GeogebraCASdiapositiva by Jose Luis Tabara Carbajo

´ Indice ´ . . . . . . . . . Introduccion Potencias . . . . . . . . . . . Radicales . . . . . . . . . . . Polinomios . . . . . . . . . . Ecuaciones y sistemas . . . . ´ Numeros complejos . . . . . Logaritmos y trigonometr´ıa L´ımites . . . . . . . . . . . . Derivadas . . . . . . . . . . Integrales . . . . . . . . . . . Vectores . . . . . . . . . . . . Matrices . . . . . . . . . . . Sistemas lineales . . . . . . . Sucesiones y combinatoria . Estad´ıstica descriptiva . . . Estad´ıstica bidimensional . Probabilidad . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Introduccion ´ ´ Realiza la operacion: 51 + 53 · (3 − 21) − 7 · (−2)7 ´ Realiza la operacion: 41 11 + 2 3

77 5 + 3 9

−3

´ con decimales: Realiza la operacion 4,8(45,94 − 89,78)2 − 89, 65 Calcula π con 50 cifras. Lo mismo para

√

Factoriza 612 y 5292. Calcula MCM y MCD de 612 y 5292. Comprueba si 5673 es primo. Lo mismo con 232 + 1. Calcula el cociente y el resto de 567854 entre 457. Calcula todos los divisores 180. ´ Demuestra que 496 es un numero perfecto.

Potencias Calcular las siguientes potencias: b ) a −4

a) (−3)23

Comprueba la propiedad del producto de potencias: an · am = am+n ´ y potencia Haz lo mismo con la propiedades de division de potencia: am = am−n an

( an )m = anm

Comprueba la propiedad:

( a · b)n = an · bn Comprueba la propiedad: a n b

an bn

Comprueba la propiedad: n

am =

√ m

Radicales Calcula, de modo exacto y aproximado: √ √ 5 a) 80 b) 224 Transforma en radicales las siguientes potencias: a) 27/3

b) 216/6

Simplifica los siguientes radicales: √ √ 3 12 b) 211 a) 29 ´ Realiza la siguiente multiplicacion: √ √ √ 6 3 25 · 27 · 22 Racionaliza: 3 a) √ 3 27 Simplifica:

Simplifica:

5 b) √ 2 3−2

√ √ √ 23 125 + 3 20 − 2 45 q √ 3 25 2

Polinomios ´ Realiza la operacion:

( x − 2)2 + (8 − 5x )(4x − 1) Factoriza los siguientes polinomios p = x4 − x3 − 7x2 + 13x − 6

q = x3 − 5x2 + 8x − 4

Calcula MCM y MCD de los polinomios anteriores. ´ Realiza la siguiente operacion: x2 − 3 5x − 2 6x + 2 + · 2x − 5 7x − 1 4x2 − 1 Calcula el cociente y el resto:

( x3 − 2x2 − 5x − 3) : (2x2 − 1) ´ Factoriza (con numeros complejos) y sustituye: x3 − 3x2 + x − 3

Ecuaciones y sistemas ´ Resuelve la ecuacion:

(2x2 + 1)2 − 6 = ( x2 + 2)( x2 − 2) ´ Resuelve la ecuacion: ax2 + bx + c = 0 Resuelve el sistema lineal: 5x + 3 = 20 − 9y 2x − 3y = 5x − y Resuelve el sistema no lineal: xy = 15 x2 + y2 = 34 Resuelve de modo aproximado: 3 cos( x ) + x2 = 5 ´ Resuelve la inecuacion: x3 − 2x2 − 5x + 6 >= 0

Numeros ´ complejos Calcula

√

´ −1 y resuelve la ecuacion: x2 + 1 = 0

´ (y factoriza): Resuelve la ecuacion x3 − 8x2 + 29x − 52 Dados z = 4 + 5i y w = −2 + 6i realiza varias operaciones con ellos. ´ ´ Pasa a forma polar el numero z. Calcula el modulo y el argumento por separado. ´ Dado el numero complejo 530o calcula su parte real e imaginaria. ´ Utiliza la formula de Euler para pasar a forma polar. ´ Calcula el conjugado del numero anterior y p´asalo a forma polar. Calcula distintas ra´ıces de 3 + 6i.

Logaritmos y trigonometr´ıa Calcula los siguientes logaritmos: a) log2 (1024)

√ b) log2 ( 8)

Halla el valor de x en las siguientes igualdades: a) logx (125) = 3

b) 7x = 115

´ Resuelve la ecuacion: log( x + 3) − log( x − 6) = 1 ´ (en radianes): Realiza la siguiente operacion π π + 2 cos(π ) − tan 5 cos 2 3 ´ (en grados): Realiza la siguiente operacion cos(60o ) − 5 sin(135o ) ´ tanto en radianes como Resuelve la siguiente ecuacion, en grados: 1 cos( x ) = 2 Calcula el arcocoseno de 12 . ´ Encuentra la formula de seno de la suma, de la resta,...

L´ımites ´ f ( x ) = sinx(x) , calcula la funcion ´ en valoDada la funcion ´ ´ en un entorno de res proximos al cero. Dibuja la funcion cero. Calcula el l´ımite:

sin( x ) x →0 x l´ım

Calcula los l´ımites laterales en x = 0 de: f (x) =

1 x

Calcula el l´ımite: l´ım

x →∞

1 x

Calcula la derivada de cos( x ) en un punto a utilizando ´ con l´ımites. la definicion

Derivadas Calcula la derivada de las funciones: f ( x ) = 4x3 − 35x2

f (y) = 4y3 − 35y2

´ Calcula la derivada de la funcion: f ( x ) = ax2 + bx + c donde a, b y c son par´ametros. Calcula la derivada de orden 5 de: f ( x ) = cos(12x ) ´ de: Calcula los posibles extremos y puntos de inflexion f ( x ) = 4x3 − 2x + 7 ´ de la recta tangente a: Calcular la ecuacion x f ( x ) = cos 2 en el punto x = π. Calcula polinomios de Taylor de: f ( x ) = cos( x ).

