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DESEMPEÑO: IDENTIFICAR A LA ESFERA COMO UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN ENCONTRANDO EN ELLA SU ÁREA Y VOLUMEN, DIFERENCIÁNDOLA DE OTROS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN COMO EL TORO Y EL CONO TRUNCADO. . INDICADORES DE DESEMPEÑO: 1. 2.
Deduce las fórmulas para calcular el área y el volumen de la esfera. Reconoce otros solidos de revolución como el toro y el cono truncado.
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LECTURA ARGUMENTATIVA
LA ESFERA Y EL CÍRCULO EN LA HISTORIA No es difícil entender el porqué de la preeminencia de las de las figuras del círculo y la esfera en la historia del pensamiento. Desde el momento en que los seres humanos tomaron conciencia del mundo que los rodeaba y se dieron cuenta de la importancia que tenían los cielos para su supervivencia, estos fueron objeto de una atención permanente. Es innegable la forma abovedada que presenta el cielo en una noche despejada y en la que se observa un movimiento circular de las estrellas alrededor de la Tierra. También el Sol y la Luna describen, en apariencia, círculos alrededor del mundo y es muy clara la forma circular que presentan estos dos astros, así como el contorno que dibuja nuestro planeta sobre ellos durante un eclipse. Éstas son, muy probablemente, las razones más importantes por las cuales estaban presentes las figuras esféricas y circular en las concepciones cosmológicas de las civilizaciones antiguas. En el siglo VI a. n. e., el rapsoda Jenófanes de Colofón, harto de los versos homéricos que recitaba de ciudad en ciudad y que atribuían rasgos antropomórficos a los dioses, propuso a los griegos un solo dios, cuya forma era una esfera. Desde entonces la esfera aparece como la figura esencial en la construcción de las cosmologías, para convertirse en una necesidad mental que guiará al pensamiento religioso, filosófico y científico de occidente a lo largo de los siglos. A partir del siglo VI a. n. e., se proponen diversas cosmologías elaboradas de acuerdo con mecanismos que intentan dar cuenta de los movimientos celestes, y en ellas la esfera y el círculo son parte esencial. En la cosmología de Anaximandro (610-547 a. n. e.), los cielos esféricos encierran la atmósfera de una Tierra cilíndrica y existen varias capas de esta envoltura para que ahí se acomoden los otros
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objetos estelares. El Sol es un hueco lleno de fuego, situado en el borde de un gigantesco anillo que gira alrededor de la Tierra en una trayectoria circular. Más adelante, Pitágoras (580-¿500? a. n. e.) plantea que la Tierra es una esfera, alrededor de la cual el Sol, la Luna y los planetas giran en círculos concéntricos, fijo cada uno a una esfera. En su veloz revolución, estos cuerpos producen individualmente un susurro en el aire que, en conjunto, conforma una música celestial: la armonía de las esferas. En el siglo V a. n. e., Parménides (504-450 a. n. e.) señala en su “Poema” que el Ser es uno, eterno, indivisible, inmóvil y finito: Además, y dado que posee un último límite, el Ser está terminado por todas partes, semejante a la masa de una esfera bien redondeada, igual en todas direcciones a partir del centro. En este mismo siglo los discípulos de Pitágoras sostuvieron, al igual que su maestro, que la Tierra era esférica y que se movía en el espacio. Sin embargo, los pitagóricos mezclaban sus deducciones con el misticismo y la numerología. Tenían evidencia de nueve movimientos circulares en el cielo: el de las estrellas, los de los cinco planetas conocidos y los de la Tierra, la Luna y el Sol. Pero como 9 era un número “imperfecto”, agregaron otro movimiento para tener 10 e inventaron una anti-Tierra protectora. Así, en la revolucionaria concepción de Filolao (480-400 a. n. e.), la Tierra aparece como una esfera que no ocupa el centro del Universo. En su lugar, arde un fuego central que ilumina al Sol. Entre este fuego y la Tierra da vueltas la contra-Tierra protectora, la cual no puede verse