An´ alisis de un modelo SSpIS Maribel Restrepo T., Jose A. Zuleta Anibal Mu˜ noz L. Grupo de Modelaci´on Matem´atica en Epidemiolog´ıa (GMME) Facultad de Educaci´on Universidad del Quind´ıo, Colombia Resumen Se formula un modelo para la din´amica de incidencia de una epidemia SSp IS con poblaci´ on constante, t´ermino de transmisi´on estandar con probabilidades de transmisi´on β y σ y personas susceptibles con prevenci´ on, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales para las magnitudes promedio, que corresponde a un proceso estoc´astico continuo homogeneo, con estados discretos y tasas constantes de flujos de Poisson. Se realiza el an´ alisis de estabilidad local con base en el umbral epidemico N´ umero B´ asico de Reproducci´on R0 , el an´alisis de sensibilidad local del R0 y de la soluci´on de prevalencia con respecto a cada par´ ametro y la simulaci´ on del sistema se realiza en MAPLE con datos hipot´eticos para los par´ ametros.
Palabras clave: Modelo SSp IS, Estabilidad local, Proceso estoc´astico, N´ umero B´asico de Reproducci´on, Sensibilidad local.
1
Introducci´ on
Los modelos matem´aticos son de gran utilidad para el estudio, an´alisis y comprensi´on de diferentes procesos y fen´omenos que surgen en ciencias tales como la medicina, ecolog´ıa, f´ısica y la biolog´ıa entre otros. A partir de los resultados y simulaciones obtenidas basadas en modelos matem´aticos es posible tener un mejor entendimiento del fen´omeno analizado y tambi´en estos resultados pueden ser utilizados para estimar par´ametros correspondientes al proceso en estudio o descubrir propiedades que no eran evidentes desde la experimentaci´on. La meta fundamental de la ciencia, parece ser crear modelos que permitan al hombre explicar los diferentes fen´omenos naturales. La utilizaci´on de modelos sencillos y emp´ıricos es antigua; sin embargo la generalizaci´on de los mismos solo ha ocurrido en los u ´ltimos tiempos como una necesidad de la matematizaci´on y simplificaci´on de los procesos [1].
2
Restrepo, et al
En t´erminos hist´oricos, las enfermedades infecciosas han constituido una amenaza muy grave para la sociedad. Durante la mayor parte del siglo XX las pandemias (epidemias que se propagan por a´reas y poblaciones de enorme tama˜ no) se hab´ıan ya considerado amenazas del pasado; la medicina moderna se hab´ıa ocupado para siempre de la peste, la viruela y otras cat´astrofes de car´acter contagioso. No obstante, los cambios ambientales actuales han propiciado cambios en las distribuciones geogr´aficas de organismos en general y de par´asitos en particular. La resistencia a los agentes antimicrobianos tambi´en se ha convertido en un grave problema mundial. Algunas infecciones, antes f´aciles de tratar con antibi´oticos, representan ahora una grave amenaza para la salud en todas partes. El caso de Toronto (Canad´a), la u ´nica ciudad de un pa´ıs occidental en la que la epidemia del s´ındrome respiratorio agudo grave (SARG) se ha extendido de forma local, es un claro ejemplo de ello. Por lo tanto, en a˜ nos recientes, las enfermedades infecciosas como malaria, tuberculosis,VIH/SIDA, SARG y la posibilidad del bioterrorismo han provocado de nueva cuenta un gran efecto econ´omico y de salud, sea en pa´ıses desarrollados o del tercer mundo, lo cual indica que esta amenaza sigue presente. Por ello, el uso de m´etodos cuantitativos basados en modelos matem´aticos para estudiar la din´amica de transmisi´on y control de las enfermedades infecciosas ha ganado importancia de forma notoria entre los cient´ıficos y profesionales de la salud para idear programas efectivos de control e interpretar patrones epidemiol´ogicos. En el presente trabajo se revisan los antecedentes, la relevancia y la clasificaci´on de los modelos matem´aticos para enfermedades infecciosas; adem´as, se describen de forma detallada algunos modelos t´ıpicos y otros esquemas recientes que se utilizan cada vez m´as para modelar las enfermedades infecciosas. Es probable que el hombre formulara ya teor´ıas acerca de la naturaleza de las enfermedades infecciosas desde mucho tiempo atr´as. Por