Bloque N° 1
LA PROBABILIDAD LA PROBABILIDAD EN VIDA COTIDIANA En un estadio se realiza un encuentro deportivo, en la cual un jugador de un equipo de futbol realizara un tiro libre, piensa que la distancia a la portería esta cerca lo mas probable es que se convierta en gol.
¿Qué sabes? La exactitud educativa hemos podido aprender a reconocer y experimentar en eventos que se nos presenta en la vida diaria. En este modulo adquiriremos conocimientos mediantes cálculos de probabilidades
¿Qué aprenderás? Recordarás las pequeñas instrucciones sobre la probabilidad. Representarás los problemas de probabilidad en la vida diaria. Reconocerás los diferentes encuentros que nos encontraremos en la vida , para lograr su conocimiento. Determinarás las resolución de los ejercicios implantados en el texto educativo.
El Buen vivir la expectativa de un gol
Cuando se encuentra en momento deportivo y nos toca cobrar una infracción involuntaria, nosotros decidimos varias tácticas: la tiro a la derecha ala izquierda le pego fuerte, la tiro por debajo de la barrera, entre otros. • ¿Cuál es la probabilidad en que entre el balón en la portería?
Iniciemos Activación de conocimientos previos
Cuando uno está en un restaurant. El tiempo de espera hasta que llegue el alimento a la mesa para servirse. ¿Cómo calcularías el tiempo de espera?
Objetivos educativos del módulo Comprender y para poder utilizar las técnicas de los problemas matemáticos para ponerlos en practica en nuestra vida diaria, ya que nos servirán de gran ayuda en nuestros convivir de lo que hacemos diariamente. El estudiante podrá realizar el manejo de ciertas técnicas adecuadas para debido tratamiento y análisis de la información proporcionada por los datos que genera la actividad diaria en empresas o cualquier situación .
HISTORIA El diccionario de la Real Academia Española define «azar» como una casualidad, un caso fortuito, y afirma que la expresión «al azar» significa «sin orden».1 La idea de Probabilidad está íntimamente ligada a la idea de azar y nos ayuda a comprender nuestras posibilidades de ganar un juego de azar o analizar las encuestas. Pierre-Simon Laplace afirmó: "Es notable que una ciencia que comenzó con consideraciones sobre juegos de azar haya llegado a ser el objeto más importante del conocimiento humano". Comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito. Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas. Véase El surgimiento de la probabilidad (The Emergence of Probability) de Ian Hacking para una historia de los inicios del desarrollo del propio concepto de probabilidad matemática. La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad. Z es simétrica al eje y; el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error \infty igual a 0; la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de un error. *https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
DEFINICION
La definición de probabilidad surge debido al deseo del ser humano por conocer con certeza los eventos que sucederán en el futuro. Es por eso que a través de la historia se han desarrollado diferentes enfoques para tener un concepto de la probabilidad y determinar sus valores. *https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
LA PROBABILIDAD
Constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico. Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida] La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes[cita requerida], por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra Q. P(Q) = 1 - P(E) Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial
LA REGLA DE LA ADICION La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo. P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.
LA REGLA DE LA MULTIPLICACION La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cuLa regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.
LA REGLA DE LAPLACE La regla de Laplace establece que. La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1. Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los experimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad. La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así: P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posibles Esto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles
DISTRIBUCION BINOMIAL que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario. Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es: P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m Siendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n
ACTIVIDADES PROPUESTA 1:. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos? P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 15!/(10!(15−10)!)(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10−6 Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m − 1) P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x = n) P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x = m) P(x ≥ m) = P(x = m) + P(x = m+1) + P(x = m+2) +....+ P(x = n) 2.-Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben: a.− al menos 5 b.− más de 12 a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es: P(x ≥ 5) es decir, que: 1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] = 1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,061
SUCESIONES Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra griega mayĂşscula (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles. Llamamos a este conjunto espacio de sucesos elementales, y a sus puntos sucesos elementales o tambiĂŠn casos posibles. Suponemos que es un conjunto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos.
