Principios de Ingeniería Financiera by Juan Carlos Botero

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

CAPÍTULO 1 El Mercado de Derivados 1.1

Introducción

Hacia comienzos de la década de los 70 del siglo XX, se produjeron grandes desarrollos en el mundo de las finanzas que constituyeron un verdadero quiebre en esta ciencia, al punto que puede decirse que desde entonces las finanzas cambiaron para siempre. Con la introducción de los conceptos novedosos de Fischer Black, Myron Scholes y Robert Merton sobre cómo valorar opciones, los cuales se explican en detalle en este libro, se le dio un mayor formalismo a las finanzas, creándoles un vínculo muy fuerte con las matemáticas y la física. En efecto, conceptos como el del movimiento Browniano, ampliamente utilizado en física para determinar el más probable movimiento de partículas, se adaptaron a las finanzas para modelar el precio a seguir por un activo. Igualmente conceptos matemáticos como las Martingalas tuvieron una amplia aplicación con la introducción por parte de Black, Scholes y Merton del concepto de probabilidades neutrales al riesgo en la valoración de opciones. Así las cosas las finanzas modernas pueden clasificarse en dos grandes grupos: Gerencia Financiera e Ingeniería Financiera. La primera trata con temas relacionados con la valoración de empresas, efectos contables sobre el valor de las empresas, valor económico agregado, entre otros. La ingeniería financiera por su parte toca los temas comentados en el párrafo anterior. Como lo definiera el profesor John Finnerty en un artículo del Journal of Financial Management en el invierno de 1988, “La Ingeniería Financiera abarca el diseño, desarrollo e implementación de instrumentos y procesos financieros innovadores, así como la formulación de soluciones creativas para problemas financieros”. Así pues el rol del ingeniero financiero puede resumirse en idear nuevos productos o técnicas de gestión y de inversión. Sin duda que de las dos ramas de las finanzas modernas, la ingeniería financiera es bastante más complicada y exigente que la Gerencia Financiera. El ingeniero financiero debe dominar técnicas convencionales como el cálculo determinístico y la estadística, además de otros temas menos comunes como el cálculo estocástico y las ecuaciones diferenciales parciales.

1.2

Mercados Derivados en Economías Emergentes

Aunque mercados como el de forward peso/dólar han mostrado en Colombia un incremento considerable en los volúmenes negociados, tal como se muestra en la gráfica 1.1, todavía muchos manejadores de este tipo de portafolios no son conscientes de cómo controlar los riesgos a los que están expuestos.

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

Gráfica 1.1 Volumen mensual del mercado de Forwards en Colombia (Cifras en millones de dólares): 3,000

2,500

2,000

1,500

1,000

Mar-02

Oct-01

May-01

Dic-00

Jul-00

Feb-00

Sep-99

Abr-99

Nov-98

Jun-98

Ene-98

500

Fuente: Banco de la República de Colombia

Otros productos como las opciones sobre tipo de cambio peso/dólar ya han empezado a transarse, pero todavía es un mercado ilíquido, razón por la cual la prima que se cobra por ellas es alta. Sin embargo, en la medida en que se empiecen a formar portafolios de opciones y el conocimiento de ellas sea más amplio, un mercado más líquido se irá formando hasta hacer de él una alternativa tan atractiva como lo son hoy los forwards. Las cifras revelan el potencial para un mercado de derivados en países como Colombia. En efecto, de acuerdo a la información que proporciona la Cifin a junio de 2002, 45 empresas tenían deuda en dólares superior a los US$4 millones, sumando así US$850 millones para estas compañías. Este reporte no involucra bancos del exterior y gran parte de los créditos sindicados son con bancos del exterior. Desde el punto de vista de inversión se deben tener en cuenta los fondos de pensiones, las fiduciarias y los bancos comerciales e hipotecarios. También habría oportunidad para involucrar a entidades multilaterales tipo la IFC en este tipo de operaciones, así como al gobierno a través de la Tesorería General de la Nación. Como se muestra en la siguiente gráfica, la tasa de cambio peso/dólar ha experimentado una enorme volatilidad, haciendo que los balances expuestos a estos movimientos presenten unas fluctuaciones que desencantan tanto a inversionistas de portafolio como a accionistas de control y hasta al mismo sector financiero, que sentirá un temor más alto de lo normal al momento del desembolso de créditos. Buscar la estabilidad del P&G de empresas que están expuestas a las fluctuaciones del dólar es lo que persigue un programa de coberturas cambiarias vía forwards u opciones. Esto es importante: un programa de coberturas no tiene como fin mejorar la gestión operativa. Lo que ofrece es estabilidad y así debe ser entendido. Por ejemplo una empresa que esté cubriendo una deuda en dólares y que compra dólares a futuro vía forwards como cobertura, tendrá una pérdida derivada de dicho forward en caso de que el peso se revalúe, pero su deuda, denominada en dólares, le reportará una utilidad que compensa la pérdida del derivado. Lo contrario también es cierto: si en lugar de revaluarse el peso se hubiera devaluado, su deuda en dólares le reporta una pérdida por

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diferencia en cambio, la cual es compensada con una utilidad generada por el forward. Al fin de cuentas, lo que se tiene es estabilidad, sin importar hacia dónde se mueve el dólar. Gráfica 1.2 Volatilidad del Dólar 50 40

20 10

2-Ene-03

2-Oct-02

2-Jul-02

2-Abr-02

2-Ene-02

2-Oct-01

2-Jul-01

2-Abr-01

2-Ene-01

2-Oct-00

2-Jul-00

2-Abr-00

2-Ene-00

2-Oct-99

-20

2-Jul-99

-10

2-Abr-99

2-Ene-99

Variación diaria (Pesos)

-30 -40 -50

Fuente: Cálculos del autor con base en datos del Banco de la República de Colombia

Pero no solamente el potencial se encuentra en las coberturas peso/dólar. Un segundo paso sería la creación de un mercado para las coberturas sobre otra variable muy volátil: la tasa de interés. Para eso deberá comenzarse entonces por desarrollar el mercado de FRA’s (Forward Rate Agreement), para luego pasar al de opciones. El hecho de contar con una curva cero cupón de largo plazo como la proveída por los TES permiten justamente el desarrollo de este tipo de figuras. Los riesgos por variaciones en la tasa de interés son muy altos, dada la alta volatilidad de esta variable, según se muestra en la siguiente gráfica.

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Gráfica 1.3 Evolución de la tasa de interés DTF 17 16 15 DTF (E.A.)

14 13 12 11 10 9 8 27-Dic-02

27-Oct-02

27-Ago-02

27-Jun-02

27-Abr-02

27-Feb-02

27-Dic-01

27-Oct-01

27-Ago-01

27-Jun-01

27-Abr-01

27-Feb-01

27-Dic-00

27-Oct-00

27-Ago-00

27-Jun-00

27-Abr-00

27-Feb-00

27-Dic-99

Fuente: Banco de la República de Colombia

Simultáneamente con el mercado de derivados sobre tasa de interés puede desarrollarse el mercado de derivados sobre commoditties, algo que sin duda sería de gran alivio para la amplia industria que depende del precio de ellos y que está expuesta a los bandazos en el precio que suelen mostrar. Vale la pena destacar el crecimiento que han tenido mercados como el de swaps en países latinoamericanos como es el caso de México y que sin duda tiene el potencial de replicarse durante los próximos años en otras partes de la región como Colombia.

1.3

La razón de ser de los derivados

Es de capital importancia que los agentes de nuestros mercados, tanto compradores como vendedores de este tipo de herramientas sofisticadas, entiendan muy bien para qué fueron creadas y para qué las deben ellos usar. Muchas veces ni siquiera la fuerza de ventas de las mismas entidades financieras entienden muy bien qué es lo qué están ofreciendo y los compradores no entienden muy bien qué obligaciones están contrayendo. El mercado de derivados ha podido sobreponerse a las más duras pruebas en mercados donde han sido establecidos desde hace tiempo como el de los Estados Unidos. Muchos lectores recordarán las pérdidas en las que incurrieron varias empresas entre comienzos y mediados de la década de los 90 del siglo XX, entre ellas Gibson Greetings y Procter & Gamble, todo porque sus tesoreros utilizaron los derivados para especulación. En otros casos como el de Orange County California, la situación fue aun más extrema pues esta empresa se fue a quiebra. Una compañía del sector real nunca debería darle semejante uso a los derivados; más bien debería utilizarlos para cubrir sus riesgos como el de tasa de cambio ó el de tasa de interés, los cuales generan un desfase entre sus ingresos y sus egresos. Siempre se ha dicho que es más especulador quien no se cubre que quien lo hace, pero definitivamente el más especulador es quien usa derivados haciendo apuestas contra variables de mercado para aparentemente mostrar un mejor resultado neto. Siempre es lamentable

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ver empresas en las que un excelente desempeño operacional es opacado por aspectos fuera de su negocio como son movimientos de la tasa de cambio, de la tasa de interés o del precio de materias primas. El mercado estadounidense sin duda aprendió de estos errores y hoy por hoy los derivados financieros son un mercado muy conocido y de amplio uso entre los agentes. La estandarización de los contratos igualmente contribuyó a generarle confianza a los agentes que participaban en este mercado. Esto es precisamente lo que todavía hace falta en mercados como el colombiano; todavía no existe una regulación clara y estándar para los derivados y lo mejor que los agentes han hecho es acomodarse al contrato estándar de los Estados Unidos, conocido como contrato ISDA por sus siglas en inglés de International Swap Dealers Association. En Colombia muchas empresas han desarrollado sus propios contratos Marco, pero es necesario la creación de un contrato estándar, único para todo el mercado de derivados. Sobre normas regulatorias, el más grande esfuerzo es el que ofrece la resolución 014 de 1998 de la Superintendecia Bancaria, pero lo cierto es que ésta amerita una revisión y una nueva normatividad se hace necesaria, sobre todo tocando temas tan importantes como qué tasas de descuento utilizar para valorar estos instrumentos y cómo calcular la exposición crediticia a que está expuesta una entidad financiera con una contraparte.

1.4

Los derivados como instrumentos para generar valor

Los derivados pueden utilizarse también como instrumentos para generar valor en las empresas. Los gerentes que estén comprometidos con la generación de valor en sus empresas sabrán lo difícil que es llegar a hacerlo y lo fácil que es perderlo. En efecto, varios años de buena gestión operativa que hayan llevado a una generación importante de valor pueden verse consumidos por un solo año de devaluación en empresas con un endeudamiento considerable en dólares. Una empresa puede generar valor a través del uso de los derivados porque le ayuda a manejar mejor el riesgo a los inversionistas, evita los costos en que se incurre cuando se generan problemas financieros, ayuda a reducir impuestos, reduce los costos del monitoreo de la labor de los gerentes al mejorar la evaluación de desempeño y provee los recursos de caja cuando se requieren. En efecto, una de las premisas de las finanzas corporativas desarrollada por Modigliani y Millar dice que el manejo del riesgo no deberá generarle valor a los accionistas pues ellos pueden por sí mismos ir al mercado y buscar la cobertura si la quisieran. Pues bien, lo cierto es que es más fácil para una empresa tener acceso al mercado de coberturas que para un inversionista. Siendo así, la empresa puede obtener dicha cobertura a un costo bastante menor que el del inversionista. Igualmente, una empresa que esté sujeta a un régimen de impuestos progresivo puede generar valor de la siguiente manera: suponga que si las utilidades son iguales a menores a 10 millones, la empresa paga una tasa impositiva del 25%. Si la utilidad es mayor a $10 millones paga una tasa del 30%. Si la empresa el primer año tiene una utilidad de cero y el segundo año una utilidad de $20 millones, el primer año no pagará impuesto mientras que el segundo año pagará $6 millones. Si hay otra empresa que obtiene ambos años una utilidad de $10 millones, pagará cada año $2,5 millones para un total de $5 millones. Gracias a la estabilidad en utilidades que ofrece el programa de coberturas la empresa pudo pagar menos impuestos y así generarle valor a sus accionistas.

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Un programa de manejo del riesgo facilita el monitoreo a la gestión de los gerentes porque permite aislar el resultado operativo del movimiento de variables del mercado financiero como tasa de cambio o tasa de interés. Así los accionistas podrán determinar con mayor precisión qué tan bien se comportó su inversión en el negocio que a ellos les interesa, independientemente de ganancias o pérdidas que se hubieran hecho por movimientos de variables de las que no esperan sacar provecho. Finalmente, un programa de cobertura de riesgos deberá generar valor porque garantizan que los recursos financiero se tienen cuando se necesitan. En efecto, imagine por ejemplo una empresa de productos químicos que exporta toda su producción mientras que los insumos son todos conseguidos en el mercado interno. Empresas como estas dependen en gran medida de la inversión que hagan en Investigación y Desarrollo (I&D). Existe una cantidad óptima a invertir en I&D, la cual es independiente de la tasa de cambio; sin embargo, los ingresos de una empresa como esta están totalmente ligados a la tasa de cambio y por eso es posible que en épocas de revaluación de la moneda local no se cuente con los recursos deseados para invertir en I&D. Del mismo modo, períodos de devaluación de la moneda local van a producir excesos de liquidez respecto al monto que se quiere invertir en I&D. Un programa de manejo del riesgo busca estabilizar de esta manera los flujos para que, independientemente de lo que pase con la tasa de cambio, esta empresa siempre cuente con el monto que necesita para I&D.

