Cours de mathematique by jqqq

Table des matières 1

Ensembles 1 Théorie . . . . . . . . . . 1.1 Théorie des ensembles 1.2 Ensembles de nombres 2 Exemples détaillés . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . .

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4 5 5 8 13 15

Logique 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . 1.3 Tautologie ou loi logique . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs logiques . . . . . . . . . . 1.5 Réciproque et contraposée . . . . . . . . 1.6 Théorèmes et méthodes de démonstration 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 20 20 20 23 23 24 25 28 31

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Géométrie et mesure 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Théorème de Thalès et proportions . . . 1.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Polygônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Périmètre et aire de surfaces élémentaires 1.7 Volume de solides élémentaires . . . . . . 1.8 Mesures et grandeurs . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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33 35 35 37 38 39 45 49 51 54 59 63

Calcul algébrique 1 Théorie . . . . . . . . . . . 1.1 Priorité des opérations 1.2 Règle des parenthèses . 1.3 Produit . . . . . . . . . 1.4 Fractions . . . . . . . . 1.5 Proportions . . . . . . . 1.6 Puissances n-ième . . . 1.7 Racine n-ième . . . . .

. . . . . . . .

70 71 71 71 71 72 74 74 75

. . . . . . . .

. . . . . . . . 1

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1.8 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 80 83

Egalités 1 Théorie . . . . . . . . . . 1.1 Propriétés des égalités 1.2 Equations . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . .

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87 88 88 88 91 93

Inégalités 1 Théorie . . . . . . . . . . . 1.1 Propriétés des inégalités 1.2 Inéquations . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . .

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95 96 96 96 99 102

Systèmes 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Système de deux équations à deux inconnues 1.2 Système de plus de deux équations . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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104 105 105 108 109 111

Droites 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Equations du premier degré – droites 1.2 Position relative de deux droites . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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112 113 113 118 119 121

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Paraboles 122 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Polynômes 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les polynômes 1.3 Factorisation de polynômes . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . .

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Repères et vecteurs 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Le plan R2 . . . . . . . . . . . 1.2 L’espace R3 . . . . . . . . . . . 1.3 La notion de vecteur . . . . . . 1.4 Opérations sur les vecteurs . . 1.5 Vecteurs et points particuliers

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. . . . . .

128 129 129 129 132 134 137

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139 140 140 144 148 151 158

2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

160 164

Trigonométrie 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nombres trigonométriques . . . . . 1.3 Règle des sinus et Règle des cosinus 1.4 Equations trigonométriques . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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168 169 169 172 178 181 184 190

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196 197 197 198 201 204 211 218 223

Fonctions 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . 1.2 Représentation graphique . 1.3 Propriétés . . . . . . . . . 1.4 Fonctions élémentaires . . . 1.5 Opérations sur les fonctions 2 Exemples détaillés . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . .

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Bibliographie

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224

Chapitre 1

Ensembles Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . (a) Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . (b) Opérations entre ensembles . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . (a) Des entiers naturels aux réels . . . . . . . . . (b) Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . (c) Infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e) Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 7 8 8 9 11 11 12 13 15

Théorie

1.1

Théorie des ensembles

(a) Définitions et propriétés

Définition 1.1 Un ensemble est une collection d’objets qui sont ses éléments. On adopte souvent (mais pas obligatoirement) des lettres majuscules pour désigner les ensembles et des lettres minuscules pour désigner les éléments. Définition 1.2 (Relation d’appartenance) Si a est un élément de l’ensemble A, on dit que a appartient à A et on écrit a ∈ A. Si b n’est pas un élément de A, on dit que b n’appartient pas à A et on écrit b∈ / A. La théorie des ensembles est en fait une théorie de cette relation d’appartenance. D’où l’importance de décrire avec précision un ensemble, de sorte qu’il n’y ait aucune ambiguïté sur l’appartenance ou la non appartenance d’un objet à cet ensemble. Description d’un ensemble – Il y a essentiellement deux manières de décrire un ensemble : en extension et en compréhension. • en extension : la manière la plus simple de décrire un ensemble est de citer ses éléments. Ceux-ci sont écrits entre deux accolades et séparés les uns des autres par des virgules. L’ordre dans lequel ils figurent n’a pas d’importance. ⋆ Par exemple, l’ensemble A constitué des lettres a, b, c et d s’écrit A = {a, b, c, d}. • en compréhension : si un ensemble comporte un grand nombre d’éléments, il est impossible de les énumérer et il faut dès lors recourir à une description sous forme de critère d’appartenance. Dans une telle situation, il est important de spécifier quel est l’ensemble initial, dit ensemble universel ou ensemble de référence, d’où proviennent les éléments. ⋆ Par exemple, l’ensemble des nombres x qui vérifient le critère x > 5 est différent selon que l’on admet pour x d’être entier ou rationnel : A = {x : x entier et x > 5}, ainsi,

26 5

B = {x : x rationnel et x > 5}, est un élément de B et n’est pas un élément de A.

Ensembles particuliers • l’ensemble vide qui, par définition, ne contient aucun élément. On le note ∅. Ainsi, un ensemble défini par une proposition contradictoire est égal à l’ensemble vide. ⋆ Par exemple A = x : x ∈ R et x2 + 1 = 0 = ∅. • un ensemble qui n’a qu’un élément s’appelle un singleton. C’est le cas de l’ensemble A = {a} 5

car il n’y a qu’un objet, à savoir a, pour lequel on puisse écrire a ∈ A. Définition 1.3 (Relation d’inclusion) Si tous les éléments d’un ensemble A sont aussi les éléments d’un ensemble B (supposé non vide), on dit que A est inclus dans B et on écrit A ⊆ B. On dit aussi que A est un sous-ensemble de B ou que A est une partie de B. Par définition, on peut écrire A ⊆ B ⇐⇒ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B). ⋆ Par exemple, si A est l’ensemble des chiffres du système décimal et si B est l’ensemble des nombres pairs compris entre 2 et 8, on a A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

B = {2, 4, 6, 8}

et la relation B ⊆ A. On vérifie sans peine que tout ensemble est inclus dans lui-même. Quel que soit l’ensemble A, on peut écrire A ⊆ A. Une partie B de A qui serait distincte de A est appelée un sous-ensemble propre de A et on écrit une relation d’inclusion stricte B ⊂ A. L’égalité entre deux ensembles A = B est réalisée s’ils ont exactement les mêmes éléments. Cette propriété est établie dès lors que l’on a vérifié qu’à la fois A ⊆ B et B ⊆ A. C’est ainsi que démontrer l’égalité entre deux ensembles requiert souvent la démonstration de ces deux inclusions séparément. √

Remarque : Il est important de bien saisir ce que représente la négation de l’inclusion : dès qu’au moins un élément de A n’est pas élément de B alors A n’est pas inclus dans B, ou de manière équivalente A 6⊆ B ⇐⇒ (∃x) (x ∈ A et x 6∈ B).

⋆ Par exemple, l’ensemble A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10} n’est pas un sous-ensemble de l’ensemble B des nombres pairs car A contient au moins un élément, par exemple 7, tel que 7 ∈ A et 7 ∈ / B.

√

Remarque : La relation d’appartenance est une relation qui lie un ensemble à ses éléments. La relation d’inclusion est une relation qui lie deux ensembles. Ainsi, il n’y a pas de sens à écrire 3 ⊂ A ou encore A ∈ B si A et B sont des ensembles. Définition 1.4 (Complément d’un ensemble) Si d’un ensemble de référence U , on extrait certains éléments pour former l’ensemble A, on détermine en même temps l’ensemble complémentaire de A par rapport à U , noté A. Cet ensemble A est constitué des éléments de U qui n’ont pas été repris dans A, A = {x : x ∈ U et x 6∈ A}. En particulier, ∅ = U, U = ∅ et A = A.

(b) Opérations entre ensembles Effectuer des opérations sur deux ou plusieurs ensembles donnés permet d’en obtenir d’autres. Les principales opérations sont l’union, l’intersection et la différence.

Union et intersection d’ensembles

Définition 1.5 L’union de deux ensembles A et B, notée A ∪ B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un de ces ensembles A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B}. ⋆ Par exemple {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}, {1, 2, } ∪ ∅ = {1, 2}. Définition 1.6 L’intersection de deux ensembles A et B, notée A∩B, est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B A ∩ B = {x : x ∈ A et x ∈ B}. ⋆ Par exemple {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3}, {1, 2, 3} ∩ ∅ = ∅. Définition 1.7 Si deux ensembles n’ont aucun élément en commun, on dit qu’ils sont disjoints A ∩ B = ∅. ⋆ Par exemple {1, 2} ∩ {3, 4, 5} = ∅. Les lois de Morgan nous disent que le complément d’une intersection est la réunion des compléments et le complément d’une union est l’intersection des compléments :

Lois de Morgan :

A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Différence d’ensembles

Définition 1.8 On emploie la notation A \ B pour désigner l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B A \ B = {x : x ∈ A et x ∈ / B}. Il est clair que A \ B = A ∩ B. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Produit cartésien

Définition 1.9 Le produit cartésien de deux ensembles A et B est déﬁni par A × B = {(x, y) : x ∈ A et y ∈ B}. C’est l’ensemble des couples ordonnés (x, y) que l’on peut former en prenant x dans A et y dans B. La notation × provient de ce que si A a 3 éléments et si B en a 2, l’ensemble A × B en aura 3 × 2 = 6. ⋆ Par exemple, si A = {1, 2, 3} et B = {c, d}, alors A × B = {(1, c), (1, d), (2, c), (2, d), (3, c), (3, d)} . Lorsque A = B = R, le produit cartésien de A par B est A × B = R × R = R2 = {(x, y) : x ∈ R et y ∈ R}. Vocabulaire et notations : • {a1 , a2 , · · · , an } représente l’ensemble constitué des n éléments a1 , a2 · · · an . Tous ces éléments sont distincts. L’ordre dans lequel ils sont cités n’est pas important. Dans le cas particulier où l’ensemble contient deux éléments, on parlera de paire {a, b}. Si l’ensemble ne contient qu’un seul élément, on parlera de singleton {a}. • (a1 , a2 , · · · , an ) représente le n-uple formé des n éléments a1 , a2 · · · an . Ces éléments ne sont pas nécessairement distincts et sont considérés dans l’ordre indiqué. Dans le cas particulier où le n-uple contient deux éléments, on parlera de couple (a, b). Le couple (a, b) est différent du couple (b, a) (pour a différent de b). Si le n-uple contient trois éléments, on parlera de triple (a, b, c). • a1 , a2 , · · · représente la suite (an )n . Cette suite est constituée d’une infinité d’éléments, pas nécessairement distincts et considérés dans l’ordre indiqué.

1.2

Ensembles de nombres

(a) Des entiers naturels aux réels Les nombres les plus familiers sont ceux qui servent à compter : 0, 1, 2, 3, . . . (cette suite de nombres ne s’arrête jamais). Ils s’appellent entiers naturels. Ils sont entiers et positifs et leur ensemble est représenté par N N = {0, 1, 2, 3, . . .}.

Définition 1.10 Un nombre premier est un nombre entier naturel qui n’est divisible que par 1 et par lui-même. ⋆ Par exemple, les nombres 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . sont des nombres premiers. Il existe aussi des nombres entiers négatifs comme −1, −2, −3, . . .. L’ensemble des nombres entiers, désigné par Z, se compose des entiers positifs, des entiers négatifs et de l’entier nul 0 Z = {. . . , −2, −3, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}. La somme et le produit de deux nombres entiers sont des nombres entiers. 2 A côté des entiers, il y a aussi les nombres rationnels tels que 12 , 43 , 22 7 , − 3 , . . ., qui peuvent s’écrire p comme le quotient q de deux entiers p et q où q 6= 0. Cet ensemble des nombres rationnels est noté Q. Un nombre rationnel admet une infinité de représentations car

1 2 4 33 = = = = ... 3 6 12 99 Cependant, un nombre rationnel est généralement noté sous la forme pq dite irréductible, c’est-à-dire que p et q sont premiers entre eux (n’ont pas de facteur commun autre que 1). La division de p par q donne du nombre rationnel pq son expression décimale. Cette expression comporte un nombre fini de décimales comme 1 = 0, 125 8 (c’est le cas lorsque le dénominateur de la fraction ne renferme pas d’autres facteurs premiers que 2 et 5) ou un nombre infini mais périodique de décimales comme 91 = 0, 8 27 27 27 . . . 110 Inversément, on peut montrer qu’un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d’un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Il est clair qu’un nombre entier est un nombre rationnel car il peut être mis sous forme d’une fraction (par exemple 4 = 41 = 28 ) ou sous forme décimale périodique (par exemple 1 = 0, 999999 . . .). Enfin, les nombres dont la suite des chiffres décimaux est illimitée et non périodique sont appelés irrationnels : on entend par là qu’ils n’appartiennent pas à l’ensemble Q car √ il est démontré qu’ils √ ne peuvent s’écrire √ comme le quotient de deux entiers. Tels sont par exemple 2 = 1, 41421356 . . . , 3 = 1, 73205080 . . . , 5 = 2, 23606797 . . . , π = 3, 14159265 . . . , e = 2, 7182818285 . . .. Cet ensemble de nombres (qui n’est pas désigné par un symbole particulier) joint à l’ensemble des rationnels constitue l’ensemble des nombres réels, noté R. Ces quatre ensembles de nombres sont liés par les inclusions N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. (b) Les nombres réels Il est habituel de représenter un nombre réel par un point de la droite, appelée droite réelle. Sur cette droite, les nombres positifs figurent à droite du point associé à 0, appelé origine, et les négatifs à gauche de ce point.

Addition et multiplication L’ensemble R est doté de deux lois, l’addition “+” et la multiplication “.” qui le munissent d’une structure de corps commutatif. Cela signifie que les propriétes suivantes sont satisfaites. • Associativité. Pour tout x1 , x2 , x3 ∈ R, on peut écrire x1 + (x2 + x3 ) = (x1 + x2 ) + x3 , x1 · (x2 · x3 ) = (x1 · x2 ) · x3 . Lorsque l’on écrit par exemple x1 + x2 + x3 , la notation est a priori ambigüe car on ne sait pas si elle signifie x1 + (x2 + x3 ) ou (x1 + x2 ) + x3 . Mais pour une loi associative, cette ambiguïté n’a pas d’importance car, dans les deux cas, le résultat est le même. • Éléments neutres. Pour tout x ∈ R, on a x + 0 = 0 + x = x, x.1 = 1.x = x. • Inverses. Pour tout x ∈ R, il existe y ∈ R tel que x + y = y + x = 0, on note y = −x ; pour tout x ∈ R \ {0}, il existe y ∈ R tel que x.y = y.x = 1, on note y = 1/x.

• Commutativité. Pour tout x1 , x2 ∈ R, on a

x1 + x2 = x2 + x1 , x1 · x2 = x2 · x1 . • Distributivité. Pour tout x1 , x2 , x3 ∈ R, on a x1 · (x2 + x3 ) = (x1 · x2 ) + (x1 · x3 ), (x1 + x2 ) · x3 = (x1 · x3 ) + (x2 · x3 ). L’ordre L’ensemble R est muni d’une relation x ≤ y qui vérifie les propriétés suivantes.

• Structure d’ordre. La relation est réﬂexive : pour tout x ∈ R, x ≤ x ; elle est transitive : pour tout x, y et z ∈ R, (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z ; elle est antisymétrique : si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y. • L’ordre est total. Pour tout x et y ∈ R, on a x ≤ y ou y ≤ x.

√

• L’ordre est compatible avec l’addition et la multiplication. Pour tout x, y et z ∈ R, x ≤ y implique x + z ≤ y + z ; pour tout x, y, z ∈ R, si x ≤ y et 0 ≤ z alors x.z ≤ y.z. Remarque : On notera indifféremment x ≤ y ou y ≥ x. De même, on utilise les notations x < y pour signifier x ≤ y et x 6= y et x > y pour signifier x ≥ y et x 6= y. Notations Nous utiliserons les notations suivantes : R0 est l’ensemble des réels non nuls ; R+ 0 est l’ensemble des réels positifs, non nuls ; R+ est l’ensemble des réels positifs ou nuls ; R− 0 est l’ensemble des réels négatifs, non nuls ; R− est l’ensemble des réels négatifs ou nuls ; N0 est l’ensemble des entiers positifs, non nuls.

(c) Infinis Un des actes des plus familiers est celui de compter. Considérons l’ensemble {a, b, c, d} constitué des lettres a, b, c et d. Compter, c’est établir une correspondance entre ces éléments et le début de la suite des entiers. Par exemple, on associe a à 1, b à 2, c à 3 et d à 4, et on dit que l’ensemble contient 4 éléments. Il y a plus simple que le comptage : la comparaison, la mise en correspondance des éléments de deux ensembles. Considérons deux ensembles {a, b, c, d} et {x, y, z, w}. On peut faire se correspondre les éléments de ces deux ensembles “un à un”. Par exemple, on associe a à w, b à x, c à z et d à y. De cette manière, chaque élément du premier ensemble a un et un seul correspondant dans le second ensemble, et réciproquement. On dit de cette correspondance qu’elle est bijective. On dit que deux ensembles A et B sont les “mêmes arithmétiquement” (c’est-à-dire qu’ils ont le même nombre d’éléments) s’il existe une correspondance bijective entre ces deux ensembles. Pour des ensembles finis, on peut toujours compter le nombre d’éléments de chaque ensemble (compter c’est créer une correspondance bijective avec une partie des entiers naturels). Pour des ensembles infinis, on n’a plus qu’un seul moyen de savoir si deux ensembles ont le même nombre d’éléments : établir une correspondance bijective entre eux. Par exemple, il y a le même nombre d’entiers naturels pairs que d’entiers naturels : à chaque naturels, on peut faire correspondre son double et à chaque naturel pair on peut faire correspondre sa moitié. On obtient ainsi la correspondance bijective voulue. Il y a autant de nombre pairs que de naturels et il y a autant de nombres impairs que de nombres pairs, et donc que d’entiers... Un ensemble qui est en correspondance avec l’ensemble des entiers naturels est dit dénombrable. On peut voir qu’il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Cependant, tous les ensembles infinis ne sont pas dénombrables. Par exemple, l’ensemble [0; 1] de tous les nombres réels entre 0 et 1 est infini, mais il n’est pas dénombrable. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. (d) Intervalles L’ensemble des nombres réels situés entre deux nombres a et b donnés, avec a < b, constitue un intervalle . On distingue trois types d’intervalles : • l’intervalle ouvert ] a, b [ auquel les points a et b, appelés extrémités, n’appartiennent pas. Il est défini par ] a, b [= {x : x ∈ R tels que a < x < b}. • l’intervalle fermé [ a, b ] auquel les points a et b appartiennent. Il est défini par [ a, b ] = {x : x ∈ R tels que a ≤ x ≤ b}. • l’intervalle semi-ouvert à droite [ a, b [ ou l’intervalle semi-ouvert à gauche ] a, b ] définis par [ a, b [= {x : x ∈ R tels que a ≤ x < b}, ] a, b ] = {x : x ∈ R tels que a < x ≤ b}. La longueur de ces intervalles est b − a. Les intervalles peuvent être infinis et on adopte alors les notations [ a, +∞[ = {x : x ∈ R tels que a ≤ x}, ] a, +∞[ = {x : x ∈ R tels que a < x},

] − ∞, a] = {x : x ∈ R tels que x ≤ a}, ] − ∞, a[ = {x : x ∈ R tels que x < a}, ] − ∞, +∞[ = {x : x ∈ R} = R. Les symboles +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels et ne satisfont donc pas les règles habituelles du calcul algébrique. Ils sont introduits essentiellement pour faciliter les notations. (e) Valeur approchée Soit a, b et x ∈ R. Les nombres a et b encadrent x si a < x < b. La précision de cet encadrement est donnée par un nombre réel positif. Définition 1.11 Soit a, b, x ∈ R et ε > 0. Si a < x < b et b − a = ε, on dit que a est une valeur approchée par défaut de x à ε près et que b est une valeur approchée par excès de x à ε près. Autrement dit, le nombre a est une valeur approchée par défaut de x à ε près si a < x < a + ε, c’est-à-dire que x ∈ ]a, a + ε[ . De même le nombre b est une valeur approchée par excès de x à ε près si b − ε < x < b, c’est-à-dire que x ∈ ]b − ε, b[ .

Exemples détaillés 1. Soit A = {x : 2x = 6} et soit b = 3. Est-ce que A = b ?

Solution détaillée : Non car A = {3} est un ensemble, tandis que b = 3 est un nombre réel.

2. Démontrer que l’ensemble A = {2, 3, 4, 5} n’est pas un sous-ensemble de l’ensemble B = {x : x est un nombre impair}. Solution détaillée : Ecrivons A et B en extension. On obtient A = {2, 3, 4, 5} et B = {1, 3, 5, 7, 9, . . .}. Donc A 6⊂ B car il existe x tel que x ∈ A et x 6∈ B. Par exemple 2 ∈ A et 2 6∈ B.

3. Démontrer que (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C). Solution détaillée : On peut écrire

(A ∪ B) \ C = {x : (x ∈ A ou x ∈ B) et x 6∈ C}, = {x : (x ∈ A et x 6∈ C) ou (x ∈ B et x 6∈ C)}, = {x : x ∈ A et x 6∈ C} ∪ {x : x ∈ B et x 6∈ C}, = (A \ C) ∪ (B \ C).

4. Soient les ensembles A = {1, 2, 3} et B = {0, 5}. Ecrire en extension A × B.

Solution détaillée : L’ensemble A × B est formé de tous les couples dont le premier élément est dans A et le deuxième élément est dans B. On a donc A × B = {(1, 0), (1, 5), (2, 0), (2, 5), (3, 0), (3, 5)}.

5. Ecrire la fraction

5 4

sous forme décimale.

Solution détaillée : On a

5 4

=1+

1 4

=1+

25 100

= 1, 25.

6. Ecrire la fraction − 92 sous forme décimale.

Solution détaillée : En faisant la division euclidienne, on obtient − 92 = −0, 22222 . . .

7. Ecrire le nombre 3, 21 sous forme de fraction. Solution détaillée : On peut écrire 3, 21 =

321 100

et cette fraction est irréductible.

8. Ecrire le nombre 2, 21134134134 . . . sous forme de fraction. Solution détaillée : Soit x = 2, 21134134134 . . . On a 100x = 221, 134134134 . . . et 100000x = 221134, 134134 . . . En soustrayant ces deux quantités, on obtient (100000 − 100)x = 220913, c’est-à-dire 99900x = 220913 et donc x = 220913 99900 .

9. Encadrer π au millième près. Solution détaillée : On a π = 3, 1415 . . . Le millième correspond au troisième chiffre après la virgule. On prend donc a = 3, 141 et b = 3, 142 et on obtient bien a < π < b avec b − a = 0, 001 = 10−3 .

10. Donner une valeur approchée par défaut de

22 7

au centième près.

Solution détaillée : Par division euclidienne, on a 22 7 = 3, 1428 . . . Le centième correspond au deuxième chiffre après la virgule. −2 On prend donc a = 3, 14 et b = 3, 15 et on obtient bien a < 22 . 7 < b avec b − a = 0, 01 = 10 22 Une valeur approchée par défaut de 7 est donc a = 3, 14.

11. A l’université sont organisés des cours libres d’anglais, d’économie et de statistique. Sachant que 122 étudiants suivent le cours d’anglais, 81 celui d’économie, 14 celui de statistique, 10 ceux d’anglais et d’économie, 6 ceux d’anglais et de statistique, 11 ceux de statistique et d’économie et enfin, 4 étudiants suivent les 3 cours, combien d’étudiants suivent le seul cours de statistique ? Solution détaillée : Soit A l’ensemble des étudiants du cours d’anglais, E celui des étudiants du cours d’économie et S celui des étudiants de statistique. A partir de l’énoncé, on peut construire le diagramme suivant :

E A

6 122

81 4 2

On en déduit que 14 − 2 − 4 − 7 = 1 seul étudiant suit seulement le cours de statistique.

Preuves

Preuve 1 Lois de Morgan :

A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B.

On a A ∩ B = {x : x ∈ A et x ∈ B} et donc

A ∩ B = {x : x ∈ U et x 6∈ (A ∩ B)}, = {x : x ∈ U et (x 6∈ A ou x 6∈ B)}.

D’autre part, A ∪ B = {x : x ∈ U et x 6∈ A} ∪ {x : x ∈ U et x 6∈ B}, = {x : x ∈ U et (x 6∈ A ou x 6∈ B)}, = A ∩ B. De même, on a A ∪ B = {x : x ∈ A ou x ∈ B} et donc

A ∪ B = {x : x ∈ U et x 6∈ (A ∪ B)}, = {x : x ∈ U et (x 6∈ A et x 6∈ B)}.

D’autre part, A ∩ B = {x : x ∈ U et x 6∈ A} ∩ {x : x ∈ U et x 6∈ B}, = {x : x ∈ U et (x 6∈ A et x 6∈ B)}, = A ∪ B. Retour au texte

Preuve 2 A\B =A∩B Par définition, on a A \ B = {x : x ∈ A et x 6∈ B}. Par ailleurs, on a aussi A ∩ B = {x : x ∈ A et x 6∈ B} et donc A \ B = A ∩ B. Retour au texte

Preuve 3 Un nombre décimal périodique (dont tous les chiffres décimaux ne sont pas des 9 à partir d’un certain rang) est engendré par la division de deux entiers, il est donc un nombre rationnel. La démonstration consiste à observer qu’un nombre décimal périodique simple (sa période commence immédiatement après la virgule) dont la partie entière est nulle est engendré par une fraction dont le numérateur est la période et dont le dénominateur est formé d’autant de 9 qu’il y a de chiffres 375 . En effet : si x = dans la période. Par exemple, 0, 375 375 375 . . . est engendré par la fraction 999 0, 375 375 375 . . ., alors 1000x = 375, 375 375 375 . . . = 375 + 0, 375 375 375 . . . = 375 + x d’où 999x = 375.

Retour au texte

Preuve 4 L’ensemble Q est dénombrable, c’est-à-dire qu’il y a le même nombre de fractions que de nombres entiers naturels. Considérons le schéma suivant qui suggère un rangement des fractions en un tableau comportant une infinité de lignes et une infinité de colonnes : 1/1

1/2

1/3

1/4

...

2/1

2/2

2/3

2/4

...

3/1

3/2

3/3

3/4

...

4/1

4/2

4/3

4/4

...

.. .

L’idée d’une correspondance bijective entre l’ensemble des fractions et l’ensemble des naturels est de suivre le tableau des fractions “en diagonale” en prenant la suite : 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, . . . On a bien une numérotation des fractions par les entiers naturels. On peut voir ainsi que les nombres rationnels peuvent être numérotés, qu’il y en a donc une infinité dénombrable. Retour au texte

Preuve 5 L’ensemble [0, 1] de tous les nombres réels entre 0 et 1 n’est pas dénombrable.

Considérons l’ensemble [0, 1] de tous les nombres (rationnels ou irrationnels) entre 0 et 1 écrits en notation décimale illimitée. Par exemple 1/3 s’écrit 0, 33333 . . ., 1/4 s’écrit 0, 250000 . . ., π − 3 s’écrit 0, 14159 . . .. Montrons que cet ensemble n’est pas dénombrable. On va raisonner par l’absurde : prenons une soi-disant bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble [0, 1] et montrons qu’on arrive à une contradiction. Supposons donc qu’il y ait une telle bijection. Il y aurait un premier nombre que l’on va écrire sous forme décimale : x1 = 0, a11 a21 a31 a41 . . . (a11 est la première décimale du premier nombre, a21 la deuxième décimale ; la ne décimale est notée an1 ). Le deuxième nombre s’écrit : x2 = 0, a12 a22 a32 a42 . . . Le ke nombre s’écrit : xk = 0, a1k a2k a3k a4k . . . Et on continue indéfiniment. Cette soi-disant bijection doit reprendre tous les nombres de [0, 1]. Montrons que ce n’est pas le cas. En effet, on peut construire très facilement un nombre y de [0, 1] qui n’est pas repris dans l’énumération de la soi-disant bijection. Prenons le nombre y = 0, b1 b2 b3 b4 . . . dont : 1. la première décimale b1 n’est pas la première décimale a11 de x1 (on est donc sûr que y n’est pas x1 ) ; 2. la deuxième décimale b2 n’est pas la deuxième décimale a22 de x2 (on est donc sûr que y n’est pas x2 ) ; 3. la troisième décimale b3 n’est pas la troisième décimale a33 de x3 (on est donc sûr que y n’est pas x3 ) 4. et ainsi de suite . . . 5. la ke décimale bk n’est pas la ke décimale akk de xk (on est donc sûr que y n’est pas xk ) 6. . . . Donc y n’est pas dans notre liste car pour tout k il diffère du ke nombre de la liste au moins par sa ke décimale. Quelle que soit la liste, énumérée par les entiers, il y a beaucoup de nombres qui ne sont pas dans la liste. L’ensemble [0, 1] n’est pas dénombrable. Retour au texte

Chapitre 2

Logique Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . (a) Négation d’une proposition : ¬p . . . . . . . (b) Conjonction de deux propositions : p ∧ q . . (c) Disjonction de deux propositions : p ∨ q . . . (d) Proposition conditionnelle : p ⇒ q . . . . . . (e) Proposition biconditionnelle : p ⇔ q . . . . . 1.3 Tautologie ou loi logique . . . . . . . . . . . . . 1.4 Quantificateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . (a) Quantificateurs universel et existentiel . . . . (b) Ordre des quantificateurs . . . . . . . . . . . (c) Négation des quantificateurs . . . . . . . . . 1.5 Réciproque et contraposée . . . . . . . . . . . . 1.6 Théorèmes et méthodes de démonstration . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 20 20 21 21 22 22 23 23 23 23 24 24 25 28 31

Théorie

1.1

Propositions

Définition 2.1 Une proposition est un énoncé simple susceptible d’être vrai ou faux. Sont exclus des énoncés agrammaticaux, ainsi que les énoncés dénués de sens. Le sont également les énoncés exclamatifs comme “Ciel mon mari !”, les énoncés interrogatifs comme “Quelle heure est-il ?”, impératifs comme “Donne-moi la main.”, de même que les énoncés auto-référentiels comme “Je mens.”. Pour les premiers, la question qu’ils soient vrais ou faux n’a pas de sens, pour les derniers la question conduit à des paradoxes. C’est ainsi que “Cette phrase a cinq mots.” est un énoncé vrai, mais l’énoncé contraire “Cette phrase n’a pas cinq mots.” est également vrai. Des énoncés affirmatifs comme “2+ 3 = 5”, “Il pleut”, “16 est le carré de 3”,. . . ont la propriété d’être soit vrais, soit faux mais jamais les deux à la fois. On les appelle des propositions. La valeur, vraie (V) ou fausse (F), d’une proposition sera appelée valeur de vérité de la proposition. On se permettra l’abus de langage de dire qu’une proposition est vraie pour “la valeur de vérité de la proposition est vraie”. Le caractère simple d’un énoncé tient à ce qu’il ne puisse pas se décomposer en plusieurs énoncés. ⋆ Par exemple la proposition “Pierre est philosophe et mathématicien” est composée des deux propositions “Pierre est philosophe”, “Pierre est mathématicien” reliées par un “et”. Définition 2.2 Une proposition composée est une proposition construite à partir de propositions simples reliées par des connecteurs logiques. ⋆ Par exemple, les propositions “Il fait beau et 4 + 1 = 5”, “S’il pleut alors je prendrai mon parapluie” et “Pierre est philosophe et mathématicien” sont des propositions composées. Dans la suite on sera souvent amené a faire référence à des propositions sans les préciser. On les désignera alors par des symboles comme p, q, r, . . .

1.2

Connecteurs logiques

L’opération qui consiste à relier les propositions “Pierre est philosophe” et “Pierre est mathématicien” par la conjonction “et” pour obtenir la proposition composée “Pierre est philosophe et mathématicien” est une opération logique binaire dont l’opérateur logique est la conjonction “et”. On parle d’opération binaire parce qu’elle porte sur deux opérandes. On considère également une opération logique unaire qui porte sur un opérande. On utilisera une notation des opérations logiques semblable à la notation habituelle des opérations algébriques sur des nombres. D’autres notations sont possibles. Chaque opération est décrite complètement si on donne la valeur de vérité du résultat pour toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité des opérandes. Une table reprenant les différentes combinaisons de valeurs de vérité des opérandes, à raison d’une par ligne, et dans une colonne le résultat correspondant est une présentation commode de l’opération. C’est la table de vérité de l’opération. Elle présente deux lignes dans le cas d’une opération unaire, 4 dans le cas d’une opération binaire. (a) Négation d’une proposition : ¬p La négation d’une proposition p est une proposition prenant la valeur de vérité opposée à celle de p. On dira “non p” et on écrira ¬p. Si p représente la proposition “vous savez”, ¬p représente “non (vous savez)”, ou encore “vous ne savez pas” ou “vous ignorez”.

Les valeurs de vérité de ¬p en fonction de celles de p sont représentées dans la table de vérité ci-dessous. ¬p F V

p V F

On vérifie que la négation de la négation d’une proposition est cette proposition elle-même. On en retiendra que dans le langage courant, un nombre impair de négations équivaut à une négation. (b) Conjonction de deux propositions : p ∧ q Deux propositions reliées par le mot “et” forment une proposition composée appelée la conjonction des deux propositions. On dira “p et q” et on écrira p ∧ q.

Les valeurs de vérité de p ∧ q en fonction de celles de p et q sont données dans la table de vérité ci-dessous. p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

On observe que p ∧ q n’est vraie que lorsque les deux propositions sont vraies, autrement dit il suffit que l’une des deux propositions soit fausse pour que leur conjonction soit fausse. Cette opération est commutative. √

Remarque : La forme du symbole ∧ rappelle celle du symbole ∩ qui désigne l’intersection. Ceci n’est pas un hasard : x ∈ A ∩ B signifique que x ∈ A et x ∈ B. (c) Disjonction de deux propositions : p ∨ q Deux propositions reliées par le mot “ou” (au sens non exclusif du langage courant, c’est-à-dire au sens et/ou), forment une proposition composée appelée la disjonction des deux propositions. On dira “p ou q” et on écrira p ∨ q. Les valeurs de vérité de p ∨ q sont données dans la table ci-dessous. p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

On observe que p ∨ q n’est fausse que lorsque les deux propositions le sont, autrement dit il suffit que l’une des deux propositions soit vraie pour que leur disjonction soit vraie. La disjonction est une opération commutative. √

√

Remarque : Le “ou” des mathématicien est un “ou” inclusif : p ∨ q sera vraie lorsque p et q sont vraies toutes les deux. Dans le langage courant le “ou” est ambigu. Quand on dit “Pierre boit un coca ou regarde la télévision”, on n’exclut pas la situation où “Pierre boit un coca et regarde la télévision”. Par contre quand on lit “fromage ou dessert” dans le menu d’un restaurant, on sait que c’est soit l’un, soit l’autre, mais pas les deux. Pour éviter toute ambiguïté on devrait dire “soit. . ., soit. . .”. Remarque : La forme du symbole ∨ rappelle celle du symbole ∪ qui désigne l’union. Ceci n’est pas un hasard : x ∈ A ∪ B signifique que x ∈ A ou x ∈ B. 21

(d) Proposition conditionnelle : p ⇒ q La proposition p ⇒ q se lit “si p alors q”, ou “p implique q”, ou “il suffit que p pour que q”, ou “p est une condition suffisante pour q”. Dans p ⇒ q, p est l’antécédent de l’implication et q le conséquent de l’implication. On peut envisager une série de situations correspondant à un énoncé “si . . . alors . . . ” : • pour indiquer une relation logique où le conséquent découle logiquement de l’antécédent : “Si ¬(¬p) a la même valeur de vérité que p alors p peut remplacer ¬(¬p)”, • pour indiquer une relation causale : “Si Pierre lache ce caillou alors il va tomber sur mon pied”, • pour indiquer qu’une certaine décision est prise par celui qui prononce la phrase si l’antécédent est vrai : “Si Pierre lache le caillou alors je lui flanque mon poing à la figure”, • pour signifier une implication définitionnelle. Le conséquent résulte de l’antécédent de par la définition de ce dernier (résulte d’une relation définitionnelle entre antécédent et conséquent) : “Si Pierre conduit une Golf, alors Pierre conduit une voiture”, • pour signifier l’implication purement matérielle sans qu’il y ait relation logique, causale ou définitionnelle entre antécédent et conséquent ; on utilise une telle expression pour manifester son point de vue de manière sarcastique : “Si Pierre a 20/20 au test de mathématiques alors je chante comme la Callas”. Le conséquent est manifestement faux, l’orateur veut ainsi insister sur le caractère faux de l’antécédent. Les valeurs de vérité de p ⇒ q sont données dans la table de vérité ci-dessous. p V V F F

q V F V F

p⇒q V F V V

On observe que p ⇒ q est fausse seulement dans le cas où p est vraie et q fausse. Pour vérifier que p ⇒ q est vraie, il suffira donc d’envisager le cas où p est vraie et de vérifier que q l’est aussi. (e) Proposition biconditionnelle : p ⇔ q La proposition p ⇔ q, obtenue par l’opération logique appelée équivalence ou bi-implication, peut se formuler comme : “p si et seulement si q”, ou “q si et seulement si p”, ou “p est équivalent à q”, ou “p est une condition nécessaire et suffisante pour q”, ou “si p alors q et réciproquement”. En écrivant p ⇔ q on met p et q mutuellement sous condition. Les valeurs de vérité de cette proposition sont données dans la table de vérité ci-dessous. p V V F F

q V F V F

p⇔q V F F V

On observe que p ⇔ q est vraie seulement dans le cas où p et q ont la même valeur de vérité. 22

1.3

Tautologie ou loi logique

Définition 2.3 Une tautologie (ou loi logique) est une proposition composée qui est vraie quelles que soient les valeurs de vérité des propostions simples qui la composent. ⋆ Par exemple, les propositions ¬(¬p) ⇔ p ¬(p ∧ ¬p) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) sont des tautologies. Pour démontrer qu’une proposition composée est une tautologie, on construit sa table de vérité et on constate que la dernière colonne est formée uniquement de V . Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve que les propositions ci-dessus sont des tautologies.

