REVISTA: POLIMATES
Colegio Bilingüe K’iyb’al Asignatura: Matemáticas Docente: _Luis Marroquín
Título: Revista virtual
Nombre: _Julián Daniel Toc Sandoval Grado y sección: Segundo básico “B” Fecha: _10/Junio/2020
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Índice 1. Lenguaje Algebraico Video 1. 2. Lenguaje algebraico Video 2. 3. Lenguaje algebraico Video 3. 4. Monomios. 5. Valuación de monomios. 6. Nombre de una expresión algebraica. 7. Grado de una expresión algebraica. 8. Términos semejantes. 9. Características de un polinomio. 10. Adición de polinomios. 11. Sustracción de polinomios. 12. Multiplicación de monomio por polinomio. 13. Multiplicación de polinomio por polinomio. 14. División de polinomios entre monomios. 15. División de polinomios entre polinomios.
Lenguaje algebraico video 1 Este lenguaje consta principalmente de letras del abecedario (a, b, c, d, etc.) y diferentes vocablos o definiciones provenientes del idioma griego. Su principal función es estructurar y fundamentar un lenguaje matemático, para poder generalizar las diferentes operaciones. Las letras del abecedario y los vocablos griegos se utilizan básicamente para representar a cualquier número, sin tener en específico a algún número. A estas letras se les conoce como variables o coeficiente. El álgebra es la rama de las matemáticas la cual estudia la relación entre números, letras y signos. Esto provoca que tenga un lenguaje propio el cual emplea símbolos y letras para representar números. Su función principal es establecer y estructurar un lenguaje que ayude a generalizar diferentes operaciones. La cuarta parte de un número= q/4 El quíntuple de un número= 5w La décima parte de un número= e/10 El séxtuple de un número= 6r Un número sumado a 6= t+6
Número cualquiera= a, b, c, d… La suma de dos números= a+b El producto de dos números= a*b/ ab Perímetro de un hexágono regular= 6x El cuadrado de un número= a
2
Lenguaje algebraico video 2 Este lenguaje consta principalmente de letras del abecedario (a, b, c, d, etc.) y diferentes vocablos o definiciones provenientes del idioma griego. Su principal función es estructurar y fundamentar un lenguaje matemático, para poder generalizar las diferentes operaciones. Las letras del abecedario y los vocablos griegos se utilizan básicamente para representar a cualquier número, sin tener en específico a algún número. . A estas letras se les conoce como variables o coeficiente. El álgebra es la rama de las matemáticas la cual estudia la relación entre números, letras y signos. Esto provoca que tenga un lenguaje propio el cual emplea símbolos y letras para representar números. Su función principal es establecer y estructurar un lenguaje que ayude a generalizar diferentes operaciones. El triple de la suma de tres números= 3(i+o+u) El cuadrado de la resta de dos números= (a-s)2 Un número aumentado diez= d+10 La tercera parte del doble de un número= 2f/3 El cubo del cociente de dos números= (g/h)3
El doble de la suma de dos números= 2(a+b) El doble del producto de 2 números= 2xy El cuadrado de la suma de dos números= (x+y)
2
Un número aumentado en tres= x+3 Un número disminuido en 5= a-5
Lenguaje algebraico video 3 Este lenguaje consta principalmente de letras del abecedario (a, b, c, d, etc.) y diferentes vocablos o definiciones provenientes del idioma griego. Su principal función es estructurar y fundamentar un lenguaje matemático, para poder generalizar las diferentes operaciones. Las letras del abecedario y los vocablos griegos se utilizan básicamente para representar a cualquier número, sin tener en específico a algún número. . A estas letras se les conoce como variables o coeficiente. El álgebra es la rama de las matemáticas la cual estudia la relación entre números, letras y signos. Esto provoca que tenga un lenguaje propio el cual emplea símbolos y letras para representar números. Su función principal es establecer y estructurar un lenguaje que ayude a generalizar diferentes operaciones. Un número de cuatro cifras= k1000+l100+10ñ+z Cuatro números consecutivos= x x+1 x+2 x+3 Cuatro números pares consecutivos= 2c 2c+2 2c+4 2c+6 Cuatro números impares consecutivos= v2-1 v2+1 v2+3 v2+5 Un número de cinco cifras= 10000x+y1000+z100+a10+b
