Aplicacion mat fisica

México 2010

Índice General Unidad 1 Modelación matemática

1

1.1 Optimización (una variable)

1

1.1.1 Ángulo visual

1

1.1.2 Área

2

1.1.3 Campo magnético

7

1.1.4 Calor

7

1.1.5 Carga

7

1.1.6 Costo

8

1.1.7 Distancia

9

1.1.8 Dosis de medicamentos

13

1.1.9 Energía

14

1.1.10 Fuerza

17

1.1.11 Iluminancia

17

1.1.12 Masa

18

1.1.13 Porcentaje de población

19

1.1.14 Potencia

19

1.1.15 Presión sanguínea

20

1.1.16 Rapidez de fotosíntesis

20

1.1.17 Rapidez de reacción química

20

1.1.18 Resistencia al flujo de la sangre

22

1.1.19 Resistencia de vigas

24

1.1.20 Rozamiento

24

1.1.21 Tiempo

25

1.1.22 Velocidad del aire de la tráquea al toser

26

1.1.23 Volumen

26

1.2 Gráficas x(t), v(t), a(t)

29

1.3 Extremos de funciones de varias variables

30

1.3.1 Costo

30

1.3.2 Dosis de medicamentos

30

1.3.3 Temperatura

31

1.3.4 Volumen

31

1.4 Mínimos cuadrados

32

1.5 Multiplicadores de Lagrange

33

1.5.1 Distancia

33

1.5.2 Localización de un radiotelescopio

33

1.5.3 Presión parcial

34

1.5.4 Temperatura

34

1.5.5 Volumen

34

1.6 Aplicaciones de la integral

36

1.6.1 Centro de masa

36

1.6.2 Fuerza

36

1.6.3 Masa

38

1.6.4 Trabajo

38

Unidad 2 Aplicaciones matemáticas a problemas de interés general en ingeniería 41 2.1 Crecimiento de poblaciones

41

2.1.1 Crecimiento exponencial

41

2.1.2 Modificaciones del modelo exponencial

42

2.1.3 Ecuación logística

45

2.1.4 Modificaciones del modelo logístico

50

2.2 Circuitos RC

53

2.2.1 Circuitos RC de una malla

53

2.2.2 Marcapasos cardiaco

56

2.3 Circuitos LR

57

2.3.1 Circuitos LR de una malla

57

2.3.2 Circuitos LR de dos mallas

61

2.4 Circuitos RCL

61

2.5 Decaimiento radiactivo

63

2.6 Ley del enfriamiento de Newton

69

2.7 Mecánica

73

2.8 Mezclas

85

2.9 Resortes

92

2.10 Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

98

2.10.1 Cajas registradoras en supermercados

98

2.10.2 Cambio de masa y peso corporal

98

2.10.3 Capa límite en oceanografía

1008

2.10.4 Contaminación de lagos

101

2.10.5 Crecimiento de cristales

101

2.10.6 Crecimiento de inversiones

102

2.10.7 Crecimiento de células

102

2.10.8 Curva de aprendizaje

103

2.10.9 Curvas de persecución

103

2.10.10 Dosis y eliminación de medicamentos y hormonas

104

2.10.11 Drenado de líquidos

107

2.10.12 Ecuación de Landau

109

2.10.13 Edad del universo

109

2.10.14 Evaporación

109

2.10.15 Genes heredados

110

2.10.16 Intensidad de la luz a cierta profundidad

110

2.10.17 Ley de radiación de Stefan

111

2.10.18 Número de empleados

112

2.10.19 Pérdida de calor

112

2.10.20 Presión barométrica

112

2.10.21 Propagación de un rumor

112

2.10.22 Propagación de una infección

113

2.10.23 Publicidad en ventas

117

2.10.24 Reacción química

118

2.10.25 Quita nieve

118

2.10.26 Respuesta a estímulos

119

Unidad 3 Aplicaciones matemáticas a procesos específicos de cada ingeniería 120 3.1 Series de Fourier

120

3.2 Ecuación de onda

123

3.3 Ecuación de calor

139

3.4 Ecuación de Laplace

140

Bibliografía

143

Unidad 1 Modelación matemática 1.1 Optimización (Una variable) 1.1.1 Ángulo visual 1. El borde inferior de la pantalla de un cine de 10 metros de altura está situado a 3 metros por encima del ojo de un observador. ¿A qué distancia de la pantalla debería sentarse el observador para conseguir la visión más favorable? Es decir, ¿cuál es la distancia a la pantalla que maximiza el ángulo visual del observador?

Sol.

39 m

2. Dos corredores arrancan del punto S de la figura y un observador se encuentra en P a 1 unidad de distancia desde la pista de carreras; uno de los corredores va tres veces más rápido que el otro. Halle el valor máximo del ángulo de visión θ del observador de un corredor al otro.

Figura 1.1 Sol. π/6 3. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se muestra en la figura). ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, ¿dónde debe situarse el observador a fin de que se maximice el ángulo θ subtendido en su ojo por la pintura?)

Figura 1.2

1.1.2 Área 4. Una lata cilíndrica cerrada de refresco tiene 15 pulg3 de volumen, determine el radio de la base, la altura, así como el área total (lateral y tapas), si se quiere emplear la mínima cantidad de material en su fabricación.

Figura 1.3 Sol. r = 1.337 pulg, h = 2.673 pulg, AT = 33.67 pulg2

5. Se quiere construir un recipiente cilíndrico metálico de base circular y de 64 centímetros cúbicos de volumen. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal (área total) sea mínima, en el caso en que a) el recipiente sea abierto y b) sea cerrado.

Sol.

4

a)

r =h=

b)

r = 2 3 4 / π cm,

3

π

cm h = 2r = 4 3 4 / π cm

6. Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto (3,4), determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados, un triángulo de área mínima.

Sol .

4 x + 3 y − 24 = 0

7. Hallar un punto de la parábola y = 4 – x2 en el que la tangente determine en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima.

Sol .

(2

3 / 3,8 / 3

)

8. Se inscribe un rectángulo en la elipse x2/400 + y2/225 = 1 con sus lados paralelos a los ejes. Hallar las dimensiones de dicho rectángulo para que a) el área sea máxima, b) el perímetro sea máximo.

Sol .

a ) 20 2 x 15 2,

b ) 32 x 18

9. Considerar una cruz simétrica inscrita en un círculo de radio r (ver figura). a)

Escribir el área A de la cruz como una función de x y determinar el valor de x que maximiza el área. b) Escribir el área A de la cruz como una función de θ y encontrar el valor de θ que maximiza el área. c) Demostrar que los puntos críticos de los apartados a) y b) producen la misma área máxima. ¿Cuál es esta área?

Figura 1.4 Sol.

a)

(

)

1  A( x ) = 8  r 2 − x 2 +  x − r 2 − x 2  r 2 − x 2  = 8 x r 2 − x 2 + 4 x 2 − 4r 2   2  5+ 5 ≈ 0.85065r 10 θ  A(θ) = 4r 2  senθ − sen 2  ; θ = arctan( 2) ≈ 1.10715 rad ≈ 63.4° 2  x =r

b) c)

2r 2

(

)

5 −1

10. Un cartel que contiene 32 pulg2 de región impresa tiene un margen de 2 pulg en sus partes superior e inferior, mientras que en los lados los márgenes son de 4/3 pulg.

Determine las dimensiones del menor trozo de cartón que pueda emplearse para realizar el cartel.

Sol. 7.3 pulg x 10.9 pulg

11. Una página ha de contener 300 centímetros cuadrados de impresos con 2 centímetros de margen arriba y abajo, y 3 centímetros a los lados. Encuentre las dimensiones de la hoja para un área mínima.

Sol.

4 + 10 2;

6 + 15 2

12. Un cono circular recto tiene un volumen de 120π centímetros cúbicos. ¿Qué dimensiones debe tener para que su área lateral sea mínima?

Sol.

6

64800 cm de radio,

3

60 cm de altura 300

13. Halle el trapecio isósceles de área máxima que pueda inscribirse en una semicircunferencia: a) de 20 centímetros de radio, b) del radio R dado.

Sol. a) 40 cm de base mayor, 20 cm de base menor, 10 3 cm de altura b) 2R de base mayor, R de base menor,

3 R de altura 2

14. Halle el trapecio rectangular de área máxima que pueda inscribirse en una semicircunferencia de 20 centímetros de radio.

Sol. 20 +

(

)

(

)

5 10 - 1 + 73 cm de base mayor, - 1 + 73 cm de base menor 3 3

5 70 + 2 73 cm de altura 3

15. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área más grande que tenga su base sobre el eje de las abscisas y sus otros dos vértices por encima del eje x en la parábola y = 8 – x2?

Sol. x = 4

2 , 3

y=

16 3

16. Halle el área del rectángulo más grande que se pueda inscribir en un triángulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son de 3 cm y 4 cm, respectivamente, si dos de los lados del rectángulo se encuentran a lo largo de los catetos.

Sol. 3 cm2

17. Usted está diseñando una lata cilíndrica circular recta de 1000 cm3 y debe tomar en cuenta el desperdicio. No hay desperdicio al cortar el aluminio del lado, pero las tapas superior e inferior de radio r serán cortadas de cuadrados que miden 2r unidades de lado. La cantidad total de aluminio usado para la lata será A = 8r2 + 2πrh, ¿cuál es la razón de h y r?

18. Una pรกgina impresa va a tener mรกrgenes de 2 pulg en los lados y de 1 pulg en las partes superior e inferior. El รกrea de la porciรณn impresa es de 32 pulg2. Determine las dimensiones de la pรกgina de manera que se utilice la menor cantidad de papel.

Sol. Base 12 pulg, altura 6 pulg

19. Encuentre las dimensiones de la regiรณn sombreada, de forma que su รกrea sea mรกxima.

Figura 1.5 Sol. Base : 4 2; altura : 16

20. Encuentre las dimensiones de la regiรณn sombreada, de forma que su รกrea sea mรกxima.

Figura 1.6 Sol. Lado mayor = 6 u; lado menor = 3 u; altura =

3 3 27 3 u; Area = โ 11.691 u2 2 4

21. Encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma que su área sea máxima.

Figura 1.7 Sol. Base :

3 ; altura : 1 2

22. Encuentre las dimensiones de la región sombreada, de forma que su área sea máxima.

Figura 1.8 23. Una “ventana normanda” consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo.

Encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10 m.

Véase la figura.

Figura 1.9 Sol. r = 10/(4+π); L = 20/(4+π); h = 10/(4+π)

1.1.3 Campo magnético 24. Dos bobinas (o inductores) que conducen corrientes iguales producen un campo magnético en un punto Q del eje x de intensidad −3 / 2 −3 / 2   2 2  2  r0   r0   1   2 2 B = µ0 r0  r0 +  x +   + r0 +  x −   , 2 2  2         

En donde µ0, r0, e I son constantes. Véase la figura. Demuestre que el valor mínimo de B ocurre en x = 0

Figura 1.10 1.1.4 Calor 25. Dos fuentes de calor están separadas por una distancia de s metros; una fuente de intensidad a está en el punto A y la otra, de intensidad b, en el punto B. La intensidad de calor en un punto P sobre el segmento de recta entre A y B viene dada por la fórmula I=

a b , + 2 x (s − x ) 2

Donde x es la distancia entre P y A medida en metros. ¿En qué punto entre A y B habrá la menor temperatura?

Sol.

x=

a 1/ 3 s a 1/ 3 + b 1/ 3

1.1.5 Carga 26. Una cierta carga Q se va a dividir en dos partes, q y Q-q. ¿Cuál es la relación de Q a q si las dos partes separadas una cierta distancia dada, deben producir una máxima repulsión coulombiana entre sí.

Sol. q = Q/2

1.1.6 Costo 27. Si se excluyen los salarios, el número de dólares del costo por kilometro de la 1 operación de un camión es 8 + x , donde x kilómetros por hora es la velocidad 300 promedio del camión. Si los salarios combinados del conductor y del ayudante son $27 por hora, estime con aproximación de kilómetros por hora, cuál debe ser la velocidad promedio del camión para que el costo por kilómetro sea mínimo.

Sol. 90 km/h

28. El número de dólares del costo de combustible por hora para un barco carguero es de 0.02v3, donde v nudos (millas náuticas por hora) es la velocidad promedio del barco.

Si hay costos adicionales de $400 por hora, estime con aproximación de nudos, a qué velocidad promedio debe navegar el barco para que el costo por milla náutica sea mínimo.

Sol. 9.04 nudos

29. En condiciones de competencia perfecta, una compañía puede vender los artículos que produce a $200 por unidad. Si C(x) dólares es el costo total de la producción diaria cuando se producen x artículos y C(x) = 2x2 + 40x + 1400, determine el número de unidades que deben producirse diariamente a fin de que la compañía obtenga la máxima ganancia total diaria. Sugerencia: la ganancia total es igual al ingreso total menos el costo total.

Sol. 40 unidades

30. Una compañía, que construye y vende escritorios, opera en condiciones de competencia perfecta y puede vender todos los escritorios que produce a un precio de $400 por escritorio. Si se producen x escritorios y se venden cada semana, y C(x) dólares es el costo total de la producción semanal, entonces C(x) = 2x2 + 80x + 6000.

Determine cuántos escritorios deben producirse semanalmente para que el fabricante obtenga la máxima ganancia total semanal. ¿Cuál es la máxima ganancia total semanal? Sugerencia: la ganancia total es igual al ingreso total menos el costo total.

Sol. 80 escritorios

31. El término en condiciones de monopolio, significa que existe un único productor de cierto artículo, para el cual el precio y, en consecuencia, la demanda pueden ser controlados regulando la cantidad de artículos producidos. Suponga que en condiciones de monopolio, x unidades de un artículo son demandadas diariamente cuando el precio por unidad es de p dólares y x = 140 – p. Si el número de dólares del costo total por producir x unidades está dado por C(x) = x2 + 20x + 300, determine la máxima ganancia total diaria.

Sol. $1500 32. Se quiere construir un silo (sin incluir la base) en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de construcción por unidad cuadrada del área superficial es dos veces mayor para la semiesfera que para la pared cilíndrica. Determine las dimensiones que se deben usar si el volumen es fijo y el costo de construcción debe mantenerse al mínimo. Desprecie el espesor del silo y los desperdicios en la construcción.

33. En una fábrica se elaboran dos productos, A y B. Si C es el costo total de producción de una jornada de 8 horas, entonces C = 3x2 + 42y, donde x es el número de máquinas utilizadas en la elaboración del producto A, y y es el número de máquinas empleadas en la elaboración del producto B, y durante una jornada de 8 horas trabajan 15 máquinas. a) Determine analíticamente cuántas de estas máquinas deben utilizarse para elaborar el producto A y cuántas para elaborar el producto B de modo que el costo total sea mínimo. b) apoye las respuestas del inciso a) gráficamente.

1.1.7 Distancia 34. A partir de la ecuación de la trayectoria de un proyectil, encuentre lo siguiente: a) hmax b) R c) θ para que R sea máximo Figura 1.11 Sol. a) hmax =

v o2 v 2 sen2θ sen 2 θ; b) R = o ; c) π / 4 2g g

35. Hallar la mínima distancia del punto (4, 2) a la parábola y2 = 8x Sol.

2 2 unidades

36. Se traza la tangente en un punto de la elipse x2/25 + y2/16 = 1 de forma que el segmento de ella interceptado por los ejes coordenados sea mínimo. Demostrar que la longitud de este segmento es de 9 unidades.

37. Un paciente que sufre de fiebre del heno descubre que la cantidad de polen que le llega de una fuente dada es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional a la distancia a esta. Por desgracia, se ve obligado a vivir en cierto lugar situado en un lugar de una línea recta que une dos fuentes de polen separadas 1 milla. Si una fuente es cuatro veces más fuerte que la otra, ¿dónde debe vivir el hombre para sufrir la menor incomodidad? Generalice este resultado al caso en el que una fuente es k2 veces más fuerte que la otra.

Sol. 1/3 milla de distancia a la fuente menos contaminante, 2/3 milla a la fuente más contaminante; 1/(k+1) milla de distancia a la fuente menos contaminante, k/(k+1) milla a la fuente más contaminante

38. Un automóvil viaja a una tasa de 30 pie/s y se aproxima a un crucero. Cuando el automóvil está a 120 pie del crucero, un camión, que viaja a una tasa de 40 pie/s en una carretera perpendicular a la carretera del automóvil, pasa por el crucero. Determine analíticamente en qué tiempo, después de que el camión deja el crucero, los vehículos están más cercanos.

Figura 1.12 Sol. 1.44 s

39. Dos aviones A y B vuelan horizontalmente a la misma altura de modo que la posición de B está al suroeste de A, 20 km al oeste y 20 km al sur de A. Suponga que el avión A vuela hacia el oeste a 16 km/min y que el avión B vuela hacia el norte a 21.3 km/min. Determine en cuántos segundos los aviones estarán lo más cerca posible y cuál será la distancia más corta.

Figura 1.13 Sol. 21/20 min;

4 km.

40. Determine la distancia mínima desde el punto P(2,0) a un punto de la curva y2 – x2 = 1, y encuentre el punto de la curva más cercano a P. Sol.

3;

(1,± 2 )

41. Obtenga la distancia mínima desde el origen a la recta 3x + y = 6, y encuentre el punto P de la recta más cercano al origen. Después demuestre que el origen está en la recta perpendicular a la recta dada que pasa por P. Sol.

3 9 3 10 unidades;  ,  5 5 5

42. Determine la distancia mínima desde el punto A(2,1/2) a un punto de la parábola y = x2 y encuentre el punto B de la parábola más cercano a A. Después demuestre que A está en la recta normal de la parábola en B. Sol.

1 5; 2

(1, 1)

43. Una viga de acero de 27 pie de longitud se transporta por un pasillo de 8 pie de ancho hasta un corredor perpendicular al pasillo ¿Cuál debe ser el ancho del contenedor para que la viga pueda doblar la esquina? No considere la anchura horizontal de la viga.

Figura 1.14

Sol. 5 5 pie

44. Se necesita ubicar un punto P en alguna parte sobre la recta AD, de modo que se minimice la longitud total L de los cables que enlazan P con los puntos A, B y C (véase la figura). Exprese L como función de x = |AP| y use las gráficas de L y dL/dx para estimar el valor mínimo.

Figura 1.15 Sol. 9.35 m

45. Dos pueblos están en el lado sur de un río. Se debe ubicar una estación de bombeo para abastecer de agua los dos pueblos. Una tubería será conectada desde la estación de bombeo a cada pueblo a lo largo de una línea que conecte el pueblo con la estación de bombeo. Ubique la estación de bombeo de manera que se minimice la cantidad de tubería que debe construirse.

46. Cuando se hace un orificio en la pared de un depósito cilíndrico lleno de agua, el chorro resultante da en el suelo a una distancia de x pies de la base, en donde

x = 2 y (h − y ) . ¿En qué punto debe hacerse el orificio en la pared de tal modo que el chorro alcance la máxima distancia a la base? ¿Cuál es su valor?

Figura 1.16 Sol. y = h/2; x = h

1.1.8 Dosis de medicamentos 47. La reacción del cuerpo humano a una dosis de medicamento, en ocasiones, puede representarse mediante una ecuación de la forma C M  R = M2 −  , 2 3  donde C es una constante positiva y M es la cantidad de medicamento que absorbe la sangre. Si la reacción es un cambio en la presión sanguínea, R se mide en milímetros de mercurio. Si la reacción es un cambio en la temperatura, R se mide en grados, etcétera. a) Determine dR/dM. Esta derivada, como función de M, se denomina sensibilidad del cuerpo al medicamento. b) Encuentre la cantidad de medicamento para la que el cuerpo es más sensible; para ello, determine el valor de M que maximiza la derivada dR/dM. Sol. b) M = C/2 48. Los médicos utilizan varias fórmulas empíricas para graduar una dosis infantil Dc de un fármaco particular en términos de una dosis de adulto Da. La fórmula de Young establece que t Dc = Da , t + 12 En donde t es la edad en años, mientras que la fórmula de Cowling establece que t +1 Dc = Da .

12 ¿Para qué edad resulta máxima la diferencia entre las dos fórmulas? ¿Cuál es la diferencia máxima?

Sol. Sea y la diferencia entre la fórmula de Young y la de Cowling. Entonces ymáx ocurre cuando t = años. Para esta edad ymáx ≈ 0.04Da.

1.1.9 Energía 49. Al estudiar el comportamiento de los pájaros durante el vuelo, los ornitólogos descubrieron que ciertas especies tienden a evitar volar grandes masas de agua durante las horas de luz. Una posible explicación de este comportamiento se basa en la creencia de que se consume más energía al volar sobre agua que sobre tierra porque habitualmente el aire se eleva sobre la tierra y desciende hacia el agua durante el día.

Supongamos que un pájaro que tiene este comportamiento se libera en una isla que está a 6 km del punto más cercano A sobre una costa recta. El pájaro vuela primero a un punto B sobre la costa y luego a su nido, situado en un punto C, también sobre la costa, situado a 12 km de A (ver figura).

Figura 1.17 Sea W la energía necesaria para volar sobre el agua y sea L la necesaria para volar sobre tierra (suponer que W y L se miden en unidades de energía por km).

Demostrar que la energía total E consumida por el pájaro en el vuelo de la isla a su nido viene dada por E ( x ) = W 36 + x 2 + L(12 − x ), 0 ≤ x ≤ 12 , Donde x es la distancia de A a B. Supongamos que W = 1.5L; esto es, que se consume un 50% más de energía al volar sobre el agua que sobre la tierra. a) Hallar el punto B al cual el pájaro debe volar para minimizar el consumo total de energía. b) Utilizar un programa para representar la gráfica de E y hallar el valor mínimo para confirmar el resultado del apartado a).

Generalizando, supongamos que W = kL, k > 1. c) Hallar el punto B (en función de k) al cual el pájaro debería volar para minimizar la energía total. d) Utilizar un programa gráfico para experimentar con diferentes valores de k a fin de hallar cómo varía el punto B cuando k crece o decrece. e) Hallar el o los valores de k para que el pájaro minimice el consumo total de energía cuando vuela directamente a su nido. f) ¿Existe algún valor de k tal que el pájaro minimice la energía total consumida al volar directamente al punto A y luego al punto C a lo largo de la costa?

50. Para un pez que nada a una velocidad v con relación al agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a v3. Se cree que el pez migratorio trata de minimizar la energía total requerida para nadar una distancia fija. Si nada contra una corriente u (u < v), el tiempo requerido para nadar una distancia L es L/(v – u) y la energía total E necesaria para nadar la distancia se expresa mediante E( v ) = av 3

L v −u

donde a es la constante de proporcionalidad. a) Determine el valor de v que minimice E. b) Dibuje la gráfica de E. Nota: este resultado se ha comprobado de manera experimental; el pez migratorio nada contra corriente a una velocidad 50% mayor que la velocidad de esa corriente.

Sol .

a) v =

3 u 2

b)

Figura 1.18

51. Los ornitólogos han determinado que algunas especies de pájaros tienden a evitar vuelos sobre grandes masas de agua durante las horas diurnas. Se cree que se requiere más energía para volar sobre el agua que sobre la tierra porque, en general, el aire se eleva sobre la tierra y cae sobre el agua durante el día. Se libera un pájaro con estas tendencias desde una isla que está a 5 km del punto más cercano B de una recta, vuela hasta un punto C de la costa y luego a lo largo de ésta hasta la zona D en que se encuentra su nido. Suponga que el pájaro busca de manera instintiva una trayectoria que minimice su consumo de energía. Los puntos B y D están separados 13 km. a) En general, si consume 1.4 veces más energía para volar sobre el agua que sobre la tierra, ¿hasta cuál punto C debe volar el pájaro para minimizar el consumo total de energía de regreso a la zona donde está su nido? b) Denotemos con W y L la energía (en joules) por kilometro volado sobre el agua y sobre la tierra, respectivamente. ¿Qué significaría un valor grande de la razón W/L en términos del vuelo del pájaro? ¿Qué significado tendría un valor pequeño? Determine la razón W/L correspondiente al consumo mínimo de energía. c) ¿Cuál debe ser el valor de W/L para que el ave vuele directamente hasta la zona D donde está su nido? ¿Cuál tiene que ser el valor de W/L para que vuele hasta B y, a continuación, a lo largo de la costa hasta D? d) Si los ornitólogos observan que los pájaros de ciertas especies alcanzan la costa en un punto a 4 km de B, ¿cuántas veces más energía consume un ave para volar sobre el agua que sobre la tierra?

Figura 1.19 Sol.

a) Cerca de 5.1 km desde B,

b) C cercano a B, C cercano a D,

W / L = 25 + x 2 / x , donde x = |BC|, c) ≈ 1.07, no hay tal valor, d)

41 / 4 ≈ 1.60 .

52. La energía potencial entre dos átomos en una molécula diatómica está dada por U(x) = 2/x12 – 1/x6. Evalúe la energía potencial mínima entre los dos átomos.

Sol. -1/8 1.1.10 Fuerza 53. Un cuerpo de peso W es arrastrado por un plano horizontal aplicándole una fuerza P cuya recta de acción forma un ángulo θ con el plano. La intensidad de la fuerza viene dada por la ecuación

P=

µW µ senθ + cos θ

Donde µ es el coeficiente de rozamiento. ¿Cuál es el valor de θ que minimiza la fuerza?

Sol. tan θ = m

1.1.11 Iluminancia 54. La iluminancia E producida por una fuente de luz de intensidad I a una distancia r de la fuente, esta dada por E = I/r2. La iluminancia total originada por dos lámparas de intensidades I1 = 1.25 e I2 = 216 es la suma de las iluminancias. Si los focos luminosos están separados una distancia de 10 m, encuentre el punto P entre ellos en donde la iluminancia total sea mínima.

Figura 1.20 Sol. (50/11) m de I1.

55. La iluminancia E en cualquier punto P sobre el borde de una mesa circular, producida por una lámpara colocada directamente arriba de su centro, esta dada por E = (I cos θ) / r 2 Véase figura. dado que el radio de la mesa sea de 1 m e I = 100, encuentre la altura a la que debe colocarse la luz para que E sea máxima.

Figura 1.21 56. La iluminación de un objeto por una fuente luminosa es directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a esa fuente. Si se colocan dos fuentes luminosas, una tres veces más fuerte que la otra, separadas una distancia de 10 pies, ¿dónde debe colocarse un objeto sobre la recta entre las dos fuentes de modo que reciba la iluminación mínima?

Sol .

10 3 3 ft de la fuente más cercana 1+ 3 3

1.1.12 Masa 57. Los grandes huesos de los mamíferos se pueden representar como tubos cilíndricos huecos, llenos de médula, de radio exterior R y radio interior r. Los huesos deben ser ligeros pero a la vez capaces de resistir ciertos momentos de flexión. Se puede demostrar que para resistir un momento flexionante M, la masa m por unidad de longitud del hueso y la médula está dada por  M  m = πρ  4  K 1− x 

(

)

2/3

 1 2 1 − x  ,  2 

En donde ρ es la densidad del hueso y K una constante positiva. Si x = r/R, demuestre que m es mínima cuando r = 0.63R (aproximadamente).

1.1.13 Porcentaje de población 58. En una comunidad particular, cierta epidemia se propaga de modo que x meses después del inicio de la epidemia, P porcentaje de la población esta infectada, donde

P=

30 x 2 (1 + x 2 ) 2

¿En cuántos meses se infectará el número máximo de personas de la comunidad y qué porcentaje de la población será éste?