1.4

Quantificateurs logiques

Les connecteurs logiques ne sont pas les seuls “petits mots” importants dans les textes mathématiques : il ne faut pas oublier les quantificateurs “∀” et “∃”. (a) Quantificateurs universel et existentiel “∀” est le quantificateur universel qui signifie “pour tout”, tandis que “∃” est le quantificateur existentiel qui signifie “il existe (au moins un)”. ⋆ Par exemple, la formule ∀x : x + 1 > 0 signifie que pour tout objet x, on a x + 1 > 0, ou encore que quelle que soit la valeur prise par x, on a x + 1 > 0. D’autre part, la formule ∃ x : x + 30 < 15 signifie qu’il existe au moins une valeur de x telle que x + 30 < 15. Pour pouvoir déterminer si ces formules sont vraies ou fausses, il faut fixer l’univers du discours, c’est-à-dire préciser quel est l’ensemble des valeurs possibles de la variable quantifiée. Ainsi, la formule ∃ x : x + 30 < 15 est vraie si l’ensemble des valeurs permises pour x est R ou Z, mais elle est fausse si cet ensemble est N. (b) Ordre des quantificateurs Lorsqu’on manipule des affirmations avec quantificateurs, il importe de veiller à ne pas permuter l’ordre des quantificateurs. ⋆ Par exemple, l’affirmation suivante signifie que tout nombre réel a un opposé : ∀x ∈ R, ∃ y ∈ R : x + y = 0.

Cette affirmation est bien vraie dans R (il suffit que y = −x ; ces y diffèrent donc suivant x). Par contre l’affirmation ∃ y ∈ R, ∀x ∈ R : x + y = 0 est fausse. Elle signifie en effet qu’il existerait un nombre réel y qui serait un absorbant pour l’addition : ajouté à n’importe quel nombre réel x, il donnerait toujours une somme égale à zéro. Un tel nombre réel y n’existe pas. On peut cependant permuter l’ordre des quantificateurs si ceux-ci sont identiques et l’un à côté de l’autre. ⋆ Par exemple, l’affirmation ∀n ∈ N, ∀m ∈ N : n 6= 0 ⇒ n + m > m est équivalente à l’affirmation ∀m ∈ N, ∀n ∈ N : n 6= 0 ⇒ n + m > m. (c) Négation des quantificateurs La négation du quantificateur universel est le quantificateur existentiel et la négation du quantificateur existentiel est le quantificateur universel. Ainsi, pour nier une proposition contenant des quantificateurs, on nie les quantificateurs et on nie l’affirmation qui les suit : la négation de la négation de

1.5

“∃ x : P (x)” “∀x : P (x)”

est est

“∀x : ¬P (x)” “∃ x : ¬P (x)”

Réciproque et contraposée

Dans les ouvrages mathématiques, on rencontre souvent les mots “réciproque” et “contraposée”, qui sont en rapport avec l’implication. La réciproque de (p ⇒ q) est (q ⇒ p). On renverse donc le sens de l’implication pour obtenir la réciproque. Un énoncé n’est pas équivalent à sa réciproque. ⋆ Par exemple l’implication x∈N⇒x∈R est vraie, mais sa réciproque x∈R⇒x∈N est fausse. La réciproque de p ⇒ q n’est pas non plus équivalente à la négation de p ⇒ q. Il suffit de comparer les tables de vérité de q ⇒ p et ¬(p ⇒ q) pour s’en convaincre. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici. La contraposée de (p ⇒ q) est (¬q ⇒ ¬p). On nie les affirmations p et q et on renverse le sens de l’implication pour obtenir la contraposée. Un énoncé est équivalent à sa contraposée. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder les tables de vérité ici. ⋆ Par exemple, l’affirmation “S’il pleut alors je prends mon parapluie” est équivalente à sa contraposée “Si je ne prends pas mon parapluie, c’est qu’il ne pleut pas”.

1.6

Théorèmes et méthodes de démonstration

Nous allons ici expliquer ce qu’est une démonstration ainsi que donner différents types de démonstration. Démontrer consiste à déduire la vérité d’une affirmation mathématique, appelée la thèse, à partir d’un ensemble d’affirmations mathématiques que l’on suppose être vraies le temps de la démonstration (les hypothèses) et à partir d’un ensemble d’affirmations mathématiques qui sont vraies (des axiomes ou des théorèmes qui ont déjà été démontrés auparavant). Notons que les hypothèses sont en général écrites explicitement dans l’énoncé que l’on cherche à démontrer, ce qui n’est pas le cas des axiomes et des théorèmes que l’on aura à utiliser au cours de la démonstration. Il est important de bien comprendre que la démonstration d’un théorème sert uniquement à prouver que sa thèse est vraie lorsque ses hypothèses sont vraies. Lorsqu’on voudra utiliser un théorème, il faudra donc toujours commencer par vérifier que ses hypothèses sont bien satisfaites. √

Remarque : Puisque l’énoncé “¬(∀x : P (x))” est équivalent à l’énoncé “∃ x : ¬P (x)”, pour prouver qu’une propriété n’est pas vraie pour toutes les valeurs de x, il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle la propriété n’est pas satisfaite. Une telle valeur est appelée un contre-exemple. Les hypothèses et thèse d’un théorème sont en général composées de plusieurs propositions p, q, r, . . .. Pour simplifier la présentation, nous écrirons P et Q au lieu de P (p, q, r, . . .) et Q(p, q, r, . . .). Méthodes de démonstration de P ⇒ Q

Si on appelle théorème l’affirmation P ⇒ Q, où P sont les hypothèses et Q les conclusions, démontrer le théorème P ⇒ Q revient à tester la validité de l’affirmation. Voici différentes manières de procéder.

• Démonstration directe (modus ponens) : Il faut montrer que P ⇒ Q est une tautologie donc, d’après la définition de l’opérateur logique ⇒, il convient de montrer que si P est vraie, alors Q est aussi vraie. ⋆ Par exemple, voyons que tout nombre naturel qui est un carré a un nombre impair de diviseurs. Soit P : x est un nombre naturel qui est un carré. Q : x a un nombre impair de diviseurs. Preuve directe : Le nombre x admet trivialement comme diviseurs 1 et lui-même x. Comme x = y 2 il admet y comme diviseur. Ce qui en fait déjà trois 1, y et x. Pour tout autre nombre a (différent de 1, y et x), diviseur de x, il doit y avoir un nombre b tel que x = a · b. Le nombre b est également diviseur de x et doit également être différent de 1, y, x et a. Donc s’il y a d’autres diviseurs que 1, y et x, ils doivent être différents et exister par paires. Le nombre total de diviseurs est dès lors impair. • Démonstration par l’absurde (par contradiction) : Le principe de démonstration par l’absurde s’énonce de la manière suivante : Principe de démonstration par l’absurde Pour démontrer une affirmation P par l’absurde, on suppose que ¬P est vraie (c’est-à-dire que P est fausse) et on en déduit une absurdité. Intuitivement, on comprend que si l’on déduit une absurdité de l’hypothèse ¬P , c’est que cette hypothèse est fausse, ce qui revient à dire que P est vraie.

⋆ Reprenons l’exemple précédent. On va supposer que P est vraie et que Q est fausse et montrer que cela ne peut pas se produire. Preuve par l’absurde : Supposons que le nombre x est un carré et x possède 2k diviseurs. Soit y tel que x = y · y. Enlevons 1, x et y. Il reste un nombre impair de diviseurs. Formons parmi ceux-ci les couples z1 , z2 de nombres différents tels que x = z1 · z2 . Cela en fait un nombre pair, il doit donc en rester un. Soit a ce nombre, comme il n’est pas 1, y ou x, il doit alors vérifier x = a · a, ce qui est absurde car a 6= y. • Démonstration par contraposée : Grâce à l’équivalence entre un énoncé et sa contraposée, démontrer P ⇒ Q revient à démontrer ¬Q ⇒ ¬P . Principe de démonstration par contraposée Pour démontrer une affirmation de la forme P ⇒ Q par contraposition, on démontre la contraposée ¬Q ⇒ ¬P , c’est-à-dire : on suppose que Q est fausse et on en déduit que P est fausse. ⋆ Dans l’exemple ci-dessus, ¬Q ⇒ ¬P revient à “x possède un nombre pair de diviseurs ⇒ x n’est pas un carré”. Preuve par contraposition : On doit pouvoir regrouper les diviseurs par paires de nombres différents y, z tels que x = y · z. Il ne peut donc pas rester un nombre unique a, tel que x = a · a. Le nombre x n’est donc pas un carré. Méthode de démonstration de P ⇔ Q Une affirmation de la forme P ⇔ Q est équivalente à (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P ). Pour prouver P ⇔ Q, il suffit donc de prouver P ⇒ Q et de prouver Q ⇒ P . Méthode de démonstration par récurrence (ou par induction) On utilise le principe de démonstration par récurrence lorsqu’on veut prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres naturels. Le principe est le suivant : Principe de démonstration par récurrence Pour prouver qu’une affirmation de la forme “∀n ∈ N : P (n)” est vraie, il suffit de prouver que • “P (0)” est vraie, • “∀k ∈ N : P (k) ⇒ P (k + 1)” est vraie. ⋆ Par exemple, on veut prouver que pour tout n ∈ N, on a 03 + 13 + 23 + · · · + n3 = Preuve par récurrence : • P (0) est l’affirmation

03 =

n2 (n + 1)2 . 4

02 (0 + 1)2 . 4

Cette affirmation est clairement vraie. • Supposons que P (k) soit vraie pour un certain k ∈ N, c’est-à-dire supposons que 03 + 13 + 23 + · · · + k3 =

k2 (k + 1)2 4

(ceci est l’hypothèse de récurrence) et voyons que P (k + 1) est encore vraie. On a par hypothèse de récurrence 03 + 13 + 23 + · · · + k3 + (k + 1)3 = De plus,

k2 (k + 1)2 + (k + 1)3 . 4

k2 (k + 1)2 k2 (k + 1)2 4 + (k + 1)3 = + (k + 1)(k + 1)2 , 4 4 4 (k + 1)2 2 (k + 4(k + 1)), = 4 2 (k + 1) (k + 2)2 = 4

et on obtient

(k + 1)2 ((k + 1) + 1)2 , 4 ce qui est exactement P (k + 1). Puisque l’affirmation est vraie pour le premier entier et que si elle est vraie pour un entier quelconque, elle l’est aussi pour le suivant, on peut donc en conclure qu’elle est vraie pour tous les entiers. 03 + 13 + 23 + · · · + k3 + (k + 1)3 =

√

Remarque : Si l’on veut prouver que l’énoncé “∀n ≥ c : P (n)” est vrai, il suffit de prouver que “P (c)” est vraie et que “∀k ≥ c : P (k) ⇒ P (k + 1)” est vraie. De même, si l’on veut prouver qu’une propriété P est satisfaite par tous les nombres naturels pairs, il suffit de montrer que “P (0)” est vraie et que “∀k ∈ N : P (k) ⇒ P (k + 2)” est vraie.

Exemples détaillés 1. Traduire en mathématique l’énoncé “Tout nombre réel est majoré par un entier”. Solution détaillée : Cela signifie que pour chaque nombre réel, on peut rouver un entier qui est plus grand que lui. Mathématiquement, on écrira ∀x ∈ R, ∃ z ∈ Z : x ≤ z.

2. Traduire en français l’énoncé ∀x, ∀A, ∀B : x ∈ (A ∩ B) ⇒ x ∈ (A ∪ B).

Solution détaillée : Quels que soient les ensembles A et B que l’on considère, tout élément x qui se trouve dans A ∩ B se trouve aussi dans A ∪ B. Tout élément de l’intersection de deux ensembles se trouve donc aussi dans leur union. On peut encore dire “l’intersection de deux ensembles est contenue dans leur union”.

3. Niez la phrase suivante “Dans tout pays, il y a une ville où les maisons qui sont à moins de 100 mètres du centre ont au moins un étage”. Solution détaillée : La négation de “dans tout pays” est “il existe au moins un pays”, la négation de “il y a une ville où les maisons qui sont à moins de 100 mètres du centre ont au moins un étage” est “toutes les villes où il y a au moins une maison qui est à moins de 100 mètres du centre et n’a pas au moins un étage”. La négation demandée est donc “Il existe un pays où toutes les villes ont au moins une maison de plein-pied à moins de 100 mètres du centre”.

4. Montrez que pour tout n ∈ N0 , n X i=1

i2 =

n(n + 1)(2n + 1) . 6

Solution détaillée : On va prouver cette affirmation par récurrence. Il faut montrer que pour tout n ∈ N0 , on a n(n + 1)(2n + 1) . 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 6 Puisqu’il faut prouver l’affirmation pour tout n ∈ N0 , on va commencer par la prouver pour n = 1. • P (1) est l’affirmation 1·2·3 12 = . 6 Cette affirmation est clairement vraie. • Soit k ∈ N0 , un entier quelconque et supposons que P (k) est vraie, c’est-à-dire supposons que k(k + 1)(2k + 1) . 12 + 22 + 32 + · · · + k 2 = 6 Voyons que P (k + 1) est vraie. On a 12 + 22 + 32 + · · · + (k + 1)2 = (12 + 22 + 32 + · · · + k 2 ) + (k + 1)2 et par hypothèse de récurrence, on peut écrire (12 + 22 + 32 + · · · + k 2 ) + (k + 1)2 = De plus,

k(k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2 . 6

k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 + (k + 1)2 = , 6 6 2 (k + 1)(2k + k + 6k + 6) , = 6 2 (k + 1)(2k + 7k + 6) = , 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = . 6

On obtient ainsi (12 + 22 + 32 + · · · + k 2 ) + (k + 1)2 =

(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1) , 6

ce qui est exactement P (k + 1). Par le principe de récurrence, on a bien prouvé l’affirmation pour tout n ∈ N0 .

5. Démontrez que

√

2 6∈ Q.

Solution détaillée √ : On va faire une démonstration par l’absurde. √ Supposons que 2 ∈ Q. Il existe donc p ∈ Z et q ∈ Z0 tels que pq = 2 avec p et q premiers entre eux. 2 En élevant les deux membres au carré, on obtient pq2 = 2, c’est-à-dire p2 = 2q 2 . On en déduit que p2 est pair et donc p est pair. Puisque p et q sont premiers entre eux, cela signifie que q est impair. De plus, si p est pair, alors p2 est multiple de 4 et, q étant impair, il est impossible que 2q 2 soit un multiple de 4. On ne peut donc pas avoir√p2 = 2q 2 , c’est-à-dire qu’il est impossible que √ 2 s’écrive sous la forme d’une fraction. Donc 2 6∈ Q.

(a) Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions ¬(¬p ∨ q) et (p ∧ ¬q) sont logiquement équivalentes. (b) Formez la négation de la phrase “Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent” en la transformant d’abord sous forme de propositions, ensuite appliquez les règles de la négation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire. Solution détaillée : (a) Les propositions ¬(¬p ∨ q) et (p ∧ ¬q) sont logiquement équivalentes. p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

¬q F V F V

¬p ∨ q V F V V

¬(¬p ∨ q) F V F F

p ∧ ¬q F V F F

Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sont logiquement équivalentes. (b) La phrase “Les étudiants ne guindaillent pas ou ratent” est constituée des propositions p : Les étudiants guindaillent. q : Les étudiants ratent. En utilisant p et q, la phrase peut s’écrire sous forme ¬p ∨ q. On a vu au point ci-dessus que la négation de (¬p ∨ q) est (p ∧ ¬q). La négation de la phrase est donc “Les étudiants guindaillent et ne ratent pas”.

(a) Montrez, en utilisant les tables de vérité, que les deux propositions (p ⇒ ¬q) et ¬(p ∧ q) sont logiquement équivalentes. (b) Formez la négation de la phrase “Il y a des contraintes en architecture et de la liberté en mathématiques” en la transformant d’abord sous forme de propositions, ensuite appliquez les règles de la négation et la traduire à nouveau en phrase ordinaire. Solution détaillée : (a) Les propositions (p ⇒ ¬q) et ¬(p ∧ q) sont logiquement équivalentes. p V V F F

q V F V F

¬q F V F V

p∧q V F F F

¬(p ∧ q) F V V V

p ⇒ ¬q F V V V

Les deux dernières colonnes sont identiques, ce qui signifie que les deux propositions sont logiquement équivalentes. (b) La phrase “Il y a des contraintes en architecture et de la liberté en mathématiques” est constituée des propositions p : Il y a des contraintes en architecture. q : Il y a de la liberté en mathématiques. En utilisant p et q, la phrase peut s’écrire sous forme p ∧ q. On a vu au point ci-dessus que la négation de (p ∧ q) est (p ⇒ ¬q). La négation de la phrase est donc “S’il y a des contraintes en architecture alors il n’y a pas de liberté en mathématiques”.

8. La proposition ((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)) ⇒ q est-elle une tautologie ?

Solution détaillée : Oui car quand on regarde les tables de vérité, on remarque que la dernière colonne est composée uniquement de V. Cette affirmation est donc toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité des différentes propositions qui la composent. p V V F F

q V F V F

¬p F F V V

p⇒q V F V V

¬p ⇒ q V V V F

(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q) V F V F

((p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)) ⇒ q V V V V

9. Donnez la réciproque et la contraposée de la proposition “x ∈ N ⇒ x ≥ 0”.

Solution détaillée : Pour trouver la réciproque d’une implication, on renverse le sens de la flèche. La réciproque est donc x ≥ 0 ⇒ x ∈ N. Pour trouver la contraposée d’une implication, on nie les deux propositions qui la composent, puis on renverse le sens de la flèche. La négation de “x ∈ N ” est “x 6∈ N” et la négation de “x ≥ 0” est “x < 0”. La contraposée demandée est donc x < 0 ⇒ x 6∈ N.

Preuves

Preuve 6 Les propositions ¬(¬p) ⇔ p ¬(p ∧ ¬p) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) sont des tautologies. On remarque que la colonne correspondante dans les tables de vérité est constituée uniquement de V : p V F

¬p F V

¬(¬p) V F

¬(¬p) ⇔ p V V

p ∧ ¬p F F

¬(p ∧ ¬p) V V

p V V F F

q V F V F

p∧q V F F F

q∧p V F F F

(p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) V V V V

p V V F F

q V F V F

p∨q V V V F

q∨p V V V F

(p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) V V V V

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Preuve 7 La proposition (q ⇒ p) n’est pas équivalente à (p ⇒ q) ni à la négation de (p ⇒ q). On remarque que les colonnes correspondantes dans les tables de vérité n’ont pas les mêmes valeurs de vérité : p V V F F

q V F V F

p⇒q V F V V

q⇒p V V F V

¬(p ⇒ q) F V F F

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Preuve 8 Un énoncé est équivalent à sa contraposée.

Soit p ⇒ q un énoncé et ¬q ⇒ ¬p sa contraposée. On remarque que les colonnes correspondantes dans les tables de vérité sont identiques : p V V F F

q V F V F

p⇒q V F V V

¬p F F V V

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¬q F V F V

¬q ⇒ ¬p V F V V

Chapitre 3

Géométrie et mesure Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Théorème de Thalès et proportions . . . . . . . (a) Rapports et proportions . . . . . . . . . . . (b) Théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Polygônes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . (b) Triangles isocèles . . . . . . . . . . . . . . . (c) Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . (d) Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Quadrilatères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e) Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Périmètre et aire de surfaces élémentaires . . . . (a) Disque et secteur . . . . . . . . . . . . . . . (b) Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Parallélogramme . . . . . . . . . . . . . . . . (e) Losange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (f) Trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Volume de solides élémentaires . . . . . . . . . . (a) Parallélipipède rectangle . . . . . . . . . . . (b) Cylindre circulaire droit . . . . . . . . . . . (c) Sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Mesures et grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . (a) Longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (e) Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (f) Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 35 35 37 38 39 39 43 43 44 45 45 46 47 47 48 49 49 50 50 50 51 51 51 52 53 53 54 54 55 55 56 57 57

2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Théorie

1.1

Théorème de Thalès et proportions

(a) Rapports et proportions Si a, b ∈ R et b 6= 0 alors le nombre réel ab est appelé rapport des nombres a et b. Une proportion est une égalité entre deux rapports non nuls. Si a, b, c, d ∈ R0 alors ab = dc est une proportion où a et d sont les extrèmes et b et c sont les moyens. On dit que les nombres a et b sont proportionnels aux nombres c et d si ab = dc . Proposition 3.1 Dans toute proportion, le produit des moyens est égal au produit des extrèmes, c’est-à-dire ∀a, b, c, d ∈ R0 , on a a c = ⇔ ad = bc. b d Dans une proportion on peut donc permuter les moyens et permuter les extrèmes. (b) Théorème de Thalès La propriété dite “petite propriété de Thalès” concerne un triangle coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés.

A •

•

Cette propriété est généralisée avec deux triangles partageant un même sommet, ayant chacun deux côtés dans le prolongement l’un de l’autre et leur troisième côté parallèle.

•

A C

•

Pour résumer, lorsque nous sommes dans une situation telle que nous avons • deux droites sécantes, • deux points supplémentaires sur chacune des deux droites, • deux droites parallèles passant par ces points, nous pouvons appliquer le Théorème de Thalès qui énonce que le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour chacun des deux segments des 2 droites sécantes et le rapport de la plus petite mesure sur la plus grande pour les segments qui représentent les droites parallèles sont égaux. Dans les deux cas ci-dessus, les droites DE et BC sont parallèles et nous avons les égalités |AE| |DE| |AD| = = . |AB| |AC| |BC|

En réalité, le Théorème de Thalès concerne une propriété plus générale. Théorème 3.2 (Théorème de Thalès) Trois droites parallèles déterminent sur deux sécantes des segments homologues proportionnels. Autrement dit, si trois droites parallèles rencontrent deux droites d et d′ , respectivement et dans cet ordre, en A, B, C et A′ , B ′ , C ′ , alors |A′ B ′ | |B ′ C ′ | |A′ C ′ | = = . |AB| |BC| |AC|

•

A′

B′

•

C′

•

En permutant les termes moyens des fractions, on peut faire naître d’autres égalités de rapports : |AB| |A′ B ′ | = , |B ′ C ′ | |BC|

|B ′ C ′ | |BC| = , |A′ C ′ | |AC|

|A′ B ′ | |AB| = . |A′ C ′ | |AC|

Ces rapports traduisent la propriété suivante : la projection d’une droite sur une autre, suivant une direction donnée, conserve les proportions.

1.2

Cercles

Soit C un point du plan et r > 0. Le cercle de centre C et de rayon r est l’ensemble des points du plan situés à distance r du point C. On dira que des cercles sont concentriques s’ils ont le même centre. Le diamètre d’un cercle est un segment qui passe par son centre et a pour extrémités deux points du cercle.

r b b

Cercles concentriques

Cercle

Diamètre

Soit P et Q deux points d’un cercle. L’arc de cercle P Q est la partie du cercle délimitée par les points P et Q. La corde [P Q] est le segment joignant P à Q. P b

Q b

Arc de cercle

Corde

Le disque de centre C et de rayon r est l’ensemble des points du plan situés à distance inférieure ou égale à r du point C. On appelle secteur circulaire la portion de disque comprise entre un arc et les 2 rayons qui aboutissent à ses extrémités.

b b

Disque

1.3

Secteur circulaire

Polygônes

Un polygône est une figure plane délimitée par une ligne fermée constituée de segments de droite. Ces segments sont les côtés (c) du polygône et le point d’intersection de deux côtés est appelé sommet (S) du polygône. Une diagonale (d) d’un polygône est un segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs. Un polygône est convexe si tout segment ayant ses extrémités sur le polygône y est inclus tout entier. Dans la suite, on ne considérera que des polygônes convexes.

d c b

Un polygône est régulier si tous ses côtés ont même longueur et tous ses angles intérieurs ont même amplitude. Voici un tableau reprenant les principaux polygônes réguliers, avec leur nombre de côtés et l’amplitude de leurs angles intérieurs : Polygône triangle carré pentagone hexagone heptagone octogone décagone dodécagone

Nombre de côtés 3 4 5 6 7 8 10 12

Amplitude des angles 60◦ 90◦ 108◦ 120◦ 128, 57◦ 135◦ 144◦ 150◦

Les polygônes réguliers possèdent les propriétés suivantes : Proposition 3.3 1. Tout polygône régulier admet un axe de symétrie. 2. Tout polygône régulier peut être inscrit dans un cercle. En effet, si le polygône a un nombre impair de côtés, toute droite joignant un sommet au milieu du côté opposé est un axe de symétrie. Si le polygône a un nombre pair de côtés, toute droite joignant un sommet au sommet opposé est un axe de symétrie et toute droite joignant le milieu de deux côtés opposés est aussi un axe de symétrie. Tous les axes de symétrie d’un polygône se coupent en un point qui est le centre d’un cercle dans lequel on peut inscrire le polygône. Le cercle circonscrit au polygône est le cercle centré en ce point et passant par tous les sommets du polygône. Théorème 3.4 La somme des mesures des angles d’un polygône à n côtés vaut (n − 2) × 180◦ .

1.4

Triangles

Un triangle est un polygône à trois côtés. Il a également trois sommets et trois angles. Un triangle qui a 3 côtés égaux est dit équilatéral. Un triangle isocèle a 2 côtés de même longueur et un triangle scalène est un triangle ayant ses 3 côtés de longueur différente. (a) Triangles quelconques Un triangle quelconque est un triangle qui ne contient aucun angle droit. On utilise les lettres A, B, C pour les sommets du triangle, les lettres a, b, c pour les longueurs des côtés opposés à ces sommets, et α, β, γ pour les angles en chacun des sommets. C b

γ a

α A

Théorème 3.5 La somme des mesures des angles dans un triangle vaut toujours 180◦ = π radians, c’est-à-dire α + β + γ = 180◦ .

On déduit du Théorème de Thalès le résultat suivant. Proposition 3.6 Dans tout triangle, la droite passant par le milieu d’un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu. Réciproquement, dans tout triangle, le segment joignant les milieux de deux des côtés est parallèle au troisième côté et sa longueur vaut la moitié de celle de ce troisième côté.

Médiatrices d’un triangle La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au milieu de ce segment. Tous les points de cette droite sont à même distance des extrémités du segment. Réciproquement, tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment. Cliquez sur le lien pour la construction de la médiatrice d’un segment. Une médiatrice d’un triangle est une droite perpendiculaire au milieu d’un de ses côtés. Un triangle a donc 3 médiatrices. On peut démontrer la propriété suivante. Théorème 3.7 Les trois médiatrice d’un triangle se coupent en un même point. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Le point d’intersection des trois médiatrices d’un triangle se trouve à égale distance des trois sommets du triangle. Ce point est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Par trois points non alignés, on peut donc faire passer un et un seul cercle.

C b

b b

O b

Bissectrices d’un triangle La bissectrice d’un angle est la droite qui coupe cet angle en deux angles de même amplitude. Tous les points de cette droite sont à même distance des côtés de l’angle. Réciproquement, tout point

équidistant des côtés d’un angle appartient à la bissectrice de cet angle. Cliquez sur le lien pour la construction de la bissectrice d’un angle. Une bissectrice d’un triangle est une droite qui coupe un de ses angles en deux angles de même amplitude. Un triangle a donc 3 bissectrices. On peut démontrer la propriété suivante. Théorème 3.8 Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un même point. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Le point d’intersection des trois bissectrices d’un triangle se trouve à égale distance des trois côtés du triangle. Ce point est donc le centre du cercle inscrit au triangle. Ce cercle est tangent à chaque côté du triangle.

C b

Médianes d’un triangle Une médiane d’un triangle est une droite qui relie un des sommets au milieu du côté opposé. Un triangle a donc 3 médianes. On peut démontrer la propriété suivante. Théorème 3.9 Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Le point d’intersection des trois médianes est le centre de gravité du triangle. Il est situé sur chaque médiane aux 2/3 de chacune d’elle à partir du sommet.

C b

Hauteurs d’un triangle Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement). Un triangle a donc 3 hauteurs. On peut démontrer la propriété suivante. Théorème 3.10 Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Le point d’intersection des trois hauteurs est l’orthocentre du triangle.

C b

(b) Triangles isocèles Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Le troisième côté est appelé base du triangle. On peut montrer les propriétés suivantes. Proposition 3.11 Dans un triangle isocèle, 1. les angles à la base ont même amplitude ; 2. la médiatrice de la base est égale à la bissectrice de l’angle opposé ; 3. la médiatrice de la base est aussi médiane ; 4. la médiatrice de la base est aussi hauteur.

(c) Triangles rectangles Un triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est appelé hypoténuse du triangle rectangle. Le théorème principal dans les triangles rectangles est le Théorème de Pythagore. Théorème 3.12 (Théorème de Pythagore) Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en C, alors a2 + b2 = c2 .

A b

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Les triangles rectangles possèdent les propriétés suivantes. Proposition 3.13 1. Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle. 2. On peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténuse du triangle. 3. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse vaut la moitié de la longueur de l’hypoténuse. 4. Dans un triangle rectangle, la carré de la longueur de la hauteur relative à l’hypoténuse est égal au produit des longueurs des segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. 5. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur d’un côté de l’angle droit est égal au produit de la longueur de l’hypoténuse par la longueur de sa projection orthogonale sur l’hypoténuse.

(d) Triangles semblables Deux triangles sont semblables s’ils leurs angles ont deux à deux la même amplitude.

C C’ b

b’

a’

A’ b

c’

B’

Théorème 3.14 Dans les triangles semblables, les côtés correspondants sont proportionnels, c’està-dire b c a = ′ = ′. a′ b c √

Remarque : Ces égalités impliquent par exemple que les triangles semblables.

a c

a′ c′

; ces valeurs sont donc égales pour tous

Les critères suivants permettent de voir si deux triangles sont semblables : Proposition 3.15 1. Deux triangles sont semblables s’ils ont un angle de même amplitude dont les côtés correspondants sont proportionnels. 2. Deux triangles sont semblables s’ils ont deux angles correspondants de même amplitude. 3. Deux triangles sont semblables si leurs côtés correspondants sont proportionnels.

⋆ Par exemple, supposons qu’une personne de 1,80 m souhaite déterminer la hauteur d’un pont au dessus d’une rivière. Commençons par représenter la situation

C • •

B •

•

La personne se tient en A à un bout du pont et regarde le point T de la rivière en dessous de B. Il note P l’endroit où sa vision rencontre le pont. Ce point P permet de former deux triangles : les triangles AP C et BP T . Ces deux triangles sont semblables car ils ont deux angles égaux : un angle droit (respectivement en A et en B) et les deux angles en P . On peut maintenant calculer la hauteur du pont en utilisant les relations dans les triangles semblables : si |AP | vaut 3 m et si |P B| vaut 12 m, alors |AP | 3 |AC| = = . |BT | |P B| 12 Donc |BT | = |AC|. 12 3 = (1, 8).4 = 7, 2 m.

1.5

Quadrilatères

Un quadrilatère est un polygône à quatre côtés. Une diagonale d’un quadrilatère est un segment de droite qui relie deux sommets opposés. Une médiane d’un quadrilatère est un segment de droite qui relie les milieux de deux côtés opposés. Théorème 3.16 La somme des mesures des angles dans un quadrilatère vaut toujours 360◦ .

(a) Trapèze Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles. Ces côtés parallèles sont appelés les bases du trapèze. Un trapèze qui possède un angle droit est un trapèze rectangle. Un trapèze dont les deux côtés non parallèles ont même longueur est un trapèze isocèle.

Trapèze

Trapèze rectangle

Trapèze isocèle

Proposition 3.17 Dans un trapèze, la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèles est parallèle aux bases.

(b) Parallélogramme Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Les côtés opposés d’un parallélogramme ont même longueur et ses angles opposés ont même amplitude.

Proposition 3.18 Dans un parallélogramme, 1. les diagonales se coupent en leur milieu ; 2. les médianes se coupent en leur milieu ; 3. les médianes sont parallèles aux côtés ; 4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

Proposition 3.19 Dans un rectangle, 1. les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu ; 2. les médianes sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; 3. les médianes sont parallèles aux côtés ; 4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point, centre du cercle circonscrit au rectangle.

(d) Losange Un losange est un quadrilatère qui possède quatre côtés de même longueur.

Proposition 3.20 Dans un losange, 1. les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; 2. les médianes ont mème longueur et se coupent en leur milieu ; 3. les médianes sont parallèles aux côtés ; 4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

(e) Carré Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.

Proposition 3.21 Dans un carré, 1. les diagonales sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur ; 2. les médianes sont perpendiculaires, se coupent en leur milieu et ont même longueur ; 3. les médianes sont parallèles aux côtés ; 4. les diagonales et les médianes se coupent en un même point.

1.6

Périmètre et aire de surfaces élémentaires

Voici les formules permettant de calculer le périmètre et la surface de quelques formes géométriques de base. (a) Disque et secteur La longueur du cercle de rayon r a est le nombre l = 2πr. La surface du disque de rayon r est le nombre S = π r 2 .

La longueur de l’arc intercepté par un angle α sur un cercle de rayon r est donnée par L = rα, où α est mesuré en radians. r2α La surface du secteur circulaire de rayon r et d’angle α est le nombre S = , où α est mesuré en 2 radians.

L α r

(b) Triangle Le périmètre du triangle de côtés a, b, c est le nombre P = a + b + c. Bh . La surface du triangle de base B et de hauteur h est le nombre S = 2

S2′

S1′

h S1

En effet, les surfaces S1 et S1′ ainsi que S2 et S2′ sont égales. La surface du triangle est donc la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit. (c) Rectangle Le rectangle de longueur L et de largeur l a pour périmètre le nombre P = 2(L + l) et sa surface est le nombre S = Ll.

En particulier, le carré de côté c a pour périmètre le nombre P = 4c et sa surface est le nombre S = c2 . (d) Parallélogramme Le périmètre d’un parallélogramme de côtés non parallèles B et b est le nombre P = 2(B + b). La surface du parallélogramme de base B et de hauteur h est le nombre S = Bh.

En effet, si on découpe le triangle hachuré à gauche et qu’on le colle à droite, on retrouve l’aire du rectangle.

(e) Losange Le losange de grande diagonale D et de petite diagonale d a pour périmètre le nombre P = √ Dd . 2 D 2 + d2 et sa surface est le nombre S = 2

En effet, la surface du losange est la moitié de celle du rectangle dans lequel il est inscrit. Son périmètre vaut 4c où c est la longueur du côté. Comme les diagonales sont perpendiculaires entre elles et se coupent en leur milieu, on déduit du Théorème de Pythagore que r 2 2 D d 1p 2 D 2 d2 2 c = + d’où c = + = D + d2 . 2 2 4 4 2 √ Le périmètre vaut donc P = 4c = 2 D 2 + d2 . (f ) Trapèze Le trapèze de grande base B, de petite base b et de hauteur h a pour surface le nombre S = 12 (B + b)h. b h B En effet, l’aire du trapèze est donnée par bh + 21 (B − b)h = 12 (B + b)h.

1.7

Volume de solides élémentaires

On appelle polyèdre un solide limité de toutes parts par des portions de plans. S b

Les faces d’un polyèdre sont les polygones plans qui composent la surface du polyèdre. Les arêtes (a) d’un polyèdre sont les côtés des polygones qui forment les faces du polyèdre. Les sommets (S) du polyèdre sont les extrémités des arêtes. Le développement d’un polyèdre est la figure plane obtenue par la mise à plat de sa surface. Un prisme est un polyèdre ayant pour base deux polygones égaux et parallèles et dont les faces latérales sont des parallélogrammes.

La hauteur d’un prisme est la distance entre les plans des bases. C’est la hauteur de la perpendiculaire commune aux deux bases. Un prisme est droit lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base, sinon on dit qu’il est oblique. Un cylindre droit est un solide borné par une région plane B1 , appelée la base et une région identique B2 dans un plan parallèle. Le cylindre est constitué de tous les points des segments perpendiculaires à la base qui relient B1 à B2 .

h h B1

En général, si B désigne l’aire de la base et h la hauteur d’un solide, alors le volume V du solide est défini par la formule V = Bh. Voici les formules permettant de calculer le volume de quelques solides simples. (a) Parallélipipède rectangle Le parallélipipède rectangle dont la base est un rectangle de longueur L et de largeur l et dont la hauteur est h a pour volume le nombre V = Llh.

h L

En particulier, le cube d’arête c a pour volume le nombre V = c3 . (b) Cylindre circulaire droit Le cylindre circulaire droit dont la base est un disque de rayon r et dont la hauteur est h a pour volume le nombre V = π r 2 h.

