Manual de Estrategias Didácticas con Recursos y Actividades de una Aula Virtual

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JORGE MÁRTIR HARO

MANUAL DE ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS CON RECURSOS Y ACTIVIDADES DE UNA AULA VIRTUAL MOODLE

EN EL BLOQUE DE FUNCIONES LINEALES

Primer Año de Bachillerato

ESTUDIANTE

2015

PRESENTACIÓN Una Aula Virtual es un espacio de interacción entre profesor y estudiante, cuyas principales herramientas son las NTIC´s (Nuevas Tecnologías de la Información y Comunicación) que ayudan a que el aprendizaje se lo realice de forma síncrona y asíncrona. El siguiente Manual utiliza los recursos y actividades de una Aula Virtual diseñada en la plataforma Moodle (Sistema de gestión de Cursos Virtuales de libre acceso). Aquí el profesor podrá elaborar cursos virtuales, cuyas actividades estarán orientadas al desarrollo de destrezas conceptuales, procedimentales y de modelización del Bloque Funciones Lineales. Por lo que, se presenta en forma separada un Manual con una serie de actividades para el aprovechamiento de los recursos TIC´s del Aula, así como también los contenidos del Bloque Funciones Lineales, ejercicios resueltos y de consolidación, juegos, videotutoriales, actividades grupales, hojas de trabajo, cuestionarios, etc., y demás recursos que ayudarán a mejorar la calidad de la enseñanza del Bloque Funciones Lineales. En un segundo lugar se encuentra un Manual de Instrucciones en el que se detalla la creación de los recursos TIC´s del Aula, así como los recursos TIC´s complementarios; para finalmente encontrar un instructivo para el acceso al Aula Virtual, que le permitirán al docente conocer sus partes, y así poder editar esos elementos. Esto con la finalidad de que el estudiante pueda visualizar de una manera más agradable los contenidos a estudiar.

PLANTEAMIENTOS GENERALES DE LA METODOLOGÍA En los Lineamientos Curriculares del Bachillerato Ecuatoriano del año 2011, la enseñanza de la Matemática se la debe hacer de tal forma que el estudiante pueda resolver problemas de la vida cotidiana con la ayuda de Modelos Matemáticos; por lo que es necesario que el profesor promueva un ambiente de trabajo donde conjuguen objetivos, conocimientos, procedimientos, recursos y evaluaciones. En otras palabras el estudiante podrá relacionar de mejor manera la teoría con la práctica y así lograr aprendizajes significativos. Es aquí en donde se puede evidenciar cierto tipo de limitaciones en el profesor de Matemática, ya que los contenidos en su mayoría se siguen presentando de forma unidireccional, no existe acompañamiento pedagógico fuera del salón del clase, los recursos con los que dispone son limitados, y no existe mucha correlación entre lo que enseña con los problemas cotidianos. Esto podría en gran medida solucionarse si el profesor utilizare recursos que le permitan: relacionar los contenidos con situaciones cotidianas, asistir a sus estudiantes fuera del salón de clase, y además de proporcionarle nuevas herramientas acordes a los tiempos en el que la sociedad se desenvuelve, estos recursos son las NTIC´s (nuevas tecnologías de la información y comunicación). Las NTIC´s en nuestro medio todavía no son bien aprovechadas e incluso son aún desconocidas, lo que obliga tanto a maestros como estudiantes a buscar orientación e información de formas empíricas y no técnicas; lo que ocasiona el desaprovechamiento de los beneficios que estos recursos tienen en el Campo Educativo. De ahí las interrogantes de profesores y alumnos ¿Cómo transmitir conceptos? o ¿Cómo entender esos conceptos?, ¿Cómo enseñar a resolver ejercicios? o ¿Cómo resolver esos ejercicios?, ¿Cómo relacionar teoría y práctica? o ¿Cómo saber que lo que aprendí me servirá?, etc., preguntas e inquietudes que en la nueva reforma del Bachillerato Ecuatoriano se pretenden dilucidar con las destrezas con criterio de desempeño, las mismas que se constituyen en el principal referente para el profesor realice sus planificaciones; ya que la destreza es un sinónimo de “hacer una cosa bien” y el criterio de desempeño orienta y especifica el nivel de complejidad con el que se debe realizar dicha acción. Para el 1° año de Bachillerato en el área de las Matemáticas, la nueva Reforma para el Bachillerato las agrupa en tres macrodestrezas que están íntimamente relaciondas entre sí, y son: Conceptuales, Procedimentales y de Modelización. 

Conceptuales (C). Están orientadas a que el estudiante conozca, comprenda y reconozca los conceptos matemáticos, sus representaciones simbólicas, sus propiedades y las relaciones con otros conceptos y ciencias.

Procedimentales o calculativas (P). Indica si un estudiante resuelve problemas utilizando diferentes algoritmos y procedimientos.

Modelización (M). Indica si el estudiante es capaz de representar un problema no matemático mediante lenguaje simbólico y si es capaz de resolverlo con la ayuda de modelos Matemáticos, para luego interpretar los resultados.

Ahora el reto del profesor es tratar de fusionar las destrezas con criterio de desempeño con las NTIC´s. Pues bien; el Aula Virtual recoge una gama de recursos tecnológicos del que se puede valer el maestro

para trasmitir sus conocimientos, que orientados didácticamente con la acción del maestro el aprendizaje será una instancia motivadora. ¿Cómo lograr plasmar este trabajo?. Pues bien, esto se logrará en gran medida con las planificaciones microcurriculares; ya que dependiendo del tema de clase, el maestro desarrollará las actividades propuestas en el texto según el ritmo de trabajo de los estudiantes, pero en general la propuesta metodológica del texto se enfoca de la siguiente manera: -

PRESENTACIÓN DE CONCEPTOS Las definiciones del Bloque se presentan por medio de gráficos, símbolos, vídeos, dinámicas.

-

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Los ejercicios propuestos se presentan utilizando diversos algoritmos, además con la alternativa de que estos problemas se los puedan resolver mediante el uso de las herramientas del software geogebra

-

RELACIÓN TEORÍA – PRÁCTICA Actividades como los sketchs, recursos como los vídeos, etc., relacionan de mejor manera los contenidos del Bloque con situaciones cotidianas.

ÍCONOS A lo largo del texto se pueden identificar los siguientes íconos:

ÍCONO

DESCRIPCIÓN Actividades que nos permiten utilizar los recursos y herramientas del Aula Virtual Moodle. Son actividades grupales que nos permiten entender de una manera didáctica los conceptos del Bloque Funciones Lineales. Son definiciones cortas de los conceptos, características fundamentales de gráficos, algoritmos, etc. Videos explicativos de los conceptos en situaciones de la vida cotidiana. Juegos que permiten relacionar los conceptos del Bloque Funciones Lineales. Videotutoriales del manejo de las herramientas del software Geogebra. Libretos y sketch de problemas resueltos con la ayuda de modelos lineales. Videoconferencias para incorporar el criterio de expertos sobre diferentes temáticas del Bloque Funciones lineales. Ejercicios Propuestos Hojas de Trabajo, Plantillas, Cuestionarios, etc.

ÍNDICE Pág. SÍLABO ACTIVIDAD INICIAL

CAPÍTULO I 1. CONOCIMIENTOS PREVIOS 1.1 Par ordenado 1.2 Plano Cartesiano 1.3 Producto Cartesiano 1.4 Relación 1.5 Función 1.6 Formas de Representación de una Función 1.7 Tipos de una Función

CAPÍTULO II 2. FUNCIONES DE PRIMER GRADO 2.1 Función Afín y lineal 2.2 Puntos de Intersección con los Ejes 2.3 Pendiente

CAPÍTULO III 3. ECUACIÓN DE LA RECTA 3.1 Formas de Expresión de la Recta 3.2 Rectas paralelas y perpendiculares

CAPÍTULO IV 4. SISTEMAS DE ECUACIONES 4.1 Puntos de Intersección de dos Rectas 4.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 4.3 Sistemas de Ecuaciones con 2 incógnitas 4.4 Tipos de Sistemas 4.5 Métodos de Resolución

CAPÍTULO V 5. INECUACIONES

1 4 5 5 6 6 7 7 9 12 14 21 21 22 25 26 30 30 31 36 38 38 39 40 40 41 43

5.1 Desigualdades 5.2 Inecuación 5.3 Inecuación Lineal 5.4 Conjunto Solución de una Inecuación

48 48 50 50 50 50

ACTIVIDADES FINALES BIBLIOGRAFÍA EJERCICIOS PROPUESTOS ANEXOS Simbología Propiedades Instrumentos de Evaluación

54 57 59 73 73 74 75

SÍLABO 1. INFORMACIÓN GENERAL

Asignatura Bloque Curso Horas Semanales

Matemática Funciones Lineales 1° Año de Bachillerato 4

2. DESCRIPCIÓN DEL BLOQUE CURRICULAR Una función de primer grado es de suma importancia en el estudio de las ciencias. Ella es el punto de partida para modelar hechos o situaciones de la vida cotidiana y entender de mejor manera a la naturaleza. En el bloque de funciones lineales se comenzará el estudio de esta función analizando las características principales de su ecuación, hasta llegar a formar sistemas de ecuaciones e inecuaciones. Sólo así se podrán modelar problemas mediante funciones de este tipo. 3. OBJETIVOS GENERALES      a. b. c. d.

Comprender el concepto de “función” mediante la utilización de tablas, gráficas, una ley de asignación y relaciones matemáticas (por ejemplo, ecuaciones algebraicas) para representar funciones reales. Determinar el comportamiento local y global de una función de primer grado e identificar las condiciones, los patrones numéricos y los problemas que se pueden modelar mediante funciones lineales Identificar los sistemas de ecuaciones, su forma de resolución y la forma de plantear modelos a través de sistemas de ecuaciones lineales. Identificar inecuaciones, sus propiedades, principios, clasificación y las formas de resolverlas; además, plantear modelos con desigualdades. Utilizar TIC (Tecnologías de la Información y la Comunicación): Para desarrollar actividades en el Aula Virtual y manejar softwares. para graficar funciones de primer grado para manipular el dominio y el rango a fin de generar gráficas; para analizar las características geométricas de una función de primer grado (pendiente e intersecciones),

4. CONTENIDOS ANALÍTICOS     

Conocimientos Previos Funciones de Primer Grado. Ecuación de la recta. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Inecuaciones Lineales.

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5. METODOLOGÍA 5.1 DESCRIPCIÓN DEL PROCESO DIDÁCTICO El proceso didáctico se llevará a cabo mediante: Conferencia (explicación): Disertación del docente sobre un tema específico de la unidad de análisis. Esta actividad es de carácter informativo y generadora de procesos de reflexión, adaptación e interpretación del conocimiento. Dinámicas Grupales: Son aquellas actividades que permitirán realizar una introducción a un tema de clase o reforzarlos. Estas dinámicas adquieren un valor específico de diversión que estimulan: Emotividad, Creatividad, Dinamismo o Tensión positiva. Talleres: Espacio educativo para la asimilación y reforzamiento de aprendizajes, posibilita la construcción del conocimiento con la orientación del profesor y el estímulo del grupo, tomando en cuenta los saberes y experiencia de los estudiantes. Se trabajó de manera individual y en grupos. Tareas Extra-Clase: Son aquellos trabajos cuyo propósito es que el alumno repase o amplíe los temas desarrollados por el docente de acuerdo con los objetivos. Sketch: Es una pequeña escena o cuadro de una obra de teatro, que permite dar una breve descripción de un hecho o situación. Trabajos de Investigación: Un trabajo de investigación es un estudio acerca de un fenómeno o hecho. Las principales conclusiones se exponen de manera ordenada en un documento. El estudio se puede basar en documentos existentes. Resolución de Ejercicios: Mediante fórmulas y algoritmos se procederá a resolver ejercicios de los respectivos temas de clase. Pruebas Objetivas: Las pruebas objetivas son instrumentos de medida, elaborados rigurosamente, que permiten evaluar: -

Conocimientos, Destrezas, Aptitudes, Actitudes, etc.

5.2 RECURSOS DIDÁCTICOS       

Aula Virtual Computador Proyector Audios y Videos Motivacionales Softwares (geogebra, desmos graphing calculator) Pizarra Documentos (Manual de estrategias Didácticas con Recursos de una Aula Virtual)

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6. SISTEMA DE EVALUACIÓN

EVALUACIÓN FORMATIVA

Trabajos Académicos Trabajos Individuales Trabajos Grupales Lecciones

10 10 10 10

EVALUACIÓN SUMATIVA

Prueba del Bloque

10

PROMEDIO

10

7. RESULTADOS O LOGROS DE APRENDIZAJE LOGROS DE APRENDIZAJE

CONTRIBUCIÓN (Alta, Media, Baja)

Identificación y definición del Problema

M

Solución de Problemas

A

Utilización de herramientas especializadas

M

Trabajo en equipo

A

Comportamiento ético

A

Comunicación efectiva

M

Compromiso con el Aprendizaje Continuo

A

Corrección de Procesos

A

EL ESTUDIANTE SERÁ CAPAZ DE Identifica y diagnostica las causas de un problema, lo analiza, traduce y plantea una propuesta para su resolución; tomando en cuenta la información disponible, con el fin de determinar objetivos, restricciones y criterios para su aceptación y aprobación Identifica, formula, evalúa y resuelve problemas relacionados con funciones de primer grado Utiliza los recursos del Aula Virtual, así como: geogebra, desmos, google drive, etc., para desarrollar las actividades propuestas y resolver problemas. Muestra actitudes positivas hacia otros y hacia el entorno. Además colabora con sus compañeros en la elaboración de trabajos, proyectos. Conoce y aplica los códigos de conducta en el aula de clase y en al aula virtual. Utiliza los medios de comunicación escrita, oral, gráfica y electrónica para expresar sus puntos de vista, ideas, sugerencias, etc. Muestra hábitos de aprendizaje autónomo Desarrolla actitudes positivas hacia el autodesarrollo y la mejora continua. Corrige errores y procedimientos gracias al análisis de errores y a la retroalimentación permanente

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ACTIVIDAD INICIAL

ACTIVIDAD EN EL AULA VIRTUAL Reglas para una adecuada comunicación en la Red.