El sucesor de un número= x+1 Dos números consecutivos= x
x+1
Un número par= 2x Un número impar= 2x-1 Tres números pares consecutivos= 2x 2x+2 2x+4
Monomios Es una expresión algebraica la cual tiene como característica de tener solo un término algebraico. El término algebraico se divide en signo, coeficiente y parte literal. Un monomio es -3x, ya que tiene signo menos, tiene coeficiente que es el 3 y su parte literal es la variable y el exponente que son x y 1 (este último no se coloca ya que se sobrentiende que se eleva a uno). Es una expresión algebraica que consiste en una constante, que se llama coeficiente y una parte literal que se representa con letras y se puede elevar a diferentes potencias. En varias ocasiones, la parte literal puede consistir en multiplicaciones de diferentes coeficientes como en el siguiente termino 2xy. 4b5c6d2 -1025n5o9p 10m8 3qr4st5 9w2x6y5z4
ab ab 2
-ab
2
abc 4x -
Valuacion de monomios Esto nos sirve para darle un valor a una variable, para poder realizar una operación y tener un resultado aritmético. Para este proceso nos deben de dar un valor para cada una de las diferentes variables. Por ejemplo r=1, t=2, etc. Al momento de pasar de una variable al valor anteriormente dado, siempre se coloca entre paréntesis, (1) (2), etc. Se usa mayormente en formulas en las cuales se nos da una clase de polinomio, pero también se le da un valor a la incógnita para poder resolver, normalmente se le conoce como ecuación. Esta operación normalmente nos da como resultado un número en concreto. r=8, s=6, t=5, u=4, v=9, w=7 -5r+6s-7t+3u-2v+8w -5(8)+6(6)-7(5)+3(4)-2(9)+8(7) -40+36-35+12-18+56 -4-23+38 -27+38 11
a=3, b=4, c=5 9a-8b-7c 9(3)-8(4)-7(5) 36-32-35 -4-35 39
x=-2, y=-3, z=1 2x-3y+z 2(-2)-3(-3)+(1) -4+9+1 -4+10 6
a=5, b=2, x=-2 -2a+3b-5x -2(5)+3(2)-5(-2) -10+6+10 6
Nombre de una expresion algebraica Una expresión algebraica se nombre según la cantidad de términos que contenga dentro de sí. Dividiéndose en monomios (un término), binomios (dos términos), trinomios (tres términos) y polinomios (cuatro o más términos). Esta es una forma específica de clasificar las expresiones algebraicas. El álgebra necesita un orden definido en base a unos criterios de clasificación que debemos conocer para resolver los ejercicios de expresiones algebraicas de manera correcta. La clasificación se basa en la cantidad de términos. En forma general, se dividen en dos: monomios y polinomios, teniendo este último tres subdivisiones que son: binomios (2 términos), trinomios (tres términos) y polinomios (4 o más términos) Expresión algebraica
Nombre
-7t12
Monomio
+3y2-85u
Binomio
8i4-7o3+9p2-a
Polinomio
2s3-3d2+7f
Trinomio
Expresión algebraica
Nombre
-3x
Monomio
2x +3x
Binomio
2
2y +3y -6y 3
2
Trinomio
2x +3x +6x -2x+3 4
3
2
Polinomio
Grado de una expresion algebraica
El grado de una expresión algebraica hace referencia al valor de los exponentes que tiene una expresión. En el caso que la expresión solo tengo una variable, el grado de la expresión será el valor del exponente mayor. Al grado se le nombra por su número ordinal en su mayoría á
En este caso se sigue hablando acerca de los exponentes, pero al ser con diferentes variables se puede ver de 2 maneras: valor relativo y el absoluto:
En esta manera se toma en cuenta solo una variable y el valor seria el exponente mayor de esa variable. Lo mismo se hace con las demás variables.
Este se basa en tener en cuenta los valores relativos de todas las incógnitas de la expresión. Al tener todos los valores relativos se suman estos y el resultado de la suma de todos los valores relativos será el valor absoluto. El grado de un polinomio es grado mayor de los exponentes que estén dentro de la expresión algebraica. Su grado es el exponente mayor que se encuentre dentro de la expresión, siempre y cuando pertenezcan a la misma variable.