ejemplo, se atribuy´o a una lenta nube de aire da˜ nino la difusi´on de la peste negra en el siglo XIV como una explicaci´on causal. D´Alembert fue el primero en describir la propagaci´on de enfermedades infecciosas mediante un modelo matem´atico en el siglo XVIII. Sin embargo, el primer art´ıculo conocido que incluye un modelo expl´ıcito para una enfermedad infecciosa apareci´o en 1760 que fue publicado por Daniel Bernoulli (1700-82) [12]. El siguiente gran avance fue el trabajo matem´atico de Kermack y McKendrick, realizado durante el periodo de 1927 a 1939. En su trabajo tambi´en se consideraron las enfermedades end´emicas y diversos hallazgos interesantes se rela-
An´alisis de un modelo SSp IS
3
cionaron en datos experimentales con ratones. El resultado excepcional fue el c´elebre teorema del umbral, seg´ un el cual la introducci´on de individuos infecciosos dentro de una poblaci´on de susceptibles pod´ıa originar una epidemia s´olo si la densidad de susceptibles rebasa un cierto valor cr´ıtico o umbral. Si el umbral se excede, entonces sobreviene el brote y, de lo contrario, desaparece. El trabajo pionero atrajo escasa atenci´on y s´olo se tom´o en cuenta 20 a˜ nos m´as tarde cuando se dispuso de m´etodos efectivos de procesos estoc´asticos [11]. Es importante resaltar que un modelo est´a en verdad definido por las relaciones que incorpora. Estas relaciones son independientes de los datos a introducir en el modelo, ya que un modelo puede usarse para diferentes ocasiones y en distintos contextos. Cabe se˜ nalar que los modelos matem´aticos para enfermedades infecciosas se utilizan como herramienta para tomar decisiones y que deben valorarse en su justa medida, ya que dif´ıcilmente es comprensible un problema complejo sin una m´ınima modelaci´on, aunque tambi´en hay que reconocer que no es posible modelar la totalidad de las situaciones reales. En esencia, la funci´on central de crear y analizar modelos matem´aticos es mejorar la comprensi´on de un sistema para prevenir futuras situaciones de enfermedades, determinar la prevalencia e incidencia y coadyuvar a tomar decisiones objetivas para controlar o erradicar las enfermedades. Algunos conceptos b´asicos son n´ umero reproductivo b´asico. El principal par´ametro utilizado en epidemiolog´ıa es el n´ umero reproductivo b´asico, R0 , def´ınido como el n´ umero promedio de infecciones causadas por un individuo infeccioso cuando ´este es introducido a una poblaci´on de susceptibles e intenta capturar la capacidad reproductiva de la enfermedad [13]. Hern´andez-Su´arez [14] propone otra definici´on de R0 y la expresa en t´erminos de contactos: R0 es el n´ umero esperado de contactos que un individuo infeccioso tiene durante su periodo completo de infecci´on, definiendo como un contacto cualquier actividad que pueda causar la infecci´on de un susceptible. ´ Tama˜ no de la epidemia. Esta es una de las propiedades asint´oticas m´as importantes en los modelos epidemiol´ogicos y se def´ıne como el n´ umero total de individuos infectados en una epidemia [15]. Es una medida cuantitativa muy importante porque se relaciona de forma estrecha con los costos de la epidemia. En los modelos epidemiol´ogicos est´andar se parte del supuesto de que los individuos se encuentran en uno de varios estados posibles. En funci´on de dichos estados, la poblaci´on puede incluirse en algunas categor´ıas: individuos susceptibles (S), infectados (I) o removidos (R), etc. Los modelos m´as importantes son: SI, SIS y SIR, que pueden modelarse en forma determinista o estoc´astica y en todos ellos se asume que la interacci´on entre los individuos es
4
Restrepo, et al
