Estructuras Discretas
REVISTA ESTRUCTURAS DISCRETAS 2015速
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO FACULTAD DE INGENIERÍA VENEZUELA
AUTOR Torrez, José
C.I. V-19.551.968 SAIA “A”
PRIMERA EDICIÓN, JULIO 2015
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A. EJEMPLO Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.
Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación. Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o, b R a, o ambas cosas.
Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de una función: Lo que puede entrar en una función se llama el dominio Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
Entonces, en el diagrama de arriba el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango. Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el dominio. De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da una función diferente. Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra) los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}
Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}
1. USANDO MATRICES Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es utilizando matrices compuestas de ceros y unos. Sean A y B conjuntos finitos de la forma:
Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la matriz
La matriz
donde:
se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros y
unos, de R tiene un 1 en la posición está en posición
cuando
si no está relacionado con
está relacionado con
y un 1
.
Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que representa una relación. EJEMPLO: Sean Consideremos la siguiente relación de:
Entonces la matriz de R es
Recíprocamente, dando los conjuntos A y B con m y n elementos respectivamente, una matriz de m x n formada de ceros y unos determina una relación de A en B. 2. USANDO CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo: S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles} AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta, Naranja}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto básico, en el sentido de que no es posible definir los en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjunto.
3. USANDO GRAFOS Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas). Un grafo G es un par ordenado G = (V,E), donde:
·
V es un conjunto de vértices o nodos, y
·
E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.
Normalmente V suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.
Se llama orden del grafo G a su número de vértices, | V | . El grado de un vértice o nodo V es igual al número de arcos E que se encuentran en él.
Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden. EJEMPLO: ·
V:={1,2,3,4,5,6}
·
E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}
El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.
En las teorías de las categorías una categoría puede ser considerada como un multígrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
4. USANDO DIAGRAMAS DE FLECHAS Una forma de representar el producto cartesiano es el diagrama de flechas. Escriba los elementos de a y los elementos de b en dos discos disyuntos, y luego dibuje una flecha de ” a e a “ en ” b e b” cada vez que a este relacionado con b.
Si R es una relación inversa, es decir, R -1, con la siguiente propiedad: R-1=(x, y) tal que y, x pertenecen a los reales
Ejemplo: Sea las siguientes relaciones: R1= El conjunto de los siguientes pares ordenados: (11,12),(13,15),(12,17),(19,-11) R2 = El conjunto de los siguientes pares ordenaos (a,15),(a,13),(b,17),(1d,14),(e,16)
Por lo tanto la relación inversa es: R1-1= Al conjunto de pares (12,11),(15,13),(17,12),(-11,-19) R2-1= Al conjunto de pares (15,a),(13,a),(17,b),(14,d),(16,e)
Sean R: X ↔ Y y S :Y ↔ Z dos relaciones. La composición de R y S, que se denota como R o S, contiene los pares ( x, z ) si y sólo si existe un objeto intermedio y tal que ( x, y ) está en R y ( y, z )está en S.
Por consiguiente, x(R oS)z =Ǝy(xRy a yRz)
Esta definición implica que (x, ) está en la composición de las relaciones hermana y padre, si existe un individuo y tal que x es hermana de y e y es un padre de z. Esto es exactamente la relación tía. De esto se sigue, que la relación tía es la
composición de la relación hermana y padre como hemos afirmado. En general, para determinar si (x, z) está en la relación R o S, se necesita siempre un intermediario y la hermana, en el caso de la relación tía, tal que sean válidas xRy e yRz.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
MATEMÁTICAS DISCRETAS-SEXTA EDICIÓN RICHARD JOHNSONBAUGH PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005 ISBN: 970-26-0637-3 Área: Universitarios Páginas 696
http://matediscretasrelaciones.blogspot.com/2011/12/5_2124.html