Polinomio
Grado absoluto
Grado relativo g
h
j
séptimo noveno
10g8-8h7+4j9g2
24
octavo
-g3+h3-j2
octavo
tercero tercero
+gh2-hj3
Sexto
primer
G6
sexto
Sexto
-h9+j9
18
segundo Tercero
noveno
Monomio
Segundo
Grado absoluto
noveno
Grado relativo m
n
-12m5n8
13
Quinto
Octavo
mn2
Tercero
primero
Segundo
− 5n7
Séptimo
3.5m3n3
sexto
4
Séptimo tercero
tercero
Términos semejantes Estos términos deben tener la misma parte: misma variable y mismo exponente. Si tienen un coeficiente o signo diferente van a seguir siendo semejantes. En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual parte literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales variables e iguales exponentes. 4k2l3 y -9k3l2 no son semejantes -3ñ y 89ñ son semejantes 8zx y z8x no son semejantes 9cv8 y 7v8c son semejantes b y b2 no son semejantes
4x y 5x son semejantes 6x y 2y no son semejantes 3x y 3x no son semejantes 2
7xy y -4xy son semejantes -3y y 3z no son semejantes
Caracteristicas de un polinomio
Hay dos formas de ordenar un polinomio, pero en las dos formas se toma en cuenta los exponentes: Ascendente= Exponente mayor al exponente menor Descendente= Exponente menor al exponente mayor Cabe aclarar que solo se toma en cuenta una misma variable, si se da el caso que el polinomio tenga más de una variable. Un polinomio esta ordenado si sus términos están escritos en orden decreciente o ascendiente según sus grados.
En base al orden de un polinomio, existen algunos casos en los cuales falta un exponente en la numeración. Para que el polinomio este completo se debe colocar un término con coeficiente cero, la variable en la que se ordene el polinomio y el exponente que hace falta. Un polinomio está completo si en su expresión aparecen todos los términos de grados desde el n,…, 3, 2,1.
Esta característica lo que hace es invertir el signo de cada uno de los términos, si el signo era más se convierte en menos y viceversa.
Son aquellos que tienen los mismos tĂŠrminos con el mismo grado pero con signos contrarios.
Polinomio
Polinomio ordenado
Polinomio completo
Polinomio opuesto
-r5+r2-r4+4
-r5-r4+r2+2
-r5-r4+0r3+r2+0r+2
r5-r2+r4-4
-t4+t6-t2-t3
t6-t4-t3-t2
t6+0t5-t4-t3-t2-0t
4-t6+t2+t3
Y7-y+y2
Y7+y2-y
y7+0y6+0y5+0y4+0y3+y2-y
-y7+y-y2
-u6+u2-u4
-u6-u4+u2
-u6+0u5-u4+0u3+u2+0u
u6+u4-u2
i5-i+i3
i5-i3+i
i5+0i4-i3+0i2+i
i5+i-i3
Polinomio Polinomio ordenado
Polinomio completo
Polinomio opuesto
5x +3+2x +6x +2x
6x +2x +7x +3
6x +0x +2x +7x +0x+3
-5x -3-2x -6x -2x
5y-3y +6y -8+2y
6y +2y -3y +5y-8
6y +0y +2y +0y -3y +5y-8
-5y+3y -6y +8-2y
6+8m -2m+6m
4
6m +8m -2m+6
6m +8m +0m -2m+6
-6-8m +2m-6m
-3p4+6-p5-p6-p
-p -p -3p -p+6
-p -p -3p +0p +0p -p+6
3p4-6+p5+p6+p
2
3
2
5
6
3
2
4
5
6
3
4
2
2
4
3
6
5
4
5
6
4
5
3
4
4
6
5
2
3
3
4
2
2
3
2
2
3
2
3
5
6
2
4
4
-a8-a6-3
-a8-a6-3
-a +0a 8
7
a +0a +0a +0a +0a +0a-3 6
5
4
3
2
a8+a6+3
Adicion de polinomios 1. Se ordena y completa cada polinomio si y solo si fuera necesario 2. Se coloca un polinomio debajo del otro haciendo que coincidan los términos semejantes. 3. Se opera según los signos Para hacer la suma en horizontal: 1. Primero se escriben los polinomios uno de tras de otro 2. Se ordenan los polinomios 3. Luego se coloca entre paréntesis cada polinomio separados por un signo más 4. Luego se identifican los términos semejantes. 5. Se operan los términos semejantes (5o3+4o4-3o2+2o)+ (2o4-3o2-4o3+5o) 4o4+5o3-3o2+2o 2o4-4o3-3o2+5o 6º4-o3-
+7º
(10p4-65p3+55p2+12p)+(9p4-8p3-100p) 10p4-65p3+55p2+12p 9p4- 8p3+ 0p2-100p 19p4-73p3+55p2-88p
(4x +3x +2x -x+1) + (5x -2x+3) 4
3
2
2
4x + 3x +2x -x +1 4
3
2
---------------5x -2x +3 2
4x +3x +7x -3x+4 4
3
2
(13a b -12a b +17a b -9) + (-18a b -24a b -19a b +25) 2
2
3
3
4
4
2
2
3
3
4
4
17a b -12a b + 13a b +0ab -9 4
4
3
3
2
2
-19a b -24a b - 18a b +0ab +25 4
4
3
3
-2a4b4- 36a3b3-5a2b2
2
2
+16
Sustraccion de polinomios 1. 2. 3. 4. 5.