Objetivo -

Proporcionar un conjunto de normas que direccionen el comportamiento de los estudiantes en la Red.

Tiempo de Realización 20 minutos. Prerrequisitos -

Computador y acceso a Internet Página de texto con las normas y reglas para comunicarse en la Red.

Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. En el PANEL CENTRAL (FUNCIONES LINEALES), hacer clic en el documento REGLAS PARA COMUNICARSE EN LA RED. 3. Leer las reglas de como una persona debe comportarse en la Red. 4. Hacer clic en cada uno de los ejemplos de LO QUE NO SE DEBE HACER EN LA RED. 5. Analizar, discutir y obtener conclusiones de las reglas, vídeos y fotografías. Criterios de Evaluación Se calificará: -

Comprensión lectora Fluidez y convivencia Pertinencia de las opiniones.

Clave -

Respetar los signos de puntuación al momento de la lectura. Las opiniones deben ser claras y concisas.

Alternativa En ENLACES DE INTERÉS hacer clic en NETIQUETA, o en su defecto escribir en un buscador de internet la siguiente dirección http://www.eduteka.org/Netiqueta.php3

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CAPÍTULO I 1. CONOCIMIENTOS PREVIOS CONTENIDOS

PRODUCTO CARTESIANO

RELACIÓN

FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

TIPOS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

TIPOS DE UNA FUNCIÓN

DESTREZAS

Reconocer el comportamiento local y global de funciones elementales de una variable a través del análisis de su dominio, recorrido, monotonía y simetría. (C)

Identificar tipos de funciones a través ejemplos en situaciones de la vida cotidiana (M)

Representar funciones por medio de tablas, gráficas, una ley de asignación y ecuaciones algebraicas. (P, M)

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Antes de iniciar el estudio de los temas del Bloque Curricular, debemos recordar algunas definiciones muy importantes. 1.1 Par Ordenado DefiniciĂłn. Es un conjunto formado por dos elementos a y b que tiene un orden, y lo denotamos por (đ?‘Ž, đ?‘?); donde, al elemento a se le denomina primera componente y al elemento b se le denomina segunda componente.

No es lo mismo (đ?’‚, đ?’ƒ) que (đ?’ƒ, đ?’‚). Por lo tanto: (đ?’‚, đ?’ƒ) ≠(đ?’ƒ, đ?’‚)

Un ejemplo en la vida cotidiana de par ordenado, serĂ­a el resultado de un partido de fĂştbol.

1.2 Plano Cartesiano DefiniciĂłn. Es un sistema bidimensional formado por dos rectas numĂŠricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical. Las mismas se cortan en un punto denominado origen.

La recta horizontal, se le denomina eje de las abscisas o eje de las x y la recta vertical, se le denomina eje de las ordenadas o eje de las y. Los ejes dividen al Plano Cartesiano en cuatro cuadrantes y cada punto en el plano se representa con un par ordenado (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), donde x representa la localizaciĂłn del punto en el eje de las abscisas y y representa la localizaciĂłn del punto en el eje de las ordenadas. A la derecha del origen los valores de x toman valores positivos; y a la izquierda del origen x toma valores negativos. AsĂ­ mismo, sĂ­ y se encuentra sobre el origen, ĂŠste toma valores positivos; y si y se encuentra bajo el origen, ĂŠste toma valores negativos.

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DINĂ MICA Pedir a dos estudiantes que pasen al frente del salĂłn de clase. Desde la esquina del curso, simulando que ĂŠsta representa el origen de coordenadas de un plano cartesiano; primero hacer que un estudiante se desplace 3 pasos al frente (eje x) y luego 4 pasos a la izquierda (eje y). En segundo lugar pedir al otro estudiante que haga lo mismo con la diferencia que primero se desplace 4 pasos al frente (eje x) y luego 3 pasos a la izquierda (eje y).

1.3 Producto Cartesiano DefiniciĂłn. Sean A y B conjuntos no vacĂ­os. Se llama producto cartesiano y se denota đ??´ x đ??ľ, al conjunto formado por todos los pares ordenados en los que la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente al segundo conjunto. đ??´ x đ??ľ = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)/đ?‘Ľ ∈ đ??´ y đ?‘Ś ∈ đ??ľ} DINĂ MICA Formar con los estudiantes dos grupos de 4 y 3 estudiantes respectivamente. Pedir a los estudiantes que se saluden uno con otro, mientras el resto de estudiantes cuentan el nĂşmero de saludos. Ejemplo: Sea đ??´ = {−1, 5,3} y đ??ľ = {−1,4,5}. Determinar: đ??´ x đ??ľ đ??´ x đ??ľ = {(−1, −1), (−1,4), (−1,5), (5, −1), (5,4), (5,5), (3, −1), (3,4), (3,5)} ďƒş ďƒş

đ?‘¨ đ??ą đ?‘Š ≠đ?‘Šđ??ąđ?‘¨ Para conjuntos finitos, el nĂşmero de elementos de đ?‘¨ đ??ą đ?‘Š es igual al producto entre el nĂşmero de elementos de A por el nĂşmero de elementos de B

1.4 RelaciĂłn DefiniciĂłn. Sean A y B conjuntos no vacĂ­os. La condiciĂłn R que permite establecer una correspondencia entre los elementos de A con los elementos de B, se le llama relaciĂłn. Por lo tanto, los elementos de la relaciĂłn pertenecerĂĄn a su vez al Producto Cartesiano entre A y B, esto es: (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??´ x đ??ľ. Ahora, no siempre la condiciĂłn podrĂĄ establecer una correspondencia entre los elementos de A con los elementos de B, entonces: đ?‘… ⊆đ??´xđ??ľ Al conjunto de todos los pares ordenados (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) que comprueban esta condiciĂłn de correspondencia se le llama grafo de la relaciĂłn; y se denota: 7

đ?‘… = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??´ x đ??ľ / đ?‘Ľ đ?‘’stĂĄ en relaciĂłn con đ?‘Ś} Ejemplo: Dados đ??´ = {−1, 1,5,3} y đ??ľ = {−1,4,5}. Determine los elementos de la relaciĂłn: đ?‘… = {(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??´ x đ??ľ / đ?‘Ľ = đ?‘Ś} Tenemos: đ?‘… = {(−1, −1), (5,5)} Podemos observar los elementos de la relaciĂłn en el siguiente diagrama:

ďƒş

Una relaciĂłn se la puede representar en un diagrama sagital, o en plano cartesiano

Ejemplos en la vida cotidiana de Relaciones, tenemos muchas: ďƒş ďƒş ďƒş

La relaciĂłn de las personas con su respectiva estatura. El precio que las personas pagan por los artĂ­culos de la canasta bĂĄsica, ya sea en una tienda u otra. La simpatĂ­a de los aficionados del fĂştbol por un determinado equipo, etc.

TEORĂ?A-PRĂ CTICA En la siguiente direcciĂłn podrĂĄs observar ejemplos de relaciones matemĂĄticas en la vida cotidiana: http://www.youtube.com/watch?v=35U-OwZNIDI&feature=c4overview&list=UUjnEAeirBGK05ONUY8ok1cQ

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1.5 FunciĂłn DINĂ MICA Imaginaremos una situaciĂłn en la que en el aula de clase se lleva a cabo una sesiĂłn. Se pedirĂĄ a determinados estudiantes que salgan del aula de clase a medida que transcurre el tiempo, y se contabilizarĂĄ la cantidad de personas que permanecen dentro del aula de clase en esos instantes de tiempo. Luego se representaran esos resultados en una grĂĄfico cartesiano DefiniciĂłn: Sean A, B conjuntos no vacĂ­os. Se llama funciĂłn de A en B y se denota đ?‘“: đ??´ → đ??ľ, cuando a cada elemento de A le corresponde Ăşnicamente un solo elemento de B, simbĂłlicamente: Si x representa a los elementos del conjunto A y y a los elementos de B, tenemos: ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, ∃! đ?‘Ś ∈ đ??ľ Ejemplos: ďƒş ďƒş

Cada montaĂąa estĂĄ en correspondencia con su respectiva altura. NĂşmero de personas vs. Cantidad de Alimentos. A mĂĄs personas se necesitan cada vez mĂĄs alimentos.

Es evidente, que existe una relaciĂłn de correspondencia entre los elementos de un conjunto con otro. Por lo que, podemos afirmar que “toda funciĂłn es una relaciĂłnâ€?, pero por definiciĂłn de relaciĂłn “No toda relaciĂłn es una funciĂłnâ€?. Veamos ahora el siguiente grĂĄfico:

Podemos observar que todos los elementos del conjunto A, se relacionan con uno y sĂłlo un elemento del conjunto B. Dominio de la funciĂłn: Es el conjunto formado por todos los elementos de A en correspondencia con los elementos de B, y se denota đ??ˇđ?‘œđ?‘šđ?‘“ Por lo tanto: đ??´ = đ??ˇđ?‘œđ?‘šđ?‘“ Imagen de la funciĂłn: El elemento del conjunto B que se relaciona con un đ?‘Ľ ∈ đ??´, a travĂŠs de la condiciĂłn de correspondencia, se llama imagen del elemento x y se denota đ?‘“(đ?‘Ľ).

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El conjunto de todas las imĂĄgenes se le denomina recorrido o conjunto imagen de la funciĂłn, la denotamos đ??źđ?‘šđ?‘“ El conjunto imagen es un subconjunto de B, esto es: đ??źđ?‘šđ?‘“ ⊆ đ??ľ La correspondencia entre x e f(x) se la expresa: đ?‘Ľ → đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ). AsĂ­ tambiĂŠn, podemos afirmar que el valor de y dependerĂĄ del valor que tome x. Por lo tanto, decimos: ďƒş ďƒş

x es la variable independiente y la variable dependiente

AsĂ­ podemos entonces, definir a una funciĂłn por medio de la siguiente notaciĂłn: đ?‘“: đ??´ → đ??ľ

đ?‘Ľ → đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) ďƒş ďƒş

đ?‘Ľ → đ?‘Ś se lee “x se convierte en yâ€? đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) se lee “y en funciĂłn de xâ€?

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Determinar el dominio e imagen de la función. �: � → �

đ?‘Ľ →đ?‘Ś =đ?‘Ľ+1 đ??ˇđ?‘œđ?‘šđ?‘“ = đ??źđ?‘šđ?‘“ = 2. Consulte las restricciones para los nĂşmeros reales.

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JUEGO Completa el siguiente crucigrama

HORIZONTALES

VERTICALES

7. Conjunto formado por todos los pares ordenados 10. Sistema bidimensional, formado por dos rectas num茅ricas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen. 14. En la funci贸n y = x + 1, y recibe el nombre de variable 16. El eje vertical de un Plano Cartesiano se le denomina

1. En cuantos cuadrantes dividen al Plano Cartesiano los ejes perpendiculares 3. (a, b) 5A. Subconjunto del producto cartesiano 5B. Imf 8. El eje horizontal de un Plano Cartesiano se le denomina 10. Domf 19. La relaci贸n donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y s贸lo un elemento del conjunto de llegada, se le denomina

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1.6 Formas de Representar una funciĂłn Una funciĂłn se la puede representar mediante un texto, una fĂłrmula algebraica, por medio de una tabla de valores o un grĂĄfico cartesiano. Mediante un Texto Es una descripciĂłn escrita en la que se indica cĂłmo se relacionan dos cantidades. Ejemplo: “Una persona gana 2000 cal por dĂ­aâ€? es una expresiĂłn que relaciona la cantidad de calorĂ­as con nĂşmero de dĂ­as. Por lo tanto es una funciĂłn. Mediante una fĂłrmula algebraica Una funciĂłn se puede representar algebraicamente por medio de una fĂłrmula. En la fĂłrmula se puede evidenciar las variables dependiente e independiente, asĂ­ como las operaciones matemĂĄticas, como: suma, resta, multiplicaciĂłn, divisiĂłn, etc.

Ejemplo: La expresiĂłn “Una persona gana 2000 cal por dĂ­aâ€? se la puede representar mediante la fĂłrmula: đ?‘Ś = 2000. đ?‘Ľ Donde: ďƒş ďƒş

x es el nĂşmero de dĂ­as y la cantidad de calorĂ­as que adquiere en los x dĂ­as.

Mediante una tabla de valores Para elaborar una tabla de valores es necesario dar valores a la variable independiente, para obtener los valores de la dependiente. La falencia de este mĂŠtodo es que no permite conocer el comportamiento de una funciĂłn para valores intermedios de la variable independiente. Para el ejemplo de la persona que gana 2000 cal al dĂ­a.

đ?‘Ś = 2000. đ?‘Ľ

Tiempo (x) EnergĂ­a (y)

1d

2d

3d

4d

2000 cal

4000 cal

6000 cal

8000 cal

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Representación Gráfica El gráfico de una función es la representación de todos los puntos (x, y) que se obtienen con la ecuación de la función y = f(x). La ventaja de la representación gráfica es que se puede analizar directamente el comportamiento de la función, y así, determinar muchas de sus características. Ejemplo: Para nuestro ejemplo, donde la ecuación de la función es 𝑦 = 2000. 𝑥. Los puntos que satisfacen la función son: (1, 2000), (2, 4000), (3, 6000), (4, 8000)

Para verificar si un gráfico corresponde a una función, basta con trazar una recta paralela al eje y; y si en todo su dominio la recta corta a la gráfica en un solo punto, entonces el gráfico corresponde a una función.