aleatoria [10]. Para la mayor parte de las enfermedades de transmisi´on sexual (ETS) resulta m´as u ´til el modelo SIS, toda vez que tan s´olo un n´ umero reducido de ETS conf´ıere inmunidad tras la infecci´on. El VIH es una excepci´on clara y todav´ıa puede describirse de forma adecuada, al menos en el mundo occidental, mediante el modelo SI. La filosof´ıa de Descartes, a veces llamada cartesianismo, le llev´o a elaborar explicaciones complejas y err´oneas de diversos fen´omenos f´ısicos. Estas explicaciones, sin embargo, cobraron valor al sustituir los vagos conceptos espirituales de la mayor´ıa de los autores cl´asicos por un sistema de interpretaciones mec´anicas de los fen´omenos f´ısicos [7]. La contribuci´on m´as notable que hizo Descartes a las matem´aticas fue la sistematizaci´on de la geometr´ıa anal´ıtica. Fue el primer matem´atico que intent´o clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen, y contribuy´o tambi´en a la elaboraci´on de la teor´ıa de las ecuaciones. Descartes fue el responsable de la utilizaci´on de las u ´ltimas letras del alfabeto para designar las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Tambi´en invent´o el m´etodo de los exponentes (como en x2 ) para indicar las potencias de los n´ umeros. Adem´as, formul´o la regla, conocida como la ley cartesiana de los signos, para descifrar el n´ umero de ra´ıces negativas y positivas de cualquier ecuaci´on algebraica [7]. Lo que hace la regla de los signos de Descartes es relacionar el n´ umero de cambios de signo en la lista de coeficientes de una ecuaci´on polin´omica con el n´ umero de ra´ıces positivas de dicha ecuaci´on. Por desgracia no da una cantidad exacta de soluciones, sino que nos da una cota, aunque en muchas ocasiones dicha cota puede proporcionar informaci´on muy interesante sobre la cantidad de ra´ıces positivas de la ecuaci´on [8]. El an´alisis de sensibilidad se utiliza para determinar que tan ”sensible” es un modelo a los cambios en el valor de los par´ametros y los cambios en la estructura del modelo. La sensibilidad de los par´ametros se realiza generalmente como una serie de pruebas en las que se establece diferentes valores de los par´ametros para ver c´omo un cambio en el par´ametro provoca un cambio en el comportamiento din´amico de las poblaciones. Al observar c´omo el comportamiento del modelo responde a los cambios en los valores de los par´ametros, el an´alisis de sensibilidad es una herramienta u ´til en la construcci´on de modelos, as´ı como en la evaluaci´on del modelo [9].
An´alisis de un modelo SSp IS
5
La ecuaci´on para el modelo SIS dif´ıere de la del modelo SI porque se agrega el t´ermino µI(t) que describe el ritmo al que los individuos se recuperan de la enfermedad o se convierten en susceptibles, por lo que se aplica en ambas ecuaciones. En el modelo SIS estoc´astico la tasa de contacto es tambi´en λ (contactos por unidad de tiempo). De nuevo cuenta, la variable aleatoria el tiempo transcurrido entre la infecci´on del individuo k − 1 y el individuo k, para k = 1, 2, 3, . . . , tiene una distribuci´on exponencial con par´ametro λ. Del mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperaci´on (el individuo se vuelve otra vez susceptible) del individuo k − 1 y el individuo k, para k = 1, 2, 3, . . . , tiene una distribuci´on exponencial con par´ametro µ [16]. Ambas, λ y µ, son constantes que no cambian con el tiempo. Por lo tanto, la variable aleatoria x(t), que alude al n´ umero de susceptibles e infectados al tiempo t, es un proceso Poisson homog´eneo y tambi´en N = S(t)+I(t),de manera que los estados del proceso al tiempo t se identif´ıcan por x(t) = S(t), I(t), es decir, el n´ umero de susceptibles e infectados al tiempo t. Aqu´ı, cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de transici´on son: S(t) 1 = S(t), I(t)] = I(t) x(t) N 1 = S(t), I(t)] = µI(t) + 0(δ) P [X(t + δ) = S(t) + 1, I(t) − x(t) P [x(t + δ) = S(t) − 1, I(t) +
De igual manera, 0(δ) es una cantidad que tiende a cero cuando tambi´en lo hace δ. La soluci´on al modelo SIS en ambas versiones tambi´en muestra que se deber´ıa esperar una trayectoria en forma de S en la cifra de infectados. No obstante, la trayectoria SIS dif´ıere de la SI en que el n´ umero de personas infectadas al mismo tiempo nunca alcanza el total de la poblaci´on (lo que no excluye la posibilidad de que cada uno de los individuos pueda infectarse en alg´ un otro momento). Por el contrario, el proceso alcanza un equilibrio cuando exactamente el mismo n´ umero de individuos infecciosos se convierte en susceptible o viceversa [16].