4π r 3 . 3

1.8

Mesures et grandeurs

Les mesures et grandeurs que nous allons considérer ici sont : longueur, surface, volume, capacité, masse et durée. Dans chaque cas, nous donnons un tableau des unités de mesures ainsi que la manière de les convertir. (a) Longueur Les unités de longueur sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sousclasse possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de longueur est le mètre (m). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de longueur. Unités kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre

Abréviations km hm dam m dm cm mm

Equivalences 1 km = 1000 × 1 m 1 hm = 100 × 1 m 1 dam = 10 × 1 m 1m=1m 1 dm = 0,1 × 1 m 1 cm = 0,01 × 1 m 1 mm = 0,001 × 1 m

Pour passer d’une unité de longueur à une autre unité de longueur, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unités de longueur. km

dam

⋆ Par exemple, combien font 25 cm en mm et en m ? On construit le tableau suivant : km

dam

0, On en conclut que 25 cm=250 mm=0,25 m.

dm 2 2 2

cm 5 5 5

mm 0

(b) Surface Les unités de surface sont des unités de mesure à 2 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sousclasse possède 2 chiffres. L’unité de référence pour les unités de surface est le mètre carré (m2 ). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de surface. Unités kilomètre carré hectomètre carré décamètre carré mètre carré décimètre carré centimètre carré millimètre carré

Abréviations km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Equivalences 1 = 1000000 × 1 m2 2 1 hm = 10000× 1 m2 1 dam2 = 100 × 1 m2 1 m2 = 1 m2 1 dm2 = 0,01 × 1 m2 1 cm2 = 0,0001 × 1 m2 1 mm2 = 0,000001 × 1 m2 km2

Pour passer d’une unité de surface à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unités de surface. km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

⋆ Par exemple, combien font 25 cm2 en mm2 et en m2 ? On construit le tableau suivant : km2

hm2

dam2

dm2

cm2 2 5 2 5 2 5

mm2 0

On en conclut que 25 cm2 =2500 mm2 =0,0025 m2 . √

Remarque : Pour mesurer les surfaces, on utilise aussi les ares (a) et les hectares (ha). 1 a = 100 m2 1 ha = 100 a = 10000 m2 (c) Volume Les unités de volume sont des unités de mesure à 3 dimensions. Ce qui veut dire que chaque sousclasse possède 3 chiffres. L’unité de référence pour les unités de volume est le mètre cube (m3 ). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de volume. Unités kilomètre cube hectomètre cube décamètre cube mètre cube décimètre cube centimètre cube millimètre cube

Abréviations km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Equivalences 1 km3 = 1 000 000 000 × 1 m3 1 hm3 = 1 000 000× 1 m3 1 dam3 = 1000 × 1 m3 1 m3 = 1 m3 1 dm3 = 0,001 × 1 m3 1 cm3 = 0,000001 × 1 m3 1 mm3 = 0,000000001 × 1 m3

Pour passer d’une unité de volume à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unités de volume.

km3

hm3

dam3

dm3

cm3

mm3

⋆ Par exemple, combien font 25 cm3 en mm3 et en m3 ? On construit le tableau suivant : km3

hm3

dam3

dm3

cm3 2 5 2 5 0 2 5

mm3 0

On en conclut que 25 cm3 =25000 mm3 =0,000025 m3 . (d) Capacité Les unités de capacité sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sousclasse possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de capacité est le litre (l). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de capacité. Unités kilolitre hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre

Abréviations kl hl dal l dl cl ml

Equivalences 1 kl = 1000 × 1 l 1 hl = 100 × 1 l 1 dal = 10 × 1 l 1l=1l 1 dl = 0,1 × 1 l 1 cl = 0,01 × 1 l 1 ml = 0,001 × 1 l

Pour passer d’une unité de capacité à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unités de capacité. kl

dal

⋆ Par exemple, combien font 25 dl en ml et en l ? On construit le tableau suivant : kl

dal

l 2 2 2,

dl 5 5 5

On en conclut que 25 dl=2500 ml=2,5 l. √

Remarque : Un litre d’eau occupe un volume de 1 dm3 . On peu donc utiliser le tableau suivant pour passer d’une capacité à un volume et réciproquement. kl km3

hm3

dam3

dal dm3

cl ml cm3

mm3

⋆ Par exemple, combien font 25 dl d’eau en m3 et en mm3 ? Combien font 3 cm3 d’eau en l et en ml ? On construit le tableau suivant :

kl km3

hm3

dam3

dal dm3

m3 0,

cl ml cm3

2 2 2

5 5 5

0 3 3

mm3

On en conclut que 25 dl=0,0025 m3 =2500000 mm3 et 3 cm3 =0,003 l=3 ml. (e) Masse Les unités de masse sont des unités de mesure à 1 dimension. Ce qui veut dire que chaque sousclasse possède 1 chiffre. L’unité de référence pour les unités de masse est le gramme (g). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de masse. Unités kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme milligramme

Abréviations kg hg dag g dg cg mg

Equivalences 1 kg = 1000 × 1 g 1 hg = 100 × 1 g 1 dag = 10 × 1 g 1g=1g 1 dg = 0,1 × 1 g 1 cg = 0,01 × 1 g 1 mg = 0,001 × 1 g

Pour passer d’une unité de masse à une autre, il est utile d’utiliser le tableau de conversion des unités de masse. kg

dag

⋆ Par exemple, combien font 25 g en mg et en kg ? On construit le tableau suivant : kg

dag 2 2 2

g 5 5 5

On en conclut que 25 g=25000 mg=0,025 kg. (f ) Temps Les unités de durée sont des unités de mesure particulières. Contrairement aux autres unités de mesure, il n’existe pas de coefficient de passage unique. L’unité de référence pour les unités de durée est la seconde (s). Voici un tableau d’équivalence concernant les unités de temps. Unités jour heure minute seconde

Abréviations j h min s

Equivalences 1 j = 24 h 1 h = 60 min=3600 s 1 min = 60 s 1s=1s

Passer d’une unité de durée à une autre est plus difficile que dans les autres cas. Il faut pour cela utiliser la dernière colonne du tableau ci-dessus.

⋆ Par exemple, combien font 3h25 en secondes ? On a 3 h 25 = 3 · 3600 + 25 · 60 = 10800 + 1500 = 12300 s. ⋆ Combien font 1000000 secondes en heures ? On a 1000000 = 360000 · 2 + 36000 · 7 + 3600 · 7 + 60 · 46 + 40 = 200 · 3600 + 70 · 3600 + 7 · 3600 + 46 · 60 + 40 = 277 · 3600 + 46 · 60 + 40 = 277 h 46 min 40 s = 1 j 13 h 46 min 40 s

Exemples détaillés 1. Combien font 25 dam en km ? Solution détaillée : On construit le tableau suivant : km hm dam m dm 2 5 0, 2 5

On en conclut que 25 dam=0,25 km.

2. Combien font 250 cm2 en m2 ? Solution détaillée : On construit le tableau suivant : km2

hm2

dam2

dm2 0,

cm2 5 0 5

2 2

mm2

On en conclut que 250 cm2 =0,025 m2 .

3. Combien font 0,5 m3 en cm3 ? Solution détaillée : On construit le tableau suivant : km3 hm3 dam3 m3 0,

dm3 5 5

cm3 0

On en conclut que 0,5 m3 =500000 cm3 .

4. Combien d’eau font 3 l en cm3 ? Solution détaillée : On construit le tableau suivant : kl hl dal l dl cl ml dam3 m3 dm3 cm3 3 3 0 0 0 On en conclut que 3 l=3 dm3 =3000 cm3 .

5. Combien font 100 km/h en m/s ? Solution détaillée : On a

100 km −→ 1 h 100000 m −→ 3600 s 100000 m −→ 1 s 3600 250 100000 = mètres par seconde. La vitesse est donc 3600 9

6. Combien font 2 m/s en km/h ? Solution détaillée :

2m −→ 1 s 2 · 3600 m −→ 3600 s 7200 m −→ 1 h

La vitesse est donc 7200 m/h, c’est-à-dire 7,2 km/h.

mm3

mm3 0

7. Une personne se déplaçant à une vitesse constante parcourt 2 km en 30 minutes. (a) Quelle est sa vitesse ? (b) Quelle distance parcourra-t-elle en 45 min ? en 75 min ? Solution détaillée : (a) Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 4 km en une heure. Sa vitesse est donc 4 km/h. (b) Parcourir 2 km en 30 minutes, revient à faire 1 km en 15 minutes et donc 3 km en 45 minutes et 5 km en 75 minutes.

8. Calculer la longueur de la diagonale du cube d’arête c. Solution détaillée : A•

•

c D•

•

d •

•

La diagonale du cube d’arête c est la diagonale du rectangle ACF E et est telle que d2 = |AC|2 + |CF |2 = |AC|2 + c2 . A

•

d •

•

D’autre part, AC est la diagonale du carré ABCD et donc |AC|2 = c2 + c2 = 2c2 . A

•

Finalement on obtient d2 = 2c2 + c2 = 3c2 et donc la longueur de la diagonale du cube est √ d = 3 c.

9. Pour mesurer la hauteur d’un arbre, on place un bâton de 1 m de haut à 10 m de son tronc. En visant le sommet du bâton à 2 m de ce bâton, on constate qu’il est aligné avec le sommet de l’arbre. Déterminer la hauteur de cet arbre. Solution détaillée : Nous pouvons représenter la situation par deux triangles rectangles emboîtés.

a′ b′ b a

où a′ représente la hauteur de l’arbre et b′ celle du bâton. On a b = 2 m, b′ = 1 m, a = 2 + 10 m et par Thalès b′ a′ = a b d’où a′ =

b′ b

·a=

1 2

· 12 = 6 m.

10. Un pendule oscille au bout d’une corde de 50 cm. Sachant que l’angle décrit est de 60◦ , trouver la longueur de l’arc décrit.

60◦

Solution détaillée : On a r = 50 cm, θ = 60◦ =

π 3

radians. Donc L = rθ = 50 ·

π 3

cm.

11. Que faire pour doubler le volume d’un parallélipipède rectangle ? Que devient son aire latérale ? Solution détaillée : Pour doubler le volume d’un parallélipipède rectangle, il faut doubler une de ses dimensions, par exemple sa hauteur. Si L représente la longueur de la base, l sa largeur et h la hauteur, l’aire latérale du parallélipipède de départ est donné par A = 2(Ll + lh + Lh). Si on double sa hauteur, cette aire latérale devient A′ = 2(Ll + 2lh + 2Lh).

12. Etes-vous capable de porter un rouleau de fil de cuivre mesurant 100 m de long et 3 mm de diamètre, si 1 dm3 de cuivre pèse 8,9 kg ? Solution détaillée : On a l = 100 m=100000 mm, d = 3 mm et donc r = 1, 5 mm. Le volume du rouleau est donné par V = π r2 l = π · (1, 5)2 · 100000 = 706858, 3 mm3 = 706, 86 cm3 ≈ 0, 71 dm3 . Puisque 1 dm3 pèse 8, 9 kg, on en déduit que 0, 71 dm3 pèsent 0, 71 · 8, 9 = 6, 3 kg. On peut donc le porter.

Preuves

Preuve 9 Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit m1 médiatrice du côté AB, m2 médiatrice du côté AC et m3 médiatrice du côté BC. Soit X le point d’intersection de m1 et m2 . Voyons que m1 , m2 et m3 se coupent au point X. Puisque X ∈ m1 , on a que les segments XA et XB sont de même longueur. De même, puisque X ∈ m2 , on a que les segments XA et XC sont de même longueur. On endéduit que les segments XB et XC sont de même longueur et donc que X est un point de la médiatrice m3 .

X b

A b

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Preuve 10 Les trois bissectrices d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit b1 bissectrice de l’angle BAC, b2 bissectrice de l’angle ABC et b3 bissectrice de l’angle BCA. Soit X le point d’intersection de b1 et b2 . Voyons que b1 , b2 et b3 se coupent au point X. Tous les points de la droite b1 sont à même distance des côtés AB et AC et tous les points de la droite b2 sont à même distance des côtés BA et BC. Puisque X ∈ b1 et X ∈ b2 , on a que X est à même distance des côtés AC et BC. On en déduit que X est un point de la bissectrice b3 .

C b

b1 X b

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Preuve 11 Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit A′ le milieu du segment BC, B ′ le milieu du segment AC et C ′ le milieu du segment AB. On déduit de la Proposition 3.6 que C ′ B ′ k BC et que la longueur du segment BC est le double de celle du segment B ′ C ′ . De même, la longueur du segment AB est le double de celle du segment A′ B ′ et la longueur du segment AC est le double de celle du segment A′ C ′ . Les triangles ABC et A′ B ′ C ′ sont donc semblables et le triangle A′ B ′ C ′ est l’image du triangle ABC par une homothétie. Les droites AA′ , BB ′ et CC ′ sont donc concourantes.

A b

C′

B′ b

A′

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Preuve 12 Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point.

On considère le triangle quelconque ABC et soit h1 hauteur passant par A, h2 hauteur passant par B et h3 hauteur passant par C. Traçons la droite a passant par A et parallèle au côté BC, la droite b passant par B et parallèle au côté AC et la droite c passant par C et parallèle au côté AB. Soit A′ le point d’intersection de b et c, B ′ le point d’intersection de a et c et C ′ le point d’intersection de a et b. Puisque b k AC et a k BC, on en déduit que ACBC ′ est un parallélogramme et donc les segments ′ C A et BC ont même longueur. De même, puisque c k AB et a k BC, on en déduit que AB ′ CB est un parallélogramme et donc les segments AB ′ et BC ont même longueur. Cela implique que les segments C ′ A et AB ′ ont même longueur et donc A est au milieu du segment B ′ C ′ . De plus, h1 ⊥ BC et BC k B ′ C ′ donc h1 ⊥ B ′ C ′ . On en déduit que h1 est la médiatrice du segment B ′ C ′ . De la même façon, on montre que h2 est la médiatrice du segment A′ C ′ et h3 est la médiatrice du segment A′ B ′ . Puisque les trois médiatrices du triangle A′ B ′ C ′ se coupent en un même point, on en déduit que h1 , h2 et h3 se coupent en un même point.

h2 C′

B′

b B b

h1 b

A′

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C h3

Preuve 13 Théorème de Pythagore – Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Autrement dit, si le triangle ABC est rectangle en C, alors a2 + b2 = c2 . Construisons un carré de côté a + b et décomposons-le de deux manières différentes : a

b ab 2

ab 2

c c2

ab 2

b ab 2

ab 2

L’aire du premier carré est égale à c2 + 4

ab = c2 + 2ab. 2

Celle du deuxième carré est égale à a2 + b2 + 4

ab = a2 + b2 + 2ab. 2

Puisque les deux aires sont égales, on obtient a2 + b2 = c2 . Retour au texte

Construction de la médiatrice d’un segment Soit A et B deux points du plan. Pour construire la médiatrice du segment joignant A à B : • choisir un nombre réel r > 0 supérieur à la moitié de la distance entre A et B ; • tracer un arc de cercle de centre A et de rayon r ; • tracer un arc de cercle de centre B et de rayon r ; • ces deux arcs de cercle se coupent aux points P et Q ; • la droite P Q est la médiatrice du segment reliant A et B.

P r

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Construction de la bissectrice d’un angle \: Soit O, A et B trois points du plan. Pour construire la bissectrice de l’angle AOB • choisir un nombre réel r > 0 ; • tracer un arc de cercle de centre O et de rayon r ; • cet arc coupe les côtés de l’angle aux points P et Q ; • tracer un arc de cercle de centre P et de rayon r ; • tracer un arc de cercle de centre Q et de rayon r ; • ces deux arcs se coupent au point C ; \ • la droite OC est la bissectrice de l’angle AOB.

r Q

P B

r Q

P r

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r C

Chapitre 4

Calcul algébrique Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Priorité des opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Règle des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Opérations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple 1.5 Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Puissances n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Racine n-ième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (c) Calcul avec des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (d) Remarque importante sur la racine carrée . . . . . . . . . . . 1.8 Valeur absolue et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 71 71 72 72 73 74 74 74 75 75 75 76 76 77 77 77 78 80 83

Théorie

1.1

Priorité des opérations

Pour effectuer le calcul d’une expression algébrique, il faut procéder dans l’ordre suivant : • • • • • •

calculer les expressions entre parenthèses, en commençant par les parenthèses intérieures, calculer les numérateurs et dénominateurs de fractions, calculer les expressions sous un radical, calculer les puissances et les racines, effectuer les produits et les quotients, effectuer les sommes et les différences.

1.2

Règle des parenthèses

Lors du calcul de sommes ou de différences où interviennent des parenthèses : • on peut supprimer les parenthèses précédées du signe + sans changer les signes des opérations situées dans la parenthèse, • on peut supprimer les parenthèses précédées du signe − à condition de changer les signes des opérations situées dans la parenthèse. On a donc a + (b + c) = a + b + c a + (b − c) = a + b − c a − (b + c) = a − b − c a − (b − c) = a − b + c

1.3

Produit

Le produit de deux nombres réels de même signe est un nombre réel positif. Le produit de deux nombres réels de signes différents est un nombre réel négatif. Pour a, b, c ∈ R, on a a · (−b) = (−a) · b = −ab et (−a) · (−b) = ab. Dans l’ensemble des nombres réels, on peut distribuer la multiplication par rapport à l’addition. Pour a, b, c ∈ R, on a a(b + c) = ab + ac et (a + b)c = ac + bc. Ces propriétés sont utilisées pour effectuer des produits particuliers. On obtient ainsi les produits remarquables suivants : pour a, b ∈ R, on a (a + b)2 (a − b)2 (a + b)3 (a − b)3

= a2 + 2ab + b2 = a2 − 2ab + b2 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

(a − b)(a + b) = a2 − b2 (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 − b3 (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3

⋆ Par exemple, (2x + 3)2 = 4x2 + 12x + 9 (x − 1)2 = x2 − 2x + 1 (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 (x − 1)3 = x3 − 3x2 + 3x − 1

(x − 2)(x + 2) = x2 − 4 (x − 2)(x2 + 2x + 4) = x3 − 8 (x + 3)(x2 − 3x + 9) = x3 + 27

1.4

Fractions

Définition 4.1 Une fraction ab est le quotient de deux nombres entiers a et b. Le nombre a est appelé le numérateur et le nombre b est le dénominateur (b 6= 0). (a) Opérations sur les fractions Simplification de fractions On peut toujours écrire a = 1, a

a = a, 1

a = −a, −1

0 = 0. a

Pour simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur. On simplifie alors les termes communs aux numérateur et dénominateur. a a·d = , où b, d 6= 0. b·d b ⋆ Par exemple,

5·5 5 8a3 b5 c2 4a2 b5 c(2ac) 2ac 25 = = et = 2 5 = 2. 2 7 35 7·5 7 12a b c 4a b c(3b2 ) 3b

Pour revoir la factorisation, cliquez ici.

Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur des numérateur et dénominateur. 24 23 · 3 23 · 3 3 = 5 = 3 2 = . En effet, le P.G.C.D. des nombres 24 et 160 est 23 = 8. 160 2 ·5 2 ·2 ·5 20 Pour revoir le calcul du P.G.C.D., cliquez ici.

⋆ Par exemple,

Somme et différence de deux fractions Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on additionne les numérateurs entre eux. Pour soustraire deux fractions, on les réduit au même dénominateur et on soustrait les numérateurs. a·d b·c ad + bc a c + = + = , où b, d 6= 0 b d b·d b·d bd et a a c a b·c a + bc +c= + = + = , où b 6= 0. b b 1 b b b

1 2 1·5+2·2 9 11 2 11 − 2 · 2 7 + = = et − = = . 2 5 2·5 10 12 6 2·6 12 Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple.

⋆ Par exemple,

Pour revoir le calcul du P.P.C.M., cliquez ici.

Multiplication de deux fractions Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. ac a c · = , où b, d 6= 0. b d bd 2 5 2·5 10 ⋆ Par exemple, · = = . 3 7 3·7 21 Division de deux fractions Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l’inverse de la seconde. a d ad a c / = · = , où b, c, d 6= 0, b d b c bc a 1 a a /c = · = , où b, c, d 6= 0, b b c bc a/

⋆ Par exemple,

c a d ad = · = , où b, c, d 6= 0. d 1 c c

25 35 25 64 5 · 5 · 32 · 2 5·2 10 / = · = = = . 32 64 32 35 32 · 7 · 5 7 7

(b) Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple Afin de simplifier une fraction, il est souvent utile de pouvoir calculer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) des numérateur et dénominateur. Afin de simplifier les calculs de somme et différence de fractions, il est souvent utile de pouvoir calculer leur plus petit commun multiple (P.P.C.M.). Recherche du P.P.C.M. et P.G.C.D. de deux ou plusieurs nombres entiers 1. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers, c.à.d. en un produit de nombres premiers. 2. - Le P.P.C.M. (plus petit commun multiple) est le produit de tous les facteurs premiers, chacun étant pris avec son plus grand exposant. - Le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur) est le produit des facteurs premiers communs, chacun étant pris avec son plus petit exposant. ⋆ Par exemple, calculons le P.P.C.M. et le P.G.C.D. des nombres 360 , 500 , 300 . On a 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

500 250 125 25 5 1

2 2 5 5 5

et donc 360 = 23 · 32 · 5, 500 = 22 · 53 et 300 = 22 · 3 · 52 . Le P.P.C.M. de ces 3 nombres est 23 · 32 · 53 = 9000. Le P.G.C.D. de ces 3 nombres est 22 · 5 = 20.

300 150 75 25 5 1

2 2 3 5 5

1.5

Proportions

c a Définition 4.2 Soit a, c ∈ R et b, d ∈ R0 . L’expression = est une proportion. b d Dans cette expression, les termes a et d sont appelés les extrêmes et les termes b et c sont les moyens. Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. En particulier, xy = 23 ne signifie pas nécessairement que x = 3 et y = 2 mais que 2x = 3y. Donc, x = 6 et y = 4 conviennent aussi par exemple.

1.6

Puissances n-ième

(a) Définition Lorsqu’on multiplie un nombre plusieurs fois par lui-même, comme 2 · 2 · 2 · · · · · 2, n fois (où n est entier positif), on définit la puissance nième de 2. On notera ce nombre 2n qu’on peut aussi lire comme “2 exposant n”. Définition 4.3 Soit a ∈ R0 , n ∈ N0 . La puissance n-ième de a est le nombre réel obtenu en multipliant a n fois par lui-même an = a · a · . . . · a, (n facteurs, n > 1). Pour tout a ∈ R0 , n ∈ N0 , on a a0 = 1, a1 = a, 1 , an n 0 = 0.

a−n =

⋆ Par exemple, on a 100 = 20 = 80 = 1, 121 = 12, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, π 2 = π · π, 1 1 3−4 = 4 = , 03 = 010 = 0. 3 81 √ Remarque : • 00 n’est pas défini. • Toute puissance d’un réel positif est positive. • Toute puissance d’un réel négatif est positive si l’exposant est pair et négative si l’exposant est impair.

(b) Propriétés Les puissances entières vérifient les propriétés suivantes : pour tout a, b ∈ R0 , m, n ∈ Z, on a (a · b)m = am · bm , a m am = m, b b m n (a ) = am·n , am · an = am+n ,

am = am · a−n = am−n . an

⋆ Par exemple (2 ·

3)3

33 ,

2 23 1 16 4 , (102 )3 = 106 , 23 · 22 = 25 , 4 = . = 7 49 2 2

On peut étendre la notion de puissance à des exposants fractionnaires.

1.7

Racine n-ième

(a) Définition

Définition 4.4 Soit a ∈ R0 , n ∈ N0 . La racine n-ième de a est le nombre réel b tel que bn = a. √ On la note b = n a = a1/n . Le naturel n est l’indice de la racine et le réel a est le radicand. ⋆ Par exemple, 23 = 8 ⇒ 2 = √

√ 3

8 = 81/3 .

Remarque : • Si n est pair alors a doit être positif (ceci est √ la condition d’existence de la racine n-ième). √ • Si n est impair et a < 0 , on pose n a = − n −a.

⋆ Par exemple,

√ 3

√ −8 = − 3 8 = −2.

De manière plus générale, on peut définir les puissances rationnelles de a :

am/n =

√ n

am ,

1 a−m/n = √ , où a 6= 0. n m a

⋆ Par exemple, 23/4 =

√ 4

1 . 23 , 3−2/3 = √ 3 2 3

(b) Propriétés Les puissances rationnelles d’un nombre positif vérifient les propriétés suivantes : si a, b ∈ R+ , m, n ∈ N0 , on a √ n

√ an = ( n a)n = a, √ √ √ n ab = n a · n b, r √ n a a n = √ , où b 6= 0 n b b √ √ n m a = ( n a)m , q √ √ n m a = n·m a.

⋆ Par exemple,

√ 3

14 =

√ 3

7·

√ 3

√

3 2

√ √3 , 2

√ 3

Remarque : • 0−n (n ∈ N) n’est pas défini dans R. √ √ √ n a + b 6= n a + n b. • ∀a, b ∈ R+ , n ∈ N : 0 √ √ √ ⋆ Parpexemple, 13p 6= 4 p + 9. • p(−2)(−8) 6= (−2) (−8) 2 6= (−5)2/2 (−5)√ • p √ √ 6 2 3 2 = 2 mais 3 −8 6= 6 (−8)2 •

p √ √ √ 3 49 = ( 3 7)2 , 3 = 6 3.

On ne peut aditionner ou soustraire que des racines semblables, c’est-à-dire de même indice et même radicand. √ √ √ Remarque : Attention : n a + n b 6= n a + b. √ √ √ √ 4 ⋆ Par exemple, a+34a −24√ a = 2 4√ a et √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 24 + 5 3 − 81 = 2 3 + 5 3 − 3 3 3 = 4 3 3. √

Pour multiplier et diviser des racines, on les réduit au même indice et on applique les propriétés. Afin de simplifier les calculs de sommes et produits de radicaux d’indices différents, on est amené à calculer le plus petit commun multiple des indices. √ √ √ √ √ √ 12 2 12 3 12 2 6 4 3 = 12 a5 (a ∈ R+ ). ⋆ Par exemple, a · a = a · a = a · a √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 256 = 28 = 23 · 23 · 22 = 2 · 2 · 22 = 4 4. Il est bien souvent utile de pouvoir rendre rationnel le dénominateur d’une fraction. Pour cela, on se rappelle que √ √ a· a=a et

√ √ √ √ ( a + b)( a − b) = a − b.

Par conséquent, √ √ • si le dénominateur est de la forme a b , on multiplie le numérateur et le dénominateur par b. 76

⋆ Par exemple,

√ 1+√ 8 3 2

⋆ Par exemple,

√ 1√ 5+ 2

√ √ (1+ 8) 2 √ √ 3 2 2

√

√ √ 2+ 8· 2 6

√

= 2+4 6 . √ √ •√si le √ dénominateur est de la forme ( a + b) , on multiplie le numérateur et le dénominateur par ( a − b) qu’on appelle binôme conjugué. =

√ √ √ √5−√2 √ ( 5+ 2)( 5− 2)

√

√ 5− 2 5−2

√

√ 5− 2 . 3

(d) Remarque importante sur la racine carrée La racine carrée est définie pour les nombres réels positifs. Son résultat est un nombre réel positif. Pour plus de détails concernant la fonction “racine carrée”, cliquez ici. Par conséquent, on a √ √ 9 = 3 (et pas 9 = −3!) Par contre, il existe deux nombres réels dont le carré est égal à un nombre√donné. On a donc x2 = 9 si et seulement si x = 3 ou x = −3. Cela est dû au fait que x2 = |x| = ±x et donc √ √ x2 = 9 ⇔ x2 = 9 ⇔ ±x = 3 ⇔ x = ±3. Pour plus de détails concernant la valeur absolue, cliquez ici. Voici où peut mener une mauvaise utilisation des racines : 4 − 10 = 9 − 15 donc 22 − 2.2. donc

5 5 = 32 − 2.3. 2 2

5 5 5 5 22 − 2.2. + ( )2 = 32 − 2.3. + ( )2 2 2 2 2

donc

5 5 (2 − )2 = (3 − )2 2 2

donc ( ! ! ! !) 2−

5 5 =3− 2 2

donc 2=3

1.8

Valeur absolue et distance

(a) Définitions

Définition 4.5 A partir du point de la droite réelle qui est associé à chaque nombre réel, on déﬁnit la valeur absolue d’un nombre a comme la distance de ce nombre à 0 et on l’écrit |a|.

⋆ Par exemple, puisque le point 2 est à deux unités du point 0, la valeur absolue de 2 est 2. Puisque −3 est à trois unités du point 0, la valeur absolue de −3 est 3, soit −(−3). De façon générale, |a| =

⋆ Par exemple, on a |3x − 2| =

si a ≥ 0, si a < 0.

a −a

3x − 2 2 − 3x

si x ≥ 2/3, si x < 2/3.

De la définition, il ressort directement que la valeur absolue d’un nombre est toujours un nombre positif ou nul, qu’un nombre est toujours inférieur ou égal à sa valeur absolue et que les nombres opposés ont même valeur absolue. ⋆ Par exemple, ou pour un nombre a quelconque,

|−

√

√ √ 2| = | 2| = 2,

|a| = | − a|. La proposition suivante donne le lien entre la valeur absolue et la racine carrée. Si a est un nombre réel, alors |a|2 = a2 , d’où, en prenant la racine carrée positive : |a| =

√

a2 .

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Définition 4.6 Si a et b sont des nombres réels quelconques, la distance entre a et b est la valeur absolue de la diﬀérence, à savoir |a − b|, qui est aussi égale à |b − a|.

(b) Propriétés On suppose que a et b sont des nombres réels et que n est un entier. On a 1. |ab| = |a||b|,

a |a|

, (b 6= 0) 2. = b |b| 3. |an | = |a|n ,

4. |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire),

5. |a − b| ≥ |a| − |b|.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations. Pour résoudre des équations ou des inéquations qui contiennent des valeurs absolues, il est souvent utile de faire appel aux énoncés suivants. Supposons a > 0, on a

6. |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a, 7. |x| < a si et seulement si −a < x < a,

8. |x| > a si et seulement si x > a ou x < −a.

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de ces affirmations.

Exemples détaillés 1. Simplifier l’expression

2/3 + 3/4 . 5/6 − 7/8

Solution détaillée : Commençons par calculer le numérateur. 2·4+3·3 8+9 17 2 3 + = = = . 3 4 3·4 12 12

Calculons ensuite le dénominateur. Le P.P.C.M. entre 6 et 8 est 24, donc

On peut finalement écrire

5 7 5·4 7·3 20 21 1 − = − = − =− . 6 8 6·4 8·3 24 24 24

2/3 + 3/4 17/12 17 24 = −34. = = · − 5/6 − 7/8 −1/24 12 1

2. Simplifier l’expression

a2 b3 c−2 a3 b2 c

−1

Solution détaillée : On calcule

b a2 b3 c−2 = a2−3 b3−2 c−2−1 = a−1 b1 c−3 = 3 . a3 b 2 c ac Donc

3. Simplifier l’expression

q n

√ 3

a2 b3 c−2 a3 b 2 c

−1

b ac3

−1

ac3 . b

a2n b3n .

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire q √ n √ 3 3 a2n b3n = ( a2n b3n )1/n = ((a2n b3n )1/3 )1/n . Par les propriétés, on a

((a2n b3n )1/3 )1/n = (a2n b3n )1/3n = a2n/3n b3n/3n = a2/3 b =

√ 3 a2 b.

√ √ √ 6 4. Calculer 2 a2 − 3 27a + 3 a.

Solution détaillée : En utilisant les exposants fractionnaires, on peut écrire √ √ √ 6 3 2 a2 − 27a + 3 a = 2a2/6 − 271/3 a1/3 + a1/3 = 2a1/3 − 3a1/3 + a1/3 = 0.

√ √ 3 2+ 3 √ 5. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction . 6

√ Solution détaillée : En multipliant haut et bas par 6, on obtient √ √ √ √ √ √ √ 3 2+ 3 (3 2 + 3) 6 3 12 + 18 √ = = . 6 6 6 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Comme 12 = 4 · 3 = 4 3 = 2 3 et 18 = 9 · 2 = 9 2 = 3 2, on obtient finalement √ √ √ √ √ √ √ 2 6 3+3 2 √ 3 12 + 18 3 2+ 3 √ = = 3+ . = 6 6 2 6

√ √ 14 + 15 √ . 6. Rendre rationnel le dénominateur de la fraction √ 7− 5

Solution √ √ détaillée : En multipliant haut et bas par le binôme conjugué du dénominateur 7 + 5, on obtient √ √ √ √ √ √ ( 14 + 15)( 7 + 5) 14 + 15 √ = √ √ √ √ √ 7− 5 7+ √ 5) √ √( 7√− 5)( √ √ √ √ 14 7 + 14 5 + 15 7 + 15 5 = √ √ 7−5 √ √ 2·7·7+ 2·7·5+ 3·5·7+ 3·5·5 = 2 √ √ √ √ 7 2 + 70 + 105 + 5 3 = . 2

7. Résoudre |2x − 5| = 3.

Solution détaillée : En vertu de la Propriété 6 des valeurs absolues, |2x−5| = 3 est équivalent à 2x − 5 = 3 ou 2x − 5 = −3.

√

Aussi, 2x = 8 ou 2x = 2. D’où x = 4 ou x = 1. La solution est l’ensemble à deux éléments S = {1, 4}. Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’équations, allez voir la section Equations.

8. Résoudre l’inéquation |3x + 2| ≥ 4.

Solution détaillée : Eu égard aux Propriétés 6 et 8, |3x + 2| ≥ 4 est équivalent à 3x + 2 ≥ 4

3x + 2 ≤ −4.

Dans le premier cas, 3x ≥ 2 ou x ≥ 32 . Dans le second cas, 3x ≤ −6, qui donne x ≤ −2. La solution est donc {x ∈ R : x ≤ −2 ou x ≥ 23 } =] − ∞, −2] ∪ [ 32 , ∞[. √

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’inéquations, allez voir la section Inéquations.

9. Résoudre l’équation |x + 3| = |2x + 1|. Solution détaillée : On a

|x + 3| =

x+3 −x − 3

si x ≥ −3, si x < −3.

|2x + 1| =

2x + 1 −2x − 1

si x ≥ − 21 , si x < − 21 .

Ceci nous détermine trois régions de la droite réelle : Si x < −3, l’équation devient −x − 3 = −2x − 1, c’est-à-dire x = 2. Ceci est impossible puisque x < −3. Si −3 ≤ x < − 21 , l’équation devient x + 3 = −2x − 1, c’est-à-dire x = − 43 . Si x ≥ − 21 , l’équation devient x + 3 = 2x + 1, c’est-à-dire x = 2. On obtient ainsi la solution de l’équation S = {− 34 , 2}.

√

Remarque : Pour plus de détails concernant la résolution d’équations, allez voir la section Equations.

10. Ecrire avec des valeurs absolues l’intervalle [ −3, +7 ].

Solution détaillée : L’intervalle [ −3, +7 ] est de longueur 10. Il faut donc que la valeur absolue soit inférieure ou égale à 5. On obtient [−3, 7] = {x ∈ R : −3 ≤ x ≤ 7} = {x ∈ R : −5 ≤ x − 2 ≤ 5} = {x ∈ R : |x − 2| ≤ 5}

Preuves

Preuve 14 Si a est un nombre réel, alors |a|2 = a2 , d’où, en prenant la racine carrée positive : |a| =

√

a2 .

Si a ≥ 0, alors |a| = a et la proposition est clairement vérifiée.

Si a < 0, alors |a| = −a et donc

|a|2 = (−a)2 = a2 .

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Preuve 15 1. |ab| = |a||b|,

a |a|

2. = , (b 6= 0) b |b| 3. |an | = |a|n ,

4. |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire),

5. |a − b| ≥ |a| − |b|.

Les propriétés 1 et 2 sont évidentes par définition de la valeur absolue. 3. En utilisant la Propriété 1, on obtient |an | = |a · a · · · a| = |a| · |a| · · · |a| = |a|n . 4. Comme ab ≤ |ab| = |a||b|, on a aussi

2ab ≤ 2|a||b|.

Alors, (|a + b|)2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ a2 + 2|a||b| + b2

≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2

≤ (|a| + |b|)2

Puisque les deux nombres élevés au carré sont positifs, la même inégalité subsiste entre leurs racines carrées. 5. On peut écrire successivement |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|. L’ingalité attendue s’obtient en faisant passer |b| dans l’autre membre. Retour au texte

Preuve 16 6. |x| = a si et seulement si x = a ou x = −a,

7. |x| < a si et seulement si −a < x < a,

8. |x| > a si et seulement si x > a ou x < −a.

On va à chaque fois considérer séparément les cas x > 0 et x < 0. 6. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| = a ⇔ x = a. Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| = a ⇔ −x = a ⇔ x = −a.

7. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| < a ⇔ x < a. De plus, −a < 0 et on a aussi −a < x. D’où |x| < a ⇔ −a < x < a. Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| < a ⇔ −x < a ⇔ x > −a. De plus, a > 0 et on a aussi x < a. D’où |x| < a ⇔ −a < x < a.

8. Si x > 0, on a |x| = x et donc |x| > a ⇔ x > a. Si x < 0, on a |x| = −x et donc |x| > a ⇔ −x > a ⇔ x < −a. Retour au texte

Preuve 17 Dans une proportion, le produit des moyens est toujours égal au produit des extrêmes.

On considère la proportion

c a = . b d

Cette proportion peut encore s’écrire

1 1 =c· . b d En multipliant les deux membres par bd, on obtient a·

a·

1 1 ·b·d =c· ·b·d b d

et donc ad = bc.

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Chapitre 5

Egalités Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Propriétés des égalités . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Equation du premier degré . . . . . . . . . . (b) Equation du second degré . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 88 88 89 89 91 93

Théorie

1.1

Propriétés des égalités

Soit a, b, c, d des nombres réels. Une égalité vérifie les propriétés suivantes : 1. a = a. Si a = b, alors b = a. Si a = b et b = c, alors a = c. 2. Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si a = b, alors a + c = b + c. Lorsqu’on retranche un même nombre des deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si a = b, alors a − c = b − c.

3. Lorsqu’on multiplie par un même nombre les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité : si a = b, alors a · c = b · c. Lorsqu’on divise par un même nombre les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle b a égalité : si a = b, alors = où c 6= 0. c c 4. Lorsqu’on additionne membre à membre deux égalités, on obtient un nouvelle égalité : si a = b et c = d, alors a + c = b + d.

1.2

Equations

Définition 5.1 Une équation est une égalité qui n’est vériﬁée que pour certaines valeurs données aux variables qu’elle contient. Ces variables sont les inconnues de l’équation et les valeurs qui vériﬁent l’équation sont appelées les solutions de l’équation. On dira que deux équations sont équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement. ⋆ Par exemple, 2x − 10 = −3x est une équation où x est l’inconnue. Le nombre x = 2 est solution de l’équation car si on remplace x par 2 on obtient l’égalité −6 = −6. On déduit des propriétés des égalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des équations, c’est-à-dire en trouver les solutions. Si A, B, C sont des expressions contenant ou non des inconnues et m est un nombre réel, alors 1. Lorsqu’on rajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente à la première : (a) les équations A = B et A + C = B + C sont équivalentes ; (b) les équations A = B et A − C = B − C sont équivalentes.

Ceci revient à déplacer une quantité dans l’autre membre en changeant son signe. ⋆ Par exemple, les équations 2x − 7 = 3 et 2x = 10 sont équivalentes et les équations 3x + 6 = 10 et 3x = 4 sont équivalentes. 2. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une équation par une même quantité différente de 0, on obtient une équation équivalente à la première : (a) les équations A = B et A · m = B · m avec m 6= 0 sont équivalentes ;

(b) les équations A = B et

A m

B m

avec m 6= 0 sont équivalentes.

â&#x2039;&#x2020; Par exemple, les ĂŠquations 12 x + 6 = 2x = 10 et x = 5 sont ĂŠquivalentes.

3 2

+ 2x et x + 12 = 3 + 4x sont ĂŠquivalentes et les ĂŠquations

3. Les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation A Âˇ B = 0 sont les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation A = 0 ainsi que de celles de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation B = 0 : lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation A Âˇ B = 0 se dissocie donc en (A = 0 ou B = 0). â&#x2039;&#x2020; Par exemple, pour que (x â&#x2C6;&#x2019; 3)(x + 2) = 0, il suffit que x â&#x2C6;&#x2019; 3 = 0 ou que x + 2 = 0. A = 0 sont les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation A = 0 et qui ne sont pas 4. Les solutions de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation B A = 0 se dissocie donc en (A = 0 et B 6= 0). solution de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation B = 0 : lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation B â&#x2039;&#x2020; Par exemple, pour que â&#x2C6;&#x161;

(xâ&#x2C6;&#x2019;4)(x2 â&#x2C6;&#x2019;1) xâ&#x2C6;&#x2019;1

= 0 il suffit que (x â&#x2C6;&#x2019; 4)(x2 â&#x2C6;&#x2019; 1) = 0 mais avec x â&#x2C6;&#x2019; 1 6= 0.

Remarque : Pour obtenir une expression du type A Âˇ B = 0, il est parfois nĂŠcessaire de factoriser les expressions apparaissant dans les deux membres de lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠgalitĂŠ.