VIDEOTUTORIAL En este link aprenderás a representar en geogebra puntos, tablas de valores y gráficas de funciones. http://www.youtube.com/playlist?list=PLuxVNT7dpBeB1x8r0VxUeuWPe9 65kZi_X

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1.7 Tipos de Funciones

TEORĂ?A-PRĂ CTICA En la siguiente direcciĂłn podrĂĄs observar ejemplos de funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas en la vida cotidiana: http://www.youtube.com/watch?v=pXDSYv24JL8&index=4&list=PLuxV NT7dpBeAxxMrFkSChtD12RVRsY8_4

FunciĂłn Inyectiva DefiniciĂłn. Sea f una funciĂłn de A en B, se dice que đ?‘“ es inyectiva, si y sĂłlo si: ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´, đ?‘Ľ1 ≠đ?‘Ľ2 đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘›đ?‘?đ?‘’đ?‘ đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≠đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) Es decir a valores diferentes del dominio le corresponden imĂĄgenes diferentes. Ejemplos: ďƒş ďƒş ďƒş

f(x) = x+1 f(x) = x3 La funciĂłn f(x) = x2, no es inyectiva, porque cuando x = -2, f(-2) = 4 y x = 2; f(2) = 4 ďƒş ďƒş

Si una funciĂłn no es inyectiva, se la puede transformar a funciĂłn a inyectiva, limitando su dominio. Para determinar grĂĄficamente si una funciĂłn es inyectiva; se traza una recta paralela al eje x, y si esta se interseca con la grĂĄfica de la funciĂłn en un solo punto en todo su dominio, entonces la funciĂłn es inyectiva.

FunciĂłn Sobreyectiva DefiniciĂłn. Sea f una funciĂłn de A en B, se dice que đ?‘“ es sobreyectiva sĂ­ y sĂłlo sĂ­: ∀đ?‘Ś ∈ đ??ľ, ∃ đ?‘Ľ ∈ đ??´/ đ?‘Ś = đ?‘“(đ?‘Ľ) Es decir, la funciĂłn es sobreyectiva si el conjunto imagen es igual al conjunto de llegadas đ??źđ?‘šđ?‘“ = đ??ľ Ejemplo: Sea đ?‘“: â„? → â„? đ?‘Ľ →đ?‘Ś=đ?‘Ľâˆ’1

Por quĂŠ la funciĂłn es sobreyectiva?

Obtenida una vez la grĂĄfica de la funciĂłn, se puede evidenciar que todo elemento del conjunto de llegada es imagen de un elemento del conjunto de partida (dominio). Entonces đ??źđ?‘šđ?‘“ = â„?, es decir la funciĂłn es sobreyectiva.

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ďƒş

Para transformar una funciĂłn a sobreyectiva basta limitar el conjunto de llegada.

FunciĂłn Biyectiva DefiniciĂłn. Una funciĂłn f de A en B, es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejemplo: Verificar si la funciĂłn f es biyectiva, si:

đ?‘“: â„? → â„? đ?‘Ľ →đ?‘Ś =đ?‘Ľâˆ’1

La funciĂłn es inyectiva; porque al trazar una La funciĂłn es sobreyectiva, porque đ??źđ?‘š = â„? paralela al eje x; en todo el dominio la recta no corta la funciĂłn en dos o mĂĄs puntos. ∴ f biyectiva

MonotonĂ­a de una FunciĂłn DefiniciĂłn. Sea f una funciĂłn de A en B, se puede presentar los siguientes casos: a. f es no decreciente si ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´, đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≤ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) b. f es estrictamente creciente si ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´, đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) < đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) c. f es no creciente si ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´, đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) ≼ đ?‘“(đ?‘Ľ2 ) d. f es estrictamente decreciente si ∀đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ∈ đ??´, đ?‘Ľ1 < đ?‘Ľ2 ⇒ đ?‘“(đ?‘Ľ1 ) > đ?‘“(đ?‘Ľ2 )

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NO DECRECIENTE

ESTRICTAMENTE CRECIENTE

CRECIENTE Y DECRECIENTE

NO CRECIENTE

ESTRICATEMNETE DECRECIENTE

MONOTONA A TRAZOS

TEORĂ?A-PRĂ CTICA En la siguiente direcciĂłn podrĂĄs observar ejemplos de funciones crecientes y decrecientes en la vida cotidiana: http://www.youtube.com/watch?v=9JhS4ufDl8A&list=PLuxVNT7dpBeAx xMrFkSChtD12RVRsY8_4 Funciones Par e Impar (SimetrĂ­a de una funciĂłn) DefiniciĂłn. Sean f una funciĂłn de A en B, se dice que: a. f es par si ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, tambiĂŠn −đ?‘Ľ ∈ đ??´ se cumple que đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ) b. f es impar si ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, tambiĂŠn −đ?‘Ľ ∈ đ??´ se cumple que đ?‘“(đ?‘Ľ) = −đ?‘“(−đ?‘Ľ) Ejemplo: Sea đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 4 − 2, demostrar que es una funciĂłn par. đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘“(−đ?‘Ľ) đ?‘Ľ 4 − 2 = (−đ?‘Ľ)4 − 2 đ?‘Ľ4 − 2 = đ?‘Ľ4 − 2 ∴ la funciĂłn es par.

16

1

Sea đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ, demostrar que es impar. đ?‘“(đ?‘Ľ) = −đ?‘“(−đ?‘Ľ) 1 1 = − (−đ?‘Ľ) đ?‘Ľ 1

đ?‘Ľ

1

=đ?‘Ľ

∴ la funciĂłn es impar. ďƒş ďƒş ďƒş

Los puntos de una funciĂłn par son simĂŠtricos al eje y. Los puntos de una funciĂłn impar son simĂŠtricos al origen de coordenadas. La funciĂłn f(x) = 0 es par e impar a la vez.

Definición. Función definidas por Tramos Es una función que presenta diferentes comportamientos en distintos intervalos de su dominio. Ejemplo: �: � → �+

−đ?‘Ľ, đ?‘Ľ < 0 đ?‘Ľ → đ?‘“(đ?‘Ľ) = { đ?‘Ľ, đ?‘Ľ ≼ 0

ďƒş ďƒş

La funciĂłn valor absoluto es monĂłtona a trozos Es par.

DefiniciĂłn. FunciĂłn Polinomial. Sean f una funciĂłn de A en B, se dice que f es una funciĂłn polinomial en una variable sĂ­. đ?‘“: â„? → â„? đ?‘Ľ → đ?‘Ś = đ?‘Ž0 + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Ž2 đ?‘Ľ 2 + ‌ + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› DĂłnde: -

đ?‘Ž0 , đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Žđ?‘› ∈ â„? son los coeficientes del polinomio con đ?‘Žđ?‘› ≠0 đ?‘› ∈ ℤ+ y es el grado del polinomio. 17

JUEGO Descubre las palabras que se encuentran en la siguiente sopa de letras.

       

C

G

E

F

R

O

C

U

I

M

U

N

I

T

A

G

R

U

M

P

M

N

O

O

A

L

I

C

O

N

P

N

D

E

L

F

T

R

O

Z

O

S

A

R

A

C

D

T

O

I

E

E

O

M

C

T

P

O

L

I

N

O

M

I

A

L

A

N

O

O

R

D

E

O

R

T

R

N

D

A

O

R

E

A

O

O

D

N

P

E

N

N

E

C

N

O

C

M

D

A

C

T

E

I

O

P

A

I

M

P

A

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U

O

M

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O

M

I

N

I

O

M

A

E

L

C

T

A

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A

A

L

A

N

N

I

R

D

O

T

R

E

C

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G

P

P

A

E

A

R

E

L

O

C

S

R

I

E

T

R

E

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U

N

O

I

C

T

E

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A

N

E

S

I

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O

C

G

A

A

O

C

C

C

M

I

O

S

I

A

A

R

N

R

G

T

I

D

O

O

I

M

A

C

R

O

C

T

C

N

E

L

D

O

R

C

A

U

I

M

A

E

T

C

N

O

D

C

A

R

N

A

R

E

N

S

L

C

T

R

O

C

M

D

O

E

M

I

I

I

N

I

E

I

O

M

M

P

T

E

S

O

O

A

E

E

N

I

E

C

R

D

O

T

N

C

M

N

R

I

E

M

R

E

R

I

M

A

I

E

R

O

C

I

E

R

T

N

Z

O

D

I

E

S

R

"A mayor cantidad de personas, disminuyen en el planeta sus recursos naturales". El enunciado ejemplifica a una funciĂłn estrictamente La relaciĂłn donde a elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sĂłlo un elemento del conjunto de llegada, se le denomina Domf Cuando los puntos de la grĂĄfica son simĂŠtricos al eje de coordenadas, la funciĂłn es Cuando la grĂĄfica de una funciĂłn es simĂŠtrica al eje Y, se dice que la funciĂłn es đ?’‡(đ?’™) = đ?’™đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? + đ?’™ − đ?&#x;? representa a una funciĂłn Imf El conjunto formado por todos los pares ordenados

18

ACTIVIDAD DEL AULA VIRTUAL Elaboración de una Biblioteca Virtual para el estudio de las características de los Tipos de Funciones

Objetivo -

Verificar contenidos sobre los diferentes Tipos de Funciones.

Tiempo de realización 30 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet Base de Datos con el nombre Tipos de Funciones.

Recursos Complementarios -

Paint (software). Editor de Ecuaciones (TEX ECUATION EDITOR)

Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (CONOCIMIENTOS PREVIOS), hacer clic en la BASE DE DATOS TIPOS DE FUNCIONES 3. Hacer clic en AGREGAR ENTRADA 4. Llenar la plantilla de la Base de Datos, con la información requerida. 5. Descargar gráficos del tipo de función asignada, guardarla en el servidor e insertarla en el campo asignado en la plantilla de la Base de Datos. 6. Hacer clic en GUARDAR Y VER Criterios de Evaluación Definición, Dom, Im, fórmulas matemáticas, representaciones gráficas, ejemplos. Claves -

Se puede insertar fórmulas matemáticas usando el editor de ecuaciones. (Ver página ) La imagen debe tener un tamaño de 150 x 150 píxeles, ya que el espacio designado para el gráfico soporta ese tamaño como máximo.

Alternativas Resolver la plantilla de la página 75, la misma que deberá ser entregada al profesor.

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ACTIVIDAD DEL AULA VIRTUAL Crucigrama sobre los diferentes Tipos de Funciones

Objetivo -

Verificar contenidos sobre los diferentes tipos de funciones.

Tiempo de realización 30 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet Crucigrama con el nombre Tipos de Funciones.

Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (CONOCIMIENTOS PREVIOS), hacer clic en CRUCIGRAMA_CONOCIMIENTOS PREVIOS. 3. Hacer clic en CONTINUE UN INTENTO PREVIO DE JUEGO. 4. Llenar la plantilla del crucigrama. 5. Hacer clic en FIN DEL JUEGO DEL CRUCIGRAMA Criterios de Evaluación Identificas claramente los diferentes tipos de funciones, por medio de la: Definición, Dom, Im, fórmulas matemáticas, representaciones gráficas, ejemplos. Claves -

Haber realizado las correcciones hechas por el profesor en la Base de Datos Tipos de Funciones. Llenar la plantilla antes del tiempo establecido.

Alternativas Resolver las plantillas de la páginas 77, 79, 81, las mismas que deberán ser entregada al profesor.

20

CAPÍTULO II 2. FUNCIONES DE PRIMER GRADO

CONTENIDOS

FUNCIÓN AFÍN

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN CONSTANTE

PUNTOS DE INTERSECCIÓN CON LOS EJES

PENDIENTE

DESTREZAS

Representar funciones de primer grado por medio de tablas, gráficas, una ley de asignación y ecuaciones algebraicas. (P)

Determinar la intersección de una recta con los ejes horizontal a partir de la resolución de la ecuación f(x) = 0, donde f es la función cuya gráfica es la recta (P)

Determinar la intersección de una recta con el eje vertical a partir de la evaluación de la función en x = 0 (P)

Evaluar una función en valores numéricos y simbólicos (P)

Calcular la pendiente usando dos puntos de esta (P)

Determinar la monotonía de una función de primer grado a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función (C, P)

Reconocer resolver problemas que pueden ser modelados mediante funciones lineales

21

2.1 FunciĂłn afĂ­n y lineal y constante. DefiniciĂłn. Se llama funciĂłn afĂ­n a la siguiente funciĂłn polinomial: đ?‘“: â„? → â„? đ?‘Ľ → đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?; đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„? Analizando la funciĂłn afĂ­n a) đ?’‚ ≠đ?&#x;Ž, đ?’ƒ ≠đ?&#x;Ž

ďƒş ďƒş ďƒş

Su grĂĄfica es una lĂ­nea recta, no paralela a y La expresiĂłn đ?’š = đ?’‚đ?’™ + đ?’ƒ se la identifica como la ecuaciĂłn de la recta, donde a es la pendiente de la recta y b se llama ordenada en el origen. Si a > 0 f es estrictamente creciente y si a < 0 f es estrictamente decreciente

Ejemplo: ďƒş

EvaluĂŠ la siguiente funciĂłn đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ + 3.

-

Domf: â„? Imf: â„?

-

Por el punto (0,3) la grĂĄfica de la funciĂłn corta al eje de las ordenadas. Es inyectiva Es sobreyectiva Por lo tanto es biyetiva. Es estrictamente creciente No es par, no es impar.

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b) Si đ?‘Ž ≠0 y đ?‘? = 0 la funciĂłn y = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? nos queda đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ, que se llama lineal

ďƒş ďƒş ďƒş ďƒş ďƒş

Si a = 1 Su grĂĄfica es la recta bisectriz que pasa por el I y III cuadrante La recta pasa por el punto (0,0) Si a > 0 f es estrictamente creciente y si a < 0 f es estrictamente decreciente Es impar đ?‘°đ?’Žđ?’‡ = â„?

c) Si đ?‘Ž = 0 y đ?‘? ≠0 la funciĂłn y = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? nos queda đ?‘Ś = đ?‘?. Y se llama constante

ďƒş ďƒş ďƒş ďƒş ďƒş

Su grĂĄfica es una lĂ­nea recta paralela a x Intercepta al eje y en el punto (đ?&#x;Ž, đ?’ƒ) Es par Es monĂłtona đ?‘°đ?’Žđ?’‡ = {đ?’ƒ}

TEORĂ?A-PRĂ CTICA En la siguiente direcciĂłn podrĂĄs observar ejemplos de funciones lineales en la vida cotidiana: http://www.youtube.com/watch?v=zcaFhAAWsts&list=PLuxVNT7dpBeA xxMrFkSChtD12RVRsY8_4 23

ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL Glosario de Términos del Bloque Funciones Lineales

Objetivo -

Construir, consultar y compartir el significado de los diferentes términos científicos del Bloque Funciones Lineales.

