Regla de la sustitución • Sea u una función diferenciable y F una función tal que F’(u) = f(u). Entonces,
f (u)u( x)dx F (u) c • Pasos a seguir: 1. Seleccione u y calcule el diferencial du.
2. Exprese el integral en términos de u. 3. Integre. 4. Exprese resultado en términos de variable original 22/10/2011
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Ejemplo 1 • Encuentre:
x
2
4
1 2 xdx
• Solución: 1. Seleccione u y calcule el diferencial du:
du 2x dx
u x 1 2
du 2 xdx
2. Escriba el integral en términos de u: 5 u 3. Integre: 4
u du
5
c
4. Exprese resultado en términos de variable original
x x 1 2 xdx 2
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4
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2
5
1 c 5 5 de 12
Ejemplo 2
2 x 2 x 5 dx 2 x 5 x dx • Encuentre: 2
3
3
• Solución:
3
3
3 1 3 2 x 5 6 x 2 dx 6 1 3 1 u4 u du c 6 6 4
u 2x 5 3
du 6 x dx 2
2 x 5 x 2 x 5 dx 24 2
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3
3
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3
4
c
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Ejemplo 3 1 x2 2 x dx • Calcule: dx 3 3 7x 7x
• Solución: u 7 x3
du 3 x 2 dx
1 1 2 3 x dx 3 3 7x
1 1 du 3 u 1 ln | u | c 3 1 ln | 7 x 3 | c 3
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Ejercicio #1 • Calcule:
2 10 ( x 2 )( x 4 x 2 ) dx
u x2 4x 2
du (2 x 4)dx 2( x 2)dx
( x 2 4 x 2)10 ( x 2)dx
1 ( x 2 4 x 2)10 2( x 2)dx 2 1 10 u du 2 1 u11 c 2 11 ( x 2 4 x 2)11 c 22
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Ejemplo 4 • Calcule: • Solución:
x e
2 4 x 3
u 4x3 du 12 x 2dx
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dx e
4 x 3
x 2 dx
1 4 x3 2 e 12 x dx 12 1 u e du 12 1 u e c 12 4 x 3 e c 12
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Ejemplo 5 • Encuentre:
x
1 4x
• Solución:
u 1 4x
2
dx 1 4 x
1 1 4x2 8
2
1 2
2
1 2
x dx
8 xdx
1 21 u du 8
du 8xdx
1 2
u 1 u c 1 c 4 8 2
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1 2
1 4x2 dx c 2 4 1 4x x
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Ejercicio #2 • Calcule: 3x 5dx 3x 5 dx 1 • Solución: 1 3x 12 3dx 3 1 2
u 3x 1
du 3dx
1
1 2 u du 3
1 1 2
1u c 1 3 2 1 3 2
1u c 3 3 2
2(3x 1) 3x 1 2 u3 2u u c c c 9 9 9 22/10/2011
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Ejemplo 6 • Compare: 3 5 y 4 dy u 5y 4
du 5dy
3 1 5dy 5 5y 4
3y 5 y 2 4 dy u 5 y2 4
du 10 ydy
5 y
3y 2
4
2
dy
u 5 y2 4
du 10 ydy
3 1 3 1 10 ydy 10 ydy 2 2 2 10 5 y 4 10 (5 y 4)
3 1 du 2 10 u 3 3 3 2 c ln 5 y 4 c ln 5 y 4 c 2 105 y 4 5 10 3 1 du 5 u
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3 1 du 10 u
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Tablas de Integración • Si a es distinto de 0:
n 1 1 ( ax b ) n ( ax b ) dx c a n 1
1 1 ax b dx a ln | ax b | c • Ejemplos: 4 4 1 ( 2 x 5 ) ( 2 x 5 ) 3 c c ( 2 x 5 ) dx 2 4 8 1 1 ln | 3 x 5 | 3x 5 dx 3 ln | 3x 5 | c 3 c
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