2
El modelo
Las variables y par´ametros del modelo son x: n´ umero promedio de personas susceptibles sin prevenci´on, xp : n´ umero promedio de personas susceptibles con
6
Restrepo, et al
prevenci´on, y: n´ umero promedio de personas infecciosas, N : la poblaci´on total constante en un tiempo t, respectivamente; Âľ: tasa constante de natalidad igual a la tasa de muerte natural, θ: tasa de personas infecciosas que vuelven hacer susceptibles, β, Ďƒ: probabilidades de transmisi´on, ω: tasa de personas que toman prevenci´on. La din´amica se interpreta mediante las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de acuerdo a el diagrama de compartimientos del proceso infeccioso:
¾N θy
x
y
β Ny x /
y E
Âľx
ωx
Ďƒ Ny xp
Âľy
xp
¾xp Figura 1: Din´amica de transmisi´on SSp IS.
dx y = ÂľN + θy − β x − Âľx − ωx dt N dxp y = ωx − Ďƒ xp − Âľxp dt N dy y y = β x + Ďƒ xp − (θ + Âľ)y dt N N
(1)
donde, Âľ, θ, Ď&#x2030; > 0, 0 < Ď&#x192;, β < 1 y condiciones iniciales x(0) = x0 , xp (0) = xp0 , y(0) = y0 .
An´alisis de un modelo SSp IS
3 3.1
7
An´ alisis del modelo N´ umero b´ asico de reproducci´ on R0
Se define como el numero promedio de casos que una persona infecciosa puede provocar durante el periodo de infecci´on en una poblaci´on susceptible. Si y = 0, entonces x + xp = N . Cuando la infecci´on crece es decir y > 0 (al menos una persona infecciosa), es decir, x + xp ≈ N . La poblaci´on susceptible > 0 luego, crece cuando dy dt h x i xp y β + σ − (θ + µ) > 0 N N Como y > 0 y la poblaci´on total esta dividida en dos tenemos entonces que: ω µ +σ − (θ + µ) > 0 β µ+ω µ+ω Luego, βµ σω + >1 (µ + ω)(θ + µ) (µ + ω)(θ + µ) Por lo tanto, βµ + σω >1 R0 = (µ + ω)(θ + µ) Donde ω y µ son la tasa de personas que ingresan a las poblaciones susceptibles, 1 β y σ son la probabilidad de ser contagiados, θ+µ es el periodo de infecci´on y µ ω , fracciones de las poblaci´on, la suma de estas conforman la poblaci´on µ+ω µ+ω total.
3.2
Soluciones estacionarias
p Las soluciones estacionarias se obtienen cuando dx = 0, dx = 0, dy = 0 en el dt dt dt sistema de ecuaciones (2) y resolviendo el sistema algebraico no lineal: y (2) 0 = µN + θy − β x − (µ + ω)x N y 0 = ωx − σ xp − µxp (3) N y y (4) 0 = β x + σ xp − (θ + µ)y N N µN ωN obtenemos la soluci´on estacionaria libre de infecci´on E0 = µ+ω , µ+ω , 0 y la soluci´on estacionaria con infecci´on E1 = (ˆ x, xˆp , yˆ) con:
N (θ + µ) − β xˆ σ N [(µ + ω)ˆ x − µN ] yˆ = θN − β xˆ
xˆp =
8
Restrepo, et al
donde, xˆ esta dada por la expresi´on: Aˆ x2 + B xˆ + C = 0
(5)
en la cual: A = βµ(β − σ) B = σµN (θ + ω + µ + β) − µβN (2θ + µ) C = −µσN 2 (θ + µ) La ecuaci´on cuadr´atica 5 se analizara con la ley de los signos de Descartes [3].
