Cálculo de integrales curvilíneas cerradas: Si se satisfacen las hipótesis del teorema, en lugar de calcular una integral curvilínea cerrada se puede calcular la integral doble correspondiente. Si F Pi Qj , entonces
Q P C F dr D x y dA
CÁLCULO 2 EPE INGENIERÍA
3
Ejercicio 1 Evalúe la siguiente integral curvilínea.
(3 y e C
sen ( x )
donde C es la circunferencia orientación antihoraria Solución
)dx 7 x y 1 dy 4
y2 + x2 = 25 con una
Grafiquemos la curva C
Solución Ejercicio 1 usaremos el teorema de Green, notemos que la región D encerrada por C es simple y tiene orientación positiva, luego si hacemos
P 3 y e sen ( x )
Q 7x y 1 4
Entonces tenemos que
P 3 y Q 7 x
Solución Ejercicio 1 De lo anterior
(3 y e C
sen ( x )
Q P )dx 7 x y 1 dy ( )dA x y D 4
4dA 100 D
Ejercicio 2 Usando el Teorema de Stokes determine
F dr C
Siendo su campo vectorial F
F ( x; y; z ) ( x y 2 ; y z 2 ; z x 2 ) C es el curva que une los vértices M(1;0;0), N(0;1;0) y P(0;0;1) en sentido antihorario.
solución 2:
i Calculemos el rotacional de F : x 2 x y
j y 2 yz
k z 2 zx
Rot ( F ) (2 z;2 x;2 y ) La ecuación del plano que pasa por M, N y P es x + y + z =1
f ( x; y; z ) x y z 1 f ( x; y; z ) (1;1;1) fz 1
Ejercicio 2 Tenemos ahora
F dr rot ( F ) dS rot ( F ) C
S
R
f dA fz
Reemplazando y simplificando tenemos
rot ( F ) R
f dA 2dA 1 fz R
Ejercicio 3 Evalúe la integral
F dS S
sabiendo que su campo vectorial es 2 x2 F xy i ( y e ) j cos( x 2 y ) k y S es la superficie del sólido delimitado por el cilindro parabólico
z 1 x2 Y los planos
z 0 , y 0, y z 2
Solución: 7
Solución 3
F dS divFdV S
E
2 ( xy ) ( y 2 e xz ) senxy 3 y x y z E ( x; y; z ) / 1 x 1;0 z 1 x 2 ;0 y 2 x
div( F )
Proyectemos la superficie sobre el plano XZ
E
1 1 x 2 2 z
divFdV
1 0
0
3 ydydzdx
184 35
Repasando los teoremas
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