19-4-2016
Transformada de Laplace ECUACIONES DIFERENCIALES
JORGE ALBERTO CORTES JIMENEZ INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VENUSTIANO CARRANZA
TRANSFORMADA DE LAPLACE
INDICE DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE............................................................................. 2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.......................................................................................... 3 FUNCION DE ESCALON UNITARIO ................................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ........................................................................ 8 LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .......................................................................... 9 TEOREMAS DE TRANSLACION ........................................................................................................... 10 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………………………………………….12
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DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace, unas de las transformadas integrales más conocidas. Es particularmente adecuado para problemas cuya variable independiente cambia de cero a infinito, tales como los problemas de valor inicial en el tiempo y los problemas de valor límite en geometría semiinfinitas. Usaremos la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes y sistema de tales ecuaciones. Usted vera que la transformada de Laplace a menudo permite simplificar a manera considerable la solución de ecuaciones diferenciales, en especial cuando esto incluye términos no homogéneos con discontinuidades de salto.
Sea f (t) una función definida en el intervalo 0, se define la transformada de Laplace de f(t) por medio de las transformada integral
La transformada de Laplace es simplemente una conversión integral con los límites de integración de 0 e y el núcleo st la definición de la transformada de Laplace incluye un integral con un intervalo ilimitado por lo tanto es una integral impropia como tal debe interpretarse como:
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE La solución de ecuación diferenciales mediante la transformada de Laplace determinar la función original a partir de su transformada se llama encontrar la inversa de la función transformada (o invertir la función transformada la transformada inversa de Laplace se representa como el símbolo L1 .
La manera más rápida y fácil de encontrar la transformada inversa es ver una tabla de la transformada de Laplace se deduce directamente de las propiedades de la transformada de Laplace que explicamos y comprobamos.
1.- Es decir la transformada inversa de Laplace es un operador lineal, igual que la transformada misma. Por ejemplo
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2.-Es decir, la inversa de una transformada de Laplace es s – k (donde k es una constante) puede encontrarse reemplazando todas las apariciones de s – k por s, determinando la inversa y multiplicando dicha inversa por ď Ź kt . Por ejemplo
3.-la transformada inversa de Laplace que contiene los factores puede encontrarse omitiendo el factor s, determinando la inversa de la parte que queda y derivando dicha inversa con respecto a t. Por ejemplo
4.-La inversa de una transformada de Laplace que tiene el factor 1/s puede encontrarse omitiendo dicho factor determinando la inversa de la parte que queda e integrando la inversa con respecto a t de 0 a t. por ejemplo
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FUNCION DE ESCALON UNITARIO Probablemente la función más sencilla que incluye una discontinuidad de salto es la función de escalón unitario u (t t 0 ) , también conocida como función Heaviside que se define como
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Donde t t 0 es la ubicación de salto como se muestra la figura 8-9 para caso especial de t 0 0 , la función de escalón unitario se vuelve simplemente u (t 0) 1 para t 0 y su transformada de Laplace es
La función de escalón unitario u (t t 0 ) es simplemente la translación de u (t ) en la cantidad
t0 , su transformada de Laplace se determina fácilmente introduciendo
la variable ficticia x t t 0 como
Entonces Ahora veamos lo que sucede cuando multiplicamos una función dada f(t) por la función de escalón unitario (figura 8-10) cuando t 0 0 , tenemos
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Y que u (t 0) 1 para t 0 entonces la función de escalón unitario no tiene efecto sobre la función f(t) si t 0 0 , pero cuando t 0 0
Es decir multiplicando una función f(t) por la función de escalón unitario u (t t 0 ) hace que se desaparezca la parte de f(t) en 0 t t 0 ; pero no tiene efecto en la parte restante de f(t).
Ahora supongamos que no queremos suprimir esa parte de f(t) en 0 t t 0 . En vez de eso queremos posponer el inicio de f(t) a t 0 0 . Esto se logra corriendo a la derecha f(t) en t 0 unidades y multiplicándola por u (t t 0 ) para suprimirla para t t 0 Como se muestra en la figura 8-10
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PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Propiedad 1: Linealidad de la transformada de Laplace
Propiedad 2: Propiedad de translación o corrimiento
n
Propiedad 3: Transformada de Laplace de f (t )
Propiedad 4: Transformada de Laplace f (t ) / t
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Propiedad 5: Transformada de Laplace de
t
f (t )dt 0
Propiedad 6: Cambio de escala
LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Como la transformada de Laplace se define como una integral definida, tiene las propiedades de las integrales definidas; por ejemplo, la integral de la suma de dos funciones en la suma de las integrales de esas dos funciones.es decir
Asimismo la integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. O sea
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Donde C es una constante arbitraria. Entonces la integración es un operador lineal. Esto también es verdad para la transformada de Laplace. La linealidad de la transformada de Laplace puede expresarse como.
Donde C1 y C2 son dos constante cualesquiera. Esta la propiedad más significativa de la transformada de Laplace.
TEOREMAS DE TRANSLACION La aplicación de la definición para calcular la transformada de Laplace de algunas funciones como por ejemplo funciones de la forma f (t ) at y funciones escalonadas resulta compleja por esta razón desarrollaremos algunas propiedades especiales que nos faciliten la tarea. Concretamente el primer teorema de ellos se aplica para transformar funciones de forma f (t ) at y la segunda para funciones escalonadas de una manera más eficiente.
PRIMER TEOREMA DE TRANSLACION La primera propiedad que estudiaremos nos permitirá la transformada de Laplace de funciones que están multiplicadas por una función exponencial si evaluar ninguna
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integral la cual se conoce como el primer teorema de translación de una función de f(t) multiplicada por una función exponencial f (t ) at . Básicamente se transforma solo la función f(t) y se desplaza la el resultado a unidades a la derecha o la izquierda sustituimos la variable s por s – a en la transformada obtenida para desplazarla a la derecha o sustituir s por s + a en la transformada obtenida para desplazarla a la izquierda. Al desplazar una transformada a unidades hacia la derecha se escribe F ( s) | s s a o simplemente F ( s) | s a . Al desplazar una transformada a unidades hacia la izquierda se escribe F ( s) | s a .
SEGUNDO TEOREMA DE TRANSLACION La transformada de Laplace de una función escalonada se aplica de manera eficiente directa la definición y mencionamos la existencia de una opción alterna más eficiente que no requiere de evaluar integrales impropias ni límites al infinito. Antes de presentar el segundo teorema de translación iniciemos con la definición de la función escalón unitario.
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BIBLIOGRAFIA
Bibliografía 111, Y. A. (2014). ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERIA Y CIENCIA. MEXICO. ESCUTIA, J. I. (s.f.). MATEMATICAS 5 ECUACIONES DIFERENCILAES .
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