INTRODUCION A MATEMATICAS FINANCIERAS FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • Serie pago unico • Serie uniforme
• Serie gradiente. • Serie gradiente porcentual.
P 1 2 3
n
0
A A A 1
2
A 3
• Equivalencias para formas de pago. M.C. e Ing. José Luciano Saucedo Silva Abril-2014
n
PAGO ÚNICO Demostración de la formula de valor futuro, donde: P: préstamo i: tasa de interés n: plazo F: pago único SK: saldo o deuda al final de cualquier período K Total intereses: I = Total pagado-Total prestado I = F-P (1)
PAGO ÚNICO P 1
2
n
0
F
F = P(1+i)n
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE UNIFORME: Se hace un préstamo a una tasa de interés por periodo y se paga en cuotas exactamente iguales.
P
1 2 3 4
n
A A A A
A
0
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE DE PAGOS DE AMORTIZACIÓN CONSTANTE: El préstamo se paga en cuotas periódicas de las cuales el contenido de amortización del principal siempre es igual.
P 1
2
3
n
0
A1
A2
A3
An
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE: El préstamo de paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un monto uniforme cada periodo (sucesión aritmética).
P 1
2
3
n
0
A1
A2
A3 An
FORMAS DE PAGO DE UN PRÉSTAMO • SERIE GRADIENTE PORCENTUAL: El préstamo se paga en cuotas que pueden aumentar o disminuir un porcentaje cada periodo (sucesión geométrica).
P
1
2
n
0
A1
A2 An
EQUIVALENCIAS PARA FORMAS DE PAGO
PAGO ÚNICO FIN DE PERÍODO
INTERESES DEL PERÍODO
0 1
0 i.P
2
i.P(1+i)
3
IP(1 + i)2
---K ---n
---------
SALDO AL FINAL DEL PERÍODO
P P + iP = P(1. + i) P(1 + i) + iP(1 + i) = p(1 + i)2 P(1 + i)2 + iP(1 + i)2 = P(1 + i)3 ---Sk = P(1 + i)k (2) ---F = P(1 + i)n (3)
PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002? (F/P, i %, n) F 31/12/2003 =1’000,000 x (1.2447) = $1´244.715,86
PAGO ÚNICO EJEMPLO: Se ahorran 1´000.000 de pesos el 1 de marzo del 2002, en una entidad que reconoce el 1% efectivo mensual. ¿Cuál es el valor futuro el 31 de diciembre de 2003? ¿Cuál era el saldo después de pagar la cuota del 30 de junio de 2002?
Valor futuro: Para tablas: F 31/12/2003
F = P(1+i)n (3) F = P(F/P,i,n) (3´) =1’000,000 x (1.2447) = $1´244.715,86
Valor futuro 31/12/2003: 1´000.000(1+0.01)22 = $1´244.715,86 Saldo: Sk = P(1+i)k (2) Saldo 30/06/2002: 1´000.000(1+0.01)4= $1´040.604,01 F 31/12/2003 =1’000,000 x (1.0406) = $1´040.604,01
SERIE UNIFORME P
1
2
3
4
n
A
A
A
A
A
0
A=P*
i (1+i)n (1+i)n -1
SERIE UNIFORME Demostraci贸n de las f贸rmulas para serie uniforme, donde:
A: cuota uniforme. ak: abono o parte de la cuota que amortiza la deuda. Ik: parte de la cuota que cubre intereses. Pk: valor presente equivalente a la cuota del periodo k.
SERIE UNIFORME Si usted resta (2*) de (1*), simplifica y despeja A.
A=P*
i (1+i)n
(4)
(1+i)n -1
El factor de P en la formula (4) para uso de tablas se identificará así: (A/P,i,n) Se podrá escribir así: A = P * (A/P,i,n) (4’)
SERIE UNIFORME Saldo o deuda: P
SK
(n-k) PENDIENTES
1
2
3
k
4
k+1
n
0
........ A
A
A
A
K
PAGADAS
... A
A
A
A
SERIE UNIFORME Si P es el valor presente de todas las cuotas, sk será el valor presente de las (n-k) restantes. Aplicamos la (4’’) con n = (n-k)
Sk = A
(1+i)n-k -1 i (1+i)n-k
(5)
SERIE UNIFORME Ejemplo: Se hace un préstamo de un millón de pesos al 0.5% de interés mensual efectivo para pagarlo en cuotas iguales de fin de mes.¿Cuál es al valor de la cuota mensual? Solución: P 1
2
3
A
A
A
24
0
A
A
SERIE UNIFORME 0.005 (1+0.005)24 = $44.320,61 A =1000000 (1+0.005)24 -1 • Resolver el ejemplo anterior si el trabajador paga a principio de mes. Solución: Se debe transladar el préstamo a un periodo antes con la formula de pago único y luego aplicamos la formula de A.
