Mundo Geométrico by jorge vidovic

LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA

MUNDO GEOMÉTRICO

MUNDO GEOMETRICO MUNDO GEOMETRICO LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA

Dra. Gloria Bustamante Dra. Gloria Bustamante República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental

UNERMB UNERMB

UNERMB

Rafael María Baralt FONDO EDITORIAL

Rafael María Baralt

Segunda Segunda ediciónedición

MUNDO GEOMÉTRICO LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA

A mis alumnos que siempre me brindaron su apoyo

Dra. Mayela Vilchez Rectora Dr. Miguel Sanchez Vicerrector Académico Ing. Yogri Castillo Vicerrector Administrativo Dra. Oda Gonzalez Secretaria M.Sc Victoria Martínez Directora Programa Educación

FONDO EDITORIAL UNERMB. Colección: Una Asignatura un Libro. El Fondo Editorial de la Universidad Nacional Experimental Rafael María Baralt (UNERMB) es un órgano universitario de difusión de información que brinda apoyo a las sociedades académicas y a la comunidad en general en materia de difusión y extensión. Su objetivo primordial consiste en estimular y promover las publicaciones de los investigadores de nuestra universidad; así como también, de las comunidades en general para que sus progresos en materia de investigación puedan ser difundidos y compartidos con el resto de la sociedad. En el caso particular de la colección “Una Asignatura un Libro” la misma tiene como propósito poner a disposición de los alumnos material bibliográfico de las asignaturas a precios accesibles; en este sentido, se publican compilaciones y producciones propias de los docentes referidas a las asignaturas relativas al pensum de estudio de nuestra universidad. En nombre del Fondo Editorial de la UNERMB, agradecemos de manera especial el esfuerzo de la profesora Gloria Bustamante por su esfuerzo e interés en preparar esta guía de ejercicios en el área de geometría; tan útil, para nuestros estudiantes universitarios y para todo aquel interesado en esa área de estudio. Jorge Vidovic López Coordinador del Fondo Editorial - UNERMB

Dedicatoria Prólogo Introducción

HISTORIA DE LA GEOMETRÍA Generalidades de la geometría Definición de términos primitivos Tipos de rectas Operaciones con segmentos Axiomas de incidencias Axioma de orden Ejercicios resueltos de términos primitivos Ejercicios propuestos de términos primitivos

ÁNGULOS Definición de ángulo • Clasificación de ángulos de acuerdo a sus medidas • Clasificación de acuerdo a su posición Ángulos entre dos rectas paralelas Teorema de tales Principios de las rectas paralelas Medidas de ángulos en diferentes sistemas Ejercicios resuelto de ángulo en los diferentes sistemas Sistema sexagesimal a sistema circular Sistema circular a sistema sexagesimal

3 11 13

15 17 19 21 25 29 29 30 35

38 38 39 41 42 45 45 46 46 46 47

Operaciones con ángulos en el sistema sexagesimal Adición de ángulos en el sistema sexagesimal

Producto de un ángulo por un escalar División de un ángulo entre un escalar Ejercicios resueltos de reducción de ángulos Ejercicios propuestos de ángulos

POLÍGONOS / CALCULO DE AREA Elementos de un polígonos Polígonos regulares e irregulares. Clasificación de los polígonos de acuerdo a sus lados. Estudios de los polígonos. Ejercicios resuelto de polígonos. Ejercicios propuesto de polígonos

TRIANGULOS Elementos de un triángulo Principios de los triángulos Clasificación de los triángulos • Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus ángulos • Clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados Segmentos y puntos notables Congruencia de triángulos Criterios de congruencia de triángulos Criterios de congruencia de triángulos rectángulos • Teoremas fundamentales • Teorema de Pitágoras

54 55 57

64 64 65 66 67 72 75

77 77 79 80 80

82 83 86 87 89 90 90

•

Teorema de thales

• Teorema de Euclides • Teorema de Stewart • Teorema de Apolonio • Teorema del seno • Teorema del coseno • Teorema de las Tangentes Ejercicios resueltos de triángulos Ejercicios propuestos de triángulos PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Tipos de proporcionalidades Teorema de Thales Principios de las proporcionalidades Semejanza de triángulos Criterios de semejanza de triángulos Medidas proporcionales en un triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras Ejercicios resueltos de semejanza de triángulos Ejercicios propuestos de semejanza de triángulos CIRCUNFERENCIA Partes de una circunferencia Circulo Principios de la circunferencia Posición relativa de la circunferencia Ángulos en una circunferencia Ejercicios resueltos de circunferencia

91 92 93 93 94 94 95 96 98

105 106 107 108 110 110 112 113 113 115

117 118 120 121 121 123 126

Ejercicios propuestos de circunferencia

129

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS Ejercicios resueltos de figuras planas Ejercicios propuestos de figuras planas Bibliografía

132 132 134 136

Durante el devenir de su ejercicio profesional, la Dra. Gloria Leonor Bustamante, se ha preocupado por dejar un legado físico sobre su producción intelectual en el área de la matemática, específicamente en la rama denominada Geometría, que sirva de apoyo al proceso de enseñanza aprendizaje de la misma. De allí, que se traza como meta la socialización del saber a través de la publicación de su primer texto denominado “Mundo Geométrico”, en el cual se presenta una síntesis histórica de esta rama del conocimiento matemático así como los aspectos teórico prácticos referentes a la resolución de problemas de la vida cotidiana en los que se requiera la aplicación de aspectos geométricos como el cálculo de áreas, la construcción o la demostración de teoremas y/o axiomas de las figuras planas.

La claridad y el progresivo grado de profundidad, con el que la autora presenta el contenido del mismo, aunado al notable éxito de la anterior edición y a la puesta en práctica que los docentes y estudiantes del Proyecto Matemática y Física de la Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”; ha conllevado a la preparación de esta segunda impresión con la cual se pretende seguir contribuyendo a la formación del profesional que necesita la nación en los actuales momentos. Es por ello, que ante una comprobada praxis educativa y de investigación de la autora y de su eterna preocupación por optimizar la enseñanza de la geometría en los distintos niveles educativos y la formación de los docentes de relevo en el área matemática, que se recomienda este libro muestra del amor, la dedicación y el esfuerzo profesional que se traducen en un respetuoso y sincero legado a la ciencia matemática y a su continua aplicación en el hecho educativo y en la cotidianidad de la vida humana. Para finalizar, quiero expresar mi agradecimiento sincero, la admiración y el honor que ha representado para mí prologar este extraordinario texto, augurándole a la Dra. Bustamante mucho éxito en esta segunda edición de su primogénita obra. Dra. Gilsi Domínguez de Silva. Coordinadora del Proyecto Matemática y Física de la Universidad Nacional Rafael María Baralt.

La geometría es una de las ciencias fundamentales en la construcción de conocimientos matemáticos, ayuda a obtener un beneficio positivo en los estudiantes; uno de los beneficios más importante, es que el estudiante utilice criterios, al escuchar, leer y pensar. Cuando estudia geométrica deja de aceptar a ciegas proposiciones e ideas y se le enseña a pensar en forma clara y crítica, antes de hacer conclusiones. Se requiere que los estudiantes de geometría adquieran un lenguaje matemático y geométrico, para poder transmitir ese conocimiento y habilidades para analizar una situación o resolver un problema nuevo que se le pueda presentar.

El presente libro tiene como objetivo primordial, solventar los problemas que se les presenten a los estudiantes de geometría en la elaboración de ejercicios y que sirva como material de apoyo. Este libro desarrollo siguiendo los lineamientos del programa de geometría en la siguiente forma se inicia con una breve historia de la geometría para que el estudiante tenga un breve conocimiento histórico del origen de la geometría, generalidades de la geometría y los términos primitivos para introducir un poco el lenguaje geométrico como son los teoremas, axiomas, elementos generales como punto, plano recta y otros. El estudio de ángulos para conocer todo lo referente a los ángulos como su clasificación de acuerdo a sus medidas y posiciones, además se realiza el estudio de ángulos entre dos rectas paralelas y una recta secante para estudiar los diferentes tipos de ángulos que se forman entre ellas. Se realizo un estudio de los triángulos clasificándolos de acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos, buscado sus puntos notables, criterios de congruencia y semejanza; y todo lo referente a triángulos Luego se estudio la circunferencia y los polígonos para hallar su perímetro y su área. Por último estudiamos las construcciones geométricas con regla y compás. Para reforzar los conocimientos se realizaron una serie de ejercicio y se proponen otros para que el estudiante los realice, con ayuda de los conocimientos adquiridos.

TÉRMINOS GENERALES HISTORIA DE LA GEOMETRÍA El origen de la geometría se encuentra en el mismo origen de la humanidad; el hombre primitivo a consecuencia de diferentes actividades prácticas, clasificaba de una manera inconciente los objetos que le rodeaban según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo de la geometría. Las primeras civilizaciones llegaron obtener conocimientos geométricos a partir de la observación de la naturaleza y en una forma muy práctica. Los egipcios cultivaron la Geometría de modo muy especial por tener una alta formación matemática: con la finalidad práctica que se utilizaba para calcular la producción proporcional de las parcelas de tierra para determinar los impuestos o reconstruirlas, después de las inundaciones; razón por la cual se centraron en el cálculo de área y nociones básicas de semejanza de triángulos. De allí el nombre de Geometría que significa medida de la tierra que recibió esta ciencia. También se puede decir, aquel origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

Los egipcios poseían grandes conocimientos de geométricos, esto lo indica la construcción de grandes pirámides, templos y canales. El mayor aporte lo podemos ver en las fantásticas pirámides de Gizeh, en Egipto, la Esfínter y otras pirámides, construidas con tal precisión que los errores de las medidas son inferiores a la anchura de un dedo. Los griegos introdujeron los problemas de construcción en lo que en ciertas líneas o figuras deben ser construidas utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Estas transformaciones comenzaron con Tales de Mileto y Pitágoras culminando con Euclides con su famosa obra de los elementos. Tales de Mileto en el siglo VII a. c fue el primer geómetra helénico y el más antiguo e ilustre de los siete sabios de la antigua Grecia. Thales fue el fundador de la escuela Jonica. Fue un astrónomo y filosofo. Sus estudios de Geometría le llevaron a resolver cuestiones como la igualdad de ángulos de la base de un triangulo Isósceles y el valor del ángulo inscrito y a demostrar los conocidos teoremas que llevan su nombre sobre la proporcionalidad de los segmentos determinando en dos rectas cortadas por un sistema de rectas paralelas. Pitágoras de Samos en el siglo VI a.C., fue discípulo de Thales de Mileto pero se separo de la escuela jónica y fundó la escuela Pitágoras, a Pitágoras se debe la demostración del teorema que lleva su nombre y también se le atribuye a la escuela Pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados. El matemático Pitágoras

colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado “postulado paralelo” de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA La geometría es la parte de la matemática que se encarga de estudiar y solucionar problemas concretos en el mundo para la cual es necesario utilizar instrumentos como juegos geométricos, compás, pantógrafo y un sistema de proposiciones axiomáticas que unen a los elementos punto, recta. Plano y otros formadores de las figuras geométricas. La geometría esta formada por un conjunto de términos indefinidos que constituyen la base sobre la cual se sustenta las definiciones de todas las demás concepto geométricos.

La geometría tienen como propósito el estudio de las figuras desde el punto de vista de su forma, extensión y la relación que guardan entre si para ello es necesario tener conjunto de definiciones tales como: Proposición: Es un enunciado, el cual puede ser verdadero o falsa. Axioma: Son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos, es toda proposición que se acepta sin demostración, es Verdadera por si misma. Existen varios tipos de axiomas tales como axiomas de incidencia y orden. Teorema: Es una proposición que debe ser demostrada para que pueda ser cierta. En los teoremas podemos distinguir dos parte la primera la hipótesis y la segunda la tesis; donde la hipótesis es la suposición de algo cierto y la tesis que queremos demostrar. Para realizar la demostración, consta de un conjunto de racionamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. Demostración: Para demostrar un hecho, consiste en probarlo partiendo de verdades universales y evidentes (Axiomas) y siguiendo una serie de deducciones hasta establecer la veracidad donde se utilizan Axiomas, teoremas proposiciones previamente establecida. Postulado: Es una proposición que se admite sin demostración, aunque no tienen la evidencia del axioma. Corolario: Es un teorema cuya verdad se deduce sencillamente de otro ya demostrado.

DEFINICIÓN DE LOS TÉRMINOS PRIMITIVOS Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una serie de puntos en línea recta donde por dos se puede trazar una recta. Arthur Cayley Estudio los primeros elementos de las figuras planas como son punto, línea y plano Punto: Es una idea intuitiva que no se puede definir, solo podemos dar idea, como una casa blanca, un avión en el cielo, una marca de un lápiz o una aguja en una hoja de papel y otros.

Los puntos se denotan con letras mayúsculas tales como A, B, C... A

B C

Puntos coliniales son puntos que tienen una misma dirección y están uno detrás del otro. A

Recta: Es una idea intuitiva que no se puede definir por ser un término primitivo, pero podemos decir que es un conjunto infinito de puntos coliniales que no tiene punto de origen ni punto final, nos da idea de recta las líneas del cuaderno, la intersección de dos paredes y otros. Las rectas se denotan con letras minúsculas tales como: l, m, s , p y otros A

Semi-recta: es un conjunto infinito de puntos que tiene punto de origen y no tiene punto final Dado un punto situado sobre una recta determina dos semirecta opuesta (o sea en sentido contrario) y el origen es el punto dado. No posee longitud ya que es ilimitada.

TIPOS DE RECTAS: Las rectas se dividen de acuerdo a su posición y a su dirección en: DE ACUERDO A SU POSICIÓN. Rectas paralelas: son las rectas que no se cortan nunca lo que quiere decir que no poseen punto en común, se denota con ║.

Rectas perpendiculares: son las rectas que al cortarse forman ángulos de 900. se denota con I

Rectas secante: son las rectas que solo se cortan en un solo punto. Y solo forman ángulos diferentes de 900 y se denota X

Rectas iguales o coincidentes: son las rectas que coincide en todos sus puntos. m= l s

m n

DE ACUERDO A SU DIRECCIĂ&#x201C;N Rectas horizontales: un conjunto de rectas son horizontales si son paralelas al eje de la abscisa (eje de las X).

Rectas verticales: son las rectas que son paralelas al eje de la ordenada (eje de las Y).

Recta oblicuas: son las rectas que forman un ĂĄngulo diferente de 900 con el eje de las abscisas (eje de las X).

Plano: Es un conjunto de puntos no colineales, nos da idea de plano la pizarra, una pared, una mesa y otras cosas más. Los planos se denotan con letras griegas tales como α, β, χ, δ, φ, ϕ, γ, λ, θ, ρ y otras letras griegas.

Semi-plano: Toda recta divide a un plano en dos semiplano de borde la recta que lo divide ( la recta pertenece a los dos semi-plano) a1 a2 Puntos coplanares: Son los puntos que se encuentran en un mismo plano A

B C

Rectas coplanares: que se encuentra en un mismo plano.

Segmento: Es un conjunto finito de puntos coliniales que tiene punto de 26 Gloria Bustamente origen Dra. y punto final, y se denota AB que son el punto de origen (A) y el punto final (B)Bustamente Dra. Gloria Segmento: Es un conjunto finito de puntos coliniales que tiene punto de

origen y punto y se denota quecoliniales son el punto de origen Segmento: Es final, un conjunto finito deAB puntos que tiene punto (A) de y el punto (B) final, y se denota AB origen final y punto

que son el punto de origen (A) y el

Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que B punto final (B) AA B mide. Esta representado por un único número real y positivo que le A

corresponde cada Longitudade un segmento. segmento: Es el tamaño del segmento o sea es lo que Longitud de un segmento: Es el tamaño del segmento o sea Longitud demide. un segmento: Es el del segmento oy sea es real lo que que mide. Esta representado por un tamaño únicopor número real número positivo es lo que Esta representado un único y le positivo que corresponde mide. Esta representado por una cada único segmento número real y positivo que le corresponde a le cada segmento. Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo corresponde a cada segmento.

si posee la misma longitud.