1.5

La Tesorería como área encargada del control del riesgo

El cuadro siguiente resume los riesgos a los que se ve expuesta una empresa, sin diferenciar si es del sector real o del sector financiero. De todos esos riesgos, la tesorería está encargada directamente ó indirectamente, del manejo de tres: el riesgo de mercado, el riesgo de liquidez y el riesgo de crédito. Para el manejo del riesgo de mercado utiliza los mercados de opciones, forwards y swaps con que cuenta el sistema financiero. Para el manejo de la liquidez utiliza los Repos, fondeos, papeles comerciales, bonos, CDT o acudir al mercado interbancario. Algunos de estos instrumentos para el manejo de la liquidez son propios del sistema financiero, tales como Repos con el Banco Central, CDT o créditos interbancarios. Para el manejo del riesgo de crédito puede hacer uso de los derivados de crédito, mercado este que ha tenido un crecimiento explosivo en los últimos años en Estados Unidos y que se espera llegue pronto a desarrollarse en los mercados latinoamericanos.

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

Riesgo operacional

Riesgo Financiero

Mal funcionamiento de máquinas o sistemas

. Cambio en el costo del capital . Tasa de cambio . Tasa de interés . Default de la deuda

Riesgo Crediticio . Default en sus inversiones . Default en los créditos otorgados

Riesgo Legal . Demandas por mal empleo del producto . Mala interpretación de contratos

1.6

Riesgo Impuestos . Incremento de impuesto a la renta . Incremento de impuesto a las ventas . Impuesto al Patri. . 4x1000

RIESGO TOTAL Riesgo De liquidez . Tener los recursos para asegurar el normal funcionamiento del negocio

Riesgo Regulatorio . Fin de subsidios. . Fin de protección a importaciones . Nueva ley del mdo. de capitales.

Plataformas de Transacción

Aunque mercados como el spot peso/dólar cuentan ya con plataformas transaccionales en Colombia, el mercado de derivados, incluyendo el más líquido de ellos que es el de forwards, todavía no cuentan con sistemas transaccionales que contribuyan a la mayor eficiencia y transparencia. El teléfono continúa siendo la principal vía de comunicación entre los agentes de este mercado. Una plataforma que permita a los usuarios de estos derivados contar con cotizaciones en línea sin duda les daría más confianza sobre los verdaderos costos de mercado de estos instrumentos y así podrían usarlos con mayor intensidad. Igualmente es evidente la importancia de crear una cámara de compensación en donde puedan transarse derivados de manera estandarizada y teniendo como contra parte en las operaciones dicha cámara de compensación. Esto invitaría a muchas más entidades a participar de este mercado, quienes hoy no lo hacen por temor a incurrir en riesgos de crédito con contra partes tanto del sector real como con sus pares del sector financiero. 1.7

Estado actual de la normatividad en Colombia

El mercado de derivados en Colombia en la actualidad se encuentra sobre regulado tanto por el Banco de la República por la Superintendencia Financiera1. La Circular 008 del Banco de la 1

Antes de la fusión de la Superintendencia de Valores y la Superintendencia Bancaria, en lo que se llamó la Superintendencia Financiera, la regulación de este mercado la daba la Superintendencia Bancaria.

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República por ejemplo, condena a los intermediarios del mercado cambiario a no poder participar del mercado de derivados sobre bienes básicos (commoditties) como petróleo, energía, carbón o acero, para sólo mencionar algunos, ni tampoco participar del mercado de derivados de crédito. Quiere decir que sólo se les permite actuar en el mercado de derivados de tipo de cambio pero incluso ahí también existen muchas restricciones, pues con la excusa de evitar una mayor revaluación del peso frente al dólar se han puesto muchas condiciones a las operaciones de compra de divisas vía forward por parte del sector real. Igualmente la Superintendencia obliga a las entidades financieras a contabilizar las opciones de tipo de cambio a una volatilidad que en la mayoría de las ocasiones nada tiene que ver al menos con la volatilidad histórica del mercado. Aunque no existen restricciones, al menos explícitas, por parte del regulador para hacer derivados sobre tasa de interés, la no existencia de una verdadera tasa de interés de referencia hace que para las entidades financieras no sea viable participar por el momento de este mercado. En el mercado se han hecho algunos swaps de tasa de interés de largo plazo, intercambiando la tasa de interés DTF por la variación del IPC (Índice de Precios al Consumidor). Para que el mercado de derivados de tasa de interés pueda desarrollarse es necesaria la creación de una tasa que refleje el verdadero costo del dinero para las entidades financieras. Aunque la DTF debería cumplir este objetivo, tiene algunos problemas, entre ellos: i) Solo tiene en cuenta las captaciones a 90 días ii) Mezcla captaciones a través de agencias y a través de Tesorería iii) En el cálculo se tienen en cuenta por igual entidades con muy distinta calificación crediticia Con estas distorsiones la tasa a la que la mayoría de entidades financieras captan a 90 días puede estar muy distante de lo mostrado por la DTF. Por el momento puede argumentarse que no es necesaria la creación de una nueva tasa de interés de referencia, pero sí que se revise el cálculo de la DTF por parte del Banco de la República. Todo lo anterior ha generado, como ya se mencionó, que el mercado de derivados sobre tasa de interés en Colombia (y lo mismo puede decirse para otros países de la región como Perú o Centro América) se encuentre muy poco desarrollado en comparación con el mercado de derivados de tipo de cambio. Esta situación sin embargo es contraria a la forma en que se ha dado el desarrollo del mercado de derivados en otros países del mundo, donde el mercado de derivados sobre tasa de interés es considerablemente más líquido que el mercado de derivados cambiario. La gráfica de abajo muestra el volumen promedio diario transando en los mercados mundiales de derivados de tasa de interés. El dato que aparece encerrado en un círculo corresponde al promedio diario transado en los mercados mundiales en derivados de tipo de cambio. Como se ve, la diferencia es enorme a favor de los derivados de tasa de interés, cosa que no ocurre en Colombia, tal como se aprecia en la gráfica 1.5.

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

Gráfica 1.5 Promedio diario de derivados de tasa de interés transado en los mercados mundiales.

Miles de Millones de dólares

1,200 FRA

1,000

Swaps

Opciones

TOTAL

800 600 400 200 0 1995

1998

2001

2004

Fuente: Bank for International Settlements

1.8

Derivados de crédito

Los derivados de crédito se refieren a la posibilidad de estructurar productos financieros cuyo subyacente sean instrumentos de crédito como pagarés ó bonos. No existe ninguna razón para considerar que el sector financiero es el único que pueda tomar riesgo crediticio. Para los fondos de pensiones este segmento abriría nuevas posibilidades de inversión, pues les daría acceso a emisores que pueden ser de muy buena calidad crediticia y que aun no han salido al mercado de capitales. Este es un mercado que ha mostrado un crecimiento explosivo en los últimos años en los mercados desarrollados y sin duda que en economías emergentes igualmente existe un potencial enorme para este tipo de instrumentos. Se requiere sin embargo, y tal como ya se mencionó, que el Banco de la República regule dicho mercado permitiendo su desarrollo. La gráfica 1.6 muestra la evolución del volumen transado en derivados de crédito en el mundo.

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

Gráfica 1.6 Evolución del volumen transado en el mundo en derivados de crédito

14.000

12.430

12.000 10.000

8.422

8.000 6.000 3.779

4.000 2.192 2.000

919

0 2001

2002

2003

Fuente: Bank for International Settlement Nota: Cifras en miles de millones de dólares

2004

1S2005

Capítulo 1 - El Mercado de Derivados

Lecturas Adicionales Grinblatt, Mark y Sheridan Titman. 2000. Financial Markets and Corporate Strategy. Ed. Irwin/McGraw-Hill. Meulbroek, Lisa K. A Senior Manager’s Guide to Integrated Risk Management. Journal of Applied Corporate Finance. Winter 2002. Van Horne, James C. 1994. Financial Market Rates & Flows. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

CAPÍTULO 2 Medición del riesgo de mercado en papeles de renta fija: Duración, Convexidad y Análisis DV10 2.1

Duración de Macaulay

El precio de un bono depende de manera importante de la tasa de interés y en esta medida, cambios en los intereses afectarán el precio de los bonos. Ese cambio en la tasa de interés va a afectar los bonos en mayor o menor intensidad, dependiendo también de la vida promedio del bono. Para ilustrar esto suponga que se tienen dos bonos exactamente iguales, excepto porque el primero tiene un plazo de 5 años a la madurez, mientras que el segundo bono tiene 7 años al vencimiento. El cupón para ambos es del 10%, pagado semestralmente y la estructura de tasas de interés del mercado está plana en el 12% efectivo anual (E.A). El precio del primer bono es de 92,64% mientras que el precio del segundo bono es de 90,71%. Qué pasa si para ambos bonos asumimos que la tasa de interés sube 1% a todos los plazos?. ¿Cuál reaccionará más a este incremento en la tasa de interés?. Para el bono de 5 años de plazo, el nuevo precio será de 89,22%, mientras que para el bono de 7 años el nuevo precio será de 86,48%. Mientras que el precio para el bono de 5 años cayó en 342pb, la caída en el precio del bono de 7 años fue de 423pb. Mientras mayor sea la vida promedio de un bono, mayor será la sensibilidad ante variaciones en la tasa de interés. La pregunta que surge entonces es: Cómo calcular la vida promedio de un bono, lo cual determinará la sensibilidad a variaciones en la tasa de interés?. La respuesta a esto la hallamos en la Duración de Macaulay. Existen varios tipos de duración. La más básica de todas es la que se conoce como Duración de Macaulay (DM), definida como la vida promedio de un papel, de acuerdo a los flujos que genera el mismo. La expresión general para la duración de Macaulay es:  N tk (C / m)  tN    (1  y / m) k   (1  y / m) N  Duración de Macaulay   K 1 P



Donde:

m tk y N C

= = = = =

(2.1)

Número de pagos al año que tiene el Bono Número de años hasta el k-ésimo cupón Yield del papel Nominal Vencido Número de cupones al vencimiento Cupón anual que paga el bono

Así por ejemplo, si tenemos un bono con una madurez de tres años que paga un cupón fijo del 10% en forma semianual y al final paga el 100% del principal, la duración de Macaulay será:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

100 5%

DM  0,5  5%  Z1  1,0  5%  Z 2  1,5  5%  Z3  2,0  5%  Z 4  2,5  5%  Z5  3,0  5%  Z 6  3,0 1 Z 6   6   5%  Z i   1 Z 6    i 1 



En este caso se ha llamado Z k 

1 y  1    m

Altura del contenedor

Nivel de agua

La Duración de Macaulay se da entonces en términos de años. Para explicar el concepto de Duración de Macaulay en términos físicos, ésta puede entenderse como el punto de equilibrio de una barra cargada con contenedores de agua, donde el valor del pago en cada período corresponde a la altura del contenedor y el valor presente de dicho pago corresponde al nivel al que está lleno de agua cada contenedor.

Duración de Macaulay

Ejemplo 1: ¿Cuál es la duración en años de una deuda a par por 4 años y un monto de COP$10.000 millones que paga un interés del 8% semestre vencido? Como es par, el valor presente es igual al valor facial. Por lo tanto y = C = 8%

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

0,5  0,08 / 2 1 0,08 / 2 1,5  0,08 / 2 2  0,08 / 2 1 2 3 (1  0,08 / 2) (1  0,08 / 2) (1  0,08 / 2) (1  0,08 / 2) 4 DM     1 1 1 1 2,5  0,08 / 2 3  0,08 / 2 3,5  0,08 / 2 4  (1  0,08 / 2) 5 6 (1  0,08 / 2) (1  0,08 / 2) (1  0,08 / 2)7 (1  0,08 / 2)8     1 1 1 1

DM = 2,07 Años

Ejemplo 2: ¿Cuál es la duración de Macaulay de un bono cero cupón a dos años de plazo, cuyo precio es de $0,98. El valor facial es de $1?. Basados en la ecuación (2.1) tenemos que los cupones son cero (C=0) por tratarse de un bono cero cupón. Igualmente puede obviarse m por la misma razón. Por lo tanto la ecuación queda reducida a:

tN (1  y ) N Duración de Macaulay  P Ahora, el precio de un bono cero cupón que paga $1 en un período N será:

P

1 Reemplazando esta expresión para P en la Duración de Macaulay nos deja (1  y ) N

finalmente con que: Duración de Macaulay = tN. Quiere decir que la duración de Macaulay de un bono cero cupón no es más que la vida del bono; así, la Duración de Macaulay de este bono cero cupón será de 2 años.