Sol. 1 mes; 7.5%

1.1.14 Potencia 59. La fórmula para la salida de potencia P de una batería es P = VI – RI2, donde V es la fuerza electromotriz en volts. R es la resistencia e I es la corriente. Determinar la corriente (medida en amperes) que corresponde a un valor máximo de P en una batería para la cual V = 12 volts y R = 0.5 ohms. Suponer que un fusible de 15 amperes enlaza la salida en el intervalo 0 ≤ I ≤ 15. ¿Podría aumentarse la salida de potencia sustituyendo el fusible de 15 amperes por uno de 20 amperes? Explicar.

Sol. Máximo: P(12) = 72, No, P es creciente para I ≥ 12.

60. Un generador de corriente directa tiene una fuerza electromotriz de E volts y una resistencia interna de r ohms, donde E y r son constantes. Si R ohms es la resistencia externa, entonces la resistencia total es (r + R) ohms, y si P watts es la potencia, entonces P=

E 2R (r + R ) 2

Demuestre que el consumo máximo de potencia ocurre cuando la resistencia externa es igual a la resistencia interna.

61. Una pila eléctrica con fuerza electromotriz (fem) E y resistencia interna constante r está conectada en serie con un resistor de resistencia R. Entonces la corriente en el circuito es I = E/(r + R). Encuentre el valor de R para el cual es máxima la potencia P = RI2 disipada en la carga en la carga externa. Dicho valor se llama impedancia de acoplamiento.

1.1.15 Presión sanguínea 62. Considere que la disminución de la presión sanguínea de una persona depende de la cantidad de cierta sustancia administrada a la persona. De modo que si se administran x miligramos de la sustancia, la disminución de la presión sanguínea es una función de x. Suponga que f(x) define esta función y que 1 2 x (k − x ) 2

f(x) =

Si x ∈ [0, k] , donde k es una constante positiva. Determine el valor de x que ocasiona la mayor disminución de la presión sanguínea.

Sol. (2/3)k

1.1.16 Rapidez de fotosíntesis 63. La rapidez P en mg (de carbono)/(m3/h), a la que tiene lugar la fotosíntesis para ciertas especies de fitoplancton, está relacionada con la intensidad de iluminación E (en 103 pie-candelas) por la función

P=

100 I I +I + 4 2

¿Para qué valor de la iluminación es P máxima?

Sol. 2 1.1.17 Rapidez de reacción química 64. En una reacción autocatalítica, el producto formado es catalizador de la reacción. Si Qo es la cantidad de sustancia inicial y x la de catalizador formado, el ritmo de reacción es dQ = kx (qQ o − x ) dx

¿Para qué valor de x es máximo el ritmo de la reacción?

Sol.

x = Qo/2

65. Cuando el estaño metálico se mantiene por debajo de 13.2°C, se vuelve quebradizo y se desmorona en un polvo gris. Tarde o temprano, los objetos de estaño se deshacen espontáneamente en este polvo gris si se mantienen en climas fríos durante años. Los europeos, al ver desmoronarse las flautas de estaño de los órganos de las iglesias, llamaban a este fenómeno la peste del estaño, porque parecía contagiosa y de hecho lo era, ya que este polvo gris es un catalizador para su propia formación.

Un catalizador para una reacción química es una sustancia que controla la rapidez de reacción sin experimentar un cambio permanente en sí misma. Una reacción autocatalítica es aquella cuyo producto es un catalizador para su propia formación. Tal reacción procede despacio al principio si la cantidad de catalizador presente es pequeña y despacio de nuevo al final, cuando la mayoría de la sustancia original se ha utilizado. Pero, entre ambas fases, cuando tanto la sustancia como su producto catalizador son abundantes, la reacción procede a un ritmo más rápido.

En algunos casos, es razonable aceptar que la velocidad v = dx/dt de reacción es proporcional tanto a la cantidad de sustancia original presente como a la cantidad del producto. Esto es, v se puede considerar como una función sólo de x, y v = kx (a − x ) = kax − kx 2 ,

Donde x = la cantidad del producto a = la cantidad inicial de la sustancia k = una constante positiva ¿Para qué valores de x la velocidad alcanza su valor máximo? ¿Cuál es el valor máximo de v? a ka 2 Sol. x = , v = 2 4

1.1.18 Resistencia al flujo de la sangre 66. El sistema vascular consta de vasos (arterias, arteriolas, capilares y venas) que llevan la sangre desde el corazón hasta los órganos y de regreso a aquél. Este sistema tiene que trabajar de manera que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre. En particular, esta energía se reduce cuando se baja la resistencia de la sangre. Una de las leyes de Poiseuille da la resistencia R de la sangre como R =C

L r4

Donde L es la longitud del vaso sanguíneo, r es el radio y C es una constante positiva determinada por la viscosidad de la sangre.(Poiseuille estableció esta ley experimental).

En la figura se muestra un vaso sanguíneo principal, con radio r1, el cual se ramifica formando un ángulo θ hacia un vaso más pequeño, con radio r2.

Figura 1.22 a) Aplique la ley de Poiseulle para demostrar que la resistencia total de la sangre a lo largo de la trayectoria ABC es  a − b cot θ b csc θ   R = C + 4 4  r r  1 2 

Donde a y b son las distancias que se ven en la figura. b) Pruebe que esta resistencia se minimiza cuando cos θ =

r24 r14

c) Encuentre el ángulo óptimo de ramificación (correcto hasta el grado más cercano) cuando el radio del vaso sanguíneo menor es dos tercios el radio del mayor).

67. La sangre es transportada a través del organismo por el sistema vascular, que consiste de vasos capilares, venas, arteriolas y arterias. Un aspecto considerado en el problema de minimizar la energía empleada en impulsar la sangre, a través de los distintos órganos, consiste en evaluar un ángulo θ óptimo para la ramificación vascular, de manera que la resistencia total al paso de la sangre a lo largo de una trayectoria que va de un vaso sanguíneo grande a uno más pequeño sea mínima. Véase figura. Utilice la ley de Poiseuille, que establece que la resistencia R de un vaso sanguíneo de longitud L y radio r es R = kL/r4, en donde k es una constante, para demostrar que la resistencia total  x y R = k  4 + 4 r2  r1

   

A lo largo de la trayectoria P1P2P3 es mínima cuando cos θ = r24 / r14 . (Sugerencia: exprese x, y en términos de θ y a).

Figura 1.23

1.1.19 Resistencia de vigas 68. La sección transversal de una viga rectangular de madera cortada de un tronco circular de diámetro d tiene longitud x y anchura y. Véase la figura. La resistencia de la viga varía en proporción directa al producto de la longitud y al cuadrado de la anchura.

Calcule las dimensiones de la sección transversal de la viga de mayor resistencia.

Figura 1.24 Sol.

Longitud de la sección transversal:

3 d / 3 ; anchura de la sección transversal:

6 d /3

1.1.20 Rozamiento 69. La eficiencia E de un cierto tornillo viene dada por

E=

tan φ(1 − µ tan φ) µ + tan φ

Donde µ es el coeficiente de rozamiento al deslizamiento y φ el ángulo que forma el plano de inclinación de la hélice del tornillo con un plano perpendicular a su eje. Hallar el valor de φ que consigue la máxima eficiencia para µ = 0.1.

Sol. φ ≈

11 π 15

1.1.21 Tiempo 70. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano a la costa. Se dirige al punto Q, localizado a 3 millas por la costa y a una milla tierra adentro (ver la figura). El hombre puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora. ¿Hacia qué punto sobre la costa debe remar para llegar al punto Q en el menor tiempo?

Figura 1.25 Sol. A una milla del punto más cercano a la costa.

71. Sean v1 la velocidad de la luz en el aire y v2 la velocidad de la luz en el agua. Según el principio de Fermat, un rayo de luz viaja de un punto A en el aire a un punto B en el agua por una trayectoria ACB que minimiza el tiempo para hacer el recorrido.

Demuestre que sen θ1 v 1 = sen θ 2 v 2

donde θ1 (el ángulo de incidencia) y θ2 (el ángulo de refracción) son como se muestran en la figura. Esta ecuación se conoce como ley de Snell.

Figura 1.26

1.1.22 Velocidad del aire de la tráquea al toser 72. a) Cuando tosemos, la tráquea se contrae para incrementar la velocidad del aire de salida. Esto plantea las preguntas de cuánto debe contraerse la tráquea para maximizar la velocidad y si realmente se te contrae tanto cuando tosemos.

De acuerdo con hipótesis razonables acerca de la elasticidad de la pared de la tráquea y respecto de cómo se frena el aire cerca de la pared por la fricción, la velocidad promedio del flujo v puede modelarse mediante la ecuación v = c (r0 − r )r 2 cm / sec,

r0 ≤ r ≤ r0 , 2

Donde r0 es el radio de la tráquea en reposo, en centímetros, y c es una constante positiva cuyo valor depende en parte de la longitud de la tráquea.

Demuestre que v tiene su valor máximo cuando r = (2/3)r0, esto es, cuando la tráquea se contrae alrededor del 33 por ciento. El hecho notable es que las radiografías confirman que la tráquea se contrae alrededor de esa cantidad cuando el individuo tose. b) Tome r0 como 0.5 y c como 1, y grafique v en el intervalo 0 ≤ r ≤ 0.5. Compare sus resultados con el hecho de que esta alcanza un valor máximo cuando r = (2/3)r0.

73. Al toser el radio de la tráquea de una persona disminuye. Suponga que el radio normal de la tráquea es de R centímetros, mientras que al toser, el radio de la misma es de r centímetros, donde R es una constante y r es una variable. La velocidad del aire a través de la tráquea puede expresarse como una función de r, y si ( R ) centímetros por segundo es esta velocidad, entonces V( r ) = kr2(R – r) Donde k es una constante positiva y r está en el intervalo [(1/2)R, R]. Determine el radio de la tráquea cuando se tose de modo que la velocidad del aire a través de la tráquea sea máxima.

Sol. 2/3 del radio normal 1.1.23 Volumen 74. Hallar el radio R del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio r.

Sol . R =

2 r 2 3

75. En un cono circular recto r, se inscribe un cilindro circular recto. Hallar el radio R del cilindro para que a) su volumen sea máximo b) su área lateral sea máxima.

Sol . a ) R =

2 r, 3

b) R =

1 r 2

76. El sector de la figura, cortado con ángulo central θ en un círculo de 12 pulgadas de radio, se utiliza, uniendo sus lados, para formar un cono. Hallar qué θ produce un cono de máximo volumen.

Figura 1.27

Sol. θ =

(

)

2π 3 − 6 ≈ 66° 3

77. Determine las dimensiones del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio R dado.

Sol.

6 2 3 R de radio, R de altura 3 3

78. Halle las dimensiones del cono circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera de radio R dado.

Sol.

2 2 4 R de radio, R de altura 3 3

79. Se quiere obtener un embudo con la mayor capacidad posible, a partir de un papel filtro de forma circular de 7.6 cm de radio. Halle el radio de la base del embudo que cumple con estas condiciones.

Sol. 6.21 m

80. Se elabora un cono para beber a partir de un trozo circular de papel de radio R, al recortar un sector y unir los bordes CA y CB. Encuentre la capacidad máxima del cono.

Figura 1.28

Sol. V =

2πR3 9 3

81. Se le ha pedido que diseñe una lata con capacidad para 1 litro, con forma de un cilindro circular recto. ¿De qué dimensiones debe ser la lata para usar la menor cantidad posible de material?

Sol. r ≈ 5.42 cm, h ≈ 10.84 cm.

82 Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puede inscribirse en un cono circular recto de radio R y altura H. Sol. Radio: 2R/3;

altura: H/3

83. Se va a fabricar un canal, de forma que su sección transversal sea un trapecio isósceles con las dimensiones indicadas en la figura. Determine el valor de θ de manera que el volumen sea máximo.

Figura 1.29

1.2 Gráficas x(t), v(t), a(t) 84. La gráfica de la velocidad de un objeto se muestra en la siguiente figura, encontrar: a) v(t) b) a(t), gráfica c) x(t), gráfica, si x(0) = 2 m d) desplazamiento cuando t = 14 s e) aceleración cuando t = 10 s.

Figura 1.30 Solución:  5 0≤t <4  2t  4 ≤ t < 12 a ) v (t ) =  10 − 4t + 58 12 ≤ t < 14  2 14 ≤ t < 18 

b)

5 0<t <4 2  4 < t < 12 a(t ) =  0 − 4 12 < t < 14   0 14 < t < 18

c)

5 2  t +2 0≤t <4  4  10t − 18 4 ≤ t < 12 x (t ) =  2 − 2t + 58t − 306 12 ≤ t < 14  2t + 86 14 ≤ t < 18 

d)

x = 114 m

e)

a = 0 m/s2

Figura 1.31

Figura 1.32

1.3 Extremos de funciones de varias variables 1.3.1 Costo 85. Ha de construirse un depósito rectangular para almacenamiento con capacidad de 288 pies cúbicos de grano. Si la tapa y el fondo cuestan 20 centavos por pie cuadrado, y los lados cuestan 15 centavos por pie cuadrado, ¿qué dimensiones debe tener el depósito para minimizar el costo?

Sol. Base cuadrada (x = y = 6 pies), altura (z = 8 pies).

86. En una fábrica, los trabajadores se han clasificado en dos maneras: A y B. Los trabajadores tipo A ganan $14 por jornada, mientras que los del tipo B ganan $13. Para alcanzar cierta producción en una jornada, se ha determinado aumentar los salarios de los trabajadores, si se emplean “x” trabajadores del tipo A y “y” del tipo B, entonces el número de dólares del costo de la jornada es y3 + x2 – 8xy + 600. ¿Cuántos trabajadores de cada tipo deben emplearse a fin de que el costo de la jornada sea un mínimo si se requieren por lo menos tres trabajadores de cada tipo para una jornada?

Sol. 25 de A y 8 de B

87. Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 pie3 empleando tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por pie cuadrado, el costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por pie cuadrado, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por pie cuadrado.

Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea un mínimo.

Sol. Longitud de la base 8/3 pie, Ancho de la base 2 pie, Profundidad 3 pie

1.3.2 Dosis de medicamentos 88. Una inyección de “x” miligramos de cierto medicamento A y “y” miligramos del medicamento B produce una respuesta de R unidades, y R = x2y3(c – x – y), donde c es una constante positiva. ¿Qué dosis de cada medicamento ocasionarán la respuesta máxima?

Sol. (1/3)c mg de droga A y (1/2)c mg de droga B

89. Suponga que t horas después de la inyección de “x” miligramos de adrenalina la respuesta es de R unidades, y R = te-t(c – x)x, donde c es una constante positiva. ¿Qué valores de “x” y t producirán la respuesta máxima?

Sol. x = (1/2)c y t = 1 1.3.3 Temperatura 90. Suponga que T grados es la temperatura en cualquier punto (x,y,z) de la esfera x2 + y2 + z2 = 4, y T = 100xy2z. Obtenga los puntos de la esfera donde la temperatura es la máxima y también los puntos donde es mínima. Además, calcule la temperatura en estos puntos.

Sol.

(1, ± (1, ±

) ( 2, − 1) y (− 1, ±

) 2,1) a - 200 grados

2,1 y − 1, ± 2, − 1 a 200 grados

1.3.4 Volumen 91. Las regulaciones postales exigen que la suma de la altura y el perímetro horizontal de un paquete no supere las L unidades. Calcule el máximo volumen de una caja rectangular que pueda satisfacer esta restricción.

Sol.

L3 unidades 3 108

92. Calcule el volumen de la mayor caja rectangular (con caras paralelas a los planos coordenados) que se puede inscribir en el elipsoide

x 2 y 2 z2 + + =1 a2 b2 c 2 Sol.

8abc unidades 3 3 3

93. Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide 36x2 + 9y2 + 4z2 = 36 si las aristas deben ser paralelas a los ejes coordenados.

Sol.

16 3 unidadescúbicas 3

94. Se elabora una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10. Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0.30 por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse.

Sol.

500 10 5 2x 2x 2 27 3 6

1.4 Mínimos cuadrados 95. Se analiza la savia de cinco árboles a fin de determinar la cantidad de la hormona vegetal que causa la caída de las hojas. En el caso de los árboles de la tabla siguiente, cuando se liberan x microgramos (µg) de la hormona vegetal ocurre la caída de y hojas. x y

Roble 28 208

Arce Abedul 57 38 350 300 Tabla 1.1

Pino 75 620

Acacia 82 719

a) Obtenga una ecuación de la recta de regresión para los datos de la tabla. b) Utilice la recta de regresión para estimar el número de hojas caídas de otro tipo de árbol cuando se liberan 100 µg de la hormona vegetal.

Sol. y = 9.133x – 72.1, b) 841

96. Se examinaron cinco corredores a fin de determinar su absorción máxima de oxígeno, medida que refleja el estado cardiovascular de una persona. Los resultados se presentan en la siguiente tabla, donde x segundos es el mejor tiempo del corredor al correr una milla y y mililitros por minuto por kilogramo de peso es la absorción máxima de oxígeno del corredor.. x y

Corredor A 300.5 418.5

Corredor B Corredor C 350.6 407.3 375.6 350.2 Tabla 1.2

Corredor D 326.2 400.2

Corredor E 512.8 325.8

a) Obtenga una ecuación de la recta de regresión para los datos de la tabla. b) Emplee la recta de regresión para estimar la absorción máxima de oxígeno de un corredor si su mejor tiempo al correr una milla es de 340.4 s..

Sol. a) y = 534.7 – 0.423x, b) 390.6 mililitros por minuto por kilogramo

1.5 Multiplicadores de Lagrange

1.5.1 Distancia 97. Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para calcular la máxima y mínima distancia del punto (2,1,-2) a la esfera cuya ecuación es x2 + y2 + z2 = 1 (por supuesto, la respuesta se podría obtener más fácilmente utilizando un argumento geométrico simple).

Sol. máx. 4 unidades, mín. 2 unidades

98. Utilice el método los multiplicadores de Lagrange para calcular la mínima distancia entre las rectas x = y = z y x = -y, z = 2 (existen, por supuesto, formas mucho más sencillas de obtener la respuesta. Esto es un ejemplo de matar moscas a cañonazos).

Sol.

2 6 unidades 3

99. Obtenga el punto P(x,y), x > 0, y > 0, de la superficie xy2 = 1, que sea el más cercano al origen. Demuestre que el segmento de recta del origen a P es perpendicular a la tangente en P

1.5.2 Localización de un radiotelescopio

100. Está encargado de erigir un radiotelescopio en un planeta recientemente descubierto. Para minimizar la interferencia, usted quiere situarlo donde el campo magnético del astro sea más débil. El planeta es esférico, con radio de seis unidades.

Con base en un sistema coordenado cuyo origen está en el centro del planeta, la intensidad del campo magnético está dada por M(x,y,z) = 6x – y2 + xz + 60. ¿Dónde debería usted situar el radiotelescopio?

1.5.3 Presión parcial 101. El proceso de Haber y y Bosch* produce amoniaco mediante la unión directa de nitrógeno e hidrógeno en condiciones de presión constante P y temperatura constante:

N2 + 3H 2

catalizado r

⇔

2NH 3

Las presiones parciales x, y, z del hidrógeno, nitrógeno, y amoniaco satisfacen la ecuación x + y + z = P y la ley de equilibrio z2 =/xy3 = k, en donde k es una constante.

La cantidad máxima de amoniaco ocurre cuando se obtiene la presión parcial máxima del amoniaco. Encuentre el valor máximo de z.

Sol. Máx z = P +

(

4 2 − 4 + 27P 27P

)

1.5.4 Temperatura

102. Una sonda espacial con la forma del elipsoide 4x2 + y2 + 4z2 = 16 Entra a la atmósfera de la Tierra y su superficie comienza a calentarse. Después de una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie de la sonda es T(x,y,z) = 8x2 + 4yz – 16z + 600 Determine el punto más caliente sobre la superficie de la sonda.

Sol. (±4/3, -4/3, -4/3) 103. Suponga que la temperatura Celsius en el punto (x,y,z) sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 1 es T = 400xyz2. Localice las temperaturas máximas y mínimas sobre la esfera.

1.5.5 Volumen

104. Se desea construir una caja rectangular sin tapa con un volumen determinado V m3 utilizando dos materiales diferentes. El material utilizado para el fondo y la parte frontal de la caja cuesta cinco veces (por metro cuadrado) lo que cuesta el material utilizado para la parte trasera y los otros dos lados. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la caja para minimizar el costo de los materiales?  2V  Sol. anchura =    15 

1/3

, profundida d = 3 x anchura, altura =

5 x anchura 2

105. Encuentre las dimensiones de la caja rectangular cerrada con volumen máximo que puede inscribirse en la esfera unitaria.

Sol.

2 3

por

2 3

por

2

unidaes

3

106. Un depósito cilíndrico recto está coronado por una tapa cónica como se muestra en la figura. El radio del depósito es de 3 m y su área de superficie total es de 81 π m 2 .

Calcule las alturas x, y de manera que el volumen del depósito sea máximo.

(Sugerencia: El área de la superficie del cono es 3π 9 + y 2 .)

Figura 1.33

(

 9 6   9π   =  Sol. Máx V 12 − ,  24 − 5 2 5 5  2  

)

1.6 Aplicaciones de la integral 1.6.1 Centro de masa 107. Tres partículas tienen masas de 5, 2 y 8 slugs están ubicadas, respectivamente, en los puntos (-1,3), (2,-1) y (5,2). Determine el centro de masa si la distancia se mide en pies.

Sol. (13/5, 29/15)

108. Obtenga las coordenadas del centro de masa de las cuatro partículas que tienen masas iguales y están ubicadas en los puntos (3,0), (2,2), (2,4) y (-1,2).

Sol. (3/2, 2)

109. Tres partículas, con la misma masa, están ubicadas sobre el eje x en los puntos que tienen coordenadas -4, 1 y 5, donde la distancia se mide en metros. Determine las coordenadas del centro de masa del sistema.

Sol. (2/3, 0)

1.6.2 Fuerza 110. Un tanque cilíndrico está lleno de gasolina, cuya densidad es de 40 lb/pie3. Si el eje del cilindro es horizontal y su diámetro es de 8 pie, calcule la fuerza ejercida por la presión de la gasolina sobre un extremo del tanque.

Sol. 5120/3 lb 111. La cara de una presa, que esta en contacto con el agua está inclinada 45° con respecto a la vertical. La cara es un rectángulo de 100 pie de ancho y una altura inclinada de 60 pie. Si la presa está llena de agua, determine la fuerza total ejercida por la presión del agua sobre la cara.

Sol. 7 942 223 lb 112. En una alberca llena de agua, con profundidad de 10 ft, calcule la fuerza del fluido en un lado de una placa rectangular de 3 por 4 ft, si la placa reposa verticalmente en el fondo de la alberca, a) en el lado de 4 ft, b) en el lado de 3 ft.

Sol. a) 6364.8 lb, b) 5990.4 lb

113. Calcule la fuerza del fluido en un lado de una placa semicircular de radio de 5 ft, que descansa verticalmente sobre su diámetro en el fondo de una alberca llena de agua, a una profundidad de 6 ft.

Figura 1.34

114. La placa en forma de triángulo isósceles que se muestra a continuación se sumerge verticalmente 1 ft por debajo de la superficie de un lago de agua dulce. a) Determine la fuerza del fluido contra una cara de la placa. b) ¿Cuál será la fuerza del fluido sobre un lado de la placa si el agua fuera de mar en vez de agua dulce?

Figura 1.35 Sol. 1164.8 lb 115. El visor de una ventana rectangular de vidrio en una pecera típica en el acuario de Nueva Inglaterra, en Boston, es de 63 in de ancho y va desde 0.5 a 33.5 in bajo la superficie. Determine la fuerza del fluido contra esta parte de la ventana. La densidad del agua de mar es de 64 lb/ft3. (Por si se lo pregunta, el vidrio tiene un espesor de 3/4 de pulgada y las paredes del tanque se extienden 4 in por arriba del nivel del agua para evitar que los peces salten hacia afuera).

Sol. 1309 lb

116. Una placa semicircular de 2 ft de diámetro se sumerge en agua fresca con el diámetro a lo largo de la superficie. Determine la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa.

Sol. 41.6 lb 117. Calcule la fuerza del fluido sobre un lado de una placa cuadrada de 5 por 5 ft, si ésta se encuentra en el fondo de una alberca llena de agua con una profundidad de 8 ft y a) descansa sobre su cara de 5 por 5 ft, b) se mantiene en forma vertical con un lado de 5 ft, c) se mantiene sobre un lado de 5 ft e inclinada 45° con respecto al fondo de la alberca.

Sol. a) 12480 b) 8580 lb c) 9722.3 lb 118. Calcule la fuerza del fluido sobre uno de los lados de una placa en forma de triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 ft si la placa se asienta en el fondo de una alberca llena con agua a una profundidad de 6 ft sobre su lado de 3 ft y está inclinado 60° con respecto al fondo de la alberca.

1.6.3 Masa 119. Se estima que la densidad de materia en las proximidades de una estrella gigante 2

se puede expresar como δ (r ) = Ce −kr , siendo C y k constantes positivas y r la distancia al centro de la estrella. El radio de la estrella está indeterminado, pero se puede suponer que es infinito ya que δ( r ) decrece muy rápidamente para valores de r grandes. Calcule la masa aproximada de la estrella en función de C y k.

Sol. Aprox. 5.57 C/k3/2.

1.6.4 Trabajo 120. Un pozo de irrigación tiene 15.2 m de profundidad y una sección transversal circular cuyo radio es de 0.9 m. Si el pozo esta lleno hasta la mitad, calcular el trabajo efectuado por una bomba para vaciarlo, si el agua se eleva desde el nivel de su superficie. La densidad ρ del agua es aproximadamente 993.2 kg/m3.

Sol. 2 148 122.547 J 121. Un tanque de gasolina cilíndrico de 3 pies de diámetro y 4 pies de largo se lleva en la parte de atrás de un camión y se usa para alimentar los tractores. El eje del tanque es horizontal. ¿Cuánto trabajo es necesario para bombear todo su contenido en un tractor si la abertura del depósito de éste se encuentra 5 pies por encima del punto más alto del depósito?

122. Un cable de 20 pie de longitud y de 2 lb/pie de peso pende verticalmente de la parte superior de un poste. Determine el trabajo que se realiza al subir el cable completo hasta la parte superior del poste.

Sol. 400 pie libra 123. Una artesa llena de agua tiene 6 pie de longitud y su sección transversal tiene la forma de semicircunferencia con un diámetro de 2 pie en la parte superior. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear el agua hacia afuera por la parte superior?

Sol. 249.6 pie lb 124. Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 4 m de profundidad, 15 m de ancho y 30 m de largo. Calcule el trabajo requerido para bombear el agua del tanque a un nivel de 50 cm por arriba de la parte superior del tanque.

Sol. 44 145 000 joules 125. Un depósito, con forma de un cono circular recto (véase figura), esta lleno de agua. Si la altura del tanque es de 10 pies (3.0 m) y el radio en la parte superior es de 4 pies (1.2 m), encuentre el trabajo hecho a) al bombear el agua hasta el borde superior del depósito, y b) al bombear el agua hasta una altura de 10 pies (3.0 m) por encima del borde superior del depósito.

Sol. a) 26138 lb-pie, b) 130690 lb-pie 126. Un depósito, con forma de un cono circular recto (véase figura), esta lleno de agua. Si la altura del tanque es de 3.0 m y el radio en la parte superior es de 1.2, encuentre el trabajo hecho a) al bombear el agua hasta el borde superior del depósito, y b) al bombear el agua hasta una altura de 3.0 m por encima del borde superior del depósito.