AB = CD

Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo Segmentos congruentes: Dos o más segmentos son congruentes si y solo si posee la misma congruentes: longitud. ABDos = CDo más segmentos son conSegmentos

si posee la misma longitud. ABmisma = CD gruentes si y solo si posee la

longitud B

C C

Punto medio de un segmento: Es el punto que D se encuentra entre dos C de uny lo segmento: el partes punto que se encuentra entre dos puntoPunto de unmedio segmento divide enEs dos congruentes. Punto medio de un segmento: Es el punto que se encuentra entre dos punto de unAB segmento divide en dosmedio parteses congruentes. Del segmento se tieney lo que el ponto M, donde AM = MB punto de un segmento y lo divide en dos partes congruentes. Del segmento AB se tiene que el ponto medio es M, donde AM = MB Del segmento AB se tiene que el ponto medio es M, donde AM = MB

A A

M A M M

B B

medio de un segmento. 27 ● ● A● M B● Mediatriz de un segmento: es laArecta perpendicular M B que pasa por el punto medio de un segmento.

A M B OPERACIONES CON SEGMENTOS: OPERACIONES CON SEGMENTOS: Adición de segmentos: Adición de segmentos: OPERACIONES CON SEGMENTOS: Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre e Para sumar dos o más segmentos trazamos una recta y un punto sobre Adición de segmentos: luegoPara se coloca medida delsegmentos primer segmento a launa recta y donde sumarlados o más trazamos recta y un termina luego se coloca la medida del primer segmento a la recta y donde termi punto sobre ella, luego se coloca la medida del primer segmento coloca el segundo segmento y así sucesivamente hasta terminar con a la recta donde termina se coloca segundo segmento así coloca el ysegundo segmento y así elsucesivamente hastay terminar co segmentos y el segmento resultante queda formado por la primera letra sucesivamente hasta terminar con los segmentos y el segmento segmentos y el segmento resultante queda formado por lasegprimera letr resultante queda formado por la primera letra del primer primer segmento y la última letra del último segmento. mento y la última letra del último segmento. primer segmento y la última letra del último segmento. Sumar AB + CD + EF Sumar AB + CD + EF ● ● ● ● ● ● A● B ● C● D ● E● F● D C E B F A A B C D E F A ● A ●

B ●B C ● BC C

AB + CD + EF = AF AB + CD + EF = AF

E ● E D ● DE D

F ● F ● F

Dra. Gloria Bustamente

28 Sustracción de segmentos:

Para realizar la sustracciónSustracción de segmentos debemos tener un segm de segmentos: Sustracción de segmentos: mayor que otro, si el segmento minuendo essustracción mayor quedeel segment sustraen realizar ladebemos Para realizar la sustracciónPara de segmentos tener un segmento mayor quesegmento otro, simayor elpositivo segmento es mayor resultado será siminuendo elsi minuendo es minuend menor q tos debemos tener un un segmento que yotro, el segmento que el sustraendo el resultado será un segmento positivo y si el sustraendo segmento sentidoel contrario. Entonces si AB >y C o es mayor que el sustraendo resultado será un segmento positivo s minuendo esel menor que eltendrá sustraendo segmento tendrá sentido contrario. AB - CD = AD restamos si el minuendo es menor que el sustraendo el segmento tendrá sentido co

ontrario. Entonces si AB > CD, y

restamos

C B

AB - CD = AD

A ● C

B ● CA

● D

●

pero si AB < CD la sustracción sería D

AB – CD = CA A

B ● C

B A

● D

B ● C

● D AB – CD = CA

pero si AB < CD la sustracción sería

C B

A ●

B ● C ● D

A ●

B ● C

Combinación de adición y sustracción de segmento.

29 Si se dan varios segmentos, primero se deben sumar los segmento

signos iguales,deluego a ylos resultadosdese le aplica la sustracció Combinación adición sustracción segmento. Si se dande varios segmentos, segmentos diferentes signos.primero se deben sumar los segmentos de signos iguales, luego a los resultados se le aplica la Ejemplo: sustracción de segmentos de diferentes signos. Ejemplo: Dados los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB + BC + CD) Dados los segmentos AB, BC, CD, EF, y GH. hallar (AB + + GH) BC + CD) – (EF + GH)

Multiplicación de un segmento por un escalar: MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN ESCALAR: Para multiplica ununsegmento real positivo Para multiplica segmentopor porun unescalar escalar (un (un número número real positivo), se obtiene construyendo una recta y un punto sobre obtiene construyendo una recta y un punto sobre ella y se lleva el segm ella y se lleva el segmento dado tantas veces como indique el dado tantas como indiquey el escalar por el quebuscado. se multiplica y re escalar por elveces que se multiplica resulta el segmento Tomando en la notación el punto de origen y el punto final. el segmento buscado. Tomando en la notación el punto de origen y el Ejemplo: final. Ejemplo: Dado el segmento AB multiplicarlo por 6

A A

A ●

B A

B ● A

A ● B

B ● A

A ● B

B ● A

● B

30División de un segmento entre un escalar:

Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas partes ig

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO ENTRE UNcolocamos ESCALAR: como indique el escalar. Para construirlo el segmento dado Para dividir un segmento entre un escalar se divide en tantas uno de iguales los extremos semirrecta en forma oblicua partes como trazamos indique eluna escalar. Para construirlo coloca- y coloc mos el segmento dado, por uno de los extremos trazamos una tantos segmentos iguales del tamaño que se desee, como indique el es semirrecta en forma oblicua y colocamos tantos segmentos igualestrazamos del tamaño se desee, como indiquepunto el escalar; luego un que segmento desde el último de losluego segmentos trazamos un segmento desde el último punto de los segmenel extremos del segmento dado, para luego trazar para tosotro hasta el otro extremos del segmento dado, para luegosegmentos trazar segmentos paralelos por los puntos indicados en la recta y que por los puntos indicados en la recta y que corte el segmento dado. corte el segmento dado. Ejemplo: Ejemplo: Dividir el segmento AB en 6 partes iguales A

1 2

2 3

3 4

5 6

AXIOMA DE INCIDENCIA. Los axiomas de incidencia son aquellos que aseguran las condiciones de existencia entre los puntos, rectas y planos; también indican como inciden unos conceptos en los otros. A1 Existen infinitos punto cuyo conjunto llamaremos espacio. A2 Los puntos del espacio se encuentran agrupados en conjuntos parciales de infinitos puntos llamados planos y los de cada plano en otros conjuntos parciales de infinitos puntos llamados rectas. A3 Por dos puntos distintos pasa una y una sola recta. A4: Dado un plano y dos puntos distintos cualesquiera en el plano, existe una recta única que lo contiene. A5: Dados tres puntos distintos, no alineados existe un plano único que lo contiene. A6 : Si dos puntos distintos de una recta pertenece a un plano, la recta es un subconjunto de ese plano. A7: Si dos planos distintos se interceptan, su intersección es una recta. A8: Existen cuatro puntos no coplanares. AXIOMAS DE ORDEN. Estos axiomas ayudan a determinar la posición y orden que presentan los puntos en las rectas y los planos. A1: A, B y C son puntos colineales distintos dos a dos, entonces, B está entre A y C. A2: Si B esta entre A y C, entonces, B esta entre C y A. A3: Si B esta entre A y C, entonces es falso que A esta entre B y C.

La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso.

nealmente ordenado: Índica que es posible definir una relación de orden 32

re puntos de una recta, relación que estaría explicitada por las frases

ecede a”Ao4:“sigue a”. es un conjunto de puntos linealmente ordenado, La recta abierto y denso. ierto: Significa que un punto cualesquiera está entre otros dos, es Linealmente ordenado: Índica que es posible definir una relación de orden entre puntos de una recta, relación que estaría cir, ningún punto es primero ni último. explicitada por las frases “precede a” o “sigue a”.

Abierto: quepuntos un punto cualesquiera está siempre entre otros nso: Significa queSignifica dado dos cualquiera en la recta, existe dos, es decir, ningún punto es primero ni último. menos uno entre Significa ellos. Denso: que dado dos puntos cualquiera en la recta, siempre existe al menos uno entre ellos. Entre dos puntos siempre existe un punto. A5: Entre dos puntos siempre existe un punto. A cada A par decada punto A de y B le asignamos único número real número llamado :A par punto A y B le un asignamos un único 6

real llamado distancia entre A y B. distancia entre A y B. AB  0: AB = 0

AB = BA.

Todo punto situado en una recta determina dos únicas A7: Todo punto situado en una recta determina dos únicas semirrectas de origen el punto y sentido contraria. mirrectas de origen el punto y sentido contraria.

se-

EJERCICIOS RESUELTOS DE TÉRMINOS PRIMITIVOS 1.- Teorema 1: Dado tres puntos A, B y C, no coliniales, entonces, cualesquiera dos puntos de ellos son distintos. Hipótesis: Los puntos A, B y C son no coliniales, es decir, no existe una recta que los contenga. Tesis: A = B; A = C

B = C.

Demostración: Supongamos por el absurdo, que A = B, por el axioma existe una recta l tal que B ∈ l y C ∈ l. Pero como A = B, entonces, A ∈ l por tanto, los puntos A, B y C son coliniales, lo cual es una contradicción, ya que niega la hipótesis. Como la contradicción proviene de considerar A = B se tendrá A = B, de igual forma se demuestra A = C y B = C.

2.- Teorema 2: Si dos rectas se interceptan, entonces la intersección es un punto. Hipótesis: l1 y l2 rectas distintas tal que l1 ∩ l2 =Ф pero A, PЄ l1 y B ,PЄl2 , porque por dos puntos distintos pasas una y una sola recta, como P pasa por l1 y l2 entonces contradice que l1 ∩ l2 = Ф. Entonces PЄl1, l2 por lo tanto son rectas se interfecta en un punto.

3.- Dado un punto M, punto medio entre A y C, señalar sobre una recta XY cuatro puntos colineales A, B. C y D tal que AB + AC = 10 cm donde AC – AB = 2 cm valor de AC, AB, CM y AM.

y AM = 4CM . Calcular el

Solución: -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

-8

-7

-6

-5

-4

AB + AC = 10 cm AC - AB = 2 cm

-3

-2

-1

AB + AC = 10 cm AB + (6cm) = 10 cm

2AC = 12 cm

AB = 10 cm - 6 Cm

AC = 12 cm . 2 AC = 6 cm

AB = 4 cm

AC = AM + MC AC = 4CM + MC AC = 5 CM 6 cm = 5 CM 6 cm -- CM 5

por estar M entre A y C; como AM = 4CM lo

por estar M entre A y C; como AM = sustituimos en la ecuaci贸n. 4CM lo sustituimos la ecuaci贸n. y como AC = 6 cm loensustituimos Y como AC = 6 cm lo sustituimos Sustituimos CM en la ecuaci贸n Sustituimos CM en la ecuaci贸n

AM = 4 CM

AM -- 4 6 cm 5

AM --

24 cm 5

Dra. Gloria Bustamente

4.- Sean O, A. B. C, O‟, A‟, B‟ y C‟ puntos colineales donde O‟A + O‟B + O‟C = 0 y

Demostrar que

O‟A‟ + O‟B‟ + 0‟C‟ = 0

AA‟ + BB‟ + CC‟ = 0

Solución:

O B

O‟B

A‟C

B‟ O’ C‟ A’

B’

C’

OA = OO‟ - O‟A OB = OO‟ – O‟B OC = OO‟ – O‟C OA + OB + OC = 3OO‟ –O‟A – O‟B – O‟C OA + OB + OC = 3 OO‟ – (O‟A + O‟B +O‟C) donde O‟A+ O‟B+O‟C=0 por hip OA +OB +OC = 3 OO‟ (1)

O‟A‟ = OA‟ – OO‟ O‟B‟ = OB‟ – OO‟ O‟C‟ = OC‟ – OO‟ O‟A‟+ O‟B‟ + O‟C‟ = OA‟ +OB‟ +OC‟ – 3 OO‟ como O‟A‟+O‟B‟+O‟C‟=0 Entonces

O = OA‟ +OB‟+ OC‟ – 3 OO‟ 3 OO‟ = OA‟ + OB‟ +OC (2)

tomando (2) y (1) restando tenemos que:

despejando tenemos

Dra. Gloria Bustamente

(2)

OA„+ OB‟ +OC‟ = 3 OO‟ OA + OB + OC = 3 OO

(OA‟- OA) + (OB‟ – OB) + (OC‟ – OC) = 0 AA‟

+ BB‟ + CC‟

Por ser OA‟ – OA = AA‟ OB‟ – OB = BB‟ OC‟ – OC = CC‟

5.- Sea M, N y O puntos colineales donde OM2 + ON2 = 2OM.ON. Demostrar que MN2 = 0 Solución:

O O M OM + MN = ON

N M

despejamos MN

MN = ON – OM elevamos al cuadrado cada miembro MN2 = (ON – OM)2 se resuelve MN2 = ON2 –2.ON. OM + OM2 MN2 = (ON2 + OM2) – 2.ON. OM por hipótesis sabemos que OM2 + OM2 = 2.ON. OM entonces MN2 = 2.ON. OM – 2 ON .OM MN2 = O

entonces

Dra. Gloria Bustamente

EJERCICIOS PROPUESTOS TERMINOS PRIMITIVOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEDETÉRMINOS PRIMITIVOS

1.- Dados cuatro puntos colineales A, B, C y D, donde C es punto medio de BD tal que AB + AC = 10 cm

AC - AB = 2 cm.

Demostrar que: AD = 4 CD. 2.- Dados los puntos colineales, A, B, C, D y E de los cuales sabemos que: B se encuentra se encuentra entre C y D; E es el origen de las semirrecta EA y ER. A no se encuentra entre B y C; DB = 2 cm; BE = 4 cm ; CA = 5 cm y DA = 8 cm. Determinar EA y BC. 3.- Sea r una recta y P un punto, P Є r entonces existe un único plano que contiene a r y a P. 4.- Sean dos rectas distintas ( r y s ) que se cortan entonces existe un único plano que contienen a r y s. 5.- Si O, A y B son puntos colineales, entonces OA2 + OB2 = AB2 + 2 OA OB 6.- Si O, A, B, C y

P son puntos colíneales y 0A + 0B + OC = 0,

entonces PA + PB + PC = 3 PO.

Dra. Gloria Bustamente

7.- Sean A, B y C puntos no colineales ¿Cuántas rectas determinan? Dibujelas 8.- En un haz de cinco rectas indicar cuantas semirrectas hay9.- Sean A, B, C y D puntos colineales y consecutivos Determinar que

AC = BD

AB = CD; AC = AB + BC y BC.

10.- Sean A, B, C, D y E puntos colineales donde AC = 4 cm ; si C es el punto medio de BD y AE. Demostrar que D es punto medio de CE. Hallar el valor de AB; CD; BE y AD. 11,. La coordenada de A es -2 y B es el punto medio de AC, Si la coordenada se C es mayor que la de A y BC = 5cm. ¿Cuáles son las coordenadas de B y C.?. 12.- Si M; N

y P son tres puntos colineales. MN = 7 cm;

MP = 2 cm. La coordenada

NP = 9 cm;

es tres. Indicar cuales son las

coordenadas de N y P Si :a) La coordenada de M es menor que la de N b) La coordenada de M es mayor de la de N. 13.- Si G, H y K son tres puntos de una recta. Las coordenadas de G y H son 4 y -3 respectivamente. S i H esta entre G y K ; y GK = 13 cm ¿Cuál es la coordenada de K?