desde el hemisferio donde se pensaba que vivía la población terrestre. Los cuerpos celestes, incluidos los otros cinco planetas conocidos, giran en trayectorias circulares dentro de una envoltura de fuego. Hiparco (190-120 a. n. e.), considerado por muchos como el más importante astrónomo observacional de la antigüedad, fue quien inventó la mayoría de los instrumentos utilizados por los astrónomos hasta el siglo XVII, y además compiló el primer catálogo de estrellas. El sistema propuesto por Hiparco consistía en un pequeño círculo, el epiciclo, que giraba con un movimiento uniforme alrededor de un punto situado sobre la circunferencia de un segundo círculo en rotación, el deferente. El planeta estaba situado sobre el epiciclo y el centro del deferente coincide con el centro de la Tierra. Hiparco también introdujo los epiciclos menores y las excéntricas. La excéntrica es un deferente cuyo centro se halla desplazado respecto al de la Tierra. Los epiciclos mayores, de gran tamaño, servían para explicar las grandes variaciones cualitativas de los planetas, mientras que los epiciclos menores eran círculos complementarios para eliminar pequeños desacuerdos cuantitativos entre teoría y observación. En 1543, Copérnico (1473-1543) recibe en su lecho de muerte un ejemplar de su obra, De revolutionibus orbium coelestium, con la cual se inicia la revolución científica de los siglos XVI y XVII. A pesar del carácter revolucionario del planteamiento heliocéntrico de Copérnico, en su obra siguen presentes las ideas relativas a la perfección del círculo y de la esfera, como se constata en el índice del Libro Primero del Revolutionibus orbium coelestium: Capítulo I: El Mundo es esférico Capítulo II: La Tierra también es esférica Capítulo III: De cómo la Tierra junto con el agua forman un globo Capítulo IV: El movimiento de los cuerpos celestes es regular y circular, perpetuo o compuesto por movimientos circulares Capítulo V: Acerca de si el movimiento de la Tierra es circular y de su posición.
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El sistema heliocéntrico planteaba un problema ideológico fundamental a los astrónomos, el cual fue resuelto por algunos ateniéndose a lo que dictaba el prólogo apócrifo del Revolutionibus, escrito por Andreas Osiander, en el que se señalaba que la órbita terrestre era una ficción matemática que permitía calcular la posición de los planetas como si la Tierra se desplazara, sin tener que preocuparse ni comprometerse con la realidad física del modelo. Erasmus Reinhold (1511-1553) fue el primer astrónomo que utilizó el modelo copernicano, para hacer cálculos y publicar unas tablas astronómicas, las Tablas prusianas, sin declararse a favor del movimiento de la Tierra.
https://es.123rf.com/photo_54741455_planeta-tierra-en-c%C3%ADrculo-de-luz-fondo-del-espacio-c%C3%B3smico-collage-de-la-computadora-conceptode-la-tierr.html
LA ESFERA Enunciación: si hacemos girar media circunferencia, una vuelta completa, alrededor del diámetro obtenemos una superficie esférica.
Cualquier punto P de la superficie esférica pertenece a la circunferencia que la genera y el centro 0 no se desplaza en el giro. Luego: todos los puntos de la superficie esférica equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la semicircunferencia es también el radio de la esfera.
Área de la semiesfera = 2 . (Área del círculo máximo) = 𝟐𝜋𝑟 2 Área de la esfera = 2 . (Área de la semiesfera) = 𝟐(𝟐𝜋𝑟 2 ) = 𝟒𝜋𝑟 2
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VOLUMEN DE LA ESFERA
El volumen de una esfera es el cuadruplo del volumen del cono inscrito, cuya base es el cĂrculo mĂĄximo de la esfera.
V = 4 Vcono = 4
đ?œ‹ đ?‘&#x;3 3
MODELACIĂ“N. Encontrar el ĂĄrea de la superficie de una esfera de 10 cm de radio. Halla el volumen de la esfera.
đ??´ = 4đ?œ‹đ?‘&#x; 2
r = 10 cm
đ??´ = 4 ∗ 3.14 ∗ 10đ?‘?đ?‘š2 = 1256 đ?‘?đ?‘š2 đ?‘‰=4
đ?œ‹ đ?‘&#x;3 3
V= (4*3,14*(10cm)3 )/3 V= 12560 cm3 /3 = 4186,67 cm3
EJERCITACIĂ“N 6 1. Haz girar una moneda de 1cm de radio sobre uno de sus puntos, encuentra el volumen de la esfera que describe.