SERIE UNIFORME P
0´
1
2
3
4
23
A
A
A
A
0
A
24
SERIE UNIFORME P
0´
1
2
3
4
23
A
A
A
A
24
0
A
0.005 (1+0.005)23 A = 1000000 = $ 44.100 23 (1+0.005) -1
SERIE UNIFORME • Cuál es la deuda del trabajador en el ejemplo después de haber pagado la cuota 19. Solución: $1000.000 i:0.5% 1
2
3 A A 19
(24-19) 24
19
0 A A
S19
....... A
PAGADAS
A
A
A
SERIE UNIFORME (1+0.005)24-19 -1 S19 = 44.320,61 0.005 (1+0.005)5 =$218.317,399
• En la cuota 19 ¿qué parte es abono al capiltal y que parte es interés? Solución: a19 = S18 – S19 (1+0.005)24-18 -1 = $261.331,35 S18 = 44.320,61 6 0.005 (1+0.005)
SERIE UNIFORME a19=$43.013,9 I19 = 261.331,35*0.005 = $1306.66 • Para ese trabajador ¿cuál es el total de intereses pagados? Solución:
I = total de intereses pagados – total pagado I= n A-P = $63.644,40
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME F=?
Interés = i 0
1
A A: Ahorro
2
A
3
A
n
......
A
Periodos
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Dados A, i y n se deberá calcular F. F: será el valor futuro en n equivalente al valor presente de la serie uniforme. F = P (1+i)n Pero: P=
A
aplicando (3) (1+i)n - 1 i (1+i)n
aplicando (4’’)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Entonces: n-1 (1+i) F=A* i Para el uso de tablas: F = A * (F/A, i, n)
(8) (8´)
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME Ejemplo: Un ingeniero ahorra 200.000 pesos al principio de mes en una entidad que le reconoce el 2% efectivo mensual, esto lo hace durante 5 años. ¿ Cual es el valor acumulado al final del ultimo mes?
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME F=?
i = 2% ef. mensual 0´
0
200.000
1
2
59
60 meses
CAPITALIZADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME
Solución: F59 = valor futuro de los 60 ahorros en el mes 59. F59 = 200.000 (F/A, 2%, 60) F59 = 200.000 (114.051539) F59 = 22’810.307,8 F = F59 (1.02)1 F = (22’810.307,8) (1.02) F = 23’266.513,96
AMORTIZACIÓN CONSTANTE P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3
Ak= i P 1 - (k - 1) + P n n
An
AMORTIZACIÓN CONSTANTE Demostración de la formulas para amortización constante, donde: Ak: cuota al final del periodo k.
Sk: saldo después de pagar la cuota Ak. Como su nombre lo indica, en esta forma de pago el abono a la deuda es igual, por lo tanto:
a1 = a2 = a3 = ak = an = P/n
(9)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ak = i P 1 -(k-1) + P n n
(10)
Sk = P 1 - k n
(11)
Ik = i P 1 - (k-1) n
(12)
AMORTIZACIÓN CONSTANTE Ejemplo: Se tiene un préstamo de un millón de pesos al 3% mensual sobre saldos. Si se paga en 10 cuotas mensuales de amortización constante,¿cuál es el valor de la primera y tercera cuota? ¿Cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota?
AMORTIZACIÓN CONSTANTE Solución:
A1=0.031000000 1 - (1- 1) + 1000000 10 10 A1=130.000 A3= 0.031000000 1 - (3 - 1) + 1000000 10 10 A3=124.000 S3 = 1000000 1 - 3 = 7000000 10
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P
1
2
3
n
0
A1
A2
A3 An
AK = A1 + (K - 1)*g i (1 i ) n 1 n A1 P g n n ( 1 i ) 1 i ( 1 i ) 1
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) La parte gradiente se transforma en una serie equivalente uniforme que se llama Ag, entonces, la serie gradiente original será equivalente a la suma de las dos series uniformes.
P 1
0 A1 + Ag
2
3
n-1
n
... ... At=A1+Ag
(14)
A1:serie parte uniforme. Ag:serie uniforme equivalente a parte gradiente. At :serie uniforme total equivalente a la serie gradiente original.
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ag se halla aumentos (g, sumandolos, distribuye en obtendría:
llevando cada uno de los 2g, 3g,...) al presente y después esta sumatoria se una serie uniforme y se
1 n Ag g n i (1 i) 1 Por tablas sería: Ag= g(A/g,i,n)
(15) (15’)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) De (14) tenemos: A1= At - Ag
i(1 i) n 1 n A1 P g n n (1 i) 1 i (1 i) 1
(16)
Por tabla seria: A1 = P(A/P,i,n) - g(A/g,i,n)
(16’)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) P
Sk = ?