Dra. Gloria Bustamente

14.- La coordenada de B, es el punto medio de AC y es 5. Si la coordenada de A es mayor que la de C y si BC = 9 ¿Cuáles son las coordenadas de A y C? 15.- Si las coordenadas de P y Q son 4 y 10 respectivamente y M biseca a PQ. ¿Cuál es la coordenada de M y cual es el valor de PQ y PM.? 16.- Dado el segmento AB = 11 cm Hallar; a) 5 AB b) 1 AB 5 17.- Sea A, B y C puntos colineales. Si AB = 3 y y BC - AB.

BC = 5

18.- Sobre una recta, se colocan los puntos A, B, C y D sucesivos de

tal

manera

AC = BD = 3 cm

c) 2AB 3 Hallar AC

de una forma

y AD = 5 cm. ¿Cuál es la

distancia BC?. 19.- Dado AB = 5 cm, BC = 2 cm, CD = 1 cm, DF = 3 cm y FG = 2 cm. Hallar: a) [ AB + BC +CD ] – [ DE + FG ] B) [ AB + BC ] – [ CD + FG ] 20.- Dado el segmento AB = 11 cm. hallar: a) 5AB b) ⅜AB c ) 1 AB 5

ÁNGULOS DEFINICIÓN DE ÁNGULO: Es el lugar geométrico, formado por la abertura de dos semirrectas con el mismo origen denominado vértice las dos semirrectas que forman el ángulo se llaman lados del ángulo. También podemos decir que son la intersección de dos sumí planos en direcciones contrarias que tienen un punto común, donde los bordes de los sumí planos son los lados del ángulo. Los ángulos se denotan con letras griegas como α β φ,… y otros también se denotan con la letra del vértice y un sombrerito Â, B, o también con los tres puntos que los forman y el vértice es la letra del centro ángulo A B C A

O B

También, se observa un ángulo cuando se toma una hoja de papel y se efectúan dos cortes en forma diagonal y cada punto forma un ángulo. Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta de origen el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales se denota con la letra W.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS: Los ángulos se clasificar de acuerdo a su medida y su posición. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SUS MEDIDAS. Ángulo nulo: es el ángulo que no posee abertura (su medida es cero)

Ángulos agudos son aquellos que miden menos de noventa grados o sea que su medida es 00 < ∝ < 900. A O A Angulo recto: es aquel que mide 900 A O

Angulo obtuso es el que mide más de 900 y su medida esta

900

∝ < 180 0 A O

Angulo llano: es el ángulo que mide 1800 y esta formado por dos semi - rectas opuestas O

Ángulo convexo: es aquel ángulo cuya medida es mayor que 00 y menor de1800. A B

Ángulo de un giro: es aquel ángulo que da la circunferencia completa o sea que mide 3600.

Ángulos cóncavos: son aquellos que miden más de 1800 y menos de 3600 entonces 1800 < α < 3600 A

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN. Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado común y los otros dos lados pertenecen a la misma recta. B α α + β = 1800 Ángulos Complementarios: dos ángulos son complementarios cuando Sumados miden 900 α β α + β = 900 Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios cuando su suma es igual a 1800.

α β + α = 1800

Ángulos opuestos por el vértice: dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro ángulo, estos ángulos son iguales

Ángulos consecutivos: dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común que lo separe a los otros dos.

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE S 1

2 3

4 5

6 7

Las rectas l y m son dos rectas paralelas y s es una recta secante que corta a las rectas l y m, formando así ocho ángulos; denominado de acuerdo a su posición de la siguiente manera: Ángulos correspondientes: Dos ángulos son correspondientes si están al mismo lado de la recta secante y poseen el mismo sentido. Estos ángulos son congruentes. < 1 ≅ < .5 < 2 ≅<6

<3 ≅<7 <4 ≅ <8 Ángulos alternos internos: Son los ángulos que están en la parte interna de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.

<3≅ <5 <4≅ <6

Ángulos alternos externos: Son los ángulos que están en la parte externa de las rectas paralelas y uno a cada lado de la recta secante con sentido opuesto. Estos ángulos son congruentes.

< 1 ≅< 7 <2 ≅<8 Ángulos opuestos por el vértice: Son los ángulos que se encuentran uno en la parte externa y otro en la parte externa de las rectas paralelas con sentidos opuestos y poseen el mismo vértice. Estos ángulos son congruentes.

<1 ≅<3 <2 ≅<4

<5 ≅<7 < 6 ≅<8 Ángulos conjugados: Son dos ángulos situados en un mismo semiplano respecto a la recta secante y pueden ser interno o externos, los ángulos conjugados suman 1800 .

Ángulos conjugados internos < 3 + < 6 = 1800 < 4 + < 5 = 1800

Ángulos conjugados externos < 2 + < 7 = 1800 < 1 + < 8 = 1800

TEOREMA DE TALES (PARALELISMO) Dos rectas l y s, distintas, coplanarias cortadas por una transversal (secante) son paralelas si y solo si, un par de ángulos alternos internos, alternos externos o correspondiente son congruentes. Principios de las rectas paralelas: 1.- Por un punto dado, exterior a una recta dada, se puede trazar una y solo una recta paralela a la recta dada. 2.- Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los lados de otro ángulo, los ángulos son iguales o suplementarios. 3.- Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas, es también perpendicular a las otras.

MEDIDAS DE ÁNGULOS EN SUS DIFERENTES SISTEMAS. 48 Para medir los ángulos es necesario poseer un sistema de medidas para tal efecto seDE estudiara los sistemas y SISTEMAS. sistema circular. En MEDIDAS ÁNGULOS EN SUSsexagesimal DIFERENTES el sistemaPara sexagesimal utiliza grado, minutosposeer y segundo. medir losseángulos es necesario un sistema de medidas para tal ‟efecto se estudiara los sistemas sexagesimal 60 10 y sistema circular. En el sistema sexagesimal se utiliza grado, ‟ y segundo. 1minutos 60” 0 ” 1360

1’

60’ 60”

En el sistema circular se utilizan pi360 radian (π) ” 10 En el sistema circular se0 utilizan pi radian (π) 1 π rad 180 , 1 π rad 1800, 0 0 como una circunferencia tiene 360 2π rad2 π rad como una circunferencia tieneque 360son que son

Reducciones de ángulos: Reducciones de ángulos: EJERCICIOS RESUELTOS DE REDUCCIONES DE ÁNGULOS Del sistema sexagesimal al sistema circular ( radianes) 1. llevar 55º a radianes 180º -------  55º

------- X

R = 11  36

X = 55º  1800

= 11  36

Dra. Gloria Bustamente

2. Llevar 160º a radianes 180º -------  160º ------- X

X = 160º  = 8  180º 9

R = 160º = 8  9 3. Llevar 340º a  radianes 1 ------ 180º X ------ 340º X

1π 40º 340π 17π   180º 180 9 180°

R  340º 

17 π 9

Del sistema circular al sistema sexagesimal llevar 4. Llevar 7  2

a grados

180º -------  X

------- 7. 2

1 vuelta y 2700

X = 180º . 7/2  = 1260º = 630º =  2

50Dra. Gloria Bustamente

5. Llevar 5 a grados 4 180º -------  X

------- 5  4

X = 180º . 5/4  = 900º = 225º  4

Llevar  a grados 3 180º -------  X

-------  3

X = 180º .  /3 

= 180º = 60º 3

OPERACIONES CON ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

I.- Dados los siguientes ángulos, ordenarlos y realizar las reduccion necesarias. 1.)

32º

72'

68''

Solución: 32º

72'

68'' como 1' = 60''

+ 1' – 60'' 32º

73'

1º  60'

8'' como 1º - 60'

nes

3 180º -------  X

-------  3

X = 180º .  /3 

= 180º = 60º 3

OPERACIONES CON ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL I.- Dados los siguientes ángulos, ordenarlos y realizar las reducciones necesarias. 1.)

32º

72'

68''

Solución: 32º

72'

68'' como 1' = 60''

+ 1' – 60'' 32º

73'

Dra. Gloria Bustamente

8'' como 1º - 60'

1º  60' Dra. Gloria Bustamente Dra. Gloria33º Bustamente 13'

8''

2.)

3º

8'' 2.)Entonces3º32º 72' 68'' 90'= 33º 13'99'' Solución: 2.) 3º 90' 99'' 3º 90' Solución:

Solución: 3º 90'

90'

99''

1'  60''

99''

3º

90' 99'' 1'  60''

3º

91'

3º

1'  60'' 91' 39''

1º

 60' 31'

99''

39''

3º 1º

91'  60'

39''

4º

1º 4º

 60' 31'

39''

Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

39''

4º 31' 39'' Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39'' Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39'' 3.) 75º

59'

60''

4º

31'

39''

52 Entonces 3º 90' 99'' = 4º 31' 39''

3.) 75º

59'

60''

75º

59'

60''

1'  60'' 75º

60'

1º

- 60'

76º

00'

00''

Entonces 75º 59' 60'' = 76º

ADICIÓN DE ANGULOS EN EN EL EL SISTEMA SEXAGESIMAL ADICIÓN DE ÁNGULOS SISTEMA SEXAGESIMAL 4.) Dado los ángulos  = 37º 15' 27'' y  = 39º 56' 58'' Hallar  + 

Dra. Gloria Bustamente

Dra. Gloria Bustamente Solución:

 = 37º

15'

 = 39º +

= 76º

27''

 = 39º

56'

58''

71'

85''  se realizan las reducciones

56'

58'' +

71'

85''  se realizan 1' las reducciones necesarias 60''

1'  60'' 76º

72'

1º

60'

77º

12'

Entonces  + 

25''

= 76º

76º

72'

1º

60'

77º

12'

25'' Entonces  + 

25''

25'' = 77º 12' 25''

= 77º 12' 25'' 5.) Si  = 15º 5' 12'' y  = 12º 54' 48'' cuál es el valor d

5.) Si  = 15º 5' 12'' y  Solución: = 12º 54' 48'' cuál es el valor de  + 

77º

12'

25''

Entonces  + 

= 77º 12' 25''

5.) Si  = 15º 5' 12'' y  = 12º 54' 48'' cuál es el valor de  +  Solución:  = 15º

12''

 = 12º

54' 48''

+

= 27º

59' 60''

+

= 27º

59'

60''

1' - 60'' o

27º

60'

00''

1º - 60' 28º

00'

00''

entonces  +  = 28º 6.) Dado  = 26º 18' 40'' y  = 15º 12' 20'' Hallar  +  Dra. Gloria Bustamente

Solución:  = 26º 18'  = 15º 12'

+

= 41º

30'

40'' 20''

60''

1' - 60'' 41º

31'

00''

entonces  +  = 41º 31' SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL

1' - 60'' 41º

41º 31'

31' 00''

00''

54 entonces +  31' = 41º 31' entonces  +  =41º

SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS EL SISTEMA SEXAGESIMAL SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS EN EL EN SISTEMA SEXAGESIMAL 7.)  Dado  15' = 280 y 20' = 12º 15'' Hallar 7.) Dado = 280 12''15' y 12'' = 12º 15''20' Hallar - - Solución: Solución: 15'  = 28º= 28º 15' 12'' 12'' - = 12º 20' 15'' 15'' - = 12º 20'  = 28º= 28º 15' 12'' 12'' 15' 1'  1' 60'' 60'' 28º 28º 14' 72'' 14' 72'' 28º 14' 28º 72'' 14' 72'' 1º 60'1º 60'  = 27º= 27º 74' 72'' 72'' 74' - = - 12º= 12º 20' 15'' 15'' 20'  -   =-  15º= 15º 54' 57'' 57'' 54' Entonces  -  =15º 57''54' 57'' Entonces - 54' = 15º

8.) Dado = 330 15''24' y 15'' = 250 25''12' Hallar - - 8.)  Dado  24' = 330 y  12' = 250 25'' Hallar Solución: Solución:  = 33º= 33º 24' - = 25º 12' - = 25º  = 33º 23'  = 33º

15''  24' 15''   = 33º  = 24' 33º 15'' 24' 25'' 1' 60'' 12' 25'' 1'  = 33º 23' 75''  = 33º 23' 75'' 23' 75''

15'' 60'' 75''

Dra. Gloria Bustamente

- = 25º 12' 25''  -  = 8º 11' 50'' entonces  -  = 8º 11'' 50'' 9.) Dado  = 54º 55' 56'' y  = 25º 30' 35'' Hallar  -   = 54º - = 25º  -  = 29º

55' 30' 25'

56'' 35'' 21'

PRODUCTO DE UN ÁNGULO POR UN ESCALAR

PRODUCTO DE ÁNGULO POR UN ESCALAR 10) Dado un ángulo  = 52º 15' 20'' Hallar 4 3 Solución: 4 4

= =

4(52º 208º

15' 20'') 60' 80'' 1' - 60'' . 4 = 208º 61' 20'' 60‟ . 10 0 4 = 209 1‟ 20‟‟ entonces 4 = 209º 1' 20‟‟ 11) Dado  = 18º 15' 10'' Hallar 5 Solución: 5 5

= =

5(8º 40º

10' 20'') 50' 100'' 1'  60'' 5 = 40º 51' 40'' entonces 5 = 40º 51' 40''

Dra.Dra. Gloria Bustamente Gloria Bustamente

Dra. Gloria Bustamente

12)12) Dado 8º8º 5' 5'4''4''Hallar Dado = = Hallar6 6 12) Dado  = 8º 5' 4'' Hallar 6 Solución: Solución: Solución: 66 = 6(8º = 6(8º5' 5'50'') 50'') ==48º 24'' 66 =648º 30'30'5' 24'' 6(8º 50'') 6 = 48º 30' 24'' DIVISIÓN DEUN UNÁNGULO ÁNGULOENTRE ENTREUN UNESCALAR ESCALAR DIVISIÓN DE DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN ESCALAR DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN ESCALAR Dado α 155º = 155º 39'46'' 46''Hallar Hallar αα 13)13) Dado α= 39' 2 13) Dado α = 155º 39' 46'' Hallar2 α Solución: Solución: 2 Solución: 155º 46'' 155º 39'39' 46'' 22 77º 49' 53'' 15º15º 155º 39' 46'' 77º249' 53'' 1º 1º15º 60'60' 77º 49' 53'' 99'99' 1º 60' 19'19' 99' 60'' 1' 1'19' 60'' 106'' 106'' 1' 60'' 06'' 06''106'' 0 0 06'' 0 14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar  14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar 5 5  14) Dado  = 25º 65' 80'' Hallar Solución: 5 Solución: Como  = 25º 65' 80'' realizamos las reducciones necesarias en  Solución: Como  = 25º 65' 80'' realizamos las reducciones necesarias en  Como = 25º 65'80'' realizamos 80'' = 25º 65' las reducciones necesarias en   = 25º 65'1' 80'' 60''  60''  = 25º 25º 1' 65' 80'' 66' 20'' 25º1º - 66' 20'' 60'1'  60'' 1º - 60'6' 26º 25º 66' 20'' 20'' 26º 1º -6' 60' 20'' 26º 6' 20'' 26º 6' 20'' 5 26º1º 6' 60' 20'' 55º 13' 16'' 1º 26º 60'66' 6' 20'' 5º 13' 5 16'' 16' 66' 1º 60' 5º 13' 16'' 16' 66'

16'