SoluciĂłn:
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2. ¿Cuál es el volumen de aire contenido en un globo de 45 cm de diámetro?
Solución:
3. Un jardín suspendido tiene forma de semiesfera, cuyo diámetro interior es de 30 cm ¿cuál es la cantidad de tierra que se necesita para llenar el jardín?
Solución:
4. ¿Cuántos milímetros de parafina son necesarios para fabricar una vela de forma esférica de 2.5 cm de radio?
Debe hacer la conversión
5. Realiza el mentefacto de la unidad sólidos de revolución y el texto explicativo
EL TORO El toro es un sólido de revolución generado por el giro de un círculo cuyo centro recorre una circunferencia directriz de radio mayor, estando ambos contenidos en dos planos ortogonales perpendiculares entre sí.
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El círculo que gira 360° y el radio de la circunferencia directriz sobre la que gira están en el mismo plano. En la vida diaria nos encontramos objetos con la forma de un toro, como los neumáticos de una motocicleta o de un automóvil, un flotador salvavidas o también un “donut”.
Donde R es el radio de la circunferencia directriz y r el del círculo generatriz. Esta fórmula es una aplicación del primer teorema de Pappus-Guldin, donde el centroide de la circunferencia que gira es su centro.
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MODELACIÓN: Hallar el volumen de un toro cuyo círculo generatriz tiene un radio r = 1 cm cuyo centro gira recorriendo una circunferencia directriz de radio R = 6 cm.
Utilizando la fórmula del volumen:
Y obtenemos que su volumen es 118,44 cm3.
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EL CONO TRUNCADO El tronco de cono recto (o cono truncado recto) es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.
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¿Cómo se obtiene esta fórmula? Su área es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral. La cara lateral, desarrollada en el plano, como se ve en la figura de abajo, es un trapecio circular.
El área de las dos bases es:
Por otro lado, el área lateral se calcula con una fórmula que recuerda la del área del trapecio (semisuma de las bases por la altura), sustituyendo en este caso la altura por la generatriz:
Así pues, el área total es la suma del área de las bases más la lateral, según la primera fórmula.
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Para calcular el área total de un tronco de cono, si conocemos los radios de las bases y la altura, pero no conocemos la generatriz g, esta última la hallaremos mediante el teorema de Pitágoras. Veamos la figura: Obtenemos que la generatriz es:
VOLUMEN
El tronco de cono es el resultado de, mediante un plano que lo corta paralelo a la base, eliminar el cono pequeño superior, como en la figura.
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Llamaremos h a la altura del tronco de cono, hs a la altura del trozo de cono superior separado por el corte y ht a la altura total del cono entero. El volumen del tronco de cono serรก la diferencia entre el volumen del cono entero menos el volumen del trozo de cono superior separado:
Viendo los triรกngulos semejantes que se forman en los radios y alturas que se forman al cortar el cono:
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Por las relaciones de semejanza de estos triángulos:
Sustituimos esta expresión de ht en la fórmula anterior de diferencia de volúmenes de cono:
Que es la fórmula que se quería demostrar. MODELACIÓN:
Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.
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EJERCITACIÓN 7 1. Grafica una esfera con sus elementos. 2. Calcular el área y volumen de la siguiente semiesfera.
3. Hallar el área y volumen de la siguiente esfera, con diámetro 28 cm.
4. Encuentre el volumen total de la siguiente figura.
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5. Hallar el รกrea y volumen de los siguientes conos truncados.
6. Complete la tabla para los siguientes toroides con radio mayor ( R ) y radio menor (r ):
7. Calcule รกrea y volumen de los siguientes conos truncados:
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8. Calcula el รกrea y volumen del siguiente tronco de cono con la medidas AB= 4 cm, CD= 7 cm y CB= 5 cm.
