Proyecto de Investigación Matemática 3 | UNTELS

2015 CÁLCULO DEL VOLUMEN DEL REDISEÑO DEL TANQUE DE FLOCULACIÓN DE UNA PLANTA DE TRATAMIENTO DE AGUA UTILIZANDO INTEGRALES TRIPLES

CARRERA PROFESIONAL INGENIERÍA AMBIENTAL

GRUPO: 03

INTEGRANTES

MATEMÁTICA III NOTA DE PRESENTACIÓN

CLASE: IA04M2 NOTA DE EXPOSICIÓN

NOTA FINAL

GUTIÉRREZ GRADOS KELVIN HANAMPA MAQUERA GRESE HOYOS TRUJILLO MICHELLE HUINGO VARGAS JORGE JUIPA SÁNCHEZ JHONATAN

DOCENTE: ING. LUIS ALFREDO ZUÑIGA FIESTAS

DEDICATORIA El presente informe está dedicado a Dios por ser nuestro guía día a día, a nuestros padres por darnos siempre su apoyo incondicional para seguir adelante con nuestros estudios y al profesor Ing. Luis Zúñiga Fiestas por sus enseñanzas y el apoyo brindado en el transcurso del presente ciclo académico 2015-I.

1.

RESUMEN....................................................................................................................... 5 1.1.

2.

Introducción ............................................................................................................ 5

OBJETIVOS.................................................................................................................... 6 2.1.

Objetivo general ...................................................................................................... 6

2.2.

Objetivos específicos ............................................................................................... 6

3.

JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................... 6

4.

FUNDAMENTO TEÓRICO .......................................................................................... 7

AGUAS RESIDUALES .......................................................................................................... 7 4.1.

Conceptos y definiciones básicas ........................................................................... 7

4.1.1.

¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES?................................................... 7

4.1.2.

TIPOS DE AGUAS RESIDUALES ............................................................... 7

4.1.2.1.

SEGÚN SU PROCEDENCIA ................................................................ 7

4.1.2.1.1. Aguas blancas ....................................................................................... 8 4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A) .................................................. 8 4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I) ............................................... 8 4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U) .................................................... 8 4.2.

CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES. .................................. 9

4.2.1.

4.2.1.1.

OLOR ....................................................................................................... 9

4.2.1.2.

COLOR .................................................................................................... 9

4.2.1.3.

SÓLIDOS TOTALES ........................................................................... 10

4.2.1.4.

TEMPERATURA ................................................................................. 10

4.2.1.5.

DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O) ........................ 11

4.2.1.6.

DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B) ............................... 11

4.2.2.

4.3.

FÍSICO-QUÍMICAS....................................................................................... 9

BIOLÓGICAS ............................................................................................... 11

4.2.2.1.

Bacterias................................................................................................. 11

4.2.2.2.

Protozoarios ........................................................................................... 12

4.2.2.3.

Virus ....................................................................................................... 12

4.2.2.4.

Organismos coliformes y patógenos .................................................... 12

FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA ............................................. 13

4.3.1.

Aguas residuales urbanas. ............................................................................ 13

4.3.2.

Aguas residuales industriales. ...................................................................... 13

TIPOS DE CONTAMINANTES ......................................................................... 14

4.4.

4.4.1.

Contaminantes orgánicos ............................................................................. 14

4.4.2.

Contaminantes inorgánicos .......................................................................... 14

EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES ........................................................... 14

4.5.

4.5.1.

Drenaje Doméstico ........................................................................................ 15

4.5.2.

Drenaje Sanitario .......................................................................................... 15

CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL ................................................ 15

4.6.

4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUAS RESIDUALES ................................................................................................................... 16 4.7.1.

Tratamiento primario ................................................................................... 17

4.7.2.

Tratamiento secundario ............................................................................... 17

4.7.3.

Tratamiento terciario ................................................................................... 17

RÍO SURCO .......................................................................................................... 18

4.8.

4.8.1.

Recuperación del Río Surco ......................................................................... 18

ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA ..................... 18

4.9.

4.9.1.

PRIMERA ETAPA ....................................................................................... 18

4.9.1.1.

CAPTACIÓN ........................................................................................ 18

4.9.1.2.

CÁMARA DE BOMBEO ..................................................................... 19

4.9.1.3.

DESARENADOR .................................................................................. 19

4.9.1.4.

BOCATOMA......................................................................................... 20

4.9.2.

SEGUNDA ETAPA....................................................................................... 20

4.9.2.1.

CALERA ................................................................................................ 20

4.9.2.2.

FLOCULADOR DECANTADOR ....................................................... 21

4.9.2.3.

FILTROS ............................................................................................... 22

4.10.

4.10.1.

INTEGRALES MÚLTIPLES .......................................................................... 23 Integrales dobles............................................................................................ 24

4.10.1.1.

Volumen de una región sólida con integral doble .............................. 24

4.10.2.

Integrales triples............................................................................................ 25

4.10.3.

Reducción de integrales triples a integrales iteradas. ................................ 26

4.10.4.

Hiperboloide. ................................................................................................. 27

4.10.4.1.

Hiperboloide de una hoja. .................................................................... 27

4.10.4.2.

Grafica de la ecuación de un hiperboloide. ......................................... 27

4.10.4.3.

Intersección con los ejes coordenados. ................................................ 28

a)

Intersección con el eje X. .............................................................................. 28

b)

Intersección con el eje Y. ............................................................................. 28

c)

Intersección con el eje Z. .............................................................................. 28

4.10.4.4.

Trazas sobre los planos coordenados. ................................................. 28

a)

Intersección con el plano XY........................................................................ 28

b)

Intersección con el plano XZ ........................................................................ 29

c)

Intersección con el plano YZ. ....................................................................... 30

4.10.4.5. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen. 31 Respecto a los planos coordenados. ............................................................ 31

A. a)

Simetría respecto al plano XY. ................................................................ 31

b)

Simetría respecto al plano XZ. ................................................................. 31

c)

Simetría respecto al plano YZ. ................................................................. 32 Respecto a los ejes X, Y y Z. ......................................................................... 32

B. a)

Simetría respecto al eje X. ........................................................................ 32

b)

Simetría respecto al eje Y. ........................................................................ 33

c)

Simetría respecto al eje Z. ........................................................................ 33

C.

Respecto al origen ......................................................................................... 33

4.10.4.6. a)

Sobre el plano XY.. ....................................................................................... 34

b)

Sobre el plano XZ. ......................................................................................... 35

c)

Sobre el plano YZ. ......................................................................................... 36

4.10.4.7.

4.10.5.

4.10.5.1.

Coordenadas rectangulares .................................................................. 38

4.10.5.2.

Coordenadas cilíndricas ....................................................................... 38

4.10.5.3.

Coordenadas esféricas .......................................................................... 39

4.10.5.4.

Jacobiano ............................................................................................... 39

4.10.6.1.

6.

Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico). ............................. 37

Tipos de coordenadas.................................................................................... 38

4.10.6.

5.1.

Secciones por planos paralelos a los planos coordenados ................. 34

Circunferencia ........................................................................................... 39 Ecuación general de la circunferencia................................................. 40

TOMA DE DATOS. .............................................................................................. 41

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA .................................................................................. 43

6.1.

APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMÁTICOS ........................................... 43

7.

RESULTADOS ............................................................................................................. 45

8.

CONCLUSIONES......................................................................................................... 49

9.

BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................... 50

10.

ANEXOS. ................................................................................................................... 52

1. RESUMEN 1.1. Introducción En el Perú se está poniendo en marca las construcciones de plantas de tratamientos de agua especialmente en Lima, donde el agua está escaseando actualmente debido a al calentamiento global y contaminación ambiental.

Las plantas de tratamiento pueden estar desde una escala como la planta de tratamiento de la Chira (planta de tratamiento de agua más grande del Perú) a la escala de la planta de tratamiento municipal como la de Surco.

En la planta de planta de tratamiento y recuperación de las aguas del Rio Surco – Intihuatana podemos ver su funcionamiento para el beneficio de la zona del distrito de Surco con el mantenimiento de las áreas verdes y el crecimiento de este.