Tiempo de realización 10 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet Glosario de Términos.

Recursos Complementarios Buscador en Internet, textos, etc. Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (FUNCIONES DE PRIMER GRADO), hacer clic en GLOSARIO DE FUNCIONES LINEALES. 3. A continuación clic en AGREGAR ENTRADA. 4. En el editor de texto escribir la definición de un término desconocido. 5. Finalmente debe hacer clic en GUARDAR CAMBIO 6. Si el caso amerita deberás rectificar la definición, ya que la misma está sujeta a revisión del profesor. 7. El glosario permanecerá activo durante todo el evento; por lo tanto, podrás recurrir al glosario para informarte de las definiciones de los términos que no conozcas Criterios de Evaluación Se calificará: Contenido de la definición, la información debe ser clara y concisa, y posibles correcciones del profesor. Claves La definición debe ser clara y concisa. Alternativas: Resolver la plantilla de la página 83, la misma que deberá ser entregada al profesor.

24

2.2 Puntos de IntersecciĂłn con los ejes Se llaman puntos de intersecciĂłn o puntos de corte, aquellos puntos donde la grĂĄfica de la funciĂłn se interseca con los ejes de coordenadas.

Para determinar los puntos de corte basta con igualar a cero cada una de las variables. Ejemplo: Si đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ − 1 determinar sus puntos de corte. Si đ?‘Ľ = 0; đ?‘Ś = 4(0) − 1 đ?‘Ś = −1 ∴ đ?‘ƒ1 = (0, −1)

ďƒş

Si đ?‘Ś = 0; 0 = 4đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľ = 14 ∴ đ?‘ƒ2 = (14, 0)

Es suficiente calcular los puntos de corte para graficar una recta.

25

2.3 Pendiente de una Recta Si tenemos una recta l no paralela al eje de las ordenadas y dos puntos đ?‘ƒ1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) y đ?‘ƒ2 = (đ?‘Ľ2 , đ?‘Ś2 ) que se ubican en la recta l. La pendiente de la recta l queda definida por:

∆đ?‘Ś

đ?‘Ś −đ?‘Ś

đ?‘š = đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?›ź = ∆đ?‘Ľ = đ?‘Ľ2 −đ?‘Ľ1 2

ďƒş

ďƒş

1

La pendiente es la inclinaciĂłn de la recta con respecto a la horizontal, es decir: es la variaciĂłn en y (cambio vertical) con respecto a la variaciĂłn en x (cambio horizontal). Mientras mĂĄs grande sea la pendiente mayor serĂĄ la inclinaciĂłn de la recta La pendiente es igual a la tangente del ĂĄngulo que forma la recta con respecto a la horizontal.

VIDEOTUTORIAL En este link aprenderĂĄs a determinar la pendiente de una recta en geogebra http://www.youtube.com/watch?v=82YTMmLWwHE&list=UUjnEAeirBG K05ONUY8ok1cQ

26

Si m> 0 la funciĂłn es estrictamente creciente

Si đ?‘š < 0 la funciĂłn es estrictamente decreciente

Si đ?‘š = 0 la funciĂłn es constante, es decir: la Si la grĂĄfica de la funciĂłn es paralela al eje de grĂĄfica de la funciĂłn es una lĂ­nea recta paralela las ordenadas, significa que los valores de la variable independiente no cambian, mientras al eje de las abscisas. que los valores de la variable dependiente aumentan. La m es indefinida

Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos đ??´ = (−3, 0) y đ??ľ = (0, −3)

∆đ?‘Ś

đ?‘š = ∆đ?‘Ľ =

0−(−3) −3−0 3

= −3 = −1

∴ Por lo tanto la funciĂłn es estrictamente decreciente.

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SKETCH Formar grupos de trabajo para que dramaticen la siguiente situación.

Mamá: Coquito anda a comprarme unas 20 naranjas en el Mercado. Coquito: ¡Hay no!, estoy ocupado. Mamá: ¡Que estás haciendo! echado viendo la TV. Coquito: grrrrrrrrrrrrrrrrr. Mamá: Apurate que ya llega tu taita para almorzar. Ten 10 dólares. Coquito en rabietas se va al Mercado a comprar las 20 naranjas. Tendera: ¡Caserito!, tenemos todo lo que Ud. Necesite, inclusive amor. Coquito: #%$!. Tiene naranjas. Tendera: Claro, coja, ¿Cuántas necesita? Coquito: Necesito 20, ¿Cuánto cuesta cada una? Tendera: A 25 ctvs, cada una. En ese instante Coquito hace los cálculos. Coquito: 25ctvs. x 20… A ver….. 25 ctvs x 10 es 2,5 dólares 2,5 dólares. ¡Ya!. 25 ctvs. x 20 es 5 dólares. Deme nomás las 20 naranjas. Tendera: Tenga mi amor. Coquito regresa a su casa y sólo le entrega a su mamá 4 dólares, ya que en el camino se compró un heladito.

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL Representación de Funciones de Primer Grado

Objetivo -

Utilizar las herramientas del software geogebra para representar funciones de primer grado.

Tiempo de realización 40 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet. Software geogebra. Hoja de ejercicios; el mismo que deberá estar elaborado en un archivo de geogebra. Enlace para subir la tarea; el mismo que deberá estar elaborado con el recurso subida avanzada de archivos.

Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (FUNCIONES DE PRIMER GRADO), hacer clic en la HOJA DE EJERCICIOS de la Actividad y resolver los ejercicios en el mismo archivo de geogebra, siguiendo cada uno de los pasos establecidos en la actividad. 3. Guardar el archivo con la siguiente información, por ejemplo: Nombre del archivo: jharo_actividad5 4. Subir la tarea a través del enlace del Aula Virtual previsto para la actividad. Criterios de evaluación -

Representación de una función en sus diferentes formas. Uso adecuado de los comandos y herramientas del software Traducción de lenguaje común a lenguaje formal.

Claves -

A ver revisado los tutoriales del software correspondientes al tema.

Alternativas -

Se puede usar para la actividad geogebra online http://geogebraweb.appspot.com/app.html Se puede resolver los ejercicios que se encuentran en siguiente plantilla (Ver página 85)

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CAPÍTULO III 3. ECUACIÓN DE LA RECTA

CONTENIDOS

FORMAS DE REPRESENTAR UNA RECTA

-

FORMA GENERAL PENDIENTE INTERCEPTO PUNTO PENDIENTE FORMA SEGMENTARIA

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

DESTREZAS

Determinar la ecuación de la recta, dados dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente). (P)

Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escrita en sus diferentes formas. (C)

Determinar la relación entre dos rectas a partir de la comparación de sus pendientes respectivas (rectas paralelas, perpendiculares, oblicuas). (C, P)

Resolver problemas de ecuaciones con ayuda de modelos lineales. (M)

30

3.1 Formas de Representar una Recta Existen diferentes formas de expresar una recta. Forma General

đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘? = 0, ďƒş ďƒş

đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? ∈ â„? đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘? no son simultĂĄneamente iguales a 0

Ejemplo Dada la ecuaciĂłn de la recta 3đ?‘Ľ − 1 = −4đ?‘Ś, expresarla en su forma general. 3đ?‘Ľ − 1 = −4đ?‘Ś, Pasamos el tĂŠrmino de y al primer miembro de la ecuaciĂłn 3đ?‘Ľ − 1 + 4đ?‘Ś = 0, Ordenamos 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś − 1 = 0 DĂłnde: a=3 b=4 c = -1 Forma Pendiente – Intercepto đ?‘Ś = đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘?, ďƒş ďƒş ďƒş

m = pendiente (0,b) es el punto de intersecciĂłn con el eje de las y Si b = 0, la recta pasa por el origen y su ecuaciĂłn es y = mx

Ejemplo Dada la ecuaciĂłn de la recta 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś − 1 = 0, expresarla en la forma pendiente – intercepto. 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś − 1 = 0, Despejamos el tĂŠrmino de y 4đ?‘Ś = −3đ?‘Ľ + 1 3 1 đ?‘Ś = −4đ?‘Ľ + 4

31

DĂłnde: 3

đ?‘š = −4 1

đ?‘?=4 Forma Punto – Pendiente đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ), ďƒş ďƒş ďƒş

m = pendiente đ?‘ƒ1 = (đ?‘Ľ1 , đ?‘Ś1 ) = es un punto que pertenece a la recta. Si se conocen dos puntos de la recta y no su pendiente; se determina su pendiente y luego la ecuaciĂłn se expresa con uno de los puntos.

Ejemplo Escribir la ecuaciĂłn de la recta si se conocen su pendiente y un punto de esta. đ?‘š = −2 đ?‘ƒ = (−2, 3) đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ), remplazamos los valores (đ?‘Ś − 3) = −2(đ?‘Ľ + 2) Forma Segmentaria

đ?‘Ľ đ?‘Ž

ďƒş ďƒş

đ?‘Ś

+ đ?‘? = 1, đ?‘Ž, đ?‘? ∈ â„? y đ?‘Ž, đ?‘? ≠0 (đ?‘Ž, 0) đ?‘Ś (0, đ?‘?) son los puntos de intersecciĂłn con los ejes x y y respectivamente.

Ejemplo Dada la ecuaciĂłn de la recta đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2 = 0 expresar la ecuaciĂłn en la forma segmentaria. đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2 = 0, Pasamos el tĂŠrmino independiente a la derecha đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −2, Dividimos la expresiĂłn para -2 đ?‘Ľ đ?‘Ś +2=1 −2 DĂłnde: đ?‘Ž = −2 , đ?‘? = 2

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VIDEOTUTORIAL En este link aprenderás a representar en geogebra la ecuación de la recta en sus diferentes formas http://www.youtube.com/watch?v=xDTSIi_S6Q&list=PLuxVNT7dpBeB1x8r0VxUeuWPe965kZi_X

SKETCH A continuación podrás encontrar el libreto y un sketch de un problema modelizado mediante ecuaciones.

Problema. Un joven muy atlético pesa 130 lb; pero después comienza a comer en abundancia y cada día gana en peso 5 lb. ¿Cuántas lb habrá ganado en 30 días? Libreto Mártir y Xavier dos bueno amigos que se vuelven a encontrar después de un largo tiempo Mártir: Que hay compañero a los años. Xavier: Hola Mártir, cómo estás? Mártir: Mal, me botaron del Bayern Munich. Xavier: Por qué? Mártir: Me detectaron una anomalía en mis huesos. Xavier: qué anomalía? Mártir: Huesitis. Xavier: Sintiéndote bastante. Mártir: Venga compañero le invito un cafecito, tengo hambre. Mártir y Xavier entran a la casa de Jorge y comen pan y beben café en la mesa de la sala. Xavier: Oye a pesar de tu enfermedad, si debes hacer ejercicio porque con tu régimen alimenticio vas a ser propenso a ganar peso. Cuánto pesas? Mártir: 130 lb. Xavier: Y si no haces ejercicio muy pronto te verás como el Ronaldo Mártir: (Mientras sigue comiendo) Tienes razón cada día ganaba 5 libras, pero con el ejercicio lo compensaba. Xavier: No ves! debes cuidarte. Mártir a pesar de saberlo nunca hizo caso a las sugerencias de su amigo, por lo que en un mes ya pesaba 280 lb. Sketch: Hacer clic en el enlace http://www.youtube.com/watch?v=0UbRYfeC87k&list=UUjnEAeirBGK05ONUY8ok1cQ&feat ure=c4-overview

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL Resolución de problemas mediante Modelos Lineales

Objetivo -

Grabar un sketch a partir de un problema resuelto con la ayuda de modelos lineales.

Tiempo de realización -

Libreto (40 minutos) Filmación de Sketch (Libre albedrío)

Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet. Celular o Filmadora Hoja de ejercicios; la misma que deberá estar elaborada en un documento de google drive. Enlace para subir la tarea; el mismo que deberá estar elaborado con el recurso subida avanzada de archivos. Plantilla diseñada en una Base de Datos; la misma deberá contener los siguientes campos: Texto (título), Área de texto (libreto), url (video)

Recursos Complementarios -

Chat de g-mail

Actividades Para la actividad se recomienda previamente formar grupos de trabajo de hasta 5 personas como máximo. Para elaborar el libreto. 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (ECUACIONES DE LA RECTA), hacer clic en la HOJA DE TRABAJO correspondiente a cada uno de los grupos, y dar respuesta a cada una de las actividades propuestas. En este punto los estudiantes deben primero activar el chat que provee el documento de google drive, y a continuación designar a un representante del grupo para que redacte las ideas del grupo en la hoja de texto. 3. Descargar el archivo como un documento de pdf.

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4. Guardar el archivo con la siguiente información, por ejemplo: Nombre del archivo: jharo_actividad7 5. Suba el archivo a través del enlace previsto para la Actividad. Para grabar el Sketch. 1. En la hoja de trabajo, los integrantes del grupo con el profesor darán los últimos toques al Libreto 2. En un tarde el grupo de trabajo se reunirán con el profesor y filmarán el sketch. 3. El responsable del grupo debe subirlo a Youtube y luego a la Base de Datos destinada para la actividad. Criterios de Evaluación -

Se calificará la participación de cada uno de los integrantes. Contenido científico del libreto y del video.

Claves -

Realizar la filmación con la vestimenta acorde al problema En el momento de la grabación evitar por todas las formas distorsiones en el sonido.

Alternativas -

Se puede usar el chat de g-mail para las actividades grupales. Resolver las plantillas de las páginas 87, 89, 91, 93.

