4 matematicas 4º eso solucionario libro del profesor editorial anaya by José Luis

4 O PCIÓN B

EDUCACIÓN SECUNDARIA

M atemáticas J. Colera, M.ª J. Oliveira, I. Gaztelu

ADAPTACIÓN CURRICULAR

Esta serie de Matemáticas responde a un proyecto pedagógico creado y desarrollado por Anaya Educación para la ESO. En su elaboración han participado: Autores: José Colera, M.ª José Oliveira, Ignacio Gaztelu, Leticia Colera Cañas y M.ª Mar Martínez Coordinación editorial: Mercedes García-Prieto Edición: Carlos Vallejo Diseño de cubiertas e interiores: Miguel Ángel Pacheco y Javier Serrano Tratamiento infográfico del diseño: Javier Cuéllar, Patricia Gómez y Teresa Miguel Equipo técnico: Coral Muñoz Corrección: Sergio Borbolla Ilustraciones: Montse Español y Álex Orbe Edición gráfica: Olga Sayans Fotografías: 123RF/Quickimage, Age Fotostock, Archivo Anaya ( Candel, C.; Cosano, P.; Martin, J.; Padura, S.; Pérez-Uz, B.; Ruiz, J.B.; Ruiz Pastor, L.; Steel, M.; Zuazo A.H.), Corbis/Cordon Press, NASA. Las normas ortográficas seguidas son las establecidas por la Real Academia Española en la nueva Ortografía de la lengua española, publicada en el año 2010.

Índice Unidad

Contenidos

1. Números irracionales ...................................

Números reales

Ejercicios y problemas ............ 18

1. Operaciones con polinomios........................ 22

Ejercicios y problemas ............ 29

Números reales ............................................ 3. Intervalos y semirrectas ................................ 4. Raíces y radicales.......................................... 5. Potencias y raíces con la calculadora............. 6. Propiedades de los radicales ......................... 7. Números aproximados. Notación científica...

2. Factorización de polinomios ........................ 25 Página 21

8 9 10 12 13 14 16

Página 7 2.

Polinomios y fracciones algebraicas

Competencias

3. Fracciones algebraicas .................................. 27

Ecuaciones, inecua- 1. Ecuaciones de segundo grado....................... 34 ciones y sistemas 2. Otros tipos de ecuaciones............................. 35 Página 33

3. Sistemas de ecuaciones lineales..................... 37 4. Sistemas de ecuaciones no lineales................ 38

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 20

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 31

Ejercicios y problemas ............ 41

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 43

5. Inecuaciones de primer grado ...................... 39

Unidad

Contenidos

Competencias

1. Conceptos básicos........................................ 46

Ejercicios y problemas ............ 52

Funciones. Características Página 45

2. Cómo se presentan las funciones.................. 47 3. Funciones continuas. Discontinuidades ....... 49 4. Crecimiento, máximos y mínimos ............... 50

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 54

5. Tendencia y periodicidad............................. 51

1. Distintos tipos de funciones lineales............. 56

Funciones elementales Página 55

La semejanza. Aplicaciones Página 65

2. Ecuación de una recta en la forma

punto-pendiente ......................................... 3. Parábolas y funciones cuadráticas................. 4. Funciones de proporcionalidad inversa y radicales .................................................... 5. Funciones exponenciales ..............................

57 58

Trigonometría

1. Semejanza.................................................... 66 2. Semejanza de triángulos ............................... 68 3. La semejanza en los triángulos rectángulos ... 69

Página 75

1. Razones trigonométricas

de un ángulo agudo ..................................... 2. Relaciones trigonométricas fundamentales.............................................. 3. Utilización de la calculadora en trigonometría .......................................... 4. Resolución de triángulos rectángulos ...........

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 64

60 61

4. Homotecia y semejanza................................ 71

Ejercicios y problemas ............ 62

Ejercicios y problemas ............ 72

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 74

Ejercicios y problemas ............ 81

76 77 79 80

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 82

Unidad

Contenidos

Competencias

1. Vectores en el plano..................................... 84

Ejercicios y problemas ............ 92

Geometría analítica Página 83

2. Operaciones con vectores............................. 85 3. Punto medio de un segmento

y puntos alineados ....................................... 4. Ecuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidad ..................................... 5. Rectas paralelas a los ejes coordenados ......... 6. Posiciones relativas de dos rectas .................. 7. Distancia entre dos puntos...........................

Estadística

Cálculo de probabilidades Página 105

1. Dos ramas de la estadística........................... 96

Ejercicios y problemas ............ 103

Tablas de frecuencias ................................... 97 – 3. Parámetros estadísticos: x y q ................... 98 4. Medidas de posición .................................... 100 5. Diagramas de caja ........................................ 101

Autoevaluación ....................... 104

1. Probabilidades en experiencias simples......... 106

Ejercicios y problemas ............ 112

2. Probabilidades en experiencias compuestas .... 108 3. Composición de experiencias

independientes............................................. 109 4. Composición de experiencias dependientes................................................ 110

Combinatoria

Autoevaluación ....................... 93

87 89 90 91

Página 95 2.

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias.

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias. Autoevaluación ....................... 113

1. En qué consiste la combinatoria .................. 116

Ejercicios y problemas ............ 123

El diagrama en árbol .................................... 117 3. Variaciones y permutaciones ........................ 119 4. Cuando no influye el orden ......................... 121 5. Combinaciones............................................ 122

Autoevaluación ....................... 124

Página 115 2.

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias.

Números reales

Los números irracionales fueron descubiertos por los pitagóricos aproximadamente en el siglo v antes de nuestra era. Sin embargo, más que como números, fueron tomados como magnitudes geométricas. Esta forma de tratarlos se extendió durante casi dos milenios. Es muy reciente, pues, la idea de que estos números, junto con los racionales, forman un único conjunto con estructura y características muy interesantes. El concepto de número real, como ahora lo manejamos, se fue concibiendo y construyendo al evolucionar el estudio de las funciones. Finalmente, fue formalizado en 1871 por el alemán Cantor. DEBERÁS RECORDAR

■ Cómo expresar un número decimal exacto en forma de fracción. ■ Cómo expresar un decimal periódico en forma de fracción.

Números irracionales Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. Números irracionales son los no racionales, es decir, los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica. Por ejemplo, π = 3,14159265359… Hay infinitos números irracionales, algunos de los cuales son especialmente interesantes. Veamos algunos.

La diagonal del cuadrado: el número √2 — √2 √

El teorema de Pitágoras nos proporciona el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1:

d = √12 + 12 = √2 es un número irracional.

Otros irracionales expresados mediante radicales 3 4, √ 5 10 , … son irracionales. Los números √3, √5, √8, …, √

En general, si p no es una potencia n-ésima, entonces n√p es irracional.

1 F SÍMBOLO DE LOS PITAGÓRICOS

— √ √5 — 2 F

1 — 2

1 1 — 2

Construcción del número F.

La diagonal de un pentágono de lado unidad es el número √5 + 1 . Histórica2 mente es el primer número del que se tuvo conciencia de su irracionalidad. En el siglo v a.C., los griegos pitagóricos descubrieron con sorpresa (y casi con espanto) que la diagonal del pentágono y su lado no guardaban una proporción exacta. Hasta entonces se creía que todo el universo se regía por los números naturales y las razones entre ellos (fracciones). Pero al descubrir que no era así, les pareció que el caos se asomaba a su mundo. Por eso, llamaron irracional (contraria a la razón) a esta relación entre diagonal y lado del pentágono. Posteriormente, los artistas griegos consideraron que la proporción F : 1 resultaba especialmente armoniosa, por lo que la llamaron razón áurea, y al número F, número áureo. El nombre, F (fi, letra griega correspondiente a la F), es la inicial de Fidias, escultor griego que utilizó asiduamente esta razón.

El número π L 2r

L =π 2r

Como sabes, π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Este número lo conoces y lo utilizas desde hace muchos cursos. Has hecho uso de las siguientes aproximaciones suyas: 3,14 o 3,1416. Su verdadero valor tiene infinitas cifras decimales no periódicas. π es la letra griega correspondiente a la “p”. ¿Por qué este nombre? La palabra griega perifereia significa “circunferencia” (la periferia del círculo).

5+1 El número de oro: F = √ 2

UNIDAD

Números reales El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por Á. De modo que la tabla sobre números, que ya conocemos, puede ampliarse y completarse del siguiente modo:

Entrénate 1 a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros?

)

° ° ° naturales 8 0, 4, 24 , √121 § § § N 6 § enteros § § ¢ § racionales §§ Z § enteros 8 –11, – 27 , √3 –8 § ¢ § negativos reales § Q 3 § £ § Á ¢§ ) 1 3 § § fraccionarios 8 5,84; ; 5,83; – § 2 10 £ § § § irracionales 8 √2, √3, F, π, – √5 + 2, 2 + √3 £ 5

)

–2; 1,7; √3 ; 4,2; –3,75; 3π; –2√5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) ¿Cuáles son irracionales? 2 a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números:

Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que se hacen con los racionales: suma, resta, multiplicación y división (salvo por el cero) y se mantienen las mismas propiedades.

√3 ; 0,87) ; –√4 ; – 7 ; 2

√2

; 2π

También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real. Eso no ocurría con los números racionales.

b) Ordénalos de menor a mayor. c) ¿Cuáles son números reales?

La recta real 0

Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.

Ejercicio resuelto Situar cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes. Cada uno puede estar en más de un casillero: ) 24; 0,71; 0,71; –5; 3 ; 7; – 9; 28 ; π – 1 √ √ 5 7

N enteros, Z naturales,

fraccionarios racionales,

irracionales

24; 28/7 = 4 24; –5; –√9 = –3; 28/7 = 4

)

0,71; 0,71; 3/5

)

24; 0,71; 0,71; –5; 3/5; –√9 = –3; 28/7 = 4

√7 ; π – 1

Actividades 1 Sitúa cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes. Ten en cuenta que cada número puede estar en más de un casillero. (hazlo en tu cuaderno). ) 107; 3,95; 3,95; –7; √20; 36 ; 9

√ 49 ; –√36; 73 ; π – 3

N enteros, Z naturales,

fraccionarios racionales,

irracionales

Intervalos y semirrectas Para designar algunos tramos de la recta real, existe una nomenclatura que debes conocer.

Intervalo abierto

Intervalo abierto (a, b) = {x / a < x < b} a

El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b: {x / a < x < b}.

La expresión anterior se lee así:

Se representa así:

conjunto de

{ x / a < x

}

núme- tales son mayo- y menoros x que res que a res que b

Por ejemplo, el intervalo (–2, 1) es el conjunto de todos los números comprendidos entre –2 y 1, sin incluir ni –2 ni 1: {x / –2 < x < 1}. Su representación es esta:

–2

Intervalo cerrado El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, ambos incluidos: {x / a Ì x Ì b}. Se representa así:

Por ejemplo, el intervalo [–2, 1] es el conjunto de todos los números comprendidos entre –2 y 1, incluyendo el –2 y el 1: {x / –2 Ì x Ì 1}. Su representación es esta:

–2

Se representa así:

a b • El intervalo [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a pero no b: {x / a Ì x < b}. Se representa así:

Por ejemplo, el intervalo (3, 4] es el conjunto de todos los números comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 4 pero no el 3: {x / 3 < x Ì 4}. Su representación es esta:

3 4 El intervalo [3, 4) es el conjunto de todos los números comprendidos entre 3 y 4, incluyendo el 3 pero no el 4: {x / 3 Ì x < 4}. Su representación es esta:

• El intervalo (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo b pero no a: {x / a < x Ì b}.

Intervalo semiabierto

UNIDAD

Semirrectas y recta real Semirrectas (– @, a) = {x / x < a} a (– @, a] = {x / x Ì a} a

(– @, a)

son los números menores que a: {x / x < a}.

(– @, a]

son los números menores que a y el propio a: {x / x Ì a}.

(a, +@)

son los números mayores que a: {x / x > a}.

[a, +@)

son los números mayores que a y el propio a: {x / x Ó a}.

• (– @, 2) es el conjunto {x / x < 2} 8

(a, +@) = {x / x > a} a

• [2, +@) es el conjunto {x / x Ó 2} 8

[a, +@) = {x / x Ó a}

Á = (– @, +@)

La propia recta real se representa en forma de intervalo así:

Ejercicios resueltos 1. Escribir en forma de intervalo y representar: a) 2 < x Ì 3

1. a) Intervalo semiabierto (2, 3]

b) Semirrecta (–@, 1]

b)x Ì 1

c) Semirrecta (0, +@)

c) x > 0 2. Escribir en forma de desigualdad y representar: a) [–2, 0]

2. a) {x / –2 Ì x Ì 0}

b) [–1, +@)

–2

b) {x / x Ó –1}

0 –1

c) {x / 0 < x < 1}

c) (0, 1)

Actividades 1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos. b) Mayores que 7. c) Menores o iguales que –5. 2 Escribe en forma de intervalo y representa: a) {x / 3 Ì x < 5}

b) {x / x Ó 0}

c) {x / –3 < x < 1}

d) {x / x < 8}

3 Escribe en forma de desigualdad y representa: a) (–1, 4]

b) [0, 6]

c) (– @, –4)

d) [9, +@)

4 Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) –3 Ì x Ì 2 b) –1 < x < 5 c) 0 < x Ì 7

d) x > –5

5 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados. a) c)

–1 0 –2

3 0

b) d)

5 0

6 Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞): ) –3; 10; 0,5; 7; √5; 6,3

Raíces y radicales Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n√a, a un número b que cumple la siguiente condición:

Cálculo mental 1. Di el valor de k en cada caso: 3k =2 a) √

b) √–243 = –3

4k = 2 c) √ 3

d) √1 024 = 2

n√a

5 32 b) √

5 –32 c) √

80 d) √

4 81 e) √

3 125 f) √

se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.

Cuando manejes expresiones como esta, habrá ocasiones en las que debes calcular el valor numérico. Para ello, deberás tener en cuenta la definición, como en las que se proponen en este margen, o bien recurrir a la calculadora. Pero en otros casos deberás mantener el radical, simplificarlo, operar con otros radicales, etcétera. Nos dedicaremos a esto en el próximo epígrafe.

2. Calcula las raíces siguientes: 3 –8 √

= b si b n = a

Algunas peculiaridades de las raíces • Si a Ó 0, n√a existe cualquiera que sea n. • Si a < 0, solo existen sus raíces de índice impar. • Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, con √4 nos referimos a la positiva: √4 = 2. En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas: √a y – √a .

Forma exponencial de los radicales Los radicales se pueden expresar como potencias:

√a = a1/2, pues (a1/2)2 = a 2/2 = a 3 a2 = a2/3, pues (a2/3)3 = a 6/3 = a2 √

Por ejemplo: 3 64 = 3 26 = 26/3 = 22 = 4 √ √

Actividades 1 Expresa en forma exponencial.

4 Expresa en forma exponencial.

5x a) √

3 x2 b) √

c) 15√a 6

d) √a 13

6 a5 e) √

4 a8 f) √

b) 1251/3 e) 645/6

c) 6251/4 f ) 363/2

2 Calcula. a) 41/2 d) 82/3

3 Expresa en forma radical. a) x 7/9

b) n 2/3

c) b 3/2

d) a4/5

5 x2 a) √

b) √2

3 106 c) √

5 (–3)3 e) √

4a f)√

5 x –2 ) g) (√

5 Pon en forma de raíz.

4 202 d) √ 3

h) 15√a 5

1/3

()

a) 51/2

b) (–3)2/3

c) 4 3

d) (a3)1/4

e) (a1/2)1/3

f ) (aa –1)3/5

5 23 = 23/5 √5 = 51/2 ; √

UNIDAD

Potencias y raíces con la calculadora Potencias y raíces sencillas: Todas T las calculadoras científicas tienen las teclas x y $. Muchas tienen también y , aunque estas suelen aparecer como segunda función (es decir, fuera de la tecla y, por tanto, deben ser precedidas por s). Por ejemplo:

Atención Hay calculadoras antiguas que proceden al revés:

√247 8 247 $ {‘∞…|‘\“««\}

2472 8 247 x {∫\‘≠≠£} {∫\‘

4,83 8 4,8

√247 8 $ 247 = {‘∞…|‘\“««\¢} 3 4,8 8 4,8 = {‘…\°\°\∞««≠\} √ {‘…\°\°\∞««≠

{‘‘≠…∞£“} {‘‘≠

Si hay en la pantalla un número cuya raíz cuadrada quieres calcular, antes de dar a la tecla $ pulsa =. Por ejemplo: {∞°¢≠«} {∞°¢ = $ = {“¢‘…\\|‘“\¢«\}

‰ (o bien á) 17,845 8 17,84 ‰ 5 = {‘°≠| {‘°≠|≠\\…£|£°¢} ≠|≠\\…£|£°¢} 2,5 4 8 4 ‰ 2,5 = {∫∫∫∫∫∫«“}

■ Potencias de índice cualquiera:

Raíces de índice cualquiera:

(o bien

)

Atención, aquí el orden en que intervienen el índice, el radicando y la tecla dependen mucho de la calculadora. Por ejemplo: Atención En algunas calculadoras, en vez de x llamar a esta función √ se le llama x1/y, y actúa así:

32 ≈ 5 =

32 = {∫∫∫∫∫∫“} pantalla sencilla

5 5 32 √

5 ”32 =

pantalla descriptiva

Incluso hay calculadoras con la tecla

. Con ellas se procede así:

5 32 8 32 √

5 = {∫∫∫“}

■ Cálculo de raíces con la tecla de potencia 5 32 = 321/5 8 32 √ 5 323 = 323/5 8 32 √

5 Y = {∫∫∫“} 3 Å 5 = {∫∫∫°}

Actividades Halla con la calculadora: 1 a) √541

b) 3272

3 8,53 c) √

5 8,24 2 a) √

6 586 b) √

4 79,46 c) √

5 372 3 a) √

4 2,15 b) √

3 0,0082 c) √

4 Calcula las raíces del ejercicio 2 utilizando la tecla ‰. (Por ejemplo: 8,24 ‰ 5 Y

=).

5 Calcula las raíces del ejercicio 3 utilizando la tecla ‰. (Por ejemplo: 37 ‰ 2 Å 5 =).

Propiedades de los radicales Los radicales tienen una serie de propiedades que debes conocer y utilizar con soltura. Todas ellas son consecuencias de propiedades de las potencias. ■ Simplificación de radicales

Entrénate 1 Simplifica.

a) 4√52

b) 6√23

c) 8√34

d) √74

e) 3√56

f ) 4√118

Si el radicando está en forma de potencia, o puede ponerse así, es posible que el radical pueda simplificarse. Para ello, conviene expresarlo en forma de potencia. Por ejemplo: 4 32 = 32/4 = 31/2 = √3 √ 3 26 = 26/3 = 22 = 4 √ 4 64 = √ 4 26 = 26/4 = 23/2 = √23 = √8 √

■ Extracción de factores fuera de una raíz Si el radicando descompuesto en factores tiene potencias de exponente igual o mayor que el índice de la raíz, algunos de ellos pueden salir fuera de la raíz.

Entrénate 2 Extrae factores.

Por ejemplo:

a) √12

b) √50

c) 3√16

d) 3√24

√18 = √32 · 2 = √32 · √2 = 3√2

e) √175

f ) 4√80

√720 = √24 · 32 · 5 = √24 · √32 · √5 = 24/2 · 3 · √5 =

g) √180

h) √300

= 22 · 3 · √5 = 12√5 3 81 = √ 3 34 = √ 3 33 · 3 = √ 3 33 · √ 3 3 = 3√ 33 √

■ Producto de radicales del mismo índice 3 Multiplica y simplifica.

a) √3 · √3

b) √2 · √5

c) √5 · √15

d) √5 · √20

e) √10 · √6

f) √3 · √27

√3 · √2 = √3 · 2 = √6 √15 · √20 = √15 · 20 = √300 = √100 · 3 = √100 · √3 = 10√3 √2 · √2 = √2 · 2 = √4 = 2 √2 · √8 = √2 · 8 = √16 = 4 35 ·√ 3 50 = √ 3 5 · 50 = √ 3 53 · 2 = √ 3 53 · √ 3 2 = 5√ 32 √

■ Potencia de un radical Entrénate

Por ejemplo:

4 Efectúa.

( )3 b) (√5 3 )10 6 23 )2 e) (√ 3 52 )2 d) (√ 32 a) √

( )3 4 22 )3 f) (√ c) √7

(√23 )4 = √23 · 4 = √212 = 212/2 = 26 (√5 4 )3 = (√5 22 )3 = √5 22 · 3 = √5 26 = 2√5 2 (√6 72 )3 = √6 72 · 3 = √6 76 = 7

Por ejemplo:

Entrénate

UNIDAD

1 ■ Raíz de un radical Por ejemplo:

Entrénate 1 Escribe con solo una raíz. a) √√5

b) √√7 3 3

√√5 = √4 5 √√3 11 = √6 11

c) √√10 3

Entrénate 2 Suma si es posible. a) √2 + 7 √2 b) 3 √7 + √7 c) 2 √3 – √3 d) √2 + 5 √2 – 3 √2

■ Suma y resta de radicales Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos. Por ejemplo: √3 + √2 ° Solo pueden realizarse de forma aproximada, 3 7 ¢ o bien hay que dejarlas indicadas. √7 – √ £ Sí puede simplificarse la expresión siguiente: 7√5 + 11√5 – √5 = 17√5 Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por ejemplo:

√32 + √18 – √50 = √25 + √32 · 2 – √52 · 2 = = 4√2 + 3√2 – 5√2 = 2√2

Entrénate

3 Elimina el radical del denominador. 1 2 3 2 a) b) c) d) √ √3 √5 √2 √3

■ Eliminación de un radical del denominador Es costumbre en los resultados matemáticos en los que intervienen radicales evitar que estos estén en el denominador. Veamos unos casos en los que esto se consigue de forma sencilla: 1 = √2 = √2 2 √2 √2 · √2

√3 = √3 · √2 = √6 2 √2 √2 · √2

3 72 3 2 3 2 1 = √ = √7 = √7 37 ·√ 3 72 √ 3 73 37 7 √ √ Observa que se multiplica el denominador por el radical necesario para que desaparezca la raíz: 37 ·√ 3 72 = 7 √2 · √2 = 2 ; √ Lógicamente, el numerador se multiplica por la misma expresión.

Actividades 1 Simplifica.

3 Multiplica y simplifica.

a) 12√x 9

b) 12√x 8

5 y 10 c) √

68 d) √

e) 9√64

8 81 f)√

2 Saca del radical los factores que sea posible.

a) √2 √3 √6

3 a 3 a2 3 a4 b) √ √ √

6x √ 6 x2 c) √

d) 4

√ 35 √53 4

4 Extrae factores y suma si es posible.

a) √x 3

3 a5 b) √

c) √b5

a) √12 + √3

b) √18 – √2

3 32x d) √ x4

3 81a 3 b 5 c e) √

5 64 f) √

c) √45 – √20

d) 2√6 – √8

Números aproximados. Notación científica Aproximaciones y errores

b) 0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas. c) 53 000 g tiene 2 cifras significativas, pues los ceros del final solo sirven para designar el número. Mejor sería que se pusiera 53 miles de gramos, o bien, 53 kg.

Observa °Medición: 34 m a) ¢ £Error absoluto < 0,5 m °Medición: 0,0863 hm3 § b) ¢Error abs. < 0,00005 hm3 §Es decir, error abs. < 50 m3 £ °Medición: 53 000 g c) ¢ £Error absoluto < 500 g

Observa Los errores relativos de las mediciones anteriores son: a) E.r. < 0,5/34 < 0,015 b) E.r. < 0,00005/0,0863 < 0,0006 c) E.r. < 500/53 000 < 0,0095 < 0,01

En las aplicaciones prácticas se suelen manejar números aproximados. Recordemos algunos conceptos y procedimientos con los que se controla su uso. Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que se desea transmitir. Por ejemplo, si al medir la capacidad de una piscina se obtiene 718 900 ll, sería más razonable decir que tiene 719 m3, utilizando solo 3 cifras significativas. Pero si la medición no fue muy fina, lo propio sería decir 720 m3 o, mejor, 72 decenas de m3. Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado. Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado| El valor exacto, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada. En el ejemplo anterior (capacidad de la piscina: 719 m3), la última cifra significativa (el 9) designa unidades de m3. El error absoluto es menor que medio metro cúbico (error < 0,5 m3). Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras significativas se usan. En el ejemplo, el error relativo es menor que 0,5 < 0,0007. 719

Notación científica Cálculo mental Expresa en notación científica los siguientes números:

Los números 3,845 · 1015 y 9,8 · 10–11 están en notación científica porque: — Están descritos mediante dos factores, un número decimal y una potencia de 10.

a) 340 000

— El número decimal es mayor o igual que 1 y menor que 10.

b) 0,00000319

— La potencia de 10 es de exponente entero.

c) 25 ·

106

d) 0,04 ·

109

e) 480 · 10–8 f ) 0,05 · 10–8

El primero, 3,845 · 1015 = 3 845 000 000 000 000, es un número “grande”. El segundo, 9,8 · 10–11 = 0,000000000098, es un número “pequeño”. El exponente sirve para interpretar cómo de grande o de pequeño es el número, pues nos da la cantidad total de cifras que tiene.

Observa a) 34 m tiene 2 cifras significativas.

UNIDAD

Ejercicios resueltos 1. Expresar con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades: a) Visitantes en un año a una pinacoteca: 183 594. b)Asistentes a una manifestación: 234 590. c) Número de bacterias en 1 dm3 de cierto preparado: 302 593 847.

1. a) Puede ser razonable que esta cantidad se dé con tanta precisión, pues los asistentes a un museo pagan una entrada que, lógicamente, se contabiliza. Suponemos que ese número, 183 594, es el de entradas vendidas. No obstante, para cierto tipo de comunicaciones podría simplificarse la cifra: “casi doscientos mil”, “más de ciento ochenta mil” son valoraciones adecuadas. b) Es imposible que nadie haya contado los manifestantes con tanta precisión. Aunque la cifra no esté “hinchada” o “achicada” por razones sectarias, no se puede afinar tanto en estas valoraciones. Razonable sería decir, por ejemplo, “más de doscientos mil”, o bien “entre 200 000 y 250 000”.

c) Una o, como mucho, dos cifras significativas: 3 cientos de millones de bacterias (o 30 decenas de millones). 2. Dar una cota del error absoluto y una cota del error relativo cometido en cada una de las valoraciones que se han dado en las cantidades del ejercicio anterior.

2. a) Si decimos que el número de visitantes es 180 mil (o mejor, 18 decenas de miles) cometemos un error absoluto de 183 594 – 180 000 = 3 594 personas. Lo sabemos con precisión porque conocemos la cantidad exacta. Sin embargo, quien reciba la información (18 decenas de miles) deberá entender que puede haber un error de hasta 5 unidades de la primera cifra no utilizada: 5 000 personas. Es decir: 180 mil personas, con un error menor que 5 000 Error relativo < 5 000/180 000 < 0,028 < 0,03 8 E.r. < 0,03 b) Valoración: 200 000 8 Error absoluto < 50 000 Error relativo < 50 000/200 000 = 0,25 c) Valoración: 3 cientos de millones = 300 millones Error absoluto < 0,5 decenas de millones = 5 millones Error relativo < 5/300 < 0,017 < 0,02 8 E.r. < 0,02

3. Efectuar y repasar con la calculadora: a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6) b)(2,52 · 104) : (4 · 10–6)

3. a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10–6) = 33,28 · 105 – 6 = 3,328 · 10 · 10–1 = 3,328 b) (2,52 · 104) : (4 · 10–6) = 0,63 · 104 – (–6) = 6,3 · 10–1 · 1010 = 6,3 · 109

Actividades 1 Escribe estos números en notación científica: a) 13 800 000

b) 0,000005

c) 4 800 000 000

d) 0,0000173

2 Calcula mentalmente y comprueba con la calculadora. a) (2 · 105) · (3 · 1012)

b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)

c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017) d) (8 · 1012) : (2 · 1017) e) (9 · 10–7) : (3 · 107) g) (5 · 10–7) · (8 · 10–9)

f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

3 ¿Cuál de las siguientes medidas es más precisa (tiene menos error relativo)? Di, en cada una, de qué orden es el error absoluto cometido: a) Altura de Claudia: 1,75 m. b) Precio de un televisor: 1 175 €. c) Tiempo de un anuncio: 95 segundos. d) Oyentes de un programa de radio: 2 millones. 4 Di una cota del error absoluto en cada una de estas medidas: 53 s; 18,3 s; 184 s; 8,43 s. ¿En cuál de ellas es mayor el error relativo?

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen estas condiciones, en cada caso: a) 0 < x < 1 b) x Ì –3 c) x > 0 d) –5 Ì x Ì 5 e) x > –5 f)1 Ì x < 3

Escribe en forma de desigualdad y representa los siguientes intervalos: a) (1; 2,5) b) [–2, 3] c) [–7, 0) d) [–3, +@) e) (2, +@) f ) (–5, 2]

Expresa como intervalos y mediante desigualdades cada uno de los conjuntos de números representados: a) b)

Números reales 1

a) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: ) 41 ; 49 ; 53,7; 3 5; π 3,2; √12 ; √ √ 2 13 b) ¿Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos de menor a mayor.

Di cuáles de los siguientes números son irracionales: ) –3 ; 1,73; √3 ; π; √9 ; 1 + √5 ; 3,7 4 2

Indica cuáles de los siguientes números pueden expresarse como cociente de dos números enteros y cuáles no:

c) 10

21,5; √7 ; 2,010010001…; ) 3 – 8; 2 + √3 ; 0,5; 2π – 1 √ 4

Clasifica estos números en naturales, enteros, racionales y reales: 3 –3 7,23 √2 4 –2 π +1 0 –4 1 11 3 –1 √5 √ 3 9 2 2,48 18 1 + √2 –1

√–2

D = (–1, 4] 6

B = [5, 10]

E = (–@, 2)

C = [0, 7)

–1

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso: a) Menores o iguales que 3. b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1. c) Mayores que 2, pero menores que 3. d) Mayores que 5.

Expresa en forma exponencial. 3 52 a) √

5 a2 b) √

8 a5 c) √

3x d) √

e) √a–1

4 a2 f )√

g) √a

h) √2

Expresa en forma de raíz. b) 23/4 c) a 1/3 e) x 1/4 f ) a 3/2 g) x –1/2

d) a 1/2 h) x –3/2

Calcula. a) 251/2 e) 95/2

Considera los números siguientes: 14

b) 271/3 f ) 165/4

c) 1252/3 g) 493/2

d) 813/4 h) 85/3

Calcula las siguientes raíces:

a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4).

4 16 a) √

5 243 b) √

70 c) √

b) ¿Y cuáles pertenecen al intervalo [2, 4]?

41 d) √

3 –1 e) √

5 –1 f)√

3 –27 g) √

h) √144

6 15 625 i) √

c) ¿Y cuáles al (2, +@)?

a) 32/5

F = [3, +@)

1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1

Describe cuáles son los números que pertenecen a los intervalos siguientes: A = (–2, 3)

Potencias y raíces

1,010203…

Intervalos y semirrectas

–2

■ Practica

UNIDAD

Di el valor de k en cada caso: k

3 k = –2 b) √

3k e) √

a) √243 = 3 d) √–125 = –5 16

= –1

4k = 3 c) √ 2

√

3 –173 b) √

4 143 c) √

4 75,3 d) √

6 603 e) √

3 0,062 f)√

Halla con la calculadora. a) 283/4

b) 81/2

c) 0,022/3

d) 0,83/5

e) 125/2

f) 3,51/5

Descomponemos en factores cada radicando:

√63 = √32 · 7 = 3√7 ° § √28 = √22 · 7 = 2√7 ¢ 8 3√7 –5·2√7 +4√7 = § √112 = √24 · 7 = 4√7 £ = 3√7 – 10√7 + 4√7 = = –3√7

Simplifica. 69 a) √

b) √625

c) 15√212

4 49 d) √

6 125 e) √

5 315 f)√

4 a 12 b) √

c) 12√a 3

8 a2 b2 d) √

3 a6 b6 e) √

6 a2 b4 f)√

Multiplica y simplifica el resultado. a) √2 · √3 · √6

3a ·√ 3 a2 b) √

c) √5 · √10 · √8

d) √a · √a 3

3 16 a) √

b) √28

4 210 c) √

d) √8

e) √200

f ) √300 3 15 c) 5√√

4 25 d) 3√√

e) √√33

f ) 5√√11

Calcula y simplifica en cada caso: 3 2) b) (√

d) √√8

e) (√√2 )

4 32 ) c) (√

a) 2√8 + 4√72 – 7√18

b) √12 + √75 – √27

c) √32 + 3√50 – 2√8

d) 3√2 + √18 – 3√8

a) 2 √2

Suprime el radical del denominador. b) 4 c) 6 d) 3 √6 √12 √15

a) 3 35 √

Suprime el radical del denominador. b) 1 c) 1 d) 5 8√a 5 3√x 42 √

Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des. a) Oyentes de un programa de radio: 843 754

d) Gastos de un ayuntamiento: 48 759 450 €

32 b) √√

a) (√2 )

Efectúa.

c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,0375 segundos.

a) √√13

3 81 – √ 3 24 d) √

b) Precio de un coche: 28 782 €

Reduce a un solo radical.

c) 3√28 – 5√7

Números aproximados. Notación científica

Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

b) 5√48 + √12

a) 10√a 8

a) 2√45 – 3√20

Simplifica los siguientes radicales:

Expresa como un solo radical.

Radicales

√63 – 5√28 + √112

Obtén con la calculadora.

Expresa como un solo radical:

49 = 7 64 8

59 a) √

Ejercicio resuelto

f ) (√√2 ) 3

Escribe en notación científica. a) 752 000 000

b) 0,0000512

c) 0,000007

d) 15 000 000 000

Expresa en notación científica. a) 32 · 105 d) 458 · 10–7

b) 75 · 10– 4 e) 0,03 · 106

c) 843 · 107 f ) 0,0025 · 10–5

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Calcula mentalmente. a) (1,5 · 107) · (2 · 105) b) (3 · 106) : (2 · 1011)

Da el valor exacto.

c) (4 · 10–7) : (2 · 10–12) d) √4 · 108 33

Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora. a) (3,5 · 107) · (4 · 108) b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) d) (6 · 10–7)2

Halla el área total y el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Da su valor exacto en función de π. En un círculo cuya circunferencia mide 30π m, cortamos un sector circular de 120° de amplitud. Halla el área de ese sector dando su valor exacto en función de π.

Calcula el perímetro de los triángulos ABC, ABC DEF y GHI GHI. Expresa el resultado con radicales. 4u

■ Aplica lo aprendido 34

Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz.

I B

Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es √3 cm. Expresa el resultado con radicales.

¿Sabes identificar una raíz con una potencia y manejar las operaciones con radicales?

1 Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales, irracionales y reales: ) 7,53; √64 ; √7 ; –5; π ; 3,23; 7 4 11 2

3 Halla el valor de k en cada caso: k

b) √–125 = –5

3 215 a) √

8 610 b) √

2 a) Escribe como intervalo y representa –3 < x Ì 5.

3 60 · √ 3 18 c) √

3 64 d) √√

c) Escribe en forma de intervalo y representa “los números mayores que –1”. d) Expresa como una desigualdad el conjunto de números representado: –5

c) √625 = k

4 Simplifica y, si es posible, extrae factores:

¿Conoces y utilizas las distintas notaciones para un intervalo? b) Escribe como desigualdad y representa (–@, 8].

3k =7 a) √

5 Opera: a) 4√3 – 5√3 + 2√3

b) √12 + √48 – √27 – √75

6 Suprime el radical del denominador y simplifica. a) 3√5 √3

b) 14 47 √

¿Sabes clasificar los números en los distintos conjuntos numéricos?

Autoevaluación

Polinomios y fracciones algebraicas

El lenguaje algebraico actual es sencillo, cómodo y operativo. En el largo camino para llegar a él, cabe considerar tres grandes etapas. Álgebra primitiva o retórica. En ella, todo se describe con lenguaje ordinario. Babilonios, egipcios y griegos antiguos la practicaban; y también los árabes, quienes, entrado ya el siglo ix, retornaron a ella. Álgebra sincopada. Diofanto (s. iii) fue el pionero, utilizando una serie de abreviaturas que aliviaban los procesos. Por ejemplo, 7x 4 + 2x 3 – 4x 2 + 5x – 6 lo escribía ss7 c2 x5 M s4 u6 (s significa cuadrado; c, cubo; x, incógnita; M, menos; u, número). Durante el Renacimiento (ss. xv y xvi), el álgebra sincopada mejoró debido a la incorporación de nuevos símbolos: operaciones, coeficientes, potencias...

Álgebra simbólica. Consiste en una simbolización completa. Vieta, a finales del xvi, mejoró lo que ya había, de modo que su lenguaje algebraico fue predecesor del actual. Y Descartes, en el siglo xvii, lo acabó de perfeccionar. Actualmente, escribimos el álgebra tal como lo hacía él, a excepción del signo =, que él lo ponía así: (parece que este signo proviene de una deformación de æ, iniciales de aequalis, igual). La falta de operatividad del álgebra durante muchos siglos obligó a los matemáticos a agudizar su ingenio para obtener y demostrar relaciones algebraicas. Algunos se valieron, para ello, de figuras geométricas, dando lugar al álgebra geométrica. DEBERÁS RECORDAR ■ Cómo se operan los polinomios (suma, resta y multiplicación). ■ Cómo sacar factor común. ■ Las identidades notables.

Operaciones con polinomios Suma y resta de polinomios Para sumar dos polinomios, agrupamos sus términos y simplificamos los monomios semejantes. Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Definición Se llama opuesto de un polinomio al que resulta de cambiar de signo todos sus términos: –(x 3

2x 2

– 5x – 11) =

= –x 3 – 2x 2 + 5x + 11

Por ejemplo: A = 3x 2 + 5xx – 2, B = x 3 + 4x 2 – 5 3x 2 + 5xx – 2

+ B 8 x 3 + 4x 2 A+B

3x 2 + 5xx – 2

–5

–B

x 3 + 7x 2 + 5xx – 7

A–B

8 –x – 3 – 4x 2

– 3 – x 2 + 5xx + 3 –x

A veces, escribimos directamente el resultado, quitando paréntesis (si los hay) y agrupando los monomios semejantes. Por ejemplo: • (x 2 + 3xx + 2) + (2x 2 – 5) = x 2 + 3xx + 2 + 2x 2 – 5 = 3x 2 + 3xx – 3 • (3xx + 1) – (2x – 3) = 3x + 1 – 2xx + 3 = x + 4

Producto de un monomio por un polinomio Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Por ejemplo: M = x 3 – 2x 2 + 5xx – 1, N = 3x 2 x 3 – 2x 2 + 5xx – 1

3x 2

ÒN 8

3x 5 – 6x 4 + 15x 3 – 3x 2

M·N

• (2x 2 – 3) · (2x) xx) = 4x 3 – 6x • 7(2xx + 5) = 14x + 35 • (5x 2)(6x 2 – 4xx + 3) = 30x 4 – 20x 3 + 15x 2

Actividades 1 Sean P = x 4 – 3x 3 + 5xx + 3, Q = 5x 3 + 3x 2 – 11. Halla P + Q y P – Q. Q 2 Efectúa.

3 Halla los productos siguientes: a) x (2xx + y + 1)

b) 2a 2(3a 2 + 5a 3)

c) ab (aa + b)

d) 5(3x 2 + 7xx + 11)

a) 2x (3x 2 – 4x) x x)

b) 5(x 3 – 3x) x x)

e) x 2y (xx + y + 1)

f ) 5xy 2(2xx + 3y 3y) y)

c) 4x 2(–2xx + 3)

d) –2x (x 2 – x + 1)

g) 6x 2y 2(x 2 – x + 1)

h) –2(5x 3 + 3x 2 – 8)

e) – 6(x 3 – 4xx + 2)

f ) –x – (x 4 – 2x 2 + 3)

i) 3a2b 3(aa – b + 1)

j) –2x (3x 2 – 5xx + 8)

También, en este caso, podemos escribir directamente el resultado. Por ejemplo:

UNIDAD

Producto de dos polinomios Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los factores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y, después, se suman los monomios semejantes obtenidos. Por ejemplo: P = 2x 3 – 4x 2 – 1, Q = 3x – 2 Ten en cuenta Esta forma de disponer los cálculos permite multiplicar polinomios de manera ordenada y segura. Cuando falta algún término, hay que dejar un hueco en el lugar correspondiente.

2x 3 – 4x 2

– 1 6Ä P 3xx – 2 6Ä Q

–4x 3 + 8x 2 6x 4 – 12x 3 6x 4

–

16x 3

+ 2 6Ä producto de –2 por P – 3x

8x 2

6Ä producto de 3x por P

– 3xx + 2 6Ä P · Q

A veces, cuando hay pocos términos, realizamos el producto escribiéndolo directamente. Por ejemplo: (2x 2 – 1) (3xx + 4) = 6x 3 + 8x 2 – 3xx – 4

División de polinomios Nomenclatura Si un polinomio P depende de la variable x, se le suele designar P (x).

La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales. Veamos cómo se procede en la práctica dividiendo dos polinomios concretos: P (x) xx) = 2x 3 – 7x 2 – 11xx + 13

Q (x) xx) = 2x + 3

2x 3 – 7x 2 – 11x + 13 Restamos x 2(2x + 3) ÄÄ8 – 2x 3 – 3x 2 – 10x 2 – 11x + 13 Restamos –5x(2x + 3) ÄÄÄÄÄ8 10x 2 + 15x 4x + 13 Restamos 2(2x + 3) ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ8 – 4x – 6 7

P (x) xx) : Q (x) x x)

| 2x + 3 x 2 – 5x + 2 (2x 3) : (2x) = x 2 (–10x 2) : (2x) = –5x (4x) : (2x) = 2

dividendo = divisor · cociente + resto Por tanto: 2x 3 – 7x 2 – 11x + 13 = (2xx + 3) · (x 2 – 5x + 2) + 7

Actividades 4 Dados los polinomios P = 3x 2 – 5, Q = x 2 – 3xx + 2, R = –2x + 5, calcula: a) P · R

b) Q · R

5 Opera y simplifica: a) 2x (3x 2 – 2) + 5(3xx – 4) b) (x 2

– 3)(xx + 1) –

x (2x 2

+ 5x) x x)

c) (3xx – 2)(2x + 1) – 2(x 2 + 4x) x x)

6 Efectúa P(x) x : Q(x) x) xx) en cada caso y expresa el resultado así:

c) P · Q

P(x) xx) = Q(x) x · cociente + resto x) a) P(x) xx) = 3x 2 – 11xx + 5

Q(x) xx) = x + 6

b) P(x) xx) = 6x 3 + 2x 2 + 18xx + 3

Q(x) xx) = 3x + 1

c) P(x) xx) =

6x 3

2x 2

+ 18xx + 3

d) P(x) xx) = 5x 2 + 11xx – 4

Q(x) xx) = x Q(x) xx) = 5x – 2

División de un polinomio por x – a. Regla de Ruffini Paolo Ruffini Paolo Ruffini fue un matemático italiano que vivió entre los siglos xviii y xix. Se le dio su nombre a esta regla porque la utilizó en la demostración de una importante propiedad matemática. Pero dicha regla ya aparecía en un libro de álgebra de Pietro Paoli publicado 25 años antes.

Es muy frecuente tener que dividir un polinomio por una expresión del tipo x – a. El procedimiento que exponemos a continuación permite realizar esas divisiones de forma rápida y cómoda. Veámoslo por medio de un ejemplo: 7x 4 – 11x 3 – 94x + 7 | x – 3 4 3 7x 3 + 10x 2 + 30x – 4 – 7x + 21x 10x 3 – 10x 3 + 30x 2 30x 2 – 30x 2 + 90x – 4x + 4x – 12 – 5 Esta misma división puede realizarse, sintéticamente, del siguiente modo: 7

7 3

–11 21 10

0 30 30

–94 7 90 –12 – 4 | –5

3 7

resto

3·

7 4

cociente: 7 resto:

–11 + 21

3·

30 6

–12

–94 + 90 30 3·

–4

0 + 30

7 7

21 2 2

–94

7 144424443 coeficientes del cociente

–11

–4

7 – 12

)

4 · (–

–5 – RESTO

significa: 7x 3 + 10x 2 + 30x – 4

–5

Los pasos, numerados en verde, son los mismos que se hacen en la división realizada arriba.

La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división.

Actividades 7 Aplica la regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones:

8 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones de polinomios:

a) (5x 4 + 6x 2 – 11x + 13) : (x – 2)

a) (x 2 + 3x + 2) : (x + 2)

b) (6x 5 – 3x 4 + 2x) : (x + 1)

b) (2x 3 + 3x + 1) : (x – 1)

c) (7x 2 – 5x 3 + 3x 4 – 2x + 13) : (x – 4)

c) (x 4 – 3x 3 + 2x + 8) : (x – 2)

d) (4x 3 – 9 – 51x 2 + 6x 4 – 3x) : (x + 3)

d) (x 5 – 4x 3 + 3x 2) : (x – 1)

Este método, en el que solo intervienen los coeficientes y solo se realizan las operaciones que realmente importan, se llama regla de Ruffini.

UNIDAD

Factorización de polinomios Raíces de un polinomio

Cálculo mental Di si 0, 1, –1, 2 o –2 son raíces de los siguientes polinomios: a) x 3 – 4x b) x 4 c)

d) x 5

–

2x 2

–

– 25x – 25

–

5x 3

+ 4x

Un número a se llama raíz de un polinomio P(x) si P (a) = 0. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P(x) = 0. Para localizar las raíces enteras de un polinomio, probaremos con los divisores (positivos y negativos) de su término independiente. Una vez localizada una raíz, a, puesto que P(x) es divisible por x – a, podremos ponerlo así: P(x) = (x – a) · P1(x). Las restantes raíces las buscaremos en P1(x).

Procedimiento para factorizar un polinomio Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Igualdades notables Las igualdades notables, así como la extracción de factor común, son procedimientos sencillos que ayudan en la factorización de polinomios.

Veamos, prácticamente, cómo factorizar P(x) = 4x 4 – 4x 3 – 9x 2 + x + 2: • Para localizar las raíces de P (x), iremos probando con los divisores (positivos y negativos) de 2. Empecemos por 1 y por –1: 4 –4 1 4 4 0

–9 0 –9

1 2 –9 –8 –8 |–6

1 no es raíz.

4 –4 –1 –4 4 –8

–9 8 –1

1 1 2

2 –2 |0

–1 sí es raíz.

Escribimos P (x) factorizado: P(x) = (x + 1)(4x 3 – 8x 2 – x + 2) • Ahora buscamos las raíces de P1(x) = 4x 3 – 8x 2 – x + 2:

1 ha quedado descartado. Probamos de nuevo con –1 y resulta que no lo es (es decir, –1 es una raíz simple). A continuación, probamos con 2: 4 –8 2 8 4 0

Notas • Si llegamos a un polinomio de segundo grado sin raíces, dicho polinomio queda como un único factor (no se puede descomponer en dos). • Si un polinomio tiene más de dos raíces no enteras, entonces, aunque pueda factorizarse, nosotros no sabremos hacerlo.

–1 2 0 –2 –1 | 0

2 sí es raíz de P1(x) [y, por tanto, de P(x)] P1(x) = (x – 2)(4x 2 – 1)

• Cuando queda un polinomio cuyas raíces se pueden localizar por otros medios, al hacerlo se concluye el proceso. En nuestro caso, reconocemos que 4x 2 – 1 = (2x + 1)(2x – 1). Por tanto, el resultado final es: P(x) = (x + 1)(x – 2)(2x + 1)(2x – 1) = 4(x + 1)(x – 2)(x + 1/2)(x – 1/2) Hay polinomios para cuya factorización no es necesario aplicar la regla de Ruffini. Por ejemplo, Q(x) = x 4 – x 3 – 20x 2. • Empezamos por extraer x 2 como factor común: Q(x) = x 2 (x 2 – x – 20) • Ahora hallamos las raíces de x 2 – x – 20: x1 = 5 y x2 = –4. Por tanto, Q(x) = x 2 (x – 5)(x + 4).

Ejercicios resueltos 1. Factorizar y decir cuáles son las raíces.

1. Todos los sumandos tienen el factor x 3. Los coeficientes 12, –36 y 27 son múltiplos de 3. Por tanto, podemos sacar 3x 3 como factor común. P(x) xx) = 3x 3 (4x 2 – 12xx + 9)

P(x (x) (x x) = 12x 5 – 36x 4 + 27 27x 3

Observamos que 4x 2 – 12xx + 9 es igual a (2x – 3)2. P(x) xx) = 3x 3 (2xx – 3)2 Obtenemos las raíces igualando a 0 cada factor. Las raíces de P(x) xx) son 0 (raíz triple) y 3/2 (raíz doble). 2. Buscamos las raíces igualando a 0 y resolviendo la ecuación: 4x 2 – 8xx + 3 = 0 8 x = 1 ; x = 3 2 2 Por tanto: Q(x) xx) = 4 x – 1 x – 3 , o bien: 2 2 Q(x) xx) = 2 x – 1 2 x – 3 = (2xx – 1)(2x – 3) 2 2

2. Factorizar. Q(x (xx)) = 4 (x 4xx 2 – 8xx + 3

(

( )( ) )( )

3. Utilizamos la regla de Ruffini para localizar una raíz entre los divisores de 6:

3. Factorizar. R(x (xx)) = x 3 – x + 6 (x

1 –2 1

0 –2 –2

–1 6 4 –6 3 | 0

–2 es una raíz de R(x). x x). Buscamos raíces de x 2 – 2xx + 3:

x 2 – 2xx + 3 = 0 no tiene solución. Hemos llegado a un polinomio de segundo grado que no tiene raíces. Entonces: R(x) xx) = (x + 2)(x 2 – 2xx + 3)

Actividades a) 3x 2 + 2xx – 8

a) x 2 – 16 = (x +

b) 3x 3 – 48x c) x 3

–

2x 2

c) 9 – x 2

– 5xx + 6

e) x 3 – 2x 2 – 15x –

–x+2

2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cuaderno): a) x 2 + 12x + 36 = (x + c) 4x 2 – 20x + 25 = (

) (x –

) b) x 2 – 1 d) 4x 2 – 1

4 Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios:

d) x 3 – 7x 2 + 8xx + 16 f ) 2x 3

3 Expresa en cada caso como producto de dos binomios (hazlo en tu cuaderno):

b) 49 + 14x + x 2

– 5) 2 d) 1 + 4x + 4x 2

a) x 3 – 6x 2 + 9x

b) x 3 – x

c) 4x 4 – 81x 2

d) x 3 + 2x 2 + x

e) 3x 3 – 27x

f ) 3x 2 + 30x + 75

5 Factoriza los polinomios siguientes: a) x 4 – 8x 3 + 16x 2

b) x 3 – 4x

c) 9x 3 + 6x 2 + x

d) 4x 2 – 25

1 Factoriza los siguientes polinomios:

UNIDAD

Fracciones algebraicas Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios. x , 1 , 3xx + 1 2 x + 1 x + 6xx – 3 –5 Las fracciones algebraicas se comportan de forma muy similar a las fracciones numéricas, como veremos a continuación. Por ejemplo:

3xx 2

Simplificación Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. 2 Por ejemplo: 3x 2(xx + 1) = 3x (xx + 1)(x + 1) = x + 1 2x 6xx (xx + 1) 3 · 2 · x · x · (x + 1)

Reducción a común denominador Para reducir varias fracciones a común denominador, se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador. Este será múltiplo de todos los denominadores.

Atención Para sumar (o restar) fracciones algebraicas con el mismo denominador, se suman los numeradores y se mantiene el denominador común. 3 + x – x–2 = x+1 x+1 x+1 = 3 + x – (x – 2) = 5 x+1 x+1

3 , 5 x x–2 9 9 3 · (xx – 2) , 5·x x · (x – 2) (xx – 2) · x

Denominador común: x · (x – 2) Observa que en cada fracción se han multiplicado numerador y denominador por el factor apropiado para obtener el denominador común que se desea.

Suma y resta Para sumar o restar fracciones algebraicas, se reducen a común denominador y se suman o se restan los numeradores, dejando el mismo denominador común. x–6 Por ejemplo: 3 + 5 = 3(xx – 2) + 5x = 3xx – 6 + 5x = 8x x x – 2 x (xx – 2) x (xx – 2) x (xx – 2) x 2 – 2x

Ejercicios resueltos 1. 3xx + 5 – x – 7 2xx + 3 2xx + 3

1. 3xx + 5 – x – 7 = 3xx + 5 – (x – 7) = 2xx + 12 2xx + 3 2xx + 3 2xx + 3 2xx + 3

2. 5xx + 4 + x – 2 x 2x

2. 5xx + 4 + x – 2 = 2(5xx + 4) + x – 2 = 10xx + 8 + x – 2 = 11xx + 6 x 2x 2x 2x 2x 2x

3. 32 + x + 3 x x 4. 3x – 2 x–1 x+1

2 2 x+3 3. 32 + x + 3 = 32 + x (xx + 3) = 3 + x 2 + 3x = x + 3x 2 x x·x x x x x 2 4. 3x – 2 = (xx + 1) · 3x – (xx – 1) · 2 = 3xx + 3xx – (2x – 2) = x – 1 x + 1 (xx + 1)(x – 1) (xx + 1)(x – 1) (xx + 1)(x – 1) 2 = 3xx 2+ x + 2 x –1

Producto El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus numeradores partido por el producto de sus denominadores. Por ejemplo: Definición Se llama inversa de una fracción algebraica a la que se obtiene intercambiando numerador y denominador: La inversa de

5 es x + 2 . x+2 5

2x · 5xx + 1 = 2xx · (5x + 1) = 10xx 2 + 2x x–3 x2 (xx – 3) · x 2 x 3 – 3xx 2

Cociente El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por la inversa de la segunda (producto cruzado de términos). Por ejemplo: 3 : 5 = 3 · x + 2 = 3(xx + 2) = 3xx + 6 x x+2 x 5 5x 5x

Ejercicios resueltos 1. 2xx – 7 · 3 = 3(2xx – 7) = 6xx2– 21 x x + 1 x (xx + 1) x +x

1. 2xx – 7 · 3 x x+1 2.

5 : x x – 3 x2 + 1

(

3. 3 · 5xx + 3 : 5xx + 3 x x–1 x

5 : x = 5 · x 2 + 1 = 5(xx 2 + 1) = 5xx 2 + 5 x – 3 x2 + 1 x – 3 x (xx – 3)x x 2 – 3x

(

)

3. 3 · 5xx + 3 : 5xx + 3 = 3 · 5xx + 3 · x = 3 x–1 x x x x – 1 5xx + 3 x – 1

Actividades

b) 3(xx – 1) 9(xx – 1)

2 a) x – 1 : (xx – 1) x

2 b) x (xx – 2) : x – 4 x x+2

2 3 c) 3xx 3– 9xx 4 15xx – 3xx

d) 9(xx + 1) – 3(x + 1) 2(xx + 1)

2 c) x – 2xx + 1 : x – 1 x x

2 2 e) 5xx (xx – 3) (xx + 3) 15x (xx – 3)

3 2 f ) x (3xx – x 3) (3xx – 1)x

e) 3xx –2 3 · x (xx2 + 1) x x –1 5 g) x + 5 · 10 (xx + 5)2

d) 6xx 2 · x –33 x 2 f ) 2x : 4xx x – 1 2xx – 2

15xx 2 5xx 2(xx – 3)

2 Opera y simplifica. a) 2 + 3 + x – 2 x 2x x 2 b) 3 – 2xx 2 + 8x – 4x x+1 x +x c) 2 2 – 7x + 3 x –9 x–3 3 2 3 2 d) 5xx + 15xx – 10xx + 215xx + 2x 2 x+3 5xx

3 Efectúa las siguientes operaciones y simplifica. Ten en cuenta las identidades notables:

2 i) 4xx – 3 · 4xx 8xx – 6 2x

2 h) 2xx · 6x3 3x 4xx 3x j) 3xx –2 3 · 18(x x – 1) x

4 Opera y simplifica. a)

6xx 2 : 5x + 5x 2 2x x – 3 2xx + 3 4xx – 9

x2 1– x3 + x2 – 5xx 2 – 25 5 (xx + 1)(5x 2 – 25)

(

)

1 Simplifica las fracciones siguientes. Para ello, saca factor común cuando convenga:

UNIDAD

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

Regla de Ruffini. Aplicaciones 8

Operaciones con polinomios 1

Opera y simplifica las siguientes expresiones:

a) (5x 3 – 3x 2 + x – 2) : (xx – 2)

a) 3x(2xx – 1) – (x – 3)(x + 3) + (xx – 2)2

b) (x 4 – 5x 3 + 7xx + 3) : (xx + 1)

b) (2xx – 1)2 + (xx – 1)(3 – xx) – 3(x + 5)2

c) (–x (– 3 + 4x) x : (xx – 3) x)

c) 4 (xx – 3)2 – 1 (3xx – 1)(3x + 1) – 1 (4x 3 + 35) 3 3 3

d) (x 4 – 3x 3 + 5) : (xx + 2)

Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: b) 3x(xx + yy) – (x – y) y 2 + (3xx + y) y)y )y

b) P2(x) xx) = x 3 + 4x 2 – 11xx – 30

c) (2y (2y + x + 1)(xx – 22yyy)) – (x + 22yy)( y)(x – 22yy) y)

c) P3(x) xx) = x 4 – 7x 3 + 5x 2 – 13

Halla el cociente y el resto de cada una de estas divisiones:

☞ Recuerda, para que sea divisible, el resto debe ser 0.

a) (7x 2 – 5xx + 3) : (x 2 – 2xx + 1)

Factorización de polinomios

b) (2x 3 – 7x 2 + 5xx – 3) : (x 2 – 2x) x x)

(x 3

–

5x 2

+ 2xx + 4) :

(x 2

– x + 1)

Calcula el cociente y el resto de las divisiones siguientes:

Factoriza los siguientes polinomios: a) x 2 + 4xx – 5

b) x 2 + 8xx + 15

c) 7x 2 – 21xx – 280

d) 3x 2 + 9xx – 210

a) (3x 5 – 2x 3 + 4xx – 1) : (x 3 – 2xx + 1)

Busca, en cada caso, una raíz entera y factoriza, después, el polinomio:

b) (x 4 – 5x 3 + 3xx – 2) : (x 2 + 1)

a) 2x 2 – 9xx – 5

b) 3x 2 – 2xx – 5

c) (4x 5 + 3x 3 – 2x) x : (x 2 – x + 1) x)

c) 4x 2 + 17xx + 15

d) –x – 2 + 17xx – 72

Expresa como cuadrado de un binomio. a) 16x 2 c)

Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por x – 3 o x + 1. a) P1(x) xx) = x 3 – 3x 2 + x – 3

Factor común e identidades notables

a) (2y (2y + x)(2 x)(2y )(2y – xx) + (xx + y) y 2 – x(y (y + 3) (y

c) 4

Aplica la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

9x 4

d) y 4

+ 1 – 8x

b) 36x 2

6x 2y

–

25 2 25y

2 2 2y

+ 60xy

Expresa como producto de dos binomios. a) 49x 2 – 16 b) 9x 4 – y 2 c) 81x 4 – 64x 2 d) 25x 2 – 3 e) 2x 2 – 100 f ) 5x 2 – 2 Saca factor común e identifica los productos notables como en el ejemplo. • 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x ( 2 + 6xx + 9) = 2x 2 (x (x + 3)2 a) 20x 3 – 60x 2 + 45x b) 27x 3 – 3xy 2 c) 3x 3 + 6x 2y + 33yy 2x d) 4x 4 – 81x 2y 2

Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a) 3x 3 – 12x

b) 4x 3 – 24x 2 + 36x

c) 45x 2 – 5x 4

d) x 4 + x 2 + 2x 3

e) x 6 – 16x 2

f ) 16x 4 – 9

Descompón en factores y di cuáles son las raíces de los siguientes polinomios: a) x 3 + 2x 2 – x – 2

b) 3x 3 – 15x 2 + 12x

c) x 3 – 9x 2 + 15xx – 7

d) x 4 – 13x 2 + 36

Factoriza los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a) x 3 – 2x 2 – 2xx – 3 b) 2x 3 – 7x 2 – 19xx + 60 c) x 3 – x – 6 d) 4x 4 + 4x 3 – 3x 2 – 4xx – 1

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Fracciones algebraicas

Simplifica estas fracciones algebraicas: 2 a) 9x 2 b) x (xx + 1) c) x (xx +3 2) 5(xx + 1) 12xx 2xx

Efectúa. a) 1 + 1 2 – 1 3 6x 3xx 2xx c) 2 – 3 + x + 1 x x–4 x–4

b) La cantidad que se obtiene al invertir x euros y ganar el 11%. c) Por un ordenador y un equipo de música se pagan 2 500 €. Si el ordenador cuesta x euros, ¿cuánto cuesta el equipo de música? d) Comprar un artículo por x euros y perder el 15% de su valor. ¿Cuánto costaría ahora?

b) 2 + x – 1 x x–7

e) El perímetro de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos mide los 3/5 de la hipotenusa, y el otro cateto, 5 cm menos que esta.

d) 2x – x – 1 x–3 x+3 f ) 3 – 21 + 2 x x +x

Simplifica. Para ello, transforma en producto el numerador y el denominador. a) 2xx2 + 4 b) x2+ 1 c) 2 x – 2 3xx + 6x x –1 x + 4 – 4x 2 2 3 2 d) x 2 – 3x e) 2 x – 4 f ) x + 2xx + x 3xx + 3 x –9 x + 4xx + 4

f ) Los lados de un triángulo rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro. 22

b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 – x y 9 – x. c) El área de un cuadrado de lado x + 3. d) La diferencia de áreas de dos cuadrados de lados x y x + 3, respectivamente.

b) 3xx + 2 : x + 1 x–1 x

e) La superficie de un jardín rectangular de base x y perímetro 70 m.

2 d) (xx + 1) : x – 1 2

f ) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de 24 cm de perímetro.

■ Traducción al lenguaje algebraico 20

Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados: a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. b) El área total de un ortoedro de dimensiones x, 2xx y 5 cm. c) La cantidad de leche envasada en “x” botellas de 1,5 l y en ““yy” botellas de 1 l.l

Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión obtenida: a) El área de una lámina de bronce cuya base mide 5/3 de su altura.

Opera, y simplifica si es posible. a) x · 32 x+1 x c) 3 2 : 2 (xx – 1) x – 1

Expresa algebraicamente y simplifica cada expresión obtenida: a) La edad de Alberto dentro de 22 años.

Simplifica las siguientes fracciones algebraialgebrai cas. Para ello, saca factor común: 2 a) x –2 4x b) 2 3x c) 3xx + 32 x x + 2x (xx + 1) 2 3 2 3 d) 2xx3 + 4x2 e) 8xx – 4xx2 f ) 5xx4 + 5x x + 2xx x + x2 (2xx – 1)

e) 3 + 1 + x x–1 2 4 18

g) El área de un rombo sabiendo que la longitud de una diagonal es el triple de la otra. 23

Expresa algebraicamente cada enunciado. a) El cuadrado de la diferencia de dos números. b) La suma de los cuadrados de dos números. c) La diagonal de un rectángulo de dimensiones x e y. d) El coste de la mezcla de dos tipos de café, cuyos precios son 8 €/kg y 10 €/kg.

d) El área de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide 3 cm más que el otro.

UNIDAD

Expresa algebraicamente el área de esta corocoro na circular.

Expresa mediante polinomios el área y el volumen de este ortoedro:

x+4

x–2

x+2

■ Aplica lo aprendido 25

En un rectángulo de lados x e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados del rectángulo.

Escribe, en cada caso, un polinomio de segundo grado que tenga por raíces: a) 7 y –7 b) 0 y 5 c) –2 y –3 d) 4 (doble) Escribe, en cada caso, un polinomio que tenten ga las siguientes raíces: a) x1 = 1; x2 = –1; x3 = 2

y x

Expresa algebraicamente el área de la parte coloreada utilizando x e y.

b) x1 = 0; x2 = 2; x3 = –1

Autoevaluación ¿Sabes operar con polinomios?

1 Opera y simplifica: a) (2xx + 3) · (x 2 – 3x) xx) – x (xx + 8) 3 2 b) (xx – 2xx + 3)(x + 4xx – 1)

¿Manejas los procedimientos para simplificar distintas expresiones algebraicas?