Sol. a) 3.5x104 J, b) 1.8x105 J 127. Encuentre el trabajo realizado al bombear todo el aceite (densidad ρ = 794.6 kg/m3) sobre el borde de un depósito cilíndrico, que está apoyado sobre una de sus bases. Supóngase que el radio de la base es 1.2 m, la altura es 3.0 m, y que el tanque esta lleno de aceite.

Sol. 158 687.4008 J

128. Un depósito con forma de cono circular recto, con su vértice hacia abajo, está lleno de agua a la mitad de su capacidad. Si su altura es de 20 pies y su diámetro de 8 pies, a) encuentre el trabajo realizado al bombear toda el agua hasta la parte superior del depósito. b) Encuentre el trabajo al bombear toda el agua hasta un punto situado a 5 pies sobre la parte superior del depósito. (Sugerencia: suponga que el origen está en el vértice del cono.)

Sol. b) 45741.6 pie-lb 129. Un depósito horizontal con secciones transversales semicirculares contiene aceite que pesa 80 lb/pie3. El depósito tiene 10 pies de diámetro y 25 pies de longitud. Si su profundidad es de 3 pies, determine el trabajo realizado al bombear todo el aceite a la parte superior del depósito.

130. Un depósito tiene secciones transversales en forma de triángulos isósceles con el vértice hacia abajo. La parte superior del depósito tiene 6 pies de ancho, su altura es de 4 pies y su longitud, de 10 pies. Determine el trabajo realizado al llenar el depósito, a través de un orificio en su fondo, mediante una bomba localizada a 5 pies por debajo de su vértice.

Sol. 57408 pie-lb 131. Una cadena de ancla de 100 pies, que pesa 20 lb/pie, cuelga verticalmente sobre el costado de un barco. ¿Cuánto trabajo se realiza al tirar 40 pies de la cadena?

132. Una cubeta que contiene inicialmente 20 pies3 de agua es levantada verticalmente desde el nivel del suelo. Si el agua se escapa a razón de ½ pie 3 por pie de distancia vertical, halle el trabajo realizado al levantar la cubeta hasta la altura en la que quede vacía.

Sol. 24960 pie-lb 133. La fuerza de atracción entre un electrón y el núcleo de un átomo es inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Si la distancia inicial entre ellos es de 1 unidad, calcule el trabajo realizado por una fuerza externa que aleja al electrón a una distancia que es 4 veces la distancia inicial.

Unidad 2 Aplicaciones matemáticas a problemas de interés general en ingeniería 2.1 Crecimiento de poblaciones 2.1.1 Crecimiento exponencial 1. Supóngase que el problema de valor inicial modelo para una población de peces está dado por y’(t) = ay(t), y(0) = y0, donde a y y0 son constantes positivas (sin sobrepoblación ni captura). a) Obtenga una fórmula de solución para y(t). b) ¿Qué sucede con la población a medida que transcurre el tiempo? ¿Se trata de un modelo objetivo? Explique por qué.

Sol. a) y = y0eat

2. Una población crece exponencialmente durante T meses con una constante de crecimiento de 0.03 por mes. Luego, la constante aumenta repentinamente a 0.05 por mes. Después de 20 meses se duplica la población. ¿En qué momento T cambió la constante de crecimiento? [Sugerencia: resuelva y’ = 0.03y, y(0) = y0 en el intervalo 0 ≤ t ≤ T. Luego utilice y(T) como el valor inicial para un problema similar. Sustituya 0.03 por 0.05 y resuelva en el intervalo T ≤ t ≤ 20.]

3. Un biólogo cuenta con una población inicial de 100 bacterias, y en el periodo que está considerando observó que no hubo migración de organismos, con un balance que arroja que emigraron 10 menos de los que inmigraron. Determinar la población de bacterias que se tendrá una vez que han transcurrido 7 días, si se sabe que después de 4 días tiene una población de 150 organismos.

4. Suponga que la razón de cambio de la población humana de la Tierra es proporcional al número de personas en cualquier tiempo, y suponga también que esta población crece a razón de 2% cada año. El Almanaque Mundial de 1979 indica que la población mundial en 1978 se estimó en 4219 millones; suponga que esta cifra es un dato correcto. a) Utilizando este dato, exprese la población humana de la Tierra como una función del tiempo. b) Según la fórmula de la parte a), ¿cuál era la población de la Tierra en 1950? El Almanaque Mundial de 1979 da la población mundial de 1950 estimada en 2510 millones. Suponiendo que esta estimación es muy cercana a la correcta, observe la exactitud de la fórmula de la parte a) al comprobar poblaciones de años anteriores. c) Según la fórmula de la parte a), ¿cuál será la población de la Tierra en el 2000? ¿Parece esto razonable? d) Según la fórmula de la parte a), ¿Cuál será la población de la Tierra en 1990? ¿El Almanaque Mundial de 1979 indica que la población mundial estimada en 1990 era de 1600 millones. Suponiendo que esta estimación está muy próxima a la correcta, observe la exactitud de la fórmula de la parte a) al comprobar la población de años anteriores. e) Según la fórmula de la parte a), cuál será la población de la Tierra en 2100? ¿Parece esto razonable?

2.1.2 Modificaciones del modelo de crecimiento exponencial 5. En la predicción del crecimiento de una población, los demógrafos tienen en cuenta las tasas de nacimientos y defunciones además de la diferencia entre las tasas de inmigración y emigración. Sea P la población en el tiempo t y sea N el crecimiento por unidad de tiempo resultante de la diferencia entre la inmigración y emigración. El ritmo de crecimiento de la población viene dado por

dP = kP + N, N es una constante dt Resolver esta ecuación diferencial con el fin de hallar P en función de t, si en t = 0 el tamaño de la población era P0.

Sol. P = −

N N  +  + P0 e kt k k 

6. Un estudio de la población de Botsuana desde 1975 a 1990 conduce al siguiente dP = kP − α t , donde t indica el tiempo en modelo para el ritmo de crecimiento del país: dt años, con 1990 correspondiendo a t = 0, P(0) = 1.285 (millones), k = 0.0355 y α = 1.60625x10-3. (El término kP refleja los nacimientos y la inmigración, y el término αt expresa las muertes y la emigración.) a) Halle una fórmula para P(t). b) Estime la población de Botsuana en el año 2010.

7. Suponga que la población de peces en un lago grande está creciendo con demasiada rapidez y que las autoridades locales deciden distribuir unas licencias de pesca que permiten la captura de h peces diarios durante un periodo de 30 días. Un modelo para tal situación podría ser

h para 0 ≤ t ≤ 30 P ' (t ) = kP(t ) −  t > 30 0 para Donde P(t) indica el número de peces que hay en el lago en el instante t (en días), y k es una constante positiva que describe el ritmo natural de crecimiento de la población de peces. a) Utilice herramientas tecnológicas y la transformada de Laplace para hallar una expresión de P(t) si P(0) = A. b) Halle una relación entre A, h y k que garantice que, exactamente 330 días después de haber finalizado la temporada de pesca de 30 días, la población de peces volverá a estar una vez más en el nivel A.

(

) ]

 kt h kt 0 ≤ t ≤ 30  Ae + k 1 − e , Sol. a) P (t ) =  h  e −k ( 30−t ) − e kt + Ae kt , t > 30 k

[

b) A =

(

h e 330k − e 360k

(

k 1− e

360k

)

)

8. Para la población de Botsuana, considere que se parte de una población de 0.755 millones de personas en 1975 (t = 0) y si se supone que los nacimientos y los fallecimientos, así como la inmigración y la emigración, se equilibran mutuamente hasta 1977 (t = 2). En 1977 se pone en marcha un modelo de emigración tal que la población P(t) puede ser descrita por la ecuación

0 para 0 < t < 2  P '−kP =  t ≥2 − a(t − 2) para Con P(0) = 0.755, k = 0.0355 y a = 1.60625x10-3. a) Exprese la función del miembro derecho de la ecuación en términos de la función escalón unidad. b) Utilice herramientas tecnológicas y la transformada de Laplace para hallar P(t), expresando la respuesta como una función escalón. c) Trace la gráfica de la solución en el intervalo 0 ≤ t ≤ 35 y explique lo que ésta indica en términos de la población de Botsuana.

9. Bajo circunstancias naturales, la población de ratones de una cierta isla podría aumentar con una rapidez proporcional al número de ratones presentes en cualquier tiempo, considerando que en la isla no había gatos. En la isla no hubo gatos desde principios de 1960 hasta principios de 1970, y durante este tiempo la población ratonil se duplicó, alcanzando el número de 100 000 a principios de 1970. En este tiempo la gente de la isla se alarmó por el número cada vez mayor de ratones. Importó un cierto número de gatos para acabar con ellos; si la rapidez de crecimiento natural indicado para ratones fue de ahí en adelante contrarrestado por la actividad de los gatos, que mataron 1000 ratones cada mes, cuántos ratones quedaron a principios de 1971?

10. Un cultivo de bacteria “enferma” crece a una tasa que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número presente. Si hay inicialmente 9 unidades y 16 unidades están presentes después de 2 días, ¿después de cuántos días habrá 36 unidades?

11. La ecuación diferencial dP/dt = (kcost)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemático de una población P(t) que tiene variaciones estacionales. Resuelva la ecuación, sujeta a P(0) = P0. Use una graficadora para trazar la gráfica de la solución para distintas elecciones de P0.

12. En un modelo demográfico de la población P(t) de una comunidad, se supone que

dP dB dD = − dt dt dt en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente. a) Determine P(t) si dB/dt = k1P y dD/dt = k2P. b) Analice los casos k1 > k2, k1 = k2 y k1 < k2.

2.1.3 Ecuación logística 13. La población x(t) de una cierta ciudad satisface la ley logística

dx 1 1 = x − 8 x2, dt 100 10 Donde el tiempo t se mide en años. Suponiendo que la población de esta ciudad es 100 000 en 1980, determine: a) La población como una función del tiempo t. b) La población en el año 2000. c) El año en que se duplicará la población de 1980. d) El comportamiento de la población cuanto t→∞.

Sol. a) x(t) =

10 6 19.8 −

t 100

t > 1980 , b) x(2000) ≈ 119495 habi tan tes

1 + 9e c ) c ≈ 2061, d) lím x( t ) = 10 6 habi tan tes t →∞

14. Supóngase que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t, cambia a una razón directamente proporcional a P2 – P. Si inicialmente hay 1000 bacterias y después de 5 horas la población se redujo a 100 bacterias, determine: a) La población como función del tiempo. b) La población después de un tiempo grande.

Sol. a) P(t) =

1000 1000 − 999e − 0.0018 t

, b) 1

15. Una colonia de bacterias crece de acuerdo con la ley logística, con una capacidad de carga (a/b) de 5x108 individuos y una tasa de crecimiento natural a = 0.01 días-1. ¿Cuál será la población después de dos días si ésta inició en 1x108 individuos?

16. El ritmo de crecimiento del número N de venados en un parque natural varía conjuntamente, con el tiempo, con N y L – N, donde L = 500 es la población máxima estimada como límite. Expresar N como función de t si N = 100 cuando t = 0 y N = 200 cuando t = 4.

Sol. N =

500 1 + 4e − 0.2452

t

17. El ritmo de crecimiento del número N de alces en una reserva varía con el tiempo t (en años) conjuntamente con N y 300 – N, siendo 300 el límite estimado de población en ese espacio natural. a) Escribir y resolver la ecuación diferencial que gobierna la población si N = 50 cuando t = 0 y N = 75 cuando t = 1. b) Representar en una gráfica el campo de direcciones de esa ecuación diferencial y la solución particular del apartado a). c) ¿En qué momento crece más rápidamente la población? d) Si se introducen inicialmente 400 alces en la reserva, usar el campo de direcciones para describir el cambio en su población con el transcurso del tiempo.

18. Si la población de Estados Unidos en 1790 (3.93 millones) es la población inicial y se dan las poblaciones en 1840 y 1890 de 17.07 y 62.98 millones, respectivamente, utilizar el modelo logístico para estimar la población en el instante t.

Sol. P( t ) =

989.50 3.93 + ( 247.85)e − 0.030463 t

19. Se sabe que cierta población crece a una velocidad dada por la ecuación lógistica dx/dt = x(b – ax). Demuestre que la tasa máxima de crecimiento ocurrirá cuando la población sea igual a la mitad de su tamaño de equilibrio, esto es, cuando la población sea b/2a.

20. Se sabe que una población de bacterias tiene un patrón de crecimiento logístico con población inicial de 1000 y población de equilibrio de 10 000. Un conteo muestra que al final de una hora hay 2000 bacterias presentes. Determine la población como una función del tiempo, determine el tiempo en que la población estará aumentando con mayor rapidez y haga un bosquejo de la curva logística.

dP  P = rP 1 −  se usa para describir el crecimiento de ciertos dt  K tipos de poblaciones humanas o animales. Aquí r y K representan constantes que describen características de la población que está siendo modelada.

21. La ecuación logística

a) Muestre que la función P (t ) =

P (0 ) =

K 1 + Ae −rt

satisface la ecuación logística con

K .

1+ A

b) Un estudio de datos sobre la población de EE. UU. Muestra que la solución dada en el apartado a) proporciona un buen ajuste si K = 387,982, A = 54,0812 y r = 0.02270347. Con tecnología adecuada, obtenga la gráfica de P(t) utilizando estos valores de K, A y r. (Aquí t representa el tiempo en años desde 1790, el año del primer censo en EE. UU.) c) En 1790, la población de EE. UU. era de 3 929 214 habitantes. En 1980, la cifra ascendia a 226 545 805; en 1990, el número de habitantes era 248 709 873. Evaluando la función representada en la gráfica del apartado b), para los valores de t = 0, 190 y 200, compare los valores (en millones) dados por P(t) con las verdaderas poblaciones. d) Según el modelo con los parámetros dados en el apartado b), ¿qué le sucederá a la población de EE. UU. Si t→∞.

22. Considere la ecuación logística con un ritmo h de mengua (caza, pesca, siega, etcétera) constante:

dP = P (5 − P ) − h. dt ¿Existe un ritmo de mengua umbral h, por encima del que la población se extinguiría para cualquier población inicial P0 = P(0)?

dP = kP (b − P ) , dt donde k y b son constantes positivas. Para una solución cerca de P ≡ b, ¿es posible alcanzar (es decir, igualar) la solución P ≡ b para un valor finito de t? (Sugerencia: utilice la parte del teorema de existencia y unicidad relativa a esta última.)

23. Considere la solución de equilibrio P ≡ b, de la ecuación logística

24. La población humana de una cierta isla satisface la ley logística con a = 0.003, b = 3x10-8, y el tiempo t medido en años. a) Si la población en 1980 es 200 000, deduzca una fórmula para la población de años futuros. b) Según la fórmula de la parte a), ¿cuál será la población en el año 2000? c) ¿Cuál es el valor límite de la población cuando t→∞.

Sol. a ) P =

10 6 1 + 4e 59.4−3t / 100

; b ) 312966; c ) 1000000

25. Este es un problema general acerca de la ley logística de crecimiento. Una población que satisface la ley logística y tiene P0 miembros en el tiempo t0. a) Resuelva la ecuación diferencial y exprese después la población P como una función de t. b) Demuestre que cuando t→∞, la población P se aproxima al valor límite a/b. c) Demuestre que dP/dt es creciente si P < a/2b y decreciente si P > a/2b. d) Construya la gráfica de P como una función de t para t > t0. e) Interprete los resultados de las partes b), c) y d).

26. La población humana de una cierta pequeña isla podría satisfacer la ley logística, con a = 1/400 , b = 1X10-8, y t medido en años, considerando despreciable la emigración anual de la isla. Sin embargo el hecho es que cada 100 años la gente se decepciona de la vida en la isla y se desplaza hacia el continente. Modifique la ecuación diferencial logística con las a y b dadas de modo que incluya la emigración anual indicada. Suponiendo que la población en 1980 es 20 000, resuelva el problema de valor inicial resultante y después determine la población de la isla como una función del tiempo.

4 1x10 5 3e15(1980−t ) / 1x10 − 2   Sol. P = 4 6e15(1980−t ) / 1x10 − 1

27. La cantidad N(t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio se apega a la ecuación logística. Al principio, N(0) = 500, en tanto se observa que N(1) = 1000. Se pronostica que habrá un límite de 50 000 individuos que verán el anuncio. Determine N(t).

28. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad está descrito por el problema de valor inicial

(

)

dP = P 10 −1 − 10 −7 P , P (0) = 5000, dt en donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?

29. a) Los datos del censo en Estados Unidos de 1790 a 1950.se ven en la tabla.

Formule un modelo demográfico logístico, con los datos de 1790, 1850 y 1910. b) Forme una tabla para comparar la población real censada, con la que determinó el modelo de la parte a). Calcule el error y el error porcentual para cada par de poblaciones.

Año Población (en millones) 1790 3.929 1800 5.308 1810 7.24 1820 9.638 1830 12.866 1840 17.069 1850 23.192 1860 31.433 1870 38.558 1880 50.156 1890 62.948 1900 75.996 1910 91.972 1920 105.711 1930 122.775 1940 131.669 1950 150.697 Tabla 2.1

2.1.4 Modificaciones del modelo logístico 30. (Control por sobrepoblación y captura.) El problema de valor inicial y’ = -y2/9 – 8/9, y(0) = y0, donde y0 es una constante positiva. a) ¿Cuál es el coeficiente de sobrepoblación y sus unidades? ¿Cuál es la tasa de captura? b) Obtenga los dos niveles de equilibrio positivo. [Sugerencia: calcule las raíces de y – y2/9 – 8/9.] c) Trace las gráficas de las curvas de solución del problema de valor inicial para distintos valores de y0. Utilice los intervalos 0 ≤ t ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 15. Interprete lo que observa en términos del futuro de la población de peces.

Sol. a) El coeficiente de sobrepoblación es 1/9 (ton año)-1 ; la tasa de captura es 8/9 ton/año.

31. (Reabastecimiento) El reabastecimiento de la población de peces con R toneladas de peces anuales da lugar a la ecuación diferencial modelo y’ = ay – cy2 + R, donde a y c son constantes positivas. a) Explique cada término de la ecuación diferencial ordinaria modelo. b) Pruebe el modelo en el problema de valor inicial y’ = y – y2/12 + 7/3, y(t0) = y0 para distintos valores negativos de t0 y y0. ¿Qué pasa con las curvas solución si avanza o retrocede el tiempo? Utilice los intervalos 0 ≤ t ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 25 para la pantalla.

Interprete lo que observa.

32. (Captura y reabastecimiento periódicos.) Considere el problema de valor inicial y’ = y – y2 + 0.3sen(2πt), y(t0) = y0. a) Explique el significado de la ecuación diferencial ordinaria en términos de una población de peces. Trace las curvas solución para t0 = 0 y valores de y0 en el intervalo de 0 a 2. Utilice los intervalos 0 ≤ t ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 2. Haga lo mismo para t0 = 1, 2,…,9 y y0 = 0, Interprete lo que observa en términos de la población de peces. b) Explique por qué se parecen las curvas solución que comienzan en (t0, y0) y (t0+1, y0). En el rectángulo 0 ≤ t ≤ 10, -1 ≤ y ≤ 2, trace la curva solución que pasa por el punto t0 = 0.5, y0 = 0. ¿Por qué carece de sentido esta curva en términos de la población de peces?

33. (Captura con esfuerzo constante.) Los modelos de esta sección sufren de un defecto. En niveles bajos de población no puede mantenerse por mucho tiempo una tasa de captura alta y fija porque se exterminaría la población. Un modelo más seguro (para los peces) es y’ = ay –cy2 – H0y, y(0) = y0, donde a, c, H0, y y0 son constantes positivas. En este modelo, cuanto menor sea la población menor será la tasa de captura. a) Interprete cada término de la ecuación diferencial. ¿Por qué se denomina captura con esfuerzo constante? b) Para los valores de H0 menores que a, trace curvas solución.

34. (Captura intensa, captura moderada.) ¿Qué sucede cuando tras un periodo de captura intensa sigue otro de cinco años de captura moderada? Suponga que y’ = y – y2/12 – H(t), donde 0≤t <5  4, H(t) =  5 / 3 5 ≤ t ≤ 10 Trace las curvas solución para 0 ≤ t ≤ 10, -1 ≤ y ≤ 20 e interprete lo que observa. Trace las rectas y = 10 y y = 2 en la gráfica y explique su importancia para la población para t ≥ 5.

35. Un modelo de poblaciones utilizado en las predicciones actuariales se basa en la ecuación de Gompertz

dP = P(a − b ln P) dt donde a y b son constantes. a) Halle P(t) en la ecuación de Gompertz. b) Si P(0) = P0 > 0, dé una fórmula para P(t) en términos de a, b, P0 y t. c) Describa el comportamiento de P(t) cuando t→+∞. [Sugerencia: Considere los casos para b > 0 y b < 0].

36. La masa inicial de cierta especie de pez es 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentaría a una razón proporcional a la masa, con una constante de proporcionalidad de 2/año. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una razón constante de 15 millones de toneladas por año. ¿En qué momento se terminarán los peces? Si la razón de pesca se modifica de modo que la masa de peces permanezca constante, ¿cuál debería ser la razón?

37. La oferta de alimento para cierta población está sujeta a un cambio de estación que afecta la tasa de crecimiento de la población. La ecuación diferencial:

dx = cx(t ) cos t, dt donde c es una constante positiva, proporciona un modelo matemático simple para el crecimiento de la población durante el cambio de estación. Resuelva esta ecuación diferencial en términos de una población inicial x0 y la constante c. Determine las poblaciones máxima y mínima y el intervalo de tiempo entre esos valores.

38. Una población de animales que sigue el patrón de crecimiento logístico esta siendo mermada a un ritmo constante; es decir, mientras el tamaño de la población (P) es positivo, un número fijo (h) de animales es eliminado por unidad de tiempo. La ecuación dP  P = rP 1 −  − h para P > 0. que modela la dinámica de esta situación es dt  K a) Demuestre que h < rK/4, existen dos soluciones de equilibrio distintas de cero. b) Demuestre que la menor de las soluciones de equilibrio del apartado a) es una fuente, mientras que la mayor de las dos es un sumidero.

39. Determine una solución de la ecuación logística modificada

(

)

dP = P (a − bP ) 1 − cP −1 , a, b, c > 0. dt 40. a) Resuelva la ecuación:

dP = P (a − b ln P ), dt b) Determine el valor de c en la ecuación

P (t ) = e a / b e −ce

− bt

, P (0) = P0

41. a) Si de una pesquería se recolecta un número constante h de peces por minuto, entonces un modelo para la población P(t) de la pesquería en el tiempo t es

dP = P (α − bP ) − h, P (0) = P0 dt Donde a, b, h y P0 son constantes positivas. Suponga que a = 5, b = 1 y h = 4. Como la ecuación diferencial es autónoma, utilice el concepto de retrato fase para trazar curvas solución representativas que corresponden a los casos P0 > 4, 2 1 < P0 < 4 y 0 < P0 < 1. Determine el comportamiento a largo plazo de la población en cada caso. b) Resuelva el problema de valor inicial del inciso a). Compruebe los resultados del retrato fase del inciso a) por medio de un programa de graficación para trazar la gráfica de P(t) con una condición inicial tomada de cada uno de los tres intervalos que se proporcionan. c) Utilice la información de los incisos a) y b) para determinar si la población de la pesquería se extingue en un tiempo finito. En caso afirmativo, calcule ese tiempo.

2.2 Circuitos RC 2.2.1 Circuitos RC de una malla 42. Una batería cuya fem está dada por E(t)=200e-5t volts, se conecta en serie con una resistencia de 20 Ω y un condensador de 0.01 F. Suponiendo que q(0) = 0 encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un máximo, calcular su valor y halle el valor de t para el cual se alcanza.

Sol. q(t) = 10te-5t; i(t) = 10e-5t (1 - 5t); qmáx = q(1/5) = 0.74 Coulombs 43. En un circuito eléctrico, cuando una pila o una batería suministra una tensión constante E a un condensador de capacitancia C a través de una resistencia R, la carga instantánea q del condensador se adecúa a la ecuación diferencial R

dq q + =E dt C

a) Calcule q como una función temporal, considerando el condensador inicialmente descargado (es decir, si qo = q(0) = 0). b) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la carga q del condensador sea la mitad de su valor “final”? c) Determine q si q0 = 0 y si se reemplaza la pila por un generador que suministre una tensión alterna igual a E0sen(ωt).

44. Un circuito RC tiene una fem dada (en volts) por 400 cos 2t, una resistencia de 100 ohms y una capacitancia de 10-2 farad. Inicialmente no hay carga en el condensador.

Halle la corriente en el circuito en un momento t.

Sol. i =

4 −t 16 8 e + cos 2t − sen 2t 5 5 5

45. Si un circuito eléctrico contiene una resistencia R = 10 0hms, un condensador C = 10-3 farad y E(t) = 100sen120πt volts, a) hallar q, suponiendo que q = 0 para t = 0, b) emplear i = dq/dt para hallar i, suponiendo i = 5 amperes cuando t = 0.

Sol. a) q = b) i =

1 2(25 + 36 π 2 )1/ 2 60 π

(25 + 36 π )

2 1/ 2

sen(120 π t − φ ) +

3π e −100 t 25 + 36 π 2

  300 π cos(120 π t − φ ) −  − 5 e −100 t 2  25 + 36 π 

46. Un circuito RC en serie con R = 5 kΩ y C = 20 µF tiene una fuente de voltaje constante de 100 V aplicado a t = 0; no hay carga inicial en el capacitor. Obténgase: a) i, VR, VC y q, para t > 0, b) i, VR, VC y q, para t = 0.05 s.

Sol. a) VC = -100e-10t + 100 V, VR = 100e-10t V, i = 20e-10t mA, q = 2000(1-e-10t) µC 47. Recuerde que la ecuación diferencial que describe la carga q(t) en el capacitor de un circuito RC en serie es R

dq 1 + q = E( t ), dt C

Donde E(t) es el voltaje aplicado. Emplee la transformada de Laplace para determinar la carga, q(t), cuando q(0) = 0 y E(t) = E0e-kt, k > 0. Examine dos casos: cuando k ≠ 1/RC, y cuando k = 1/RC. Sol q(t) =

(

)

E 0C e −kt − e −t / RC ; 1 − kRC

q(t) =

E 0 −t / RC te R

48. Use la transformada de Laplace para determinar la carga q(t) en el capacitor en un circuito en serie RC, sujeto a las condiciones dadas: q(0) = q0, R = 10 Ω, C = 0.1 f y E(t) como en la figura.

Figura 2.1

49. Use la transformada de Laplace para determinar la carga q(t) en el capacitor en un circuito en serie RC, sujeto a las condiciones iniciales dadas: q(0) = 0, R = 2.5 Ω, C = 0.08 f y E(t) como en la figura.

Figura 2.2 Sol q(t) =

2 2 U (t − 3) − e −5( t −3 )U (t − 3 ) 5 5

50. a) Utilice la transformada de Laplace para calcular la carga q(t) en el capacitor de un circuito RC en serie, cuando q(0) = 0, R = 50 Ω, C = 0.01 f y E(t) es la que indica la figura. b) Suponga que E0 = 100 V. Maneje un programa de cómputo para gráficas, y trace la de q(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 6. Con la gráfica estime qmáx, el valor máximo de la carga.

Figura 2.3 2.2.2 Marcapasos cardiaco 51. En la fig. se muestra un marcapasos cardiaco que consta de un capacitor de capacitancia C, una batería de voltaje E0 y un interruptor que se mueve periódicamente de A(periodo de carga t1 < t < t2 del capacitor) a B (periodo de descarga t2 < t < t3 durante el cual el capacitor envía un estímulo eléctrico al corazón, el cual actúa como un resistor de resistencia R). Encontrar la corriente durante el periodo de descarga.