Integrales Calcula la integral indefinida: Z

x cos( x )

Deriva el resultado para comprobar la integral. Calcula la integral definida: Z 4 0

Calcula la integral:

4x2 − 3

Z ∞ 1 2

Calcular la integral dependiente de par´ametros: Z

A cos(wt)dt

Calcular el a´ rea entre las curvas: f ( x ) = x2

g( x ) = − x2 + 4

Descomponer en fracciones simples: x2

5x + 3 + 2x − 3

Vectores Dados u = (3, 4) y v = (−2, 5) realiza combinaciones lineales con ellos. Realiza el producto escalar de los vectores. ´ Calcula el modulo de ambos vectores. Haz la ra´ız cuadrada del producto escalar y comprueba que coinciden. Calcula el a´ ngulo que forman ambos vectores. ´ Calcula el a´ ngulo con la formula del coseno. Dados los vectores u = (3, 5, 2) y v = (−3, 1, 7) calcula su producto vectorial y comprueba la antisimetr´ıa. Dado el vector w = (7, 2, 1) comprobar que no se cumple la propiedad asociativa. Comprueba la identidad de Jacobi con los tres vectores.

Matrices Dadas las matrices   5 7 8 A =  −3 4 2 4 7 9

 1 2 3 B = 4 5 6 7 8 9 

realiza combinaciones lineales con ellas. Multiplica las matrices anteriores. Calcular A elevado a la quinta potencia. Calcular el determinante de las matrices. Calcula la inversa de A. Tambi´en la traspuesta. Construye la matriz identidad de orden 3 y comprueba que es el elemento neutro. Calcula el rango de las matrices. Reduce las matrices a forma escalonada. Construye una matriz utilizando la hoja de c´alculo.

Sistemas lineales Resuelve el sistema:    x − 2y + z 2x − z   3x + y − 2z

=3 =9 = 13

Resuelve el sistema anterior por el método de Cramer. Resuelve ahora por el método de Gauss. Resuelve, por distintos métodos:   x + y − z x − y + 3z   3x + y + z

=1 =3 =5

Comprueba que el siguiente sistema es incompatible:   x + y − z x − y + 3z   3x + y + z

=1 =3 =6

Sucesiones y combinatoria ´ an = n2 + n, calcula algunos de Construye la sucesion sus t´erminos y suma los 100 primeros t´erminos. Calcula: n

∑k

k =1

´ an = Dada la sucesion

∑ k2

k =1

∑ k3

k =1

1 n2

calcula la suma de su serie. n ´ geom´etrica, an = 12 , calcula la suDada la progresion ma de los infinitos t´erminos. Lo mismo con an = b · r n . ´ Calcula el l´ımite de la sucesion: an =

(−1)n n+1

Calcula: a) 45!

b)V6,4

6 c) 4

´ ´ y las Obt´en la formula de las variaciones sin repeticion de las combinaciones. Comprueba que Vn,n = n!. ´ Genera numeros aleatorios.

Estad´ıstica descriptiva Las edades de un conjunto de 13 alumnos son: 21, 22, 21, 23, 22, 21, 23, 23, 21, 21, 21, 24, 22 ´ Calcula el numero de datos. Calcula la media aritm´etica. ´ Suma los datos y divide entre el numero de datos. Calcula la mediana. Ordena los datos. Calcula el m´aximo, el m´ınimo y el rango. ´ t´ıpica y la varianza y comprueba Calcula la desviacion que una es la ra´ız cuadrada de la otra. Calcula los cuartiles y algunos percentiles. Calcula el rango intercuart´ılico. Calcula las frecuencias de los datos. Calcula la moda. Haz la tabla de frecuencias acumuladas. Calcula otras medias distintas. Haz lo mismo con la tabla de frecuencias: x 3 4 5

f 4 6 8

Genera 1000 tiradas de dos dados, suma los resultados y calcula la tabla de frecuencias.

Estad´ıstica bidimensional Las notas de 10 alumnos en dos asignaturas son: A B

7 6

6 6

4 5

7 8

8 8

3 4

7 7

5 7

7 6

2 1

´ Calcula la covarianza y el coeficiente de correlacion. ´ t´ıpica de cada variable Calcula la media y la desviacion ´ y comprueba la formula: ρ x,y =

σx,y σx · σy

Calcula el sumatorio de los cuadrados de cada variable y el sumatorio del producto. ´ de la primera variable resCalcula la recta de regresion pecto a la segunda y comprueba que la pendiente se cal´ cula con la formula: σx,y σx2 ´ R2 para la recCalcula el coeficiente de determinacion ´ anterior. Comprueba que coincide con el ta de regresion ´ al cuadrado. coeficiente de correlacion Haz un ajuste logar´ıtmico y calcula el coeficiente de de´ R2 . terminacion

Probabilidad Dada una variable aleatoria X ∼ N (6, 2), calcula: P( X < 7)

P( X > 5)

P(3 < X < 6)

Dada X ∼ N (6, 2) calcula a para que: P( X ≤ a) = 0,7 ´ Genera 100 numeros aleatorios que sigan una normal de tipo N (6, 2) y calcula la media y la varianza. Dada una variable X ∼ B(14, 00 8) calcula: P( X = 7)

P( X ≤ 6)

´ Genera 100 numeros aleatorios que sigan una binomial 0 de tipo B(14, 0 8) y calcula µ y σ2 . Compara con la teor´ıa.