Se ordena y completa cada polinomio si y solo si fuera necesario Se coloca entre paréntesis cada polinomio Se coloca un signo menos entre cada polinomio Se cambian los signos del segundo polinomio Se coloca un polinomio debajo del otro haciendo que coincidan los términos semejantes. 6. Se operan según los signos Para hacer resta horizontal 1. Primero se escriben los polinomios uno de tras de otro 2. Se ordenan los polinomios 3. Luego se coloca entre paréntesis cada polinomio separados por un signo menos 4. Se cambian los signos del segundo polinomio 5. Luego se identifican los términos semejantes. 6. Se operan los términos semejantes (p5+3p4-4p3+p-3p2) - (2p3+5p-4p4+5p5) p5 +3p4 -4p3 -3p2 +p -5p5+4p4 -2p3 +0p2 -5p -4p5 +7p4 -6p3- 2p2 -4p
(a4-8a3+3a2-a)-(5a4-4a3+3a2-2a) a4-8a3+3a2 -a -5a4+4a3-3a2 +2a -4a4+4a3-a
(x +5x+9+x )-(x3+4x2-4) 4
2
x + 0x +x +5x +9 4
3
2
-x -4x + 0x +4 3
2
x -x -3x +5x+13 4
3
2
(9x2-9x-1)-(12x2-x+6) 9x -9x-1 2
-12x +x-6 2
-3x -8x-7 2
Multiplicacion de monomio por polinomio 1. Primero se ordena el polinomio 2. El monomio multiplica término por término, multiplicando parte por parte de estos.(signo por signo, coeficiente por coeficiente, incógnita por incógnita, exponente por exponente) Para la multiplicación de monomio por polinomio hay que recordar que la multiplicación es conmutativa, entonces no importa el orden, se coloca a conveniencia. También se debe tomar en cuenta: 1. Ley de signos 2. Producto de potencias de la misma base se suman los exponentes a9-a8+a7-a6 *2a5 2a14-2a13+2a12-2a11
9s8-7s6+5s4-3s2 *3s9 27s17-21s15+15s13-9s11
5b+3ab-6b *4a b 2
20a b +12a b -24a b 2
2
3
2
2
2
2a+2b+a *2b 4ab+4b +2ab 2
Multiplicacion de polinomio por polinomio 1. Se ordena el polinomio 2. Luego se elige el polinomio que va a multiplicar siempre dependiendo la conveniencia. 3. Se multiplica cada término por todo el polinomio. Por ejemplo si se trata de un trinomio se separa cada término que en este caso serían tres y cada uno multiplica al otro polinomio. 4. Luego se operan los términos semejantes El producto de un polinomio se obtiene multiplicando los términos del primer polinomio por el segundo polinomio y reduciendo los términos semejantes para llegar al producto. (5d2-2d)(7d3-2d2+d-5) 35d5 -10d4+5d3-25d2 -14d4+4d3 -2d2-10d 35d5-24d4+9d3-27d2-10d (2g3+4g2-5g)(8g5+7g4-6g3+5g2-4g) 16g8+14g7 -12g6+10g5 -8g4 32g7+28g6-24g5+20g4-16g3 -40g6-35g5+30g4-25g3+20g2 16g8+46g7-24g6-49g5+42g4-41g3+20g2
Division de polinomio entre monomio 1. Primero se escribe el polinomio a modo de fracciĂłn se escribe el monomio. 2. Luego el monomio divide cada tĂŠrmino del polinomio. Todo dependerĂĄ de las variables ya que solo se puede hacer con tĂŠrminos semejantes. Consejo: Ya que puede darse el caso de que exista un exponente negativo, este solo se baja a modo de fracciĂłn y asĂ no hacerse la conversiĂłn. 1. Como ejemplo usemos un trinomio. Primero se divide el primer tĂŠrmino con el monomio. 2. Luego el segundo termino 3. Ahora el ultimo termino 4. Ahora representar la respuesta juntando todos los resultados
