Algebra Lineal

Introducción a Álgebra Lineal

Por:

Fernando Flores Javier Coro Oscar Gil Cristian Chilel

Revista de curso Álgebra Lineal, Sección 10 Profa, Susanne Zúñiga

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Introduccion ______________________________________________________________________ 2 Conceptos Principales _______________________________________________________________ 2 Vectores __________________________________________________________________________ 3 Propiedades de los vectores __________________________________________________________ 3 Producto punto o escalar _____________________________________________________________ 6 Producto cruz o vectorial ____________________________________________________________ 6 Rectas ___________________________________________________________________________ 7 Planos ___________________________________________________________________________ 8 Aritmética Modular _________________________________________________________________ 9 Vectores de Verificación ____________________________________________________________ 10 Sistema de ecuaciones Lineales ______________________________________________________ 11 Matriz __________________________________________________________________________ 11 Anuncios ________________________________________________________________________ 13 Editorial ________________________________________________________________________ 14 Entretenimiento ___________________________________________________________________ 14 Bibilografía ______________________________________________________________________ 16

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INTRODUCCION

El álgebra lineal juega un papel fundamental en las matemáticos, tanto a nivel teórico como practico. Es una materia muy importante de aprender ya que tiene numerables aplicaciones tanto en matemáticas como en biología, química, física, ingeniería, estadística, ciencias sociales, negocios y economía.

Esta revista elaborada por alumnos de algebra lineal pretende que sea una ayuda para todo aquel que esté estudiando o quiera saber más sobre el algebra lineal. También pretende que sea una forma más fácil y divertida de aprender los conceptos de algebra lineal.

También tenemos como objetivo que sea un material extra para amarrar todos los conceptos aprendidos en clase y sea de ayuda para repasar y tener frescos los contenidos del curso.

CONCEPTOS PRINCIPALES En la siguiente revista, se podrán encontrar diferentes definiciones e información de conceptos básicos utilizados en Álgebra Lineal.

¿QUÉ TEMAS SE TRATARÁN? 1.

2.

3.

2

Vectores, rectas, planos, su relación y sus diferentes maneras de representarse.

Aritmética modular.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

VECTORES ÂżQuĂŠ es un vector?

DefiniciĂłn: Un vector es un segmento de recta que va desde un punto inicial o cola a un punto final o cabeza.

NotaciĂłn: ⃗⃗⃗⃗⃗ đ??´đ??ľ ,

đ?‘˘ ⃗ , (u)

Un vector posee dos características:  

Magnitud: Longitud o norma.

DirecciĂłn: RadiĂĄn.

Se dice que dos vectores son equivalentes cuando tienen misma magnitud y direcciĂłn.

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

Propiedad Conmutativa.

Propiedad Asociativa.

Todo vector sumado con cero no se verĂĄ afectado y el resultado serĂĄ el mismo vector.

Todo vector sumado con su opuesto da como resultado 0

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OPERACIONES ENTRE VECTORES

Multiplicación por un escalar.

VECTOR UNITARIO Vector con magnitud o longitud igual a 1.

VECTORES UNITARIOS ESTÁNDAR Se denotan por e 1 (vector) = [1,0], e 2 (vector) = [0,1]

Valor absoluto de e 1 (vector) =

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√12 +02 1

NORMALIZAR UN VECTOR

Esto significa encontrar un vector unitario que tenga la misma magnitud y dirección que el vector con que se está trabajando.

VECTOR EN POSICIÓN ESTÁNDAR Un vector está en posición estándar, cuando se encuentra en el origen. Es decir, cuando su punto de inicio está en (0,0).

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR C*U (vector) = C [x,y] = [Cx, Cy] Si c>0, la magnitud será “c” veces la de U (vector) y la dirección de C*U (vector) es igual que la de U (vector).

Si c<0, la magnitud será “c” veces la de U (vector) y la dirección de C*U (vector) es opuesta a la de U (vector).

COMBINACIÓN LINEAL DE DOS VECTORES

DISTANCIA ENTRE DOS VECTORES

ANGULO ENTRE DOS VECTORES

Esta ecuación se utiliza para obtener el ángulo existente entre dos vectores.

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PROYECCIĂ&#x201C;N

đ??Žâ&#x2C6;&#x2014;đ??Ż )đ??Ž đ??Žâ&#x2C6;&#x2014;đ??Ž

đ?&#x2018;ˇđ?&#x2019;&#x201C;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x161;đ??Ž đ??Ż (

DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ

PRODUCTO PUNTO O ESCALAR

Es la operaciĂłn entre dos vectores del cual se obtiene un escalar.

PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL

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ď&#x201A;ˇ

El producto vectorial de dos vectores sĂłlo estĂĄ definido en â&#x201E;?3 .

ď&#x201A;ˇ

El resultado es un vector en â&#x201E;?3 .

ď&#x201A;ˇ

El vector resultante es ortogonal a u y v.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1.

2.

3.

RECTAS Se denotan como L. En â&#x201E;?2 , la ecuaciĂłn de una recta estĂĄ dada por: đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;?

FORMA GENERAL Un vector que pasa por el origen tiene c = 0.

FORMA GENERAL đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;Ś=â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ+ đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

Donde:

â&#x2C6;&#x2019;

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đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?

Es la pendiente y es el intercepto. đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?

FORMA NORMAL đ??§â&#x2C6;&#x2014;đ??ą = đ??§â&#x2C6;&#x2014;đ??Š Donde: p es un punto especĂ­fico sobre L y nď&#x201A;š0 es un vector normal a L.