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EJERCITACIĂ“N 8 SĂłlidos en contexto
RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIĂ“N Se tienen los siguientes recipientes, uno de forma semiesfĂŠrica, uno cilĂndrico y otro de forma cĂłnica de radio R y altura h como se muestra en la ilustraciĂłn
6. Respecto a la capacidad de estos recipientes NO es correcto aďŹ rmar que A. la capacidad del 2 es el triple del 1. B. la capacidad del 3 es el doble del 1. C. la capacidad del 3 es la mitad del 1. D. la capacidad del 1 es la tercera parte del 2.
7.Si R = 3 dm, las capacidades de los recipientes 1, 2 y 3 expresadas en litros, son respectivamente A.18đ?œ‹đ?‘™,54 đ?œ‹đ?‘™,36 đ?œ‹đ?‘™ C. 0,18đ?œ‹đ?‘™,0,54 đ?œ‹đ?‘™,0,36 đ?œ‹đ?‘™
B. 18đ?œ‹đ?‘™,6 đ?œ‹đ?‘™,12 đ?œ‹đ?‘™ D. 0,18đ?œ‹đ?‘™,0,6 đ?œ‹đ?‘™,0,12 đ?œ‹đ?‘™
RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 11 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIĂ“N. ArquĂmedes y sus grandes descubrimientos
ArquĂmedes fue un gran matemĂĄtico, fĂsico e inventor, naciĂł en Siracusa (Grecia) en el aĂąo 285 A.C El cĂĄlculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que ArquĂmedes mĂĄs estimaba de todos los que hizo en su vida. LlegĂł a demostrar de un modo muy original que el volumen de una esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella (Vesfera = 2/3 Vcilindro), y pidiĂł que en su tumba se tallarĂĄ una figura como la que se muestra.
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8. Si el volumen del cilindro circunscrito es 27Ď€, el volumen de la esfera es A. 9Ď€. C. 41Ď€. B. 18Ď€. D. 54Ď€. 9. La diferencia entre el volumen del cilindro y el volumen de la esfera mostrada en la figura es A. 1Ď€ đ?‘Ľ 3 / 3. C. 1Ď€ đ?‘Ľ 3 / 6. B. 2Ď€ đ?‘Ľ 3 / 3. D. 1Ď€ đ?‘Ľ 3 / 12. 10. De acuerdo al descubrimiento de ArquĂmedes, para esferas de diĂĄmetro x y cilindros circunscritos a ellas, NO es correcto afirmar que el volumen de A. dos cilindros es igual al volumen de tres esferas. B. tres cilindros es igual al volumen de dos esferas. C. un cilindro es igual al volumen de tres semiesferas. D. dos cilindros es igual al volumen de seis semiesferas. 11. La grĂĄfica que relaciona el volumen de una esfera (Ve ) con el volumen del cilindro (Vc ) circunscrito a ella es
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APLICO MIS COMPETENCIAS 1. El cono, el cilindro y la esfera tiene la misma altura y radio, Si el volumen del cono es 54.4 mm 3, El volumen de la semiesfera y del cilindro es respectivamente:_______,_______ 2. La superficie de una esfera es S metros cuadrados. ÂżCuĂĄl es la superficie de una esfera de radio 4 veces mayor? A.
16 veces mayor
B.
4 veces mayor
C.
8 veces mayor
D.
Hay que saber el valor de cada radio
3. Como se muestra en la figura, un depĂłsito cĂłnico tiene 15 metros de altura y el diĂĄmetro en la parte superior es de 54 metros. Cuando el volumen en el deposito es de 1458 đ?œ‹ metros cĂşbicos. ÂżCuĂĄl es la altura en metros del nivel del agua?. Exprese su respuesta con tres cifras decimales
4. Un helado estĂĄ compuesto por un cono circular recto y media esfera, si el radio r de la esfera es 11 cm y la altura del cono es de 10 cm, cual es el volumen total del helado en centĂmetros cĂşbicos. Exprese su respuesta con tres cifras decimales.
5. Una regiĂłn con forma de bala estĂĄ encerrada por un cilindro circular recto, media esfera ubicada sobre la tapa superior del cilindro, y un cĂrculo ubicado en la tapa inferior. Si la altura h del cilindro es 10 cm y el radio r de su base es 1,3 cm. ÂżcuĂĄl es su ĂĄrea en centĂmetros cuadrados. Utilice dos cifras decimales