Lunes; 19 de septiembre de 2016
Revista matemรกtica
Ediciรณn especial
Revista matemรกtica
Pg. 2
ร ndice Pg. 3
Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos Pg. 4
Pg. 6
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotaciรณn de un circulo.
volumen por discos
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EJEMPLO
METODO Pg. 8
DE
LA
ARANDELA.
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Revista matemática
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Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar. cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se denomina eje de giro..
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Lunes; 19 de septiembre de 2016
Rotaciones alrededor
de
cartesianos
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los
ejes
EL VOLUMEN DE LOS SÓLIDOS GENERADOS POR REVOLUCIÓN ALREDEDOR DE LOS EJES CARTESIANOS SE PUEDEN OBTENER MEDIANTE LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Rotación paralela al eje (x) El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica.
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y = f(x), y = 0, x = a y x = b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
Ambas expresiones se deducen de que al hacer girar un área formada por innumerables rectángulos de base dx y alturaf(x), alrededor del eje X, se forman discos colocados verticalmente cuyos volúmenes sumados resultan en el volumen de todo el sólido. Cada disco tiene por volumen el de un cilindro como si fuera una moneda acomodada verticalmente, es decir, V=Πr²h donde el radio de la base del cilindro es f(x), y la altura del cilindro es dx, por lo que el volumen del cilindro resulta ser V = πf²(x)dx y la suma de todos estos volúmenes parciales, es el volumen total que resulta en la expresión: Si son dos funciones f(x) y g(x), el volumen total será la resta del volumen mayor menos el volumen menor
Revista matemática
Pg. 5 Pero si el giro es alrededor de una recta paralela al eje X: y=K, entonces la expresión resultante es (siempre que K<X en para todo X):
en el caso en el que K>X, es decir la recta X=K se encuentre a la derecha de las funciones se debe aplicar:
Nótese que , por ende, esta fórmula funciona si la recta se encuentra a la izquierda de la región R comprendida entre las curvas f(x) y g(x), para que nuestra integral sea positiva. Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes generados por el giro de un área comprendida entre dos funciones cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b], con f(x) > g(x) en el intervalo [a,b].Alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La formula general del volumen de estos sólidos es:
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un circulo.
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Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco =
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:
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volumen por
discos
POR TANTO, RECORDANDO LA DEFINICIร N DE INTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN SE OBTIENE QUE:
si se toma el eje de revoluciรณn verticalmente, se obtiene una fรณrmula similar:
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EJEMPLO 1
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LA REGIÓN ENTRE LA CURVA Y = √X , 0 ≤ x ≤ 25 Y EL EJE X SE GIRA ALREDEDOR DEL EJE X PARA GENERAR UN SÓLIDO. HALLAR SU VOLUMEN
solución 1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida
Región que rota alrededor del eje x
2 EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: 3 LIMITES DE INTEGRACIÓN: Estos límites nos lo fueron Región que rota alrededor del eje x dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ x ≤ 25.
4 FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:
Por tanto el volumen del sólido es:
EJEMPLO 2
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HALLAR EL VOLUMEN GENERADO POR EL AREA BAJO LA CURVA GENERADA POR EL SEGMENTO
de recta
que gira entorno al eje x.
Soluciรณn
Grafico
El รกrea de cada secciรณn tiene la forma El volumen del sรณlido es
METODO
DE
LA
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ARANDELA.
ESTE MÉTODO CONSISTE EN HALLAR EL VOLUMEN DE UN SÓLIDO GENERADO AL GIRAR UNA REGIÓN R QUE SE ENCUENTRA ENTRE DOS CURVAS COMO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA: sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. las secciones transversales que también son perpendiculares al eje de rotación son arandelas en lugar de discos. (es por esto el nombre del método). lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo.
Área de la arandela: En la figura anterior, tenemos:
Entonces, Factorizando π , nos queda,
Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función . Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:
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El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x ( o algún eje paralelo a él) viene dado por:
Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a el) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que
Es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con c ≤y≤d.
Este método consiste el hallar el volumen de un solido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas.
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METODO CASQUILLOS
DE
LOS
CILÍNDRICOS. Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x = a y x = b , y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado sobre R, los radios exterior e interior a saber r = f ( y ) 1 y r = f ( y ) 2 . ¡Esto era a lo que queríamos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento pero PARALELO al eje de rotación (eje y), Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un solido como se muestra en la siguiente animación.
Área que gira entorno al eje y
Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y). Este hecho se muestra en las figuras de abajo.
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El procedimiento a seguir ahora es de hallar el volumen de este casquillo. el volumen correspondiente viene dado por:
Donde ∆x representa el grosor del casquillo (grosor del segmento). Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido. Notemos en la figura que la altura h del cilindro se expresa por medio de la función h = f (x) . Por último si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber:
Pg. 13 La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y
Para f ( y ) ≥ 0 y c ≤ y ≤ d . En los siguientes ejemplos aplicaremos estas fórmulas y mostraremos su verdadera potencia (ahorro de cálculos).
dx también representa el grosor del casquillo.
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Revista matemática
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EJEMPLO 1:
HALLA EL VOLUMEN DEL SÓLIDO GENERADO AL GIRAR LA REGIÓN ACOTADA POR Y = 2X , Y = X / 2 Y X =1, ALREDEDOR DEL EJE Y
SOLUCIÓN:
Como vamos a usar el método del casquillo cilíndrico, sobre la región R trazamos un segmento que sea PARALELO al eje de rotación, como se muestra en la figura de abajo.
Determinemos ahora el radio y la altura del casquillo. El radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del casquillo es, como se puede ver en la figura,
Refiriéndonos a los límites de integración son x = 0 y x =1. Con esta información, podemos decir que el volumen del sólido generado es:
Luego el volumen de este sólido es de.
2π u3
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Pasa la
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jugada
Sudoku
Juega y diviértete Pensado con tus amigos
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Un profesor de matemática Decía los errores que tuvieron en el examen a sus alumnos, entonces le decía a uno que tenia una respuesta mal… el alumno intrigado le responde que esa respuesta estaba bien a lo que el profesor le contesta diciendo que estaba mal y el alumno le dice que estaba completamente seguro que estaba bien.. A lo que el profesor vuelve a revisar el examen y efectivamente esta bien. Moraleja: nunca dejes llevar tu opinión de los demás. Chiste:
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Volumen
solido de
de
un
revolución
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje
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Edición especial