N ro
Ra´ıces reales + -
Ra´ıces imaginarias Total
1.
0
0
1
2
2.
2
0
0
2
3.
0
2
0
2
4.
0
2
0
2
Condiciones β>σ σµN (θ + ω + µ + β) > µβN (2θ + µ) β<σ σµN (θ + ω + µ + β) > µβN (2θ + µ) β>σ σµN (θ + ω + µ + β) < µβN (2θ + µ) β<σ σµN (θ + ω + µ + β) < µβN (2θ + µ)
Las soluciones que se buscan, son aquellas en que ambas ra´ıces sean reales positivas, para 5 solo existe una soluci´on que cumple esta condici´on.
3.3
An´ alisis de estabilidad local
La matriz de estabilidad correspondiente a la soluci´on estacionaria libre de infecci´on es: βµ −(ω + µ) 0 θ − µ+ω ωN µN σω , ,0 = J ω −µ − µ+ω µ+ω µ+ω 0
0
(θ + µ)(R0 − 1)
µN ωN Lo cual tiene como ecuaci´on caracter´ıstica J µ+ω , µ+ω , 0 − λI = 0, es decir (µ + ω + λ)(µ + λ)[(θ + µ)(R0 − 1) − λ] = 0
9
An´alisis de un modelo SSp IS
Los valores propios son: λ1 = −(µ + ω) λ2 = −µ λ3 = (θ + µ)(R0 − 1) Por el criterio de la parte real de los valores propios se obtiene el siguiente teorema de estabilidad:
Teorema 3.1. Si R0 < 1 la soluci´on estacionaria libre de infecci´on del sistema de ecuaciones (1) es estable. En el caso de la soluci´on estacionaria con infecci´on, E1 = (ˆ x, xˆp , yˆ) jacobiana o matriz de coeficientes en el proceso de linealizaci´on es: −β Nyˆ − (ω + µ) 0 θ − β Nxˆ J(ˆ x, xˆp , yˆ) = ω σ Nyˆ − µ −σ xˆNp β Nyˆ
σ Nyˆ
la matriz
β Nxˆ + σ xˆNp − (θ + µ)
Lo cual tiene como ecuaci´on caracter´ıstica |J (ˆ x, xˆp , yˆ) − λI| = 0, es decir λ 3 + a1 λ 2 + a2 λ + a3 = 0
(6)
βy σy + 2µ + ω + N N βy βx βy σy σ 2 xp y = +µ+ω +µ + −θ + N N N N N2 σ 2 x y βy βx σωy βy σy p = −θ + +µ + +µ+ω N N N N N2 N
a1 = a2 a3
La ecuaci´on cuadr´atica 6 se analizara con la ley de los signos de Descartes[3].
10
Restrepo, et al
Nro
Ra´ıces reales + −
Ra´ıces imaginarias
Total
Condiciones
1.
0
3
0
3
b0 ≥ θ
2.
0
3
0
3
b0 < θ b1 < b2
b3 < b4 3.
2
1
0
3
4.
1
2
0
3
b0 < θ b1 > b2 b3 < b4 b0 < θ
b1 < b2 b3 > b4 b0 < θ
5.
1
2
0
3
b1 > b2 b3 > b4
donde:
b0 = b1 = b2 = b3 = b4 =
βx N βy βx −θ N N σ2x y βy σy p +µ+ω +µ + N N N2 βx σωy βy σy −θ + +µ N N N N σ 2 xp y βy +µ+ω N2 N
Las soluciones que se buscan, son aquellas en que todas las ra´ıces sean reales negativas, para 6 existen dos soluciones que cumplen esta condici´on. Por el criterio de la parte real negativa de los valores propios se obtiene la siguiente conjetura de estabilidad: Conjetura 3.2. La soluci´on estacionaria con infecci´on del sistema de ecuaciones 1 es local y asint´oticamente estable si se cumplen alguna de las siguientes dos condiciones:
11
An´alisis de un modelo SSp IS
1.
βx N
≥θ
2.