2 Halla el cociente y el resto: a) (2x 3 + 3x 2 – 7) : (xx + 1) b) (2xx 3 – 11xx 2 + 5x) xx) : (2x – 1)

5 Reduce: 2 2 a) 6 · x + 1 – x – 4 – x + 1 3 6 b) 3 –2 x + 1 – x + 5 x x 2x 6 Sustituye x por 1 + 22yy en x 2 – y – 8 y simplifica.

¿Factorizas un polinomio con agilidad?

¿Sabes traducir un enunciado al lenguaje algebraico?

3 Completa en tu cuaderno estas expresiones: a) (xx + 5)2 = x 2 + + 25 2 2 b) (2xx – ) = 4xx – 12xx + 9 c) (7xx + )2 = x 2 + x + 16 4 Factoriza: a) x 4 – 16x 2 c) x 3 – 6x 2 + 9x

b) x 3 – 25x d) x 3 – 2x 5 – 5xx + 6

(

)

7 Expresa algebraicamente y simplifica. a) La diferencia de los cuadrados de dos números que suman 7 unidades. b) Precio final de un producto que costaba x euros después de una subida del 8%. c) La hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide la mitad del otro. d) Lo que pago por tres bocadillos y cinco refrescos.

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Diofanto (siglo iii) propuso problemas algebraicos complejos y los resolvió por métodos originales y muy interesantes. Pero su aportación careció de método y tuvo poco valor pedagógico. Al-Jwarizmi (siglo ix) fue quien, por primera vez, realizó un tratamiento sistemático y completo de la resolución de ecuaciones de primero y segundo grados. Su libro Al-jabr wa-l-muqabala, elemental, didáctico y exhaustivo, fue muy conocido y estudiado y, posteriormente, traducido a todos los idiomas.

En el siglo xvi, varios algebristas italianos (Tartaglia, Cardano, Ferrari, Fior) mantuvieron unas interesantísimas, agitadas y fecundas discusiones sobre la resolución de distintos tipos de ecuaciones cúbicas (de tercer grado). Sus diatribas, en muchos casos, se dilucidaban en debates públicos a los que se retaban mediante pasquines. A pesar de que el tono de estos y de aquellas (pasquines y diatribas) distaba mucho de ser correcto, sirvieron para dar un gran impulso a la resolución de ecuaciones de grado superior. Los sistemas de ecuaciones se plantearon y resolvieron de forma simultánea a las ecuaciones, ya que el paso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita no supone ningún problema especial. Históricamente, los sistemas de ecuaciones lineales no han sido un reto especialmente difícil. Ya en el siglo ii a.C., los chinos resolvían sistemas lineales de varias ecuaciones con el mismo número de incógnitas, mediante un método elegante y potente, similar al que se usa en la actualidad. DEBERÁS RECORDAR ■ Qué entendemos por ecuación y por su solución. ■ En qué consisten y cómo se manejan las desigualdades.

Ecuaciones de segundo grado

Cálculo mental Resuelve sin utilizar la fórmula y, si es posible, a ojo: a) x 2 = 9

Cuando b ? 0 y c ? 0, se dice que la ecuación es completa y se resuelve aplicando la siguiente fórmula:

c) 5x 2 – 20 = 0 d) 3x 2 – 300 = 0 e) (x – f ) (x –

5)2 =

ax 2 + bx + c = 0, con a ? 0

Ecuaciones completas

b) x 2 – 9 = 0

5)2

Las ecuaciones de segundo grado son de la siguiente forma:

ac > 0, hay dos soluciones. °Si b 2 – 4ac § – 4ac –b ± √ 2 x= 8 ¢Si b – 4ac ac = 0, hay una solución. 2a §Si b 2 – 4ac ac < 0, no hay ninguna solución. £ b2

= 25 4

g) 3(x –

2)2

h) 3(x –

2)2

–3=0

Por ejemplo, la ecuación x 2 + x – 2 = 0 es completa. En ella, a = 1, b = 1, c = –2. La resolvemos aplicando la fórmula:

i) 7(x – 4)2 = 63

x = –1 ± √1 + 8 = –1 ± √9 = –1 ± 3 2 2 2

j) 7(x – 4)2 – 63 = 0

x1 = 1 ° Tiene dos x2 = –2 ¢£ soluciones.

Ecuaciones incompletas Ten en cuenta Las ecuaciones incompletas también se pueden resolver por la fórmula anterior, pero es mucho más cómodo resolverlas mediante el procedimiento adjunto.

Si b = 0 o c = 0, la ecuación se llama incompleta y se puede resolver con mucha sencillez, sin necesidad de aplicar la fórmula anterior: • Si b = 0 8 Despejamos directamente x 2. Por ejemplo: 3x 2 – 48 = 0 8 3x 2 = 48 8 x 2 = 16 8 x = ±√16 = ±4 • Si c = 0 8 Factorizamos sacando factor común. Por ejemplo: x1 = 0 2x 2 – x = 0 8 x(2x – 1) = 0 2xx – 1 = 0 8 x2 = 1/2

Ejercicio resuelto a) 9x 2 + 6xx + 1 = 0

b)5x 2 – 7 7xx + 3 = 0

c) 5x 2 + 45 = 0

a) x = –6 ± √36 – 36 = – 6 = –1 . Solución única. 18 3 18 b) x = 7 ± √49 – 60 = 7 ± √–11 . Sin solución. 10 10 c) 5x 2 + 45 = 0 8 5x 2 = –45 8 x 2 = –9 8 x = ± √–9. Sin solución.

Actividades 1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 Resuelve estas ecuaciones:

a) 10x 2 – 3x – 1 = 0

b) x 2 – 20x + 100 = 0

a) 2x 2 – 50 = 0

b) 3x 2 + 5 = 0

c) 3x 2 + 5x + 11 = 0

d) 2x 2 – 8x + 8 = 0

c) 7x 2 + 5x = 0

d) 2x 2 + 10x = 0

Resolver las siguientes ecuaciones:

UNIDAD

Otros tipos de ecuaciones Hay ecuaciones que no son de primer ni de segundo grado, pero que podrás resolver aplicando lo que ya sabes. Veamos algunos ejemplos.

Ecuaciones factorizadas No lo olvides Para resolver una ecuación de este tipo: […] · […] · […] = 0 es decir, “producto de varios factores igualado a cero”, igualamos a cero cada uno de los factores y resolvemos las correspondientes ecuaciones.

Queremos resolver la ecuación x (xx – 1)(x 2 – 5xx + 6) = 0. En el primer miembro aparece el producto de tres factores. Para que un producto sea cero, es necesario que uno de los factores sea cero. Por tanto, igualamos a cero cada uno de los factores: x1 = 0 x – 1 = 0 8 x2 = 1

x (x – 1)(x 2 – 5x + 6) = 0

x 2 – 5x + 6 = 0

x3 = 2 x4 = 3

Ecuaciones con radicales Resolvamos la ecuación √x 2 + 7 + 2 = 2x : • Aislamos el radical en un miembro, pasando al otro lo demás:

√x 2 + 7 = 2x – 2 No lo olvides Para resolver una ecuación en la que aparece un radical:

• Elevamos al cuadrado los dos miembros:

• Se aísla el radical en uno de los miembros.

• Pasamos todo a un miembro y lo ordenamos:

• Se elevan al cuadrado los dos miembros, con lo que desaparece el radical.

• Resolvemos la ecuación obtenida: (a = –3, b = 8, c = 3)

• Se resuelve la ecuación resultante. • Se comprueba la validez de cada solución sobre la ecuación inicial.

(√x 2 + 7)2 = (2x – 2)2

8 x 2 + 7 = 4x 2 – 8x + 4

x 2 + 7 – 4x 2 + 8x – 4 = 0 8 –3x 2 + 8x + 3 = 0 x = – 8 ± √64 + 36 = – 8 ± √100 = – 8 ± 10 –6 –6 –6

x1 = –1/3 x2 = 3

• En este tipo de ecuaciones (con radicales), al elevar al cuadrado (2.° paso), pueden aparecer soluciones falsas. Por eso, es necesario comprobar las soluciones obtenidas sustituyéndolas en la ecuación inicial. En este caso, x = –1/3 no es solución, pero x = 3 sí lo es. La ecuación tiene una solución: x = 3

Actividades 1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

2 Resuelve.

a) (x – 4)(x – 6) = 0

b) (x + 2)(x – 3) = 0

a) √x – 3 = 0

b) √x + 2 = x

c) x (x + 1)(x – 5) = 0

d) (3x + 1)(2x – 3) = 0

c) √4xx + 5 = x + 2

d) √x + 1 – 3 = x – 8

e) x (x 2 – 64) = 0

f ) (2x + 1)(x 2 + 5x – 24) = 0

e) √2xx 2 – 2 = 1 – x

f ) √3xx 2 + 4 = √5xx + 6

Ecuaciones con la x en el denominador Entrénate 1 Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 10 + 5 = 4xx – 1 x+3 b) 2 000 + 25 = 2 000 x x–4 c) 1 + 12 = 3 x x 4 2 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas: a) x 4 – 5x 2 + 4 = 0 b) x 4 + 3x 2 – 4 = 0 c) x 4 + 5x 2 + 4 = 0 d) x 4 – 25x 2 = 0 e) x 4 – 3x 2 + 4 = 0

Resolvamos la ecuación 200 + 5 = 200 : x x–2 • Para suprimir los denominadores, multiplicamos todo por x · (x – 2): 200(xx – 2) + 5x(xx – 2) = 200x 8 200xx – 400 + 5x 2 – 10xx = 200x 8 8 5x 2 – 10xx – 400 = 0 8 x 2 – 2xx – 80 = 0 8 8 x = 2 ± √4 + 320 2

x1 = 10 x2 = – 8

• Comprobamos en la ecuación inicial y vemos que ambas soluciones son válidas. Por tanto, la ecuación inicial tiene dos soluciones: x = –8 y x = 10.

Ecuaciones bicuadradas: ax 4 + bx 2 + c = 0 Son ecuaciones de 4.° grado sin términos de grado impar. Para resolverlas, hacemos x 2 = z y, por tanto, x 4 = z 2. Se obtiene así una ecuación de segundo grado cuya incógnita es z: az 2 + bz + c = 0 Una vez resuelta, se obtienen los correspondientes valores de x. Por cada valor positivo de z habrá dos valores de x, pues x 2 = z 8 x = ±√z .

Ejercicio resuelto Resolver la ecuación x 4 – 13x 2 + 36 = 0. 2

x =z x 4 – 13x 2 + 36 = 0 ÄÄ8 z 2 – 13z + 36 = 0

°z = 9 8 x = ±3 z = 13 ± √169 – 144 = 13 ± 5 8 ¢ 2 2 £z = 4 8 x = ±2

Actividades 3 Un vendedor callejero lleva un cierto número de relojes, por los que piensa sacar 200 €. Pero comprueba que dos de ellos están deteriorados. Aumentando el precio de los restantes en 5 €, consigue recaudar la misma cantidad. ¿Cuántos relojes llevaba? ☞ Llevaba x relojes. El precio de cada uno iba a ser 200 . x

4 El lado menor de un triángulo rectángulo mide 5 cm. Calcular el otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 1 cm más que él. ☞ Si los catetos miden 5 cm y x cm, la hipotenusa medirá √x 2 + 25 cm.

5 Un grupo de amigos alquilan un autocar por 2 000 € para una excursión. Fallan 4 de ellos, por lo que los restantes deben pagar 25 € más cada uno. ¿Cuántos había al principio? 6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 8 cm. Calcula la longitud del otro cateto sabiendo que la hipotenusa mide 2 cm más que él.

Soluciones: x1 = 3, x2 = – 3, x3 = 2, x4 = –2

UNIDAD

Sistemas de ecuaciones lineales Vamos a recordar qué son los sistemas de ecuaciones y cómo se resuelven. Dos ecuaciones forman un sistema de ecuaciones cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Si ambas ecuaciones son lineales, se dice que el sistema es lineal. ° aaxx + b y = c ¢ £ a'x + b'y = c'

Resolución de un sistema lineal ■ Método de sustitución Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra. Se obtiene, así, una ecuación con una incógnita. Se resuelve. Su solución se sustituye en la primera ecuación. Por ejemplo: 3xx – 55yy = 1 ° 2y) – 55y = 1 8 … 8 y = 4 8 ¢ 8 x = 15 – 22y 8 3(15 – 2y) x + 22yy = 15 £

8 x = 15 – 2 · 4 = 15 – 8 = 7

Solución: x = 7, y = 4 ■ Método de igualación

Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan los resultados. Al igual que en el método anterior, también en este se obtiene una ecuación con una incógnita. Por ejemplo: Entrénate Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando los tres métodos que conoces: sustitución, igualación y reducción: £ £ ¢x + y = 5 ¢ x + 22yy = 1 a) ° b) ° x – y = –1 3xx + 2y 2y = –5 £ £ –x – 33yy = –15 ¢ –x ¢ 2xx + 33yy = 2 c) ° d) ° x – y = –5 x – y = 1/6 £ £ ¢ x + 44yy = 0 ¢x + y = 1 e) ° f) ° 2x – 44yy = –3 2x x–y=0 £ £ ¢x + y = 5 ¢ 2xx – y = 3 g) ° h) ° 1 2x + 22yy = –1 2x x – y = –1 2 £ £ ¢x + y = 5 ¢2xx – y = 5 i) ° j) ° 2xx + 22yy = 10 6xx + 3y 3y = –15

1 + 55y ° 3xx – 55yy = 1 °§ 8 x = 1 + 55y 3 §¢ 8 = 15 – 2y 8 y = 4 ¢ 3 § § x + 22yy = 15 £ 8 x = 15 – 22yy£ x = 15 – 2 · 4 = 7 Solución: x = 7, y = 4 ■ Método de reducción Se preparan las dos ecuaciones (multiplicando por los números que convenga) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en ambas. Al restarlas se obtiene una ecuación sin esa incógnita. Por ejemplo: 3xx + 55yy = 76 ° ¢ 4xx – 22yy = 6 £

1. · 4 ÄÄÄ8 2.ª · 3 ÄÄÄ8

Restando:

12xx + 20 20yy = 304 12xx – 6y 6y = 18 26y 26 = 286 8 y = 11

3 x + 5 · 11 = 76 8 x = 7 Solución: x = 7, y = 11

Sistemas de ecuaciones no lineales

Ten en cuenta Los sistemas de ecuaciones no lineales se resuelven de forma esencialmente igual a los sistemas lineales.

Son aquellos en los que una de las dos ecuaciones, o ambas, son no lineales, es decir, tienen monomios de segundo grado (x 2, y 2, x · y) o de grado superior, o radicales, o alguna incógnita en el denominador… Para resolverlos, podemos despejar una incógnita en una ecuación y sustituir el resultado en la otra (método de sustitución) o eliminar una incógnita simplificando entre las dos ecuaciones (método de reducción) o cualquier otro método por el que podamos pasar a una ecuación con una incógnita.

Ejercicio resuelto Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: °y – x = 1 °x 2 + y 2 = 58 a) ¢ 2 b) ¢ 2 2 2 £x + y = 5 £x – y = 40 No lo olvides Si hay raíces o incógnitas en el denominador, al resolver la ecuación puede aparecer alguna solución falsa. Por eso, en tales casos, es necesario comprobar todas las soluciones sobre el sistema inicial.

a) Aplicamos el método de sustitución: 8 y=1+x °°yy – x = 1 ¢ 2 2 2 2 2 2 £x + y = 5 8 x + (1 + x) = 5 8 x + 1 + x + 2x = 5 8 8 2x 2 + 2x – 4 = 0 8 x 2 + x – 2 = 0 8 x1 = 1 8 y1 = 1 + 1 = 2 8 x2 = –2 8 y2 = 1 – 2 = –1 Hay dos soluciones: x1 = 1, y1 = 2 x2 = –2, y2 = –1

Sumando: 2x 2 = 98 8 x 2 = 49 8 x = ±7 Si x = 7 8 49 + y 2 = 58 8 y 2 = 9 8 y = ±3 Si x = –7 8 49 + y 2 = 58 8 y 2 = 9 8 y = ±3 Hay cuatro soluciones: x1 = 7, y1 = 3 x2 = 7, y2 = –3 x3 = –7, y3 = 3 x4 = –7, y4 = –3

Actividades 1 Resuelve los siguientes sistemas: °x – y = 15 a) ¢ £x · y = 100

°x 2 + xy + y 2 = 21 b) ¢ £x + y = 1

°2xx – y = 2 c) ¢ 2 £x + xy = 0

°y = x + 1 d) ¢ √ £y = 5 – x

b) Aplicamos el método de reducción: °x 2 + y 2 = 58 ¢ 2 2 £x – y = 40

UNIDAD

Inecuaciones de primer grado A veces, los enunciados que dan lugar a una expresión algebraica no dicen “es igual a”, sino “es mayor que” o “es menor que”. Estos enunciados dan lugar a expresiones como estas, llamadas inecuaciones: 2x + 4 > 0

Recuerda a < b a es menor que b. a Ì b a es menor que b o igual a b. a > b a es mayor que b. a Ó b a es mayor que b o igual a b.

10 – 5x Ì 15

Una inecuación es una desigualdad algebraica. Tiene dos miembros entre los cuales aparece uno de estos signos: <, Ì, >, Ó. Se llama solución de una inecuación a cualquier valor de la incógnita que hace cierta la desigualdad. Las inecuaciones suelen tener infinitas soluciones (solo hay un número igual, pero hay infinitos números menores que otro).

Resolución de una inecuación de primer grado No lo olvides 2 < 5 8 –2 > –5 –x > 3 8 x < –3 –2x Ó 1 8 x Ì –1 2

Para resolver una ecuación, seguíamos una serie de pasos: quitar paréntesis, quitar denominadores, pasar las x a un miembro y los números al otro… Todos ellos son válidos, exactamente igual, para las inecuaciones, salvo uno: Si se multiplican o se dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

Ejercicio resuelto Resolver estas inecuaciones:

a) 2xx + 1 < 7 8 2x < 6 8 x < 6 : 2 8 x < 3

a) 2xx + 1 < 7

Solución: x puede ser cualquier número menor que 3.

b)7 – 5x Ì 12

Conjunto de soluciones: (– @, 3) 0

b) 7 – 5x Ì 12 8 –5x Ì 12 – 7 8 –x – Ì 5 : 5 8 –x – Ì 1 8 x Ó –1 (Al cambiar de signo, cambia el sentido de la desigualdad). Solución: x puede ser –1 o cualquier número mayor que él. Conjunto de soluciones: [–1, +@)

–2

–1

Actividades 1 Traduce a lenguaje algebraico.

2 Resuelve y representa gráficamente las soluciones.

a) El triple de un número más 8 unidades es menor que 20.

a) 5x < –5

b) 2xx + 3 Ó 7

c) 104 – 9x Ì 4(5xx – 3)

d) 3(4 – x) x > 18xx + 5

b) El doble del número de personas de mi clase no supera a 70.

e) x – x Ó 5x – 1 4 3 6

f ) 4 – 2x > 2(xx – 3) 3

Sistemas de inecuaciones Observa Cuando decimos “las soluciones son x < 3” queremos decir “las soluciones son todos los números menores que 3”. Análogamente, x Ó –1 significa “el número –1 y todos los números mayores que él”.

Si deseamos encontrar las soluciones comunes a varias inecuaciones, decimos que estas forman un sistema de inecuaciones. Por ejemplo: • Las soluciones de 2x + 1 < 7 son x < 3 –2

–1

• Las soluciones de 7 – 5x Ì 12 son x Ó – 1 –2

–1

Por tanto, las soluciones del sistema formado por ambas ecuaciones: °2xx + 1 < 7 son –1 Ì x < 3 ¢ £7 – 5x Ì 12

–2

–1

Problema resuelto 1. Resolver este inecuaciones:

sistema

1. 1.a inecuación: 3x + 2 Ì 17 8 3x Ì 15 8 x Ì 5 0

°3xx + 2 Ì 17 ¢ £5 – x < 2

2.a inecuación: 5 – x < 2 8 –x – < –3 8 x > 3 0

Sistema: Solución: 3 < x Ì 5 0

La solución del sistema es cualquier número mayor que 3, que no supere al 5. 2. Llamamos x al precio del chocolate con churros:

)

Ayer: 6x > 20 8 x > 3,3 8 x Ó 3,34 € Hoy: 8x < 30 8 x < 3,75 € 8 x Ì 3,74 € Por tanto, su precio está comprendido entre 3,34 € y 3,74 €. Probablemente, sea 3,50 €.

Actividades 3 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: °3x Ì 15 a) ¢ £2x Ó 8

°3xx – 5 Ì x + 12 b) ¢ £x + 4 < 5xx – 8

°5xx – 7 > 23 c) ¢ £3 – 2x > x – 30

°–2xx – 1 Ó 14 – 8x d) ¢ £5xx + 8 > 6xx + 5/2

4 Tres amigos contratan tres viajes a Praga. Les cuesta algo menos de 2 200 € en total. Cinco amigos contratan el mismo viaje. Por ser cinco, les hacen una bonificación de 500 €, y pagan algo más de 3 000 €. ¿Cuánto vale ese viaje a Praga, si sabemos que es múltiplo de 10 €?

2. ¿Cuánto vale un chocolate con churros en el bar de la esquina? Ayer fuimos 6 personas y nos costó más de 20 €. Hoy hemos ido 8 personas y ha costado menos de 30 €.

UNIDAD

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

Otros tipos de ecuaciones

Ecuaciones: soluciones por tanteo 1

Busca por tanteo una solución exacta de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2x + 3 = 32

b) √2xx + 1 = 9

c) x x + 1

d) (xx – 1)3 = 27

Busca por tanteo, con la calculadora, una soso lución aproximada hasta las décimas. a) x 3 + x 2 = 20

b) x x = 35

c) 3x = 1 000

d) x 3 = 30

Ecuaciones de segundo grado 3

Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x 2 – 2xx – 3 = 0

b) 2x 2 – 7xx – 4 = 0

c) 2x 2 – 5x – 3 = 0

d) x 2 + x + 2 = 0

a) 4x 2 – 64 = 0

b) 3x 2 – 9xx = 0

c) 2x 2 + 5xx = 0

d) 2x 2 – 8 = 0

Las siguientes ecuaciones son de segundo grado e incompletas. Resuélvelas sin aplicar la fórmula general: 2 a) (3x + 1) (3x – 1) + (xx – 2) = 1 – 2x 2

2 2 b) x + 2 – x + 1 = x + 5 3 4 12

c) (2xx – 1)(2x + 1) = 3xx – 2 + 3 3 6 6

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) (2x +

1)2

= 1 + (x – 1)(x + 1)

b) (xx + 1)(x – 3) + x = x 2 4 c) x + 3xx + 1 – x – 2 = x 2 – 2 2 3

a) (2xx – 5)(x + 7) = 0

b) (xx – 2)(4x + 6) = 0

c) (xx + 2)(x 2 + 4) = 0

d) (3xx + 1)(x 2 + x – 2) = 0

Resuelve. a) x – √x = 2

b) x – √25 – x 2 = 1

c) x – √169 – x 2 = 17

d) x + √5xx + 10 = 8

e) √2xx 2 + 7 = √5 – 4x

f ) √x + 2 + 3 = x – 1

Resuelve estas ecuaciones: a) 2 – 1 = 3x x 2x 2

b) 800 – 50 = 600 x x+4

c) 12 – 2 = 3 –2x x 3xx

d) x = 1 + 2xx – 4 2 x+4

Inecuaciones 10

Resuelve:

Resuelve las siguientes ecuaciones:

Halla el conjunto de soluciones de cada inecuación y represéntalo. a) 3x – 7 < 5

b) 2 – x > 3

c) 7 Ó 8x – 5

d) 1 – 5x Ì –8

e) 6 < 3x – 2

f ) –4 Ó 1 – 10x

Halla el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones: °x – 1 > 0 a) ¢ £x + 3 > 0

°2 – x > 0 b)¢ £2 + x Ó 0

°x + 1 Ó 0 c) ¢ £x – 4 Ì 0

°x > 0 d) ¢ £3 – x Ì 0

Sistemas lineales 12

Completa en tu cuaderno para que los siguientes sistemas tengan como solución x = –1, y = 2: ° x – 33yy = … ° y–x=… a) ¢ b) ¢ 2y + x = … £ 2xx + y = … £ 2y °3xx + y = … c) ¢ £… + y /2 = 0

°… – 2xx = 4 d) ¢ 3y + … = 1 £3y

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Resuelve estos sistemas por el método de sustitución: 5yy = 5 °3xx – 5 a) ¢ £4xx + y = –1

7yy = 15 ° 8xx – 7 b) ¢ 6y = –5 £ x + 6y

5y = –1 °2xx + 5y c) ¢ £3xx – y = 7

2yy = 2 °3xx – 2 d) ¢ 4yy = 7 £5xx + 4

Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: °y = 2x – 3 °y a) §¢ x–3 §y = 2 £

°5xx + y = 8 b) ¢ £2xx – y = –1

6y = –2 °x + 6y c) ¢ 3yy = 1 £x – 3

5yy = –2 °4xx – 5 d) ¢ 2y = 10 £3xx + 2y

Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: 2y = 4 5y = 11 °3xx + 2y °2xx + 5y a) ¢ b) ¢ 2yy = 4 3yy = –4 £5xx – 2 £4xx – 3 6y = –4 ° x + 6y c) ¢ 5yy = 11 £3xx – 5

2yy = 3 ° 5xx – 2 d) ¢ 3y = –1 £10xx + 3y

Resuelve por el método que consideres más adecuado: 6y = 2 3yy = 1 °7xx + 6y °5xx – 3 a) ¢ b) ¢ 2y = 14 £y + 5 = 3 £4xx + 2y °3(xx + 2) = y + 7 c) ¢ 2(y + 1) = 0 £x + 2(y

°x + y =3 d) §¢ 3 2 §2(xx + yy) = 16 £

Sistemas no lineales 17

Halla las soluciones de estos sistemas: °x + y = 1 °2xx + y = 3 a) ¢ b) ¢ 2 2 xy + 2y 2 y = 2 £ £x + y = 2 °2xx + y = 3 c) ¢ 2 £xy – y = 0

°3x – y = 3 d) ¢ 2 2 £2x + y = 9

Resuelve los sistemas siguientes por el método de reducción y comprueba que tienen cuatro soluciones: ° x 2 + y 2 = 74 a) ¢ 2 2 £2x – 33y = 23

°3x 2 – 55y 2 = 7 b) ¢ 2 2 £2x = 11y – 3

■ Aplica lo aprendido 19

El área de una lámina rectangular de bronce es de 60 cm2 y su base mide 5/3 de su altura. Halla las dimensiones de la lámina.

Una persona compra un equipo de música y un ordenador por 2 500 €, y los vende, después de algún tiempo, por 2 157,5 €. Con el equipo de música perdió el 10% de su valor, y con el ordenador, el 15%. ¿Cuánto le costó cada uno?

En una papelería, el precio de una copia en color es 0,75 € y el de una en blanco y negro es 0,20 €. En una semana, el número de copias en color fue la décima parte que en blanco y negro y se recaudaron 110 €. Calcula cuántas copias se hicieron de cada tipo.

Se mezclan 8 l de aceite de 4 €/ll con otro más barato para obtener 20 l a 2,5 €/l.ll. ¿Cuál es el precio del aceite barato?

La suma de dos números consecutivos es meme nor que 27. ¿Cuáles pueden ser esos números si sabemos que son de dos cifras?

Un grupo de amigos han reunido 50 € para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6 €, les sobra dinero, pero si cuesta 7 € no tienen bastante. ¿Cuántos amigos son?

En un rectángulo en el que la base mide 3 cm más que la altura, el perímetro es mayor que 50 pero no llega a 54. ¿Cuál puede ser la media de la base?

Cuatro barras de pan y seis litros de leche cuestan 6,80 €; tres barras de pan y cuatro litros de leche cuestan 4,70 €. ¿Cuánto vale una barra de pan? ¿Cuánto cuesta un litro de leche?

UNIDAD

Una empresa aceitera ha envasado 3 000 l de aceite en 1 200 botellas de 2 l y de 5 ll. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?

Un test consta de 48 preguntas. Por cada acierto se suman 0,75 puntos y por cada error se restan 0,25. Mi puntuación fue de 18 puntos. ¿Cuántos aciertos y errores tuve, si contesté a todo?

Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,80 € por cada pieza que sale de su taller para la venta, pero sufre una pérdida de 1 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En un día ha fabricado 2 255 bombillas, obteniendo unos beneficios de 1 750 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se fabricaron ese día? Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 € por 3 días y 400 km, y otro pagó 175 € por 5 días y 300 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro.

La edad de un padre es hoy el triple que la del hijo y hace 6 años era cinco veces la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno? ☞

edad actual

hijo

edad hace

x y

padre

6 años

y–6 x–6

En una cafetería utilizan dos marcas de café, una de 6 €/kg y otra de 8,50 €/kg. El encargado quiere preparar 20 kg de una mezcla de los dos cuyo precio sea 7 €/kg. ¿Cuánto tiene que poner de cada clase? ☞ café

café

mezcla

cantidad

precio

coste

x y 20

6 8,50 7

6x 8,50 8,50y 140

Autoevaluación ¿Dominas la resolución de ecuaciones de segundo grado y de otros tipos de ecuaciones?

1 Resuelve: a) 5(xx – 3)2 + x 2 – 46 = –(2xx + 1)(1 – 3x) x b) (xx + 3)(2x – 5) = 0 c) 3 – 3 = x + 1 2x 4x 8

°x 2 – y 2 = 34 d) ¢ 2 2 £2x – y = –7

¿Has adquirido destreza en el planteamiento y la resolución de problemas algebraicos? 4 Dos bocadillos y un refresco cuestan 5,35 €; tres bocadillos y dos refrescos cuestan 8,60 €. Calcula el precio de un bocadillo y el de un refresco.

¿Sabes resolver inecuaciones? 2 Resuelve y representa las soluciones. °5xx – 3 > x + 5 a) 2(xx – 5) Ì 2xx – 6 b) ¢ 3 £x – 6 Ì 0 ¿Sabes resolver con soltura sistemas de ecuaciones? 3 Resuelve: °°yy + 1 = 6 – x a) §¢ x y § 3 + 2 = 12 £

°x 2 – y = 8 c) ¢ £x – 22yy = 1

°x + y = 5 2 b) §¢ 3 §2xx + 6 6yy = 15 £

5 Los lados de un triángulo miden 18 cm, 16 cm y 9 cm. Si restamos una misma cantidad a los tres lados, obtenemos un triángulo rectángulo. ¿Qué cantidad es esa? 6 En una empresa alquilan bicicletas a 3 € la hora y motocicletas por 5 € fijos más 2 € por hora. ¿A partir de cuántas horas es más económico alquilar una motocicleta que una bicicleta?

Funciones. Características

El concepto de función ha ido evolucionando y perfilándose a lo largo del tiempo. ¿Qué requisitos se le ha ido exigiendo a dicho concepto? — Una función relaciona dos variables. — Las funciones describen fenómenos naturales. — Las relaciones funcionales pueden ser descritas mediante fórmulas (relaciones algebraicas). — Las funciones pueden ser representadas gráficamente. Oresme (matemático francés del siglo xiv) afirmó en 1350 que las leyes de la naturaleza son relaciones de dependencia entre “dos cantidades”. Puede considerarse una primera aproximación al concepto de función. Galileo (finales del siglo xvi) utiliza por primera vez la experimentación cuantitativa (diseña, experimenta, mide, anota) para establecer relaciones numéricas que describan fenómenos naturales. Descartes (siglo xvii), con su algebrización de la geometría, propicia que las funciones puedan ser representadas gráficamente. Leibniz, en 1673, utiliza por primera vez la palabra función para designar estas relaciones. Euler, entre 1748 y 1755, fue perfilando el concepto, al que dio precisión y generalidad, admitiendo, finalmente, que una relación entre dos variables puede ser función aunque no haya una expresión analítica que la describa. El propio Euler fue quien aportó la nomenclatura f (x). DEBERÁS RECORDAR ■ Cómo se representan y se interpretan funciones descritas mediante enunciados. ■ Qué es y cómo se obtiene la pendiente de un segmento.

Conceptos básicos Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se las llama x e y: x es la variable independiente Y

(ordenada) y

La función, que se suele denotar por y = f (x), asocia a cada valor de x un único valor de y: x 8 y = f (x)

(x, y) y

x (abscisa)

Y R Recorrido de f

Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su representación gráfica: sobre unos ejes cartesianos con sendas escalas, representamos las dos variables: La x sobre el eje horizontal (eje de abscisas). La y sobre el eje vertical (eje de ordenadas). Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y. Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función.

Dominio de f

y es la variable dependiente

Se llama recorrido de f al conjunto de valores que toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuales hay un x tal que f (x) = y.

Actividades 1 Esta gráfica corresponde a la función: profundidad dentro del agua 8 presión

5 4 3 2 1

c) ¿Entre qué valores varió la humedad? 3

60 50 40 30 20 10

TEMPERA TEMP ERATURA ERATURA

a) ¿Cuáles son las dos variables? (min) 1 2 3 4 5 6 TIEMPO

PROFUNDIDAD PROFUNDIDAD

(m) 10 20 30 40 50 60

La gráfica describe la temperatura a la que sale el agua de un grifo.

(°C)

b) Explica por qué es una función.

c) ¿Cuáles son el dominio de definición y el recorrido?

2 Esta gráfica muestra la humedad relativa del aire en una ciudad.

II Y

HUMEDAD (%)

80 70 60 TIEMPO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (horas)

a) ¿Cuáles son las variables dependiente e independiente? ¿Qué escalas se utilizan?

Una de estas dos gráficas corresponde a una función, y la otra, no. Identifica cada cual, razonadamente.

a) ¿Cuáles son las variables? b) ¿Qué escalas se utilizan? c) Di cuál es el dominio de definición y el recorrido.

7 PRESIÓN (atm) 6

b) ¿Durante cuánto tiempo se midió la humedad?

UNIDAD

Cómo se presentan las funciones Tanto para el estudio de las matemáticas como para otras ciencias o en la vida cotidiana, nos encontramos frecuentemente con funciones. Las funciones nos vienen dadas de muy diversas formas: mediante su gráfica, por una tabla de valores, por una fórmula o mediante una descripción verbal (enunciado).

Mediante su expresión gráfica Las siguientes dos funciones vienen dadas por sus representaciones gráficas:

Entrénate 1 El consumo de agua de un colegio viene dado por esta gráfica: 1,20

CONSUMO

ÍNDICE DE LA BOLSA EN UN AÑO PORCENT POR CENTAJE CENT AJE SOBRE EL VA VALOR OR AL COMIENZO COMIENZ O DEL AÑO

(m3)

100%

0,80

VELOCIDAD OCIDAD DE UN CICLIST CICLISTA EN CADA INST INSTANTE DE UN RECORRIDO 40

VELO VE LOCIDAD CIDAD

(km/h)

35 30 25

0,40 4

12 12

16 16

20 20

24 24

TIEMPO

(h)

Haz un pequeño informe relacionando la gráfica con los movimientos del colegio (horas de entrada y de salida, recreos...).

50%

15 10 5 E FMAM J J A S OND

TIEMPO

(min) 70

Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos analizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.

Mediante un enunciado Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción (como la que se hace en la siguiente actividad 1 para describir el recorrido de Alberto hasta la escuela), la idea que nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa.

Actividades 1 Haz una gráfica en la que se vea representado el recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio, en función del tiempo: de casa salió a las 8:30 h y fue seguidito hasta casa de su amigo Íker. Lo esperó un rato sentado en un banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco. Volvió corriendo, la recuperó y llegó al colegio a las 9 en punto.

2 Vamos a analizar la gráfica de arriba que describe la velocidad del ciclista: a) ¿Cuánto tiempo tarda en hacer el recorrido? b) En los primeros 15 minutos circula en llano. ¿A qué velocidad lo hace? ¿Qué distancia recorre? c) Entre el minuto 18 y el 27 va cuesta arriba. Di a qué velocidad. d) Señala un intervalo de 5 minutos en el que marcha cuesta abajo. ¿A qué velocidad lo hace?

Mediante una tabla de valores Con frecuencia se nos dan los valores de una función mediante una tabla en la cual se obtienen directamente los datos buscados. Sin embargo, en otros casos, como en la tabla siguiente, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.

Ejemplo Alguien que gane 32 500 €: • Se sitúa en la 4.ª fila. • Por los primeros 26 000 € paga 6 360 €, y por el resto, el 37%:

Esta tabla de valores permite calcular lo que cada persona debe pagar a Hacienda un cierto año (cuota íntegra) en función de lo que gana (base liquidable). base liquidable hasta euros

cuota íntegra euros

resto base liquidable hasta euros

tipo aplicable

4 000

600

10 000

14 000

3 000

12 000

Por tanto, paga 6 500 + 2 405.

26 000

6 360

20 000

Es decir, si gana 32 500 €, ha de pagar 8 905 €.

46 000

13 760

en adelante

32 500 – 26 000 = 6 500 € 37% de 6 500 = 6 500 Ò 0,37 = = 2 405 €

Mediante su expresión analítica o fórmula La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función. Pero requiere un minucioso estudio posterior. Veamos algunos ejemplos: e (m) 1 Una bola que se deja caer por un plano levemente inclinado lleva una aceleración de 0,2 m/s2. La distancia, e, en metros, que recorre en función del tiempo, t, en segundos, viene dada por la fórmula e = 0,1t 2.

▼ ejemplo

t (s)

V (cm3)

2 El volumen de una esfera en función de su radio es: V = 4 πr 3 (r en cm, V en cm3) 3

r (cm)

Actividades 3 En el ejemplo 1, calcula la distancia que recorre la bola en 1, 2, 3, 4 y 5 segundos. ¿A qué tiempo corresponde una distancia de 2 m?

5 El coste de una línea de telefonía móvil para internet es C = 10 + 1,5t (C, en €; t, en horas). Representa la función.

4 En el ejemplo 2, halla el volumen de una esfera de radio 5 cm y el radio de una esfera de volumen 800 cm3.

6 Esta tabla muestra cómo varía la cantidad de agua que hay en un depósito cuando se abre un desagüe:

800 cm3 5 cm

t (min)

V (l)

Representa la función tiempo 8 volumen.

▼ ejemplo

UNIDAD

Funciones continuas. Discontinuidades

Entrénate Un representante de ordenadores recibe cada mes 1 000 € fijos más 50 € por cada aparato vendido. Esta es la gráfica de la función: aparatos vendidos 8 ganancias mensuales

La función de la izquierda es continua en todo su dominio de definición. La función de la derecha no es continua, porque presenta una discontinuidad en el punto de abscisa a. Hay distintos tipos de discontinuidad. Observa algunos:

GANANCIAS (€)

2 000

1 000

Hay un salto.

VENTAS

(n.o de aparatos)

Explica por qué no se pueden unir los puntos.

Observa La primera gráfica, discontinua, refleja el pago “por horas” (hora empezada, hora pagada). La segunda consiste en pagar exactamente lo que se gasta. En la tercera, hay un pago inicial (por entrar en el aparcamiento, 2 €) y, a continuación, se paga lo que se gasta.

Le falta un punto.

Solo está definida en puntos aislados.

Una función es continua cuando no presenta discontinuidades de ningún tipo. Se puede decir de una función que es continua en un intervalo [a, b] si no presenta ninguna discontinuidad en él. Hasta hace poco, los aparcamientos cobraban “por horas”. Esto quiere decir que solo por entrar ya se pagaba 1 h. Si se estaba 1 h y 10 min se pagaban 2 h. La primera de las tres gráficas siguientes describe esta forma de pago: 10 8 6 4 2

(€)

1 2 3 4 5

TIEMPO

PAGO PA GO

10 8 6 4 2 (h)

(€)

1 2 3 4 5

TIEMPO

PAGO PA GO

10 8 6 4 2 (h)

(€)

1 2 3 4 5

TIEMPO

PAGO PA GO

(h)

Los usuarios prefieren que las tarifas se rijan por la función continua de en medio. Los representantes de los aparcamientos preferirían, si se quiere que la función sea continua, la de la derecha.

Actividades 1 a) ¿Cuánto vale aparcar media hora según cada modelo 1 , 2 y 3 ? b) ¿Cuánto dinero cuesta aparcar 1 h 15 min según cada modelo?

c) ¿Y aparcar 4 h y 6 minutos? d) Propón un modelo de tarifa que sea intermedio entre la preferencia de los usuarios y la de los representantes de los aparcamientos.

Crecimiento, máximos y mínimos La función f es creciente en este tramo porque

y = f (x )

si x1 < x2, entonces f (x1) < f (x2). Análogamente, una función es decreciente en un intervalo cuando si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2). Una función puede ser creciente en unos intervalos y decreciente en otros. Una función tiene un máximo relativo en un punto cuando en él la función toma un valor mayor que en los puntos próximos. En tal caso, la función es creciente hasta el máximo y decreciente a partir de él.

a) ¿Cuándo el consumo es creciente? ¿Cuándo es decreciente? b) ¿Durante qué horas se alcanza los valores máximos y mínimos de consumo de agua?

CRE CIE NT E

MÁXIMO

DE C

CI RE EC

Entrénate Observa la gráfica del consumo de agua de un colegio que aparece en el margen de la página 47 y responde:

Análogamente, si f tiene un mínimo relativo en un punto, es decreciente antes del punto y creciente a partir de él.

La función puede tomar en otros puntos valores mayores que un máximo relativo y menores que un mínimo relativo.

EN TE

RE CI EN TE MÍNIMO

Ejercicio resuelto Decir los intervalos en que es creciente y en los que es decreciente la función dada gráficamente a la derecha. ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?

–7

La función está definida entre –7 y 11. Es creciente en los intervalos (–7, –3) y (1, 11). Es decreciente en el intervalo (–3, 1). Tiene un máximo relativo en el punto de abscisa –3. Su valor es 2. Tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa 1. Su valor es –5. Hay puntos en los que la función toma valores menores que en el mínimo relativo. Por ejemplo, para x = –7, la función toma el valor –6.

Actividades 1 De la función de la derecha di: a) En qué intervalos es creciente y en cuáles es decreciente. b) Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos.

DECRECIENTE

EC IE

CRECIENTE

f (x2)

f (x1)

UNIDAD

Tendencia y periodicidad La siguiente gráfica muestra la cantidad media de ejemplares por hectárea que hay de una cierta especie de planta a distintas alturas: NÚMERO MERO MER O DE EJEMPLARES EJEMPLARES

300 200 100

Entrénate

ALTURA ALTURA

1 La cantidad de radiactividad que posee una sustancia se reduce a la mitad cada año. La gráfica adjunta describe la cantidad de radiactividad que hay en una porción de esa sustancia al transcurrir el tiempo.

500

TIEMPO

(años)

Cuando la altura aumenta por encima de los 1600 m, el número de plantas tiende a cero. Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia muy clara.

¿A cuánto tiende la radiactividad con el paso del tiempo?

2 La cisterna de unos servicios públicos se llena y se vacía, automáticamente, cada dos minutos, siguiendo el ritmo de la gráfica adjunta. 30

VOL VO LUMEN

(l )

1500

Observamos que, a partir de una cierta altura, cuanto más se sube menos ejemplares se encuentran. Y que, a partir de 1600 m, casi no hay plantas de este tipo. Podemos afirmar que:

RADIACTIVIDAD RADIA CTIVIDAD

1000

(m)

Periodicidad Observamos la variación de la altura de un cestillo de una noria cuando esta da una vuelta. Tarda medio minuto (30 segundos), y en ese tiempo sube, llega al punto más alto, baja y llega al suelo. Pero este movimiento se repite una y otra vez. Su representación gráfica es esta: 40

20 10 TIEMPO

(min) 2

a) Dibuja la gráfica correspondiente a 10 min. b) ¿Cuánta agua habrá en la cisterna en los siguientes instantes? I) 17 min

II) 40 min 30 s

III) 1 h 9 min 30 s

120

En esta función, lo que ocurre en el intervalo [0, 30] se repite reiteradamente. Se trata de una función periódica de periodo 30. Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

a) ¿A qué temperatura está el interior de la nevera? b) ¿A qué temperatura está la habitación? c) Imagina que en ese mismo momento sacamos del microondas un vaso con agua a 98 °C y lo dejamos sobre la mesa. Dibuja una gráfica aproximada que muestre la temperatura del agua en este segundo vaso al pasar el tiempo.

Interpretación de gráficas Pepe y Susana han medido y pesado a su hijo David cada mes, desde que nació hasta los 21 meses. Estas son las gráficas de la longitud y del peso de David en función de la edad: 90

LONGITUD ONGITUD

(cm)

Enunciados, fórmulas y tablas

70 60 50

EDAD PESO ESO

3 6 (kg)

x y

(meses) 21

10 8 6

EDAD

(meses) 21

Hemos sacado de la nevera un vaso con agua y lo hemos dejado sobre la mesa de la cocina. Esta gráfica muestra la temperatura del agua en grados centígrados al pasar el tiempo. 22

TEMPERA TEMP ERATURA ERATURA

(°C)

16 8 2

TIEMPO

(min)

distancia

(m) (m)

a) ¿Cuánto medía y pesaba David cuando nació? b) ¿Cuánto creció David los seis primeros meses? ¿Y de los seis a los veintiún meses? ¿En qué meses fue mayor su crecimiento? c) ¿Cuánto aumentó de peso David los dos primeros meses? ¿Y del mes 12 al mes 18? d) ¿Cuánto pesaba David cuando medía 80 cm? ¿Qué edad tenía entonces? 2

–1

Tres deportistas han estado nadando durante media hora. Su entrenador ha medido las distancias recorridas cada 5 minutos y ha obtenido los siguientes datos: tiempo

4 2

–2

¿Cuál es el recorrido de la función? 4

Representa la función y = x 3 – 3xx + 2 definida en [–2, 3]. Para ello, completa en tu cuaderno:

(m)

235

425

650

875 1 100

250

500

750 1 000 1 250 1 500

360

710 1 020 1 300 1 490 1 600

a) Dibuja la gráfica que relaciona la distancia y el tiempo de cada nadador y descríbelas. b) ¿Ha habido algún adelantamiento durante la media hora? c) Calcula la velocidad media de cada uno en todo el recorrido. d) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de cada una de las tres funciones? 5

Los coches, una vez que se compran, empieempie zan a perder valor a un ritmo de un 20% anual, aproximadamente. a) Haz una tabla de valores que dé el valor, en años sucesivos, de un coche que costó 12 000 €. b) Representa gráficamente la función años transcurridos-valor del coche. c) Encuentra una fórmula que permita hallar el precio del coche en función de los años transcurridos.

UNIDAD

Características de una función 6

De cada una de las siguientes funciones di:

a) En qué intervalos crece y en cuáles decrece.

–4

–2

–4 –2

b) Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos. Y

Continúa esta gráfica sabiendo que se trata de una función periódica. Di cuál es su periodo.

Observa la gráfica de la función y responde: 4

–2

–4

–2

X 4

–2

Observa las siguientes gráficas de funciones: 23

a) ¿Cuáles son su dominio de definición y su recorrido? b) ¿Tiene máximo y mínimo relativos? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes? d) ¿En qué intervalos es la función creciente y en cuáles es decreciente?

(°C) TEMPERATURA ERA ERATURA

TIEMPO

–12

a) Relaciona cada curva con uno de estos enunciados. I. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa a la nevera.

II. Temperatura de un vaso de agua cuando sale de la nevera y se deja en la mesa. III. Temperatura de un vaso de agua cuando pasa de la mesa al congelador. b) Determina a qué tiende cada una cuando crece la variable independiente.

■ Resuelve problemas 11

Esta es la gráfica de la evolución de la temperatura de un enfermo. 40

TEMPERA TEMP ERATURA ERATURA

(°C)

39 38 37 36

¿Es periódica esta función? ¿Cuál es su periodo? Y 2 1 1

Averigua los valores de la función en los puntos de abscisas x = 1, xx = 3, x = 20, x = 23 y x = 42.

TIEMPO

(días) 7

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en observación? b) ¿En qué día la temperatura alcanza un máximo? ¿Y un mínimo? c) ¿En qué intervalos de tiempo crece la temperatura y en cuáles decrece? d) ¿Qué tendencia tiene la temperatura? e) Elabora un pequeño informe interpretando tus resultados.

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Un nadador se deja caer desde un trampolín. Su entrenador ha medido el espacio que recorre cada cuatro décimas de segundo mediante un método fotográfico. Obtiene la siguiente tabla: (s) espacio (m) tiempo

0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 0 0,78 3,13 7,05 12,5 14 14,5 15

El nadador se ha detenido a los 15 metros. a) Representa la gráfica espacio-tiempo. b) ¿Sabrías decir en qué momento entró en el agua? c) ¿Qué velocidad estimas que llevaba en el momento de entrar en el agua? d) ¿Qué altura tiene el trampolín?

Cuando una persona sana toma 50 g de glucosa en ayunas, su glucemia (% de glucosa en la sangre) se eleva, en una hora aproximadamente, desde 90 mg/dl, que es el nivel normal, hasta 120 mg/dl. Luego, en las tres horas siguientes, disminuye hasta valores algo por debajo del nivel normal, y vuelve a la normalidad al cabo de 5 horas. a) Representa la curva de glucemia de una persona sana. b) Di cuál es su máximo, su mínimo y explica su tendencia.

Autoevaluación ¿Sabes interpetar la gráfica correspondiente a una situación real o construirla a partir de un enunciado?

¿Reconoces las características más relevantes de una función?

1 Un ciclista hace una excursión a un lugar que dista 30 km de su casa. Al cabo de una hora, cuando ha recorrido 15 km, hace una parada de media hora. Reanuda la marcha con la misma velocidad hasta llegar a su destino, donde descansa otra media hora, y regresa al punto de partida a la misma velocidad que a la ida. Representa la gráfica tiempo-distancia al punto de partida.

3 Observa la gráfica y halla:

ALTURA ALTURA

(m)

500

–4 –2

–2

4 X

–4

a) Dominio y recorrido. b) Máximos y mínimos. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

ESTALLA ESTALL ALLA

400

d) Dónde es continua y los puntos de discontinuidad.

300 200

4 a) ¿Es periódica esta función?

100

Y 2

10 12

TIEMPO

(min)

a) ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos? b) ¿Qué altura gana entre el minuto 3 y el minuto 6? ¿Y entre el 7 y el 11? c) ¿Cómo es esta función, crece o decrece? d) ¿Cómo continuarías la gráfica si el globo no hubiera estallado?

¿Cuál es su periodo? b) Halla los valores de la función en los puntos de abscisas: x = 2; x = 4; x = 40; x = 42

2 La siguiente gráfica representa la altura a la que se encuentra, con el paso del tiempo, un globo de hidrógeno que se va elevando… hasta que estalla:

Y 2

Funciones elementales

Después de Euler aún siguió, entre los matemáticos, la discusión sobre qué requisitos eran imprescindibles para definir una función y cuáles no. En 1923 se llegó a la siguiente definición, muy parecida a la que se usa actualmente. Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = f (x). Pero en esa búsqueda de la precisión, se generaron una serie de funciones estrafalarias que llevaron a Poincaré, en el año 1899, a decir: “Durante medio siglo hemos visto una masa de funciones extrañas construidas de modo que se parezcan lo menos posible a las funciones honestas que sirven a algún propósito. Antes, cuando se inventaba alguna función, era con alguna meta práctica. Hoy son inventadas con el fin de mostrar que el razonamiento de nuestros antecesores fue erróneo”. En esta unidad vamos a dedicarnos a esas funciones honestas que propugnaba el gran Poincaré, esas funciones que sirven para algo más que para construir o desmontar conceptos.

DEBERÁS RECORDAR ■ Cómo se obtienen puntos de una función dada por su expresión analítica. ■ Cómo se obtiene la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Distintos tipos de funciones lineales Función de proporcionalidad: y = mx

Ejemplo El espacio recorrido con movimiento uniforme (velocidad constante) en función del tiempo es:

Las funciones de proporcionalidad se representan mediante rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre los valores de las dos variables.

y = mx

e=v·t X

v es la pendiente de la recta que relaciona e con t. Ejemplos • El precio de la comida en algunos restaurantes es constante, no depende de la cantidad que nos sirvamos. • La distancia de un satélite artificial a la Tierra es constante, no varía con el tiempo.

Función constante: y = n Y

Se representa mediante una recta paralela al eje X. Su pendiente es 0.

y=n

La recta y = 0 coincide con el eje X.

y=0

Expresión general: y = mx + n

°F

Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). Al número n se le llama ordenada en el origen.

°F = 32 + 1,8 °C 100

Y °C

100

y = mx + n

Por ejemplo:

n X

La recta °F = 32 + 1,8 °C permite pasar de una temperatura en grados centígrados, °C, a la correspondiente en grados Fahrenheit, °F.

Actividades 1 Representa: a) y = 2x

b) y = 2 x 3

c) y = – 1 x 4

d) y = – 7 x 3

b) y = –2

c) y = 0

d) y = –5

2 Representa: a) y = 3 3 Representa: a) y = 2x – 3 c) y = – 1 x + 5 4

b) y = 2 x + 2 3 d) y = –3x – 1

4 Un móvil, en el instante inicial, está a 3 m del origen y se aleja de este con una velocidad de 2 m/s. Halla la ecuación de su posición en función del tiempo y represéntala. 5 El coste del uso doméstico de gas ciudad es de 12 € al bimestre más 0,05 € por cada kWh consumido. Escribe la ecuación del coste bimensual, C, en función del número de kWh (E ) de gas consumido.

200

La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad, m.

UNIDAD

Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente Pendiente de una recta La pendiente de una recta es la variación de la y (aumento o disminución) cuando la x aumenta una unidad.

(xx2, y2) y2 – y1 (x1, y1)

x2 – x1

La pendiente de la recta 3 es m = . 2

3x – 2y + 1 = 0

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), para hallar la pendiente, procedemos así: y2 – y1 es la variación de la y. y –y Pendiente = 2 1 x2 – x1 x2 – x1 es la variación de la x. La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando está despejada la y. Por ejemplo, observemos una tabla de valores correspondientes a y = 2x + 1: x

Advertimos que cuando la x avanza 1, la y sube 2; es decir, la pendiente de la recta es 2.

Ecuación de una recta en la forma punto-pendiente Con mucha frecuencia hemos de escribir la ecuación de una recta de la cual conocemos un punto y la pendiente. La damos a continuación. Punto: P(x0, y0)

Pendiente: m

Ecuación: y = y0 + m(x – x0)

■ Recta dada por dos puntos Para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, procedemos así: • A partir de los dos puntos, obtenemos su pendiente. • Con la pendiente y uno de los puntos, obtenemos la ecuación.

Ejercicio resuelto Hallar la ecuación de cada una de las rectas siguientes: a) Pasa por (0, 4) y tiene una pendiente de 7 . 3 b) Pasa por (–2, 7) y por (4, 5).

a) y = 4 + 7 x. Observa que (0, 4) está en el eje Y. Es decir, 4 es la ordenada 3 en el origen. b) Empezamos hallando su pendiente: m = 5 – 7 = –2 = – 1 4 – (–2) 6 3 Ecuación de la recta que pasa por (–2, 7) y cuya pendiente es – 1 : 3 y = 7 – 1 (x + 2) 3

Actividades 1 Halla la ecuación de cada una de las siguientes rectas: a) Pasa por (–3, –5) y tiene una pendiente de 4 . 9 b) Pasa por el punto (0, –3) y tiene una pendiente de 4.

c) Pasa por (3, –5) y por (– 4, 7). 2 Indica un punto y la pendiente de cada una de las rectas siguientes: a) y = –4 + 3(x – 1) b) y = –2(x – 3) c) y = 1 + 4x

Parábolas y funciones cuadráticas La curva que describe un balón cuando se lanza a canasta es una parábola. También describen parábolas las bolas de golf o los chorros de agua. Parabólicas son las secciones de las antenas que captan las emisiones de televisión procedentes de los satélites artificiales y las secciones de los faros de los coches. Y otros muchos objetos presentes en nuestra vida. También hay muchas funciones que se representan mediante parábolas: — El área de un cuadrado en función de su lado (A = l 2) o la de un círculo en función de su radio (A = πr 2). — La altura a la que se encuentra una piedra que lanzamos hacia arriba en función del tiempo transcurrido desde que se lanzó (a = v0t – 4,9t 2). — El espacio que recorre un coche desde que decidimos frenar hasta que realmente se para, en función de la velocidad que llevaba (e = 0,0074v 2 + 0,21v). —…

Parábola tipo: la función y = x2

ramas 15

Empecemos por representar el modelo de parábola más sencillo, que corresponde a la función y = x 2.

Se trata de una curva simétrica respecto al eje Y; tiene un mínimo en el punto (0, 0), al que llamamos vértice. Tiene dos ramas, una decreciente y otra creciente. Es una función definida en todo Á y continua, pues no presenta saltos: se puede representar de un solo trazo.

–4 –2 0

Como veremos a continuación, las gráficas de todas las demás funciones cuadráticas son similares a esta.

vértice

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

16 9 4 1 0 1 4 9 16

Otras parábolas Observa las siguientes curvas con sus respectivas ecuaciones:

1 x2 y=–— 2 y = x2

1 x 2 + 2x – 4 y=–— 2

y = 3xx 2 y = 3x 2 – 18x 18x + 24 y=

– 6x + 6

Puedes comprobar, en cada una de ellas, que las coordenadas de los puntos señalados cumplen las correspondientes ecuaciones. 58

eje

tabla de valores

UNIDAD

Funciones cuadráticas Las funciones y = ax 2 + bx + c, con a ? 0, llamadas cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y son continuas en todo Á. Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y. Su forma (hacia abajo, hacia arriba, más ancha…) depende de a, coeficiente de x 2, del siguiente modo: • Si a > 0, tienen las ramas hacia arriba, y si a < 0, hacia abajo. • Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola. Entrénate 1 Representa las siguientes parábolas: a) y = x 2 + 2

Representación de funciones cuadráticas Veamos algunos pasos que conviene dar para representar y = ax 2 + bx + c : 1.º La abscisa del vértice es p = – b . Calculamos la ordenada. 2a

b) y = x 2 – 3 c) y = (x – 2)2 d) y = (x + 1)2 2 Representa las siguientes parábolas: a) y = x 2 – 2x + 3

2.º Obtención de algunos puntos próximos al vértice. Calculamos el valor de la función en abscisas enteras próximas al vértice, a su derecha y a su izquierda. Así se obtiene la curva en su parte más interesante. 3.º Puntos de corte con los ejes. — Corte con el eje X: X se resuelve la ecuación ax 2 + bx + c = 0.

b) y = x 2 – 6x + 5 3 Dibuja estas funciones: a) y = 1 x 2 + x – 2 4 b) y = 2x 2 – 10x + 8

— Corte con el eje Y Y: es el (0, c). c 4.º Representación. Escogeremos sobre los ejes unas escalas que nos permitan plasmar la información en un espacio razonable.

Ejercicio resuelto

Representar R y = x 2 – 3xx – 4.

1.º Obtención del vértice: Abscisa: p = –(–3) = 3 = 1,5 °§ 2·1 2 ¢ El vértice es (1,5; –6,25). Ordenada: ff(1,5) = –6,25 §£ 2.º Obtención de puntos próximos al vértice:

x y

4 2 4

–2 –4 –6

–1 0

0 –4

1 –6

2 –6

3 –4

4 0

5 6

3.º Puntos de corte con los ejes: 2

–2

–2 6

y = x 2 – 3x – 4

• Cortes con el eje X: X x 2 – 3xx – 4 = 0 8 x = 3 ± √9 + 16 8 x1 = –1, x2 = 4 2 • Corte con el eje Y: Y (0, –4) (Esta información ya la teníamos en la tabla anterior) 4.º Puedes ver la representación a la izquierda.

Funciones de proporcionalidad inversa y radicales Funciones de proporcionalidad inversa

30 25 20 15 10 5

De un rectángulo de 100 cm2 de superficie, desconocemos sus lados. Los llamamos x e y. Es claro que xy = 100. Lo ponemos así:

5 10 15 20 25 30

y = 100 (A igualdad de áreas, los lados son inversamente proporcionales). x Las relaciones de proporcionalidad inversa, como la que acabamos de describir, se presentan con mucha frecuencia en la naturaleza, la física, la economía… Vamos a analizarlas teóricamente. Las funciones y = k presentan las características siguientes: x • No están definidas en x = 0.

k y=— x

• Si x se acerca a 0, y toma valores cada vez más grandes. Por eso, decimos que el eje Y es una asíntota. • Si x toma valores cada vez más grandes, y se acerca a 0. Por eso, el eje X es asíntota. Esta curva es una hipérbola.

Funciones radicales Las funciones y = √x e y = –√x se pueden representar punto a punto y dan lugar a las gráficas que ves debajo. Son mitades de parábola y juntas describen una parábola idéntica a y = x 2, pero con su eje sobre el eje X. y= x

Y y= x y=– x

y=– x

El dominio de definición de estas funciones es [0, +@).

Actividades 1 Representa con detalle la parte positiva de la función y = 36 . Para ello, dale a x los valores 1, 2, 3, 4, 6, 9, x 12, 18 y 36 y utiliza una hoja de papel cuadriculado para representar los puntos obtenidos. 2 Representa la función y = 6 . Para ello, da a x los x valores ±1, ±2, ±3 y ±6.

3 Representa y = y di su dominio de definición. (Da a x los valores 0, –1, –4, –9, –16). 4 Representa estas funciones y di sus dominios: a) y = √x + 1 (Da a x los valores –1, 0, 3, 8, 15). b) y = √1 – x (Da a x los valores 1, 0, –3, –8, –15).

UNIDAD

Funciones exponenciales Funciones exponenciales crecientes: y = ax, a > 1

En el margen tienes la gráfica de la función exponencial de base 2: y = 2x

y = 2x 10

x Ó 0:

…

Cuando x toma valores cada vez más grandes, 2x tiende a infinito. –4

x 2x

y = 3x

–1 2–1 =

1 = 0,5 2

–2 2–2 =

1 = 0,25 4

–3 2–3 =

1 = 0,125 8

Cuando x toma los valores –4, –5, –6, –10, …, 2 x se hace muy pequeño. Es decir, hacia la izquierda, 2 x tiende a cero.

–4

x Ì 0:

y = 2x

y = 3x crece más deprisa que y = 2x.

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = a x. • Todas ellas son continuas, están definidas en todo Á y pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). • Si la base es mayor que 1 (a > 1), entonces son crecientes. • Crecen tanto más rápidamente cuanto mayor es a.

Funciones exponenciales decrecientes (0 < a < 1)

()

1 y= — 2

()

x La función y = 1 también es exponencial. Como su base (1/2) es menor que 2 1, la función es decreciente.

Las funciones y = a x con 0 < a < 1 también pasan por (0, 1) y (1, a), son continuas y definidas en todo Á, pero son decrecientes. Decrecen tanto más rápidamente cuanto más próximo a 0 sea a.

Actividades 1 Calcula los valores de la función y = 1,5x para los valores enteros de x comprendidos entre –6 y 6. Representa la función. 2 Calcula los valores de la función y = 0,8x para los valores enteros de x comprendidos entre –8 y 8. Representa la función.

3 La función y = 50,2xx puede ponerse de forma exponencial y = a x teniendo en cuenta que 50,2xx = (50,2)x. a) Calcula 50,2 y guarda el resultado en la memoria: 5 ‰ 0,2 =m. b) Representa la función dando valores a x. Por ejemplo, para x = 4: Ñ‰ 4 ={∫«…\“}.

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Pendiente de una recta 1

Halla gráficamente la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes puntos: a) (2, 4) y (–1, –2)

b) (–3, 5) y (3, –1)

c) (–3, 5) y (2, 1)

d) (3, 2) y (5, 2)

Halla las pendientes de las siguientes rectas, obteniendo dos de sus puntos: a) y = 4x – 2 b) y = – 4 x 5 5x c) y = +3 d) y = 8 – 5x 4 Comprueba, en cada caso, que coinciden con el coeficiente de la x (puesto que la y está despejada). ¿Qué relación existe entre el crecimiento o el decrecimiento de una recta y su pendiente? Halla las pendientes de las siguientes rectas: a) 6x + 3y – 4 = 0

b) x + 4y – 2 = 0

c) –3x + 2y = 0

d) 3y – 12 = 0

Ecuación y representación de una función lineal 4

Asocia a cada recta su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente. r a) y + 2 = 0 Y b) 3xx – y = 3 c) y = 2 – x 2 s –2 d) 2xx – 3 3yy = 12 X t

b) Pasa por el punto (5, 3) y tiene pendiente –1/2. c) Pasa por el punto (5, 6) y tiene la misma pendiente que la recta 2xx + y = 0.