Actividades resueltas Ejemplo 1. Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio con = {cara, n´umero}, y resulta n = 2. Ejemplo 2. Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y en este caso n = 6. Ejemplo 3. Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que podemos representar en la siguiente tabla: 2 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) donde, por ejemplo, el caso (3, 4) representa el resultado correspondiente a obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda.
sucesiones
Llamamos suceso a cada subconjunto de . Designamos a los sucesos mediante las letras A,B,C, . . . con subíndices o sin ellos. Los sucesos pueden tener uno o varios elementos, y también ningún elemento. En este ´ultimo caso tenemos el suceso imposible, que designamos mediante ∅. En el ejemplo 3, el conjunto A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} es un suceso, y corresponde a obtener un as en la primer tirada del dado. Los puntos que componen un suceso se llaman casos favorables para la ocurrencia de dicho suceso. El surgimiento de la teoría de la probabilidad es muy anterior a la creación de la teoría de conjuntos. Por esto, desde su mismo inicio, en teoria de la probabilidad se utilizo (y continua utilizándose) una terminología especifica, diferente de la terminología utilizada en teoria de conjuntos. En la pagina 11 se presenta una tabla de términos de teoría de conjuntos, junto con los correspondientes términos del calculo de probabilidades, que introducimos y utilizamos a lo largo de este curso. Las letras A,B,C, . . . , con índices o sin ellos, designan a los sucesos, es decir, a los subconjuntos de .
ACTIVIDADES PROPUESTAS suceso elemental
A cada uno de los posibles resultados del experimento aleatorio.
espacio probabilí stico espacio muestral
o
Al conjunto de todos sus sucesos elementales.
suceso
A cualquier subconjunto del espacio muestral. Diremos que un suceso, A, ocurre (o se verifica) en una prueba si el resultado de la misma es uno de los sucesos elementales que pertenecen a A.
Ejemplo 1.- En el experimento “lanzar un dado” los sucesos elementales son 6. S1 = “sacar un 1”,.........., S6 = “sacar un 6”. Ejemplo 2.- En el experimento lanzar una moneda el espacio muestral tiene dos elementos, :E = C, F. Ejercicio 3.- Encuentra el espacio muestral del experimento lanzar dos monedas. Ejemplo .4- El suceso A = sacar par al lanzar un dado (A= S2, S4, S6 ) se verifica si sale un dos, un cuatro o un seis. Ejemplo 5.- Si tiramos dos monedas al aire sea A = “al menos una sea cara”. El suceso A consta de tres sucesos elementales a saber CC, CF y FC.
Sucesos Independientes Consideremos un espacio de sucesos elementales y dos sucesos A,B. Decimos que los sucesos A y B son independientes, cuando se verifica P(AB) = P(A)P(B). (10) Ejemplo. Se tira un dado dos veces consecutivas. El suceso A consiste en obtener 6 puntos en primer tiro; el suceso B, en obtener una cantidad impar de puntos en el segundo. Calculemos la probabilidad de estos sucesos. Como en el ejemplo 4 (ver pagina 4), designamos por (i, j) al resultado correspondiente a obtener i puntos en el primer tiro y j puntos en el segundo (i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Hay 6 × 6 = 36 sucesos elementales de esta forma. Los casos favorables para la ocurrencia del suceso A son los puntos (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) y (6, 6); por la regla clásica del calculo de probabilidades, tenemos P(A) = 6/36 = 1/6. Los casos favorables para la ocurrencia del suceso B son los de la forma (i, 1), (i, 3), (i, 5), en donde 1 ≤ i ≤ 6, por lo que P(B) = 18/36 = 1/2. Los casos favorables para la ocurrencia del suceso AB son (6, 1), (6, 3) y (6, 5), de forma que P(AB) = 3/36 = 1/12. Como
los sucesos A y B son independientes.