βx N
< θ y ademas que:
2.1 2.2
4
βy N βx N
σy σ 2 xp y − θ < βy + µ + ω + µ + N2 N N σωy βy σy σ2 xp y βy −θ + N N + µ < N2 N + µ + ω N βx N
An´ alisis de sensibilidad local
Reducir el umbral de infecci´on R0 puede no ser la forma mas indicada o facil para controlar una infecci´on, es importante observar la sensibilidad del umbral a las variaciones en los par´ametros. El par´ametro con el ´ındice de sensibilidad de magnitud mayor es el m´as eficaz para aumentar o disminuir el umbral de infecci´on. El an´alisis de sensibilidad local o global se enfoca en determinar la respuesta de un modelo a variaciones en valores de los par´ametros. El an´alisis de sensibilidad local, tambi´en conocido como an´alisis diferencial o an´alisis de sensibilidad de rango nominal, se centra en un punto particular en el espacio de par´ametros, variando un par´ametro en el tiempo para obtener una respuesta local del modelo a cada par´ametro[4], [5].
4.1
An´ alisis de sensibilidad local del umbral R0
Es importante determinar la sensibilidad del umbral de infecci´on respecto a cada par´ametro, la cual se calcula mediante el indice [4], [5], [6]: IRp l =
p ∂Ri Ri ∂p
donde, p es un par´ametro del modelo y Ri es cada umbral de infecci´on para este caso solo existe uno R0 . Con base en el umbral mencionado en la subsecci´on 3.1, calculamos los ´ındices de sensibilidad local correspondientes a cada par´ametro. Para el umbral R0 los indices son: Par´ ametro β µ σ ω θ
Valor del par´ ametro 0.05 0.00003 0.04 0.004 0.04
IpR0 0.555 0.999 0.555 -0.993 -0.999
12
Restrepo, et al
El indice de sensibilidad para la tasa de transmisi´on β de personas susceptibles sin prevenci´on que adquieren la infecci´on es de 0.555 lo cual implica que si se tiene un incremento de 55.5% el umbral R0 aumenta en un 55.5% El indice de sensibilidad para µ fue de 0.999 implica que si se tiene un aumento en un 99.9%, lo cual implica que el umbral R0 es mas sensible a crecer en un 99.9%. El indice de sensibilidad para la tasa de transmisi´on σ de personas susceptibles con prevenci´on que adquieren la infecci´on es de 0.555 el cual afecta a al umbral R0 haciendo que aumente en un 55.5% El indice de sensibilidad para ω fue de −0.993 que induce un decrecimiento en un 99.3%, haciendo el umbral R0 sensible a decrecer en un 99.3%. El indice de sensibilidad para θ fue de −0.999 implica que si se tiene un decrecimiento en un 99.9%, el umbral R0 disminuye en un 99.9%.
Figura 2: Gr´afica del umbral con respecto β, µ, σ.
Figura 3: Gr´afica del umbral con respecto ω, θ.
An´alisis de un modelo SSp IS
Figura 4: Gr´afica del umbral (β, µ), (β, ω), (β, σ).
Figura 5: Gr´afica del umbral (µ, θ),(β, θ), (µ, ω).
Figura 6: Gr´afica del umbral (µ, σ), (ω, θ).
Figura 7: Gr´afica del umbral (σ, θ, ), (σ, ω).
