´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.
4. Integraci´ on de funciones de una variable 4.2. C´ alculo de primitivas
´ 4.2.3. INTEGRALES TRIGONOMETRICAS
Integrales de funciones racionales trigonom´ etricas Son integrales de la forma Z R(sin x, cos x) dx donde R es una funci´on racional, es decir, es un cociente de polinomios en senos y cosenos. Todas estas integrales se reducen a integrales racionales mediante el cambio de variable: x tan = t 2 en cuyo caso: sin x =
2t 1 + t2
cos x =
1 − t2 1 + t2
tan x =
2t 1 − t2
dx =
2 dt 1 + t2
En algunos casos particulares, hay cambios m´as sencillos que tambi´en las reducen a integrales racionales: • Si R es impar en seno, es decir, R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), se hace el cambio t = cos x. • Si R es impar en coseno, es decir, R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), se hace el cambio t = sin x. • Si R es par en seno y coseno, es decir, R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), se hace el cambio t = tan x. Integrales de algunas funciones irracionales Las integrales de la forma Z ³ p ´ R x, a2 ± b2 x2 dx se pueden reducir a integrales de variable: ³ √ ´ • Si R = R x, a2 − b2 x2 , se ³ √ ´ • Si R = R x, a2 + b2 x2 , se ³ √ ´ • Si R = R x, a2 x2 − b2 , se
Z
³ p ´ R x, a2 x2 − b2 dx
funciones racionales trigonom´etricas mediante los siguientes cambios de hace el cambio bx = a sin t o bx = a cos t. hace el cambio bx = a tan t. hace el cambio ax = b sec t.
Ejercicios 1. Calcula las siguientes integrales trigonom´etricas: Z Z Z Z Z (a) sin2 x dx (b) cos3 x dx (c) cos4 x dx (d) sin2 x cos2 x dx (e) sin2 x cos5 x dx 2. Usando las f´ormulas trigonom´etricas: cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β cos(α + β) − cos(α − β) = −2 sin α sin β
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
calcula, si a 6= b, las siguientes integrales: Z Z (a) sin ax sin bx dx (b) sin ax cos bx dx Z
Z (c)
cos ax cos bx dx
Z Z cos x 2 − sin x dx 3. Calcula las siguientes integrales: (a) dx; (b) dx; (c) . sin x(1 + cos x) 2 + cos x sin x + cos x Z Z Z p dx x2 √ √ 4. Calcula las siguientes integrales: (a) dx; (b) dx; (c) 16 + x2 dx. x + 1 − x2 x2 − 1