Problemario 1
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado
Problemario # 1. Matemática. Unidad I Axiomatica de los números Reales
Por
M. Sc. Jorge Eliecer Hernández Hernández Barquisimeto, Julio de 2009.
Problemario 1
Decanato de Administración y Contaduría
Carrera: Administración y Contaduría Asignatura: Matemática Objetivo: Unidad I. Axiomática de los números Reales
Introducción: El objetivo de este primer problemario es completar la ejercitación de la aplicación de los axiomas de los números Reales en el razonamiento matemático que se deriva de la lectura y análisis de proposiciones lógicas dadas. A continuación se le proponen algunas proposiciones y sus interpretaciones, así como también algunos razonamientos para los cuales se les exige establecerlos en forma de proposiciones usando símbolos. Además, se muestran algunos desarrollos matemáticos donde se necesita justificar cada paso. La primera parte contiene algunos de estos ejercicios resueltos, la segunda parte contiene otros para que usted aplique lo que ha estudiado.
La verdad está constituida por pequeñas verdades, que no por ser pequeñas dejan de ser verdades
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Parte I. Ejercicios Resueltos. 1. Para que valores reales de la variable x se cumple que x2 +1 = 0 ? Razonamiento: La lectura de la expresión establece que si x es un número real, primero debe ser elevado al cuadrado, entonces, por la definición de potencia es la multiplicación de x por si mismo, es decir,
x 2 = x.x 2
Se deduce entonces, que si x es negativo entonces x es positivo. Lo mismo sucede si x es positivo. Si x = 0 claramente x = 0. 2
Entonces, en cualquiera de estos casos, si se le suma 1, el resultado es positivo. Respuesta: para cualquier valor real de x la expresión dada es positiva, nunca es cero. ___________________________________ 2. Cuando se cumple que x 2 − 1 = 0 ? Razonamiento: La lectura de la expresión establece que la resta de x
2
y 1 debe dar como
resultado cero, y esto es verdad solo si los dos son iguales, es decir, x = 1. 2
La pregunta se transforma en la siguiente, cuales son los números que al ser multiplicados por si mismos su resultado es 1? Respuesta: Los únicos números que al ser elevados al cuadrado su resultado es 1 son x = 1 y x = -1.
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3. Diga si es cierto o no que: Si x es positivo entonces ( x 2 + 3x + 5) es positivo. Razonamiento: Si x es positivo, entonces x 2 también lo es. La multiplicación del número 3 por x también es positiva ya que los dos son positivos. Por lo tanto la suma ( x 2 + 3x) es positiva, ya que la suma de dos números positivos es positiva. Por último, si al resultado de la suma ( x 2 + 3 x) le sumamos el número 5, obtenemos que ( x 2 + 3 x + 5) es positivo ya que la suma de dos números positivos es positiva. Respuesta: Es verdadero. ________________________________ 4. Justifique con que axiomas y definiciones el siguiente desarrollo es verdadero.
4. x + 5 = 9 ⇒ 4x = 9 − 5 ⇒ 4x = 4 4 4 ⇒ x =1 ⇒x=
Respuesta: a) Usando la existencia del elemento simétrico, sumamos -5 en ambos lados de la ecuación para que no se altere la igualdad
4.x + 5 − 5 = 9 − 5
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De lo cual obtenemos
4.x = 9 − 5 b) De la definición de suma de números en R y usando la ley de signos para la suma, tenemos
4.x = 4 c) Usando la existencia del elemento inverso, multiplicamos en ambos lados de la ecuación por (1/4) para no alterarla
⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟4.x = ⎜ ⎟4 ⎝4⎠ ⎝4⎠ Con lo que
x =1 _______________________________________
5. Demuestre la siguiente expresión y justifique usando los axiomas de los números reales.
(x − y )3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 Razonamiento: Se requiere comprobar la igualdad, en consecuencia, a partir de la expresión de la izquierda, en la igualdad, llegaremos a la expresión de la derecha. a) Usando la definición de potencia, tenemos
(x − y )3 = ( x − y)( x − y )( x − y )
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b) Usando el axioma distributivo con los dos primeros factores tenemos
(x − y )3 = ( x 2 − xy − xy + y 2 )( x − y) c) Sumando los términos semejantes queda
(x − y )3 = ( x 2 − 2 xy + y 2 )( x − y ) d) Usamos de nuevo el axioma distributivo y encontramos
(x − y )3 = ( x 3 − x 2 y − 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 2 x − y 3 ) e) Sumamos términos semejantes y obtenemos el resultado que buscábamos
(x − y )3 = ( x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y 3 ) ________________________________________________ 6. Determine cual de las siguientes expresiones son proposiciones lógicas. a) b) c) d) e) f)
Sucre peleó en la batalla de Ayacucho El oxígeno es un gas El número 2+1 es un número primo Para todo número real x, x 2 ≥ x Sálvese quien pueda Ten cuidado
Respuesta: Recordemos que una expresión es una proposición lógica si se puede establecer que ésta es cierta o falsa. a) Es cierto. Por lo tanto es una proposición.
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b) c) d) e)
Es cierto. Por lo tanto es una proposición Es cierto. Por lo tanto es una proposición Es falso. Por lo tanto es una proposición No se puede establecer que es cierto o falso. Por lo tanto no es una proposición f) No se puede establecer que sea cierto o falso. Por lo tanto no es una proposición. _____________________________________________________ 7. Escriba simbólicamente cada una de las siguientes proposiciones: a) Si el dinero escasea, entonces los intereses aumentan y la inflación baja b) Si estamos en invierno entonces llueve y hace frío Respuesta: a) Supongamos que p: el dinero escasea y que q: los intereses aumentan y r: la inflación baja, entonces la expresión dada esta representada simbólicamente por medio de
p⇒ q∧r b) Similar al anterior ejercicio, hacemos p: estamos en invierno, q: llueve y r: hace frío, en consecuencia, tenemos que la expresión queda representada simbólicamente por medio de
p⇒ q∧r
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Parte II. Ejercicios Propuestos. 1. Sean las proposiciones a) p: Paris esta en Francia b) b: Bolivar nació en Caracas c) c: Cervantes escribió la Ilíada d) s: Sócrates murió en España Traducir al lenguaje diario las siguientes proposiciones
a ) ( p ∧ b) ⇒ ~ c
b ) ~ ( p ⇒ ~ b ) ⇔ (c ∧ s )
2. Simbolizar las siguientes proposiciones a) Si el hidrógeno y el oxigeno están presentes y el nitrógeno está ausente entonces el agua es inodora si y solo si no es un gas b) Si un número b es divisible por dos entonces b es un número par c) Si un número b no es divisible por dos entonces no es par y es impar d) Si un número n puede ser escrito de la forma 2k+1 entonces n es un número impar. 3. Demuestre las expresiones dadas justificando con los axiomas de los números reales. a) x 2 − 1 = x − 1 b) ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1 c) ( x − 1)( x 2 + x + 1) = x 3 − 1 d) ( x − 1) > 0 ∧ ( x + 1) < 0 ⇒ x 2 − 1 < 0