Con los conocimientos de la matemática podremos demostrar en este proyecto de investigación cual importantes son en el aporte para poder solucionar problemas como los que están afectando al medio ambiente. En este caso en una planta de tratamiento, específicamente se mostrará el uso de integrales dobles, el rediseño de los tanques levándolos a figuras se superficies cuadráticas capaz con esto podríamos mejorar el rendimiento de su funcionamiento.

En este trabajo se mostrara el cálculo del tanque rediseñado a un hiperboloide de una hoja, aplicando integrales dobles para calcular el volumen de una figura en 3D, obteniendo los resultados exactos, también haciendo el uso de software matemáticos para la construcción de la figura y obtenciones de resultados para la previa comparación.

5

2. OBJETIVOS 2.1. Objetivo general Aplicar los conocimientos adquiridos durante el presente ciclo académico en el curso Matemática III, para hallar el volumen del tanque de floculación de la Planta de Tratamiento y Recuperación de las Aguas del Rio Surco - Intihuatana.

2.2. Objetivos específicos  Modificar el tanque de floculación de la planta de tratamiento de aguas del rio Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz” para tener una mayor capacidad de almacenaje total aprovechando la altura, con la finalidad de poder cumplir con las demanda de agua para regadío de los distritos aledaños.  Calcular la máxima capacidad de almacenamiento volumétrico del TANQUE DE FLOCULACIÓN de aguas tratadas por la Planta de Tratamiento y Recuperación de las Aguas del Rio Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz”, antes y después de la modificación estructural, rediseñado mediante el software de modelamiento y diseño AutoCAD; así mismo, utilizar los diversos programas de Software Matemático como Microsoft Mathematics 4.0, Casio ClassPad (fxCP300), Casio ClassPad II (fx-CP400), Wolfram|Alpha para la verificación del cálculo de volumen realizado mediante Integrales Dobles e Integrales Triples.

3. JUSTIFICACIÓN En el presente trabajo nos permitirá ver como es el análisis con los respectivos conocimientos de la matemática en una planta de tratamiento, respectivamente al tanque de floculación.

En el análisis se verá el cálculo del volumen y el rediseño llevándolo a una figura de superficie cuadrática de la forma de hiperboloide de una hoja, se tendrá mayor claridad en cuanto al cómo se podría diseñar un tanque de floculación aplicando

6

integrales dobles, siendo esta de gran apoyo para los análisis. Además de ver que estos diseños se pondrán calcular y computarizarlos en programas de software matemáticos.

4. FUNDAMENTO TEÓRICO AGUAS RESIDUALES 4.1. Conceptos y definiciones básicas Todas las comunidades limeñas generan día a día residuos orgánicos, estos pueden ser sólidos o líquidos. El agua residual (fracción líquida) está constituida principalmente por el agua de abastecimiento después de haber sufrido un proceso de contaminación por los diversos usos que haya sufrido.

4.1.1. ¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES? Son aquellas aguas que pueden definirse como la combinación de desechos líquidos procedentes de industrias, viviendas, instituciones, entre otros. Estas aguas originalmente han sido modificadas por las actividades humanas y por su calidad requieren un debido tratamiento antes de ser rehusadas.1 Factores que contribuyen a la contaminación del agua:  Diversidad de los procesos industriales.  El aumento de la población.  Los desechos arrojados en los ríos, lagunas, etc.

4.1.2. TIPOS DE AGUAS RESIDUALES 4.1.2.1. SEGÚN SU PROCEDENCIA

1

Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33. Obtenido en: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf

7

4.1.2.1.1. Aguas blancas Se les conoce como agua blanca a aquella agua sin filtrar que puede provenir de las tuberías de algún suministro. Estas aguas son procedentes de la limpieza urbana, de los deshielos, de las lluvias, en conclusión podemos decir que son aquellas que han tenido un mínimo contacto con las actividades del hombre y por eso no están contaminadas es decir hay una mínima contaminación.

4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A) Estas aguas son generadas por la producción agropecuaria y agrícola, las cuales están conformadas por los desechos animales, vegetales, fertilizantes, abonos en gran cantidad, productos químicos presentes en los terrenos agrícolas.1

4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I) Estas aguas son generadas por las diversas industrias, su estructura es variada ya que se puede encontrar todo tipo de contaminantes tales como productos químicos, residuos biológicos, ácidos, tóxicos, metales entre otros.

Estas aguas varían de acuerdo a su composición ya que podemos encontrar aguas de enjuague casi limpias mientras que otras se encuentran altamente cargadas por sustancias corrosivas, materia orgánica, sustancias venenosas, explosivas o inflamables.

4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U) A estas aguas también se les conoce con el nombre de “aguas negras”, son procedentes en su mayoría de las actividades domésticas. Su composición no varía es siempre constante y entre ellos tenemos a una gran cantidad de materia orgánica, presencia de gran cantidad de microorganismos, los detritus (heces, orina) y los residuos domésticos (jabones, detergentes, etc.).

1

(Vázquez Rossainz, 2013). Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33.

Obtenido en: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf

8

4.2. CARACTERĂ?STICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES.1 4.2.1. FĂ?SICO-QUĂ?MICAS ďƒ˜ Su temperatura se encuentra entre 10-20°C, siendo el promedio general de 15°C. ďƒ˜ Contienen cargas de contaminantes de en materias orgĂĄnicas y en materia en suspensiĂłn. ďƒ˜ Poseen compuestos como nutrientes nitrĂłgeno (N), fĂłsforo (P), detergentes, cloruros, etc.

NitrĂłgeno amoniacal

3-10 gr/hab/dĂ­a

NitrĂłgeno total

6.5-13 gr/hab/dĂ­a

đ?‘ˇ(đ?‘ˇđ?‘śâˆ’đ?&#x;‘ đ?&#x;’ ) Detergente

4-8 gr/hab/dĂ­a 7-12 gr/hab/dĂ­a

Tabla 1: Valores de los nutrientes de la carga por habitante y dĂ­a Fuente: Metcalf Robert y McGraw-Hill

4.2.1.1.

OLOR

El agua residual tiene un olor desagradable, esto se debe a los gases producidos por la descomposiciĂłn de la materia orgĂĄnica, pero es mĂĄs tolerante que el olor de las aguas residuales sĂŠpticas.2

4.2.1.2.

COLOR

El color de las aguas residuales suele ser de color gris, pero esto no es siempre ya que al descomponerse los compuestos orgĂĄnicos a causa de las bacterias hace que el

1

(Metcalf Y Eddy, INC., 1995). IngenierĂ­a de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y ReutilizaciĂłn, 1995. Capitulo 3.

2 (Ramalho, Lora, & BeltrĂĄn, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el proceso de lodos activos. (pĂĄgs. 253-410)

9

oxígeno disuelto se reduzca a cero y el color del agua residual pasara a ser de color negro (agua séptica).1

COLOR Café claro

DESCRIPCIÓN El agua lleva 6 horas después de la descarga.

Aguas que han sufrido algún grado

Gris claro

de descomposición o que han permanecido un tiempo cortó en los sistemas de recolección.

Aguas sépticas que han sufrido una

Gris oscuro o negro

fuerte descomposición bacteria bajo condiciones anaeróbicas.

Tabla 2: Descripción de los colores a condición general del agua residual Fuente: Ron Crites y George Tchobanoglous, “Tratamiento de agua Residuales”, USA 2000

4.2.1.3.

SÓLIDOS TOTALES

Los sólidos totales en las aguas residuales se definen como el total de la materia orgánica que queda como el residuo de la evaporación a una temperatura a 103105°C. En su mayoría los sólidos totales provienen del uso doméstico e industrial y de las aguas subterráneas.

4.2.1.4.

TEMPERATURA

1

(Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el proceso de lodos activos. (págs. 253-410)

10

Cuando la temperatura aumenta a su vez aumenta la velocidad de las reacciones químicas junto con la disminución del oxígeno en las aguas residuales. Hay temperaturas anormales elevadas que pueden dar lugar a un crecimiento de hongos y plantas acuáticas.

4.2.1.5.

DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O)

Este es el parámetro que se utiliza para las aguas residuales y aguas superficiales a los cinco días, esta medida nos indica el oxígeno disuelto utilizado por los diversos microorganismos en el proceso de la oxidación de la materia orgánica.1

4.2.1.6.

DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B)

Este parámetro se va utilizar para medir la cantidad de materia orgánica en las aguas naturales y aguas residuales, en comparación con la D.B.O la demanda química de oxígeno (D.Q.B) es mayor por el número de compuestos que pueden oxidarse químicamente que biológicamente.

4.2.2.

BIOLÓGICAS

Las aguas residuales contienen numerosos microorganismos algunos de estos son patógenos y otros no, tales como:

4.2.2.1. Bacterias Para que las bacterias crezcan en un ambiente apto depende del pH y de la temperatura, pero la gran mayoría de bacterias no toleran el pH por encima de los 9.5 y por debajo de un pH igual a 4. Pero el pH óptimo para las bacterias está entre 6.5y 7.5.

1

(Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el proceso de lodos activos. (págs. 253-410)

11

4.2.2.2. Protozoarios Estos microorganismos son aeróbicos heterótrofos en comparación con las bacterias estos microorganismos son un grado mayor, esto le da la ventaja de alimentarse de ellas.

Están presentes en las aguas residuales, son encargados de purificar los efluentes que están en procesos biológicos de tratamiento de aguas residuales. Pero esto se dará solo al consumir partículas inorgánicas y bacterias.1

4.2.2.3. Virus De todas las estructuras biológicas esta es la más pequeña, este posee la suficiente información para su reproducción pero necesita de otros seres para poder vivir y en ocasiones las células huésped se rompen liberando nuevas partículas de virus.

Se encuentran presentes en su gran mayoría en las aguas residuales domésticas (A.R.D) por lo que es de vital importancia un debido control.2

4.2.2.4. Organismos coliformes y patógenos Los coliformes son de gran ayuda para el tratamiento de aguas residuales ya que son de vital importancia para facilitar la destrucción de la materia orgánica, el hombre puede evacuar 100000 a 400000 millones de coliformes por día.

Los organismos patógenos generalmente son excretados por el hombre, estos producen diversas enfermedades como diarrea, cólera, fiebre, tifoidea y disentería.

Estos están presentas en las aguas residuales y también en las aguas que están poco contaminadas, pero son difíciles de aislar.

1 2

(Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización.

(Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización.

12

4.3. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA La clasificación de las aguas residuales se hace con respecto a su origen ya que este va a determinar su composición. Las mayores fuentes de contaminación de agua suelen ser de origen urbano e industriales.

4.3.1.

Aguas residuales urbanas.

Son las aguas que tienen como origen, en su mayoría los diversos hogares de la población y que son los desechos después de haber realizado diversas actividades.

Las aguas residuales urbanas por lo general demuestran cierta homogeneidad en cuando a su composición química y carga de contaminantes, ya que casi siempre será lo mismo.1

4.3.2.

Aguas residuales industriales.

Son aquellas que tienen como origen cualquier tipo actividad o negocio en donde para su producción, transformación o manipulación se utilice el agua. Son enormemente variables en cuanto a su composición y caudal a comparación de otras industrias en otros rubros como en las del mismo rubro, por lo que suelen ser muy heterogéneas este tipo de aguas.

Por lo general el caudal de este tipo de aguas puede variar ya que las industrias emiten los vertidos en ciertas horas o en ciertas temporadas del año, dependiendo de su producción y proceso industrial.

Las aguas residuales industriales son más contaminadas que la aguas residuales urbanas, además con una contaminación muchos más difícil de eliminar por lo cual el tratamiento de estas suelen ser más complicado y casi siempre se requiere un estudio específico para cada caso.

1

Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 3

13

4.4. TIPOS DE CONTAMINANTES La contaminación de los cauces naturales se origina por diversas fuentes, las cuales se pueden generalizar en vertidos urbanos, industriales agroindustriales, químicos, residuos clínicos, etc. Las sustancias contaminantes que pueden aparecer en agua residual son muchas y diversas.

4.4.1.

Contaminantes orgánicos1

 Proteínas: Son de origen básicamente de excretas humanas o de desperdicios de productos alimentarios. Son biodegradables, bastante inestables y responsables de malos olores.  Carbohidratos: Este grupo esta constituidos por los azucares, almidones y fibras celulósicas. Su fuente, al igual que las proteínas, son las excretas y desperdicios. 

Aceites y grasas: Son insolubles en agua debido a su composición química (una parte polar y una cadena hidrocarbonada apolar), en su mayoría tienen como raíz los desperdicios de alimentos a excepción de los aceites minerales que proceden de otras actividades.

4.4.2.

Contaminantes inorgánicos

Son de origen mineral y de composición química variada, estas pueden ser sales, óxidos, ácidos y bases inorgánicas, metales, etc. Aparecen en cualquier tipo de agua residual, aunque son más caudalosos en los vertidos generados por la industria. Los componentes inorgánicos de las aguas residuales estarán en función del material contaminante así como de la propia naturaleza de la fuente contaminante.

4.5. EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES2 Los efluentes de aguas residuales tienen distintas procedencias: 1

(Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4

2

(Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4

14

4.5.1.

Drenaje Doméstico

Es aquella agua residual que proviene de baños, cocinas, lavados, lavanderías y sanitarios.

4.5.2.

Drenaje Sanitario

Es aquella agua que es desechada por las comunidades, estas pueden provenir de distintas fuentes.

Estas aguas que son suministradas a las distintas comunidades se les agregan gran cantidad de materias fecales, restos de alimentos (basura), jabón, papel, detergentes, suciedad y diversas sustancias. Pero con el tiempo el color de estas aguas va cambiando progresivamente de un color gris a negro, esto es lo que ocasiona un olor desagradable.

4.6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL1 Los constituyentes de aguas residuales está dada por los siguientes porcentajes; el 99,9 % es de agua potable y el 0,1% le corresponde a los sólidos totales y sólidos disueltos. Para que el agua sea apta nuevamente y reutilizada se tendrá que retirar este 0,1%.

Agua Potable

Sólidos

Gases

Componentes

Disueltos

Biológicos

O2

Bacterias

CO2

Microorganismos

H2S

Macroorganismos

0,1% (por peso) Sólidos 99,9%

Suspendidos Disueltos

1

Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 6

15

Coloidales

N2

Virus

Sedimentales

Tabla 3: Porcentaje de los constituyentes de agua residual

4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUAS RESIDUALES En lo que respecta al campo de tratamiento de aguas residuales ha habido un importante crecimiento en el desarrollo tecnológico en lo que a técnicas de tratado respecta, separándose en 3 áreas: física, química y biológicas. Estas áreas pueden combinarse para formar sistemas de tratado físico-químico, bioquímico o físico biológico.1 “Los tratamientos de tipo físico son aquellos en los que predominan la aplicaciones de fuerzas físicas…”2. Algunos de estos tratamientos pueden ser cribados, sedimentación, filtración, mezclado y flotación.

Metcalf & Eddy afirman también que los tratamientos químicos son aquellos en los que al proceso que sigue el tratamiento de las aguas residuales se le deban incorporar algún producto químico probando en este algún tipo de reacción tales como pueden ser precipitación, absorción, purificación, transferencia de gases y floculación.

Y en lo que respecta al tratamiento biológico Metcalf & Eddy mencionan que para este proceso se utilizan diferentes microorganismos tales como bacterias o plantas donde especialmente se utilizan para remover materia orgánica biodegradable.

No todas las plantas de tratamiento de agua se rigen a un solo tipo de organización, varía según el lugar en donde se encuentre y sobre todo según la demanda que desee satisfacer puede darse que su producto sea de CATEGORÍA 1: POBLACIÓN Y

1

(Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Caracterización de aguas residuales indistriales y domésticas. (pags. 27-89) 2 (Metcalf Y Eddy, INC., 2004). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización, 1995.Cap. 9

16

RECREACIÓN o CATEGORÍA 3: RIEGO DE VEGETALES Y BEBIDAS DE ANIMALES.1 Para poder llegar a separar en las diferentes categorías las aguas residuales pasan por las siguientes etapas: pre tratamiento, tratamiento primario, tratamiento secundario y tratamiento terciario.

4.7.1.