Funciones cuadráticas 7

Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: x

– 4 –3 –2 –1

… … … … … … … … …

a) y = x 2 + 3

b) y = x 2 – 4

c) y = 2x 2

d) y = 0,5x 2

Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos próximos a él y los puntos de corte con los ejes: a) y = (x + 4)2 b) y = 1 x 2 + 2x 3 2 c) y = –3x + 6xx – 3 d) y = ––xx 2 + 5

Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de estas parábolas señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o de un mínimo: a) y = x 2 – 5

b) y = 3 – x 2

c) y = –2x 2 – 4xx + 6

d) y = 3x 2 – 6x

Representa cada una de esas parábolas. 10

Asocia a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes: a) y = x 2 b) y = (x – 3)2

Halla la ecuación de las rectas que cumplen las siguientes condiciones y dibújalas: a) Pasa por (5, 3) y tiene una pendiente de 3/5.

Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos que se indican y represéntalas: a) (2, 3) y (7, 0) b) (–2, 5) y por el origen de coordenadas c) (–3, 2) y (3, 2) d) (0, 4) y (4, 0)

I II III IV

c) y = x 2 – 3 d) y = x 2 – 6xx + 6

■ Practica

UNIDAD

Otras funciones

■ Resuelve problemas

Dibuja la gráfica de estas funciones, dando a x los valores que se indican en cada caso: x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3 a) y = 3 x x = –3; –1; –1/2; 1/2; 1; 3 b) y = – 3 x x = –2; 0; 1; 3/2; 3; 4 c) y = 1 x–2 x = –3; –2; –3/2; –1/2; 0; 1 d) y = – 1 x+1

Representa las funciones siguientes: a) y = √x + 2

b) y = 2 – √x

c) y = √3 – x

d) y = 2 √x + 2

Representa las siguientes funciones dando a x valores comprendidos entre –4 y 4: a) y = 1,4x

b) y = 0,75x

c) y = 2x – 1

d) y = 0,5x + 2

Ana corre una carrera popular de 10 km a una velocidad constante de 12 km/h. El pequeño David, que corre a 6 km/h, solo quiere hacer los últimos 5 km y llegar a la meta con Ana, así que sale desde el kilómetro 5. Los dos comienzan a correr a las 10:00 h de la mañana. a) ¿A qué hora estará Ana en el punto desde el que salió David? ¿A qué distancia de la salida estará David en ese momento? b) Dibuja, en los mismos ejes coordenados, la gráfica de cada recorrido. 17 Observa los datos de esta tabla: altura

–4

–2

2 –6

–4

III) y = 1 2–x III) y = 2 + 2 x

–2

–4

III) y = 3 – 1 x–3 IV) y = –1 x+3

4,5

Un fontanero cobra 18 € por el desplazamiento y 15 € por cada hora de trabajo. a) Haz una tabla de valores de la función tiempocoste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 70,50 €, ¿cuánto tiempo ha invertido en la reparación?

Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido. a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa. b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos que en cada etapa la velocidad es constante).

(°C) 10

360 720 990

2 X

–2

a) Representa los puntos en una gráfica. b) Suponiendo que se sigue la misma pauta, halla la expresión analítica de la función altura-temperatura. c) ¿A partir de qué altura la temperatura es menor que 0 °C?

(m)

temperatura

Asocia a cada gráfica una de las fórmulas que aparecen debajo: a

Disponemos de 40 cm de cuerda con los que podemos construir cuadrados. a) Escribe la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadrado construido con parte de esa cuerda o con toda ella, en función de su lado. b) Halla el dominino de definición de la función. c) Representa la función.

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

¿Cuál es la ecuación de la función que nos da el área de un cuadrado dependiendo de cuánto mida su lado? Haz su representación gráfica. La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, una piedra que lanzamos verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s viene dada por: h = 20t – 5t 2 a) Representa gráficamente la función. b) Di cuál es su dominio de definición. c) ¿En qué momento alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? d) ¿En qué momento cae la piedra al suelo? e) ¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros?

En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. a) Si el precio es de 450 € mensuales, ¿cuál será dentro de 5 años? b) Escribe la función que da el precio del alquiler según los años transcurridos.

Una furgoneta que costó 20 000 € se deprecia a un ritmo de un 12% anual. a) ¿Cuál será su precio dentro de 4 años? b) Halla la función que da el precio del vehículo según los años transcurridos. c) Calcula cuánto tiempo tardará el precio en reducirse a la mitad.

Autoevaluación 1 Escribe la ecuación de cada una de estas rectas:

4 Asocia a cada una de las gráficas una ecuación: I

a) Pasa por el punto (1, –2) y tiene pendiente 3/2.

A: 0,30 € por establecimiento de llamada y 0,20 €/min

B: 0,22 €/min

a) ¿Cuánto cuesta una llamada de 5 minutos en cada compañía? ¿Y de 15 min? ¿Y de 20 min? b) Haz, para cada una de las dos compañías, la gráfica de la función que nos da el precio de la llamada dependiendo del tiempo que dure. ¿Conoces familias de funciones (cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales) y las representas a partir de sus ecuaciones, y viceversa? 3 Representa las siguientes funciones:

a) y = x 2 – 4

b) y = x 2 + 4xx – 5

c) y = –1 x

d) y = 1 x–3

e) y = √–xx + 2

f ) y = 2x – 3

1 –3 –1 1

b) Pasa por los puntos (–2, –5) y (1, 1). 2 Estas son las tarifas de dos compañías telefónicas:

III

2 –4 –2

–2

2 –2

a) y = ––xx 2 – 4xx – 3

b) yy = 1,5x

c) y = 1 + 1 x

d) y = √x + 3

¿Asocias una situación real con algún modelo de función y te basas en él para interpretarla? 5 En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 10% anual. Su sueldo inicial es de 24 000 € anuales. a) ¿Cuánto ganará dentro de 10 años? b) Escribe la función que relaciona el dinero que gana con el número de años transcurridos.

¿Manejas con destreza las funciones lineales?

La semejanza. Aplicaciones

El estudio teórico de la semejanza se suele basar en el teorema de Tales. Recordemos quién fue este personaje. Tales nació en Mileto (actualmente, en la costa occidental de Turquía), aproximadamente, en el año 640 a.C. Murió con más de 90 años. Visitó Egipto y, posiblemente, Babilonia, y aprendió la ciencia práctica acumulada durante siglos por estas civilizaciones. Aportó estos conocimientos, seguramente muy elaborados, al mundo griego. Fue el primero que exigió que las afirmaciones matemáticas y de otras ciencias fueran avaladas por razonamientos bien fundamentados. Por eso, se le considera el fundador de la ciencia griega. Muy admirado en su época y en siglos posteriores, se le dio el rango del primero de “los siete sabios de Grecia”. Esta gran admiración de la que fue objeto hizo que se le mitificara y se le atribuyeran méritos que realmente no eran suyos. Por ejemplo, la predicción de un eclipse. Y la paternidad del teorema que lleva su nombre.

Parece cierto que en Egipto midió la altura de una pirámide comparando su sombra con la que arrojaba, en el mismo instante, una vara vertical. Pero esta aplicación práctica de la semejanza no significa que diera forma al enunciado del teorema, ni mucho menos que lo demostrara. Ambos logros, junto con una adecuada fundamentación y su desarrollo teórico de la semejanza, hay que atribuírselos a Euclides, dos siglos y medio posterior. DEBERÁS RECORDAR ■ Qué representan los planos, las maquetas y los mapas. Cómo se interpretan. Para qué sirven.

Semejanza Dos figuras semejantes tienen la misma forma. ¿Cómo se manifiesta matemáticamente esta apariencia? — Los ángulos correspondientes en figuras semejantes son iguales. — Las longitudes de los segmentos correspondientes en figuras semejantes son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza.

Figuras semejantes en la vida corriente Estamos rodeados de reproducciones: — Fotografías, vídeos, películas en pantallas de distintos tamaños… — Maquetas de monumentos o de urbanizaciones, copias de cuadros famosos, reproducciones de coches… — Planos de edificios o de ciudades, mapas… Las primeras pretenden, exclusivamente, transmitir unas características que se conservan con la semejanza: la imagen, la forma, el color, la belleza del original. 1 Una parcela con forma de cuadrilátero irregular tiene 820 m2 de área y su lado menor mide 40 m. Hacemos un plano de la parcela en el que el lado menor mide 16 cm. ¿Cuál será el área de la parcela en el plano? 2 La razón entre las áreas de dos rectángulos semejantes es 9/16. Si el perímetro del menor es 138 m, ¿cuál será el perímetro del mayor? 3 Queremos hacer una maqueta a escala 1:25 de un barco que mide 9 m de largo. La superficie de la cubierta es de 21 m2 y el volumen del casco es 31,5 m3. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta? 4 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 16 cm. ¿Cuál será el área de otro semejante cuya hipotenusa mide 85 cm? 5 Las áreas de los círculos máximos de dos esferas son 100π cm2 y 16π cm2. ¿Cuál será la razón entre su radios? ¿Y la razón entre los volúmenes de las dos esferas?

Con los planos y los mapas pretendemos más: queremos que además de apreciar la forma, se puedan obtener con precisión medidas, distancias. Por ello, van acompañados de una escala con la que se pueden obtener magnitudes de la realidad midiendo sobre su reproducción (plano o mapa). Escala es el cociente entre cada longitud de la reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Una escala 1:200 significa, como ya sabes, que 1 cm del plano corresponde a 200 cm = 2 m de la realidad. La expresión 1:200 puede ponerse así: 1 , con lo que se muestra la razón de 200 semejanza entre las dos figuras.

Relación entre las áreas y entre los volúmenes Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k 2 y la razón entre sus volúmenes es k 3. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. Si una maqueta está a escala 1:200, la razón entre la superficie de una parcela y la de su representación es 2002 = 40 000. Y la razón entre el volumen de un edificio y el de su representación en la maqueta es 2003 = 8 000 000.

Entrénate

UNIDAD

Ejercicio resuelto El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se han tomado las siguientes medidas: polideportivo depósito cilíndrico carpa:

°largo = 30 cm ¢ £ancho = 18 cm

°diámetro = 6 cm ¢ £altura = 10 cm

diámetro = 16 cm

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de tela.

Dimensiones en la realidad: °Largo = 30 cm Ò 500 = 15 000 cm = 150 m polideportivo ¢ £Ancho = 18 cm Ò 500 = 9 000 cm = 90 m °Radio = 3 cm Ò 500 = 1 500 cm = 15 m depósito ¢ £Altura = 10 cm Ò 500 = 5 000 cm = 50 m

En el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena.

carpa: Radio = 8 cm Ò 500 = 4 000 cm = 40 m

Hallar:

b) Volumen del depósito = πr 2h = π · 152 · 50 = 35 342,9 m3

a) La superficie total del polideportivo. b)El volumen del depósito. c) La superficie y el volumen de la carpa, en la realidad.

a) Superficie del polideportivo = 150 m Ò 90 m = 13 500 m2 También se puede calcular a partir del volumen del depósito en la maqueta: Vdepósito real = Vdepósito maqueta · 5003 = 283 cm3 · 5003 = = 35 375 000 000 cm3 = 35 375 m3 c) Superficie de la carpa = 1 4πr 2 = 2π · 402 = 10 053,1 m2 2 También se puede calcular a partir de la superficie en la maqueta: Scarpa real = Scarpa maqueta · 5002 = 402 cm2 · 5002 =

= 100 500 000 cm2 = 10 050 m2 Volumen de la carpa = 1 · 4 πr 3 = 2 π403 = 134 041,3 m3 2 3 3

Actividades 1 a) Un edificio de la maqueta anterior tiene forma de ortoedro. Sus dimensiones son 9 cm Ò 6,4 cm de planta y 4 cm de altura. Halla las dimensiones, el área de la fachada y el volumen en la realidad. b) La superficie de un campo de fútbol sala en la maqueta es de 32 cm2. ¿Cuál es la superficie en la realidad? c) Una caseta de la maqueta está hecha con 0,3 cm3 de poliexpán. ¿Cuál es su verdadero volumen? d) La altura de un edificio en la realidad es 65 m. ¿Cuál es su altura en la maqueta?

2 La Luna está a 384 000 km de nosotros y su diámetro es 3 500 km. a) Calcula su superficie y su volumen. b) El Sol está a 150 000 000 km de nosotros. Y su tamaño aparente es igual que el de la Luna. Según esto, halla el diámetro del Sol. Halla también su superficie y su volumen a partir de LUNA SOL las correspondientes magnitudes de la Luna.

Semejanza de triángulos Teorema de Tales c C

b B

a A O

Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

AB = A'B' BC B'C'

Como consecuencia, se verifica: AB = BC = OA A'B' B'C' OA'

T También ocurre lo recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales a A'B' y B'C' y las rectas a y b son paralelas, entonces la recta c es paralela a ellas. El teorema de Tales sirve para estudiar la semejanza de triángulos.

Triángulos semejantes B'

Dos triángulos semejantes tienen:

• Sus lados proporcionales:

a = b = c = razón de semejanza a' b' c'

a' b'

A b

• Sus ángulos, respectivamente iguales:

A = A', B = B', C = C '

Triángulos en posición de Tales ^

Los triángulos ABC y AB'C' tienen un ángulo común, el A . Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande.

B B'

Actividades 1 Las medidas de este dibujo son:

2 Para aplicar el teorema de Tales, trazamos por A una recta paralela a b y a c:

AB = 2,3 cm

BC = 1,5 cm

B'C' = 2,4 cm

A a

r s

r A

A' C'

Aplica el teorema de Tales y calcula la longitud de A'B'.

4 cm

2,5

m 5c

Calcula x.

a' A

Además, los lados opuestos a A son paralelos. Decimos que esos dos triángulos están en posición de Tales. Dos triángulos en posición de Tales son semejantes.

UNIDAD

La semejanza en los triángulos rectángulos Los triángulos rectángulos son particularmente importantes, tanto desde el punto de vista teórico como práctico. Por eso les vamos a dedicar una atención especial. Empecemos por estudiar un criterio de semejanza muy fácil de aplicar.

Entrénate En el triángulo rectángulo ABC conocemos AB = 9 cm y AC = 26 cm. A 6 cm del vértice C cortamos el triángulo CDE de forma que DE sea paralela a AB. Halla el área del trapecio ADEB. C 6 cm D

Criterio de semejanza de triángulos rectángulos Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos agudos. Esto es así, pues con ese ángulo y el ángulo recto ya son dos los ángulos iguales y, por tanto, también será igual el tercero. Por ejemplo:

35°

26 cm

90° + 35° + a = 180° ° ¢ 8 a=b 90° + 35° + b = 180° £

35°

9 cm

Consecuencias del criterio de semejanza anterior Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a alguno de los lados de un ángulo son semejantes.

I A'

B''

Todos esos triángulos (ABO, A'B'O, A''B''O) son semejantes por tener el ángulo a común.

Por tanto, sabemos, sin más comprobación (por el criterio anterior), que sus lados son proporcionales.

A''

En la figura II encontramos tres triángulos rectángulos: ABC, AMB y AMC.

AB = A'B' = A''B'' OB OB' OB''

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos semejantes al original.

OA = OA' = OA'' OB OB' OB''

— ABC y AMB son semejantes por compartir el ángulo B . B

— ABC y AMC son semejantes por compartir el ángulo C . 69

Veamos algunos ejemplos de aplicaciones del criterio de semejanza en triángulos rectángulos.

Problemas resueltos 1. Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo.

a) Explicar por qué los triángulos ABC y ADE son semejantes.

C D

b)Calcular ED y la altura del edificio.

3m 7m

1,6 m 2m

a) Los triángulos ABC y ADE son semejantes por ser rectángulos con un ^ ángulo agudo igual, A . b) ED = AD 8 ED = 2 + 7 8 ED = 9 · 1,4 = 6,3 m 3 – 1,6 2 2 CB AB La altura del edificio es 6,3 + 1,6 = 7,9 m.

2. Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

2. x 9

8 20

Ampliamos el tronco hasta completar un cono. Llamamos x al incremento de la altura. Tenemos en cuenta la semejanza de los dos triángulos: el pequeño, de catetos 8 y x; y el grande, de catetos 20 y x + 9:

Vtronco = 1 π · 202 · (9 + 6) – 1 π · 82 · 6 = 1 π (6 000 – 384) = 5 881,06 cm3 3 3 3

Actividades 1 Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7,22 m en el momento en que un poste de 1,60 m da una sombra de 67 cm.

3 En el mismo instante y lugar de la actividad 4, ¿qué longitud tendrá la sombra de un edificio que mide 32 m de altura?

2 Halla los lados del triángulo ABC. ABC

4 Si la altura de Rita es 1,65 m, ¿cuál es la altura de la farola?

5 cm D E 4 cm 8 cm A

1,65 m

2,5 m

1,5 m

x = x + 9 8 20xx = 8x + 72 8 12xx = 72 8 x = 6 cm 8 20 El volumen del tronco de cono es la diferencia de volúmenes de dos conos:

UNIDAD

Homotecia y semejanza

Definición Se llama homotecia de centro O y razón k a una transformación que hace corresponder a cada punto P otro P' tal que: • O, P y P' están alineados. • OP' : OP = k O

°Si k > 0, •¢ £Si k < 0, P'

A' A B

B' D

Cada punto de la figura azul (por ejemplo, el A) se ha transformado en un punto de la roja ((A' ) que cumple las condiciones: • O, A y A' están alineados.

• OA' = 2 · OA

Es una homotecia de centro O y razón 2. P

P' O

Dos figuras homotéticas son semejantes de razón |k |.

La homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. Si dos figuras son homotéticas, sus segmentos correspondientes son paralelos. Observa cómo se aplica la homotecia para construir un rectángulo áureo a partir de una hoja A-4, teniendo en cuenta que el D.N.I. es un rectángulo áureo. A-4

NOMBRE P APELLIDO S APELLIDO

Recuerda que un rectángulo se llama áureo si su lado mayor se obtiene multiplicando el menor por F. El número F = √5 + 1 se llama número áureo. 2

F 1

En el dibujo de la izquierda se ve cómo un chico ayuda a una chica a “tapar” la luna con una moneda. En esa situación, la moneda y el disco de la Luna son figuras homotéticas. Es una homotecia en el espacio, pues los discos están en planos distintos. El centro de la homotecia es el ojo de la chica. Observa cómo utiliza la chica de la derecha este mismo procedimiento para comprobar si “aquella ventana que ve allí enfrente” es un rectángulo áureo: la compara con su D.N.I., mediante una homotecia con centro en su ojo.

Actividades 1 En el procedimiento descrito arriba para obtener una hoja de papel con dimensiones áureas a partir de una A-4 y con la ayuda del D.N.I., se aplica una homotecia. ¿Cuál es su centro? ¿Y su razón? NOMBRE P APELLIDO S APELLIDO

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

En un mapa de escala 1:1 500 000, la distancia entre dos poblaciones es de 2 cm. a) ¿Cuál es la distancia real? b) ¿Qué distancia habrá en el plano entre dos ciudades que distan 180 km?

Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm2 de superficie. ¿Cuáles serán sus dimensiones? Dibújalo.

Figuras semejantes 1

¿Cuáles de estas figuras son semejantes? ¿Cuál es la razón de semejanza?

a) ¿Son semejantes los triángulos interior y exterior? b) ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea 2,5? Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta tiene alrededor un marco de 2,5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Responde razonadamente. Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando su tamaño.

1 cm

¿Cuánto medirán los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyo perímetro sea 163,2 cm? 12 cm 10 cm

8 cm 21 cm

1 cm

a) Copia esta figura en tu cuaderno y amplíala al doble tomando O como centro de homotecia. b) Redúcela a 1/3 tomando A como centro de homotecia. C

a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b) Calcula su superficie. 5

Un rombo cuyas diagonales miden 275 cm y 150 cm, ¿qué área ocupará en un plano de escala 1:25? Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. b) La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

Halla el centro y la razón de homotecia que transforma la figura ABCDE en A'B'C'D'E'. A'B'C'D'E' C B B' A

D D' E'

■ Practica

UNIDAD

Semejanza de triángulos

■ Aplica lo aprendido

El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide 21 m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. ¿Cuál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor?

En el triángulo ABC hemos trazado DE paralelo a CB. A 10 cm

7 cm D

12 cm

18 cm

¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y ADE ? Calcula AC y AB. ¿Por qué son semeB jantes los triángulos ABC y AED? E 6 cm Halla el perímetro del trapecio EBCD. A 10 cm D 17

Observa esta figura, en la que el segmento AB es paralelo a CD. 10,6 cm

7,2 cm B © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

6 m

c 8,5

En una carretera de montaña, nos encontramos una señal que nos 8% advierte que la pendiente es del 8%; es decir, por cada 100 m que recorremos, el desnivel es de 8 m. a) ¿Cuál es el desnivel que se produce cuando recorremos 3 km? b) Para que el desnivel sea de 500 m, ¿cuántos kilómetros tendremos que recorrer? 20 Esta figura representa, a escala 1:2 000, una parcela de terreno. Calcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias. 21 Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m. 22 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el área del menor es 26 cm2, ¿cuál es el área del mayor?

■ Resuelve problemas 23

¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB, fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas:

x D

a) Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC ODC. b) Calcula x e y. 16

En un triángulo rectángulo, la relación entre los catetos es 3/4. Halla el perímetro de otro triángulo semejante en el que el cateto menor mide 54 cm.

La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm2, ¿cuál es el área del menor?

El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.

N P

AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. (MN MN es paralela a AB AB). Calcula la distancia AB.

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Una lámpara situada a 25 cm de una lámina cua cuadrada de 20 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a 1,5 m de la lámpara.

Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 14,4 m de altura. Si el radio del cono es 10 m, ¿cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro?

29 ¿Cuánto mide el lado del cuadrado proyectado? Queremos construir un ortoedro de volumen 36 015 cm3 que sea semejante a otro de dimensiones 25 Ò 15 Ò 35 cm. ¿Cuánto medirán sus aristas?

Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm 3 cm de radio a 3 cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene 2 cm de radio. 5 cm Halla el volumen del embudo.

La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 80 cm y 140 cm, y su altura, 150 cm. Halla su volumen. 150 cm

80 cm

140 cm

14 cm

Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden 6 cm y 14 cm, y la generatriz, 30 cm.

30 cm

6 cm

¿Manejas la semejanza de figuras para obtener medidas de una a partir de la otra?

¿Utilizas con soltura la semejanza para resolver problemas?

1 Queremos hacer una maqueta de un jardín rectangular a escala 1:400. Su perímetro es de 850 m, y su área, de 37 500 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

3 Álvaro debe situarse a 3 m de un charco para ver la copa de un árbol reflejada en él. Si la distancia del charco al árbol es de 10,5 m y la estatura de Álvaro es de 1,72 m, ¿cuál es la altura del árbol?

¿Conoces las condiciones que se deben comprobar para asegurar que dos triángulos son semejantes?

4 Un centro comercial P está situado entre dos vías paralelas r y s. Se quiere unir, mediante carreteras, con las poblaciones A, B, C y D. Con los datos de la figura, calcula x e y.

a) AB = 10, BC = 18; CA = 12

6,75 km D y

2 Comprueba si son semejantes dos triángulos ABC y A'B'C' que cumplen las condiciones siguientes:

9 km

A'B' = 25; B'C' = 45; C'A' = 30 A'B' = 40; B'C' = 50; C'A' = 60 ^

c) A = 58°; B = 97° A' = 58°; C ' = 35°

5 Un florero tiene forma de tronco de pirámide de bases cuadradas de 8 cm y 12 cm de lado, y altura 16 cm. Calcula su volumen.

12 cm 16 cm

b) AB = 20; BC = 30; CA = 40

8 cm

Autoevaluación

Trigonometría

Hace más de 3 000 años, babilonios y egipcios utilizaron la semejanza y rudimentos de trigonometría para medir campos, realizar construcciones, e incluso para la astronomía y la navegación... Estos conocimientos pasaron a Grecia, donde cabe destacar a dos grandes astrónomos (pues trigonometría y astronomía van de la mano): Hiparco de Nicea (180-125 a.C.), considerado el “padre de la astronomía”, consolidó el sistema sexagesimal para la medida de ángulos. Teniendo en cuenta que la esencia de la trigonometría es sustituir medidas angulares por medidas lineales, elaboró unas tablas en las que asociaba la medida de cada ángulo con la longitud c a de la cuerda correspondiente. Ptolomeo de Alejandría (85-165) amplió y mejoró la obra de Hiparco y escribió un enorme tratado de astronomía de trece libros, al que se acabó llamando el Almagesto, (el más grande).

Los indios, durante los siglos iv y v, desarrollaron una trigonometría con un enfoque distinto al de los griegos: asociaron a cada ángulo la longitud de la semicuerda del ángulo doble (lo que posteriormente se llamaría seno del s a ángulo), consiguiendo así trabajar con triángulos rectángulos, más fáciles de manejar. Los árabes (siglos ix-x) se inspiraron en el Almagesto de Ptolomeo pero utilizaron las tablas de los senos de los indios, las ampliaron con otras medidas y las mejoraron. Su trigonometría, bien fundamentada y muy práctica, se extendió por Europa a partir del siglo xii. DEBERÁS RECORDAR ■ Cuándo son semejantes dos triángulos rectángulos. ■ Cómo utilizar las sombras para medir ciertas longitudes inaccesibles.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Recuerda Razón. Se llama razón entre dos números a su cociente.

Vamos a estudiar todas las posibles razones entre dos de los lados de un triángulo rectángulo.

Definiciones Sobre un ángulo agudo, a, construimos un triángulo rectángulo, ABC ABC. Damos las siguientes definiciones con sus correspondientes abreviaturas:

seno de a =

longitud del cateto opuesto a a longitud de la hipotenusa

coseno de a =

a C

Para designar ángulos, se suelen utilizar letras griegas como: a

alfa

beta

gamma

longitud del cateto contiguo a a longitud de la hipotenusa

tangente de a =

longitud del cateto opuesto a a longitud del cateto contiguo a a

sen a = BC AB cos a = AC AB tg a = BC AC

Estas relaciones se llaman razones trigonométricas del ángulo a.

Cálculo gráfico (aproximado) de las razones trigonométricas de un ángulo La propia definición nos proporciona un método para calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo: B

Se dibuja el ángulo. Desde un punto, B, de uno de los lados se traza una perpendicular al otro lado. De este modo se forma un triángulo rectángulo ABC. Se miden los lados:

Ahora, con estos datos, calculamos las razones trigonométricas:

a C

No lo olvides Las razones trigonométricas dependen del ángulo pero no del triángulo.

sen a = BC = 28 = 0,56 cos a = 41 = 0,82 tg a = 28 = 0,68 50 41 AB 50 Podríamos medir el ángulo con el transportador. Obtendríamos a = 34°. Por tanto: sen 34° = 0,56

cos 34° = 0,82

tg 34° = 0,68

Las medidas efectuadas son aproximadas. Por tanto, las relaciones finales también lo son.

Actividades 1 Dibuja sobre un ángulo como el anterior, 34°, un triánguo rectángulo mucho más grande. Halla sus razones trigonométricas y observa que obtienes, aproximadamente, los mismos valores.

AC = 41 mm, BC = 28 mm, AB = 50 mm

UNIDAD

Relaciones trigonométricas fundamentales

Notación En lugar de (sen a)2 se suele poner sen 2 a. Del mismo modo:

Los valores de sen, cos y tg de un mismo ángulo no son independientes, sino que están relacionados, de tal modo que conociendo uno de ellos, podemos calcular los otros dos. Las relaciones que los ligan son las siguientes (se las suele llamar relaciones fundamentales):

(cos a)2 = cos 2 a y (tg a)2 = tg 2 a A pesar de la costumbre, y para evitar confusiones, utilizaremos durante este curso la expresión con paréntesis.

(sen a)2 + (cos a)2 = 1

sen a = tg a cos a

[I]

[II]

Estas igualdades son fáciles de demostrar:

( ) ( ) 2

[I] (sen a)2 + (cos a)2 = BC AB

+ AC AB

2 2 = BC + 2AC = 1 AB

pues por el teorema de Pitágoras se cumple que BC 2 + AC 2 = AB 2. [II] sen a = BC : AC = BC = tg a cos a AB AB AC A

En los siguientes ejercicios resueltos vemos cómo, conocida una razón trigonométrica de un ángulo, se pueden calcular las otras dos.

Ejercicios resueltos 1. Sabiendo que cos a = 0,63, calcular s = sen a y t = tg a. Mediante la igualdad I, conocido sen a obtenemos cos a, y viceversa. s 2 + 0,632 = 1 8 s 2 = 1 – 0,632 = 0,6031 8 s = √0,6031 = 0,777 (Solo tomamos la raíz positiva, porque sen a ha de ser positivo). t = 0,777 = 1,23 0,63

Solución: sen a = 0,777

tg a = 1,23

2. Sabiendo que tg a = 2, calcular s = sen a y c = cos a. Mediante las igualdades I y II, conocida tg a se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen a y cos a: s =2 ° s = 2c § c ¢ 2 2 cc)2 + c 2 = 1 8 4c 2 + c 2 = 1 8 5c 2 = 1 s + c = 1 §£ (2c) solo tomamos racionalizando c 2 = 1 ÄÄÄÄ8 c = 1 ÄÄÄÄ8 c = √5 ; s = 2 √5 5 la raíz positiva 5 5 √5

Solución: sen a = 2 √5 = 0,894 5

cos a = √5 = 0,447 5

Actividades 1 sen 37° = 0,6. Calcula cos 37° y tg 37°.

2 tg 28° = 0,53. Calcula sen 28° y cos 28°.

Razones trigonométricas de 30°, 45° y 60° Ä √3 √

Los triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos son 45°, 30° o 60° aparecen con mucha frecuencia, por lo que resultan especialmente interesantes en geometría. Vamos a hallar las razones trigonométricas de estos ángulos. ■ Razones trigonométricas de 45° La hipotenusa de este triángulo rectángulo isósceles mide:

1 h Ä √ √3 — 3

45°

60°

h = √12 + 12 = √2. Por tanto: sen 45° = 1 = √2 , cos 45° = √2 , tg 45° = 1 2 2 √2

■ Razones trigonométricas de 30° y de 60°

45° 30° 1 — 2

Calculamos la altura de este triángulo equilátero:

Ä Ä √ — √2 √3 √ — 2 2

1 30°

60°

√1 – ( 12 ) =√1 – 14 =√ 34 = √23 2

1/2

sen

cos

30°

1 2

√3

Por tanto:

45°

√2

sen 30° = 1 2

cos 30° = √3 2

tg 30° = 1/2 = 1 = √3 3 √3/2 √3

sen 60° = √3 2

cos 60° = 1 2

tg 60° = √3/2 = √3 1/2

60°

2 √3 2

2 1 2

√3

3 Teniendo en cuenta que tg 45° = 1, deduce el valor de sen 45° y de cos 45° mediante las relaciones fundamentales. 4 Teniendo en cuenta que sen 30° = 1/2, halla el valor de cos 30° y de tg 30° mediante las relaciones fundamentales.

6 Un carpintero quiere construir una escalera de tijera, cuyos brazos, una vez abiertos, formen un ángulo de 60°. Para que la altura de la escalera, estando abierta, sea de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada brazo?

5 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: sen a 0,94 cos a tg a

4/5

√3 /2

0,82 3,5

En las operaciones donde aparezcan radicales, trabaja con ellos; no utilices su expresión decimal.

7 Calcula el seno y la tangente de un ángulo cuyo coseno vale 0,8. 8 Calcula el seno y el coseno de un ángulo cuya tangente vale 0,7.

Actividades

UNIDAD

Utilización de la calculadora en trigonometría

Teclas trigonométricas Para el cálculo y el manejo de las razones trigonométricas, hasta ahora solo hemos utilizado las operaciones aritméticas de la calculadora: + - * / y $. En este apartado vamos a aprender a manejar las teclas específicamente trigonométricas.

Las calculadoras científicas nos dan directamente el valor del seno, del coseno o de la tangente de cualquier ángulo. También nos dicen cuál es el ángulo del que conocemos el valor de una de sus razones trigonométricas. Veamos, paso a paso, cómo se recurre a la calculadora para trabajar en trigonometría. ■ Selección del modo deg (grados sexagesimales) Las calculadoras manejan tres unidades de medida de ángulos: • Grados sexagesimales (deg). Son los que utilizamos normalmente. • Grados centesimales (gra). Un ángulo recto tiene 100 grados centesimales. Nunca usaremos esta unidad de medida. • Radianes (rad). Esta unidad de medida de ángulos está relacionada con el estudio funcional de las razones trigonométricas (funciones trigonométricas). A partir del curso próximo se usará con frecuencia. En este curso utilizaremos, exclusivamente, los grados sexagesimales. Por tanto, selecciona en la calculadora el modo deg, a partir de la tecla M o !, según el modelo de calculadora. ■ Anotar un ángulo. Tecla O Para escribir el ángulo 38° 25' 36'', se procede así: 38O25O36O{«°…¢“\\\\\|}

sO{∫«°o“∞o«\}

Se anota el ángulo en forma decimal

Se expresa el ángulo en forma sexagesimal

En las calculadoras de pantalla descriptiva se procede del mismo modo:

38O25O36O= ■ Cálculo de una razón trigonométrica. Teclas ß © t Para calcular sen (47° 25'), se procede así:

ß47O25O {¢|…¢‘\\\\\|} = {≠…|«\“£«£∞‘“‘} {≠ Es decir, sen 47° 25' = 0,736 Entrénate Obtén las siguientes razones trigonométricas y escribe en tu cuaderno los resultados redondeando a las milésimas. a) sen 86°

b) cos 59°

c) tg 22°

d) sen 15° 25' 43''

e) cos 59° 27'

f) tg 86° 52'

g) sen 10° 30'' (atención, 10° 0' 30'')

Análogamente, se procede con coseno, ©, y tangente, t. ■ Funciones inversas: ﬁ (sß), Â (s©), T (st) ¿Cuál es el ángulo cuyo seno vale 0,5? Sabemos que es 30°. La forma de preguntárselo a la calculadora es esta:

s ß 0,5 = {∫∫∫∫«≠} {∫∫∫∫«≠ Análogamente:

s© 0,56 =sO{∞∞o∞\o«£…‘«} tg a = 3 8 ¿a? 8 st 3 =sO{|‘o««o∞¢…‘°}

cos a = 0,56 8 ¿a? 8

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hallar uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de algunos elementos conocidos. Las razones trigonométricas nos permiten resolver cualquier tipo de triángulo rectángulo. ■ Conocidos dos lados

B a

b = c2 – a2

■ Conocidos un lado y un ángulo

a c=— ^ cos B ^

b = a · tg B

• Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los dos lados conocidos.

B a

• El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras.

a sen A = — c ^

• Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos.

A = 90° – B

• El otro ángulo agudo es complementario del que conocemos.

Ejercicios resueltos 1. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17 cm y 40 cm. Hallar los ángulos del triángulo.

El ángulo a se relaciona con los dos catetos mediante su tangente: tg a = 17 = 0,425 40

a 40

Hallamos con la calculadora el ángulo cuya tangente es 0,425:

st0,425=sO{“«o‘o«‘…||}. Es decir, a = 23° 1' 32''. El otro ángulo es su complementario: 90° – 23° 1' 32'' = 66° 58' 28'' a es la altura de la cometa por encima de la mano de Iris.

2. 36 m 62°

a es el cateto opuesto al ángulo de 62°. El seno es la razón trigonométrica que la relaciona con la hipotenusa: sen 62° = a 8 a = 36 · sen 62° = 31,79 m 36 La cometa está a una altura de 31,79 + 0,83 = 32,62 m.

Actividades 1 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27° y la hipotenusa 46 m. Halla los dos catetos.

2 ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm?

3 Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 48 cm y 71 cm. Calcula, en grados y minutos, los dos ángulos agudos. 4 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 37°, y el cateto opuesto, 87 m. Halla el otro cateto y la hipotenusa.

2. Iris está haciendo volar su cometa. Ha soltado 36 m de hilo y mide el ángulo que forma la cuerda con la horizontal: 62°. ¿A qué altura se encuentra la cometa sabiendo que la mano de Iris que sostiene la cuerda está a 83 cm del suelo?

UNIDAD

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

Relaciones fundamentales

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de estos triángulos: a) b) c)

11 ,6

Halla el valor exacto (con radicales) de sen a y tg a sabiendo que cos a = 2/3 (a < 90°).

Si tg a = √5, calcula sen a y cos a (a < 90°).

Calcula y completa esta tabla en tu cuaderno, con valores aproximados: sen a

Midiendo los lados, halla las razones trigono^ métricas de B en cada caso: a) b) B

Si sen a = 0,28, calcula cos a y tg a utilizando las relaciones fundamentales (a < 90°).

0,92

cos a

0,12

tg a

0,75

Calcula el valor exacto (utilizando radicales) de las razones trigonométricas que faltan en la tabla siguiente ((a < 90°). Hazlo en tu cuaderno. sen a

2/3

√2 /3

cos a B

Comprueba, con el teorema de Pitágoras, que los triángulos ABC y AHB son rectángulos. A Halla en cada uno las razones trigono24 cm ^ 6,72 cm métricas de B y C H B compara los resulta23,04 cm 1,96 cm dos. ¿Qué observas?

7 cm

Calcula las razones trigonométricas de los án^ ^ gulos A y C , ABD y CBD . B

15 A

12 cm

Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos ^ ( = 90°): (A a) b = 56 cm; a = 62,3 cm b) b = 33,6 cm; c = 4,5 cm c) c = 16 cm; a = 36 cm

16 cm

tg a

Calculadora 11

Completa en tu cuaderno la tabla siguiente, utilizando la calculadora: a

15°

55° 20'

72° 25' 40''

85,5°

sen a cos a tg a

Halla el ángulo a en cada caso. Exprésalo en grados, minutos y segundos. a) sen a = 0,58 b) cos a = 0,75 c) tg a = 2,5 d) sen a = √5 3

e) cos a = 1 √3

f ) tg a = 3 √2

Halla, con la calculadora, las otras razones trigonométricas del ángulo a en cada uno de los casos siguientes: a) sen a = 0,23 b) cos a = 0,74 c) tg a = 1,75 d) sen a = 1 √2

e) tg a = √3

f ) cos a = √3 2

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su altura?

En un triángulo isósceles, su lado desigual mide 18 m, y su altura, 10 m. Calcula sus ángulos.

Calcula el perímetro y el área de un triángulo isósceles en el que el ángulo desigual mide 72° y la medida del lado opuesto a ese ángulo es de 16 m. Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?

Calcula la altura, h, y el área de los siguientes triángulos: B a) b) B 18

65° D

32 cm

40°

15 cm

23 cm

Para medir la altura de un árbol, nos situasitua mos a 20 m de su base y observamos, desde el suelo, su parte más alta bajo un ángulo de 50°. ¿Cuánto mide el árbol? 22 Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. B

60° A

45° 30°

30°

Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE. AE 23

Una escalera, por la que se accede a un túnel, tiene la forma y las dimensiones de la figura.

A 25 m 30° 10 m

28 cm

h C

70°

30 m 50°

35° 13 cm

Calcula la profundidad del punto B.

Autoevaluación ¿Dominas las razones trigonométricas de un ángulo agudo y sabes utilizarlas para calcular lados y ángulos? ¿Conoces las relaciones entre ellas? 1 a) Si cos a = 0,52, calcula sen a y tg a. b) Si tg b = 12 , calcula sen b y cos b. 5 La calculadora científica es un instrumento básico en trigonometría. ¿Sabes manejarla con eficacia? 2 Si sen a = 0,35, ¿cuánto mide a? Halla las otras razones trigonométricas de a con ayuda de la calculadora.

¿Sabes resolver triángulos rectángulos a partir de un lado y un ángulo o de dos lados? 3 En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 50°, y la hipotenusa, 16 cm. Resuelve el triángulo. 4 Una escalera de 3 m está apoyada en una pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo si su base está a 1,2 m de la pared? 5 En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 70° y su altura es de 12 cm. Halla la medida de los lados del triángulo.

Halla la medida de los lados y los ángulos desconocidos en los siguientes triángulos rectángu^ los ((A = 90°): a) b = 7 cm c = 18 cm b) a = 25 cm b = 7 cm ^ c) b = 18 cm B = 40° ^ d) c = 12,7 cm B = 65° ^ e) a = 35 cm C = 36°

75 m

Calcula la altura sobre el lado AB en los siguientes triángulos: B B a) b) B B

100 m

■ Aplica lo aprendido

Geometría analítica

Con la invención de la Geometría Analítica se pone de manifiesto, una vez más, que las grandes creaciones humanas son fruto de una época, de un momento histórico cuyas circunstancias lo propician. Solo falta el personaje genial que lo lleve a efecto. En este caso fueron dos franceses, Descartes y Fermat, quienes la desarrollaron independiente y casi simultáneamente. René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, en su obra El discurso del Método incluyó una parte final llamada “Geometría” en la que se detalla cómo se aplica el álgebra a la resolución de algunos problemas geométricos con la ayuda de un sistema de coordenadas. Coordenadas cartesianas se llamaron, pues en aquella época los textos científicos se escribían en latín y Descartes latinizó su nombre: Cartesius.

Pierre de Fermat (1601-1655), abogado, político y matemático por afición, desarrolló un sistema similar al de Descartes: aplicó los métodos algebraicos al tratamiento de figuras geométricas representadas en unos ejes de coordenadas rectangulares. Esto lo describió en 1636, un año antes que Descartes, pero no fue publicado hasta después de su muerte, por lo que su obra no ejerció tanta influencia como la de aquel. Por eso es frecuente atribuir solo a Descartes la invención de la Geometría Analítica, olvidando la contribución de Fermat que, incluso, llegó un poco antes. La utilización de los vectores en la geometría (los físicos ya los usaban hacía tiempo) llegó en el siglo xix por medio de Gauss, Möbius y Bellavilis. DEBERÁS RECORDAR ■ Algunas propiedades de los paralelogramos. ■ Algunas formas de la ecuación de una recta. ■ Sistemas de ecuaciones lineales con y sin solución.

Vectores en el plano 8

AB(5, AB (5, 2) 5

A(1, (1, 4)

En un sistema de ejes cartesianos, cada punto se describe mediante sus coordenadas: A(1, 4), B(6, 6).

B(6, 6) 2

La flecha que va de A a B se llama vector y se representa por AB. Es el vector de origen A y extremo B. 8

Al vector AB podríamos describirlo así: desde A avanzamos 5 unidades en el sentido de las X y subimos dos unidades en el sentido de las Y. Y 8

Eso se dice más brevemente así: las coordenadas de AB son (5, 2). Igualdad de vectores 8

O, mejor, así .............. AB = (5, 2). 8

Dos vectores iguales AB = A'B' situados en rectas distintas (y, por tanto, paralelas) determinan un paralelogramo ABB'A ' '. 'A B

O, simplemente, así .... AB(5, 2). Las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas de su origen a las de su extremo: 8

B(6, 6), A(1, 4) AB = (6, 6) – (1, 4) = (5, 2) 8

Módulo de un vector, AB, es la distancia de A a B. Se designa así: |AB |. Si 8 8 las coordenadas de AB son (x, yy), entonces |AB | = √x 2 + y 2 .

Dirección de un vector es la de la recta en la que se encuentra y la de todas sus paralelas. Q

Cada dirección admite dos sentidos opuestos. 8

Por ejemplo, PQ y PR son vectores de sentidos opuestos.

P R

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. En tal caso, tienen las mismas coordenadas.

Ejercicio resuelto

Representándolos, observamos que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Pero también podemos comprobarlo mediante sus coordenadas:

A B'

Coordenadas de AB: (4, 8) – (1, 3) = (3, 5) 8

Coordenadas de A'B': (5, 2) – (2, –3) = (3, 5)

AB(3, 5) ° 8 8 8 ¢ AB = A'B' A'B'(3, 5) £

Actividades 8

1 Representa los vectores AB y CD, siendo A(1, 1), B(–2, 7), C C(6, 0), D(3, 6) y observa que son igua8 8 les. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo.

2 Tenemos tres puntos de coordenadas: A(3, –1), B(4, 6), C C(0, 0) Halla las coordenadas del punto D para que los vec8 8 tores AB y CD sean iguales.

A(1, 3), B(4, 8), A'(2, ''(2, –3), B'(5, ''(5, 2). Comprobar que los vectores AB y 8 A'B' son iguales.

UNIDAD

Operaciones con vectores Producto de un vector por un número

Notación Los vectores se designan también mediante una letra minúscula con una flechita encima. Para ello, se sue8 8 8 len utilizar las letras u , v , w, y, si 8 8 8 se necesitan más, x , y , z .

El producto de un número k por un vector v es otro vector k v que tiene: 8

• Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k: 8

|k v| = |k| | v| 8

• Dirección: la misma que v. 8

• Sentido: el mismo que el de v o su opuesto, según k sea positivo o negativo, respectivamente. 8

1,5v

0,5v8

–2v

0v = 0

–v8

El producto 0 v es igual al vector cero, 0. Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo es cero. Carece de dirección. 8

El vector –1v se designa por – v y se llama opuesto de v. 8

Las coordenadas del vector k v 8 se obtienen multiplicando por k las coorde8 8 nadas de v. Las coordenadas de 0 son (0, 0). Las coordenadas de – v son las 8 opuestas de las coordenadas de v.

Suma de vectores 8

Entrénate

1 a) Representa los vect vectores u = AB, 8 8 v = BC, siendo A(1, 3), B(4, 5), C(6, –2). Halla sus coordenadas. C 8

b) Representa u + v y halla sus coordenadas. 8

c) Representa 3 u , –2 u y 0 v y halla sus coordenadas. d) Representa y halla las coorde coorde8 8 nadas del vector 3 u – 4 v . 2 Representa y halla las coordenadas de los vectores: 8

8 q = – u + 1 v, 2

siendo u(3, –1) y v (–4, 2).

u 8

u+v 8

Las coordenadas del vector u + v se obtienen sumando las coordenadas de u 8 con las de v. Por ejemplo: 8

u(7, –3) , v(4, 5) 8 u + v = (7 + 4, –3 + 5) = (11, 2) –v8

Resta de vectores 8

Para restar dos vectores, u y v, se le suma a u el 8 opuesto de v: 8

u – v = u + (– v)

w = 2 u + v, p = u – v y

Para sumar dos vectores, u y v, se procede del si8 8 guiente modo: se sitúa v a continuación de u, de 8 manera que el origen de v coincida con el extremo 8 8 8 de u. La suma u + v es el vector cuyo origen es 8 8 el de u y extremo el de v.

u u8 – 8v 8

8 u

Las coordenadas del vector u – v se obtienen restándole a las coordenadas de 8 8 u las de v. Por ejemplo: 8

u(7, –3), v(4, 5) 8 u – v = (7 – 4, –3 – 5) = (3, –8) 85

Punto medio de un segmento y puntos alineados

Punto simétrico Si M es el punto medio de AB, se dice que B es el simétrico de A respecto de M.

A(x1, y1)

B(xx2, y2)

Si A(x1, y1) y B(xx2, y2), entonces las coordenadas del punto medio del segmento AB son: x +x y +y M = 1 2, 1 2 2 2

(

)

Las coordenadas del punto medio de un segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Por ejemplo, el punto medio del segmento de extremos A(–2, 1) y B(4, 3) es –2 + 4 1 + 3 M= , = (1, 2). 2 2

(

)

Comprobación de que tres puntos están alineados C x3, y3) C(

Los puntos A, B y C están alineados siempre que los vectores 8

B(xx2, y2)

Notación El símbolo // puesto entre dos vectores denota que son paralelos; es decir, que tienen la misma dirección.

AB y BC

tengan la misma dirección, y esto ocurre si sus coordenadas son proporcionales.

A(x1, y1) 8

A, B y C están alineados si AB // BC ; es decir, si las coordenadas del vector (xx2 – x1, y2 – y1) son proporcionales a las de (xx3 – x2, y3 – y2).

Ejercicio resuelto Comprobar si los puntos A(2, –1), B(6, 1), C(8, 2) están alineados. 8

Por tanto, AB // BC y los puntos están alineados.

Actividades 1 Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a) A(–2, 5), B(4, 1)

b) P(7, –3), Q(–5, 1)

a) A(4, –1), P(–7, 2)

c) R(1, 4), S(7, 2)

d) A(–3, 5), B(4, 0)

b) A(2, 4), P(5, –1)

2 Si conocemos el punto medio del segmento AB, M(4, 4), y uno de los extremos es A(7, 2), ¿cuáles M son las coordenadas de B?

3 Halla las coordenadas del punto simétrico de A respecto de P en los siguientes casos:

4 Comprueba si R(2, 7), S(5, –1) y T T(15, –25) están alineados. 5 Averigua el valor de a para que los puntos R(2, 7), S(5, –1) y Q Q(a, –25) estén alineados.

AB = (6 – 2, 1 – (–1)) = (4, 2) ° Las coordenadas son proporcionales, 8 ¢ BC = (8 – 6, 2 – 1) = (2, 1) £ pues 2 · (2, 1) = (4, 2).

UNIDAD

Ecuaciones de rectas. Paralelismo y perpendicularidad Una recta queda determinada por dos puntos. A partir de ellos, como ya sabey –y mos, se obtiene la pendiente, m = 2 1 , y, con ellos, la x2 – x 1 B(xx2, y2) ecuación de la recta: y = y1 + m(xx – x1)

r A(3, 7)

A(x1, y1) A 8

Por ejemplo, la recta r que pasa por A(3, 7) y B(8, –3) tiene como vector di8 rección a AB(5, –10) o cualquier otro vector paralelo a él, como el (1, –2). La pendiente de esta recta es: m = –3 – 7 = –10 = –2 8–3 5 Su ecuación es: y = 7 – 2(x – 3); es decir, y = –2x + 13

AB(5, AB (5, –10) (1, –2)

El vector AB que une los dos puntos se llama vector dirección de la recta.

B(8, –3)

Recuerda La pendiente de una recta dada por su ecuación es el coeficiente de la x cuando la y está despejada.

Vector dirección de una recta es cualquier vector paralelo a ella. Si A y B 8 son puntos de la recta, AB es un vector dirección de ella. 8 Si d(a, b) es un vector dirección de r, su pendiente es: m = b a

Ejercicios resueltos 8

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(–2, 3) y B(6, 7).

1. Un vector dirección es AB(8, 4). Otro vector dirección: d(2, 1) Pendiente: m = 1 . Ecuación: y = 3 + 1 (xx + 2) 8 y = 1 x + 4 2 2 2

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (5, –3) y tiene 8 por vector dirección d(3, 2).

2. Su pendiente es: m = 2 3

3. Hallar la ecuación de la recta paralela a r : 2xx + 5 5yy – 4 = 0 que pasa por:

3. Puesto que la rectas que nos piden son paralelas a r (tienen su misma pendiente), empezamos hallando la pendiente de r. Para ello, despejamos la y y nos fijamos en el coeficiente de la x: 2xx + 55yy – 4 = 0 8 y = – 2 x + 4 Pendiente: m = – 2 5 5 5 2 2 a) Pasa por (0, 0) y su pendiente es – 8 y = – x 5 5 b) Pasa por (4, –3) y su pendiente es – 2 8 y = –3 – 2 (xx – 4) 5 5

a) (0, 0)

b)(4, –3)

Su ecuación es: y = –3 + 2 (xx – 5) 3

Actividades 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) A(1, 3), B(5, 5)

b) A(1, 6), B(8, –2)

2 Halla la ecuación de la recta que pasa por (7, –5) y tiene por vector dirección (7, –4). –

3 Halla la recta paralela a 5xx – 66yy + 14 = 0 que pasa por (0, –3). 4 Halla la recta paralela a 55yy – 10 = 0 que pasa por (2, 4).

Vector perpendicular a otro 8

(–2, 5) 8

v2 b

(5, 2)

v1 a

Los vectores v 1(5, 2) y v 2(–2, 5) son perpendiculares. Se justifica observando, en la gráfica del margen, que los dos triángulos sombreados son iguales y, por tanto, a + b = 90˚. En general: Los vectores de coordenadas (a, b) y (– b, a) son perpendiculares.

Recta perpendicular a otra 8

Un vector dirección de una recta r1 es d 1 = (a, b).

Si r2 es perpendicular a r1, un vector dirección de r2 es d 2 = (–b, a). Las pendientes de r1 y r2 son, respectivamente, m1 = b y m2 = –a . a b b –a El producto de sus pendientes es –1: m1 · m2 = · = –1 a b Las pendientes, m1 y m2, de dos rectas perpendiculares se relacionan así: m1 · m2 = –1 o, lo que es lo mismo, m2 = – 1 m1

Ejercicios resueltos 1. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(4, 7) y es perpendicu8 lar al vector v(3, –5). 8

v (2, 3) (3, –2) (6, –4 –4))

2. Obtener varios vectores perpendiculares a v(2, 3). 8

(–3, 2) es perpendicular a v. También lo son (3, –2), (–6, 4), (6, –4)... 3. Dar la ecuación de la recta rr, perpendicular a s : 5xx – 3 3yy + 15 = 0, que pasa por (–7, 2). Pendiente de s: y = 5 x + 5 8 m1 = 5 3 3 Pendiente de r : m2 = – 1 = – 3 m1 5 3 Ecuación de r : y = 2 – (xx + 7) 8 y = – 3 x – 11 5 5 5

Actividades 5 Da tres vectores perpendiculares a (– 6, 1). 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P P(2, –5) y 8 es perpendicular al vector v(5, 7).

7 La recta r pasa por (3, 0), y la recta s, por (–5, 3). Ambas son perpendiculares a 4x + 22yy – 7 = 0. Halla sus ecuaciones.

(–6, (– 6, 4) (–3, 2)

El vector d(5, 3) es perpendicular a v y, por tanto, es un vector dirección de r. La pendiente de r es m = 3 . Su ecuación es: 5 3 y = 7 + (xx – 4) 8 y = 3 x + 23 5 5 5

UNIDAD

Rectas paralelas a los ejes coordenados Rectas paralelas al eje X

No lo olvides Vector dirección de la recta y = k es (a, 0). Vector dirección de la recta x = k es (0, a).

Como sabes, la función constante, y = k, se representa mediante una recta paralela al eje X y, por tanto, de pendiente 0. Vectores dirección de estas rectas son (a, 0) para cualquier valor de a distinto de 0.

y=k

Rectas paralelas al eje Y Análogamente, las ecuaciones x = k se representan mediante rectas paralelas al eje Y Y. (Sin embargo, estas rectas no son la representación de funciones, porque a un valor de x, el k, le corresponden más de uno –¡todos!– los valores de Y ).

y=k

Vectores dirección de las rectas x = k son (0, a) para a ≠ 0.

Ejercicios resueltos

7 y = –— 3

1. Dar varios vectores paralelos y varios perpendiculares a la recta de ecuación 3 3yy + 7 = 0. Representarla. 3y + 7 = 0 8 y = – 7 3y 3 Vectores paralelos: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), ... Vectores perpendiculares: (0, 1), (0, 2), (0, –1), ...

2 x=— 5

2. Representar la recta 5xx – 2 = 0 y dar varios vectores paralelos y varios perpendiculares a ella. 5xx – 2 = 0 8 x = 2 5 Vectores paralelos: (0, 1), (0, 2), (0, –1), ... Vectores perpendiculares: (1, 0), (2, 0), (–1, 0), ...

(–3, 8)

y=8 7 x=— 2

3. Dar la ecuación de la recta rr, perpendicular a 2x – 7 = 0, que pasa por (–3, 8). 2xx – 7 = 0 8 x = 7 es paralela al eje Y. Y 2 Por tanto, la recta r es paralela al eje X: X y = k. Como r pasa por (–3, 8), su ecuación es y = 8.

Actividades 1 Representa r y s y da tres vectores paralelos y tres perpendiculares a ellas: r: 5xx – 7 = 0 s:: 3 + 44yy = 0

2 Las rectas r y s pasan por el punto (5, –3). r es paralela a 55yy + 17 = 0, y s es perpendicular a ella. Representa r y s y da sus ecuaciones.

Posiciones relativas de dos rectas Gráficamente, dos rectas pueden cortarse o no. Si no se cortan, son paralelas. Pero si las rectas vienen dadas por sus ecuaciones, es posible que se dé un tercer caso: que sean la misma recta y, al mostrar distinto aspecto algebraico, no se aprecie a simple vista. Para averiguar la posición relativa de dos rectas dadas por sus ecuaciones, se resuelve el sistema formado por ellas.

Ejercicio resuelto Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r: 5xx – 4 4yy + 10 = 0 s: y = 2x + 1 b)rr pasa por (2, –1) y (8, 2). s pasa por (2, 5) y su pendiente es –1. c) r pasa por (3, 8) y (8, 3). s: x + y = 11 d)r pasa por (2, 4) y (4, 7). s: y = 3 x – 2 2

° 5xx – 44yy + 10 = 0 a) ¢ 8 5xx – 4(2x + 1) + 10 = 0 8 £ y = 2x + 1 8 5xx – 8x – 4 + 10 = 0 8 –3xx + 6 = 0 8 x = 2

s r (2, 5)

y=2·2+1=5 8 y=5 Las rectas se cortan en el punto (2, 5). b) Un vector dirección de r es (8, 2) – (2, –1) = (6, 3) // (2, 1). Su pendiente es, por tanto, m = 1/2. r: y = – 1 + 1 (xx – 2) 8 y = 1 x – 2 2 2 s s: y = –(x – 2) + 5 °y = 1 x – 2 § 2 ¢ § y = –x + 7 £

Resolviendo el sistema se obtiene el punto de corte, (6, 1).

(6, 1)

c) Un vector dirección de r es (8, 3) – (3, 8) = (5, –5) // (1, –1). Su pendiente es, por tanto, m = –1. r: y = 8 – (x – 3) 8 y = ––xx + 11 8 x + y = 11 d) Un vector dirección de r es (4, 7) – (2, 4) = (2, 3). Pendiente, m = 3/2. r s r: y = 4 + 3 (xx – 2) 8 y = 3 x + 1 2 2 r es paralela a s porque tienen la misma pendiente, 3/2, pero distintas ordenadas en el origen: 1 y –2, respectivamente.

Actividades 1 Di la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r : 8xx + 2 2yy – 14 = 0, s: 5xx – y – 20 = 0 b) r : 3xx – 2 2yy – 14 = 0 s: pasa por (1, –2) y por (10, 1).

c) r : pasa por (–1, 4) y (7, –2). s: 3xx + 4y 4y = 0 d) r : pasa por (2, –1) y (8, 2). s: su pendiente es 1 y pasa por (0, –2). 2

r y s son la misma recta.

UNIDAD

Distancia entre dos puntos Si dos puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada, hallar su distancia es muy fácil. Por ejemplo, en el gráfico:

A C

dist(A ( ,B (A B) = 6;

O bien, mediante sus coordenadas: dist[(3, –1), (3, 11)] = 11 – (–1) = 12

dist [(4, 7), (1, 7)] = 4 – 1 = 3 B(xx2, y2)

y2 A(x1, y1)

dist(C, C D) = 5 (basta con contar cuadritos) C,

y2 – y1 x2 – x1

Para dos puntos cualesquiera, A(x1, y1), B(xx2, y2), su distancia se obtiene ha8 llando el módulo del vector AB. 8

(y2 – y1)2 dist(A ( ,B (A B) = | AB | = √(xx2 – x1)2 + (y Esta fórmula también es válida si los puntos tienen la misma abscisa o la misma ordenada.

Ejercicios resueltos 1. Calcular los lados del triángulo de vértices A(–2, 2), B(1, 6), C(6, –6).

1. | AB | = √(1 + 2)2 + (6 – 2)2 = √32 + 42 = 5 8

|BC | 8

| AC |

B c

= √(6 – 1)2 + (–6 – 6)2 = √52 + 122 = 13 = √(6 + 2)2 + (–6 – 2)2 = √82 + 82 = 11,31

a b

2. a) Hallar las longitudes de los lados del cuadrilatero cuyos vértices son A(2, 1), B(4, 6), C(–1, 4) y D(–3, –1). C b) Probar que es un rombo. © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

c) Calcular su área.

2. a) | AB | = √(4 – 2)2 + (6 – 1)2 = √22 + 52 = √29 8

| BC|

= √(–1 – 4)2 + (4 – 6)2 = √25 + 4 = √29

| CD |

= √(–3 + 1)2 + (–1 – 4)2 = √4 + 25 = √29

| AD |

= √(–3 – 2)2 + (–1 – 1)2 = √25 + 4 = √29

8 8

b) Comparamos las coordenadas de AB y DC: DC 8

AB = (4, 6) – (2, 1) = (2, 5) DC = (–1, 4) – (–3, –1) = (2, 5) El cuadrilátero tiene los lados iguales y paralelos dos a dos. Es un rombo. c) Calculamos su diagonales: 8

d = |AB| = √(–1 – 2)2 + (4 – 1)2 =√18; d' = |DB | = √(4 + 3)2 + (6 + 1)2 = √98 Área = d · d' = √18 · √98 = 42 = 21 u2 2 2 2

Actividades 1 Halla la distancia entre A y B . a) A(–7, 4), B (6, 4) b) A(3, 4), B(3, 9) c) A(–5, 11), B(0, –1) d) A(4, –6), B(7, 4)

2 Aplica el teorema de Pitágoras para comprobar que el triángulo de vértices A(–2, 3), B(3, 1) y C C(5, 6) es rectángulo. ¿Es también isósceles?

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

Rectas

Vectores y puntos

Dados los puntos A(–2, 0), B(0, 4), C(5, 2) y D(3, –4) halla las coordenadas de los C 8 8 8 8 8 8 vectores AB, BC, BC CD, DA, AC y BD.

a) Pasa por (–4, 2) y su pendiente es 1 . 2 b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.

Con origen en el punto A(3, –3), dibuja los 8 8 8 vectores AB(–3, 2), AC AC(5, 1) y AD(1/2, –4). ¿Cuáles serán las coordenadas de los puntos B, C y D?

c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.

a) Di cuáles son las coorcoor 8 8 denadas de los vectores u y v. 8

8 u

b) A(0, –2), B(5, –2)

c) A(–2, 3), B(4, –1)

Dados los vectores u(4, –2) y v(–2, –1): 8 8 8 8 8 a) Representa los vectores u + v; u – v; 1 u y 8 2 –3 v y halla sus coordenadas. b) Calcula las coordenadas de este vector: 8 8 8 w = 2 u + 3 v

a) d(2, –1) 12

c) d(2, 0)

Halla la ecuación de las siguientes rectas:

c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3). 13

Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que 8 pasa por P P(3, –2) y es perpendicular al vector v: 8

a) v(2, 1) 14

b) v(–5, 4)

c) v(–1, 0)

Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto P en los siguientes casos: a) r: y = –2x + 3; P(–3, 2) b) r: 3xx – 22yy + 1 = 0; P(4, –1)

b) d(–1, –3)

b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).

Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que 8 pasa por P P(– (–4, 3) y tiene por vector dirección d: (–

a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).

a) Representa los puntos A(–3, 0), B(0, 4), C(4, 4) y D(1, 0) y halla el punto medio de AC C y de BD. 8 8 b) Halla las coordenadas de AB y DC y comprueba que son las mismas. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados y de las diagonales del cuadrilátero ABCD.

Da, en cada caso, un vector dirección, la penpen diente y la ecuación de la recta que pasa por A y B: a) A(–1, 0), B(0, 3)

b) Dibuja los vectores u + v y u – v y di cuáles son sus coordenadas. 4

Si M(–3, 5) es el punto medio del segmento AB, halla el punto B en cada uno de los siguientes casos: a) A (–1, 5) b) A(6, –4) c) A(–4, –7) Halla, en cada caso, el punto simétrico de A(–3, –5) respecto de: a) P(–2, 0) b) Q(2, –3) c) O(0, 0)

c) r: x = 3; P(0, 4) 15

Halla el punto de intersección de las rectas r y s en los casos siguientes: °r: 3xx – 55yy + 17 = 0 a) ¢ £ s: 7xx + 33yy – 63 = 0

°r: 3xx – 22yy + 9 = 0 b) ¢ £ s: x – 22yy + 5 = 0

Representa las rectas 3xx + 6 = 0 y 22yy – 5 = 0 y halla su punto de intersección.