Observaciones

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3.2 Rectas Paralelas y Perpendiculares DINĂ MICA Formar grupos de trabajo preferiblemente con los estudiantes de cada columna o fila del paralelo. A continuaciĂłn cada estudiante pasarĂĄ con un marcador y escribirĂĄ en la pizarra objetos del curso que representen rectas paralela o perpendicular. El primer grupo que llegue escribir diez objetos gana. Sean dos rectas đ?‘™1 y đ?‘™2 y sus pendientes đ?‘š1 y đ?‘š2 respectivamente. ďƒş ďƒş

đ?‘™1 y đ?‘™2 son paralelas si sus pendientes son iguales. Es decir: đ?‘š1 = đ?‘š2 đ?‘™1 y đ?‘™2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1. Es decir: đ?‘š1 . đ?‘š2 = −1

Dos rectas paralelas mantienen la misma distancia entre sus puntos; es decir nunca se cortan

Dos rectas perpendiculares se cortan en un solo punto, denominado punto de intersecciĂłn

Ejemplo Hallar la ecuaciĂłn general de la recta đ?‘™2 paralela a la recta đ?‘™1 : đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 5 = 0 y que pasa por el punto đ??ş = (−2,2) ďƒş

Representamos la ecuaciĂłn de la recta l1 en la forma pendiente - intercepto

đ?‘Ľ + đ?‘Ś − 5 = 0, despejamos y đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 5, DĂłnde: đ?‘š1 = −1 ďƒş

Ahora, utilizamos la punto – pendiente para obtener la ecuación de la recta l2 ya que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente

đ?‘š2 = −1 đ??ş = (−2, 2) 36

đ?‘Ś − đ?‘Ś1 = đ?‘š(đ?‘Ľ − đ?‘Ľ1 ), remplazamos la pendiente y el punto de la recta l2 en la punto pendiente đ?‘Ś − 2 = −1(đ?‘Ľ + 2), pasamos todos los tĂŠrminos al primer miembro de la Ec. y ordenamos. đ?‘Ľ+đ?‘Ś =0

VIDEOTUTORIAL En este link aprenderĂĄs a representar en geogebra rectas paralelas y perpendiculares http://www.youtube.com/watch?v=SZAWws4aruI&list=PLuxVNT7dpBe B1x8r0VxUeuWPe965kZi_X&index=8

TEORĂ?A-PRĂ CTICA En la siguiente direcciĂłn podrĂĄs observar ejemplos de rectas paralelas en la vida cotidiana: https://www.youtube.com/watch?v=rIOqkMKWJSQ&list=PLuxVNT7dp BeCPIewXagr0PzOGqFxWHMjM

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CAPÍTULO IV 4. SISTEMAS DE ECUACIONES

CONTENIDOS

PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS

TIPOS DE SISTEMAS

-

COMPATIBLE DETERMINADO COMPATIBLE INDETERMINADO INCOMPATIBLE

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS

DESTREZAS

Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de forma gráfica y analítica. (C, P)

Resolver problemas de sistemas de ecuaciones con ayuda de modelos lineales. (M)

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4.1 Punto de IntersecciĂłn entre dos rectas Si dos rectas se intersecan significa que tienen un punto en comĂşn, este punto se le denomina punto de intersecciĂłn entre las dos rectas.

ďƒş

En el punto de intersecciĂłn, las dos rectas comparten la misma abscisa y la misma ordenada.

Ejemplo La recta đ?‘™1 : 3đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 12 y đ?‘™2 : 2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = −6, se intersecan en el punto F = (0.71, 2.47). Significa que si remplazamos el valor de x y de y en cada una de las ecuaciones, se cumplirĂĄ la igualdad. đ?&#x;‘đ?’™ + đ?&#x;’đ?’š = đ?&#x;?đ?&#x;? 3(0.71) + 4(2.47) = 12 12 = 12

đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;‘đ?’š = −đ?&#x;” 2(0.71) − 3(2.47) = −6 −6 = −6

39

4.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales Es un conjunto de ecuaciones lineales, de m ecuaciones y n incĂłgnitas. đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?2 ‌ ‌ ‌ ‌ = ‌ đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘?đ?‘š

ďƒş

Un sistema ecuaciones lineales se puede resolver, mientras el nĂşmero de incĂłgnitas sea igual o menor al nĂşmero de ecuaciones.

Ejemplo Escribir un sistema de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incĂłgnitas. 4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś − 2đ?‘§ = 0 { −2đ?‘Ľ + đ?‘Ś + đ?‘§ = 7 đ?‘Ľâˆ’ đ?‘Śâˆ’đ?‘§ =0

4.3 Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos IncĂłgnitas

Es un sistema formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incĂłgnitas. Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas, significa encontrar los valores de las incĂłgnitas que satisfacen a las dos ecuaciones y que se constituyen en la soluciĂłn del sistema.

{

-

đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘?1 đ?‘Ś = đ?‘?1 đ?‘Ž2 đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ś = đ?‘?2

đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 son los coeficientes de las variables y đ?‘?1 , đ?‘?2 los tĂŠrminos independientes.

ďƒş ďƒş

GeomĂŠtricamente las dos ecuaciones se representan mediante dos rectas. La soluciĂłn del sistema son los puntos que comparten cada una de las rectas.

40

4.4 Tipos de Sistemas COMPATIBLE DETERMINADO

- Geométricamente las dos rectas se intersecan en un punto. - Si en el proceso de resolución se determina un valor para cada una de las incógnitas, se dice que el sistema tiene solución única.

COMPATIBLE INDETERMINADO - Geométricamente las dos rectas coinciden. Se sobreponen una con la otra. - Si en el proceso de resolución, se anulan las incógnitas y resultase una igualdad, por ejemplo 2 = 2; significa que para cualquier valor de las incógnitas esos valores serán solución de las dos ecuaciones. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones.

INCOMPATIBLE

- Geométricamente las dos rectas son paralelas, es decir no tienen puntos en común. - Si en el proceso de resolución, se anulan las incógnitas y los valores de los 2 miembros de la ecuación son diferentes, por ejemplo 2 = -3; se dice que el sistema no tiene solución.

VIDEOTUTORIAL En este link aprenderás a interpretar la solución de un sistema de ecuaciones http://www.youtube.com/watch?v=6IYe0K4DiUc&list=PLuxVNT7dpBeB1 x8r0VxUeuWPe965kZi_X&index=9

41

JUEGO Completa el juego Serpientes y Escaleras Nota: Necesitas un dado.

Cuestionario 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Cuando un sistema de ecuaciones tiene solución única se dice que es compatible Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es Cuando un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones se dice que es compatible Un Sistema de Ecuaciones se dice que es compatible indeterminado cuando tiene ____________ soluciones Un Sistema de Ecuaciones se dice que es incompatible cuando ___ tiene solución. El punto donde dos rectas se intersecan se llama En un sistema de ecuaciones lineales, sus ecuaciones geométricamente se representan mediante Un Sistema de Ecuaciones se dice que es compatible determinado cuando tiene solución Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las Respuestas

42

4.5 MĂŠtodo de ResoluciĂłn de un Sistema de Ecuaciones Lineales con 2 incĂłgnitas.

Por SustituciĂłn

Ejemplos. Resolver el siguiente sistema:

{

đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = −4 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1

Paso 1: Despejar y de la primera ecuaciĂłn. đ?‘Ś=

đ?‘Ľ+4 5

Paso 2: Sustituimos y en la segunda ecuaciĂłn 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ+4 2( )=đ?‘Ľ+1 5 Paso 3: Despejamos x đ?‘Ľ=1 Paso 4: Sustituimos x en la ecuaciĂłn del paso 1 đ?‘Ś=1 Como sĂłlo se obtiene un valor, tanto para la variable x como para la variable, decimos que el sistema tiene soluciĂłn Ăşnica. Y esto lo podemos comprobar graficando.

43

En efecto las rectas se intersecarĂĄn en el punto (1, 1). Por lo tanto decimos que el sistema es compatible determinado. Resolver el siguiente sistema: {

2đ?‘Ľ − 10đ?‘Ś = −8 0.5đ?‘Ľ − 2.5đ?‘Ś = −2

Paso 1: Despejamos la variable x en la primera ecuaciĂłn. đ?‘Ľ=

−8 + 10đ?‘Ś 2

Paso 2: Sustituimos x en la segunda ecuaciĂłn −8 + 10đ?‘Ś ) − 2.5đ?‘Ś = −2 2 −2 + 2.5đ?‘Ś − 2.5đ?‘Ś = −2 −2 = −2

0.5 (

Para este caso se cumple que para cualquier valor de x y y, esos valores satisfaceran a las dos ecuaciones. Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones, es decir es compatible indeterminado

Resolver el siguiente sistema: {

2đ?‘Ľ − 3đ?‘Ś = −4 6đ?‘Ś = 4đ?‘Ľ + 1

Paso 1: Despejamos la variable x en la primera ecuaciĂłn. đ?‘Ľ=

−4 + 3đ?‘Ś 2

Paso 2: Sustituimos x en la segunda ecuaciĂłn 44

−4 + 3đ?‘Ś 6đ?‘Ś = 4 ( )+1 2 6đ?‘Ś = −8 + 6đ?‘Ś + 1 0=7 Para este ejemplo la igualdad no se cumple, ya que 0 puede no puede ser igual a 7. Por lo tanto el sistema es incompatible, es decir no tiene soluciĂłn.

DINĂ MICA Pedir a un estudiante que recolecte de una fila de estudiantes monedas de 5 y 10 ctvs. Ahora pedir a otro estudiante que cuente cuantas monedas hay en total y el valor que suman las monedas, mientras otro estudiante escribe en la pizarra las dos ecuaciones que se forman segĂşn la cantidad de monedas y el valor que suman, por ejemplo: CANTIDAD DE MONEDAS: monedas de 10 ctvs + monedas de 5 ctvs = 20 CANTIDAD QUE SUMAN: 5 monedas de 10 ctvs + 9 monedas de 5 ctvs = 95

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL Resolución de Sistema de Ecuaciones usando la herramientas del software geogebra

Objetivo -

Resolver sistemas de ecuaciones utilizando las herramientas del software Geogebra.

Tiempo de realización 40 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet. Software geogebra. Hoja de Ejercicios; la misma que deberá estar elaborada en un archivo de geogebra. Enlace para subir la tarea; el mismo que deberá estar elaborado con el recurso subida avanzada de archivos.

Actividades 1. Ingrese al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (SISTEMAS DE ECUACIONES), hacer clic en la HOJA DE EJERCICIOS de la Actividad y resolver los ejercicios en el mismo archivo de geogebra, siguiendo cada uno de los pasos establecidos en la actividad. 3. Guardar el archivo con la siguiente información, por ejemplo: Nombre del archivo: jharo_actividad8 4. Subir la tarea a través del enlace del Aula Virtual previsto para la actividad. Criterios de evaluación -

Identificación gráfica de la solución y el tipo de sistema en un sistema de ecuaciones Uso correcto de los comando y herramientas del software Traducción de lenguaje común a lenguaje formal.

Claves -

A ver revisado los tutoriales del software correspondientes al tema.

Alternativas -

Se puede usar geogebra online http://geogebraweb.appspot.com/app.html Resolver la plantilla de la página 95

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL Sistema de Ecuaciones en el juego Serpiente y Escaleras

Objetivo -

Verificar contenidos asimilados sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos incógnitas.

Tiempo de realización 40 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a internet Juego serpientes y escaleras para el Capítulo Sistema de Ecuaciones.

Recursos Complementarios -

Graficador

Actividades 1. Ingrese al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (SISTEMA DE ECUACIONES), hacer clic en el juego SERPIENTES Y ESCALERAS. 3. A continuación deberá hacer clic en INTENTE JUGAR AHORA. 4. Responder cada una de las interrogantes. 5. Después de escribir la respuesta de cada pregunta, hacer clic en EVALUAR RESPUESTAS 6. Al terminar se debe hacer clic en FINALIZAR JUEGO Criterios de Evaluación -

Resolución gráfica y analítica de un sistema de ecuaciones lineales. Traducción de lenguaje común a lenguaje formal.

Claves Usar geogebra para graficar el conjunto solución de un sistema. Alternativas Resolver la plantilla del juego serpientes y escaleras formando grupos de trabajo. (Ver Página 97)

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CAPÍTULO V 5. INECUACIONES

CONTENIDOS

DESIGUALDAD

INECUACIÓN

INECUACIÓN LINEAL

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN LINEAL.

DESTREZAS

Analizar la variación del orden de una desigualdad aplicando las propiedades de las desigualdades (C)

Determinar el conjunto solución de inecuaciones lineales. (C, P)

Resolver problemas que involucren inecuaciones (P, M)

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VIDEOCONFERENCIAS Igualdades y Desigualdades

Objetivo -

Establecer diferencias entre igualdades y desigualdades.

Tiempo de realización 15 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a internet Cuenta en gmail para realizar la videoconferencia sobre Ecuaciones e Inecuaciones.

Recursos Complementarios -

Parlantes, proyector.

Actividades 1. Ingrese a su cuenta de correo electrónico en GMAIL. 2. Hacer clic en ACEPTAR VIDEOLLAMADA. 3. Activar el Chat, con el objetivo de realizar preguntas para que el experto solvente cualquier inquietud. 4. A continuación el experto dará una charla sobre Ecuaciones e Inecuaciones. Analizará la variación que se produce en una desigualdad cuando se suma y multiplica por un R. 5. A continuación podrás escribir tus inquietudes por medio del chat. 6. Una vez terminada la videoconferencia el profesor deberá reforzar los contenidos. 7. A continuación deberás realizar un informe en el que se detallen diferencias entre igualdades y desigualdades. Criterios de evaluación -

Participación durante la videoconferencia. Contenido del informe, ejemplos.

Instrumento de Evaluación Hoja de trabajo (Ver Página 99) Claves -

Debes tener apagado otros tipos de aparatos electrónicos, como: celular, etc.