1 0
2
3
4 .
k pagados
k .
k-1
n-k Pendiente s .
.
Ak
.
.
Ak + 1 An
Una vez pagada Ak quedan pendientes n-k cuotas, empezando por Ak+1 y terminando en An. Sk será el valor presente en k de esas cuotas pendientes.
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Utilizando (17) con "A1" = Ak+1 Y remplazando en (13) tenemos: Ak + 1 = A1 + (k+1-1)g, de donde "A1" = A1 + kg De lo anterior:
A1 k g g ( A / g , i, n k ) Sk ( A / P, i , n k )
(18)
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos, a una tasa de interés anual del 30% para pagarlo en 5 cuotas anuales que se incrementan 200 pesos . Cuàl es el valor de la primera y la ùltima cuota?
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Solución: A1 = 1000(A/P,30%,5) - 200(A/g,30%,5) A1 = 1000(0.41058) - 200(1.49031) A1 =112.519 A5 = A1 + (5 - 1)*$200 A5 =112.519+ 4*$200 A5 = 912.519
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) • Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota.
A1 k g g ( A / g , i, n k ) Sk ( A / P, i , n k )
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA) • Para los datos del ejemplo, calcular el saldo despuès de pagada la tercera cuota. Solución: P = 1.000, i = 30%, n = 5 y A1 = 112.519
112.519 3 200 200( A / g ,30%,5 3) S3 ( A / P,30%,5 3) S3 = 1.088,05
SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓN ARITMÉTICA)
PARA LA SERIE GRADIENTE DECRECIENTE SE UTILIZAN LAS MISMAS FÓRMULAS QUE EN LA CRECIENTE, PERO SE
REEMPLAZA g POR -g.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) P
1
2
n-1
n
0
A1
A2 An-1 An
Ak = A1 (1+ ig)k-1
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) El saldo (Sk) será el valor presente en k de las cuotas pendientes (n-k). P
Sk = ? n-k cuotas Pendientes
1
2
k
k+1
n
0 A1
A2
k Pagadas
Ak
Ak+1 An
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Utilizando (20’) con "A1" = Ak+1 y remplazando en (19) tenemos: Ak + 1 = A1 (1+ig)k+1-1, de donde "A1" = A1(1+ig)k De lo anterior: Sk
1 ig 1 1 i A1 (1 i g ) k i ig
nk
(18) iig
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Ejemplo: Se tiene un préstamo de 1.000 pesos a 5 años para pagarlo en 5 cuotas que se van incrementando el 20% anual. Si la tasa de interés anual es del 30%, ¿cuál es el valor de la primera y ultima cuota?.
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) Solución: 0.3 0.2 A1 1.000 5 1 0.2 1 1 0 . 3
$303.19
A5 = 303.19(1+0.2)5-1 = $628,69
SERIE GRADIENTE PORCENTUAL (PROGRESIÓN GEOMÉTRICA) • Para el ejemplo anterior ¿cuál es el saldo una vez pagada la tercera cuota? 1 i g n k Solución:
Sk
1 1 i A1 (1 i g ) k i ig
ig = 20%, P = 1.000, n = 5, i = 30% y A1 = 303,19 S3
5 3 1 0.2 1 1 0.3 303,19(1 0.2) 3 0.3 0.2
$775,018
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
AnĂĄlisis de los tres intervalos. Intervalo I: El saldo es creciente: Sk > Sk-1 > P No hay amortizaciĂłn: ak = 0 La cuota es totalmente intereses: Ak= Ik La cuota es inferior a los intereses generados en el perĂodo: Ak = Ik < i. Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Intervalo II: El saldo es decreciente: P< Sk < Sk-1 No hay amortización: ak = 0 La cuota es intereses: Ik = Ak La cuota paga intereses acumulados e intereses del período: Ak = Ik > i Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Intervalo III: El saldo es decreciente pero inferior a P: P > Sk-1 > Sk Hay amortizaciĂłn: ak > 0; ak = Sk-1 - Sk Los intereses contenidos en la cuota son: Ik = Ak - a k Como no se pagan intereses acumulados, entonces: Ik = i ď&#x201A;´ Sk-1
Comportamiento del saldo (SK) para las formas de pago Serie gradiente y gradiente porcentual.
Cuando eventualmente se pase del intervalo II al intervalo III: Sk-1 > P > Sk, entonces, la amortizaci贸n contenida en Ak ser谩: ak = P - Sk Recordemos que se amortiza s贸lo lo que abonamos al principal. As铆 que: Ik = Ak - ak No olvidemos que siempre Ak = ak + Ik