Escribe la ecuación de las siguientes rectas:

UNIDAD

Distancias 17

a) P P(3, 5), Q(3, –7)

b) P P(–8, 3), Q(–6, 1)

c) P P(0, –3), Q(–5, 1)

d) P P(–3, 0), Q(15, 0)

a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(–2, 0), B(6, 4).

Comprueba que el triángulo de vértices A(–1, 0), B(3, 2), C C(7, 4) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales?

Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices A(–2, –1), B(3, 1), C C(1, 6) es rectángulo.

■ Aplica lo aprendido

Calcula m para que los puntos R(5, –2), S(–1, 1) y T(2, T m) estén alineados.

Comprueba si los puntos A(18, 15) y B(–43, –5) pertenecen a la recta x – 33yy + 27 = 0.

Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (4, –3) en los siguientes casos: a) r : 2xx + 7 = 0 b) r : ––yy + 4 = 0

Estudia si las rectas r y s son paralelas o perpendiculares: r: 3xx – 55yy + 15 = 0 s: pasa por (–2, –3) y (8, 3).

Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas:

Averigua el valor de k para que se cumpla:

(

Comprueba, en cada caso, que los puntos dados están alineados: a) A (1, 2), B(4, 3), C(19, 8) b) P (–2, –3), Q(2, 0), R(–26, –21)

Calcula la distancia entre P y Q: Q

b) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos es la misma.

)

6 , –2 = k(–3, 5) 5 8

°r: 5xx – 44yy + 8 = 0 b) ¢ £s: A(4, 7), B(0, 2)

Halla la ecuación de la recta perpendicular a AB en su punto medio, siendo A(–5, 3) y B(2, 7).

Comprueba que el cuadrilátero de vértices A(1, 5), B(5, 1), C (–4, –3) y D(–8, 1) es un paralelogramo. Para ello, prueba que los puntos medios de sus diagonales coinciden.

Dados los vectores u(3, 2), v(x, 5) y w(8, y), y y), 8 8 8 calcula x e y para que se verifique: 2u – v = w

Dados los vectores u(5, –3), v(1, 3) y w(2, 0), calcula el valor de m y n para que se verifique: 8 8 8 u = mv + n w

°r: 2xx – 55yy + 3 = 0 a) ¢ £s: P(3, 1), Q(–2, 3)

Autoevaluación ¿Sabes hallar el punto medio de un segmento y el simétrico de un punto respecto de otro? ¿Y comprobar si tres puntos están alineados? 1 Representa los puntos A(–5, 0), B(0, 2), C C(3, 7) y D(–2, 5) y comprueba analíticamente que el punto medio de AC coincide con el punto medio de BD. 2 Halla el simétrico de P(–7, –15) respecto de M(2, 0). 3 Comprueba si los puntos A(1, –5), B(3, 0) y C(6, 6) están alineados. ¿Sabes calcular la distancia entre dos puntos? 4 Calcula la longitud de los lados del triángulo de vértices A(– 4, 1), B(6, 3) y C(–2, –3).

¿Obtienes con soltura la ecuación de una recta dada de diferentes formas? 5 Obtén la ecuación de las rectas r y s tales que: r pasa por (–3, 2) y es perpendicular a 8x – 3 3yy + 6 = 0. s pasa por (9, –5/2) y es paralela a 2x + y – 7 = 0. ¿Reconoces, sin representarlas, si dos rectas son paralelas o perpendiculares? 6 Estudia la posición relativa de estas rectas: 1 r : 2xx + y – 2 = 0 s: x + y = 1 2 ¿Obtienes con agilidad el punto de corte de dos rectas? 7 Halla el punto de intersección de las siguientes rectas: 3xx + 8 8yy – 7 = 0 y 4x + 2 2yy – 31 = 0

Estadística

En el desarrollo histórico de la Estadística se pueden distinguir tres grandes etapas. Censos. Desde la Antigüedad y hasta el siglo xvi. Solo se realizan recogidas de datos y, a lo sumo, una exposición ordenada y clara de estos. Análisis de datos. Abarca los siglos xvii, xviii y xix. Se supera lo meramente descriptivo y los datos pasan a ser analizados científicamente con el fin de extraer conclusiones. Se suele considerar que esta etapa comienza con los trabajos de John Graunt (s. xvii), quien utilizó archivos parroquiales para realizar un profundo estudio de los nacimientos y las defunciones en Londres durante 30 años: anotó el sexo de cada nacido, las enfermedades de los fallecidos y otras muchas variables. Con ello pudo extraer conclusiones válidas para el futuro e inauguró, así, la Estadística Demográfica. Algo más tarde, el profesor Neumann (s. xvii) comenzó a utilizar métodos con los que elaboró estadísticas muy minuciosas y así, por ejemplo, consiguió demostrar la falsedad de la creencia popular de que en los años terminados en 7 morían más personas. Sus métodos sirvieron de base para elaborar las tablas de mortalidad utilizadas por las compañías de seguros.

También es destacable el trabajo de Quételet (s. xix), el primero en aplicar la estadística a las Ciencias Sociales, para lo que se valió de la probabilidad. Estadística inferencial. Se inicia a finales del xix. La esencia de esta rama de la Estadística es que a partir de una muestra se extraen conclusiones válidas para toda una población. Para ello, se echa mano de la alta matemática. Son figuras destacadas en este campo Ronald Fisher y Karl Pearson. DEBERÁS RECORDAR ■ Algunos conceptos básicos de estadística: población, muestra, variable, ...

Dos ramas de la estadística

Recuerda Población. Es el conjunto de todos los elementos cuyo conocimiento nos interesa y que serán objeto de nuestro estudio. Muestra es un subconjunto extraído de la población, cuyo estudio sirve para inferir características de toda la población. Individuo es cada uno de los elementos que forman la población o la muestra. Caracteres son los aspectos que deseamos estudiar en los individuos de una población. Cada carácter puede tomar distintos valores o modalidades. Una variable estadística recorre todos los valores de un cierto carácter. Las variables estadísticas pueden ser: Cuantitativas si toman valores numéricos. • discretas: solo toman valores aislados. • continuas: pueden tomar cualquier valor de un intervalo. Cualitativas si toman valores no numéricos.

La estadística tiene por objeto el desarrollo de técnicas para el conocimiento numérico de un conjunto de datos empíricos (recogidos mediante experimentos o encuestas). Según el colectivo a partir del cual se obtenga la información y el objetivo que se persiga a la hora de analizar esos datos, la estadística se llama descriptiva o inferencial.

Estadística descriptiva La estadística descriptiva trata de describir y analizar algunos caracteres de los individuos de un grupo dado (población) sin extraer conclusiones para un grupo mayor. Para este estudio, se dan los siguientes pasos: 1. Selección de los caracteres que interesa estudiar. 2. Análisis de cada carácter: diseño y realización de una encuesta o de un experimento y recogida de datos. 3. Clasificación y organización de los resultados en tablas de frecuencias. 4. Elaboración de gráficos, si conviene para divulgarlos a un público amplio (no expertos). 5. Obtención de parámetros: valores numéricos que resumen la información obtenida. ▼ ejemplo

Supongamos que por orden del rector, un funcionario de una universidad organiza, tabula, representa gráficamente y obtiene parámetros de algunos caracteres de todos los alumnos (por ejemplo: edades, resultados académicos) para compararlos con estudios similares hechos en años anteriores. Este estudio es estadística descriptiva, pues se realiza sobre la totalidad de la población.

Estadística inferencial

Se estudia el corportamiento de una variable en una muestra.

Se infiere el comportamiento de esa variable en la población.

La estadística inferencial trabaja con muestras y pretende, a partir de ellas, “inferir” características de toda la población. Es decir, se pretende tomar como generales propiedades que solo se han verificado para casos particulares. En ese proceso hay que operar con mucha cautela: ¿Cómo se elige la muestra? ¿Qué grado de confianza se puede tener en el resultado obtenido? ▼ ejemplo

Una editorial realiza una encuesta a 387 alumnos de una universidad sobre sus preferencias en la lectura, con el fin de extraer consecuencias válidas para todos los universitarios. Esto es estadística inferencial, pues, a partir de una muestra, se desea obtener información sobre algún aspecto de la población.

UNIDAD

Tablas de frecuencias T la recogida de datos, la elaboración de una tabla de frecuencias es el siguienTras te paso. Cuando la variable toma pocos valores, la elaboración de la tabla es sumamente sencilla. No hay más que hacer el recuento de los resultados.

Tabla con datos agrupados Cuando en una distribución estadística el número de valores que toma la variable es muy grande, conviene elaborar una tabla de frecuencias agrupándolos en intervalos. Para ello: a

r=b–a

1. Se localizan los valores extremos, a y b, y se halla su diferencia, r = b – a (recorrido). 2. Se decide el número de intervalos que se quiere formar, teniendo en cuenta la cantidad de datos que se poseen. El número de intervalos no debe ser inferior a 6 ni superior a 15.

r' > b – a

3. Se toma un intervalo, r', de longitud algo mayor que el recorrido r y que sea múltiplo del número de intervalos, con objeto de que estos tengan una longitud entera. No lo olvides Cuando se elabora una tabla con datos agrupados, se pierde algo de información (pues en ella se ignora cada valor concreto, que se difumina dentro de un intervalo). A cambio, se gana en claridad y eficacia.

4. Se forman los intervalos, de modo que el extremo inferior del primero sea algo menor que a y el extremo superior del último sea algo mayor que b. Es deseable que los extremos de los intervalos no coincidan con ninguno de los datos. Para ello, conviene que los extremos de los intervalos tengan una cifra decimal más que los datos. El punto medio de cada intervalo se llama marca de clase. Es el valor que representa a todo el intervalo para el cálculo de algunos parámetros.

Ejercicio resuelto Elaborar una tabla de frecuencias con las estaturas de 40 adolescentes: 168 167 178 162 160 161 170 165

160 168 166 165 165 162 165 173

167 158 158 163 154 166 150 164

175 149 163 156 163 163 167 169

175 160 171 174 165 159 164 170

1. Valores extremos: a = 149, b = 178. Recorrido: r = 178 – 149 = 29. 2. Tomaremos solo 6 intervalos. Un múltiplo de 6 mayor que 29 y próximo a él es 30. Longitud de cada intervalo: 5. 3. Formamos los intervalos comenzando por un número algo menor que a = 149 y terminando en un número algo mayor que b = 178. 4. Repartimos los datos en los intervalos: intervalos

148,5-153,5 153,5-158,5 158,5-163,5 163,5-168,5 168,5-173,5 173,5-178,5

m. de clase

151

156

161

166

171

176

frecuencias

Actividades 1 Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 10 intervalos con el mismo recorrido total.

2 Reparte los cuarenta datos del ejercicio resuelto anterior en 8 intervalos. Para ello, toma r' = 32.

Parámetros estadísticos: x– y q xi

x1 x2 . . . xn

f1 f2 . . . fn

La tabla de frecuencias de la izquierda puede corresponder a: • Una distribución de datos aislados que toma los valores x1, x2, … xn. • Una distribución de datos agrupados en intervalos, de los cuales x1, x2, … xn son las marcas de clase. En el primer caso, la tabla refleja exactamente la distribución real. En el segundo, la tabla es una buena aproximación a la realidad.

puntuaciones en un test xi

fi xi

0 1 2 3 4 5

12 31 86 92 48 19

0 31 172 276 192 95

288

766

Recordemos cómo se obtienen los parámetros a partir de una tabla: –

■ Media: x =

S fi xi S fi

Sf fi xi 8 suma de todos los datos S S fi = N 8 n.° total de individuos Sf

Por ejemplo, en la distribución que tenemos en el margen: Sffi = 288. Hay 288 individuos (que han realizado el test). Sffi xi = 766. Es la suma de las puntuaciones de todos los individuos. La media es x– = 766/288 = 2,66. ( i – x– )2 S fi (x ■ Varianza: Var = N

o bien Var =

S fi xi2 – 2 –x N

Las dos expresiones coinciden. — En la primera de ellas, se ve claro el significado de la varianza: promedio de los cuadrados de las desviaciones a la media. fi

fi xi

fi xi2

0 1 2 3 4 5

12 31 86 92 48 19

0 31 172 276 192 95

0 31 344 828 768 475

288

766

2 446

— La segunda es más cómoda para los cálculos, como se puede apreciar en el ejemplo (tabla del margen): Var = 2 446 – 2,662 = 1,42 288 ■ Desviación típica: q = √varianza La desviación típica es un parámetro más razonable que la varianza, pues se expresa en la misma magnitud que los datos y que la media (por ejemplo, si los datos vienen en centímetros, la desviación típica viene en centímetros; sin embargo, la varianza se daría en centímetros cuadrados). En el ejemplo: q = √1,42 = 1,19 ■ Coeficiente de variación: C.V. = q– x El coeficiente de variación sirve para comparar las dispersiones de población heterogéneas, pues indica la variación relativa. En el ejemplo: C.V. = 1,19 = 0,447. O bien 44,7%. 2,66

UNIDAD

Ejercicio resuelto Calcular x–, q y C.V. en la siguiente distribución: distribución de pesos (en

kg)

intervalos

frecuencias

42,5-53,5 53,5-64,5 64,5-75,5 75,5-86,5 86,5-97,5 97,5-108,5

4 19 86 72 41 7

Empezamos sustituyendo los intervalos por sus marcas de clase: fi xi2

fi xi

48 59 70 81 92 103

4 19 86 72 41 7

192 1 121 6 020 5 832 3 772 721

9 216 66 139 421 400 472 392 347 024 74 263

229

17 658

1 390 434

N = Sffi = 229 Sffi xi = 17 658 Sffi xi2 = 1 390 434

Los números de la 3.a columna, fi xi , se obtienen multiplicando los números de las columnas anteriores (xxi · fi = fi xi). Por ejemplo, 59 · 19 = 1 121. Análogamente, los de la 4.a columna se obtienen multiplicando los de la 1.a por los de la 3.a (xi · fi xi = fi xi2). Por ejemplo, 59 · 1 121 = 66 139. Con las sumas de las columnas de la tabla, obtenemos los parámetros: Sff x media: x– = i i = 17 658 = 77,1 kg Sffi 229 desviación típica: q =

√

Sffi xi2 – 2 –x = Sffi

√ 1 390229434 – 77,1 = 11,2 kg 2

coef. de variación: C.V. = q = 11,2 = 0,145 = 14,5% x– 77,1 con calculadora

1. Preparamos la calculadora para que trabaje en el modo sd. 2. Borramos los datos que pudiera haber acumulados de otras ocasiones: I A

3. Introducimos los datos:

4. Resultados obtenidos: n.º de individuos Sfi suma de valores Sfi xi suma de cuadrados Sfi x i2 media x– desv. típica q

48 * 4 D 59 * 19 D … 103 * 7 D

n æ Æ X g

8 8 8 8 8

{∫∫∫∫∫∫∫∫∫““£} {∫∫∫∫∫∫∫‘|\∞°} {∫∫∫∫∫‘«£≠¢«¢} {∫||…‘≠£‘|≠«‘} {∫‘‘…“““«≠‘«“}

Actividades 1 Halla, manualmente y con calculadora, x–, q y C.V. en la tabla obtenida en el ejercicio resuelto de la página 97: xi fi

151 156 161 166 171 176 2 4 11 14 5 4

2 Halla, manualmente y con calculadora, x–, q y C.V. en la distribución de los ejercicios 1 y 2 de la página 97. Compara los resultados entre sí y con los del ejercicio 1 de esta página.

Medidas de posición ■ Mediana Si los individuos de una población están colocados en orden creciente según la variable que estudiamos, el que ocupa el valor central se llama individuo mediano, y su valor, la mediana. La mediana, Me, está situada de modo que antes de ella está el 50% de la población, y detrás, el otro 50%.

Por ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15 8 mediana: Me = 8

7 Me

Si el número de individuos es par, la mediana es el valor medio de los dos centrales. Por ejemplo: 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 15, 16 8 Me = 8,5 ■ Cuartiles Si en lugar de partir la totalidad de los individuos en dos mitades, lo hacemos en cuatro partes iguales (todas ellas con el mismo número de individuos), los dos nuevos puntos de separación se llaman cuartiles.

7 Q1

7 Me

Cuartil inferior, Q1, es un valor de la variable que deja por debajo de él al 25% de la población, y por encima, al 75%.

7 Q3

El cuartil superior, Q3 , deja debajo al 75% y encima al 25%. Se designan por Q1 y Q3, porque la mediana sería el Q2. Por ejemplo, en la distribución

Ten en cuenta En general, las cosas no son tan fáciles como en este ejemplo. Obsérvalo en el ejercicio resuelto.

1, 2, 2 , 123 3, 4, 5 , 123 5, 5, 6 , 8, 9, 10 123 123 25% 7 25% 7 25% 7 25% Q1 Me Q3 estos parámetros toman los valores siguientes: Q1 = 2,5; Me = 5; Q3 = 7

Ejercicio resuelto Calcular Me, Q1 y Q3 en la distribución: 1 1 2 3 4 4 5 5 5 5 6 7 7 7 8 9 10

Hay 17 individuos. 17/2 = 8,5 8 La Me es el valor del individuo 9.°, Me = 5. 17/4 = 4,25

8 (5.° lugar) Q1 = 4

17 · (3/4) = 12,75

8 (13.° lugar) Q3 = 7

Actividades 1 Calcula Me, Q1 y Q3 en la siguiente distribución, cuyos datos están dados ordenadamente: 00111 22222 23333 33444 444 55 55555 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 10 10

100

Mediana y cuartiles se llaman medidas de posición.

UNIDAD

Diagramas de caja Observa la siguiente forma de representar distribuciones estadísticas. ESCAL ESCALA

DIAGRAMA DE CAJA

Este diagrama se llama también de caja y bigotes.

25%

25% Q1

25% Me

25% Q3

La gráfica corresponde a la distribución de notas en un cierto examen. En la parte alta se ha puesto la escala sobre la que se mueve la variable. Debajo se pone el diagrama propiamente dicho, que consiste en lo siguiente: — La población total se parte en cuatro trozos, cada uno de ellos con el 25% de los individuos, previamente ordenados de menor a mayor. — El 50% de los valores centrales se destacan mediante un rectángulo (caja). — Los valores extremos (el 25% de los menores y el 25% de los mayores) se representan mediante sendos segmentos (bigotes). Los puntos que separan los cuatro trozos son, obviamente, los cuartiles y la mediana (Q1, Me, Q3). Los diagramas de caja (o caja y bigotes) se construyen del siguiente modo: • La caja abarca el intervalo Q1, Q3 (llamado recorrido intercuartílico) y en ella se señala expresamente el valor de la mediana, Me.

Me Q3

• Los bigotes se trazan hasta abarcar la totalidad de los individuos, con la condición de que cada lado no se alargue más de una vez y media la longitud de la caja.

Me Q3

• Si uno (o más) de los individuos quedara por debajo o por arriba de esa longitud, el correspondiente lado del bigote se dibujaría con esa limitación y se añadiría, mediante asterisco, el individuo en el lugar que le corresponda. Por ejemplo: * Q1

La longitud de este lado del bigote es 1,5 veces la de la caja. En este lado no está incluido el individuo extremo que se representa mediante un asterisco. 101

101

Problemas resueltos 1. Representar, mediante un diagrama de caja, la siguiente distribución. 00011 22222 33333 44444

11111 22222 33334 44555

1. Tenemos 40 individuos. 40 : 2 = 20 8 La mediana será el valor intermedio entre los individuos 20.° y 21.°. Esto es: Me = 2,5. 40 : 4 = 10 8 El cuartil inferior será el valor intermedio entre los individuos 10.° y 11.°: Q1 = 1,5. Y, de la misma manera: Q3 = 4. 0

La longitud de la caja es 4 – 1,5 = 2,5. Los bigotes recogen al resto de la distribución. No hay individuo excepcionales.

149 158 161 163 166 168 170 173

150 159 162 163 166 168 170 174

154 160 162 164 167 168 170 175

156 160 163 165 167 169 171 175

157 160 163 166 167 169 172 189

Representar la distribución mediante un diagrama de caja.

2. Puesto que el número de individuos es múltiplo de cuatro, Q1, Me y Q3 serán los valores que hay entre los individuos 10.° y 11.°, entre 20.° y 21.°, entre 30.° y 31.°, respectivamente. Es decir, Q1 = 160,5 150

Me = 166

160

170

Q3 = 169,5 180

* La longitud de la caja es 169,5 – 160,5 = 9. Una vez y media esta longitud es 1,5 · 9 = 13,5. El altísimo estudiante que mide 189 cm se separa del extremo superior de la caja 189 – 169,5 = 19,5. Esa distancia es mayor que una vez y media la longitud de la caja. Por eso, hemos puesto a la derecha un bigote de longitud 13,5 y hemos añadido un asterisco que señala la situación del individuo excepcional.

Actividades 1 Representa mediante diagramas de caja y bigotes las siguientes distribuciones: a) 1 1 2 3 4 4 5 5

b) 1 2 2 3 3

34444

455 5 5

5 6 7 7 7 8 9 10

55555

66666

666 7 7

77777

77888

8 9 9 10 10

102

190

2. Las estaturas de los 40 alumnos y alumnas de una clase son, dadas ordenadamente:

UNIDAD

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica Tablas de frecuencias 1

En una maternidad se han tomado los pesos (en kilogramos) de 50 recién nacidos: 2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3 3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9 2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9 2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7 2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3 a) ¿Cuál es la variable y de qué tipo es? b) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de 1,65 a 4,05. c) Representa gráficamente esta distribución. A un grupo de 30 personas se les ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo cardíaco) obteniéndose los siguientes resultados: 87 85 61 51 64 75 80 70 69 82 80 79 82 74 92 76 72 73 63 65 67 71 88 76 68 73 70 76 71 86 Representa gráficamente esta distribución agrupando los datos en 6 intervalos (desde 50,5 a 92,5).

Medidas de posición 8

a) El 75% tiene una aptitud superior o igual a ——. b) El 25% tiene una aptitud superior o igual a ——. c) El ——% tiene una aptitud igual o menor a 46 puntos. d) El ——% tiene una aptitud superior o igual a 46 e inferior o igual a 67. e) El ——% tiene una aptitud superior o igual a 31 e inferior o igual a 67. 9

182183 177 179 176 184 158 Calcula la mediana y los cuartiles y explica el significado de estos parámetros.

4 fi

0 1 2 3 4 5

12 9 7 6 3 3

0 1 2 3 4 5 6

1 5 6 7 4 4 3

La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una misma clase es: 150169 171 172 172 175 181

Halla la media, la desviación típica y el coeficiente de variación en las siguientes distribuciones: xi

La mediana y los cuartiles de la distribución de “Aptitud para la música” (escala 1-100) en un colectivo de personas son Q1 = 31, Me = 46 y Q3 = 67. Copia y completa las siguientes afirmaciones:

Media, desviación típica y C.V.

Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100 000 euros y una desviación típica de 12 500 euros. En otra empresa B, la media es 15 000 euros, y la desviación típica, 2 500 euros. Calcula el coeficiente de variación y di cuál de las dos tiene más variación relativa.

Calcula la mediana y los cuartiles de la siguiente distribución: xi fi

6 intervalo

intervalo

1,65-2,05 2,05-2,45 2,45-2,85 2,85-3,25 3,25-3,65 3,65-4,05

4 5 13 17 8 3

50,5-57,5 57,5-64,5 64,5-71,5 71,5-78,5 78,5-85,5 85,5-92,5

1 3 8 8 6 4

0 12

1 9

2 7

3 6

4 3

5 3

Halla la mediana, los cuartiles y el percentil 60 en cada una de las siguientes distribuciones, correspondientes a las notas obtenidas en un test que han hecho dos grupos de estudiantes: A: 25 – 22 – 27 – 30 – 23 – 22 – 31 – 18 24 – 25 – 32 – 35 – 20 – 28 – 30 B: 27 – 32 – 19 – 22 – 25 – 30 – 21 29 – 23 – 31 – 21 – 20 – 18 – 27

103

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Diagramas de caja

una muestra de 200 individuos. Di si te parece válido cada uno de los siguientes modos de seleccionarlos y explica por qué. a) Se le pregunta al alcalde, que conoce a todo el pueblo, qué individuos le parecen más representativos. b) Se eligen 200 personas al azar entre las que acuden a la verbena el día del patrón. c) Se seleccionan al azar en la guía telefónica y se les encuesta por teléfono. d) Se acude a las listas electorales y se seleccionan al azar 200 de ellos.

Haz el diagrama de caja correspondiente a las siguientes distribuciones. 12

La del ejercicio 8.

La del ejercicio 9.

La A y la B del ejercicio 10.

Muestreo 15

Se quieren realizar los siguientes estudios: III. Tipo de transporte que utilizan los vecinos de un barrio para acudir a su trabajo. III. Estudios que piensan seguir los alumnos y las alumnas de un centro escolar al terminar la ESO. III. Edad de las personas que han visto una obra de teatro en una ciudad. IV . Número de horas diarias que ven la televisión los niños y las niñas de tu comunidad autónoma con edades comprendidas entre 5 y 10 años. a) Di en cada uno de estos casos cuál es la población. b) ¿En cuáles de ellos es necesario recurrir a una muestra? ¿Por qué? Para hacer un sondeo electoral en un pueblo de 400 electores, aproximadamente, se va a elegir

■ Aplica lo aprendido 17

En una urbanización de 25 familias se ha observado la variable “número de coches que tiene la familia” y se han obtenido los siguientes datos: 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 1 1 1 4 0 1 1 1 4 3 2 2 1 1 a) Construye la tabla de frecuencias. b) Haz el diagrama de barras. c) Calcula la media y la desviación típica. d) Halla la mediana y los cuartiles. e) Dibuja el diagrama de caja.

¿Conoces los parámetros estadísticos x–, q y C.V.? ¿Los sabes calcular e interpetar? 1 La edad de los visitantes de una exposición está recogida en la siguiente tabla: edad n.º de vis.

[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 63

189

243

175

105

a) Representa los datos en un gráfico adecuado. b) Halla x–, q y C.V. 2 Los beneficios, en millones de euros, de dos empresas en seis años consecutivos han sido los siguientes: A B

5,9 4,5

2,5 3,8

7,4 5,7

8,1 3,5

4,8 5,5

3,7 4,6

¿Cuál de las dos empresas tiene mayor variación?

104

¿Conoces las medidas de posición, mediana, cuartiles y percentiles? ¿Los sabes calcular e interpretar? ¿Sabes utilizarlos para construir o interpretar un diagrama de caja? 3 Halla la mediana y los cuartiles de la siguiente distribución: 00111 11111 22222 22222 22222 22233 33334 44468 Haz el correspondiente diagrama de caja. 4 Indica por qué el diagrama de caja siguiente es incorrecto: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 *

Autoevaluación

Cálculo de probabilidades

Históricamente, el interés por la probabilidad co mienza con los juegos de azar. Cardano, algebrista italiano del siglo xvi, fue un jugador empedernido en algunas épocas de su vida. Esta pasión le hizo ser conocedor de trucos y fullerías. Acabó escribiendo un libro sobre el juego, en el que, por primera vez, se teoriza sobre las probabilidades. Fue otro jugador en el siglo xvii, el caballero de Meré, quien indujo, sin saberlo, a que los matemáticos Pascal y Fermat mantuvieran una fructífera correspon dencia: en sus cartas, proponían soluciones a algunos problemas sobre juegos planteados por Meré (al tirar cuatro dados, ¿qué es más ventajoso, apostar por “al gún 6” o por “ningún 6”?), y elucubraban sobre otras situaciones probabilísticas. Así nació, con estos dos genios, la base de la teoría de las probabilidades. Ni Pascal ni Fermat publicaron sus conclusiones, pero sí lo hizo Huygens en 1657, en un breve libro titulado Sobre los razonamientos en los juegos de azar.

En 1713, Jacques Bernouilli recogió lo escrito por Huygens, lo amplió y completó, construyendo así el primer libro importante sobre la teoría de las proba bilidades: Arte de la conjetura. Laplace, en 1812, publicó Teoría analítica de las probabilidades, donde recogió y organizó multitud de resultados que había ido obteniendo y difundiendo desde hacía 40 años. Se trata de la mayor aportación de la historia a esta teoría. Pocos años después pu blicó Ensayo filosófico de las probabilidades, destinado a los no expertos. De este libro es la siguiente frase: La teoría de las probabilidades es solo sentido común expresado con números. DEBERÁS RECORDAR ■ Qué son los sucesos. ■ Qué experiencias son regulares y cuáles son irregulares.

105

Probabilidades en experiencias simples Experiencias irregulares Para calcular la probabilidad de un suceso correspondiente a una experiencia irregular (una chincheta, o un dado cargado, o extraer una bola de una bolsa cuya composición ignoramos…) no queda más remedio que experimentar. Es decir, repetir la experiencia muchas veces, averiguar la frecuencia relativa de ese suceso y asignarle ese valor (aproximado) a la probabilidad. Cuantas más veces hagamos la experiencia, más fiable será el valor asignado. Por ejemplo, si en una bolsa hay bolas de cinco colores ( , , , y ) y rea lizamos 100 veces la experiencia de extraer, mirar, anotar y devolver a la bolsa, obteniendo los siguientes resultados: f ( ) = 34, f ( ) = 23, f ( ) = 21, f ( ) = 8, f ( ) = 14 les asignaríamos los siguientes valores a las probabilidades: P [ ] ≈ f r ( ) = 0,34; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,23; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,21; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,08; P [ ] ≈ f r ( ) = 0,14

Experiencias regulares. Ley de Laplace Si la experiencia aleatoria se realiza con un instrumento regular (dado correcto, baraja completa…), entra en juego la ley de Laplace. Recordémosla: • Si el espacio muestral tiene n casos y la experiencia es regular, entonces todos ellos tienen la misma probabilidad, 1/n. • Si un suceso tiene k casos, entonces su probabilidad es k/n. P [S] = número de casos favorables a S número total de casos posibles

P [Roja] = 15 = 3 = 0,375 40 8

Problemas resueltos 1. Lanzamos un dado con forma de dodecaedro perfecto, con las caras numeradas del 1 al 12. Calcular: a) P [8] b) P [menor que 3] c) P [impar]

b) Solo 1 y 2 son menores que 3 8 P[menor que 3] = 2 = 1 12 6 c) Hay 6 números impares menores que 12 8 P[impar] = 6 = 1 12 2

d)P [número primo]

d) 2, 3, 5, 7, 11 son primos 8 P[número primo] = 5 12

e) P [mayor que 4 pero menor que 8]

e) P [{5, 6, 7}] = 3 = 1 12 4

106

1. a) P[8] = 1 . Hay 12 casos, y el “8” es uno de ellos. 12

Por ejemplo, en una bolsa hay 40 bolas idénticas salvo en el color. De ellas, 15 son rojas. Entonces, al extraer una bola al azar:

UNIDAD

10 2. Con un molde se han fabricado varios miles de dados. Sospechamos que son incorrectos. ¿Cómo procedemos para averiguar si son o no correctos? En caso de que no lo sean, ¿cómo evaluaremos la probabilidad de cada cara?

2. Podemos suponer que todos los dados son idénticos. Experimentamos con varios efectuando, en total, 1 000 lanzamientos. Estos son los resultados:

3. Lanzamos dos dados correctos y anotamos las diferencias de las puntuaciones.

f fr

154

123

236

105

201

181

Observamos que algunas de las frecuencias relativas se di ferencian demasiado del valor 1/6 = 0,166…

0,154 0,123 0,236 0,105 0,201 0,181

Puesto que el número de experimentaciones (1 000) es suficientemente gran de, podemos concluir que el dado es defectuoso. Tomaremos las frecuencias relativas de las distintas caras como valores aproximados de sus respectivas probabilidades. A partir de la tabla de la izquierda, construimos la distribución siguiente:

diferencias

b)¿Qué probabilidad tiene cada caso?

n.º de veces

probabilidad

c) Hallar la probabilidad del suceso “la diferencia es mayor que 3”.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

6/36 10/36 8/36 6/36 4/36 2/36

a) y b) En la tabla anterior aparece el espacio muestral, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, con las probabilidades asociadas a cada caso. c) P [Diferencia mayor que 3] = P [{4, 5}] = 4/36 + 2/36 = 6/36 = 1/6

4. Un juego de cartas solo distingue estas posibilidades: figura (sota, caballo o rey), as,

6 (2, 3, 4, 5), yor que 5 (6, 7).

menor que

ma-

4. Hay 40 cartas. La probabilidad de cada una es 1/40. a) En este juego, el espacio muestral es E = {“figura”, “as”, “< 6”, “> 5”}. b) Hay 3 figuras en cada palo ÄÄ8 Ä P [figura] = 12/40 = 3/10 = 0,3 Hay 4 ases en la baraja ÄÄÄÄ8 P [as [ ] = 4/40 = 1/10 = 0,1

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

Hay 4 números < 6 en cada palo 8 P [< 6] = 16/40 = 2/5 = 0,4

b)Di la probabilidad en cada caso.

Hay 2 números > 5 en cada palo 8 P [> 5] = 8/40 = 1/5 = 0,2

c) ¿Cuál es la probabilidad de “no figura”?

c) P [no figura] = 1 – P [figura] = 1 – 0,3 = 0,7

Actividades 1 Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus ca ras numeradas del 1 al 8. Evalúa estas probabilidades: a) P [múltiplo de 3] b) P[menor que 5]

2 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones. a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos.

c) P[número primo]

b) Halla la probabilidad del suceso “la menor pun tuación es menor que 4” = “< 4”.

d) P[no múltiplo de 3]

c) Halla P[no < 4].

107

Probabilidades en experiencias compuestas Las experiencias simples que forman una experiencia compuesta pueden ser dependientes o independientes.

Recuerda Las siguientes experiencias: a) extraer tres cartas de una baraja, b) lanzar cinco dados, se pueden considerar como experien cias compuestas de otras simples: a) Extraer una carta de una baraja, después otra, y después otra. b) Lanzar un dado, y otro… y otro.

La 1.ª es as. Quedan 3 ases en 39 cartas. La 1.ª no es as. Quedan 4 ases en 39 cartas.

Dos o más experiencias aleatorias se llaman independientes cuando el resul tado de cada una de ellas no depende del resultado de las demás. Por ejemplo, el lanzamiento de dos dados puede considerarse como composi ción de dos pruebas (un dado y otro dado) independientes, pues el resultado de cada dado no influye en el otro. Dos o más experiencias aleatorias se llaman dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes. Por ejemplo, extraer dos cartas de una baraja (una carta seguida de otra carta) es la composición de dos pruebas dependientes, pues el resultado de la primera influye en las probabilidades de los sucesos de la segunda: 1.a extracción —————— as

quedan ———— 39 cartas, 3 ases

2.a extracción —————— P[as] = 3/39

no as

39 cartas, 4 ases

P[as] = 4/39

Como vemos, las probabilidades de los sucesos en la 2.a extracción dependen de lo que ocurrió en la 1.a.

Extracciones con o sin reemplazamiento

— “Sacamos una bola, la miramos, la devolvemos a la bolsa, removemos y volve mos a sacar”, lo resumimos así: “sacamos dos bolas con reemplazamiento”. — “Sacamos una bola, la miramos y sacamos otra” se resume así: “sacamos dos bolas sin reemplazamiento”. En el primer caso, las experiencias son independientes. En el segundo, depen dientes.

Actividades 1

Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bolsa. Estas dos experiencias, ¿son dependientes o independien tes?

A r

impar

108

Lanzamos un dado. Si sa le par, extraemos una bola de la bolsa A. Si sale im par, de la B. Las experien cias, ¿son dependientes o independientes?

“Extraemos una bola de esta bolsa y, después, otra”. Falta un dato: ¿la que hemos extraído la echamos de nuevo a la bolsa antes de la 2.a extracción o no?

UNIDAD

Composición de experiencias independientes

Experiencias independientes El resultado de cada experiencia no influye en el resultado de la siguien te.

Es más sencillo calcular las probabilidades de los sucesos compuestos descompo niéndolos en sucesos simples. Cuando varias experiencias aleatorias son independientes, la probabilidad de que ocurra S1 en la primera, S2 en la segunda, etc., es: P[S1 y S2 y …] = P[S1] · P[S2] · …

Problemas resueltos 1. Lanzamos dos dados, uno rojo (R) y otro verde ( V V). Hallar estas probabilidades: a) 3 en R y 5 en V

1. a) P[3 [3 en R y 5 en V] V = P[3] · P[5] = 1/6 · 1/6 = 1/36 b) P[5 en R y 3 en V V] = P[5] · P[3] = 1/6 · 1/6 = 1/36 c) P[un 3 y un 5] = P[3 en R y 5 en V V] + P[5 en R y 3 en V V] =

( ) ( )

= 1 + 1 = 2 = 1 36 36 36 18 d) P [par en R y > 2 en V ] = P [par] · P [> 2] =

b)5 en R y 3 en V c) un 3 y un 5 d) par en R y > 2 en V

= 3 · 4 = 12 = 1 6 6 36 3

“par” = {2, 4, 6}

1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

2. Sacamos una bola de A y una bola de B. Calcular: B

2. a) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 2 · 3 = 6 = 1 5 6 30 5 b) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 2 · 2 = 4 = 2 5 6 30 15

a) P [ y ]

c) P[ y ] = P[1.a ] · P[2.a ] = 3 · 3 = 9 = 3 5 6 30 10

b)P [ y ]

d) P[una de ellas

c) P [ y ] d)P [una de ellas

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

“> 2” = {3, 4, 5, 6}

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1

y otra ]

y otra ] = P[ y ] + P[ y ] = 4 + 9 = 13 30 30 30

e) P[la 2.a ] = P[cualquier cosa la 1.a] · P[la 2.a ] = 1 · 1 = 1 6 6

e) P [la segunda ]

Actividades 1 Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla: a) P[as en 1.a y figura en 2.a y 3.a]

b) P[3 ases]

c) P[un as y dos figuras]

d) P[ningún as]

2 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de: a) 5 caras

b) alguna cruz

3 Lanzamos 3 monedas. Calcula: a) P[tres caras] b) P[ninguna cara] c) P[alguna cara] 4 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la proba bilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado?

109

Composición de experiencias dependientes

Experiencias dependientes El resultado de cada experiencia in fluye en las probabilidades de las si guientes.

Si dos sucesos S1 y S2 corresponden a pruebas dependientes, la probabili dad de que ocurra S1 en la 1.a y S2 en la 2.a es: P [S1 y S2] = P [S1] · P [S2 en la 2.ª / S1 en la 1.a] = P [S1] · P [S2 / S1] La expresión P[S2 / S1] se llama probabilidad condicionada: probabilidad de S2 condicionada a que ocurra S1. Para tres sucesos dependientes: P [S1 y S2 y S3] = P [S1] · P [S2 / S1] · P [S3 / S1 y S2] La probabilidad condicionada P [S3 / S1 y S2] significa “probabilidad de que ocurra S3 supuesto que ocurrieron S1 y S2”.

Problema resuelto

a) Ambas sean verdes. b)La

1.a

sea roja y la

2.a

verde.

c) Las dos sean rojas. P[ ] = 3 5 Si la 1.a es

P[ en este caso] = 2 4

a) Imaginemos una gran cantidad de gente. Cada uno de ellos tiene una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Son sometidos a dos pruebas: 1.a prueba: Han de extraer bola verde. (La dejan fuera). 2.a prueba: Han de volver a extraer verde. Averigüemos qué proporción de gente supera cada prueba y, en consecuen cia, qué proporción supera las dos. primera extracción

P[ ] = 3/5. Por término medio, 3 de cada 5 indi viduos extraen bola verde y superan la 1.a prueba.

Ahora, la composición de la urna se modifica dependiendo del resultado de la primera prueba. Como estamos siguiendo la pista a los que extraen bola verde, estos tienen ahora una urna con 2 bolas verdes y 2 bolas rojas. Veamos qué proporción de ellos supera la 2.a prueba. segunda extracción

P[ ] = 2/4. Por término medio, 2 de cada 4 de los que superan la 1.a prueba superan también la 2.a.

Proporción de individuos que superan ambas pruebas: 3 · 2 = 6 . Es decir: 5 4 20 P[ y ] = P[

la 1.a] · P[

la 2.a /

la 1.a] = 3 · 2 = 6 = 3 5 4 20 10

Estas pruebas son dependientes, porque el resultado de la primera influye en la segunda.

Si la 1.a es , quedan cuatro: 1 y 3

110

b) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a /

la 1.a] = 2 · 3 = 6 = 3 5 4 20 10

c) P[ y ] = P[ la 1.a] · P[ la 2.a /

la 1.a] = 2 · 1 = 2 = 1 5 4 20 10

De una urna con 3 bolas verdes y 2 rojas, extraemos dos bolas. Calcular la probabilidad de que:

UNIDAD

Descripción de la experiencia mediante un diagrama en árbol La experiencia de la página anterior se puede describir sistemáticamente, y de forma muy clara, mediante un diagrama en árbol: Recuerda Significado de algunas probabilida des: 2 = P[ en la 1.a] 5 3 = P[ en 2.a / en 1.a] 4

P[ y ] = 3 · 5 3 P[ y ] = · 5 P[ y ] = 2 · 5 P[ y ] = 2 · 5

2/4 3/5

La urna 2/4 queda así

2/5

3/4 La urna queda así

1/4

2 4 2 4 3 4 1 4

= 6 = 20 = 6 = 20 = 6 = 20 = 2 = 20

3 10 3 10 3 10 1 10

Problema resuelto Extraemos tres cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de obtener tres ases. Observa Si en la 1.a sale as, quedan 3 ases en 39 cartas. Por tanto: P [as en 2.a / as en 1.a] = 3 39 Análogamente:

P[3 ases] = P [as en 1.a y as en 2.a y as en 3.a] = = P[as en 1.a] · P[as en 2.a / as en 1.a] · P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = = 4 · 3 · 2 40 39 38 Lo describimos en un diagrama en árbol:

P [as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 2 38

2.a EXTR. 1.a EXTR.

4/40

3/39

Quedan 38 cartas. De ellas, 2 ases.

Quedan 39 cartas. De ellas, 3 ases.

36/39 36/40

3.a EXTR.

2/38

36/38

NO AS

P[3 ases] = P [as y as y as] = P [as] · P[as en 2.a / as en 1.a] · · P[as en 3.a / as en 1.a y 2.a] = 4 · 3 · 2 = 1 40 39 38 2 470

Actividades 1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un rey y la segunda un as? 2 Copia y completa el diagrama en árbol del problema resuelto de esta página y sobre él halla P [ningún as]. 3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Ex traemos tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?

4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener bastos las tres veces? a) Supón que se extraen con reemplazamiento. b) Supón que se extraen sin reemplazamiento. 5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra B tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

111

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

■ Aplica lo aprendido

Experiencias simples

En la lotería primitiva se extraen bolas nume radas del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída sea un número…: a) … de una sola cifra. b) … múltiplo de 7. c) … mayor que 25. Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea: a) rey o as. b) figura y oros. c) no sea espadas. Lanzamos dos da dos y anotamos la pun 1 2 tuación mayor (si coin 2 ciden, la de uno de ellos). a) Completa en tu cua derno la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elemen 6 tales 1, 2, 3, 4, 5 y 6. b) Halla la probabilidad de los sucesos: A: n.° par, B: n.° menor que 4.

a) x = 3

b) y = 3

c) x ? 7

d) x > 5

e) x + y = 9

f) x < 3

g) y > 7

h) y < 7

Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma?

5 4

Una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02, …, 99 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se ex trae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

En un laboratorio se somete un nuevo medi camento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabili dad de que el nuevo producto pase las tres pruebas?

Sacamos una bola de A, la echamos en B, re movemos y sacamos una de B. Calcula:

Experiencias compuestas a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)? b) Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?

Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5?

Sacamos una bola de cada urna. Calcula la probabilidad de que: a) Ambas sean rojas. b) Ambas sean negras. c) Alguna sea verde.

112

Una urna tiene 3 bolas rojas y 2 verdes. Ex traemos dos. Calcula P[2 rojas] y P[2 verdes].

a) P[1.a roja y 2.a roja]

b) P[1.a roja y 2.a verde]

c) P[2.a roja / 1.a verde] d) P[2.a roja / 1.a roja] e) P[2.a roja]

f ) P[2.a verde]

☞ e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el siguiente diagrama:

3 — 5

2 — 3

3 ·— 2 — 5 3

1 — 3

2 ·— 1 — 5 3

2 — 5 B

UNIDAD

En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegi mos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) Los dos sean chicos. b) Sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica. Tiramos dos dados correctos. Di cuál es la probabilidad de obtener: a) En los dos la misma puntuación. b) Un 6 en alguno de ellos. c) En uno de ellos, mayor puntuación que en el otro. Se extraen dos bolas de esta bolsa. Calcula la probabi lidad de que ambas sean del mismo color.

■ Resuelve problemas 15

En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se ha cen tres extracciones y se anotan los resultados en orden. Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que la experiencia sea: a) Con reemplazamiento. b) Sin reemplazamiento.

Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Ma tías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.

Autoevaluación © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

¿Resuelves problemas de probabilidad de experiencias simples y compuestas? 1 Encima de una mesa tenemos estas cuatro cartas de una baraja española: – Cinco de copas.

– As de oros.

– Cuatro de bastos.

– Dos de oros.

Sacando al azar otra carta del mazo y fijándonos en su número, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones de las cinco cartas (las cuatro de la mesa y la extraída del mazo) sea 15? ¿Y 16? 2 Lanzamos una moneda y un dado y observamos los resultados obtenidos. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz y cinco? b) ¿Y la de obtener cara y número par?

3 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las puntuaciones: a) Sea 5.

b) Sea 6.

c) Sea 4.

☞ Haz una tabla con todos los casos posibles.

4 Tenemos dos bolsas, A y B, con estas bolas: A: 7 blancas y 3 negras B: 1 blanca, 2 negras y 7 rojas Tirando un dado, si sale 1 o 2 extraemos una bola de A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de B. Calcula la probabilidad de extraer bola roja. 5 La urna A tiene 3 bolas rojas y 1 negra, y la B, 3 ne gras y 1 roja. Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una bola de B. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean rojas.

113

Combinatoria “¿De cuántas formas distintas se pueden repartir las tres medallas (oro, plata, bronce) los ocho finalistas de una carrera?” Propuestas como esta son propias de la combinatoria: a partir de una colección finita de objetos, averiguar cuántas agrupaciones hay que cumplan ciertas condiciones. Problemas de este tipo aparecen en todas las culturas y, en muchos casos, relacionadas con situaciones místicas o cabalísticas, como el I Ching chino o la Cábala judía. Summa (1914), de Luca Paccioli, es la primera obra impresa donde aparecen problemas de combinatoria.

La combinatoria empezó a fraguarse como ciencia paralelamente a la probabilidad y, por tanto, estuvo ligada a los juegos. Aunque fue Tartaglia (algebrista italiano del s. xvi) uno de los pioneros, esta ciencia recibió el mayor impulso a partir de la correspondencia mantenida por los franceses Pascal y Fermat (s. xvii) sobre situaciones de azar inspiradas en las mesas de juego. Los problemas probabilísticos que de ahí surgen se resuelven mediante un enfoque combinatorio.

Bernouilli (s. xviii) dedicó, en su Arte de la conjetura, algunos capítulos a asentar la teoría de la combinatoria, básica para el cálculo de probabilidades. El término combinatoria, tal como lo usamos actualmente, fue introducido por el alemán Leibniz. Euler (s. xviii) enriqueció la combinatoria con nuevas líneas de trabajo. Una de ellas, los grafos, comenzó su andadura con la resolución del reto de los puentes de Königsberg. DEBERÁS RECORDAR ■ La utilidad del diagrama en árbol.

115

En qué consiste la combinatoria La combinatoria se ocupa de contar agrupaciones realizadas con un determinado criterio. Veamos algunos ejemplos: 1. Irene tiene 4 pantalones y 6 camisetas. ¿Cuántas indumentarias distintas puede elegir? Cada camiseta puede ponerse con cada pantalón. Por tanto, el número de indumentarias es 4 Ò 6 = 24.

2. Cuatro amigos, A, B, C, D, diseñan un campeonato de pimpón, todos contra todos, a un vuelta. ¿Cuántos partidos se han de jugar? A-B

B-C

A-C

B-D

C-D

En total, 6 partidos.

A-D 3. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener al lanzar un dado de color rojo y otro de color verde? Cada resultado del dado rojo se puede emparejar con cada uno de los del dado verde. Por tanto, habrá 6 Ò 6 = 36 resultados.

Hagámoslas: P Q R

P R Q

Q P R

Q R P

R P Q

R Q P

Hay seis formas distintas.

Actividades 1 Irene, además de 4 pantalones y 6 camisetas, tiene 3 gorras. ¿Cuántas indumentarias de pantalón-camiseta-gorra puede llevar?

3 Lanzamos un dado y extraemos una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuántos resultados distintos podemos obtener?

2 ¿Cuántos partidos han de jugar 5 amigos, A, B, C, D, E, para completar un campeonato de pimpón, todos contra todos, a una vuelta?

4 En una carrera compiten 4 corredores, P, Q, R, S, y se entregan dos copas: una grande al campeón y otra pequeña al segundo. ¿De cuántas formas se puede hacer el reparto?

116

4. ¿De cuántas formas se pueden sentar 3 amigos P, Q, R, en un banco que tiene tres lugares — — —?

UNIDAD

El diagrama en árbol Como has podido ver en el apartado anterior, para resolver un problema de combinatoria es fundamental tener muy claro cuáles son las condiciones de las agrupaciones buscadas y proceder con orden y sistema a su formación o a su recuento. Para esta forma de proceder, es sumamente útil el diagrama en árbol. Veamos en qué consiste mediante algunos ejemplos: • Ejemplo 1. Se juegan los partidos de ida de las semifinales de la Copa del Rey de fútbol. Son Mallorca-Deportivo y Betis-Albacete. Se confecciona una quiniela con los dos partidos.

Quiniela Mallorca – Deportivo Betis – Albacete

❑ ❑

En cada casillero hay que poner 1, X o 2. Para ganar, hay que acertar los dos resultados. a) ¿Cuántas quinielas hay que rellenar para tener la seguridad de ganar? b) ¿Cuántas quinielas habría que haber hecho la semana anterior para acertar los cuatro partidos de vuelta de los cuartos de final de la Copa del Rey? a): ¿Cuántas quinielas hay que hacer para acertar los dos partidos?

I. MALL. - DEP DEP.

1 X

1.er PARTIDO R RTIDO

R RTIDO 2.o PARTIDO

3.er PARTIDO R RTIDO 1

4.o PARTIDO R RTIDO 1 X (111X) 2

I 1 1 1 X X X 2 2 2

II 1 X 2 1 X 2 1 X 2

Tres posibilidades para acertar el primer partido. A cada una de esas tres posibilidades le corresponden las tres que se necesitan para acertar el otro partido. 3 · 3 = 9 quinielas

El diagrama en árbol tiene la ventaja de que permite pensar, paso a paso, en este tipo de problemas en los que las distintas posibilidades se van multiplicando.

Resolvamos el apartado b).

1 X 2 1 X 2 1 X 2

CONCLUSIÓN

Antes de dar cada paso, nos cuestionaremos a cuántas ramas da lugar la nueva situación en la que nos encontramos.

2 1

II. BET BET. - ALB.

1 1

En cada paso, el número de posibilidades se multiplica por 3, pues el resultado de cada partido no depende de los anteriores.

El número de quinielas posibles es:

1 (22X1) X 2

3 · 3 · 3 · 3 = 34 = 81

117

• Ejemplo 2. Antonio, Beatriz, Carmen y Darío juegan la fase final de un campeonato de pimpón. Hay una copa para el campeón y una placa para el subcampeón. a) ¿De cuántas formas pueden adjudicarse los trofeos? b) ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber? a): ¿De cuántas formas pueden repartirse los dos trofeos? CAMPEÓN

A B C D CAMPEÓN

SUBCAMPEÓN B

A B C D

C D

A B C

TERCER TERCER CERO O C D B D B C B C

CUARTO D (ABCD) C D B C (ADBC) B C (DABC) B

SUBCAMPEÓN

B C D A C D A B D A B C

CONCLUSIÓN

A A A B B B C C C D D D

, , , , , , , , , , , ,

B C D A C D A B D A B C

Hay cuatro posibilidades para el puesto de campeón. Cada una de ellas se puede completar con 3 opciones para el subcampeón. 4 · 3 = 12 posibilidades

b): ¿Cuántas posibles clasificaciones finales puede haber? Hay 4 posibles campeones, pero, una vez fijado el campeón, solo puede haber 3 subcampeones. Y si fijamos al 1.° y al 2.°, solo quedan 2 aspirantes para el 3.er lugar. Conocidos los 1.°, 2.° y 3.°, para el 4.° lugar solo queda un candidato. El número de posibilidades es: 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Con el diagrama en árbol se puede pensar paso a paso y permite ver cuáles son las distintas posibilidades que se dan en cada uno de esos pasos.

¿Cuántas flechas hay que poner en primer lugar? ¿Cuántas salen de cada uno de esos resultados?…

Ejercicio resuelto ¿De cuántas formas se pueden repartir 3 medallas entre las 12 participantes de una carrera? 1.er lugar: 12. ° Total: § 2.° lugar: Por cada una de las anteriores, 11. ¢ 12 Ò 11 Ò 10 = § er 3. lugar: Por cada una de las anteriores, 10. £ = 1 320 posibilidades

Actividades 1 Alberto, Beatriz y Claudia van a ver a su abuelo. Al irse, este les dice: “Escoged cada uno el libro que queráis de estos”, y les muestra 10 libros distintos. ¿De cuántas formas pueden hacer su elección?

118

Si en lugar de pormenorizar todas las posibilidades solo queremos contarlas, podremos dejar el árbol incompleto o, incluso, simplemente imaginarlo:

UNIDAD

Variaciones y permutaciones Algunos de los problemas que se han resuelto en los apartados anteriores tienen aspectos comunes. Los clasificaremos en modelos que podemos tratar teóricamente, es decir, de forma general.

Variaciones con repetición

1, X, 2

Vamos a recuperar un problema, resuelto antes, para que nos sirva de modelo. • Se juegan dos partidos. ¿Cuántas quinielas hemos de hacer para acertar los dos?

2.º PARTIDO R RTIDO

1.er PARTIDO R RTIDO

Disponemos de tres signos, 1, X, 2. Con ellos hemos de llenar dos lugares. Podemos poner el mismo signo en los dos lugares (es decir, puede repetirse). El número de posibilidades es 3 · 3 = 32. • ¿Y para acertar cuatro partidos? Con los tres signos, 1, X, 2, hemos de llenar cuatro lugares, pudiendo repetirse una o más veces los signos utilizados. El número de posibilidades es 3 · 3 · 3 · 3 = 34.

Variaciones con repetición • Hay m elementos de partida. • Se forman agrupaciones de n de esos elementos. • Pueden estar repetidos.

Disponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, repetidos o no. A estas agrupaciones se las llama variaciones con repetición de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por VRm, n (o bien VR mn ). VRm, n = mn

• Importa el orden en que se ponen.

Justificación de la fórmula

m 1.°

m 2.°

m 3.°

m 4.°

… …

m n .°

En el primer lugar podemos situar cualquiera de los m elementos. En el 2.° lugar, también, sin importar cuál es el que ocupa el 1.°. Y así sucesivamente, cada lugar puede ser ocupado por cualquiera de los m elementos sin importar cuáles son los que ocupan los lugares anteriores. Por tanto, el número de posibilidades es m · m · … · m (n factores) = mn.

Actividades Resuelve cada enunciado de dos formas: a) Realizando un diagrama en árbol o razonando como si lo realizaras. b) Reconociendo el modelo de variaciones con repetición y aplicando la fórmula. 1 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras impares? 2 Lanzamos un dado 4 veces. Importa el orden en que salen los números. ¿Cuántos resultados distintos pueden darse?

3 Disponemos de 7 colores con los que hemos de pintar las tres franjas adjuntas. ¿Cuántas banderas salen? Notas: 1. Cada franja hay que llenarla con un solo color. 2. Dos o las tres franjas pueden ser del mismo color. 3. Dos banderas con los mismos colores colocados en distinto orden son distintas.

4 ¿Cuántas quinielas hemos de rellenar para acertar, con seguridad, los 15 resultados?

119

Variaciones ordinarias • ¿De cuántas formas pueden obtener los puestos 1.° y 2.° los cuatro participantes en un torneo? Disponemos de cuatro elementos, A, B, C, D. Para el 1.er lugar, hay 4 opciones. Una vez fijado el primero, para el 2.° lugar, quedan 3 opciones (no hay repetición, ya que el que queda 1.° no puede quedar 2.°). El número de posibilidades es 4 · 3 = 12. • ¿De cuántas formas se pueden repartir las 3 medallas los 8 finalistas de una carrera? Disponemos de 8 elementos. Hemos de clasificar, ordenadamente, a 3. Para el 1.er lugar, hay 8 posibilidades. Fijado el 1.°, hay 7 posibles segundos puestos. Fijados el 1.° y el 2.°, hay 6 posibles terceros puestos. Variaciones ordinarias • Hay m elementos de partida. • Se forman agrupaciones de n de ellos. Obviamente, n Ì m. • No pueden repetirse. • Importa el orden en que se ponen.

Número de posibilidades: 8 · 7 · 6 = 336. Disponemos de m elementos. Formamos agrupaciones ordenadas (“tiras”) de n de ellos, sin que se repita ninguno. A estas agrupaciones se las llama variaciones ordinarias, o simplemente, variaciones de m elementos tomados n a n. Al número de ellas se le designa por Vm, n (o bien V mn ). Vm, n = m · (m – 1) · (m – 2) · … 14444244443 n factores decrecientes

m–1

m–2

1.°

2.°

3.°

… m–n+1 … n .°

Permutaciones • ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados los cuatro participantes en un torneo? 4 · 3 · 2 · 1 = 24 formas • ¿Y los ocho finalistas olímpicos en una carrera? Permutaciones • Hay m elementos de partida. • Se toman los m. • No pueden repetirse. • Lo único que importa es el orden.

Las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos de un conjunto se llaman permutaciones. Su número se designa por Pm (se lee “permutaciones de m elementos”) y es igual al número de variaciones de m elementos tomados m a m. Pm = Vm, m = m · (m – 1) · … · 3 · 2 · 1 A este número se le llama m factorial y se escribe m ! Por ejemplo: 3! = 3 · 2 · 1 = 6 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Actividades 5 Enuncia un problema similar al de las banderas de la página anterior que se resuelva mediante variaciones ordinarias y resuélvelo razonadamente (diagrama en árbol) y aplicando la fórmula.

120

6 En los ejercicios propuestos y resueltos en los dos apartados anteriores, identifica cuáles responden al modelo de variaciones con repetición, de variaciones ordinarias o de permutaciones, y resuélvelos mediante las fórmulas.

8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320

UNIDAD

Cuando no influye el orden Empecemos poniendo algunos ejemplos que nos sirvan de referencia. A B C D

B C D A C D A B D A B C

AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC

• Cuatro amigos juegan un campeonato de pimpón por el sistema de liga (todos contra todos) a una sola vuelta. ¿Cuántos partidos jugaron? 12 = 6 — 2

Cada partido está dos veces.

Si utilizamos un diagrama en árbol para contar el número de partidos, obtendremos 4 · 3 = 12, pero nos encontraremos con que aparecerá cada partido dos veces: AB y BA, AC y CA, CD y DC… Por tanto, el número total de partidos reales se obtiene dividiendo por 2. La respuesta es 12 = 6. 2 • Diez antiguos amigos se citan en un lugar a cierta hora. Al encontrarse, ¿cuántos apretones de manos se dan? Si influyera el orden (A saluda a B, B saluda a A), entonces habría 10 · 9 = 90 saludos. Como no influye el orden, cada saludo se ha considerado dos veces. Por tanto, el número de apretones de mano es 90 : 2 = 45. • En una carrera con 8 corredores se clasifican para la final los tres primeros. ¿De cuántas formas puede efectuarse la clasificación? Si influyera el orden, ¿de cuántas formas distintas pueden asignarse los tres primeros puestos? La respuesta es 8 · 7 · 6 = 336. Teniendo en cuenta que no influye el orden, ¿cuántas veces hemos contado la clasificación de los mismos individuos? ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

Seis formas, tantas como permutaciones de 3 elementos: 3 · 2 · 1 = 6 Estrategia Contar como si influyera el orden y dividir por el número de repeticiones.

Por tanto, el número de posibles clasificaciones es 336 : 6 = 56. La estrategia que se ha utilizado en estos tres problemas es la misma: Hemos reinterpretado el enunciado como si el orden en que se seleccionan los elementos sí influyera. Después, hemos averiguado el número de veces que se ha contado cada uno de los casos que nos interesan, y hemos dividido por él. Es importante que adquieras destreza con esta estrategia, porque te ayudará a resolver numerosos problemas.

Actividades 1 En un monte hay 7 puestos de vigilancia contra incendios y cada uno de ellos está unido a los demás por un camino. ¿Cuántos caminos habrá en total?

2 Vicente quiere regalar a su amigo Carlos 3 discos, y los quiere elegir entre los 10 que más le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo?

121

Combinaciones

La palabra “combinación” La “combinatoria” es el arte de “combinar”, es decir, de hacer y contar “combinaciones” entre objetos siguiendo ciertas reglas. En este contexto, la palabra combinación puede significar “agrupamiento”, “selección con ciertos criterios”… Tiene un significado amplio. Pero, a partir de ahora, la palabra combinación adquiere un significado muy preciso: el que le damos en esta página. Por tanto, en adelante, cuando se hable de “combinaciones”, deberás fijarte si se refiere a la expresión de siempre, en sentido amplio, o bien a esta otra tan concreta.

Vamos a recuperar algunos problemas resueltos en el apartado anterior que nos sirvan de modelo para el tratamiento teórico de un nuevo tipo de agrupamiento. • ¿Cuántos partidos han de jugar 4 amigos si deciden enfrentarse cada uno contra todos los demás? Disponemos de 4 elementos, A, B, C, D. Queremos agruparlos de dos en dos, sin que importe el orden. El número de posibilidades se obtiene contándolas como si importara el orden (4 · 3) y, después, dividiendo por el número de veces que está repetida cada opción. Resultado: 4 · 3 = 6 2 • ¿Cuántos apretones de mano se darán 10 amigos que se encuentran? Análogamente, contamos los saludos como si importara el orden (A saluda a B o B saluda a A). Serían V10, 2 = 10 · 9. Después, dividimos por 2. Resultado: 10 · 9 = 45 2 • En un colectivo de 10 personas, ¿de cuántas formas se pueden elegir los 3 representantes que acudirán a una cierta reunión? Aunque no importa el orden en que salgan elegidos, empecemos contándolos como si importara: V10, 3 = 10 · 9 · 8 Pero como no influye el orden, cada una de las posibles elecciones la hemos contado 6 veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Tantas como formas en que se pueden ordenar estos 3 elementos, es decir:

Combinaciones • Hay m elementos de partida. • Se forman agrupaciones de n de ellos. • No pueden estar repetidos. • No importa el orden.

Disponemos de m elementos. Se llaman combinaciones a las distintas agrupaciones que podemos formar tomando n de ellos, sin que importe el orden en que aparezcan y sin que puedan repetirse. Su número se designa por Cm, n (o bien C mn , y se lee “combinaciones de m elementos tomados n a n”). V m(m – 1) · ... · (m – n + 1) Cm, n = m, n = Pn n (n – 1) · ... · 3 · 2 · 1

Actividades 1 Tenemos 6 puntos en el espacio de tal modo que no hay tres alineados ni cuatro coplanarios. ¿Cuántas rectas podemos trazar uniendo dos de estos puntos? ¿Cuántos planos que se apoyen en tres de ellos? (alineados: Sobre la misma línea recta. coplanarios: Sobre el mismo plano).

122

2 ¿Cuántas posibles mezclas de dos colores, en idénticas cantidades, se pueden hacer con 8 tarros de pintura de distintos colores? ¿Cuántas mezclas de tres colores? ¿Y de cuatro colores?

P3 = 3 · 2 · 1 (permutaciones de 3 elementos) V Por tanto, el número de posibles elecciones es: 10, 3 = 10 · 9 · 8 = 120 P3 3·2·1 Generalicemos estos resultados:

UNIDAD

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

■ Practica

Las expresiones VR 8,2; P8; V8,2; C8,2 son las soluciones de los siguientes apartados a), b), c), d), pero no en ese orden. Asigna a cada apartado su solución: a) Palabras de ocho letras, con o sin sentido, que se pueden hacer con las letras de pelícano. b) Posibles parejas que se pueden formar para jugar un torneo de ajedrez entre 8 personas. c) Números de dos cifras que se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. d) Posibles formas de dar el primer y segundo premios de un concurso literario con 8 participantes.

