TRANSFORMADA DE LAPLACE Silvia Hernรกndez Escamilla
Ecuacines diferenciales
Transformada de Laplace
INDICE DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................. 2 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.......................................................................................... 4 FUNCION DE ESCALON UNITARIO ............................................................................................... 5 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE......................................................................... 7 TEOREMA DE TRANSLACION .......................................................................................................... 8 REFERENCIA............................................................................................................................... 10
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Transformada de Laplace
Definición de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy ´útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos. la transformación de Laplace, que es un método para asociar a una función f otra función F distinta, llamada transformada de Laplace de f. Una de sus principales virtudes es que transforma ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas, por tanto, fáciles de resolver. Una vez resuelta dicha ecuación algebraica se hallará la antitransformada obteniéndose la solución de la ecuación diferencial. La transformada de Laplace de una función f viene dada por medio de una integral impropia dependiente de un parámetro (la variable de la cual depende la función F), por lo cual la teoría está llena de complicaciones técnicas. Por esta razón, y teniendo en cuenta las aplicaciones de la teoría que necesitamos, podemos restringirnos a una clase de funciones sencillas, las funciones de orden exponencial. En principio, y dado que las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes son funciones continuas, podríamos restringirnos a funciones continuas. Sin embargo, nos interesa estudiar ecuaciones con impulsos, que como vimos, hacen que la solución cambie bruscamente y sea discontinua, por lo que obtiene un método poderoso, rápido y eficaz, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Además, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales. Por todo esto, la T.L. es de gran aplicación en los modelos de la técnica.
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Transformada de Laplace
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f] Definición 1. La transformada de Laplace de una función f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una función L[f] de una variable real s dada por:
La transformada de Laplace es simplemente una conversión integral con los límites de integración de 0 e ∞ y el núcleo
st
la definición de la transformada de Laplace
incluye una integral con un intervalo ilimitado por lo tanto es una integral impropia
L{ f (t )} e 0
st
f (t )dt lim R R st f(t)dt 0
La transformada de Laplace de una función existe si y solo si la integral impropia converge por lo menos para algunos valores de s. se dice que una integral impropia converge si existe el limite cuando R en contrario que diverge o se vuelve infinita. La variable de integración t es una variable ficticia es posible remplazarle por cualquier otro símbolo.
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Transformada de Laplace
Transformada inversa de Laplace Determinar la función original a partir de su transformada se llama encontrar la inversa de la función transformada (o invertir la función transformada).
Si £{f(t)}(s) = F(s), entonces decimos que f(t) es una transformada inversa de Laplace de F(s) y se denota así:
Una función v(s) definida en un intervalo a < s < ∞ tiene transformada inversa de Laplace si existe una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal que
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Transformada de Laplace
En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por L 1 {v}. Recordamos que por la propiedad de anulación de las transformadas de Laplace en ∞, una condición necesaria para que una función v(s) posea transformada inversa de Laplace es que:
Función de escalón unitario Tambien llamada funcion salto unidad de Heaviside , y co frecuencia se utiliza en aplicaciones que tratan casos o situaciones que cambiqan de manera abrupta en tiempos especificos . para esto se necesita una notacion para una funcion que suprima un termino dado hasta ciero valor de t e inserte ese termino para todo valor mayor que t. esta funcion nos proporciona una herramienta poderosa para contruir transformadas inversas .
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Varias funciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en terminos de estas funcion por eso es el punto de partida para el tema de las funciones definidas por tramos.
Para la contante α la grafica de esta funcion se muestra en la sig. Figura
Donde t-α o t 0 es la ubicación del salto, la función de escalón unitario se vuelve simplemente u(t-0) =1 Para t>0 y su transformada de Laplace es: L{u(t)} =L (1) =
1 s
Cuando la α>o la transformada de Laplace de u ( t – α )
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Propiedades de la transformada de Laplace 1.-Linealidad
2.-Cambio de escala
3.-Multiplicaci贸n por exponencial. Desplazamiento en frecuencia
4.-Desplazamiento en el tiempo. Multiplicaci贸n exponencial en frecuencia
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5.-Multiplicacion por t
6.-Transformada de la derivada
7.-Transformada de la integral
Teorema de translación El primer teorema de desplazamiento hace referencia a la transformada de la función e t f(t) y afirma lo siguiente.
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Referencia http://matematicas.udea.edu.co/~jescobar/docs/cap6.pdf http://repositorio.uned.ac.cr/reuned/bitstream/120809/452/1/MC0192%20Ecuacion es%20diferenciales%20-%202011%20-%20Matem%C3%A1tica.pdf http://repositorio.uned.ac.cr/reuned/bitstream/120809/452/1/MC0192%20Ecuacion es%20diferenciales%20-%202011%20-%20Matem%C3%A1tica.pdf
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