´ MATEM ATICAS
70 2.4.5. Integraci´on de funciones trigonom´etricas
2.4.5.1. Integrales de senos y cosenos
En este apartado vamos a resolver las integrales de la forma Z senm x cosn xdx, siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas: (1) Si n = 2k + 1 es impar, n > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes: cosn x = cosn−1 x cos x cos2 x = 1 − sen2 x y la integral queda Z Z Z senm x cosn xdx = senm x(1 − sen2 x)k cos xdx = tm (1 − t2 )k dt donde la u´ ltima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = sen x. (2) Si m = 2k + 1 es impar, m > 1, entonces se utilizan las igualdades siguientes: senm x = senm−1 x sen x sen2 x = 1 − cos2 x y la integral queda Z Z Z m n 2 k n sen x cos xdx = (1 − cos x) cos x sen xdx = − tn (1 − t2 )k dt donde la u´ ltima igualdad se obtiene tras realizar el cambio de variable t = cos x. (3) Si m y n son pares y no negativos entonces se utilizan las siguientes f´ormulas de reducci´on: sen x cos x = sen2 x = cos2 x =
1 sen 2x 2 1 (1 − cos 2x) 2 1 (1 + cos 2x) 2
2.4.5.2. Integrales de secantes y tangentes
En este apartado vamos a resolver las integrales de la forma Z secm x tann xdx, siendo m o n un entero positivo. Se deben seguir las siguientes reglas:
´ C ALCULO INTEGRAL
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(1) Si m = 2k es positivo y par, entonces utilizamos la igualdad sec2 x = 1 + tan2 x y la integral queda:
Z
Z secm x tann xdx
= Z = Z =
(sec2 x)k−1 tann x sec2 xdx (1 + tan2 x)k−1 tann x sec2 xdx (1 + u2 )k−1 un du
donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = tan x. (2) Si n = 2k + 1 es positivo e impar, entonces utilizamos la igualdad tan2 x = sec2 x − 1 y la integral queda:
Z
Z secm x tann xdx =
Z = Z =
secm−1 x(tan2 x)k sec x tan xdx secm−1 x(sec2 x − 1)k sec x tan xdx um−1 (u2 − 1)k du
donde la ultima igualdad se obtiene mediante el cambio de variable u = sec x. (3) Si m y n son impares, se transforma un factor tan2 x en sec2 x − 1 y se aplican los casos anteriores. Si es necesario, se vuelve a aplicar esta transformaci´on. (4) Si n = 0 y m es impar y positivo, entonces se utiliza integraci´on por partes: u = secm−2 x dv = sec2 xdx (5) Si n = 0 y m es par y positivo, se utiliza el cambio de variable t = tan x y la integral queda Z Z Z Z m−2 m−2 m−2 m 2 2 2 2 2 2 sec x = (1 + tan x) sec xdx = (1 + t2 ) 2 dt sec xdx = (sec x) (6) Si no se puede aplicar ninguna de las reglas anteriores, debemos intentar convertir la integral a senos y cosenos.
2.4.5.3. Cambios de variable trigonom´etricos
Las sustituciones trigonom´etricas se emplean en integrales donde aparacen los siguientes radicales: p p p a 2 − x2 , a 2 + x2 , x2 − a 2 . Los cambios que deben hacerse son los siguientes: √
a2 − x2 , hacer x = a sen t. Entonces
√
a2 − x2 = a cos t. √ √ (2) Para integrales que contienen a2 + x2 , hacer x = a tan t. Entonces a2 + x2 = a sec t. √ √ (3) Para integrales que contienen x2 − a2 , hacer x = a sec t. Entonces a2 − x2 = ±a tan t. El signo + o − depende de si x > a o x < −a, respectivamente. (1) Para integrales que contienen