Alternativas: Se puede utilizar Skype para la videoconferencia. 49

5.1 Desigualdad Una desigualdad es cuando dos expresiones matemåticas estån separadas por alguno de los siguientes símbolos: <, >, ≤, ≼ Ejemplos -

2 ≼ −1 0<3

5.2 InecuaciĂłn Una inecuaciĂłn es una desigualdad; y resolverla significa encontrar los valores para los cuales la desigualdad se cumple. Ejemplo. -

đ?‘Ľ + 2 ≼ đ?‘Ľ + 1. La desigualdad se cumple siempre y cuando đ?‘Ľ ≼ −1 đ?‘Ľ 2 ≤ 0. La desigualdad no tiene soluciĂłn ya que el cuadrado de todo nĂşmero real es mayor o igual a cero.

ďƒş

Por el exponente de la incĂłgnita podemos tener inecuaciones lineales, cuadrĂĄticas, cĂşbicas, etc.

5.3 InecuaciĂłn Lineal Una inecuaciĂłn lineal es aquella que puede representarse de las siguientes formas: ďƒş ďƒş ďƒş ďƒş

đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?

>0 <0 ≼0 ≤0

Donde đ?‘Ž, đ?‘? ∈ đ?‘… y x es la incĂłgnita. 5.4 Conjunto SoluciĂłn de una InecuaciĂłn Una inecuaciĂłn queda resuelta cuando queda despejada la variable. La soluciĂłn se la puede expresar en forma grĂĄfica y mediante intervalos. Ejemplo. Sea đ?‘Ľ > −3 el conjunto soluciĂłn de una inecuaciĂłn; esta soluciĂłn tambiĂŠn se la puede expresar en las siguientes maneras:

50

Mediante Intervalos: ]-3, ∞[

ďƒş

El +∞ y −∞ siempre se escriben con intervalo abierto.

Forma GrĂĄfica

La regiĂłn sombreada muestra los posibles valores que puede tomar la variable x por ejemplo: -2, 1, 5, 7, etc.

ďƒş

Usamos una lĂ­nea entre punteada para decir que el lĂ­mite de la soluciĂłn en este caso -3 no es parte de la soluciĂłn, pero si en la soluciĂłn estĂĄ incluida el -3 se utiliza una lĂ­nea continua.

VIDEOTUTORIAL En este link aprenderĂĄs a determinar el conjunto soluciĂłn de una inecuaciĂłn lineal en geogebra: http://www.youtube.com/watch?v=2GivAdk5GgE&list=PLuxVNT7dpBeB 1x8r0VxUeuWPe965kZi_X&index=10 Ejemplos. Determinar el conjunto soluciĂłn de la siguiente inecuaciĂłn đ?&#x;’đ?’™ + đ?&#x;? > đ?&#x;‘đ?’™ − đ?&#x;? 4đ?‘Ľ − 1 > 3đ?‘Ľ + 1 4đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ − 1 > 3đ?‘Ľ − 3đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľâˆ’1+1> 1+1 đ?‘Ľ>2

Restamos 3x a ambos miembros Sumamos 1 a ambos miembros Conjunto SoluciĂłn.

51

Sol. ]2, ∞[ Sol.

DINÁMICA Pedir a un estudiante que nos diga todas las posibles notas para que él no pase de año; así mismo pedir a otro estudiante que en cambio nos cuente todas las posibles notas para pasar de año.

JUEGO Descubre las palabras que se encuentran en la siguiente sopa de letras.

I A G T U S O T E L S I O R T I E

C O N J U N T O S O L U C I O N S

I A E B G A O O U O I A A R N T J

O D X I T O S A U N C O M V A E E

T E & E & S L B A S X D B E L R R

A T L C V A G I S G & A I L I V A

L E U I A M D E S I G U A L D A D

S N C I L B C R O E T O I I E L U

L O I R D N A T S R L O G N L O A

D S G V A S R O C I N S S E O S L

A I T L D O V S I A C R B A N S U

I G T L O A D E A D I M B L I E C

En la solución de una inecuación el +∞ y el −∞ se los representa con un intervalo Cuando dos expresiones matemáticas se encuentran separadas por los símbolos >, <, <, >; a esta se la conoce con el nombre de ______________ Resolver una inecuación consiste en encontrar su ________________ La expresión ax + b > 0, es una inecuación La solución de una inecuación se la puede representar mediante El conjunto solución de la inecuación es

Si ambos miembros de una inecuación se multiplican por un número negativo, el orden de la desigualdad ______

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL PRUEBA DEL BLOQUE FUNCIONES LINEALES

Objetivo -

Verificar contenidos asimilados sobre el Bloque de Funciones Lineales.

Tiempo de realización 40 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a internet

Recursos Complementarios -

Graficador

Actividades 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (ACTIVIDADES FINALES), hacer clic en el CUESTIONARIO FUNCIONES LINEALES. 3. Deberás leer conjuntamente con el profesor las instrucciones de la prueba; esto con la finalidad de establecer normas y compromisos en el desarrollo de la misma. 4. A continuación deberá hacer clic en COMENZAR 5. Responder cada una de las interrogantes. 6. El profesor deberá solventar cualquier inquietud sobre la redacción de las preguntas. 7. Después de escribir la respuesta de cada pregunta, hacer clic en ENVIAR. 8. Al terminar se debe hacer clic en ENVIAR TODO Y TERMINAR 9. Cotejar las respuestas enviadas con las correctas. 10. Finalmente hacer clic en FINALIZAR REVISIÓN Criterios de Evaluación -

Representación de una función lineal en sus diferentes formas. Resolución gráfica y analítica de un sistema de ecuaciones. Determinación del conjunto solución de una inecuación lineal. Modelización de problemas

Claves -

Uso del software geogebra en la resolución de ejercicios.

Alternativas: Resolver la plantilla de la página 101

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ACTIVIDADES FINALES

ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL USO DE LAS TIC´S EN LA MATEMÁTICA

Objetivo -

Compartir ideas, opiniones, experiencias, etc., sobre las ventajas y desventajas de introducir en el proceso de enseñanza de la Matemática las TIC´s.

Tiempo de realización 30 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet Sala de Chat Base de Datos con el nombre Uso de las TIC´s en la Matemática

Recursos Complementarios -

Cuenta de correo electrónico en gmail.

Actividades Para esta actividad trabajaras en grupo, además el profesor escogerá el tema de conversación para cada grupo. (Ventajas y desventajas del Uso de las Tic´s en la Matemática) 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (ACTIVIDAD FINAL), hacer clic en el CHAT USO DE LAS TIC´S EN LA MATEMÁTICA. 3. Cada grupo deberá nombrar a representante del grupo (expositor) que será el encargado de debatir las ideas del grupo en el Foro (Ventajas y Desventajas del uso de las TIC´s) 4. Los integrantes del grupo deberán exponer sus ideas sobre las ventajas/desventajas del uso de las TIC´s en la Matemática. 5. El representante del grupo redactará un informe en la Base de Datos prevista para la actividad con las ideas recogidas del grupo.

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Criterios de Evaluaciรณn Normas de comportamiento en Aulas Virtuales. Colaboraciรณn. Contenido de las ideas. Claves Las ideas deben ser claras y concisas. Alternativas -

Se puede usar la red social Google +, o En su defecto conversar en grupo sobre la temรกtica; en donde el representante del grupo llenarรก el informe de la pรกgina 103.

Observaciones

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ACTIVIDADES DEL AULA VIRTUAL DEBATE DE LAS VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LAS TIC´S EN LA MATEMÁTICA

Objetivo -

Adquirir información relevante del uso de las TIC´s en la enseñanza de la Matemática, por medio de un debate; entre personas que están a favor y en desacuerdo de su utilización.

Tiempo de realización 30 minutos. Prerrequisitos Recursos Esenciales -

Computador y acceso a Internet Foro con el tema de Discusión Ventajas y Desventajas del uso de las TIC´s en la Matemática.

Recursos Complementarios -

Cuenta de correo electrónico en gmail.

Actividades Este Foro se complementa con la actividad del chat Uso de las TIC´s en la Matemática. 1. Ingresar al CURSO VIRTUAL DE FUNCIONES LINEALES. 2. Ahora en PANEL CENTRAL (ACTIVIDAD FINAL), hacer clic en el FORO Ventajas y Desventajas del uso de las TIC´s en la Matemática. 3. El representante de cada grupo será el encargado de complementar o refutar las ideas propuestas. 4. El resto de estudiantes no participarán en el debate, se encontrarán en un estado pasivo. 5. Si es necesario el profesor abrirá el foro a todos los estudiantes del grupo. Criterio de Evaluación -

Normas de comportamiento en Aulas Virtuales Respeto a las opiniones vertidas.

Claves Las ideas deben ser claras y concisas; y seguir el hilo de conversación. Alternativas: Se puede usar la red social Google +, o en su defecto realizar un debate en el aula de clase.

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BIBLIOGRAFÍA -

URQUIZO, A. & URQUIZO, A. Matemática Fundamental, Riobamba. Edipcentro. Fundamentos de Matemática. (2006). Guayaquil, Ecuador. Escuela Superior Politécnica del Litoral. GALINDO, E. & GORTAIRE, D. (2003). Matemáticas Superiores, Quito. Prociencia Editores. HOHENWARTER, M & HOHENWARTER, J. (2009). Documento de Ayuda de Geogebra. Extraído el 8 de agosto, 2013 del sitio web Wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra MARIO, Funciones de Variable Real. Extraído el 9 de septiembre, 2013 del sitio web. http://hablandomatematicamente.blogspot.com/2011/10/funciones-de-variable-real.html Chávez F. Introducción al Análisis Matemático. Manuscrito no publicado, ESPOCH, Riobamba, Ecuador.

57

58

EJERCICIOS PROPUESTOS



Si đ??´ = {1,2,3}, đ??ľ = {1,2}

Representar đ??´ x đ??ľ en un sistema cartesiano bidimensional.



Sea đ?‘Ľ, đ?‘Ś ∈ â„? escriba 5 pares ordenados de la relaciĂłn đ?‘Ś 2 = đ?‘Ľ y represĂŠntelos en un Diagrama de Venn.



Escriba 5 relaciones por extensiĂłn y 5 por comprensiĂłn

59



ÂżIdentifique cuĂĄl de las siguientes grĂĄficas es una funciĂłn?.



Calcular el dominio de las siguientes funciones: đ?‘“(đ?‘Ľ) = 3đ?‘Ľ 2 − 1 − đ?‘Ľ



đ?‘”(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľâˆ’3 đ?‘Ľ+1

đ?‘”(đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľ+3 đ?‘Ľâˆ’1

Calcular la imagen de las siguientes funciones: đ?‘“(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ 2

60



Graficar la siguiente funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + 2 para los siguientes valores.

x y -3 -2 -1 0 1 2 3



Obtener dos funciones inyectivas de la siguiente funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 3

61

2−đ?‘Ľ



Escriba el conjunto Imagen para que la funciĂłn sea sobreyectiva, si đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1−đ?‘Ľ.



Para que dominio e imagen la funciĂłn serĂĄ biyectiva, si:

đ?‘“(đ?‘Ľ) = 1/đ?‘Ľ



Determine los intervalos donde las funciones son crecientes o decrecientes

62



Determine si las siguientes funciones son pares o impares. 1 đ?‘“(đ?‘Ľ) = | 2 | đ?‘Ľ −1



Dada la siguiente funciĂłn đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3, determinar:

-

Dom: Im: Pendiente: Puntos de Corte con los ejes

đ?‘”(đ?‘Ľ) = √đ?‘Ľ 3 + đ?‘Ľ

63



Dada la siguiente funciĂłn đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 3, determinar:

-

Dom: Im: Pendiente: Puntos de Corte con los ejes



Grafique la recta de la funciĂłn đ?‘Ś = −5 + 3đ?‘Ľ, solo determinando los puntos de intersecciĂłn con los ejes.

64



Determine el valor de la pendiente de la siguiente recta que pasa por los puntos: đ??´ = (4, 6) y B= (−2, 1)



“Pepito consigue un trabajo como repartidor de periĂłdicos por el que recibirĂĄ venda o no, 20 dĂłlares al dĂ­a. Si logra vender tan sĂłlo 10 periĂłdicos en su primer dĂ­a ÂżCuĂĄnto ganĂł en total si por periĂłdico vendido recibiĂł 0.20 ctvsâ€?

a. Determine si el enunciado se puede representar mediante una funciĂłn. b. En caso de ser posible representar el enunciado por medio de: una expresiĂłn algebraica, una tabla de valores, un grĂĄfico cartesiano. c. Determine su Dom e Im d. Calcule su pendiente y analice su monotonĂ­a

65



Dados los puntos C y D pertenecientes a la recta đ?‘™1. Expresar la ecuaciĂłn de la recta en sus diferentes formas.

đ??ś = (−1,0) đ??ˇ = (−2, 1)



Determine si las rectas l1 y l2 que pasan respectivamente por dos de sus puntos son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas.

a. đ?‘™1 : (1, 4); (3, 2) y đ?‘™2 : (0, 0); (−2, 2) b. đ?‘™1 : (−1,2); (0, 2) y đ?‘™2 : (0, 1); (−2, 1)

66



Grafique las rectas đ?‘™1 : 3đ?‘Ľ + đ?‘Ś = −2 y đ?‘™2 : −đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3, y determine su punto de intersecciĂłn.



Determinar la soluciĂłn de cada uno de los sistemas.

đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;‘đ?’š = đ?&#x;— { −đ?’™ + đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;?

{

−đ?’™ + đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;‘ đ?’™ − đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;”

67

đ?’™ − đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;“ { −đ?&#x;”đ?’™ + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?’š = −đ?&#x;‘đ?&#x;Ž



Identifique en cada uno de los ejercicios el tipo de sistema.

đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;“. đ?&#x;“đ?’š = −đ?&#x;’ { đ?&#x;?. đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;Ž. đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;?

{

đ?’š − đ?&#x;“đ?’™ = đ?&#x;? đ?&#x;“đ?’š = đ?&#x;“đ?’™ + đ?&#x;?