2.2

Duración en Unidades Monetarias

Otra medida de duración es la variación en el precio de un papel ante variaciones pequeñas en la dP tasa de interés, lo que en términos matemáticos se puede expresar como , es decir, la derivada dy del precio del bono con respecto a la tasa de interés. En este caso P se refiere al precio del bono y y a la tasa de interés. Esta se conoce como Duración en términos de pesos.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

dP/dy

Po P con duración

Yield

La duración en términos de pesos corresponde entonces a la pendiente el precio de un bono respecto al yield o la tasa de interés. Usando esta duración podrá determinarse el cambio en el precio de un papel tasa fija ante cambios pequeños en la tasa de interés. En la gráfica de arriba se muestra que utilizando duración, el cambio en el precio es sólo una aproximación, pues mientras el cambio real en el precio es de Po – P1 cuando la tasa de interés se mueve de yo a y1, el cambio en el precio calculado con duración es de ΔP.

2.3

Duración Modificada

Finalmente, la Duración Modificada corresponde a la expresión:  DURACIÓN 

dP dy P

Llamemos a esta duración simplemente DURACIÓN. Tenemos entonces que: P dP  y dy

Por lo que

 dP  y P    dy 

Dividiendo por P a ambos lados:   dP     P   dy    y P  P     

(2.2)

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

El término entre corchetes al lado derecho de la expresión (2.2) puede ser escrito también como:  dP     P  Esta expresión significa entonces cuántas veces es el cambio porcentual en el precio, el dy cambio en la tasa de interés. Por ejemplo, si dicho valor fuera de cuatro, quiere decir que el cambio porcentual en el precio es cuatro veces el cambio en la tasa de interés. Así, si la tasa de interés baja 100pb, el precio sube porcentualmente en 400pb.

Note que cuando se utiliza duración, se está simplificando diciendo que la relación entre precio y tasa de interés es una línea recta, cuando en realidad es una relación con cierta convexidad, tal como se muestra en la gráfica anterior. Para un instrumento financiero que pague cupones m veces al año, el precio es:

P

 (1  y / m) C/m

k 1



1 (1  y / m) N

 N (1/ m)(k )(C / m) dP (1/ m)( N )      k 1 dy (1  y / m) N 1   k 1 (1  y / m)



  1   N tk (C / m) tN      k N  (1  y / m)   1  y / m   k 1 (1  y / m)



 1   (Duración de Macaulay) Por lo tanto: Duración =  1 y / m 

Duración en Pesos = (Duración) (Precio)

Ejemplo: Suponga un Bono Par con 10 años a la madurez y un cupón del 13% pagadero anualmente DURACIÓN = 5,43 Para un incremento en el yield de 0,5%: ∆ y = 0,005 ∆ P ≈ – 5,43 (100) (0,005) ≈ – 2,7150

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

P + ∆ P = 100 – 2,7150 = 97,2850 El precio de un bono a 10 años, con un cupón anual del 13% y en yield del 13,50% será de 97,34 La diferencia entre el valor real y el cambio pronosticado por la duración es de 97,34 – 97,2850 = 0,055pb = 0,056% del precio real

2.4

Precio real de Bonos vs. Estimación basada en Duración

Suponga un bono par a 10 años con cupón anual y un yield del 13%. La duración de este papel es de 5,43.

Yield (%)

Precio del Bono

9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 13,00 13,50 14,00 14,50 15,00

125,67 121,98 118,43 115,04 111,78 108,65 105,65 102,77 100,00 97,34 94,78 92,33 89,96

Estimación Basada en Duración

Diferencia

121,70 118,99 116,28 113,57 110,85 108,14 105,43 102,71 100,00 97,29 94,57 91,86 89,15

3,97 2,98 2,16 1,47 0,93 0,51 0,22 0,06 0,00 0,05 0,21 0,47 0,81

Observe cómo la diferencia entre el precio real y el precio calculado con duración se va haciendo mayor en la medida en que la variación de la tasa de interés es mayor. En efecto, cuando la tasa de interés se ubica en 13,50%, es decir, apenas 50pb por encima de su nivel inicial que era del 13%, la diferencia entre el precio real y el calculado con duración es apenas de 5pb. Por el contrario, cuando la tasa de interés se ubica en el 9%, es decir, 400pb por debajo de su nivel inicial, la diferencia entre ambos precios en tan grande como de 397pb. Esto obedece a la curvatura de la relación entre precio del bono y tasa de interés. Cuando la variación en la tasa de interés es muy grande ya la primera derivada, que nos muestra un cambio siempre lineal, se aleja de manera importante del cambio real en el precio. Duración para varios Cupones y madurez de Bonos con Cupón Anual Suponga un Bono con un yield del 13%.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Cupón (%) 0,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00

2,66 2,45 2,43 2,41 2,39 2,38 2,36 2,35 2,33

Años a la Madurez 5

4,43 3,75 3,69 3,64 3,60 3,56 3,52 3,48 3,45

6,20 4,80 4,70 4,62 4,55 4,48 4,42 4,37 4,32

8,85 5,96 5,82 5,70 5,60 5,51 5,43 5,35 5,29

La duración más alta se presenta hacia la derecha y arriba, esto es, será más alta para bonos que pagan cupón bajo y con una vida muy larga. Por el contrario tendrán duración muy baja aquellos bonos con vida corta y alto cupón.

Duración para varios yields y madurez de Bonos con Cupón Anual Suponga un Bono con un Cupón del 13%.

Yield (%)

0,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00

2,72 2,49 2,46 2,44 2,41 2,39 2,36 2,34 2,31

Años a la Madurez 5

4,21 3,77 3,72 3,67 3,62 3,57 3,52 3,47 3,42

5,57 4,84 4,75 4,67 4,59 4,50 4,42 4,34 4,27

7,46 6,16 6,01 5,86 5,71 5,57 5,43 5,29 5,15

La duración aumenta hacia arriba y a la derecha, es decir, será más alta en bonos que tienen una vida larga y que se tranzan a una alta prima (bajo yield). Por el contrario la duración más baja la tendrán aquellos bonos con una baja madurez y que se trancen a descuento.

2.5

Cómo utilizar el concepto de Duración para cobertura de portafolios

Comencemos por estudiar dos definiciones básicas de Duración y yield, ya no para un papel en particular, sino para un portafolio de Bonos: Duración del Portafolio =

Duración de los Bonos ponderadas por el valor de cada Bono

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Yield del Portafolio =

Yield-to-Maturity de los flujos de caja de todos los Bonos en el Portafolio

Los dos puntos siguientes serán exactamente lo mismo únicamente cuando la curva de rendimientos (yield) es plana:

•Duración calculada como promedio ponderado •Duración calculada directamente con los flujos de caja combinados Ejemplo 4: Supongamos que tenemos un portafolio compuesto por dos Bonos con las siguientes características: B1 = 97,6954

Yield = 8,50%

B2 = 79,6169

Yield = 10,50% B1 + B2 = 177,3123

La madurez del Bono 1 es de 1 año mientras que la del Bono 2 es de 4 años. Ambos pagan cupones anuales, el Bono 1 del 10% y el Bono 2 del 4%. Duración del Bono 1 = 0,922 Años Duración del Bono 2 = 3,388 Años Participación del Bono 1 en el portafolio =

B1 = 55,10% B1  B2

Participación del Bono 2 en el portafolio = 44,90%.

Duración calculada como promedio ponderado = (0,5510) (0,922) + (0,4490) (3,388) = 2,0292 Años Flujos de Caja del Portafolio: 1.0 Años 114

2.0 Años 4

3.0 Años 4

4.0 Años 104

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Yield con flujos de caja combinados:

177,3123 

114 4 4 104    2 3 (1  y) (1  y) (1  y) (1  y)4

Yield = 11,02% Duración con los flujos de Caja combinados:

1  (1.0) 114 (2.0) 4 (3.0) 4 (4.0) 104     177,3123 (1  y)  (1  y) (1  y)2 (1  y)3 (1  y) 4  2.6

Duración de Notas Flotantes

En primer lugar definamos una nota flotante como aquella que paga cupones variables, ligados a la tasa de interés de referencia. Suponga por ejemplo el siguiente bono que paga un cupón variable, igual a la tasa de interés de referencia r.

100

rn−3

n−2 n−1 n

rn−2

rn−1

Empecemos a valorar este bono de atrás hacia adelante. En el momento n el pago es igual al nocional de $100 más el cupón, el cual será igual a la tasa de interés de referencia 1 vigente en el momento n − 1. A qué tasa descontar este flujo para obtener el valor presente en el momento n − 1? Pues al costo de oportunidad que se tendría en ese momento (n − 1) para una inversión a un plazo igual al tiempo transcurrido entre pago de cupones. ¿Cuál es ese costo de oportunidad? No es más que la tasa a la que podría invertirse a ese plazo en el momento n − 1. Y esa tasa deberá ser rn−1. Así las cosas, el valor presente en el momento n − 1 será: VPn 1 

100  100 rn 1 = 100 1  rn 1

El mismo procedimiento puede seguirse hasta llegar a que en el momento inicial, el valor de esta nota es par, es decir, es igual a 100. 1

Para el caso colombiano, por ejemplo, la tasa de interés de referencia puede ser la DTF. Recuerde que esta tasa es un promedio de las captaciones del sistema financiero. El plazo más líquido es el de 90 días.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Supongamos un bono que paga cupón m veces al año. Llamemos r la tasa de interés de referencia. Después de que la tasa para el primer cupón se ha fijado a r : P



N r /m (r / m) 1   k N r  k 2   r r  1   1  1     m  m  m

( r  r ) / m N ( r / m) 1   k N r  k 1   r r  1   1  1     m  m  m (r  r ) / m 1 r  1    m

   1 r  dP 1 m     2 dr m   1  r     m  

Si inicialmente r = r, y teniendo en cuenta que P = 1, entonces:

 dP       1  1 dr         P  m  1  r     m La duración inicial de una nota flotante con 1/m años al próximo reprecio de la tasa de interés = Duración de un cero cupón a 1/ m años de plazo. Por ejemplo, si es un bono que reprecia cada 6 meses: Duración Inicial = Duración de un Cero Cupón a 6 meses Cupón = Dos veces la tasa de interés de referencia (2r) Supongamos que la Nota paga cupón m veces por año Llamemos r la tasa de interés de referencia. Después de que la tasa para el primer cupón se ha fijado a r :

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

P



2r / m ( 2 r / m) 1   k N r  r  1   k  21  r  1     m  m  m



2(r  r ) / m ( 2r / m) 1   k N r  r  k 11  r  1   1       m  m  m



 N 2(r  r ) / m ( r / m) 1   2  k N r  r  1   k 11  r  1     m   m   m





P

  1   N  1  r    m 

2(r  r ) / m 1 2 N r   r  1   1     m  m

2(r  r ) / m 1 2 N r  r  1   1     m  m

r  1   dP 2  m N /m   2 N 1 dr m r r  1  1       m  m

Si inicialmente

r = r, entonces:

  dP   1 2 N /m  1  dr   N 1   r m  P  r 1    1   2  N  r  m    m  1    m

Capítulo 2 – Duración y Convexidad



1  (T iempoa la Madurez)(Precio Cero Cupón)   r   2  (Preciodel Cero Cupón)  1    m   1

Notas de doble flotación generalmente van a tener una duración negativa.

2.7

Duración y Valor Relativo

Cuando se está haciendo trading “apostándole” a cambios en la forma de la curva 2, también la duración se hace importante. Por ejemplo, suponga que se cree que habrá un empinamiento en la curva de tasas de interés. Según esto se deberá tomar una posición larga en los plazos cortos y una posición corta en los plazos largos de la curva. Las utilidades se harán si efectivamente la curva se empina, pero si hay un movimiento paralelo en la curva, no deberá hacerse utilidad ni pérdida. La forma de igualar las sensibilidades en las posiciones en la parte corta y la parte larga de la curva, es usando duración. Podemos escribir: Sensibilidadparte corta = Sensibilidadparte larga La Sensibilidad recordemos que la podemos escribir como: −P∙D∙Δy Por lo tanto Pcorta∙Dcorta∙Δy = Plarga∙Dlarga∙Δy Como el Δy que queremos simular es el mismo, podemos escribir: Pcorta Dl arg a  Pl arg a Dcorta

Por ejemplo, si usted cree en un empinamiento de la curva, comprará papeles de corta duración y se acortará en papeles de larga duración. Si Usted se alarga en $20.000 millones de valor facial en un bono a tres años cuya duración sea de 1,9, ¿En cuánto tendrá que acortarse en uno de 10 años cuya duración es de 5,65?. Rta: Plarga = Pcorta×Dcorta/Dlarga Plarga = $20.000mm×1,9/5,65 Plarga = $6.726 millones Deberá entonces acortarse en el papel de 10 años por un valor presente de $6.726 millones.

