Universidad Politécnica Salesiana Nombre:Joseline Salmeron Flores Curso:B-306
Antes de la clase Guía de desarrollo para la casa #2 Tema: Rectas y planos en el espacio Ya que viste el recurso en casa, contesta las siguientes preguntas: 1. ¿De cuántas formas se puede definir la ecuación de la recta en el espacio? De 4 formas que son: Ecuación vectorial Ecuación paramétrica Ecuación continúa Ecuación implícita o cartesiana 2. ¿Existe alguna forma para pasar de la forma vectorial a la forma simétrica o a la continua, y viceversa?
Vectorial : (X,Y,Z) = (P1,P2,P3)+T (U1,U2,U3)
Paramétricas:
Simétrica : X-P1= Y-P2 = Z-P3 U1 U2 U3
X=P1+ZU1 Y=P2+TU2 Z=P3+TU3
3. Dado que para definir una recta, es necesario un punto que pertenezca a la recta y un vector paralelo a la recta. ¿Cuál es la importancia de que el vector se paralelo a la recta? ¿Cuál es la importancia de que el punto pertenezca a la recta? La importancia de que el vector sea paralelo es que podemos encontrar el vector relacionado por dicho punto en el espacio P1, y el vector dirección U, unitario que conforman una recta resultante.
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4. ¿Existe alguna forma de pasar de la ecuación escalar del plano a la ecuación lineal del plano? ¿Cómo se obtiene el valor de d? Ecuación escalar a(x-x1)+b (y-y1)+c (z-z1)=0 ecuación lineal o forma general ax+by+cz+d=0 5. Para los siguientes ejercicios, hallar la ecuación del plano. Luego, 5. Para los siguientes ejercicios, hallar la ecuación del plano. Luego, utilice GeoGebra para comprobar la solución. A) El plano que pasa por (3,-1,2), (2,1,5) y (1,-2,-2) (3,-1,2), (2, 1,5) y (1,-2,-2) AB= (-1, 2,3) AC= (-2,-1,-4) I
J
K
-1
2
3
-2
-1
-4
Plano
= I (-8+3)-J (4+6)+K (1+4) 5 I -10 J + 5K 5X-10Y+5Z+D=0 -5(3)-10(-1)+5(2)+D=0 -15+10+10+D=0 D=0 -5X-10Y+5Z-5
B) El plano que pasa por (1,2,3), (3,2,1) y (-1,-2,2) AB = (2, 0,-2) AC = (-2,-4,-1) I J K 2 0 -2 -2 -4 -1
Plano de la recta
= I (0-8)-J (-2+4)+K (-8+0) -8I-2J+8Z+D=0 -8X-2Y-8Z+D=0 -8(1)-2(2)-8(3)+D=0 -8-4-24+D=0 D=36 -8X-2Y-8Z+36=0
C) El plano que contiene a los puntos (1,2,3) y (2,5,6), y es paralelo al eje x. (trazas)
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I 1 2
J 2 5
K 3 = I (12-15)-J (6-6)+K (5-4) 6 -3I-0J+K ParamĂŠtrica X=1+3T Y=2+0T Z=3+T
D) El plano que contiene al punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano xy. (trazas) E) El plano que pasa por los puntos (3, 2, 1) y (3, 1,-5) y perpendicular al plano 6x + 7y + 2z = 10.
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6. Para los siguientes ejercicios, hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta. Sí necesitas ayuda, utiliza GeoGebra para visualizar mejor el procedimiento. a. La recta pasa por el punto (2, 3, 4) y es paralela al plano xz y al plano yz. Paramétrica Remplazamos en nuestra forma paramétrica X=2+t Y=3+t Z=4+t
VxU
a= (0, 0,-6) b= (2, 0,0) BA= (2, 0,6)
X=2+2T Y=3+0t Z=4+6t
b. La recta que pasa por el punto (-4, 5, 2) y es perpendicular al plano –x + 2y + z = 5. P= (-4, 5,6) U= (-1, 2,1)
ECUACION DEL PLANO -X+2Y+Z-5=0 N= (-1, 2,1) X, Y, Z= (-4, 5,2)+T (-1, 2,1)
Paramétrica: X= -4-T Y= 5+2T Z= 2+T
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