MĂŠthode de rĂŠsolution â&#x20AC;&#x201C; Pour rĂŠsoudre une ĂŠquation : â&#x20AC;˘ Mettre tous les termes dans un membre et ĂŠgaler le second membre Ă 0. â&#x20AC;˘ Utiliser les propriĂŠtĂŠs ci-dessus pour isoler lâ&#x20AC;&#x2122;inconnue. La solution est un ensemble de nombres rĂŠels. Cet ensemble peut ĂŞtre vide. (a) Equation du premier degrĂŠ Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation ax + b = 0 (a 6= 0) est une ĂŠquation du premier degrĂŠ. Cette ĂŠquation a une seule solution x = â&#x2C6;&#x2019; ab . Lâ&#x20AC;&#x2122;ensemble des solutions de cette ĂŠquation sera donc notĂŠ S = {â&#x2C6;&#x2019; ab }. Le nombre x = â&#x2C6;&#x2019; ab est aussi appelĂŠ racine de lâ&#x20AC;&#x2122;expression ax + b. â&#x2039;&#x2020; Par exemple, lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation 2x â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 a une seule solution x = 2. On notera S = {2}. (b) Equation du second degrĂŠ Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) est une ĂŠquation du second degrĂŠ. Cette ĂŠquation a zĂŠro, une ou deux solutions dans R. Ces solutions sont donnĂŠes par ( ) â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;b + b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac â&#x2C6;&#x2019;b â&#x2C6;&#x2019; b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac â&#x20AC;˘S = , si b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac > 0 ; 2a 2a â&#x2C6;&#x2019;b â&#x20AC;˘S = si b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac = 0 ; 2a â&#x20AC;˘ S = â&#x2C6;&#x2026; si b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac < 0.

Si vous ĂŞtes intĂŠressĂŠ, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. â&#x2039;&#x2020; Par exemple, lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation 3x2 â&#x2C6;&#x2019; 3x â&#x2C6;&#x2019; 18 = 0 a deux solutions x1 = On notera S = {â&#x2C6;&#x2019;2, 3}. â&#x2C6;&#x161; 8+ 0 8 car b2

â&#x2039;&#x2020; Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation 4x2 â&#x2C6;&#x2019; 8x + 4 = 0 a une solution x = â&#x2039;&#x2020; Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation x2 â&#x2C6;&#x2019; 2x + 6 = 0 nâ&#x20AC;&#x2122;a pas de solution

â&#x2C6;&#x161; 3+ 225 6

= 3 et x2 =

â&#x2C6;&#x161; 3â&#x2C6;&#x2019; 225 6

= 1. On notera S = {1}. â&#x2C6;&#x2019; 4ac = â&#x2C6;&#x2019;20 < 0. On notera S = â&#x2C6;&#x2026;.

= â&#x2C6;&#x2019;2.

√

Remarque : Toute équation ax2 + bx + c = 0 avec b2 − 4ac > 0 admet deux solutions distinctes x1 et x2 telles que x1 + x2 = − ab et x1 · x2 = ac . Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. √

√

⋆ Par exemple, l’équation 2x2 + 8x + 6 = 0 a deux solutions x1 = −8+4 16 = −1 et x2 = −8−4 16 = −3. Ces solutions sont telles que x1 + x2 = −4 = − 82 et x1 · x2 = 3 = 62 . Pour trouver les solutions de cette équation, on aurait donc pu se poser la question suivante : trouver deux nombres dont la somme vaut − ab = −4 et le produit vaut ac = 3. Ces deux nombres sont −1 et −3.

Exemples détaillés 1. Résoudre l’équation 5x − 3 = 0. Solution détaillée :

5x − 3 + 3 = 0 + 3

La solution est donc le nombre réel x =

2. Résoudre l’équation

3 5

5x = 3 5x 3 = 5 5 3 x= 5 et l’on notera S = { 35 }.

x(x − 3) = 0. x−2

Solution détaillée :

x(x − 3) =0 x−2 x(x − 3) = 0 et x − 2 6= 0

(x = 0 ou x − 3 = 0) et x 6= 2 (x = 0 ou x = 3) et x 6= 2

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 0 et x = 3. On notera S = {0, 3}.

3. Résoudre l’équation x(x − 2) = 3(x2 − 4). Solution détaillée :

x(x − 2) = 3(x2 − 4)

x(x − 2) = 3(x − 2)(x + 2)

x(x − 2) − 3(x − 2)(x + 2) = 0 (x − 2)(x − 3x − 6) = 0 (x − 2)(−2x − 6) = 0

x − 2 = 0 ou − 2x − 6 = 0

x = 2 ou − 2x − 6 + 6 = 0 + 6 x = 2 ou − 2x = 6 6 −2x = x = 2 ou −2 −2 x = 2 ou x = −3

√

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 2 et x = −3. On notera S = {−3, 2}. Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s’obtient en factorisant l’expression x2 − 4.

4. Résoudre l’équation x2 − 5x + 6 = 0. Solution détaillée :

x2 − 5x + 6 = 0

(x − 2)(x − 3) = 0

x − 2 = 0 ou x − 3 = 0 x = 2 ou x = 3

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = 2 et x = 3. On notera S = {2, 3}.

√

Remarque : Le passage de la première à la deuxième égalité s’obtient en factorisant l’expression x2 − 5x + 6.

5. Résoudre l’équation

x2 − 4x + 3 = 0. x−1

Solution détaillée :

x2 − 4x + 3 = 0 et x − 1 6= 0 (x − 1)(x − 3) = 0 et x 6= 1

((x − 1 = 0) ou (x − 3) = 0) et x 6= 1 (x = 1 ou x = 3) et x 6= 1

√

La solution x = 1 est donc à rejeter. Cette équation a une seule solution, le nombre réel x = 3. On notera S = {3}. Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne s’obtient en factorisant l’expression x2 − 4x + 3.

6. Résoudre l’équation

x = 2. x−3

Solution détaillée :

x =2 x−3 x −2=0 x−3 x − 2(x − 3) =0 x−3 −x + 6 =0 x−3 6 − x = 0 et x − 3 6= 0 x = 6 et x 6= 3

Cette équation a donc une solution, le nombre réel x = 6. On notera S = {6}.

7. Résoudre l’équation | 2x + 3 |= 1. Solution détaillée :

| 2x + 3 |= 1

2x + 3 = 1 ou 2x + 3 = −1

2x + 3 − 3 = 1 − 3 ou 2x + 3 − 3 = −1 − 3 2x = −2 ou 2x = −4 −2 2x −4 2x = ou = 2 2 2 2 x = −1 ou x = −2

√

Cette équation a donc deux solutions, les nombres réels x = −1 et x = −2. On notera S = {−2, −1}. Remarque : Le passage de la première à la deuxième ligne découle des propriétés de la valeur absolue.

8. Le triple d’un nombre, diminué de 4, est égal à son double augmenté de 7. Quel est ce nombre ? Solution détaillée : • Choix de l’inconnue : x = le nombre cherché ; • Mise en équation : 3x − 4 = 2x + 7 ; • Résolution de l’équation : 3x − 2x = 7 + 4 d’où x = 11 ; • Solution du problème : le nombre est 11 ; • Vérification de la solution : on a bien 3 · 11 − 4 = 2 · 11 + 7 c’est-à-dire 29 = 29.

Preuves

Preuve 18 Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation ax2 + bx + c = 0 a zĂŠro, une ou deux solutions dans R. Cette ĂŠquation peut successivement sâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠcrire ax2 + bx + c = 0 b c x2 + x + = 0 a a b2 b2 c b 2 x +2 x+ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 + =0 4a 4a a 2a b 2 b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac x+ = 2a 4a2 1er cas : b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac > 0. On obtient

b =Âą x+ 2a

dâ&#x20AC;&#x2122;oĂš b x=â&#x2C6;&#x2019; Âą 2a

r â&#x2C6;&#x161;

b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac 4a2

b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac . 2a

Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation a donc deux solutions : â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;b â&#x2C6;&#x2019; b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac x1 = et x2 = . 2a 2a ( ) â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;b + b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac â&#x2C6;&#x2019;b â&#x2C6;&#x2019; b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac On notera S = . , 2a 2a â&#x2C6;&#x2019;b +

2Ă¨me cas : b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac = 0. On obtient

b =0 2a

dâ&#x20AC;&#x2122;oĂš x=â&#x2C6;&#x2019; Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation a une seule solution : x = 3Ă¨me cas : b2 â&#x2C6;&#x2019; 4ac < 0. On obtient

b â&#x2C6;&#x2019; 2a .

b . 2a

On notera S =

â&#x2C6;&#x2019;b . 2a

b 2 x+ <0 2a

ce qui est impossible. Lâ&#x20AC;&#x2122;ĂŠquation nâ&#x20AC;&#x2122;a pas de solution. On notera S = â&#x2C6;&#x2026;. Retour au texte

Preuve 19 Les solutions x1 et x2 de l’équation ax2 + bx + c = 0 avec b2 − 4ac > 0 sont telles que x1 + x2 = − On a vu que x1 = On calcule alors

−b +

c b et x1 · x2 = . a a

√ −b − b2 − 4ac b2 − 4ac et x2 = . 2a 2a

√

√ −2b −b b2 − 4ac −b − b2 − 4ac + = = x1 + x2 = 2a 2a 2a a √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac · x1 · x2 = 2a √ 2a √ 2 2 −( b − 4ac + b)( b − 4ac − b) = 4a2 2 2 4ac c −(b − 4ac − b ) = 2 = . = 2 4a 4a a −b +

√

Retour au texte

Chapitre 6

Inégalités Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . 1.1 Propriétés des inégalités . 1.2 Inéquations . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . . 96 . . . . . . . . . 99 . . . . . . . . . 102

Théorie

1.1

Propriétés des inégalités

Dans R, nous avons une relation d’ordre. Quand on travaille avec des inégalités, il faut connaître les règles suivantes : soit a, b, c, d des nombres réels. On a 1. Si a > b et b > c, alors a > c. 2. Lorsqu’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si a > b, alors a + c > b + c. Lorsqu’on retranche un même nombre des deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens : si a > b, alors a − c > b − c.

3. Lorsqu’on multiplie les deux membres d’une inégalité

(a) par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens : si a > b et c > 0, alors a · c > b · c ;

(b) par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire : si a > b et c < 0, alors a · c < b · c.

4. Lorsqu’on divise les deux membres d’une inégalité (a) par un nombre positif, on obtient une inégalité de même sens : b a si a > b et c > 0, alors > où c 6= 0 ; c c (b) par un nombre négatif, on obtient une inégalité de sens contraire : a b si a > b et c < 0, alors < où c 6= 0. c c 5. Lorsqu’on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens que les précédentes : si a > b et c > d, alors a + c > b + d. 6. Lorsqu’on soustrait membre à membre deux inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité dont le sens est celui de la première inégalité : si a > b et c < d, alors a − c > b − d.

7. Lorsqu’on passe à l’inverse, on change le sens de l’inégalité : si 0 < a < b, alors 1/a > 1/b.

1.2

Inéquations

Définition 6.1 Une inéquation est une inégalité qui n’est vériﬁée que pour certaines valeurs données aux variables qu’elle contient. Ces variables sont les inconnues de l’inéquation et les valeurs qui vériﬁent l’inéquation sont appelées les solutions de l’inéquation. Deux inéquations sont équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement. ⋆ Par exemple, 2x + 1 ≥ 5 est une inéquation où x est l’inconnue. N’importe quel nombre réel supérieur ou égal à 2 satisfait cette inégalité. Les solutions sont donc tous les nombres réels x ≥ 2. On déduit des propriétés des inégalités les propriétés suivantes qui vont nous permettre de résoudre des inéquations, c’est-à-dire en trouver les solutions. Si A, B, C sont des expressions contenant ou non des inconnues et m est un nombre réel, alors 1. Lorsqu’on ajoute ou retranche une même quantité aux deux membres d’une inéquation, on obtient une inéquation équivalente à la première :

(a) les inéquations A > B et A + C > B + C sont équivalentes ; (b) les inéquations A > B et A − C > B − C sont équivalentes.

Ceci revient à déplacer une quantité dans l’autre membre en changeant son signe. ⋆ Par exemple, les inéquations 2x − 3 > x − 6 et 2x > x − 3 sont équivalentes. Les inéquations 2x + 10 > x − 2 et x + 10 > −2 sont équivalentes.

2. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre positif, on obtient une inéquation de même sens équivalente à la première : (a) les inéquations A > B et A · m > B · m avec m > 0 sont équivalentes ;

(b) les inéquations A > B et ⋆ Par exemple, les inéquations sont équivalentes.

x 3

A m

B m

avec m > 0 sont équivalentes.

> 6 et x > 18 sont équivalentes. Les inéquations 2x < 4 et x < 2

3. Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre négatif, on obtient une inéquation de sens contraire équivalente à la première : (a) les inéquations A > B et A · m < B · m avec m < 0 sont équivalentes ;

(b) les inéquations A > B et

A m

B m

avec m < 0 sont équivalentes.

⋆ Par exemple, les inéquations − x2 > 4 et x < −8 sont équivalentes. Les inéquations −4x < 12 et x > −3 sont équivalentes. A > 0) sont les valeurs qui vérifient simultanément 4. Les solutions de l’inéquation A · B > 0 (ou B A > 0 et B > 0, ainsi que celles qui vérifient simultanément A < 0 et B < 0 : l’inéquation A > 0) se dissocie donc en (A > 0 et B > 0) ou (A < 0 et B < 0). A · B > 0 (ou B ⋆ Par exemple, l’expression (x−3)(x+2) > 0 si x − 3 > 0 et x + 2 > 0 x > 3 et x > −2 x>3 √

ou ou ou

x − 3 < 0 et x + 2 < 0 x < 3 et x < −2 x < −2

Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant : x−3 x+2 (x − 3)(x + 2)

− − +

−2 − 0 0

− + −

3 0 + 0

+ + +

La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l’expression (x − 3)(x + 2). Si x < −2 alors l’expression est positive, si x = −2 alors l’expression est nulle, si −2 < x < 3 alors l’expression est négative et ainsi de suite. A 5. Les solutions de l’inéquation A · B < 0 (ou < 0) sont les valeurs qui vérifient simultanément B A > 0 et B < 0, ainsi que celles qui vérifient simultanément A < 0 et B > 0 : l’inéquation A < 0) se dissocie donc en (A > 0 et B < 0) ou (A < 0 et B > 0). A · B < 0 (ou B x+1 ⋆ L’expression < 0 si x + 1 < 0 et x − 2 > 0 ou x + 1 > 0 et x − 2 < 0 x−2 x < −1 et x > 2 ou x > −1 et x < 2 impossible ou x ∈ ] − 1, 2[

√

Remarque : Le calcul ci-dessus peut être résumé dans le tableau de signes suivant : x+1 x−2 x+1 x−2

− − +

−1 0 − 0

+ − −

2 + 0 |

+ + +

La dernière ligne de ce tableau donne les signes de l’expression définie pour x = 2. √

x+1 x−2 .

Cette expression n’est pas

Remarque : Rappel sur les tableaux de signes : L’équation ax + b = 0 a comme solution le nombre x = − ab . L’expression ax + b a le signe de x à droite de la racine et le signe contraire à gauche. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. L’équation ax2 + bx + c = 0 a zéro, une ou deux solutions. L’expression ax2 + bx + c a le signe de partout sauf entre les racines lorsqu’il y en a deux. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

Méthode de résolution – Pour résoudre une inéquation : • Mettre tous les termes dans un membre et égaler le second membre à 0. • Ecrire le premier membre sous la forme d’une seule expression et faire le tableau de signes de cette expression. • En déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation. La solution est un intervalle ou l’union de plusieurs intervalles de R. √

Remarque : Ne jamais supprimer le dénominateur dans une inéquation car celui-ci a un signe qui interviendra dans le signe de l’expression.

Exemples détaillés 1 1. Résoudre l’inéquation −2x + 1 < − . 2 Solution détaillée :

et donc la solution est S =

2. Résoudre l’inéquation

1 −2x < − − 1 2 3 −2x < − 2 3 1 · − x> − 2 2 3 x> 4

4 ; +∞

x < 2. x−3

Solution détaillée :

√

x −2<0 x−3 x − 2(x − 3) <0 x−3 −x + 6 <0 x−3 On effectue un tableau de signes de l’expression : 3 6 −x + 6 + + + 0 x−3 − 0 + + −x+6 − | + 0 x−3 et donc la solution est S =] − ∞; 3[ ∪ ]6; +∞[.

− + −

Remarque : Pour un rappel concernant la construction d’un tableau de signes, cliquez ici.

3. Résoudre l’inégalité x2 − 5x + 6 ≤ 0.

Solution détaillée : On factorise d’abord le membre de gauche (x − 2)(x − 3) 6 0.

√

On sait que l’équation correspondante (x − 2)(x − 3) = On effectue un tableau de signes de l’expression : 2 x−2 − 0 + x−3 − − − x2 − 5x + 6 + 0 − et donc la solution est S = [2, 3].

0 a comme solution x = 2 et x = 3. 3 + 0 0

+ + +

Remarque : La première étape consiste à factoriser l’expression x2 − 5x + 6. Il faut ensuite construire un tableau de signes en utilisant les deux racines.

4. Résoudre l’inéquation x3 + 3x2 > 4x. Solution détaillée : On commence par mettre tous les termes non nuls d’un côté du signe d’inégalité et on factorise x3 + 3x2 − 4x > 0

x(x − 1)(x + 4) > 0.

De la même façon qu’à l’exemple précédent, on résoud l’équation correspondante x(x − 1)(x + 4) = 0 et on se sert des solutions x = −4, x = 0 et x = 1 pour construire un tableau de signes :

− − − −

x x−1 x+4 x3 + 3x2 − 4x

√

et donc S = ] − 4, 0[ ∪ ]1; +∞[.

−4 − − 0 0

0 0 − + 0

− − + +

1 + 0 + 0

+ − + −

+ + + +

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la factorisation et les tableaux de signes.

5. Déterminez le domaine de définition de la fonction

x2 − x . x2 − 5x + 6

Solution détaillée : Cette fonction existe à condition que x2 − x ≥0 x2 − 5x + 6

√

x(x − 1) ≥ 0. (x − 2)(x − 3)

On effectue un tableau de signes de l’expression : 0 1 x − 0 + + + x−1 − − − 0 + − − − − − x−2 x−3 − − − − − x(x−1) + 0 − 0 + (x−2)(x−3) et donc la solution est S =] − ∞; 0] ∪ [1, 2[ ∪ ]3; +∞[.

2 + + 0 − |

+ + + − −

3 + + + 0 |

+ + + + +

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la racine carrée, la factorisation et les tableaux de signes.

6. Résoudre l’inéquation | x −

1 2

|< 12 .

Solution détaillée :

1 1 1 <x− < 2 2 2 1 1 1 1 x − > − et x − < 2 2 2 2 x > 0 et x < 1 −

La solution est donc S = ]0, 1[ . √

Remarque : La première ligne s’obtient en utilisant une propriété de la valeur absolue.

7. Résoudre l’inéquation | x − 1 |≤| x − 2 |.

Solution détaillée : Par définition de la valeur absolue, on a x − 1 si x ≥ 1 | x − 1 |= 1 − x si x < 1

| x − 2 |= Il y a donc trois cas possibles : Si x < 1 alors l’inéquation devient

x−2 2−x

si si

x≥2 x<2

1−x≤2−x 1≤2 ce qui est vérifié pour tout x ∈ R. On a donc une première solution S1 = R∩ ] − ∞; 1[ = ] − ∞; 1[ .

100

Si 1 ≤ x < 2 alors l’inéquation devient x−1≤2−x 2x ≤ 3 3 x≤ 2 Une deuxième solution est donc S2 = −∞; 32 ∩ [1, 2[ = 1, 23 . Si x ≥ 2 alors l’inéquation devient x−1≤x−2 −1 ≤ −2 ce qui est impossible. On a donc une troisième solution S3 = ∅ ∩ [2; +∞[ = ∅.

√

Finalement la solution de l’inéquation est donnée par S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = −∞; 23 .

Remarque : Cliquez sur les liens pour des rappels concernant la valeur absolue et l’union et l’intersection d’ensembles.

101

Preuves

Preuve 20 L’expression ax + b a le signe de x à droite de la racine et le signe contraire à gauche. L’expression ax + b peut encore s’écrire a(x + ab ). Si x = − ab alors ax + b = 0.

Si x > − ab , c’est-à-dire si x est à droite de la racine, on a (x + ab ) > 0 et donc l’expression a le même signe que a (et donc que x). Si x < − ab , c’est-à-dire si x est à gauche de la racine, on a (x + ab ) < 0 et donc l’expression a le signe contraire de a (et donc de x). Retour au texte

102

Preuve 21 L’expression f (x) = ax2 + bx + c a le signe de x2 partout sauf entre les racines lorsqu’il y en a deux.

1er cas : b2 − 4ac < 0. Dans ce cas, f (x) n’a pas de racine. L’expression peut s’écrire ! b 2 b2 − 4ac − f (x) = a x+ 2a 4a2 où x +

b 2 2a

> 0 et b2 − 4ac < 0. On en déduit que

b x+ 2a

−

b2 − 4ac >0 4a2

et donc f (x) a le même signe que a (et donc que x2 ). 2ème cas : b2 − 4ac = 0. Dans ce cas, f (x) a une seule racine. L’expression peut s’écrire

b f (x) = a x + 2a b 2 > 0. Donc f (x) a le même signe que a 2a cas : b2 − 4ac > 0. Dans ce cas, f (x) a deux

où x +

(et donc que x2 ).

3ème L’expression peut s’écrire

racines distinctes x1 et x2 (supposons x1 < x2 ).

f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) où (x − x1 )(x − x2 ) > 0 si x < x1 ou x > x2 (x − x1 )(x − x2 ) < 0 si x1 < x < x2 On en déduit que f (x) a le même signe que a partout sauf entre les deux racines x1 et x2 . Retour au texte

103

Chapitre 7

Systèmes Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Système de deux équations à deux inconnues . . (a) Interprétation géométrique . . . . . . . . . . (b) Méthodes de résolution . . . . . . . . . . . . (c) Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Système de plus de deux équations . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

. . . . . . . .

. . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . 106 . . . . . . . . . . 108 . . . . . . . . . . 108 . . . . . . . . . 109 . . . . . . . . . 111

Théorie

1.1

Système de deux équations à deux inconnues

Toute équation du premier degré à deux inconnues possède une infinité de solutions. En effet, sa représentation graphique est une droite qui comporte une infinité de points dont les coordonnées sont des solutions de cette équation. Si l’on considère un système de deux équations à deux inconnues, ses solutions seront les couples de réels (x, y) vérifiant à la fois la première et la seconde équation. (a) Interprétation géométrique Considérons le système formé de 2 équations linéaires dans R2 .   y = ax + b  y = cx + d

(1.1)

Notons S l’ensemble des points de R2 vérifiant le système. Autrement dit S = (x, y) ∈ R2 : (1.1) est vérifié .

L’ensemble S comprend les points de l’intersection des 2 droites. Plusieurs cas sont possibles en fonction des paramètres des 2 droites. • Les deux droites sont sécantes – Si a 6= c, les deux droites sont sécantes et ont alors un seul point commun, le point (x0 , y0 ). Le système aura une solution unique notée S = {(x0 , y0 )}. Y

•

• Les deux droites sont parallèles distinctes – Si a = c et b 6= d, les deux droites sont parallèles et distinctes. Elles n’ont donc aucun point en commun. Le système n’aura aucune solution. On dit qu’il est impossible et on note S = ∅. Y

X O

105

• Les deux droites sont parallèles confondues – Si a = c et b = d, les deux droites sont confondues. Elles ont tous leurs points en commun. Le système a une infinité de solutions. On dit qu’il est indéterminé et on note S = {(x, y) | y = ax + b}. Y

X O

(b) Méthodes de résolution Voyons à présent trois méthodes pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues. Méthode de combinaison Cette méthode repose sur les deux principes suivants : Premier principe – On peut multiplier n’importe quelle équation du système par une constante k 6= 0 et on obtient un système équivalent. Ce premier principe est clair au vu de l’interprétation géométrique. En effet, multiplier tous les coefficients d’une droite par une constante k 6= 0 conduit à la même droite et donc ne modifie pas le système. Second principe – On peut additionner à n’importe quelle équation du système une autre équation du système et on obtient un système équivalent. En effet, tout point (x, y) vérifiant l’équation de la première droite et l’équation de la deuxième droite vérifie également l’équation obtenue en additionnant les deux équations et réciproquement. Méthode de combinaison – Aligner les inconnues et le terme indépendant. – Multiplier les équations par un réel de telle manière qu’en faisant la somme des équations, une des inconnues disparaisse. – Isoler l’inconnue restante. – Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’équation restante.

⋆ Résolvons par exemple le système On a successivement 3x + 2y = 9 3x + 2y = 9 4x = y + 1 4x − y = 1

12x + 8y = 36 y=3

3x + 2y = 9 4x = y + 1

12x + 24 = 36 y=3

12x + 8y = 36 −12x + 3y = −3 12x = 12 y=3

106

12x + 8y = 36 11y = 33 x=1 y=3

et donc S = {(1, 3)}. Méthode de substitution

Méthode de substitution – – – –

Isoler une des inconnues dans une des équations. Remplacer l’inconnue isolée par sa valeur dans l’autre équation. Isoler l’inconnue restante. Remplacer cette inconnue par sa valeur dans l’équation restante.

⋆ Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode. On a successivement 3x + 2y = 9 x = 3 − 23 y x = 3 − 23 y x = 3 − 32 y 4x = y + 1 4x − y = 1 4(3 − 23 y) − y = 1 − 11 3 y = −11

x = 3 − 32 y y=3

x=1 y=3

et donc S = {(1, 3)}. Méthode des déterminants

ax + by = c On veut résoudre le système a′ x + b′ y = c′ ′ a b Appelons la matrice du système et son déterminant a ′ b′

Méthode des déterminants – – – –

a b

D = ′ ′

= ab′ − a′ b. a b

Calculer D = ab′ − a′ b. Si D = 0 et ac′ − a′ c 6= 0, alors le système est impossible. Si D = 0 et ac′ − a′ c = 0, alors le système est indéterminé. ′ −c′ b ac′ −a′ c , D )}. Si D 6= 0, alors le système a une seule solution S = {( cb D

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette dernière affirmation. ⋆ Résolvons le même système que ci-dessus par cette méthode. On a 3x + 2y = 9 4x − y = 1 , 3·1−9·4 et donc D = 3·(−1)−2·4 = −11. Puisque D 6= 0, le système aura une seule solution ( 9·(−1)−1·2 −11 −11 ) = (1, 3). On obtient donc aussi S = {(1, 3)}.

107

3x − 2y = 5 6x − 4y = 2

On a S = ∅. En effet, les coefficients de x et y sont proportionnels mais pas les termes indépendants. Il s’agit de deux droites parallèles distinctes. • Système simplement indéterminé

3x − 2y = 5 6x − 4y = 10

On a S = {(x, y) ∈ R2 |3x − 2y = 5}. En effet, les deux équations ont des coefficients proportionnels. La deuxième équation est la multiplication de la première par un facteur 2. Il s’agit donc de la même droite. • Système doublement indéterminé

6x − 2y = 2(3x − y) −x − 4y + 4 = 4(1 − y) − x

On a S = R2 . En effet, les deux équations de ce système sont équivalentes à l’équation 0 = 0 qui est toujours satisfaite quelles que soient les valeurs de x et de y.

1.2

Système de plus de deux équations

Qu’en est-il maintenant si on a plus de deux équations dans R2 ? Considérons un système de m équations à deux inconnues   a1 x + b1 y = c1       a2 x + b2 y = c2 (1.2) ..   .      am x + bm y = cm Définissons S l’ensemble des solutions du système (1.2) : S = (x, y) ∈ R2 : (x, y) satisfait (1.2)

Géométriquement, pour appartenir à S, il faut appartenir à chacune des droites qui correspondent aux différentes équations du système (1.2). A nouveau, plusieurs cas sont possibles concernant l’intersection des droites. • Les droites sont sécantes pas toutes au même point – Dans ce cas, il n’y a pas d’intersection commune aux m droites. • Les droites sont toutes sécantes au même point – Dans ce cas, l’intersection se réduit à un point unique, le seul commun aux m droites. • Il y a deux droites parallèles disjointes – Dans ce cas, comme il n’y a pas d’intersection entre les deux droites parallèles disjointes, il n’y a donc pas d’intersection commune aux m droites. En pratique, il suffit de considérer deux droites et de prendre leur intersection en résolvant le système constitué de leurs seules deux équations. Si ce système a une solution, on regarde si elle satisfait les autres équations. S’il n’a pas de solution alors le système complet n’aura pas de solution.

108

Exemples détaillés 1. Résoudre le système

2x + 3y + 4 = 0 4x − 5y + 30 = 0

Solution détaillée : Nous allons le résoudre par les trois méthodes. Méthode de combinaison : On a successivement 2x + 3y = −4 4x + 6y = −8 11y = 22 4x − 5y = −30 4x − 5y = −30 4x − 5y = −30

y=2 4x − 10 = −30

y=2 4x = −20

y=2 4x − 5y = −30

y=2 x = −5

et donc S = {(−5, 2)}. Méthode de substitution : On a successivement 2x + 3y + 4 = 0 2x + 3y + 4 = 0 4x − 5y + 30 = 0 5y = 4x + 30

2x + 3( 45 x + 6) + 4 = 0 y = 45 x + 6

x + 22 = 0 y = 54 x + 6 5

x = −5 y = 45 (−5) + 6

2x + 3y + 4 = 0 y = 45 x + 6 x = −5 y = 45 x + 6

x = −5 y=2

et donc S = {(−5, 2)}. Méthode des déterminants : On a

2x + 3y = −4 4x − 5y = −30

et donc D = 2 · (−5) − 3 · 4 = −22. Puisque D 6= 0, le système aura une seule solution , 2·(−30)−4·(−4) ) = (−5, 2). On obtient donc aussi S = {(−5, 2)}. ( −4·(−5)−3·(−30) −22 −22

2. Résoudre le système

(2x − 1 + y)(y + 1) = 0 xy − x2 + 3y + 9 = 0

Solution détaillée : On a successivement (2x − 1 + y)(y + 1) = 0 (2x − 1 + y)(y + 1) = 0 y(x + 3) − (x2 − 9) = 0 y(x + 3) − (x − 3)(x + 3) = 0

Ce système se décompose en 4 systèmes plus simples : 2x − 1 + y = 0 2x − 1 + y = 0 −6 − 1 + y = 0 • x+3=0 x = −3 x = −3 y+1=0 y = −1 • x+3=0 x = −3 2x − 1 + y = 0 2x + y = 1 2x + y = 1 • y−x+3=0 −x + y = −3 3x = 4

•

2x + y = 1 x = 43 y+1=0 y−x+3=0

+y =1 x = 34 3

y = −1 y−x+3=0

y= x=

−5 3 4 3

y = −1 −1 − x + 3 = 0

(2x − 1 + y)(y + 1) = 0 (x + 3)(y − x + 3) = 0

y=7 x = −3

y = −1 x=2

Finalement, on obtient quatre solutions : S = {(−3, 7), (−3, −1), ( 43 , −5 3 ), (2, −1)}.

109

√

Remarque : Cliquez sur les liens pour plus de détails concernant la factorisation et la résolution d’équations.

3. Trouver un nombre à deux chiffres tel que la différence entre 4 fois le chiffre des unités et trois fois le chiffre des dizaines soit égale à 1, et que renversé, le nombre diminue de 9. Solution détaillée : Appelons x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités. Le nombre cherché est 10x + y. Il faut résoudre le système 4y − 3x = 1 10y + x = 10x + y − 9 On a −3x + 4y = 1 −9x + 9y = −9

y=4 −9x + 36 = −9

9x − 12y = −3 −9x + 9y = −9 y=4 9x = 45

−3y = −12 −9x + 9y = −9

y=4 −9x + 9y = −9

y=4 x=5

Le nombre cherché est donc 54.

4. Un bateau à moteur, fonctionnant à plein régime, parcourt 4 km en remontant la rivière (contre un courant constant) en 15 minutes (= 1/4 heure). Le retour (avec le même courant et à plein régime) prend 12 minutes (=1/5 heure). Trouver la vitesse du courant et la vitesse propre du bateau en eau calme. Solution détaillée : Définissons les inconnues de notre système : soit x la vitesse du bateau (en km/h), y la vitesse du courant (en km/h). Lors de la remontée, le courant ralentit le bateau ; la vitesse à la remontée est donc de x − y (en km/h). Lors de la descente, le courant augmente la vitesse du bateau ; la vitesse à la descente est donc de x + y (en km/h). Rappelons que la distance s parcourue à une vitesse v pendant un temps t vaut s = vt. Ici, nous obtenons le système 4 = 41 (x − y) 4 = 51 (x + y) c’est-à-dire

On a 2x = 36 x + y = 20

x = 18 x + y = 20

  x − y = 16  x + y = 20 x = 18 18 + y = 20

x = 18 y=2

La vitesse du courrant est de 2 km/h et celle du bateau est de 18 km/h.

110

Preuves

Preuve 22 ′ −c′ b ac′ −a′ c ax + by = c , D )}, Si D 6= 0, alors le système a une seule solution S = {( cb D a′ x + b′ y = c′

a b

où D =

′ ′

= ab′ − a′ b. a b On considère le système

ax + by = c . a′ x + b′ y = c′

En multipliant la première équation par b′ et la seconde par b, puis en soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient (ab′ − a′ b)x = b′ c − bc′ , x=

b′ c − bc′ b′ c − bc′ = , ab′ − a′ b D

à condition que D 6= 0. De même, en multipliant la première équation par a′ et la seconde par a, puis en soustrayant la première équation de la deuxième, on obtient (ab′ − a′ b)y = ac′ − a′ c, y=

ac′ − a′ c ac′ − a′ c = , ab′ − a′ b D

à condition que D 6= 0. Retour au texte

111

Chapitre 8

Droites Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Equations du premier degré – droites . . . . . . (a) Equation vectorielle de la droite . . . . . . . (b) Equation cartésienne de la droite . . . . . . 1.2 Position relative de deux droites . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

. . . . . . .

. . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . 118 . . . . . . . . . 119 . . . . . . . . . 121

Théorie

1.1

Equations du premier degré – droites

Une équation du premier degré à deux inconnues ax+by+c = 0 est représentée dans le plan cartésien par une droite. Un point appartient à cette droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de la droite. ⋆ Par exemple, considérons la droite D : y = 2x − 1. On a (2, 3) ∈ D car 3 = 2 · 2 − 1 mais (3, 1) 6∈ D puisque 1 6= 2 · 3 − 1. En pratique, pour représenter une droite, il suffit de choisir deux points de cette droite et de les relier. Par facilité, on choisit souvent les intersections de la droite avec les deux axes de coordonnées. (a) Equation vectorielle de la droite Soient A et B deux points distincts du plan. Le point P appartient à la droite AB −→ − −→ – si et seulement si le vecteur AP est un multiple du vecteur AB, −→ −− → – si et seulement si il existe un réel k 6= 0 tel que AP = k AB. −→ − −→ L’équation vectorielle de la droite AB est donnée par AP = k AB où k 6= 0. −− → −→ Soient A = (xa , ya ), B = (xb , yb ) et P = (x, y). Comme AB = (xb −xa , yb −ya ) et AP = (x−xa , y −ya ), on a x − xa = k(xb − xa ) y − ya = k(yb − ya ) Pour des rappels concernant les vecteurs, cliquez ici. (b) Equation cartésienne de la droite L’équation cartésienne d’une droite (non verticale) peut s’écrire : y = mx + p

(1.1)

où • p est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire que p est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe OY . Le point (0, p) appartient donc à la droite. • m est la pente de la droite. Il s’agit de l’augmentation de l’ordonnée pour une augmentation unitaire des abscisses et ceci quel que soit l’endroit où l’augmentation de x est considérée. Par exemple, entre 0 et P1 , l’augmentation des ordonnées est de m − 0 = m, et entre P1 et P2 , l’augmentation des ordonnées est de 2m − m = m.

113

∆ 2m m

• •

P1 X

Equation d’une droite passant par deux points donnés Une droite est entièrement déterminée par deux points distincts du plan. Soit P1 = (x1 , y1 ) et P2 = (x2 , y2 ) deux points par lesquels passe la droite. Y ∆ y2 y1

•

L’équation de la droite y = mx + p doit être satisfaite par les deux points (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ). On a donc y1 = mx1 + p, y2 = mx2 + p. En soustrayant les deux équations, on élimine le paramètre (inconnu) p. On obtient alors y2 − y1 = m(x2 − x1 ), ou encore

y2 − y1 . x2 − x1 En remplaçant m dans la première équation, on trouve m=

p = y1 −

y2 − y1 x1 . x2 − x1

L’équation cartésienne de la droite passant par les points P1 = (x1 , y1 ) et P2 = (x2 , y2 ) est donnée par y2 − y1 (x − x1 ). y − y1 = x2 − x1

114

⋆ Par exemple la droite passant par les points (−1, −1) et (1, 3) a pour équation y = 2x + 1. En effet, on a y − (−1) = 3−(−1) 1−(−1) (x − (−1)), y + 1 = 2(x + 1), y = 2x + 2 − 1, y = 2x + 1. Cas particuliers : • Si y1 = y2 , la pente est nulle et la droite est parallèle à l’axe des x (droite horizontale). Dans ce cas, la droite a pour équation y = y1 . ⋆ Ainsi, l’équation de l’axe des abscisses est donnée par : y = 0. • Si x1 = x2 , la pente est infinie et la droite est parallèle à l’axe des y (droite verticale). Dans ce cas, la droite a pour équation x = x1 . ⋆ Ainsi, l’équation de l’axe des ordonnées est donnée par : x = 0. En pratique, pour représenter une droite dont on connaît deux points, il suffit de placer ces deux points dans un repère et de les relier. Equation d’une droite de pente donnée et passant par un point donné Si une droite est parfaitement définie par la donnée de deux de ses points, elle l’est aussi par la donnée d’un de ses points (par exemple le point d’intersection de cette droite avec l’axe des ordonnées) et de sa pente. Soit m la pente de la droite et P1 = (x1 , y1 ) un point par lequel passe cette droite.

Y ∆ P1

•

m 1

Vu que la pente est connue, il reste à déterminer le paramètre p dans l’équation y = mx + p. Puisque (x1 , y1 ) vérifie l’équation de la droite, on a y1 = mx1 + p, d’où la valeur du paramètre p : p = y1 − mx1 .