Tratamiento primario

El tratamiento primario de aguas residuales se realiza para reducir lo más que se pueda los sólidos (sedimentables, flotantes o coloidales) de gran tamaño suspendidos para poder acondicionar las aguas hacia el próximo tratamiento. Mediante mecanismos como rejas, desmenuzadores, floculación, tanques de remoción de grasas y aceites, desarenadores, entre otros.

4.7.2.

Tratamiento secundario

El tratamiento secundario de aguas residuales engloba a

los procesos de filtración

así como tratamiento biológico aeróbicos o anaeróbicos con la finalidad de remover la materia orgánica que pueda descomponerse (entrar en una fase de putrefacción).

Los métodos usados para este tratamiento pueden ser el de filtración biológica, lagunas aeróbicas, anaeróbicas y facultativas, zanjas de oxidación, lodos activados, entre otros.2

4.7.3.

Tratamiento terciario

El tratamiento terciario de aguas residuales también se le conoce como tratamiento avanzado pues depende de este proceso para poder alcanzar parcialmente la calidad que se desee obtener para el producto final, se considera parcial puesto que aún no 1

Estándar Nacional de Calidad Ambiental para Agua DECRETO SUPREMO N° 002-2008-MINAM (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el proceso de lodos activos. (págs. 253-410) 2

17

han sido eliminado los metales pesados o sustancias toxicas, para eso se debe implementar un tratamiento de detoxificación adicional a los ya mencionados. Para este tratamiento se utilizan los métodos de adsorción en carbono activo, intercambio iónico, osmosis inversa, electrodiálisis, entre otros. 1

PLANTA DE RECUPERACIÓN DE AGUAS DEL RIO SURCO

4.8. RÍO SURCO El Río Surco nace en el margen izquierdo del Río Rímac en Ate Vitarte y desemboca en el Océano Pacífico en el Litoral perteneciente a Villa Chorrillos.

4.8.1. Recuperación del Río Surco “El rio Surco tiene altos niveles de contaminación doméstica y de basura, antes alimentaba un canal de regadío, poniendo en riesgo la salud de la población que accedía a los parques y jardines del distrito.”

La municipalidad del distrito ordeno la construcción de la Planta de Recuperación de las aguas del Río Surco, para el tratamiento y descontaminación de sus aguas.2

4.9. ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA

4.9.1. PRIMERA ETAPA

4.9.1.1. CAPTACIÓN

1

(Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento y evacuación de lodos. (págs. 531-584) 2 (Torres, 2011). Planta de recuperación de aguas del Rio Surco. Obtenido de http://equipoindustrial.blogspot.com/2011/11/planta-de-recuperacion-de-las-aguas-del.html

18

Las aguas residuales que entran a la plana contienen materiales que pueden atascar o dañar las bombas. Estos se eliminan por medio de enrejados o barras verticales que permiten retirar las partículas gruesas y finas. En la cámara de rejas se tiene una malla de 3/8” con inclinación de 60°, que se encuentra fija y otra movible para la limpieza.

Figura 1: Reja de captación de la Planta de recuperación de aguas del Río Surco Fuente: Kelvin Gutiérrez

4.9.1.2. CÁMARA DE BOMBEO Un pozo profundo que tiene un tubo de bomba de 2” de diámetro acanalado con alambre tejido, una malla especial para atrapar sedimento fino. Tiene una plataforma de bombeo donde se asientan dos bombas, que trabajan controladas por un tablero de alternancia. 1

4.9.1.3. DESARENADOR Es una estructura diseñada para las partículas que no se hayan quedado retenidas en el desbaste, y que tienen un tamaño superior a 200µ, sobre todo arenas pero también otras sustancias como cáscaras, semillas, etc. Con este proceso se consiguen proteger los equipos de procesos posteriores ante la abrasión, atascos y sobrecargas.

1

Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.

19

Figura 2: Desarenador Fuente: Kelvin Gutiérrez

4.9.1.4. BOCATOMA Es una estructura hidráulica que está destinada a emanar una cantidad considerable del agua que esta tiene disponible, para que la misma sea utilizada para una finalidad específica. Por ejemplo abastecimiento de agua potable, riego, etc.

4.9.2. SEGUNDA ETAPA

4.9.2.1. CALERA Contiene una solución Hidróxido de Calcio Ca(OH)2 que se inyecta al agua para aumentar su pH y Sulfato de Aluminio para que pueda entrar al floculador decantador Al2(SO4)31

1

Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.

20

Figura 3: Insumos utilizados en las aguas tratadas, previo paso al floculador decantador Fuente: Kelvin Gutiérrez

4.9.2.2. FLOCULADOR DECANTADOR Realiza el proceso de floculación para que las partículas de menor tamaño puedan sedimentarse por efecto de la adición del sulfato de aluminio.

La floculación es la aglomeración de partículas desestabilizadas en microflóculos y después en los flóculos más grandes que tienden a depositarse en el fondo de los recipientes construidos para este fin, denominados sedimentadores.

La solución floculante más adaptada a la naturaleza de las materias en suspensión con el fin de conseguir aguas decantadas limpias y la formación de lodos espesos se determina por prueba, ya sea en laboratorio o en el campo.1

1

(Vargas, 2015). Floculación (págs. 265-303)

21

Figura 4: Filtros N° 1 y N°2, y tanque de floculación Fuente: www.porlascallesdelima.com

4.9.2.3. FILTROS Contiene grava y arena para retener las últimas partículas.1

Figura 5: Filtros N° 1 y N°2, con grava y arena respectivamente Fuente: Kelvin Gutiérrez

1

FRESNO, Valves & Casting, http://www.fresnovalves.com/pdf/Media%20Book%20Spanish.pdf

22

MARCO TEĂ“RICO MATEMĂ TICO

4.10. INTEGRALES MĂšLTIPLES Se denominan integrales mĂşltiples a la integral de dos variables f(x,y) sobre una regiĂłn en el plano, y a la integral de tres variables f(x,y,z) sobre una regiĂłn en el espacio, dichas integrales se definen como el lĂ­mite de las sumas de Riemann, estas integrales mĂşltiples las podemos usar para calcular el volumen de sĂłlidos con fronteras curvas.1 ConsidĂŠrese una funciĂłn continua f tal que đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0 para todo (x,y) en una regiĂłn R del plano xy, dada una superficie đ?‘§ = đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś). Como se muestra en la z, los rectĂĄngulos que se encuentran dentro de R forman una particiĂłn interior ∆, cuya norma ‖∆‖ estĂĄ definida como la longitud de la diagonal mĂĄs larga de los n rectĂĄngulos. DespuĂŠs se elige un punto f(x,y) en cada rectĂĄngulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es f(x,y), . Como el ĂĄrea del i-ĂŠsimo rectĂĄngulo es ∆đ??´đ?‘– , se sigue que el volumen del prisma es đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)∆đ??´đ?‘– , y el volumen de la regiĂłn solida se puede aproximar por la suma de Riemann de los volĂşmenes de los n prismas. Figura 8: Volumen aproximado por prismas.2

Figura 6: Superficie đ?’› = đ?’‡(đ?’™, đ?’š).

Figura 7: Prisma con ĂĄrea ∆đ??´đ?‘– y altura đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś).

đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’: (Larson & Edwards, 2010)

đ??šđ?‘˘đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’: (Larson & Edwards, 2010)

1

(Thomas & George, 2006). CĂĄlculos varios variables, undĂŠcima ediciĂłn. IntegraciĂłn mĂşltiple. p.

1067.

2 (Larson & Edwards, 2010). CĂĄlculo 2 de varias variables, novena ediciĂłn. IntegraciĂłn mĂşltiple. p.

992.

23

Figura 8: Volumen aproximado por prismas.

Fuente: (Larson & Edwards, 2010).

4.10.1. Integrales dobles

Si f estĂĄ definida en una regiĂłn cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R estĂĄ dada por đ?‘›

âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´ = lim ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– )∆đ??´đ?‘– ‖∆‖→0

đ?‘…

đ?‘–=1

EcuaciĂłn 1: DefiniciĂłn Integral Doble.1

siempre que el lĂ­mite exista. Si existe el lĂ­mite, entonces f es integrable sobre R.