46 46

Dra. Gloria Bustamente

60'' 80'' 80'' 30'' 30'' 0 Dra. Gloria Bustamente 57 1' 60'' 0 80'' 30'' 0 1'  = 26º60'' 15) Dado 12' 18'' Hallar  15) Dado  = 26º80'' 12' 18'' Hallar 3 30'' 3 0 26º 12' 18'' 3 26º 18'' 2º  = 26º12' 120' 9º 44' 6'' 15) Dado 12' 18'' Hallar  3 2º 120' 132' 3 9º 44' 6'' 132' 12' 12' 18'' 18'' 3 26º 12' 0' 15) Dado  = 26º 0'12' 18'' Hallar 18'' 0 9º 44' 6'' 2º 120' 3 0 132' 12' 26º 12' 18'' 3 0' 18'' 2º 120' 9º 44' 6'' 0 132' EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS 12' EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS 0' RESUELTOS 18'' EJERCICIOS DE ÁNGULOS 0 1.- Calcular los ángulos de un triángulo Â, B y Ĉ en el siguiente caso: 1.- CalcularEJERCICIOS los ángulos de un triángulo DE Â, BÁNGULOS y Ĉ en el siguiente caso: RESUELTOS 0 Â=3B Ĉ = 45 Â=3B Ĉ = 450 Solución: 1.- Calcular los ángulos de un triángulo Â, B y Ĉ en el siguiente caso: Solución: EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁNGULOS 0 Â =Como 3 B los ángulos Ĉ = 450internos de un triángulo es igual a180 0. entonces Como los ángulos internos de un triángulo es igual a180 . entonces 0 un triángulo Â, ^ los ángulos de ^ 1.- Calcular caso: Â BB y yĈ enĈel=siguiente 450 Solución:+ ^B + Ĉ = 1800 donde Â = 3 ^ 0 Â + B + Ĉ = 180 donde Â = 3 B y Ĉ = 45 Â =33^ B + ^B +Ĉ45 = 045=0 1800 B Como los ángulos internos de0 un triángulo es igual a180 0. entonces 0 ^ 3^ B + ^B + 445 = 180 B = 1800 - 450 0 0 Solución: ^ 0 ^ ^ 4 180 Â + B + Ĉ = 180 donde 3^ B y Ĉ = 450 4B B = = 1350Â-=45 0 0 ^ ^ 4 B -= 135 0 B 135 . Como los ángulos^ internos de un 0 0 triángulo es igual a180 . entonces 3^ B + ^B + 450 = 180 B -- 135 4 . ^ = 01800 - 450 ^ 4 B 4Â = 3 ^ Â + B + = Bustamente 180 donde B y Ĉ = 450 Dra.Ĉ Gloria 0 4^ B = ^B135 0 =0 033 45‟ B 0 =--^ 3^ B + ^B + ^ 45 180 ^0 45‟ BÂ 135 = 33 = 3 .B 0 ^ = 180 4 - 45 ^0 4B Â= 3B Â =0 3 ( 330 45‟ ) 4^ B = 135 ^ 0 0 135„ ^ =0 99 B B -135 . = Â 33 45‟ 0 ^ 4 101 15‟ Â = Â 3 =B 47 47 ^ 0 B = 33 45‟ 2.- Tres semirrectas OA. OB y OC, forman alrededor del punto O tres ^ Â= 3B 47

Dra. Gloria Bustamente

Â = 3 ( 330 45‟ ) 58 Â = 990 135„ Â = 1010 015‟ Â = 3 ( 33 45‟ ) Â = 990 135„ 0 Â = 101OA. 15‟OB 2.- Tres semirrectas

OC, forman alrededor del punto O tres

ángulos consecutivos congruentes <AOB = <BOC = <AOC. Demuestre 2.- Tres semirrectas OA. OB y OC, forman alrededor del punto O tres que las bisectrices de cada ángulo es una prolongación de lado. ángulos consecutivos congruentes <AOB = <BOC = <AOC. Demuestre

que las bisectrices de cada ángulo es una prolongación de lado. Solución

Solución

Como los tres ángulos son congruentes entonces cada uno tiene una

C F medida de 1200, por hipótesis hallamos la bisectriz de cada ángulo que Como los tres ángulos son congruentes entonces cada uno tiene una son OD, OE y OF. Ellas dividen a cada ángulo en dos ángulos medida de 1200, por hipótesis hallamos la bisectriz de cada ángulo que iguales entonces dada ángulo mide 600. son y BOE OF. dividen a cadaadyacentes. ángulo en dos ángulos ser ángulos m <OD, AOB OE + m< = Ellas 1800 por 0 0 0 iguales dada mide 120 +entonces 600 = 180ángulo donde A, 60 O y. E son puntos coloniales. 0 por ser adyacentes. m < AOB BOE = 180 Donde OE +esm< prolongación de OA (sonángulos semirrectas opuestas) 0 0 0 0 120BOC + + 60 = 180 donde y E son puntos coloniales. m< m< COF = 180 por A, serOángulos adyacentes.

Donde OE es prolongación de OA (son semirrectas opuestas) m< BOC + m< COF = 1800 por ser ángulos adyacentes.

Dra. Gloria Bustamente

1200 +

600

= 1800 donde O, B y F son puntos colíneales donde OF

es prolongación de OB. m< COA + m< AOD = 1800 Por ser adyacentes. 1200 + 600

= 1800 entonces C, O y D son colíneales donde

OD es prolongación de OA. Entonces las bisectrices son semirrecta opuesta a uno de los lados del ángulo. 3.-Dado un ángulo CAB, dibujamos CD perpendicular a AB que corta este segmento en D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos FC hasta E y dibujamos la línea AE que corta a CD en H. Determinar el punto E de manera que se cumpla que HE = 2AC. De esta forma el ángulo EAB es 1/3 del ángulo CAB.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS EJERCICIOS PROPUESTOS DE ÁNGULOS

1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su suplementario. Hallar las medidas de cada ángulo. 1.- La medida de un ángulo es 240 más que la medida de su

2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su suplementario.¿Cuánto Hallar las medidas de cada ángulo. complementario mide los ángulos?. 3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario 2.- La medida de un ángulo es cinco veces la medida de su

4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario. complementario ¿Cuánto mide los ángulos?.

5.- Hallar la medida de los ángulos de la figuras 3.- Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplementario 4.- Hallar el ángulo que es igual a la tercera parte de su complementario.

2X A

6.-Probar que las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. 7.-Probar que las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son semirrectas opuestas. 8.-Probar que dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 9.-Si <AOB y <BOC son complementarios y <DOC y <BOC son complementarios, entonces, <AOB = <DOC. C B D A

10.- Dada la figura, donde <BAD = 80º y <DCA = 30º con CD = DA . Hallar el <ABD. C D B A

61 A

11.- Dada la figura, con EO ┴ AB

y <AOG  <BOD. Demostrar que

<GOE  <DOE.

12.- Dada la figura donde AO ┴ XY en O y EO, AO y BO son bisectrices de los respectivamente

ángulos

<XOD,

<DOC

<COY,

<XOE + <YOC = 1200 . ¿Cuál es el valor de

cada ángulo? A D E

A D

O X

Dra. Gloria Bustamente Dra. Dra.Gloria GloriaBustamente Bustamente Dra. Gloria Bustamente Dra. Gloria Bustamente

Dra.elGloria Bustamente 3.-62 Hallar valor de X y Y en cada una de las figuras. 3.3.-Hallar Hallarelelvalor valorde deXX yy YY en encada cadauna unade delas lasfiguras. figuras. 3.- Hallar el valor de X y Y en cada una de las figuras. a) 3.-EHallar el valor A D b) una G de las F figuras. E D cada a) EE el valorde AA XX yy YY Den b) FF EE DD a)Hallar Den cada una b)deGG 3.las figuras. X Y de X Y X Y a) E A D b) G F E D Y a) XE A D b) G F E D D a) E AY D b) G F 0 Y E 45 X 00 YY 45 0 0Y 0 45 X 60 55 X 105 0 60 55000 X 10500 600 C 105 B H A4555 B CY X I 0 0 0 C B H A B C 60 B A 45B0 CC Y I I 55 H X 105 0 Y C AD105 B H AG ║ABF 55 By0 CD C ║45BEX I ║ 0CB 6000 0 ║ CB 0 y CD ║ BE AD AG ║ BF AD ║ CB AG ║ BF y CD ║ BE 60 55 X 105 C B H A B C I B C I AD ║ CB C AG ║ BF H y CD A ║ BE B AD ║ CB AG ║ BF CD ║ BE 14.- Dada la siguiente figura donde AE es la bisectriz del y<CAB; AD ║ CB ║ BF ydel ║ el BE elel 14.siguiente figura <CAB; 14.-Dada Dadalala siguiente figuradonde donde AE AE es es laAG la bisectriz bisectriz delCD <CAB; 14.- Dada la siguiente donde AE Hallar es la elbisectriz <CAB; αel y β <ACD = 35º yfigura el <ABC = 25º valor de del los ángulos <ACD ==35º yy elel<ABC ==25º Hallar elelvalor de los α y β <ACD 35º <ABC 25º Hallar valor de losángulos ángulos 14.- Dada la siguiente figura donde AE es la bisectriz del <CAB;α yel β Dada la <ABC siguiente figura donde AE de es los la ángulos bisectriz αdely <CAB; el <ACD14.= 35º y el = 25º Hallar el valor β A = 25º Hallar el valor de los ángulos α y β <ACD = 35º y el <ABC <ACD = 35º y el <ABCAA = 25º Hallar el valor de los ángulos α y β A α αα A A α α α β ββ D C β E B DD CC E BB βE β B D C E 0 y hallar elBvalor 15.- Demostrar que α + β + ∂ D= 180 si 0C0AE ║ BD E BD 15.AE║ hallar valor 15.-Demostrar Demostrarque que αα ++ ββ + 180 Csisi AE D+ ∂∂ == 180 E║ BD yy hallar B elelvalor 0 15.- Demostrar de α, βquey α ∂.+ β + ∂ = 180 si AE ║ BD y hallar el valor de deα,α, ββ yque y ∂.∂.α + β + ∂ = 1800 si AE ║ BD y hallar el valor 15.- Demostrar y hallar el valor que α + β + E∂ = 1800 si AE ║ BD de α, 15.β Demostrar y ∂. D EE DD de α, β y ∂. de α, β y ∂. E 600 D 0 60 600 E D E D 600 β 0 60 0 ββ 60α 500 ∂ 00 β 50 α ∂∂ 50 A Bα C 0 A B CC β B A 50 α ∂ β B BC C∂ CA ll DE, 16.- Dada la siguienteAfigura donde: AB ll EF, FD, 500donde: α llBC 0 16.AB llllEF, ll FD, CA ll DE, 16.-Dada Dadalalasiguiente siguientefigura figura donde: AB EF, BC 50 α A B ∂ll FD,CCA ll DE, 16.- Dada la siguiente figura donde:A AB ll EF, BC ll FD, BCA ll DE,C 52 16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE, 52 52 16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE, 52

600 Dra. Gloria Bustamente Dra. Gloria Bustamente

β 0

50 α ∂ A B C <ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω <ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω 16.- Dada la siguiente figura donde: AB ll EF, BC ll FD, CA ll DE,

Dra. Gloria Bustamente

<ABC = 40º y el <FDE = 60º Hallar el valor de δ y Ω A A

A F F δ Fδ

C C

D D

DΩ

Ω Ω

E ΩE

B B

C E B 17.- Hallar α y β en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y 17.- Hallar α y β en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y el <BOF = 7000 17.- Hallar α y =β70 en la siguiente figura donde AB ║ CD y CD ║ EF y el <BOF A el <BOF = 700 AA

B B B 0 0 3232 0 32 A β B β 0 C D 32 β C OO 0D C O 0 70 D 70 0 β α α 70 E C O α D E F F 700 E F α 18.- Calcular el valor de cada uno de los ángulos en la siguiente figura. E de cada uno de los ángulos F 18.- Calcular el valor en la siguiente figura. D 18.- Calcular el valor de cada uno en la siguiente figura. D E de los ángulos D E C E C D F E

60°

C CX X X 0 45° 45 3000 30° 450 30 0 F A X 60 X B O A 0 O B 0 30 A45 O B 0 ^ + Ĉ = 180 0 y ^ B = 2 19.- Calcular los ángulos si Â + B ^ A si Â + B O + Ĉ = 180 B y ^ 19.- Calcular los ángulos B = 2

F F

X X

6000 60

^ + Ĉ = 1800 19.- Calcular los ángulos si Â + B

y ^ B = 2

Ĉ = 3 Â. Ĉ = 3 Â. Ĉ = 3 Â.

600

X 45

X 300

^ + Ĉ = 1800 19.- Calcular los ángulos si Â + B

y ^ B = 2

Ĉ = 3 Â.

Dra. Gloria Bustamente

20.- Calcular los ángulos Â, ^ B Â+ ^ B + Ĉ = 180

^ Â = 3B

Ĉ = 450

21.-Si Â + ^ B = 900

^ y Ĉ si Ĉ - Â = 300 Calcular Â, B

^ Â + B + Ĉ = 1800 22.- Si Â + ^ B + Ĉ = 1800 ;

Â – Ĉ = 300

Â -^ B = 450

Calcular Â, ^ B y Ĉ 23.- En el < BOC se traza la bisectriz OD si por un punto R que pertenece a OD se dibuja una paralela a OB y se prolonga hasta cortar a OC en J. Qué puede decir acerca del ΔORJ. Justifica tu repuesta. Por R se traza un segmento RP, de tal manera que P pertenece a OB y RP = OJ . Que puede decir acerca del cuadrilátero PRJO. Justifica tu repuesta. 24.- Dado el triángulo ABG donde AW es la bisectriz del <CAB, CH es la altura del vértice C, <CBA = 30º y <ACH = 50º. Hallar β y μ :

μ A

25.- Dado un ángulo <CAB, se traza el segmento CD perpendicular a AB en el punto D. Completamos el rectángulo CDAF, prolongamos FC hasta E y trazamos el segmento AE que corte al segmento CD en H. Si HE = 2AC. Demostrar que el ángulo <EAB = ⅓ <CAB.

POLÍGONOS Los polígonos es el lugar geométrico del plano limitado por una línea poligonal cerrada que recibe el nombre de contorno. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO: VÉRTICE: Son los puntos de intersección de dos segmentos consecutivos y se denotan con letras mayúsculas A; B, C y otras, LADOS: están formados por los segmentos que constituyen el polígono. Estos segmentos unen los vértices consecutivos. DIAGONAL DE UN POLÍGONO: Es el segmento que une dos vértices consecutivos del polígono. El número de diagonal de un polígono se determina mediante la relación. N0diag -polígono

n(n-3) . 2

Siendo n el número de lados del

APOTEMA: Es el segmento de recta que va desde el centro del polígono hasta el punto medio de uno de los lados. Un polígono es convexo cuando está limitado por una poligonal convexa y si se traza un segmento entre dos pontos internos, el segmento resultante debe estar dentro del polígono.

Un polígono es cóncavo, cuando está limitado por una línea poligonal cóncava.

LOS POLÍGONOS PUEDEN SER REGULARES O IRREGULARES. Los polígonos regulares: son los que tienen todos los lados y ángulos de la misma medida. Polígonos irregulares: son los que tienen los lados de diferentes medidas. Ángulos internos de un polígono: son los que están formados por dos lados consecutivos Si = (n – 2).1800 Ángulo externo de un polígono: son los ángulos adyacentes a los internos que se obtiene al prolongar los lados en un mismo sentido. La suma de los ángulos externos es igual a 3600. El número de lados de un polígono coincide con el número de vértices y el número de ángulos. Perímetro de un polígono: Es la longitud de su contorno, o sea, la suma de la longitud de sus lados y se denota con la letra P. P = AB + BC + CD +...............

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS.

Según el número de lados y reciben los siguientes nombres: Número de lados Nombre Tres

Triángulo

Cuatro

Cuadrilátero

Cinco

Pentágono

Seis

Hexágono

Siete

Heptágono

Ocho

Octágono

Nueve

Eneágono

Diez

Decágono

Once

Endecágono

Doce

Dodecágono

Apotema de un polígono regular: es el segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de los lados. La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita. Área de un polígono regular: es igual al producto del semi perímetro por su apotema.