Ocho problemas muy parecidos. En cada uno de los siguientes problemas la pregunta es: ¿De cuántas formas se puede hacer?

Formar agrupaciones 1

Dos amigos juegan al tenis y acuerdan que será vencedor el primero que logre ganar dos sets. Escribe todas las formas en que puede desarrollarse el partido.

a) Forma todos los números de cuatro cifras que se puedan hacer con los dígitos 1 y 2. ¿Cuántos son? b) ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden hacer con los dígitos 0 y 1? Ten en cuenta que 01101 = 1 101 no es un número de cinco cifras.

a) 3 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 6 clases de polos. b) 6 chicos van a comprarse un polo cada uno a una heladería en la que hay 3 clases de polos. c) Repartir 3 polos distintos entre 6 chicos. d) Repartir 3 polos iguales entre 6 chicos.

Si queremos hacer lápices bicolores de doble punta y disponemos de los colores rojo, azul, negro, verde y amarillo, ¿cuántos modelos se pueden formar? Escríbelos todos.

e) Un chico escoge 3 polos entre 6 distintos. f ) Un chico escoge 3 polos entre 6 iguales. g) Repartir 6 polos distintos entre 6 chicos. h) Repartir 3 polos de fresa y 3 de vainilla entre 6 chicos. Sus soluciones son: C 36, P6, VR 36, 1, VR 63, V 36. Están dadas en otro orden y se pueden repetir.

Si tienes tres pantalones (azul, negro, blanco) y cuatro camisetas (azul, roja, verde, blanca), describe todas las indumentarias que puedes vestir sin que coincidan el color de las dos prendas. 9

¿De cuántas formas pueden repartirse 3 entradas para un concierto de rock entre 6 amigos y amigas sin que ninguno pueda llevarse más de una?

Para formar un equipo de baloncesto, hacen falta 5 jugadores y el entrenador dispone de 10.

Utilizar las fórmulas 5

Calcula: a) VR 4, 3

b) VR 3, 4

c) V7, 3

e) C6, 4

f ) V9, 5

Calcula: a) V5, 2 – C5, 3 d)

P5 P3

d) P7

P10 P8

a) ¿Cuántos equipos distintos puede formar?

h) C10, 8

VR6, 2 C4, 2

P4 V4, 3

P10 P9

P12 P9

b) Si elige a dos jugadores y los mantiene fijos, ¿cuántos equipos distintos podrá hacer con los ocho que le quedan? 11

Se van a celebrar elecciones en una comunidad de vecinos y hay que elegir al presidente, al secretario y al tesorero. ¿De cuántas maneras se pueden elegir estos tres cargos, si se presentan ocho candidatos?

123

Ejercicios y problemas

Consolida lo aprendido utilizando tus competencias

Se van a repartir tres regalos entre seis personas. Calcula de cuántas formas se pueden repartir en cada uno de los siguientes casos: a) Los regalos son distintos (una bicicleta, unos patines y un chándal) y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. b) Los regalos son iguales y no puede tocarle más de un regalo a la misma persona. c) Los regalos son distintos y puede tocarle más de uno a la misma persona. Los participantes de un concurso tienen que ordenar a ciegas seis tarjetas en las que está escrita cada una de las letras de la palabra premio. a) ¿Cuántas ordenaciones distintas pueden salir? b) Les ofrecen fijar la p en el lugar que le corresponde y reducir el premio a la mitad. ¿Cuántas ordenaciones posibles se pueden obtener de esta forma?

¿Cuántos bytes diferentes se pueden formar?

■ Aplica lo aprendido 17

El número 75 775 está formado por dos cincos y tres sietes. ¿Cuáles son los números que podemos formar con dos cincos y tres sietes?

En unos almacenes emplean el siguiente código para marcar los artículos: • La primera cifra indica la sección correspondiente y es un número entre el 1 y el 9.

¿De cuántas formas pueden sentarse tres personas en un banco de 5 asientos? ¿Y si el banco es de 3 asientos? Estás haciendo la maleta para irte de vacaciones y quieres llevarte cuatro de las ocho camisetas que tienes. ¿De cuántas formas las puedes seleccionar?

El lenguaje de un ordenador se traduce a secuencias de dígitos formados por ceros y unos. Un byte es una de estas secuencias y está formado por 8 dígitos. Por ejemplo: 0 0 1 0 0 0 1 1

• Después, hay tres cifras, cada una de ellas del 0 al 9, que corresponden al número del proveedor. ¿Cuántas marcas distintas se pueden hacer? 19

Seis amigos, 3 chicos y 3 chicas, van al cine. ¿De cuántas formas pueden sentarse si quieren estar alternados?

Autoevaluación ¿Conoces los agrupamientos combinatorios clásicos (variaciones, permutaciones, combinaciones), las fórmulas para calcular su número y los aplicas a la resolución de problemas? 1 En un examen, el profesor ha puesto 7 problemas, de los que hay que elegir 5. ¿Cuántas elecciones se puede plantear un alumno? 2 ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden hacer con los dígitos 1, 2 y 3?

124

3 ¿De cuántas formas podemos elegir al delegado y al subdelegado de un curso en el que hay siete candidatos? ¿Utilizas el diagrama en árbol y otras estrategias para formar o contar agrupaciones siguiendo ciertos criterios? 4 Con las letras de la palabra casa, ¿cuántas ordenaciones, con o sin sentido, podemos formar? Escríbelas todas.

Evaluación

Aritmética Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

Pruebas de evaluación El desarrollo de las competencias básicas es uno de los grandes retos de todas las etapas en la educación obligatoria. Contribuir decisivamente a este desarrollo es uno de los objetivos fundamentales de nuestro proyecto. Para ello, ponemos a disposición del profesorado estas pruebas de evaluación por bloques de contenidos, de manera que los docentes puedan comprobar el progreso de cada estudiante.

Nuestro proyecto propone, además, un Generador de Evaluaciones con el que podrá obtener pruebas para evaluar cada unidad individualmente o junto con otras unidades. Incluye también una prueba de evaluación inicial, para evaluar los preconceptos de sus estudiantes en relación con los contenidos del curso, y una prueba de evaluación final, con la que podrá comprobar el grado de adquisición de los contenidos de la materia.

Evaluación

Aritmética y álgebra Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

1 Clasifica los siguientes números según pertenezcan a los conjuntos

N, Z, Q y Á:

–2; 7/4; √2 ; 5,43; 13; π; 0; √–4; 1 – √3

2 El programa estadístico de una empresa de medición de audiencia arroja la cifra de 3 283 252 telespectadores para cierto partido de fútbol.

Expresa esa cantidad con un número adecuado de cifras significativas y calcula cotas del error absoluto y del error relativo.

3 Expresa en notación científica y calcula: 350 000 · 0,00015 132 · 104

4 Expresa como potencia y efectúa: 5 Extrae factores del radical:

√a10 : √a8

√16a6

3√50 + 4√18 – 5√8

7 Halla el cociente y el resto de la siguiente división: 8 Factoriza el polinomio siguiente: 9 Calcula el valor de 10

Simplifica:

Efectúa: a) x – 2 x–3 x

(x3 – 5x2 + 3x – 2) : (x2 – 2x)

2x3 – 12x2 + 18x

k para que el polinomio x4 + 2x2 + kx – 10 sea divisible por x + 2.

x2 – 2x – 5x + 6

(

x – 3 2 x

)

· 2x 3

Resuelve las siguientes ecuaciones: 1 5 b) a) x – √25 – x2 = 1 +x= x 2

6 Reduce:

Evaluación

Fecha: ....................................................................

Un inversor tiene 50 000 €. Coloca una parte al 3% y el resto al 5%. En un año obtiene un beneficio de 1 800 €. Calcula el valor de cada parte.

Resuelve las inecuaciones siguientes y expresa el resultado en forma de intervalo: a) –2x2 – x + 3 ≥ 0

{

x – 3 < 2x + 1 5 – 2x > 3x

¿Cuántos litros de aceite de 2,60 €/l, tenemos que mezclar con 10 l de otro de 4 €/l para que el precio de la mezcla sea inferior a 3 €/l?

Una parcela rectangular tiene una superficie de 2 000 m2. Para remodelar la urbanización, ampliando las calles, se le expropian 5 m a lo ancho y 2 m a lo largo, con lo que la superficie queda reducida a 1 680 m2. ¿Cuáles eran las dimensiones originales de la parcela?

Evaluación

Funciones Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

1 Esta gráfica representa la distancia de

una madre avestruz al nido donde están los huevos que incuba, desde las 12:05 hasta las 12:21.

Fecha: ....................................................................

DISTANCIA AL NIDO

(m)

100

a) ¿Cuánto tiempo, en total, está separada de los huevos?

b) ¿A qué distancia máxima se ha alejado? ¿A qué hora del día ha ocurrido eso?

TIEMPO 5

(min)

c) Escribe los intervalos de tiempo en los que la función crece y en los que decrece. ¿Qué significan? d) ¿En qué intervalo se ha acercado más rápido al nido? ¿Por qué crees que ha ocurrido esto?

2 Determina,

de la siguiente gráfica, estas características: dominio, recorrido, máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos de corte con los ejes y puntos de discontinuidad.

Y 1

X 1

3 Calcula el dominio de definición de cada una de estas funciones: b) y =

c) y = √x2 – 4

d) El área, A(x) de un cuadrado de lado x.

4 Observa la función periódica representada. a) Halla su periodo.

b) Calcula el valor de la función en: x = 4, x = 6, x = 10, x = 21 y x = 50. c) Halla la T.V.M. de la función en los intervalos [4, 6] y [6, 10].

5 Representa la siguiente función definida a trozos: y=

{

x2 + 3x – 2

x<0

2x – 2 3– x 2

0≤x≤2

x>2

1 x2 – 6x + 5

a) y = √x – 3

Evaluación

Fecha: ....................................................................

6 Representa las siguientes funciones: a) y = x2 + 6x – 5 d) y =

b) y = 2x2 – 1

1 x–3

e) y =

g) y = √x + 5

2 x+1

h) y = –2 √x – 1

2 c) y = x + 4x 3 f) y = 1 + 3 x–2

i) y = 2x

7 Halla el valor de cada una de las siguientes expresiones con logaritmos: 1 243

b) log3 81

c) log2 0,0625

d) log3

e) log4 64

f) log 1 000

g) log 0,0001

h) log5,62 1

a) log2 8

Evaluación

Geometría Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

Los catetos del triángulo rectángulo ABC miden AB = 21 cm y AC = 28 cm.

Desde el punto D, tal que AD = 9 cm, se traza una paralela a AC.

Halla el perímetro y el área del trapecio ADEC.

2 Queremos hacer una maqueta, a escala 1:500, de una torre cilíndrica cuya altura es 180 m y el área de su base mide 2 000 m2. ¿Cuáles serán estas medidas en la maqueta?

3 Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 9 cm, y su proyección sobre la hipotenusa, 5,4 cm. Calcula el perímetro y el área del triángulo.

4 La altura de un tronco de pirámide cuadrangular regular es 9 cm. Los lados de sus bases miden 6 cm y 14 cm. Halla su volumen.

5 Calcula la medida de los ángulos de un triángulo rectángulo en el que los catetos miden 9 m y 16 m.

6 Dibuja dos ángulos cuyo seno sea B

Halla la altura sobre el lado AC y el área del triángulo.

30º

48 cm

Para hallar la altura de una antena, medimos desde al punto A el ángulo de elevación y obtenemos 58°. Nos alejamos 50 m y el nuevo ángulo de elevación es de 42°. ¿Cuál es la altura de la antena?

58º

42º

50 m

4/5, y halla su coseno y su tangente.

Evaluación

Fecha: ....................................................................

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vec8 8 tores u y v?

b) Dibuja u + v y u – v y di cuáles son sus coordenadas.

Representa el triángulo cuyos vértices son A(–3, 1), B(1, 2) y C(5, 0) y calcula: a) La ecuación del lado AC. b) El punto medio de BC. c) La longitud del lado AB.

Dada la recta r: 3x + y – 2 = 0, halla una recta pararela a r y otra perpendicular a r que pasen por el punto A(–3, 1).

Estudia, en cada caso, la posición relativa de las rectas:

{

4x – 2y + 1 = 0 y = 2x – 3

{

y–5=0 3x + 2 = 0

Evaluación

Estadística y probabilidad Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

1 Antonio y Teresa juegan a los bolos todas las semanas. Han ido apuntado el número de strikes que hace, por partida, cada uno. Estos son los resultados: • Antonio: 1, 3, 3, 2, 4, 5, 4, 7, 4, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4. • Teresa: 2, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 7, 3, 4, 2, 3, 3, 5, 6, 4. Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de cada uno, y determina quién de ellos es más regular.

2 Anastasia está haciendo un estudio sobre las longitudes de los espárragos de su huerta y los diámetros de las nueces de su nogal. Ha tomado una muestra de 20 espárragos y 20 nueces, y ha obtenido los siguientes datos: LONGITUDES, EN cm, DE LOS ESPÁRRAGOS 21,3

20,4

22,5

18,9

22,7

24,1

23,4

21,9

22,3

26,2

21,7

22,1

23,8

20,4

19,6

19,8

20,9

21,5

3,2

3,4

2,8

4,1

2,4

4,2

2,9

2,3

5,2

1,7

2,2

2,1

5,1

4,3

3,8

4,9

5,2

2,7

1,9

5,3

a) Construye una tabla de frecuencias con los intervalos 17-19-21-23-25-27 para los espárragos y los intervalos 1-2-3-4-5-6 para las nueces. b) Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de cada distribución. c) ¿Cuál de las dos distribuciones es más dispersa?

3 El número de antenas que hay en cada uno de los 14 bloques de una urbanización

viene dado por la siguiente distribución: 12, 8, 8, 9, 11, 9, 11, 10, 9, 8, 10, 11, 12, 13. a) Ordena los datos y calcula la mediana y los cuartiles. b) Halla los percentiles p60, p80 y p95.

c) Dibuja el diagrama de caja.

DIÁMETROS, EN cm, DE LAS NUECES

Evaluación

Fecha: ....................................................................

4 Calcula las siguientes probabilidades: a) Al extraer una carta de una baraja de 40: P[AS], P[OROS], P[AS DE OROS], P[FIGURA], P[MAYOR QUE 4]. b) Al lanzar un dado de parchís: P[1], P[5], P[NÚMERO P[MENOR QUE 5].

PAR],

P[NÚMERO

PRIMO],

c) Al extraer una pieza del ajedrez: P[NEGRA], P[BLANCA], P[PEÓN], P[TORRE], P[REY], P[PEÓN NEGRO], P[ALFIL BLANCO]. (Recuerda que en un ajedrez hay las mismas piezas negras que blancas, y que de cada color hay 8 peones, 2 torres, 2 caballos, 2 alfiles, un rey y una reina.)

5 Extraemos una bola de esta urna, apuntamos la letra y la dejamos donde estaba. Volvemos a extraer una bola de la misma urna.

E A

C B

a) Halla estas probabilidades: • P[1.a A Y 2.a B]

• P[A Y B]

• P[LAS DOS E]

• P[ALGUNA A]

• P[NINGUNA C]

• P[LAS DOS D]

b) Vuelve a calcular las probabilidades en el caso de que después de extraer la primera bola, esta no se devuelva a la urna.

6 Extraemos una carta de una baraja de 40 cartas. Si sale figura (sota, caballo o rey), lanzamos un dado con 12 caras numeradas de 1 a 12; si no, lanzamos un dado de parchís. Calcula estas probabilidades: a) P[10]

b) P[1]

c) P[LANZAR EL DADO DE PARCHÍS]

7 En una empresa hay jefes, empleados y becarios, unos son menores de 30 años,

otros tienen entre 30 y 50 años, y los demás son mayores de 50 años. Observa cómo se distribuyen según esta tabla de contingencia: MENORES DE 30

ENTRE 30 Y 50

MAYORES DE 50

TOTAL

JEFES

EMPLEADOS

BECARIOS

TOTAL

100

Evaluación

Fecha: ....................................................................

Calcula estas probabilidades: a) P[EMPLEADO]

b) P[MAYOR DE 50]

c) P[JEFE MENOR DE 30]

d) P[BECARIO MAYOR DE 50]

e) P[ENTRE 30 Y 50]

f ) P[MENOR DE 30]

g) P[MENOR DE 30 / JEFE]

h) P[JEFE / MAYOR DE 50]

i) P[MENOR DE 30 / BECARIO]

j) P[ENTRE 30 Y 50 / EMPLEADO]

k) P[EMPLEADO / MENOR DE 30]

l) P[JEFE O BECARIO / MENOR DE 30]

8 En la final de la copa hay dos equipos de 11 jugadores y 5 árbitros. Cada uno de los

jugadores de un equipo debe dar la mano a los del otro y a los árbitros. ¿Cuántos apretones de mano se dan antes de empezar el partido?

9 Resuelve los siguientes problemas de combinatoria: a) Voy a invitar al parque de atracciones a tres de mis diez mejores amigos. ¿De cuántas formas puedo elegirlos? b) Un día puede ser soleado, nublado o lluvioso. ¿Cuántos tipos de resultados pueden darse en una semana? c) En un parque acaban de entrar diez bomberos nuevos. ¿De cuántas formas puedo elegir al conductor y al de la escalera?

d) De las cinco asignaturas que me tocan hoy, ¿de cuántas formas pueden repartirse a lo largo de la mañana?

SOLUCIONES Aritmética y álgebra

Intervalos de decrecimiento: (12:11, 12:11:30); (12:11:45, 12:12), (12:17, 12:18); (12:19, 12:20) En estos intervalos se acerca a sus huevos. d) En el intervalo (12:11, 12:11:30). Porque persigue a un animal que intenta robarle los huevos.

1 N: 13,0 Z: –2; 13; 0 Q: –2; 13; 0; 7/4; 5,43 3

Á: –2; 7/4; √2 ; 5,43; 13; π; 0; √–4; 1 – √3

2 3 300 000 espectadores.

2 Dominio: [–8, 8]. Recorrido: [–3, 3]. Máximos:

(–5, 3), (1, 3), (7, 2). Mínimos: (–8, –2), (–2, –3), (4, –2), (8, –1). Intervalos de crecimiento: (–8, –5), (–2, 1), (4, 7). Intervalos de decrecimiento: (–5, –2), (1, 4), (7, 8). Puntos de corte con los ejes: con el eje X son (–7, 0), (–3, 0), (–0,5; 0), (3, 0), (6, 0), (7,7; 0) y con el eje Y es (0, 1). Punto de discontinuidad: la función es discontinua en x = 1.

Error absoluto < 50 000 Error relativo < 50 000/3 300 000 < 0,015

3,5 · 105 · 1,5 · 10–4 = 3,98 · 10–5 1,32 · 106

4 a2/3: a2/3 = 1

3 a) Dominio = [3, +@)

5 2a2 3√2

b) Dominio = (–@, 1) « (1, 5) « (5, +@) = = Á – {1, 5}

6 17 √2 7 Cociente: x – 3

Resto: –3x – 2

8 2x(x – 3)2

d) Dominio = (0, +@)

4 a) Periodo = 8

9k=7

c) Dominio = (–@, –2] « [2, +@)

b) f(4) = 1; f(6) = –3; f(10) = 3; f(21) = f(5) = = 1; f(50) = f(2) = 3

x x–3

2 a) x –2 2x + 6 x – 3x

2 b) x + 6 3

a) x = 4

b) x = 2; x = 1/2

Colocó 35 000 € al 3% y 15 000 € al 15%.

a) [–3/2, 1]

Hay que añadir más de 25 litros.

Hay dos soluciones:

c) T.V.M. [4, 6] = f(6) – f(4) = –4 = –2 6–4 2 T.V.M. [6, 10] = f(10) – f(6) = 6 = 3 10 – 6 4 2

Y 1

b) (–4, 1)

— Largo: 50 m. Ancho: 40 m.

— Largo: 16 m. Ancho: 125 m.

Funciones

X 1

1 a) Se separa 13 minutos de los huevos. b) A 90 m. A las 12:11.

c) Intervalos de crecimiento: (12:06, 12:07); (12:08, 12:09); (12:10, 12:11); (12:11:30, 12:11:45); (12:13, 12:17) En estos intervalos se aleja de sus huevos.

X 2

–6

Y 1 3

–12

SOLUCIONES e)

Y 1

7 Altura = 10 cm. Área = 240 cm2.

8 Altura = 102,9 m.

2 1

9 a) u (–3, 0); 8

v (4, 2)

b) 8

–v

u –v

u 8

a) AC : x + 8y – 5 = 0 B

–1

1 –1

u – v = (–7, –2)

u + v = (1, 2)

M C

b) M (3, 1) 8 c) |AB| = √17 u

Paralela: 3x + y + 8 = 0. Perpendicular: x – 3y + 6 = 0.

a) Pararelas.

(

)

b) Se cortan en el punto – 2 , 5 . 3

X 4

7 a) 3

b) 4

c) –4

d) –5

e) 3

f) 3

g) –4

h) 0

Geometría 1 Perímetro = 64 cm. Área = 180 cm2. 2 Altura maqueta = 36 cm. Área base maqueta = 80 cm2.

3 Perímetro = 36 cm. Área = 54 cm2.

Estadística y probabilidad x = 61 = 3,81; q = 1,33; 16 C.V. = 1,33 = 0,35 3,81 Teresa: x = 68 = 4,25; q = 1,39; 16 C.V. = 1,39 = 0,33 4,25 Es más regular Teresa que Antonio.

1 Antonio:

2 a)

LONGITUDES DE LOS ESPÁRRAGOS INTERVALOS MARCAS DE CLASE

FRECUENCIAS

17-19

4 V = 948 cm3

19-21

5 a = 29° 21' 28''

21-23

23-25

25-27

b = 60° 38' 32'' ì

AOB = a C

cos a = 0,6 ) tg a = 1,3 ì

AOC = b cos b = –0,6 ) tg b = –1,3

DIÁMETROS DE LAS NUECES INTERVALOS MARCAS DE CLASE

FRECUENCIAS

1-2

1,5

2-3

2,5

3-4

3,5

4-5

4,5

5-6

5,5

–4

SOLUCIONES b) Espárragos: x = 438 = 21,9; q = 1,84; 20 C.V. = 1,84 = 0,08 21,9 Nueces: x = 71 = 3,55; q = 1,32; 20 C.V. = 1,32 = 0,37 3,55 c) La distribución más dispersa es la de las nueces, aunque parezca, por la desviación típica, que es mayor la de los espárragos.

3 a) Datos ordenados: 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 13

Me = 10; Q1 = 9; Q3 = 11 8

P[A Y B] = 2/45 + 2/45 = 4/45 P[LAS DOS E] = 2/10 · 1/9 = 2/90 = 1/45 P[ALGUNA A] = 1 – P[NINGUNA A] = 1 – (8/10 · · 7/9) = 1 – 56/90 = 34/90 = 17/45 P[NINGUNA C] = 7/10 · 6/9 = 63/90 = 7/10 P[LAS DOS D] = 0

6 a) P[10] = 3/10 · 1/12 = 3/120 = 1/40 b) P[1] = 3/10 · 1/12 + 7/10 · 1/6 = 1/40 + 7/60 = = 17/120 c) P[LANZAR EL DADO DE PARCHIS] = 7/10

7 a) P[EMPLEADO] = 75/100 = 3/4

b) p60 = 11; p80 = 12; p95 = 13 c)

b) P[1.a A Y 2.a B] = 2/10 · 2/9 = 4/90 = 2/45

b) P[MAYOR DE 50] = 31/100 c) P[JEFE MENOR DE 30] = 1/100 d) P[BECARIO MAYOR DE 50] = 0

4 a) P[AS] = 4/40 = 1/10;

P[OROS] = 10/40 = 1/4; P[AS DE OROS] = 1/40; P[FIGURA] = 12/40 = = 3/10; P[MAYOR QUE 4] = 24/40 = 3/5

b) P[1] = 1/6; P[5] = 1/6; P[NÚMERO PAR] = = 3/6 = 1/2; P[NÚMERO PRIMO] = 3/6 = 1/2; P[MENOR QUE 5] = 4/6 = 2/3 c) P[NEGRA] = 1/2; P[BLANCA] = 1/2; P[PEÓN] = = 16/32 = 1/2; P[TORRE] = 4/32 = 1/8; P[REY] = 2/32 = 1/16; P[PEÓN NEGRO] = = 8/32 = 1/4; P[ALFIL BLANCO] = 2/32 = 1/16

5 a) P[1.a A Y 2.a B] = 2/10 · 2/10 = 4/100 = 1/25 © GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

P[A Y B] = P[1.a A y 2.a B] + P[1.a B y 2.a A] = = 1/25 + 1/25 = 2/25 P[LAS DOS E] = 2/10 · 2/10 = 4/100 = 1/25 P[ALGUNA A] = 1 – P[NINGUNA A] = 1 – (8/10 · · 8/10) = 1 – 64/100 = 36/100 = 9/25

e) P[ENTRE 30 Y 50] = 48/100 = 12/25 f ) P[MENOR DE 30] = 22/100 = 11/50 g) P[MENOR DE 30 / JEFE] = 1/10 h) P[JEFE / MAYOR DE 50] = 7/31 i ) P[MENOR DE 30 / BECARIO] = 12/15 = 4/5 j ) P[ENTRE 30 Y 50 / EMPLEADO] = 42/75 = 14/25 k) P[EMPLEADO / MENOR DE 30] = 9/22 l ) P[JEFE O BECARIO / MENOR DE 30] = 13/22

8 Entre

los jugadores se dan 11 · 11 = 121 apretones. Todos los árbitros dan 5 · 22 = = 110 apretones. Por tanto, se dan 121 + 110 = = 231 apretones de mano. V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 120 P3 3·2·1 b) VR3, 7 = 37 = 2 187

9 a) C10, 3 =

P[NINGUNA C] = 7/10 · 7/10 = 49/100

c) V10, 2 = 10 · 9 = 90

P[LAS DOS D] = 1/10 · 1/10 = 1/100

d) P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Registros de evaluación Se ofrecen dos tipos de registros: el informe individualizado de evaluación recoge los criterios de evaluación y las competencias trabajadas en un conjunto de unidades. Le facilitará la elaboración de informes personalizados para anotar los criterios y las competencias superadas o pendientes. El registro de evaluación por competencias para el aula, de un conjunto de unidades, le ayudará en el seguimiento de la evolución personal y colectiva de cada grupo de alumnos.

Evaluación Aritmética y álgebra Informe individualizado de evaluación Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

CRITERIOS DE EVALUACIÓN UNIDAD 1 NÚMEROS REALES 1.1. Domina la expresión decimal de un número o una cantidad y calcula o acota los errores absoluto y relativo en una aproximación. 1.2. Realiza operaciones con cantidades dadas en notación científica y controla los errores cometidos (sin calculadora). 1.3. Usa la calculadora para anotar y operar con cantidades dadas en notación científica, y controla los errores cometidos. 2.1. Clasifica números de distintos tipos. 2.2. Conoce y utiliza las distintas notaciones para los intervalos y su representación gráfica. 3.1. Utiliza la calculadora para el cálculo numérico con potencias y raíces. 3.2. Interpreta y simplifica radicales. 3.3. Opera con radicales. 3.4. Racionaliza denominadores. 4.1. Maneja con destreza expresiones irracionales que surjan en la resolución de problemas. UNIDAD 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.1. Realiza sumas, restas y multiplicaciones de polinomios. 1.2. Divide polinomios, pudiendo utilizar la regla de Ruffini si es oportuno. 1.3. Resuelve problemas utilizando el teorema del resto. 1.4. Factoriza un polinomio con varias raíces enteras. 2.1. Simplifica fracciones algebraicas. 2.2. Opera con fracciones algebraicas.

UNIDAD 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS 1.1. Resuelve ecuaciones de segundo grado y bicuadradas. 1.2. Resuelve ecuaciones con radicales y ecuaciones con la incógnita en el denominador. 1.3. Reconoce la factorización como recurso para resolver ecuaciones. 1.4. Formula y resuelve problemas mediante ecuaciones. 2.1. Resuelve sistemas de ecuaciones lineales. 2.2. Resuelve sistemas de ecuaciones no lineales. 2.3. Formula y resuelve problemas mediante sistemas de ecuaciones. 3.1. Resuelve e interpreta gráficamente inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 3.2. Resuelve e interpreta inecuaciones no lineales con una incógnita. 3.3. Formula y resuelve problemas mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones.

3.1. Expresa algebraicamente un enunciado que dé lugar a un polinomio o a una fracción algebraica.

Fecha: ....................................................................

COMPETENCIAS/INDICADORES DE SEGUIMIENTO MATEMÁTICA Reconoce los distintos conjuntos de números. Aproxima números como ayuda para la explicación de fenómenos. Opera con números reales para resolver distintos tipos de problemas. Opera con polinomios sin dificultad, y explica con claridad los nuevos procesos aprendidos. Opera con fracciones algebraicas sin dificultad. Domina el uso del lenguaje algebraico para modelizar situaciones matemáticas. Resuelve, sin dificultad, sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones. COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Extrae información numérica de un texto dado. Conoce la relación entre los distintos conjuntos de números y la explica de forma clara y concisa. Entiende enunciados para resolver ejercicios. Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa. Entiende el lenguaje algebraico como un lenguaje con estructuras y características propias. CONOCIMIENTO E INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO Identifica distintos tipos de números y el uso cotidiano que hacemos de ellos. Domina la notación científica y el manejo de errores para describir fenómenos de nuestra realidad. Reconoce la presencia de las matemáticas en la naturaleza. Utiliza el lenguaje algebraico para modelizar situaciones del mundo físico. Aplica sus conocimientos sobre sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones para resolver problemas cotidianos. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL Usa la calculadora como herramienta que facilita los cálculos. Utiliza internet para reforzar y avanzar en su aprendizaje.

Maneja la calculadora para trabajar con polinomios. SOCIAL Y CIUDADANA Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de las matemáticas. CULTURAL Y ARTÍSTICA Contempla los números y los sistemas de numeración como una conquista cultural de la humanidad. Reconoce el componente artístico de las matemáticas. Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje algebraico. APRENDER A APRENDER Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje. Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros. Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre números y álgebra. DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Y COMPETENCIA EMOCIONAL Analiza procesos matemáticos relacionados con números. Decide, ante un problema planteado, qué procedimiento de los aprendidos es el más válido. Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas.

Evaluación Funciones Informe individualizado de evaluación Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

CRITERIOS DE EVALUACIÓN UNIDAD 4 FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS 1.1. Dada una función representada por su gráfica, estudia sus características más relevantes (dominio de definición, recorrido, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, continuidad...). 1.2. Representa una función de la que se dan algunas características especialmente relevantes. 1.3. Asocia un enunciado con una gráfica. 1.4. Representa una función dada por su expresión analítica obteniendo, previamente, una tabla de valores. 1.5. Halla la TVM en un intervalo de una función dada gráficamente, o bien mediante su expresión analítica. 1.6. Responde a preguntas concretas relacionadas con continuidad, tendencia, periodicidad, crecimiento... de una función. UNIDAD 5 FUNCIONES ELEMENTALES 1.1. Representa una función lineal a partir de su expresión analítica. 1.2. Obtiene la expresión analítica de una función lineal conociendo su gráfica o alguna de sus características. 1.3. Representa funciones definidas “a trozos”. 1.4. Da la expresión analítica de una función definida “a trozos” dada gráficamente. 2.1. Representa una parábola a partir de la ecuación cuadrática correspondiente. 2.2. Asocia curvas de funciones cuadráticas a sus expresiones analíticas. 2.3. Escribe la ecuación de una parábola conociendo su representación gráfica en casos sencillos.

3.1. Asocia curvas a expresiones analíticas (proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logaritmos). 3.2. Maneja con soltura las funciones de proporcionalidad inversa y las radicales. 3.3. Maneja con soltura las funciones exponenciales y las logarítmicas. 3.4. Resuelve problemas de enunciado relacionados con distintos tipos de funciones. 4.1. Calcula logaritmos a partir de la definición y de las propiedades de las potencias.

2.4. Estudia conjuntamente las funciones lineales y las cuadráticas (funciones definidas “a trozos”, intersección de rectas y parábolas).

Fecha: ....................................................................

COMPETENCIAS/INDICADORES DE SEGUIMIENTO MATEMÁTICA Interpreta funciones dadas en forma de tabla o mediante su expresión analítica. Domina todos los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica (dominio, continuidad, crecimiento…). Comprende qué implica la linealidad de una función entendiendo esta como una modelización de la realidad. Domina los distintos tipos de funciones estudiados (cuadráticas, de proporcionalidad inversa, radicales, exponenciales y logarítmicas), sus correspondientes gráficas y las situaciones que modelizan. COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Extrae información de un texto dado. Utiliza los términos apropiados al trabajar en el análisis de funciones. Entiende un texto con el fin de poder resumir su información mediante una función y su gráfica. Entiende los enunciados de los ejercicios. Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa. CONOCIMIENTO E INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO Extrae toda la información presente en una función. Aplica sus conocimientos sobre funciones para entender y resolver problemas cotidianos. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL Utiliza internet para reforzar, ampliar y avanzar en sus conocimientos. Maneja la calculadora con soltura para comprobar datos. SOCIAL Y CIUDADANA Analiza fenómenos de la vida real mediante su representación gráfica. Domina las representaciones gráficas para entender informaciones dadas de este modo. Reconoce la utilidad de las funciones para modelizar y estudiar fenómenos cotidianos.

CULTURAL Y ARTÍSTICA Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de las funciones. Descubre el componente lúdico de las matemáticas. APRENDER A APRENDER Utiliza sus conocimientos para resolver problemas. Es consciente de la utilidad de sus conocimientos para trabajar con funciones. Domina los contenidos fundamentales sobre funciones. Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre funciones. Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje. Utiliza sus conocimientos para asimilar y reforzar nuevos contenidos. DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Y COMPETENCIA EMOCIONAL Utiliza la lógica y sus conocimientos matemáticos para analizar gráficas de fenómenos de la vida real. Analiza fenómenos físicos mediante su representación gráfica. Resuelve un problema dado creando una función que lo describa. Elige el procedimiento más adecuado para resolver problemas.

Evaluación Geometría Informe individualizado de evaluación Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

CRITERIOS DE EVALUACIÓN UNIDAD 6 LA SEMEJANZA. APLICACIONES 1.1. Maneja los planos, los mapas y las maquetas (incluida la relación entre áreas y volúmenes de figuras semejantes). 1.2. Aplica las propiedades de la semejanza a la resolución de problemas en los que intervengan cuerpos geométricos. 1.3. Aplica los teoremas del cateto y de la altura a la resolución de problemas. UNIDAD 7 TRIGONOMETRÍA 1.1. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, conociendo los lados de este. 1.2. Conoce las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos más significativos (0°, 30°, 45°, 60°, 90°). 1.3. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo agudo a partir de otra, aplicando las relaciones fundamentales. 1.4. Obtiene una razón trigonométrica de un ángulo cualquiera conociendo otra y un dato adicional. 1.5. Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera dibujándolo en la circunferencia goniométrica y relacionándolo con alguno del primer cuadrante. 2.1. Resuelve triángulos rectángulos. 2.2. Resuelve triángulos oblicuángulos mediante la estrategia de la altura. UNIDAD 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.1. Halla el punto medio de un segmento. 1.2. Halla el simétrico de un punto respecto de otro.

1.4. Relaciona una circunferencia (centro y radio) con su ecuación. 2.1. Obtiene la intersección de dos rectas definidas en algunas de sus múltiples formas. 2.2. Resuelve problemas de paralelismo y perpendicularidad.

1.3. Halla la distancia entre dos puntos.

Fecha: ....................................................................

COMPETENCIAS/INDICADORES DE SEGUIMIENTO MATEMÁTICA Domina la semejanza y la utiliza para resolver problemas. Razona los pasos que conducen a establecer las relaciones trigonométricas fundamentales. Calcula las razones trigonométricas de un ángulo y utiliza las relaciones trigonométricas fundamentales, cuando es preciso. Utiliza correctamente la trigonometría para resolver problemas geométricos. Opera gráfica y analíticamente con vectores, sin dificultad. Encuentra la ecuación de una recta y domina los conceptos de paralelismo y perpendicularidad. Entiende y halla las posibles posiciones de dos rectas. Utiliza los conceptos, los procedimientos y la terminología de la geometría analítica con propiedad. COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Extrae información geométrica de un texto dado. Comprende los enunciados de los problemas y extrae la información necesaria para resolverlos. Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa. Aprende los nuevos términos referentes a la geometría y los utiliza correctamente. CONOCIMIENTO E INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO Reconoce la ayuda de la geometríia para manejarse en el mundo físico y resolver problemas en diversos ámbitos. Es consciente de la contribución de la geometría al desarrollo de otras ciencias. Reconoce la utilidad de las matemáticas para modelizar y estudiar fenómenos de la vida cotidiana y como herramienta para trabajar en otros campos. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL Utiliza internet para poner al día sus conocimientos y avanzar en su aprendizaje. Utiliza con agilidad la calculadora para obtener razones o ángulos. © GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

SOCIAL Y CIUDADANA Toma conciencia de la utilidad de la geometría en multitud de labores humanas. Utiliza la geometría para resolver problemas de la vida cotidiana. CULTURAL Y ARTÍSTICA Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de la geometría. Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la geometría. APRENDER A APRENDER Domina los contenidos fundamentales de geometría. Se interesa por ampliar sus conocimientos en la materia. Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros. Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre geometría. DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Y COMPETENCIA EMOCIONAL Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas. Se adapta a usar distintos métodos para el aprendizaje de los contenidos geométricos.

Evaluación Estadística y probabilidad Informe individualizado de evaluación Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

CRITERIOS DE EVALUACIÓN UNIDAD 9 ESTADÍSTICA 1.1. Construye una tabla de frecuencias de datos aislados y los representa mediante un diagrama de barras. 1.2. Dado un conjunto de datos y la sugerencia de que los agrupe en intervalos, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución. 1.3. Dado un conjunto de datos, reconoce la necesidad de agruparlos en intervalos y, en consecuencia, determina una posible partición del recorrido, construye la tabla y representa gráficamente la distribución. –

2.1. Obtiene los valores de x y q a partir de una tabla de frecuencias (de datos aislados o agrupados) y los utiliza para analizar características de la distribución. 2.2. Conoce el coeficiente de variación y se vale de él para comparar las dispersiones de dos distribuciones. 3.1. A partir de una tabla de frecuencias de datos aislados, construye la tabla de frecuencias acumuladas y, con ella, obtiene medidas de posición (mediana, cuartiles, centiles). 3.2. Construye el diagrama de caja y bigotes correspondiente a una distribución estadística. 3.3. Interpreta un diagrama de caja y bigotes dentro de un contexto. 4.1. Reconoce procesos de muestreo correctos e identifica errores en otros en donde los haya. UNIDAD 10 CÁLCULO DE PROBABILIDADES 1.1. Aplica las propiedades de los sucesos y de las probabilidades. 2.1. Calcula probabilidades en experiencias independientes. 2.2. Calcula probabilidades en experiencias dependientes. 2.3. Interpreta tablas de contingencia y las utiliza para calcular probabilidades. 2.4. Resuelve otros problemas de probabilidad. UNIDAD 11 COMBINATORIA 1.1. Resuelve problemas de variaciones (con o sin repetición). 1.2. Resuelve problemas de permutaciones. 1.4. Resuelve problemas de combinatoria en los que, además de aplicar una fórmula, debe realizar algún razonamiento adicional. 2.1. Resuelve problemas en los que conviene utilizar un diagrama en árbol. 2.2. Resuelve problemas en los que conviene utilizar la estrategia del producto. 2.3. Resuelve otros tipos de problemas de combinatoria. 3.1. Aplica la combinatoria para resolver problemas de probabilidades sencillos. 3.2. Aplica la combinatoria para resolver problemas de probabilidad más complejos.

1.3. Resuelve problemas de combinaciones.

Fecha: ....................................................................

COMPETENCIAS/INDICADORES DE SEGUIMIENTO MATEMÁTICA Conoce los parámetros estadísticos y los calcula. Es consciente de la importancia en la elección de una muestra. Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a una variable estadística. Conoce las técnicas básicas de la probabilidad y las utiliza para resolver problemas. Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a dos o más variables. Utiliza la combinatoria como herramienta para resolver problemas de probabilidad. Domina las técnicas de la combinatoria como medio para resolver problemas. COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Extrae información de un texto dado. Entiende los enunciados de los ejercicios. Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa. Utiliza con propiedad la terminología referente a la estadística, a la probabilidad y a la combinatoria CONOCIMIENTO E INTERACCIÓN CON EL MUNDO FÍSICO Valora la estadística como medio para describir y analizar multitud de procesos del mundo físico. Utiliza las técnicas de la probabilidad para describir fenómenos del mundo físico. Valora la combinatoria como medio para describir y analizar diferentes situaciones del mundo físico. TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN Y COMPETENCIA DIGITAL Utiliza internet para revisar, reforzar y ampliar sus conocimientos. Muestra interés por utilizar herramientas informáticas que permitan trabajar con datos estadísticos. SOCIAL Y CIUDADANA Domina los conceptos de la estadística como medio para analizar críticamente ciertas informaciones. Domina los conceptos de la probabilidad como medio para analizar críticamente ciertas informaciones. © GRUPO ANAYA, S.A., Matemáticas 4.° B ESO. Material fotocopiable autorizado.

Domina los conceptos de la combinatoria como medio para analizar la información críticamente. CULTURAL Y ARTÍSTICA Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la estadística. Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la probabilidad. Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la combinatoria. APRENDER A APRENDER Domina los contenidos fundamentales. Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje. Valora su aprendizaje como fuente de conocimientos futuros. Autoevalúa sus conocimientos sobre estadística, probabilidad y combinatoria. DESARROLLO DE LA AUTONOMÍA E INICIATIVA PERSONAL Y COMPETENCIA EMOCIONAL Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas. Valora los conocimientos estadísticos adquiridos como medio para interpretar la realidad. Aprende procedimientos matemáticos que se pueden adaptar a distintos problemas.

76 Aplica lo que sabe sobre sistemas de ecuaciones e inecuaciones para resolver problemas cotidianos.

Utiliza el lenguaje algebraico para modelizar situaciones reales.

Reconoce la presencia de las matemáticas en la naturaleza.

COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Domina la notación científica y el manejo de errores para describir diferentes fenómenos de la realidad.

Entiende el lenguaje algebraico como un lenguaje con estructuras y características propias.

Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa.

Entiende enunciados para resolver ejercicios.

Extrae información numérica de un texto dado.

Resuelve, sin dificultad, sistemas de ecuaciones no lineales y sistemas de inecuaciones.

Domina el uso del lenguaje algebraico para modelizar situaciones.

Opera con polinomios y con fracciones algebraicas sin dificultad.

Opera con números reales para resolver distintos problemas.

Aproxima números como ayuda para la explicación de fenómenos.

MATEMÁTICA

NOMBRE Reconoce los distintos conjuntos de números.

EVALUACIÓN ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA REGISTRO DE EVALUACIÓN CONOCIMIENTO DEL MUNDO FÍSICO

Analiza procesos matemáticos relacionados con números.

Decide, ante un problema planteado, qué procedimiento de los aprendidos es el más válido.

APRENDER A APRENDER Analiza procesos matemáticos relacionados con números.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre números y álgebra.

CULTURAL Y ARTÍSTICA Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros.

Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje.

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del lenguaje algebraico.

Reconoce el componente artístico de las matemáticas.

SOC. Y CIUD.

Contempla los números y los sistemas de numeración como una conquista cultural de la humanidad.

TTATAMIENTO DE LA INF. Y C. DIGITAL

Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de las matemáticas.

Maneja la calculadora para trabajar con polinomios.

Utiliza internet para reforzar y avanzar en su aprendizaje.

Usa la calculadora como herramienta que facilita los cálculos.

POR COMPETENCIAS PARA EL AULA INICIATIVA PERSONAL Y C. EMOCIONAL

78 Aplica sus conocimientos sobre funciones para entender y resolver problemas cotidianos.

COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Extrae toda la información presente en una función.

Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa.

Entiende los enunciados de los ejercicios.

Entiende un texto con el fin de poder resumir su información mediante una función y su gráfica.

Utiliza los términos apropiados al trabajar en el análisis de funciones.

Extrae información de un texto dado.

Domina los distintos tipos de funciones estudiados (cuadráticas, de proporcionalidad inversa...), sus correspondientes gráficas y las situaciones que modelizan.

Comprende qué implica la linealidad de una función entendiendo esta como una modelización de la realidad.

Domina todos los elementos que intervienen en el estudio de las funciones y su representación gráfica (dominio, continuidad…).

MATEMÁTICA

NOMBRE Interpreta funciones dadas en forma de tabla o mediante su expresión analítica.

EVALUACIÓN FUNCIONES REGISTRO DE EVALUACIÓN CON. DEL M. FÍSICO

Elige el procedimiento más adecuado para resolver problemas.

Resuelve un problema dado creando una función que lo describa.

Analiza fenómenos físicos mediante su representación gráfica.

APRENDER A APRENDER Utiliza la lógica y sus conocimientos matemáticos para analizar gráficas de fenómenos de la vida real.

Utiliza sus conocimientos para asimilar y reforzar nuevos contenidos.

Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre funciones.

Domina los contenidos fundamentales sobre funciones.

CULT. Y ARTÍSTICA Es consciente de la utilidad de sus conocimientos para trabajar con funciones.

Utiliza sus conocimientos para resolver problemas.

Descubre el componente lúdico de las matemáticas.

SOCIAL Y CIUDADANA

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de las funciones.

Reconoce la utilidad de las funciones para modelizar y estudiar fenómenos de la vida cotidiana.

Domina las representaciones gráficas para entender informaciones dadas de este modo.

T. INF. Y C. DIG.

Analiza fenómenos reales mediante su representación gráfica.

Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de las matemáticas.

Maneja la calculadora con soltura para comprobar datos.

Utiliza internet para avanzar en sus conocimientos.

POR COMPETENCIAS PARA EL AULA IN. PERSONAL Y C. EMOCIONAL

80 Aprende los nuevos términos referentes a la geometría y los utiliza correctamente.

Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa.

Comprende los enunciados de los problemas y extrae la información necesaria para resolverlos.

Extrae información geométrica de un texto dado.

Utiliza los conceptos, los procedimientos y la terminología de la geometría analítica con propiedad.

Entiende y halla las posibles posiciones de dos rectas.

Encuentra la ecuación de una recta y domina los conceptos de paralelismo y perpendicularidad.

Opera gráfica y analíticamente con vectores, sin dificultad.

Utiliza correctamente la trigonometría para resolver problemas geométricos.

Calcula las razones trigonométricas de un ángulo y utiliza las relaciones trigonométricas fundamentales, cuando es preciso.

Razona los pasos que conducen a establecer las relaciones trigonométricas fundamentales.

MATEMÁTICA

NOMBRE Domina la semejanza y la utiliza para resolver problemas.

EVALUACIÓN GEOMETRÍA REGISTRO DE EVALUACIÓN COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA

Se adapta a usar distintos métodos para el aprendizaje de los contenidos geométricos.

APRENDER A APRENDER Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas.

Autoevalúa los conocimientos adquiridos sobre geometría.

Valora el aprendizaje de razonamientos matemáticos como fuente de conocimientos futuros.

CULTURAL Y ARTÍSTICA Se interesa por ampliar sus conocimientos geométricos.

Domina los contenidos fundamentales de la geometría.

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la geometría.

SOCIAL Y CIUDADANA Valora la aportación de otras culturas al desarrollo de la geometría.

Utiliza la geometría para resolver problemas de la vida cotidiana.

T. INFORM. Y C. DIGITAL Toma conciencia de la utilidad de la geometría en multitud de labores humanas.

Utiliza con agilidad la calculadora para obtener razones o ángulos.

CONOCIMIENTO DEL MUNDO FÍSICO

Utiliza internet para poner al día sus conocimientos y avanzar en su aprendizaje.

Reconoce la utilidad de las matemáticas para modelizar y estudiar fenómenos de la vida cotidiana y como herramienta para trabajar en otros campos.

Es consciente de la contribución de la geometría al desarrollo de otras ciencias.

Reconoce la utilidad de la geometría para resolver problemas en diversos ámbitos.

Reconoce la ayuda de la geometríia para manejarse en el mundo físico.

POR COMPETENCIAS PARA EL AULA I. PERSONAL Y C. EMOC.

82 Valora la combinatoria como medio para describir y analizar diferentes situaciones del mundo físico.

Utiliza las técnicas de la probabilidad para describir fenómenos del mundo físico.

COMUNICACIÓN LINGÜÍSTICA Valora la estadística como medio para describir y analizar multitud de procesos del mundo físico.

Utiliza con propiedad la terminología referente a la estadística, a la probabilidad y a la combinatoria.

Expresa procedimientos matemáticos de una forma clara y concisa.

Entiende los enunciados de los ejercicios.

Extrae información de un texto.

Utiliza la combinatoria para resolver problemas de probabilidad.

Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a dos o más variables.

Conoce las técnicas básicas de la probabilidad y las utiliza para resolver problemas.

Analiza y saca conclusiones de un conjunto de datos referente a una variable estadística.

Es consciente de la importancia en la elección de una muestra.

MATEMÁTICA

NOMBRE Conoce los parámetros estadísticos y los calcula.

EVALUACIÓN ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD REGISTRO DE EVALUACIÓN CONOC. DEL MUNDO FÍSICO

Aprende procedimientos matemáticos que se pueden adaptar a distintos problemas.

Valora los conocimientos estadísticos adquiridos como medio para interpretar la realidad.

APRENDER A APRENDER Utiliza sus conocimientos matemáticos para resolver problemas.

Autoevalúa sus conocimientos sobre estadística, probabilidad y combinatoria.

Valora su aprendizaje como fuente de conocimientos futuros.

CULTURAL Y ARTÍSTICA Es consciente del desarrollo de su propio aprendizaje.

Domina los contenidos fundamentales.

Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la combinatoria.

Valora las aportaciones de culturas pasadas al desarrollo de la probabilidad.

SOCIAL Y CIUDADANA

Reconoce la importancia de otras culturas en el desarrollo del estudio de la estadística.

Domina los conceptos de la combinatoria como medio para analizar la información críticamente.

Domina los conceptos de la probabilidad como medio para analizar críticamente la información que recibimos.

T. INF. Y C. DIGITAL

Domina los conceptos de la estadística como medio para analizar críticamente la información que recibimos.

Muestra interés por la utilización de herramientas informáticas que permitan trabajar con datos estadísticos.

Utiliza internet para revisar, reforzar y ampliar sus conocimientos.

POR COMPETENCIAS PARA EL AULA INICIATIVA PERS. Y C. EMOCIONAL

Tratamiento de la diversidad La Educación Secundaria Obligatoria se organiza de acuerdo con los principios de educación común y de atención a la diversidad del alumnado. Las medidas de atención a la diversidad de nuestro proyecto están orientadas a responder a las necesidades educativas concretas del alumnado y a la consecución de las competencias básicas y los objetivos del curso. Atender a la diversidad del alumnado y conseguir una mejora de sus resultados académicos puede requerir la adopción de medidas como agrupamientos flexibles, apoyo en grupos ordinarios, desdoblamientos, adaptaciones del currículo, etc. Para contribuir en esta tarea, nuestro proyecto presenta una serie de medidas cuya finalidad es preventiva o compensadora; en un momento dado, cualquier alumno puede precisarlas. Las actividades que se proponen en este material se organizan en dos fichas de trabajo por cada unidad. Plantean cuestiones que permiten asociar diversos contenidos previamente estudiados y ejercitar diferentes destrezas. Tanto las fichas de refuerzo como las de ampliación son recursos dirigidos a desarrollar en los estudiantes las competencias básicas. Al principio de cada unidad se encuentra un esquema de los contenidos tratados en ella, con actividades específicas para cada contenido. Y al final, ofrecemos las soluciones de todas las actividades.

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Números reales Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

NÚMEROS REALES

NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS IRRACIONALES

Son los que se pueden expresar como .......... ....................................................................

La expresión decimal de un número irracional es ....................................................................

EJEMPLOS:

0,125 =

EJEMPLO:

12,333… =

z3 = ............

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS NOMBRE

EXPRESIÓN

NÚMEROS QUE COMPRENDE

REPRESENTACIÓN

EJEMPLO

(a, b) [a, b] (a, b] [a, b) (– @, b) (– @, b] (a, + @) [a, + @) RAÍCES n

• za = b si bn = ...

EJEMPLO:

z8 = 2, porque ............

• Podemos expresar un radical en forma de potencia así: © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

zam = ...

za = ...

EJEMPLOS:

za = ...

81/3 = ...

z32 = ...

53/4 = ...

PROPIEDADES DE LOS RADICALES np

① za = za EJEMPLO:

z53 = ... p

EJEMPLO:

② za · b = za · zb

④ ( za ) = za p n

( z5 )

= ...

EJEMPLO:

z8 · 3 = ...

⑤ z nza = EJEMPLO:

za ③ a = n b zb 4 81 = ... EJEMPLO: 16

zz5 = ...

• Racionalizar denominadores consiste en ................................................................................... ...............................................................................................................................................

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Coloca estos números en el lugar de la tabla que les corresponda: 2,53

)

2,53

3,14

π = 3,141592...

)

1,4

z2 = 1,4142...

NÚMEROS REALES RACIONALES

IRRACIONALES

Escribe, ordenándolos de menor a mayor, tres números del intervalo [2; 2,25].

Representa el número z5, ayudándote de reglas y compás. (Usa el teorema de Pitágoras).

Escribe en notación científica los números siguientes: a) 340 mil millones 8 b) 84 millonésimas 8

Expresa en forma radical y luego simplifica las expresiones siguientes: 3

a) 272/3 = z272 = z(33)2 = ... b) 85/3 = c) 43/2 =

Simplifica las expresiones siguientes: 3

a) z7 · z72 = 5

b) z3 : z32 = 3

c) zz212 =

EXPRESIÓN FRACCIONARIA

NÚMERO

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. EL JARDINERO

El padre de Marta es jardinero municipal. Le encargan que prepare un jardín según las especificaciones del arquitecto. Una vez que ve los planos, se da cuenta de que la tarea va a requerir muchos cálculos y pide ayuda a su hija, que ya está en 4.º de ESO. Según el plano, el jardín será un cuadrado, con otro cuadrado más pequeño en su interior, tal como se ve en el dibujo:

CÉSPED FLORES

El primer problema es que solo le han dado la superficie del cuadrado pequeño, 16 m2. El jardinero le pregunta a Marta cuál sería el lado del cuadrado pequeño y el del grande, añadiendo que en el informe final suelen utilizar siempre tres cifras decimales.

Como quieren poner una valla metálica rodeando el jardín, el jardinero le dice a Marta que cuesta 12 euros el rollo de cinco metros y que si le hace el favor de calcular cuánto se van a gastar en la valla. ¿Puedes ayudar a Marta con los cálculos?

Mientras el jardinero está poniendo la valla, recibe una llamada de su jefa diciéndole que quiere saber la superficie que va a ocupar el jardín, especificando la zona de césped y la de flores, con vistas a introducir los datos en la memoria anual de la concejalía. Marta se ofrece a calcular el dato que piden. ¿Qué resultados obtiene Marta?

Marta se acuerda de que está estudiando cotas de errores en el instituto y decide pasar el rato haciendo cuentas mientras su padre acaba el trabajo. Marta calcula una cota del error absoluto y otra del error relativo de la longitud del lado del cuadrado grande. ¿Cuáles han sido las cotas halladas por Marta?

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Calcula las expresiones siguientes, sin usar calculadora:

)

a) (0,3 + 0,5 )2 : 0,4

)

Representa en la recta real, con ayuda de regla y compás, los números siguientes: a) z5

b) 1 + z5 2

Escribe tres números (ordenándolos de menor a mayor) del interior del intervalo [1; 1,1).

Da el valor aproximado, con 4 cifras decimales, de z3 y halla una cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

Opera esta expresión 0,0000025 , dando el resultado en notación científica. 0,0000125

Expresa estos radicales en forma de potencia, opera y simplifica. 3

a) z2 · z23 : z2 = b)

)

b) 0,2 · (1,2 – 1,1 · 0,3 )

( zz5 )2 : z5 =

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. VISITA AL MUSEO

En la primera excursión escolar, el profesor de matemáticas os lleva al Museo de la Ciencia. Espera que sea un día divertido y aprovecha para encargaros un trabajo sobre la visita. Aquí están algunas de las preguntas que os hace y que tendrás que contestar.

1 Una vez en el museo, nos enteramos de que los ordenadores de información que había

en las salas tenían una memoria RAM de 4 gigabytes. Además, nos dijeron que un gigabyte tiene 1 073 741 824 bytes. Escribe el número de bytes, en notación científica, de cada ordenador.

2 En la sala de astronomía, pudimos leer que la distancia media de Saturno al Sol es

de 1 433 millones de kilómetros. ¿Puedes decirme, en notación científica, cuántos metros son?

3 En el jardín del museo, hay un estanque rodeado de césped, como indica el siguiente dibujo:

ESTANQUE JARDÍN

a) El estanque tiene una superficie de 4 m2. Las zonas de césped se han formado cortando cuatro tepes cuadrados, de igual tamaño que el estanque, y reordenando los trozos para rodear el estanque, formando al final otro cuadrado. ¿Cuál es el lado del cuadrado final? b) Aproxima el valor del lado que acabas de calcular con cinco cifras decimales y da una cota del error absoluto y una del error relativo.

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

PRACTICA 1 a) 16 9

RACIONALES NÚMERO

2,53

) 2,53 ) 3,14 ) 1,4

IRRACIONALES

FRACCIÓN

253 100 251 99 283 90 13 9

4 5 6

a) 3,4 · 1011

b) 8,4 · 10–5

a) 32

b) 25

a) z7 7

b) z3

2 √5

1+√5

Respuesta abierta:

4 z3

= 1,732050... › 1,7321

Ea = 0,00004919... < 0,00005 Er =

0,00005

2 √5

c) 23 c) 22

Cuadrado pequeño: 4 m El perímetro mide 16z2 = 22,627 m.

= 0,0000288... < 0,00005

2,5 · 10–6 = 2 · 10–1 1,25 · 10–5

a) z25

b) z5

APLICA

1 2 3

4,295 · 109 bytes 1,433 · 1012 m a) El lado mide z20 m. b) z20 = 4,47214

Por tanto, toda la valla cuesta 54,30 euros.

Cota del error absoluto = 0,00001 = 2 = 0,000005 m

La parte de césped tiene una superficie de 16 m2.

Cota del error relativo = 0,000005 = 4,47214

La parte de flores tiene una superficie de 16 m2. Cota del error absoluto = 0,0001 = 0,0005 m 2 Cota del error relativo = 0,0005 = 0,000088 m 5,657

1,01 < 1,05 < 1,057

Cada metro de valla cuesta 2,4 euros.

√5

1+√5 2

b) 1 + z5 2

Cuadrado grande: 4z2 = 5,657 m

a) z5 = z22 + 12 0

APLICA

4 81

2 Respuesta abierta: 2,1 < 2,15 < 2,24. 1 3 z5 = z22 + 12 √5 0

b) –

= 0,000001118 m

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Polinomios y fracciones algebraicas Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

El proceso para dividir dos polinomios es similar a ........................................................... EJEMPLO: 3 2

3x – 2x +

La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio entre .................................................. 5 4 EJEMPLO: (6x – 3x + 2x – 3) : (x – 1) 6 –3 0 0 2 –3

x2 + 1 1

DIVISIBILIDAD POR x – a

Para que un polinomio con coeficientes enteros sea divisible por x – a, es necesario que ............ ....................................................................................................................................................

TEOREMA DEL RESTO

El valor que toma un polinomio, P (x), cuando hacemos x = a, coincide con ................................ ....................................................................................................................................................

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

• Factorizar consiste en ..............................................................................................................

• Sacar factor común consiste en FACTORIZACIÓN .............................................................................................. DE POLINOMIOS 4 3 EJEMPLO: 3x + 2x – 5x = ... El valor que toma un polinomio, P (x), cuando hacemos x = a, coincide con • Podemos usar las identidades notables para factorizar. EJEMPLOS:

x 2 + 4x + 4 = ...

x 2 – 6x + 9 = ...

x 2 – 25 = ...

• En general, el procedimiento para factorizar un polinomio es ..................................................... ................................................................................................................................................. EJEMPLO:

x 4 – x 3 – 16x 2 + 16x = ...

FRACCIONES ALGEBRAICAS

• Una fracción algebraica es ....................................................................................................... .................................................................................................................................................

• La forma de operar con ellas es ................................................................................................ .................................................................................................................................................

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Polinomios y fracciones algebraicas Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Divide los polinomios (x5 – 6x3 – 25x) : (x2 + 3x).

Realiza estas divisiones por la regla de Ruffini. Indica el polinomio cociente P(x) y el resto R, en cada caso: a) (x3 – 3x2 + 2x + 4) : (x + 1)

Aplica el teorema del resto y calcula el resto de estas divisiones sin hacerlas. a) (x5 – 32) : (x – 2)

b) (2x4 + x3 – 5x – 3) : (x – 2)

b) (x4 + x2 + 1) : (x + 1)

c) (2x3 – 15x – 8) : (x – 3)

Factoriza estas expresiones, sacando factor común: a) 2x4 – 8x2 + 4x

x5 x3 x2 – + 3 9 3

Factoriza estas expresiones, usando identidades notables. a) 4x2 – 12x + 9 b) 16x2 + 8x + 1 c) 25x2 – 9

Encuentra, mediante Ruffini, las raíces enteras de estos polinomios y factorízalos. a) x3 + 8x2 + 21x + 18

b) x4 – 10x2 + 9

b) 5x3 – 25x2

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. AUTOBUSES INTERURBANOS

El consorcio de autobuses interurbanos de cierta ciudad ha estudiado la afluencia de viajeros los viernes por la mañana. Después de obtener los datos y someterlos al estudio de su centro de cálculo, han llegado a la conclusión de que la afluencia de viajeros, en miles, viene dada por la expresión polinómica V(x) = 27x 3 – 54x 2 + 27x, donde x es la hora de la mañana según la siguiente relación: x = 0 se corresponde con las 6:00 h; x = 1, con las 9:00 h, y x = 2, con las 12:00 h. Una vez calculada la expresión, se la pasan a todos los institutos de la ciudad para que realicen ciertos cálculos.

Lo primero que vas a hacer es factorizar todo lo posible el polinomio V(x). (Saca factor común, aplica las identidades notables, etc.).

Ahora vas a calcular cuántos viajeros llegan en cada momento a la terminal. Completa la tabla siguiente, recordando las equivalencias entre horas del día y valor de x. (Por ejemplo: las 6 h corresponden a x = 0, las 7 h corresponde a x = 1 , etc.). 3

1 3

2 3

10 h

11 h

12 h

V(x) (en miles)

Entre las 6 h y las 10 h, ¿cuál es la hora punta (hora de máxima afluencia de viajeros)? ¿Y la hora de menor afluencia? ¿Cómo se pueden explicar estos datos?

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

¿Cuánto deben valer a y b para que esta división sea exacta? (x3 – 5x2 + ax + b) : (x2 – 3x + 1)

Fíjate en la transformación que podemos hacer en esta división: (x4 – 3x 2 + 2x – 6) : (2x – 6) =

x4 – 3x 2 + 2x – 6 1 x4 – 3x 2 + 2x – 6 = · 2(x – 3) 2 x–3

Fijándote en la última expresión, calcula el cociente de la primera división, por la regla de Ruffini.

Descompón en factores y halla el mín.c.m. y el máx.c.d. de los polinomios:

Comprueba que se verifican las igualdades siguientes: a) b)

( (

)

x2 – 2x – 3 + 1 · x – 1 = 1 x–1 3x – 2 x–1 x – 2x + 1 2

)( )

x –1 · x–y

x–y y2

: 1 =1 y

P(x) = x 5 + 2x4 – 3x 3 – 8x 2 – 4x y Q(x) = x 6 – 4x 5 + 3x4 + 4x 3 – 4x 2

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. AGUA PARA EL GANADO

En una excursión os llevan a una granja-escuela. Allí veis que el encargado está construyendo unos depósitos de agua para el ganado y, viendo sus problemas, decidís ayudarle con los cálculos matemáticos. El ganadero quiere construir dos depósitos de agua. Uno de ellos de forma cúbica para almacenar el agua y el otro, comunicado con este, de modo que tenga la misma anchura, 6 m más de largo y 2 m menos de alto. Este último lo usará como bebedero. El ganadero quiere, además, que los dos tengan la misma capacidad de almacenar agua. Observa el diseño que os enseña el encargado: A x

x x x+6

x–2

Lo primero que tenéis que hacer es expresar el volumen de cada depósito en función de la arista, x.