Sucesos dependientes Dos sucesos A y B son dependientessi la realizacion de A condiciona la relizacion de B, ES DECIR P(AB) = P(A)P(B). (B/A)
APLICACIONES DE LA PROBABILIDAD EN VIDA DIARIA INVESTIGACION BIODINAMICA La mayoría de las investigaciones biomédicas utilizan muestras de probabilidad, es decir, aquellas que el investigador pueda especificar la probabilidad de cualquier elemento en la población que investiga. Las muestras de probabilidad permiten usar estadísticas inferenciales, aquellas que permiten hacer inferencias a partir de datos. Por otra parte, las muestras no probabilísticas solo permiten usarse estadísticas descriptivas, aquellas que solo permiten describir, organizar y resumir datos. Se utilizan cuatro tipos de muestras probabilísticas: muestras aleatorias simples, muestras aleatorias estratificadas, muestra por conglomerados y muestras sistemáticas.
MECANICA CUANTICA La mecánica cuántica, debido al principio de indeterminación de Heisenberg, sólo puede ser descrita actualmente a través de distribuciones de probabilidad, lo que le da una gran importancia a las descripciones probabilísticas. Algunos científicos hablan de la expulsión del paraíso.[cita requerida] Otros no se conforman con la pérdida del determinismo. Albert Einstein comentó estupendamente en una carta a Max Born: Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. (Estoy convencido de que Dios no tira el dado). No obstante hoy en día no existe un medio mejor para describir la física cuántica si no es a través de la teoría de la probabilidad. Mucha gente hoy en día confunde el hecho de que la mecánica cuántica se describe a través de distribuciones de probabilidad con la suposición de que es por ello un proceso aleatorio, cuando la mecánica cuántica es probabilística no por el hecho de que siga procesos aleatorios sino por el hecho de no poder determinar con precisión sus parámetros fundamentales, lo que imposibilita la creación de un sistema de ecuaciones determinista.
JUEGOS DE AZAR En el caso de una ruleta, si la fuerza de la mano y el periodo de esta fuerza es conocido, entonces el número donde la bola parará será seguro. Naturalmente, esto también supone el conocimiento de la inercia y la fricción de la ruleta, el peso, lisura y redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el movimiento y así sucesivamente. Una descripción probabilística puede entonces ser más práctica que la mecánica newtoniana para analizar el modelo de las salidas de lanzamientos repetidos de la ruleta. Los físicos se encuentran con la misma situación en la teoría cinética de los gases, donde el sistema determinístico en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de la constante de Avogadro 6\cdot 10^{23}) que sólo la descripción estadística de sus propiedades es viable.
DEPORTES
Cuando tu equipo tiene un sorteo antes del juego, tienes un 50/50 de oportunidad de ganarlo: cara o cruz. Un jugador de baloncesto da pasos hasta la línea de tiros libres y tiene una buena idea, sobre la base de los resultados anteriores, ya que va a hacer el tiro. Un equipo de fútbol intenta un gol de campo cuando piensan que la distancia a la meta esta lo suficientemente cerca que lo más probable es que lo logren.
MEDICINA
Si te dicen que necesitas una cirugía, querrás que conocer la tasa de éxito de la operación. Con base en las estadísticas, puedes tomar una decisión informada si es o no es una buena opción para ti. Puedes decidir si deseas o no iniciar un tratamiento de medicamentos, con base en los resultados positivos de otros pacientes o efectos secundarios.
TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes ( 1702-1761)1 en 1763,2 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
METODO Cualitativos: utilizan el juicio de experto en los pronósticos. Las técnicas cualitativas se usan cuando los datos son escasos. Estas técnicas usan el criterio de la persona y ciertas relaciones para transformar información cualitativa en estimados cuantitativos. Son útiles cuando no se espera que el patrón histórico de la serie de tiempo continué hacia el futuro. Cuantitativos: hay información de la variable que se esta estudiando, se puede cuantificar, se presupone que se respetara los comportamientos pasados de las variables. El procedimiento de pronóstico se conoce como método de serie de tiempo. Con ellos se busca en los datos históricos un patrón y luego extrapolarlo hacia el futuro.
