METODOS DE CONTEO, RELACIONES DE RECURRENCIA E INDUCCIÓN MATEMATICA
DELGADO JOSUÉ. 9135879. LUGO OSCAR. 22338320. MORENO EDWIN. 24419875.
Método de Conteo Los métodos de conteo son estrategias que nos sirven para determinar la posibilidad que tiene al realizar un experimento Son usadas enumerar eventos difíciles de cuantificar. Existen diferentes métodos de conteo los más útiles son: Permutaciones, Diagrama de árbol y Combinaciones.
Principios Básicos de Conteo 1. Principio de la suma o adición: supongamos que se desea elegir un objeto que tiene x tipos distintos, para el primer tipo hay n1 de opciones, para el segundo tipo hay n2 de opciones, para el tercer tipo hay n3 de opciones, y así sucesivamente hasta llegar al último tipo con nr cantidad de opciones, entonces el objeto se puede elegir de n1+n2+n3+………+nr maneras. Esto quiere decir que el número total de opciones a tener es la suma del número de opciones en cada tipo.
2 Principio de la multiplicación: supongamos que si una tarea tiene x etapas para realizarse , y si la primera etapa cuenta con n1 maneras de realizarse , la segunda tiene n2 maneras de realizarse , la tercera tiene n3 maneras de realizarse , y así sucesivamente hasta nr maneras de realizarse , entonces el número de formas en realizar la tarea es n1*n2x*3……* nr
Ejemplos: Suma o adici贸n: Se desea escoger un lugar para ir a almorzar tenemos tres diferentes lugares para comer pizza; dos para hamburguesa y cuatro para pollo. Entonces tenemos 3 + 2 + 4 = 9 diferentes opciones para ir a almorzar Multiplicaci贸n: en una carta de un restaurante hay 12 diferentes platos de comida y 5 diferentes bebidas, entonces 12 * 5 = 60 formas de combinar el men煤 deseado, ya que cada elecci贸n de plato de comida tiene 5 opciones de bebidas, lo que al final tiene 60 formas de almorzar
Teoría combinatoria La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de un conjunto finito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas, artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos
Factorial Factorial de un número es el producto de todos los factores decrecientes a partir de él hasta llegar a la unidad. El factorial de un número se escribe k! (siendo k cualquier número entero positivo) Ejemplo: Factorial de 3, se escribe 3! y se lee factorial de tres y no, tres factorial. El valor de 3! es el producto de los factores decrecientes a partir de 3 hasta llegar a 1:
Combinaciones, Variaciones y Permutaciones
Combinaciones: Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de n en n, (simbolizadas por Cm,n) a todos los subconjuntos de n elementos que se pueden formar en un conjunto de m elementos. Por su propia definici贸n se deduce que el orden no interviene para distinguir unas combinaciones de otras. El n煤mero total de combinaciones viene dado por la f贸rmula
Variaciones: Dada una colección de m objetos a1, a2, . . . , am−1, am distintos y un número entero positivo n ≤ m, llamaremos variación de orden n a cualquier subcolección, a1, a2, . . . , an de n objetos de la colección dada.
La expresión “Vm,n” representa las variaciones de “m” elementos , formando sub grupos de “n” elementos .
Permutaciones: Dado un conjunto de n elementos, llamaremos permutación de n a cada forma de ordenar los n elementos dados. Se observa que las permutaciones constituyen un caso particular de los arreglos (k = n). Por consiguiente el número de permutaciones de n (Pn) es igual al número de arreglos de n de orden n: Pn = A n n = n! (n n)! = n! 0! = n! Ejemplo : En una carrera automovilística intervienen 3 pilotos: a, b y ¿cuáles son los resultados posibles de la carrera y cuántos son? Los resultados de la carrera son las permutaciones de los 3 elementos: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a), donde cada elemento indica el nadador que obtiene la primera, la segunda y la tercera posición. En tanto, la cantidad de resultados posibles es: P3 = 3! = 3 .2. 1 = 6
EJERCICIOS PROPUESTOS