Lo siguiente que os pregunta el encargado es de qué dimensiones debe construir cada uno de los dos depósitos para cumplir con la condición de que los dos tengan la misma capacidad.

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

1 2

a) C(x) = x – 4x + 6; R = –2 b) C(x) = 2x 3 + 5x 2 + 10x + 15; R = 27

3 4

a) 0

b) 3

a=7 1 0 –3 3 1 3

a) 2x (x 3 – 4x + 2)

(

)

b) 5x 2 (x – 5)

3 2 9 18 60 + 20) = x + 3x + 3x + 10 2 2 6 20 54

P(x) = x(x + 1)2 (x + 2) (x – 2) Q(x) = (x – 1) (x + 1) (x – 2)2 · x 2

a) (2x – 3)2 b) (4x + 1)2

a) (x + 2) (x + 3) (x + 3) b) (x – 1) (x + 1) (x – 3) (x + 3)

máx.c.d. = x (x + 1) (x – 2)

c) (5x + 3) (5x – 3)

mín.c.m. = x 2 (x + 1)2 (x – 2)2 (x – 1) (x + 2)

(

)

x2 – 2x – 3 + 1 · x – 1 = (x – 1)2 (x – 1) 3x – 2

= (3x – 2) · (x – 1) = 1 (x – 1)2 (3x – 2) x – 1

APLICA

2 –6 C(x) = 1 · (x 3 + 3x 2 + 6x +

c) 1

2 c) x x 3 – x + 1 3 3

1 2

b = –2

64748

Cociente: x 3 – 3x 2 + 3x – 9 Resto: 2x

V(x) = 27x (x – 1)2 x

1/3

2/3

4/3

5/3

V(x)

(

= La hora de mayor afluencia es a las 7 h, cuando la gente empieza a llegar para ir a trabajar. La hora de menor afluencia es a las 9 h, cuando la gente ya está en el trabajo.

)( )

x –1 · x–y : 1 = x–y y2 y y (x – y)

(x – y) : 1 = 1 : 1 =1 y y y y2

APLICA

VA = x 3 VB = x (x – 2)(x + 6)

El depósito A debe ser un cubo de lado 3 m.

El depósito B debe ser un prisma de lados 3 m, 1 m y 9 m, respectivamente.

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

INCOMPLETAS

ax + bx + c = 0, con a – 0, se resuelve con la fórmula:

ax 2 + c = 0, con a – 0, se resuelve:

ax 2 + bx = 0, con a – 0, se resuelve:

x = .................................

• Si c < 0, ..................... • Si c > 0, .....................

......................................... .........................................

OTROS TIPOS DE ECUACIONES

BICUADRADAS

CON x EN EL

Para resolverlas, .....................................

DENOMINADOR

................................................................

Para resolverlas, .....................................

EJEMPLO:

................................................................ 2 EJEMPLO: + 2x = 5 x

x 4 – 10x 2 + 9 = 0

CON RADICALES

TIPO (…) · (…) · (…) = 0

Para resolverlas, ....................................... .........................

Para resolverlas, .....................................

EJEMPLO:

zx + 1 – 5 = 0

................................................................ EJEMPLO:

x(x + 1) (2x – 7) = 0

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

SUSTITUCIÓN

IGUALACIÓN

REDUCCIÓN

Consiste en .........................

............................................

INECUACIONES

• Una inecuación es.................................................................................................................... • Las soluciones de una inecuación son ...................................................................................... y se expresan en forma de ......................................................................................................

• Las soluciones de un sistema de dos inecuaciones de primer grado con una incógnita se obtienen mediante ...............................................................................................................

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Resuelve estas ecuaciones de 2.º grado, aplicando la fórmula: a) x 2 – 6x + 8 = 0

Resuelve sin aplicar la fórmula. 5x a) x 2 – =0 2

b) 8x 2 – 32 = 0

Resuelve las ecuaciones bicuadradas siguientes: a) x 4 – 8x 2 – 9 = 0

b) x 4 – 3x 2 – 4 = 0

Resuelve los sistemas.

x+y=1 x · y = –30

678

Resuelve las ecuaciones, quitando primero denominadores. 4 3 1 a) + 9x = 3x + 9 b) 2 + =5 x x x

678

x2 – y2 = 7 x+y=7

Resuelve las inecuaciones. a) 6x – 4 < 2x + 3

100

b) x 2 – 4x + 4 = 0

b) x +

x Ó3 2

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. LA URBANIZACIÓN

La profesora de matemáticas os propone que diseñéis una urbanización de pisos. Tal como se muestra en el dibujo, se pretende edificar 8 bloques de apartamentos en torno a una gran plaza cuadrada de 1 ha de superficie. Cada bloque debe ocupar 216 m2.

¿Cuáles deben ser las dimensiones x e y de cada bloque de apartamentos?

x x x

1 ha y

De cada planta se quieren sacar dos apartamentos como los que ves en el dibujo, de 108 m2 cada uno. ¿A qué distancia de la esquina A se debe construir el tabique de separación? 50 m 108 m2 A 4m

108 m2

En la plaza queremos plantar rosales y árboles. La profesora no recuerda cuántos quiere poner de cada especie, pero se acuerda de que si sumamos el doble del número de rosales más el triple del número de árboles, sale 66. Además, añade que si se suman el número de rosales con la mitad del número de árboles, obtenemos 23. ¿Cuál es el número de rosales y de árboles que vamos a poner en la plaza?

101

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Resuelve estas ecuaciones. a)

(x + 1)2 x + 1 – =9 4 2

b) 3x 2 –

5 x–6 + =2 x – 2 (x – 2)2

d) x 3 – x 2 – 14x + 24 = 0

e) 2 zx – 1 = 4 – x

b) 12 + 12 = 13 x y 1 – 1 =1 x y

64748

678

x+y= 1

Encuentra el intervalo de la recta real que es solución del sistema siguiente:

678

x+3<4–x x – 3x Ì x + 6 2

102

f) zx + 4 + z2x – 1 = 6

Resuelve los sistemas siguientes. a) x 2 + y 2 + xy = 21

4x =0 3

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. ENVASES PARA ZUMOS

La empresa “Buenzumol” quiere lanzar al mercado envases de tetrabrick de diversas formas con una capacidad de 500 cm3 (1/2 l ). Resulta que la persona encargada de los cálculos es amigo de tus padres y te cuenta sus problemas para que veas que incluso un estudiante de ESO puede resolverlos. Añade que, para fabricar los envases, disponen de rollos de cartón plastificado de 30 cm de ancho.

La primera opción que tienen es hacer un envase con forma de prisma de base cuadrada, como se ve en el dibujo: x y x

a) ¿Qué dimensiones tendrá el prisma para que, en su desarrollo, ocupe todo el ancho del rollo? (Recuerda que solo nos interesa la solución entera). b) ¿Qué superficie de cartón se necesitará para cada envase?

La segunda opción es hacer un envase con forma de prisma hexagonal regular, cuya altura mida el doble que el lado de la base. El amigo de tus padres te reta a calcular las dimensiones del tetrabrick para que contenga el mismo volumen que en la primera opción.

a) ¿Qué superficie de cartón se necesita para hacer un envase con las medidas anteriores? b) El amigo de tus padres ya tiene la solución, pero quiere que le digas cuál de los dos envases es más rentable.

Cada pack con un número determinado de envases cuesta 6 €. Pero, como oferta, te dice que van a ofrecer que llevándote 3 envases más, cada uno costará 10 céntimos menos y pagarás los 6 €. ¿Sabrías decir cuántos envases hay en el pack original? ¿Y cuál es el precio de cada tetrabrick?

103

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

a) x = 4; x = 2

a) x = 0, x = 5 2 b) x = 2, x = –2

a) x = 3, x = –3 b) x = 2, x = –2

5 6

b) x = 2

d) x = 2, x = 3, x = 4 e) x = 2 f) x = 5

a) x = 6, y = –5; x = –5, y = 6 b) x = 4, y = 3 7 4

7 ; x = –5 2 4 b) x = 0, x = 9 a) x =

c) x = 4, x = 3

a) x = 1, x = 1 2 b) x = 1, x = –4 5

a) x <

a) x1 = –4, y1 = 5; x2 = 5; y2 = –4 b) x1 =

xé

b) x Ó 2

[

1 1 –1 –1 , y1 = ; x2 = , y2 = 3 2 2 3

–12 1 , 7 2

)

APLICA APLICA x = 4 m e y = 50 m

Se debe construir a 19 m de la esquina A.

Habrá 18 rosales y 10 árboles.

a) El lado de la base mide 5 cm y la altura, 20 cm. b) Cada envase tiene una superficie de 450 cm2.

z3 cm. Así, a) El apotema de la base mide x 2 el lado de la base mide 4,58 cm y la altura, 9,16 cm. Necesitamos 360 cm2. b) El hexagonal, porque necesita menos cartón para el mismo volumen.

En el pack original había 12 envases. Cada tetrabrick cuesta 0,5 €. © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

104

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Funciones. Características Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

FUNCIONES FORMAS DE DAR UNA FUNCIÓN

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una función puede darse por: — una .......................................................... — ................................................................

Una gráfica representa una función si a cada valor de x le ................................................ EJEMPLOS:

Función

No función

— ................................................................ — ................................................................ CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

DOMINIO DE DEFINICIÓN

CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Es el conjunto de valores de x .....................

• f es creciente en un intervalo si ................ .................................................................. • f es decreciente en un intervalo si ............ .................................................................. • f tiene un máximo relativo en un punto cuando ...................................................... • f tiene un mínimo relativo en un punto cuando ......................................................

..................................................................... ..................................................................... Causas que pueden limitar el dominio: ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

DISCONTINUIDADES

• Razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:

a) Tiene ramas ................ b) ........................... c) .............................. d) ................................

• Se dice que una función es continua cuando .............................................................................. VARIACIÓN DE UNA FUNCIÓN

PENDIENTE DE UNA RECTA

TASA DE VARIACIÓN MEDIA EN [a, b ]

Es la variación ...............................................

• Es la pendiente de .....................................

La pendiente de una recta se halla así:

• Si conocemos dos puntos: m = ...........

.................................................................. T.V.M. [a, b] = .......................

• Si conocemos la ecuación de la recta, .........

• Mide el grado de: .......................................

..................................................................

105

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Funciones. Características Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Halla el dominio de definición de estas funciones: a)

b) f (x) =

3 x–2

c) f (x) = zx – 1

X 6

Señala los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los valores de x donde las funciones presentan máximo o mínimo relativos, en cada caso. a)

5 3

¿Cuál de estas funciones crece más “rápido” en el intervalo citado? Averígualo calculando la tasa de variación media en dicho intervalo. a)

b) Y

Y 4

1 1

106

–2

9 10

2 1

X 2

1 X

Y 4

X 1

2 1

X 2

X 1

2 1

X 2

–1

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. DÍA DE SENDERISMO

El instituto ha llevado a hacer senderismo a los estudiantes de Bachillerato. Aprovechando la circunstancia, el profesor de matemáticas os encarga una investigación sobre el día en el campo. La marcha empezó a las 6:00 h y tuvieron que ascender por un monte situado a 12 km del albergue en el que estaban alojados. De las siguientes gráficas, la primera muestra la relación entre el espacio recorrido y el tiempo de caminata, y la segunda, el perfil geológico de la marcha. 24

DISTANCIA (km)

ALTURA (m)

(CIMA) 800

(CIMA) 12 400 6 (ALBERGUE) 200

(ALBERGUE)

10 12 14 16 TIEMPO (h)

DISTANCIA (km)

a) ¿Cuál es el dominio de definición de la función tiempo empleado-distancia recorrida?

b) ¿A qué hora terminó la excursión?

La función es, casi siempre, creciente (a más tiempo empleado, más kilómetros recorridos). Sin embargo, se ve un periodo de tiempo donde la gráfica es un trozo de recta horizontal. ¿Cuál es? ¿Cómo interpretas esa situación durante la excursión? ¿En qué kilómetro ocurre eso?

A lo largo de las dos primeras horas del recorrido (intervalo [0, 2]), la gráfica crece más rápido que en el intervalo [2, 6]. ¿Cuál es la T.V.M. de la función en cada tramo? Interprétalo observando la gráfica del perfil.

Calcula la velocidad empleada en cada uno de los tramos de subida. ¿Cuál es la velocidad media empleada en la subida?

107

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

1 Halla el dominio de las siguientes funciones: a)

b) f (x) = Y

–3

5x – 2 x2 – 3x + 2

X 7

2 Escribe los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes. ¿Cuáles son sus máximos y mínimos? a)

b) Y

4 3 –4

–2

X 3

3 Observa esta función. Calcula la tasa de variación media (T.V.M.) en los intervalos

[ ][ ][ ]

[0, 1], 0, Y 2

1 1 1 , 0, , 0, (Puedes ayudarte de la expresión analítica, y = x2 + 1, 2 4 8 de la función). ¿Podrías estimar a qué valor tiende la T.V.M. para un intervalo [0, 0 + h] cada vez más pequeño?

1,5

1 4

108

1 2

–2

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. CIENCIA-FICCIÓN

Trabajas en el Observatorio Astronómico. A pesar de todas las probabilidades en contra, un hecho fatídico se cierne sobre el planeta: un enorme asteroide va a chocar contra nosotros. Tus compañeros y tú habéis comprobado que cada 3 horas se acerca 4 000 kilómetros más. La única solución que se encuentra es disparar un proyectil con un explosivo de gran potencia que sea capaz de disgregar el asteroide. La ecuación que mide la altura alcanzada por el proyectil, en miles de kilómetros, en función del tiempo es A = (–t2/16) + 2t. En el momento del disparo, el asteroide está a 32 000 km de nuestro planeta. Son las 9:00 h.

1 Tu jefa, con las prisas del momento, te pide que calcules la ecuación que da la distancia que nos separa del asteroide en cada momento. “Y Sánchez”, te grita, “¡no olvides que, como viene hacia nosotros, la distancia decrece!”

2 Una vez que tienes la ecuación, te pide que calcules la hora en la que se prevé que el asteroide choque contra la Tierra.

3 Para poder dar el dato a los militares, con el fin de poder disparar el proyectil, tienes que elaborar dos tablas:

a) Una que relacione la distancia a la que está el asteroide según transcurre el tiempo (hazlo cada 3 horas).

b) La otra, que relacione la altura del proyectil con el tiempo transcurrido (parte de 0 y haz los cálculos cada 4 horas).

4 Para facilitar la labor a los militares, decides adjuntar, junto a las tablas, las gráficas

de las trayectorias del proyectil y del asteroide. Realiza las gráficas en los mismos ejes coordenados. Además, en tu informe di si impactará el proyectil en el asteroide, a qué hora aproximada y a qué distancia de la Tierra, aproximadamente. Todo esto lo puedes hacer mirando las gráficas. ¡Adelante!

109

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

a) [0, 6] c) x Ó 1

b) Û – {2}

(

)

a) [–3, 3) á (3, 7]

a) Crece en (–2, 3) á (5, +@).

5 á (4, 6) á (8, 9) 3

a) Crece en –1, Decrece en

Decrece en (–@, –2) á (3, 5).

( )

Máximo en x = 3 y x = 7.

5 , 4 á (6, 8) á (9, 10) 3

Mínimo en x = 5 y x = –2.

5 , en x = 6 y en x = 9. 3

Máximo en x =

b) Crece en (–@, –4) á (2, +@). Decrece en (–4, –2) á (–2, 2).

Mínimo en x = 4 y en x = 8. b) Crece: (–@, –2) á (4, +@)

Máximo en x = –4. Mínimo en x = 2.

Decrece: (–2, 2) á (2, 4)

Intervalos [0, 1]

Máximo en x = –2. Mínimo en x = 4. a) T.V.M.[1, 2] =

3–0 = 3 2–1 2

b) T.V.M.[1, 2] =

4–1 = 3 2–1 2

c) T.V.M.[1, 2] =

2–1 =1 2–1

6447448

b) Û – {1, 2}

Crecen igual a) y b) y más rápido que c).

T.V.M.

[ ][ ][ ] 1 2

1 2

1 4

1 8

1 32

Podemos estimar que la T.V.M. en un intervalo [0, 0 + h) cada vez más pequeño, tiende a ser 0. APLICA

a) 0 Ì t Ì 14

En 6 Ì t Ì 10. Período de descanso en la cima.

En [0, 2]: T.V.M. =

6 = 3 8 v = 3 km/h 2

En [2, 6]: T.V.M. =

6 = 1,5 8 v = 1,5 km/h 4

b) A las 20 h.

d = 32 – 4 t. La distancia se da en miles de 3 kilómetros.

El asteroide chocará 24 h después, es decir, a las 9:00 h del día siguiente.

En [0, 2] el perfil es más suave: avanzan más rápido.

vm =

12 = 2 km/h 6

t (h)

ASTEROIDE

PROYECTIL

t (h)

• Impacto entre las 12 y 13 horas después del lanzamiento. • Se producirá entre los 15 000 y 16 000 km de altura.

28 ASTEROIDE

24 20 16 12

PROYECTIL

8 4 0

110

APLICA

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Funciones elementales Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

OTRAS FUNCIONES LINEALES

CUADRÁTICAS

A TROZOS

• Expresión: .....................

Su expresión analítica es ..

• Gráfica: .........................

• m = ........

• Si a > 0, ........................

• n es la .........................

• Si a < 0, ........................

........................................ EJEMPLO: °x 2, x < 1 ¢ £1 – x, x Ó 1

• Vértice en x = ......... FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

FUNCIONES RADICALES

• Expresión analítica: .........................................

• Expresión analítica: ................................

• Dominio de definición: ..................................... • Su gráfica se llama ......................................... Gráfica:

• Dominio de definición: ........................... • Gráfica:

• Las rectas a las que se aproximan las ramas de la curva se llaman ..................................... FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

• Ecuación: y = ....................

– La base tiene que ser .............................

– Es creciente si ........ y decreciente si .......

– Pasa por (1, ...) y por (... , ...)

• Dominio de definición: ................................

– Pasa por (0, ...) y (1, ...)

• Dominio de definición: ................................

• Su inversa es ............................................

• Gráfica:

a>1

a<1

DEFINICIÓN DE LOGARITMO DE UN NÚMERO

Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe .......... al exponente ..........................................................................................................

° ¢ £

• Ecuación: y = ....................

loga P = x ï .........

Si la base es 10, los logaritmos se llaman .......................

111

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Funciones elementales Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

1 Representa las funciones cuadráticas siguientes: a) y =

x2 4

b) y = 2x 2 + 6x

c) y = –x 2 + 6x – 5

2 Representa las funciones de proporcionalidad inversa: 3 x

b) y = –

2 x

c) y =

1 x+2

3 Representa las funciones radicales: a) y = zx – 1

112

b) y = zx + 1

c) y = z4 – x

a) y =

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. NEGOCIOS

El hermano de Clara quiere abrir una tienda de fotocopias y le pide ayuda para que realice unos cálculos iniciales sobre la rentabilidad del negocio. Como Clara es amiga tuya, quedáis un día para hacer el trabajo. Clara te dice que el proveedor de su hermano asegura que la fotocopiadora trabaja según la siguiente tarifa por copia: y=

5x + 2 x

donde x es el número de copias e y es el precio expresado en céntimos.

1 En primer lugar, necesitáis saber cómo varía el precio de cada copia según el número de copias. Para ello decidís hacer una tabla para los valores x = 1, 5, 10, 100, …, 1 000, etc. Luego se os ocurre que, quizá, sería muy recomendable ver los datos reflejados en una gráfica y os ponéis a ello. ¿En torno a qué valor se estabiliza el precio por copia?

2 El hermano de Clara le dijo que los gastos que reporta la máquina por su mantenimiento son 15 € por revisarla cada 10 000 copias y 50 € por reponer el tóner de tinta cada 5 000 copias. Os pregunta cuál es el gasto por copia.

3 Se os ocurre que a su hermano le vendría muy bien conocer la función

R(x) que da la

rentabilidad de la máquina en función del número de copias: R(x) = [Tarifa según el número de copias – gasto por copia] · x Junto a su expresión algebraica le dais una tabla de valores y su gráfica aproximada.

4 Si la máquina le ha costado 300 €, ¿con cuántas copias comenzará a amortizarla, es decir, a partir de cuántas copias ganará más de 300 €?

113

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Resuelve, gráfica y analíticamente, el sistema: 1 x–1

2 y=– x +2 2

Representa las funciones siguientes: a)

64748

y=1–

x+1

x<0

x – 2x + 1 0 Ì x < 2 2

zx – 2

2Ìx

¿Es continua? ¿Por qué?

c) y = 2–x + 1

114

b) y = –3 + zx – 1

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. INGENIERÍA HIDRÁULICA

Un vecino, que trabaja en la depuradora del ayuntamiento, te enseña el nuevo diseño que van a empezar a construir. Pero antes necesitan tener ciertos datos para ver si de verdad va a ser útil la nueva depuradora. El diseño es el siguiente:

DEPÓSITO DE AGUA POTABLE

FILTRO 1 FILTRO 2

TUBO DEPURADOR

1,5 m 2

El agua de los embalses llena el pilón A, cuya capacidad es de 90 m3. Cuando este está lleno, se abre el filtro 1 y comienza a llenarse el pilón B.

10 m

Los ingenieros aseguran que el pilón A se vacía según los datos de la siguiente tabla: t (h)

…

VA (m3)

89,6

88,4

…

Además, suponen que sigue una función decreciente cuadrática VA = at 2 + c. Tu vecino te pide que halles la ecuación de dicha función y que construyas su gráfica. ¿Cuánto tarda el pilón A en vaciarse?

Ahora tu vecino te pregunta cuál será la función de llenado del pilón B y en qué momento ambas piletas tienen el mismo volumen de agua.

Una vez lleno B, se abre la válvula del filtro 2 y pasa un cierto volumen de agua al tubo depurador, cerrándose el filtro 2 una vez que el tubo está lleno. El tubo es un cilindro de sección (área de la base) 1,5 m2 y longitud, 10 m. Se estima que el tiempo de llenado y desinfección del agua es de 1 hora. ¿Qué volumen de agua se desinfecta cada hora?

115

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

–2

–4 –2

Y 2

3 –3

–2 –2

3 –3

–2

Y 2

–2

Y 2

–2 –2

y=2

y=0 3 x = –1, y = 2

5,4

5,2

100 5,02

–1

b) 1

–1

…

1 000

…

–1

x = 2, X

APLICA

x2 1 Soluciones de la ecuación 1 – + = 2 x–1 + 2 son: x = 0,

c) 2

–4

4 2

Y 4

No es continua en x = 2 (salto finito).

–2

5,002

–4

–1

APLICA

1 6

VA = –0,4t 2 + 90

90 VA

Se vacía en t = 15 h.

y =5

100

1000

2 3

R(x) ( ) = 3,85 3,85x + 2 x

…

100

…

1 000

R (cént.)

40,5

…

387

…

3 852

R (euros)

0,40

…

3,87

…

38,52

Y R (x)

4 2 10

4 116

A partir de 7 792 copias.

100

0,4t 2 = –0,4t 2 + 90 8 t = 10,6 horas

= 1,15 cént.

VB = 0,4t 2 El volumen de ambos se iguala cuando

El precio se estabiliza en torno a 5 cént. por copia. 15 50 115 + = = 0,0115 € = 10 000 5 000 10 000

15 m3 © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

La semejanza. Aplicaciones Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son ............................................... y sus distancias ......................................................................................................................... ^ Por ejemplo, si las figuras F y F' son semejantes, entonces A = ... , B — — Además, si AB = 2 · A'B', B' A — — A' BC = .......... CD = .......... F'

D' D

entonces — — DA = .......... AC = ..........

y la razón de semejanza es ......................................

TEOREMA DE TALES

^ B = ... , ... = ... , ... = ...

s A'

Dos rectas, r y s, cortadas por segmentos paralelos determinan segmentos ......

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE TALES

B' B

Los triángulos ABC y AB'C' están en posición de Tales porque tienen un ángulo

............. Es decir:

........... = ........... = ...........

opuestos ......................................................

......................... y los lados

Los triángulos en posición de Tales son ......... y se verifica que ........... = ............ = ............

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes condiciones:

• Tienen dos ángulos .................

• Sus lados son .................

lados ................................

b C

c a

• Tienen un ángulo igual y los

a' b'

A' b

^ ^ ^ A = ... , B = ... , C = ...

a = ... = ... a'

^ b = ... A = ... ; b'

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2

b h m

Teorema del cateto: c2 = a · n; b2 = a · m

c a

Teorema de la altura: h2 = m · n

117

UNIDAD

Ficha de trabajo A

La semejanza. Aplicaciones Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Calcula los datos que faltan, sabiendo que estos polígonos son semejantes: x 2 y

10 3

— — Aplica el teorema de Tales y calcula la longitud de los segmentos A'B' y BC .

6 A'

1,5 B

Ramiro observa que la torre de la ermita (30 m) se refleja distorsionada sobre el agua del estanque que la rodea. Situándose en la orilla opuesta y tomando las medidas que se indican, ¿cuál es la anchura máxima del estanque?

1,80 m 3m

Calcula las medidas que faltan en el triángulo rectángulo siguiente:

118

10 cm

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. LA PLAZA DE TOROS

En una localidad han decidido reformar la plaza de toros. Para ello quieren alicatarla por fuera con azulejos esmaltados, además de otras reformas. La profesora de matemáticas os propone en clase que sigáis los mismos pasos que han seguido los técnicos para realizar su tarea.

En primer lugar, se necesita saber la altura de la plaza, pero los planos con los que se construyó se han perdido y hay que medir todo de nuevo. Deciden hacerlo ayudándose de la semejanza de triángulos, tal como se indica en el dibujo. La profesora os informa de que el operario medía 1,70 m. ¿Cuál es la altura de la plaza?

h 5m

1,70 m

Ahora necesitamos conocer el diámetro de la plaza. Para medirlo, se fija una tangente a la plaza, A'B' y, a continuación, una cuerda entre dos estacas, AB, paralela a la tangente, como puedes ver en el dibujo. ¿Cuál es el valor del diámetro?

d 21 m

A' A

B' 6m

Con los datos de los dos problemas anteriores, calcula cuál es la superficie que deben alicatar los operarios.

119

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Calcula la longitud de los datos que faltan en estas figuras. a)

b) O y A'

5 B'

15 40

5,4

Observa esta figura ( ABC es triángulo rectángulo). a) ¿Por qué son semejantes ABC y ABD ? ¿Y ABD y BDC ? — — b) Aplica el apartado anterior para calcular h, AD y DC . B β

β 10 cm D

Calcula el área del triángulo de la figura. ¿Cuál será el área de un triángulo semejante a él y de perímetro 58,4 m?

120

c 6 cm

α A

α 6c

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. CONSTRUYENDO UN PUENTE

El gobierno autonómico va a construir un puente sobre el río a las afueras de tu localidad. Una tarde te pasas por allí para ver cómo lo hacen. Ves que los topógrafos han tomado posiciones delimitando un trapecio, desde cuyos vértices A y B se ve un punto P en la otra orilla del río, tal como aparece en el dibujo de la derecha:

A' 20

450

500

A la vista del dibujo y de los datos que te aporta, ¿cuál será la longitud del puente A'P?

Mientras ves cómo empiezan a trabajar los topógrafos, te preguntas cómo se las apañarán para calcular la altura mínima que debe tener el puente. Por suerte estás cerca de un par de técnicos y les oyes decir que usando un bastón marcador de 1,5 m y alejándose 9 m de la orilla, pueden ver el fondo de la orilla opuesta (observa el dibujo). ¿Cuál es la altura del talud? 1,5 m Longitud del puente 9m

Por último, te enteras de que van a poner postes de acero verticales en los laterales del puente, tal como ves en el dibujo. Has oído a uno de los técnicos que el más alto será de 20 m, pero te preguntas cuánto medirán los otros. D C B

20 m

A O 22,5 22,5 22,5 22,5 A' B' C' D'

121

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

x = 3, y = 5, z = 2,67

x = 1, y = 3

x = 50 m 8 La anchura es 53 m.

C = z100 – 64 = z36 = 6

b) x = 6,75; y = 7,5

El diámetro es de 48 m.

BDC (ángulos respec-

678 678

APLICA La altura es de 38 m.

ABD por tener dos ángulos iguales.

b) Comparando ABC y ABD tenemos: — — — AC AB 10 8 x = 6,4 = AD = ; = — AB AD 8 x DC = 3,6 — — AC AB 10 8 = ; = h = 4,8 BC BD 6 h

h = z6,4 · 3,6 = 4,8

a) ABC

Análogamente, ABD tivamente iguales).

c 2 = a · n; 36 = 10 · n; n = 3,6 m = 6,4

a) x = 8,75; y = 12,75

La superficie lateral es de 5 730,265 m .

m2 = 82 – 62 = 28 ; m › 5,3 h2 = m · n ; 36 = 5,3 · n ; n › 6,8 a = m + n › 12,1 c = za2 – b2 › 9,1 Perímetro = 29,2 m. Área = 36,3 m2. Si el nuevo perímetro es 58,4 = 2 · 29,2, el área será 4 veces mayor: 145,2 m2.

APLICA La longitud del puente es de 180 m.

La altura es de 30 m.

Habrá dos postes de 20 m, dos de 15 m, dos de 10 m y dos de 5 m. © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

122

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Trigonometría Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

TRIGONOMETRÍA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

sen a = ..................... c

cos a = .....................

tg a = ........................

α A

RELACIONES FUNDAMENTALES

Son: I) ..............................................................

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS

II) .............................................................. Sirven para obtener ........................................... ......................................................................... ......................................................................... .........................................................................

30°

45°

60°

sen a cos a tg a

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

Resolver un triángulo es hallar ..................................................................................................... ..................................................................................................................................................

• Triángulos rectángulos: para resolverlos se utiliza ...................................................................... • Triángulos oblicuángulos: para resolverlos es necesario trazar .................................................... ................................................................................................................................................

................................................................................................................................................ RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ENTRE 0° Y 360°

Representación de ángulos

• Se utiliza una circunferencia de radio ........... y centro en ................... que se llama .................. • Para representar un ángulo en la circunferencia se procede así: – Su vértice en ................................................................................. – Uno de sus lados sobre ................................................................. – Para situar el otro lado se mide el ángulo en sentido ....................... ...................................................................................................... Seno, coseno y tangente Si 0° ≤ a ≤ 360°:

z 1

α x

sen a = ....................... cos a = ....................... tg a = ....................... Los ángulos que no tienen tangente son los de ....................................

123

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Trigonometría Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Halla las razones trigonométricas del ángulo a en cada caso: a)

b) 1,4 cm

15 cm

α 4,2 cm

Si sen a =

12 cm

2 , calcula cos a 5

y tg a

utilizando las relaciones fundamentales

Sabiendo que tg a = 2, calcula, en forma de radical, el valor de sen a y cos a (a < 90°).

Resuelve (halla los lados y ángulos desconocidos) el siguiente triángulo: C

6 cm A

10 cm

Calcula el área de este triángulo (calcula primero la altura sobre la base).

124

B m 10 50° h 50 m

(0 < a < 90°).

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. LA BUHARDILLA

Unos tíos tuyos quieren construir una buhardilla sobre su casa del pueblo y te piden ayuda para hacer los cálculos. Observa el plano que te da tu tía y a ver si puedes contestar a sus preguntas.

13 m

4,52 m

60º

A 1m

E h' 40º 8m

1m B

“¿A qué distancia de A y de B habrá que poner la viga de máxima altura?”, te pregunta tu tía. ¿Qué le contestas?

“Oye, me vendría bien que me dijeras cuál va a ser la altura de las puertas de los armarios, h y h', para comprar la madera”. Halla el dato que te pide tu tío.

Una vez hechos los armarios, tus tíos quieren forrar de madera toda la superficie de los techos y te preguntan cuál es esa superficie. (Son rectángulos de longitud 13 m — — y anchura DC y CE respectivamente).

Además, quieren poner radiadores para calentar la buhardilla. Te dicen que cada uno calienta unos 30 m3. ¿Cuántos radiadores necesitarán para toda la buhardilla? (Debes calcular el volumen útil de la buhardilla, esto es, descontando el volumen de los armarios).

125

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

3 , y halla su Dibuja dos ángulos en la circunferencia goniométrica cuyo seno sea 4 coseno y su tangente.

Sabiendo que tg a = –3 y que 0 < a < 180°, halla, sen a y cos a. ¿Cuál es el ángulo a?

Sabiendo que sen 40° › 0,64, calcula:

b) tg 130°

c) sen 220°

En el triángulo de la figura, calcula: A

a) Altura h.

— c) Longitud PC. e) Área. 12 m

10 m

50° B

126

d) cos 320°

— b) Longitud BP. — d) Longitud BC = a.

a) cos 40°

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. LA GRAN PRESA

Paula suele veranear todos los años en un pueblo, cerca del cual van a construir una presa. Curiosamente, una amiga de su madre está en el equipo de trabajo y un día la lleva a ver las obras. Paula aprovecha para hacerle muchas preguntas sobre cómo se diseña y se construye una presa de este tipo.

En primer lugar, Paula quiere saber cómo calculan la anchura de la presa. Su amiga le enseña los dibujos preliminares y le dice. “Bueno, con estos datos, hasta tú puedes calcular la anchura, CD, de la presa”. ¿Cuál es esa anchura?

a 35º

30º

500 m A

Después, Paula le pregunta por la construcción de la presa. Observa el dibujo que vio Paula y calcula la altura, x, de los cimientos. Aprovecha, también, para calcular la longitud d de la rampa de caída.

60 m

60º

Paula se ha enterado de que la presa va a dar servicio eléctrico a los pueblos A y B, tendiendo cables de alta tensión entre la presa y cada uno de los pueblos, y entre los propios pueblos. Esta vez no hace falta que pregunte nada, porque su amiga le asegura que, desde la presa, los pueblos se ven bajo un ángulo de 43°. ¿Cuál es la — distancia entre los dos pueblos? (Calcula primero AA' ). P 43º

40 m

h 30 km

127

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

a) tg a = 0,33

cos a = 0,95

sen a = 0,32 b) sen a = 0,8

cos a = 0,6

tg a = 1,3

cos a = Ï

z 1 – 254 = 0,92

cos a =

1 1 = z5 ; cos a = 2 cos2 a 1 + 2 z 5 2 sen a = 1 – 5 = 20 = z5 25 25 5 a = 11,66 ^ ^ B = 30° 57' 50'' C = 59° 2' 10''

4 5

tg a = 0,43

h = 7,66 8 A = 191,5 m2

tg a = 1,13 tg b = –1,13

cos a = –0,31 sen a = 0,9

a = 108° 26'

a) cos 40° = 0,77

b) tg 130° = –1,19

A 2,61 m de A y a 5,39 m de B.

c) sen 220° = sen (180° + 40°) = – sen 40° = = – 0,64

h = 1,73 m h’ = 0,84 m

d) cos 320° = cos (360° – 40°) = cos 40° = = 0,77

La parte izquierda del techo es un rectángulo de 13 m de ancho y 3,22 de alto. Su superficie es de 41,86 m2. La parte derecha tiene 13 m de ancho y 5,74 m de alto. Su superficie es de 74,62 m2.

La altura de la viga más alta es de 4,52 m.

El volumen de la buhardilla es 235,04 m . El volumen de los armarios es 11,245 m3 y 5,46 m3, respectivamente. Por tanto, el volumen que se debe calentar es de 218,335 m3. Así, se necesitan 218,335 : 30 = 7,28 ≈ 8 radiadores.

h = 12 · sen 50° › 9,19 m — BP = 12 · cos 50° › 7,71 m — PC = z102 – h2 = 3,94 m — BC = 11,65 m Área = 53,53 m2

128

cos b = –0,66

APLICA

1 2

z1 – ( 4 )

cos a = 0,66

1 + tg2 a =

APLICA

1 2

La anchura de la presa es 1,67 km. Los cimientos medirán 9,28 m de altura. La rampa mide 80 m.

La distancia entre los pueblos es de 20,55 km.

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Geometría analítica Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

GEOMETRÍA ANALÍTICA PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las coordenadas del punto medio M de un segmento de extremos A y B son: A(x1, y1), B(x2, y2) 8 M(............. , .............) Por ejemplo, si A(3, –6) y B(–1, 4), entonces las coordenadas

A (x1, y1)

M O

del punto medio son: ...............................................................

B (x2, y2)

................................................................ M(............. , .............)

PUNTOS ALINEADOS

8 8 Los puntos A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3 ) están alineados si los vectores AB y BC son ....................... , es decir, si sus coordenadas son .................... C

y3 B

y2 y1

A x1

y2 – y1 = .................... x2 – x1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

8 La distancia entre los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2) es d = | AB| = z................... Por ejemplo, si A(3, –7) y B(8, 5), entonces d = ....................................

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

Las pendientes de las rectas r1 y r2 son, respectivamente, m1 y m2. – Si r1 y r2 son paralelas, entonces m2 = ............ – Si r1 y r2 son perpendiculares, entonces m2 = ............ Por ejemplo, si la pendiente de una recta r es 2, la pendiente de cualquier paralela a ella es ............ y la pendiente de cualqier recta perpendicular a ella es ............ EJEMPLO:

y = 2x + 3 es ............ a y = 2x – 5 y ............ a y =

–1 x – 4. 2

Ax + By + C = 0 es la ecuación de una recta r : – Si A = 0, entonces r es paralela al eje ............

EJEMPLO:

3y – 5 = 0

– Si B = 0, entonces r es paralela al eje ............

EJEMPLO:

3x – 5 = 0

– Si B ? 0, entonces la pendiente de r es ............

129

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Geometría analítica Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Calcula las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB en los casos siguientes. Comprueba que d(A, B) = 2 · d(A, M). a) A(–3, 5), B(5, 3)

b) A (–4, –6), B (–2, 4)

Comprueba si están alineados los puntos A, B, C, en los casos siguientes: a) A (2, 3), B(3, 5), C(–2, –5)

b) A (2, 3), B (3, 7), C (–2, –3)

Calcula el perímetro del triángulo de vértices A(2, 3), B (8, 0) y C (11, 8).

En el ejercicio anterior, calcula la ecuación de la recta AC y la ecuación de la recta perpendicular a ella que pasa por B. ¿En qué punto, D, ambas rectas se cortan?

Dada la recta 3x – 2y + 5 = 0, calcula su pendiente y halla: a) Ecuación de la recta r paralela a ella que pasa por A(1, –5). b) Ecuación de la recta s perpendicular a ella por B(–3, 4). c) ¿Cómo son las rectas r y s, entre sí? (Observa la pendiente de ambas).

130

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. INFRAESTRUCTURAS VIARIAS

En un estudio de ingeniería civil se van a proyectar unas autovías que sustituyan a una antigua carretera en muy mal estado y con muchas curvas. La antigua carretera va desde A hasta C, y ahora quieren construir dos ramales paralelos, uno que pase por A y otro que pase por C. Para hacer el informe, se han colocado unos ejes coordenados con centro en O (la gasolinera).

100 m

r A

EL PAS EV O AD O

CARRETERA ANTIGUA

GASOLINERA

¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el ramal r?

¿Y cuál es la ecuación del ramal s?

Desean diseñar otro ramal que comunique A con A', perpendicular a ambas autovías. ¿Qué ecuación tendrá la recta AA'? ¿Cuáles son las coordenadas de A'? ¿Qué longitud tendrá el paso elevado?

Quieren construir otra gasolinera, G, en la autovía s y que esté en la perpendicular a r pasando por O. ¿Qué coordenadas tendrá G? Es conveniente que calcules primero la ecuación de la recta OG.

131

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Calcula las coordenadas del punto A', simétrico de A (–4, 5), respecto al punto P (–6, –3).

Dado el triángulo de vértices A(–5, 1), B (–2, –4) y C (4, 5), halla: a) Su perímetro.

c) Punto D de corte de AB con r.

— d) Distancia CD.

e) Área del triángulo ABC.

132

b) La ecuación de la recta r perpendicular a AB que pasa por C.

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. CARRETERAS DE MONTAÑA

En una zona de montaña, las autoridades quieren proyectar un nuevo sistema de carreteras. Pretenden construir dos tramos paralelos de autovía por los valles de la zona. Los topógrafos han elaborado un mapa orográfico sobre unos ejes coordenados para facilitar los cálculos de los ingenieros. Sofía está en el equipo de planificación y os enseña el mapa para que la ayudéis con los cálculos. El centro del sistema de coordenadas lo han puesto en una localidad cercana. Este es el mapa:

B r

C G s

L NE

1 km O

TÚ

“Vamos a ver, chicos. Según el plano, ¿cuáles son las coordenadas de O y de A ? Una vez que las hayáis calculado, ¿cuál es la ecuación de la carretera r ?”

“Supongo que ahora os resultará más fácil decirme cuál es la ecuación de la autovía s que pasa por B”.

“Acaban de decirme que quieren construir un nuevo ramal entre O y B con una gasolinera, G, en su punto medio. Tenemos que calcular la ecuación de este nuevo ramal, las coordenadas de G y la distancia de la gasolinera hasta B (mirad, en el plano, a qué distancia equivale una unidad)”.

“Los ingenieros quieren construir un túnel que una las autovías r y s, y que sea perpendicular a ambas. Una de las entradas debe estar en O. ¿Qué ecuación tendrá? ¿Qué coordenadas tendrá la otra salida del túnel, C?”

133

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

PRACTICA d (A, B) = 2z17 d (A, M) = z17

a) M(1, 4)

b) M(–3, –1) d (A, B) = 2z26 d (A, M) = z26

1 2

a) Sí están alineados.

A'(–8, –11) a) 26,41 u b) y – 5 =

3 (x – 4) 5

(

)

b) No están alineados.

c) D

P = d(A, B) + d (B, C ) + d(A, C ) = = z45 + z73 + z106 › 25,54

Recta AC: y =

d) d (C, D) = 9,78 u

5x 17 + 9 9

e) A =

• Recta perpendicular a AC por B: 9x 72 y=– + 5 5 • Punto D de corte: 5x 17 9x 72 + =– + 9 9 5 5 D=

(

563 513 , 106 106

)

La ecuación es y = –

La ecuación del nuevo ramal es y =

3 (x – 1) 2

7 63 x+ . 5 5 7 x. 4

7 . 2

La distancia de la gasolinera a O es 4,03 km.

2 (x + 3) 3

La ecuación del túnel es y = Las coordenadas de C son › (5,96; 4,26).

APLICA

5x . 7

(

)

441 2 205 , › 74 518

y = –x y = –x + 7 La recta AA' tiene como ecuación y = x + 8. 1 15 Las coordenadas de A' son – , . 2 2

(

)

El paso elevado tendrá, aproximadamente, 495 m. La ecuación de OG es y = x. Las coordenadas de G son

134

Las coordenadas de O son (0, 0); las de A, 7 (–5, 7). La ecuación es y = – x. 5

( )

c) Perpendiculares.

Las coordenadas de G son 2,

b) y – 4 = –

1 2 3

d(A, B) · d(C, D) › 28,09 u2 2

APLICA

3 2

a) y + 5 =

–149 –1 , 34 34

( )

7 7 , . 2 2

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Estadística Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

ESTADÍSTICA VARIABLES ESTADÍSTICAS

Variables cuantitativas son las que ............................................................................................ Pueden ser de uno de estos dos tipos:

• cuantitativas discretas si ......................................................................................................... • cuantitativas continuas si ........................................................................................................ Variables cualitativas son las que ............................................................................................... EJEMPLOS:

“la profesión del padre” es .......................................................................................... “el peso” es ............................................................................................................... “el número de coches que hay en cada familia” es ....................................................... PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

– MEDIA: x = ..................................................... DESVIACIÓN TÍPICA: EJEMPLO:

q = ......................................

VARIANZA:

Var = ..................................................

COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

C.V. = ..............................

Calcular –x, Var, q y C.V. para los valores siguientes: 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9

MEDIDAS DE POSICIÓN

Cada una de las medidas de posición es un parámetro que divide a la población en dos trozos de tamaños previstos.

• La mediana, Me, parte a la población en dos trozos ..................................... Es decir, el ...... % de la población mide menos que Me y el ...... % mide más.

• El cuartil inferior, Q1, deja por debajo al ...... % y por encima al ...... %. • El cuartil superior, Q3, deja por debajo al ...... % y por encima al ...... %. EJEMPLO:

Di cuáles son la mediana y los cuartiles de la siguiente distribución: 2, 3, 4, 4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10

135

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Estadística Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Dada la distribución siguiente: 3

Completa la tabla siguiente: xi

xi fi

xi 2fi

3 4 5 6

Con ayuda de la tabla, calcula los parámetros –x, q y C.V.

Completa ahora esta otra tabla: xi

en %

3 4 5 6 8

136

Con los datos de la segunda tabla, calcula Q1, Me y Q3.

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. CONTROL DE LIMITACIÓN DE VELOCIDAD

En un punto conflictivo de una carretera existe un limitador de velocidad a 90 km/h. Se ha hecho un estudio estadístico, midiendo por radar la velocidad de los vehículos que han pasado por allí durante una hora. El resultado, correspondiente a 30 coches, ha sido el siguiente:

100

110

120

130

110

105

100

110

130

140

El departamento de estudios estadísticos necesita agrupar los datos en una tabla para poder empezar con los cálculos. ¿Puedes ayudarles completando la siguiente tabla? INTERVALO

MARCAS

xi 2fi

xi fi

[58, 72) [72, 86) [86, 100) [100, 114) [114, 128)

[128, 142)

Necesitan que calcules los parámetros –x, Var, q y C.V.

Para poder elaborar un informe preciso, tienen que construir el polígono de frecuencias acumuladas. Haz este trabajo por ellos.

Fi 30 25 20 15 10 5 58

100

114

128

142

¿Hasta qué velocidad transitan el 25% de los vehículos muestreados?

¿De qué velocidad no exceden el 50% de los vehículos?

137

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

En la tabla siguiente se muestran los datos de un estudio hecho sobre las calificaciones obtenidas por un grupo de 30 alumnos en una prueba de Matemáticas. fi

[0, 5)

[5, 7)

[7, 9)

[9, 10)

Completa la siguiente tabla: xi

xi fi

xi 2fi

en %

Calcula –x y q .

Calcula Q1, Q2 y Q3. Utiliza un procedimiento geométrico como hacemos aquí con Q1: Por semejanza: %

40 25 8 x = ... = 5 x

40 Q1 = 25 CALIF. x

138

CALIFICACIONES

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. NIVEL ECONÓMICO DE UNA REGIÓN

El profesor de Geografía de una de tus amigas les ha pedido que hagan un trabajo sobre el nivel económico de vuestra región. A tu amiga le hacen falta unas cuantas herramientas matemáticas que tú conoces, por lo que le ayudas a hacer su trabajo. El diagrama de barras que te muestra indica el FAMILIAS nivel de ingresos anuales de 1 000 familias encuestadas. Los niveles A, B, C y D corresponden 420 a los intervalos de ingresos (en miles de euros) 400 300 [0, 9), [9, 12), [12, 15) y [15, 21), respectivamente. 180 200 100 A

Lo primero que necesita tu amiga es un histograma, teniendo en cuenta que los intervalos no tienen todos el mismo ancho. Constrúyeselo.

160

120

Realiza ahora un estudio estadístico completando una tabla de datos y los parámetros – Var, q y C.V. x, INTERVALO

xi2

xi fi

xi2fi

[0, 9) [9, 12)

[12, 15) [15, 21)

¿Cuántas familias están por debajo de la media de ingresos anuales?

Tu amiga necesita tu ayuda para calcular los niveles de ingresos correspondientes a Q1, Q2 y Q3. Necesita, además, interpretar los resultados. Ayúdala.

139

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

2 3

xi fi

xi 2fi

en %

2,5

288

66,67

384

86,67

9,5

361

100

192

164

1 108

xi fi

xi 2fi

–x = 5,25, q = 1,88; C.V. = 2,79 xi

en %

41,67

58,33

100

–x = 164 = 5,47; q = 30

Q1 = 3,125; Q2 = Me = 5,75; Q3 = 7,83

40 A

xi fi

390

25 350

36,7

395

31 205

56,7

558

51 894

107

76,7

642

68 694

121

83,3

242

29 282

135

100

675

91 125

15 5

xi fi

xi2fi

4,5

180

810

3 645

10,5

300

480

3 150 33 075

13,5

420

900

5670

100

1000

100

1 800 32 400

q = 3,88

76 545

2 –x = ∑ xi fi = 11,43; Var = ∑ xi fi – x 2 = 15,025 N N

–x = 96,73 km/h; Var = 561,61; q = 23,7;

q C.V. = – = 0,34 › 34% x

Por debajo de la media de ingresos están el 47,43% de las familias.

Q1 = 9,7: El 25% de las familias están por debajo de 9 700 € anuales.

Q2 = 12,143: El 50% de las familias están por debajo de 12 143 € anuales.

10 5 58

140

4 5

C.V. = 0,25 › 25%

160

120

APLICA

– 5,472 = 2,65

APLICA

Q1 = 3,5; Me = 5; Q3 = 6,5

108 z 130

100

114

128

El 25% circulan a 76,19 km/h o menos. No exceden de 95,31 km/h.

142

Q3 = 13,929: El 75% de las familias están por debajo de 13 928 € anuales.

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Cálculo de probabilidades

Nombre y apellidos apellidos: ..................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................ Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

CÁLCULO DE PROBABILIDADES PROPIEDAD FUNDAMENTAL DEL AZAR. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

• Repetimos un experimento un número N de veces, todo lo grande que deseemos. Anotamos el n.º de veces que sale un suceso S determinado. A ese número le llamamos frecuencia absoluta f(s) de S. f(s) • A medida que N crece, el cociente (frecuencia relativa de S) se estabiliza en torno a un valor. N • Consecuencias: Al hacer una experiencia aleatoria con un instrumento irregular, estimamos la f(s) probabilidad de un suceso S asignándole el valor p = (p es una medida de la presencia N del suceso en el experimento).

LEY DE LAPLACE

• Si realizamos una experiencia aleatoria con un instrumento regular (dado no trucado, moneda, etc.), número de casos favorables a S la probabilidad de un suceso S es el cociente p = números de casos posibles EJEMPLO:

Probabilidad de sacar n.º primo al tirar un dado: S = {2, 3, 5} p = ......................

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

El cálculo de probabilidades en una experiencia compuesta se simplifica si se descompone en experiencias simples. Estas pueden ser independientes o dependientes. Experiencias independientes. Dos experiencias son independientes cuando .................................

.................................................................................................................................................. En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = .............................................................................. .................................................................................................................................................. Experiencias dependientes. Dos experiencias son dependientes cuando ....................................... .................................................................................................................................................. En este caso, P[S1 en la 1.ª y S2 en la 2.ª] = .............................................................................. EJEMPLOS:

• Las experiencias “lanzar un dado” y “lanzar una moneda” son ................................................... Por tanto, P [3 en el dado y

CARA

en la moneda] = ......................................................................

• Si tenemos una bolsa con 3 bolas blancas y 2 negras y realizamos dos extracciones, las experiencias “color de la 1.ª bola” y “color de la 2.ª bola” son .............................................. Por tanto, P[blanca la 1.ª y blanca la 2.ª] = ..............................................................................

141

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Cálculo de probabilidades

Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Si lanzas una moneda 3 veces: a) ¿Cuántos resultados posibles obtienes? b) ¿Qué probabilidad tienes de sacar solo dos caras? c) ¿Y de no sacar más de una cruz?

Extraemos una carta de una baraja de 40. Calcula: a) Probabilidad de que sea

AS.

b) Probabilidad de que sea

c) Probabilidad de sacar

FIGURA.

COPAS.

De una urna con 5 bolas rojas, 3 negras y 2 blancas extraemos una bola, la reponemos a la urna y luego hacemos una 2.ª extracción. a) ¿Qué probabilidad hay de que no salga blanca en ambas?

142

En un juego, el jugador gana si, al lanzar una moneda 3 veces y extraer una carta de una baraja, el resultado sea: “No sacar más de una cruz” y “No salgan espadas”. En caso contrario pierde. ¿Qué probabilidad tiene el jugador de ganar?

b) ¿Y si después de la 1.ª extracción no reponemos la bola?

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO

Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta: “¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré una carta de la baraja. — Si sale cara 2 o 3 veces y la carta es de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta. — Si sale cara 0, 1 o 4 veces y la carta es de Oros o Copas, entonces le daré a usted un 50% más de lo que apostó. — Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!” El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís hacer unos cuantos cálculos.

En primer lugar, os preguntáis cuál será la probabilidad de sacar cara 0, 1 o 4 veces.

Luego, queréis calcular la probabilidad de sacar 2 o 3 caras.

Pasáis a las cartas. Os ponéis a calcular la probabilidad de sacar Oros o Copas al extraer una carta de la baraja.

¿Qué probabilidad tenéis de ganar la apuesta? ¿Y de perderla? ¿Y de seguir jugando sin ganar ni perder?

¿Qué se espera que ocurra si el apostador pone x euros en el platillo? Os dais cuenta de que tenéis que analizar la función de ganancia o pérdida E(x) = 1,5 x p – x q, donde p es la probabilidad de ganar y q es la probabilidad de perder.

¿Cuál será el resultado más probable si apostáis 100 euros entre todos? ¿Y si pudierais jugar 1 000 euros?

143

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Cálculo de probabilidades

Fecha: ....................................................................

PRACTICA

Tengo 6 tarjetas A, B, C, D, E, F. a) ¿De cuántas formas distintas puedo escoger dos de ellas? b) ¿Cuántas de esas formas tienen solo una vocal? c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos consonantes?

En una serie semifinal de 100 m lisos de atletismo, se clasifican los dos primeros para la final. Participan 6 atletas.

Para una oposición, el temario consta de 25 temas y, para aprobarla, hay que contestar bien a dos temas extraídos al azar. Luis ha preparado 15 temas. a) ¿De cuántas formas distintas le pueden salir dos temas estudiados? b) ¿Qué probabilidad tiene de aprobar? c) ¿Es más probable que apruebe Begoña que, en su oposición de 30 temas, ha preparado 17?

144

a) ¿De cuántas formas distintas pueden clasificarse? b) De los 6 atletas, tres son del mismo equipo. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos clasificados sean del mismo equipo?

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. FIESTAS EN EL BARRIO

Durante las fiestas del barrio, vas con tus amigas y amigos a la feria. Allí os paráis ante una caseta donde el feriante os propone la siguiente apuesta: “¡Apueste y gane! Tiraré una moneda cuatro veces y luego sacaré dos cartas de la baraja. — Si sale cara 2 o 3 veces y las cartas son de Bastos o Espadas, me llevo su apuesta. — Si sale cara 0, 1 o 4 veces y las cartas son de Oros o Copas, entonces le daré a usted un 30% más de lo que apostó. — Si sale otro resultado, ¡seguimos jugando!” El juego parece muy beneficioso para el apostador, pero hay algo que os preocupa y decidís hacer unos cuantos cálculos.

¿Cuál es la probabilidad de sacar cara 0 veces? ¿Y la de sacarla una vez? ¿Y dos veces? ¿Y tres veces? ¿Y cuatro veces?

¿De cuántas formas distintas pueden extraerse dos cartas cualesquiera de una baraja?

¿De cuántas formas pueden salir Oros o Copas? [Analiza el número de veces que puede salir (O, O), (C, O) o (C, C)].

¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta el participante? ¿Y de que pierda?

Si apostáis 1 euro, ¿qué se espera que ocurra? Tenéis que analizar la expresión E(x) = 1,3 x p – x q para x = 1, donde p es la probabilidad de ganar y q la de perder.

¿Y qué ocurrirá si apostáis 1 000 euros?

145

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

a) 23 = 8 resultados 3 8 4 c) {CCC, CC+, C+C, +CC} 8 p = 8

b) {CC+, C+C, +CC} 8 p =

3 4

4 1 = 40 10 4 12 16 + = b) p = 40 40 40 c) P[A o C] = P[A] + P[C] – P[As de Copas] = 4 10 1 13 + – = = 40 40 40 40

6·5 = 15 2·1

b) Con una vocal (A o E) hay 4 formas distintas. Luego hay 8 formas distintas con una vocal cualquiera. c) Dos consonantes se extraen de C4, formas. 6 2 Luego p = = . 15 5

a) p =

– – 8 8 64 a) P [B y B ] = · = 10 10 100 – – 8 7 56 b) P [B 1 y B 2] = · = 10 9 90 4 P [No sacar más de una cruz] = 8 30 3 P [No espadas] = = 40 4 4 3 3 P [Ganar] = · = 8 4 8

a) C6, 2 =

= 6

a) C6, 2 = 15 b) Tres de ellos se clasifican de C3,2 = 3 formas. 3 1 Luego p = = . 15 5

APLICA

P [sacar cara 0 veces] = P [sacar cara 1 vez] =

1 16

4 16

6 16 4 P [sacar cara 3 veces] = 16 1 P [sacar cara 4 veces] = 16

P [sacar cara 2 veces] = 6 3 = 16 8

P [0, 1 o 4] =

P [2 o 3] =

P [Oros o Copas] =

P [ganar] =

10 5 = 16 8 1 2

2 3

6 3 = 32 16

16 1 = 32 2

Se espera que el resultado sea: 6 10x –x E(x) = 1,5x · – = 32 32 32

E(100) = –3,13 € E(1 000) = –31,25 €

146

· C10,

= 100

Oros y Oros salen de C10, 2 = 45 formas.

El apostador perderá 1/32 de lo que apueste.

Oros y Copas salen de C10, maneras.

Copas y Copas salen de C10, 2 = 45 formas.

10 5 = P[perder] = 32 16 P[seguir jugando] =

C40, 2 = 780 formas distintas.

5 6

Por tanto, Oros o Copas saldrán de 190 formas. 19 La probabilidad de ganar, p, es de = 0,09. 208 95 La probabilidad de perder, q, es de = 0,15. 624 E(1) = –0,033, es decir, se perderá 3 cént. En ese caso, se perderán 30 euros.

APLICA

UNIDAD

Recuerda lo fundamental

Combinatoria

Fecha: ....................................................................

COMBINATORIA VARIACIONES CON REPETICIÓN

Son las agrupaciones ordenadas de n elementos que se pueden formar a partir de m elementos distintos. Pueden repetirse e influye el orden. El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es: VRm, n = ........................ EJEMPLO:

¿Cuántos resultados pueden salir al tirar una moneda dos veces? VR2, 2 = ...................

¿Y tres veces? ................... VARIACIONES

Son las agrupaciones ordenadas de n elementos no repetidos que se pueden formar a partir de m elementos distintos. El número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es: Vm, n = ........................ EJEMPLO:

¿De cuántas maneras 6 atletas pueden quedar primero, segundo y tercero en una carrera?

......................................................................................................................................................... PERMUTACIONES

Son las distintas formas en que se pueden ordenar los m elementos de un conjunto. El número de permutaciones de m elementos es:

Pm = ........................ EJEMPLO:

¿De cuántas maneras puedo colocar tres libros en una estantería, de izquierda a derecha?

.........................................................................................................................................................

COMBINACIONES

Son los distintos subconjuntos de n elementos que se pueden obtener con un conjunto de m elementos. No influye el orden. No se pueden repetir. El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es: Cm, n = ........................ EJEMPLO:

¿Cuántos tríos puedo escoger de un grupo de cinco alumnos?

.........................................................................................................................................................

147

UNIDAD

Ficha de trabajo A

Combinatoria

Fecha: ....................................................................

148

Cuatro equipos de fútbol-sala A, B, C, D se enfrentan entre sí, todos contra todos, en un torneo. ¿De cuántas formas diferentes pueden quedar al final el 1.º y el 2.º? Utiliza un diagrama de árbol.

En una liga de 10 equipos de balonmano, ¿de cuántas formas pueden quedar clasificados los tres primeros? ¿En cuántas de ellas A es campeón?

Lanzo un tetraedro (4 caras) numerado. ¿Cuántos resultados pueden salir? ¿Y si lo lanzo dos veces? ¿Y si lo lanzo tres veces?

Con dos colores: A (azul) y R (rojo), ¿cuántas banderas de dos franjas verticales puedes formar? ¿Y con tres colores para tres franjas?

Queremos que tres pueblos A, B, C tengan todos entre sí línea telefónica. ¿Cuántas líneas tenemos que instalar? ¿Y si fueran cuatro pueblos? ¿Y si fueran diez pueblos?

PRACTICA

Ficha de trabajo A Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. FABRICACIÓN DE YOGURES

En una fábrica de yogures tienen el siguiente sistema para codificar los distintos productos que elaboran. Hay tres sabores: Natural (N), Fresa (F) y Plátano (P). Por cada sabor producen dos tipos de yogures: Entero (código 0) y Desnatado (código 1). De cada tipo fabrican dos modalidades: con cereales (código 0) y sin cereales (código 1). A su vez, pretenden utilizar dos tipos de envases: de un cuarto de litro (código 0) y de un litro (código 1).

Un día encontraron unas etiquetas que decían “P101”. ¿A qué producto pertenecen?

El departamento de compras quiere saber cuántas etiquetas distintas deben elaborar para todos los productos. ¿Puedes decírselo?

Han decidido fabricar otros dos sabores: Kiwi (K) y Melocotón (M). ¿Cuántos tipos de productos lanzará ahora al mercado la empresa?

En el laboratorio han observado que los yogures obtenidos al mezclar dos sabores entre los cinco elaborados dan un resultado excelente. ¿Cuántas mezclas pueden obtener?

149

UNIDAD

Ficha de trabajo B

Combinatoria

Fecha: ....................................................................

Cinco atletas A, B, C, D, E participan en la final de los 100 m. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar a meta? ¿En cuántas de ellas sería A el 3.º?

En un juego de cartas, de una baraja de 40, cada jugador recibe en cada mano 5 cartas. ¿Cuántas manos diferentes puede recibir un jugador al empezar?

Un entrenador de baloncesto dispone de 2 jugadores para el puesto de base, 4 para los dos puestos de aleros y 3 para los dos puestos de pívot. ¿Cuántos equipos distintos podrá formar?

Sabiendo que Cm, n =

() ( ) 5 x

150

5 = x+1 ?

()

m , ¿podrías encontrar, por tanteo, la solución de la igualdad n

PRACTICA

Ficha de trabajo B Nombre y apellidos: .....................................................................................................................................

APLICA. RESOLVER UN ENIGMA ES ENCONTRAR UN TESORO

Vincent MacArrow dedica toda su vida a buscar un tesoro oculto. Sus pesquisas le llevan a una cripta que se abre con una cerradura formada por cinco cilindros giratorios, cada uno de ellos con los dígitos del 0 al 9 en su superficie. Solo una de las combinaciones numéricas abrirá la puerta. Sería imposible probar todas las combinaciones, pero MacArrow ha ido recorriendo medio mundo para recoger cinco pistas que, al resolverlas, le darán las cinco cifras clave para abrir la cripta. PRIMER ACERTIJO (CIFRA

DE LAS DECENAS DE MILLAR)

“Con las letras de TESORO, tantas palabras que terminan en O menos las que empiezan en consonante, resta las cifras de la cantidad resultante”.

SEGUNDO ACERTIJO (CIFRA

DE LAS UNIDADES DE MILLAR)

“Juega con dos dados y con tres ducados. ¿Cuántos resultados tendrás? ¡Su 48.a parte calcularás!”

TERCER ACERTIJO (CIFRA

DE LAS CENTENAS)

“¡Oh, dodecaedro hermoso 20 vértices estamos ni yo, ni mis 9 vecinos nos hablamos calcula 1/20 de los caminos (diagonales) que contamos!”

CUARTO ACERTIJO (CIFRA

DE LAS DECENAS)

“Acuérdate de Tartaglia. Sin desarrollar combinatoria, halla x y sigue hacia la gloria”

() ( ) 9 x

9 = x+1

QUINTO ACERTIJO (CIFRA

DE LAS UNIDADES)

“Desde A hasta el tesoro irás. Nunca subir podrás. ¿De cuántos caminos dispondrás?” “¿Ya tienes el número mágico? La cerradura abrirás si con sus cifras 52 sumaras”.