La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma P(i/A)=
0.9 + 0.02 =0.157 0.1+0.97 + 0.9 * 0.02
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca? Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas. ? Un grupo de 10 personas se sienta en un banco. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntas.
Aciertos lógicos ? 1. Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?
*http://www.vitutor.com/pro/2/b_16.html 2. Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.
*http://www.vitutor.com/pro/2/b_15.html 3. De un mazo me quedo con los corazones, del 1 al 13. Barajo y vuelco sobre la mesa tres cartas, una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres salgan en orden creciente? R// Uno en 6. Explicación: sólo cabe tomar en cuenta las 3 cartas exhibidas. Hay 3 x 2 x 1 = 6 permutaciones posibles, y sólo una está en orden creciente *http://www.taringa.net/post/info/4825595/45-Acertijos-y-Ejercicios-deInteligencia-Instantanea.html 4. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.
Distribución de probabilidad normal Es una distribución de probabilidad continua que es tanto simétrica como mesocrática. La curva que representa la distribución de probabilidad normal se describe generalmente como en forma de campana. Esta distribución es importante en inferencia estadística por tres razones diferentes: - Se sabe que las medidas producidas en muchos procesos aleatorios siguen esta distribución. - Las probabilidades normales pueden utilizarse generalmente para aproximar otras distribuciones de probabilidad, tales como las distribuciones binomial y de Poisson. - Las distribuciones estadísticas tales como la media de la muestra y la proporción de la muestra, siguen a menudo la distribución normal, sin tener en cuenta la distribución de la población
Los valores de los parámetros de la distribución de probabilidad normal son = 0 y = 1. Cualquier conjunto de valores X normalmente distribuido pueden convertirse en valores normales estándar z por medio de la formula:
http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoriaprobabilidades.shtml#objet#ixzz3jR6eFrbo
Distribución de probabilidad normal
Si en el contexto de un proceso de Poisson ocurren eventos o éxitos en un espectro continuo de tiempo y espacio. Entonces la longitud del espacio o tiempo entre eventos sucesivos sigue una distribución de probabilidad exponencial. Puesto que el tiempo y el espacio son un espectro continuo, esta es una distribución continua. En caso de este tipo de distribución no vale la pena preguntarse ¿cuál es la probabilidad de que el primer pedido de servicio se haga exactamente de aquí a un minuto?. Mas bien debemos asignar un intervalo dentro del cual el evento puede ocurrir, preguntándonos, ¿cuál es la probabilidad de que el primer pedido se produzca en el próximo minuto?. Dado que el proceso de Poisson es estacionario, la distribución exponencial se aplica ya sea cuando estamos interesados en el tiempo (o espacio) hasta el primer evento, el tiempo entre dos eventos sucesivos, o el tiempo hasta que ocurra el primer evento después de cualquier punto aleatoriamente seleccionado. Donde es la cifra media de ocurrencias para el intervalo de interés, la probabilidad exponencial de que el primer evento ocurra dentro del intervalo designado de tiempo o espacio es. P(T < t) = 1 - e - De manera que la probabilidad exponencial de que el primer evento no ocurra dentro del intervalo designado de tiempo o espacio es: P(T > t) = e -
CYBERGRAFIA •
https://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad
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http://www.vitutor.com/pro/2/b_16.html
•
http://www.vitutor.com/pro/2/b_15.html
• • •
https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_sucesi%C3%B3n http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/independentdependent-events.html https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes
•
http://www.vitutor.net/1/52.html
•
http://www.vitutor.com/pro/2/a_10.html
•
http://www.taringa.net/post/info/4825595/45-Acertijos-y-Ejercicios-deInteligencia-Instantanea.html