4.10.1.1. Volumen de una regiĂłn sĂłlida con integral doble Si f es integrable sobre una regiĂłn plana R y đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ≼ 0 para todo (x,y) entonces el volumen de la regiĂłn sĂłlida se encuentra sobre R y bajo la grĂĄfica de f se define como đ?‘‰ = âˆŹ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ??´ đ?‘…

EcuaciĂłn 2: Volumen regiĂłn sĂłlida.1 1

y 2 (Larson & Edwards, 2010). CĂĄlculo 2 de varias variables, novena ediciĂłn. IntegraciĂłn mĂşltiple. p.

994.

24

4.10.2.

Integrales triples

El procedimiento es similar a la integral doble. Considerar una funciĂłn f(x,y,z), que es continua acotada sobre una regiĂłn sĂłlida Q, a esta regiĂłn Q se encierra por una red de cubos y se forma una particiĂłn interna que consta de todos los cubos que quedan en Q, como se muestra en la figura. Quedando como notaciĂłn para el volumen de iĂŠsimo cubo como ∆đ?‘‰đ?‘– = ∆đ?‘Ľđ?‘– ∆đ?‘Śđ?‘– ∇đ?‘§đ?‘– EcuaciĂłn 3: Volumen del i-ĂŠsimo cubo.2

Figura 9: RegiĂłn sĂłlida Q. 3

Luego, se elige un punto (đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– , đ?‘§đ?‘– ), en cada cubo, y se forma la suma de Riemann (EcuaciĂłn 4: Suma de Riemann para el volumen4). La norma ‖∆‖ de la particiĂłn es la longitud de la diagonal mĂĄs larga de los n cubos dentro de Q.

1 2

, y 3 (Larson & Edwards, 2010). CĂĄlculo 2 de varias variables, novena ediciĂłn. Integrales triples y aplicaciones. p. 1027.

25

Figura 10: Volumen de Q, por sumatoria de cubos. 3 đ?‘›

∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– , đ?‘§đ?‘– )∆đ?‘‰đ?‘– đ?‘–=1

EcuaciĂłn 4: Suma de Riemann para el volumen.1

Cuando el lĂ­mite de ‖∆‖ → 0 se llega a la siguiente definiciĂłn: Si f es continua sobre una regiĂłn sĂłlida acotada Q, entonces la integral triple se define como: đ?‘›

∭ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?‘‘đ?‘‰ = lim ∑ đ?‘“(đ?‘Ľđ?‘– , đ?‘Śđ?‘– , đ?‘§đ?‘– )∆đ?‘‰đ?‘– đ?‘„

‖∆‖→0

đ?‘–=1

EcuaciĂłn 5: DefiniciĂłn de integral triple.2

SerĂĄ vĂĄlida esta definiciĂłn, siempre y cuando el lĂ­mite exista. El volumen de la regiĂłn Q estĂĄ dado por:

đ?‘‰đ?‘œđ?‘™đ?‘˘đ?‘šđ?‘’đ?‘› đ?‘‘đ?‘’ đ?‘„ = ∭ đ?‘‘đ?‘‰ đ?‘„

EcuaciĂłn 6: Volumen del sĂłlido Q.3

4.10.3. ReducciĂłn de integrales triples a integrales iteradas.

1

, 2 y 3 (Larson & Edwards, 2010). CĂĄlculo 2 de varias variables, novena ediciĂłn. Integrales triples y aplicaciones. p. 1027.

4 (Larson & Edwards, 2010). CĂĄlculo 2 de varias variables, novena ediciĂłn. Integrales triples y aplicaciones. p. 1028.

26

Considerando a la función � = (�, �, �), sea f continua, en una región sólida definida por Q ℎ1 (�) ≤ � ≤ ℎ2 (�)

đ?‘Žâ‰¤đ?‘Ľâ‰¤đ?‘?

�1 (�, �) ≤ � ≤ �2 (�, �)

Donde â„Ž1 , â„Ž2 , đ?‘”1 , đ?‘”2 son funciones. Entonces se tiene đ?‘?

∭ đ?‘“(đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§)đ?‘‘đ?‘‰ = âˆŤ âˆŤ đ?‘Ž

đ?‘„

â„Ž2 (đ?‘Ľ)

â„Ž1 (đ?‘Ľ)

âˆŤ

đ?‘”2 (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

�(�, �, �) �� �� ��

đ?‘”1 (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

EcuaciĂłn 7: EvaluaciĂłn mediante integrales iteradas.4

4.10.4. Hiperboloide.

Se obtiene, luego de completar cuadrados, tres tĂŠrminos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo y uno distinto igualado a la unidad, generando la ecuaciĂłn tĂ­pica general

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2

1 ={ 0 ; −1

siendo đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ≠0

EcuaciĂłn 8: EcuaciĂłn cartesiana de un hiperboloide.1

4.10.4.1. Hiperboloide de una hoja.

El hiperboloide de una hoja (hiperboloide hiperbĂłlico) es simĂŠtrico respecto a cada uno de sus planos coordenados, se representa por la siguiente ecuaciĂłn đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 EcuaciĂłn 9: EcuaciĂłn cartesiana de hiperboloide de una hoja.2

4.10.4.2. Grafica de la ecuaciĂłn de un hiperboloide.

1

Universidad de Sevilla. Escuela Superior de Ingenieros. Departamento de MatemĂĄtica Aplica II. MatemĂĄtica I: 2010-2011. Tema: CĂłnicas y CuadrĂĄticas. EdiciĂłn electrĂłnica en http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1285246626_1262616935.pdf 2 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undĂŠcima ediciĂłn. CapĂ­tulo 12: Los vectores y la geometrĂ­a del espacio. pĂĄg. 894.

27

Tomando como ejemplo la siguiente ecuaciĂłn cartesiana (EcuaciĂłn 9: EcuaciĂłn cartesiana de hiperboloide de una hoja.), que pertenece a un hiperboloide de una hoja,

nos limitaremos a seguir los siguientes pasos.

4.10.4.3. Intersección con los ejes coordenados.1 a) Intersección con el eje X. De la ecuación Se hace � = � = 0, obteniÊndose

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1

= 1 â&#x;š đ?‘Ľ 2 = đ?‘Ž2 â&#x;š đ?‘Ľ = Âąđ?‘Ž

Entonces los puntos de intersecciĂłn son đ??´1 (đ?‘Ž, 0, 0)y đ??´2 (−đ?‘Ž, 0, 0). b) IntersecciĂłn con el eje Y. De la ecuaciĂłn Se hace đ?‘Ľ = đ?‘§ = 0, obteniĂŠndose

đ?‘Ś2 đ?‘?2

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1

= 1 â&#x;š đ?‘Ś 2 = đ?‘? 2 â&#x;š đ?‘Ś = Âąđ?‘?

Entonces los puntos de intersecciĂłn son đ??ľ1 (0, đ?‘?, 0)y đ??ľ2 (0, −đ?‘?, 0).

c) IntersecciĂłn con el eje Z. De la ecuaciĂłn

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1

�2

Se hace đ?‘Ľ = đ?‘Ś = 0, obteniĂŠndose − đ?‘? 2 = 1 â&#x;š đ?‘§ 2 = −đ?‘? 2 â&#x;š đ?‘§ = √−đ?‘? 2 Esta ecuaciĂłn no tienes soluciĂłn real, entonces la superficie no intercepta con el eje Z.

4.10.4.4. Trazas sobre los planos coordenados.

Son las curvas que se obtienen cuando se intersecan cada plano coordenado con la ecuaciĂłn de la superficie. Utilizando para cada caso la ecuaciĂłn del hiperboloide (EcuaciĂłn 9: EcuaciĂłn cartesiana de hiperboloide de una hoja.), se tiene: a) IntersecciĂłn con el plano XY, cuando đ?’› = đ?&#x;Ž.