Figura 2.4

52. Un marcapasos cardiaco (fig.), está formado por una batería, un capacitor y el corazón, que funciona a modo de resistor. Cuando el conmutador S está en P, el capacitor se carga; cuando está en Q, se descarga y manda un estímulo eléctrico al corazón. En este intervalo , el voltaje E que se aplica al corazón está determinado por

dE 1 =− E, t1 < t < t 2 , dt RC en donde R y C son constantes. Determine E(t), cuando E(t) = 0. (Naturalmente, la abertura y cierre del interruptor son periódicas, para estimular los latidos naturales.)

Figura 2.5 Sol. E(t) = E0e-(t – t1)/RC

2.3 Circuitos LR 2.3.1 Circuitos LR de una malla 53. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz expresada matemáticamente por E(t) = 150cos(200t) V, un resistor de 10 Ω y un inductor de 0.2 H. Si la corriente inicial es 0, calcule la corriente en el tiempo t > 0.

54. Si se cierra un interruptor en un circuito que contiene una resistencia R, una inductancia L y una pila que suministra una tensión constante E, la intensidad de la di corriente i aumenta al ritmo descrito por la ecuación L + Ri = E (t ) . (En lugar de una dt pila, en este caso hay un generador que suministra una tensión alterna igual a (v0/L)sen(ωt).) a) Halle la corriente i como una función temporal. b) Evalúe lím i( t ) . t →∞

c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que i alcance la mitad de su valor “final”? d) Halle i si i0 = i(0) = E/R.

R  −  t  E Sol. a) i(t) = 1− e  L   ; R    E d) i( t ) = R

b) lím i( t ) = t →∞

E ; R

c) t =

L ln 2 ; R

55. Un circuito RL tiene una fem dada (en volts) por 3 sen 2t, una resistencia de 10 ohms, una inductancia de 0.5 henry y una corriente inicial de 6 amperes. Halle la corriente en el circuito para un momento t.

Sol. i(t) = (609/101)e-20t + (30/101)sen 2t - (3/101)cos 2t

56. Un circuito RL tiene una fem dada (en volts) por 4 sen t, una resistencia de 100 ohms, una inductancia de 4 henry y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente en cualquier momento t.

Sol. i(t) = (1/626)(e-25t + 25sen t – cos t)

57. Resuelva la ecuación L io.

di + Ri = E (t ) suponiendo que E(t) = Eosenωt y que i(0) = dt

58. Se aplica una fuerza electromotriz 120, 0 ≤ t ≤ 20 E (t ) =  t >0  0, a un circuito en serie LR, en que la inductancia es 20 H y la resistencia es 2 Ω.

Determine la corriente, i(t), si i(0) = 0.  60 − 60e −t / 10 , 0 ≤ t ≤ 20 Sol. i (t ) =  2 −t / 10 , t > 20 60 e − 1 e

(

)

59. a) Con la transformada de Laplace determine la corriente i(t) en un circuito en serie LR con un solo bucle, cuando i(0) = 0, L = 1 h, R = 10 Ω y E(t) es la que muestra la fig. b) Use un programa de cómputo para gráficas, para trazar la de i(t) en el intervalo 0 ≤ t ≤ 6. Con la gráfica estime imáx e imín, los valores máximo y mínimo de la corriente.

Figura 2.6 Sol. i( t ) = +

1 −10 t 1 10 10 −10( t −3 π / 2 )  3π  − e cos t + sen t − e U t −  2  101 101 101 101  10 1  3π   3π   3π   3 π  cos t − sen  t − U  t − + U t −  101 2   2  101 2   2   

60. Resuelva la ecuación sujeta a i(0) = 0, y E(t) es la función meandro de la figura.

Figura 2.7

61. Resuelva la ecuación sujeta a i(0) = 0, y E(t) es la función diente de sierra de la figura. Especifique la solución cuando 0 ≤ t < 2.

Figura 2.8

(

)

t L 1 Sol. i(t ) = + 2 e −Rt / L − 1 + R R R

∞

∑ (e

−R ( t − n ) / L

)

− 1 U (t − n )

n =1

cuando 0 ≤ t ≤ 2,

( (

) )

L −Rt / L  t − 1,  R + R 2 e i (t ) =  t L −Rt / L  + −1 + e  R R 2

0 ≤ t <1

(

)

1 −R ( t −1) / L − 1, 1 ≤ t < 2 e R

2.3.2 Circuitos LR de dos mallas 62. El circuito que sigue se describe mediante el sistema

. .

L1 i1 + R1 (i1 − i 2 ) = V( t ) L 2 i 2 + R 2i 2 + R1 (i 2 − i1 ) = 0 Determine i1 e i2 cuando se cierra el interruptor si L1 = L2 = 2 henrys, R1 = 3 ohms, R2 = 8 ohms y v(t) 6 volts. Suponga que i1(0) = i2(0) = 0.

Figura 2.9

Sol. i1( t ) =

11 1 −6 t 27 − t − e − e , 4 20 10

i2 (t ) =

3 3 −6 t 9 − t + e − e 4 20 10

2.4 Circuitos RCL 63. Un circuito RLC con R = 6 0hms, L = 0.1 henrys y C = 0.02 farads tiene una tensión constante de 6 volts. Suponga que inicialmente no hay corriente y que = 60 cuando se aplica la tensión por primera vez. a) Halle una expresión para la corriente en el circuito en el instante t > 0. b) Utilice herramientas tecnológicas para representar gráficamente la respuesta encontrada en el apartado a) para 0 ≤ t ≤0.5. c) A partir de la gráfica del apartado b), estime el valor máximo de I y halle el valor exacto mediante técnicas de cálculo aplicadas a la expresión obtenida en el apartado a). d) ¿En qué instante se alcanza el valor máximo obtenido en el apartado c)?

Sol. a) I(t) = (-3/2)e-50t + (3/2)e-10t; c) Imax ≈ 0.802; d) t = ln5/40 64 En un circuito RLC se tiene R = 10 ohms, C = 0.01 farads, L = 0.5 henrys y una tensión aplicada de 12 volts. La carga q en el condensador se define en términos de la corriente, I, por I =. Si se supone que no existe una corriente inicial ni una carga inicial en el condensador, halle la carga en el condensador en el instante t > 0.

65. Determine la carga q(t) del capacitor en un circuito en serie LRC, si L = 1 H, R = 2 Ω, C = 0.2 F, E(t) = 35 V, q(0) = 0 C, i(0) = 0 A.

Sol. q( t ) = 7 −

21 −t e sen2t − 7e − t cos 2t 2

66. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E = 40 sen 4t V, un resistor de 4 Ω, un inductor de 1/8 H y un capacitor de 1/14 farad. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, calcule la carga y la corriente en el capacitor en cualquier tiempo t > 0.

Sol .

6 8 5 1 − 28t sen 4t − cos 4t + e − 4t − e 5 5 3 15 24 32 20 − 4t 28 − 28t q ' (t ) = cos 4t + sen 4t − e + e 5 5 3 15

q (t ) =

67. Un circuito RLC presenta una resistencia de 5 ohms, una inductancia de 0.05 henrys, una capacitancia de 0.0004 farads y una tensión alterna aplicada de 200cos(100t) volts. a) Sin utilizar herramientas tecnológicas, halle una expresión para el flujo de corriente a di (0) es 4000. través de este circuito si la corriente inicial es nula y dt b) Compruebe su respuesta al apartado a) mediante el uso de herramientas tecnológicas.

Sol. i( t ) =

(

)

(

)

  1  −50t  6788 sen 50 19 t − cos 50 19t  + 2sen(100t ) + 8 cos(100t ) e  85    19 t 

68. Un circuito RLC tiene R = 10 ohms, C = 0.01 farads, L = 0.5 henrys y una tensión aplicada determinada por E(t) = 16cos(2t). La carga, q en el condensador se define en dq términos de la corriente, I, como i = . Si consideramos que hay una ausencia de dt corriente inicial y de carga inicial en el condensador, halle la carga del condensador en el instante t > 0.

.. .

1 sent modela un circuito eléctrico con una resistencia 2 de 180 ohms, una capacitancia de 1/280 farads, una inductancia de 20 henrys y una tensión aplicada dada por E(t) = 10sent. q = q(t) denota la carga del condensador en el

69. La ecuación q + 9 q + 14q =

.

q (t ) = 0

instante

t,

y

q (0 ) = 0

y

q(0) = 0 .

.

expresa

la

corriente

en

el

circuito.

Suponga

que

a) Exprese este problema de valor inicial como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, con las condiciones apropiadas. b) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución del sistema en el plano de fases, con 0 ≤ t ≤ 8. c) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución de la ecuación original de segundo orden relativa al eje t. Considere en primer lugar el intervalo 0 ≤ t ≤ 2, y después, 0 ≤ t ≤ 8. d) Describa el comportamiento de la capacitancia cuando t→∞.

70. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E = 100 sen 60 t V, un resistor de 2 Ω, un inductor de 0.1 H y un capacitor de 1/260 farad. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, calcule la carga en el capacitor en cualquier tiempo t > 0.

71. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E(t) = 5 sen 100 t V, un resistor de 10 Ω, un inductor de 0.05 H y un capacitor de 2x10-4 farad. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, calcule la carga en el capacitor en cualquier tiempo t > 0.

72. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E(t) = 100 sen 200t V, un resistor de 40 Ω, un inductor de 0.25 H y un capacitor de 4x10-4 farad. Si la corriente inicial y la carga inicial es cero, y una carga inicial en el capacitor es 0.01 coulomb calcule la corriente en cualquier tiempo t > 0.

Sol. i = e-80t(-4.588sen60t+1.247cos60t)-1.247cos200t+1.331sen200t 73. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E(t) = 200e-100t V, un resistor de 80 Ω, un inductor de 0.2 H y un capacitor de 5x10-6 farad. Si la corriente inicial y la carga en el capacitor son cero, calcule la corriente en cualquier tiempo t > 0.

74. Se tiene un circuito LRC en serie, en el cual L = 1 H, R = 2 Ω, C= 1/2 F, además se sabe que q(0) = 0, i(0) = 0, el voltaje que se aplica al circuito es como se muestra en la figura, determine q(t) para t > 0.

Figura 2.10

 − 35 + 35t + 70e − t sent + 35e − t cos t Sol. q( t ) =  −t ) 5 5 35e 10e sen( t − 5) + 4e cos(t − 5) + 2sent + cos t

[

]

0≤t<5 t≥5

75. Un circuito tiene en serie una fuerza electromotriz dada por E(t) = 5sen(100t) V, un resistor de 10 Ω, un inductor de 0.05 H y un capacitor de 2x10-4 farad. Si la corriente inicial y la carga inicial en el capacitor son ambas cero, calcule la carga en el capacitor en cualquier tiempo > 0.

76. Un circuito tiene en serie un resistor RΩ, un inductor LH y un capacitor de C farads.

La corriente inicial es cero y la carga inicial en el capacitor es Qo coulombs. a) Demuestre que la carga y la corriente son funciones oscilatorias amortiguadas del tiempo si y sólo si R < 2 L / C , determine las expresiones para la carga y la corriente en este caso. b) Si R ≥ 2 L / C , discuta la naturaleza de la carga y de la corriente como funciones del tiempo.

2.5 Decaimiento radiactivo 77. En 1950 se utilizó un contador Geiger para medir la tasa de desintegración radiactiva del C14 en fragmentos de carbón vegetal en una cueva cerca de Lascaux, Francia, donde hay murales rupestres de varios animales. El contador registró aproximadamente 1.69 desintegraciones por minuto por gramo de carbono, en tanto que para el tejido vivo (como la madera de un árbol) ese número fue de 13.5. Utilice como guía la descripción siguiente para determinar cuándo se quemó la madera para hacer el carbón (y así determinar la edad de las pinturas). En cualquier organismo vivo la relación entre la cantidad de C14 y la cantidad total de carbono en las células es la misma que en el aire. Después que muere un organismo, cesa la ingestión de CO2 y sólo continúa la desintegración radiactiva. Se sabe que la vida media ‫ ז‬del C14 es de alrededor 5568 años. Supóngase que q(t) es la cantidad de carbono C14 por gramo en el instante t en la muestra de carbón vegetal; q(t) es adimensional porque se trata de una relación de masas. Supóngase que en este momento t = 0 y que T < 0 es cuando se quemó la madera. Entonces, q(t) = q(T) para t ≤ T. a) Supóngase que q0 es la cantidad de C14 por gramo de carbono en la muestra en t = 0. Compruebe que en el intervalo T ≤ t ≤ 0, q(t) es la única solución hacia atrás del PVI q’ = -kq,

q(0) = q0,

T≤t≤0

b) Resuelva el PVI del inciso a) y demuestre que

1 q τ q ' (T ) T = − ln T = ln k q 0 ln 2 q ' (0) Donde k es la tasa de decaimiento y ‫ ז‬la vida media para el C14. c) La lectura de un contador Geiger en el instante t es proporcional a q’(t), la tasa de decaimiento de los núcleos radiactivos en una muestra. Calcule T con los datos del enunciado del problema.

78. El desfiladero Olduvai, en Kenya, corta flujos y cenizas volcánicos, así como depósitos sedimentarios. Es el yacimiento arqueológico de huesos y artefactos de los primeros homínidos, considerados por algunos como los precursores del hombre. En 1959, Mary y Louis Leakey descubrieron un cráneo de homínido fosilizado y herramientas de piedra primitivas de mucha antigüedad. Los métodos de datación con carbono 14 resultan inapropiados para un espécimen de tal edad y naturaleza. Por tanto, la datación hubo de basarse en las edades de los estratos volcánicos situados arriba y abajo. El método utilizado fue el de decaimiento de argón y potasio. El de potasio y argón es un reloj de acumulación, lo contrario del método de datación con C14.

Utilice como guía la descripción siguiente para modelar este reloj de acumulación.

El método de potasio y argón se basa en la medición de los átomos de argón producto de la desintegración radiactiva de los átomos de potasio. De manera específica, el potasio 40 (K40) experimenta una desintegración radiactiva a argón 40 (Ar40) y a calcio 40 (Ca40) con tasas proporcionales a la cantidad de potasio, pero con sus respectivas constantes de proporcionalidad k1 y k2.

El modelo para este proceso de desintegración radiactiva puede escribirse en términos de las cantidades K(t), A(t) y C(t) de potasio, argón y calcio en una muestra de roca.

Con la ley de equilibrio se tiene K’ = -(k1 + k2)K,

A’ = k1K,

C’ = k2K

donde el tiempo t se mide hacia adelante a partir del instante en que la ceniza volcánica se depositó alrededor del cráneo. a) Resuelva el sistema para determinar K(t), A(t) y C(t) en términos de k1, k2 y k = k1 + k2, Sea K(0) = K0, A(0) = C(0) = 0. ¿Por qué K(t) + A(t) + C(t) = K0 para toda t ≥ 0?

Demuestre que K(t)→0, A(t)→k1K0/k y C(t)→k2K0/k cuando t→∞. b) La edad T del estrato volcánico es el valor actual de la variable de tiempo t porque el reloj de potasio y argón empezó cuando se sedimento el material volcánico. Esta edad se calcula al medir la proporción entre argón y potasio en una muestra. Demuestre que dicha proporción es A/K = (k1/k)(ekT - 1). Demuestre que la edad de la muestra (en años) es (1/k)ln[(k/k1)(A/K) + 1]. c) Cuando se hicieron las mediciones reales en la Universidad de California, en Berkeley, T (la edad de los huesos) se estimó en 1.75 millones de años. Los valores de las constantes de proporcionalidad son k1 = 5.76x10-11/año y k2 = 4.85x10-10/año. ¿Cuál fue el valor de la proporción medida A/K? Sol. K(t) = K0e-kt, A(t) = (K0k1/k)(1 – e-kt), C(t) = (K0k2/k)(1 – e-kt)

79. a) Sea y(t) la cantidad de un material radiactivo con velocidad de decaimiento relativa k. Sea Q(t) la velocidad de decaimiento. Emplee la ecuación diferencial de y (no la fórmula de solución) para demostrar que la cantidad Q experimenta también decaimiento exponencial con velocidad constante k. b) Algunas veces es más fácil medir la velocidad de decaimiento radiactivo que la cantidad de material. Determine la cantidad de sustancia radiactiva que había inicialmente, usando el resultado del inciso a). Para ver esto calcule primero la velocidad de decaimiento Q(t) = -y’(t). Después determine los valores de Q correspondientes a los tiempos 0 y al momento presente t = 1.14x109 años. Ahora suponga que todo lo que sabe es 1) el hecho de que Q decae exponencialmente a 0 con velocidad constante k = 1.537x10-10 años-1, 2) el valor inicial de Q y 3) el valor presente de Q. Use esta información para determinar la edad de la muestra.

80. El peróxido de hidrógeno es una sustancia química inestable que se descompone en una molécula de agua y un átomo de oxígeno. Suponga que la descomposición se puede modelar mediante un proceso de decaimiento con una velocidad de decaimiento relativa k. sea y la masa del peróxido de hidrógeno y w la masa del agua producida por el decaimiento. Sea z la fracción de la masa total que peróxido de hidrógeno. Determine z(t) en términos de k. Note que 34 g de peróxido de hidrógeno producen 18 g de agua y 16 g de oxígeno (el cual sale de la mezcla en forma de burbujas).

81. Cuando una película fotográfica se expone a la luz, los granos de bromuro de plata que contiene se sensibilizan por acción de la luz. Una suposición razonable es que la cantidad de granos de bromuro de plata sensibilizados disminuye hacia cero por decaimiento natural. La velocidad de decaimiento depende de las propiedades de la luz y de los granos de bromuro de plata. Para tomar fotografías durante la noche con un telescopio se requiere un largo tiempo de exposición. a) Suponga que un pedazo pequeño de película tiene inicialmente 1000 granos de bromuro de plata al empezar la exposición a la 1:15 a.m. si a la 1:17 a.m. restan 600 gramos aún no sensibilizados. ¿Cuántos granos no sensibilizados restarán a la 1:20 a.m.? b) Suponga que el tiempo óptimo de exposición es el necesario para que 80% de los granos sea sensibilizado. Suponga que un astrónomo mide el porcentaje p5 de granos no sensibilizados después de 5 minutos de exposición. Determine el tiempo correcto de exposición en función de p5.

82. Un radioisótopo utilizado en forma común para la detección de cáncer de mama es el tecnecio 99m. Este radionúclido se agrega a una solución que, inyectada a un paciente, se acumula en los lugares cancerosos. Luego se detecta la radiación del isótopo y se localiza el sitio, usando cámaras gama y otros dispositivos tomográficos.

El tecnecio 99m decae radioactivamente, de acuerdo con la ecuación dy/dt = -ky, donde k = 0.115/h. La corta vida del tecnecio 99m tiene la ventaja que su radioactividad no pone en peligro al paciente. Una desventaja es que el isótopo debe fabricarse en un ciclotrón. Como los hospitales no tienen ciclotrón, la dosis de tecnecio 99m deben ordenarse de antemano con los surtidores médicos.

Suponga que debe administrarse una dosis de 5 milicuries (mCi) de tecnecio 99m a un paciente. Estime el tiempo de entrega desde el lugar de producción hasta la llegada a la sala de tratamiento del hospital como 24 horas y calcule la cantidad del radionúclido que debe solicitar el hospital para lograr administrar la dosis adecuada.

83. Con frecuencia, el fechado por carbono se usa para determinar la edad de un fósil.

Por ejemplo, en una cueva de Sudáfrica se halló un cráneo humano junto con los restos de una hoguera. Los arqueólogos creen que la edad del cráneo sea igual a la edad de la hoguera. Se ha determinado que sólo queda 2% de la cantidad original de carbono 14 en los restos de madera en la hoguera. Estime la edad del cráneo, si la vida media del carbono 14 es de aproximadamente 5600 años. Suponga que la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente. La vida media de una sustancia radiactiva es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la sustancia.

Para ver lo sensible que puede ser la técnica de fechado por carbono. a) Vuelva a resolver el problema, suponiendo que la vida media del carbono 14 es de 5550 años. b) Vuelva a resolver el problema, suponiendo que resta 3% de la masa original. c) Si cada uno de las cifras de los incisos a) y b) representa un error del 1 % al medir los dos parámetros (vida media y porcentaje de masa restante), ¿a cuál parámetro es más sensible el modelo?

Sol. 31606 años

84. Los únicos isótopos de los elementos desconocidos hohio e inercio (símbolos Hh e It) son radiactivos. El hohio decae en el inercio con una constante de decaimiento de 2/año, y el inercio decae en el isótopo radiactivo del bunkio (símbolo Bu) con una constante de decaimiento de 1/año. Una masa inicial de 1 kg de holio se coloca en un recipiente no radiactivo, sin otras fuentes de holio, inercio ni bunkio. ¿Qué cantidad de cada elemento habrá en el recipiente después de t años? (La constante de decaimiento es la constante de proporcionalidad en el enunciado de que la razón de pérdida de masa del elemento en cualquier instante es proporcional a la masa del elemento en ese instante).

Sol. Bu.

e-2t kilogramos de Hh, 2e-t – 2e-2t kilogramos de It y 1 – 2e-t + e-2t kilogramos de

85. Para una sustancia D, la velocidad de transformación con respecto al tiempo es proporcional a la raíz cuadrada de la cantidad x de sustancia no transformada. Sea k el valor numérico de la constante de proporcionalidad. Demuestre que la sustancia desaparecerá en un tiempo finito y determine ese tiempo.

86. Dos sustancias, A y B, serán transformadas en un solo compuesto C. En el laboratorio se ha demostrado que para estas sustancias se cumple la siguiente ley de transformación: la razón de cambio con respecto al tiempo de la cantidad x del compuesto del compuesto C es proporcional al producto de las cantidades de las sustancias A y B no transformadas. Suponga que las unidades de medida son elegidas de modo que una unidad del compuesto C está formada a partir de la combinación de una unidad de A con una unidad de B. Si en el tiempo t = 0 hay a unidades de la sustancia A, b unidades de la sustancia B, y ninguna unidad del compuesto C, demuestre que la ley de transformación puede ser expresada por la ecuación

dx = k (a − x )(b − x ). dt a) Resuelva esta ecuación con las condiciones iniciales dadas. b) En la solución del inciso a), suponga que k > 0 e investigue el comportamiento de x cuando t→∞.

87. El siguiente sistema de ecuaciones diferenciales aparece al estudiar una serie de elementos que se desintegran por radiactividad.

dx = − λ 1x dt dy = λ1x − λ 2 y dt Donde λ1 y λ2 son constantes. (No se necesitan conocimientos especiales de estos sistemas para resolver éste.) Resuélvalo para determinar x(t) y y(t), sujetas a x(0) = x0 y y(0) = y0.

2.6 Ley del enfriamiento de Newton 88. Un veterinario desea saber la temperatura de un caballo enfermo. Las lecturas del termómetro siguen la ley de Newton. Al momento de colocar el termómetro marca 82°F. Después de tres minutos la lectura es de 90°F y tre s minutos más tarde de 94°F. Una convulsión repentina destruye el termómetro antes de la lectura final. ¿Cuál es la temperatura del caballo?

Sol. 98°F

89. Justamente antes de medio día el cuerpo de una aparente víctima de un homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70°F. A medio día, la temperatura del cuerpo es 80°F y a la 1 p.m . es de 75°F. Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6°F y que se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton. Cuál fue la hora de la muerte?

90. La temperatura T (en unidades de 100°F) de un s alón de clases de una universidad en un día frío de invierno varía con el tiempo t (en horas) de acuerdo con

dT 1 − T , si el calefactor está encendido. = dt  − T si el calefactor está apagado.

Suponga T = 0 a las 9 A.M., que el calefactor está encendido de las 9 a las 10:00 A.M., apagado de las 10 a las 11:00 A.M., encendido de 11 a 12 de mediodía y así sucesivamente por el resto del día. ¿A qué temperatura estará el salón a mediodía? Y a las 5 P.M.?

Sol. 71.8°F a mediodía;

26.9°F a las 5 P.M.

91. Era el mediodía en un frío día de diciembre en Tampa: 16°C. El detective Taylor llegó a la escena del crimen para hallar al sargento sobre el cadáver. El sargento dijo que había varios sospechosos. Si supieran el momento exacto de la muerte, podrían reducir la lista de sospechosos. El detective Taylor sacó un termómetro y midió la temperatura del cuerpo: 34.5°c. Luego salió a comer . Al regresar, a la 1:00 P.M., halló que la temperatura del cuerpo era de 33.7°C. ¿En qu é momento ocurrió el asesinato?

[Sugerencia: La temperatura normal del cuerpo es de 37°C].

Sol. 9:08 A.M.

92. En una fresca mañana de sábado, mientras las personas trabajaban en el interior, el calefactor mantiene la temperatura interior del edificio en 21°C. A mediodía, el aparato se apaga y los empleados se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 12°C durante el resto de la tarde. Si la constante de tiempo para el edificio es de 3 horas, ¿en qué momento llegará la temperatura del edificio a 16°C? Si algunas ventanas se dejan abiertas y la constante de tiempo se reduce a 2 horas, ¿en qué momento llegará la temperatura a 16°C?

93. En una calurosa mañana de sábado, cuando las personas trabajan dentro del edificio, el aire acondicionado mantiene la temperatura interior en 24°C. A mediodía, el aire acondicionado se apaga y las personas se van a casa. La temperatura exterior es constante e igual a 35°C durante el resto de la tar de. Si la constante de tiempo del edificio es de 4 horas, cuál será la temperatura dentro del edificio a las 2:00 P.M.? ¿Y a las 6:00 P.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura interior del edificio a 27°C? Sol. 28.3°C; 32.5°C; 1.16 P.M.

94. Se va a construir un almacén sin calefacción ni aire acondicionado. Según la cantidad de aislamiento, la constante de tiempo para este edificio puede variar de 1 a 5 horas. para ilustrar el efecto del aislamiento sobre la temperatura dentro del almacén, suponga que la temperatura exterior varía como una onda senoidal, con un mínimo de 16°C a las 2:00 A.M. y un máximo de 32°C a las 2:00 P.M. Suponiendo que el término exponencial (que implica la temperatura inicial T0) se ha extinguido, ¿cuál es la temperatura mínima dentro del edificio, si la constante de tiempo es 1 hora? ¿Y si la constante de tiempo es 5 horas? ¿Cuál es la máxima temperatura dentro del edificio si la constante de tiempo es 1 hora? ¿Y si es 5 horas?

Sol. 16.3°C; 19.1°C; 31.7°C; 28.9°C.

95. Un lunes temprano por la mañana, la temperatura en la sala de lectura ha descendido hasta 40°F, igual a la temperatura exter ior. A las 7:00 A.M., el conserje enciende el calefactor con el termostato puesto en 70°F. La constante de tiempo para el edificio es 1/K = 2 horas y la constante de tiempo para el edificio junto con su sistema de calentamiento es 1/K1 = ½ hora. Suponiendo que la temperatura exterior permanece constante, ¿cuál será la temperatura dentro de la sala de lectura a las 8:00 A.M.? ¿En qué momento llegará la temperatura dentro de la sala a 65°F?

96. Durante el verano, la temperatura dentro de una camioneta llega a 55°C, mientras que en el exterior es constante e igual a 35°C. Cua ndo la conductora entra a la camioneta, enciende el aire acondicionado con el termostato en 16°C. Si la constante de tiempo para la camioneta es 1/K = 2 horas y para la camioneta con el aire acondicionado es 1/K1 = 1/3 hora, ¿en qué momento llegará la temperatura dentro de la camioneta a los 27°C? Sol. 30.4 min 97. Dos amigos se sientan a platicar y disfrutar una taza de café. Al servir el café, el amigo impaciente agrega de inmediato una cucharada de crema a su café. El amigo relajado espera 5 minutos antes de añadir una cucharada de crema (que se ha mantenido a temperatura constante). Es entonces cuando ambos comienzan a tomar el café. ¿Quién tiene el café más caliente? Suponga que la crema está más fría que el aire y use la ley de enfriamiento de Newton.