Valor relativo se conoce a la estrategia de trading en donde se hacen utilidades por cambios relativos en el precio de un activo respecto a cambios en el precio de otro activo. En este caso por ejemplo, se hacen utilidades si la tasa de interés de corto plazo se mueva hacia abajo y la de largo plazo lo hace hacia arriba (empinamiento). Si el movimiento es en la misma dirección en ambos plazos, no se hace ni utilidad ni pérdida.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

2.8

Duración de Tasas Clave (Key Rate Durations)

El lector podrá reconocer una desventaja con el análisis de duración, tal como se ha presentado hasta ahora y es que se asume que el movimiento de la tasa de interés es igual en todos los plazos, es decir, la curva de tasas de interés se mueve de forma paralela. El análisis de tasas clave PV10 permite conocer la variación del valor del portafolio cuando se mueven de manera independiente 10 puntos básicos las tasas de referencia del mercado. En realidad este análisis se conocer en la literatura anglosajona como DV01, queriendo decir los cambios en el valor del portafolio cuando las tasas de interés se mueven 1 punto básico. Sin embargo, en mercados en desarrollo las tasas generalmente no cambian 1 punto básico, sino que lo hacen más frecuentemente en múltiplos de 10pb. Por esta razón se rebautiza este análisis como PV10, significando las variaciones en el valor del portafolio cuando las tasas de referencia cambian 10pb. La duración de tasas clave no es un modelo de estructura de tasas de interés ya que ésta no especifica cómo las tasas de interés deberán moverse con el tiempo; más bien es un intento por obtener las duraciones con respecto al movimiento de algunas tasas clave en la curva de rendimientos del mercado. Obtener la duración de tasa clave tiene 2 pasos:

•

Seleccionar las tasas clave. Por ejemplo, para plazos menores a un año las tasas clave pueden ser las de 30, 60, 90, 180, 270 y 360 días. Para plazos mayores a un año puede tomarse la estructura de tasas de TES, según lo cual las tasas clave serían 1 año, 3 años, 5 años, 7 años y 10 años Describir cómo las otras tasas cambian cuando cambian las tasas clave. La regla es que el efecto de una tasa clave sobre otras tasas declina linealmente, llegando a cero en las tasas clave adyacentes.

Si un flujo está en un plazo intermedio entre dos tasas clave, la variación en la tasa que se sensibiliza será igual al cambio linealmente proporcional entre una variación de 10pb para esa tasa clave y cero en la tasa clave adyacente.

0,1%

30d 60d 90d 180d 270d 360d

Por ejemplo, si la tasa de 5 años sube en 10pb, ya que hay 2 años entre la tasa clave de 3 años y la de 5 años, en cada año la tasa subirá en 5pb. Así, la tasa de 4 años subirá en 5pb. Igualmente, entre la tasa clave de 5 años y la de 7 años hay 2 años de diferencia, por lo que la tasa de 6 años será 5pb menor a la de 5 años.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

d(i)

t(i1)

t(i1)

t(i)

d(N)

t(N1)

t(N)

Por ejemplo, si queremos saber la sensibilidad de un flujo que se presentará en 15 días cuando la tasa clave de 30 días cambia 10pb, debemos considerar un incremento en la tasa de 15 días de 5pb, pues este plazo está justo en medio entre los plazos de 0 y 30 días. Miremos el siguiente flujo y las tasas cero cupón a cada plazo: Plazo (Días) 20 110 200 290

100 5

20d

110d

200d

5 290d

Tasa (%) 8,0% 8,5% 9,0% 9,5%

El primer cupón se recibe en 20 días, el segundo en 110 días, el tercero en 200 días y el último más el principal en 290 días, para un precio de 112,2194. El primer flujo sólo tiene una tasa clave a sus lados, en este caso la de 30 días que está a su derecha y por lo tanto sólo se ve afectado cuando cambia esta tasa clave, siendo insensible a variaciones en las demás tasas clave.

x 0

10pb

20d 30d

10 pb x  30d 20d

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Por lo tanto x = 6,67pb. Esto quiere decir que la tasa de 20 días sube 6,67 puntos básicos cuando la tasa clave de 30 días sube 10pb. La nueva tasa de 20 días es de 8,0667%. El siguiente paso es recalcular el precio del bono cuando las tasas de los diferentes flujos son:

Plazo (Días) 20 110 200 290

Tasa (%) 8,0667% 8,5% 9,0% 9,5%

El nuevo precio en este caso es de 112,2192. La diferencia entre el precio original y este nuevo precio es la sensibilidad del bono a la tasa de 30 días, esto es, DV10 30d = 112,2194−112,2192=$0,0002 por cada $100 de valor nocional. En segundo lugar, suponga que la siguiente tasa clave, la de 60 días, sube 10pb. Ninguno de los flujos depende de movimientos en esta tasa clave. La siguiente tasa clave es la de 90 días, la cual afecta el segundo cupón.

10pb 60d

10 pb x  180d  90d 180d  110d

90d 110d

180d

Por lo tanto x = 7,78pb. Esto quiere decir que la tasa de 110 días sube 7,78 puntos básicos cuando la tasa clave de 90 días sube 10pb. La nueva tasa de 110 días es de 8,5778%. El siguiente paso es recalcular el precio del bono cuando las tasas de los diferentes flujos son: Plazo (Días) 20 110 200 290

Tasa (%) 8,0% 8,5778% 9,0% 9,5%

El nuevo precio en este caso es de 112,2191. La diferencia entre el precio original y este nuevo precio es la sensibilidad del bono a la tasa de 90 días, esto es, DV10 90d = 112,2194−112,2191=$0,0003 por cada $100 de valor nocional. El segundo flujo también se ve afectado cuando la tasa clave de 180 días cambia. En este caso tendríamos:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

10 pb x  180d  90d 110d  90d

10pb x 90d 110d

180d

Por lo tanto x = 2,22pb. Esto quiere decir que la tasa de 110 días sube 2,22 puntos básicos cuando la tasa clave de 180 días sube 10pb. La nueva tasa de 110 días es de 8,5222%. El siguiente paso es recalcular el precio del bono cuando las tasas de los diferentes flujos son: Plazo (Días) 20 110 200 290

Tasa (%) 8,0% 8,5222% 9,0% 9,5%

El nuevo precio en este caso es de 112,2189. La diferencia entre el precio original y este nuevo precio es la sensibilidad del bono a la tasa de 180 días, esto es, DV10 180d = 112,2194−112,2189=$0,0005 por cada $100 de valor nocional. El siguiente cuadro resumen las duraciones para las distintas tasas clave del bono considerado:

PV10 Flujo 1 Flujo 2 Flujo 3 Flujo 4 TOTAL

30d $0,0002 0 0 0 $0,0002

60d 0 0 0 0 0

90d 0 $0,0003 0 0 $0,0003

180d 270d 360d 0 0 0 $0,00050 0 0 $0,0019 $0,00050 0 0 $0,056 $0,0165 $0,0024 $0,0565 $0,0165

Como se nota, el bono no es sensible a los movimientos en la tasa de 60 días, mientras que el bono presenta la más alta sensibilidad a la tasa de 270 días.

Miremos ahora el siguiente ejemplo donde vamos a magnificar los movimientos en las tasas clave, asumiendo que suben 100pb (1%). Se trata de un bono a 10 años que paga cupones anualmente. Las características son las siguientes: Cupón Anual = 18.00% Madurez = 10 Años Precio = 100,1780 Si la tasa clave de 3 años sube 1%, tenemos:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Madurez Tasa Spot

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

Valor Presente Cambio en la tasa clave de 3 años

12,66% 15,36% 16,66% 17,38% 17,82% 18,11% 18,32% 18,48% 18,61% 18,70%

15,977980 13,524760 11,336740 9,483218 7,929507 6,629929 5,543353 4,634908 3,875377 21,242210

12,66% 15,36% 17,66% 17,38% 17,82% 18,11% 18,32% 18,48% 18,61% 18,70%

Valor Presente

15,977980 13,524760 11,050140 9,483218 7,929507 6,629929 5,543353 4,634908 3,875377 21,242210

El nuevo valor presente será: 99,8914. Por lo tanto la Duración de Tasa Clave a 3 años será de 0,2861 Miremos las duraciones de tasa clave para 7 años y 10 años: Si la tasa de 7 años sube 1%, se verán afectadas las tasas subyacentes de 6 años a la izquierda, y de 8 y 9 años a la derecha. Con el movimiento hacia arriba de la tasa de 7 años el nuevo precio del bono es de 99,3948, mientras que con el cambio en la tasa de 10 años el nuevo precio del bono es de 98,1750. Las Duraciones de Tasa Clave para 7 y 10 años, respectivamente, son de 0,7818 y 1,9994. Las nuevas tasas y precios se muestran en el siguiente cuadro: Madurez

1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

Cambio en la tasa Valor Presente clave de 7 años

12,66% 15,36% 16,66% 17,38% 17,82% 18,61% 19,32% 19,15% 18,94% 18,70%

15,9780 13,5248 11,3367 9,4832 7,9295 6,4640 5,2262 4,4315 3,7787 21,2422

Cambio en la tasa clave de 10 años

Valor Presente

12,66% 15,36% 16,66% 17,38% 17,82% 18,11% 18,32% 18,82% 19,27% 19,70%

15,9780 13,5248 11,3367 9,4832 7,9295 6,6299 5,5434 4,5319 3,6847 19,5329

La estimación de la Duración para la tasa clave de 3 años será: 99,8914 100,1780 100,1780   0,2861 0,01

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

La estimación de la Duración para la tasa clave de 7 años será: 99,3948 100,1780 100,1780   0,7818 0,01

Generalizando: Key Rate Durationi 

Donde:

Po P+ d(i)

P  Po Po  d (i)

= Precio del Bono con la actual curva spot = Precio del Bono con las tasas spot luego del cambio = Cambio en la i-ésima tasa clave

2.50

1.9994 Duraciónes de Tasas Clave

2.00

1.50

1.00 0.7818 0.6528 0.50 0.2861 0.1403 1

Período para Tasas Clave (Años)

2.9

Duración Efectiva

Tal como hemos visto hasta ahora la duración, esta representa en términos generales la variación del precio de un bono cuando cambia la tasa de interés y este cambio es igual sin importar si la tasa de interés se mueve hacia arriba o hacia abajo. Lo cierto es que dicha relación entre el precio de un bono y la tasa de interés en la mayoría de los casos no es simétrica y por lo tanto es válido tener en cuenta la variación en el precio cuando la tasa sube ó cuando la tasa baja.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

La Duración Efectiva tiene en cuenta esa asimetría de la relación entre el precio y la tasa de interés y se calcula como un promedio de la sensibilidad del precio del bono cuando la tasa de interés sube y cuando la tasa de interés baja. La expresión es entonces: DE 

P  P  2 Po 1  Po  ( y  y ) 2  

Donde:

PP+ Po y y+ y−

= Precio si el yield cae en ∆y = Precio si el yield se incrementa en ∆y = Precio Inicial = Yield Inicial = y + ∆y = y – ∆y

En la expresión de Duración Modificada el numerador es ΔP, que en la expresión de Duración Efectiva equivaldría a ΔP+ + ΔP– . Por su parte el denominador en la expresión de Duración Modificada es Po∙Δy, la misma que en la expresión de Duración Efectiva cuando tenemos en cuenta que reemplazando el denominador sería ½∙[(y + Δy) – (y – Δy)] = Δy.

2.10

CONVEXIDAD

La convexidad se refiere al grado de curvatura del precio con respecto a la tasa de interés. Puede también interpretarse como la velocidad a la que cambia la duración en términos de pesos. Recuerde que la duración en términos de pesos está dada por la expresión: dP dy

Por lo tanto la convexidad en términos de pesos está dada por: Convexidad en pesos 

d 2P dy2

dP como aproximación al precio, sólo funciona para variaciones menores en la dy tasa de interés, pues al trabajar con duración se asume que la relación entre precio y tasa de interés es lineal, cuando en realidad no lo es, tal como se observa en la gráfica de arriba. Cuando estas variaciones son del 2% o superiores existe una gran diferencia entre el precio así calculado y el precio real. Al incluir la convexidad se tiene en cuenta la curvatura de la curva y por lo tanto se obtiene una mejor aproximación al precio real del papel.