Dada la ecuaciĂłn

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1, con đ?‘§ = 0, se obtiene đ?‘Ž2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2

1

Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 66-67. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf

28

Si đ?‘Ž ≠đ?‘?, la grĂĄfica de la intersecciĂłn con el plano cartesiano XY serĂĄ una elipse.1 Si đ?‘Ž = đ?‘?, la grĂĄfica de la intersecciĂłn con el plano cartesiano XY serĂĄ una circunferencia de đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ = đ?‘Ž = đ?‘?.2 Z

Figura 11: GrĂĄfica de la traza en el plano XY. Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 67).

b) IntersecciĂłn con el plano XZ, cuando đ?’š = đ?&#x;Ž.3 Dada la ecuaciĂłn

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1, con đ?‘Ś = 0, se obtiene đ?‘Ž2 đ?‘Ľ2 đ?‘§2 − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2

La grĂĄfica obtenida de la intersecciĂłn con el plano XZ, cuando đ?‘Ś = 0, es una hipĂŠrbola con eje focal en el eje X y centro en el origen de coordenadas.

1

Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 67 Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 (LĂĄzaro, 2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Las Superficies. pĂĄg. 30.

3 Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 68. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf

29

Figura 12: GrĂĄfica de la hipĂŠrbola en el plano XZ Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 68).

c) IntersecciĂłn con el plano YZ, cuando đ?’™ = đ?&#x;Ž.1 Dada la ecuaciĂłn

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

đ?‘Ś2

�2

+ đ?‘?2 − đ?‘? 2 = 1, con đ?‘Ľ = 0, se obtiene đ?‘Ś2 đ?‘§2 − =1 đ?‘?2 đ?‘? 2

La grĂĄfica obtenida de la intersecciĂłn con el plano YZ, cuando đ?‘Ľ = 0, es una hipĂŠrbola con eje focal en el eje Y, y centro en el origen de coordenadas.

Figura 13: GrĂĄfica de la hipĂŠrbola en el plano YZ Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 68).

Finalmente, el resultado de las tres intersecciones se obtiene en la figura 1

Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 68. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf

30

Figura 14: Hiperboloide de una hoja.

Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 68).

4.10.4.5. SimetrĂ­as con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen.

A. Respecto a los planos coordenados.1 2 a) SimetrĂ­a respecto al plano XY. Tomando como referencia la EcuaciĂłn 9: EcuaciĂłn cartesiana de hiperboloide de una hoja., cambiamos el signo de la variable +đ?‘§ por −đ?‘§

đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 (−đ?‘§)2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘?2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 Como la ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, afirmamos que existe simetrĂ­a en el plano XY.

b) SimetrĂ­a respecto al plano XZ.

1

Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 65. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 30

31

De la misma ecuaciĂłn de referencia (EcuaciĂłn 9), cambiamos el signo de la variable +đ?‘Ś por −đ?‘Ś đ?‘Ľ 2 (−đ?‘Ś)2 đ?‘§ 2 + − 2=1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘? đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 Como la ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, afirmamos que existe simetrĂ­a en el plano XZ.

c) SimetrĂ­a respecto al plano YZ. Realizamos el mismo procedimiento, en la misma ecuaciĂłn de referencia (EcuaciĂłn 9), cambiando el signo de la variable +đ?‘Ľ por −đ?‘Ľ (−đ?‘Ľ)2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ 2 + 2− 2=1 đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘? đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 Como la ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, afirmamos que existe simetrĂ­a en el plano YZ. B. Respecto a los ejes X, Y y Z.12 A partir de la ecuaciĂłn de inicial de referencia (EcuaciĂłn 9), tenemos:

a) SimetrĂ­a respecto al eje X. Cambiamos el signo de las variables +đ?‘Ś, +đ?‘§, por −đ?‘Ś, −đ?‘§ đ?‘Ľ 2 (−đ?‘Ś)2 (−đ?‘§)2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘?2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2

1

LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 30-31.

Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 65-66. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2

32

La ecuaciĂłn de la superficie no se altera, entonces se afirma que existe simetrĂ­a en el eje X.

b) SimetrĂ­a respecto al eje Y. Cambiamos el signo de las variables +đ?‘Ľ, +đ?‘§, por −đ?‘Ľ, −đ?‘§ (−đ?‘Ľ)2 đ?‘Ś 2 (−đ?‘§)2 + 2− =1 đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘?2 đ?‘Ľ)2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ 2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 La ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, entonces se afirma que existe simetrĂ­a en el eje Y.

c) SimetrĂ­a respecto al eje Z. Cambiamos el signo de las variables +đ?‘Ľ, +đ?‘Ś, por −đ?‘Ľ, −đ?‘Ś (−đ?‘Ľ)2 (−đ?‘Ś)2 đ?‘§ 2 + − 2=1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘? đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 La ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, entonces se afirma que existe simetrĂ­a en el eje Z.

C. Respecto al origen Al igual que los casos anteriores, cambiamos el signo de las variables +đ?‘Ľ, +đ?‘Ś, +đ?‘§ por − đ?‘Ľ, −đ?‘Ś, −đ?‘§, reemplazando en la EcuaciĂłn 9 (−đ?‘Ľ)2 (−đ?‘Ś)2 (−đ?‘§)2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘?2 đ?‘?2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? 2 La ecuaciĂłn de la superficie no varĂ­a, entonces se afirma que existe simetrĂ­a respecto al origen.

33

4.10.4.6. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados1 2 a) Sobre el plano XY. Se hace đ?‘§ = đ?‘˜, en la ecuaciĂłn inicial de referencia (EcuaciĂłn 9). đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś 2 (đ?‘˜)2 + − 2 =1 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘? â&#x;š

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘˜2 + = 1 + đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘?2

đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 + =1 đ?‘˜2 đ?‘˜2 2 2 Se obtiene = đ?‘Ž ( 2 ) đ?‘? ( 2 ) đ?‘? đ?‘? đ?‘§ = đ?‘˜; đ?‘˜ ∈ â„?3 { Si đ?‘Ž ≠đ?‘?, para cada valor de k independientemente de su signo, la intersecciĂłn sobre cualquier plano XY su grĂĄfica serĂĄ una elipse quiĂŠn amentarĂĄ la medida de sus semiejes a medida que |đ?‘˜| aumenta. Formando una familia de hipĂŠrbolas contenida en el plano đ?‘§ = đ?‘˜. (Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015) Si đ?‘Ž = đ?‘?, para cada valor de k independientemente de su signo, la intersecciĂłn sobre cualquier plano XY su grĂĄfica serĂĄ una circunferencia de đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘œ = đ?‘Ž = đ?‘?, el valor de su radio aumentarĂĄ a medida que |đ?‘˜| aumenta formĂĄndose una familia de circunferencias en el eje Z (LĂĄzaro, 2009).

1

LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 31 Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 69. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 3 LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 31 2

34

Figura 15: Superficie sobre el plano XY. Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 69)

b) Sobre el plano XZ. Se hace đ?‘Ś = đ?‘˜, en la ecuaciĂłn inicial de referencia (EcuaciĂłn 9). đ?‘Ľ 2 (đ?‘˜)2 đ?‘§ 2 + 2 − 2=1 đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘? â&#x;š

đ?‘Ľ2 đ?‘§2 đ?‘˜2 − = 1 − đ?‘Ž2 đ?‘? 2 đ?‘?2 đ?‘Ľ2

Se obtiene = đ?‘Ž2 (1 − {

�2

− =1 đ?‘˜2 đ?‘˜2 2 ) đ?‘? (1 − 2 ) đ?‘?2 đ?‘? đ?‘Ś = đ?‘˜; đ?‘˜ ∈ â„?1

Para cada valor de đ?‘˜, independiente de su signo; se obtiene como intersecciĂłn una hipĂŠrbola en el eje Y. Formando una familia de hipĂŠrbolas contenida en el plano đ?‘Ś = đ?‘˜. 2

1

LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 31 Universidad TecnolĂłgica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una hoja. pĂĄg. 69. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2

35

Figura 16: HipĂŠrbola sobre el plano XZ. Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pĂĄg. 72)

c) Sobre el plano YZ. Se hace đ?‘Ľ = đ?‘˜, en la ecuaciĂłn inicial de referencia (EcuaciĂłn 9). (đ?‘˜)2 đ?‘Ś 2 đ?‘§ 2 + 2− 2=1 đ?‘Ž2 đ?‘? đ?‘? đ?‘Ś2 đ?‘§2 đ?‘˜2 − = 1 − đ?‘?2 đ?‘? 2 đ?‘Ž2

â&#x;š

đ?‘Ś2 Se obtiene =

đ?‘? 2 (1 {

−

�2

đ?‘˜2 đ?‘˜2 − 2 ) đ?‘? 2 (1 − 2 ) đ?‘Ž đ?‘Ž đ?‘Ľ = đ?‘˜; đ?‘˜ ∈ â„?1

=1

Para cada valor de đ?‘˜, independiente de su signo; se obtiene como intersecciĂłn una hipĂŠrbola en el eje X. Formando una familia de hipĂŠrbolas contenida en el plano đ?‘Ľ = đ?‘˜.