13
14
5
Restrepo, et al
Simulaciones
Las simulaciones del modelo se hicieron utilizando el programa MAPLE 15 con las condiciones iniciales y valores hipot´eticos de los par´ametros que se muestran en el cuadro 1. Variables y par´ametros x(0) xp (0) y(0) β σ ω θ µ N
R0 < 1 473 20 7 0.05 0.04 0.004 0.04 0.00003 500
R0 ≈ 1 473 20 7 0.05 0.004 0.007 0.0002 0.00003 500
R0 > 1 473 20 7 0.05 0.03 0.001 0.0001 0.00003 500
Tabla 1: Par´ametros hipot´eticos y condiciones iniciales
Figura 8: Simulaci´on de un modelo SSp IS
An´alisis de un modelo SSp IS
6
15
Conclusiones
El empleo de modelos matem´aticos para enfermedades infecciosas ha crecido en grado significativo en los u ´ltimos a˜ nos debido a que proporcionan informaci´on u ´til para tomar decisiones, e instituir medidas operativas en el control o erradicaci´on de una enfermedad infecciosa. Estos modelos son muy u ´tiles porque capturan propiedades esenciales de la dispersi´on de una enfermedad de una forma simplif´ıcada. Adem´as, al modificar los par´ametros del modelo se pueden representar o descubrir situaciones que dif´ıcilmente se pueden obtener mediante experimentaci´on [17]. Por lo tanto, contribuyen a prevenir futuras situaciones patol´ogicas, determinar la prevalencia e incidencia y coadyuvar a tomar decisiones objetivas para el control o supresi´on de las enfermedades infecciosas. Cabe mencionar que la adici´on de elementos m´as reales al modelo matem´atico (mayor sofisticaci´on), exige una mayor cantidad de par´ametros a calcular y mayor n´ umero de supuestos. por eso el umbral epidemiologico puede ser relativamente sensible a varios par´ametros, lo cual puede ser bueno, dependiendo de cual sea el par´ametro para el modelo SSp IS estudiado en este articulo, se nota que el modelo es muy sensible a los par´ametros: µ, ω, θ, de acuerdo al an´alisis de sensibilidad que se realizo en la secci´on 4.1. Se demuestra la estabilidad del sistema para R0 < 1 en el punto de equilibrio libre de infecci´on utilizando el criterio de la parte real de los valores propios. Al utilizar la ley de signos de descartes se observaron varias condiciones necesarias para que el punto de equilibrio end´emico sea estable, estas condiciones pueden ser una complicaci´on para el an´alisis del modelo y quiz´a sea dif´ıcil que se cumplan. Infortunadamente, en muchas circunstancias del mundo real no se dispone de datos confiables para realizar las cuantificaciones de los par´ametros requeridos, lo cual da lugar a que las predicciones o c´alculos de los modelos presenten en muchos casos un considerable margen de error. Por ello, los resultados del modelo deben tomarse en estos casos con cautela. No obstante, a pesar de que muchos modelos matem´aticos no pueden realizar predicciones precisas, sobre todo por la falta de datos, ´estos son de gran utilidad para medir el efecto de las medidas de control aun antes de iniciar la epidemia.
16
Restrepo, et al
Referencias [1] Mu˜ noz L. A. Bethencourt B. J. A.Simulaci´on y control de epidemias 2011. [2] Caetano M.A., Yoneyama T. Optimal and sub-optimal control in Dengue epidemics, Optim. Control Appl. Math. 2001. [3] A E Bell, Christian Huygens and the Development of Science in the Seventeenth Century London, 1947. [4] Ingalls B. Sensitivity analysis: from model parameters to system behaviour, Essays in Biochemistry, vol. 45 2008. [5] Dresch J. M., Liu X., Arnosti D. N., Ay A. Thermodynamic modeling of transcription: sensitivity analysis differentiates biological mechanism from mathematical model-induced effects, BMC Systems Biology 2010. [6] Tchuenche J. M., Khamis S. A., Agusto F. B. Mpeshe S. C. Optimal control and sensitivity analysis of an influenza model with treatment and vaccination, Acta Biotheor, 2010. [7] http://centros5.pntic.mec.es/rosariod/descartes.html [8] http://www.buenastareas.com/ensayos/Ley-De-Signos-DeDescartes/4338599.html [9] L. Breierova M. ChoudhariAn Introduction to Sensitivity Analysis,1996. [10] Anderson R, May RM. Infectious diseases of humans. Oxford: Oxford University Press; 1991. [11] Bailey NTJ.The role of Statistics in controlling and eradicating infectious diseases. Statistician, 1985. [12] Ziegler P. The black death. London, Penguin, 1998. [13] Diekman O, Heesterbeek JAP, Metz J. On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models of infectious diseases in heterogeneous populations. J Math Biol 1990. [14] Hern´andez-Su´arez CM. A Markov chain approach to calculate Ro in stochastic epidemic models. J Theor Biol 2001. [15] Dietz K. Epidemics and Rumors: A survey. JR Stat Soc [Ser A] 1967. [16] Hern´andez-Su´arez C, Castillo-Ch´avez C. Urn models and vaccine efficacy estimation. Stat Med 2000. [17] Becker N. The uses of epidemic models. Biometrics 1979.