Revista educativa
Aprende dentro y fuera del aula
CUANDO UNA REGIÓN DEL PLANO DE COORDENADAS GIRA ALREDEDOR DE UNA RECTA L, SE GENERA UN CUERPO GEOMÉTRICO DENOMINADO SÓLIDO DE REVOLUCIÓN. LA RECTA L SE DENOMINA EJE DE GIRO. A CONTINUACIÓN ESTUDIAREMOS COMO DETERMINAR EL VOLUMEN DE ESTOS SÓLIDOS SI LOS EJES DE GIRO SON PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS.
Esta es una suma de Riemann para π [F(x)]^2 A medida que ||P|| O, n ∞ entonces la suma de los volúmenes de los cilindros se acerca al volumen del sólido formado cuando la función gira alrededor del eje de revolución representado en la figura. 4.1b. Por tanto, el volumen de un sólido de revolución se define como sigue:
t
A continuación se resuelve un ejercicio donde el sólido formado gira alrededor del eje x formando un sólido compacto. Ejemplo 4.1. Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región.
Gira alrededor del eje x .
Solución La región y los puntos de intersección ya fueron determinados y se representan en la figura 4.3a. El sólido formado se representa en la figura 4.3b y su volumen se determina sumando los volúmenes de los cilindros con radio de giro Rg = ln(x) y base dx, desde x=1 hasta x=e, mediante la solución de la integral:
Aplicando la técnica de integración por partes:
E V Evaluando: ALUANDO
Para determinar el volumen del sólido de revolución que se genera cuando una región gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, la deducción teórica de la integral es la misma con la diferencia de que para obtener el radio de giro (Rg) se debe tomar en cuenta la distancia de esta recta al eje x, es decir, Rg= f (w)-k, donde y =k es el eje de giro, como se observa en las figuras 4.4a y 4.4b).
+
En el siguiente ejemplo se calcula el volumen de un sólido que gira alrededor de una recta paralela al eje x pero distinta de él, sin embargo, el sólido formado sigue siendo un sólido compacto.
Determinar el volumen del solido de revolución que se forma cuando la región
gira alrededor a la recta y=2.
SOLUCIÓ N
La región y los puntos de intersección se representan en la figura 4.5a.
El volumen del disco representado en la figura 4.5b se obtiene mediante la expresi贸n:
Donde el radio de giro Rg es:
Entonces:
El volumen del s贸lido de la figura 4.5b se determina mediante la soluci贸n de la integral:
Integrando y evaluando:
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