ESTUDIO DE POLÍGONOS

69 Triángulo: es un polígono de tres lados, tres vértices y tr y externos. ESTUDIO DE POLÍGONOS

Triángulo: es un polígono de tres lados, tres vérticesde y tres Cuadriláteros: Son polígonos convexos cuatro lado ángulos internos y externos. se clasifican de acuerdo con el paralelismo de los l Cuadriláteros: Son polígonos convexos de cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo con el paralelismo de los paralelogramos, trapecios y trapezoides. lados opuestos en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Paralelogramo: Son cuadriláteros que tienen sus lados Paralelogramo: Son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dos a dos (todo cuadrilátero tiene iguales sus lados opues(todo tiene iguales sus lados opuestos), tos), y se dividen en:cuadrilátero cuadrado, rectángulo, rombo y romboides. Propiedades de los paralelogramos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboides. • Los lados opuestos son paralelos e iguales. Propiedades de los paralelogramos: • Las diagonales lo dividen en dos triángulos iguales.

• Los ángulosopuestos un opuestos paralelogramo son iguales. Los de lados son paralelos e iguales. Las diagonales lo dividenson en dos triángulos iguale • Los ánguloscontinuos de un paralelogramo suplementarios  Los ángulos opuestos de un paralelogramo son igu  de Los ángulos continuos de un paralelogramo • Las diagonales un paralelogramo se bisecan mutuamente. son su  Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mu Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro Cuadrado: es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro cuatro ángulos ángulosrectos. rectos. l

A l

A = l2

B l

P = AB + BC + CD + DA

C 

P = 4.l

Propiedades de los cuadrados • Los ángulos del cuadrado son rectos. • Cada ángulo exterior, vale siempre un ángulo recto. • Las diagonales son iguales. • Las diagonales son perpendiculares. • Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices une. • Las diagonales forman triángulos iguales. Rectángulo: es un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales (rectos) y sus lados continuos desiguales. B

h D A = b.h

P = AB + BC +CD + DA

Propiedades de los rectángulos: • Cada ángulo interno, vale in ángulo recto. • Cada ángulo exterior, vale un ángulo recto. • Las diagonales, forman dos pares de triángulos iguales. • Los lados continuos son de diferentes medidas. • Los lados paralelos son iguales. • Las diagonales se cortan en el punto medio.

Rombos: son los paralelogramos que tienen los cuatro lados iguales y los ángulos continuos son desiguales. A

C A = d1. d2 . 2

P = AB + BC +CD + DA

Propiedades de los rombos: • Las diagonales son perpendiculares. • Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. • Las diagonales siempre forman cuatro triángulos iguales. Romboides: Son los paralelogramos que tienen los lados y los ángulos continuos desiguales. A

C A = b.h

D P = AB + BC + CD + DA

Propiedades de los romboides: • Los ángulos opuestos son iguales. • Las diagonales forman triángulos iguales. • Las diagonales bisecan los ángulos cuyos vértices unen. • Las diagonales se bisecan. Trapecios: es un cuadrilátero irregular donde tiene dos lados paralelos y se divide en: trapecio rectángulo, isósceles y escaleno. A = (b1 + b2).h . 2

P = AB + BC + CD + DA

Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos. B

Trapecio isósceles: si los dos lados no paralelos son iguales. A

AD = BC

Trapecio escaleno: cuando no es rectángulo ni isósceles y tiene sus lados desiguales

Trapezoides: es si no existe ningún tipo de paralelismo. Los trapezoides se dividen en simétricos y asimétricos. Trapezoides simétricos: son aquellos que tienen dos pares de lados continuos son iguales, pero el primer par de lados continuos iguales es distinto del segundo

B C

A D Propiedades de los trapezoides: • Las diagonales son perpendiculares.

• Las diagonales son bisectrices de los ángulos que las unen y se bisecan.

Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros que tienen sus lados

74ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una mitad es diferente de la otra.

Trapezoide Asimétrico: son los cuadriláteros que tienen B sus lados y ángulos diferentes, no tienen lados paralelos y una mitad es diferente de la otra. A

B EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS D C 1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3 m(B) ; EJERCICIOS RESUELTOS DE POLÍGONOS m (Ĉ) = 9 m(Â) + 50 ; m(D) = 2 m(Â) + 100. 1.- Dado un polígono ABCD es un trapecio donde m(Â) = 3 m(B); m (Ĉ) = 9 m(Â) +A50 ; m(D) = B2 m(Â) + 100. A

D D

Solución: La suma de los ángulos internos de un polígono convexo es igual a 360 0 ^ ^ M(Â) + m(B) + m(Ĉ) + m(D) = 3600 ^ ) + 50 + 6 m(B) + 100 = 3600 ^ + m(B) ^ + 9 (3 m(B) 3 m(B) 3 m(B) + m(B) + Bustamente 27 m(B) + 6 m(B) + 150 = 3600 Dra. Gloria 37 m(B) = 3600 - 150 m(B) -- .36!00! . 0 37 m(B) = 345 !37! 0! m(B)m(B) -- .36!0 . 28‟‟ = 90 19‟ !37!

Entonces. m(Â) = 3 m(B) 0

m(Ĉ) = 9 m(Â) + 50 0

63 0

Dra. GloriaBustamente Bustamente Dra. Gloria

75 19‟ 28‟‟ 28‟‟ m(B) = 9900 19‟ Entonces. Entonces. m(Â)==33m(B) m(B) m(Â)

m(Ĉ) m(Ĉ) == 99 m(Â) m(Â) ++ 5500

19„28“) m!(Â)==33( (990 019„28“) m!(Â)

m(Ĉ) m(Ĉ) == 99 (27 (270058„ 58„24“) 24“) ++ 550 0

m(Â)==27 270 058„24« 58„24« m(Â)

m (Ĉ (Ĉ )) == 251 2510045„36« 45„36« ++ 550 0 45„36„ 36„ m( m( Ĉ Ĉ )) == 256 2560045„

m(D) == m(Â) m(Â) ++ 10 1000 m(D) 58„28“ ++ 10 1000 m(Ĉ)== 27 270058„28“ m(Ĉ)

m(Ĉ) m(Ĉ) == 37 370058„28“ 58„28“

2.-Calcular Calcularelelperímetro perímetro del del polígono polígono convexo 2.convexo dado dado AA

AB AB== 88cm cm B

AB = 8 cm

BC BC== 66cm cm

BC = 6 cm

CD CD== 44cc mm

CD = 4 cm

DE DE==5.5 5.5cm cm

DE = 5.5 cm

Solución: Solución:

EA EA==2.5 2.5cm cm

EA = 2.5 cm

AB ++ BC BC ++ CD CD ++ DE + EA PP == AB EA PP == 88cm cm ++ 2.5 2.5cm cm cm ++ 66cm cm ++ 44 cm cm + 5,5 cm PP == 26 26cm. cm. 2.cumple que que los losángulos ángulosexteriores exteriores 2.- En Enelelsiguiente siguiente polígono polígono convexo convexo se cumple son 5“ son: : β‟β‟== 41 410 0 5“

3500 20„ 20„ ∂‟∂‟== 35

ε‟ = 8700 5„ 5„ 10“ 10“ θ‟θ‟== 91 910 015“ 15“

Calcularelelángulo ánguloexterior exterior α‟ α‟ Calcular

6464

Dra. Gloria Bustamente

E E

A Aα α

β β

ε θ

B B

∂

θD D

∂ C C

Solución: Hipótesis

tesis

β‟ = 410 5“

α‟ = ?

∂‟ = 350 20„ ε‟ = 870 5„ 10“ θ‟ = 910 15“ Como sabemos que a suma de los ángulos externo de un polígono convexo es igual a 3600 β‟ + ∂‟ + ε +‟ θ +‟ α‟ = 3600 410 5 + 350 20„ + 870 5„ 10 + 910 15« + α‟ = 3600 2540 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 0 α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟ α‟ = 1050 34‟ 30‟‟

EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS

254 25‟ 30‟‟ + α‟ = 360 α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟ α‟ = 3600 - 2540 25‟ 30‟‟ α‟ = 1050 34‟ 30‟‟ α‟ = 1050 34‟ 30‟‟

EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS EJERCICIOS PROPUESTOS DE POLÍGONOS

BCD es un trapecio donde la altura es igual a 7 cm AB = 5 cm; 1.- ABCD es un trapecio donde la altura es igual a 7 cm AB = 5 cm; = 9cm; CD = 11cm y DA = 9cm. Hallar el área y el perímetro. BC = 9cm; CD = 11cm y DA = 9cm. Hallar el área y el perímetro. 65

Dra. Gloria Bustamente

B H

2.- Si ABCD es un paralelogramo romboides Hallar X y Y; si AD = 5X; AB = 2X; CD = Y. si su perímetro es igual a 84 cm. 3.- Calcular el área de una figura plana.

A 4cm

4cm C

D 2cm

E 6cm

F 3cm

4.- Calcular el área de un triángulo cuyo lados miden 6, 8 y

12cm. 2

5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya área tiene un valor de 28.05 cm2

4.- Calcular el รกrea de un triรกngulo cuyo lados miden 6, 12cm.2

8 y

5.- Hallar el lado de un cuadrado cuya รกrea tiene un valor de 28.05 cm2 6.- Calcular el รกrea de un hexรกgono regular cuyo lado mide 5cm.

TRIÁNGULOS. Triángulo es la intersección de tres semiplano que se interceptan en tres puntos diferentes A

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO: Vertice: es el punto de intersección de dos semiplano. Se denotan con letras mayúsculas A, B y C. Lados: Son los segmentos de rectas que se unen con los vértices. Se denotan con letras minúsculas de acuerdo al ángulo opuesto a, b y c. Angulos internos: son los ángulos formados por dos lados del triángulo y están ubicados en la parte interna, Se denotan con letras griegas α β y φ.

c Dra. Gloria Bustamente

parte externa del triángulo. Se denotan con las letras griegas con un

Angulos externos: son los ángulos que están formados por

apostrofe. α‟ βtriángulo „ y φ‟ . un lado del y la prolongación del lado consecutivo, se

encuentra en la parte externa del triángulo. Se denotan con las A letras griegas con un άapostrofe. α’ β ‘ y φ’ . A

α c

Β‟

a B

‟ b φ‟

C β

PERIMÉRTRO DE UN TRIÁNGULO: es la suma de sus lados y se denota

Perimetro de un angulo: es la suma de sus lados y se denocon la letra minúscula. AB + BC AB + CA ta con la pletra p minúscula. + .BC + CA . ÁREA DE UN TRIÁNGULO: es el producto de la longitud de la base por la

Área de un Triangulo: es el producto de la longitud de la base por laaltura longitud la altura sobre dos. longitud de la sobrede dos. A = b. h . 2

PRICIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS.

PRINCIPIOS DE LOS TRIÁNGULOS. α

A α

β β

φ C

1.- La suma de los tres ángulos interno de un triángulo es igual a 1800. α + β + φ = 1800 2.- En un triángulo cualquiera la suma de dos ángulos internos es menor que 1800. α + β < 1800

α + φ < 1800

β + φ < 1800

3.- La suma de los ángulos externo de un triángulo es igual a 3600 α’ + β’ + φ’ = 3600 4.- La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacente a él α + β = φ’

φ + α = β’

β + φ = α’

5.- La suma de las medidas un ángulo interno con la medida de su externo (adyacente), es igual a 1800 α + α’ = 1800

β + β’ = 1800

φ + φ’ = 1800

00 β + β‟ = 180 φ0 0+ φ‟ = 180β0β++β‟β‟==180 180 αα++0α‟α‟==180 180

00 φφ++φ‟φ‟==180 180

82 gulo exterior 6.6.-La Lamedida amedida un triángulo de detodo todo es ángulo ángulo mayorexterior que exterior la amedida aun untriángulo triánguloesesmayor mayorque quelalamedi med

nterno no de adyacente decualquier cualquier a él. ángulo ángulointerno internono noadyacente adyacentea aél.él. 6.- La medida de todo ángulo exterior a un triángulo es mayor cualquier >α α‟ > que β la medida φ‟φ‟>>ββdeφ‟ φ‟>>αα α‟ángulo α‟>>ββ interno no adyacente a él. φ’ > β

φ’ > α

α’ > β

ulo es7.7.menor Todo Todo que lado lado lade suma de un unun triángulo de triángulo los otros eseses menor dos menor y que mayor que lalasuma de dede los los otros otros dos dosy ymayo ma 7.Todo lado de triángulo menor que lasuma suma los otros dos y mayor que la diferencia. que quelaladiferencia. diferencia.

AB AB AB-++BC BC BC<>>CA CA CA

óó

BC<<CA CA AB AB- -BC

yor lado 8.-En se Enopone todotriángulo triángulo mayor ángulo mayor y viceversa. ladoseseopone oponemayor mayorángulo ánguloy yviceversa. viceversa. 8.todo a amayor lado 8.- En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: Los triángulos pueden cosificarse de acuerdo a sus ángulos y de 69 acuerdo a sus lados. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DE ACUERDO A SUS ÁNGULOS Triángulo rectángulo: es el triángulo que posee un ángulo recto (900). El lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman cateto A

Triángulo acutangulo: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos agudo (menor de 90°) A

Triángulo Obtusangulo: Es aquel triángulo que posee un ángulo obtuso (más de 90°) A

Triangulo Isore ISORECTÁNGULO: es un triángulo rectángulo que sus catetos tienen la misma medida (catetos iguales), A

CLASIFICACIÓN LOS TRIÁNGULOS DE ACUERDO A SUS LADOS: Triángulo Escaleno: es el triángulo que posee sus tres lados de diferentes medidas o tamaño y sus tres ángulos tienen diferente medidas. A

Triánfulo Isósceles: Es el triángulo que posee dos lados de igual medidas, el lado diferente se llama base y los ángulos adyacente a la base son de igual medida. ( poseen dos lados y dos ángulos iguales). En todo triángulo isósceles la altura, la mediana y la bisectriz respecto a la base son iguales y coincidentes. A

Triángulo Equilatero: es el triangulo que posee sus tres lados iguales y sus tres ángulos internos.( cada ángulo interno mide 600) A

SEGMENTOS Y PUNTOS NOTABLES: Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto a este o su prolongación. También se la conoce como transversal angular. Se puede decir que la mediana, la altura o la bisectriz son cevianas o segmentos notables de un triángulo y la mediatriz es una recta notable. Los puntos notables de un triangulo son baricentro, ortocentro, Incentro y Circuncentro Mediana: es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Todos los triángulos poseen tres medianas. Se denota con una m minúscula y la letra del lado. ma, mb y mc A

AM mediana de A Ma

Donde BM = MC por ser M punto medio. Baricentro: es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. Se denota con la letra B, es el centro de gravedad de un triángulo. A

Altura: es el segmento de recta perpendicular trazado desde el vértice al lado opuesto al vértice o a su prolongación desde. La altura de un triángulo se denota con la letra h y la letra del lado correspondiente. ha, ha y hc A

Ortocentro: es el punto de intersección de las tres altura de un triángulo y se denota con la letra O. A

Bisectriz: Es el segmento de recta que divide el ángulo interno de un triángulo en dos ángulos iguales y va desde el vértice del ángulo hasta el otro lado del triángulo. Se denota con la letra W y de subíndice el lado tales como wa, wb y wc.

B Wa

Incentro: es el punto de intersección de las tres bisectrices de los ángulos interno de un triángulo. Se denota con la letra I. A

Mediatriz: Es la recta perpendicular trazada por el punto medio de los lados de un triángulo, Se denota con la letra mayúscula M y como subíndice la letra del lado correspondiente. Ma, Mb y Mc. A

Circuncentro: es el punto donde se interfecta las mediatrices. Se denota con la letra C. A

En todo triángulo el circuncentro, baricentro y ortocentro están alineados siendo la distancia entre estos dos últimos puntos el doble de la distancia entre los dos primeros ( La recta que contiene estos puntos se llama (“Recta de Euler”). CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. La congruencia de triángulos se reduce al estudio de sus lados y ángulos, es fácil comprender que toda congruencia es una igualdad, en los triángulos indican que los segmentos y ángulos son iguales.