115

L’équation devient alors y = mx + y1 − mx1 . L’équation cartésienne de la droite de pente m passant par le point P1 = (x1 , y1 ) est donnée par y − y1 = m(x − x1 ).

⋆ Par exemple la droite de pente 4 et passant par le point (1, 3) a pour équation y = 4x − 1. En effet, on a y − 3 = 4(x − 1), y = 4x − 4 + 3, y = 4x − 1. En pratique, pour représenter la droite y = mx + p, on place le point (0, p). Partant de ce point, on avance d’une unité vers la droite, puis on monte (si m > 0) ou on descend (si m < 0) d’une longueur m. On obtient ainsi un deuxième point. Il ne reste plus qu’à joindre ces deux points. √

Remarque : 1. Considérons la droite y = mx + p. On remarque que, pour p fixé, la pente de la droite varie avec m. Par contre, si on fixe m, on obtient en faisant varier p des droites parallèles entre elles. L’ajout du terme p a pour seul effet de déplacer la droite vers le haut (ou le bas) d’une distance égale à p. 2. Si m > 0 alors la droite est croissante, si m < 0 alors la droite est décroissante. 3. Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de 1, son ordonnée augmentera de m (positif ou négatif). 4. Si en déplaçant un point sur la droite on augmente son abscisse de ∆x, son ordonnée augmentera ∆y . de ∆y = m · ∆x. Donc m = ∆x Y ∆ ∆x p

∆y

m 1 X

5. Ayant choisi un système d’axes perpendiculaires avec des unités de même longueur, on a m = tg α, où α est l’angle entre l’axe des x positif et la droite, dans le sens trigonométrique.

116

Y ∆

m = tg α

Dans ce cas, la pente est aussi appelée coefficient angulaire de la droite. Forme générale de l’équation d’une droite Plus généralement, l’équation d’une droite sera donnée par une relation linéaire du type (1.2)

ax + by = c.

Cette formulation (1.2) est plus générale que la précédente car elle peut admettre b = 0, ce qui n’était pas le cas avec la formulation précédente. • Si b = 0 et a 6= 0, l’équation (1.2) se réduit à x = ac . Cette équation signifie que, quelle que soit la valeur de y, x est une constante. Graphiquement, on a donc une droite verticale.

Y x=

c a

En particulier, l’équation de l’axe des ordonnées est donnée par x = 0. • Si b 6= 0 et a 6= 0, on peut réécrire (1.2) comme c a y =− x+ . b b On s’est donc ramené à l’équation du type (1.1) avec m = − ab et p = cb .

• Si b 6= 0 et a = 0, on a une équation du type y = bc qui dit que quelle que soit la valeur de x, la valeur de y est constante. Il s’agit d’une droite horizontale.

117

c b

En particulier, l’équation de l’axe des abscisses est donnée par y = 0.

1.2

Position relative de deux droites

• Deux droites sont parallèles distinctes si et seulement si elles ont la même pente (m) et des ordonnées à l’origine (p) différentes. ⋆ Par exemple, les droites y = 3x + 2 et y = 3x − 1 sont parallèles. • Deux droites sont sécantes si et seulement si elles ont des pentes différentes. ⋆ Par exemple, les droites y = 3x + 2 et y = 5x − 1 sont sécantes. • Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente vaut −1 (ou si une des droites est verticale et l’autre horizontale). ⋆ Par exemple, les droites y = 3x + 1 et y = − 31 x − 1 sont perpendiculaires. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette dernière affirmation. Les coordonnées du point d’intersection de deux droites sont obtenues en résolvant le système formé par leurs équations. Pour plus de détails concernant les systèmes, cliquez ici.

118

Exemples détaillés 1. Les points (2, 5), (0, −4) et (4, 8) appartiennent-ils à la droite D : y = 3x − 4 ?

Solution détaillée : On a • (2, 5) 6∈ D. En effet, quand on remplace x par 2 et y par 5 dans l’équation de D, celle-ci n’est pas vérifiée puisque 5 6= 3 · 2 − 4 ; • (0, −4) ∈ D car −4 = 3 · 0 − 4 ; • (4, 8) ∈ D car 8 = 3 · 4 − 4.

2. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (1, 2) et (−3, 6). Solution détaillée : On obtient y−2=

6−2 (x − 1) −3 − 1

c’est-à-dire y = −x + 3.

3. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (−1, 3) et (7, 3). Solution détaillée : On a y1 = y2 = 3. Il s’agit donc d’une droite horizontale qui a pour équation y = 3.

4. Déterminer l’équation de la droite passant par les points (−1, 3) et (−1, −5).

Solution détaillée : On a x1 = x2 = −1. Il s’agit donc d’une droite verticale qui a pour équation x = −1.

5. Les points (0, −3), (−2, 7) et ( 32 , 0) appartiennent-ils à la même droite ? Solution détaillée : Ces trois points n’appartiennent pas à la même droite. En effet, la droite D passant par (0, −3) et (−2, 7) a pour équation y − (−3) =

7 − (−3) (x − 0) −2 − 0

c’est-à-dire y = −5x + 3 et le point ( 32 , 0) 6∈ D.

6. Ecrire l’équation cartésienne de la droite D définie par m = −2 et (1, 0) ∈ D.

Solution détaillée : Cette droite a pour équation y − 0 = −2(x − 1) ou encore y = −2x + 2.

7. Déterminer la pente de la droite 3x − 2y + 4 = 0.

Solution détaillée : En isolant y dans l’équation 3x − 2y + 4 = 0, on trouve y = 32 x + 2 et donc la pente (qui est le coefficient de x quand on a isolé y) vaut 32 .

8. Déterminer l’équation de la droite passant par P = (5, −7) qui est parallèle à la droite 6x + 3y = 4. Solution détaillée : La pente de la droite donnée est −2 car on peut écrire y = −2x + 34 . On recherche une droite d’équation y = −2x + p passant par P = (5, −7). – Première résolution : p vérifie −7 = −2 · 5 + p ; d’où p = 3. L’équation de la droite cherchée est y = −2x + 3 – Deuxième résolution : l’équation de la droite cherchée est y −y1 = −2(x−x1 ), c’est-à-dire y − (−7) = −2(x − 5) ou encore y = −2x + 3.

119

9. Déterminer l’équation de la droite passant par P = (5, −7) qui est perpendiculaire à la droite 6x + 3y = 4. Solution détaillée : La pente de la droite 6x + 3y = 4 est −2. La pente m de la droite cherchée vérifie l’égalité m.(−2) = −1. Donc m vaut 12 . L’équation de la droite cherchée est : y − y1 = 21 (x − x1 ), c’est-à-dire y − (−7) = 12 (x − 5) ou encore y = 12 x − 19 2 .

10. Donner l’équation cartésienne de la droite D parallèle à D ′ et passant par (2, −3), avec (5, 4) ∈ D ′ et (6, 2) ∈ D ′ . Solution détaillée : Cherchons d’abord l’équation de la droite D′ . Cette droite contient les 2−4 points (5, 4) et (6, 2). Elle a donc pour équation y − 4 = (x − 5) ou encore y = −2x + 14. 6−5 La pente de D′ vaut donc −2 et comme D est parallèle à D′ , la pente de D vaut aussi −2. On recherche alors une droite de pente −2 passant par le point (2, −3). Cette droite a pour équation y − (−3) = −2(x − 2) ou encore y = −2x + 1.

120

Preuves

Preuve 23 Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leur pente vaut −1. Considérons les droites AB et AC où A = (xa , ya ), B = (xb , yb ) et C = (xc , yc ), avec xa 6= xb et xa 6= xc . On a −− → −→ AB ⊥ AC ⇐⇒ AB ⊙ AC = 0 ⇐⇒ (xb − xa , yb − ya ) ⊙ (xc − xa , yc − ya ) = 0 ⇐⇒ (xb − xa )(xc − xa ) + (yb − ya )(yc − ya ) = 0 ⇐⇒ (yb − ya )(yc − ya ) = −(xb − xa )(xc − xa ) ⇐⇒

(yb − ya ) (yc − ya ) · = −1 (xb − xa ) (xc − xa )

⇐⇒ m1 · m2 = −1 où m1 est la pente de la droite AB et m2 est la pente de la droite AC. √

Remarque : Les deux premières équivalences sont des propriétés du produit scalaire. Cliquez sur les liens pour des rappels sur les vecteurs et le produit scalaire. Retour au texte

121

Chapitre 9

Paraboles Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

122

Théorie

Une équation du second degré à deux inconnues y = ax2 + bx + c (a 6= 0) est représentée dans le plan cartésien par une parabole. Un point appartient à cette parabole si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de la parabole. ⋆ Par exemple, considérons la parabole P : y = 2x2 + x − 1. On a (2, 9) ∈ P car 9 = 2 · 22 + 2 − 1 mais (3, 1) 6∈ P puisque 1 6= 2 · 32 + 3 − 1. En pratique, pour représenter une parabole, il faut rechercher • le signe de a qui détermine si la parabole a un maximum (a < 0) ou un minimum (a > 0) ; • l’axe de symétrie de la parabole qui est une droite ayant pour équation y=

−b ; 2a

• le sommet de la parabole qui a pour coordonnées −b −(b2 − 4ac) S= , ; 2a 4a b y = − 2a

x •

• les intersections avec l’axe OX. Elles s’obtiennent en résolvant l’équation ax2 + bx + c = 0. (a) Si b2 − 4ac > 0, la parabole a 2 intersections√avec OX : √ −b− b2 −4ac b2 −4ac , 0) et x2 = ( −b+ 2a , 0). les points x1 = ( 2a y

•

123

•

b , 0). (b) Si b2 − 4ac = 0, elle a une intersection double avec l’axe OX : le point x1 = (− 2a Dans ce cas, la parabole est tangente à l’axe OX au point x1 .

•

• l’intersection avec l’axe OY qui est le point de coordonnées (0, c). y c•

Pour plus de détail concernant la résolution d’une équation du second degré, vous pouvez consulter la section Equations.

124

⋆ Par exemple, la parabole d’équation y = x2 + x + 1 possède un minimum. Son axe de symétrie est la droite x = − 12 et son sommet est S = (− 21 , 34 ). Elle n’a pas d’intersection avec l’axe OX et son intersection avec l’axe OY est (0, 1). y

1• •

3 4

− 12

125

Exemples détaillés 1. Les points (2, 5), (0, −4) et (4, 8) appartiennent-ils à la parabole P : y = 3x2 − 5x − 4 ?

Solution détaillée : On a • (2, 5) 6∈ P . En effet, quand on remplace x par 2 et y par 5 dans l’équation de P , celle-ci n’est pas vérifiée puisque 5 6= 3 · 22 − 5 · 2 − 4 ; • (0, −4) ∈ P car −4 = 3 · 02 − 5 · 0 − 4 ; • (−1, 4) ∈ P car 4 = 3 · (−1)2 − 5(−1) − 4.

2. Déterminer les intersections avec OX de la parabole y = 6x2 + 7x − 3.

Solution détaillée : Pour trouver les intersections de la parabole avec OX, il faut résoudre l’équation 6x2 + 7x − 3 = 0. On calcule b2 − 4ac = 121 = 112 et donc la parabole a deux intersections avec OX : x1 = −7+11 = 13 et x2 = −7−11 = − 23 . 12 12 Pour plus de détails sur la résolution des équations du second degré, vous pouvez consulter la section Equations.

3. On considère la parabole d’équation y = x2 − 4x + 7. Donner les coordonnées du sommet, celles de l’axe de symétrie ainsi que ses intersections avec les axes OX et OY . Solution détaillée : On a a = 1, b = −4 et c = 7. Cette parabole a sa concavité tournée vers le haut puisque a > 0. 2 −b −(b −4ac) = (2, 3). Son sommet a pour coordonnées S = 2a ; 4a

b et donc x = 2. Son axe de symétrie a pour équation x = − 2a Ses intersections avec l’axe OX s’obtiennent en résolvant l’équation x2 − 4x + 7 = 0. Vu que b2 − 4ac = −12 < 0, cette parabole n’a pas d’intersection avec l’axe OX. L’intersection avec l’axe OY s’obtient en remplaçant x par 0 dans l’équation de la parabole. On trouve y = 7 et donc l’intersection de la parabole avec OY est le point (0, 7).

4. Parmi les paraboles d’équation y = 2x2 + mx + p, déterminer celle qui contient les points (2, −1) et (3, 2). Solution détaillée : Soit P la parabole d’équation y = 2x2 + mx + p. Le point (2, −1) ∈ P si −1 = 2 · 22 + 2m + p, c’est-à-dire si p = −9 − 2m. Le point (3, 2) ∈ P si 2 = 2 · 32 + 3m + p, c’est-à-dire si p = −16 − 3m. Pour que les deux points soient sur la parabole, il faut donc que −9 − 2m = −16 − 3m, c’està-dire que m = −7. On en déduit que p = 5. La parabole recherchée a donc pour équation y = 2x2 − 7x + 5.

5. Parmi les paraboles d’équation y = x2 + mx + p, déterminer celle dont le sommet est (−2, 5). Solution détaillée : Le sommet est (−2, 5) si − m 2 = −2 donc si m = 4. De plus, ce sommet appartient à la parabole et donc 5 = (−2)2 + 4 · (−2) + p, d’où p = 9. La parabole recherchée a donc pour équation y = x2 + 4x + 9.

6. Déterminer m pour que la parabole d’équation y = x2 + (m + 1)x + m (a) soit tangente à OX ; (b) passe par l’origine ; (c) ait l’axe OY comme axe de symétrie ; (d) ait pour sommet un point d’ordonnée −4.

Solution détaillée : On a a = 1, b = m + 1 et c = m.

126

(a) Pour que la parabole soit tangente à l’axe OX, il faut que b2 − 4ac = 0. On calcule b2 − 4ac = (m + 1)2 − 4m = m2 − 2m + 1 = (m − 1)2 . On en déduit que m = 1 et la parabole recherchée est y = x2 + 2x + 1. (b) Pour que la parabole passe par l’origine, il faut que (0, 0) satisfasse son équation. En remplaçant x par 0 et y par 0 dans l’équation, on trouve m = 0. La parabole recherchée est donc y = x2 + x. b = 0, c’est-à-dire si − (m+1) = 0. On (c) L’axe OY est axe de symétrie de la parabole si − 2a 2 en déduit que m = −1 et la parabole recherchée est y = x2 − 1. 2

−4ac) = −4. Dans ce cas, −(m−1) = −4, donc (d) Le sommet a pour ordonnée −4 si −(b 4a 4 2 (m − 1) = 16 et m = 5 ou m = −3. Il y a donc deux paraboles répondant à cette condition : y = x2 + 6x + 5 et y = x2 − 2x − 3.

127

Chapitre 10

Polynômes Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . (a) Somme de polynômes . . . . . . . . . . . . . (b) Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . (c) Division de polynômes . . . . . . . . . . . . 1.3 Factorisation de polynômes . . . . . . . . . . . . (a) Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Emploi des identités remarquables . . . . . . (c) Groupement de termes . . . . . . . . . . . . (d) Factorisation du trinôme du second degré . . (e) Artifices de calculs . . . . . . . . . . . . . . . (f) Méthode des diviseurs binômes . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . . 130 . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . . 133 . . . . . . . . . 134 . . . . . . . . . 137

Théorie

1.1

Définitions

Définition 10.1 Un polynôme en la variable x est une somme dont les termes sont les produits de puissances entières positives ou nulles de la variable x par des nombres réels. Les facteurs réels de ces produits sont appelés les coefficients du polynôme. Le degré du polynôme est le degré du terme de plus haute puissance de la variable dont le coeﬃcient est non nul. Le terme indépendant du polynôme est le terme de puissance nulle. Un polynôme en x de degré n est donc une expression algébrique de la forme : P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 où an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R et n ∈ N.

⋆ Par exemple, 3x2 − 5x + 6 est un polynôme de degré 2, son terme indeépendant est 6.

Deux polynômes sont égaux si les termes de même puissance ont les mêmes coefficients.

⋆ Par exemple, −5x + 3x2 + 6 = ax2 + bx + c ssi a = 3, b = −5, c = 6. Définition 10.2 L’évaluation du polynôme P en x = a est la valeur numérique de ce polynôme en x = a, c’est-à-dire P (a). ⋆ Par exemple si P (x) = x3 + 2x − 1, on a P (0) = 03 + 2 · 0 − 1 = −1 et P (2) = 23 + 2 · 2 − 1 = 11. Définition 10.3 Le nombre réel a est une racine du polynôme P si P (a) = 0. ⋆ Par exemple, le polynôme P (x) = x2 − 5x + 6 possède deux racines x = 2 et x = 3 car P (2) = 0 et P (3) = 0.

1.2

Opérations sur les polynômes

(a) Somme de polynômes La somme de deux polynômes est le polynôme obtenu en additionnant entre eux les termes de même puissance. ⋆ Par exemple, (3x2 − 5x + 6) + (x3 − x + 2) = x3 + 3x2 − 6x + 8. (b) Produit de polynômes Le produit de deux polynômes est le polynôme obtenu en multipliant chaque terme de l’un par chaque terme de l’autre. ⋆ Par exemple, (−x3 + 2x2 + 1)(3x − 2) = −3x4 + 6x3 + 3x + 2x3 − 4x2 − 2 = −3x4 + 8x3 − 4x2 + 3x − 2. √

Remarque : Vous trouverez les règles de calcul des puissances en cliquant ici.

129

(c) Division de polynômes La division d’un polynôme P (x) (dividende) par un polynôme D(x) (diviseur) donne un polynôme Q(x) (quotient) et un polynôme R(x) (reste) liés par les relations : P (x) = D(x) · Q(x) + R(x) où degré de R(x) < degré de D(x) et degré de Q(x) = degré de P (x) − degré de D(x) Division euclidienne Pour faire une division euclidienne, on réalise un tableau comme pour une division de nombres réels : P (x) .. .

D(x) Q(x)

R(x) Cette division s’arrête lorsque le degré de R est strictement inférieur au degré de D. ⋆ Par exemple, divisons le polynôme 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x − 2 par le polynôme x2 + 2. (1)

6x4 −6x4

−2x3 −2x3 2x3

+9x2 −12x2 −3x2 −3x2 3x2

−2x

−2

−2x +4x +2x

−2

x2 + 2 6x2 − 2x − 3

−2 +6 +4

Le premier terme du quotient (6x2 ) est obtenu en divisant le premier terme du dividende (6x4 ) par le premier terme du diviseur (x2 ). On obtient alors la première ligne (1) en multipliant le diviseur (x2 + 2) par le premier terme du quotient (6x2 ). On poursuit ensuite en appliquant les règles usuelles de la division. Le dernier terme (2x + 4), étant de degré inférieur à celui du diviseur, représente le reste de la division. On a donc : 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x − 2 2x + 4 = 6x2 − 2x − 3 + 2 , x2 + 2 x +2 ou encore 6x4 − 2x3 + 9x2 − 2x − 2 = (x2 + 2)(6x2 − 2x − 3) + (2x + 4). Loi du reste Si le diviseur D(x) est un polynôme du premier degré de la forme (x − a), on a P (x) = (x − a) · Q(x) + R(x) où le degré de R est strictement inférieur au degré de (x − a). Donc R(x) est une constante et on peut écrire P (x) = (x − a) · Q(x) + R. 130

En prenant x = a, on obtient : P (a) = (a − a) · Q(a) + R = R. On a donc le résultat suivant : Proposition 10.1 Le reste de la division d’un polynôme par (x − a) est égal à la valeur numérique de ce polynôme en x = a, où a ∈ R. On peut donc déterminer le reste d’une division d’un polynôme en x par (x − a) sans déterminer le quotient et par là même vérifier si la division est exacte, c’est-à-dire si R = 0. ⋆ Par exemple, déterminons le reste de la division de P (x) = x3 − 2x2 + x − 1 par x − 4. Ici, a = 4 et on obtient R = P (4) = 43 − 2 · 42 + 4 − 1 = 35. Division d’un polynôme par (x − a) : Règle de Horner La règle de Horner ne peut être utilisée que lorsque le diviseur est un polynôme du premier degré. ⋆ Par exemple, divisons 2x4 − 18x2 + 2x + 5 par x + 3. 2 −3

0 −6 −6

−18 18 0

2 0 2

5 −6 −1

On dispose dans la première ligne du tableau les coefficients des puissances successives de x du dividende à commencer par la puissance la plus élevée ; ainsi, 2 est le coefficient de x4 , 0 celui de x3 , -18 celui de x2 , 2 celui de x et 5 est le terme indépendant. Dans la première colonne de la deuxième ligne, on met le nombre a du polynôme diviseur lorsqu’il est mis sous la forme (x − a) (ici a = −3 puisque le polynôme diviseur est x + 3 = x − (−3)).

La troisième ligne est alors construite de gauche à droite de la manière suivante : - le premier élément est le coefficient de x4 ; - le deuxième élément (−6) est la somme du coefficient de x3 (0) et du produit de −3 par l’élément précédement trouvé de la troisième ligne (2) ; ainsi, −6 = 0 + (−3) · 2 ; - le troisième élément (0) est la somme du coefficient de x2 (−18) et du produit de −3 par l’élément précédement trouvé de la troisième ligne (−6) ; ainsi, 0 = −18 + (−3) · (−6) ; - ainsi de suite jusqu’au dernier élément de la ligne ; ainsi, −1 = 5 + (−3) · 2.

On peut maintenant interpréter ce tableau : les éléments de la troisième ligne représentent les coefficients des puissances successives de x du quotient à commencer par la puissance la plus élevée. Comme P est de degré 4 et D est de degré 1, le polynôme Q est de degré 4 − 1 = 3 et donc Q(x) = 2 · x3 + (−6)x2 + 0 · x + 2. Le dernier élément de cette ligne est le reste de la division, ici −1.

On obtient finalement :

1 2x4 − 18x2 + 2x + 5 = 2x3 − 6x2 + 2 − x+3 x+3 ou encore 2x4 − 18x2 + 2x + 5 = (x + 3)(2x3 − 6x2 + 2) − 1. Pour voir le lien entre la division euclidienne et la Règle de Horner, vous pouvez cliquer ici.

131

1.3

Factorisation de polynômes

Définition 10.4 Factoriser un polynôme consiste à le transformer en produits de polynômes de degré plus petit. Voici différentes méthodes pour décomposer en facteurs. (a) Mise en évidence Lorsque tous les termes d’une expression ont des facteurs communs, il faut toujours commencer par mettre ces facteurs en évidence. ⋆ Par exemple, 17ax − 34bx = 17x(a − 2b) 3a2 b − 3ab = 3ab(a − 1) (b) Emploi des identités remarquables Si l’expression est le développement d’une identité remarquable, la factorisation est immédiate. Voici les produits remarquables les plus utilisés : pour a, b ∈ R, on a

⋆ Par exemple,

(a + b)2 (a − b)2 (a + b)3 (a − b)3

= a2 + 2ab + b2 = a2 − 2ab + b2 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3

4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3 x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3

a2 − b2 = (a − b)(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4) x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9)

(c) Groupement de termes Un groupement peut faire apparaître un facteur commun ou une identité remarquable. ⋆ Par exemple, ax + bx + ay + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b) et

a2 − b2 − c2 + 2bc = a2 − (b2 + c2 − 2bc) = a2 − (b − c)2 = [a − (b − c)][a + (b − c)] = (a − b + c)(a + b − c)

(d) Factorisation du trinôme du second degré Le polynôme ax2 + bx + c se décompose sous la forme ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), √ √ −b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac avec x1 = et x2 = si b2 − 4ac ≥ 0. 2a 2a 132

√

Remarque : Pour plus de détails, vous pouvez aller voir le chapitre sur les équations.

⋆ Par exemple, factorisons le polynôme 2x2 + 5x + 2. On a 2x2 + 5x + 2 = 2(x + 12 )(x + 2) = (2x + 1)(x + 2) car

√

√ −5 + 9 −2 1 52 − 4 · 2 · 2 = = =− , x1 = 2·2 4 4 2 √ √ −5 − 52 − 4 · 2 · 2 −5 − 9 −8 x2 = = = = −2. 2·2 4 4 −5 +

(e) Artifices de calculs Voici quelques “trucs” qui permettent de se ramener à une des situations ci-dessus. 1. Ajouter et retrancher un même terme, puis grouper. ⋆ Par exemple, a4 + 4

=a4 + 4 + 4a2 − 4a2 = (a2 + 2)2 − (2a)2 = (a2 + 2 + 2a)(a2 + 2 − 2a) 2. Dédoubler un terme, puis grouper.

⋆ Par exemple, x3 + 5x + 6

3. Effectuer, puis grouper.

= x3 − x + 6x + 6 = x(x2 − 1) + 6(x + 1) = x(x + 1)(x − 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 6) = a2 + ac − b2 + bc = (a2 − b2 ) + c(a + b) = (a + b)(a − b) + c(a + b) = (a + b)(a − b + c)

⋆ Par exemple, a(a + c) − b(b − c)

(f ) Méthode des diviseurs binômes Pour déterminer un diviseur binôme (x−a) d’un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du terme indépendant, un nombre a (positif ou négatif) qui annule ce polynôme. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder preuve de cette affirmation. ⋆ Par exemple, factorisons le polynôme x3 + x + 2. Les diviseurs de 2 sont +1, −1, +2, −2. On calcule P (1) = 13 + 1 + 2 6= 0, P (−1) = (−1)3 + (−1) + 2 = 0. Le polynôme est donc divisible par (x − (−1)) = (x + 1). On calcule ensuite le quotient par la méthode de Horner : 1 −1

0 −1 −1

1 1 2

2 −2 0

Le quotient est x2 − x + 2 et donc x3 + x + 2 = (x + 1)(x2 − x + 2). 133

Exemples détaillés 1. Donner le degré du polynôme P (x) = 2x2 + 4x + 2, l’évaluer en x = 3 et trouver les racines de ce polynôme. Solution détaillée : Le polynôme P est de degré 2 et on a P (3) = 2·32 +4·3+2 = 18+12+2 = 32. Pour trouver les racines de P , on va le factoriser. On a P (x) = 2(x2 + 2x + 1) = 2(x + 1)2 , ce polynôme s’annule donc en x = −1. On a P (−1) = 0 et x = −1 est la seule racine de P .

2. Effectuer la somme et le produit des polynômes P (x) = 3x3 − 2x + 1 et Q(x) = x4 − 2x3 − x2 + 4x − 2. Solution détaillée : On obtient

P (x) + Q(x) = 3x3 − 2x + 1 + x4 − 2x3 − x2 + 4x − 2 = x4 + x3 − x2 + 2x − 1 et P (x) · Q(x) = (3x3 − 2x + 1)(x4 − 2x3 − x2 + 4x − 2) = 3x7 − 6x6 − 3x5 + 12x4 − 6x3 − 2x5 + 4x4 + 2x3 − 8x2 + 4x + x4 − 2x3 − x2 + 4x − 2 = 3x7 − 6x6 − 5x5 + 17x4 − 6x3 − 9x2 + 8x − 2

3. Effectuer la division de P (x) = x5 + x4 − 3x3 + 3x − 2 par D(x) = x3 − x + 1. Solution détaillée : On fait le tableau suivant : x5 −x5

+x4 x4 −x4

−3x3 +x3 −2x3

+0x2 −x2 −x2 +x2

−2x3 +2x3

+3x

−2

+3x −x +2x −2x

−2

x3 − x + 1 x2 + x − 2

−2 +2 0

On obtient Q(x) = x2 + x − 2 et R(x) = 0, la division est donc exacte. On peut écrire x5 + x4 − 3x3 + 3x − 2 = x2 + x − 2 x3 − x + 1

ou encore

x5 + x4 − 3x3 + 3x − 2 = (x3 − x + 1)(x2 + x − 2).

4. Effectuer la division de P (x) = 2x4 − 18x2 + 2x + 5 par D(x) = x + 3. Solution détaillée : On fait le tableau suivant : 2x4 −2x4

+0x3 −6x3 −6x3 6x3

−18x2

+2x

−18x2 +18x2

+2x

2x −2x

+5 −6 −1

x+3 2x3 − 6x2 + 2

On obtient Q(x) = 2x3 − 6x2 + 2 et R(x) = −1. On peut écrire 2x4 − 18x2 + 2x + 5 1 = 2x3 − 6x2 + 2 − x+3 x+3 ou encore 2x4 − 18x2 + 2x + 5 = (x + 3)(2x3 − 6x2 + 2) − 1.

Vu que le diviseur est un polynôme du premier degré, on peut également utiliser la règle de Horner pour effectuer cette division. On obtient

134

2 −3

−18 18 0

0 −6 −6

2 0 2

5 −6 −1

Le degré du quotient est 4 − 1 = 3 et ses coefficients se trouvent dans la dernière ligne du tableau. On trouve bien comme ci-dessus : Q(x) = 2x3 − 6x2 + 2 et R(x) = −1.

5. Utiliser la règle de Horner pour diviser 3x3 − 6x2 + 5x − 3 par 2x − 4.

Solution détaillée : On ne peut pas utiliser directement la règle de Horner puisque le polynôme diviseur 2x − 4 n’est pas de la forme x − a. On remarque cependant que : 3x3 − 6x2 + 5x − 3 1 3x3 − 6x2 + 5x − 3 3x3 − 6x2 + 5x − 3 = = · . 2x − 4 2(x − 2) 2 x−2 On peut donc maintenant utiliser la règle de Horner pour diviser 3x3 − 6x2 + 5x − 3 par x − 2. 3 2 3

On obtient

et donc

−6 6 0

5 0 5

−3 10 7

3x3 − 6x2 + 5x − 3 7 = 3x2 + 5 + x−2 x−2 3x3 − 6x2 + 5x − 3 1 3x3 − 6x2 + 5x − 3 = · 2x − 4 2 x−2 7 1 3x2 + 5 + = 2 x−2 =

3x2 + 5 7 + . 2 2x − 4

6. Factoriser l’expression x5 − 8x3 + 16x.

Solution détaillée : On commence par mettre x en évidence : x(x4 − 8x2 + 16). On utilise alors le produit remarquable (a − b)2 pour factoriser la parenthèse : ((x2 )2 − 2 · 4(x2 ) + 42 ) = (x2 − 4)2 . Cette dernière parenthèse est du type (a2 − b2 ). On a donc x2 − 4 = (x − 2)(x + 2). On obtient finalement x5 − 8x3 + 16x = x(x2 − 4)2 = x[(x − 2)(x + 2)]2 = x(x − 2)2 (x + 2)2 .

7. Factoriser l’expression (x − y)3 − y 3 .

Solution détaillée : En utilisant le produit remarquable (a3 − b3 ), on obtient (x − y)3 − y 3 = ((x − y) − y)((x − y)2 + (x − y)y + y 2 ).

On effectue ensuite le produit remarquable dans la parenthèse : (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2 , ainsi que la distributivité : (x − y)y = xy − y 2 . On obtient finalement (x − y)3 − y 3 = (x − 2y)(x2 − 2xy + y 2 + xy − y 2 + y 2 ) = (x − 2y)(x2 − xy + y 2 ).

8. Factoriser l’expression x7 − 3x5 + 3x3 − x.

135

Solution détaillée : En groupant les premier et quatrième termes, ainsi que les deux termes du milieu, on obtient (x7 − x) − (3x5 − 3x3 ) = x(x6 − 1) − 3x3 (x2 − 1). Pour pouvoir mettre x(x2 − 1) en évidence, il faut faire apparaître (x2 − 1) dans le premier terme. Ce premier terme est du type (a3 − b3 ). On a donc (x6 − 1) = ((x2 )3 − 13 ) = (x2 − 1)((x2 )2 + x2 · 1 + 12 ) = (x2 − 1)(x4 + x2 + 1). On obtient alors x7 − 3x5 + 3x3 − x = x(x6 − 1) − 3x3 (x2 − 1) = x(x2 − 1)(x4 + x2 + 1) − 3x3 (x2 − 1) = x(x2 − 1)(x4 + x2 + 1 − 3x2 ) = x(x2 − 1)(x4 − 2x2 + 1). Le facteur x4 − 2x2 + 1 est un produit remarquable du type (a − b)2 . On obtient x7 − 3x5 + 3x3 − x = x(x2 − 1)(x4 − 2x2 + 1) = x(x2 − 1)((x2 )2 − 2 · x2 · 1 + 12 ) = x(x2 − 1)(x2 − 1)2 = x(x2 − 1)3 . La dernière parenthèse est du type (a2 − b2 ) : x2 − 1 = (x − 1)(x + 1). Finalement, on a x7 − 3x5 + 3x3 − x = x[(x − 1)(x + 1)]3 = x(x − 1)3 (x + 1)3 .

9. Factoriser l’expression x8 + 9. Solution détaillée : En ajoutant et retirant la quantité 6x4 , on fait apparaître un produit remarquable du type (a + b)2 : x8 + 9 = x8 + 9 + 6x4 − 6x4 = ((x4 )2 + 2 · 3 · x4 + 32 ) − 6x4 = (x4 + 3)2 − 6x4 . On a alors un produit remarquable du type a2 − b2 : √ (x4 + 3)2 − 6x4 = (x4 + 3)2 − ( 6x2 )2 √ √ = (x4 + √ 3 − 6x2 )(x4 + 3√+ 6x2 ) = (x4 − 6x2 + 3)(x4 + 6x2 + 3).

136

Preuves

Preuve 24 La Règle de Horner est une disposition pratique de la division euclidienne par (x − a). Pour simplifier l’écriture, considérons un polynôme de degré 3, P (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 , et divisions-le par un polynôme du premier degré (x − a). La division euclidienne s’effecue de la manière suivante a3 x 3 −a3 x3

+a2 x2 +a · a3 x2 b1 x 2 −b1 x2

+a1 x

+a0

+a1 x +a · b1 x b0 x −b0 x

+a0

x−a + b1 x + b 0

+a0 +a · b0 r

où b1 = a2 + a · a3 , b0 = a1 + a · b1 et r = a0 + a · b0 . On remarque que • Le coefficient du premier terme du quotient (a3 ) est le coefficient du premier terme du dividende (a3 ) ; • Le coefficient du deuxième terme du quotient (b1 ) s’obtient en ajoutant au coefficient du deuxième terme du dividende (a2 ) le produit du coefficient du premier terme du quotient (a3 ) par a ; • Le coefficient du troisième terme du quotient (b0 ) s’obtient en ajoutant au coefficient du troisième terme du dividende (a1 ) le produit du coefficient du deuxième terme du quotient (b1 ) par a ; • Le reste (r) s’obtient en ajoutant au terme indépendant du dividende (a0 ) le produit du terme indépendant du quotient (b0 ) par a. Ceci peut également être écrit dans un tableau de Horner de la façon suivante a3 a a3

a2 +a · a3 b1

a1 +a · b1 b0

Ce résultat se généralise pour des polynômes de degré n. Retour au texte

137

a0 +a · b0 r

Preuve 25 Pour déterminer un diviseur binôme (x − a) d’un polynôme, on cherche parmi les diviseurs du terme indépendant, un nombre a (positif ou négatif) qui annule ce polynôme.

Soit P (x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 . On a P (a) = 0 ⇔ bn an + bn−1 an−1 + · · · + b1 a + b0 = 0 ⇔ b0 = −(bn an + bn−1 an−1 + · · · + b1 a) ⇔ b0 = −a(bn an−1 + bn−1 an−2 + · · · + b1 ) Donc a est racine de P si et seulement si a est un diviseur de b0 . On peut alors écrire P est divisible par (x − a)

⇔ ⇔

P (a) = 0 a est un diviseur du terme indépendant de P

Retour au texte

138

Chapitre 11

Repères et vecteurs Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Le plan R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . (c) Notion de distance . . . . . . . . . . . . . . . (d) Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . 1.2 L’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . (c) Notion de distance . . . . . . . . . . . . . . . (d) Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . (e) Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . 1.3 La notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Vecteurs du plan R2 . . . . . . . . . . . . . . (b) Vecteurs de l’espace R3 . . . . . . . . . . . . 1.4 Opérations sur les vecteurs . . . . . . . . . . . . (a) L’addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . (b) La soustraction vectorielle . . . . . . . . . . (c) Multiplication d’un vecteur par un scalaire . (d) Le produit scalaire de deux vecteurs . . . . . (e) Le produit vectoriel de deux vecteurs . . . . (f) Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Vecteurs et points particuliers . . . . . . . . . . (a) Vecteur normé . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux . . . . . (c) Milieu d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . (d) Vecteurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . 141 . . . . . . . . . . 142 . . . . . . . . . . 144 . . . . . . . . . . 144 . . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . . 146 . . . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . . 147 . . . . . . . . . . 148 . . . . . . . . . . 149 . . . . . . . . . . 150 . . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . . 154 . . . . . . . . . . 155 . . . . . . . . . . 156 . . . . . . . . . . 157 . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . 158 . . . . . . . . . . 159 . . . . . . . . . 160 . . . . . . . . . 164

1 1.1

Théorie Le plan R2

(a) Repère De même que l’on a identifié les points de la droite réelle (munie d’un repère : une origine et une longueur unité) aux nombres réels, on peut identifier les points du plan aux couples de nombres réels. Pour cela, il convient de se donner dans le plan un repère, constitué de deux droites sécantes, chacune munie d’une unité de longueur et qui se coupent en leur point origine. L’une des droites est appelée l’axe des x ou axe des abscisses, noté OX, et l’autre est l’axe des y ou axe des ordonnées, noté OY . En général, on utilise deux droites perpendiculaires, munies de la même unité de longueur. On parle alors de repère cartésien orthonormé. Le plan est ainsi divisé en quatre quadrants, le premier d’entre eux étant délimité par la partie positive des deux axes. Y x<0 y>0

x>0 y>0

•

x<0 y<0

III

x>0 y<0

(b) Coordonnées cartésiennes D’un point P quelconque du plan, on mène des parallèles aux axes qui coupent ceux-ci en a pour l’axe des x et en b pour l’axe des y. Le point P est ainsi associé au couple de nombres réels (a, b). Inversément, à tout couple de nombres réels (a, b), en menant des parallèles aux axes passant par a porté sur l’axe des x et par b porté sur l’axe des y, on fait correspondre l’unique point d’intersection de ces deux droites. Le couple (a, b) est appelé coordonnées cartésiennes du point P . Le nombre a est l’abscisse de P et le nombre b est son ordonnée.

140

P = (a, b)

•

Définition 11.1 La distance entre deux points P = (xp , yp ) et Q = (xq , yq ) de R2 est donnée par la formule q d(P, Q) = (xq − xp )2 + (yq − yp )2 . Cette formule est une application immédiate du Théorème de Pythagore au triangle rectangle P QR. Y

•

xq X

En particulier, la distance d’un point P = (x, y) à l’origine est donnée par longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle OP R.