98. Un sistema de calentamiento de agua mediante energía solar consta de un tanque de agua caliente y un panel solar. El tanque está bien aislado y tiene una constante de tiempo de 64 horas. El panel solar genera 2000 Btu/hora durante el día, y el tanque tiene una capacidad calórica de 2°F por mil Btu. Si el agua en el tanque está inicialmente a 110°F y la temperatura del cuarto do nde está el tanque es de 80°F, a) ¿cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas de luz solar? b) Se usa ahora un tanque más grande con una capacidad calórica de 1°F por mil Btu y una constante de tiempo de 72 horas (con los demás factores idénticos). ¿Cuál será la temperatura en el tanque después de 12 horas?

Sol. a) 148.6°F 99. A las 9 de la mañana un termómetro que marca 70°F es llevado fuera, donde la temperatura mide 15°F. Cinco minutos después, el te rmómetro marca 45°F. A las 9:10 a.m., el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura es fija a 70°F. Encuentre a) la lectura marcada a las 9:20 a.m., y b) al grado más cercano, calcule cuándo mostrará la lectura la temperatura correcta de la habitación (70°F).

Sol. a) 58.505°F, b) 106.119 min

100. A las 2:00 p.m., un termómetro que marca 80°F es llevado al exterior, donde la temperatura del aire mide 20°F. A las 2:03 p.m., la temperatura obtenida de la lectura del termómetro es de 42°F. Más tarde el termómetro es llevado dentro, donde la temperatura está a 80°F. A las 2:10 p.m., la lectur a indica 71°F. ¿Cuándo se regresó el termómetro al interior?

Sol. A las 2:05 de la tarde

101. Dos recipientes grandes A y B del mismo tamaño se llenan con diferentes líquidos.

Los líquidos de los recipientes A y B se mantienen a 0°C y 100°C, respectivamente.

Una barra metálica, cuya temperatura inicial es 100°C, se sumerge en el recipiente A. Después de un minuto la temperatura de la barra es de 90°C. Transcurridos dos minutos se retira la barra y se transfiere de inmediato al otro recipiente. Después de permanecer un minuto en el recipiente B la temperatura de la barra aumenta 10°. ¿Cuánto tiempo, desde el inicio del proceso, tarda la barra en llegar a 99.9°C?

102. Suponga que un forense que llega a la escena de un crimen ve que la temperatura del cadáver es 82°F. Proponga datos adicionales, pe ro verosímiles, necesarios para establecer una hora aproximada de la muerte de la victima, aplicando la ley de Newton del enfriamiento.

103. El señor Pérez coloca al mismo tiempo dos tazas de café en la mesa del desayunador. De inmediato vierte crema en su taza, con una jarra que estaba desde hace mucho en esa mesa. Lee el diario durante cinco minutos y toma su primer sorbo.

Llega la Sra. Pérez cinco minutos después de que las tazas fueron colocadas en la mesa, vierte crema en la suya y toma un sorbo. Suponga que la pareja agrega exactamente la misma cantidad de crema. ¿Quién y por qué toma su café más caliente? Base su aseveración en ecuaciones matemáticas.

104. Pastel dentro de un horno. a) Diseñe un modelo matemático para la temperatura de un pastel mientras está dentro del horno con base en las siguientes suposiciones: En t = 0 la mezcla de pastel está a temperatura ambiente de 70°F; el horno no se precalienta de modo que en t = 0, cuando la mezcla de pastel se coloca dentro del horno, la temperatura dentro del horno también es 70°F. La temperatura del horno aumenta de manera lineal hasta t = 4 minutos, cuando se alcanza la temperatura deseada de 300°F; la temperatura del horno se manti ene constante en 300°F para t ≥ 4. b) Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales del inciso a).

dT = k[T − 70 − 57.5t − (230 − 57.5t )U( t − 4)] dt  57.5 kt  k 1 + kt − e + 70 0 ≤ t < 4 b) T( t ) =  57.5 k ( t −4 )  e − e kt + 300 t≥4  k

Sol. a)

[

(

) ]

2.7 Mecánica 105. Se proyecta hacia arriba un objeto desde la superficie de la Tierra. Ignore la resistencia atmosférica y suponga que la fuerza gravitacional es constante a la largo del recorrido. a) Encuentre la velocidad inicial en metros por segundo si el objeto alcanza su punto más alto en 2 segundos. b) Encuentre la velocidad inicial si el punto más alto se encuentra a 1 000 metros por encima del piso. c) Encuentre el punto más alto si el viaje total (hacia arriba y hacia abajo) tarda un tiempo de 6 segundos.

106. Analicemos un modelo para un objeto que cae hacia la Tierra. Si sobre el objeto sólo actúan la resistencia del aire y la gravedad, se observo que la velocidad v debe satisfacer la ecuación

m

dv = mg − bv dt

donde m es la masa, g es la aceleración debida a la gravedad y b > 0 es una constante. si m = 100 kg, g = 9.8 m/s2, b = 5 kg/s y v(0) = 10 m/s, encuentre v(t). ¿Cuál es la velocidad límite (es decir, terminal) del objeto?

107. El piloto A ha permanecido 3 millas delante de su archienemigo B durante cierto tiempo. A sólo 2 millas antes de la meta, el piloto A se quedó sin gasolina y comenzó a desacelerar a una razón proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla después, la velocidad del piloto A se había reducido exactamente a la mitad. Si la velocidad del piloto B permaneció constante, ¿quién ganó la carrera?

Sol. A gana

d 4y

W con las condiciones de contorno y(0) = 0, y’(0) L dx = 0; y(L) = 0; y’(L) = 0. (Este problema aparece en el análisis de las tensiones sobre una viga uniforme de longitud L y peso W, con ambos extremos empotrados en el hormigón.

La solución y describe la forma de la viga cuando se coloca un cierto tipo de carga sobre ella. Aquí E e I son constantes, y el producto EI es una constante llamada rigidez a la flexión de la viga.) (Sugerencia: integre sucesivamente introduciendo una constante de integración en cada etapa. Entonces utilice las condiciones de contorno para evaluar estas constantes de integración.)

108. Resuelva la ecuación EI

4

=−

109. En balística, la relación entre la velocidad v de una bala de rifle y la distacia L que recorrió en el cañón del arma se establece mediante la ecuación

v=

aLn b + Ln

dL y n < 1. Busque la relación existente entre el tiempo t, durante el que la dt bala se desplaza en el cañón, y la distancia L que recorre a lo largo del mismo.

Donde v =

Sol. t =

1 bL1−n L + a  1− n

   

110. Si se intenta determinar la forma de un cable flexible y no extensible, suspendido entre dos puntos A y B a la misma altura, se pueden analizar las fuerzas que actúan sobre el cable y obtener la ecuación diferencial

  dy  2  = k 1 +    dx 2   dx  

d 2y

1/ 2

,

a) Utilice la sustitución p(x) = dy/dx para reducir la ecuación de segundo orden a una ecuación separable de primer orden. b) Exprese la solución general de la ecuación en términos de funciones exponenciales.

(Aquí es posible que necesite una tabla de integrales).

111. Se ha propuesto la siguiente ecuación para determinar la velocidad de un bote de remos

M

du 8P = − bSu 2 dt u

Donde u(t) representa la velocidad del bote en el instante t; M es su masa, y P, S y b son constantes positivas que describen otras características del bote y de la persona que rema en él. a) Determine la velocidad de equilibrio del bote. b) Determine si la velocidad hallada en el apartado a) es un sumidero o una fuente. c) Interprete el resultado del apartado b) desde un punto de vista físico.

112. Al modelar la velocidad de los aviones y la pérdida de altitud cuando se emerge de un picado, las leyes básicas de la física dan lugar a la ecuación diferencial

dV - gVsenθ = , dθ kV 2 - gcosθ donde θ denota el ángulo de picada (en radianes), V = V(θ) es la velocidad del avión, g = 9.81 m/s2 es la constante de aceleración y k es una constante relacionada con el área de la superficie de la ala. Para un avión concreto, k = 0,00145, θ0 = 0.786 y V(θ0) = V0 = 150 m/s. Estime V(0), la velocidad del avión a la finalización del picado; es decir, cuando se endereza hasta que θ = 0.

Sol. V(0) = 166.39 metros por segundo.

113. Una temeraria Diana, practica paracaidismo saltando de un avión desde una altitud inicial de 10 000 pies. En el instante t, su velocidad v(t) satisface el problema de valor dv inicial = f(v), v(0) = 0, donde dt f(v) = 32 – (0.000025)(100v + 10v2 + v3).

Si no abre su paracaídas, alcanzará una velocidad terminal cuando las fuerzas de gravedad se equilibren con la resistencia del aire. a) Obtenga la velocidad para t = 5, 10, 15, 16, 17, 18, 19 y 20 segundos, y obtenga entonces su velocidad terminal. b) Trace la gráfica de la velocidad de Diana en el intervalo [0, 30].

Sol. a) T

V(t)

5

100.163

10 104.984 15 105.045 16 105.046 17 105.046 18 105.046 19 105.046 20 105.046 Tabla 2.2 b) La velocidad terminal es aproximadamente de 105.046 pies por segundo.

114. la ecuación θ’’ = – 4θ – 5θ‘ representa el ángulo l(t) generado por una puerta de vaivén, donde l se mide desde la posición de equilibrio de la puerta, que es la posición cerrada. Las condiciones iniciales son θ(0) = π/3 y θ’(0) = 0. a) Determineel ángulo θ como una función del tiempo (t > 0). b) ¿Qué le indica su solución acerca de lo que va a ocurrir cuando t sea muy grande? c) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución θ(t) en el intervalo [0, 5].

115. Una viga horizontal uniforme se comba un valor y = y(x) satisface típicamente una ecuación en la forma d4y/dx4 = R, donde R es una constante dependiente de la carga soportada y de las caraccterísticas de la misma viga. Si los extremos de la viga se apoyan en x = 0 y x = L, entonces y(0) = y(L) = 0. Además, la viga extendida se comporta como si su perfil tuviera un punto de inflexión en cada apoyo, de forma que y’’(0) = y’’(L) = 0. a) Utilice los valores propios múltiples de la ecuación homogénea asociada para hallar la solución general de la ecuación homogénea. b) Demuestre que el combamiento (deflexión vertical) en el punto x es (1/24)R(x4 – 2Lx3 + L3x), 0 ≤ x ≤ L.

116. Un objeto colocado sobre el agua, presionado una cierta distancia bajo la misma y luego liberado, tiene un movimiento de balanceo descrito por la ecuación

g   y = 0 , + dt 2  s 0 

d2 y

Donde y es el desplazamiento vertical desde su posición de equilibrio, g es la aceleración debida a la gravedad y s0 es la profundidad inicial. Exprese esta ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden.

Sol. El sistema es {dy1/dt = y2, dy2/dt = -(g/s0)y1}

d2 x

g senx = 0 describe la oscilación de L dt un péndulo, donde x es el ángulo del péndulo con la vertical, g es la aceleración debida a la gravedad y L es la longitud del péndulo. Transforme esta ecuación en un sistema no lineal de ecuaciones de primer orden.

117. La ecuación no lineal de segundo orden

118. La ecuación

d2θ 2

2

+

+ k 2 senθ = 0 describe el movimiento de un péndulo no

dt amortiguado, donde θ es el ángulo que forma el péndulo con la vertical. Convierta esta ecuación en un sistema y describa todos sus puntos de equilibrio.

119. Un cuerpo que pesa 8 libras cae desde el reposo hacia la Tierra desde una gran altura. A medida que cae, la resistencia del aire actúa sobre él, y supondremos que esta resistencia (en libras) es numéricamente igual a 2v, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Calcule la velocidad y distancia recorrida después de t segundos.

Sol. v(t) = 4(1 – e-8t); x(t) = 4[t + (1/8)e-8t – 1/8]

120. Un hombre equipado con un paracaídas y otro equipo esencial cae desde el reposo hacia la Tierra. El peso total del hombre más el equipo es 160 lb. Antes de que el paracaídas se abra, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a (1/2)v, donde v es la velocidad (en pies por segundo). El paracaídas se abre 5 segundos después de que se inicia la caída; después que se abre, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a (5/8)v2, donde v es la velocidad (en pies por segundo).

Calcule la velocidad del hombre a) antes de abrir el paracaídas y b) después de abrirse el paracaídas.   110 20 −4 t 16 e + 1 142  Sol. a) v = 320(1 - e - t/10 ), b) v =  110 20 − 4 t 1− e 142 121. Un objeto que pesa 48 lb se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano inclinado metálico que está inclinado 30° resp ecto de la horizontal. La resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a un medio de la velocidad 8en pies por segundo), y el coeficiente de rozamiento es un cuarto. a) ¿Cuál es la velocidad del objeto dos segundos después de haberse soltado? b) Si el plano mide 24 pies de longitud, ¿cuál es la velocidad del cuerpo en el momento que llega al punto inferior?

Sol. a) 10.2 pies/s, b) 12.3 pies/s 122. Una piedra que pesa 4 lb cae desde el reposo hacia la Tierra desde una gran altura. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a (1/2)v (en libras), donde v es la velocidad 8en pies por segundo). a) Determine la velocidad y distancia recorrida después de t segundos. b) determine la velocidad y distancia recorrida al final de 5 segundos.

123. Una pelota que pesa 6 lb se lanza verticalmente hacia abajo hacia la superficie terrestre desde una altura de 1000 pies con una velocidad inicial de 6 pies7s. A medida que cae actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual (2/3)v (en libras), donde v es la velocidad (en pies por segundo). a) ¿Cuál es la velocidad y distancia recorrida al final de un minuto? b) ¿Con qué velocidad choca la pelota contra la Tierra?

124. Una pelota que pesa ¾ lb se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 6 pies arriba de la superficie terrestre y con una velocidad inicial de 20 pies/s. A medida que asciende actúa sobre ella la resistencia del aire que es numéricamente igual a (1/64)v (en libras), donde v es la velocidad (en pies por segundo). ¿A qué altura llegará la pelota?

125. Un barco que pesa 32000 toneladas parte desde el reposo bajo la fuerza constante de arrastre de 100000 lb. La resistencia en libras es numéricamente igual a 8000v, donde v está en pies por segundo. a) Determine la velocidad del barco como una función del tiempo. b) Determine la velocidad límite (es decir, el límite de v cuando t→+∞). c) determine la distancia que debe recorrer el barco para alcanzar una velocidad de 80% de la velocidad límite.

126. Un cuerpo de masa 100 g se deja caer desde el reposo hacia la Tierra desde una altura de 1000 m. a medida que cae, la resistencia actúa sobre éste, y esta resistencia (en newtons) es proporcional a la velocidad v (en metros por segundo). Suponga que la velocidad límite es 245 m/s. a) Calcule la velocidad y distancia recorrida después de t segundos. b) Calcule el instante en que la velocidad es un quinto de la velocidad límite.

Sol. a) v = 245(1 – e-t/25), x = 245[t + 25(e-t/25 – 1)]; b) t = 5.58 seg

127. Un objeto de masa 100 g se lanza verticalmente hacia arriba desde un punto que se encuentra 60 cm arriba de la superficie terrestre con una velocidad inicial de 150 cm/s. el objeto asciende brevemente y después cae verticalmente hacia la tierra, durante todo el tiempo actúa sobre él la resistencia del aire que es numéricamente igual a 200v (en dinas), donde v es la velocidad (en cm/s). a) Calcule la velocidad 0.1 segundo después de que el objeto se lanza. b) Calcule la velocidad 0.1 segundo después de que el objeto se detiene en su ascenso y empieza su caída.

128. Dos personas viajan en un bote y el peso combinado de las dos, el motor, el bote y el equipo es 640 lb. El motor ejerce una fuerza constante de 20 lb sobre el bote en la dirección del movimiento, mientras que la resistencia (en libras) es numéricamente igual a una y media veces la velocidad (en pies por segundo). Si el bote parte desde el reposo, calcule la velocidad del bote después de a) 20 segundos, b) un minuto.

Sol. a) 10.36 pie/s; b) 13.19 pies/s 129. Un bote que pesa 150 lb transporta a una sola persona que pesa 170 lb; está siendo remolcado en una cierta dirección a razón de 20 mph. En el instante t = 0 la cuerda del remolque se suelta repentinamente y el pasajero empieza a remar en la misma dirección, ejerciendo una fuerza equivalente a una fuerza constante de 12 lb en esta dirección. La resistencia (en libras) es numéricamente igual a dos veces la velocidad (en pies por segundo). a) calcule la velocidad del bote 15 segundos después que la cuerda del remolque se soltó. b) ¿cuántos segundos después de que la cuerda del remolque se soltó la velocidad será un medio de la que el bote llevaba al ser remolcado?

130. Un proyectil que pesa 1 onza se dispara verticalmente hacia abajo desde un helicóptero estacionado con una velocidad inicial de 1200 pies/s. La resistencia del aire (en libras) es numéricamente a 10-4v2, donde v es la velocidad (en pies por segundo).

Calcule la velocidad del proyectil como una función del tiempo.

Sol.

v=

(

256 91 + 59e − t / 4 91 − 59e

−t / 4

)

131. Un obús que pesa 1 lb se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 1000 pies/s. La resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a 16-5v2, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Calcule la velocidad del proyectil como una función del tiempo.

132. Un objeto que pesa 16 lb se deja caer desde el reposo sobre la superficie de un lago en calma y después empieza a hundirse. Mientras su peso le obliga a descender, la fuerza de empuje sobre el objeto tiende a detenerlo. Si esta fuerza de empuje es de 6 lb y la resistencia del agua (en libras) es numéricamente igual a dos veces el cuadrado de la velocidad (en pies por segundo), determine la fórmula para la velocidad del objeto que se hunde como una función del tiempo.

Sol.

v=

(

5 1 − e −8 1 + e −8

5t

5t

)

133. Un objeto que pesa 12 lb está colocado bajo la superficie de un lago en calma. La fuerza de empuje sobre el objeto es de 30 lb; debido a ésta el objeto empieza a ascender. Si la resistencia del agua (en libras) es numéricamente igual al cuadrado de la velocidad (en pies por segundo) y el objeto sale a la superficie en 5 segundos, calcule la velocidad del objeto en el instante en que alcanza la superficie.

134. Un hombre empuja un trineo cargado a través de una superficie helada horizontal con una velocidad constante de 10 pies/s. Cuando el hombre se encuentra a la mitad de su recorrido, deja de empujar al trineo y permite que éste continúe moviéndose por si mismo. El peso combinado del trineo y su carga es 80 lb; la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a (3/4)v, donde v es la velocidad del trine (en pies por segundo); y el coeficiente de rozamiento sobre el hielo es 0.04. ¿Qué distancia recorrerá el trineo después que el hombre dejó de empujarlo?

Sol. 16.18 pies

135. Una niña se deslizó en su trineo por una colina hasta llegar a una superficie helada horizontal donde empezó a detenerse. En el instante en que su velocidad era 5 pies/s, el padre de la niña corrió y empujó el trineo hacia adelante, ejerciendo una fuerza constante de 15 lb en la dirección del movimiento. El peso combinado de la niña y el trineo es 96 lb, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a un medio de la velocidad (en pies por segundo), y el coeficiente de rozamiento sobre el hielo es 0.05. ¿A qué velocidad se mueve el trineo 10 segundos después de que el padre empezó a empujarlo?

136. Una caja de leche enlatada pesa 24 lb y se suelta desde el reposo en la parte superior de un plano metálico que mide 30 pies de longitud y está inclinado 45° respecto de la horizontal. La resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a un tercio de la velocidad (en pies por segundo) y el coeficiente de rozamiento es 0.4. a) ¿Cuál es la velocidad con que se mueve la caja un segundo después de haberse soltado? b) ¿Cuál es la velocidad que lleva la caja en el momento de llegar a la parte inferior del plano?

Sol. a) 10.96 pies/s; b) 20.46 pies/s 137. Un muchacho se desliza con su trineo por una pendiente de 30°. El peso combinado del muchacho y su trineo es 72 lb y la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual a dos veces su velocidad (en pies por segundo). Si el movimiento se inició desde el reposo y su velocidad después de 5 segundos es de 10 pies/s, cuál es el coeficiente de rozamiento del trineo sobre la piel?

138. Un objeto que pesa 32 lb se suelta desde el reposo a una altura de 50 pies arriba de la superficie de un lago en clama. Antes de que el objeto llegue a la superficie del lago, la resistencia del aire (en libras) está dada por 2v, donde v es la velocidad (en pies por segundo). Después de que el objeto empieza a hundirse en el agua, la resistencia (en libras) está dada por 6v. Además, sobre el objeto actúa una fuerza de empuje hacia arriba de 8 lb. Calcule la velocidad del objeto 2 segundos después que empezó a hundirse en el agua.

Sol. 4.03 pies/s 139. Un cohete de masa m se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con velocidad inicial v = vo. La única fuerza que consideraremos que actúa sobre el cohete es la atracción gravitacional de la Tierra. Después, de acuerdo con la ley de Newton de la gravitación, la aceleración a del cohete está dada por a = -k/x2, donde k > 0 es una constante de proporcionalidad y x es la distancia “hacia arriba” desde el centro de la Tierra a lo largo de la recta de movimiento. En el instante t = 0, x = R (donde g es la aceleración debida a la gravedad) y v = vo. Exprese a = dv/dt, aplique los datos iniciales adecuados y observe que v satisface la ecuación diferencial.

v

dv gR 2 =− 2 dx x

Resuelva está ecuación diferencial, aplique la condición inicial adecuada y de ahí exprese v como una función de x. en particular, demuestre que el valor mínimo de vo para el cual el cohete escapará de la Tierra es

2gR . Esta es la llamada velocidad de

escape; y utilizando R = 4000 millas, g = 32 pies/s2 se determina que ésta es aproximadamente 25000 mph (o se 6 mi/s).

140. Un cuerpo de masa m está en movimiento rectilíneo a lo largo de un eje horizontal.

La fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo está dada por –kx, donde k > 0 es una constante de proporcionalidad y x es la distancia a lo largo del eje desde un punto fijo O. El cuerpo tiene velocidad inicial v = vo cuando x = xo. Aplique la segunda ley de Newton y después escriba la ecuación diferencial del movimiento en la forma mv

dv = −kx dx

Resuelva la ecuación diferencial, aplique la condición inicial y exprese el cuadrado de la velocidad v como una función de la distancia x. Debe recordar que v = dx/dt, demuestre que la relación entre v y x, obtenida de esta manera, se satisface para todo tiempo t por x=

x o2

 k  mv o2 + sen t + φ  k  m 

Donde φ es una constante

141. La ecuación diferencial describe la velocidad v de una masa m en caída sujeta a la resistencia del aire, la cual es proporcional a la velocidad instantánea esto es

m

dv = mg − kv dt

En que k > 0 es una constante de proporcionalidad positiva. La dirección positiva es hacia abajo. a) Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial v(0) = v0. b) Use la solución de la parte a) para determinar la velocidad limitante, o terminal, de la masa. c) Si la distancia s, medida desde el punto donde se liberó la masa sobre el suelo, se relaciona con la velocidad v mediante ds/dt = v(t), encuentre una expresión explicita para s(t) si s(0) = 0.

142. Suponga que una pequeña bala de cañón que pesa 16 libras, se dispara verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial v0 = 300 pies/s. La respuesta a la pregunta “¿a qué altura llega la bala?” dependerá de si se toma en cuenta la resistencia del aire. a) Suponga que no se toma en cuenta la resistencia del aire. Si la dirección positiva se define hacia arriba, entonces un modelo que describe el estado de la bala es d2s/dt2 = g. Integre esta ecuación una vez para demostrar que la velocidad es v(t) -32t + 300, donde se fija a g = -32 pies /s2. b) Aproveche que ds/dt = v(t) para calcular la altura s(t) de la bala, medida desde el nivel del suelo. Calcule la altura máxima a la que llega. c) Repita el problema, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea. Es razonable suponer que la altura máxima alcanzada por la bala de cañón debe ser menor que la obtenida en la parte b). Demuéstrelo suponiendo que la constante de proporcionalidad es k = 0.0025.

143. Una paracaidista pesa 125 libras, y su paracaídas y equipo combinados pesan otras 35 libras. Después de lanzarse desde un avión a 15 000 pies de altura, espera 15 segundos y abre su paracaídas. Suponga que la constante de proporcionalidad en el modelo tiene un valor de k = 0.5 durante la caída libre y k = 10 después de abierto el paracaídas. Considere que la velocidad inicial al salir del avión es cero. ¿Cuál es su velocidad y cuánto ha caído 20 segundos después de saltar? ¿Cómo se compara su velocidad a los 20 segundos con su velocidad terminal? ¿Cuánto tiempo tarda en llega al suelo? [Sugerencia: suponga que se trata de dos problemas de valor inicial distinto]

144. Al caer una gota de agua se evapora y al mismo tiempo retiene su forma esférica.

Si se hacen las suposiciones adicionales de que la rapidez con que se evapora es proporcional a su área y no se considera la resistencia del aire, la velocidad

dv 3(k / ρ) + v=g dt (k / ρ)t + r0 En ella , ρ es la densidad del agua , r0 es el radio de la gota cuando t = 0, k < 0 es la constante de proporcionalidad, y la dirección positiva se define hacia abajo. a) Si la gota de lluvia cae desde el reposo, determine v(t) b) Demuestre que el radio de la gota en el tiempo t es r(t) = (k/ρ)t + r0. c) Si r0 = 0.01 pie y si r = 0.007 pie 10 segundos después, determine el tiempo en el que se evapora la gota de lluvia por completo.

2.8 Mezclas 145. Un tanque de 30 galones contiene 15 galones de agua salada (con 6 libras de sal).

Suponga que, hacia la parte superior del tanque, se bombea agua salada que contiene 1 libra de sal por galón, a razón de 2 galones por minuto, mientras que una solución bien mezclada sale por el fondo del tanque a razón de 1 galón por minuto. ¿Cuánta sal se encuentra en el tanque cuando éste está lleno?

146. Un tanque de 400 galones contiene inicialmente 200 galones de agua que contienen 2 partes por 1000 millones en peso de dioxina, que es un carcinógeno extremadamente potente. Suponga que el agua que contiene 5 partes por 1000 millones de dioxina fluye hacia arriba del tanque a razón de 4 galones por minuto. El agua en el tanque se mantiene bien mezclada y se retiran 2 galones por minuto por el fondo del tanque. ¿Cuánta dioxina se encuentra en el tanque cuando está lleno?

Sol. 4.25 partes por mil millones 147. Un tanque de 100 galones contiene inicialmente 100 galones de agua azucarada con una concentración de 0.25 libras de azúcar por galón. Suponga que se agrega azúcar al tanque a razón de p libras por minuto, que el agua azucarada se retira a razón de 1 galón por minuto y que se mantiene bien mezclada. a) ¿Qué valor de p debemos escoger para que, cuando queden en el tanque 5 galones de agua azucarada, la concentración sea de 0.5 libras de azúcar por galón? b) ¿Es posible escoger p de manera que la última gota de agua en la cubeta tenga una concentración de 0.75 libras de azúcar por galón?