151

UNIDAD

Soluciones

Ficha de trabajo A

Ficha de trabajo B

PRACTICA

3 4 5

De 12 formas (V4, 2). V10, 3 = 10 · 9 · 8 = 720. Fijando A en el 1.º, quedan 9 equipos para quedar 2.º y 3.º, y esto ocurrirá de V9, 2 = 9 · 8 = 72 formas. 1 vez 8 4 resultados 2 veces 8 42 = 16 3 veces 8 43 = 64 AR, RA 8 2 banderas ABC, ACB, BAC, BCA...: P3 = 3! = 6 A

AB BC AC

}

Para 10 pueblos: C10, 2 =

10 · 9 = 45 líneas 2

APLICA

A sería 3.º en los casos ( __ __ A __ __) P4 = 24 casos.

V40, 5 =

40 · 39 · 38 · 37 · 36 = 658 008 5·4·3·2·1 4·3 3·2 · = 36 equipos 2 2

C2, 1 · C4, 2 · C3, 2 = 2 ·

VR2, 3 = 23 = 8 mensajes

x = 2, pues

C3, 2 = 3

C 4·3 = 6 líneas Para 4 pueblos: C4, 2 = 2·1

P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

() () 5 2

APLICA PRIMER ACERTIJO: Fijada una O como última

letra, hay P5 = 120 palabras que terminan en O. De estas últimas, las que empiezan por una consonante fijada son P4 = 24. Como hay 3 consonantes, hay 24 · 3 = 72 palabras que empiezan por consonante.

Es un yogur de plátano, desnatado, con cereales y de un litro.

Restando: 120 – 72 = 48

Para cada sabor, el total de etiquetas es VR2, 3 = 23 = 8.

El primer número es el 4.

Como hay 3 sabores, habrá, en total, 8 · 3 = 24 etiquetas.

Ahora tenemos 5 sabores. Habrá, en total, 5 · 23 = 40 tipos de productos distintos.

Al mezclar dos sabores, tenemos: C5, 2 = 10 mezclas.

5 . 3

Restando cifras: 8 – 4 = 4. SEGUNDO ACERTIJO: Con dos dados hay 36 resultados. Con 3 ducados hay VR2, 3 = 8 resultados. Con los dos dados y los tres ducados hay 36 · 8 = = 288 resultados. Por tanto, el segundo número es 288 : 48 = 6. TERCER ACERTIJO: De cada vértice salen 10 diago-

nales. Por tanto, en total habrá 200 diagonales. Como así contamos dos veces cada diagonal, tendremos 100 diagonales. Por tanto, el tercer número es 100/20 = 5. CUARTO ACERTIJO:

9! 9! = 8 x! (9 – x)! (x + 1)! (9 – x – 1)!

8 (x + 1)! (9 – x – 1)! = x! (9 – x )! 8 x + 1 = 9 – x Por tanto, x = 4. QUINTO ACERTIJO: Hay 6 caminos hasta el tesoro.

Uniendo todas las soluciones, nos queda el número 4 6 5 4 6, que abre la cripta. Si sumamos sus cifras, nos da 25 = 52.

152

1 2

Material complementario para el desarrollo de las competencias básicas La incorporación de las competencias básicas al currículo permite poner el acento en aquellos aprendizajes que se consideran imprescindibles desde un planteamiento integrador y orientado a la aplicación de los saberes adquiridos. Cada una de las materias contribuye al desarrollo de diferentes competencias y, a su vez, cada una de las competencias básicas se alcanzará como consecuencia del trabajo en varias materias. Su logro capacitará al alumnado en su realización personal y en su incorporación satisfactoria a la vida adulta. En este proyecto de Matemáticas para 2.° ESO, todas las tareas propuestas al alumnado están concebidas para el desarrollo progresivo de las competencias, al hilo de la secuenciación temática de los contenidos. Coordinador: Carlos Marchena Autores: Juan Antonio Díaz Cristóbal Navarrete

Actividad I. Los números reales Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

El número π Como sabes, los números racionales junto con los irracionales conforman el conjunto de los números reales. El número π es irracional, es real. Mucho se ha escrito sobre él, desde frases que ayudan a recordar cuáles son sus primeras cifras hasta poemas. Por ejemplo, el número de letras de cada palabra de la frase “Sol y Luna y Cielo proclaman al Divino autor del Mundo” nos dicta las primeras cifras de este número: 3,1415926535… a) El siguiente poema, de Manuel Golmayo, ayuda a reconocer las veinte primeras cifras del número π. Soy y seré a todos definible, mi nombre tengo que daros, cociente diametral siempre inmedible soy de los redondos aros. Escríbelas. ¿Qué papel juega el número π en el cálculo de la longitud de una circunferencia? ¿A qué se refiere el autor del poema anterior con cociente diametral? ¿Y con redondos aros? ¿Y con siempre inmedible?

Wislawa Szymborska Premio Nobel de Literatura 1996 En este poema se puede leer algo similar a esto (dependerá de la traducción que hayas encontrado): “La serpiente más larga de la tierra después de muchos metros se acaba. Lo mismo hacen aunque un poco después las serpientes de la fábulas. La comparsa de cifras que forma el número Pi no se detiene en el borde de una hoja, es capaz de continuar por la mesa, el aire, la pared, la hoja de un árbol, un nido, las nubes, y así hasta el cielo, …”

154

b) Busca ahora información sobre un famoso poema de Wislawa Szymborska, poetisa polaca que obtuvo el Premio Nobel de Literatura en 1996, que versa sobre el número π.

¿A qué característica o propiedad del número π se está refiriendo la autora en este fragmento del poema?

Según esto, ¿podrías encontrar dos cifras seguidas que coincidan con tu edad? ¿Y un grupo de cifras que coincidan exactamente con tu número de teléfono?

Otros números irracionales a) Busca el valor aproximado del número áureo.

b) Mide el largo y el ancho de una tarjeta de crédito. ¿Qué número aparece, aproximadamente, si hallas la razón entre las medidas que has obtenido?

c) Dibuja un cuadrado de longitud x. Adósale un rectángulo de altura x de forma que sea semejante al rectángulo formado por el cuadrado y él mismo.

¿Cuál es la razón de semejanza de esos dos rectángulos?

d) Si cuentas las letras de cada palabra de “Te ayudaré a recordar la cantidad”, obtendrás las primeras cifras de un importante número irracional. ¿Qué número es?

e) ¿Conoces algunos números irracionales distintos de π, del número áureo y del que has encontrado en el apartado anterior? Nómbralos.

Los números a) Números naturales, enteros, fraccionarios… Realiza una clasificación de los números que conoces, explicando brevemente el criterio seguido. Pon, en cada caso, un par de ejemplos.

b) Completa el siguiente esquema con los distintos conjuntos de números: naturales (N), enteros(Z), racionales (Q), irracionales (|I) y reales (Á).

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Actividad II. Álgebra Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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Matemágicas

Accede a la página siguiente: http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/index.htm Entra en el apartado magia y realiza la actividad “La edad y los sueños”. ¿Obtienes el resultado que se indica? Prueba nuevamente. Traduce al lenguaje algebraico algunos de los acertijos que te proponen, observa el polinomio que obtienes y déjalo ahí. Volveremos a él. Ahora resuelve los tres acertijos que te proponemos a continuación. Has de tener en cuenta que solo funcionan si estamos en el año 2011. Si estuviésemos en cualquier otro año, después de hacer esta investigación sabrás cómo rectificar lo que aquí obtengas para que el acertijo funcione.

a) Piensa en el número de días de la semana en los que te gustaría evadirte y soñar. b) Multiplica por 4 dicho número. c) Suma 6 al resultado. d) Multiplica por 25 dicho número. e) Si tu cumpleaños ha pasado, súmale 1 861; si no, 1 860. f ) Resta tu año de nacimiento. Observa el número de tres cifras que has obtenido. ¿A qué corresponde la cifra de las centenas? ¿A qué te suena el número que formas con las dos cifras que quedan? Traduce el acertijo a lenguaje algebraico.

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Acertijo 1

Acertijo 2 a) Piensa en el número de días de la semana en los que te gustaría evadirte y soñar. b) Multiplica por 20 dicho número. c) Suma 5 al número obtenido. d) Multiplica por 5 el resultado. d) Si ya has cumplido los años, suma 1 986; si no, 1 985. e) Resta al número anterior tu año de nacimiento. Observa el número de tres cifras que has obtenido. La cifra de las centenas es… ¿Encuentras tu edad en algunas cifras de ese número? Traduce el acertijo a lenguaje algebraico.

Acertijo 3 a) Piensa en el número de días de la semana en los que te gustaría evadirte y soñar. b) Multiplícalo por 2. c) Suma 3 al resultado obtenido. d) Multiplica el resultado por 50. e) Si has cumplido ya los años, suma 1 861; si no, 1 860. f ) Resta al resultado tu año de nacimiento. Del número de tres cifras que has obtenido, la cifra que está en el lugar de las centenas corresponde a…

Y ahora, busca tu edad en ese número. Traduce el acertijo a lenguaje algebraico.

Acertijo 4 Esto es más que un acertijo, es una investigación. Compara las traducciones a lenguaje algebraico que has hecho para los tres acertijos que te hemos propuesto. ¿Ves alguna coincidencia en ellas? ¿Entiendes cuál es la rutina para poder llegar a ese número de tres cifras que queremos obtener? Y ahora compara estas traducciones con la que obtuviste al principio para la página de “La edad y los sueños”. ¿Cómo la rectificarías para que todo saliese bien?

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Actividad III. Geometría Analítica Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

GEOGEBRA Vamos a estudiar geometría utilizando un programa denominado Geogebra. El programa es libre y se puede bajar fácilmente de forma gratuita en la siguiente dirección: http://www.geogebra.org/cms/es/download

Cuando abras el programa, aparecerá un escritorio como este:

Si pulsamos el triángulo que aparece en la parte inferior de cada botón de la barra de herramientas, se despliega un menú con mas opciones:

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Es conveniente seleccionar la opción “Cuadrícula” disponible en el menú “Vista”:

Trazado de rectas Vamos a trazar la recta que pasa, por ejemplo, por los puntos (1, 3) y (5, 4). Para ello, seleccionamos la opción “recta que pasa por dos puntos”:

Observa que en la barra izquierda aparecen las coordenadas de los puntos y la ecuación de la recta.

a) Traza una recta perpendicular a la anterior que pase por el punto (0, 0). b) Traza la recta paralela a la recta original que pasa por el punto (3, 0).

c) Halla la ecuación y la pendiente de la recta que pasa por los puntos (–2, 5) y (3, –2).

Triángulos a) Dibuja el triángulo de vértices (1, 1), (5, 2) y (3, 3). b) Calcula su área. Para ello, selecciona la opción “área” e indica, con el puntero, cuáles son los vértices del triángulo. c) Halla su baricentro. Para ello, traza las rectas que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto y calcula el punto donde se cortan. d) Halla el circuncentro y traza la circunferencia circunscrita. Recuerda que es el punto donde se cortan las tres mediatrices y es el centro de la circunferencia circunscrita. e) Calcula el incentro y traza la circunferencia inscrita.

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Cálculo de distancias Ahora queremos calcular la distancia del punto (3, 5) a la recta de ecuación 3x + y = 7. Recuerda que la distancia de un punto a una recta es la menor de las distancias de dicho punto a los puntos de la recta, que nos la da la perpendicular. Comenzamos trazando la recta. Para ello, calculamos las coordenadas de dos de sus puntos. Por ejemplo, (1, 4) y (2, 1). Con ellos, dibujamos la recta utilizando la opción “recta que pasa por dos puntos”. A continuación, trazamos la perpendicular a la recta que pasa por (3, 5) y calculamos la distancia entre el punto dado y el punto donde se cortan ambas rectas:

Calcula, siguiendo los pasos descritos, la distancia entre las rectas –2x + y = 6 y 4x + 2y = 4.

Polígonos regulares

Dibuja una circunferencia con centro en el origen y radio 2. Construye un hexágono y un octógono inscritos en ella.

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Actividad IV. Álgebra y geometría Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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Resolución de sistemas de ecuaciones con WIRIS

Vamos a utilizar la herramienta WIRIS para resolver sistemas de ecuaciones. Para ello, accede a la página: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html WIRIS es una potente herramienta que permite resolver todo tipo de ecuaciones y sistemas. Para resolver un sistema, debemos pinchar en la pestaña la opción , indicar el número de ecuaciones, escribirlas y presionar el símbolo . Para hallar, por ejemplo, las soluciones del sistema

{

y = 3x – 4 y = x2 – 4

habría que escribir:

Obtendremos como soluciones:

a) Resuelve, con el programa WIRIS, los siguientes sistemas:

{(

x2 + y2 = 1

x–

ii)

iii)

{ {

1 2

) +y =1 2

x2 + y2 = 1 (x – 2)2 + y2 = 1 x2 + y2 = 1 (x – 4)2 + y2 = 1

b) Decide para qué valores de a el sistema siguiente tiene una, dos o ninguna solución:

{

x2 + y2 = 1 (x – a)2 + y2 = 1

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Circunferencias con GEOGEBRA La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r es: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 a) Indica cuáles son el centro y el radio de las siguientes circunferencias: C1: x2 + y2 = 1 C2: (x – 2)2 + y2 = 1 1 2 C3: x – + y2 = 1 2

(

)

C4: (x – 4)2 + y2 = 1 C5: (x – a)2 + y2 = 1 b) Representa gráficamente, utilizando el programa Geogebra, las circunferencias siguientes del ejercicio anterior. En cada caso, di su posición relativa: i) C1 y C2 ii) C1 y C3 iii) C1 y C4 c) Deduce para qué valores de a las circunferencias C1 y C5, del apartado a), se cortan en dos puntos, son tangentes o no se cortan.

d) Encuentra los valores del parámetro a para los que el sistema siguiente tiene una, dos o ninguna solución:

{

y=x (x – a)2 + y2 = 1

Estudia el problema gráfica y analíticamente.

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Actividad V. Funciones con Wiris Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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Representación con WIRIS de funciones definidas a trozos Observa cómo se ha representado, con WIRIS, la siguiente función definida a trozos: f(x) =

{

x2 – 1 si x < 0 si x > 0

{

Representa, con WIRIS, las siguientes funciones definidas a trozos: a) f(x) =

{

1 si x < 0 x x2

si x > 0

b) f(x) =

si x < –2

x+3

si –2 < x < 2

–3x + 4 si x > 2

La función valor absoluto La función valor absoluto se puede expresar como una función definida a trozos:

f(x) = §x§ =

{

si x > 0

–x si x < 0

Su gráfica consiste en convertir en positiva la parte negativa: f(x) = x

f(x) = §x§

a) Expresa la siguiente función como función definida a trozos y represéntala gráficamente: f(x) = §x2 – 1§

163

b) Otra opción, más cómoda, para representar el valor absoluto de una función es utilizar el botón §§ que aparece en la barra de herramientas de WIRIS. Representa, de esta manera, las siguientes funciones: 1 i) f(x) = x

§ §

ii) f(x) = §x3 – x§

Propiedades de las funciones a) Representa con WIRIS la siguiente función e indica en qué puntos alcanza su máximo y su mínimo: x3 – 12x f(x) = 4 b) Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua, y represéntalas gráficamente. c) Busca dos ejemplos de funciones periódicas y represéntalas gráficamente. d) Representa gráficamente las siguientes funciones. Indica cuáles son su dominio y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento: i) f(x) = √x2 – 4 ii) f(x) = √4 – x2

Asíntotas de una función

Como se puede observar, la función tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota oblicua en y = x + 1.

Representa las siguiente funciones e indica si tienen asíntotas y de qué tipo son: a) f(x) = c) f(x) =

164

1 x–2 x3 –9

b) f(x) =

x2 + 1 x2 – 4

d) f(x) = 2x

Las asíntotas son rectas a las cuales se aproxima la función en el infinito. Según como sea la recta, la asíntota se denomina horizontal, vertical u oblicua. x2 Estudiemos las asíntotas de la función f(x) = : x–1

Actividad VI. Geometría Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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El viaje de fin de curso Lucía y Lucas quieren hacer jabón líquido reciclando aceite doméstico usado. Después, lo envasarán y lo venderán con el fin de recaudar dinero para el viaje de fin de curso. Tienen que decidir cuál es la forma de envase mas adecuada. Para ello, estudian las medidas que pueden tener un cubo, un prisma de base rectangular y un tetraedro, todos ellos con un litro de capacidad.

a) Mide las dimensiones de un tetrabrik de un litro de capacidad.

b) Calcula las dimensiones que han de tener un cubo y un tetraedro para que su capacidad sea de 1 litro (1 litro = 1 dm3).

c) Si todos se elaboran con el mismo material, ¿cuál resulta más económico?

d) Lucía piensa que el envase en forma de cubo tendría la forma mas atractiva y fácil de realizar. ¿Cuál será el coste de un envase de este tipo, si el precio de 1 m2 de material es de 10 €?

e) Sabemos que el coste de elaboración, por litro de jabón, es de 1 €. ¿A cuánto hay que vender el litro de jabón líquido envasado para obtener un beneficio del 75% sobre el coste total de producción?

f) Lucía y Lucas disponen de 200 € para invertir en este proyecto. Si dedicasen todo el presupuesto a la fabricación de jabón, ¿cuántos litros podrían producir?

165

g) Si se dedicasen los 200 € del presupuesto a la compra de material para realizar envases, ¿cuántos envases se podrían fabricar?

h) Completa la siguiente tabla: Presupuesto dedicado a la elaboración de jabón (en €)

Coste de los envases necesarios (en €)

Ingresos por la venta de toda la producción (en €)

Beneficios (en €)

10 · 0,60 = 6

10 · 2,80 = 28

28 – 16 = 12

20 30 40 50 75 100 125 150 175 200

j) Diseña una campaña de publicidad para el producto. No olvides incluir el nombre del producto, un eslogan, cualidades del producto, etc.

166

i) ¿Cuántos litros de jabón hay que elaborar y cuántos metros cuadrados de material hay que comprar para que se obtengan máximos beneficios?

Actividad VII. Trigonometría Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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Una estantería debajo de la escalera Se desea construir una estantería aprovechando el hueco de una escalera, de forma triangular.

Las dimensiones del hueco son: 1,5 m de base; 0,9 m de altura y 0,8 m de fondo.

a) Queremos colocar en esta estantería dos baldas: la primera, a 30 cm sobre el suelo; la segunda, 30 cm más arriba que la primera. ¿Cuál será la superficie de cada balda?

b) Para colocar la balda bajo el hueco de las escalera, hay que cortar las maderas en ángulo. ¿Cuánto debe medir éste ángulo?

c) Si el metro cuadrado de madera que vamos a utilizar cuesta 30 €, ¿cuánto costarán los dos estantes?

d) Diseña ahora tu propia estantería con la forma que desees y utilizando la cantidad de madera que necesites. Calcula su coste.

167

e) Se dispone de 30 cds de dimensiones 14 cm × 14 cm × 1 cm y de 30 dvds de dimensiones 19 cm × 14 cm × 2 cm. Se desea colocar en el hueco dos baldas para colocar todo, de manera que en el estante superior haya solo cds, y en el otro, solo dvds. ¿A qué altura, con respecto al suelo, hay que colocar las baldas para minimizar costes?

f ) Se desea tapar el hueco de la escalera con dos puertas de madera, una de ellas de forma triangular y otra de forma trapezoidal, de manera que cada una ocupe la mitad de la longitud de la base del hueco de la escalera. i) Indica cuánto miden los catetos de la puerta triangular.

ii) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo y del trapecio?

iii) ¿Cuál es la superficie de cada una de ellas? ¿Cuál será el coste de fabricación de dichas puertas?

g) Amaya ha diseñado una estantería de esta forma: i) Calcula la longitud del lado de cada cuadrado para que la estantería quepa en el hueco de la escalera y todos los cuadrados sean iguales.

ii) Calcula su coste de fabricación.

168

Actividad VIII. Estadística Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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Calificaciones en Matemáticas En un instituto hay cuatro clases de 4.° ESO. Se han estudiado las notas que han obtenido sus alumnos en la primera evaluación de la asignatura de matemáticas. Las medias y las desviaciones típicas de las cuatro clases han sido las siguientes:

• 4.° ESO A: media = 5; desviación típica = 1,1952 • 4.° ESO B: media = 5; desviación típica = 3,4112 • 4.° ESO C: media = 5; desviación típica = 2,1742 • 4.° ESO D: media = 5; desviación típica = 0,3015 a) ¿En qué curso se encuentran los alumnos con mejor nota en matemáticas? ¿Y los alumnos con peor nota en matemáticas?

b) Atendiendo a la asignatura de matemáticas, ¿cuál es el curso más homogéneo?

c) ¿A qué grupo te gustaría pertenecer y por qué?

d) Si tu nota en matemáticas es 7, ¿en qué grupo dicha nota sería la mejor de la clase?

Observemos ahora las notas de los alumnos de cuarto de este instituto (las notas del curso 1 no corresponden, necesariamente, a 4.° ESO A): • Notas del grupo 1 (11 alumnos matriculados): 0 0 2 3 4 5 6 7 8 10 10

169

• Notas del grupo 2 ( 21 alumnos matriculados): 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 • Notas del grupo 3 ( 22 alumnos matriculados): 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 • Notas del grupo 4 (11 alumnos matriculados): 3 3 3 5 5 6 6 7 8 8 x e) Sabiendo que la nota media en cada uno de los cursos es de 5, halla el valor de x en las notas del grupo 4.

f) Halla el valor de la mediana en los cuatro grupos. ¿Qué observas?

g) Realiza la tabla de frecuencias absolutas de las notas para cada uno de los cuatro cursos.

i ) Representa, mediante diagramas de barras, las notas de los cuatro grupos anteriores.

j) Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál crees que es la nota media de todos los alumnos de cuarto?

k) Halla la desviación típica y el coeficiente de variación de las notas en matemáticas del conjunto de los alumnos de 4.° ESO.

170

h) ¿Qué tabla, de las anteriores, corresponde a 4.° ESO A? ¿Y a 4.° ESO B, C y D?

Actividad IX. Probabilidad Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

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La liga andaluza Se desea organizar una liga de fútbol en Andalucía, en la que participe un equipo de cada provincia andaluza. Cada equipo se enfrentará a otro dos veces, como local y como visitante. Cada semana, un equipo juega un solo partido y se juegan cuatro encuentros.

a) ¿Cuántas semanas durará la liga?

b) Realiza un esquema para organizar la liga, utiliza para ello una tabla de doble entrada.

c) Calcula la probabilidad de que en la primera semana se enfrenten Córdoba contra Jaén.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera semana se enfrenten Córdoba y Jaén, en el estadio de Córdoba?

e) El equipo de Granada dispone en su plantilla de 2 porteros y 14 jugadores. ¿Cuántas alineaciones distintas puede realizar si cualquier jugador, salvo los porteros, puede jugar en cualquier posición?

171

f) El fichaje estrella del equipo de Granada ha sido Rafael, que no es portero. ¿Cuántas alineaciones diferentes se pueden realizar con él en el equipo?

g) Por cada partido ganado, el equipo sumará tres puntos, y por cada partido empatado, un punto. ¿Cuál es el número máximo de puntos que puede obtener un equipo?

h) ¿Podría un equipo acabar la liga con 42 puntos? ¿Y con 41 puntos? ¿Y con 40 puntos? Indica, en cada caso, cuántos partidos tiene que ganar, perder y empatar.

i ) Asociada a dicha liga se desea organizar una quiniela con cuatro apuestas, que costará 1 €. Calcula la probabilidad de que una persona tenga 4 aciertos. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga 3 aciertos?

j) Si se estima que en dicha quiniela participará el 25% de la población adulta andaluza, ¿cuánto se recaudará?

k) La organización desea repartir la recaudación de la siguiente forma: — El 40% para los participantes con 4 aciertos. — El 30% de beneficios para la organización. Si una persona tiene 3 aciertos, ¿cuánto espera recibir de premio?

172

— El 30% para los participantes con 3 aciertos.

Soluciones Actividad I 1

Cociente diametral: cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Con redondos aros se refiere a las circunferencias. Y con siempre inmedible se refiere a que el número π tiene infinitas cifras decimales. b) Se refiere al número de cifras decimales de π, infinitas. Con seguridad se podrían encontrar dos cifras seguidas que coincidan con tu edad. Y también un grupo de cifras que coincidan exactamente con tu número de teléfono. Otros números irracionales a) Con veinte cifras decimales: 1,61803398874989484820... b) Largo: 8,6 cm. Ancho: 5,4 cm. 8,6 : 5,4 = 1,59… Se obtiene, aproximadamente, el número áureo. c)

El número π a) 3,1415926535897932384… La longitud de una circunferencia es π veces su diámetro.

b) N

Actividad II 1

Acertijo 1 La cifra de las centenas corresponde al número que se había pensado. Las otras dos cifras corresponden a la edad. Traducción a lenguaje algebraico: a) x b) 4x c) 4x + 6 d) (4x + 6) · 25 = 100x + 150 e) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 150 + 1 861 = 100x + 2 011 Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 150 + 1 860 = 100x + 2 010 f) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2 011 – año nacimiento Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento

Acertijo 2 La cifra de las centenas es el número que se había pensado.

Para que los rectángulos sean semejantes, sus medidas deben verificar:

La edad se corresponde con las cifras de decenas y unidades.

1 + √5 1 x = 8 x2 – x – 1 = 0 8 x = 2 x x+1

Traducción a lenguaje algebraico: a) x

d) El número e = 2,71828…

b) 20x

e) Por ejemplo, √2 , √5 , …

c) 20x + 5

Los números a) Números naturales: 0, 1, 2, 3, … Números enteros (los naturales más los negativos): 7, –3, 45… Números racionales (los enteros más los 1 7 fraccionarios): 7, –3, 45, , … 5 8 Números reales (los racionales más los 7 irracionales): 7, –3, , √7 , f,… 8

d) (20x + 5) · 5 = 100x + 25 e) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 25 + 1 986 = 100x + 2 011 Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 25 + 1 985 = 100x + 2 010 f) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2 011 – año nacimiento Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento

173

Acertijo 3 La cifra de las centenas corresponde al número pensado. La edad se corresponde con las cifras de decenas y unidades.

Actividad III 1 Trazado de rectas a) y b)

Traducción a lenguaje algebraico: a) x b) 2x c) 2x + 3 d) (2x + 3) · 50 = 100x + 150 e) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 150 + 1 861 = 100x + 2 011 Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 150 + 1 860 = 100x + 2 010 f) Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2 011 – año nacimiento

Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento Acertijo 4 En los tres casos se obtiene el mismo resultado: Si el cumpleaños ha pasado: 100x + 2 011 – año nacimiento

La edad se consigue restando el año en el que se nació del año en curso (2011, por ejemplo), si es que ya se han cumplido los años. Si no se han cumplido, hay que bajar una unidad el año el que se está. Para obtener en la cifra de las centenas el número pensado no hay más que sumar 100x, siendo x ese número.

2 Triángulos a) y b)

En la página “La edad y los sueños” se obtienen expresiones algebraicas del tipo: 100x + 111 – año cumpleaños 100x + 110 – año cumpleaños El error está en que se debe conseguir 2011 en lugar de 111 (si estamos en 2011), o 2010 en lugar de 110. También se puede rectificar dejando 111 y 110 y restando, en lugar del año de nacimiento con cuatro cifras, el año de nacimiento con solo las dos últimas cifras (si el año de nacimiento es del siglo XX). Piensa por qué es así. Piensa, también, cómo habría que rectificar esto último para una persona que hubiese nacido ya en el siglo XXI.

174

Si el cumpleaños no ha pasado: 100x + 2 010 – año nacimiento.

Actividad IV

Resolución de sistemas con WIRIS a) i ) Tiene dos soluciones.

ii) Tiene solución única.

iii) Incompatible

Cálculo de distancias a) y = 6 + 2x

b) Si a < –2 o a > 2, el sistema no tiene solución.

4x – 4 2

Si a = –2 o a = 2, el sistema tiene una solución.

–2

Si –2 < a < 2, el sistema tiene dos soluciones.

Circunferencias con GEOGEBRA a) C1: Centro: (0, 0). Radio: 1.

C2: Centro: (2, 0). Radio: 1. C3: Centro: (1/2, 0). Radio: 1. C4: Centro: (4, 0). Radio: 1. C5: Centro: (a, 0). Radio: 1. b) i) Las circunferencias son tangentes exteriores.

Polígonos regulares a)

175

ii) Las circunferencias se cortan en dos puntos.

2 iii) Las circunferencias no se tocan.

La función valor absoluto x2 – 1 x2

a) f(x) = §

– 1§ =

{

–x2

si x < –1

+ 1 si –1 < x < 1

x2 – 1

si x > 1

c) Se cortan en dos puntos si a < –2 o a > 2. Son tangentes si a = –2 o a = 2. No se cortan si –2 < a < 2. d) Si a < –√2 o a > √2 , el sistema no tiene solución.

b) i)

Si –√2 < a < √2 , el sistema tiene dos soluciones.

Actividad V 1

176

Representación con WIRIS de funciones definidas a trozos a)

ii)

Si a = –√ 2 o a = √ 2 , el sistema tiene una solución.

Propiedades de las funciones a)

Asíntotas de una función a)

Máximo: (–2, 4). Mínimo: (2, –4). Asíntota horizontal: y = 0 b) Respuesta abierta.

Asíntota vertical: x = 2

c) Respuesta abierta. d) i) f(x) = √x2 – 4

Asíntota horizontal: y = 1

D(f) = (–@, –2] « [2, +@)

Asíntotas verticales: x = –2, x = 2

(–@, –2) DECRECIENTE; (2, +@) CRECIENTE ii) f(x) = √4 – x2 c)

D(f) = [–2, 2]

Asíntotas verticales: x = –3, x = 3

(–2, 0) CRECIENTE; (0, 2) DECRECIENTE

Asíntota oblicua: y = x

177

Actividad VII

Una estantería debajo de la escalera a) Las baldas tendrán una superficie de 0,8 m2 y de 0,4 m2. b) El ángulo debe medir 30° 57' 50''. c) Costarán 36 €. d) Respuesta libre. e) La balda de los cds ha de estar a 68 cm del suelo, y la de los dvds, a 35 cm.

Asíntota horizontal: y = 0

f) i) Los catetos miden 45 cm y 75 cm. ii) Triángulo: 90°; 30° 57' 50''; 59° 2' 10''

Actividad VI 1

Trapecio: 90°; 90°; 59° 2' 10''; 127° 57' 50'' iii) STRIÁNGULO = 0,16875 m2 STRAPECIO = 0,50625 m2

El viaje de fin de curso a) Tetrabrik: 20 cm x 6 cm x 9 cm, aproximadamente.

Fabricar la puerta triangular costará 5,0625 €. La puerta trapezoidal costará 15,1875 euros. En total, 20,25 €.

b) Cubo: 1 dm de lado. 6

Tetraedro: √72 dm de lado.

g) i) El lado del cuadrado debe medir 25 cm.

c) Área total del tetrabrik: 7,1 dm2

ii) El coste de fabricación será 108 €.

Área total del cubo: 6 dm2 Área total del tetraedro: 7,21 dm2 d) El coste de un envase con forma de cubo será 60 céntimos. e) Hay que vender a 2,80 € el litro de jabón. f ) Se pueden producir 200 litros. g) Se podrían fabricar 333 envases. h)

Presupuesto dedicado a la elaboración de jabón (en €)

Coste de los envases necesarios (en €)

Ingresos por la venta de toda la producción (en €)

Beneficios (en €)

10 · 0,60 = 6

10 · 2,80 = 28

28 – 16 = 12

20 · 0,60 = 12

20 · 2,80 = 56

56 – 32 = 24

30 · 0,60 = 18

30 · 2,80 = 84

84 – 48 = 36

40 · 0,60 = 24

40 · 2,80 = 112

112 – 64 = 48

50 · 0,60 = 30

50 · 2,80 = 140

140 – 80 = 60

75 · 0,60 = 45

75 · 2,80 = 210

210 – 120 = 90

100

100 · 0,60 = 60

100 · 2,80 = 280

280 – 160 = 120

125

125 · 0,60 = 75

125 · 2,80 = 350

350 – 200 = 150

150

150 · 0,60 = 90 (*)

150 · 2,80 = 420

420 – 240 = 180

175

175 · 0,60 = 105 (*)

175 · 2,80 = 490

490 – 280 = 210

200

200 · 0,60 = 120 (*)

200 · 2,80 = 560

560 – 320 = 240

(*) Nos pasamos del presupuesto. Por tanto, no podemos elaborar tantos litros de jabón.

i ) Envasan 125 litros, para los que necesitan 7,5 m2 de material. Obtienen unos beneficios máximos de 150 €. j ) Respuesta libre.

178

Actividad VIII 1

Calificaciones en Matemáticas a) Tanto los alumnos con mejor nota como los alumnos con peor nota están en 4.° ESO B. b) El curso más homogéneo es 4.° ESO D. c) Respuesta libre. d) En 4.° ESO D. e) x = 1 f ) Es 5 en todos los grupos. g) Grupo 1 xi 0 2 3 4 5 6 7 8 10

fi 2 1 1 1 1 1 1 1 2

Resultaría más económico el cubo.

Actividad IX

Grupo 2 xi 3 4 5 6 7

fi 3 3 9 3 3

b) Respuesta abierta. Damos un ejemplo de organización. Partidos de ida:

Grupo 3

xi 4 5 6

fi 1 20 1

AL CA CO GR HU JA MA SE

Grupo 4 xi 1 3 5 6 7 8

CA 1.a

CO 2.a 3.a

GR 3.a 2.a 1.a

HU 5.a 7.a 6.a 4.a

JA 6.a 5.a 4.a 7.a 1.a

MA 7.a 4.a 5.a 6.a 2.a 3.a

SE 4.a 6.a 7.a 5.a 3.a 2.a 1.a

Los partidos de vuelta se organizan de la misma forma.

fi 1 3 2 2 1 2

c) 2/14 = 1/7 d) 1/14 e) 2 · C14, 11 = 2 · 364 = 728 f) 2 · C13, 10 = 2 · 286 = 572 g) 14 · 3 = 42

h) Grupo 1: 4.° ESO B Grupo 3: 4.° ESO D

h) Acabar con 41 puntos es imposible. Acabar con 40 puntos sí es posible, logrando 13 victorias y 1 empate. Terminar con 39 puntos también es imposible.

Grupo 4: 4.° ESO C

i ) P[4 ACIERTOS] = 1/81; P[3 ACIERTOS] = 8/81

Grupo 2: 4.° ESO A

La liga andaluza a) La liga durará 14 semanas, 7 partidos de ida y 7 de vuelta.

20 18

Grupo 1

16 Grupo 2

14 12

j ) Se estima que la población andaluza mayor de 18 años en 2010 era de 6 500 000 habitantes.

Grupo 3

10 Grupo 4

25% de 6 500 000 = 1 625 000

6 4 2

j) 5 k)

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10

fi 2 1 1 7 5 32 7 5 3 2

q = 1,81; C.V. =

k) Si la probabilidad de tener 3 aciertos es de 8/81, se espera que tengan tres aciertos: 8 de 1 625 000 ≈ 160 494 personas 81 La recaudación total asciende a 1 625 000 €. Al conjunto de los acertantes de 3 les tocará el 30%: 30% de 1 625 000 = 487 500 € Por tanto, a cada acertante de 3 le tocarán: 487 500 : 160 494 ≈ 3,04 €

1,81 = 0,36 5

179

Tareas competenciales para preparar las pruebas de diagnóstico Las tareas competenciales incluidas en este apartado pretenden ser un material de apoyo al profesorado en el trabajo por competencias destinado a preparar pruebas de diagnóstico, y en ningún caso tienen la intención de reemplazar el quehacer programador que cada profesor o profesora plantee al respecto. Las tareas diseñadas tienen como objetivo ayudar al profesorado a determinar el grado de consecución de las competencias básicas por parte del alumnado, así como proporcionarle una ejemplificación práctica de «actividades competenciales». Es decir, por un lado, estas tareas buscan orientar al profesorado en el diseño de tareas competenciales, y, por otro, intentan proporcionarle una herramienta útil para «cuantificar» la realidad competencial de sus estudiantes, tanto individual como grupalmente. Estas tareas deben integrarse dentro del desarrollo continuado que representa el trabajo por competencias, que, en ningún caso, puede responder a momentos esporádicos de ejecución.

TAREA

Tareas competenciales para preparar las pruebas de diagnóstico Nombre y apellidos: ..................................................................................................................................... Curso: .....................................................................

Fecha: ....................................................................

COMPRA Y VENTA DE CARNE

Antonio, Bernardo, Carlos y Domingo son los socios de una carnicería. Deciden comprar en el matadero lotes de carne de vacuno. Para ello, eligen una res cuyo peso, una vez eviscerada y deshuesada, ha sido de 241 kg y medio. El matadero les prepara lotes de 5 kg y tres cuartos, a un precio de 60 euros cada lote. a) ¿Cuántos lotes obtendrán de la res elegida?

c) Después, en el mercado, deciden ponerlos a la venta, a un precio de 16 euros cada kilo de carne. Al final de la jornada, han vendido todo. ¿Cuánto ganará cada uno?

182

b) A la hora de comprarlos, deciden que Antonio pague una determinada cantidad de lotes; Bernardo, 3 kg más que Antonio; Carlos, 3 kg más que Bernardo, y Domingo, 3 kg más que Carlos. ¿Cuántos lotes adquirió cada uno y cuánto gastó?

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ESCULTURA MATEMÁTICA En el museo de la Ciencia de la localidad donde vive Luis, se ha inaugurado una exposición de estructuras y formas geométricas. Luis y sus compañeros han ido con su profesora de matemáticas a visitarla y, después de hacer todo el recorrido, les han dado unas fichas con datos de figuras de la muestra para que averigüen algunas cuestiones sobre sus medidas. A Luis le ha tocado esta estructura transparente de metacrilato: un prisma en cuyo interior se intersecan dos figuras planas, un cuadrado y un triángulo rectángulo. B A F O

E C

La altura del prisma, que es de base cuadrada, es el doble de lo que mide el lado de su base. Además, los puntos E y F son los puntos medios de las aristas sobre las que están. Las cuestiones que tiene que resolver son las siguientes: a) Tomando 1 u como altura del prisma, calcula la medida exacta del perímetro del cuadrado BEDF y de su superficie (no uses calculadora, ni des los resultados con números decimales).

b) Calcula, también, la medida exacta del perímetro y de la superficie del triángulo rectángulo ABC.

c) Supongamos que un insecto camina sobre la estructura, recorriendo exactamente estos segmentos: DE - EB - BA - AC. Comprueba que el valor exacto de la distancia que recorre es 3 + √ 3 veces el valor del lado del cuadrado BEDF.

183

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

COMPUESTOS QUÍMICOS El agua oxigenada, que se usa en las casas como desinfectante, es un agua enriquecida en oxígeno. Su fórmula molecular es H2O2. Esto significa que cada molécula de agua oxigenada está formada por dos átomos de hidrógeno (H2) y dos átomos de oxígeno (O2). Sabemos que un átomo de hidrógeno pesa 1,66 · 10–24 g y que uno de oxígeno pesa 1,33 · 10–23 g. a) ¿Cuál de los dos átomos pesa más, el de hidrógeno o el de oxígeno?

c) ¿Cuántas moléculas de agua oxigenada tiene un frasco de 250 cm3? ¿Cuántos cuatrillones son (1 cuatrillón = 1024)?

184

b) Cada vez que aplicamos agua oxigenada a una herida pequeña, la cantidad utilizada es, aproximadamente, de 1 cm3 (1 gramo). ¿Cuántas moléculas de agua oxigenada tiene esa dosis?

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

OFERTAS BANCARIAS Daniel dispone de un capital de 60 000 euros y va a tres entidades bancarias, A, B y C, en busca de una oferta, a 10 años, para el rendimiento de su dinero. Le ofrecen: A 8 Un 3% anual de interés compuesto durante los 10 años. B 8 Un 6% anual de interés compuesto durante los cinco primeros años y, después, para el capital generado, un 2% de interés simple durante los otros 5 años. C 8 Un 2% anual de interés compuesto durante los tres primeros años; para el capital final, un 5% anual de interés compuesto durante los tres años siguientes y, finalmente, para el capital generado, un 3 % anual de interés compuesto durante los cuatro años restantes. Daniel hace números, buscando cuál de las tres ofertas le proporciona más capital después de esos 10 años. a) ¿Cuánto dinero ganará con la oferta del banco A?

b) ¿Y con la del banco B?

c) ¿Y con la del banco C? ¿Qué oferta es, por tanto, la más interesante?

185

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ÁLGEBRA Y TANGRAM En clase de matemáticas, Inés está manipulando y formando figuras con un tangram chino (cuadrado dividido en 7 piezas). Su profesor le pide que lo vuelva a montar en su composición cuadrada original y le plantea los siguientes problemas: P

Q G

C D

a) Si llamas x al lado del cuadrado grande, PQRS, escribe la expresión, en función de x, de la diagonal de ese cuadrado.

c) ¿Cuánto medirá el lado x de un tangram en el que las superficies de las piezas A, C y F suman 7 · 22 cm2?

186

b) Halla, en función de x, la expresión del área de cada figura A, B, C, D, E, F y G. Compara las superficies de las piezas. Prueba, usando sus expresiones algebraicas, que la suma de las superficies de las piezas D, F y G coincide con la superficie de la pieza A (SD + F + G = SA).

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

PLEAMAR Y BAJAMAR En un puerto, el práctico (oficial encargado) dispone de un medidor de alturas del nivel del mar. En un día con el mar en calma, las diferentes alturas que registra la marea, a ciertas horas del día, vienen dadas por la siguiente tabla: Hora Altura (cm)

200

190

180

170

165

160

155

160

180

190

195

200

a) Un aparato, activado por el movimiento del mar, va dibujando la gráfica que relaciona ambas variables. Dibuja esa gráfica. ¿Puedes asegurar que será continua? 200

ALTURA (cm)

190 180 170 160 150 2

HORAS

Suponiendo que las subidas y bajadas de la marea fuesen idénticas a lo largo de unos cuantos días, ¿qué tipo de función dibujaría el aparato?

b) ¿En qué intervalos de tiempo crece o decrece la función? ¿Cuándo se alcanza la bajamar (altura mínima del agua) y cuándo la pleamar (altura máxima)?

c) El práctico utiliza la tasa de variación media, T.V.M., para medir en qué intervalos de tiempo crece o decrece más rápido la altura del agua. Compara esta medida en los intervalos [0, 6] y [6, 12], y en los intervalos [12, 18] y [18, 22].

187

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

REPOSTANDO COMBUSTIBLE Ernesto va a realizar un largo viaje. Al subir al coche, observa que el marcador de combustible registra 10 litros. Decide ir a la gasolinera y echar al depósito 30 litros, que le cuestan 30 euros. a) Construye una tabla de valores que relacione los litros de combustible, x, que hay en el depósito, con lo que Ernesto paga, P (toma x = 10, 20, 30, 40 y ten en cuenta que los 10 litros que ya tenía el depósito no tiene que pagarlos). Representa la gráfica correspondiente. 50

PRECIO (€)

40 30 20 10 10

VOLUMEN (l)

b) ¿Cuál es la expresión analítica que relaciona P con x?

d) Si Ernesto hubiera llenado el depósito, habría pagado 50 euros. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

e) A Ernesto le gusta la mecánica. Un día, tratando de cambiar los amortiguadores traseros del coche, pudo atisbar la base del depósito de combustible, que tiene forma de cilindro: era un círculo de 20 cm de radio. ¿Qué altura tiene el depósito?

188

c) Compara la tasa de variación media de P(x) en los intervalos [10, 30] y [30, 40]. ¿Qué observas? ¿Qué tipo de función es?

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

EL DEPÓSITO El volumen de agua almacenado en un depósito, V, depende del tiempo, t, en el que esté abierto un desagüe, según la expresión analítica

(

V=5 1+

1 t+1

)

donde t viene dado en horas, y V, en metros cúbicos.

a) ¿Cuál es la capacidad del depósito?

b) Se estima que una familia de cuatro miembros necesita unos 200 litros de agua diarios. ¿Para cuántos días tendrían con el depósito lleno y el desagüe cerrado?

c) Suponiendo que el desagüe está abierto, completa una tabla de valores en la que se relacione V con t (toma t = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12). Construye una gráfica con los datos que obtengas. VOLUMEN (m3) 10

TIEMPO (h)

d) Si el desagüe se quedara abierto indefinidamente, ¿se vaciaría del todo el depósito? Justifica la respuesta e interprétala.

e) El depósito tiene forma de ortoedro, y su base es un rectángulo de 10 m2 de superficie. ¿A qué altura sobre la base se encuentra el desagüe?

189

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ACONDICIONAMIENTO DE VÍAS DE TRÁFICO Los técnicos de Obras Públicas quieren hacer una carretera, desde la población O, en línea recta, de forma que cruce el río por el punto D, que es el más próximo al pueblo. Sobre el plano de la región, colocan unos ejes coordenados con origen en O. El lado de cada cuadradito del plano equivale a 1 km.

G 15

E y

a) El punto donde comienza el puente tiene por coordenadas D(8, 6) y el punto final, E(12, y + 6). ¿Cuál es la distancia, d, del pueblo al puente? ¿Y cuál es la longitud, l, del puente?

c) Finalmente, se construirá un hotel en un punto H, a la derecha de la carretera y a 5 km de distancia de esta, de forma que H esté a la misma distancia de E que de G. ¿Qué distancia será esta?

190

b) Se quiere construir una gasolinera, G, al otro lado del puente, en línea recta con O, D y E, y 15 km más allá del punto E. ¿Qué coordenadas tendrá G en el plano?

Tarea 1 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

DADO TRUCADO El siguiente diagrama de barras muestra las puntuaciones obtenidas al lanzar 1 000 veces un dado trucado. 210 180

200

160 130

120

a) ¿Cuál es la probabilidad esperada para cada puntuación?

b) Aun conocedores de este experimento, dos jugadores, A y B, deciden jugar con el dado. Lanzan el dado al aire y: A gana si sale un número primo. B gana si sale un 1 o un número compuesto.

¿Qué probabilidades tiene cada uno de ganar?

c) ¿Se te ocurre algún sistema de juego para que este sea equitativo?

191

Tarea 1

Pautas de corrección

Competencia

Elemento de competencia

Contenido

Utilizar y relacionar los números y sus operaciones para resolver problemas cotidianos.

(

ESCULTURA MATEMÁTICA Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Emplea distintos tipos de números y opera con ellos, para resolver problemas. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

Contenido

Números racionales e irracionales. Operaciones. Teorema de Pitágoras.

1 2

2 = z . 2

Su superficie es l2 =

( ) z2 2

= 2√2 . =

1 . 2

b) Los catetos del triángulo rectángulo miden 1 y z2 , y su hipotenusa, z6 . 2 2 2 + z2 + z6 z2 ; SABC = 4 2 c) El insecto recorrerá una distancia igual a 3 z2 + z6 = z2 (3 + √ 3 ). 2 2 2 2. Plantea y calcula correctamente los apartados a) y b), pero no realiza correctamente el apartado c). 1. Plantea bien los apartados a) y b), pero comete errores en los cálculos, o bien solo realiza correctamente uno de esos dos apartados. PABC =

)( )

0. En cualquier otro caso.

z( ) ( )

2 Su perímetro es P = 4 · z 2

Números racionales y sus operaciones. Repartos directamente proporcionales.

1. Resuelve correctamente el apartado a).

192

Utiliza los números racionales y sus operaciones para plantear problemas y obtener información. Resuelve problemas de proporcionalidad.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: 1 3 a) 241 + : 5+ = 42 lotes 2 4 b) Si x es la cantidad pagada por Antonio, tendremos: x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) = 42 8 8 4x = 24 8 x = 6 Por tanto: Antonio adquirió 6 lotes y pagó 360 €; Bernardo compró 9 lotes por 540 €; Carlos pagó 12 lotes por 720 €, y Domingo adquirió 15 lotes por 900 €. c) En total han recaudado: 16 · (241 + 1/2) = 3 864 euros. Por cada lote han recaudado: 3 864 : 42 = 92 euros. La ganancia por cada lote ha sido de 92 – 60 = 32 euros. Como Antonio adquirió 6 lotes, ganará 6 · 32 = 192 €. Bernardo ganará 288 €; Carlos, 384 €, y Domingo, 480 €. 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: El lado del cuadrado BEDF es

COMPRA Y VENTA DE CARNE

0. En cualquier otro caso.

COMPUESTOS QUÍMICOS Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Emplea distintos tipos de números, y elige la notación y forma de cálculo apropiadas, para resolver problemas.

Contenido

Números decimales. Notación científica. Operaciones.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) 1,66 · 10–24 < 1,33 · 10–23. Pesa más un átomo de oxígeno. b) Una molécula pesa 2 · (0,166 + 1,33) · 10–23 = 2,992 · 10–23 g En 1 g de agua oxigenada hay 1 : (2,992 · 10–23) ≈ 0,33 · 1023 = = 3,3 · 1022 moléculas. c) En un frasco de 250 cm3 habrá 250 · 3,3 · 1022 = 8,25 · 1024 moléculas. Son 8,25 cuatrillones de ellas.

Tarea 1

Pautas de corrección 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b), pero no el c). 1. Resuelve correctamente el apartado b). 0. En cualquier otro caso.

Competencia

Utilizar números y el razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Maneja expresiones literales para obtener valores concretos en fórmulas y ecuaciones, en diferentes contextos.

OFERTAS BANCARIAS Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Emplea distintos tipos de números, eligiendo la notación y forma de cálculo apropiadas, para resolver problemas.

Contenido

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) d = √ x 2 + x 2 = √ 2 x b) La expresión algebraica del área de cada figura, en función de x, es:

Problemas aritméticos. Porcentajes. Interés bancario.

2. Responde correctamente a dos de los tres apartados. 1. Responde correctamente a uno de los tres apartados. 0. En cualquier otro caso.

x 4

x 8

F 2

x 16

G x2 16

x2 x2 : = 2 8 A y B tienen doble super4 8 ficie que C, D y E. x2 x2 : = 2 8 C, D y E tienen doble 8 16 superficie que F y G.

b) Con la oferta del banco B, obtendrá, tras los primeros 5 años: C2 = 60 000 (1 + 0,06)5 = 80 294 euros (ha ganado ya 20 294 euros) Después de este período, colocando este dinero a interés simple al 2 % anual durante 5 años, obtiene unos beneficios de: C · r · t 80 294 · 2 · 5 i= = = 8 029 euros 100 100 Por tanto, el beneficio, después de 10 años, será: 20 294 + 8 029 = 28 323 euros c) Con la oferta del banco C, tendrá, al final de cada tramo, estos capitales: C1 = 60 000 (1 + 0,02)3 = 63 672 euros C2 = 63 672 (1 + 0,05)3 = 73 708 euros C3 = 73 708 (1 + 0,03)4 = 82 959 euros Con esta oferta tendrá unos beneficios de 22 959 euros. La oferta más interesante es la del banco B.

Expresiones algebraicas. Ecuaciones. Teorema de Pitágoras.

Contenido

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) Con la oferta del banco A, el capital final será: C1 = 60 000 (1 + 0,03)10 = 80 635 euros Ganará, por tanto, 20 635 euros.

ÁLGEBRA Y TANGRAM

x2 2x2 4x2 x2 + = = = SA 8 16 16 4 x2 x2 x2 + + = 7 · 22 8 7x2 = 448 8 c) 4 8 16 8x=8 El lado del tangram medirá 8 cm. SD + F + G =

2. Responde correctamente a los apartados a) y b). 1. Responde correctamente al apartado b). 0. En cualquier otro caso.

PLEAMAR Y BAJAMAR

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.

Elemento de competencia

Analiza tablas y gráficas asociadas a situaciones reales para obtener información sobre su comportamiento.

Contenido

Relaciones funcionales entre dos variables: tablas y gráficas. La tasa de variación media.

193

Tarea 1

Pautas de corrección Niveles de puntuación:

Niveles de puntuación:

3. Las respuestas correctas son:

200

ALTURA (cm)

PRECIO (€)

190

180

170

160 150

10 2

VOLUMEN (litros)

HORAS

La función es continua. Si la marea se comportase de forma idéntica durante varios días, tendríamos una función periódica de período 24 horas. b) La función crece en el intervalo (12, 24). Decrece en (0, 12). La bajamar (155 m) se alcanza a las 12 horas. La pleamar (200 m), desde las 22 horas a las 0 horas. 170 – 200 c) T.V.M. [0, 6] = = –5 cm/hora 6–0 155 – 170 T.V.M. [6, 12] = = –2,5 cm/hora 12 – 6 La marea baja más rápidamente de 0 h a 6 h que de 6 h a 12 h. 190 – 155 T.V.M. [12, 18] = ≈ 5,83 cm/hora 6 200 – 190 T.V.M. [18, 22] = = 2,5 cm/hora 4 La marea sube más rápidamente de 12 h a 18 h que de 18 h a 22 h.

VOLUMEN (l)

PRECIO (€)

b) La expresión analítica de la función es P = x – 10. 20 – 0 c) T.V.M. [10, 30] = =1 30 – 10 T.V.M. [30, 40] =

30 – 20 =1 40 – 30

La T.V.M. es la misma en ambos casos. Es una función lineal de pendiente 1. d) 50 = x – 10 8 x = 60. La capacidad del depósito es de 60 litros. e) V = 60 litros = 60 dm3 r = 20 cm = 2 dm V = πr 2h 8 60 = π · 4 · h 8 8 h ≈ 4,78 dm = 47,8 cm 2. Responde correctamente a tres de los cinco apartados. 1. Responde correctamente a dos apartados. 0. En cualquier otro caso.

2. Responde correctamente a los apartados a) y b) o a) y c). 1. Responde correctamente al apartado a).

EL DEPÓSITO

0. En cualquier otro caso.

REPOSTANDO COMBUSTIBLE

Competencia

Elemento de competencia Contenido

194

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos. Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas. Relaciones funcionales. La tasa de variación media. Volumen del cilindro.

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.

Elemento de competencia

Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

Contenido

Relaciones funcionales. Expresión analítica de una función. Volumen de prismas.

Tarea 1

Pautas de corrección Niveles de puntuación:

Niveles de puntuación:

3. Las respuestas correctas son:

a) La capacidad del depósito la obtenemos tomando t = 0. Capacidad = 5 · (1 + 1) = 10 m3 = = 10 000 litros

a) D(8, 6) 8 d = √ 82 + 62 = 10 km Los triángulos OAD y DBE son semejantes: E l y D B 4 d 6

b) La familia tendrá cubiertas sus necesidades durante 10 000 : 200 = 50 días. c) 0

TIEMPO (h)

VOLUMEN (m3) 10

6,7

VOLUMEN

5,71 5,6 5,45 5,38

(m3)

y 6 = 8y=3 4 8

Por tanto, l = √ 32 + 42 = 5 km 5

La distancia del pueblo al puente es de 10 km y el puente mide 5 km. 2

10 12 TIEMPO (h)

G 15

d) Si el desagüe permaneciese abierto indefinidamente, el depósito no se vaciaría, porque su volumen se estabiliza en torno a 5 m3. Esto significa que el desagüe está a una determinada altura por encima de la base.

e) V = Abase · h 8 5 = 10 · h 8 8 h = 0,5 m = 50 cm El desagüe se encuentra a 50 cm de su base.

G M E

ACONDICIONAMIENTO DE VÍAS DE TRÁFICO Competencia Elemento de competencia Contenido

Representar e interpretar la realidad. Resolver problemas geométricos. Obtiene medidas indirectas. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas geométricos.

{

Las soluciones del sistema son a = 9 y b = 12. Las coordenadas de G son (24, 18).

0. En cualquier otro caso.

3 B

a2 + b2 = 152 G(a, b) a = 3 b 4

2. Responde correctamente a tres de los cinco apartados. 1. Responde correctamente a, al menos, dos apartados.

5 H

Si H está a igual distancia de G y de E, está en la mediatriz de EG y a 5 km del punto medio de EG.

— — — GH = HE = z52 + MG2 = z25 + 7,52 ≈ ≈ 9 km 2. Responde correctamente a dos de los tres apartados. 1. Responde correctamente a un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

195

Tarea 1

Pautas de corrección 10

DADO TRUCADO Competencia

Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad y resolver problemas.

Elemento de competencia

Interpreta gráficos estadísticos. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas.

Contenido

Gráficas estadísticas. Experiencias compuestas.

Niveles de puntuación:

B gana si sale 1, 4 o 6. P [A] = 0,16 + 0,13 + 0,2 = 0,49 P [B] = 0,18 + 0,21 + 0,12 = 0,51 c) Por ejemplo: A gana si sale 2, 3 o 4. B gana si sale 1, 5 o 6. En ambos casos, la probabilidad de ganar es 0,5. 2. Responde correctamente a dos de los tres apartados. 1. Responde correctamente a un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

3. Las respuestas correctas son: 180 a) P[1] = = 0,18; P[2] = 0,16; 1 000 P [3] = 0,13; P[4] = 0,21; P[5] = 0,2; P[6] = 0,12

b) A gana si sale 2, 3 o 5.

196

TAREA

Fecha: ....................................................................

TORNILLOS Y TUERCAS Una máquina fresadora fabrica tornillos combinando el tipo de cabeza (zona en la que se inserta el destornillador) y el paso de rosca (lo que avanza el tornillo por cada vuelta que se le dé), según lo especificado en estas tablas: CABEZA Hendida (H)

Estrella (E)

PASO DE ROSCA Grande, 2 mm (G)

Mediano, 1,5 mm (M)

Pequeño, 1 mm (P)

Una segunda máquina fabrica tres tipos de tuercas: cuadrada (C), hexagonal (X) y octogonal (O). Una tercera máquina coloca en cada tornillo una tuerca, y graba cada pieza con una inscripción que indica su cabeza, su paso de rosca y su tuerca. Así, una pieza HMX es un tornillo de cabeza hendida y paso de 1,5 mm con tuerca hexagonal. a) ¿Cuántos tipos de piezas fabrican estas máquinas? Completa una tabla como esta: CABEZA

PASO DE ROSCA G

TUERCA

TIPO DE PIEZA

HGC

HGX

O H

b) La máquina que fabrica los tornillos sigue estas instrucciones: • Un 60% de la producción es de cabeza H, y el resto, de cabeza E. • Para cada tipo de cabeza, 1/5 es de paso G; la cuarta parte del resto, de paso M, y lo que queda, de paso P . Sobre una producción dada de tornillos, ¿qué porcentaje serán del tipo HP? ¿Y del tipo EM? c) ¿Cuántas vueltas habrá que darle a un tornillo HM para que se hunda hasta la cabeza en un tablero de 1,8 cm de grosor?

197

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

VIAJES ESPACIALES

6 ·107 km

La nave Valiant I, construida para viajar al espacio, puede cubrir grandes distancias y fotografiar fenómenos y objetos del cosmos. En su primer vuelo, cruzará la atmósfera terrestre, se situará a 4 · 104 km sobre la superficie de la Tierra y orbitará alrededor de ella a una velocidad uniforme de 250 m/s. a) Sabiendo que el radio de la Tierra es de unos 6 500 km, ¿qué longitud tiene una de esas órbitas circulares? Da el resultado en notación científica, con tres cifras significativas.

c) En el viaje completo, la nave cubrirá, girando alrededor de la Tierra, 2,92 · 106 km. ¿En cuánto tiempo, en días y horas, lo hará y cuántas órbitas describirá?

d) Finalizada esta parte, la Valiant viajará a Marte cuando este se encuentre más próximo a la Tierra (60 millones de kilómetros). Viajará a una velocidad de 12 000 km/h. ¿Cuánto tiempo durará este viaje?

198

b) Estima el tiempo, en días y horas, que tardará la nave en dar una de estas vueltas alrededor de la Tierra (los científicos, cuando supieron este dato, la apodaron “la nave de los malos augurios”).

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

FORMAS Y NÚMEROS S

1 M

En clase de matemáticas, la profesora reparte este rompecabezas y pide a sus alumnas y alumnos que planteen y resuelvan cuestiones relativas a las medidas de las piezas y del rompecabezas completo. “Solo tenéis que tener en cuenta que el segmento AM sea el segmento unidad (medida 1) y que expreséis todas las medidas en su valor exacto; no uséis la calculadora ni hagáis aproximaciones”. a) Inés lo ve muy complicado al principio, pero, poco a poco, va localizando diversas medidas. Se plantea averiguar, por ejemplo, cuántos segmentos AM son el perímetro de la figura ABCD. ¿Puedes ayudarla?

b) Y ya puestos, ¿por qué no abordar el tema de las áreas? Por ejemplo, ¿cuál es el área del rompecabezas completo? ¿Y cuál es el de los triángulos grandes? ¿Será cierto que ocho de esos triángulos grandes cubrirían el rompecabezas?

c) Imagina que dos hormigas compiten, partiendo de A y debiendo llegar a C. La hormiga Josefa camina haciendo este recorrido: AP-PQ-QC. La hormiga Pecosa hace este otro: AM-MS-SO-OR-RC. Ambas salen a la vez y caminan a la misma velocidad. ¿Cuál llegará primero a la meta? ¿Qué ventaja le sacará a su contrincante?

199

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

INFLACIÓN Los datos de la variación de precios durante el primer y el segundo semestre del año están ya en poder de los técnicos del Ministerio de Economía y quedan reflejados en esta tabla, donde los porcentajes positivos expresan subidas de precio, y los negativos, bajadas. APARTADOS Alimentación Vestido Transporte Hostelería y restauración Ocio y espectáculos

1.er SEMESTRE

2.o SEMESTRE

+ 5%

VARIACIÓN ANUAL i)

+ 2%

+ 6%

ii)

+ 7,5%

+ 2,5%

– 5%

+ 5%

iii) iv)

+ 3%

– 5%

Índice de Precios al Consumo anual (IPC) (media de los apartados i), ii), iii), iv) y v))

a) ¿Cuál ha sido la variación anual en cada apartado? ¿Cuál será el IPC anual? (Redondea a las milésimas).

c) Empresarios y trabajadores pactaron, al comenzar el año anterior, que si el IPC superaba el 4%, los salarios subirían en el mismo porcentaje que este. Según esto, un trabajador que gane 1 000 euros al mes, ¿cuánto debe cobrar a partir de enero de este año?

200

b) El año pasado, el 6 de enero, Antonio salió de casa, compró un roscón de 2 kg, a 10 €/kg, y adquirió un billete de tren por 1,50 €, para ir a visitar a su hermana. Después, por la tarde, merendó en una cafetería con unos amigos, y pagó 2,40 €. Este año, en la misma fecha, va a hacer exactamente lo mismo. ¿Con cuánto dinero regresará Antonio a casa si sale con 30 €? (Redondea los precios a céntimos).

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

CONCURSO ALGEBRAICO En clase de matemáticas se ha organizado un concurso de problemas algebraicos. Los alumnos y las alumnas son distribuidos en grupos de tres. Alfonso, Beatriz y Carla forman uno de esos grupos y plantean los siguientes acertijos: a) En una bolsa tenemos cierto número de caramelos. Si tuviéramos dos más, el cuadrado de esa cantidad sería 20 veces la cantidad actual más su cuarta parte. ¿Cuántos caramelos tenemos en la bolsa?

b) Tenemos una amiga. El producto de la edad que tenía hace 4 años por la edad que tendrá dentro de 4 años es igual al cuadrado de su edad actual menos el cuadrado de la edad que tenía hace 10 años.

c) El jardín de la princesa Hiu-Tao está dividido en tres zonas, A, B y C, donde crecen flores de loto. Este año, en la zona A ha habido una flor menos que en la B, y en la C, una más que en la B. El número total de flores ha sido tal que el doble del cuadrado de las que han crecido en A, más dos flores, equivale a la cuarta parte del cuadrado de las que han salido en C más veintidós veces las que ha habido en B. ¿Cuántas flores ha habido en el jardín de Hiu-Tao?

201

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

COMPETENCIA COMERCIAL Las empresas A, B y C fabrican el mismo tipo de artículo. A paga a sus comerciales un fijo de 1 400 euros al mes más 50 € por cada artículo vendido. B paga un fijo de 900 € al mes más 150 € por artículo vendido. C paga 600 € al mes más 130 € por artículo vendido. Al acabar el mes, tres comerciales, uno de cada empresa, han vendido el mismo número de artículos. a) ¿Cuál debería ser ese número de artículos para que el comercial de la empresa B haya ganado más que el de la A?

c) A pesar de sus condiciones laborales, el comercial de C es un profesional decidido: en los dos últimos meses ha vendido un total de 50 artículos. Por ello, la empresa decidió subirle en un 20% la comisión por cada artículo vendido durante el segundo mes. Al final de los dos meses, el comercial ha ingresado 8 480 euros (entre fijos y comisiones). ¿Cuántos artículos vendió en cada mes?