Dra. Gloria Bustamente Todo triángulo es congruente en sí mismo, en el efecto por el carácter idéntico de la igualdad de los segmentos y ángulos. Los lados y ángulos de un triángulo son iguales a si mismo; razón Secual dice todo que dos triángulos ΔABN ΔA‟B‟C‟ son congruente si y solo por lo triangulo es igual a siymismo.

sus lados y ángulos correspondientes son iguales. Poseen la misma forma Se dice que dos triángulos ΔABN y ΔA’B’C’ son congruente si y solo si sus tamaño. lados y ángulos correspondientes son iguales. Poel mismo seen la misma forma y el mismo tamaño. A α

A’ α’

ΔABC

a ΔA‟B‟C‟

∂

c’

B’

β’

b’

a’

∂’

C’

AB = A‟B‟ ; BC = B‟C‟ ; CA = C‟A‟ α = α‟ β ═ β‟ ∂ ═ ∂‟

CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Para triángulossea seacongruentes congruentes es necesario que sus tre Paraque que dos dos triángulos es necesario que tengan tengan sus tres lados y sus tres ángulos, respectivamente iguasus tres comprobar ángulos, respectivamente iguales. pues No es les. lados No es ynecesario todos los elementos, en necesar muchos casos basta se cumplanpues la igualdad de algunos comprobar todos que los elementos, en muchos casos elebasta que s mentos, para que los demás sean iguales.

cumplan la igualdad de algunos elementos, para que los demás sean iguales

El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los El conjunto de elementos que deben ser iguales para que los triángulos sea triángulos sean congruentes da origen en cada caso a los criterios congruentes de congruencia de triángulos, da origen en cadaestos caso son: a los criterios de congruencia d triángulos, estos son:

90 Dra. Gloria Bustamente

Primer criterio (L.L.L.) Primer criterio (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados iguales Dos triángulos son congruentes sii AB tienen sus BC tres =lados y y respectivamente ΔABC = ΔA’B’C’ = A’B’ B’C’ iguales y CA = C’A’ respectivamente ΔABC = ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ y CA = C‟A‟ A

B‟

C‟

Segundo criterio. (L.A.L.)

Segundo criterio. (L.A.L.) DosDos triángulos sonson congruente triángulos congruentesisiitienen tienendos dos lados lados iguales iguales yy el ángulo ángulo comprendido entre ellos. comprendido entre ellos. ΔABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

y AC = A‟C‟

A‟

α = α‟

α‟

B‟

C‟

Tercer criterio (A.LA-) Dos triángulos son congruente si tienen un lado igual adyacentes a dicho lado. ΔABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

y α = α‟ β = β‟

y los ángulos

α‟

Dos triángulos son congruentes sii tienen sus tres lados ig respectivamente ΔABC = ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ y91CA = B

B‟

C‟

B‟

C‟

Tercer criterio (A.LA-) Tercer criterio (A.LA-) DosDra. triángulos son congruente si tienen un lado igual y los ánGloria Bustamente Dos triángulos son congruente si tienen un lado igual y los ángulos gulos a dicho lado. Dra. Gloriaadyacentes Bustamente adyacentes a dicho lado.

AB = A‟B‟ C

ΔABC  ΔA‟B‟C‟

C‟

y α = α‟ β = β‟

C‟

Segundo criterio. (L.A.L.) Α

α’

β’

Dos triángulos son congruente sii tienen dos lados iguales y e Α A

α’ A’

Acomprendido entre ellos. B

β’

A’

B’

CRITERIO CONGRUENCIA ΔABC DE  ΔA‟B‟C‟ AB =DE A‟B‟ y AC = A‟C‟ α = α‟ CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: A A‟ A

A‟

α‟

B‟

B C B‟ Dos triángulos rectángulos Tercer criterio (A.LA-) son congruente sii:

C‟

Dos triángulos rectángulos son congruente sii: Primer criterio (L.A.L): los catetos iguales.un lado igual Dos triángulos sonTienen congruente si tienen Dos triángulos rectángulos son congruente sii: Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales. ABC  aΔA‟B‟C‟ BC = B‟C‟ adyacentes dicho lado. AB = A‟B‟

Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales.

y los

ABC  ΔA‟B‟C‟ AB = A‟B‟ BC = B‟C‟ Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al

ΔABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

y α = α‟ β = β‟

Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al ángulo ángulo

ABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟ AB = A‟B‟

α = α‟

Dos triángulos rectángulos son congruente sii:

92Primer criterio (L.A.L): Tienen los catetos iguales. ABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

BC = B‟C‟

Segundo criterio (A.L.A.) Tiene un ángulo agudo y el cateto adyacente al ángulo ABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

α = α‟

Tercer criterio (L.L.L.): Tiene un cateto y su hipotenusa iguales. Dra. Gloria Bustamente

ΔABC  ΔA‟B‟C‟

AB = A‟B‟

AC = A‟C‟

TEOREMAS FUNDAMENTALES: TEOREMAS FUNDAMENTALES: TEOREMA DE PITÁGORAS TEOREMA DE PITAGORAS El teorema de Pitágoras se cumple para los triángulos rectánEl teorema gulos. de Pitágoras se cumple para los triángulos rectángulos.

El Teorema Pitágoras estableceque que en en un triángulo El Teorema de de Pitágoras establece triángulorectánrectángulo, e gulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del cuadrado de rectángulo) la hipotenusa (el a lado de demayor longitud de del triángulo es igual la suma los cuadrados los triángulo catetoses (los dosalados menores triángulo,delos conforman rectángulo) igual la suma de losdel cuadrados losque catetos (los dos lados el ángulo recto). menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto). B a

c A

a 2 = b 2 + c2 TEOREMA DE THALES Teorema para las semejanzas y proporcionalidades.

Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces

TEOREMA DE THALES Teorema para las semejanzas y proporcionalidades. Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

AB DE

---

BC EF

Dra. Gloria Bustamente

94 AB DE

---

BC EF

TEOREMAS DE EUCLIDES El teorema de TEOREMAS DE Euclides EUCLIDESse utiliza para la proyección de los catetos sobre la hipotenusa seutiliza utilizan dos teoremas secundarios: uno El teorema de Euclides se para la proyección de los catetos sobre la referido a un cateto (en un triángulo rectángulo) y otro referido a hipotenusa se utilizan dos teoremas secundarios: uno referido a un cateto (en la altura.

un triángulo rectángulo) y otro referido a la altura.

En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional

proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella

proyección sobre ella

h m

a.- Teorema de los catetos:

H a

a.- Teorema de los catetos:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto 2

b = m.a y sobre la hipotenusa”. b.- Teorema la altura b2 =dem.a

c2 = n.a

EnTeorema un triangulode rectángulo, b.la alturael cuadrado de la altura de la hipotenusa (h) es

En un triángulo el cuadrado deenlala hipotenusa altura de equivalente al productorectángulo, de las proyecciones de los catetos

hipotenusa Por lo tanto, (h) es equivalente al producto de las proyecciones de los en la hipotenusa m.n h2 =catetos Por lo tanto, h2 = m.n

Dra. Gloria Bustamente

TEOREMA DE STEWART TEOREMA DE STEWART Establece una relación entre la longitud de los lados de un triánEstablece una relación entre la longitud de los lados de un triángulo gulo y la longitud de una ceviana. longitud de una ceviana. A

B a(p2 + m.n) = b2.m

mD - a2.n

TEOREMA DE APOLONIO. TEOREMA DE APOLONIO. Teorema de Apolonio (teorema de la mediana). Para todo trián-

Teorema de Apolonio dede la dos mediana). Para todo triángulo la su gulo la suma de los (teorema cuadrados lados cualesquiera, es

a la mitad de deldos cuadrado del tercer lado doble del deigual los cuadrados lados cualesquiera, es más igual el a la mitad del cuadr cuadrado de su mediana correspondiente. del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente. b

a Mc

a2 + b2 = ½ c2 + 2Mc

φ’ C

TEOREMA DEL SENO (LEY DE SENO) 96 Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos.

TEOREMA DEL SENO (LEY DE SENO) El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitud Se cumple para todos los triángulos que no sea rectángulos. de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamen El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre opuestos. Si en un lastriángulo medidasy de lados a las longitudes detriángulo los ladosABC, de un loslos senos deopuestos los ángulos opuestos. Si unentonces triángulo ABC, las ángulos α, respectivamente β y δ son respectivamente a, en b, c, medidas de los lados opuestos a los ángulos α, β y δ son respectivamente a, b, c, entonces. A b

c δ

β B

δ β

a --b --c . senα senβ senδ.

TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO) TEOREMA DEL COSENO (LEY DE COSENO) Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El teorem Se cumple para todos los triángulos que no son rectángulos. El

relaciona unrelaciona lado de un con los otros dos con el coseno teorema un triángulo lado de un triángulo con losyotros dos y con del ángu

el coseno del ángulo formado por estos dos lados: formado por estos dos lados: Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los Dado un triángulo ABC, siendo α, β y δ los ángulos, y a, b, c, los lad lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Dra. Gloria Bustamente

A A

α β

C C

a = b + c - 2b.c. cosα a2 = 2b2 + c2 2 - 2b.c. cosα b = a + c2 - 2a.c.cosβ b2 = 2a2 + 2c2 - 2a.c.cosβ c = a + b2 - 2a.c- cosδ 2a.b.cos c2 = a2 + b2 - 2a.ccosδ TEOREMA DEDE LAS TANGENTES. TEOREMA LAS TANGENTES.

El teorema la tangente es una fórmula que relaciona las lonTEOREMA DEdeLAS TANGENTES. El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitude gitudes de los tres lados de un triángulo y las tangentes de sus El teorema de la tangente es una fórmula que relaciona las longitudes de tres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c ángulos. a, b, y c son las longitudes de los tres lados del triángutres lados de un triángulo y las tangentes de sus ángulos. a, b, y c son de los losángulos tres lados del triángulo, y lados α, β, respecy φ son los lo,longitudes y α, β, y φ son opuestos a estos tres

longitudes deEllos tres lados del triángulo, y α,que: β, y φ son los ángu tivamente. teorema de la tangente establece opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la t

opuestos a estos tres lados respectivamente. El teorema de la tange establece que: establece que:

A A α

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIÁNGULOS 1.- Dado un cuadrilátero ABCD donde DR ┴ AC y BT ┴ AC. Demostrar que DR = BT. C D T R

Solución:

ABCD, es un paralelogramo donde AD = BC por ser lados paralelos de un paralelogramo. <DAR = <BCR por ser alterno interno entre paralelas.<ARD = <CTR por ser ángulos recto entonces <ADR = <TCB. Entonces Δ ADR = ΔBCT por el criterio A.LA. Entonces DR = BT. 2.- Si en un triángulo M es el punto medio de AC y N es el punto medio de CB y el segmento MN ║ AB. Demonstrar ∆ MCN . ∆DNB C

Solución: <DBN = <MNC por ser correspondientes entre paralelas MN ║ AB. BN = NC por ser N punto medio BC; <NCM = <DNB por ser ángulos correspondientes entre rectas paralelas, AC ║ DN. Luego Δ MCN Δ DNB por el criterio ALA. 3.- En un triángulo isósceles AH es la altura del lodo diferente demostrar que ΔABH ΔACH.

Solución: El < BHA = < CHA por ser ángulos rectos por ser BC AH. <ABH = <ACH por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles. Por ser la suma de tres ángulos internos de un triángulo es igual a 1800.Entonces <BAH = <CAH. AB = AC por ser lados iguales de triangulo isósceles. AH = AH por ser altura del triángulo. Entonces ΔBAH ΔCAH por el criterio LAL.

100

EJERCICIOS PROPUESTOS TRIÁNGULOS.

1.- Demostrar que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es igual a 1800 2.- La suma de dos ángulos interno de un triángulos es menor de 1800. 3.- Demostrar que la suma de los tres ángulos externo de un triángulo es igual a 3600. 4.- .Demostrar que el ángulo formado por la mediana y la altura de un triángulo rectángulo, trazada ambas desde el vértice del ángulo Â recto y es igual a <B - <C 5.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC, se toma sobre este último una longitud AD = AB con la cual resulta que el punto D equidista de los vértices B y C según esto. Demostrar que <B =<C , 6.- En un triángulo rectángulo β = 320, cuál será el valor del ángulo <AIC formado por el punto de la intersección de las bisectrices de los ángulos <A y <C. 7.- Demostrar que un paralelogramo es rectángulo, si y solo si, sus diagonales son congruentes. 8.- Los segmentos AB y CD se bisecan en E. Demostrar que el triangulo Δ ACE ≅ Δ DBE.

101

9.- Demostrar que una diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. 10.- Demostrar si una recta pasa por el punto medio de un lado de un Triángulo y es paralelo a uno de los otros dos lados entonces corta al tercer lado en su punto medio. 11.- El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices 12.- Por los vértices de un trapezoide ABCD, se trazan paralelas a las diagonales AC y BD. Demostrar que el cuadrilátero que resulta es un paralelogramo de doble área que el trapezoide dado. 13.- En un paralelogramo A B C D, M y N son puntos medios de los lados AB y CD. Trazar la diagonal AC. Se trazan perpendiculares a AC por M y N . Demostrar que los triángulos que se forman son que forman son congruentes. 14.- La bisectriz del ángulo diferente de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos congruentes. 15.- Si un punto en la base de un triángulo isósceles equidista de los puntos medios de los lados congruentes, el punto biseca a la base. 16.- En el triángulo ABC, tenemos que <ABC ≅ <ACB, si M es punto medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces ΔMBC ≅ ΔNCB.

medio de AB y N es punto medio de AC, y AB = AC entonces ΔMBC  ΔNCB.

102 17.- Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT, <RTP = <QSP demostrar que ΔRTP = ΔQPS 17.Dada las siguientes figuras donde tememos RS = QT; PS = PT, <RTP = <QSP demostrar que ΔRTP = ΔQPS P. P

18.- En la figura RV = ST ; RQ = SP que

y <VRQ  <TSP. Demostrar

ΔRVQ  ΔTSP. V

19.- Si se tiene un triángulo ABC equilátero, donde BE = 2AB y R P Q S el <BDE es recto. Probar que el triángulo ∆CAD es rectángulo en A. A

89 D

103

20.- Si AB ║ CD y AB = CD . Demonstrar que Δ AOB ≅ ΔCOD. A

21.- Si BC = AD y DC = AB. Demostrar que Δ ABD ≅ Δ BCD. C

22.- Si BD ┴ AC

y B es el punto medio de AC. Demostrar que

ΔABD ≅ ΔBCD. A

104

23.- En el ΔABC tenemos que AB = AC; CE = CD; BF = BD y α = 600 ¿Cuál es el valor del < EDF?.

24.- Dados los puntos R, Q y S coliniales donde RQ = QP y RV = PT. Hallar el ángulo <SQP si <QRV = 250 y <VQT = 1000.