Cuando se utiliza

La siguiente gráfica muestra a qué se refiere la convexidad:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

dP/dy

Po P con duración

Yield Convexidad

Recordemos que  N (1 / m)(k )(C / m) dP (1 / m)( N )      k 1 dy (1  y / m) N 1   k 1 (1  y / m)



    N tk (C / m) 1 tN      k N  (1  y / m)   1  y / m   k 1 (1  y / m)



Por lo tanto: d 2P 1  N k (k  1) (C / m) N ( N  1)     2 2  k 2 dy m  k 1 (1  y / m) (1  y / m) N  2 



Donde:

m = Número de pagos al año N = Número de cupones al vencimiento

Cuando nos referimos a convexidad estamos tratando con la siguiente expresión:  d 2P   2  dy   Convexidad   P

(2.3)

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Ya habíamos mencionado que el término Duración se refería a la Duración Modificada. Por lo tanto la Convexidad no es lo mismo que la derivada de la Duración con respecto al precio. Más bien:  dP  d  dy P   d (Duración)   dy dy

Y por lo tanto:

     

d (Duración)  (Duración)2 – Convexidad dy

Adicionalmente,

d (Duración en pesos)  Convexidad en pesos dy

La expresión para la Convexidad se deriva de las series de expansión de Taylor. Recordemos que con base en estas series: f ( x)  f (a)  f ' (a)(x  a) 

f ' ' (a)(x  a) 2 f ( n 1) (a)(x  a)( n 1)  ...   Rn 2! (n  1)!

Para nuestro caso: x a f(x) f(a)

= = = =

y1 Po P1 Po

De tal suerte que: (Cambio en el precio del Bono en pesos) ≈ (Duración) (Precio) (Cambio en Yield) + (Convexidad) (Precio) (Cambio en Yield)2 / 2 Lo anterior puede escribirse también de la siguiente manera: P 1   D  y  C  y 2 P 2

(2.4)

La ecuación (2.4) tiene implicaciones muy importantes para un trader que maneja un portafolio de renta fija. El término (Δy)² se refiere a la volatilidad esperada en las tasas de interés. El precio al que se transa un papel en el mercado tiene implícita una expectativa sobre volatilidad de la tasa de interés. Si se compra este papel y al final la volatilidad resulta ser superior a la que dicho

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

papel tenía implícita, se habrán realizado utilidades. En caso contrario se habrá incurrido en una pérdida. El manejador de un portafolio de renta fija podrá entonces hacer dos apuestas: una a tendencia y otra a volatilidad. Si se espera una gran estabilidad en la tasa de interés, el cambio en el precio del bono debido a Duración no es importante y por lo tanto no hará diferencia entre tener una duración corta o una larga. Si se esperan cambios importantes hacia arriba en la tasa de interés, ∆y será positivo y por lo tanto, si la Duración es muy larga, el signo menos de esta hará que la caída en el precio del bono sea importante. Por el contrario, si se esperan caídas en la tasa de interés quiere decir que ∆y es negativo y con el signo negativo de la duración provoca un cambio positivo en el precio del bono, el cual será más grande mientras más larga sea la Duración. Para mirar el efecto de la Convexidad no va a importar hacia donde se mueve la tasa de interés. En este punto lo realmente importante es si va a haber movimiento o no. Como en la Convexidad el cambio en la tasa de interés está elevado al cuadrado, siempre tendrá el mismo efecto sobre el cambio en el precio sin importar si la tasa se mueve hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, si el trader espera que haya una alta volatilidad en la tasa de interés, mayor a la que el papel tiene implícita, pero no tiene claridad sobre en qué dirección se dará el movimiento, deberá buscar incrementar la Convexidad de su portafolio pues mientras más convexo sea, los incrementos en tasas son menos perversos, mientras que las caídas en tasas tienen un mayor efecto positivo sobre los precios. Por supuesto que la contraprestación a esto es que los papeles más convexos son más caros. Es importante aclarar que si dos portafolios tienen la misma duración modificada, no siempre va a ser mejor comprar el que tiene la convexidad más alta. La razón de esto es que la mayor convexidad se ve reflejada en un mayor precio del papel. Tomar una mayor convexidad se justifica sólo si se considera que la volatilidad implícita en el precio del papel es menor a la volatilidad futura.

2.11

Convexidad y rentabilidad de un bono

El primer paso consiste en tener un modelo para el retorno esperado. Llamemos al retorno esperado k. Podemos escribir k como: k = [Tasa libre de riesgo] + [Prima de riesgo] Si Δy* es la innovación, es decir, el cambio inesperado en las tasas de interés (yield), la tasa de retorno realizada proveniente de un cambio en el yield será: P  m  D  y*  ½  C  (y* ) 2 P

Donde: m = Tasa de retorno del bono si el cambio inesperado en el yield es de cero (Δy* = 0). D = Duración Modificada

(2.5)

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Necesitamos encontrar m de tal manera que la tasa de retorno esperada del Bono sea el nivel correcto, al que llamamos k. Obteniendo el valor esperado tenemos: E[R] = k = m − D∙E[Δy*] + ½∙C∙E[(Δy*)²] = m + ½∙C∙Var(y) m = k − ½∙C∙Var(y)

(2.6)

La expresión (2.6) puede interpretarse diciendo que el retorno que un bono gana si las tasas de interés no se mueven es MENOR mientras MAYOR sea la Convexidad. Reemplazando (2.6) en (2.5) llegamos a la expresión para el retorno real de un bono, la cual podemos escribir como: P  k  ½  C  Var ( y)  D  y*  ½  C  (y* ) 2 P

(2.7)

La expresión (2.7) puede ser escrita de la siguiente manera:



P  k  D  y *  ½  C  (y* ) 2  Var ( y) P



El impacto de la Convexidad en la tasa de retorno está dado por el término ½.C.[(Δy*)² − Var(y)] En conclusión, la Convexidad mide la sensibilidad de la tasa de retorno con respecto a las “sorpresas en volatilidad”.

2.12

Precio de un bono vs. estimación basada en Convexidad

Suponga un bono par a 10 años con un yield del 13%. La duración calculada es de 5,43 años y la convexidad de 43,37. El siguiente cuadro muestra una comparación entre el precio real y la estimación del mismo usando convexidad.

Yield (%)

Precio del Bono

9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50

125,67 121,98 118,43 115,04 111,78 108,65 105,65 102,77

Estimación Basada en Convexidad 125,17 121,65 118,23 114,92 111,72 108,63 105,64 102,77

Diferencia

0,50 0,33 0,20 0,12 0,06 0,02 0,01 0,00

Diferencia Calculada con Durac. 3,97 2,98 2,16 1,47 0,93 0,51 0,22 0,06

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Yield (%)

Precio del Bono

13,00 13,50 14,00 14,50 15,00

100,00 97,34 94,78 92,33 89,96

Estimación Basada en Convexidad

Diferencia

100,00 97,34 94,79 92,35 90,01

Diferencia Calculada con Durac.

0,00 0,00 -0,01 -0,02 -0,05

0,00 0,05 0,21 0,47 0,81

Igual que como ocurría con la duración, en el caso de convexidad también es cierto que en la medida en que el cambio en la tasa de interés sea mayor, mayor será también la diferencia entre el precio real y el precio calculado con convexidad. Sin embargo, observe cómo la estimación basada en convexidad arroja una estimación del precio muy cercana al valor real, aun ante cambios grandes en la tasa de interés, algo que como se comentó, no ocurre cuando sólo se tiene en cuenta la duración. Esto se debe a que la convexidad tiene en cuenta la curvatura de la función que relaciona precio con tasa de interés.

Convexidad para varios yields y madurez de bonos con cupón anual Suponga un bono que paga un cupón anual del 13%. El siguiente cuadro muestra la Convexidad para distintos períodos a la madurez y yields.

Yield 0,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00

3 10,50 8,87 8,69 8,51 8,34 8,18 8,02 7,86 7,71

Años a la Madurez 5 7 23,70 19,39 18,92 18,46 18,02 17,58 17,16 16,75 16,36

40,75 32,02 31,07 30,15 29,25 28,38 27,53 26,71 25,91

10 72,70 53,21 51,10 49,07 47,10 45,21 43,37 41,61 39,90

La convexidad aumenta hacia arriba y a la derecha, es decir, será mayor en aquellos bonos con una larga vida y que se trancen a una alta prima (bajo yield). Por el contrario la convexidad será muy baja para aquellos bonos que tienen una vida muy corta y que se trancen a descuento.

Convexidad para varios cupones y madurez de bonos con cupón anual Suponga un bono con un yield del 13%. Las Convexidades para varios cupones anuales y años a la madurez es:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Cupón

0,00 8,00 9,00 10,00 11,00 12,00 13,00 14,00 15,00

9,40 8,44 8,34 8,26 8,17 8,09 8,02 7,95 7,88

Años a la Madurez 5 7 23,49 18,77 18,39 18,05 17,73 17,44 17,16 16,91 16,67

43,86 30,96 30,12 29,38 28,70 28,09 27,53 27,02 26,55

10 86,15 50,02 48,33 46,85 45,55 44,40 43,37 42,45 41,62

La convexidad aumenta hacia arriba y a la derecha, es decir, será mayor para aquellos bonos con una vida larga y un cupón muy bajo. Por el contrario la convexidad será muy baja en aquellos bonos con una vida corta y que además se trancen a prima (alto cupón).

2.13

Convexidad Efectiva

Convexidad Efectiva (CE) es otra forma de medir la Convexidad. Se define como:

CE 

P  P  2 Po 1  Po  ( y   y  )  2 

Donde:

PP+ Po y y+ y-

= Precio si el yield cae en ∆y = Precio si el yield se incrementa en ∆y = Precio Inicial = Yield Inicial = y + ∆y = y – ∆y

Al igual que en la Duración Efectiva, la Convexidad Efectiva tiene en cuenta el hecho de que el precio del bono puede reaccionar de manera distinta cuando la tasa de interés sube que cuando la tasa baja. En resumen, esta expresión de Convexidad Efectiva es un promedio de las sensibilidades al alza y a la baja.

2.14

Cómo lograr una duración y convexidad objetivo con un portafolio de bonos

Suponga una curva de rendimientos plana, es decir, igual para todos los plazos. El objetivo es tener un portafolio que replique un bono par a cinco años que pague cupones anualmente. Un bono como estos tiene una Duración de 3,52 y una Convexidad de 17,16. Para lograr el objetivo contamos con dos bonos: un cero cupón a un año y uno par a 3 años. A continuación se muestran el Precio, Duración y Convexidad para cada uno de los bonos:

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Bono Bono Cero Cupón a 1 Año Bono Par a 3 Años Bono Par a 10 Años

Precio 88,4956

Duración 0,8850

Convexidad 1,5663

100,0000

2,3612

8,0184

100,0000

5,4262

43,3733

Convexidad del Portafolio = Convexidad promedio ponderada de los Bonos que componen el Portafolio Convexidad del Portafolio en Pesos = (Convexidad del Portafolio) (Valor en Pesos del Portafolio) Para ajustarse a una Duración y Convexidad objetivo: x y z

= Número de ceros cupón a 1 año = Número de Bonos a 3 años = Número de Bonos a 10 años

Escoja x, y y z de tal manera que

•

El Valor del Portafolio = Valor del Objetivo: 88,4956 x + 100 y + 100 z = 100

•

Duración en Pesos del Portafolio = Duración en Pesos del Objetivo: 0,8850 (88,4956) x + 2,3612 (100) y + 5,4262 (100) z = 3,52 (100)

•

Convexidad en Pesos del Portafolio = Convexidad en Pesos del Objetivo: 1,5663 (88,4956) x + 8,0184 (100) y + 43,3733 (100) z = 17,16 (100)

Solución: x = –0,4514

y = 1,2138

z = 0,1857

Esté largo en el Bono de 3 años y en el de 10 años. Esté corto en el Bono Cero Cupón a 1 año

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Ejercicios:

1. Suponga un Bono Flotante Inverso que funciona de la siguiente manera: Cada 6 meses durante la vida del Bono, la tasa del cupón que se va a pagar dentro de 6 meses es igual a 12% menos la tasa de interés de referencia. Por ejemplo, si la tasa de interés de referencia dentro de un año es 8%, entonces el cupón por cada peso de valor facial que se pagará dentro de un año y medio será: (0,12 – 0,08) / 2 = 0,02 Normalmente el cupón se quedará en cero si la tasa de interés se pone por encima del 12%, pero para este caso supongamos que el pago del cupón puede ser negativo. La tasa de interés es del 6%. El Bono tiene una madurez de 10 años y un valor facial de $100. Los precios y duraciones de 3 Bonos con madurez de 10 años y que pagan cupón fijo, cada uno con un valor facial de $100, son las siguientes: Cupón

Precio Duración

12,00% 6,00% 0,00%

144,63 6,5697 100,00 7,4387 55,37 9,7087

Los Bonos tienen un precio equivalente al valor presente de los flujos de caja, descontados a la tasa de interés de referencia. Cuál es el valor actual del Bono flotante inverso? Es la duración del flotante Inverso mayor o menor que la duración del Bono cero cupón a 10 años? 2. Uno de los clientes de su firma le ha pedido que construya un portafolio ajustado por duración. El objetivo es un Bono par a 20 años. El portafolio debe contener sólo dos tipos de papeles: el primero es un Bono par a 30 años; el otro es un contrato forward a un año sobre un Bono par de 10 años. El precio forward para este contrato es de $100. Todos los Bonos pagan cupón cada 6 meses y tienen un valor facial de $100. La curva cero cupón vigente está plana en el 8%, en términos semi-anual compuesto. Las duraciones de los Bonos son 6,7951 años para el de 10 años, 9,8964 años para el de 20 años y 11,3117 años para el de 30 años. Qué recomendación le daría a su cliente?