141

x2 + y 2 qui est la

•

R X

Application : Equation du cercle Dans un plan fixé, on se donne un point C et un nombre r > 0. Définition 11.2 On appelle cercle de centre C et de rayon r, l’ensemble des points du plan qui sont à une distance r du point C. C’est donc l’ensemble des points P du plan qui vériﬁent la condition d(P, C) = r. Pour établir l’équation cartésienne du cercle, on se place dans un repère. Les coordonnées du point C dans ce repère sont (xc , yc ). Soit P = (x, y), un point du cercle. Puisque d(P, C) = r, on a p (x − xc )2 + (y − yc )2 = r. L’équation du cercle centré en (xc , yc ) et de rayon r est donc (x − xc )2 + (y − yc )2 = r 2 . En particulier, l’équation du cercle centré en (0, 0) et de rayon r est x2 + y 2 = r 2 .

(d) Coordonnées polaires Pour préciser la position d’un point P , au lieu de ses coordonnées cartésiennes (x, y), on peut donner les informations suivantes : • la distance de P à l’origine, notée r (r > 0), • l’angle entre l’axe OX et OP , noté θ. Par convention, θ ∈ [0, 2π[ . Ce sont les coordonnées polaires du point P .

142

Y •

P (x, y)

r θ O

On observe immédiatement que

x = r cos θ y = r sin θ

Le lien dans l’autre sens demande un peu plus d’attention. Vu que r est la distance de P à l’origine, on a p r = x2 + y 2 . Pour θ, on note que si x = 0 alors θ =

π 2

3π 2 ,

selon que y > 0 ou y < 0. Si x 6= 0, on a

tg θ =

y , x

ce qui nous permet de trouver θ, en y ajoutant au besoin π selon les signes de x et y. ⋆ Par exemple, pour P = (−

√

3 1 2 , −2)

on trouve r=

et on doit prendre θ =

3 1 + =1 4 4

√ 3 y π arctg = arctg = x 3 6 π 6

+π =

7π 6

car les coordonnées cartésiennes de P sont toutes les deux négatives.

L’intérêt des coordonnées polaires est qu’elles permettent de décrire certaines figures géométriques à l’aide d’équations particulièrement simples. Voici quelques exemples : ⋆ Le cercle de centre O et de rayon R sera décrit par l’équation r = R. ⋆ Une demi-droite issue de O et formant un angle α avec l’axe OX sera décrite par θ = α. ⋆ L’équation d’une ellipse en coordonnées polaires est r=

a − c2 /a . 1 + e cos θ

Cette description est utilisée en astronomie car la terre (ou une autre planète) décrit une ellipse dont un foyer est occupé par le soleil. ⋆ L’équation de la feuille de trèfle est donnée par r = cos 3θ.

143

Y π 2

2π 3

π 3 π 6

5π 6 π

X 11π 6

7π 6 4π 3

3π 2

5π 3

Si on essayait d’obtenir l’équation cartésienne correspondante, on pourrait utiliser le fait que cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ = cos3 θ − 3 sin2 θ cos θ et en tirer la relation r 4 = r 3 cos3 θ − 3(r 2 sin2 θ)(r cos θ)

ou encore (x2 + y 2 )2 = x3 − 3xy 2 .

Il n’est pas évident de voir l’allure de la courbe à partir de cette équation ! En coordonnées polaires, les choses sont plus simples.

1.2

L’espace R3

(a) Repère Dans les sections précédentes, nous avons travaillé dans le plan. Si l’on veut travailler dans l’espace à trois dimensions, il faut considérer 3 axes. Un repère dans l’espace est constitué de trois droites sécantes, chacune munie d’une unité de longueur, et qui se coupent en leur point origine. Ces trois doites sont l’axe des x, l’axe des y et l’axe des z. Lorsque les trois droites dont perpendiculaires deux à deux et munies de la même unité de longueur, on parle de repère cartésien orthonormé. En général, les axes des y et des z se trouvent dans le plan de la feuille et celui des x se projette vers l’avant. Z

O X

144

Ainsi placés, ces 3 axes déterminent un système de coordonnées droit ou d’orientation directe. On dit que le repère formé par les axes OX, OY et OZ est d’orientation directe si un spectateur “debout” sur le plan OXY , les pieds en O et la tête en Z, observe que pour amener la droite OX sur la droite OY , il doit faire une rotation dans le sens antihorlogique (on regarde le plus petit angle possible). Dans le cas contraire, le repère est dit d’orientation rétrograde. Z

O √

Remarque : Notons que pour savoir si un repère est direct ou rétrograde, l’ordre dans lequel on place les axes est important. Si on permute 2 axes, on change l’orientation du repère. On la change aussi quand on change la direction des axes. Par exemple le repère de la Figure (a) est d’orientation directe tandis que le repère de la Figure (b) est d’orientation rétrograde. Y

Y Figure (a)

Figure (b)

(b) Coordonnées cartésiennes D’un point P quelconque de l’espace, on mène des parallèles aux axes qui coupent ceux-ci en a pour l’axe des x, en b pour l’axe des y et en c pour l’axe des z. Le point P est ainsi associé au triple de nombres réels (a, b, c) qui sont les coordonnées cartésiennes du point P .

145

P = (a, b, c) b Y

Définition 11.3 Dans R3 , la distance entre deux points P = (xp , yp , zp ) et Q = (xq , yq , zq ) est donnée par la formule q d(P, Q) = (xq − xp )2 + (yq − yp )2 + (zq − zp )2 .

Cette formule provient d’une double application du Théorème de Pythagore. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. p En particulier, la distance d’un point P = (x, y, z) à l’origine est donnée par x2 + y 2 + z 2 . Application : Equation de la sphère

Dans l’espace, on se donne un point C et un nombre r > 0. Définition 11.4 On appelle sphère de centre C et de rayon r, l’ensemble des points qui sont à une distance r du point C. C’est donc l’ensemble des points P qui vériﬁent la condition d(P, C) = r. Pour établir l’équation cartésienne de la sphère, on se place dans un repère. Les coordonnées du point C dans ce repère sont (xc , yc , zc ). Soit P = (x, y, z), un point de la sphère. Puisque d(P, C) = r, on a p (x − xc )2 + (y − yc )2 + (z − zc )2 = r. 146

L’équation de la sphère centré en (xc , yc , zc ) et de rayon r est donc (x − xc )2 + (y − yc )2 + (z − zc )2 = r 2 . En particulier, l’équation de la sphère centré en (0, 0, 0) et de rayon r est x2 + y 2 + z 2 = r 2 . (d) Coordonnées cylindriques Pour obtenir les coordonnées cylindriques, on garde une des coordonnées cartésiennes, par exemple z, et, dans le plan de coordonnées correspondant aux 2 autres on passe aux coordonnées polaires. Un point P se trouvera ainsi repéré par • la cote z, • les coordonnées polaires r et θ de sa projection orthogonale dans le plan OXY . Ce type de coordonnées est indiqué pour une surface dont les coupes horizontales sont des cercles centrés sur l’axe OZ. Voici quelques exemples : ⋆ Un cylindre circulaire droit d’axe OZ et de rayon R sera décrit par l’équation r = R. ⋆ Une surface de révolution engendrée par la rotation autour de OZ du graphe d’une fonction f : 2 2 I → R+ ; z → f (z) sera décrite par r = f (z) simplement. Par exemple, le paraboloïde z = xa2 + ay2 sera √ décrit par r = a z. Ces coordonnées sont souvent utilisées en physique pour l’étude de mouvements de rotation par exemple. (e) Coordonnées sphériques Pour préciser la position d’un point sur la surface terrestre, on donne la longitude et la latitude. Les coordonnées sphériques vont dans ce sens. Z P θ

r Y

O ϕ

Pour préciser la position d’un point P dans l’espace, on peut donner les trois quantités suivantes : • la distance du point P à l’origine, notée r (r > 0), • l’angle que fait le demi-plan comprenant OZ et P avec le demi-plan OXZ, appelé longitude et noté ϕ, • l’angle que fait OP avec OZ, appelé co-latitude et noté θ (la latitude se compte à partir de l’équateur).

147

Le lien avec les coordonnées cartésiennes est donné par les équations   x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ

Voici quelques exemples :

⋆ La sphère de centre O et de rayon R est décrite par l’équation r = R. ⋆ Un demi-plan issu de OZ sera décrit par ϕ = α (α donné). ⋆ Un cône de révolution d’axe OZ sera décrit par θ = α (α donné).

1.3

La notion de vecteur

Nous présentons cette notion dans le plan (R2 ) et dans l’espace (R3 ). Des quantités comme l’aire, le volume, la longueur, la température et le temps n’ont qu’une intensité et peuvent être entièrement représentées par un nombre réel (accompagné de l’unité de mesure adéquate). Une grandeur de ce type est une grandeur scalaire et le nombre correspondant est un scalaire. Des concepts tels que la vitesse ou la force ont à la fois une intensité, un sens et une direction. En physique, on appelle vecteur une quantité caractérisée par une longueur (ou intensité ou grandeur), par une direction et par un sens dans cette direction. Citons comme illustrations, l’effet d’un champ magnétique dans l’espace avec son intensité et sa direction ; l’effet d’une force appliquée en un point caractérisée par une intensité et une direction ; un avion qui se déplace avec une certaine vitesse dans une certaine direction ; un déplacement dans le plan caractérisé par une longueur ou distance et une direction. Supposons que l’on déplace un objet d’une position A à une position B. On peut représenter ce déplacement par un segment fléché, la pointe de la flèche étant placée au point B et l’origine en A, −− → pour indiquer que le mouvement s’est effectué de A vers B. On utilise alors AB comme notation pour le vecteur. Il est important de réaliser qu’un vecteur est entièrement caractérisé par sa longueur et sa direction. L’endroit où l’on place dans le plan, ou dans l’espace, l’origine d’un vecteur est sans importance, seules comptent sa longueur et sa direction.

•

B •

•

• •

A •

− −→ −−→ Dans la figure ci-dessus, AB et OV définissent le même vecteur que l’on pourrait représenter par le symbole ~v . En d’autres termes, un vecteur est déﬁni indépendamment de la position où on le place dans le plan ou dans l’espace. Mathématiquement, tous les segments fléchés de même longueur et de même direction sont équivalents (on dit qu’ils forment une classe d’équivalence) et peuvent être représentés par n’importe lequel d’entre eux.

148

(a) Vecteurs du plan R2 Considérons un repère cartésien orthonormé. En plaçant l’origine du vecteur ~v à l’origine du repère, −−→ on obtient le point V qui est l’extrémité de ~v . On a donc ~v = OV . Le point V est un point du plan et a donc des coordonnées : V = (vx , vy ). Les composantes du vecteur ~v sont les coordonnées du point V . On écrira ~v = (vx , vy ).

•

−− → Si (xa , ya ) et (xb , yb ) sont respectivement les coordonnées des points A et B, le vecteur AB ou ~u −− → qu’ils définissent, a pour composantes (ux , uy ) = (xb − xa , yb − ya ). En effet, le vecteur AB peut être −−→ identifié au vecteur OU .

•

~u •

Définition 11.5 La longueur (ou encore norme ou module) du vecteur ~v de composantes −−→ (vx , vy ), représenté dans le plan par OV , est notée k~v k et est le nombre réel positif donné par q k~v k = vx2 + vy2 . − − → Si ~u = AB = (xb − xa , yb − ya ) alors

p −−→ k~uk = kABk = (xb − xa )2 + (yb − ya )2 .

Il ne s’agit de rien d’autre que de l’application du Théorème de Pythagore. Dans le plan, si un vecteur ~v est connu par sa longueur k~v k et par l’angle θ (mesuré dans le sens contraire des aiguilles d’une montre) qu’il forme avec l’axe horizontal, on en détermine aisément les

149

composantes (vx , vy ) par vx = k~v k cos θ,

vy = k~v k sin θ.

•

k~v k θ O

Inversément, on détermine la longueur k~v k d’un vecteur ~v , ainsi que l’angle θ qu’il forme avec l’axe horizontal par q k~v k =

vx2 + vy2 ,

tg θ = vy /vx ,

pour vx 6= 0, ce qui nous permet de trouver θ, en y ajoutant au besoin π selon les signes de vx et vy . Pour plus de détails, vous pouvez consulter le chapitre de trigonométrie.

⋆ Par exemple, si le vent souffle à 12km/h dans la direction N40◦ W, on peut exprimer sa vitesse par un vecteur ~v . La direction N40◦ W correspond à un angle de 130◦ . On a donc ~v = (vx , vy ) = (k~v k cos 130◦ , k~v k sin 130◦ ) = (−7, 7; 9, 2). (b) Vecteurs de l’espace R3 Dans le cas de vecteurs dans l’espace, on parlera de triplets ordonnés de nombres réels. Par exemple, −−→ le vecteur ~v = OV = (vx , vy , vz ). − −→ Si (xa , ya , za ) et (xb , yb , zb ) sont respectivement les coordonnées des points A et B, le vecteur AB ou ~u qu’ils définissent, a pour composantes (ux , uy ) = (xb − xa , yb − ya , zb − za ).

vz b

O vx

150

La définition de norme s’étend sans difficulté aux cas du vecteur dans l’espace. Définition 11.6 La norme du vecteur ~v de composantes (vx , vy , vz ) est le nombre réel positif donné par q k~v k = vx2 + vy2 + vz2 . −− → Si ~u = AB = (bx − ax , by − ay , bz − az ) alors q −− → k~uk = kABk = (bx − ax )2 + (by − ay )2 + (bz − az )2 .

− −→ ⋆ Par exemple, considérons le vecteur ~u = AB où A = (3, 1, −2) et B = (−2, 7, −4). Les composantes du vecteur ~u se calculent par la différence entre les coordonnées du point B et celles du point A : ~u = (−2 − 3, 7 − 1, −4 + 2) = (−5, 6, −2). La norme du vecteur ~u se calcule par la formule p √ k~uk = (−5)2 + 62 + (−2)2 = 65.

1.4

Opérations sur les vecteurs

Dans les applications, on distingue les grandeurs scalaires par opposition aux grandeurs vectorielles, c’est-à-dire aux vecteurs. Une grandeur scalaire est caractérisée par un seul nombre réel, alors qu’une grandeur vectorielle est caractérisée par deux ou trois nombres réels suivant que l’on se trouve dans le plan ou l’espace. Les opérations que l’on peut effectuer sur des grandeurs scalaires ne sont rien d’autre que celles que l’on peut effectuer sur les nombres réels. Par contre, on définit des opérations spécifiques aux vecteurs. (a) L’addition vectorielle On définit l’addition ou somme de deux vecteurs ~u et ~v , comme le vecteur dont les composantes −−−→ sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs ~u et ~v . On note u + v le vecteur somme. Définition 11.7 Dans le plan, si ~u est le vecteur (ux , uy ) et ~v le vecteur (vx , vy ) alors le vecteur somme est le vecteur −−−→ u + v = (ux + vx , uy + vy ).

~v ~u + ~v ~u

On peut donner une interprétation géométrique de cette opération. On considère le vecteur ~u placé en n’importe quel point du plan. On place le vecteur ~v à l’extrémité du vecteur ~u. Les deux vecteurs forment alors les côtés d’un parallélogramme dont la diagonale partant de l’origine de ~u et arrivant à −−−→ l’extrémité de ~v est le vecteur somme u + v.

151

Définition 11.8 Dans l’espace, si ~u est le vecteur (ux , uy , uz ) et ~v le vecteur (vx , vy , vz ) alors le vecteur somme est le vecteur −−−→ u + v = (ux + vx , uy + vy , uz + vz ). −−−→ ⋆ Par exemple, la somme des deux vecteurs ~a = (3, 1, 4) et ~b = (1, −2, 3) est le vecteur a + b = (3 + 1, 1 + (−2), 4 + 3) = (4, −1, 7). Propriétés de l’addition vectorielle 1. L’addition vectorielle est commutative : ~u + ~v = ~v + ~u. −−−→ On constate que le vecteur v + u que l’on forme en additionnant ~v et ~u coïncide avec le vecteur −−−→ u + v. ~u

•

~v + ~u

~v ~u + ~v

•

~u 2. L’addition vectorielle est associative : ~u + (~v + w) ~ = (~u + ~v ) + w. ~ −−→ −−−→ −−→ −−−→ On constate que si l’on additionne OB = u + v à w ~ on obtient le vecteur OC = (u + v) + w. ~ On −→ −−−→ obtient ce même vecteur en additionnant au vecteur ~u, le vecteur AC = v + w. D’où ~u +(~v + w) ~ = (~u + ~v ) + w. ~

C •

w ~ ~v + w ~

•

~v ~u + ~v •

•

On remarquera que pour additionner n vecteurs, il suffit en partant d’une position arbitraire du premier vecteur, de placer successivement l’origine de chaque vecteur à l’extrémité du précédent.

152

• • •

•

v~1 + v~2 + v~3 + v~4 + v~5

v~1 •

v~5

v~2 •

v~4

v~3

Le vecteur somme des n vecteurs est alors le vecteur dont l’origine est celle du premier et l’extrémité, celle du dernier. Dans cette opération, l’ordre des vecteurs dans la somme n’a pas d’importance. Cette opération peut se faire aussi bien dans l’espace que dans le plan. 3. L’addition vectorielle admet un élément neutre : ~v + ~o = ~v . L’élément neutre est le vecteur nul ou zéro, noté ~o et défini comme le vecteur dont toutes les composantes sont égales à zéro. Dans le plan, on a ~o = (0, 0) et dans l’espace ~o = (0, 0, 0). Ces vecteurs ont une longueur nulle et par convention leur direction n’est pas définie. 4. L’addition vectorielle admet un opposé : ~v + (−~v ) = ~o. Le vecteur noté −~v et appelé vecteur opposé de ~v , dont les composantes sont les composantes du vecteur ~v , changées de signe. Dans le plan, si ~v = (vx , vy ) alors −~v = (−vx , −vy ) et dans l’espace, si ~v = (vx , vy , vz ) alors −~v = (−vx , −vy , −vz ). Le vecteur −~v a la même longueur que ~v , la même direction, mais est de sens opposé. (b) La soustraction vectorielle La soustraction vectorielle revient à une addition vectorielle : lorsqu’on veut soustraire le vecteur ~v du vecteur ~u, on ajoute à ~u l’opposé de ~v , c’est-à-dire −−−→ u − v = ~u + (−~v ). Définition 11.9 Dans le plan, si ~u est le vecteur (ux , uy ) et ~v le vecteur (vx , vy ) alors le vecteur −−−→ u − v est donné par −−−→ u − v = (ux − vx , uy − vy ). ~u − ~v

•

−~v

~u •

•

~u − ~v On constate que pour soustraire ~v de ~u, il suffit de placer sur le même point les origines des deux −−−→ vecteurs et de prendre comme origine et extrémité du vecteur u − v respectivement l’extrémité de ~v et l’extrémité de ~u.

153

Définition 11.10 Dans l’espace, si ~u est le vecteur (ux , uy , uz ) et ~v le vecteur (vx , vy , vz ) alors le −−−→ vecteur u − v est donné par −−−→ u − v = (ux − vx , uy − vy , uz − vz ).

−−−→ ⋆ Par exemple, la différence des deux vecteurs ~a = (3, 1, 4) et ~b = (1, −2, 3) est le vecteur a − b = (3 − 1, 1 − (−2), 4 − 3) = (2, 3, 1). (c) Multiplication d’un vecteur par un scalaire La multiplication d’un vecteur ~v par un scalaire α, notée α~v , est le vecteur dont les composantes sont celles de ~v multipliées par α. Définition 11.11 Dans le plan si ~v = (vx , vy ) et α ∈ R alors α~v = (αvx , αvy ).

−2~v

1 v 2~

Géométriquement, cette opération revient à effectuer une contraction ou une dilatation du vecteur ~v , avec éventuellement un renversement de sens si le scalaire α est négatif. Définition 11.12 Dans l’espace, si ~v = (vx , vy , vz ) et α ∈ R alors α~v = (αvx , αvy , αvz ). ⋆ Par exemple, si ~v = (1, 2, 3) et α = 4 alors α~v = (4, 8, 12). Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire 1. 2. 3. 4.

Distributivité par rapport à l’addition dans R : (α + β)~v = α~v + β~v . Distributivité par rapport à l’addition vectorielle : α(~u + ~v ) = α~u + α~v . Associativité mixte : α(β~v ) = (αβ)~v . Elément neutre : 1 · ~v = ~v .

On dira que deux vecteurs ~u et ~v du plan ou de l’espace : 1. ont la même direction et sont de même sens si ~u = α~v , pour un certain α > 0, 2. ont la même direction et sont de sens contraire si ~u = α~v , pour un certain α < 0. Définition 11.13 Deux vecteurs sont colinéaires ou parallèles s’ils ont la même direction, c’està-dire s’il existe α ∈ R tel que ~u = α~v .

154

⋆ Par exemple, les vecteurs ~u = (4, 8, 12) et ~v = (1, 2, 3) sont parallèles car ~u = 4 ~v .

(d) Le produit scalaire de deux vecteurs Il s’agit d’une opération de multiplication entre deux vecteurs donnant comme résultat un scalaire, c’est-à-dire un nombre. Il est noté en général avec un point ~u ·~v . Pour le distinguer de la multiplication usuelle, nous le noterons ~u ⊙~v . Le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. Définition 11.14 Dans le plan, si ~u = (ux , uy ) et ~v = (vx , vy ) alors ~u ⊙ ~v = ux vx + uy vy . Dans l’espace, si ~u = (ux , uy , uz ) et ~v = (vx , vy , vz ) alors ~u ⊙ ~v = ux vx + uy vy + uz vz . On appelle ce produit “scalaire” parce que son résultat est un nombre. ⋆ Par exemple, le produit scalaire des vecteurs ~u = (2, 3, 4) et ~v = (1, −2, 2) est le nombre réel ~u ⊙ ~v = 2 · 1 + 3 · (−2) + 4 · 2 = 4.

Propriétés du produit scalaire 1. Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa longueur ou norme : ~v ⊙ ~v = k~v k2 .

2. Le produit scalaire de deux vecteurs est commutatif : ~u ⊙ ~v = ~v ⊙ ~u.

3. Il y a distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs : ~u ⊙ (~v + w) ~ = ~u ⊙ ~v + ~u ⊙ w. ~ 4. Il y a associativité mixte : (α~u) ⊙ ~v = α(~u ⊙ ~v ) = ~u ⊙ (α~v ).

5. Le vecteur nul est absorbant pour le produit scalaire : ~o ⊙ ~u = 0.

On peut définir le produit scalaire d’un point de vue géométrique. Proposition 11.1 Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v , alors ~u ⊙ ~v = k~ukk~v k cos θ. En d’autres termes, le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des normes des vecteurs par le cosinus de l’angle entre ceux-ci. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. De la proposition, on peut déduire la formule suivante pour le cosinus de l’angle θ que forment deux vecteurs ~u et ~v .

Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v , alors cos θ =

155

~u ⊙ ~v k~ukk~v k

⋆ Par exemple, l’angle entre les vecteurs ~a = (4, −3) et ~b = (1, 2) est donné par cos θ = et donc

~a ⊙ ~b −2 = √ , ~ 5 5 k~akkbk

−2 θ = arccos √ ≈ 100, 3◦ . 5 5

Définition 11.15 Deux vecteurs sont orthogonaux s’ils forment un angle droit. Dans ce cas, le cosinus de l’angle vaut 0 et on déduit de la proposition que le produit scalaire est nul. ~u ⊥ ~v ⇔ ~u ⊙ ~v = 0. ⋆ Par exemple, les vecteurs ~a = ( 21 , −3) et ~b = (−2, 12) sont parallèles. En effet, on a cos θ = et donc

~a ⊙ ~b −37 = −1, = ~ 37 k~akkbk

θ = arccos(−1) = π. L’angle entre les deux vecteurs étant π, ces deux vecteurs sont parallèles. De plus, on remarque que ~b = −4~a. ⋆ Par contre, les vecteurs ~a = (2, 3) et ~b = (6, −4) sont orthogonaux car ~a ⊙ ~b = 2.6 + 3.(−4) = 0. On peut démontrer les deux résultats suivants, relatifs à la longueur des vecteurs :

Proposition 11.2 Soit ~u et ~v deux vecteurs. (1) Inégalité de Cauchy-Schwartz : |~u ⊙ ~v | ≤ k~ukk~v k. (2) Inégalité triangulaire : k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. Cette inégalité spéciﬁe que dans un triangle, la longueur d’un côté ne peut dépasser la somme des longueurs des deux autres côtés. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. (e) Le produit vectoriel de deux vecteurs A la différence du produit scalaire, qui est un nombre réel, le produit vectoriel de deux vecteur est un vecteur, noté ~u ×~v (ou encore ~u ∧~v ). Pour le définir, on a besoin de la notion d’orientation d’un repère. Définition 11.16 Le produit vectoriel de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur ~u × ~v qui satisfait les propriétés suivantes : • ~u × ~v est perpendiculaire à ~u et à ~v ; • k~u × ~v k = k~ukk~v k | sin θ| ; • les vecteurs ~u, ~v et ~u × ~v pris dans cet ordre forment un repère d’orientation directe. √

Remarque : La longueur k~u × ~v k est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ~u et ~v .

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation.

156

Propriétés du produit vectoriel 1. Le produit vectoriel de deux vecteurs est anti-commutatif : ~u × ~v = −(~v × ~u). 2. Le produit vectoriel est linéaire à gauche : ~u × (α~v + β w) ~ = α(~u × ~v ) + β(~u × w). ~ 3. Le produit vectoriel est linéaire à droite : (α~u + β~v ) × w ~ = α(~u × w) ~ + β(~v × w). ~ Proposition 11.3 Soit ~u = (ux , uy , uz ) et ~v = (vx , vy , vz ). Les composantes du vecteur ~u × ~v sont données par ~u × ~v = (uy vz − uz vy , uz vx − ux vz , ux vy − uy vx ). ⋆ Par exemple, si ~a = (1, 2, 3) et ~b = (6, 5, 4) alors le vecteur ~v = ~a ×~b = (2·4−3·5, 3·6−1·4, 1·5−2·6) = (−7, 14, −7) est perpendiculaire aux vecteurs ~a et ~b. L’aire du parallélogramme construit sur ~a et ~b. est √ √ √ k~a × ~bk = k~v k = 49 + 196 + 49 = 294 = 7 6. Dans le cas où les deux vecteurs sont parallèles, le sinus de l’angle vaut 0 et on en déduit que le produit vectoriel est nul. ~u k ~v ⇔ ~u × ~v = ~o. ⋆ Par exemple, les vecteurs ~u = (1, −2, 3) et ~v = (−2, 4, −6) sont parallèles car ~u × ~v = (−2 · (−6) − 3 · 4, 3 · (−2) − (−6) · 1, 1 · 4 − (−2) · (−2)) = (0, 0, 0) = ~o. On a ~v = −2~u. (f ) Produit mixte Si on dispose de 3 vecteurs donnés ~u, ~v et w, ~ on peut considérer l’expression (~u × ~v ) ⊙ w ~ qui désigne un nombre réel, appelé produit mixte des 3 vecteurs . Dans un repère cartésien orthonormé, on peut donner une signification géométrique intéressante à |(~u ×~v )⊙ w|. ~ En effet, ce nombre revient à k~u ×~v kkwk| ~ cos(~u ×~v , w)|. ~ Si nous regardons le parallélipipède construit sur les 3 vecteurs, nous observons que k~u ×~v k donne l’aire de la base (construite sur ~u et ~v ) et que kwk| ~ cos(~u ×~v , w)| ~ donne la longueur de la projection orthogonale de w ~ sur la droite qui porte ~u ×~v , c’est-à-dire la hauteur du parallélipipède. Donc |(~u × ~v ) ⊙ w| ~ donne le volume du parallélipipède.

~u × ~v

w ~ ~v ~u

157

1.5

Vecteurs et points particuliers

(a) Vecteur normé Etant donné un vecteur ~v , on est parfois amené à considérer un vecteur de longueur un, dans la même direction et dans le même sens que ~v . Notons ~1v ce vecteur. Pour l’obtenir, il suffit de diviser le vecteur ~v par sa longueur. On dit d’un vecteur dont la norme est égale à un qu’il est normé.

~v . Le vecteur normé correspondant à ~v est ~1v = k~v k ⋆ Par exemple, le vecteur normé de même direction et de même sens que le vecteur ~v = (−5, 6, −2) est le vecteur ~1v = ~v = (−5,√6, −2) = − √5 , √6 , − √2 . k~v k 65 65 65 65 On a bien

r 5 6 2 4 25 36 k~1v k = − √65 , √65 , − √65 = 65 + 65 + 65 = 1.

(b) Vecteurs colinéaires et orthogonaux Rappelons que deux vecteurs ~u et ~v sont colinéaires s’ils ont même direction, et donc s’il existe α ∈ R tel que ~u = α~v . ~u et ~v sont colinéaires ⇔ ~u k ~v ⇔ ∃ α ∈ R : ~u = α~v Deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux s’ils forment un angle droit et donc si ~u ⊙ ~v = 0. ~u et ~v sont orthogonaux ⇔ ~u ⊥ ~v ⇔ ~u ⊙ ~v = 0 (c) Milieu d’un vecteur Pour trouver le milieu d’un vecteur, on additionne les composantes de son origine et de son extrémité et on les divise par deux. Définition 11.17 Dans le plan, si P = (xp , yp ) et Q = (xq , yq ) alors les coordonnées du point −− → M , milieu du vecteur P Q sont données par 1 1 (xm , ym ) = (xp + xq ), (yp + yq ) . 2 2 Dans l’espace, si P = (xp , yp , zp ) et Q = (xq , yq , zq ) alors les coordonnées du point M , milieu −−→ du vecteur P Q sont données par 1 1 1 (xm , ym , zm ) = (xp + xq ), (yp + yq ), (zp + zq ) . 2 2 2

158

(d) Vecteurs de base Dans le cas du plan, les vecteurs (1, 0) et (0, 1) jouent un rôle particulier. Il s’agit des vecteurs unitaires parallèles aux axes. On peut exprimer tout vecteur ~v de composantes (vx , vy ) comme combinaison linaire de ces deux vecteurs avec les composantes (vx , vy ) comme coefficients de la combinaison linéaire : ~v = (vx , vy ) = vx (1, 0) + vy (0, 1).

Définition 11.18 Le repère [(0, 0); (1, 0), (0, 1)] est appelé repère canonique de R2 . Si ~v = (vx , vy ) alors ~v = (vx , vy ) = vx (1, 0) + vy (0, 1). Les vecteurs (1, 0) et (0, 1) sont appelés vecteurs de base. Le nombre vx est appelé composante horizontale de ~v et vy est appelé composante verticale de ~v . Il en est de même des vecteurs (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) dans l’espace R3 . Définition 11.19 Le repère [(0, 0, 0); (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] est appelé repère canonique de R3 . Si ~v = (vx , vy , vz ) alors ~v = (vx , vy , vz ) = vx (1, 0, 0) + vy (0, 1, 0) + vz (0, 0, 1).

159

Exemples détaillés 1. Déterminer les coordonnées polaires du point P = (− Solution détaillée : On a v u √ !2 u 2 t + r= − 4

√

√ 2 2 4 , 4 ).

r √ !2 r 2 2 1 2 1 = + = = 4 16 16 4 2

tg θ =

√ 2 4√ − 42

= −1

7π donc θ = 3π 4 ou θ = 4 . Les coordonnées cartésiennes indiquent que le point P se trouve dans le deuxième quadrant et donc θ = 3π 4 . 1 3π Le point P en coordonnées polaires s’écrit donc P = ( 12 cos ( 3π 4 ), 2 sin ( 4 )).

2. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point P si r = 2 et θ = Solution détaillée : On a x = r cos θ = 2 cos

7π 6

=2·

7π 6 .

√ ! √ 3 − =− 3 2

1 =2· − = −1. 2 √ Le point P a donc pour coordonnées cartésiennes P = (− 3, −1). y = r sin θ = 2 sin

7π 6

3. Déterminer la distance entre les points (3, 1) et (2, 4). Solution détaillée : On calcule d =

p √ √ (2 − 3)2 + (4 − 1)2 = 1 + 9 = 10.

4. Donner l’équation du cercle de centre (1, 2) et passant par le point (6, −1).

Solution détaillée : Le rayon de entre les points (1, 2) et pce cercle est donné par la √ distance √ − 1)2 + (−1 − 2)2 = 25 + 9 = 34. (6, −1). Ce rayon vaut donc r = (6 √ Le cercle centré en (1, 2) et de rayon 34 a pour équation (x − 1)2 + (y − 2)2 = 34 ou encore x2 − 2x + y 2 − 4y = 29.

5. Déterminer le centre et le rayon de la sphère d’équation x2 + y 2 + z 2 − 12x + 14y − 8z + 1 = 0. Solution détaillée : On a successivement

x2 − 12x + y 2 + 14y + z 2 − 8z = −1 x2 − 2 · 6 · x + 36 + y 2 + 2 · 7 · y + 49 + z 2 − 2 · 4 · z + 16 = −1 + 36 + 49 + 16 (x − 6)2 + (y + 7)2 + (z − 4)2 = 100 Il s’agit donc d’une sphère de centre (6, −7, 4) et de rayon 10.

6. Déterminer ~a + ~b, ~a − ~b et (~a − 4~b) pour ~a = (−2, 6, 1), ~b = (3, −3, −1).

Solution détaillée : On a ~a + ~b = (−2 + 3, 6 − 3, 1 − 1) = (1, 3, 0), ~a − ~b = (−2 − 3, 6 − (−3), 1 − (−1)) = (−5, 9, 2), (~a − 4~b) = (−2, 6, 1) − 4(3, −3, −1) = (−2, 6, 1) − (12, −12, −4) = (−14, 18, 5).

160

7. Etant donné ~a = (−2, 3, 1), ~b = (7, 4, 5) et ~c = (1, −5, 2), calculer les nombres ~a ⊙~b, ~a ⊙ (~b +~c) et ~a ⊙ ~b + ~a ⊙ ~c. Solution détaillée : On a ~a ⊙ ~b = −2 · 7 + 3 · 4 + 1 · 5 = −14 + 12 + 5 = 3, ~a ⊙ (~b + ~c) = (−2, 3, 1) ⊙ (8, −1, 7) = −2 · 8 + 3 · (−1) + 1 · 7 = −12, ~a ⊙ ~b + ~a ⊙ ~c = −2 · 7 + 3 · 4 + 1 · 5 + (−2) · 1 + 3 · (−5) + 1 · 2 = −12. Remarquons que ~a ⊙ (~b + ~c) = ~a ⊙ ~b + ~a ⊙ ~c.

8. Etant donné ~a = (1, 0, 2), ~b = (−1, 2, 1) et ~c = (0, 1, −1), calculer les vecteurs (~a × ~b) × ~c et ~a × (~b × ~c). Solution détaillée : On a ~a × ~b = (0 · 1 − 2 · 2, 2 · (−1) − 1 · 1, 1 · 2 − 0 · (−1)) = (−4, −3, 2), (~a × ~b) × ~c = (−3 · (−1) − 2 · 1, 2 · 0 − (−4) · (−1), −4 · 1 − (−3) · 0) = (1, −4, −4). D’autre part, ~b × ~c = (2 · (−1) − 1 · 1, 1 · 0 − (−1) · (−1), (−1) · 1 − 0 · 2) = (−3, −1, −1), ~a × (~b × ~c) = (0 · (−1) − 2 · (−1), 2 · (−3) − 1 · (−1), 1 · (−1) − 0 · (−3)) = (2, −5, −1). Remarquons que (~a × ~b) × ~c 6= ~a × (~b × ~c).

9. Déterminer si ~a = (4, −1, −2) et ~b = (2, −2, 5) sont orthogonaux.

Solution détaillée : On sait que ~a ⊥ ~b ⇔ ~a ⊙ ~b = 0. On calcule ~a ⊙ ~b = 4 · 2 + (−1) · (−2) + (−2) · 5 = 0, donc les vecteurs ~a et ~b sont orthogonaux.

10. Déterminer les valeurs de c pour que les vecteurs ~a = (c, −2, 3) et ~b = (c, c, −5) soient orthogonaux. Solution détaillée : On sait que ~a ⊥ ~b ⇔ ~a ⊙ ~b = 0. Or ~a ⊙ ~b = c2 − 2c − 15 et donc ~a ⊙ ~b = 0 ⇔ c2 − 2c − 15 = 0, ⇔ (c − 5)(c + 3) = 0, ⇔ c = 5 ou c = −3. Pour plus de détails sur la factorisation, cliquez ici.

−−−→ 11. Soit P1 = (−1, 2, 3) et P2 = (2, −2, 8). Donner les composantes du vecteur P1 P2 , sa longueur −−−→ et les coordonnées du point M , milieu de P1 P2 . Déterminer aussi les coordonnées de P3 tel −−−→ −−−→ que P1 P3 = 3 P1 P2 . Solution détaillée : On a −−−→ P1 P2 = (2 − (−1), −2 − 2, 8 − 3) = (3, −4, 5), p √ √ √ −−−→ kP1 P2 k = 32 + (−4)2 + 52 = 9 + 16 + 25 = 50 = 5 2, 2 = 21 (−1 + 2, 2 − 2, 3 + 8) = ( 12 , 0, 11 M = P1 +P 2 2 ). −−−→ −−−→ Soit P3 = (a, b, c). On a P1 P3 = P3 − P1 = (a + 1, b − 2, c − 3) et P1 P2 = P2 − P1 = (2 + 1, −2 − 2, 8 − 3) = (3, −4, 5). Il faut donc que a + 1 = 3 · 3 = 9, b − 2 = 3 · (−4) = −12 et c − 3 = 3 · 5 = 15. Donc a = 8, b = −10, c = 18 et P3 = (8, −10, 18).

−−→ −→ 12. Le point P est soumis à deux forces P Q et P R d’intensités respectives de 5N et 8N (le Newton −−→ −→ est l’unité de force). La direction de P Q est N20◦ E et la direction de P R est N65◦ O. Donner −−→ −→ les composantes horizontales et verticales de P Q et P R. Solution détaillée : On peut repésenter la situation à l’aide du schéma suivant :

161

•

20◦ R

•

65◦ •

−−→ −→ −−→ On a kP Qk = 5 et kP Rk = 8. Soit (a, b) les composantes de P Q et (c, d), les composantes de −→ P R. −−→ −−→ On calcule a = kP Qk cos (90◦ − 20◦ ) = 5 cos 70◦ et b = kP Qk sin (90◦ − 20◦ ) = 5 sin 70◦ . −−→ −−→ La composante horizontale de P Q est a = 5 cos 70◦ et la composante verticale de P Q est b = 5 sin 70◦ . −→ −→ De même, c = −kP Rk cos (90◦ − 65◦ ) = −8 cos 25◦ et d = kP Rk sin (90◦ − 65◦ ) = 8 sin 25◦ . −→ −→ La composante horizontale de P R est c = −8 cos 25◦ et la composante verticale de P R est d = 8 sin 25◦ .

