VOLUMEN MEDIANTE EL METODO DE CASCARONES El método de disco es una técnica de determinar el volumen de un sólido, donde los discos son anillos circulares.- El método de cascarones cilíndricos es otra forma de calcular volúmenes, es una técnica de aproximación de sólidos de revolución mediante una colección de delgados cascarones cilíndricos y a veces conduce a cálculos mas simples.Un cascaron cilíndrico es una región limitada por dos cilindros circulares concéntricos de la misma altura h .- si el cilindro interior tiene como radio r1 y el exterior r2 , se puede escribir r = (r1 + r2)/2 para el radio medio del cascaron cilíndrico y t = r2 – r1 para su espesor .- El volumen del cascaron será: r r 2 2 V = π r 2 h - π r1 h = π (r1+r2)(r1 – r2) h = 2 π 1 2 (r2 – r1) h = 2 π r t h 2
En palabras, el volumen del cascaron es el producto del 2π, su radio medio, su espesor y su altura.Supóngase ahora que queremos encontrar el volumen de revolución generado por la rotación en torno al eje de las y de la regio bajo la curva y = f(x) de x = a a x = b .- .Admitamos que 0 ≤ a ≤ b y que f(x) es no negativa en [ a ; b ] .- (figura Nº 2)
Figura Nº 2 Para encontrar V , comencemos con una partición regular de [a ; b] en n subintervalos * iguales de longitud ∆x = ( b-a) / n .- Sea xi el punto medio del i-esimo subintervalo Oap/14
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[xi-1 , xi] (el radio medio r) y considérese el rectángulo de base ∆x = xi – xi-1 (el * espesor t) y altura f( xi ) (h).- este cascaron cilíndrico se aproxima al sólido de volumen ∆Vi que se obtiene al girar la región bajo y = f(x) y sobre [xi-1 ; xi] * * ∆Vi ≈ 2 π r h t ≈ 2 π xi f( xi ) ∆x y en consecuencia de acuerdo a la suma riemanniana se tendrá:
V=
b
2 π
i 1
*
x
i
*
f( xi ) ∆x =
2π x f(x) dx
(1)
a
Esta aproximación del volumen V es una suma riemanniana que se acerca a b
2π x f(x) dx
cuando ∆x → 0 , por lo que resulta que el volumen de nuestro sólido
a
de revolución está dado por: b
V=
2π x f(x) dx
(1)
a
Es mas confiable aprender como se establecen las formulas integrales que simplemente memorizarlas.- Un recurso heurística útil para establecer la formula (1) consiste en dibujar la tira rectangular muy estrecha del área que se muestra en la figura.- Cuando esta área gira alrededor del eje de las y , produce un delgado cascaron cilíndrico de radio x, altura y = f(x) y espesor dx .- Por lo tanto su volumen designado como dV , puede escribirse dV = 2π x f(x) dx y el volumen total: b
V=
a
b
2π x y dx =
2π x f(x) dx
a
Siempre debemos expresar a la variable y ( y a cualquier otra variable dependiente ) en función de la .-variable independiente x (identificada mediante la diferencial dx) antes de la integración.Ejemplo Nº 1: encuentre el volumen del sólido generado mediante la rotación alrededor del eje de las y de la región bajo la curva y = 3x2 – x3 desde x = 0 hasta x = 3
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Aquí no sería practico utilizar el método de arandelas, puesto que una sección perpendicular al eje y serie un anillo circular y encontrar sus radios interiores y exteriores requeriría despejar a x de la ecuación y = 3x2 – x3 como función de y , pero con la formula (1) , tomando f(x) = 3x2 – x3 a = 0 , b = 3 b 3 3 243 V = 2π x f(x) dx = 2π x( 3x2 – x3 ) dx = 2π (3x3 – x4 ) dx = 10 a 0 0 Ejemplo Nº 2: Encontrar el volumen del sólido que queda después de barrenar un orificio de radio a por el centro de una esfera sólida de radio r> a .-
Rotamos la esfera alrededor del eje de la y el agujero es paralelo al eje de la y , la mitad superior de la esfera sin el agujero estará dada por: b r 3 1 V = 2 2π x f(x) dx = 2π x r 2 x 2 dx = 4 π [ - (r 2 x 2 ) 2 ] ra 3 a a 3
4 V= π [ (r 2 a 2 ) 2 ] 3
cuando a = 0 quedaría:
V=
4 π r3 3
Sea ahora una región A comprendida entre las curvas y = f(x) y y = g(x) en el intervalo [a , b]
Cuando A gira alrededor del eje las ordenadas, genera un sólido, supongamos que queremos hallar el volumen de ese sólido, estará dado por:
V=
i 1
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b
2 π
*
x
i
*
*
[f( xi ) – g( xi )] ∆x =
2π x [f(x) – g(x)]dx
a
3
(2)
El método de cascarones cilíndricos es también una forma eficaz de calcular los volúmenes de los sólidos de revolución en torno al eje de las absisas (x) .La figura Nº 3 muestra la región A limitada por las curvas x = f(y) y x = g(y) para el intervalo [c; d] por las rectas horizontales y = c , y = d , realizando un procedimiento similar que para el eje x tendríamos :
Figura Nº 3
V=
i 1
2 π
y
* i
*
*
i
i
d
[f( y ) – g( y )] ∆y =
2π y [f(y) – g(y)] dy (3)
c
Ejemplo Nº 3: considere la región del primer cuadrante limitada por las curvas y = x2 , y = x3 , .- Usando el método de cascarones cilíndricos para calcular los volumen de los sólidos que resultan de la rotación de la región , `primero en torno al eje y , después , alrededor del eje de las x.-
Alrededor del eje de las y: 1 V = 2x( x 2 x 3 ) dx = 10 0 Alrededor del eje de las x: 1
V=
2y ( y
1 3
y
1 2
) dy =
0
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Supongamos ahora que la región gira alrededor de la recta x = -1, el volumen estará dado por: 1 1 4 2 3 V = 2 ( x 1)( x x ) dx = 2 ( x 2 x 4 ) dx = 15 0 0
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