4đ?‘Ľ4 − 3đ?‘Ľ2 + 2đ?‘Ľ 4đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ = đ?‘Ľ2 2đ?‘Ľ 2 8â„Ž9 + 6â„Ž7 − 4â„Ž6 + 2â„Ž4 − 18â„Ž 4â„Ž6 + 3â„Ž4 − 2â„Ž3 + â„Ž = 2â„Ž3 9â„Ž2
2đ?‘Ľđ?‘Ś 2 đ?‘§+5đ?‘Ľ 3 đ?‘Śđ?‘§ = 3đ?‘Ľđ?‘Ś 2 đ?‘§âˆ’7đ?‘Ľđ?‘Śđ?‘§ 2
Division de polinomio entre polinomio 1. Se ordenan los polinomios 2. Solo se toma en cuenta el primer término del polinomio divisor, y luego se busca un término por el cual multiplicar el cual se asemeje lo más posible al primer término del dividendo y a este se le coloca como parte del cociente. 3. Luego se multiplican los demás términos 4. Luego al momento de bajar los resultados de la multiplicación se cambia el signo, para que este pueda ya sea restar o sumar los términos. 5. Se baja el siguiente término y se repite el proceso hasta que se acaben los términos del polinomio dividendo. Método de Ruffini Se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de forma x +/- a de lo contrario es mejor usar la forma normal. 1. Se completa y ordena el polinomio dividendo. 2. Luego se colocan todos los coeficientes del polinomio 3. Luego se iguala a cero el binomio. 4. Luego se coloca el resultado a un lado aparte de los coeficientes del polinomio. 5. Se baja el primer coeficiente, multiplicándose así con el resultado aparte. El producto entre el primer coeficiente y el resultado de igualar a cero el binomio se coloca debajo del siguiente término del polinomio para operar según los signos. 6. Este proceso se repite hasta llegar al último término. 7. El resultado de la última operación sería el residuo 8. Mientras que los demás resultados de las operaciones se les agrega la parte literal la cual sería x y como exponente un grado menos a la que tenían en el polinomio.
Método de Ruffini
Importancia del uso de la tecnologia en el estudio de la matematica Gracias a los avances de la tecnología llevar a información a cualquier parte del mundo se ha facilitado, esto significa que existe un mayor facilidad de poder llevar el conocimiento a cualquier persona, pudiendo aprender desde una explicación en una página hasta un video con una persona explicando un tema. Esto ayuda a personas que les cuesta prestar atención en una clase presencial, a resolver dudas que por falta de tiempo el profesor no logro resolver e inclusive personas que quieren reforzar el tema o simplemente buscan un método alternativo con el que se sientan más cómodos. Ahora por la situación de salud que sucede a nivel mundial, nos ha obligado a estar en casa reduciendo nuestras salidas de casa a unas cuantas solo por emergencia. Esto provocó el cierre de escuelas, colegios y universidades. Pero se necesitaba seguir con el ciclo escolar, demostrándonos la tecnología otro de sus aportes, las clases en línea o a larga distancia, eliminando así el contacto social, ya que estas solo se necesitan tener un dispositivo electrónico e internet para poder recibir una clase y aprender desde cualquier lugar. Gracias a esto la tecnología al venir evolucionando ha podido ayudar a diferentes personas, de diferentes maneras, todo depende de la accesibilidad a la que pueda tener la economía de la persona.