148. Suponga que un tanque de 50 galones contiene un volumen Vo de agua limpia en el tiempo t = 0. En este punto comenzamos a verter 2 galones por minuto de una solución salina que contiene 0.25 libras de sal por galón en el tanque. También, en el tiempo t = 0, empezamos a retirar 1 galón por minuto de agua salada del tanque. Como siempre, suponga que el agua en el tanque está bien mezclada de manera que la concentración de sal en un tiempo cualquiera es constante en todo el tanque. a) Plantee el problema de valor inicial para la cantidad de sal en el tanque. [Sugerencia: El valor inicial de V0 aparecerá en la ecuación diferencial.] b) ¿Cuál es la ecuación para el modelo cuando V0 = 0 (cuando el tanque está inicialmente vacío)? Comente sobre la validez del modelo en esta situación. ¿Cuál será la cantidad de sal en el tiempo t para esta situación?

Sol. a) dy/dt =1/2 – y/(V0 + t); b) Note que si V0 = 0, entonces la ecuación diferencial no está definida en t = 0. La cantidad de sal en el tanque en el tiempo t es t/4.

149. Supongamos que un recipiente de 10 galones contiene 4 galones de agua limpia, y comenzamos vertiendo azúcar al recipiente en el tiempo t = 0 a razón de 0.25 libras por minuto. También agregamos agua limpia al recipiente a razón de 2 galones por minuto.

Finalmente, digamos que el agua se mantiene bien mezclada de manera que la concentración de azúcar es uniforme en el recipiente, y que retiramos 1 galón por minuto de agua azucarada del fondo del recipiente. ¿Cuál será la concentración de azúcar en el momento en que el recipiente empieza a derramarse?

Sol. 0.105 lb 150. Un depósito de 200 galones está lleno de una solución que contiene 25 libras de concentrado. Desde el instante t = 0, se introduce en él agua destilada a razón de 10 galones/min y se remueve la solución mientras se vacía a ese mismo ritmo. a) Expresar la cantidad Q de concentrado en la solución en función de t. b) Calcular el tiempo que tarda la cantidad de concentrado en llegar a 15 libras. c) Hallar la cantidad de concentrado en la solución cuando t→∞.

151. Un depósito de 200 galones está lleno hasta su mitad de agua destilada. En el instante t = 0 empieza a entrar en él una solución que contiene 0.5 libras de concentrado por galón, a razón de 5 galones/min. La mezcla, bien removida en todo momento, escapa del depósito a razón de 3 galones/min. a) ¿En qué momento se acabará de llenar el depósito? b) En ese instante, ¿cuántas libras de concentrado contendrá?

152. Suponga que una solución salina con 0.3 kg de sal por litro se introduce en un tanque que contenía originalmente 400 litros de agua y 2 kg de sal. Si la solución entra a razón de 10 litros/minuto, la mezcla se mantiene uniforme revolviéndola, y la mezcla sale con la misma razón, determine la masa de sal en el tanque en el tanque después de 10 minutos. [Sugerencia: sea A el número de kilogramos de sal en el tanque, t minutos después de iniciar el proceso] Sol. 281 kg

153. Suponga que una solución salina con 2 kg de sal por litro se introduce en un tanque que contiene inicialmente 500 litros de agua y 50 kg de sal. La solución entra al tanque a razón de 5 litros/minuto. La mezcla se mantiene uniforme revolviéndola, y sale del tanque a razón de 5 litros/minuto. a) Determine la concentración, en kilogramos/litro, de la sal en el tanque después de 10 minutos. [Sugerencia: Sea A el número de kilogramos de sal en el tanque, t minutos después de iniciar el proceso] b) Después de 10 minutos, aparece un derrame en el tanque y comienza a salir del tanque otro litro por minuto. ¿Cuál será la concentración, en kilogramos/litro, de sal en el tanque después de 20 minutos a partir del inicio del derrame?

Sol. a) 0.281 kg/L,

b) 0.598 kg/L

154. Una solución salina entra a una razón constante de 8 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.02 kg/litro?

Sol. 50 – 45e-2t/25 kg, 5.07 min

155. Una solución salina entra a una razón constante de 6 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 50 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.03 kg/litro?

156. Una solución de ácido nítrico entra a una razón constante de 6 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de ácido nítrico al 0.5%. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón de 8 litros/minuto. Si la solución que entra al tanque tiene ácido nítrico al 20%, determine el volumen de ácido nítrico en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará el porcentaje de ácido nítrico en el tanque a 10%’ Sol. (0.4)(100 – t) – (39x10-8)(100 – t)4L; 19.96 min.

157. Una solución salina entra a razón constante de4 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón de 3 litros/minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.2 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.1 kg/litro?

158. Una alberca cuyo volumen es de 10,000 galones contiene agua con cloro al 0.01%. A partir del instante t = 0, se bombea agua del servicio público con cloro al 0.001% hacia la alberca, a razón de 5 galones/minuto. El agua sale de la alberca con la misma razón. ¿Cuál es el porcentaje de cloro en la alberca después de 1 hora? ¿En qué momento el agua de la alberca tendrá 0.002% de cloro?

Sol. 0.0097%;

73.24 h

159. Un tanque contiene 80 galones (gal) de agua pura. Una solución de salmuera que contiene 2 libras por galón de sal es introducida en el tanque a razón de 2 galones por minuto y luego, perfectamente mezclada, sale a la misma velocidad. Encuentre a) la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante, y b) el tiempo en que la salmuera que sale contendrá una libra por galón de sal, c) determine el valor límite de la cantidad de sal que pueda hallarse después de mucho tiempo. d) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la cantidad de sal alcance un 80% de ese valor límite?

Sol. c) s = 160 libras; d) t = 64 minutos.

160. Un depósito con una capacidad de 100 decalitros (dal) está medio lleno de agua dulce. Se abre una cañería que permite introducir aguas residuales en el depósito, procesadas a un ritmo de 4 dal por minuto. Al mismo tiempo se abre un desagüe que permite desalojar la mezcla a un ritmo de 2 dal por minuto. Si las aguas residuales procesadas contienen 10 gramos de potasio utilizable por dal, ¿cuál es la concentración de potasio en el depósito cuando está lleno? (¡Tenga cuidado con las unidades!)

Sol. La concentración de potasio es de 7.5 gramos por decalitro 161. Inicialmente, un tanque con una capacidad de 100 dal está lleno de agua. Se introduce agua pura a un ritmo de 1 dal por minuto. Al mismo tiempo fluye en el tanque, a un ritmo de 1 dal por minuto, salmuera (una mezcla de sal y agua), que contiene ¼ de kilogramo de sal por dal. (Suponga que hay una mezcla perfecta.) La mezcla sale del tanque a un ritmo de 2 dal por minuto. Calcule la cantidad de sal que habrá en el tanque después de t minutos.

162. Suponga que tenemos un depósito de 200 dal lleno de agua dulce. Se abre un desagüe que retira del depósito 3 dal por segundo y, al mismo tiempo, se abre una válvula que deja entrar una solución del 1% (una concentración del 1%) de cloro a un ritmo de 2 dal por segundo. a) ¿Cuándo se encuentra el depósito lleno hasta la mitad? Y en ese momento, ¿cuál es la concentración de cloro? b) ¿Si se cierra el desagüe cuando el depósito está medio lleno y éste se va llenando, ¿cuál será la concentración final de cloro en el depósito?

Sol. a) El tanque está medio lleno 100 segundos después de que se hayan abierto la válvula y el desagüe. En ese instante, la solución contiene un 0,75% de cloro. b) La concentración final es del 0.875%.

163. Suponga que cmax es la máxima concentración admisible de un medicamento en un órgano dado y que el volumen V de éste es constante. Si además se supone que inicialmente el órgano no contiene dicho medicamento, que el líquido que transporta la medicación dentro del órgano tiene una concentración constante c > cmax, y que las velocidades de entrada y salida de líquido son ambas iguales a r, demuestre que no se puede permitir la entrada del líquido durante un tiempo superior a

V  c ln r  c − c max

  . 

164. Un tanque contiene inicialmente 100 gal de salmuera en el que se han disuelto 20 lb de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, la salmuera que contiene 3 lb de sal disuelta por galón entra al tanque a razón de 4 gal/min. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale simultáneamente del tanque con la misma rapidez. a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 10 minutos? b) ¿Cuándo se tendrán en el tanque 160 lb de sal?

Sol. a) 112.31 lb,

b) 17.33 min

165. Un tanque grande contiene inicialmente 100 gal de salmuera en el que se han disuelto 10 lb de sal. Comenzando en t = 0, entra agua pura al tanque a razón de 5 gal/min. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación, y estando la mezcla bien agitada sale simultáneamente con una rapidez de 2 gal/min. a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 15 min y cuál será la concentración en ese tiempo? b) Si la capacidad del tanque es de 250 gal, ¿cuál será la concentración en el tanque en el instante en que empieza a desbordarse?

166. Un tanque contiene inicialmente 100 gal de agua pura. Comenzando en t = 0, una salmuera que contiene 4 lb de sal por galón entra al tanque a razón de 5 gal/min. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale con una rapidez de 3 gal/min. a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 20 minutos? b) ¿Cuándo habrá en el tanque 50 lb de sal?

Sol. a) 318.527 lb, b) 2.595 minutos 167. Un tanque grande contiene inicialmente 200 gal de salmuera en la que se han disuelto 15 lb de sal. Comenzando en t = 0, la salmuera contiene 4 lb de sal por galón y entra al tanque a razón de 3.5 gal/min. Mediante agitación la mezcla se conserva uniforme, y estando bien agitada sale del tanque con una rapidez de 4 gal/min. a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de una hora? b) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque cuando éste contenga solamente 50 gal de salmuera?

168. Un tanque de 500 litros contiene inicialmente 300 litros de líquido en los que hay disueltos 50 g de una cierta sustancia química. El líquido que contiene 30 g por litro de la sustancia química disuelta entra al tanque con una rapidez de 4 litros/min. Mediante agitación la mezcla se mantiene uniforme y estando agitada sale a razón de 2.5 litros/min. ¿Qué cantidad de la sustancia química habrá en el tanque en el instante que empieza a desbordarse?

Sol. 11 179.897 gramos 169. Un tanque de 200 litros inicialmente se encuentra lleno de líquido en el que se han disuelto 40 g de una cierta sustancia química. El líquido que contiene 50 g por litro de esta sustancia entra al tanque a razón de 5 litros/min. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando 50 g por litro de esta sustancia entra al tanque a razón de 5 litros/min. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando bien agitada sale a razón de 7 litros/min. ¿Qué cantidad de la sustancia química habrá en el tanque cuando se encuentre lleno hasta la mitad?

170. El aire de un cuarto cuyo volumen es 10 000 pies cúbicos contiene 0.15% de dióxido de carbono. Comenzando en t = 0, el aire del exterior contiene 0.05% de dióxido de carbono y entra al cuarto a razón de 5 000 pies cúbicos/min. a) ¿Cuál es el porcentaje de dióxido de carbono en el aire del cuarto después de tres minutos? b) ¿Cuándo contendrá el aire del cuarto 0.1% de dióxido de carbono?

Sol. a) 0.072%, b) 1.39 min.

171. El aire de un cuarto de 50 por 20 por 8 pies cúbicos contiene 0.2% de dióxido de carbono. Comenzando en t = 0, el aire del exterior contiene 0.05% de dióxido de carbono y entra al cuarto. ¿Cuántos pies cúbicos de este aire exterior deberán ser admitidos por minuto a fin de que el aire en el cuarto contenga 0.1% después de 30 minutos?

172. La rapidez con la que una cierta sustancia se disuelve en agua es proporcional al producto de la cantidad no disuelta y la diferencia, c1 – c2, donde c1 es la concentración en la solución saturada y c2 es la concentración en la solución real. Si está saturada, 50 g de agua podrían disolver 20 g de la sustancia. Si 10 g de la sustancia se colocan en 50 g de agua y la mitad de la sustancia se disuelve en 90 min, ¿qué cantidad se disolverá en 3 hr?

Sol. 7.5 gramos 173. Un tanque contiene 50 galones de salmuera en el que se han disuelto 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, se administra agua a una velocidad de 2 gal/min; la mezcla se drena a la misma velocidad hacia un segundo tanque que inicialmente contiene 50 galones de agua pura. ¿En qué momento contendrá el segundo tanque la cantidad más alta de sal?

174. Un tanque está lleno con 10 galones de agua salada en la cual están disueltas 5 lb de sal. Agua salada conteniendo 3 libras de sal por gal entra al tanque a 2 gal por minuto, y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a) Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. b) ¿Cuánta sal esta presente después de 10 min? c) ¿Cuánta sal está presente después de un tiempo largo?

Sol. a) A(t) = 30 – 25e-t/5; b) 26.6 lb;

c) 30 lb

175. Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. se encuentra que la tasa a la cual C se forma varía con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2 lb de A por cada libra de B. Si 10 lb de A y 20 lb de B están presentes inicialmente, y si 6 lb de C se forman en 20 minutos, encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

Sol .

A(t ) =

  2  3t  15 1 −      3   1 2 1−   43

3t

176. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 g de sal y le entran 4 L/min de solución con 1 g de sal por litro; bien mezclado, de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t.

177. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 g de sal y le entran 4 L/min de agua pura, de él sale líquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t.

178. Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y de él sale solución con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. ¿Cuál es la concentración de la solución en el tanque cuando t = 5 min?

179. Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. El tanque está bien mezclado, y de él sale solución a razón de 10 gal/min. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. ¿Cuál es la concentración de la solución en el tanque cuando t = 5 min? ¿cuándo se vacía el tanque?

180. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con ½ lb de sal por galón a razón 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él a razón de 4 gal/min de solución. Calcule la cantidad de libras de sal que hay en tanque a los 30 minutos.

181. Un depósito contiene 200 l de líquido en el que se disuelven 30 gramos de sal. La salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea hacia el depósito a una rapidez de 4 L/min; la solución bien mezclada se bombea hacia fuera a la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t) de gramos de sal que se encuentran en el depósito en el tiempo t.

2.9 Resortes 182. Un objeto con una masa igual a 4 slugs (= 128 lb/32 pies/s2) se suspende de un muelle con una constante de 64 lb/pie. El movimiento del objeto comienza sin velocidad inicial, se estira 6 pulgadas (¡0bserve las unidades!) bajo la posición de equilibrio y después se suelta. Si no hay resistencia del aire, halle una fórmula para la posición del objeto en cualquier instante t > 0. (Advierta que el enunciado del problema contiene dos condiciones iniciales.)

183. Una masa de 20 g cuelga del extremo de un muelle con una constante de 288 dinas/cm y se le deja alcanzar el punto de equilibrio. Entonces, se pone en movimiento al estirar el muelle 3 cm desde su posición de equilibrio y al soltar la masa con una velocidad inicial de 10 cm/s en dirección hacia abajo (positiva). Halle la posición de la masa en un instante t > 0 si no existe resistencia del aire.

Sol. x(t) = 3cos12t + (5/6)sen12t 184. Una masa de 1/2 slug se sujeta a un muelle con una constante 6 lb/pie. La masa se pone en movimiento cuando se desplaza 6 pulgadas bajo su posición de equilibrio, sin velocidad inicial. Halle el movimiento subsiguiente de la masa si a, la constante que representa la resistencia del aire, es de 4 lb/pie.

185. Una masa de ½ kg se sujeta a un muelle de constante 8 N/m, donde N indica los newtons. La masa se pone en movimiento al desplazarla 10 cm sobre su posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 2 m/s en dirección hacia arriba. a) Halle el movimiento subsiguiente de la masa si la constante que representa la resistencia del aire es de 2 Ns/m. b) Trace la gráfica de la función x(t) hallada en el apartado a) para 0 ≤ t ≤ 3, 2 ≤ t ≤ 3 y 3 ≤ t ≤ 4. c) Estime la mayor distancia de la masa sobre su posición de equilibrio.

Sol . a) x(t ) = −

[

]

1 − 2t e 11 3sen(2 3 t ) + 3 cos(2 3 t ) 30

c) La distancia máxima es de aproximadamente 33 centímetros.

186. En su dormitorio de la residencia, una estudiante fija un peso a un muelle que cuelga del techo. Inicia el movimiento de la masa desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial en dirección hacia arriba. Pero durante este experimento, escaleras arriba, hay un zapateado rítmico de los estudiantes (¿será un baile o un control de plagas?) que provoca la vibración del techo y de todo el sistema masaresorte. Teniendo en cuenta la resistencia del aire y esta “fuerza externa”, la estudiante determina que la ecuación del movimiento es .. . .

1 x + 9 x + 14 x = sent, con x(0) = 0 y x(0) = −1.

2 a) Resuelva esta ecuación para x(t), la posición del peso respecto a su posición de reposo. b) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de x(t) para 0 ≤ t ≤10.

187. La ecuación describe la posición, x(t), de una masa concreta sujeta a un muelle y puesta en movimiento estirándola 2 pies por debajo de su posición de equilibrio (x = 0) y dotándola de una velocidad inicial de 2 pies/s en dirección hacia arriba. Se supone que hay algo de resistencia en el aire. Exprese esa ecuación como un sistema de ecuaciones de primer orden y describa lo que representa cada ecuación del sistema.

188. El problema de valor inicial , modela el movimiento de un sistema masa-resorte con una fuerza de amortiguación. Las condiciones iniciales indican que la masa se ha estirado bajo su posición de equilibrio y se ha soltado. a) Exprese este problema de valor inicial como un sistema de dos ecuaciones de primer orden, con las condiciones iniciales apropiadas. b) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución del sistema en el plano de fases. c) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución de la ecuación original de segundo orden relativa al eje t. d) Comparando los resultados de los apartados b) y c) con las gráficas apropiadas, ¿por qué cree que el movimiento mostrado en este ejercicio se debería denominar sobreamortiguado?

. .

Sol . El sistema es  x 1 = x 2 , x 2 = −20 x 2 − 64 x1; 

x1 ( 0 ) =

1  , x 2 (0) = 0 3 

189. Considere el sistema masa-resorte representado por el problema de valor inicial .. . .

1 7 x + c x + 0.25x = 0, con x(0) = y x(0) = . Aquí, c es un parámetro positivo.

2 4 a) Exprese el problema de valor incial en términos de un sistema ecuaciones de primer orden, incluyendo las condiciones iniciales. b) Para cada uno de los valores c = 0.5, 1 y 1.5, utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución del sistema en el plano de fases, 0 ≤ t ≤ 20. c) Para cada uno de los valores c = 0.5, 1 y 1.5, utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución de la ecuación original con respecto a t sobre el intervalo 0 ≤ t ≤ 20. d) Sobre la base de sus respuestas a los apartados b) y c), describa cómo varía la naturaleza de la solución cuando c pasa a través del valor 1 (cuando c = 1, el sistema está críticamente amortiguado.)

190.

..

Considere

el

siguiente

x + 64x = 16 cos 8t , con x(0) = 0

y

modelo

.

de

sistema

de

masa-resorte:

x (0) = 0 .

a) Exprese el problema de valor inicial en términos de un sistema de ecuaciones de primer orden, incluyendo las condiciones iniciales. b) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución de la solución del sistema en el plano fases. c) Utilice herramientas tecnológicas para trazar la gráfica de la solución de la ecuación original de segundo orden relativa al eje t. d) ¿Cuál es la relación entre la gráfica del apartado c) y las dos semirrectas x = t y x = -t para t ≥ 0?

. .

Sol . El sistema es  x 1 = x 2 , x 2 = 16 cos 8t − 64 x1; 

 x1(0) = 0, x 2 (0) = 0 

191. Las ecuaciones

. .

x=y y = − 0.25y − 2 x;

x(0) = 1, y (0) = 0

Representan un determinado sistema de masa–resorte con amortiguamiento. Como de costumbre, suponga que la dirección positiva para x(t) es hacia abajo y que el tiempo se mide en segundos. a) Encuentre x(t) e y(t) para t = 1, 2, 3 y 4, e interprete la posición y la velocidad en cada caso. b) Calcule el instante en el que la masa alcanza por primera vez su posición de equilibrio, x = 0.

192. Un peso de 6 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. La constante del resorte es 27 lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 12 cos 20t. Determine el desplazamiento resultante como una función del tiempo, suponiendo despreciable el amortiguamiento.

Sol.

x=

cos12t − cos 20t 4

193. Un peso de 10 libras cuelga del extremo inferior de un resorte que esta suspendido del techo, la constante del resorte es 20 lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 10 cos 8t. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 5(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo.

Sol.

x = −2te −8t +

sen8t 4

194. Un peso de 6 libras cuelga del extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte está alargado 4 pulg. Después, al empezar en t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 27 sen 4t – 3 cos 4t. Si el medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a tres veces la velocidad instantánea, medida en pies por segundo, determine el desplazamiento como una función del tiempo.

Sol.

 2  x = e −8 t  sen4 2t + cos 4 2t  + sen4t − cos 4t  2 

195. Un resorte que tiene una constante de 20 lb/pie está suspendido del techo. Un peso de 32 libras está unido al extremo inferior del resorte que se encuentra en reposo en su posición de equilibrio. Al empezar en t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 40 cos 2t; después, el efecto de esta fuerza se mantiene hasta t = π, y en ese instante cesa de aplicarse. Cuando t > π, no actúa ninguna fuerza. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo para todo t ≥ 0.

Sol.

 − 3sen4t  x = e −2t  − 2 cos 4t  + sen2t + 2 cos 2t, 0 ≤ t ≤ π; 2    3sen4t  x = e 2 π −1 e −2 t  + 2 cos 4t , t > 0  2 

(

)

196. Un peso de 8 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido de un punto fijo. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y el resorte se ha estirado 6 pulg. Después, el peso se desplaza 9 pulg hacia debajo de su posición de equilibrio y se suelta en t = 0. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 4(dx/dt), donde dx/dt es la velocidad instantánea en pies por segundo. Determine el desplazamiento del peso como una función del tiempo y trace la gráfica de su desplazamiento.

197. Un resorte es tal que una fuerza de 20 lb podría estirarlo 6 pulg. El resorte cuelga verticalmente y un peso de 4 libras está unido en su extremo. Después de que este peso de 4 libras se encuentra en reposo en su posición de equilibrio, se desplaza 8 pulg hacia debajo de esta posición y se suelta después en t = 0. El medio ofrece una resistencia en libras numéricamente igual a 2(dx/dt), donde dx/dt, es la velocidad instantánea en pies por segundo.

198. Un peso de 6 libras está unido al extremo inferior de un resorte que está suspendido del techo. La constante del resorte es 27 lb/pie. El peso se encuentra en reposo en su posición de equilibrio y, al empezar en t = 0 se aplica al sistema una fuerza externa dada por F(t) = 12 cos 20t. Determine el desplazamiento resultante como una función del tiempo, suponiendo despreciable el amortiguamiento.

Sol.

x( t ) =

cos12t − cos 20t 4

2.10 Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales 2.10.1 Cajas registradoras en supermercados 199. La cantidad C(t) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un país está definida por el problema de valor inicial

dC = C(1 − 0.0005C ), C(0) = 1, dt En donde t > 0. ¿Cuántos supermercados utilizan el método computarizado cuando t = 10? Cuántos lo adoptarán después de un tiempo muy largo?

2.10.2 Cambio de masa y peso corporal 200. El peso de una persona depende de las calorías que toma y de la energía que consume. A su vez, esta última depende del peso de la persona, estimándose en 17.5 las calorías por libra consumidas al día. Por tanto, cuanto más peso pierde una persona, menos energía debe consumir (supuesto que mantiene un nivel de actividad constante). Como modelo para la pérdida de peso sirve la ecuación

dw C 17.5 = − w dt 3.500 3.500 Donde w es el peso en libras, t el tiempo en días y C el consumo diario de calorías. a) Hallar la solución general de esa ecuación diferencial. b) Una persona que pesa 180 libras y comienza una dieta de 2.500 calorías diarias, ¿cuánto tardará en perder 10 libras? ¿Y en perder 35 libras? c) Representar la solución en una gráfica. ¿Cuál es el peso “límite” de esa persona? d) Repetir los apartados b) y c) para una persona que pesa 200 libras al comenzar la dieta

201. Sea W = W(t) su peso en kilogramos, el día t de una dieta. Si usted consume C calorías cada día y su cuerpo quema EW calorías por día, donde E representa las dW = k (C − EW ) modela su velocidad de calorías por kilogramo, entonces la ecuación dt cambio de peso. (Esta ecuación expresa que su velocidad de cambio de peso es proporcional a la diferencia entre las calorías consumidas y las calorías quemadas, siendo k la constante de proporcionalidad.)

C  C + W0 − e −kEt es una solución de la ecuación, donde W 0 = E  E W(0) es su peso al comienzo de la dieta. a) Demuestre que W =

b) Dada la solución del apartado a), ¿qué le sucede a W(t) cuando t→∞. c) Si W 0 = 80 kg, E = 45 cal/kg, k = 1/7875 kg/cal y C = 2500 cal/día, ¿cuánto tardará en perder 10 kg? ¿Cuánto para 15 kg? ¿Y para 20 kg? ¿Qué sugieren sus respuestas acerca del proceso de pérdida de peso?

202. El crecimiento de una célula depende del flujo de nutrientes a través de su superficie sean W(t) el peso de la célula en el instante t y W o su peso en t = 0, y suponga que dW/dt es proporcional al área de la superficie de la célula. a) Dé un argumento que apoye la proposición de que dW/dt = αW 2/3, en donde α es una constante de proporcionalidad. b) Halle el peso de la célula en cualquier instante t.

203. Sean x e y los tamaños de dos órganos internos de un cierto mamífero en el tiempo t. Los datos empíricos indican que las tasas relativas de crecimiento de esos dos órganos son iguales, de modo que

1 dx 1 dy = x dt y dt Resolver esta ecuación diferencial, escribiendo y como función de x.

204. Con objeto de regular la pesca en los oceanos, se han establecido comisiones internacionales para implementar los controles. Para entender el efecto de tales controles se han construido modelos matemáticos de poblaciones de peces. Una etapa en este esfuerzo por crear nuevos modelos incluye la predicción del crecimiento de un tipo de pez. El modelo de crecimiento de von Bertalanffy se refleja en la ecuación de Bernouilli

dW = α W 2/3 − β W dt Donde W = W(t) representa el peso de un pez, y α y β son constantes positivas. a) Halle la solución general de la ecuación. b) Calcule W∞ = lím W (t ) , el peso límite del pez. t →∞

c) Utilizando la respuesta al apartado b) y la condición inicial W(0) = 0, escriba la fórmula para W(t) sin constantes arbitrarias. d) Bosqueje un gráfico de W respecto de t.

3

3 βt α −   α   3 Sol. a) W (t ) = + Ce ; b) W∞ =   ; c ) W (t ) = W∞ 1 − e −βt / 3 β  β  

(

)

3

2.10.3 Capa límite en oceanografía 205. La ecuación y(4) + λ(yy’’’ – y’y’’) – y’ = 0, donde λ es un parámetro positivo, surge en un problema de “capa límite” no lineal de oceanografía física. Escriba esta ecuación como un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden.

2.10.4 Contaminación de lagos 206. Dos ríos desembocan en un lago. Uno descarga diariamente una cantidad de agua que contiene una concentración de un agente contaminante, y el otro, cierta cantidad de agua limpia. Si se supone que el volumen del lago es constante, la cantidad total de contaminación en el mismo, Q(t), se puede modelar mediante la ecuación de equilibrio

dQ = D(Q * − Q ), dt en la que D es una constante positiva que implica los dos caudales vertidos al lago y el volumen del mismo, y Q* es una constante positiva que implica el volumen, los caudales mencionados y la concentración del agente contaminante. a) ¿Cuál es la solución de equilibrio de esta ecuación? b) La solución encontrada en el apartado a), ¿es estable o inestable? (Por ejemplo, un sumidero indicaría que la aportación del río limpio reduce la cantidad de contaminación en el lago a largo plazo.)