68

{



đ?’™ − đ?’š = −đ?&#x;’ đ?’š=đ?’™+đ?&#x;?

Obtener el conjunto soluciĂłn de la siguiente inecuaciĂłn 0.5đ?‘Ľ − 0.1(10 − đ?‘Ľ) > 11



La CoorporaciĂłn Nacional de Telecomunicaciones cobra por conceptos de servicio telefĂłnico $ 8 dĂłlares mensuales de tarifa fija mĂĄs 10 ctvs por minuto consumido. Si una familia ha planificado pagar hasta un mĂĄximo de 30 dĂłlares por mes. ÂżCuĂĄntos minutos como mĂĄximo deberĂĄ la familia consumir para no exceder su presupuesto?

EcuaciĂłn No. 1

EcuaciĂłn No. 2

Respuesta PROCESO

Respuesta

69



Dentro de 3 aĂąos Xavier tendrĂĄ no menos de 35 aĂąos. CuĂĄl es su edad actual.

EcuaciĂłn

Respuesta PROCESO

Respuesta

TALLER GEOGEBRA



Determine si las siguientes expresiones son funciones

-

đ?‘Ś = đ?‘Ąđ?‘”(đ?‘Ľ + 1) 1 đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’2 đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ś 2 − 2đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś − 11 = 0 đ?‘Ś 2 + đ?‘Ľ − 4đ?‘Ś + 2 = 0



Grafique una funciĂłn de primer grado, una funciĂłn lineal y una funciĂłn constante.



Represente la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) = −4đ?‘Ľ + 0.5 en una tabla de valores, un grĂĄfico cartesiano. Y represente al menos 5 puntos de esta en el grĂĄfico.



Obtenga la pendiente de la recta que pasa por los siguientes puntos đ??´ = (−3, 5) y đ??ľ = (2,8)



Determinar para cada uno de los casos si el sistema es compatible, compatible indeterminado o incompatible.

1. {

2đ?‘Ľ − 5.48đ?‘Ś = −4.02 2đ?‘Ś = 0.72đ?‘Ľ + 1.46

Graficando se demuestra que el sistema es _____________________________ 2. {

2đ?‘Ľ − 5.48đ?‘Ś = −19.61 đ?‘Ś = 0.26đ?‘Ľ + 0.73 70

Graficando se demuestra que el sistema es _______________________________ 4.02đ?‘Ľ + 4.76đ?‘Ś = 16.29 3. { 0.18đ?‘Ľ − 6.14 = −14.93 Graficando se demuestra que el sistema es _______________________________ 

đ?‘Ľ 2

−

đ?‘Ľâˆ’1 3

≤

đ?‘Ľâˆ’2 4

−4

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72

ANEXOS

SIMBOLOGĂ?A

∴ ∀ ∃ = ≠> < ≼ ≤ ∈ ⊆ đ?‘ľ(đ?‘¨) ℤ− ℤ+ ℤ+ ℤ∗ â„?

Por lo tanto Cuantificador Universal (por todo) Cuantificador Existencial (existe al menos uno) Igual Diferente Mayor que Menor que Mayor e igual Menor e Igual Es elemento de, o pertenece a Subconjunto Cardinalidad del conjunto A Enteros Negativos Enteros Positivos Enteros No Negativos Enteros No Nulos Conjunto de los NĂşmeros Reales

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RELACIONES DE ORDEN DE LOS R

Si a los dos miembros de una ecuaciĂłn se les suma o se les resta un mismo nĂşmero, la ecuaciĂłn resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuaciĂłn se les multiplica o divide por un mismo nĂşmero positivo, la ecuaciĂłn resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una ecuaciĂłn se les multiplica o divide por un mismo nĂşmero negativo, la ecuaciĂłn resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuaciĂłn se les suma o se les resta un mismo nĂşmero, la inecuaciĂłn resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuaciĂłn se les multiplica o divide por un mismo nĂşmero positivo, la inecuaciĂłn resultante es equivalente a la dada. Si a los dos miembros de una inecuaciĂłn se les multiplica o divide por un mismo nĂşmero negativo, la inecuaciĂłn resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;? = đ?&#x;• đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;? + đ?&#x;? = đ?&#x;• + đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’™ = đ?&#x;– đ?&#x;’đ?’™ = đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?’™ đ?&#x;‘ = đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?’™= đ?&#x;’ −đ?’™ = đ?&#x;‘ (−đ?&#x;?). (−đ?’™) = (−đ?&#x;?). (đ?&#x;‘) đ?’™ = −đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;? > đ?&#x;• đ?&#x;?đ?’™ − đ?&#x;? + đ?&#x;? > đ?&#x;• + đ?&#x;? đ?&#x;?đ?’™ > đ?&#x;– đ?&#x;’đ?’™ ≤ đ?&#x;‘ đ?&#x;’đ?’™ đ?&#x;‘ ≤ đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?’™â‰¤ đ?&#x;’ −đ?’™ < đ?&#x;‘ (−đ?&#x;?). (−đ?’™) < (−đ?&#x;?). (đ?&#x;‘) đ?’™ > −đ?&#x;‘

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INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN PLANTILLA PARA EL TRABAJO – TIPOS DE FUNCIONES INSTITUCIÓN: NOMBRE: CURSO: FECHA: TIPOS DE FUNCIONES Objetivo: - Identificar las características principales de los diferentes tipos de funciones. CONTENIDO

Función

Definición y Características Principales

Grafico

Ejemplos

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PLANTILLAS DE CRUCIGRAMA PARA TIPO DE FUNCIONES Plantilla 1. INSTITUCIĂ“N: NOMBRE: CURSO: FECHA: TIPOS DE FUNCIONES Objetivo: - Verificar contenidos tratados sobre los diferentes tipos de funciones.

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

HORIZONTALES

VERTICALES

1. Sistema bidimensional, formado por dos rectas numĂŠricas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen 18. Domf 20. Cuando la grĂĄfica de una funciĂłn es simĂŠtrica al eje Y, se dice que la funciĂłn es 22.

1. (a, b) 3. Imf 5. â„? ⊆ đ??´đ?‘Ľđ??ľ. 6. Cuando los puntos de la grĂĄfica son simĂŠtricos al eje de coordenadas, la funciĂłn es 7. El conjunto formado por todos los pares ordenados 9. f(x) = 3, es una funciĂłn

, es una funciĂłn a

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Plantilla 2. INSTITUCIĂ“N: NOMBRE: CURSO: FECHA: TIPOS DE FUNCIONES Objetivo: - Verificar contenidos tratados sobre los diferentes tipos de funciones. 1

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 HORIZONTALES

VERTICALES

15. Domf 17. Cuando la grĂĄfica de una funciĂłn es simĂŠtrica al eje y, se dice que la funciĂłn es 18. “La cantidad de basura estĂĄ en funciĂłn del nĂşmero de personasâ€?. Es un ejemplo de funciĂłn 19. â„? ⊆ đ??´đ?‘Ľđ??ľ.

2. “A cada persona le corresponde un nĂşmero de identificaciĂłnâ€?, es un ejemplo de funciĂłn 4. (a, b) 8. La relaciĂłn donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y sĂłlo un elemento del conjunto de llegada, se le denomina 9. Cuando los puntos de la grĂĄfica son simĂŠtricos al eje de coordenadas, la funciĂłn es 10. Sistema bidimensional, formado por dos rectas numĂŠricas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen 15. , es una funciĂłn a

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Plantilla 3. INSTITUCIĂ“N: NOMBRE: CURSO: FECHA: TIPOS DE FUNCIONES Objetivo: - Verificar contenidos tratados sobre los diferentes tipos de funciones.

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HORIZONTALES

VERTICALES

1. El conjunto formado por todos los pares ordenados 10. Sistema bidimensional, formado por dos rectas numĂŠricas perpendiculares que se cortan en un punto denominado origen.

1. Cuando la grĂĄfica de una funciĂłn es simĂŠtrica al eje y, se dice que la funciĂłn es 2. f(x) = x3 – 3x2 + x – 2representa a una funciĂłn 4. (a, b) 6. â„? ⊆ đ??´đ?‘Ľđ??ľ. 8. Cuando los puntos de la grĂĄfica son simĂŠtricos al eje de coordenadas, la funciĂłn es 10. “A mayor cantidad de personas, disminuyen en el planeta sus recursos naturalesâ€?. El enunciado ejemplifica a una funciĂłn estrictamente 12. Domf 14. Imf

81

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PLANTILLA PARA ELABORAR UN GLOSARIO DEL BLOQUE FUNCIONES LINEALES INSTITUCIÓN: NOMBRE: CURSO: FECHA: GLOSARIO – BLOQUE FUNCIONES LINEALES

Objetivo: -

Definir términos desconocidos del Bloque Funciones Lineales.

Letra Palabra

Definición

Palabra Clave

83

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PLANTILLA PARA EL TRABAJO REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DE PRIMER GRADO INSTITUCIÓN: NOMBRE: CURSO: FECHA: REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRIMER GRADO Objetivos: - Representar una función de primer grado mediante: una ley de asignación, un gráfico, una tabla de valores. - Identificar su dom e im. - Determinar su pendiente - Analizar su monotonía. ACTIVIDADES Ejercicio No. 1 La expresión “El arriendo de un departamento es de 250 dólares mensuales", es posible representarla mediante una función. a. Identificar la variable dependiente e independiente. b. Representar el enunciado por medio de: una expresión algebraica y una tabla de valores c. Calcular el valor del arriendo que una persona debe pagar al cabo de un año.

Ejercicio No. 2 Dada la función y = 3x -1. Determinar: a. Dom e Im b. Puntos de Corte c. Pendiente d. Monotonía e. Gráfico

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86

PLANTILLAS PARA RESOLVER PROBLEMAS CON MODELOS LINEALES Plantilla No. 1 INSTITUCIÓN: INTEGRANTES: CURSO: FECHA: ECUACIÓN DE LA RECTA Objetivo: - Elaborar un sketch a partir de un problema resuelto con la ayuda de modelos lineales. Indicaciones generales: ▪

Los integrantes del grupo deben designar una persona que haga como secretario/a; el mismo que será el encargado de redactar las ideas del grupo en la hoja de texto.

Criterios de Evaluación ▪ ▪

Se calificará la participación de cada uno de los integrantes. Contenido científico del libreto y del video. ACTIVIDADES

Actividad No. 1_Modelizar el Problema Representar el problema por medio de una fórmula y dar una solución al problema. Problema: Un hombre muy gordo acaba de sufrir un paro cardiaco. El doctor le recomienda hacer ejercicio para bajar de peso. Si el hombre cada día que pasa pierde 2000 cal. ¿Cuántas calorías habrá perdido en 1 mes? Fórmula:

Variable Independiente: Variable Dependiente:

Solución: Actividad No. 2_Elaborar el libreto del Skecth.

TÍTULO: ______________________________________________________________________________ PERSONAJES: Personaje

Estudiante

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LIBRETO:

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Plantilla No. 2 INSTITUCIÓN: INTEGRANTES: CURSO: FECHA: ECUACIÓN DE LA RECTA Objetivo: - Elaborar un sketch a partir de un problema resuelto con la ayuda de modelos lineales. Indicaciones generales: ▪

Los integrantes del grupo deben designar una persona que haga como secretario/a; el mismo que será el encargado de redactar las ideas del grupo en la hoja de texto.

Criterios de Evaluación ▪ ▪

Se calificará la participación de cada uno de los integrantes. Contenido científico del libreto y del video. ACTIVIDADES

Actividad No. 1_Modelizar el Problema Representar el problema por medio de una fórmula y dar una solución al problema. Problema: Un ingeniero civil necesita construir un mirador sobre la laguna del Parque Infantil. Para poder levantar las columnas que sostendrán el mirador, el ingeniero utiliza una ecosonda para determinar el fondo de la laguna. Si el tiempo que demoran las ondas de sonido en rebotar del fondo de la laguna es 0.05 s. ¿Calcular el fondo de la laguna? Fórmula:

Variable Independiente: Variable Dependiente:

Solución: Actividad No. 2_Elaborar el libreto del Skecth.

TÍTULO: ______________________________________________________________________________ PERSONAJES: Personaje

Estudiante

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LIBRETO:

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Plantilla No. 3 INSTITUCIÓN: INTEGRANTES: CURSO: FECHA: ECUACIÓN DE LA RECTA Objetivo: - Elaborar un sketch a partir de un problema resuelto con la ayuda de modelos lineales. Indicaciones generales: ▪

Los integrantes del grupo deben designar una persona que haga como secretario/a; el mismo que será el encargado de redactar las ideas del grupo en la hoja de texto.

Criterios de Evaluación ▪ ▪

Se calificará la participación de cada uno de los integrantes. Contenido científico del libreto y del video. ACTIVIDADES

Actividad No. 1_Modelizar el Problema Representar el problema por medio de una fórmula y dar una solución al problema. Problema: Un taxi cobra 60 ctvs de tarifa fija más 1.25 dólares por cada kilómetro recorrido. Un turista coge un taxi desde el terminal terrestre y le pide al taxista que le informe de los hoteles cercanos al Centro Histórico. El taxista le dice que el Hotel Cisne se encuentra a 11 km del Centro Histórico, el Hotel Nevados a 10 km, el Hotel Los Alamos a 15 km y el Hotel Los Shyris a 8 km. Si el turista pagó 19.35 dólares. ¿A qué Hotel llegó el turista? Fórmula:

Variable Independiente: Variable Dependiente:

Solución: Actividad No. 2_Elaborar el libreto del Skecth.

TÍTULO: ______________________________________________________________________________ PERSONAJES: Personaje

Estudiante

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LIBRETO:

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Plantilla No. 4 INSTITUCIÓN: INTEGRANTES: CURSO: FECHA: ECUACIÓN DE LA RECTA Objetivo: - Elaborar un sketch a partir de un problema resuelto con la ayuda de modelos lineales. Indicaciones generales: ▪

Los integrantes del grupo deben designar una persona que haga como secretario/a; el mismo que será el encargado de redactar las ideas del grupo en la hoja de texto.