202

b) ¿Y cuál debería ser para que el de C haya ganado más que el de A?

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

PLANIFICACIÓN DE VENTAS El departamento de ventas de una empresa que fabrica un determinado artículo, analiza el mercado, hace sus cálculos y llega a la conclusión de que los ingresos, I (en miles de euros), obtenidos por la venta de x artículos (en miles) vienen dados por la función I = –x2 + 12x – 20 a) Completa en una tabla los ingresos obtenidos en función de los artículos vendidos (toma x = 0, 2, 4, 6, 8, 10), y traza la gráfica que relaciona ambas variables. INGRESOS (miles de euros) 20 15 10 5 –5 –10 –15 –20 –25

ARTÍCULOS (miles)

b) Calcula los costes de fabricación antes de empezar a vender los artículos. Es decir, ¿cuánto vale I para x = 0? ¿Cuántos artículos tienen que venderse para que no haya pérdidas? ¿Para qué número de artículos vendidos se alcanzan los ingresos máximos? ¿Cuáles serán estos?

c) ¿Crees que debe pararse la fabricación en algún momento? ¿En cuál? ¿Por qué?

203

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

CUIDEMOS LOS BOSQUES Los técnicos forestales de una región muy boscosa estiman que sus árboles representan un volumen de madera de 30 m3 por hectárea, y que el crecimiento de esta cifra es de un 4% anual. a) Teniendo en cuenta estos datos, ¿qué volumen de madera, por hectárea, tendrá el bosque dentro de un año? ¿Y dentro de dos años? (Redondea los resultados a unidades de metros cúbicos).

b) ¿Cuál es la expresión analítica que relaciona el volumen de madera del bosque, V, en metros cúbicos, con el transcurso del tiempo, t, en años? Haz su representación gráfica.

VOLUMEN (m3)

60 50 40 30

c) Si un incendio destruyera el bosque y se replantase con lo equivalente a 1 m3 de madera por hectárea, ¿cuántos años deberían transcurrir para recuperar la actual cantidad de madera, suponiendo un mismo ritmo de crecimiento? Haz estimaciones para 40, 50, 60, … años.

204

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TIEMPO (años)

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

MANCOMUNIDAD DE AGUAS Tres pueblos, A, B y C, se encuentran comunicados por una carretera de montaña, muy sinuosa. Sus respectivos depósitos de agua se encuentran bastante obsoletos para el crecimiento de población experimentado por cada uno, así que deciden unirse en una mancomunidad y construir un depósito común de agua, con capacidad más que suficiente para todos ellos. Los técnicos colocan un sistema de coordenadas con origen en un punto O, de ma— nera que A se sitúa sobre el eje Y, con OA = 8 km, y B se sitúa sobre el eje X, — con OB = 12 km. En este sistema, C está entre A y B, en línea recta con ellos, — — y AB = 4 · CB. Deciden ubicar el depósito en una elevación, a igual distancia de A que de B, y a 4 km del punto medio, M, del segmento que, en el plano, une A con B.

a) ¿Qué coordenadas tendrán en el plano los puntos C y M?

b) ¿A qué distancia, en línea recta, estará el depósito, D, de cada pueblo?

c) Elaborado el presupuesto de edificación y canalización a cada pueblo, los costes totales serán de 9 millones de euros. Como el número de habitantes de C es 1,5 veces el de A y, a su vez, los habitantes de A son la mitad que los de B, se decide repartir el coste total de forma directamente proporcional al número de habitantes de cada localidad. ¿Cuánto pagará cada una?

205

Tarea 2 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

VESTIRSE Y TRIUNFAR En un concurso de televisión, cada participante entra, con los ojos vendados, en una habitación en la que hay tres baúles. En el primero hay dos sombreros con puntuaciones 1 y 3; en el segundo, 3 chaquetas con puntuaciones 2, 4 y 6 y, en el tercero, 2 pantalones con puntuaciones 7 y 9. Cada concursante debe coger, al azar, un sombrero, una chaqueta y un pantalón, obteniendo tantos puntos como sumen las puntuaciones de las prendas elegidas. Por participar, cada concursante paga 20 euros. Si obtiene una puntuación menor que 12, quedará eliminado y perderá su dinero. Si la puntuación es 12, recibirá 20 euros. Si es 14 o 16, recibirá 100 euros. Y si es 18, conseguirá el premio máximo, 200 euros. a) ¿Cuántos posibles atuendos tiene cada concursante para elegir? Escribe, de forma ordenada, todas las posibles combinaciones numéricas y la suma obtenida en cada caso.

b) ¿Cuál es la probabilidad de quedar eliminado y perder los 20 euros? ¿Cuál es la probabilidad de no ganar ni perder nada?

c) ¿Cuál es la probabilidad de llevarse a casa una cantidad mayor que 80 euros? ¿Y la de llevarse una cantidad menor o igual que 180?

206

¿Cuál es la probabilidad de ganar algo?

Tarea 2

Pautas de corrección 1

c) Para hundir un tornillo de rosca M en un tablero de 1,8 cm, habrá que darle 18 : 1,5 = 12 vueltas.

TORNILLOS Y TUERCAS

Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utiliza números racionales para plantear problemas y obtener información. Elabora tablas de conteo. Calcula porcentajes.

Contenido

Técnicas de conteo. Números racionales y sus operaciones. Resolución de problemas con fracciones, números decimales y porcentajes.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c). 1. Resuelve correctamente solo uno de los tres apartados. 0. En cualquier otro caso.

VIAJES ESPACIALES

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Usar el razonamiento matemático para tratar información y para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utiliza números decimales, su expresión en notación científica y sus operaciones. Obtiene medidas indirectas.

Contenido

Números decimales. Notación científica. Longitud de la circunferencia. Unidades de longitud y de tiempo.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) Son 2 · 3 · 3 = 18 tipos distintos de piezas. PASO DE ROSCA

CABEZA

TUERCA C

TIPO DE PIEZA HGC

HGX

HGO

HMC

HMX

HMO

HPC

HPX

HPO

EGC

EGX

EGO

EMC

EMX

EMO

EPC

EPX

EPO

1/5

(1/4) · (4/5) = 1/5

3/5

Tipo HP 8

60 3 18 9 · = = = 100 5 50 25

= 0,36 8 36% de la producción Tipo EM 8

40 1 4 2 · = = = 100 5 50 25

= 0,08 8 8% de la producción

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) L = 2πR = 2 · π · (6 500 + 40 000) = = 2,92 · 105 km = 2,92 · 108 m b) Si en un segundo la nave recorre 250 m, los 2,92 · 108 m los recorre en 2,92 · 108 : 250 = 1,17 · 106 s = = 325 horas = 13 días 13 horas. c) Una vuelta alrededor de la Tierra son 2,92 · 105 km. 2,92 · 106 km serán 10 vueltas. Tardará 130 días 130 horas = 135 días 10 horas. d) 6 · 107 km : 12 000 km/h = 5 · 103 h = = 208 días 8 horas 2. Resuelve correctamente tres de los cuatro apartados. 1. Resuelve correctamente dos apartados. 0. En cualquier otro caso.

207

Tarea 2

Pautas de corrección 3

Niveles de puntuación:

FORMAS Y NÚMEROS Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utiliza números irracionales y sus operaciones para plantear problemas y obtener información. Obtiene medidas indirectas.

Contenido

3. Las respuestas correctas son: a) Alimentación 8 1,05 · 1,05 = 1,103 8 8 +10,3% Vestido 8 1,02 · 1,06 = 1,081 8 +8,1% Transporte 8 1,075 · 1,025 = 1,102 8 8 +10,2% Hostelería 8 0,95 · 1,05 = 0,998 8 8 –0,2%

Números irracionales: operaciones. Teorema de Pitágoras.

Ocio 8 1,03 · 0,95 = 0, 979 8 –2,1% IPC 8 (+10,3 + 8,1 + 10,2 – 0,2 – 2,1) : 5 = 5,26%

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son:

b) Los precios ahora serán:

a) La mitad del lado del rompecabezas es

Roscón 8 20 · 1,103 = 22,06 €

√ 12 + 12 = √ 2 .

Billete 8 1,5 · 1,102 = 1,65 €

Así, su lado mide 2 √ 2 y su perímetro

Cafetería 8 2,4 · 0,998 = 2,40 €

es 8 √ 2 .

Total: 26,11 €

b) El área del rompecabezas es (2 √ 2 )2 = = 2 2(√ 2 )2 = 8.

Antonio regresará a su casa con 30 – 26,11 = 3,89 €.

El área de cada triángulo grande es

c) Deberá cobrar 1 000 · 1,0526 = 1 052,60 euros al mes.

z2 · z2 = 1.

2 Y, efectivamente, ocho triángulos grandes cubrirían el rompecabezas.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c).

1. Resuelve correctamente un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

CONCURSO ALGEBRAICO

Competencia

Utilizar el lenguaje algebraico para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra.

1. Resuelve correctamente el apartado a). 0. En cualquier otro caso.

INFLACIÓN

Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números y sus operaciones básicas para interpretar información y resolver problemas cotidianos y del mundo laboral.

Elemento de competencia

Emplea distintos tipos de números, eligiendo la notación y forma de cálculo apropiadas para resolver problemas.

Contenido

208

Contenido

Problemas aritméticos. Porcentajes. Números índice.

Problemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) Sea x el número actual de caramelos. (x + 2)2 = 20x + x/4. La solución factible es x = 16 caramelos. b) Sea x la edad de la amiga. (x + 4) (x – 4) = x2 – (x – 10)2 La solución factible es x = 14 años.

c) Josefa recorre una distancia 2 + 2 √ 2 , y Pecosa, 2 + 3√ 2 . Ganará Josefa y su ventaja será una distancia de √ 2 unidades.

2. Resuelve correctamente dos de los tres apartados.

Tarea 2

Pautas de corrección c) Si en B ha habido x flores, en A ha habido x – 1, y en C, x + 1. (x + 1)2 2(x – 1)2 + 2 = + 22x 4 La solución factible es x = 15. 2. Responde correctamente dos apartados cualesquiera, o bien resuelve uno y plantea correctamente los otros dos. 1. Responde correctamente un apartado o plantea bien, aunque no resuelva, los tres. 0. En cualquier otro caso.

PLANIFICACIÓN DE VENTAS

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.

Elemento de competencia

Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables y determina el tipo de función que pueda representarlas.

Contenido

Estudio de relaciones funcionales mediante tablas y gráficas. Función cuadrática.

COMPETENCIA COMERCIAL Competencia

Utilizar el razonamiento matemático para interpretar información y resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra.

Contenido

Problemas con planteamiento algebraico. Inecuaciones. Sistemas de primer grado.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) El comercial de B ganará más que el de A si 150x + 900 > 50x + 1 400. La solución es x > 5 artículos. Es decir, han debido vender 6 artículos o más. b) 130x + 600 > 50x + 1400. Su solución es x > 10 artículos. Han debido vender 11 artículos o más. © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

c) Sean x los artículos vendidos el primer mes e y los vendidos el segundo mes:

{

x + y = 50 730 + (1,2 · 130 y + 600) = 8 480

Las soluciones son x = 20 e y = 30. Vendió 20 artículos el primer mes y 30 el segundo. 2. Responde correctamente a dos apartados cualesquiera, o resuelve bien uno de ellos y plantea correctamente, aunque no resuelva bien, los otros dos. 1. Responde correctamente un apartado o plantea, aunque no resuelva, los tres. 0. En cualquier otro caso.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) 0

–20

x (miles de artículos) I (miles de euros)

INGRESOS (miles de euros) 20 15 10 5 –5 –10 –15 –20 –25

ARTÍCULOS (miles)

b) Los costes de fabricación son de 20 000 euros. Para que no haya pérdidas, se tienen que vender más de 2 000 artículos y menos de 10 000. Los ingresos máximos, 16 000 euros, se alcanzan cuando se venden 6 000 artículos. c) La fabricación debe cesar cuando se hayan fabricado y vendido 10 000 artículos, puesto que, a partir de ahí, los ingresos empiezan a ser negativos. 2. Responde correctamente a los apartados a) y b) o a) y c). 1. Responde correctamente solo a uno de los apartados. 0. En cualquier otro caso.

209

Tarea 2

Pautas de corrección CUIDEMOS LOS BOSQUES

Competencia

Elemento de competencia

Contenido

Expresar información de fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta. Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables. Obtiene medidas indirectas en situaciones reales.

Competencia

Interpretar y expresar con claridad informaciones y datos. Resolver problemas de la vida cotidiana.

Elemento de competencia

Utiliza fórmulas para obtener medidas indirectas. Resuelve problemas aritméticos.

Contenido

Estudio de relaciones funcionales. Expresión analítica de una función. La función exponencial.

3. La respuestas correctas son: 6 + 12 4 a) M(6, 4) y C = (9, 2) , 2 2

(

)

— b) AB = z82 + 122 = 14,4 km — — — AM = MB = 7,2 km; MC = 3,6 km; — — Por tanto, DA = DB = z7,22 + 42 = — = 8,2 km y DC = z3,62 + 42 = 5,4 km

3. Las respuestas correctas son: a) Al cabo de t = 1 año, tendremos V = 30 + 30 · 0,04 = 30 · 1,04 = = 31,2 ≈ 31 m2. Al cabo de t = 2 años, el volumen será V = 31,2 · 1,04 = 32,45 ≈ 32 m2.

c) Por cada parte del presupuesto que pague A, la población C pagará 1,5 partes, y B, 2 partes. Esto supone 9 millones de euros para 4,5 partes. Por tanto, a cada parte le corresponden 2 millones. Así: A pagará 2 millones; B, 4 millones, y C, 3 millones.

b) La expresión analítica de la función es V = 30 · 1,04t. VOLUMEN (m3)

60 50 40

2. Responde correctamente a los apartados a) y b) o a) y c).

30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 TIEMPO (años)

1. Responde correctamente a un solo apartado.

c) V40 = 1,0440 ≈ 5 m3 50

≈7m

≈ 11 m3

V50 = 1,04 V60 = 1,04

0. En cualquier otro caso.

VESTIRSE Y TRIUNFAR

V70 = 1,0470 ≈ 16 m3 V80 = 1,0480 ≈ 23 m3 V90 = 1,0490 ≈ 34 m3 El bosque tardaría en recuperarse entre 80 y 90 años. 2. Responde correctamente a dos de los tres apartados. 1. Responde correctamente a un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

210

Distancia entre puntos. Coordenadas del punto medio. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas geométricos y aritméticos.

Niveles de puntuación:

MANCOMUNIDAD DE AGUAS

Competencia

Interpretar la realidad y poner en práctica procesos de razonamiento que lleven a la resolución de problemas.

Elemento de competencia

Utiliza técnicas de recuento. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana.

Contenido

Técnicas de recuento. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

Tarea 2

Pautas de corrección Niveles de puntuación:

b) Hay 12 posibles resultados. P[perder 20 €] = P [suma 10] = 1/12

3. Las respuestas correctas son: a) El número total de atuendos que pueden salir es: 2 · 3 · 2 = 12 Los posibles resultados y sumas son: Suma

Resultados

Suma

127

327

129

329

147

347

149

349

167

367

169

369

P [ganar algo] = P[suma 14 o 16 o 18] = = 8/12 = 2/3 c) P [ganar más de 80 €] = P [suma 18] = = 1/12 P[ganar 180 € o menos] = 1 2. Responde correctamente a dos de los tres apartados. 1. Responde correctamente a un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

Resultados

P [no ganar ni perder] = P[suma 12] = = 3/12 = 1/4

211

TAREA

Fecha: ....................................................................

TECNOLOGÍA PARA PINTAR Una máquina pintadora, modelo A, tarda en pintar una estancia 8 h. Otra máquina más completa, B, lo hace en 4 h, y una tercera, C, aún más rápida, lo hace en 2 h. a) ¿Qué fracción de la estancia pintan las tres juntas en una hora?

c) La estancia es de base rectangular, de 16 m Ò 8 m, y tiene 3 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados de pared pintan las tres juntas por cada hora de trabajo? ¿Cuánto tardarán en pintar el suelo de una pista de deportes, rectangular, de 63 m Ò 24 m?

212

b) ¿Cuánto tiempo tardarán en pintar la estancia las tres juntas?

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

MAQUETA ASTRONÓMICA Miguel tiene que construir una maqueta que represente, de forma bastante aproximada, la situación de la Tierra (T), Marte (M) y el Sol (S) en el momento en que el triángulo MTS sea rectángulo con ángulo recto en T. Para ello se ha comprado un tablero rectangular, de 1 m Ò 50 cm, donde ubicará los tres cuerpos planetarios. Colocará Marte y el Sol a 80 cm de distancia. T S

M 80 cm

a) Miguel tiene que tomar, como distancia MS real, la mínima que puede llegar a tener, unos 200 millones de kilómetros. ¿A qué escala va a realizar su trabajo? Interpreta el resultado.

b) La distancia entre T y S es, aproximadamente, de 150 millones de kilómetros. ¿Cuál será la distancia, en la maqueta, de T a S? ¿Y de T a M?

c) Según esta maqueta, ¿a qué distancia real estará T de M cuando el triángulo es rectángulo en T?

213

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ESTRUCTURAS DE CRISTAL B A

P1 C

En el Museo de Arte Contemporáneo de una ciudad se exponen estas dos estructuras de cristal. La del fondo, P1, es un prisma de base rectangular de 1 m de ancho y 2 m de largo, y su altura tiene un metro más que la diagonal de su base. P2 es otro prisma, y la anchura de su base es el triple que la diagonal de la base de P1. a) ¿Qué dimensiones tiene el paralelogramo, ABCD, en que intersecan los dos prismas? ¿Cuál es su área? Calcula las medidas exactas.

c) Compara los volúmenes de los dos prismas.

214

b) ¿Cuál es el volumen del prisma P2?

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ATRACO Y HUIDA B F

Un grupo de ladrones atraca una oficina bancaria en el pueblo A, y huyen por la autopista hacia el puesto fronterizo F, que está a 120 km de A. El vehículo en el que viajan alcanza una velocidad punta de 160 km/h. Alertada la policía de A, sus agentes emprenden la persecución 15 minutos después. Yendo a la máxima potencia, sus vehículos pueden circular a 200 km/h. a) Los ladrones han emprendido la huida a las 9:00 h de la mañana. ¿Cuánto tiempo tardarán en llegar a la frontera? ¿A qué hora ocurrirá?

b) Teniendo en cuenta el retraso y la velocidad máxima que pueden alcanzar los policías de A, ¿podrán dar alcance a los ladrones antes de que estos crucen la frontera?

c) Si los ladrones consiguiesen cruzar la frontera, podrían desviarse por una carretera comarcal que sale del punto C, situado a 10 km de la frontera, entre esta y una localidad B. Si así ocurriese, los policías perderían su rastro. Por si acaso, al iniciar su persecución (9:15 h de la mañana), los agentes de A alertan a sus compañeros del otro lado de la frontera. Desde la localidad B, situada al otro lado de la frontera y a 100 km de esta, se pone en marcha un dispositivo de apoyo. La policía de B pone sus coches a una velocidad punta de 180 km/h. ¿Podrán interceptar a los ladrones antes del desvío en C? ¿A qué hora lo harán y a cuántos kilómetros de F?

215

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

CAJAS DE CARAMELOS

Para envasar caramelos, se fabrican cajas de base octogonal (no necesariamente regular) de lado x, obtenidas a partir de cartones cuadrados de 40 cm de lado a los que se les recortan las esquinas una misma longitud, l, por cada lado. a) ¿Qué expresión analítica, en función de x, tendrá la superficie del fondo de la caja?

c) En las condiciones anteriores, ¿qué superficie de cartón sería necesaria para construir las caras laterales de la caja?

216

b) Si se quiere que cada caja tenga un volumen de 7 000 cm3 y una altura de 5 cm, ¿a cuántos centímetros (l) de la esquina habrá que cortar los cartones cuadrados?

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

FILOSOFÍA HINDÚ SOBRE EL MATRIMONIO

Un viejo aforismo hindú dice que la edad de una mujer para casarse no debe sobrepasar en 7 años la mitad de la edad del hombre que ha elegido por pareja. En Bombay residen Rajiv, que es 8 años mayor que su prometida; y Pandit, que tendrá el doble de años que su dama cuando se case. a) ¿Antes de qué edad deberá casarse la prometida de Rajiv, según el aforismo?

b) La prometida de Pandit no se muestra nada preocupada sobre la edad ideal para su matrimonio. ¿Por qué?

c) En una pagoda de Bombay se han casado Benhaib y su prometida Rama. Un amigo susurra a otro: entre los dos suman 60 años. Y el amigo le contesta: sí, y si él tuviese 36 años más y ella 12 más, la edad de él duplicaría a la de ella. ¿A qué edad se ha casado esta pareja? ¿Verifican el viejo aforismo?

217

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

RENTABILIDAD DE UN BUEN VINO Una afamada bodega lanzó al mercado una nueva marca de vino de crianza. Durante los años que estuvo comercializándose, se estudió el nivel de rentabilidad, analizando la relación que había entre las ganancias, G, por las ventas (en miles de euros) y el precio, P, que ponían a cada botella (en euros). El resultado de este análisis queda reflejado en la siguiente gráfica: 3,6

GANANCIAS (miles de €)

2 1 3

14 PRECIO (€)

–2

a) ¿A qué precio máximo se comercializó la botella? ¿Ha sido rentable en todo momento? ¿Puedes estimar qué habría ocurrido si no se hubiese interrumpido la producción?

b) ¿Entre qué valores de P descendieron los resultados? ¿Y entre cuáles ascendieron?

c) ¿Cómo varían las ganancias en los intervalos [3, 4] y [4, 6], según varía el precio de la botella? ¿Y en los intervalos [6, 7] y [7, 14]?

218

¿Para qué valores de P se alcanzaron las mínimas (o las máximas) ganancias? ¿Cuáles fueron estas?

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

I&M: INVERTIR Y MEJORAR La firma I&M se hizo cargo de una vieja empresa con el fin de sanearla. Su estrategia es clara: renovar e invertir para mejorar. Los beneficios, B, que la empresa obtiene por la fabricación y venta de sus productos están relacionados con la cantidad de dinero, x, invertida en mejorar sus estructuras y adquirir nuevas tecnologías. Los estudios de su departamento de planificación concluyen que x y B se relacionan según esta expresión analítica: 5(x – 1) x+1

donde B viene dado en miles de millones de euros, y x, en millones de euros. a) Construye la gráfica que relaciona x y B apoyándote en una tabla de valores (da a x valores enteros, de 0 a 12 millones de euros). 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

BENEFICIOS (miles de millones de €)

10 11 12

INVERSIONES (millones de €)

b) ¿Cuál era la situación económica cuando la firma compró la vieja empresa? ¿A partir de qué gasto en inversiones empezó a haber beneficios? Si la firma aumentara las inversiones indefinidamente, ¿aumentarían indefinidamente los beneficios? Justifica la respuesta tomando x = 50, x = 100, x = 1 000 y observando qué ocurre.

c) La función es creciente. ¿Crece por igual en todos sus tramos? Para saberlo, halla su tasa variación media en los intervalos [0, 3], [3, 8] y [8, 12]. Analiza los resultados.

219

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ENTORNO NATURAL E

ermita

M merendero B

DATOS AC = 4 km OC = 4 km OF = 10 km

a) El camino OE es perpendicular a la carretera. ¿Cuál es la distancia de O a A? — — ¿A qué distancias aproximadas, EA y EB, está la ermita de cada puente? (Ten en cuenta los datos del gráfico).

b) Tomando como base los triángulos EOD y ABE, ¿a qué distancia está la ermita del acceso D? ¿Cuántos kilómetros hay desde este acceso D al punto F del puente GRANDE?

c) Se construirá un camino paralelo a OD, con entrada por los puntos P y B, y, exactamente en su punto medio, se habilitará un merendero M. ¿A qué distancia desde cada acceso P y B estará el merendero?

220

Se quieren acondicionar los accesos a una antigua ermita desde los puntos O y D de la carretera estatal. La ermita está enclavada en el centro de un bello entorno natural atravesado por un río. Para cruzar el río, hay dos antiguos puentes, el puente CHICO y el puente GRANDE. Los topógrafos, a partir de ciertas medidas que ya tienen, deben calcular otras.

Tarea 3 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

PRUEBA DE ORTOGRAFÍA El departamento de Lengua de un instituto decide hacer una prueba de ortografía a dos grupos de 4.º de ESO, con 30 alumnos cada uno. El número de faltas cometidas al hacer una composición escrita queda reflejado en las siguientes tablas: GRUPO A

GRUPO B

xi (n.º de faltas)

fi (alumnos)

xi (n.º de faltas)

fi (alumnos)

0 1 2 3 4 5 6 8

4 3 4 6 8 2 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7

3 2 3 8 9 3 1 1

a) Calcula, en cada distribución, la media, la desviación típica y el coeficiente de variación.

b) Una vez corregidos los ejercicios, todas las pruebas se mezclan aleatoriamente y se guardan en un paquete.

Un día, un profesor extrae una de esas pruebas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que presente al menos tres faltas? ¿Y de que tenga alguna?

c) Otro día, el mismo profesor extrae del paquete dos pruebas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas tengan menos de dos faltas?

221

Tarea 3

Pautas de corrección TECNOLOGÍA PARA PINTAR

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Interpretar información. Resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utiliza números racionales y sus operaciones para resolver problemas y obtener información.

Contenido

Números racionales y sus operaciones. Resolución de problemas con fracciones y decimales.

1 de la estancia. 4

Utiliza números decimales, su expresión en notación científica y sus operaciones, para resolver problemas. Maneja escalas. Números decimales. Notación científica. Escalas. Teorema de Pitágoras.

La escala es 1 : 2,5 · 1011. Significa que 1 cm de la maqueta equivale a 2,5 · 106 km reales. 6 — · 108 8 TS b) 2,5 · 10 = 1,5 — = 60 cm 1 TS — TM = √ 802 – 602 = 52,9 cm

c) Estará a 52,9 · 2,5 · 106 km = 1,32 · 108, es decir, a unos 132 millones de kilómetros.

C 8 de la estancia. Las tres juntas, en una hora, pintarán: 1 1 1 7 + + = de la estancia. 8 4 2 8 8 b) La estancia completa será pintada 8 8 7 en : ≈ 1 h 9 minutos. 8 8

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

()

c) La superficie lateral de la estancia es:

Elemento de competencia

3. Las respuestas correctas son: 1 80 a) = 8 x = 2,5 · 1011 cm 8 5 x 2 · 10 ·10

a) Cada máquina, en una hora, pinta:

Utilizar los números y sus operaciones. Utilizar el razonamiento matemático para resolver problemas cotidianos.

Niveles de puntuación:

3. Las respuestas correctas son:

1 de la estancia. 8

Competencia

Contenido

Niveles de puntuación:

MAQUETA ASTRONÓMICA

1. Resuelve correctamente el apartado a). 0. En cualquier otro caso.

ESTRUCTURAS DE CRISTAL

2 · 16 · 3 + 2 · 8 · 3 = 144 m2 En una hora de trabajo, las tres máquinas 7 pintan · 144 = 126 m2. 8 La superficie de la pista es de 1 512 m2. Tardarán en pintarla:

Competencia

Utilizar y relacionar distintos tipos de números para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utilización de números irracionales para resolver problemas. Obtiene medidas indirectas y relaciona magnitudes.

Contenido

Números irracionales. Teorema de Pitágoras. Áreas y volúmenes.

1 512 : 126 = 12 horas. 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c). 1. Resuelve correctamente el apartado a). 0. En cualquier otro caso.

222

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) La diagonal de la base de P1 es: d = √ 22 + 12 = √ 5

Tarea 3

Pautas de corrección Los policías de B interceptarán a los ladrones, pues tienen que cubrir la misma distancia que ellos y la velocidad de sus vehículos es mayor.

ABCD tiene, por tanto, √ 5 m de ancho y 1 + √ 5 m de alto. Su área será: √ 5 · (1 + √ 5 ) = 5 + √ 5 m2 b) La base de P2 tiene √ 5 m de ancho y 3√ 5 m de largo. Su altura es 1 + √ 5 m. VP2 = √ 5 · 3√ 5 · (1 + √ 5) = 15 + 15 √ 5 m3

Unos y otros se acercan a una velocidad de 160 + 180 = 340 km/h. Tienen que cubrir 180 km en un tiempo t = 180 : 340 ≈ 0,53 h ≈ 32 min.

c) VP1 = 2 (1 + √ 5 ) m3

Interceptarán a los ladrones a las 9 h 47 min.

VP2 15 (1 + z5) = 7,5 = VP1 2(1 + z5 ) El volumen de P2 es 7,5 veces el de P1.

En esos 32 minutos, los agentes de B recorrerán 180 · 0,53 = 95,4 km.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

Su distancia a F será de 100 – 95,4 = = 4,6 km.

1. Resuelve correctamente el apartado a).

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c).

0. En cualquier otro caso.

ATRACO Y HUIDA Competencia

Utilizar los números y sus operaciones. Resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Usa distintos tipos de números y sus operaciones para resolver problemas.

Contenido

Problemas aritméticos. Móviles.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: e e a) v = 8t= = 120 : 160 = 0,75 h = t v = 45 min © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

1. Resuelve correctamente el apartado a).

Llegarán al punto F a las 9 h 45 min. b) Los agentes de A, a 200 km/h, tardarían en llegar a F: e t= = 120 : 200 = 0,6 h = 36 min v Como han salido 15 minutos más tarde que los ladrones (36 + 15 = 51), llegarían a la frontera a las 9:51 h. La policía no podrá alcanzar a los ladrones. c) Cuando la policía de B es avisada (9:15 h), los ladrones llevan huyendo 15 min = 0,25 h. En ese tiempo han recorrido 160 · 0,25 = = 40 km de la carretera AF. Su distancia al punto C es 120 + 10 – 40 = = 90 km, la misma que hay de B a C.

0. En cualquier otro caso.

CAJAS DE CARAMELOS

Competencia

Utilizar formas de razonamiento matemático para interpretar información y resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra. Utiliza fórmulas adecuadas para obtener medidas en situaciones reales.

Contenido

Problemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado. Áreas y volúmenes.

Niveles de puntuación: 3. Las soluciones correctas son: a) La superficie de los triángulos de las esquinas es l 2/2. 40 – x x l= = 20 – 2 2 l2 = SBASE CAJA = 402 – 4 · 2 x 2 = 1 600 – 2 20 – = 2

(

)

x2 2 b) V = ABASE · altura 8 7 000 = x2 = 800 + 40x – · 5 8 x = 20 cm 2 Por tanto, el corte habría que hacerlo a una distancia de la esquina l = 10 cm. = 800 + 40x –

(

)

223

Tarea 3

Pautas de corrección 2. Resuelve correctamente dos de los tres apartados.

c) La caja tendrá cuatro caras rectangulares de dimensiones 20 cm y 5 cm, y otras cuatro caras de dimensiones zl 2 + l 2 = = 10 √ 2 ≈ 14,14 cm y 5 cm.

1. Resuelve correctamente un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

S = 4 · 20 · 5 + 4 · 14,14 · 5 ≈ 683 cm2 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b). 1. Resuelve correctamente el apartado a).

RENTABILIDAD DE UN BUEN VINO

Competencia

Interpretar información numérica, gráfica… sobre fenómenos cotidianos. Interpretar los datos que reporta.

Elemento de competencia

Analiza gráficas asociadas a situaciones reales para obtener información.

Contenido

Relaciones funcionales. Tasa de variación media.

0. En cualquier otro caso.

FILOSOFÍA HINDÚ SOBRE EL MATRIMONIO Competencia

Utilizar el razonamiento matemático para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando planteamientos algebraicos.

Contenido

Problemas algebraicos. Sistemas de ecuaciones. Inecuaciones.

Niveles de puntuación: 3. La solución correcta es: a) Sea x la edad a la que se casará Rajiv. Su prometida tendrá x – 8 años. Según el aforismo: x x x–8Ì +78 Ì 15 8 x Ì 30 2 2 Rajiv deberá casarse antes de los 30 años, y su prometida, antes de los 22 años. b) Si x es la edad a la que se casará Pandit, su prometida tendrá x/2 años y se deberá verificar: x x Ì + 7 8 0x Ì 7 2 2 Esta inecuación se verifica para todo valor de x. Es decir, Pandit puede casarse a esa edad, porque la edad de su prometida verificará el aforismo. c) Si x e y son las edades de Rama y Benhaib, respectivamente:

y + 36 = 2(x + 12)

{

x + y = 60

x = 24, y = 36

Ambas edades verifican el aforismo, pues 24 Ì 36 : 2 + 7.

224

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) La botella se comercializó hasta un precio máximo de 14 euros. Ha sido rentable salvo cuando la botella valió menos de 4 euros. Las ganancias se estabilizaron en torno a los 1 000 millones de euros, que hubiera sido la ganancia estimada si la producción hubiera continuado, aun aumentando el precio de la botella. b) Hubo descensos con valores de P en los intervalos (0, 3) y (6, 14). Subieron en el intervalo (3, 6). El valor mínimo de G es –2 000 €, alcanzado cuando la botella valía 3 €. El valor máximo de G es 3 600 euros, alcanzado cuando P = 6 €. 0 – (–2) c) T.V.M. [3, 4] = = 2. Las ganancias 1 crecen 2 000 euros por cada euro que aumenta el precio de la botella. 3,6 T.V.M. [4, 6] = = 1,8. El crecimiento de 2 las ganancias es menor en este intervalo, 1 800 euros por cada euro que aumenta la botella. 2 – 3,6 T.V.M. [6, 7] = = –1,6. Las ganan1 cias disminuyen 1 600 euros por cada euro que aumenta la botella. 1–2 T.V.M. [7, 14] = ≈ –0,143. Las ga7 nancias decrecen unos 143 euros por cada euro que aumenta el precio de la botella, menos que en el caso anterior.

La superficie de cartón necesaria es:

Tarea 3

Pautas de corrección 2. Resuelve correctamente dos apartados, contestando con la precisión adecuada.

T.V.M. [3, 8] =

1. Resuelve correctamente un apartado, contestando con la precisión adecuada.

T.V.M. [8, 12] =

0. En cualquier otro caso.

Competencia

Expresar información sobre fenómenos cotidianos mediante distintos lenguajes (numérico, gráfico…) e interpretar los datos que reporta.

Elemento de competencia

Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables.

Contenido

Relaciones funcionales. Expresión analítica. Tasa de variación media.

2. Responde correctamente a los apartados a) y b) o a) y c).

3. Las respuestas correctas son: a) 3 4

9 10

B –5 0 1,67 2,5 3 3,33 3,57 3,75 3,89 4 4,09 4,17 4,23 5 4 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5 –6

1. Responde correctamente a un solo apartado. 0. En cualquier otro caso.

Niveles de puntuación:

ENTORNO NATURAL Competencia

Interpretar información. Conocer y manejar elementos matemáticos básicos para resolver problemas.

Elemento de competencia

Utiliza técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas.

BENEFICIOS (miles de millones de €) Contenido

4,23 – 3,89 = 0,085 12 – 8

Cuanto mayor es la inversión, el crecimiento de los beneficios por cada mil euros invertidos va disminuyendo.

I&M: INVERTIR Y MEJORAR

x 0 1

3,89 – 2,5 = 0,278 8–3

10 11 12

INVERSIONES (millones de €)

b) Cuando la firma adquirió la empresa, esta tenía unas pérdidas de 5 000 millones de euros. A partir de 1 millón de euros de inversión, empezó a haber beneficios. x = 50 8 B = 4,80 x = 100 8 B = 4,90 x = 1 000 8 B = 4,99 Si la inversión aumentara indefinidamente, los beneficios no lo harían, ya que la función tiende a estabilizarse en 5 000 millones de euros. c) La función no crece por igual en todos los tramos. La tasa de variación media nos da una medida de su variación en cada tramo: 2,5 + 5 T.V.M. [0, 3] = = 2,5. Los benefi3–0 cios aumentan 2,5 mil millones de euros por cada millón de euros invertido.

Distancia entre puntos. Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: — a) OA = z42 + 42 ≈ 5,7 km — — Para calcular EA y EB, tenemos en cuenta que los triángulos OAC y AEB son semejantes: — — — AC EB EB 4 — 8 EB = 6 km = — = — 8 OC AB 6 4 — EA = z62 + 62 ≈ 8,5 km — b) Para calcular OD, tenemos en cuenta que los triángulos EOD y ABE son semejantes. — — — — OD AB OD AB — = — 8 — — = — 8 OE EB OA + AE EB — OD 6 — 8 = 8 OD ≈ 14,2 km 5,7 + 8,5 6 — Para calcular DF, aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo OFD. — DF = z14,22 – 102 = 10,1 km

225

Tarea 3

Pautas de corrección — c) Para calcular PB, observamos que los triángulos EPB y EOD son semejantes. — — ED OD 20,1 14,2 = — 8 — = — 8 EB PB PB 6 — 8 PB ≈ 4,24 km El merendero estará a 2,12 km de cada acceso. 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c). 1. Resuelve correctamente solo el apartado a). 0. En cualquier otro caso.

PRUEBA DE ORTOGRAFÍA

Competencia

Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad. Poner en práctica procesos de razonamiento que lleven a la resolución de problemas.

Elemento de competencia

Interpreta tablas y datos estadísticos. Calcula parámetros estadísticos. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas. Tablas y parámetros estadísticos. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

3. Las respuestas correctas son: a) –xA = 3,03 qA = 1,92

–x = 3,2 B qB = 1,66

q C.V.A = – A = 0,63 xA

q C.V.B = – B = 0,52 xB

b) P [al menos 3 faltas] = P [3 faltas o más] = 19 = 1 – P [menos de 3 faltas] = 1 – = 60 = 0,68 P [alguna falta] = 1 – P [ninguna falta] = 7 =1– = 0,88 60 c) Al sacar una y luego otra, en la segunda extracción ya no hay 60 pruebas, sino 59. Entonces, se tiene: P [menos de 2 faltas en la 1.ª y menos de 2 faltas en la 2.ª] = 12 11 = · = 0,037 60 59 2. Resuelve correctamente dos de los tres apartados. 1. Resuelve correctamente un único apartado. 0. En cualquier otro caso.

Contenido

Niveles de puntuación:

226

TAREA

Fecha: ....................................................................

CIUDAD EMPRESARIAL

Una firma industrial decide comprar un terreno de 240 hectáreas para edificar en ella una fábrica y una urbanización para sus trabajadores. Se decide que 1/6 del terreno sea ocupado por las oficinas y la planta industrial, 2/5 de lo que queda se destinará a zonas verdes y lugar de ocio, mientras que el resto será destinado a las viviendas de los empleados. a) ¿Qué fracción del terreno se dedicará a las viviendas de los empleados? ¿Cuántas hectáreas son?

b) Del terreno dedicado a viviendas, un 30% será para chalets, y el resto, para bloques de pisos. De la parte de chalets, un 20% serán para unifamiliares, un 30% para pareados y un 50% para adosados. ¿Cuántas hectáreas ocupará el terreno dedicado a cada tipo de chalet? ¿Y a bloques de viviendas?

c) La empresa favorece la contratación de empleados jóvenes con acceso a un empleo por primera vez. Por ) eso, de los 900 empleados que vivirán en la ciudad con sus familias, un 46,75 % serán jóvenes en su primer empleo. ¿Cuántos serán estos jóvenes?

227

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

CONTAMINACIÓN DE LAS AGUAS

Un brote de enfermedades gastrointestinales aparece un día de verano en una pequeña localidad. El análisis del agua del depósito con el que se abastece la población prueba que son unas bacterias las causantes de la enfermedad, y que hay unas 85 000 bacterias por cm3. Los médicos y biólogos enviados por las autoridades sanitarias tienen que elaborar un informe detallando sus acciones y sus conclusiones. Los datos numéricos los expresarán en notación científica, con tres cifras significativas. a) El depósito es un cilindro de 20 m de radio y 15 m de altura y está lleno. ¿Cuántas bacterias estiman que hay en el depósito?

b) Un análisis al microscopio muestra que las bacterias tienen estructura esférica, con un radio de 6 millonésimas de milímetro. Ante la velocidad de su reproducción, urge actuar: los investigadores deciden inyectar en el agua una población de antibacterias. El radio de cada una de estas es de 15 nanomilímetros (15 diezmillonésimas de milímetro).

c) Las pruebas en el laboratorio muestran que las bacterias son destruidas cuando son atacadas por una población de antibacterias en la proporción 1 000 a 1. Según esto, ¿qué número de antibacterias debe inyectarse en el agua del depósito?

228

¿Cuántas veces es mayor una bacteria que una antibacteria?

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

ILUMINACIÓN En un túnel de carretera, de forma semicircular y de 8 metros de diámetro, los focos de iluminación se sitúan en el techo, formando dos hileras. Su ubicación es tal que cada foco dista lo mismo al centro de la vías de circulación, C, que al extremo de la vía más próximo al foco, B (véase la figura). De esta manera, cada hilera de focos ilumina todo el carril contrario. F

4m A

4m C

a) ¿Cuál es el valor exacto de la distancia, l, de cada foco al otro extremo de la vía de circulación, A? ¿Y cuál es el valor exacto del perímetro que abarca la sección triangular producida por el foco en su iluminación, AFC?

b) ¿A qué altura exacta está cada foco del suelo? ¿Cuál es la superficie exacta de la sección triangular producida por el foco en su iluminación, AFC?

c) Encuentra la relación exacta entre la superficie de la sección del túnel y la sección de iluminación de cada foco. Compara la mayor con la menor, aproximando a las centésimas.

229

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

DESCARGA EN LOS MUELLES

Para descargar las bodegas de un gran barco mercante, las autoridades necesitan contratar los servicios de una empresa de estibadores. La empresa A cuenta con cinco “toros”, que, con sus cinco operadores, podrían descargar a un ritmo de 10 000 toneladas cada 10 días. Pero no es suficiente, porque las 50 000 toneladas que lleva el buque deben ser descargadas en 5 días. a) ¿Cuántos trabajadores y “toros” más necesita la empresa para cumplir con el trabajo?

c) El pago por el trabajo asciende a un total de 5 · 105 €, y el acuerdo al que llegan las empresas es que el reparto debe ser proporcional al número de toneladas descargadas. ¿Cuánto cobrará cada empresa?

d) Cada empresa paga a sus trabajadores de forma distinta: A ofrece a los suyos el 75% de lo cobrado, y B, el 60%. ¿Cuánto cobrará un trabajador de la empresa A? ¿Y uno de la B?

230

b) Definitivamente, la empresa A no puede asumir, ella sola, el trabajo. Se contrata a otra empresa, B, que, con sus 15 trabajadores en sus máquinas, es capaz de descargar 4 000 toneladas por día. Con estas condiciones, ¿cuántos trabajadores más tendrá que contratar la empresa A para cumplir con el trabajo en 5 días?

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

REFORMAS EN LA PLAZA Una plaza cuadrada de cierta localidad se ha ampliado añadiendo 20 m a cada uno de sus lados, tal como ves en el gráfico. El resultado ha sido que la superficie de la plaza se ha visto ampliada en 4 080 m2.

a a

b c

10 m

a) ¿Cuáles eran las dimensiones iniciales de la plaza?

b) La zona que ocupaba la antigua plaza se va a parcelar de la siguiente manera: en cada una de las esquinas se cogerá un triángulo rectángulo isósceles, los cuatro iguales, que se destinarán a zona de jardín. El resto, con forma de octógono irregular, será una zona de recreo, y tendrá una superficie de 8 264 m2. ¿Qué perímetro tendrá esta zona octogonal?

c) Las esquinas triangulares se vallarán con una cerca metálica de 80 cm de altura, cuyo coste es de 30 €/m2. ¿Cuántos metros cuadrados de cerca se necesitarán y cuál será el coste de vallado?

231

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

EXCURSIONES TURÍSTICAS Una empresa de autobuses es contratada para llevar a tres grupos de turistas a sendas excursiones. Dispone de un autobús, grande y cómodo, ideal para largos viajes, y ha estimado que, para obtener algún beneficio, debe cobrar 1 200 euros por cada viaje. En la primera excursión, el autobús fue lleno. En la segunda, hubo 10 plazas vacantes, por lo que se cobró a cada turista 4 euros más. En la tercera, quedaron 20 plazas vacías, y cada viajero tuvo que pagar 10 euros más. a) ¿Cuál fue el precio de cada plaza en el primer viaje y cuántos turistas fueron?

c) Al acabar cada viaje, el conductor del autobús tiene que limpiar el vehículo, empleando en ese trabajo 30 minutos. A veces le ayuda un amigo, que tiene menos práctica que él, y tardan 20 minutos entre los dos. Un día, el conductor no se encontraba bien, y su amigo, amablemente, le hizo el trabajo. ¿Cuánto tardó?

232

b) ¿Cuántos turistas fueron y cuánto pagó cada uno en el segundo y en el tercer viaje?

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

EL TÚNEL Con una chapa de 20 cm de ancho, Roberto quiere hacer la estructura de un túnel para una maqueta de trenes. Doblándola convenientemente (mira la figura), obtiene una sección de túnel rectangular, con una altura de x cm.

a) ¿Qué superficie S tendrá la sección si dobla la chapa de forma que el túnel tenga 3 cm de altura?

b) Encuentra la expresión analítica que relaciona la superficie de la sección del túnel, S, con su altura, x. Construye su gráfica. SUPERFICIE DE LA SECCIÓN (cm2) 60 50 40 30 20 10 1

ALTURA (cm)

c) ¿Cuál es el valor de x que hace que la superficie de la sección del túnel sea máxima? ¿Cuál es esa superficie máxima?

d) Roberto ya tiene construida la estructura, de forma que la superficie de la sección es máxima, pero decide inclinar ligeramente los laterales del túnel hacia el exterior para aumentar la anchura del túnel por su parte inferior. Así, su túnel tiene ahora una sección trapezoidal de 4 cm de altura (mira la figura). ¿Cuál es la base mayor de ese trapecio? ¿Cuál es ahora la superficie de la sección del túnel?

5 cm

4 cm

233

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

¡CUIDADO CON EL TIGRE!

En un parque zoológico se tiene que realizar una pequeña operación quirúrgica a un peligroso tigre de Bengala. Se le administra un anestésico, con una concentración inicial en sangre de 10 mg/cm3. La concentración del producto en la sangre disminuye con el tiempo según la relación C = 10 · 0,9t donde C viene dado en mg/cm3, y t, en minutos. a) El ayudante de quirófano se encargará de vigilar la concentración en sangre del anestésico y, para ello, ha de confeccionar una tabla en la que relacione t con C, y la gráfica correspondiente. Hazlo tú tomando t = 0, 2, 4, 6, …, 22. CONCENTRACIÓN (mg/cm3) 12 10 8 6 4 2 2

TIEMPO (min)

b) La función, ¿crece o decrece? ¿Dónde?

c) Por las condiciones físicas del tigre, es conveniente que la operación no comience hasta que la concentración del anestésico no se reduzca en algo más de un 25% de la cantidad inicial inyectada. ¿Cuándo podrá empezar la intervención?

d) El anestesista estima que el tigre empezará a despertarse cuando la concentración sea inferior a un 12% de la cantidad inicial inyectada. ¿Cuál es el tiempo aproximado del que dispone el veterinario para hacer la intervención?

234

¿Cómo varía la concentración C, por minuto, en los intervalos [0, 10] y [10, 22]? Compara e interpreta ambos resultados.

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

MATEMÁTICAS EN UNA FINCA Marta y Javier han elaborado un trabajo para clase. Han hecho una copia exacta del plano de la finca de los abuelos de Marta. Después, sobre el terreno, han tomado algunas medidas, ayudándose de líneas auxiliares, y han anotado todos los datos minuciosamente: B A 40 m

M F

24 m E

40 m

D 20 m

G 10 m C

O, E y G están en línea recta. C, D y F están en línea recta. EF es paralelo a CB. FH es paralelo a EG. OG es perpendicular a CB. M es el punto medio de OB. — — AB = OA — OE = 24 m — ED = 40 m — DC = 20 m — CG = 10 m — AM = 40 m

Y ahora llega el trabajo de mesa: eligen algunos de los datos que tienen y calculan otros. — a) O, E y G están en línea recta. También lo están C, D y F. ¿Cuánto mide DG? — ¿Y EF?

— — b) FH es paralelo a EG. ¿Cuánto mide CB? ¿Y FB?

— — — — — c) M es el punto medio de OB. AB = OA. AM = 40 m. ¿Cuánto mide AB? ¿Y OA?

d) ¿Cuál es el perímetro de la finca? ¿Cuánto mide su superficie?

235

Tarea 4 Nombre y apellidos: ..............................................................................................................................

¡TIRO AL CUADRO! En una de las casetas de un recinto ferial, se invita a los visitantes a tirar dos dardos, desde una distancia lo suficientemente cercana como para que, con los ojos vendados, el dardo se clave sobre un gran tablero cuadrado de 4 m Ò 4 m y 4 Ò 4 casillas ¡Es imposible que el dardo caiga fuera, y es igual de probable que el dardo caiga en cualquiera de las casillas!, asegura el feriante. El cuadrado, además, está dividido en cuatro regiones, A, B, C y D, de medidas 3 Ò 3, 3 Ò 1, 1 Ò 3 y 1 Ò 1, respectivamente (mira la figura).

Participar cuesta 2 € (1 euro por dardo). Si un dardo cae en A, no se obtiene premio. Si cae en C, el premio es 1 €. Si cae en B, el premio son 3 euros, y si cae en D, el premio son 4 €. a) Hasta ahora, 160 dardos se han clavado en el tablero. Estima cuántos de ellos han caído en cada región.

c) Para tirar dos dardos hay que pagar 2 €. ¿Cuál es la probabilidad de perderlos? ¿Y la de perder solo uno? ¿Cuál es la probabilidad de ni perder ni ganar nada? ¿Y la de ganar 1 €? ¿Y la de ganar 2 €? ¿Y la de ganar más de 2 €? Expresa tus resultados con porcentajes.

236

b) Un concursante va a tirar dos dardos. ¿Cuántos resultados posibles puede obtener con cada uno? ¿Cuáles son las posibles parejas de resultados? ¿Qué cantidades puede recibir el concursante después de pagar y tirar? Forma una tabla.

Tarea 4

Pautas de corrección 1

Niveles de puntuación:

CIUDAD EMPRESARIAL Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones. Resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Utiliza números racionales y sus operaciones para resolver problemas y obtener información. Calcula porcentajes.

Contenido

Números racionales. Resolución de problemas con fracciones, decimales y porcentajes.

3. Las respuestas correctas son: a) VDEPÓSITO = πr 2h = π · 202 · 15 ≈ ≈ 18 840 m3 = 1,88 · 104 m3 = = 1,88 · 1010 cm3 Número de bacterias que hay en el depósito: 1,88 · 1010 · 85 000 = 1,60 · 1015 (1,6 mil billones) b) Comparamos los volúmenes de una bacteria y de una antibacteria: 4 · π · (6 · 10–6)3 VBAC. 3 = = 64 VANTIBAC. 4 –7 3 · π · (15 · 10 ) 3

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) Fábrica 8 1/6. Queda 5/6. 2 5 1 Zonas verdes y ocio 8 de = . 5 6 3 Queda 1/2.

El volumen de una bacteria es 64 veces el de una antibacteria.

Viviendas 8 1/2 8 1/2 de 240 ha = = 120 ha 30 b) Chalets 8 30 % de 120 = · 120 = 100 = 36 ha

c) Deberán inyectarse 1,60 · 1018 antibacterias. 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c).

Unifamiliares: 20 % de 36 = 7,2 ha Pareados: 30 % de 36 = 10,8 ha Adosados: 50 % de 36 = 18 ha Bloques de pisos 8 84 ha

) c) 46,75 % de 900 = 4 675 – 467 1 = · · 900 = 420,8 90 100

0. En cualquier otro caso.

ILUMINACIÓN

Es decir, unos 421 empleados son jóvenes en su primer empleo.

Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones. Razonar. Resolver problemas cotidianos.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b) o a) y c).

Elemento de competencia

Utiliza números irracionales y opera con ellos. Obtiene medidas indirectas.

1. Resuelve correctamente el apartado a) o el c).

Contenido

0. En cualquier otro caso.

1. Resuelve correctamente el apartado a) o el b).

CONTAMINACIÓN DE LAS AGUAS Competencia

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Razonar. Resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Expresa números en notación científica y opera con ellos. Obtiene medidas indirectas.

Contenido

Notación científica. Unidades de volumen. Volúmenes.

Números irracionales: operaciones. Teorema de Pitágoras. Áreas.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) El triángulo FAB es rectángulo. Por tanto: l = √ 82 – 42 = 4 √ 3 m El perímetro de la sección triangular es 8 + 4 √ 3 m. b) La altura, h, es la del triángulo equilátero FCB, de 4 m de lado. h = √ 42 – 22 = 2 √ 3 m

237

Tarea 4

Pautas de corrección La empresa A debe contratar a 25 trabajadores más.

La superficie buscada es: 8 · 2√3 4 · 2√3 SAFC = SFAB – SFCB = – = 2 2 = 4 √ 3 m2

c) El pago, por cada tonelada descargada, es: 5 · 105 : 5 · 104 = 10 €

c) Comparamos ambas superficies:

Así, a la empresa A le corresponden 3 · 105 €, y a la empresa B, 2 · 105 €.

π·4 2 = 2 π = 2 z3 π ≈ 3,63 3 4z3 z3

d) A paga a sus empleados: 0,75 · 3 · 105 = 225 000 €. Cada trabajador de A cobrará: 225 000 : 30 = 7 500 €.

2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

B paga a sus empleados: 0,60 · 2 · 105 = 120 000 €.

1. Resuelve correctamente el apartado a).

Cada trabajador de B cobrará: 120 000 : 15 = 8 000 €.

0. En cualquier otro caso. DESCARGA EN LOS MUELLES

Competencia

Elemento de competencia

2. Resuelve correctamente tres de los cuatro apartados.

Utilizar distintos tipos de números y sus operaciones básicas. Interpretar información. Resolver problemas cotidianos y del mundo laboral. Maneja los números y sus operaciones. Elige la forma de cálculo apropiada para resolver problemas. Relaciona magnitudes. Problemas aritméticos. Proporcionalidad compuesta. Repartos proporcionales. Porcentajes.

Contenido

1. Resuelve correctamente dos de los apartados. 0. En cualquier otro caso.

REFORMAS EN LA PLAZA

Competencia

Utilizar formas de razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas cotidianos.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) Es un problema de proporcionalidad compuesta: P .I. P .D.

Problemas algebraicos. Ecuaciones de segundo grado. Perímetros y áreas.

Niveles de puntuación: 3. Las soluciones correctas son:

▼ ▼

Días

Toneladas

Trabajadores

10 000

50 000

5 10 000 5 · = 8 x = 50 10 50 000 x La empresa necesitaría 45 trabajadores y toros más. b) La empresa B es capaz de descargar 20 000 toneladas en los 5 días. A debe descargar las 30 000 restantes. Resolviendo como en el apartado anterior, tenemos: 5 10 000 5 · = 8 x = 30 10 30 000 x

238

Contenido

a) Si x es la longitud inicial de cada lado, (x + 20)2 – x2 = 4 080 8 x = 92 m b) Superficie de la antigua plaza = 922 = = 8 464 m2 Superficie de las cuatro esquinas = = 8 464 – 8 264 = 200 m2 Superficie de cada esquina = 200 : 4 = = 50 m2 Llamamos a a cada lado igual de los triángulos isósceles; c, a su hipotenusa, y b, a lo que queda del lado del cuadrado original: 50 = a2/2 8 a2 = 100 8 a = 10 m c = √ 102 + 102 = 10√ 2 m ≈ 14,14 m b = 92 – 2a = 92 – 20 = 72 m

Tarea 4

Pautas de corrección Perímetro del octógono = 4b + 4c = = 344,56 m c) Perímetro de cada triángulo = 2a + c = = 34,14 m

EL TÚNEL Competencia

Expresar información e interpretar los datos que nos reporta. Resolver problemas geométricos.

Elemento de competencia

Identifica relaciones entre dos variables y determina el tipo de función que las representa. Utiliza fórmulas para obtener medidas en situaciones reales.

Superficie de la cerca = 34,14 · 0,80 · 4 ≈ 109,25 m2 Coste de la valla = 30 · 109,25 = = 3 277,50 € 2. Resuelve correctamente los apartados a) y b).

Relaciones funcionales. Función cuadrática.

Contenido

1. Resuelve correctamente el apartado a). Niveles de puntuación:

0. En cualquier otro caso.

3. Las respuestas correctas son:

EXCURSIONES TURÍSTICAS

a) Si x = 3 cm, S = 3 · (20 – 6) = 42 cm2

Competencia

Utilizar el razonamiento matemático para producir e interpretar información y para resolver problemas.

Elemento de competencia

Resuelve problemas cotidianos utilizando el álgebra.

Contenido

Problemas algebraicos. Sistemas de ecuaciones. Ecuaciones con la x en el denominador.

Niveles de puntuación: 3. Las soluciones correctas son: a) x 8 número de plazas del autobús y 8 precio de cada plaza

{

x = 60 plazas, y = 20 € por (x – 10) (y + 4) = 1 200) cada plaza © GRUPO ANAYA, S.A. Matemáticas 4.°B ESO. Material fotocopiable autorizado.

x · y = 1 200

b) En el segundo viaje fueron 50 turistas, y cada uno pagó 24 euros.

b) La expresión que relaciona es:

con

S = (20 – 2x) · x SUPERFICIE DE LA SECCIÓN (cm2) 60 50 40 30 20 10 1

ALTURA (cm)

c) La superficie es máxima cuando x = 5 cm, y su valor es S = 50 cm2. d) Los lados iguales del trapecio miden 5 cm.

5c m

y= √ 52 – 42 = 3 cm 4 cm

En el tercer viaje fueron 40 turistas, y cada uno pagó 30 euros. c) El conductor, en un minuto, hace 1/30 del trabajo. Entre los dos, en un minuto, hacen 1/20 del trabajo. Si el amigo tarda t minutos en hacer el trabajo completo, cada minuto hace 1/t del trabajo. 1 1 1 + = 8 t = 60 minutos t 30 20 2. Resuelve correctamente los apartados a) y c). 1. Resuelve correctamente los apartados a) y b). 0. En cualquier otro caso.

y La base menor del túnel mide 10 cm, y la mayor, 16 cm. Superficie de la sección trapezoidal: S=

10 + 16 · 4 = 52 cm2 2

2. Resuelve correctamente tres de los cuatro apartados. 1. Resuelve correctamente dos apartados. 0. En cualquier otro caso.

239

Tarea 4

Pautas de corrección 2. Responde correctamente a tres de los apartados.

¡CUIDADO CON EL TIGRE!

Competencia

Manejar técnicas matemáticas básicas para interpretar la realidad. Razonar para resolver problemas.

Elemento de competencia

Analiza tablas y gráficas. Identifica relaciones entre dos variables.

Contenido

Relaciones funcionales. Expresión analítica de una función. La función exponencial. Tasa de variación media. Porcentajes.

1. Responde correctamente solo a dos de los apartados. 0. En cualquier otro caso.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) TIEMPO (t) 0 2 CONCENTRACIÓN (C) 10

TIEMPO (min)

b) La función es decreciente en todo su dominio. T.V.M. [0, 10] =

3,49 – 10 = –0,65 10 – 0

T.V.M. [10, 22] =

0,98 – 3,49 = –0,21 22 – 10

C decrece más rápidamente en el primer intervalo (0,65 mg/cm3 por minuto) que en el segundo (0,21 mg/cm3 por minuto). c) La intervención podrá empezar cuando la concentración sea menor que el 75% de 10 mg/cm3, es decir, menor que 7,5 mg/cm3. Puesto que 10 · 0,93 = 7,29, la operación comenzará a los 3 minutos de haber inyectado el anestésico. d) El 12% de 10 es 1,20. Para t = 20, C = 1,22. El veterinario tiene unos 20 – 3 = 17 minutos para intervenir al tigre.

240

Elemento de competencia

Utiliza fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas indirectas de magnitudes.

Contenido

Semejanza de triángulos. Teorema de Pitágoras. Resolución de problemas.

3. Las respuestas correctas son: — a) DG = z202 – 102 ≈ 17,32 m

12 10 8 6 4 2 6

Interpretar informaciones y datos. Resolver problemas de la vida cotidiana.

Niveles de puntuación:

CONCENTRACIÓN (mg/cm3)

Competencia

8,1 6,56 5,31 4,30

3,49 2,82 2,29 1,85 1,50 1,22 0,98

MATEMÁTICAS EN UNA FINCA

Los triángulos EFD y DGC son semejantes: — — — GC EF EF 10 = 8 8 = — — DG ED 40 17,32 400 — 8 EF = ≈ 23,1 m 17,32 — b) FH = 40 + 17,32 ≈ 57,32 m — Para calcular CB, necesitamos conocer — la medida de HB. Los triángulos OEF y FHB son semejantes: — — OE FH 24 57,32 = — 8 — = — 8 EF HB HB 23,1 — 8 HB ≈ 55,17 m — CB = 10 + 23,1 + 55,17 = 88,27 m — FB = z57,322 + 55,172 ≈ 79,56 m — c) OF = z242 + 23,12 ≈ 33,31 m — — — OB = OF + FB = 33,31 + 79,56 = = 112,87 — OB — MB = = 56,44 2 — AB = z402 + 56,442 ≈ 69,18 m — OA ≈ 69,18 m

Tarea 4

Pautas de corrección d) Perímetro = 2 · 69,18 + 88,27 + 20 + + 64 = 310,63 m Para hallar el área, sumaremos las áreas de los triángulos OAB, OGB y DGC. Área de OAB = 56,44 · 40 ≈ 2 257,6 m2 Área de OGB = (64 + 17,32) · (55,17 + 23,1) ≈ 2 ≈ 3 182,46 m2

Área de DGC =

17,32 · 10 ≈ 86,6 m2 8

Área de la finca = 5 526,66 m2 2. Resuelve correctamente tres de los cuatro apartados. 1. Resuelve correctamente uno o dos apartados. 0. En cualquier otro caso.

¡TIRO AL CUADRO! Competencia

Razonar para resolver problemas.

Elemento de competencia

Utiliza técnicas de recuento. Aplica conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver problemas cotidianos.

Contenido

Técnicas de recuento. Experiencias aleatorias. Cálculo de probabilidades.

Niveles de puntuación: 3. Las respuestas correctas son: a) A tiene 9 cuadrados de un total de 16. En A habrán caído, aproximadamente, 9 de 160 = 90 dardos. 16 3 En B (y también en C), de 160 = 16 = 30 dardos. 1 Y en D, de 160 = 10 dardos. 16

b) Los posibles resultados para cada dardo son 4 · 4 = 16. Las posibles parejas y sus resultados económicos quedan reflejados en la tabla. Posibles Posibles Ganancias Ganancias resultados resultados AA

0+0=0

0+3=3

0+1=1

0+4=4

3+0=4

BB BC BD

3+3=6 3+1=4 3+4=7

0+1=1

1+3=4

1+1=2

1+4=5

DA DB DC DD

4+0=4 4+3=7 4+1=5 4+4=8

c) Perder 2 € 8 caso AA; P[perder 2 €] = 9 9 = · = 0,3164 8 31,64% 16 16 Perder 1 € 8 casos AC y CA 9 3 P [perder 1 €] = 2 · · = 16 16 = 0,2109 8 21,1% No perder ni ganar 8 caso CC; P[no 3 3 perder ni ganar] = · = 0,0352 8 16 16 8 3,52% P[ganar 1 €] = P[AB] + P[BA] = 9 3 =2· · = 0,2109 8 21,1% 16 16 P[ganar 2 €] = P[AD] + P[DA] + P[BC] + 9 1 3 3 + P[CB] = 2 · · +2· · = 16 16 16 16 = 0,141 8 14,1% P[ganar más de 2 €] = 1 – (0,3164 + + 0,211 + 0,0352 + 0,211 + 0,141) = = 0,0854 8 8,54% 2. Razona adecuadamente y responde a los apartados a) y b). 1. Responde solo al apartado a). 0. En cualquier otro caso.

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