3. Cuál es la duración de un Swap de tasa de interés a 3 años de plazo en el cual Usted paga tasa fija anual del 10% cada 6 meses y recibe a cambio DTF. Suponga que la DTF semestre vencido actualmente es del 8% y que los flujos en tasa variable se descuentan a la DTF mientras que los flujos que están a tasa fija se descuentan al 9% a todos los plazos. 4. En la revista inglesa “The Economist” apareció el siguiente comentario en un artículo titulado “the temptations of yield” (las tentaciones del yield):

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

“Los precios de los bonos, de todas las clases y casi en cualquier parte, han aumentado en la medida en que también han aumentado los miedos de deflación. La inflación deteriora el valor de un instrumento que paga un cupón tasa fija con pago de principal al final, mientras que la deflación lo incrementa. Esta es la razón por la que los rendimientos de los bonos emitidos por el gobierno japonés, país este que ha sufrido de deflación en los últimos años, han caído hasta mínimos nunca antes vistos. Quienes compran los bonos emitidos por el gobierno japonés (inversionistas) a un plazo de 30 años actualmente disfrutan de un rendimiento de apenas el 1%; para quienes se invierten en estos bonos a un plazo de 10 años el rendimiento que alcanzan es apenas del 0,5%. Temores deflacionarios en Europa y Estados Unidos han tirado los rendimientos de los bonos de estos gobiernos al suelo. El rendimiento en un bono del gobierno de los Estados Unidos a 10 años es del 3,2%”. Nota: deflación es lo contrario de inflación. Así, mientras que cuando hay inflación los precios de los bienes suben, en presencia de deflación los precios bajan. Preguntas: Si definimos la tasa de interés real como rendimiento de los bonos menos inflación y asumiendo que los inversionistas tienden a mantener constante la tasa de interés real. a) Cuál es la relación entre rendimiento de los bonos e inflación y entre rendimiento de los bonos y deflación?. Cuál es la razón para que se de esta relación? b) Por qué afirma “The Economist” que los precios de los bonos han aumentado en la medida en que aumentan los miedos de deflación? c) Pensando en el caso colombiano, y de acuerdo con la lectura, que esperaría que le ocurriera a los TES si el Banco de la República logra bajar aun más la inflación? d) Suponga que los dos bonos del gobierno japonés que se mencionan en la lectura, el de 10 años y el de 30 años, se transan a par, pagando cupones una sola vez al año. La duración de Macaulay para el bono de 30 años es de 26,1 años, mientras que la misma duración para el bono de 10 años es de 9,6 años. Cuál es el precio esperado de cada uno de estos dos bonos si la tasa de interés a todos los plazos cae 0,1%? 5. Más adelante, el mismo artículo comenta: “…Inversionistas institucionales también han estado en una espiral de compras. Los pasivos de los fondos de pensiones y compañías aseguradoras generalmente son muy altos y a tasas de interés fijas. En la medida en que las tasas de interés caen, el valor presente de estos pasivos ________________. Pregunta: a) Complete la frase del artículo. b) En la medida en que estos inversionistas institucionales quieran cubrir el riesgo de tasas de interés, deberán buscar activos (inversiones) a largo plazo ó a corto plazo? Por qué?. Esas inversiones deberán pagar cupón fijo o variable? Por qué? c) Cree Usted que si estos inversionistas institucionales entraran en un swap de tasa de interés por medio del cual recibieran tasa de interés fija y entregaran tasa de interés variable, lograrían disminuir la sensibilidad de sus pasivos a la tasa de interés? Por qué?

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

6. Usted es un trader al que le atrae la compra de un bono a 5 años por un valor nominal de $10.000 millones, pagando cupones anuales del 10%. La TIR de compra es del 11%. Usted quiere tener un stop-loss para esta inversión por $300 millones. A qué nivel deberá subir la tasa de interés para llegar a su stop-loss y liquidar la inversión?.

7. Usted piensa tomar una posición basada en valor relativo. Esta consiste en estar largo en una parte de la curva y corto en otra, apostándole a un empinamiento o aplanamiento de la misma. Si usted cree que la curva va a empinarse, tomará una posición larga en la parte corta de la curva y una posición corta en la parte larga de la curva. Si Usted compra TES de 3 años por un valor facial de $20.000 millones, que pagan un cupón del 12%, en qué monto de valor facial tendría que acortarse en un TES de 10 años que paga cupón del 15% para quedar inmune por duración?. Asuma que la tasa de interés está plana en el 14%.

8. a) Cuál es la duración de una Nota Flotante a 2 años que paga tasa variable (DTF por ejemplo para el caso colombiano) cada 3 meses? Actualmente la DTF trimestre vencido es del 8%. Nota: los flujos variables se descuentan a la DTF. b) Cuál es el precio y la duración de una Nota Flotante que fue emitida a 2 años hace un mes y que paga DTF cada 3 meses? Actualmente la DTF Bimestre vencido es del 7%. El día de la emisión la DTF T.V. era del 8%. Nota: los flujos variables se descuentan a la DTF.

Capítulo 2 – Duración y Convexidad

Lecturas Adicionales Lyuu, Yuh-Dauh. 2002. Financial Engineering and Computation. Ed. Cambridge University Press. Tuckman, Bruce. 2002. Fixed Income Securities: Tools for Today’s Markets. Editorial John Wiley & Sons, Inc. Van Horne, James C. 1994. Financial Market Rates & Flows. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall.

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

CAPÍTULO 3 Estructura de las Tasas de Interés 3.1

Introduciendo Incertidumbre

El capítulo anterior mostró cómo el precio de un bono está determinado por duración y convexidad. Si el precio de los bonos depende de estos dos factores, la estructura de tasas de interés también está determinada por estos mismos dos factores. A continuación se hará una revisión de la manera en que estos dos factores participan en la determinación de la forma de la curva de tasas de interés. Suponga que la tasa de interés de 90 días, por ejemplo la tasa de los TES de 90 días para el caso colombiano, parte de un valor de 8%1 y dentro de 90 días puede tomar cualquiera de los dos valores que se muestran en el siguiente árbol: 8,5% ½

8% ½

7,5%

La probabilidad de un alza en la tasa de interés es igual a la probabilidad de una caída en la tasa de interés e igual a ½. Supongamos además que la tasa de los TES a 180 días es de 8,2%. El precio de un bono cero cupón a 180 días de plazo será entonces: 100/(1+8,2%)0,5 = 96,14 De acuerdo con la evolución de la tasa de 90 días, un bono que pague $100 dentro de 180 días tomará dos valores posibles dentro de 90 días. Esos valores son: 100/(1+8,5%)0,25 = 97,98

100/(1+7,5%)0,25 = 98,21

El valor esperado del bono dentro de 90 días será entonces: 1 1 (97,98) (98,21) 98,095 2 2

Descontando el valor esperado a valor presente, tenemos que es igual a : 98,095/(1+8%)0,25 = 96,23 1

Suponga que las tasas se dan en términos efectivos anuales

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Observe que este valor es distinto al precio de un bono cero cupón a 180 días que habíamos dicho es de 96,14. Esto quiere decir entonces que los inversionistas no valoran sus activos de acuerdo con el valor esperado y que al contrario, castigan el precio del bono a 180 días porque existe incertidumbre sobre el precio que dicho bono tendrá dentro de 90 días. En otras palabras, mientras que un bono a 90 días tiene un precio conocido dentro de 90 días, un bono a 180 días de plazo tiene un valor desconocido dentro de 90 días. De acuerdo con esas tasas de interés, el precio a seguir por un bono cero cupón que paga $100 dentro de 180 días será: 100 ½

97,98

100

96,23 ½

98,21 ½

100

El rendimiento que un inversionista obtiene en un bono a 90 días de plazo será del 8% con seguridad. Por su parte el rendimiento dentro de 90 días para un inversionista que compra un bono a 180 días de plazo será (97,98/96,23)1/0,25 – 1 = 7,5% con una probabilidad del 50% ó de (98,21/96,23)1/0,25 – 1 = 8,5% con una probabilidad del 50%. Aunque el valor esperado de este rendimiento es del 8%, es decir igual al del inversionista de 90 días, existe incertidumbre y por eso es preferible tomar un bono a 90 días cuyo precio al final de ese período es conocido. Esa diferencia entre el valor de un bono a 90 días de plazo y el valor presente del valor esperado dentro de 90 días de un bono a 180 días es la convexidad. La convexidad está asociada también con la volatilidad de la tasa de interés. En la medida en que la volatilidad sea más alta y por ende la incertidumbre, mayor será la convexidad que muestren las tasas de interés. Continuemos el árbol un período más suponiendo una volatilidad de 50pb en las tasas de interés en cada período del árbol que está más arriba. El árbol será:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

9,0% ½

96,00

8,5%

97,87

100

98,09

100

98,32

100

8,0%

8% ½

94,39 ½

7,5%

96,45 ½

7,0%

La tasa cero cupón a 180 días de plazo se calcula así: 96,23=100/(1+r2)0,5 de donde r2=7,999%. Quiere decir que la convexidad de la tasa de 180 días es de 0,1pb calculado como la diferencia entre la tasa así obtenida y el valor esperado de la tasa que ya se había comprobado, es del 8%. Por su parte la tasa de 270 días se obtiene como: 94,39 = 100/(1+r3)0,75 de donde r3=7,998%. En este caso la convexidad es de 8% – 7,998% = 0,2pb. En resumen, a mayor el plazo, mayor la convexidad para una volatilidad dada. Es claro que en este caso, en donde hemos asumido que la tasa a 90 días es del 8%, la tasa de 90 días dentro de 90 días tiene un valor esperado del 8% y la tasa de 90 días dentro de 180 días también tiene un valor esperado del 8%, entonces la tasa cero cupón a 270 días de plazo también será del 8%. Igualmente interesante es que dada esta convexidad, en la medida en que el plazo aumenta la tasa cero cupón se hace menor. Ya se tiene claro que a mayor plazo mayor convexidad. La pregunta entonces es, cuál es la relación entre volatilidad y convexidad. Supongamos que la volatilidad ahora es de 100pb, con lo cual un árbol de tasa de interés de 2 períodos sería: 10,0% ½

9,0% ½

8,0%

8% ½

7,0% ½

6,0%

Un bono que paga 100 dentro de 180 días tendrá dos posibles valores dentro de 90 días: 100/(1+9%)0,25=97,87 ó 100/(1+7%)0,25 = 98,32. Por lo tanto el valor esperado a hoy será:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

1 1  0,25  2 (97,87) 2 (98,32) /(1  8%) = 96,23. Así, la tasa cero cupón a 180 días de plazo será:   96,23 = 100/(1+r2)0,5 de donde r2 = 7,997%.