GrĂĄfica de la EcuaciĂłn 9: EcuaciĂłn cartesiana de hiperboloide de una hoja.

1

LĂĄzaro, M. (2009). AnĂĄlisis MatemĂĄtico III. Superficies, pĂĄg. 31

36

đ?‘Ľ2

�2

Para la hipĂŠrbola 2 − 2 = 1 đ?‘’đ?‘› đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘Ľđ?‘§ đ?‘Ž đ?‘?

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

La elipse 2 + 2 = 2 đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘’đ?‘› đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘§ = đ?‘?

đ?‘Ľ2

đ?‘Ś2

La elipse 2 + 2 = 1 đ?‘Ž

đ?‘?

đ?‘’đ?‘› đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œđ?‘Ľđ?‘Ś

đ?‘Ś2

�2

Para la hipĂŠrbola 2 − 2 = 1 đ?‘’đ?‘› đ?‘’đ?‘™ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘œ đ?‘Śđ?‘§ đ?‘?

đ?‘?

Figura 17: Hiperboloide de una hoja. 1

4.10.4.7. Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elĂ­ptico). đ?‘§2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 − − =1 đ?‘? 2 đ?‘Ž2 đ?‘? 2 EcuaciĂłn 10: EcuaciĂłn de Hiperboloide de dos hojas.

TambiĂŠn es simĂŠtrico, con respecto a los tres planos coordenados. El plano z=0 no corta a la superficie, si deseamos que un plano horizontal corte al hiperboloide demos considerar que |đ?‘§| ≼ đ?‘?. Las secciones transversales son đ?‘Ľ = 0;

đ?‘§2 đ?‘Ś2 − =1 đ?‘? 2 đ?‘?2

1

(Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undĂŠcima ediciĂłn. CapĂ­tulo 12: Los vectores y la geometrĂ­a del espacio. PĂĄgina 894.

37

đ?‘Ś = 0;

đ?‘§2 đ?‘?2

−

đ?‘Ľ2 đ?‘Ž2

= 1.

Con vĂŠrtices y focos en el eje z; queda dividido en dos partes, una por arriba del plano đ?‘§ = đ?‘? y otra por debajo del plano đ?‘§ = −đ?‘?. Los planos perpendiculares al eje đ?‘§ por encima y debajo de los vĂŠrtices cortarĂĄn al hiperboloide en elipses; mientras, que los planos paralelos al eje z cortarĂĄn formando hipĂŠrbolas. 1

Figura 18: Hiperboloide de dos hojas Fuente: (CĂĄlculo. Una variable. UndĂŠcima ediciĂłn., 2006, pĂĄg. 894) .

4.10.5. Tipos de coordenadas 4.10.5.1. Coordenadas rectangulares Este tambiĂŠn es llamado sistema cartesiano (en conmemoraciĂłn de RenĂŠ Descartes), este sistema de referencia se forma por el corte perpendicular de dos rectas en un punto que serĂ­a el origen. El corte de estas rectar divide en 4 secciones al plano cuales van a determinar el cuadrante. Este punto de dos rectas que se cruzan se llama origen.

La recta horizontal la llamamos eje de las abscisas o el eje de X y a la recta vertical la llamamos eje de las ordenadas o eje Y.2

4.10.5.2. Coordenadas cilĂ­ndricas 1

(Thomas & George, 2006) Calculo varias variables, undĂŠcima ediciĂłn. CapĂ­tulo 12: Los vectores y la geometrĂ­a del espacio. PĂĄgina 894.

2 (Slideshare, 2015) http://es.slideshare.net/orckas/coordenadas-rectangulares-y-polares

38

Es utilizado para poder representar algunos puntos de un espacio euclidiano, se refiere a un cierto espacio vectorial normado este es abstracto con normas de Euclides es utilizado por muchas personas en matemática avanzada que tal vez pueda estar compuesta en múltiples dimensiones, este sería tridimensional.

4.10.5.3. Coordenadas esféricas Este sistema de coordenadas esféricas al igual que las coordenadas cilíndricas, también se utiliza en espacios euclidianos tridimensionales. Este está constituido por tres ejes estos se encuentran mutuamente perpendiculares y se cortan en el origen. La primera coordenada mide la distancia entre un cierto punto y el origen. El ángulo que se debe girar para poder tener la posición que tiene el punto, es determinado por las otras dos coordenadas.

4.10.5.4. Jacobiano Se llama jacobiano o matriz jacobiana, este nombre es en honor al matemático Carl Gustav Jacobi. La matriz jacobiana esta es formada por derivadas parciales de primer orden de una función. Se puede aplicar para aproximar linealmente a la función en un punto.

Figura 19: Matriz jacobiana

4.10.6. Circunferencia

39

Es lugar geomĂŠtrico de los puntos P(x1, y1) del plano que equidistan del centro que es un punto fijo. Denotado: “Oâ€?.1 Para determinar la ecuaciĂłn de una circunferencia tenemos que conocer:

ďƒź Tres puntos de la misma que sean equidistantes del punto fijo; es decir, el centro. ďƒź El centro (h, k) y el radio “râ€? ďƒź Un punto y el centro (h, k) ďƒź El centro (h, k) y una recta tangente.2

Diremos entonces que para cualquier punto P (x1, y1), de una circunferencia cuyo centro C (h, k) y con radio R, la ecuaciĂłn ordinaria es : 3

(đ?‘Ľ − â„Ž)2 + (đ?‘Ś − đ?‘˜)2 = đ?‘&#x; 2 EcuaciĂłn 11: EcuaciĂłn de la circunferencia

4.10.6.1. EcuaciĂłn general de la circunferencia đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 + đ??´đ?‘Ľ + đ??ľđ?‘Ś + đ??ś = 0 EcuaciĂłn 12: EcuaciĂłn ordinaria de la circunferencia

1

(Va de nĂşmeros, 2015). EcuaciĂłn de la circunferencia y la elipse, 2015. Obtenido de: http://www.vadenumeros.es/primero/conicas-circunferencia-y-elipse.htm 2 (30 de julio, 2015).

La circunferencia y el cĂ­rculo.

Obtenido de http://www.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/100208_circulo_circunf/elementos_de_l a_circunferencia.html 3 (30 de julio, 2015). Obtenido de: http://www.aplicaciones.info/decimales/geopla04.htm

40

Figura 20: Circunferencia

5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 5.1. TOMA DE DATOS. Para esta toma de datos se tom贸 como referencia los ejes Z y X, siendo el eje X la base y Z la altura.

Por el lado del X + obtenemos la siguiente gr谩fica

41

z

x

0 1

4.76 3.9605

1.5

3.6507

2

3.401

2.5

3.212

3

3.0815

3.5 3.7 4

3.0117 3 3.002

4.5

3.0522

5

3.1625

5.5

3.3327

6

3.563

6.5

3.8532

7

4.2035

7.5 8 8.4 8.5

4.6137 5.084 5.5 5.6142

y x = 0.12z2 - 0.9193z + 4.7598 6 5 4 3 2 1 0 0

2

4

6

8

10

Figura 21: Gráfica de datos para X+

Y paraX − , tenemos z

x

0 1

-4.76 -3.9605

1.5

-3.6507

2

-3.401

2.5

-3.212

3

-3.0815

3.5 3.7 4

-3.0117 -3 -3.002

4.5

-3.0522

5

-3.1625

5.5

-3.3327

6

-3.563

6.5

-3.8532

7

-4.2035

7.5 8 8.4 8.5

-4.6137 -5.084 -5.5 -5.6142

x = -0.12z2 + 0.9193zy- 4.7598 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 -2

-3 -4 -5 -6 Figura 22: Gráfica de datos para X-

42

9

6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA 6.1. APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMà TICOS

Sea la funciĂłn del hiperboloide, de una hoja, el cual se desea calcular el volumen: đ?‘Ľ2 đ?‘Ś2 đ?‘§2 + − =1 9 9 9 EcuaciĂłn 13: EcuaciĂłn del hiperboloide a calcular el volumen.