Q α

100°

25.- Sea D cualquier punto del lado AB, uno de los lados iguales en un triángulo isósceles ABC. Se toma un punto F en la prolongación del lado AC de modo que la intersección de DF con BC Es el punto medio del segmento DF. Demostrar que CF = BO

105

26.-ABC es un triángulo isósceles tal que AB = AC. Se toma un punto cualquiera G sobre AB y se toma un punto H en la prolongación del lado AC de modo que BG = CH. Pruebe que GH > BC. 27.- Dado un triángulo ABC tal que AB < AC; se toma este último lado Una longitud AD = AB, con los cuales resulta que el punto D equidista de los vértices B y C. Demostrar que B = 3C. 28.- Los triángulos ΔABC = ΔAED son rectángulos en B y E. Si M y N son puntos medios de AD y PC. Probar que ME NE. A

M B

29.- Dada la figura donde PB ║ AD y BP es bisectriz del <ABC. Demostrar que AB = DB C P A

106

30.-Si se tiene el paralelogramo ABCD, AE ll CF. Demostrar que ΔAED  ΔBCF F

31.- Considérese en el triángulo ABC; done AH es la aluta que parte desde el vértice A, si AW es la bisectriz del ángulo A. el <A es mayor que <C. Entonces el ángulo determinado por la altura (AH) y la bisectriz del ángulo

A, (WA) es igual a < HAW = <B - <C . 2 A

PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO. PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULO. Segmentos Proporcionales: 107 os Proporcionales: Dado los conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.] conjunto de segmentos S= [ AB, BC, CD,.] s‟ = {A‟B‟, B‟C‟.C‟D‟…} SEMEJANZA , B‟C‟.C‟D‟…} PROPORCIONALIDADES Y SEMEJANZA DE biunívoca TRIÁNGULO. Entre los dos conjunto existe una correspondencia F ( a cada dos conjunto existeProporcionales: una correspondencia biunívoca F ( a cada Segmentos elemento selos S leconjunto corresponde un elemento S‟) BC, CD,.] Dado de segmentos S= de [ AB, o se S le corresponde un elemento de S‟) s’ = {A’B’, SB’C’.C’D’…} S’ Entre los dos conjunto existe una correspondencia biunívoca F S S’ A’Bun elemento de S’) ( a cada AB elemento se S le corresponde AB A’B s BA B’C s BA B’C AB CD C’D’A’B CD C’D’ BA B’C CD C’D

Una proporcionalidad es una es correspondencia, si conserva la igualdad, Una proporcionalidad una correspondencia, si conserva la el porcionalidad es una correspondencia, si conserva la igualdad, el orden la suma entre elementos de S y S’. orden igualdad, y la sumaelentre losyelementos de Slos y S‟. la suma entre los elementos de S y S‟. Es decir (igualdad) Es decir: AB = AC → A‟B‟ = A‟C‟ (igualdad) s decir: AB = AC AB→> BC A‟B‟ = A‟C‟ (igualdad) (orden) → A‟B‟ > B‟C‟ (orden) AB > BC AB→ A‟B‟ > B‟C‟ (orden) (orden) < BC → A‟B‟ < B‟C (orden) AB < BC A‟B‟ < B‟C (orden) AC→= AB +BC → A’B’ = A’B’ + B’C’ (suma) (suma) AC = AB +BC → A’B’ = A’B’ + B’C’ (suma) En tal caso se dice que los segmentos son proporcionales y se En tal pueden caso se escribir: dice que los segmentos son proporcionales y se so se dice que los segmentos son proporcionales y se pueden escribir: AB -- BC -- CD --…………= K, ҰKεR K≠0 -- CDB‟C‟ --…………= ҰKεR K≠0 escribir: AB -- BC A‟B‟ C„D„ K, A‟B‟ B‟C‟ C„D„ RAZON: Es el cociente entre dos cantidades, es decir, dividir la primera RAZON:entre Es eldos cociente entre es dosdecir, cantidades, es primera decir, dividir Es el cociente cantidades, dividir la la primera cantidad entre la segunda cantidad: es importante cantidad entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante que el estudiante entienda que una razón es el cociente entre la segunda cantidad: es importante que el estudiante de cantidades medidas semejantes. entienda que una de razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes. que una razón es el cociente de cantidades de medidas semejantes. 95

108

a . -- k Razón b Constante de proporcionalidad (k) es el valor de una razón y es un número real. Proposición: es la igualdad de dos razones a . -b

c . d

a: b = c: d

se lee a es a b como c es a d. Donde a y d son extremo de la proporción, b y c son medios de la proporción. TIPOS DE PROPORCIONES: 1.- Cuarta proporcional: Se llama cuarta proporcional de tres cantidades a, b y c, a un valor x que cumple la condición a . -b

c . x

a.b = c.x

2.- Tercera proporcional: Se llama tercera proporcional de dos cantidades a y b, a un valor x que cumple la condición. a . -- b . ó a.b = b.x b x Cuando la tercera proporcional ocupa la posición de un extremo los medios deben ser iguales.. 3.- Media proporcional: Se llama media proporcional de dos valores a y d, a un valor x, que cumple la siguiente condición. a . -- x . x d

a.x = x.d

109

Siempre ocupa la posición de los medios. También. Se dice: Si los dos medios de una proporción son iguales, cualquiera de ellos se denomina medio proporcional entre el primer término y el cuarto. 4.- Serie de razones iguales: Dada una serie de razones iguales: a . -- c -- e. -- g . …… b d f h Se cumple que la suma de todos los denominadores, como un numerador denominador. a . + c . + e .+ g … . -- a . -b + x + b + x… b

numeradores es a los cualquiera es a su c . -- e . -d f

g . -h

TEOREMA DE TALES. Sean m y m’ son dos rectas transversales a un conjunto de restas paralelas l1, l2, l3, …..ln, entonces los segmentos determinado sobre m, son proporcionales a los determinados sobre m’ Si l1 || l2 || l3 || …..|| ln debe cumplirse que: m

A’

B C D t

AB .-A’B’ B’ C’

BC -- CD . B’C C‘D

……

110

PRINCIPIOS DE LAS PROPORCIONALIDADES: 1.- Toda recta paralela a un lado de un triángulo determina sobre los otros dos lados o sus prolongaciones segmentos que son proporcionales A

Si l ║ BC→ AP -- PB AQ QC Q

2.- Si una recta determinada sobre dos lados de un triángulo o sus prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. A

Q v B

AQ BP

QC BC

→ l ║ AB

111

3.- El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. .Si M1 es punto medio de AB y M2 es punto medio de BC, entonces M1M2 ║ AC

Λ M1M2 -- AC . 2 B

4.- La bisectriz de un ángulo en un triángulo, divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados continuos. A

BW es bisectriz del ángulo α AB -BC

α α 2 2

AW WC

112

SEMEJANZA DE TRIÁNGULO: Dos triángulos son semejantes si y solo si, sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos son congruentes. A A

Intuitivamente dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque no necesariamente del mismo tamaño. AN -ΔABC ~ΔA’B’C’

BC --

A’B’ B’C’ α = α’ : β = β’

CA -- k C’A’ y ∂ = ∂’

Donde K es ka razón de semejanza. La congruencia de triángulo es un caso particular de semejanza donde K = 1. CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO: Primer criterio (AA) Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen dos ángulos son congruentes.

113

A’ A α

β’

ΔABC ~ ΔA’B’C’

→

α = α’

C’

β = β’

Segundo criterios (L.A.L.) Dos triángulos son semejantes si y solo si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales ΔABC ~ ΔA’B’C’

→

α = α’

AB -A’B’

AC . A’B’

Tercer criterio (L.L.L.) Dos triángulos son semejantes si y solo si, tienen son tres lados proporcionales. ΔABC ~ ΔA’B’C’ → AN -- BC -- CA A’B’ B’C’ C’A’

114

Principios: 1.- Dos triángulos rectángulos son semejantes si y solo si: tienen un ángulo agudo igual.(AA). 2.- Dos triángulos isósceles son semejantes si y solo si: tienen igual el ángulo opuesto a la base (LLL). 3.- Todos los triángulos equiláteros son semejantes (LLL). 4.- Dos triángulos, si tienen sus lados proporcionales son semejantes.(AA). 5.- En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulos dado en otro dos semejantes a él y semejante entre si. A ΔABC ~ ΔABH ~ ΔACH

H B MEDIAS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

1.- En todo triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que su pie determina sobre la hipotenusa. ΔABC es rectángulo en B. BC es la hipotenusa del ΔABC AH altura correspondiente a la hipotenusa BC. Se cumple: BH . -- AH . AH BC

2.- En todo triángulo rectángulo, cualquiera de los catetos es m

proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sob 115 hipotenusa. BC -- AB BC -AC 2.cualquiera de los catetos es AB En todo BHtriángulo rectángulo, AC HC medio proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto TEOREMA DE PITÁGORAS sobre la hipotenusa. BC -- AB BC -AC En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la AB BH AC HC de los cuadrados de los catetos. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es A 2 igual a la suma de los cuadrados de = bcatetos. + c2 a2los A B

a2 = b2 + c2 H

RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO B EJERCICIOS H C

1.- Dado un triángulo rectángulo donde N es el punto medio de la hipote EJERCICIOS RESUELTOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO un triángulo rectángulo donde el punto medio y1.-elDado segmento MN es paralelo al lado ABNyesMN I AC en N.deDemostra la hipotenusa y el segmento MN es paralelo al lado AB y MN el ΔAC ABC CMN. en ~N.ΔDemostrar que el Δ ABC ~ Δ CMN. B M

A Solución:

116 Dra. Gloria Bustamente

Dra. Gloria Bustamente

Solución:

El < BCA = <MNC = 900

<ACB = < MCN es un ángulo común

Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por

Como <ABC + <BAC + <ACA = 1800 y <NMC +<MNC + <NCM =1800 por ser ángulos internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces,

ser <ABC ángulos internos de los triángulos ΔABC y ΔMNC entonces, + <BCA + <CAB = <NMC + <MNC + <NCM por ser igual a 1800 <ABC + <BCA + <CAB <NMC + <MNC <NCM por ser igual a 1800 entonces tenemos que = <ABC = <NMC por+demostración. entonces tenemos <ABC = <NMC por demostración. Entonces, ΔABC que ~ ΔMNC por el criterio AAA AB ΔABC -- BC~ ΔMNC -- CA por . el criterio AAA Entonces, MN

AB -- BC -- CA . 2.- En todo MN MC triángulo NC oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto 2.- En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo

al ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el dos,todo menos el doble producto de uno de ellos por la proyección 2.- En triángulo oblicuángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo del otro lado de sobre él.ellos por la proyección del otro lado sobre él. doble producto uno de agudo

agudo

es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el B

doble producto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él. h B

A Solución:

a n

A Probaremos en el ΔABC que a2 =Hb2 + c2 - 2bm. C Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es

Solución:

altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que a2 = h2 + n2

Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm.

117

Solución: Probaremos en el ΔABC que a2 = b2 + c2 - 2bm. Por el teorema de Pitágoras en el ΔABH por ser recto en H ya que h es altura se tiene c2 = h2 + m2 y en el ΔCBH tenemos que a2 = h2 + n2 Dra. Gloria Bustamente

Despejando h2 en cada una de las ecuaciones. h2 = c2 - m2 h22 = a2 – n2 donde b = m + n Despejando h en cada una de las ecuaciones. a2 – n2 = c2 – m2 despejando n = b – m h 2 = c2 - m 2 2 2

h 2 = a 2 – n2

donde b = m + n

a – ( b – m) = c – m despejando n = b – m a 2 – n 2 = c2 – m 2 a2 – (b2 - 2bm + m2 ) = c2 – m2 – m) a2 – ( b– a2 – b2 + 2bm m22==c2 c– 2m2– m2 2 2 2 2 2 a – (b - 2bm –m 2 a2 = b2 – 2bm + m2 ++2mc2) 2=–c m 2 2 2 a – b + 2bm – m = c – m a2 = b2 + ca22=–b2 2bm era lo que queríamos demostrar – 2bm + m2 + c2 – m2 2

a2 = b2 + c2 – 2bm

era lo que queríamos demostrar

EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. EJERCICIOS PROPUESTOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. 1.- Los triángulos Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E. Si M y 1.-NLos son puntos medios de AD y PC. Probar que ME triángulos Δ ABC y Δ AED son rectángulos en B y E. Si M y N I NE. son puntos medios de AD y PC. Probar que ME I NE. A

105

2.- Dado el triángulo Δ ABC donde M y N son punto medios de los lados 118 AB y CB. Demostrar que MN║ CA y MN =

AC . 2

Dado Δ ABC donde M yrectángulo, N son punto medios 3.- La 2.altura deel latriángulo hipotenusa de un triángulo forma dosde triángulos los lados rectángulos entre si que y también al triángulo dado. ABsemejantes y CB. Demostrar MN║ son CA semejantes y MN = AC . 2 3.- La altura la triángulos hipotenusarectángulos de un triángulo 4.- Demostrar quede dos son rectángulo, semejantesforma si tienen un dos triángulos rectángulos semejantes entre si y también son ángulosemejantes agudo igual. al triángulo dado. 4.- Demostrar que dos triángulos rectángulos son semejantes si 5.- Todos losuntriángulos equiláteros tienen ángulo agudo igual. son semejantes. 6,. Si 5.una recta determina equiláteros sobre dosson lados de un triángulo o Todos los triángulos semejantes.

sus

prolongaciones segmentos proporcionales, entonces paralela al tercer 6.- Si una recta determina sobre dos lados de un es triángulo o sus prolongaciones segmentos proporcionales, entonces es paralela lado e igual a la mitad. al tercer lado e igual a la mitad. 7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y BC ┴ DC 7.-Dado el trapecio ABCD donde AB║ CD y AF ┴ BE en F, y en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE.. BC ┴ DC en C. Demostrar que ΔABF ~ ΔBCE.. A

Dra. Gloria Bustamente

8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer

119 Igual a la mitad 8.- El segmento que une los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado

Igual lasegmento mitad 9.-aEl Dado un triángulo ΔABC y PQde║un BCtriángulo Demostrar que el ΔABC ~ ΔA 8.que une los lados es paralelo al tercer lado e Igual a la mitad A 9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el ΔABC ~ ΔAPQ 9.- Dado un triángulo ΔABC y PQ ║ BC Demostrar que el A ΔABC ~ ΔAPQ. P

Q Q

10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que 10.- Si AD ┴ AB y DC ┴ AD. Demostrar que

AB DC

AB DC --

AD . BC

CIRCUNFERENCIA Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, también podemos decir, que es el conjunto de puntos que están a igual distancia de un punto dado llamado centro.

de un punto fijo llamado centro, también podemos decir, que es el conjunto

120 que están a igual distancia de un punto dado llamado centro. de puntos PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA: CIRCUNFERENCIA

PARTES DE UNA CIRCUNFERENCIA: Radio

… …….cuerda

Circunferencia…….

……arco diámetro .recta secante … recta tangente T recta exterior

Radio: es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. Se denota con la letra r.

Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia, la cuerda de mayor conformado por Diámetro: es laes cuerda que pasa por el longitud centro deestá la circunferencia, es lados radios. Se denota con la letra D y es D = 2r.

cuerda de mayor longitud está conformado por dos radios. Se denota con la

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

letra D y es D = 2r.

Cuerda: es el segmento de recta que une dos puntos cualquiera de la

Arco de la circunferencia: es el conjunto de puntos de la circunferencia que se encuentra entre dos puntos dados. Se denocircunferencia. ta con un arco sobre los puntos AB. Recta secante: es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

108

121

Recta Tangente: es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto y este punto se llama punto de tangencia y se denota con la letra T. El radio corta a la recta tangente en el punto de tangencia en forma perpendicular. Recta Exterior: es la recta que no corta a la circunferencia en ningún punto. Longitud de la circunferencia: es el entorno de la circunferencia. Se denota con la letra L y es L = 2π r. Interior de la circunferencia: es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro es menor que el radio. Exterior de una circunferencia: es el conjunto de puntos del plano cuya distancia al centro es mayor que el radio. Ángulo central: es todo ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la circunferencia. Arco menor: cuando la medida del ángulo central que lo subtiende es menor de 1800 Arco mayor: cuando la medida del ángulo central que lo subtiende es mayor a 1800. Semi-circunferencia: es aquel arco cuya medida del ángulo central es igual a 1800, o sea es un ángulo llano. (es media circunferencia).

122

CÍRCULO: Es el conjunto de los puntos internos de una circunferencia y su entorno. Sector Circular

Sector circular: es la porción del círculo limitada por dos radios, lados de un ángulo central y el arco correspondiente.