Este valor de r2 es menor que el valor de r2 obtenido cuando la volatilidad era de 50pb. Continuando con la misma metodología puede determinarse que el precio de un bono cero cupón que paga 100 dentro de 270 días será de 94,39. Por lo tanto la tasa cero cupón implícita a 270 días de plazo será: 94,39=100/(1+r3)0,75 de donde r3=7,994%. Del mismo modo que para r2, este valor de r3, calculado con una volatilidad de 100pb es menor que r3 calculado con una volatilidad de 50pb. Igual que como ocurría cuando la volatilidad era de 50pb, en la medida en que el plazo aumenta la tasa cero cupón se va haciendo menor. El hecho de porqué la relación entre precio de un papel de renta fija y tasa de interés está dada por una función convexa también puede ser interpretado de la siguiente forma: Si la estructura de tasas de interés del mercado sigue la forma típica de ser monotónicamente creciente con el plazo, entonces, al ser convexa la relación entre precio y tasa de interés, los inversionistas pagarían más por una combinación lineal entre un papel de corto plazo (rentabilidad y´) y un papel de largo plazo (rentabilidad y´´) de lo que realmente están pagando en el mercado por un papel con una vida promedio (rentabilidad y*). En la gráfica se ve cómo si tengo dos papeles cuyos períodos al vencimiento me arrojan dos tasas de rentabilidad que en promedio tenga la rentabilidad de un papel inicial (y*), al ser convexa la relación entonces los inversionistas castigan más la incertidumbre por tener el papel largo y por eso el precio del mercado será menor que el que se desprende de la combinación lineal. Precio (P)

y´ P´ P*

y´´ y*

3.2

Tasa de interés (y)

Convexidad y teoría de las expectativas puras

Para finalizar el tema de convexidad es importante relacionarlo con lo que se conoce como teoría de las expectativas puras, la cual nos permite conocer las tasas futuras implícitas. En otras palabras, nos dice cuáles son las tasas de interés futuras que están revelando las tasas de interés actuales. Esta teoría supone que un inversionista es indiferente entre invertirse a un plazo T obteniendo una rentabilidad de rT o invertirse a un plazo t (t<T) obteniendo una rentabilidad rt y

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

reinvertirse en t por un período τ∙(T = t + τ) obteniendo una rentabilidad rτ. Así las cosas tenemos que:

1  rT T  1  rt t  1  rτ τ rτ es la tasa que deberá estar vigente en el período t para un plazo τ. Despejando rτ tenemos:  1  rT T rτ   t  1  rt 

1/τ

   

–1

Por ejemplo, si la tasa de interés DTF en términos efectivos anuales a 180 días de plazo es del 8,20% y la DTF a 90 días de plazo es del 8,0%, la tasa DTF a 90 días vigente dentro de 90 días deberá ser:  1  DT F180 180    90 DT F90   90    1  DT F 90  

1/90

 1  8,2%180    1   90    1  8,0%  

1/90

 1  8,4%

Asumir como cierta la teoría de expectativas puras es asumir que no existe incertidumbre en las tasas de interés y que por lo tanto no existe tal cosa como la convexidad. A su vez asumir esto es asumir que como no existe incertidumbre, da lo mismo invertirse a 90 días que invertirse a 180 días y liquidar la inversión dentro de 90 días. La siguiente gráfica muestra cómo es una estructura de tasas de interés “típica”. Se presenta una “joroba” en los plazos más cortos y adicionalmente, a mayor plazo mayor tasa de interés.

Tasa

Tiempo Esta estructura de tasas de interés siempre producirán tasas futuras implícitas mayores a las tasas actuales del mercado. Lo anterior es importante porque al valorar bonos que pagan cupones variables se debe tener un supuesto sobre cuáles serán las tasas futuras. Utilizar la teoría de expectativas puras es una primera aproximación, pero es importante tener en cuenta las limitaciones con que cuenta. Por lo anterior se han desarrollado modelos de tasas de interés más elaborados, que tienen en cuenta

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

aspectos tales como la tendencia de la tasa de interés de revertir a la media y la volatilidad, entre otras. Dichos modelos permiten hacer una mejor estimación de la evolución de las tasas de interés que la obtenida con la teoría de las expectativas puras y será el tema a desarrollar en los dos capítulos siguientes.

3.3

Prima de Riesgo

En este punto dos conclusiones saltan a la vista. Primero, que en la medida en que la volatilidad aumenta la tasa cero cupón se hace menor para un mismo plazo. En efecto, mientras que para una volatilidad de 50pb la tasa de dos años era del 7,999% y la de tres años del 7,998%, para una volatilidad de 100pb la tasa de dos años es del 7,997% y la tasa de tres años del 7,994%. Segundo, que para una misma volatilidad, en la medida en que aumenta el plazo la tasa de interés baja. Pero…..un momento!!!; no es por todos conocido que la forma tradicional de la curva de tasas de interés es una en donde la tasa sube con el plazo?. Si al introducir volatilidad la tasa cae con el plazo, deberá haber otra “fuerza”, más grande que la volatilidad, que hace que la tasa suba con el plazo. Esta “fuerza” existe y es lo que se llama prima de riesgo. Traigamos de nuevo sobre la mesa el árbol en que se muestra la evolución del precio de un bono cero cupón a 180 días de plazo, el cual ya habíamos mostrado antes: 100 ½

97,98

100

96,23 ½

98,21 ½

100

Este árbol muestra que de acuerdo con las probabilidades reales el precio del bono esperado dentro de 90 días es de 98,09 y por lo tanto la rentabilidad esperada es de [98,09/96,23] 4 – 1 = 8,0%. Esta es la misma rentabilidad que obtendría dicho inversionista cuando compra un cero cupón a 90 días de plazo. Sin embargo existe una gran diferencia: mientras que si compra el cero cupón a 90 días de plazo obtendrá una rentabilidad del 8,0% con toda seguridad, si compra el papel a 180 días y lo vende dentro de 90 días, aunque espera una rentabilidad del 8,0%, en realidad esta será del 7,5% ó del 8,5%. Cualquier inversionista averso al riesgo va a preferir invertirse en un papel a 90 días de plazo a la madurez. Debido a esta incertidumbre sobre la verdadera rentabilidad en un período futuro es que los inversionistas exigen lo que se llama prima de riesgo por papeles con un mayor período a la madurez. Suponga que a 180 días de plazo se exige una prima de riesgo de 10pb. En tal caso las tasas de interés seguirán el siguiente proceso:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

8,6% ½

8% ½

7,6%

En este caso el precio del bono seguirá el siguiente proceso: 100 ½

97,96

100

96,20 ½

98,19 ½

100

En este caso el precio esperado dentro de 90 días del bono cero cupón a 180 días de plazo será: 1 1  97,96  98,19 = 98,07 2 2 Por lo tanto la rentabilidad esperada a 90 días de plazo para un bono que tiene un precio de 98,07 será: 4

1 1   2  97,98 2  98,21    1 = 8,10% 96,20    

De nuevo, un inversionista demandará una prima de riesgo de 10pb para invertirse en el papel a 180 días de plazo en lugar de invertirse a 90 días para luego reinvertirse durante otros 90 días luego al final de los primeros 90. Continuando con este proceso, el árbol de tasas de interés durante un período más sería:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

9,2% ½

8,6% ½

8,2%

8% ½

7,6% ½

7,2% Y el árbol del precio de un bono cero cupón a 270 días de plazo será entonces:

97,82

100

98,05

100

98,28

100

95,94

94,33 ½

96,38 ½

Dentro de 180 días el bono cero cupón que hoy tiene 270 días de plazo será un cero cupón a 90 días de plazo y tendrá un retorno conocido para ese período, de tal manera que el inversionista no podrá exigir prima de riesgo y por lo tanto el precio del bono podrá tomar cualquier de estos tres valores: [100/(1+9,0%)0,25] = 97,87 [100/(1+8,0%)0,25] = 98,09 [100/(1+7,0%)0,25] = 98,32 Sin embargo dentro de 90 días el cero cupón a 270 días será un cero cupón a 180 días con el riesgo de la incertidumbre sobre el nivel de las tasas de interés 90 días más tarde. En tal caso el inversionista podrá exigir una prima de riesgo, que para nuestro caso es de 10pb. Según esto los dos posibles valores que el bono puede tomar dentro de 90 días serán:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

1 1  97,87   98,09 2 2 = 95,98 (1  8,6%)0,25

1 1  98,09  98,32 2 2 = 96,43 (1  7,6%)0,25

Por lo tanto el retorno esperado del cero cupón a 270 días de plazo durante los siguientes 90 días será: 4

1 1   2  95,98 2  96,43    1 = 8,20% 94,33    

Note cómo en este caso, cuando el riesgo de plazo (180 días) es mayor que en el caso anterior (90 días), la prima de riesgo sube la tasa de retorno de 8,10% a 8,20%. En resumen, la prima de riesgo aumenta con el plazo, haciendo que la estructura de tasas de interés muestre una tendencia al alza en la medida que el plazo aumenta. Recuerde que la convexidad tiraba la estructura de tasas de interés hacia abajo, mientras que la prima de riesgo la tira hacia arriba. En la mayoría de las ocasiones la estructura de tasas de interés observada en el mercado muestra en efecto una tendencia al alza en la medida en que el plazo aumenta. Esto quiere decir entonces que la prima de riesgo ha dominado históricamente sobre la convexidad. Sin embargo, no existe en realidad una demostración matemática convincente como para creer que esto deba ser así.

3.4

Probabilidad Neutral al Riesgo

Visto así, pareciera que construir un árbol binomial de esta manera para valorar instrumentos financieros no es de mucha utilidad, debido a que como se mostró, los precios obtenidos no son iguales a los precios de mercado. En efecto, recuerde que mientras que el valor de un bono cero cupón a 180 días de plazo obtenido con el árbol binomial fue de 96,23 el valor de mercado es de 96,14. Más difícil aún es la aplicación de estos árboles en la valoración de derivados financieros cuando se utilizan las probabilidades reales. Por ejemplo, suponga una opción para comprar dentro de 90 días un bono cero cupón al que hoy le restan 180 días al vencimiento a un precio del 98% por un nocional de $1.000. Recordemos que un bono cero cupón a 180 días de plazo podrá tener dentro de 90 días dos posibles valores: uno de $979,8 en el estado alto ó uno de $982,1 en el estado bajo. De acuerdo con eso, la opción podrá tomar el valor de 0 en el estado alto ó $17,90 en el estado bajo. Se deberá entonces encontrar un portafolio compuesto por bonos cero cupón a 90 días y a 180 días, que tenga esos mismos valores de 0 en el estado alto y $2,10 en el estado bajo. Para encontrarlo llamemos Δ90 y Δ180 el número de unidades del bono cero cupón a 90 días y a 180 días, respectivamente, que deberán tenerse en el portafolio. Dentro de 90 días el precio del bono cero cupón a un plazo de 90 días es conocido e igual a $1.000. Por su parte, el bono cero cupón a 180 días de plazo, podrá tomar dos valores posibles dentro de 90 días: uno de $979,8 ó uno de $982,1. Así pues, el valor del portafolio dentro de 90 días podrá tomar dos valores posibles, de tal manera que replique exactamente el valor de la opción. Podemos escribir las siguientes dos ecuaciones:

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Δ90∙1.000 + Δ180∙979,8 = 0

(1)

Δ90∙1.000 + Δ180∙982,1 = 2,1

(2)

Despejando: Δ90 = –0,8946 Δ180 = 0,9130 Como el valor del bono cero cupón a 90 días es de $980,9 y el valor de un bono cero cupón a 180 días es de $961,4, entonces el valor de la opción será igual a: C = 0,9130  961,4 – 0,8946  980,9 = $0,2451 Observe que este valor no es igual al que se logra cuando se obtiene el valor esperado usando probabilidades reales, pues en ese caso tendríamos: C = [½  0 + ½  2,1] / (1 + 8%)0,25 = $1,03 En resumen, si utilizáramos las probabilidades reales, tendríamos que conocer el valor del portafolio replicante para poder determinar el valor de un derivado, en este caso una opción. Sería mucho más cómodo poder utilizar unas probabilidades que me permitan trabajar con el valor esperado de los pagos al buscar el valor de un derivado. En efecto, existe una manera de adaptar las probabilidades con el fin de que el valor esperado descontado a valor presente sea igual al precio de mercado. En lugar de tomar las probabilidades reales de ½ para movimientos al alza o a la baja llamemos p la probabilidad de un alza en la tasa de interés y (1 – p) la probabilidad de una baja en la misma, de un período a otro. El valor esperado en el tiempo 1 (dentro de 90 días) del bono a 180 días de plazo será p(97,98) + (1– p)(98,21) y el valor presente será: [p(97,98) + (1 – p)(98,21)] / (1+ 8%)0,25 = 96,14 Por lo tanto p = 0,88 Note que variando la probabilidad estamos obligando al árbol a adaptarse al precio de mercado del bono. Para el caso de nuestra opción, el precio de esta sería: C = [0,88  0 + 0,12  2,1] / (1 + 8%)0,25 = 0,2451 Este valor es igual al obtenido partiendo del portafolio replicante. Esta se conoce como la probabilidad neutral al riesgo. La diferencia entre la probabilidad real (½) y la probabilidad neutral al riesgo (0,88) se conoce en la literatura anglosajona como “drift”. Este concepto de drift se utilizará intensivamente en el capítulo dedicado a los modelos de tasas de interés.

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Trabajar con la probabilidad neutral al riesgo ofrece grandes ventajas debido a que no se hace necesario conocer a priori la composición del portafolio replicante para la valoración de derivados. En realidad tiene sentido utilizar una probabilidad neutral al riesgo porque para replicar un derivado siempre se utilizará el mismo portafolio, independiente de las preferencias que sobre riesgo tengan los inversionistas. Puede ser el más averso al riesgo de todos ó el más tomador atrevido de ellos, para ambos el portafolio que replica un derivado es el mismo. Al utilizar probabilidades neutrales al riesgo para generar árboles binomiales se evitan oportunidades de arbitraje que se generarían si se utilizan probabilidades reales. A continuación se muestran árboles que fueron construidos con probabilidades reales, los cuales, como se ve, generan posibilidades de arbitraje. Considere tres bonos cero cupón, cada uno pagando $100 en la fecha de vencimiento.