13. Deux forces F~1 et F~2 qui agissent simultanément sur un point matériel P ont une action ~ Cette résultante est obtenue en traçant équivalente à une force unique appelée résultante R. la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs F~1 et F~2 .

F~2 •

~ R F~1

Dans la construction de la résultante, il suffit de tracer la moitié du parallélogramme où l’on ~ = F~1 + F~2 . place bout à bout les vecteurs F~1 et F~2 . On a R

~ R

•

F~2

F~1

→ a = (2, 5). Calculer le 14. L’intensité et la direction d’une force constante sont données par − travail effectué si le point d’application de la force se déplace de l’origine au point P = (4, 1). Solution détaillée : Si F~ est une force constante et d~ représente le déplacement, on a W = −→ ~ Ici, F~ = ~a = (2, 5), d~ = − F~ ⊙ d. OP = (4, 1) et donc W = F~ ⊙ d~ = 2 · 4 + 5 · 1 = 13 Joules.

162

15. Sur un plan incliné dont la pente fait un angle de 30◦ avec l’horizontale, on pousse vers le haut un petit wagonnet pesant 500 N. Calculer le travail effectué pour compenser la force de gravitation si l’on pousse le wagonnet sur une distance de 24 m. Solution détaillée : Représentons schématiquement le problème dans un système de coordonnées :

b F~2 P

•

30◦ a

F~1

Le vecteur F~1 = (0, −500) représente la force de gravitation orientée vers le bas d’une intensité de 500 N. Le point d’application de cette force se déplace le √long du vecteur F~2 de norme 24. √ Les composantes de ce vecteur sont a = kF~2 k cos 30◦ = 24 · 23 = 12 3 et b = kF~2 k sin 30◦ = √ √ 24 · 21 = 12. Donc F~2 = (12 3, 12) et W = F~1 ⊙ F~2 = (0, −500) ⊙ (12 3, 12) = −6000. Le travail effectué pour compenser la force de gravitation est donc de 6000 Joules.

163

Preuves

Preuve 26 Si θ désigne l’angle entre les deux vecteurs non nuls ~u et ~v , alors ~u ⊙ ~v = k~ukk~v k cos θ. Travaillons dans l’espace. Soit ~u = (ux , uy , uz ) et ~v = (vx , vy , vz ). Cas 1 : Les vecteurs ~u et ~v ne sont pas colinéaires. Z

U = (ux , uy , uz )

V = (vx , vy , vz )

θ b

Y X

La Règle des cosinus permet d’écrire −−→ kU V k2 = k~uk2 + k~v k2 − 2k~ukk~v k cos θ. D’où (vx − ux )2 + (vy − uy )2 + (vz − uz )2 = (u2x + u2y + u2z ) + (vx2 + vy2 + vz2 ) − 2k~ukk~v k cos θ. On peut simplifier cette dernière expression en −2ux vx − 2uy vy − 2uz vz = −2k~ukk~v k cos θ, ce qui par division des deux membres par −2 donne le résultat recherché.

Cas 2 : Les vecteurs ~u et ~v sont colinéaires, c’est-à-dire il existe α ∈ R tel que ~v = α~u. On a en vertu des propriétés du produit scalaire, ~u ⊙ ~v = ~u ⊙ (α~u) = α(~u ⊙ ~u) = αk~uk2 . De même, on a k~ukk~v k cos θ = k~ukkα~uk cos θ = |α|k~uk2 cos θ.

Si α > 0, alors |α| = α, θ = 0 et |α|k~uk2 cos θ = αk~uk2 = ~u ⊙ ~v . Si α < 0, alors |α| = −α, θ = π et |α|k~uk2 cos θ = −αk~uk2 · (−1) = αk~uk2 = ~u ⊙ ~v . Retour au texte

164

Preuve 27 Soit ~u et ~v deux vecteurs. (1) Inégalité de Cauchy-Schwartz : |~u ⊙ ~v | ≤ k~ukk~v k. (2) Inégalité triangulaire : k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. Cette inégalité spécifie que dans un triangle, la longueur d’un côté ne peut dépasser la somme des longueurs des deux autres côtés. (1) En utilisant la Proposition 11.1, on obtient |~u ⊙ ~v | = | k~ukk~v k cos θ| = k~ukk~v k| cos θ| ≤ k~ukk~v k. (2) En utilisant l’inégalité ci-dessus et les propriétés du produit scalaire, on obtient k~u + ~v k2 = (~u + ~v ) ⊙ (~u + ~v ) = ~u ⊙ ~u + ~u ⊙ ~v + ~v ⊙ ~u + ~v ⊙ ~v = k~uk2 + 2 ~u ⊙ ~v + k~v k2 ≤ k~uk2 + 2 k~uk k~v k + k~v k2 = (k~uk + k~v k)2 . En prenant la racine carrée des deux membres (qui sont positifs), on trouve k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k. Retour au texte

165

Preuve 28 La longueur k~u × ~v k est l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ~u et ~v . Construisons la figure suivante :

V •

~v •

•

Soit Q la projection orthogonale de V sur ~u. −−→ La longueur kQV k représente la hauteur du parallélogramme construit sur ~u et ~v . L’aire de ce paral−−→ lélogramme est donc donnée par k~uk · kQV k et comme −−→ −−→ kQV k kQV k , | sin θ| = −−→ = k~v k kOV k

on obtient Aire = k~uk k~v k | sin θ| = k~u × ~v k. Retour au texte

166

Preuve 29 Dans R3 , la distance entre deux points P = (xp , yp , zp ) et Q = (xq , yq , zq ) est donnée par la formule q d(P, Q) = (xq − xp )2 + (yq − yp )2 + (zq − zp )2 . Construisons la figure suivante :

Q = (xq , yq , zq )

d (xp , yp , zp ) = P b

t (xq , yp , zp ) = S

b b

R = (xq , yq , zp )

Si P = (xp , yp , zp ) et Q = (xq , yq , zq ) alors on a R = (xq , yq , zp ) et S = (xq , yp , zp ). Dans le plan P SR, le triangle P SR est rectangle en S et par le Théorème de Pythagore, on obtient t2 = (xq − xp )2 + (yq − yp )2 . Dans le plan P QR, le triangle P QR est rectangle en R et par le Théorème de Pythagore, on obtient d2 = t2 + (zq − zp )2 . Finalement, on a d2 = (xq − xp )2 + (yq − yp )2 + (zq − zp )2 . Retour au texte

167

Chapitre 12

Trigonométrie Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (b) Positions relatives de deux angles . . . . . . (c) Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nombres trigonométriques . . . . . . . . . . . . (a) Définition des nombres trigonométriques . . (b) Propriétés des nombres trigonométriques . . (c) Formules trigonométriques . . . . . . . . . . 1.3 Règle des sinus et Règle des cosinus . . . . . . . 1.4 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . (a) Equations fondamentales . . . . . . . . . . . (b) Equations élémentaires . . . . . . . . . . . . (c) Equations générales . . . . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . 170 . . . . . . . . . . 171 . . . . . . . . . . 172 . . . . . . . . . . 172 . . . . . . . . . . 175 . . . . . . . . . . 177 . . . . . . . . . . 178 . . . . . . . . . . 181 . . . . . . . . . . 181 . . . . . . . . . . 181 . . . . . . . . . . 182 . . . . . . . . . 184 . . . . . . . . . 190

Théorie

1.1

Angles

(a) Définitions

Définition 12.1 Un angle est une portion du plan comprise entre deux demi-droites. Il est composé de deux côtés ayant un même sommet. Si O est le sommet et A, B sont deux points sur les \ côtés, on parlera de l’angle AOB.

A b

α b

Un angle est souvent désigné par une lettre grecque minuscule telle α, β, γ ou θ. La mesure d’un angle s’exprime soit en degrés, soit en radians. Un angle de 1 degré correspond à 1 360 d’une rotation d’un tour complet dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. La mesure d’un angle α, ou amplitude de l’angle, est la mesure de longueur s de l’arc AB (où A et B se trouvent sur le cercle unité centré en O).

A b

1 O b

s b

Lorsque s = 1, on dira que α mesure 1 radian. Puisque la longueur du cercle unité est 2π, on obtient la correspondance suivante entre degrés et radians : 360◦ = 2π radians 360◦ = 57◦ 17′ 45′′ . . . 1 radian = 2π 2π radians = 0, 01745 radians 1 degré = 360 169

Un angle est aigu si son amplitude est inférieure à 90◦ . Un angle droit est un angle dont l’amplitude est 90◦ . Un angle est obtu si son amplitude est entre 90◦ et 180◦ . Un angle plat est un angle dont l’amplitude est 180◦ . Deux angles ayant même amplitude sont dits congruents. Deux angles sont équivalents si la différence d’amplitude de ces angles est un multiple de 360◦ = 2π radians. Des angles sont complémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut 90◦ . Des angles sont suplémentaires si la somme de leurs amplitudes vaut 180◦ . Deux angles dont la différence des amplitudes vaut 180◦ sont dits anti-supplémentaires. Deux angles sont opposés si la somme de leurs amplitudes vaut 0◦ . ⋆ Par exemple, si l’angle α = 30◦ alors l’angle 60◦ est le complémentaire de α, l’angle 150◦ est le supplémentaire de α, l’angle 210◦ est l’anti-supplémentaire de α. L’angle −30◦ est l’opposé de α et l’angle 750◦ est équivalent à α. (b) Positions relatives de deux angles Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet et un côté commun. Dans la figure ci-dessous, \ sont adjacents. les angles \ AOB et BOC

C b

O b

B A b

Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont même sommet et si leurs côtés sont les \ et DOC \ sont opposés prolongements respectifs l’un de l’autre. Dans la figure ci-dessous, les angles AOB \ et BOC. \ par le sommet, ainsi que les angles AOD

O C b b

Proposition 12.1 Deux angles opposés par le sommet ont même amplitude. Considérons deux droites parallèles d1 et d2 coupées par une droite d3 . Soit A le point d’intersection de d1 et d3 et B le point d’intersection de d2 et d3 .

170

Aˆ1

Aˆ2 A

d2 Bˆ2 B

Aˆ3

Aˆ4

Bˆ1

Bˆ3

Bˆ4

Deux angles sont correspondants s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent du même côté de la droite d3 et du même côté respectivement de la droite d1 et de la droite d2 . c1 et B c1 sont correspondants, les angles A c2 et B c2 sont correspondants, les ⋆ Par exemple, les angles A c3 et B c3 sont correspondants et les angles A c4 et B c4 sont correspondants. angles A Deux angles sont alternes internes s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent de part et d’autre de la droite d3 et entre les droites d1 et d2 .

c4 et B c2 sont alternes internes. Et les angles A c3 et B c1 sont alternes internes. ⋆ Par exemple, les angles A

Deux angles sont alternes externes s’ils n’ont pas le même sommet et se trouvent de part et d’autre de la droite d3 et à l’extérieur des droites d1 et d2 .

c1 et B c3 sont alternes externes. Et les angles A c2 et B c4 sont alternes externes. ⋆ Par exemple, les angles A Proposition 12.2 Deux angles correspondants ont même amplitude. Deux angles alternes internes ont même amplitude. Deux angles alternes externes ont même amplitude. (c) Angles et cercles On considère un cercle de centre O et A, B, C trois points de ce cercle.

b b

O b

171

Un angle est inscrit dans un cercle si son sommet est un point du cercle et si ses deux côtés coupent le cercle en un deuxième point. ⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’angle \ ACB est inscrit dans le cercle. Cet angle intercepte l’arc AB.

Proposition 12.3 Dans un cercle, des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Dans le cas particulier où l’angle inscrit dans un cercle intercepte un diamètre, on a le résultat suivant.

Proposition 12.4 Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle. Réciproquement, on peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténuse du triangle. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. Un angle au centre d’un cercle a le centre de ce cercle comme sommet. \ est un angle au centre. Cet angle intercepte l’arc ⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’angle AOB AB.

Proposition 12.5 Dans un cercle, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. \ vaut le double de l’amplitude de ⋆ Par exemple, dans la figure ci-dessus, l’amplitude de l’angle AOB \ l’angle ACB.

1.2

Nombres trigonométriques

(a) Définition des nombres trigonométriques Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 centré à l’origine. On mesure l’angle α à partir de l’axe horizontal ; α est positif dans le sens anti-horlogique et négatif dans le sens des aiguilles d’une montre. Les angles sont définis à 2π près ; ainsi l’angle α est le même que les angles α + 2π, α + 4π, α − 2π, . . . , α + 2kπ, k ∈ Z. Les nombres trigonométriques sinus et cosinus, tangente et cotangente sont définis pour un angle α donné comme le montre la figure suivante.

172

cotg α

P b

sin α

tg α

α b

cos α

Définition 12.2 Soit P un point du cercle trigonométrique faisant un angle α avec l’axe horizontal. L’abscisse de P est appelée cosinus α et l’ordonnée de P est appelée sinus α. L’ordonnée du point d’abscisse 1 de la droite OP est appelée tangente α et l’abscisse du point d’ordonnée 1 de la droite OP est appelée cotangente α. Les coordonnées du point P sont donc (cos α, sin α) et on a toujours

−1 ≤ cos α ≤ 1 et − 1 ≤ sin α ≤ 1 On déduit du Théorème de Pythagore la formule fondamentale suivante :

sin2 α + cos2 α = 1 Considérons les triangles rectangles OAB et OA′ B ′ .

B′ b

1 O b

tg α

sin α

α b

cos α

A′

Ces deux triangles sont semblables et par les propriétés des triangles semblables, on a donc tg α =

sin α . cos α

173

Remarquons que le nombre tg α n’est défini que pour α 6= cotg α =

π 2

+ kπ, k ∈ Z. De même, on a

cos α 1 = , sin α tg α

où α 6= kπ, k ∈ Z. Toujours en utilisant les propriétés des triangles semblables, on a |AB| |AB| = = sin α, |OB| 1 d’où

sin α =

côté opposé à α hypoténuse

De même, on a |OA| |OA| = = cos α, |OB| 1

d’où

cos α =

côté adjacent à α hypoténuse

On en déduit que

tg α =

côté opposé à α sin α = cos α côté adjacent à α

⋆ Par exemple, si α est un angle aigu et cos α = 34 , on peut calculer les valeurs des nombres trigonométriques de α. Commençons par dessiner un triangle rectangle ayant un angle aigu α avec “côté adjacent” =3 et “hypoténuse” =4.

4 x α 3

174

Soit x le côté opposé à α. Par le Théorème de Pythagore, on a 32 + x2 = 42 , √

16 − 9 =

√

7. On en déduit √ 7 opposé sin α = hypoténuse = , 4 3 adjacent cos α = hypoténuse = , 4

d’où x =

√ 7 opposé tg α = adjacent = , 3 √ 3 3 7 adjacent cotg α = opposé = √ = . 7 7

Voici quelques valeurs remarquables des nombres trigonométriques. α

sin α

cos α

tg α

π √4 2 √2 2 2

π 6 1 √2 3 √2 3 3

π √3 3 2 1 2 √ 3

π 2

−1

(b) Propriétés des nombres trigonométriques Le calcul d’un nombre trigonométrique d’un angle donné peut se ramener au calcul d’un nombre trigonométrique d’un angle du premier quadrant. A partir des valeurs données dans la table ci-dessus, on peut déduire les valeurs d’autres nombres trigonométriques grâce aux formules ci-dessous. Pour des angles opposés α et −α Dans un cercle trigonométrique, deux angles opposés sont représentés par deux points du cercle symétriques par rapport à l’axe OX.

α −α b

Pour des angles opposés α et −α : sin(−α) = − sin α cos(−α) = cos α

tg (−α) = −tg α cotg (−α) = −cotg α

175

Pour des angles complémentaires α et

π 2

−α

Dans un cercle trigonométrique, deux angles complémentaires sont représentés par deux points du cercle symétriques par rapport à la droite y = x.

Pour des angles complémentaires α et

π 2

α b

π 2

−α

−α :

sin( π2 − α) = cos α cos( π2 − α) = sin α

tg ( π2 − α) = cotg α cotg ( π2 − α) = tg α

Pour des angles supplémentaires α et π − α Dans un cercle trigonométrique, deux angles supplémentaires sont représentés par deux points du cercle symétriques par rapport à l’axe OY .

α π−α

Pour des angles supplémentaires α et π − α : sin(π − α) = sin α cos(π − α) = − cos α

tg (π − α) = −tg α cotg (π − α) = −cotg α

176

Pour des angles anti-supplémentaires α et π + α Dans un cercle trigonométrique, deux angles anti-supplémentaires sont représentés par deux points du cercle symétriques par rapport à l’origine O.

α π+α b

Pour des angles anti-supplémentaires α et π + α : sin(π + α) = − sin α cos(π + α) = − cos α

tg (π + α) = tg α cotg (π + α) = cotg α

(c) Formules trigonométriques Les formules suivantes relient les différents nombres trigonométriques. Formule fondamentale sin2 α + cos2 α = 1 Formules de duplication sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 2 tg α tg (2α) = 1 − tg2 α Formules d’addition sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin β sin α tg α + tg β tg (α + β) = 1 − tg α · tg β

sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α cos(α − β) = cos α cos β + sin β sin α tg α − tg β tg (α − β) = 1 + tg α · tg β

Formules de Carnot 1 − cos(2α) 2 1 + cos(2α) 2 cos α = 2

sin2 α =

1 cos2 α 1 2 1 + cotg α = sin2 α

1 + tg2 α =

177

Formules de Simpson α−β sin α + sin β = 2 sin ( α+β 2 ) cos ( 2 ) α+β sin α − sin β = 2 sin ( α−β 2 ) cos ( 2 )

α−β cos α + cos β = 2 cos ( α+β 2 ) cos ( 2 ) α+β cos α − cos β = −2 sin ( α−β 2 ) sin ( 2 )

1.3

Règle des sinus et Règle des cosinus

Le résultat suivant permet de trouver la longueur d’un côté d’un triangle quelconque si on connaît la longueur d’un autre côté et les deux angles opposés. Il permet également de déterminer un angle si on en connaît un autre et la longueur de leurs côtés opposés.

Théorème 12.6 (Règle des sinus) Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés, c’est-à-dire si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a sin β sin γ sin α = = . a b c

C b

γ a

α A

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. ⋆ Voici un exemple d’application de ce résultat. Lorsque l’angle d’élévation du soleil est de 64◦ , un poteau téléphonique qui penche d’un angle de 9◦ par rapport à une ligne formée par le pied du poteau et le soleil projette une ombre de 6,3 mètres sur le sol. On cherche la hauteur du poteau.

178

S b

C b

γ 9◦

64◦ A b

β b

c = 6, 3

Le triangle ABC (avec α = 64◦ , β = 90◦ − 9◦ = 81◦ et γ = 180◦ − 64◦ − 81◦ = 35◦ ) représente les faits. Pour calculer la hauteur du poteau, c’est-à-dire le côté a = BC du triangle ABC, on utilise la Règle des sinus : sin γ sin α = , a c c’est-à-dire sin 64◦ sin 35◦ = , a 6, 3 d’où a = 6, 3 ·

sin 64◦ sin 35◦

= 9, 87 mètres.

Le résultat suivant est une généralisation du Théorème de Pythagore. Il permet de trouver la longueur d’un des côtés à partir de celle des deux autres et de l’angle compris entre ces deux autres côtés. Il porte le nom de règle des cosinus ou encore règle de Pythagore généralisée.

Théorème 12.7 (Règle des cosinus) Dans tout triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés diminuée du double produit des longueurs de ces deux côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés, c’est-à-dire si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

179

C b

γ a

α A

Si vous êtes intéressé, vous pouvez regarder la preuve de cette affirmation. ⋆ Voici un exemple d’application de ce résultat. Sur le flanc d’une montagne se trouve une tour. Un observateur se trouvant à 320 mètres de la tour la voit sous un angle de 6◦ . Il monte alors dans la direction de la tour et, après avoir parcouru 220 mètres, il la voit sous un angle de 13◦ . On cherche la hauteur de cette tour. Schématisons la situation.

C b

β 6◦ b

13◦ b

220

320

On déduit des données que l’angle β = 180◦ − 13◦ = 167◦ , donc l’angle α = 180◦ − 167◦ − 6◦ = 7◦ . On déduit la longueur du côté AC de la Règle des sinus : 220 |AC| = ◦ sin 7 sin 167◦ sin 167◦ = 406, 1 mètres. et donc |AC| = 220 · sin 7◦ Finalement, par la Règle des cosinus, on obtient h2 = |CD|2 = |AD|2 + |AC|2 − 2|AD| |AC| cos 6◦ sin 167◦ 2 sin 167◦ 2 = 320 + 220 · − 2 · 320 · 220 · · cos 6◦ sin 7◦ sin 7◦ = 8836, 99 √ et donc h = h2 ≈ 94 mètres. 180

1.4

Equations trigonométriques

Définition 12.3 Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue intervient dans l’expression d’un sinus, d’un cosinus, d’une tangente ou d’une cotangente. (a) Equations fondamentales Cherchons tous les angles x tels que sin x = m où m ∈ [−1, 1]. Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles supplémentaires ont même sinus. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est S = {x : x = α + 2kπ ou x = (π − α) + 2kπ; k ∈ Z}. Cherchons tous les angles x tels que cos x = m où m ∈ [−1, 1]. Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles opposés ont même cosinus. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est S = {x : x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ; k ∈ Z}. Cherchons tous les angles x tels que tg x = m où m ∈ R. Soit α une solution. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles anti-supplémentaires ont même tangente. Donc, si α est une solution, alors l’ensemble des solutions est S = {x : x = α + 2kπ ou x = (π + α) + 2kπ; k ∈ Z} ou encore S = {x : x = α + kπ; k ∈ Z}.

⋆ Par exemple, on cherche tous les angles x tels que sin x = 21 . Une solution est x = π6 . L’ensemble des solutions est S = { π6 + 2kπ,

5π 6

+ 2kπ; k ∈ Z}.

⋆ Cherchons tous les angles x tels que tg x = −1. Une solution est x = − π4 . L’ensemble des solutions est S = {− π4 + kπ; k ∈ Z}. (b) Equations élémentaires Cherchons tous les angles x tels que sin x = sin α. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même sinus s’ils sont égaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont supplémentaires (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions est donc S = {x : x = α + 2kπ ou x = (π − α) + 2kπ; k ∈ Z}. Cherchons tous les angles x tels que cos x = cos α. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont le même cosinus s’ils sont égaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont opposés (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions est donc S = {x : x = α + 2kπ ou x = −α + 2kπ; k ∈ Z}. 181

Cherchons tous les angles x tels que tg x = tg α. Par les propriétés des nombres trigonométriques, on sait que deux angles ont la même tangente s’ils sont égaux (à 2kπ-près) ou s’ils sont anti-supplémentaires (à 2kπ-près). L’ensemble des solutions est donc S = {x : x = α + 2kπ ou x = (π + α) + 2kπ; k ∈ Z} c’est-à-dire S = {x : x = α + kπ; k ∈ Z}. ⋆ Par exemple, résolvons l’équation sin (3x + 20◦ ) = sin (x + 50◦ ). Il faut que 3x + 20◦ = x + 50◦ + k · 360◦ ou 3x + 20◦ = 180◦ − (x + 50◦ ) + k · 360◦ 2x = 30◦ + k · 360◦ ou 4x = 110◦ + k · 360◦ ◦ ◦ x = 15 + k · 180 ou x = 27◦ 30′ + k · 90◦ L’ensemble des solutions est donc S = {15◦ + k · 180◦ , 27◦ 30′ + k · 90◦ ; k ∈ Z}. ⋆ Résolvons l’équation cos (x + π2 ) = cos (3x). Il faut que x + π2 = 3x + 2kπ ou x + π2 = −3x + 2kπ −2x = − π2 + 2kπ ou 4x = − π2 + 2kπ x = π4 + kπ ou x = − π8 + k π2 L’ensemble des solutions est donc S = { π4 + kπ, − π8 + k π2 ; k ∈ Z}. (c) Equations générales Si l’équation est plus générale, on utilise les propriétés des nombres trigonométriques pour se ramener à une équation fondamentale ou élémentaire. ⋆ Par exemple, cherchons tous les angles x tels que sin (x + π3 ) = cos (2x). On peut récrire cette équation cos ( π2 − (x + π3 )) = cos (2x) ou encore cos ( π6 − x) = cos (2x). Il faut donc que

π 6

− x = 2x + 2kπ ou π6 − x = −2x + 2kπ −3x = − π6 + 2kπ ou x = − π6 + 2kπ π x = 18 + 2k π3 ou x = − π6 + 2kπ

L’ensemble des solutions est donc π π + k 2π S = { 18 3 , − 6 + 2kπ; k ∈ Z}.

Dans le cas d’une équation du second degré, on commencera par faire un changement de variable pour se ramener à une équation du second degré classique que l’on résoud. On est alors ramené à une équation fondamentale ou élémentaire. Pour plus de détails concernant la résolution des équations du second degré, cliquez ici.

182

⋆ Par exemple, cherchons tous les angles x tels que 2 sin2 x − sin x = 1. Posons t = sin x. L’équation peut se récrire 2t2 − t − 1 = 0. Les racines de cette équation sont t = 1 et t = − 12 . • Si t = sin x = 1 alors x = π2 + 2kπ, k ∈ Z. 11π • Si t = sin x = − 12 alors x = 7π 6 + 2kπ ou x = 6 + 2kπ, k ∈ Z. Les solutions de cette équation sont donc S = { π2 + 2kπ,

7π 6

+ 2kπ,

183

11π 6

+ 2kπ; k ∈ Z}.

Exemples détaillés 1. Convertir les angles 150◦ , −135◦ et 390◦ en radians.

Solution détaillée : La formule permettant de passer de degrés en radians est 1 degré =

π 2π radians = radians. 360 180

On obtient donc π 180

150◦ = 150 ·

5π 6

radians =

radians ;

π 3π 180 radians = − 4 radians π radians = π6 radians. 30 · 180

−135◦ = −135 · ◦

◦

390 = 30 =

π 2π 12 , 3

2. Convertir en degrés les angles

5π 4

radians ;

et − π4 .

Solution détaillée : La formule permettant de passer de radians en degrés est 1 radian =

180◦ 360◦ = . 2π π

On obtient donc π 12

180π ◦ 12π

2π 3

180·2π ◦ 3π

− π4 =

3. Si sin θ =

7π 4

3 5

180 ◦ 12

= 15◦ ;

360 ◦ = 120◦ ; 3 ◦ 180·7π ◦ = 1260 = 4π 4

315◦ .

alors déterminer les autres nombres trigonométriques.

Solution détaillée : On peut représenter la situation à l’aide du triangle rectangle suivant.

C b

5 3

θ b

On déduit du Théorème de Pythagore que 9 + x2 = 25, donc x2 = 16 et x = 4. On obtient alors adjacent cos θ = = x5 = 45 ; hypoténuse tg θ = opposé = adjacent

3 x

adjacent cotg θ = opposé =

= x 3

3 4

;

= 43 .

184

◦ 4. Sans utiliser de calculatrice, donner la valeur de cos 5π 6 et sin 315 .

Solution détaillée : On a

5π 6

=π−

π π cos 5π 6 = cos (π − 6 ) = − cos 6 =

On a 315◦ = 7π = 2π − √4 π 2 − sin 4 = − 2 .

π 4

π 6

√ − 23 .

et cos (π − x) = − cos x. On en déduit que

π et sin (2π − x) = − sin x. On en déduit que sin 7π 4 = sin (2π − 4 ) =

5. Résoudre l’équation cos (3x + π) = cos x. Solution détaillée : Pour que deux angles aient le même cosinus, ils doivent être égaux ou opposés (à 2kπ près). On a donc 3x + π = x + 2kπ ou 3x + π = −x + 2kπ 2x = −π + 2kπ ou 4x = −π + 2kπ x = − π2 + kπ ou x = − π4 + k π2 La solution est donc donnée par S = {− π2 + kπ, − π4 + k π2 ; k ∈ Z}.

π 4 b

b b

6. Résoudre l’équation sin ( x2 ) + cos x = 1. Solution détaillée : En utilisant les formules de duplication, l’équation peut s’écrire x x sin + 1 − 2 sin2 =1 2 2

ou encore

1 − 2 sin

= 0. 2 2 On en déduit que sin ( x2 ) = 0 ou 1 − 2 sin ( x2 ) = 0. D’une part, sin ( x2 ) = 0 implique x2 = kπ et donc x = 2kπ. D’autre part, 1 − 2 sin ( x2 ) = 0 implique sin ( x2 ) = 21 . On en déduit sin

= π6 + 2kπ ou x2 = 5π 6 + 2kπ x = π3 + 4kπ ou x = 5π 3 + 4kπ x 2

La solution est donc donnée par S = {2kπ,

π 3

185

+ 4kπ,

5π 3

+ 4kπ; k ∈ Z}.

5π 3

π 3 b

7. Résoudre l’équation cos x + cos 2x = 0. Solution détaillée : En utilisant les formules de duplication, l’équation peut s’écrire 2 cos2 x + cos x − 1 = 0. Posons t = cos x. L’équation s’écrit alors 2t2 + t − 1 = 0. Les solutions de cette équations sont t = 12 et t = −1 (pour plus de détails concernant la résolution des équations du second degré, cliquez ici). On en déduit que t = cos x = 21 ou t = cos x = −1. D’une part, cos x = 21 implique x = π3 + 2kπ ou x = 5π 3 + 2kπ. D’autre part, cos x = −1 implique x = π + 2kπ. La solution est donc donnée par S = { π3 + 2kπ, 5π 3 + 2kπ, π + 2kπ; k ∈ Z}.

5π 3 b

π 3

186

8. Résoudre l’équation cos x + sin x = 1. Solution détaillée : Puisque sin x = cos ( π2 − x), cette équation peut encore s’écrire cos x + cos ( π2 − x) = 1. En utilisant les formules de Simpson, on obtient x − ( π2 − x) x + ( π2 − x) cos =1 2 cos 2 2 ou encore

π π =1 cos x − 4 4 √ √ = 22 , l’équation devient 2 cos (x − π4 ) = 1 d’où cos (x − π4 ) = 2 cos

et comme cos π4 déduit que

√

2 2 .

On en

x − π4 = π4 + 2kπ ou x − π4 = − π4 + 2kπ ou x = 2kπ x = π2 + 2kπ

La solution est donc donnée par S = {2kπ,

π 2

+ 2kπ; k ∈ Z}.

π 9. A l’aide des formules, calculer sin 5π 12 et cos 12 . π π π π π utilisant les formules d’addition, Solution détaillée : Remarquons que 5π 12 = 4 + 6 et 12 = 3 −√ 4 . En √ √ √ √ 5π 2 3 2 π π π π π π on obtient sin 12 = sin ( 4 + 6 ) = sin 4 cos 6 + sin 6 cos 4 = 2 · 2 + 21 · 22 = 6+ . √ √ √ √ 4√ 2 3 2 2+ 6 π π π π π π 1 π . De même, cos 12 = cos ( 3 − 4 ) = cos 3 cos 4 + sin 3 sin 4 = 2 · 2 + 2 · 2 = 4

10. A partir d’un point A situé 8 mètres au-dessus du sol, l’angle d’élévation du sommet d’un bâtiment est de 30◦ et l’angle de dépression de la base du bâtiment est de 15◦ . Calculer la hauteur du bâtiment. Solution détaillée : Le problème est représenté par le schéma suivant E b

β x

A b

30◦ 15◦ b

8 B

γ b

Données : Les angles 30◦ et 15◦ et la longueur du côté AB (=8 mètres). Inconnue : La hauteur h = x + 8. Commençons par rechercher les angles : α = 90◦ − 15◦ = 75◦ (angles complémentaires), β = 90◦ − 30◦ = 60◦ (somme des angles intérieurs d’un triangle) et γ = 15◦ (angles alternesinternes). Déterminons y dans le triangle rectangle ABC. On a tg α = opposé et donc tg 75◦ = y8 . On adjacent en déduit y = 8 tg 75◦ .

187

Déterminons x dans le triangle rectangle ADE. On a tg 30◦ = et donc x = 8 tg 75◦ tg 30◦ . Finalement, en utilisant les formules d’addition, on a 1+ tg 45◦ + tg 30◦ = tg 75◦ = tg (45◦ + 30◦ ) = 1 − tg 45◦ tg 30◦ 1− √

3+√3 · On en déduit que x = 8 · 3− 3 17, 24 + 8 = 25, 24 mètres.

√ 3 3

x y.

On en déduit x = y tg 30◦

√

3 √3 3 3

√ 3+ 3 √ . = 3− 3

= 17, 24 et donc la hauteur du bâtiment est h = x + 8 =

11. A l’origine, la Tour de Pise était perpendiculaire à la surface du sol et mesurait 54 mètres de haut. Comme elle s’enfonce dans le sol, elle penche maintenant d’un angle α par rapport à la perpendiculaire. Lorsque le sommet de la tour est observé à partir d’un point distant de 45 mètres du centre de sa base, l’angle d’élévation est de 53◦ . Calculer l’angle α et la distance d qui exprime de combien le centre du sommet de la tour s’est éloigné de la perpendiculaire. Solution détaillée : Le problème est représenté par le schéma suivant C

E b

β 54 α γ

53◦

Données : L’angle 53◦ et les longueurs des côtés AC (=54 mètres) et AB (=45 mètres). Inconnue : L’angle α et la distance d. Commençons par déterminer l’angle α. En utilisant la Règle des sinus dans le triangle ABC, on obtient sin 53◦ sin β = 45 54 45 sin 53◦ . On en déduit que β ≃ 41, 72◦, γ = 180◦ − 53◦ − β ≃ 85, 28◦ et et donc sin β = 54 ◦ ◦ α = 90 − γ ≃ 4, 72 . d Finalement, on trouve d dans le triangle rectangle ACE : sin α = 54 et donc

d = 54 sin α ≃ 4, 44 mètres.

12. Un poteau haut de 12 mètres est planté sur le flanc d’une colline qui forme un angle de 17◦ avec l’horizontale. Calculez la longueur minimale d’un câble tendu entre le sommet du poteau et un point en contrebas distant de 21,6 mètres de la base du poteau. Solution détaillée : Le problème est représenté par le schéma suivant

188

C b

12 l

γ b

21, 6 A b

17◦

Données : L’angle 17◦ , les longueurs des côtés AB (=21, 6 mètres) et BC (=12 mètres). Inconnue : La longueur l. Commençons par déterminer les angles : α = 17◦ (angles correspondants), β = 90◦ − 17◦ = 73◦ (somme des angles intérieurs d’un triangle), γ = 180◦ − β = 107◦ (angles supplémentaires). Déterminons l en utilisant la Règle des cosinus dans le triangle ABC. On a l2 = (21, 6)2 + 122 − 2 · 21, 6 · 12 · cos 107◦ ≃ 762, 125 et l ≃ 27, 607 mètres.

189

Preuves

Preuve 30 Règle des sinus : Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés, c’est-à-dire si a, b et c sont les côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a sin α sin β sin γ = = . a b c Pour un triangle quelconque ABC, plaçons A en l’origine et B sur la partie positive de l’axe OX. Le point C est donc au-dessus de l’axe OX. Traçons la hauteur h perpendiculaire à c. Elle coupe le côté c au point D.

C b

γ b

α b

β b

Par la définition des nombres trigonométriques, on a dans le triangle ADC h = b. sin α et dans le triangle BDC h = a. sin β, d’où,

sin α sin β = . a b Par un argument similaire (en plaçant A en l’origine et C sur la partie positive de l’axe OX), on obtient que sin γ sin α = . a c Retour au texte

190

Preuve 31 Règle des cosinus : Dans tout triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés diminuée du double produit des longueurs de ces deux côtés par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés, c’est-à-dire si a, b et c sont les longueurs des côtés d’un triangle et α, β et γ sont les angles opposés respectivement à ces côtés, on a a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ Pour un triangle quelconque ABC, plaçons A en l’origine et B sur la partie positive de l’axe OX. Le point C est donc au-dessus de l’axe OX. Traçons la hauteur h perpendiculaire à c. Elle coupe le côté c au point D. Y

C b

γ b

α b

β b

Dans le triangle rectangle BCD, on déduit du Théorème de Pythagore que |BC|2 = |BD|2 + |DC|2 = (|AB| − |DA|)2 + |DC|2 = |AB|2 + |DA|2 − 2|AB| · |DA| + |DC|2 = |AB|2 + (|DA|2 + |DC|2 ) − 2|AB| · |DA| Dans le triangle rectangle ACD, on a par le Théorème de Pythagore |DA|2 + |DC|2 = |AC|2 et aussi On en déduit ou encore

|DA| = |AC| cos α. |BC|2 = |AB|2 + |AC|2 − 2|AB| · |AC| cos α a2 = c2 + b2 − 2bc cos α.

Les deux autres égalités s’obtiennent de façon analogue. Retour au texte

191

Preuve 32 Dans un cercle, des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.

\ et ADB \ deux angles inscrits dans un cercle et qui interceptent le même arc AB. Soit AOB \ Soit ACB l’angle au centre interceptant le même arc AB.

D b

O b

\ = 2ACB \ et AOB \ = 2ADB. \ Donc ACB \ = ADB. \ On déduit de la Proposition 12.5 que AOB Retour au texte

192

Preuve 33 Tout triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle. Réciproquement, on peut inscrire tout triangle rectangle dans un demi-cercle dont le diamètre est l’hypoténuse du triangle. Soit ABC le triangle inscrit dans le demi-cercle de centre O et de diamètre BC.

A b

B b

\ et l’angle au centre BOC \ interceptent le même arc BC. On déduit de la Proposition 12.5 L’angle inscrit BAC \ = 2BAC. \ Comme BOC \ = 180◦ , on a \ que BOC BAC = 90◦ et le triangle ABC est rectangle en A. Réciproquement, soit ABC un triangle rectangle en A et O le point milieu du segment BC.

O b

Traçons le cercle de centre O et de diamètre BC ainsi que le rectangle ABDC. Dans un rectangle, les diagonales ont même longueur et se coupent en leur milieu. On en déduit que |AO| = |OD| = |BO| = |OC|. Donc A appartient au cercle de centre O et de diamètre BC. Retour au texte

193

Preuve 34 Dans un cercle, l’amplitude de l’angle au centre vaut le double de l’amplitude de l’angle inscrit qui intercepte le même arc. \ l’angle au centre interceptant l’arc AB et \ Soit O le centre du cercle, AOB BCA l’angle inscrit interceptant l’arc AB. Cas 1 : Le centre appartient à un côté de l’angle inscrit.