Criterios de Evaluación ▪ ▪

Se calificará la participación de cada uno de los integrantes. Contenido científico del libreto y del video. ACTIVIDADES

Actividad No. 1_Modelizar el Problema Representar el problema por medio de una fórmula y dar una solución al problema. Problema: Juanita va al Colegio en bicicleta a una velocidad de 30 m/min, el mismo que se encuentra en línea recta de su casa. Después de 10 minutos su papá se da cuenta que olvidó su tarea de matemática; por lo que coge su bicicleta, y viajando a una velocidad de 50 m/min intenta entregarle su tarea olvidada. Logrará alcanzar a Juanita antes de que ésta llegue al Colegio, si el Colegio se encuentra a 1 km de su casa. Fórmula:

Variable Independiente: Variable Dependiente:

Solución: Actividad No. 2_Elaborar el libreto del Skecth.

TÍTULO: ______________________________________________________________________________ PERSONAJES: Personaje

Estudiante

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LIBRETO:

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PLANTILLA PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES INSTITUCIĂ“N: NOMBRE: CURSO: FECHA: SISTEMA DE ECUACIONES Objetivos: -

Resolver sistemas de ecuaciones utilizando las herramientas del software Geogebra. Resolver problemas usando modelos lineales. ACTIVIDADES

Actividad No. 1 Dado el siguiente sistema de ecuaciones. Por medio de un grĂĄfico cartesiano determine el tipo de sistema. −3đ?‘Ľ + 0.5đ?‘Ś = −1 { 12đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 10

Actividad No. 2

a.

Encuentre el conjunto soluciĂłn del siguiente sistema de ecuaciones, utilizando cualquiera de los mĂŠtodos de resoluciĂłn; a excepciĂłn del mĂŠtodo grĂĄfico. đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −1 { đ?‘Ľ+đ?‘Ś=2

b.

Indique cuĂĄl de los mĂŠtodos de resoluciĂłn de sistema de ecuaciones utilizĂł.

95

Actividad No. 3 Un almacén de computadoras paga $ 9500 en la adquisición de computadores Sony y HP. Si las Sony cuestan $ 500 y las HP $ 450. ¿Cuántas computadoras de cada marca adquirió si en total recibió 20 computadoras?

Variable

Nombre

Ecuación No. 1

Ecuación No. 2

Respuesta PROCESO

Respuesta

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PLANTILLA DEL JUEGO ESCALERAS Y SERPIENTES – SISTEMAS DE ECUACIONES

CUESTIONARIO 1. 2. 3. 4. 5.

Un Sistema de Ecuaciones se dice que es compatible determinado cuando tiene soluciĂłn Diego recibe 170 dĂłlares en 12 billetes de 20 y 10 dĂłlares. CuĂĄntos billetes de 20 dĂłlares recibiĂł? Cuando un sistema de ecuaciones tiene soluciĂłn Ăşnica se dice que es compatible Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las ______________ El siguiente procedimiento corresponde al MĂŠtodo de

Paso 1: Despejamos la misma incĂłgnita en las dos ecuaciones. Paso 2: Igualamos las dos expresiones y resolvemos. Paso 3: Remplace el valor obtenido en una de las ecuaciones del Paso 1. Paso 4: Identificar el tipo de soluciĂłn que tiene el sistema.

6. 7.

Diego recibe 170 dĂłlares en 12 billetes de 20 y 10 dĂłlares. Escriba una de las ecuaciones del problema? El siguiente procedimiento corresponde al MĂŠtodo de

Paso 1: Ordenamos las ecuaciones, con el objetivo de que las variables se ubiquen una debajo de la otra. Paso 2: Multiplicando las dos ecuaciones por factores convenientemente elegidos de manera que la incĂłgnita a eliminar quede multiplicada por un mismo coeficiente pero con signos contrarios. Paso 3: Sumamos tĂŠrminos semejantes y resolvemos la expresiĂłn final. Paso 4: Remplace el valor obtenido en una de las ecuaciones del Paso 1. Paso 5: Identificar el tipo de soluciĂłn que tiene el sistema

8. 9.

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene soluciĂłn se dice que es En un sistema de ecuaciones lineales, sus ecuaciones geomĂŠtricamente se representan mediante 10. El siguiente procedimiento corresponde al MĂŠtodo Paso 1: Graficamos las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones. Paso 2: Identificamos el tipo de soluciĂłn que tiene el sistema

11. Diego recibe 170 dĂłlares en 12 billetes de 20 y 10 dĂłlares. CuĂĄntos billetes de 10 dĂłlares recibiĂł? −đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −1 12. El conjunto soluciĂłn del siguiente sistema es { đ?‘Ľ − đ?‘Ś = −1 13. Un Sistema de Ecuaciones Lineales es un conjunto de 14. Un Sistema de Ecuaciones se dice que es compatible indeterminado cuando tiene _________ soluciones 15. Cuando un sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones se dice que es compatible 16. El punto donde dos rectas se intersecan se llama

17. Las rectas del siguiente sistema de −6đ?‘Ľ + đ?‘Ś = −2 ecuaciones { son: 6đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 5 18. El siguiente procedimiento corresponde al MĂŠtodo de Paso 1: Despejar una de las incĂłgnitas de la primera ecuaciĂłn. Paso 2: Sustituimos en la segunda ecuaciĂłn la expresiĂłn obtenida. Paso 3: Despejamos la segunda incĂłgnita. Paso 4: Sustituimos la segunda incĂłgnita en la ecuaciĂłn del paso 1 Paso 5: Identificar el tipo de soluciĂłn que tiene el Sistema

19. Dos rectas en un punto de intersecciĂłn comparten __________ 20. Un sistema de ecuaciones puede resolverse si la cantidad de incĂłgnitas es 21. Si al resolver un sistema obtengo por ejemplo la expresiĂłn 0 = 0, significa que el sistema es __________________ 22. Si al resolver un sistema obtengo por ejemplo la expresiĂłn 0 = 2, significa que el sistema es __________________ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 23. El conjunto soluciĂłn del sistema { es: đ?‘Ś = −đ?‘Ľ + 1 24. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, geomĂŠtricamente las rectas se 25. Si Juanita va al Colegio en bicicleta a una velocidad de 30 m/min, el mismo que se encuentra en lĂ­nea recta de su casa. DespuĂŠs de 10 minutos su papĂĄ se da cuenta que olvidĂł su tarea de matemĂĄtica; por lo que coge su bicicleta, y viajando a una velocidad de 50 m/min intenta entregarle su tarea olvidada. A quĂŠ distancia del Colegio el padre logra alcanzar a Juanita? 26. Si Juanita va al Colegio en bicicleta a una velocidad de 30 m/min, el mismo que se encuentra en lĂ­nea recta de su casa. DespuĂŠs de 10 minutos su papĂĄ se da cuenta que olvidĂł su tarea de matemĂĄtica; por lo que coge su bicicleta, y viajando a una velocidad de 50 m/min intenta entregarle su tarea olvidada. QuĂŠ distancia recorriĂł el padre cuando logra alcanzar a Juanita? 27. Graficando se demuestra que el sistema es 4.02đ?‘Ľ + 4.76đ?‘Ś = 16.29 { 0.18đ?‘Ľ − 6.14 = −14.93 28. Graficando se demuestra que el sistema es {

2đ?‘Ľ − 5.48đ?‘Ś = −4.02 2đ?‘Ś = 0.72đ?‘Ľ + 1.46

97

Instrucciones del juego a. b. c. d. e. f.

Formar grupos de 4 personas. Establecer el orden de participación Cada participante tendrá máximo un minuto para responder la pregunta, caso contrario perderá su turno. Si un jugador cae en la punta de la cabeza de la serpiente, su ficha se desliza hacia la cola de la serpiente. Si un jugador cae en una casilla que está en la base de una escalera, su ficha avanza a la casilla en la parte superior de la escalera y continúa desde allí y viceversa. La puntuación según el orden de finalización será: ORDEN

CALIFICACIÓN

1°

10

2°

8.5

3°

7

4°

5.5

ESTUDIANTE

Notas: - Es necesario conseguir un dado para la actividad. - Cada participante será juez y parte en el desarrollo de la actividad. Es decir, el estudiante responde su pregunta y el resto verifica para dar paso al siguiente estudiante.

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PLANTILLA PARA LA ACTIVIDAD DE IGUALDADES Y DESIGUALDADES INSTITUCIÓN: NOMBRE: CURSO: FECHA: INFLUENCIA DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN LAS RELACIONES DE ORDEN DE LOS R Objetivo: Establecer diferencias entre igualdades y desigualdades condicionadas

IGUALDADES

DESIGUALDADES

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PLANTILLA DE PRUEBA OBJETIVA PARA VERIFICAR LOS CONTENIDOS DEL BLOQUE FUNCIONES LINEALES INSTITUCIĂ“N APELLIDOS Y NOMBRES DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL PROFESOR EVALUADOR

Ă REA

QUIMESTRE

AĂ‘O

MatemĂĄtica - FĂ­sica

Primero

Primero

ASIGNATURA

BLOQUE

PARALELO

MatemĂĄtica

Funciones Lineales

FECHA

CALIFICACIĂ“N

OBJETIVOS â–Ş

Verificar los contenidos asimilados en el Bloque Funciones Lineales

INSTRUCCIONES â–Ş â–Ş

La evaluaciĂłn es un acto acadĂŠmico que permite comprobar las competencias planteadas en el programa. Durante la evaluaciĂłn es absolutamente prohibida la comunicaciĂłn entre los alumnos. La consulta en libros, cuadernos o cualquier otro documento, ocasionarĂĄ el retiro del cuestionario de manera inmediata. Lea detenidamente la pregunta antes de contestar porque el uso de borradores, correctores o tachones anula la respuesta. Use exclusivamente el espacio reservado para cada respuesta.

â–Ş â–Ş

CUESTIONARIO ASPECTO COGNITIVO 1.

VERDADERO O FALSO (1 pto.) a b c d

2.

Si đ?‘Ś = đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?, donde đ?‘Ž > 0, se dice que la funciĂłn es decreciente El dominio y recorrido de una funciĂłn lineal son todos los nĂşmeros reales En una funciĂłn afĂ­n los puntos de corte son aquellos donde la recta se corta con los ejes. La grĂĄfica de una funciĂłn lineal es una lĂ­nea curva

COMPLETAR (1 pto.) a b c d

3.

La ‌‌‌‌‌‌‌ es la inclinación de un elemento con respecto a la horizontal. Dos rectas son ‌‌‌‌‌‌. cuando sus pendientes son iguales. Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto formado por ‌‌‌‌‌. lineales. Un sistema de ecuaciones se dice que es incompatible cuando ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌

HACER PAREJAS (1 pto.)

Escriba el numeral que corresponda en la columna de la derecha a

2đ?‘Ľ − đ?‘Ś + 2đ?‘? = 0

Punto-Pendiente

b

đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľ đ?‘Ś + =1 4 9 đ?‘Ś − 2 = 3(đ?‘Ľ − 4)

EcuaciĂłn General

c d 4.

Pendiente-Intercepto Forma Segmentaria

INTERPRETACIĂ“N (1 pto.) a.

Identifique el conjunto soluciĂłn de los siguientes sistemas.

101

5.

a.

APLICACIĂ“N DE DEFINICIONES (1 ptos.)

Escriba la ecuaciĂłn de la recta si b = 2 y m = -1

b.

Escriba la soluciĂłn de la siguiente inecuaciĂłn de dos maneras distintas

ASPECTO PROCEDIMENTAL 6.

CORRECCIĂ“N DE PROCESOS (1 pto.)

7.

APLICACIĂ“N Y REPRESENTACIĂ“N GRĂ FICA (2 ptos.)

a.

Resolver el siguiente sistema:

a.

Evaluar la funciĂłn đ?’š = −đ?&#x;?đ?’™ + đ?&#x;‘

   

Dom e Im Pendiente y MonotonĂ­a Puntos de Corte GrĂĄfica

{

đ?‘Ľ − 5đ?‘Ś = −4 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1

Paso 1: Despejar y de la primera ecuaciĂłn. đ?‘Ś=

đ?‘Ľâˆ’4 5

Paso 2: Sustituimos y en la segunda ecuaciĂłn 2đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľâˆ’4 2( )=đ?‘Ľ+1 5 Paso 3: Despejamos x đ?‘Ľ = −1 Paso 4: Sustituimos x en la ecuaciĂłn del paso 1 đ?‘Ś = −1 La soluciĂłn del sistema es el punto con coordenadas (−1, − 1). Por lo tanto es un sistema compatible indeterminado.

MODELIZACIĂ“N DE PROBLEMAS 8.

RESOLVER EL PROBLEMA CON LA AYUDA DE MODELOS LINEALES (2 ptos.)

Un taxi cobra 30 ctvs de tarifa fija mĂĄs 0.25 centavos por cada kilĂłmetro recorrido. Un turista coge un taxi desde el terminal terrestre y le pide al taxista que le informe de los hoteles cercanos al Centro HistĂłrico. El taxista le dice que el Hotel Cisne se encuentra a 11 km del Centro HistĂłrico, el Hotel Nevados a 10 km, el Hotel Los Alamos a 15 km y el Hotel Los Shyris a 8 km. Si el turista pagĂł 4.05 dĂłlares. ÂżA quĂŠ Hotel llegĂł el turista?

FĂłrmula V. Independiente V. Dependiente SoluciĂłn

102

PLANTILLA PARA EL INFORME DEL USO DE LAS TIC´S EN LA MATEMÁTICA INSTITUCIÓN: NOMBRE: CURSO: FECHA: USO DE LAS TIC´S EN LA MATEMÁTICA Objetivo: Compartir ideas, opiniones, experiencias, etc., sobre las ventajas /desventajas de introducir en el proceso de enseñanza de la Matemática las TIC´s

Instrucciones: Subraya el tema que te corresponde VENTAJAS /DESVENTAJAS

103

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