FORMA VECTORIAL

x = p +td Donde: p es un punto especĂ­fico sobre L y dď&#x201A;š 0 es un vector director para L.

x = Ox

Es el vector desde el origen hasta cualquier punto de x sobre L.

p = Op

Es el vector desde el origen hasta un punto conocido p.

FORMA PARAMĂ&#x2030;TRICAS x = p1 + td1 y = p2 + td2

PLANOS Los planos tienen notaciĂłn P y Ď&#x20AC;. Se representan como: x = p + su + tv La distancia entre un punto y un plano estĂĄ dada por: || proy nP ||

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donde â&#x20AC;&#x153;nâ&#x20AC;? es la normal del plano y â&#x20AC;&#x153;Pâ&#x20AC;? es el punto.

PLANOS PARALELOS Dos planos son paralelos si tienen sus vectores normales paralelos entre sí. Para saber si dos normales son paralelas se debe aplicar el producto punto. Si el resultado es cero, entonces son paralelos.

ARITMÉTICA MODULAR En la aritmética modular solo existen los números inferiores al número de módulo. Las únicas operaciones permitidas son la suma y la multiplicación.

Para representar un número en módulo 7 se debe empezar a contar desde un múltiplo de 7. Suponiendo que el número es 17, entonces empezamos desde 14. Por lo tanto, la representación de 17 en módulo 7 es 3.

EJEMPLO En módulo 6 resuelva la ecuación.

3(2 + 1 + 4) + (5 + 2 + 3)

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3(1) + (4) 1

VECTORES DE VERIFICACIÓN UPC Un código de producto universales un conjunto de vectores binarios llamados vectores código. El proceso de convertir un mensaje en vectores código se llama codificación, y el proceso inverso se llama decodificación.

EJEMPLO El UPC de un libro es 8658101509d. Encuentre d v = [8,6,5,8,1,0,1,5,0,9,d] c = [1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] v*c = 9 + d

d=1

ISBN El código de número internacional normalizado de libros de 10 dígitos (ISBN-10) es otro código de dígito de control muy utilizado. Está diseñado para detectar más tipos de errores que el código universal de productos y, en consecuencia, es más complicado.

EJEMPLO:

ISBN-10 de un libro es 0-534-34450-X. X es la letra de control Se utiliza el vector [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] Se trabaja en Z10 , es decir {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} En cambio el ISBN se trabaja con el siguiente vector de comprobación {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1}

EJEMPLO: ISBN-10 de un libro es 0-534-34450-X.

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X es la letra de control

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Conjunto SoluciĂłn: Las posibles soluciones de una ecuaciĂłn. đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ś + 4đ?&#x2018;§ = 10

â&#x2C6;&#x2019;1 s=[ 6 ] 2

Existen dos tipos de ecuaciones ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

Consistente: tiene una o infinitas soluciones.

Inconsistente: no tiene soluciones.

MATRIZ Arreglo rectangular de nĂşmeros llamados elementos o entradas.

1 [ 1

1 ] đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;ĄĂŠđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;1

[đ??´ ÂĄ đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;Łđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;)]đ?&#x2018;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;˘đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x17D;

|

2 â&#x2C6;&#x2019;3

4 8 1 0 â&#x2C6;&#x2019;1 5

Matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales.

OPERACIONES DE RENGLĂ&#x201C;N

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

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đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2013; â&#x2020;&#x201D; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x2014; ( Intercambiar renglĂłn i con j ) kRi ( Multiplicar el renglĂłn i por el escalar k) Ri + KRj (Sumando el mĂşltiplo del renglĂłn j se lo agrego al renglĂłn i )

SISTEMA HOMOGENEO

Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el término constante en cada ecuación es cero.

Un sistema homogéneo tiene una matriz aumentada de la forma [A | 0].

Si [A | 0] es un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n variables, donde m >n, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

VPERTENECE A R2 Cada v que pertenece a ℝ2 se puede escribir como una combinación lineal de e1 y e2.

Por eso se dice que ℝ2 es generado e1 y e2. ℝ2 es el espacio generado

e1 y e2 es el conjunto generador

ELIMINACIÓN GAUSSIANA Consiste en expresar una ecuación lineal de forma escalonada y con un cero bajo cada escalón.

Ejemplo: 1 [0 0

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3 −2 0

4 5] 1

ANUNCIOS

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EDITORIAL 

Redacción.

Fernando Flores.

Javier Coro



Revisión Técnica.

Oscar Gil.



Diseño y Estilo.

Cristhian Chilel.

Guatemala 13 de febrero de 2013.

ENTRETENIMIENTO

CHISTES 

¿Cuánto son 2+2?

Ingeniero: 3.9999989 Físico: 4.0004 +/- 0.0006 Matemático: espere sólo unos minutos mas, ya he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando.

Filósofo: ¿Que quiere decir cuando dice "2+2"?

Informático: defina las características de la operación "+" y le responderé.

Contable: cierra puertas y ventanas y pregunta en voz baja "¿cuánto quiere que sea el resultado?".

14



¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.



¿Qué le dice la curva a la tangente? ¡No me toques!



Definición matemática de una mujer.

Conjunto de curvas peligrosas que ponen recta una parábola.



Se abre el telón y se ven dos sistemas lineales incompatibles, ¿Cómo se llama la película?

Kramer contra Kramer.

IMAGENES

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BIBILOGRAFÍA  

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Poole, David (2011). ALGEBRA LINEAL, Una introducción moderna. (Tercera Edición). México: CENGAGE LEARNING, INC. Apuntes en clase.