Departamento de Matemรกticas
C.P.I. Virxe da Cela
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Determinación del ancho de un río Esta actividad surge de los siguientes objetivos: • Utilizar los conocimientos matemáticos y la capacidad de razonamiento en un ambiente próximo a la vida cotidiana para resolver situaciones y problemas reales. • Utilizar la comunicación verbal y escrita para expresar ideas y pensamientos. Describir, ilustrar, predecir y explicar con la terminología adecuada situaciones a partir de la manipulación concreta de objetos. • Diseñar y manipular modelos materiales que favorezcan la comprensión y resolución de problemas, valorando la interrelación que hay entre la actividad manual y la intelectual. • Trabajar en equipo, sabiendo confrontar las opiniones propias con las de los compañeros y valorando las ventajas de la cooperación. Se pretende que el alumnado a partir de esta actividad de observación del entorno cotidiano abstraiga su contenido matemático. Para determinar el ancho de un río nos ayudaremos de un aparato llamado clinómetro que utilizaremos para medir ángulos. Dicho aparato lo construiremos de la siguiente manera:
MATERIAL QUE NECESITAS: • La plantilla recortada del clinómetro que tienes a continuación • Cinta adhesiva. • Una pajita. Tiene que ser lo suficientemente recta como para poder ver todo el camino. Si tiene dobleces córtalos. • Hilo. • Arcilla de modelar. • Cartulina.
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INSTRUCCIONES
1.- Recorta la tarjeta a lo largo de las líneas de puntos. 2.- Pégala en la cartulina haciendo coincidir el borde superior con la parte superior de la cartulina. 3.- Corta un trozo de hilo (unos 15 cm) 4.- Sujeta con cinta adhesiva el hilo de modo que cuelgue a lo largo de la línea de cero de la plantilla. 5.- Pon una gota de arcilla en el extremo del hilo para hacer una plomada y mantenerlo tenso. 6.- Coloca la pajita paralelo a la línea de 90 °. Tiene que estar lo más cerca posible y no debe interferir con la plomada.
A partir de estas instrucciones podemos resolver a través de la trigonometría la anchura de un río en situaciones similares a las siguientes.
Un topógrafo puede medir la anchura de un río observando desde una orilla la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Retrocediendo 10 metros de la orilla, ve que el ángulo de observación es de 45º. Con estos datos puede calcular la anchura del río.
Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo,por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.
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Todo esto forma parte del cálculo de distancias inaccesibles en Trigonometría. Se denominan distancias inaccesibles, porque para su medición, no podríamos utilizar instrumento alguno. Sin embargo, sí podemos representar las situaciones mediante las utilización de escalas y de representaciones gráficas.
Definición de la terminología utilizada en la determinación de un ángulo Línea de visión
Es la línea imaginaria que va desde el ojo del observador hasta el objeto de interés.
Línea horizontal Es la línea paralela a la superficie. Ángulo de elevación Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de visión localizada arriba o debajo de la línea horizontal. o
de depresión.
Otro ejemplo vendría dado por el siguiente problema:
Para hallar la distancia entre una casa y un árbol separados por un río nos alejamos 80 mts de la casa (en la misma orilla) y medimos los ángulos A y B que reflejamos en la siguiente figura. Averigua dicha distancia.
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CRUZANDO EL RÍO En esta actividad, básicamente reflexiva, se pretende que los alumnos desarrollen la capacidad lógica de razonamiento adquiriendo el gusto para enfrentarse a situaciones desconocidas o novedosas, solucionándolas y potenciando así la confianza hacia sus propias capacidades.Como objetivos se pueden plantear los siguientes: • Utilizar los conocimientos matemáticos y la capacidad de razonamiento en un ambiente próximo a la vida cotidiana para resolver situaciones y problemas y/ o lúdicos. • Utilizar la comunicación verbal y escrita para expresar ideas y pensamientos. Describir, ilustrar, predecir y explicar con la terminología adecuada diversas situaciones. • Elaborar estrategias personales para la resolución de problemas matemáticos sencillos, actuando con imaginación y creatividad y analizando la coherencia de los resultados.
En los problemas propuestos a continuación, se trata de cumplir la tarea en la menor cantidad de travesías.
1.-ZORRO, CABRA Y REPOLLO . Un hombre debe llevar un zorro, una cabra y un repollo al otro lado de un río. El bote sólo da cabida al hombre y a una de sus tres posesiones. Si lleva consigo al repollo, el zorro se manduca a la cabra. Si lleva el zorro, la cabra se manduca el repollo. Únicamente estando presente el hombre quedan la cabra y el repollo a salvo. ¿Cómo consigue el hombre cruzar el río con sus tres bienes?
1 2 3 4 5 6 7
Situación inicial Cruza el hombre con la cabra Vuelve el hombre solo Cruza el hombre con el repollo Vuelve el hombre con la cabra Cruza el hombre con el zorro Vuelve el hombre solo Cruza el hombre con la cabra
Orilla 1 HZCR -Z-R HZ-R -Z-HZC--C-H - C ----
Orilla 2 ---H-C--CH-CR ---R HZ-R -Z-R HZCR
2.-EL BATALLÓN . Un batallón de soldados debe cruzar un río. En la orilla hay dos niños jugando en un bote. El bote es tan pequeño que sólo da cabida a los dos niños o bien a un soldado. Aún así, todos los soldados, que son muchos, logran cruzar el río en el bote. ¿Cómo? Supongamos ahora que son 100 los soldados. ¿Cuál es la menor cantidad de travesías requeridas para cruzar a los 100 soldados?
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3.-MARIDOS CELOSOS . Dos parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con el otro hombre. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?
4.-TRES PAREJAS. Tres parejas en plan de pícnic quieren cruzar un río. El bote sólo da cabida a dos personas. Siendo los varones muy celosos ninguno permite que en su ausencia su pareja se quede en una orilla o en el bote con uno o con los otros dos hombres. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?
5.-TRES MERCADERES Y TRES SERVIDORES . Tres mercaderes estaban de viaje con sus tres servidores. Los mercaderes eran muy ricos y temían que los servidores les asaltarían, apenas fuesen superiores en número. Llegaron a un río, donde, para atravesarlo, había disponible sólo una pequeña barca que podía llevar como máximo dos personas. ¿Cómo se las arreglan para cruzar?
6.- TRAVESÍAS POR PESO . Cinco personas que pesan 10, 20, 30, 40 y 50 kg. respectivamente, van a cruzar un río con un bote que sólo admite una carga de 50 a 70 kg. (ni menos de 50 ni más de 70). ¿Cómo cruzarán?