Sol. a) Q = Q*;

b) La solución es un sumidero y, por tanto, estable.

2.10.5 Crecimiento de cristales 207. La ecuación y’’’ + y’ – cosy = 0 describe un modelo geométrico de crecimiento de un cristal. Exprese esta ecuación de tercer orden como un sistema de tres ecuaciones de primer orden.

Sol. El sistema es {y’1 = y2, y’2 = y3; y’3= cos(y1) – y2}

2.10.6 Crecimiento de inversiones 208. Un grupo de empresas empieza a invertir, en t = 0, parte de sus ingresos a razón de P dólares por año en un fondo previsto para reforzar la futura expansión del grupo.

Supuesto que el fondo reciba un interés de r por 100, compuesto continuamente, la tasa de crecimiento de la cantidad A disponible en el fondo es

dA = rA + P dt Donde A = 0 en t = 0. a) Resolver esta ecuación diferencial para hallar A en función de t.

Calcular A para: b) P = $100 000, r = 6 por 100, y t = 5 años c) P = $250 000, r = 5 por 100, y t = 10 años d) Calcular t si el grupo necesita $800 000 y puede invertir $75 000 al año en un fondo a una tasa del 8 por 100 compuesto continuamente.

2.10.7 Crecimiento de células 209. Un modelo de crecimiento poblacional bastante simple, pero asombrosamene exacto, en la predicción del crecimiento de tumores es, descrito por la ecuación de Gompertz,

dN = −aN ln(bN ), dt Donde N(t) es proporcional al número de células en el tumor y a, b > 0 son parámetros que se determinan experimentalmente. (Benjamin Gompertz (1779-1865) fue un matemático y actuario inglés.) a) Haga un boceto del diagrama de fases para esta ecuación. b) Bosqueje la gráfica de f(N) respecto de N. c) Halle y clasifique todos los puntos de equilibrio para esta ecuación. d) Para 0 < N ≤ 1, determine dónde la gráfica de N(t) respecto de t es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. e) Esboce N(t).

2.10.8 Curva de aprendizaje 210. El jefe de personal de una empresa estima en 30 el número máximo de unidades que puede producir un trabajador diariamente. El ritmo de crecimiento del número de unidades N producidas respecto del tiempo t, en días, por un empleado nuevo es proporcional a 30 – N. a) Determinar la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio en la productividad respecto del tiempo. b) Resolver esa ecuación diferencial. c) Calcular la solución particular para un empleado nuevo que produce 10 unidades el primer día y 19 el decimosegundo día.

211. Cuando se tiene en cuenta lo que se olvida, la rapidez de memorización de algún tema se expresa por

dA = k 1(M − A) − k 2 A , dt donde k1 > 0, k2 > 0, A(t) es la cantidad a memorizar en el tiempo t, M es la cantidad total que se debe memorizar y M – A es la cantidad que resta por ser memorizada. a) Como la ecuación diferencial es autónoma, aplique el concepto de retrato fase, para determinar el valor límite de A(t) cuando t→∞. Interprete el resultado. b) Determine A(t), sujeta a A(0) = 0. Trace la gráfica de A(t) y compruebe su predicción en la parte a).

Sol. a) Cuando t → ∞ , A → k 1M < M. k1 + k 2 b ) A( t ) =

[

k 1M . Observe que para k 1 > 0 y k 2 > 0 , entonces k1 + k 2

k 1M 1 − e −(k1+k 2 )t k1 + k 2

]

2.10.9 Curvas de persecución

212. Un conejo parte del origen y corre por la rama derecha de la parábola y = x2 con una velocidad a. Al mismo tiempo, un perro que corre a una velocidad b, parte del punto (c, 0) y persigue al conejo. Escriba una ecuación diferencial para la trayectoria del perro.

2.10.10 Dosis y eliminación de medicamentos y hormonas 213. Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro: el perro queda anestesiado cuando su corriente sanguínea contiene por lo menos 45 miligramos (mg) de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, con una vida media de 5 h. ¿qué dosis única debe ser administrada para tener anestesiado durante una h a un perro de 50 kg?

214. El bitartrato de hidrocodonio es una droga usada para eliminar la tos y aliviar el dolor. La droga se elimina del cuerpo mediante un proceso de decaimiento natural con una vida media de 3.8 h. La dosis usual es de 10 mg cada 6 horas. a) Describa y resuelva el problema con valor inicial que modela la cantidad de bitartrato de hidrocodonio en un paciente después de una dosis. Suponga que la cantidad del medicamento antes de la dosis es Q0 y que el medicamento es absorbido inmediatamente. b) Suponga que un paciente toma bitartratro de hidrocodonio sólo un día. Suponiendo que inicialmente no hay ninguna cantidad del medicamento en el sistema del paciente, represente de manera gráfica la cantidad a lo largo de 2 días. Note que el paciente toma 4 dosis el primer día y ninguna el segundo.

dx Kx =− dt A+ x describe el ritmo con el que un cuerpo procesa una droga, donde x(t) es la concentración de ésta en el cuerpo en el instante t, y K y A son constantes positivas.

215. En el campo de la farmacocinética, la ecuación de Michaels-Menton

a) Para la cocaína, A = 6, K = 1 y x(0) = 0.0025. Evalúe x para t = 1, 2, 3, 10 y 20.

Calcule cuánto tiempo será necesario para que la concentración se reduzca a la mitad de su valor inicial. b) Para el alcohol, A = 0.005, K = 1 y x(0) = 0.025. Evalúe x para t = 0.01, 0.02, 0.03, 0.04 y 0.05. Estime cuánto tiempo será necesario para que la concentración se reduzca a la mitad de su valor inicial.

216. Por vía intravenosa, a un paciente le suministra glucosa en la sangre a una tasa constante de c gramos por minuto. Al mismo tiempo, el cuerpo del paciente asimila la glucosa y la elimina de su sangre a una velocidad que es proporcional a la cantidad de glucosa presente. Si la constante de proporcionalidad es k, demuestre que cuando el tiempo aumenta, la cantidad de glucosa en la sangre se aproxima a un valor de equilibrio c/k.

217. Suponga que el cuerpo humano elimina un medicamento a una velocidad que es proporcional a la cantidad y de medicamento presente en la sangre en el tiempo t. En el tiempo t = 0 se aplica una primera inyección de y0 gramos del medicamento a un paciente cuyo cuerpo estaba libre de ese medicamento. a) Encuentre la cantidad residual de medicamentos presente en la sangre al final de T horas. b) Si en el tiempo T se aplica una segunda inyección de y0 gramos, encuentre la cantidad residual de medicamento en la sangre al final de 2T horas. c) Si al final de cada periodo de longitud T se aplica una inyección de y0 gramos, encuentre la cantidad residual de medicamentos presente en la sangre al final de nT horas. d) Encuentre el valor límite de la respuesta a la parte c) cuando n tiende a infinito.

Sol. d )

y 0 e −kT 1 − e −kT

218. Se inyecta glucosa en sangre a razón de q unidades por minuto y el cuerpo desaloja glucosa de la sangre a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Sea Q(t) la cantidad de glucosa en la sangre en el instante t. a) Determinar la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio de la glucosa en sangre con respecto al tiempo. b) Resolver esa ecuación diferencial, tomando Q = Qo cuando t = 0. c) Calcular el límite de Q(t) cuando t→∞.

219. Cuando se administra teofilina, un fármaco para el asma, una concentración en la sangre por debajo de 5 mg/l tiene poco efecto; pero, si la concentración excede los 20 mg/l, aparecen efectos secundarios no deseados. Suponga que inicialmente se administra una dosis correspondiente a 14 mg/litro de sangre. La concentración se adecúa a la ecuación diferencial dC/dt= -C/6, donde el tiempo t está expresado en horas. a) Encuentre la conconcentración en el instante t. b) Demuestre que, para impedir que el fármaco se vuelva ineficaz, después de aproximadamente 6 horas hará falta administrar una segunda inyección. c) Dado que la segunda inyección también incrementa la concentración en 14 mg/l, ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que sea necesario administrar otra inyección? d) ¿Cuál es el tiempo mínimo de seguridad tras el que se puede aplicar una segunda inyección, de forma que no se produzcan efectos secundarios? e) Dibuje las gráfica de las situaciones de los apartados b), c) y d) Sol. a) C = C(t) = 14e-t/6; c) 8.06 horas, d) 5.08 horas

220. Un método para administrar un fármaco es suministrarlo continuamente en el flujo sanguíneo mediante un proceso llamado infusión intravenosa. Este proceso puede ser dC modelado mediante la ecuación diferencial separable (y lineal) = −µC + D , donde C dt es la concentración en la sangre en el instante t, µ es una constante positiva y también lo es D, el ritmo o la razón con que se administra el fármaco. a) Encuentre la solución de equilibrio de la ecuación diferencial, aquella solución tal que dC/dT = 0. b) Si C = C0 cuando t = 0, busque la concentración en el instante t. ¿A qué límite tiende dicha concentración cuando t→∞? Compare su respuesta con la del apartado a). c) Dibuje la gráfica de una solución típica.

221. Con frecuencia, la secreción de hormonas en la sangre es una actividad periódica.

Si una hormona se secreta en un ciclo de 24 horas, entonces la razón de cambio del nivel de la hormona en la sangre se puede representar mediante el problema con valor inicial

dx πt = α − β cos − kx , dt 12

x(0) = x 0 ,

donde x(t) es la cantidad de la hormona en la sangre en el instante t, α es la razón promedio de secreción y k es una constante positiva que refleja la razón con la que el cuerpo elimina la hormona de la sangre. Si α = β = 1, k = 2 y x0 = 10 halle x(t).

Sol.

x( t ) =

 −2t 1 2 cos( π t / 12) ( π / 12) sen( π t / 12)  19 2 e − − +  + 2 2 2  2 4 + ( π / 12) 4 + ( π / 12)  2 4 + ( π / 12) 

222. La rapidez con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial dx/dt = r – kx, donde r y k son constantes positivas. La función x(t) describe la concentración del fármaco en la sangre en el momento t. a) Como la ecuación diferencial es autónoma, aplique el concepto de retrato fase, para determinar el valor límite de x(t) cuando t→∞. b) Resuelva la ecuación diferencial sujeta a x(0) = 0. Trace la gráfica de x(t) y compruebe su predicción en la parte a) ¿En qué momento la concentración es la mitad de su valor límite?

2.10.11 Drenado de líquidos 223. Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 pies y un tapón en el fondo es retirado en el momento t = 0 (horas).

Después de 1 h la profundidad del agua ha descendido a 4 pies. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir por completo?

224. En el instante t = 0, se quita el tapón del fondo (en el vértice) de un tanque cónico, de 16 pies de altura, lleno de agua. Después de 1 h el agua del tanque tiene 9 pies de profundidad. Cuánto tardará el tanque en vaciarse?

225. Suponga que un tanque cilíndrico que inicialmente contiene V0 galones de agua se vacía (a través de un agujero en el fondo) en T minutos. Utilice la ley de Torrichelli para demostrar que el volumen del agua en el tanque después de t ≤ T minutos esta dado por V = V0[1 – (t/T)2].

226. Un tanque de agua tiene la forma que se obtiene al hacer girar la parábola x2 = by alrededor del eje y. La profundidad del agua es de 4 pies a medio día, cuando se retira un tapón circular que está en el fondo. A la 1 p.m. la profundidad del agua es de 1 pie. a) Determine la profundidad y(t) del agua restante después de t horas. b) ¿A qué hora se habrá vaciado el tanque? c) Si el radio inicial de la superficie superior del agua es de 2 pies, ¿cuál es el radio del agujero circular del fondo?

227. Un tanque esférico de 4 pies de radio, lleno de gasolina, tiene un agujero en el fondo de 1 pulg de radio. ¿Cuánto tiempo necesitará la gasolina en vaciarse cuando se abra el agujero?

228. Un embudo de 10 cm de diámetro en la parte superior y 1 cm de diámetro en la inferior tiene una altura de 24 cm. Si se llena de agua, hallar el tiempo que se tarda en vaciar.

Sol. 13.7 s 229. Un recipiente en forma de cilindro circular recto en posición vertical deja escapar agua por un orificio circular en su fondo. Cuando se ignora la fricción y la contracción del agua en el orificio, la altura h del agua en el depósito se describe por medio de

A dh =− h dt Aw

2gh

Donde Aw y Ah son las áreas de sección transversal del agua y el orificio, respectivamente. a) Determine h(t) si la altura inicial del agua es H. Trace, a mano, la gráfica de h(t) y exprese su intervalo de definición en términos de los símbolos Aw, y Ah y H. Utilice g = 32 pies/s2. b) Suponga que el recipiente tiene 10 pies de alto y un radio de dos pies y el agujero circular tiene un radio de media pulgada. Si al principio el recipiente está lleno, ¿cuánto tarda en quedar vacío?

2.10.12 Ecuación de Landau 230. En el campo de la mecánica de fluidos, es importante la ecuación de Landau, x’ = (R – Rc)x – kx3, donde k y Rc son constantes positivas y R es un parámetro que puede adquirir diversos valores. a) Si R < Rc, demuestre que la única solución de equilibrio es x = 0 y que ésta es un sumidero. b) Si R > Rc, demuestre que hay tres soluciones de equilibrio, x = 0,

R − Rc R − Rc y x=− , y que la primera solución es una fuente, mientras que k k las otras dos son sumideros. x=

2.10.13 Edad del universo 231. De acuerdo con una teoría cosmológica había igual cantidad de los dos isótopos de uranio U235 y U238 en el momento de la creación del universo, durante la “Gran explosión” (el “big bang”). En el momento actual hay 137.7 átomos de U238 por cada átomo de U235. Considerando como vida media 4.51x109 años para el U235 y 7.1x108 años para el U238, calcule la edad del universo.

2.10.14 Evaporación 232. Dos líquidos hierven en un recipiente. Se encuentra que la relación de las cantidades de cada líquido que evaporan en cualquier instante es proporcional a la relación de las cantidades x y y que permanecen en estado líquido. Demostrar que y’ = ky/x y resolver esta ecuación diferencial.

2.10.15 Genes heredados 233. En el estudio de la génetica poblacional, las unidades biológicas llamadas genes determinan que características heredan los seres vivos de sus padres. Suponga que se considera un gen con dos “sabores”, A y a, que se dan en las proporciones p(t) y q(t) = 1 – p(t), respectivamente, en un instante t en una población particular. Suponga que se cumple la relación

dp = ν − ( µ + ν )p dt donde µ es una constante que describe un “ritmo de mutación hacia delante” y ν es otra constante que representa el “ritmo de mutación hacia atrás”. a) Determine p(t) y q(t) en términos de p(0), q(0), µ y ν . b) Demuestre que

lím p(t ) =

t→∞

ν µ +ν

y

lím q(t ) =

t→∞

µ µ +ν

. Éstas son las llamadas

frecuencias génicas de equilibrio.

2.10.16 Intensidad de la luz a cierta profundidad 234. La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros bajo la superficie de un lago satisface la ecuación diferencial dI/dx = (-1.4)I. a) ¿A qué profundidad la intensidad es la mitad de la intensidad I0 en la superficie (donde x = 0)? b) ¿Cuál es la intensidad a una profundidad de 10 m (como fracción de I0)? c) ¿A qué profundidad la intensidad será 1% de la correspondiente en la superficie?

235. Cuando pasa un haz vertical de luz por una sustancia transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial I0 del haz incidente. ¿Cuál es la intensidad del haz a 15 pies bajo la superficie?

Sol. I(15) = 0.00098I0;

aproximadamente 0.1% de I0

2.10.17 Ley de radiación de Stefan

236 La ley de radiación de Stefan establece que la razón de cambio en la temperatura de un cuerpo a T(t) grados en un medio a M(t) grados es proporcional M4 – T4; es decir,

dT = k[ M( t ) 4 − T( t ) 4 ] dt Donde k es una constante. Sea k = (40)-4 y supongamos que la temperatura del medio es constante, M(t) ≡ 70°F. Si T(0) = 100°F, encuentre T(1) y T(2).

237. La ley de Stefan para la radiación establece que la razón de cambio de la temperatura de un cuerpo a T grados Kelvin en un medio que está a M grados kelvin es proporcional a M4 – T4. Es decir,

(

dT = k M4 − T 4 dt

)

donde k es una constante positiva. Resuelva esta ecuación mediante separación de variables. Explique por qué las leyes de Newton y Stefan son casi iguales cuando T es cercana M y M es constante. [Sugerencia: factorice M4 – T4].

3

Sol. T – M = C(T + M) e 2 arctan(T / M )−4M kt ; para T cerca de M, M4 – T4 ≈ 4M3(M – T), de modo que dT/dt ≈ k1(M – T), donde k1 = 4M3k.

238. Según la ley de Stefan de la radiación, la rapidez de cambio de la temperatura de un objeto cuya temperatura absoluta es T, es

(

)

dT = k T 4 − Tm4 , dt En donde Tm es la temperatura absoluta del medio que lo rodea. Determine una solución de esta ecuación diferencial. Se puede demostrar que, cuando T – Tm es pequeña en comparación con Tm, esta ecuación se apega mucho a la ley de Newton del enfriamiento.

2.10.18 Número de empleados 239. Una agencia gubernamental tiene actualmente una plantilla de 6000 empleados, entre los que un 25% son mujeres. Los empleados van dejando su trabajo de un modo aleatorio a un ritmo de 100 por semana. Se contratan sustitutos a un ritmo de 100 por semana. Se contratan sustitutos a un ritmo de 50 por semana, con la condición de que la mitad sean mujeres. a) ¿Cuál es el tamaño de la plantilla de la agencia tras 40 semanas? ¿Qué porcentaje serán mujeres en ese momento? b) Si se hubiera decidido que todos los nuevos empleados fueran mujeres, ¿cuál habría sido dicho porcentaje?

Sol. a) El número de trabajadores que conforman la plantilla de la agencia es de 4000, 33% de los cuales son mujeres, b) 50%.

2.10.19 Perdida de calor 240. Una pared de ladrillo (k = 0.0012) tiene un espesor de 30 cm. Si el parámetro interior está a 20°C y el exterior a 0°C, hallar la temperatura en la pared como una función de la distancia del parámetro exterior y la pérdida de calor por día a través de un metro cuadrado.

Sol. T = 2x/3; 691 000 cal.

2.10.20 Presión barométrica 241. La presión barométrica p (en pulgadas de mercurio) a una altura de x millas sobre el nivel del mar satisface el problema con condición inicial dp/dx = (-0.2)p; p(0) = 29.92. a) Calcule la presión barométrica a 10 000 pies y luego a 30 000 pies. b) Sin acondicionamiento previo, pocas personas pueden sobrevivir cuando la presión desciende a menos de 15 pulg de mercurio ¿Cuál es esa altura?

2.10.21 Propagación de un rumor 242. Cierta información dudosa relativa a los efectos de la feniletilamina, en el agua potable comenzó a extenderse un día en una ciudad de 100 000 habitantes. Después de una semana 10 000 personas habían oído el rumor. Suponga que la razón de aumento del número de las que han oído el rumor es proporcional al número de los que aún no escuchan el rumor. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la mitad de la población de la ciudad haya escuchado el rumor?

243. La propagación de una acción en una población grande (por ejemplo, la compra de un lexus en lugar de un Cadllac) a menudo depende parcialmente de circustancias externas (como por ejemplo, el precio, la calidad y los registros de frecuencia de reparación y en parte de una tendencia humana a imitar a quienes ya han llevado a cabo la misma acción. En este caso, la velocidad del incremento de la proporción y(t) de gente que ha llevado a cabo la acción se puede expresar por medio de la fórmula

dy = (1 − y )[s(t ) + Iy ] dt En la que s(t) mide el estímulo externo, e I es una constante denominada coeficiente de imitación. a) Observe que la ecuación es una ecuación de Riccati y que y = 1 es una solución particular. Utilice el resultado del último Utilice el resultado de y(t) para determinar si z(t) satisface la ecuación de Bernouilli. b) Determine y(t) para el caso en el que el éstimulo externo aumenta gradualmente con el tiempo de tal manera que s(t) = at para una constante positiva a. Exprese la respuesta en forma de una integra.

2.10.22 Propagación de una infección 244. Supóngase que un estudiante portador de un virus de gripe, regresa a un campus universitario, aislado, que tiene 1000 estudiantes. Supongamos que la rapidez con que el virus se propaga, es proporcional no sólo al número de estudiantes contagiados, sino también al número de estudiantes no contagiados. Determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, si además se observa que después de 4 días ya eran 50 los contagiados Sol. x(6) ≈ 276 estudiantes

245. Un dormitorio universitario aloja a 100 estudiantes, cada uno de los cuales es susceptible de contraer cierta infección viral. Un modelo matemático simple supone que durante el curso de una epidemia la tasa de cambio con respecto al tiempo del número de estudiantes contagiados I, es proporcional al número de estudiantes contagiados y también al número de alumnos no contagiados, 100 – I. a) Si en el tiempo t = 0 un solo estudiante esta contagiado, demuestre que el número de estudiantes contagiados está dado por:

I=

100e100kt 99 + e100kt

b) Si la constante de proporcionalidad k tiene un valor de 0.01 cuando t es medido en días, encuentre el valor de la tasa de nuevos casos I’(t) al final de cada día para los primeros 9 días.

246. Un modelo lineal de la difusión de una epidemia en una comunidad de n personas es el problema de valor inicial

dx = r (n − x ), dt

x (0) = x 0 ,

En donde x(t) representa la población cuando el tiempo es t, r > 0 es una rapidez constante y x0 es un entero positivo pequeño (por ejemplo, 1). Explique por qué, según este modelo, todos los individuos contraerán la epidemia. Determine en cuánto tiempo la epidemia seguirá su curso.

247. Las ecuaciones

dT = kV1T0 − δT dt dV1 = − cV1 dt Se usan para el modelado de infecciones por VIH-1. Aquí T(t) representa el número de células infectadas; T0 = T(0), el número de células potencialmente infectadas en el instante de inicio de la terapia; V1 = V(t), la concentración de partículas virales en plasma; k el ritmo de infección; c, la constante de ritmo de eliminación de partículas virales; y δ el ritmo de pérdida de células productoras de virus. a) Resuelva la segunda ecuación para V1(t), expresando la solución en términos de V0 = V1(0). b) Con la solución hallada en el apartado a), demuestre que la solución de la ecuación diferencial para T se puede escribir como

T( t ) = T(0)e −δ t +

(

kT0 V0 −ct e − e −δ t δ−c

)

¿Qué determina la solución del apartado a) sobre el número de células infectadas cuando t→∞?

Sol. a) V1 = V0e-ct; b) El número de células infectadas tiende a cero cuando t→∞.

248. Un famoso modelo para la propagación de una enfermedad es el modelo S-I-R. En un instante dado t, S representa la población de susceptibles de ser infectados, aquellos que no han tenido nunca la enfermedad y pueden contraerla; I simboliza los infectados, aquellos que tienen la enfermedad actualmente y que pueden contagiarla a otros; y R denota los recuperados, los que han tenido la enfermedad y son inmunes.

Suponga que estas poblaciones están relacionadas mediante el sistema

dS = ( −0.00001)SI dt dI I = (0.00001)SI − dt 14 dR I = dt 14 Con S(0) = 45 400, I(0) = 2100 y R(0) = 2500. a) Sume ambos miembros de las tres ecuaciones diferenciales e interprete el resultado en términos de una población. b) Trace por separado las gráficas de S, I y R como funciones de t. c) Trace los diagramas de fases en los planos S-I, S-R e I-R. d) Encuentre los valores de R en t = 1, 2, 3 ,10,15, 16 y 17 días. ¿Qué observa? e) Aproxime el valor de t en que I = 0.

Sol. a )

dS dI dR d + + = (S + I + R ) = 0. Esto significa que la población total no varía. dt dt dt dt

249. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que se propaga el virus es proporcional, no sólo a la cantidad x de alumnos infectados sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después si se observa que a los cuatro días x(4) = 50.

Sol. 276 alumnos

2.10.23 Publicidad en ventas 250. Al analizar el efecto de la publicidad en las ventas de un producto, se puede extraer el siguiente modelo del trabajo realizado por los economistas Vidale y Wolf.

dS  rA  +  + λ S = rA dt  M  Aquí, S = S(t) indica la cifra de ventas, A = A(t) representa el volumen de publicidad, M es el nivel de saturación de un producto (el límite de ventas que se puede alcanzar en la práctica), y r y son constantes positivas. Obviamente, la solución de esta ecuación lineal depende de la forma de la función de publicidad A. a) resuelva la ecuación si A es constante a lo largo de un intervalo de tiempo concreto y se anula tras éste: (En realidad, deberá resolver dos ecuaciones y después combinar las soluciones apropiadamente.) b) Dibuje un gráfico típico de S respecto de t. (Elija valores razonables para todas las constantes en su solución.)

A para 0 < t < T A(t ) =  t>T  0 para Sol. Si s(T) = ST, podemos escribir la solución como

  rA  S(t ) =   rA    M +λ   −λ (t −T) ST e

    − rA +λ  t rA e  M  + S0 −   rA   + λ   M  

para 0 < t < T

para

t ≥T

b) Si tomamos los valores A = 1000; r = 10; λ = 0.1; S0 = 20 000; ST = 36 000; M = 60 000 y T = 10, obtendremos la siguiente gráfica:

2.10.24 Reacción química 251. Una reacción química bimolecular es aquella en la que las moléculas de la sustancia A colisionan con las moléculas de la sustancia B, creando la sustancia X. El ritmo de formación (o velocidad de reacción) viene dado por una ecuación diferencial de dx la forma = k (α − x )( β − x ) , donde α y β representan las cantidades iniciales de las dt sustancias A y B, respectivamente, y x(t) indica la cantidad de la sustancia X presente en el instante t. a) Utilice herramientas tecnológicas para trazar el campo de direcciones en el caso de que α = 250, β = 40 y k = 0.0006. b) Si x(0) = 0, ¿cuál parece ser el comportamiento de x cuando t→∞.

Sol. b) x(t) parece aproximarse a 40 cuando t→∞.

2.10.25 Quita nieve 252. Durante una nevada continua, un hombre comienza a despejar la banqueta al mediodía, removiendo la nieve con una pala a una tasa constante y despejando un camino de amplitud constante. Cerca de las 2 pm el hombre ha quitado la nieve de dos cuadras y la de una más alrededor de las 4 de la tarde. ¿Cuándo comenzó a caer la nieve? Explique el proceso de modelación [Sugerencia: se requieren más suposiciones para resolver el problema] 253. Temprano por la mañana comienza a nevar a una razón constante. A las 7:00 a.m. una máquina barredora retira la nieve de la carretera. Hacia las 8:00 a.m. ha recorrido 2 millas, pero le tomó 2 h más (hasta las 10:00 a.m.) recorrer 2 millas adicionales. a) Sea t = 0 cuando empezó a nevar y sea x la distancia recorrida por la barredora hasta el instante t. Suponiendo que la barredora quita la nieve del camino a una velocidad constante (en pies cúbicos por hora, digamos), demuestre que

k

dx 1 = dt t

En donde k es una constante. b) ¿A qué hora empezó a nevar?

Sol. A las 6:00 a.m.

254. Supongamos que el ritmo de cambio en el número s de millas por hora de carretera que limpia una máquina quitanieves es inversamente proporcional a la altura de la nieve. a) Escribir y resolver la ecuación diferencial que verifica s como función de h. b) Calcular la solución particular que cumple s = 25 millas cuando h = 2 pulgadas y s = 12 millas cuando h = 10 pulgadas (2 ≤ h ≤ 15).