Despejamos: đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − đ?‘§ 2 = 9 ‌ (1) Pasamos las coordenadas rectangulares a polares para đ?‘§ = 0

đ?‘Ľ = đ?‘&#x;. đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ đ?‘Ś = đ?‘&#x;. đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ

đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 = 9

đ?‘§=đ?‘§ Reemplazando en (1) đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś2 − đ?‘§2 = 9 (đ?‘&#x;. đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œƒ)2 + (đ?‘&#x;. đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?œƒ)2 − đ?‘§ 2 = 9 đ?‘&#x;2 − đ?‘§2 = 9 Por lo que la funciĂłn del radio serĂĄ: Figura 23: RepresentaciĂłn geomĂŠtrica de la circunferencia

đ?‘&#x;(đ?‘§) = √9 + đ?‘§ 2 formada en el origen de las coordenadas

Los lĂ­mites para la integraciĂłn del radio a ejecutar desde el eje z a la superficie del hiperboloide estarĂĄn dados por la funciĂłn đ?‘&#x;(đ?‘§).

Dado que la funciĂłn del radio no depende de la direcciĂłn, la integraciĂłn con respecto al ĂĄngulo se ejecutarĂĄ a todo el camino alrededor del eje z 0 < đ?&#x153;&#x192; < 2đ?&#x153;&#x2039;.

Y el lĂ­mite con respecto a la altura estarĂĄ dada por â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;§ < 0 < đ?&#x2018;§.

43

đ?&#x2018;§

2đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x2030; = 2â&#x2C6;Ť â&#x2C6;Ť 0

0

đ?&#x2018;&#x;

â&#x2C6;Ť đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ 0

En nuestro ejercicio necesitamos hallar solo la mitad del volumen puesto que tenemos diferentes alturas y sabemos que un paraboloide es simĂŠtrico partiendo del origen.

Para đ??ł = đ?&#x;&#x2018;. đ?&#x;&#x2022; 3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

0

â&#x2C6;Ť

â&#x2C6;Ť

0

0

3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

0

2đ?&#x153;&#x2039;

â&#x2C6;Ť 0

2đ?&#x153;&#x2039; 0

3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

4.76

0

â&#x2C6;Ť

0

đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

â&#x2C6;Ť 3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

â&#x2C6;&#x161;9+đ?&#x2018;§ 2

2đ?&#x153;&#x2039;

đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

đ?&#x2018;&#x; 2 4.76 . đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§ 2 0

2đ?&#x153;&#x2039;

â&#x2C6;Ť 11.3288đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

0

0

3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

0

11.3288đ?&#x153;&#x192;.2đ?&#x153;&#x2039; 0 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

3.70

đ?&#x2018;&#x2030;1 = â&#x2C6;Ť

22.6576đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;§

0

đ?&#x2018;&#x2030;1 = 22.6576đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;§|3.70 0

đ?&#x2018;&#x2030;1 = 263.3695 đ?&#x2018;&#x161;3

Figura 24: Volumen đ?&#x2018;˝đ?&#x;?

44

𝐏𝐚𝐫𝐚 𝐳 = 𝟒. 𝟕 4.70

𝑉2 = ∫

√9+𝑧 2

2𝜋

∫

∫

0

0

0

4.70

𝑉2 = ∫

𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

2𝜋

5.57

∫

∫

0

0

4.70

2𝜋

0

𝑉2 = ∫

∫

0

0 4.70

𝑉2 = ∫

𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧 𝑟 2 5.57 . 𝑑𝜃𝑑𝑧 2 0

2𝜋

∫ 15.545𝑑𝜃𝑑𝑧

0

0 4.70

15.545𝜃.2𝜋 0 𝑑𝑧

𝑉2 = ∫

0

4.70

𝑉2 = ∫

31.09𝜋 𝑑𝑧

0

𝑉2 = 31.09𝜋 𝑧 |

4.70 0

𝑉2 = 459.0589 𝑚3

7. RESULTADOS El volumen total del hiperboloide será 𝑉1 + 𝑉2 ; esto será

𝑉1 + 𝑉2 = 263.3695𝑚3 + 459.0589𝑚3 𝑉1 + 𝑉2 = 722.4284 𝑚3

45

VERIFICANDO RESULTADOS: CASIO ClassPad II (fx-CP400)

Figura 25: Resultado de volumen đ?&#x2018;˝đ?&#x;? con CASIO ClassPad II (fx-CP400)

46

Microsoft Mathematics 4.0

Figura 26: Resultado de volumen đ?&#x2018;˝đ?&#x;? , đ?&#x2018;˝đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161; đ?&#x2018;˝đ?&#x2018;ťđ?&#x2018;śđ?&#x2018;ťđ?&#x2018;¨đ?&#x2018;ł con Microsoft Mathematics 4.0

47

Wolfram|Alpha (Para Z = 3.7)

Figura 27: Resultado de volumen đ?&#x2018;˝đ?&#x;? con Wolfram|Alpha.

Wolfram|Alpha (Para Z = 4.7)

Figura 28: Resultado de volumen đ?&#x2018;˝đ?&#x;? con Wolfram|Alpha.

48

DiseĂąo en Autodesk AutoCAD 2016

Figura 29: Resultado de đ?&#x2018;˝đ?&#x2018;ťđ?&#x2018;śđ?&#x2018;ťđ?&#x2018;¨đ?&#x2018;ł Autodesk AutoCAD 2016.

Ampliamos la imagen:

Figura 30: Resultado de đ?&#x2018;˝đ?&#x2018;ťđ?&#x2018;śđ?&#x2018;ťđ?&#x2018;¨đ?&#x2018;ł Autodesk AutoCAD 2016.

8. CONCLUSIONES ď&#x192;ź De acuerdo a los cĂĄlculos matemĂĄticos, se verifica que el nuevo tanque propuesto contiene mayor capacidad volumĂŠtrica para almacenamiento de agua tratada diferencia del tanque cilĂ­ndrico, la cual cumple para la posterior

49

distribución del recurso hídrico a los distritos aledaños que requieran de este servicio.  En nuestra carrera ingeniería ambiental las integrales dobles y triples tienen diversas maneras de ser aplicadas, pero en este proyecto en especial nos pueden ser muy útiles en la parte de diseño como hemos podido apreciar, fue utilizado para la mejorar el contenedor de agua de una planta de tratamiento de agua.  La aplicación de programas de software matemático resulto ser muy esencial para la identificación de gráficas en el cálculo de volúmenes.

9. BIBLIOGRAFÍA 

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(30 de 07 de 2015).

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Vázquez Rossainz, D. (2013). Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla. Cholula, Puebla, México: Universidad de las Américas Puebla.

51

10. ANEXOS.

Ilustraci贸n 1: Plano del Tanque de Floculaci贸n actual (cil铆ndrico)

52

Ilustraci贸n 2: Plano del Tanque de Floculaci贸n actual (hiperboloide)

53

Ilustraci贸n 3: Gr谩fico del hiperboloide de una hoja en Winplot

54

Foto 1: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa

Foto 2: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa.

55

Foto 3: Corte vertical del tanque de flucolaci贸n en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa

Foto 4: Corte vertical del tanque de flucolaci贸n en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.

Fuente: Jhonatan Juipa

56

CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE TRABAJO

Portada Dedicatoria Introducción Objetivos Justificación Fundamento teórico: aguas residuales Fundamento teórico: marco matemático Toma de datos Solución del problema Resultados Conclusiones Anexos Elaboración de maqueta

Gutiérrez Grados Kelvin

Hanampa Maquera Grese

X

X X

X

Hoyos Trujillo Michelle X X X X

X

Juipa Sánchez Jhonatan

X

X X X

X X

X X X X

Huingo Vargas Jorge

X X

X X

X

X X

X X

X

X

X

X

Villa El Salvador (Lima, Perú), agosto del 2015.

57