C b

O b

\ = 180◦ mais aussi OBC \ + BCO \ + COB \ = 180◦ . On en déduit que \ On a \ AOB + COB AOB = \ + BCO. \ OBC \ = BCO. \ Puisque |OB| = |OC| est le rayon du cercle, le triangle COB est isocèle et donc OBC Finalement, on a \ \ + BCO \ = 2BCO \ = 2BCA. \ AOB = OBC Cas 2 : Le centre est intérieur à l’angle inscrit.

C b

O b b

B b

\ = 2BCD \ et DOA \ = 2DCA. \ Donc Traçons le diamètre CD. On déduit du Cas 1 que BOD \ \ + DOA \ = 2BCD \ + 2DCA \ = 2(BCD \ + DCA) \ = 2BCA. \ BOA = BOD

194

Cas 3 : Le centre est extérieur à l’angle inscrit.

O C b

b b

\ = 2BCD \ et AOD \ = 2ACD. \ Donc Traçons le diamètre CD. On déduit du Cas 1 que BOD \ \ − AOD \ = 2BCD \ − 2ACD \ = 2(BCD \ − ACD) \ = 2BCA. \ BOA = BOD Retour au texte

195

Chapitre 13

Fonctions Contents 1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . 1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Fonctions croissantes/décroissantes . . . . . (b) Fonctions paires/impaires . . . . . . . . . . . (c) Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . 1.4 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . (a) Fonction constante . . . . . . . . . . . . . . (b) Fonction identité . . . . . . . . . . . . . . . (c) Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . (d) Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . (e) Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . (f) Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . (g) Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . 1.5 Opérations sur les fonctions . . . . . . . . . . . (a) Opérations arithmétiques . . . . . . . . . . . (b) Transformations de fonctions . . . . . . . . . (c) Composition de fonctions . . . . . . . . . . . 2 Exemples détaillés . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

196

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . 197 . . . . . . . . . . 198 . . . . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . 203 . . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . . 204 . . . . . . . . . . 205 . . . . . . . . . . 205 . . . . . . . . . . 206 . . . . . . . . . . 209 . . . . . . . . . . 209 . . . . . . . . . . 210 . . . . . . . . . . 211 . . . . . . . . . . 211 . . . . . . . . . . 212 . . . . . . . . . . 215 . . . . . . . . . 218 . . . . . . . . . 223

Théorie

1.1

Définitions

Les fonctions sont les objets de base traités en calcul différentiel et intégral. Ce chapitre est une introduction à cette matière en ce qu’il examine les premiers éléments qui regardent les fonctions, leur représentation graphique, des façons de les transformer et de les composer. Il y a fonction dès qu’une quantité dépend d’une autre. ⋆ Voici quatre situations. 1. L’aire A d’un cercle dépend du rayon r de ce cercle. C’est l’équation A = πr 2 qui exprime la règle qui lie r et A. A chaque valeur positive de r est associée une valeur de A, on dit que A est une fonction de r. 2. La population mondiale P dépend du temps t. La table ci-contre donne une estimation de cette population mondiale P (t) au temps t, pour quelques années. Par exemple, P (1950) ≈ 2 520 000 000. Année 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 1996

Population (en millions) 1650 1750 1860 2070 2300 2520 3020 3700 4450 5300 5770

Mais à chaque valeur de la variable t correspond une valeur de P et on dit que P est une fonction de t. 3. Le coût C d’affranchissement d’une lettre dépend de son poids p. Bien qu’il n’existe pas de formule simple qui lie C et p, le bureau postal dispose d’un tarif qui lui permet de déterminer C dès que p est connu. 4. L’accélération verticale a du sol telle qu’elle est mesurée par un séismographe durant un tremblement de terre est une fonction du temps. On peut y lire la valeur de a correspondant à un certain moment t choisi. Chacun de ces exemples décrit une règle selon laquelle, à un nombre (r, t, p ou t), est associé un autre nombre (A, P, C ou a). Dans chaque cas, on dit que le deuxième nombre est une fonction du premier.

Définition 13.1 Une fonction f est une règle qui assigne à chaque élément x d’un ensemble A exactement un élément, noté f (x), d’un ensemble B. Les ensembles A et B envisagés pour des fonctions sont habituellement des ensembles de nombres. L’ensemble A est appelé le domaine de définition de la fonction. Le nombre f (x) est la valeur de

197

f en x et se lit “f de x”. L’ensemble de toutes les valeurs f (x) possibles lorsque x parcourt tout le domaine de définition s’appelle l’ensemble image. On appelle variable indépendante un symbole qui peut prendre une valeur quelconque du domaine de définition de la fonction f . On appelle variable dépendante un symbole qui prend une valeur de l’ensemble image de f . ⋆ Reprenons les 4 situations précédentes. 1. Le rayon r est la variable indépendante et l’aire du disque de rayon r, A(r), est la variable dépendante. 2. Le temps t est la variable indépendante et la population mondiale P (t) est la variable dépendante. 3. Le poids p est la variable indépendante et le coût C(p) est la variable dépendante. 4. Le temps t est la variable indépendante et l’accélération a(t) est la variable dépendante. √ Remarque : On écrira aussi bien f (x) = x2 ou f (t) = t2 ou f (r) = r 2 pour exprimer la fonction qui consiste à élever un nombre réel au carré. Il est instructif de comparer une fonction à une espèce de machine. Lorsque x est une valeur du domaine de définition de la fonction f , alors la machine l’accepte comme entrée et produit à la sortie f (x), selon la règle qui définit la fonction. Dès lors, le domaine de définition peut être vu comme l’ensemble de toutes les entrées possibles de la machine et l’ensemble image, comme l’ensemble des sorties possibles. x

(entr e)

(sortie)

FIGURE 2 Une fonction Ä vue comme une machine

Les fonctions préprogrammées des calculatrices illustrent fort bien la notion de fonction regardée √ comme une machine. Prenons l’exemple de la fonction activée par la touche x de votre calculatrice. √ D’abord, vous entrez x. Ensuite, vous pressez la touche x. Si x < 0, il n’appartient pas au domaine de définition de la fonction et, de ce fait, ne sera pas accepté par la calculatrice, qui du reste vous enverra un message d’erreur. Par contre, si x ≥ 0, la calculatrice affichera une valeur approximative √ √ de x. La touche x de votre calculatrice n’est donc pas tout à fait la même chose que la fonction √ mathématique définie par f (x) = x.

1.2

Représentation graphique

En général, les représentations graphiques de fonctions sont réalisées dans un repère cartésien orthonormé. On représente la variable indépendante sur l’axe horizontal (appelé axe OX) et la variable dépendante sur l’axe vertical (appelé axe OY ). Définition 13.2 Si f est une fonction déﬁnie sur A, son graphique est l’ensemble des couples Gf = {(x, f (x))

x ∈ A}

(il s’agit des couples entrée/sortie). Autrement dit, le graphique de f est constitué de l’ensemble des points (x, y) du plan de coordonnées tels que y = f (x) et x appartient au domaine de définition de f . La représentation graphique d’une fonction f nous donne une image intéressante du comportement d’une fonction. Comme, en chaque point (x, y) de la courbe, l’ordonnée y est égale à la valeur de f (x), elle peut être lue comme la hauteur de la courbe au point x. Pour trouver les points d’ordonnée c, il suffit donc de tracer la droite y = c et de regarder ses intersections avec le graphe de la fonction.

198

f (1) f (2) O

f (x) x

La représentation graphique de f nous permet aussi de visualiser le domaine de définition et l’ensemble image de f sur les axes OX et OY respectivement.

•

y = f (x) •

Im f

•

Dom f

⋆ Dessinons la courbe représentative de la fonction f (x) = 2x − 1. L’équation de la courbe est y = 2x − 1 et nous y reconnaissons celle d’une droite de pente 2 et d’ordonnée à l’origine −1. Comme l’expression 2x − 1 est définie pour toutes les valeurs réelles de x, le domaine de définition de f est tout l’ensemble des nombres réels, noté R. Le graphique montre que l’ensemble image est aussi R. Y y = 2x − 1

O −1

199

1 2

√ ⋆ Cherchons le domaine de définition de la fonction f (x) = x + 2. Comme la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie (en tant que nombre réel), le domaine de définition de f ne comprend que les valeurs de x pour lesquelles x + 2 ≥ 0. Ce qui est équivalent à x ≥ −2. Le domaine de définition est donc l’intervalle [−2; +∞[. La représentation graphique d’une fonction est une courbe du plan OXY . Pour déterminer les courbes du plan qui sont le graphe d’une fonction, nous pouvons utiliser le test suivant. Test de la verticale – Une courbe du plan OXY est la représentation graphique d’une fonction si et seulement si aucune droite verticale ne la coupe plus d’une fois. En effet, si une droite verticale quelconque x = a ne coupe une courbe qu’une fois, en (a, b), alors une seule image b est associée à a par f . Si au contraire, une droite x = a coupe une courbe deux fois, en (a, b) et en (a, c), alors cette courbe ne peut être la représentation d’une fonction car une fonction ne peut attribuer deux valeurs différentes à a. Y

Y x=a

x=a

•

(a, b) a

O •

(a, b)

(a, c)

pas une fonction une fonction Dans un graphique, on remarque quelques points particuliers.

Définition 13.3 On appelle racine d’une fonction f un nombre x′ appartenant au domaine de f tel que f (x′ ) = 0. Une racine est l’abscisse du point d’intersection du graphe avec l’axe OX. Pour trouver les racines, il faut donc résoudre l’équation f (x) = 0. Définition 13.4 On appelle ordonnée à l’origine d’une fonction f le nombre f (0) (pour autant que la fonction soit déﬁnie en x = 0). L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection du graphe avec l’axe OY . Pour la trouver,

200

on remplace x par 0 dans la formule de f , c’est-à-dire on calcule f (0). Définition 13.5 On dira que la fonction f est positive si son graphe se trouve au-dessus de l’axe OX. Elle est négative si son graphe se trouve en-dessous de l’axe OX. Pour déterminer le signe d’une fonction, il faut résoudre les inéquations f (x) < 0 et f (x) > 0. Pour un rappel concernant les tableaux de signes, cliquez ici. ⋆ Regardons la fonction f (x) = sin x sur l’intervalle [−2π, 2π].

Y y = sin x O −2π

−π

2π

Cette fonction possède 5 racines : x = −2π, x = −π, x = 0, x = π et x = 2π. Son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour x ∈ ] − 2π, 2π[ et x ∈ ]0, π[ et elle est négative pour x ∈ ] − π, 0[ et x ∈ ]π, 2π[ . Définition 13.6 La valeur f (M ) est le maximum (ou valeur maximale) de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout x ∈ I, on a f (x) ≤ f (M ). La valeur f (m) est le minimum (ou valeur minimale) de la fonction f sur l’intervalle I si pour tout x ∈ I, on a f (x) ≥ f (m). Graphiquement, le maximum correspont à la plus grande valeur d’une fonction et le minimum correspond à la plus petite valeur. ⋆ La fonction f (x) = sin x sur l’intervalle [−2π, 2π], représentée ci-dessus, a un maximum y = 1 et un π minimum y = −1. Les valeurs maximales sont atteintes pour x = − 3π 2 et x = 2 et les valeurs minimales sont atteintes pour x = − π2 et x = 3π 2 .

1.3

Propriétés

(a) Fonctions croissantes/décroissantes On dit que la fonction est strictement croissante sur l’intervalle [a, b] si la courbe représentant la fonction monte sur cet intervalle ; elle est strictement décroissante sur l’intervalle [a, b] si la courbe

201

descend sur cet intervalle. Définition 13.7 Une fonction f est dite strictement croissante sur un intervalle I si pour tout x1 , x2 ∈ I, on a x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ).

Une fonction f est dite strictement décroissante sur un intervalle I si pour tout x1 , x2 ∈ I, on a x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ).

Une fonction f est dite monotone sur un intervalle I si elle est soit croissante, soit décroissante sur I.

L’élément important dans cette définition est que l’inégalité f (x1 ) < f (x2 ) doit être satisfaite pour toute paire de points x1 et x2 de I qui sont tels que x1 < x2 . ⋆ La fonction f (x) = 2x + 1 est une fonction strictement croissante. En effet, si x1 , x2 ∈ R avec x1 < x2 , on a 2x1 < 2x2 et 2x1 + 1 < 2x2 + 1. Donc f (x1 ) < f (x2 ). y = 2x + 1

Y f (x2 )

x1 x2

f (x1 )

⋆ La fonction f (x) = −x est une fonction strictement décroissante. En effet, si x1 , x2 ∈ R avec x1 < x2 , on a −x1 > −x2 , donc f (x1 ) > f (x2 ).

202

y = −x

f (x1 ) x2 x1

f (x2 )

⋆ La fonction f (x) = sin x n’est ni croissante, ni décroissante sur [−2π, 2π]. En effet, on remarque sur le graphe que la courbe monte sur certains intervalles et descend sur d’autres.

Y y = sin x O −2π

−π

2π

(b) Fonctions paires/impaires

Définition 13.8 Soit f , une fonction déﬁnie sur un intervalle I. La fonction f est paire si pour tout x ∈ I, on a −x ∈ I et f (−x) = f (x). La fonction f est impaire si pour tout x ∈ I, on a −x ∈ I et f (−x) = −f (x). ⋆ La fonction f (x) = x2 est une fonction paire car elle est définie sur R tout entier et pour tout x, on a f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x). ⋆ La fonction f (x) = x3 est impaire car elle est définie sur R tout entier et pour tout x, on a f (−x) = (−x)3 = −x3 = −f (x).

203

Graphiquement, on reconnaît une fonction paire par une symétrie de son graphique par rapport à l’axe OY . En effet, les ordonnées de 2 points du graphe d’abscisses opposées sont égales. Ce qui signifie qu’ayant déjà dessiné le graphique de f pour x ≥ 0, nous l’obtenons tout entier en lui ajoutant simplement l’image symétrique par rapport à l’axe OY . Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine. En effet, les ordonnées de 2 points du graphe d’abscisses opposées sont également opposés. Si nous avons déjà dessiné le graphique de f pour x ≥ 0, nous l’obtenons tout entier en lui adjoignant simplement l’image obtenue après une rotation de 180◦ autour de l’origine. Y

•

• •

f (−x)

f (x) −x

−x

O x

•

fonction paire ⋆ La fonction f (x) =

fonction impaire

+ x est impaire. En effet, pour tout x ∈ R, on a −x ∈ R et f (−x) = (−x)5 + (−x) = (−1)5 x5 + (−x) = −x5 − x = −(x5 + x) = −f (x).

Définition 13.9 Soit f , une fonction déﬁnie sur une partie D ⊆ R. La fonction f est périodique de période p si pour tout x ∈ D, on a f (x + p) = f (x). ⋆ La fonction f (x) = sin x est périodique de période 2π. La fonction f (x) = tg x est périodique de période π.

1.4

Fonctions élémentaires

(a) Fonction constante La fonction constante f (x) = c est définie sur R et son ensemble image est réduit au seul nombre c. Son graphique est une droite horizontale.

204

y=c

(b) Fonction identité La fonction identité f (x) = x est définie sur R et son ensemble image est R. Son graphe est constitué de l’ensemble des couples (x, y) où y = x. Comme ces points sont à égale distance des deux axes, ils appartiennent à la bissectrice des axes. Y

y=x

O X

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour les valeurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissante sur R. Elle n’a ni minimum, ni maximum. (c) Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue f (x) = |x| est définie sur R et son ensemble image est R+ . Son graphe est constitué de l’ensemble des couples (x, y) où y = |x|. Y

205

y = |x|

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est toujours positive et nulle en 0. Elle est paire et strictement croissante sur R+ , strictement décroissante sur R− . Elle a un minimum en x = 0 et pas de maximum. Cliquez sur le lien pour un rappel des propriétés de la valeur absolue. (d) Fonctions puissances Une fonction de la forme f (x) = xa , où a est une constante, est appelée une fonction puissance. Nous envisageons plusieurs cas. 1. a = 0. On retrouve la fonction constante f (x) = x0 = 1. 2. a = 1. On retrouve la fonction identité f (x) = x. 3. a = 2. La fonction du second degré f (x) = x2 est définie sur R et son ensemble image est R+ . Son graphe est l’ensemble des couples (x, y) où y = x2 . Y

y = x2

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est toujours positive et nulle en 0. Elle est paire et strictement croissante sur R+ , strictement décroissante sur R− . Elle a un minimum en x = 0 et pas de maximum. 4. a = 3. La fonction du troisième degré f (x) = x3 est définie sur R et son ensemble image est R. Son graphe est l’ensemble des couples (x, y) où y = x3 .

206

y = x3

O X

Cette fonction a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour les valeurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissante sur R. Elle n’a ni minimum, ni maximum. 5. a = n, n ∈ N0 . L’allure générale du graphique de f (x) = xn change selon que n est un nombre pair ou impair. Lorsque n est pair, la fonction f (x) = xn est paire et son graphique ressemble à la parabole y = x2 . Lorsque n est impair, f (x) = xn est une fonction impaire et son graphique a la même allure que y = x3 .

y = x6

y = x4 2 y=x

Y y = x7

(−1, 1) •

•

(1, 1)

•

y = x5 3 y=x

(1, 1)

(−1, −1) •

Cliquez sur le lien pour un rappel concernant les propriétés des puissances. 6. a = −1 La fonction inverse f (x) = x1 est définie sur R0 et son ensemble image est R0 . Son graphe est une hyperbole équilatère dont les axes de coordonnées sont les asymptotes.

207

Y y=

| x

1• O

•

Cette fonction n’a pas de racine ni d’ordonnée à l’origine. Elle est positive pour les valeurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissante − sur R+ 0 , strictement décroissante sur R0 . Elle n’a ni minimum, ni maximum. 7. a = 1/n, n ∈ N0 √ La fonction f (x) = x1/n = n x est une fonction racine. Lorsque n = 2, il s’agit de la fonction racine carrée définie sur [0; +∞[ et dont la courbe représentative est la moitié supérieure de la √ parabole x = y 2 . Lorsque n est un autre nombre pair, le graphique de y = n x est semblable à √ √ celui de y = x. A la valeur impaire n = 3 correspond la fonction racine cubique f (x) = 3 x √ √ définie sur R. Le graphique de y = n x pour n impair (n > 3) ressemble à celui de y = 3 x.

√

Y y=

x (1, 1)

(1, 1)

•

√ 3 x

•

(−1, −1)

√ Pour n pair, la fonction n x a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est toujours positive et nulle en 0. Elle n’est ni paire, ni impaire. Elle est strictement croissante sur R+ et a un minimum en x = 0. √ Pour n impair, la fonction n x a une racine x = 0 et son ordonnée à l’origine est y = 0. Elle est positive pour les valeurs de x positives et négative pour les valeurs de x négatives. Elle est impaire et strictement croissante sur R. Elle n’a ni minimum, ni maximum.

208

Cliquez sur le lien pour un rappel concernant les propriétés des racines. (e) Fonctions polynomiales Une fonction polynomiale est une fonction du type P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 où n est un entier positif et a0 , a1 , a2 , . . . , an sont des constantes, appelées les coefficients du polynôme. Le domaine de définition de n’importe quel polynôme est R. L’indice n du premier coefficient an non nul donne le degré du polynôme. Cliquez sur le lien pour plus de détails concernant les polynômes. 1. n = 1. Une fonction polynomiale de degré 1 est de la forme P (x) = ax + b et est appelée une fonction affine. Son graphique est la droite y = ax + b de pente a et d’ordonnée à l’origine b. Y

y = ax + b

b − ab

Elle possède une racine x = − ab et son ordonnée à l’origine est y = b. Elle est strictement croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0. Cliquez sur le lien pour un rappel sur les droites. 2. Une fonction polynomiale de degré 2 est de la forme P (x) = ax2 + bx + c et est appelée une fonction quadratique. La courbe représentative de P est une parabole obtenue par déplacement de la parabole y = ax2 . Voici la preuve de cette affirmation. Cliquez sur le lien pour un rappel sur les paraboles. (f ) Fonctions rationnelles Une fonction rationnelle f est un rapport de deux polynômes f (x) =

P (x) Q(x)

où P et Q sont des polynômes. Le domaine de définition comprend toutes les valeurs de x qui n’annulent pas Q(x).

209

⋆ Par exemple, la fonction

2x4 − x2 + 1 x2 − 4 est une fonction rationnelle dont le domaine de définition est {x | x 6= ±2} = R \ {−2, 2}. f (x) =

(g) Fonctions trigonométriques Tant pour la fonction sinus que pour la fonction cosinus, le domaine de définition est R et l’ensemble image est l’intervalle fermé [−1, 1]. En effet, quel que soit x, on a −1 ≤ sin x ≤ 1 et − 1 ≤ cos x ≤ 1. De plus, la fonction sinus s’annule pour chaque valeur de x égale à un multiple entier de π. Autrement dit sin x = 0 quand x = kπ avec k entier. Une importante propriété des fonctions sinus et cosinus est leur caractère périodique, de période 2π. Cela signifie que, quel que soit x, sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x. Le caractère périodique de ces fonctions les rend particulièrement aptes à modéliser des phénomènes répétitifs comme les marées, les ressorts animés de vibrations ou les ondes sonores. Y − π2

− 5π 2 −2π

− 3π 2

y = sin x

3π 2

−π

−1

π 2

2π

5π 2

Y y = cos x

1 − 5π 2

−2π

− 3π 2

−π

− π2

O −1

π 2

3π 2

2π

5π 2

La fonction tangente est liée aux fonctions sinus et cosinus par l’équation tg x =

sin x . cos x

Elle n’est pas définie lorsque cos x = 0, c’est-à-dire lorsque x = ±π/2, ±3π/2, . . .. Son ensemble image est R. Il est à noter que la fonction tangente est aussi périodique, mais de période π : tg(x + π) = tg x. Cliquez sur le lien pour des rappels concernant la trigonométrie.

210

1.5

Opérations sur les fonctions

(a) Opérations arithmétiques Tout comme on associe deux nombres réels dans l’addition, la soustraction, la multiplication ou la division, on peut assembler deux fonctions f et g pour former de nouvelles fonctions, f + g, f − g, f g et f /g. Algèbre des fonctions – Soit f et g deux fonctions définies sur A et B respectivement. Alors, les fonctions f + g, f − g, f g et f /g sont définies comme suit : (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g)(x) = f (x) − g(x) (f = f (x)g(x) g)(x) f f (x) (x) = g g(x)

domaine de définition = A ∩ B domaine de définition = A ∩ B domaine de définition = A ∩ B domaine de définition = {x ∈ A ∩ B|g(x) 6= 0}

Par exemple, la fonction somme f + g est définie par (f + g)(x) = f (x) + g(x). Le membre de droite n’a du sens que si f (x) et g(x) sont définies, autrement dit, si x appartient à la fois au domaine de définition de f et de g. Si le domaine de définition de f est A et celui de g est B, alors le domaine de f + g est leur intersection A ∩ B. Le signe + du membre de gauche désigne une addition de fonctions tandis que le signe + du membre de droite désigne une simple addition entre les nombres réels f (x) et g(x). Nous pouvons définir de la même manière la fonction différence f − g et la fonction produit f g et leur domaine de définition est aussi A ∩ B. Au moment de définir la fonction quotient f /g, nous devons nous souvenir de ne pas diviser par 0. √ √ √ ⋆ On considère les fonctions f (x) = x et g(x) =√ 4 − x2 . Le domaine de définition de f (x) = x est [0; +∞[. Le domaine de définition de g(x) = 4 − x2 comprend toutes les valeurs de x telles que 4 − x2 ≥ 0, c’est-à-dire −2 ≤ x ≤ 2. Le domaine de définition de g est donc l’intervalle [−2, 2]. L’intersection des domaines de définition de f et g est [0; +∞[ ∩ [−2, +2] = [0, 2]. De là, suivant les définitions, nous avons √ √ (f + g)(x) = x + √4 − x2 √ − 4 − x2 √ (f − g)(x) = x√ √ (f g)(x) = x√ 4 − x2 r = 4x − x3 x x f = (x) = √ 2 g 4 − x2 4−x

pour 0 ≤ x ≤ 2 pour 0 ≤ x ≤ 2 pour 0 ≤ x ≤ 2 pour 0 ≤ x < 2

Vous aurez remarqué que le domaine de définition de f /g est l’intervalle [0, 2[ car il a fallu exclure les valeurs de x en lesquelles g(x) = 0, à savoir x = ±2. Le graphique de la fonction f + g s’obtient par addition graphique. Cela signifie que, pour chaque valeur de x, nous additionnons les ordonnées correspondantes.

211

f (a) + g(a) g(a) f (a)

(b) Transformations de fonctions En appliquant certaines transformations au graphique d’une fonction donnée, on obtient les graphiques de fonctions apparentées et on réduit ainsi fortement le travail nécessaire à la recherche de leur graphique. Déplacements verticaux et horizontaux Considérons en premier lieu les translations. Si c est un nombre strictement positif, le graphique de y = f (x) + c est le même que celui de y = f (x) déplacé vers le haut de c unités (puisque chaque ordonnée y est augmentée de la même quantité c). De même, si g(x) = f (x − c) avec c > 0, la valeur de g en x est la même que la valeur de f en x − c (point situé c unités à gauche de x). De là, le graphique de y = f (x − c) est le même que celui de y = f (x) déplacé de c unités vers la droite. Déplacements y = f (x) + c, y = f (x) − c, y = f (x − c), y = f (x + c),

verticaux et horizontaux – Supposons c > 0. Pour obtenir le graphique de déplacez le graphique de y = f (x) de c unités vers le haut déplacez le graphique de y = f (x) de c unités vers le bas déplacez le graphique de y = f (x) de c unités vers la droite déplacez le graphique de y = f (x) de c unités vers la gauche

212

•

y = f (x) + c

•

y = f (x)

y = f (x + c)

y = f (x − c)

•

y = f (x) − c

Etirements, compressions et réflexions Si c > 0, alors le graphique de y = cf (x) est le graphique de y = f (x) étiré ou comprimé verticalement d’un facteur c (parce que chaque ordonnée y est multipliée par le même nombre c). Le graphique de y = −f (x) est le graphique de y = f (x) réfléchi par rapport à l’axe OX parce que le point (x, y) est remplacé par le point (x, −y). Etirements et phique de y = cf (x), y = (1/c)f (x), y = f (cx), y = f (x/c), y = −f (x), y = f (−x),

réflexions verticaux et horizontaux – Supposons c > 1. Pour obtenir le graétirez verticalement le graphique de y = f (x) d’un facteur c comprimez verticalement le graphique de y = f (x) d’un facteur c comprimez horizontalement le graphique de y = f (x) d’un facteur c étirez horizontalement le graphique de y = f (x) d’un facteur c prenez l’image symétrique du graphique de y = f (x) par rapport à l’axe OX prenez l’image symétrique du graphique de y = f (x) par rapport à l’axe OY

213

y = cf (x)

y = f (−x)

y = f (x)

y = f (cx)

y = f (x)/c

X y = −f (x)

⋆ Dessinons la courbe représentative de la fonction f (x) = x2 + 6x + 10. Le domaine de définition est R. En complétant le carré, nous écrivons l’équation de la courbe cherchée sous la forme y = x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1. Dès lors, la courbe s’obtient en déplaçant la parabole y = x2 de 3 unités vers la gauche et de 1 unité vers le haut. Y

y = x2 + 6x + 10

1 −3

214

⋆ Dessinons la courbe représentative de y = |x2 − 1|. D’abord, nous traçons la parabole y = x2 − 1 en translatant d’une unité vers la bas la parabole y = x2 . Nous pouvons voir qu’entre −1 et 1 la courbe est sous l’axe OX. Nous prenons l’image symétrique de cette partie par rapport à l’axe OX et laissons telle quelle le reste de la courbe. C’est le graphique de y = |x2 − 1|. Y

y = |x2 − 1|

X −1

(c) Composition de fonctions Une autre façon de créer de nouvelles fonctions est de les “composer” entre elles. L’idée est d’appliquer des fonctions connues “en cascade”, pour autant que les expressions ainsi obtenues aient toujours un sens. √ ⋆ Supposons, par exemple, que y = f (u) = u et u = g(x) = x2 + 1. Comme y est une fonction de u et comme u est, à son tour, une fonction de x, il s’ensuit que y est finalement une fonction de x. Cette relation entre y et x se calcule par composition p y = f (u) = f (g(x)) = f (x2 + 1) = x2 + 1. Cette opération s’appelle composition parce que la nouvelle fonction est composée des deux fonctions initiales f et g.

De façon générale, étant données deux fonctions f et g, nous partons d’une valeur de x dans le domaine de définition de g, nous calculons son image g(x). Si le nombre g(x) appartient au domaine de définition de f , nous pouvons calculer la valeur f (g(x)). Le résultat est une nouvelle fonction h(x) = f (g(x)) obtenue en introduisant g dans f . Elle s’appelle la “composée” de f et g et est notée f ◦ g (f rond g). Définition 13.10 Etant données deux fonctions f et g, la composée de f et g est la fonction f ◦ g déﬁnie par (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Le domaine de définition de f ◦ g est l’ensemble de toutes les valeurs de x du domaine de définition de g qui sont telles que g(x) appartient au domaine de définition de f . Autrement dit, f ◦ g est définie là où à la fois g(x) et f (g(x)) sont définies. La meilleure image que l’on puisse donner de f ◦ g est le diagramme suivant.

215

g Dom g ⊆ R x

f Dom f ⊆ R g(x)

R f (g(x))

f ◦g

⋆ Si f (x) = x2 et g(x) = x − 3 alors on a (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 3) = (x − 3)2 . √

√

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 ) = x2 − 3. Remarque : En général, f ◦ g 6= g ◦ f . Souvenez-vous que la notation f ◦ g signifie que la première fonction appliquée est g et la seconde f . Ce qui, à l’exemple précédent, fait que pour appliquer f ◦ g, on soustrait d’abord 3, puis on élève au carré ; alors que, pour appliquer g ◦ f , on devrait d’abord élever au carré, puis soustraire 3. Remarque : L’opération de composition s’applique aussi à trois fonctions ou davantage. Par exemple, la fonction composée f ◦ g ◦ h consiste à appliquer d’abord h, ensuite g et finalement f : (f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))). Jusqu’à présent, par composition, nous avons construit des fonctions compliquées à partir de fonctions plus simples. Mais en analyse il est souvent utile ou nécessaire de décomposer une fonction compliquée en des fonctions plus simples.

⋆ Etant donnée la fonction F (x) = cos2 (x + 9), cherchons des fonctions f , g et h telles que F = f ◦ g ◦ h. La formule qui définit F dit : d’abord ajouter 9, puis prendre le cosinus du résultat, enfin, élever au carré. Ce qui fait que nous posons h(x) = x + 9, Effectivement

g(x) = cos x,

f (x) = x2 .

(f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x + 9)) = f (cos(x + 9)) = [cos(x + 9)]2 = F (x).

216

f cos (x + 9)

x+9

f â&#x2014;Śgâ&#x2014;Śh

217

cos2 (x + 9)

Exemples détaillés 1. On considère la fonction f (x) = −2x + 2. Déterminer les racines et l’ordonnée à l’origine de cette fonction. Solution détaillée : Les racines sont les solutions de l’équation f (x) = 0. On trouve −2x+2 = 0 et donc x = 1. L’ordonnée à l’origine est la valeur f (0). On a f (0) = 2.

2. On considère la fonction f (x) = −2x + 2. Les couples (0, 0), (1, 0), (3, 1) et (2, −2) appartiennent-ils au graphe de f ? Solution détaillée : Les points (1, 0) et (2, −2) appartiennent au graphe de f . En effet, on a f (1) = −2 + 2 = 0 et f (2) = −4 + 2 = −2. Les points (0, 0) et (3, 1) n’appartiennent pas au graphe de f car f (0) = 2 6= 0 et f (3) = −6 + 2 = −4 6= 1.

3. Pour la fonction f (x) = −2x + 2, calculer f (3), f (−1) et f (0). Solution détaillée : En remplçant x par 3 dans la formule de la fonction, on obtient f (3) = −6 + 2 = −4. De même, on a f (−1) = 2 + 2 = 4 et f (0) = 0 + 2 = 2.

4. Déterminer les points d’abscisse 2 sur le graphe suivant. 6 5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 x=2 −2 Solution détaillée : On trace la droite x = 2. Elle coupe le graphe en y = 5. Le point cherché est donc (2, 5).

5. Déterminer les points où f vaut 2. 4 3 y=2 2 1 0 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −1 −2 Solution détaillée : On trace la droite y = 2. Elle coupe le graphe en x = 5. Le point cherché est donc (5, 2).

218

6. Chercher le domaine de définition de la fonction g(x) = Solution détaillée : Etant donné que g(x) =

1 . x2 − x

1 1 = , −x x(x − 1)

et que la division par 0 n’est pas licite, nous constatons que g(x) n’est pas définie lorsque x = 0 ou x = 1. Dès lors, le domaine de définition de g est {x : x 6= 0, x 6= 1} = R \ {0, 1} qui, en termes d’intervalles, s’écrit aussi ] − ∞; 0 [ ∪ ] 0, 1 [ ∪ ] 1; +∞[.

√ 7. Etant donné la représentation graphique de y = x (domaine √ R+ ), appliquer les transforma√ √ √ tions√adéquates pour obtenir le graphique de y = x − 2, y = x − 2, y = − x, y = 2 x et y = −x. Solution √ détaillée : Nous traçons √ • y = √x − 2 (domaine R+ ) en déplaçant la courbe y = x de√2 unités vers le bas, • y = x − 2 (domaine [2; +∞[) en translatant la courbe y = x de 2 unités vers la droite, Y y= y=

O −2

√

√ x

√ x−2 X

x−2

√ √ • y = − x (domaine R+ ) en prenant l’image symétrique de la courbe y = x par rapport à l’axe OX, √ √ 2 et enfin, • y = 2√ x (domaine R+ ) en étirant verticalement la courbe y = x d’un facteur √ • y = −x (domaine R− ) en prenant l’image symétrique de la courbe y = x par rapport à l’axe OY .

219

√ y=2 x y=

√

√ y = −x

X √ y=− x

8. Faites le graphique de la fonction y = sin 2x. Solution détaillée : Nous obtenons le graphique de y = sin 2x en comprimant horizontalement d’un facteur 2 le graphique de y = sin x. Y

y = sin 2x

9. Faites le graphique de la fonction y = 1 − sin x.

Solution détaillée : Pour obtenir le graphique de y = 1 − sin x, nous prenons à nouveau celui de y = sin x que nous réfléchissons autour de l’axe des x pour produire celui de y = − sin x et ensuite nous le portons 1 unité plus haut.

220

y = 1 − sin x

X y = − sin x

10. Si f (x) =

√

2 − x et g(x) =

Solution détaillée :

√

x, définir f ◦ g et son domaine de définition.

q √ √ (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ( x) = 2 − x. p √ √ √ soit défini, il faut x ≥ 0. Pour que 2 − x soit défini, il faut 2 − x ≥ 0, ce Pour que x √ qui revient à x ≤ 2, ou encore à 0 ≤ x ≤ 4. Finalement, le domaine de définition de f ◦ g est l’intervalle fermé [0, 4].

11. Un conteneur rectangulaire sans couvercle offre un volume de 10 m3 . Un côté de sa base est deux fois plus long que l’autre. Le matériau pour la fabriquer revient à 10 euros le mètre carré tandis que celui des flancs revient à 6 euros le mètre carré. Exprimer le coût de fabrication en fonction du plus petit des côtés de la base. Solution détaillée : Nous commençons par faire un croquis du conteneur en y indiquant les notations w et 2w pour les côtés de la base et h pour la hauteur. Comme l’aire de la base mesure (2w)w = 2w2 , son coût de fabrication est 10(2w2 ). Quant aux faces latérales, deux d’entre elles mesurent wh et les deux autres, 2wh. Leur coût, dans le matériau ad hoc, est donc 6[2(wh) + 2(2wh)]. Le coût total s’élève à C = 10(2w2 ) + 6[2(wh) + 2(2wh)] = 20w2 + 36wh. Afin d’exprimer C comme fonction de la seule variable w, nous devons éliminer h et pour cela nous utilisons le fait que le volume est de 10 m3 . De w(2w)h = 10, nous extrayons

5 10 = 2. 2 2w w Par substitution de cette expression de h dans celle de C, nous obtenons 180 5 2 = 20w2 + . C = 20w + 36w 2 w w h=

Finalement, C(w) = 20w2 + est l’expression de C en fonction de w.

221

180 , w

w>0

12. Trouver f ◦ g ◦ h pour f (x) =

x x+1 ,

g(x) = x10 et h(x) = x + 3.

Solution détaillée : Domaines de définition : les domaines de g et de h sont R ; celui de f est R \ {−1}. Le domaine de définition de f ◦ g ◦ h est {x ∈ dom h tel que h(x) ∈ dom g et tel que g(h(x)) ∈ dom f }, c’est-à-dire {x ∈ R tel que (x + 3)10 6= −1}. Comme (x + 3)10 ≥ 0 pour tout x, le domaine de f ◦ g ◦ h est R et (f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x + 3)) (x + 3)10 = f ((x + 3)10 ) = . (x + 3)10 + 1

13. Décomposer la fonction F (x) = sin3 (x − 4) en trois fonctions f , g et h telles que F = f ◦g ◦h. Solution détaillée : La formule qui définit F dit : d’abord retirer 4, puis prendre le sinus du résultat, enfin, élever au cube. Ce qui fait que nous posons h(x) = x − 4,

g(x) = sin x,

f (x) = x3 .

Effectivement (f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))) = f (g(x − 4)) = f (sin(x − 4)) = [sin(x − 4)]3 = F (x). g

h x

f sin (x − 4)

x−4 f ◦g◦h

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sin3 (x − 4)

Preuves

Preuve 35 La parabole y = ax2 + bx + c est obtenue par deux translations successives de la parabole y = ax2 .

On peut écrire

c b ax2 + bx + c = ax2 + a · x + a · a a c b = a(x2 + x + ) a a 2b c 2 =a x + x+ 2a a =a

b b2 b2 c +2· ·x+ 2 − 2 + 2a 4a 4a a

−a

−

b2 −c 4a

−

b2 − 4ac 4a

b =a x+ 2a b =a x+ 2a b =a x+ 2a

b2 c − 2 4a a

La parabole y = ax2 + bx + c est donc de la forme y = a(x + k)2 − l. Elle est donc obtenue par une translation horizontale suivie d’une translation verticale de la parabole y = ax2 . Retour au texte

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