Corona circular: es el lugar geométrico comprendido entre dos circunferencias concéntricas de diferentes radios

Área de un círculo: es la superficie cerrada en una circunferencia. Ao = π r2 donde π = 3.141º6… Semi círculo: es el sector circular comprendido diámetro y la semicircunferencia correspondiente

entre un

123

Área del círculo: corresponde al valor de la superficie encerrada en una circunferencia. Se denota por A = π r2 PRINCIPIOS DE UNA CIRCUNFERENCIA. Todo diámetro divide a la circunferencia o el círculo en dos partes iguales. Un diámetro perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y sus arcos correspondientes. La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. (es el diámetro). Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en su punto de tangencia. POSICIÓN RELATIVA DE LAS CIRCUNFERENCIAS. Circunferencias concéntricas: son las que tienen el mismo centro. Si O1 = O2 y r1 ≠ r2 C1 y C2.

Circunferencias congruentes: son aquella circunferencia que tienen radios iguales. r1 = r2 y o1 = o2 entonces C1 = C2

124

Circunferencias exteriores: cuando los puntos de una circunferencia son exteriores a la otra circunferencia.

Circunferencias Interiores: cuando los puntos de una de las circunferencia son puntos internos de la otra circunferencia. Y pueden ser concéntricas cuando tienen en mismo centro y excéntricas cuando están dentro de la circunferencia pero con centros diferentes.

Circunferencias secantes: son aquellas circunferencias que tienen dos puntos comunes.

Circunferencias Tangentes: son aquellas que tienen un punto en común, denominada punto de tangencia y se denota con la letra T.

125

Circunferencias tangentes exteriores: cuando tiene un punto en común y los demás puntos son externos.

Circunferencias tangentes interiores: cuando tienen un punto en común y los demás puntos son internos a una circunferencia.

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA, Ángulo Central: es el ángulo cuyo centro está en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios. La medida de un ángulo central es igual al arco que lo subtiend θ = AB A

θ B

126

Ángulo inscrito: es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas.. Un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que lo subtiende. Θ -- AB . 2

A O

Θ B

Ángulo semi-inscrito: es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y un lado es una cuerda y el otro lado un segmento tangente es igual a la mitad del arco que lo contienen. Θ -- AT . 2

Θ A

127

Ángulo interior: es un ángulo vérticecuyo se encuentra Ángulo interior: es uncuyo ángulo vértice sedentro encuentra de de la circunferencia o sea que es un punto interno en una circunferencia o seadel que es unSu punto interno en una circunferencia, diferente centro. medida es igual a lacircunferencia semi suma de los arcos interceptados por dicho ángulo y el de su del centro. Su medida es igual a la semi suma de los arcos interce opuesto por el vértice. dicho ángulo y el de su opuesto por el vértice. Θ --

AB + CD . 2

A A

B C

Ángulo exterior: es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la Circunferencia y sus lados pueden ser: rectas secantes, rectas tangentes o una recta secante y una tangente.. Su medida es igual a la semi diferencia de los arcos limitados por sus lados. Θ -- AB – CD 2 A C Θ

semi diferencia de los arcos limitados por sus lados. Θ -A

AB – CD . 2

128

θ D

EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA EJERCICIO RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA 1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior 1.- Dada la circunferencia de centro O, desde el punto A exterior se traza la se traza la recta secante ABC de modo que AB = r también por recta secante ABC de modo que AB = r también por A se traza otra recta A se traza otra recta secante AOD que pasa por el centro de la secante AOD que pasa por el centro de la circunferencia. Demostrar que circunferencia. Demostrar que el <COD = 3 < BAO el <COD = 3 < BAO.

D B

O E

Solución: Tesis Hipótesis <COD = 3115<BAO AB = r OC = OD = OB = r; por se O centro de la circunferencia. Demostración: Los triángulos ΔABO y ΔBOC son isósceles por hipótesis BA = BO = r por hipótesis OB = OC por ser radio de la circunferencia. En ΔABO el < BAO = < BOA por ser triángulo isósceles entonces el <CBO = <BAO + < BOA por ser ángulo exterior al ΔABO entonces <CBO = 2 <BAO. El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO como el < COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el <COD = <BAO + <BCO Como <BCO = 2<BAO entonces tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC → <COD = 3<BAO.

El ΔBOC es isósceles por lo tanto <CBO = < BCO = 2<BAO como el

129

< COD es un ángulo exterior al ΔAOC entonces el <COD = <BAO + <BCO Como <BCO = 2<BAO entonces tenemos que <COD = <BAO + 2<BAC

→

que todo ángulo exterior a una circunferencia <COD2.= Demostrar 3<BAO. es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados..

2.- Demostrar que todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos limitados por sus lados.. A C Θ

D Dra. Gloria Bustamente

Solución: 116 Trazamos el segmento AD, luego resulta el ΔAED donde tenemos que

el < ADB = AB por ser ángulo inscrito y el < CAD = CD por ser ángulo 2 2 inscrito en una circunferencia, entonces, <ADB es ángulo exterior al ΔAED por lo tanto < ADB = <CAD + <CED como <CAD = CD y 2 y < ADB = AB 2 entonces < CED = <ADB - <CAD

< CED -- AB 2

CD 2

→

θ -- AB - CD 2

3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia a una cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende.

< → θ < CED CED --- AB AB -- CD CD → θ --- AB AB -- CD CD 2 2 2 2 2 2 130 < CED -- AB - CD → θ -- AB - CD 2 2 2 3.La perpendicular trazada desde el centro de una 3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunferencia circunferencia 3.- La perpendicular trazada desde el centro de una circunfecuerda, biseca a y atrazada los arcos que los subtiende. La perpendicular desde el centro de una circunfer Dra. Gloria3.cuerda, biseca a la la cuerda cuerda arcos los subtiende. rencia a Bustamente una cuerda, bisecayaalalos cuerda yque a los arcos que los subtiende. Solución: cuerda, biseca a la cuerda y a los arcos que los subtiende. Solución: Solución: P Hipótesis Tesis Solución: Hipótesis Tesis Sea circunferencia Sea la la Hipótesis circunferencia de de centro centro o o OQ OQ

AB la circunferencia de centro o ll Sea .. AB OQ

l . AB

AM Tesis AM = = MB MB AQ = = AM BQ = MB AQ BQ AP = = AQ PB = BQ AP PB B

AP = PB

Se trazan los radios AO y OB. Los <AMO = <BMO = 90º por ser OQ ┴ AB por hipótesis. AO = OB por ser radio de la circunferencia. OM = OM por ser lado común, entonces los ∆AOM ≈ ∆ BOM por ser triángulos rectángulos y tener un cateto y sus hipotenusas iguales. Entonces se tiene que AM = MB entonces M es el punto medio de AB <AOM = <MOB por ser opuestos a lados iguales de triángulos congruentes. Entonces AQ = QB por ser arcos de ángulos centrales e iguales. AP = <POA por ser Angulo central BP = <POB por ser Angulo central Como los <POA = <POB por ser ángulos adyacentes y miden 90º; entonces queda demostrada la tesis.

EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA.

131 Dra. Gloria Bustamente

EJERCICIOS PROPUESTOS CIRCUNFERENCIA. 1.- Hallar el valor de los ángulos α y β, el arco AB en cada uno de los siguientes casos. (a) 32

C E

B 800

(b)

1000

β C

(d)

380

1300

F β

860

1050

720 α

1050 E

B A

56 D

350

A 700 C

α β

F D

119

Gloria Bustamente

132

Dra. Gloria Bustamente

ean dos circunferencias tangentes interiores en T, si AD y CD son

tas secantes cualquiera trazadas tangentes por T . Probar que ACsi AD ll yBDCD yson 2.- Sean dos circunferencias interiores en T, AT -- CT . BT DT rectas secantes cualquiera trazadas por T . Probar que AC ll BD y AT BT

-- CT . DT

A A

B B

T D

3.-Unestá cuadrilátero está en unasi circunferencia si sus n cuadrilátero inscrito una inscrito circunferencia sus ángulos 3.-Un cuadrilátero estáen inscrito en una circunferencia si sus ángulos opuestos son suplementario. estos sonángulos suplementario. opuestos son suplementario. 4.- Demostrar que los segmentos tangentes desde un punto

Demostrar quecircunferencia los segmentos tangentes desde un punto externo a una externo una son congruentes yexterno forma emostrar4.que losasegmentos tangentes desde un punto aángulos una circunferencia son congruentes y forma ángulos congruentes con la recta nferenciacongruentes son congruenteslay recta formaque ángulos congruentes la recta por el punto ycon el centro de la que pasa por el con punto y el centro de pasa la circunferencia.

pasa porcircunferencia. el punto y el centro de la circunferencia. A

A O

P B

5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo

n una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al <COD.

133

5.- En una circunferencia OA es igual al diámetro y AB es igual al radio de la circunferencia dada y <BAE = 200. Hallar el valor de ángulo <COD.

Dra. Gloria Bustamente Dra. Gloria Bustamente

C B

6.- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de 6.- Si e traza unayrecta exterior a dos circunferencia de diferentes diferentes radios, los tangente radios esta separados por una distancia mayor quey los su radios suma. radios, esta separados por una distancia mayor que su suma.

- Si e traza una recta tangente exterior a dos circunferencia de diferentes

dios, y los radios esta separados por una distancia mayor que su suma.

O’

O 7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas O’ iguales se cortan, 7.- Demostrar que en toda circunferencia, si dos cuerdas iguales los segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos se cortan, los segmentos de una cuerda son respectivamente de la otra cuerda. iguales a los segmentos de la otra cuerda. 8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de 8.- Demostrar que la perpendicular trazada desde el centro de la la circunferencia acircunferencia, una cuerda, biseca cuerda yque loslos arcos - Demostrar que en toda doslaycuerdas se que cortan, circunferencia a una cuerda, biseca lasicuerda los arcos iguales subtiende. los subtiende. s segmentos de una cuerda son respectivamente iguales a los segmentos

e la otra cuerda.

134

CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS Las construcciones son lugares geométricos de una figura conociendo una o varias condiciones geométricas restrictivas. Lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una o más condiciones dadas. Para determinar el lugar geométrico seguimos los siguientes pasos: a) Construimos una figura de análisis. b) Localizamos varios puntos que satisfagan las condiciones dadas. c) Trazamos una o varias líneas rectas o curvas que pase por los puntos. d) Formar una conclusión referente al lugar geométrico y describir con exactitud la figura geométrica que representa la conclusión. e) Probar la conclusión demostrando que la figura satisface las característica del lugar geométrico. EJERCICIOS RESUELTOS DE CONSTRUCCIONES DE FIGURAS PLANAS Dra. Gloria Bustamente 1.- Construir una circunferencia de razón a/b sobre el segmento AB. (Circunferencia de Apolunio). Solución: P

a) dado el segmento AB b) Dado un punto P fuera de AB.

135

a) dado el segmento AB b) Dado un punto P fuera de AB. c) Unimos los punto A y B con P d) Hallamos la bisectriz de los ángulos internos y externo al ángulo de vértice P. e) Esas dos bisectrices deben formar un ángulo de 900. f) Prolongamos el segmento AB hasta que corte la bisectriz del ángulo externo. g) Hallamos el punto medio de RQ que será el centro de la Circunferencia. h) Trazamos una circunferencia de diámetro RQ y que pase por P. i) este es la circunferencia de Apolonio. 2.- Dado el segmento AB y un ángulo comprendido 00 < α < 1800. Bustamente TraceDra.elGloria arco capaz de α sobre AB Solución:

a) Construimos el segmento AB. b) Trazamos la mediatriz del segmento AB.

136

a) Construimos el segmento AB. b) Trazamos la mediatriz del segmento AB. c) En el extremo A del segmento AB, trazamos el ángulo dado en la parte inferior. d) Trazamos en la parte superior del segmento AB, y por el punto A una recta perpendicular al lado del ángulo de tal manera que corte la mediatriz del segmento AB. e) El punto de corte de la mediatriz del segmento AB y la recta perpendicular es el centro de la circunferencia que forma el arco capaz del ángulo dado. EJERCICIOS PROPUESTOS CONSTRUCCIÓN DE FIGURAS PLANAS 1.- Construir una circunferencia que pasa por tres puntos no colineales. 2.- Construir un triángulo conociendo sus tres lados. 3.- Construir un triángulo isósceles ∆ABC conociendo su base y la altura. 4.- Construir un triángulo ABC conociendo A, ha, Wa. 5.- Construir un cuadrilátero ABCD conociendo AB, BC, la diagonal AC y los ángulos < ADB y <DBC. 6.- Construir un paralelogramo ABCD conociendo AB, AC y β. 7.- Construir una circunferencia conociendo su diámetro. 8.- Construir un arco capaz en el segmento AB y con un <600 9.-Construir un arco capaz en el segmento AB y con un < 1300. 10.-Construir un pentágono. 11.- Construir un octágono.

12.-Construir un rombo conociendo sus diagonales. 13.- Trazar una tangente interior a dos circunferencias de radios iguales. 14.- Construir un triรกngulo conociendo dos lados y un รกngulo opuesto a un lado dado.

138

BIBLIOGRAFÍA BALDOR, A. ( 1992 ) Geometría plana y del espacio. Editorial cultura venezolana S.A. Caracas. BALLESTER C. (1995) Geometría. Fondo Editorial. CNAMEC. Caracas. CLEMENS S. Y O’DAFFER P. (2002) Geometría. Aplicaciones y solución de problemas. Editorial Iberoamericana. España, DURAN, D.(2000) Geometría Euclidiana Plana. Ediluz Maracaibo- Venezuela. GOMËZ, A. (1990) Geometría Instituto Universitario del Mejoramiento Profesional del Magisterio. HEMMERLING, E. (1991) Geometría Elemental. Editorial, Limusa. México JAMES, N.(1997) Sigma (El mundo de la Matemática) Tomo I Grijalbooo. Barcelona. MARTINO, A. ( 1989 ) Álgebra Lineal y Geometría Euclidiana . Washington. O,E.A. MOISE E, Y DOWNS J. ( 1972 ). Serie matemática Moderna (Geometría) Fondo Educativo Interamericano. Colombia. MOISE, E.(1998). Elementos de Geometría Superior. Centro Regional de ayuda técnica. Mexico. OHMER, M.( 1999 ) Geometría Elemental para maestros. Editorial Trillas, Mexico. RODRIGUEZ DE, M.(1982) GEOMETRÍA Modulo III. Colegio Universitario de Maracaibo. Venezuela.

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Este libro fue impreso en los talleres de Grafifor,C.A. el mes de Septiembre del a単o 2013. Se emplearon tipos Arial 12. Consta de un tiraje de 1000 ejemplares

MUNDO GEOMETRICO LIBRO DE TEORÍA DE GEOMETRÍA Dra. Gloria Bustamante

El presente libro se realizó debido a la necesidad de tener un apoyo para los estudiantes y docentes en el estudio de la geometría plana, en todos los niveles del sistema educativo. Razón por la cual este libro comienza del estudio de la geometría desde sus comienzo A.C. (Antes de Cristo) hasta la actualidad, donde se estudiaron los términos primitivos como punto, recta y plano con sus diferentes teoremas y axiomas. Se realizó un estudio de los diferentes polígonos con todas sus propiedades y cálculo de áreas: haciendo énfasis en los triángulos realizando un estudio minucioso, estudiando todos sus elementos, su clasificación y los diferentes criterios como los criterios de congruencia y semejanzas, también se estudiaron los diferentes teoremas tales como Pitágoras, Thales, Stewart, de Apolonio y la ley del seno y coseno entre otros. Se estudió la circunferencia y los tipos de recta que pasan por ella, los ángulos de la circunferencia, su posición relativa y la construcción de figuras planas conociendo algunos de los elementos, en todos los puntos estudiados se tienen problemas resuelto y propuestos para el mayor entendimiento de las personas que utilicen este libro y que sea un gran aporte.

República Bolivariana de Venezuela Universidad Nacional Experimental

FONDO EDITORIAL

UNERMB

Rafael María Baralt

UNERMB Segunda edición