255. Comienza a nevar a una velocidad constante en algún momento de la mañana. A mediodía, una máquina quitanieves comienza a trabajar a una velocidad constante.

Durante la primera hora, la máquina limpia el doble que en la segunda hora. ¿En qué momento comenzó a nevar?

2.10.26 Respuesta a estímulos 256. El fisiólogo alemán Gustav Fechner (1801-1887) ideó el modelo expresado como dR k = , donde k es una constante, para describir la respuesta, R, a un estímulo, S. dS S Utilice herramientas tecnológicas para hacer un boceto del campo de direcciones en el caso el caso en que k = 0.1.

Unidad 3 Aplicaciones matemáticas a procesos específicos de cada ingeniería 3.1 Series de Fourier 1. Desarrolle la función en la serie de cosenos o senos adecuada.

 1, − 2 < x < −1 − x, − 1 ≤ x < 0  f (x) =  0 ≤ x <1  x,  1, 1≤ x < 2

Sol.

3 f(x) = + 4

∞

∑ n=1

nπ nπ 4   cos − 1 cos x   2 2 n 2π 2  

2. Desarrolle la función en la serie de cosenos o senos adecuada. − π , − 2π < x < −π  f ( x ) =  x, −π ≤ x < π  π, π ≤ x < 2π 

∞

Sol.

f ( x) =

∑ n4π sen n2π + n2 (−1) 2

n=1

n+1 

n  sen 2 x 

3. Halle los desarrollos en series de cosenos o senos, en medio intervalo, de la función respectiva.

0 < x < π /2  x, f (x) =  π − x, π / 2 ≤ x < π

∞

Sol . f ( x ) =

∑ n4π sen n2π sen nx 2

n =1

4. Halle los desarrollos en series de cosenos o senos, en medio intervalo, de la función respectiva.

0< x <π  0, f (x) =   x − π , π ≤ x < 2π

∞

Sol . f ( x ) =

∑  n2 (−1)

n +1

−

n =1

4

sen

n π 2

nπ  n sen x  2  2

5. Desarrolle la función del ejercicio como serie de Fourier. f(x) = x +1, 0 < x < 1

3 Sol . f ( x ) = − 2

∞

∑ n1π sen 2nπ x n =1

6. Desarrolle la función del ejercicio como serie de Fourier. f(x) = 2 – x, 0 < x < 2 ∞

Sol . f ( x ) = 1 +

∑ n2π sen nπ x n =1

d 2x

+ kx = f (t ) cuando dt 2 m = 1, k = 10 y la fuerza impulsora f(t) es la especificada en ambos casos. Suponga que cuando f(t) se prolonga hacia el eje negativo de t en forma periódica, la función que resulta es impar.

7. En el problema halle una solución particular de la ecuación m

0<t <π  5, f (t ) =  ; f (t + 2π ) = f (t ) − 5, π < t < 2π

Sol .

x p (t ) =

10

π

∞

∑ n(10 − n )sen n t 1 − ( −1) n

2

n =1

d 2x

+ kx = f (t ) cuando dt 2 m = 1, k = 10 y la fuerza impulsora f(t) es la especificada en ambos casos. Suponga que cuando f(t) se prolonga hacia el eje negativo de t en forma periódica, la función que resulta es impar.

8. En el problema halle una solución particular de la ecuación m

f(t) = 1 – t, 0 < t <2; f(t + 2π) = f(t)

Sol .

2

x p (t ) =

π

∞

∑ n =1

1 sen nπ t n(10 − n 2π 2 )

d 2x

+ kx = f (t ) con m = 1/4, k = 12 y la dt 2 fuerza de impulsión, f(t) dada en el problema. Suponga que cuando f(t) se prolonga a valores negativos de t en forma periódica, la función que resulta es par.

9. Halle una solución particular de la ecuación m

f(t) = 2πt 1 – t2, 0 < t <2π; f(t + 2π) = f(t)

Sol .

x p (t ) =

π2 18

∞

+ 16

∑ n (n 1− 48) cos nt 2

2

n =1

d 2x

+ kx = f (t ) con m = 1/4, k = 12 y dt 2 la fuerza de impulsión, f(t) dada en el problema. Suponga que cuando f(t) se prolonga a valores negativos de t en forma periódica, la función que resulta es par.

10. Halle una solución particular de la ecuación m

1  0<t <  t, 2 ; f (t + 1) = f (t ) f (t ) =  1 1 − t, ≤ t <1 2 

Sol .

1 1 + 2 x p (t ) = 48 π

∞

∑ n (12 − n π ( −1) n − 1

2

n =1

2

2

)

cos 2nπ t

11. Suponga que una viga uniforme de longitud L está simplemente apoyada en x = 0 y x = L. Cuando la carga por unidad de longitud es w(x) = w0x/l, 0 < x < L, la ecuación diferencial de la flecha (desviación) y(x) de esa viga es

EI

d 4y dx

4

=

w0 x , L

en que E, I y w0 son constantes. a) w(x) en forma de una serie de senos en medio intervalo. b) Halle una solución particular y(x) de la ecuación diferencial.

Sol .

x (t ) =

10

π

∞

∑ n =1

1 − ( −1) n − 1  1 1  sen 10t   sen nt − 2 10 10 − n n 

3.2 Ecuación de onda 12. Encuentre el desplazamiento u(x,t) en una cuerda elástica que está fija en sus extremos y se pone en movimiento punteándola en su centro. a 2 u xx = u tt , 0 < x < L, t > 0, u(0, t ) = u(L, t ) = 0, t ≥ 0, u( x,0) = f ( x ), 0 ≤ x ≤ L, u t ( x,0 ) = 0, 0 ≤ x ≤ L. 0 ≤ x ≤ L/2  Ax, f (x) =   A(L − x ), L / 2 < x ≤ L.

Sol . u( x, t ) =

4 AL

π

2

∞

∑ n1 sen n2π sen nLπx cos nπLat 2

n =1

13. Encuentre el desplazamiento u(x,t) en una cuerda elástica, fija en ambos extremos, que se pone en movimiento sin velocidad inicial, desde la posición inicial u(x,0) = f(x), donde

0 ≤ x ≤ L / 4,  Ax,  f ( x ) =  AL / 4, L / 4 < x < 3L / 4,  A(L − x ), 3L / 4 ≤ x ≤ l . 

14. En los siguientes problemas, determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado.

∂ 2u ∂ 2u = 2 , 0 < x < 1, t > 0, ∂t 2 ∂x u(0, t ) = u(1, t ) = 0, t > 0, u( x,0) = x (1 − x ), 0 < x < 1, ∂u ( x,0) = sen 7πx, 0 < x < 1. ∂t 1 Sol. u( x, t ) = sen7πt sen7πx + 7π

∞

∑ ((2n + 1)π ) 8

3

cos(2n + 1)πt sen(2n + 1)πx

n= 0

15. En los siguientes problemas, determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado.

∂ 2u ∂ 2u = 16 , 0 < x < π , t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x,0) = sen 2 x, 0 < x < π , ∂u ( x,0) = 1 − cos x, 0 < x < π . ∂t 16. En los siguientes problemas, determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado. ∂ 2u ∂ 2u = 4 , 0 < x < π , t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x,0) = x 2 (π − x ), 0 < x < π , ∂u ( x,0) = 0, 0 < x < π . ∂t ∞

Sol . u( x, t ) =

∑ n4 [2(−1) 3

n =1

n +1

− 1] cos 2nt sen nx

17. En los siguientes problemas, determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado.

∂ 2u ∂ 2u = 9 , 0 < x < π , t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x,0) = sen 4 x + 7sen 5 x, 0 < x < π , 0 < x < π / 2,  x, ∂u ( x,0) =  ∂t π − x, π / 2 < x < π

18. La cuerda pulsada. Una cuerda vibrante queda descrita mediante el problema con valores iniciales y en la frontera. ∂ 2u

= a2

∂ 2u

, 0 < x < L, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(L, t ) = 0, t > 0, u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L, ∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t Si la cuerda se levanta hasta una altura h0 en x = b y se suelta, entonces las condiciones iniciales son

h0 x / b 0 < x ≤ b,  f (x) =  h0 (L − x ) /(L − b) b < x < L, y g(x) = 0. Determine una solución formal.

Sol . u( x, t ) =

∞

1 nπ b nπ x nπ a t sen sen cos ∑ L L L π b (L − b ) n 2h0 L2

2

2

n =1

19. La cuerda golpeada. Una cuerda vibrante queda descrita mediante el problema con valores iniciales y en la frontera.

∂ 2u

= a2

∂ 2u

, 0 < x < L, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(L, t ) = 0, t > 0, u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L, ∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t Si la cuerda se golpea en x = b, entonces las condiciones iniciales se pueden aproximar mediante f(x) = 0 y vox / b 0 < x ≤ b,  g(x ) =  v o (L − x ) /(L − b ) b < x < L, Donde vo es una constante. Determine una solución formal.

20. En el ejercicio, encuentre el desplazamiento cuando t > 0 en el problema de vibración de una cuerda, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial está dado por la f(x) descrita en el ejercicio.

2 ∂ 2u 2 ∂ u = a , 0 < x < L, 0 < t ; ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t , u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L,

∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t 1  x, 0 ≤ x ≤ L,  2 f (x) =  1 L − x L ≤ x ≤ L.  2 Sol . u( x, t ) =

4L

π2

∞

∑ (2k + 1) ( −1) k

2

k =0

sen

(2k + 1)πx (2k + 1)πat cos L L

21. En el ejercicio, encuentre el desplazamiento cuando t > 0 en el problema de vibración de una cuerda, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial está dado por la f(x) descrita en el ejercicio.

2 ∂ 2u 2 ∂ u = a , 0 < x < L, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t , u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L,

0 < t;

∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t f (x) =

x (L − x ) L

22. En el ejercicio, encuentre el desplazamiento cuando t > 0 en el problema de vibración de una cuerda, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial está dado por la f(x) descrita en el ejercicio.

2 ∂ 2u 2 ∂ u =a , 0 < x < L, ∂t 2 ∂x 2 u (0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t , u ( x,0 ) = f ( x ), 0 < x < L,

∂u ( x,0 ) = g ( x ), ∂t   x,  L f (x ) =  ,  4 L − x 

0 < t;

0 < x < L.

1 L, 4 1 3 L ≤ x ≤ L, 4 4 3 L ≤ x ≤ L. 4 0≤x≤

Sol . u( x, t ) =

Figura 3.1

2L

π2

∞

∑ n =1

1 n2

nπ 3nπ  + sen  sen 4 4 

nπat nπx  sen  cos L L 

23. En el ejercicio, encuentre el desplazamiento cuando t > 0 en el problema de vibración de una cuerda, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial está dado por la f(x) descrita en el ejercicio.

2 ∂ 2u 2 ∂ u = a , 0 < x < L, ∂t 2 ∂x 2 u (0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t ,

u ( x,0 ) = f ( x ),

0 < t;

0 < x < L,

∂u ( x,0 ) = g ( x ), ∂t

0 < x < L.

  x,  1 f ( x ) =  L − x, 2  x −L 

1 L, 4 1 3 L ≤ x ≤ L, 4 4 3 L ≤ x ≤ L. 4 0≤x≤

Figura 3.2

24. En el ejercicio, encuentre el desplazamiento cuando t > 0 en el problema de vibración de una cuerda, bajo la condición de que la velocidad inicial es cero y el desplazamiento inicial está dado por la f(x) descrita en el ejercicio.

2 ∂ 2u 2 ∂ u a = , 0 < x < L, 0 < t ; ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t , u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L,

∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t   x, 1  f ( x ) =  L − x, 2  0 

1 L, 4 1 1 L ≤ x ≤ L, 4 2 1 L ≤ x ≤ L. 2 0≤x≤

Sol . u( x, t ) =

2L

π

2

∞

∑ n1  2sen n4π − sen n2π  cos nπLat sen nLπx 2

n =1

25. Encuentre el desplazamiento de la cuerda para el problema

∂ 2u

= a2

∂ 2u

, 0 < x < L, 0 < t ; ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(L, t ) = 0, 0 < t , u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L, ∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t Si el desplazamiento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por g ( x ) =

ax(L − x ) 4L2

26. Encuentre el desplazamiento de la cuerda para el problema 2 ∂ 2u 2 ∂ u = a , 0 < x < L, 0 < t ; ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u (L, t ) = 0, 0 < t , u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L, ∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L. ∂t

si el desplazamiento inicial es cero y la velocidad inicial está dada por

 0  g ( x ) = v 0  0 

1 L 3 1 2 L≤x≤ L 3 3 2 L≤x≤L 3 0≤x≤

Sol . u( x, t ) =

∞

1  nπ 2nπ  nπat nπx − cos sen  cos sen ∑ 3 3  L L π a n 

2v o L 2

2

n =1

27. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2u

=

∂ 2u

, 0 < x < L, t > 0 ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 a2

u( x,0) =

1 x (L − x ), 4

∂u ∂t

=0 t =0

Sol . u( x, t ) =

L2

π

3

∞

∑ n =1

1 − ( −1) n n

3

cos

nπ a nπ t sen x L L

28. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2 u ∂ 2u = , 0 < x < L, t > 0 ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 a2

u( x,0) = 0,

∂u ∂t

= x (L − x ) t =0

Sol . u( x, t ) =

4L3 aπ

4

∞

∑ n =1

1 − ( −1) n n

4

sen

nπ a nπ t sen x L L

29. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema.

∂ 2u ∂ 2u = , 0 < x < L, t > 0, ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 a2

u( x,0) = como se especifica en la figura, ∂u =0 ∂t t =0 Sol . u( x, t ) =

Figura 3.3

6 3 πa π 1 5π a 5π 1 7π a 7π  t sen x − 2 cos t sen x + 2 cos t sen x − ...   cos 2 L L L L L L π  5 7 

30. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2u

∂ 2u

, 0 < x < π, t > 0 ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(π , t ) = 0 a2

=

u( x,0) =

1 x (π 2 − x 2 ), 6

∂u ∂t

=0 t =0

∞

∑

Sol . u( x, t ) = 2

n =1

( −1) n +1 n3

cos nat sen nx

31. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2 u ∂ 2u = , 0 < x < L, t > 0, ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(π , t ) = 0 a2

u( x,0) = 0,

∂u ∂t

= sen x t =0

Sol . u ( x, t ) =

1 sen at sen x a

32. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2 u ∂ 2u = , 0 < x < L, t > 0, ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(1, t ) = 0 a2

u( x,0) = 0.01sen 3πx,

∂u ∂t

=0 t =0

Sol . u( x, t ) = 0.01sen 3π x cos 3π at

33. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema.

∂ 2 u ∂ 2u , 0 < x < L, t > 0, = ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 a2

 2hx L 0<x<  L 2 u( x,0) =  2h1 − x  L ≤ x < L   L  2

∂u ∂t

=0 t =0

La constante h es positiva pero pequeña, en comparación con L; esto se llama “problema de la cuerda rasgada”.

Sol . u( x, t ) =

8h

π2

∞

∑ n =1

nπ 2 cos nπ a t sen nπ x 2 L L n

sen

34. Determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito mediante el problema con valores iniciales y en la frontera no homogéneos dado. ∂ 2u

∂ 2u

+ tx, 0 < x < π , t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x,0) = sen x, 0 < x < π , =

∂u ( x,0) = 5 sen 2 x − 3 sen 5 x, 0 < x < π . ∂t Sol . u ( x, t ) = cos t sen x + ∞

∑

+2

n =1

5 3 sen 2t sen 2 x − sen 5t sen 5 x 2 5

( −1) n +1  sen nt  t − sen nx n  n3 

35. Determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito mediante el problema con valores iniciales y en la frontera no homogéneos dado.

∂ 2u

∂ 2u

+ x sen t , 0 < x < π , t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x,0) = 0, 0 < x < π , =

∂u ( x,0) = 0, 0 < x < π . ∂t 36. Si un extremo de una cuerda se mantiene fijo mientras que el otro queda libre, entonces el movimiento de la cuerda queda descrito mediante el problema con valores iniciales y en la frontera ∂ 2u ∂t 2

= a2

∂ 2u ∂x 2

, 0 < x < L, t > 0,

∂u (L, t ) = 0, t > 0, ∂x u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L,

u(0, t ) = 0

y

∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L . ∂t Deduzca una fórmula para la solución formal ∞

Sol . u( x, t ) =

∑ a cos (2n +21L)π a t + b sen (2n +21L)π a t sen (2n +2L1)π x , n

n

n =0 ∞

donde

f (x) =

∑ n =0

(2n + 1)π x an sen 2L

∞

y

g( x ) =

∑ b (2n 2+L1)π a sen (2n +2L1)π x n

n =0

37. Deduzca una fórmula para la solución del siguiente problema con valores iniciales y en la frontera que implica condiciones en la frontera no homogéneas

∂ 2u

= a2

∂ 2u

, 0 < x < L, t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = U1 u(L, t ) = U 2 , t > 0,

u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L , ∂u ( x,0) = g ( x ), 0 < x < L , ∂t donde U1 y U2 son constantes.

38. Encuentre el desplazamiento u(x,t) en una cuerda elástica que está fija en sus extremos y se pone en movimiento punteándola en su centro.

4u xx = u tt , 0 < x < 6, t > 0, u(0, t ) = 1, u(6, t ) = 1, t ≥ 0, u( x,0) = f ( x ), 0 ≤ x ≤ 6, u t ( x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ 6.  1  3 x + 1, 0 ≤ x ≤ 3 f (x) =  1 − x + 3, 3 < x ≤ 6.  3

39. Encuentre el desplazamiento u(x,t) en una cuerda elástica que está fija en sus extremos y se pone en movimiento punteándola en su centro.

2u xx = u tt , 0 < x < 10,

t > 0,

u(0, t ) = 5, u(10, t ) = 5, t ≥ 0, u( x,0) = f ( x ), 0 ≤ x ≤ 10, u t ( x,0) = 0, 0 ≤ x ≤ 10.

Figura 3.4 Donde f ( x ) es como muestra la figura 40. En el siguiente problema, determine una solución formal del problema de la cuerda vibrante descrito por el problema con valores iniciales y en la frontera dado.

∂ 2u

=

∂ 2u

, 0 < x < 5, t > 0, ∂t 2 ∂x 2 u(0, t ) = 1, u(5, t ) = 0, t > 0, u( x,0) = f ( x ), 0 < x < 5, ∂u ( x,0) = 0, 0 < x < 5 ∂t  3 x +1 0<x<2  f ( x ) =  25 − 31 x + 31 2 < x < 5  75 15

41. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. ∂ 2u

=

∂ 2u

, 0 < x < L, t > 0, ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = p, u(L, t ) = q a2

u( x,0) =

1 x(L − x ), s

∂u ∂t

= g( x ) t =0

p, q, s son números reales

q−p 2 Sol . u( x, t ) = x+p− 3 L π

∞

∑ n =1

[

]

 − 2L2 + π 2 n 2 qs  nπ a nπ    1 − ( −1)n  cos t sen x 3   L L  n s   

42. Resuelva e interprete físicamente el problema de valor de frontera. ∂ 2u

∂ 2u

, 0 < x < L, t > 0, ∂x 2 ∂u u(0, t ) = 0, = k , u( x,0) = 0, ∂x x =L ∂t 2

= a2

∂u ∂t

=0 t =0

Sol . u( x, t ) = kx +

8kL

π

2

∞

∑ (2n − 1) n =1

( −1) n

2

cos

2n − 1 2n − 1 πat sen πx 2L 2L

43. El problema del telégrafo. Use el método de separación de variables para reducir una solución formal del problema del telégrafo

∂ 2u

2 ∂u 2 ∂ u + u = a , 0 < x < L, t > 0, ∂t 2 ∂t ∂x 2 u(0, t ) = u(L, t ) = 0 , t > 0, u( x,0) = f ( x ), 0 < x < L ,

+

∂u ( x,0) = 0, 0 < x < L , ∂t ∞

Sol . u( x, t ) =

∑ a T (t )sen nπL x n n

n =1

donde donde

an =

βn =

2 L

∫

L

0

f ( x )sen

  1 nπ x dx , Tn (t ) = e −t / 2  cos β n t + senβ n t  , L 2β n  

1 3L2 + 4a 2π 2 n 2 2L

44. Resuelva la ecuación de onda, sujeta a las condiciones citadas en el problema. a2 ∂u ∂x

∂ 2u ∂x 2

=

∂ 2u ∂t 2

= 0, x =0

u( x,0) = x,

, 0 < x < L, t > 0,

∂u ∂x

x =L

∂u ∂t

t =0

=0 =0

Este problema podría describir el desplazamiento longitudinal u(x,t) de una barra elástica vibratoria. Las condiciones en la frontera, para x = 0 y x = L, se llaman condiciones del extremo libre (ver fig.).

Figura 3.5

L 2L Sol . u( x, t ) = + 2 2 π

∞

∑ n =1

( −1)n − 1 n2

cos

nπ a nπ t cos x L L

45. Una cuerda se tensa y se asegura en el eje x en x = 0 y en x = π para t > 0. Si las vibraciones transversales se presentan en un medio con una resistencia proporcional al movimiento a la velocidad instantánea, la ecuación de onda toma la forma ∂ 2u ∂ 2 u ∂u = 2 + 2β 2 , 2 ∂x ∂t ∂t

0 < β < 1,

t > 0.

Halle el desplazamiento u(x,t) si la cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicial f(x). ∞

Sol . u( x, t ) = e

−β t

∑ n =1

donde

An =

2

π

  β An  cos q n t + sen q n t  sen nx , qn  

∫

π

f ( x ) sen nx dx

0

46. Demuestre que una solución del problema de valor en la frontera ∂ 2u

∂ 2u

+ u, 0 < x < π, t > 0 ∂x 2 ∂t 2 u(0, t ) = 0 , u(π , t ) = 0 , t > 0 =

0 < x <π /2  x, u( x,0) =  π − x, π / 2 ≤ x < π ∂u = 0, 0 < x < π ∂t t =0

es u( x, t ) =

4

π

∞

∑ k =1

( −1) k +1 sen(2k − 1)x cos (2k − 1) 2 + 1 t 2 (2k − 1)

y qn = n 2 − β 2

47. El desplazamiento transversal u(x,t) de una viga vibratoria de longitud L está determinado por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden a2

∂ 4 u ∂ 2u + = 0, ∂x 4 ∂t 2

0 < x < L,

t > 0.

Si la viga está simplemente apoyada (ver fig.), las condiciones en la frontera (CF) y condiciones iniciales (CI) son

u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0, t > 0, ∂ 2u ∂x 2

= 0, x =0

u( x,0 ) = f ( x ),

∂ 2u ∂x 2

x =L

∂u ∂t

t =0

= 0,

t >0

= g ( x ), 0 < x < L

Determine u(x,t). [Sugerencia: por comodidad, use λ4 en lugar de λ2 al separar variables.]

Figura 3.6 ∞

Sol . u( x, t ) =

∑ n =1

donde

 n 2π 2 n 2π 2  nπ  An cos at + B sen at  sen x, n 2 2  L L L  

An = Bn =

2 L

∫

L

f ( x ) sen

0

2L n π a 2

2

∫

nπ x dx L

L

0

g ( x )sen

nπ x dx L

3.3 Ecuación de calor 48. Resuelva la ecuación de transmisión de calor, sujeta a las condiciones respectivas.

Suponga una varilla de longitud L.

∂u , 0 < x < L, t > 0 ∂t ∂x 2 u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 k

∂ 2u

=

1 0 < x < L / 2 u( x,0 ) =  0 L / 2 < x < L nπ   + 1  − cos 2 2 2 2 2  e − k n π / L t sen nπ x u ( x, t ) =  π n =1 n L     ∞

Sol.

∑

(

)

49. Resuelva la ecuación de transmisión de calor, sujeta a las condiciones respectivas.

Suponga una varilla de longitud L.

∂u , 0 < x < L, t > 0 ∂t ∂x u(0, t ) = 0, u(L, t ) = 0 u( x,0 ) = x(L − x ) k

∂ 2u 2

=

50. Halle la temperatura u(x,t) en una varilla de longitud L cuando la temperatura inicial en ella es f(x) y los extremos, x = 0 y x = L, están aislados.

51. Halle la temperatura u(x,t) en una varilla de longitud L = 2 cuando la temperatura

 x, 0 < x < 1 inicial en ella es f ( x ) = 0, 1 < x < 2 y los extremos, x = 0 y x = 2, están aislados. 

52. Suponga que se pierde calor a través de la superficie lateral de una varilla delgada de longitud L, el cual pasa al medio ambiente que está a la temperatura cero. Si se aplica la ley lineal de transferencia de calor, la ecuación adopta la forma

k

∂ 2u

− hu =

∂u , ∂t 0 < x < L, t > 0, donde h es una constante. Halle la temperatura u(x,t)

∂x si la temperatura inicial en toda la varilla es f(x) y los extremos x = 0 y x = L están aislados (ver fig.).

2

Figura 3.7 53. resuelva la ecuación de calor con las condiciones citadas.

∂u ∂ 2u =k ∂t ∂x 2 u(0, t ) = 20, u(L, t ) = 60, u( x,0 ) = 100

3.4 ecuación de Laplace 54. (a) Encuentre la temperatura de estado estacionario en una placa en la forma de un sector circular de radio unitario y ángulo π/6, como se indica en la figura, si las temperaturas de los lados se mantienen a 0, la temperatura del arco circular se mantiene a 100, y las caras planas están aisladas. b) Describa un problema tridimensional teniendo la misma solución como a). c) ¿Cuál es la solución si el sector tiene radio c?

Figura 3.8

55. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u

+

∂ 2u

= 0, 0 < x < a, ∂x 2 ∂y 2 u(0, y ) = 0, u (a, y ) = 0

0<y <b

u( x,0 ) = 0, u( x, b ) = f ( x ) 56. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u

∂ 2u

= 0, 0 < x < a, ∂x 2 ∂y 2 u(0, y ) = 0, u (a, y ) = 0 ∂u ∂y

+

0<y <b

= 0, u( x, b ) = f ( x ) y =0

57. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u

+

∂ 2u

= 0, 0 < x < a, ∂x 2 ∂y 2 u(0, y ) = 0, u (a, y ) = 0

0<y <b

u( x,0 ) = f ( x ), u( x, b ) = 0

nπ   + 1  − cos 2 2 2 2  e − k n π / L t sen nπ x u ( x, t ) =  n L π n =1     2

Sol.

∞

∑

(

)

58. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u ∂x 2 ∂u ∂x

+

∂ 2u ∂y 2

= 0,

0 < x < a,

∂u ∂x

= 0, x =0

0<y <b

=0 x =a

u( x,0 ) = x, u( x, b ) = 0 59. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u

∂ 2u

= 0, 0 < x < a, ∂x 2 ∂y 2 u(0, y ) = 0, u (1, y ) = 1 − y ∂u ∂y

+

∂u ∂y

= 0, y =0

0<y <b

=0 y =1

60. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u ∂x 2

+

∂ 2u ∂y 2

= 0,

∂u ∂x

u(0, y ) = g ( y ), ∂u ∂y

= 0, y =0

0 < x < a,

∂u ∂y

0<y <b

=0 x =1

=0 y =π

61. En el ejercicio encuentre la temperatura de estado estable en una placa rectangular con las condiciones en la frontera dadas.

∂ 2u ∂x 2 ∂u ∂x

+

∂ 2u ∂y 2

= 0,

0 < x < a,

= u(0, y ), u (π , y ) = 1 x =0

u( x,0 ) = 0, u( x,π ) = 0

0<y <b

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