Bono

Años a la madurez

Precio

F G H

1 2 3

91 83 75

Supongamos que el precio de cada uno de los bonos muestra los siguientes movimientos:

Para el Bono F: 91

100

Para el Bono G:

100

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Para el Bono H:

100

84 75 81

Las tasas de interés de un año serán: 100/91 = 1,0989 100/92 = 1,0870 100/90 = 1,1111 100/93 = 1,0753 100/89 = 1,1236

9,89% 8,70% 11,11% 7,53% 12,36%

Y por lo tanto el movimiento seguido por las tasas de interés de un año será:

7,53 8,70 9,89

9,89 11,11

12,36 Este árbol fue creado tomando las probabilidades reales de 0,5 para que las tasas de interés suban y 0,5 para que bajen. Para verificar si existen oportunidades de arbitraje con este árbol así generado, suponga que se toma el Bono G como el objetivo y se crea un portafolio compuesto por F y H con la misma duración que G. A = Número de Unidades de F B = Número de Unidades de H

91 A + 75 B = 83 (1) 91 A + (3) 75 B = 2 (83)

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

A = 0,4560 B = 0,5533 Los valores después de un año serán:

Tasa de Interés

Objetivo

Portafolio

Baja

0,4560(100) + 0,5533(84) = 92,08

Sube

0,4560(100) + 0,5533(81) = 90,42

Como se ve, el movimiento en el precio de los Bonos que supusimos permite que se presenten oportunidades de Arbitraje.

3.5

Cómo proceder sistemáticamente creando árboles libres de arbitraje

La pregunta sobre el tapete ahora es cómo proceder sistemáticamente con esta metodología para crear árboles con muchos períodos y que no generen posibilidades de arbitraje. La siguiente parte del libro tiene dos etapas: la primera en donde se describe genéricamente un procedimiento para proceder sistemáticamente en la creación de árboles binomiales y segundo, cómo proceder a armar los árboles de acuerdo al modelo de tasas de interés escogido. Estos modelos permiten introducir incertidumbre para solucionar árboles de tasas de interés, los cuales a su vez se utilizan en la solución del precio de papeles que dependen del camino a seguir por la tasa de interés.

3.5.1

Cómo construir precios libres de arbitraje

Supongamos: GU =

Valor del Bono G después de un período si las tasas de interés se mueven hacia abajo

GD =

Valor del Bono G después de un período si las tasas de interés se mueven hacia arriba

HU =

Valor del Bono H después de un período si las tasas de interés se mueven hacia abajo

HD =

Valor del Bono H después de un período si las tasas de interés se mueven hacia arriba

Construyamos un portafolio conteniendo:

x unidades del Bono H y unidades del Bono F

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

x HU + y F (1 + r) = GU

(1)

x HD + y F (1 + r) = GD

(2)

Resolviendo para x y y: x

GU  GD HU  H D

y

GD HU  GU H D (1  r ) F ( HU  H D )

Si no hay oportunidades de arbitraje, el valor actual de dicho portafolio debe ser igual el valor actual del Bono G. xH + yF = G

3.5.2

Qué quiere esto decir sobre la manera en que los precios de los Bonos deberán moverse en el tiempo

Multipliquemos (1) por una constante  y (2) por una constante θ. Luego sumemos las dos:

 x HU +  x HD + (  +  ) y F (1+ r) =  GU +  GD Ya que

y F = G – x H,

x [  HU +  HD – (  +  ) (1 + r) H ] =  GU +  GD – (  +  ) (1 + r) G Ya que x = (GU – GD) / (HU – HD) ,

 HU  θ H D  (   θ )(1 r)H HU  H D

λ

 GU  θ GD  (   θ )(1  r)G GU  GD

λ puede tomar un valor diferente en cada nodo del árbol de tasas de interés, pero en cualquier nodo, el mismo valor de λ debe aplicar para todos los papeles que no tengan cupones y que dependan del camino que sigan las tasas de interés.

 ∙HU +  ∙HD – (  +  ) (1 + r) H = λ (HU – HD )           HU    H D  (1  r ) H  0       

Hagamos:

(  – λ) / (  +  ) = p

(  + λ) / (  +  ) = 1 – p

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

H = [p HU + (1 – p) HD] / (1 + r) Esta ecuación debe aplicar para todo papel cuyo precio dependa del camino que tome la tasa de interés y que no tenga cupones p y 1 – p deben ser no-negativos p y 1 – p pueden ser entendidas como probabilidades.

3.5.3

Para papeles que pagan cupones

En este caso aplican los mismos argumentos básicos CU =

Cupón recibido por el Bono H al final de un período si las tasas de interés bajan

CD =

Cupón recibido por el Bono H al final de un período si las tasas de interés suben

La ecuación fundamental es entonces: H = [p (HU + CU) + (1 – p) (HD + CD)] / (1 + r) Esta ecuación aplica para cualquier papel cuyo precio dependa del camino que sigan las tasas de interés

3.6

Procedimiento para muchos períodos

i =

Determina el estado en el árbol de tasas de interés. Número de movimientos al alza menos número de movimientos a la baja

j =

Índice de tiempo

2 2

1 i

0 -1 -2

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Zj = Pi,j =

Precio actual de un Bono Cero Cupón que paga $1 a madurez en el tiempo j Valor en el estado i y el tiempo j de un Bono Cero Cupón que madura en el tiempo j+1 pagando $1 a madurez P2,2 P1,1

Po,o

Po,2 P-1,1 P-2,2

Fi,j

Valor de un papel cuyo precio depende del camino que sigan las tasas de interés, luego de pagar cupón, en el estado i en el tiempo j

Ci,i+1,j+1 =

Cupón recibido en el tiempo j + 1 si se está en el estado i en el tiempo j y en el estado i + 1 en el tiempo j + 1

Ci,i+1,j+1 =

Cupón recibido en el tiempo j + 1 si se está en el estado i en el tiempo j y en el estado i + 1 en el tiempo j + 1.

Fi,j = Pi,j [pi,j (Fi+1,j+1 + Ci,i+1,j+1 + (1 – pi,j) (Fi–1,j+1 + Ci,i–1,j+1)] Para implementar esta metodología se deberá contar con un modelo de tasas de interés. El siguiente capítulo trata sobre cómo implementar dos de los modelos de árboles binomiales más populares, el Ho-Lee y el Black-Derman-Toy. El capítulo 5 por su parte hace un análisis más detallado de los diferentes tipos de modelos de tasas de interés, haciendo énfasis en modelos estocásticos, esto es, con un componente aleatorio.

Capítulo 3 – Estructura de las Tasas de Interés

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

CAPÍTULO 4 Modelos de Valoración en Árboles Binomiales 4.1

Introducción

Existen varios modelos de tasas de interés; unos asumen que las tasas siguen una distribución normal, otros asumen que existe un drift o tendencia que en algunos casos puede ser constante, mientras que en otros puede depender del tiempo. Igualmente otros modelos asumirán que las tasas tienen una reversión a la media y que la velocidad de dicha reversión puede variar con el nivel de la tasa. Este capítulo se concentra en los dos modelos de tasas de interés en forma de árbol más utilizados: Ho-Lee y Black-Derman-Toy, modelos estos que se conocen como de no arbitraje porque utilizan como input la actual estructura de tasas de interés del mercado, es decir, el árbol debe ajustarse para arrojar las tasas cero cupón observadas a cada plazo (Ho-Lee) o ajustarse no sólo para cumplir con lo anterior, sino también con la volatilidad mostrada por la tasa cero cupón a cada plazo. Para ambos modelos existe una versión estocásticos porque utilizan como variables explicativas factores como la volatilidad de las tasas de interés de corto plazo. Los modelos de tasas de interés en general, describen las tasas a cada plazo en función de la tasa de interés de corto plazo, en lo que se conoce como modelos de un solo factor, pues dependen sólo de la tasa de interés de corto plazo. Pueden incluirse otros factores para tener modelos de dos, tres o más factores. Quizás el modelo más sencillo describe el proceso seguido por las tasas de interés de corto plazo así: dr = σ∙dz

(4.1)

Donde: dr = cambio en la tasa de interés de corto plazo durante un período corto de tiempo dt σ = la volatilidad anual en términos de puntos básicos dz = un proceso aleatorio con media cero y desviación estándar

La forma discreta de (4.1) es: Δr = σ∙ t

(4.2)

Rescribiendo (4.2) tenemos: rt = rt–1 + σ∙ t Como el valor esperado del cambio en la tasa de interés es cero, cada vez que la tasa cambie puede hacerlo hacia arriba en una magnitud igual a σ∙ t o hacia abajo en la misma magnitud. Por lo tanto, en forma de árbol binomial luciría así:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

ro + 2σ t ro + σ

t ro

ro ro – σ

t ro – 2σ t

Sin embargo, este modelo es muy simple para explicar el movimiento de la tasa de interés de corto plazo. Una modificación para ajustarse mejor a la realidad es incluir un drift ó tendencia (µ) en el proceso de la tasa de interés de corto plazo. La expresión general para este proceso es: dr = µ∙dt + σ∙dz La forma discreta de este proceso sería entonces: rt = rt–1 + µ∙Δt ± σ∙ t

(4.4)

Traducido a un árbol binomial el proceso es el siguiente: ro + 2µ Δt + 2σ ro + µ Δt + σ

t

t ro + 2µ Δt

ro ro + µ Δt – σ t

ro + 2µ Δt – 2σ t

Aun un proceso como este puede parecer muy simplista para explicar la evolución de la tasa de interés de corto plazo que, como se ha dicho, puede ser la tasa de captación 90 días de las entidades financieras. Un proceso más realista debería incluir un drift ó deriva que dependa del tiempo y por lo tanto debería lucir así: dr = µ(t)∙dt + σ∙dz

(4.5)

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Pues bien, este proceso fue desarrollado por Ho-Lee y con ese nombre se conoce en el mundo de las finanzas1. A continuación se describe en detalle este proceso.

4.2

Modelo Ho-Lee

4.2.1

Características

 

El mayor beneficio del modelo Ho – Lee es su simplicidad La tasa de interés en cualquier momento es determinada como la tasa de interés un período anterior más o menos un choque externo Una implicación de este supuesto es que la distribución de probabilidad de la tasa de interés de corto plazo, en cualquier momento en el futuro, se puede aproximar a una distribución normal. Una desventaja del modelo Ho – Lee es que las tasas de interés pueden llegar a ser negativas Otra desventaja es que la volatilidad en puntos básicos de la tasa de interés de corto plazo no depende del nivel de la tasa de interés. En otras palabras, en promedio, la fluctuación aleatoria de la tasa de interés en cada período es un número constante de puntos básicos

  

4.2.2

Descripción del modelo

Si llamamos τ = Δt, la forma de árbol de (4.5) es:

r+ +   1/2

r 1/2

r+   

Note que la nueva tasa de interés de corto plazo se obtiene de sumar una constante multiplicada por el incremento en el tiempo, µ∙τ, a la tasa un período anterior, y sumándole o restándole otra constante multiplicada por la raíz cuadrada del incremento en el tiempo,   . El término µ∙τ se conoce como la tendencia en la tasa de interés. τ es medido en años y equivale al incremento en años de un período a otro en el árbol binomial. σ es la volatilidad o desviación estándar de la tasa de interés de corto plazo en puntos básicos. Como el shock en cada período se suma a la tasa de interés de corto plazo del período anterior, la nueva tasa puede tomar valores positivos o negativos. La probabilidad de un incremento en la tasa de interés de un período a otro es igual a la probabilidad de una caída e igual a ½.

El árbol lo pudiéramos continuar así:

El modelo Ho-Lee fue desarrollado inicialmente en su versión de árbol binomial.

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

r+(µ+µ’)t + 2   1/2

r+µ·t +  1/2

1/2

r+(µ + µ’)t

r 1/2 1/2

r+µ·t –   1/2

r+(µ + µ’)t – 2   Note que en cualquier momento del tiempo la expresión es la misma hasta antes del término que involucra la volatilidad. Por lo tanto llamemos: r+µ∙τ +µ’τ +......= bj El término que involucra la volatilidad varía en cada nodo. Por lo tanto llamemos la volatilidad en cada nodo ai Supongamos que: pi,j = ½ Pi,j = e

 a i  b j

Donde:

pi,j

= probabilidad de que las tasas de interés suban en el siguiente período

Pi,j

= Precio de un bono cero cupón en el estado i y el tiempo j que paga un peso en el siguiente período

= Volatilidad anual en puntos básicos de un bono cero cupón de corto plazo

Ahora llamemos Zj el precio en el tiempo 0 de un bono cero cupón que paga $1 en el período j.

Z1  Po,o  e bo

1 1  Z2  Po,o  P1,1  P1,1 2 2  

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

1 1   Z1  e a  b1  ea  b1  2 2 

1  1  e  b1 Z1  e  a  ea  2  2 Z  2 Z1

 b1

 1 a 1 a   2 e  2 e 

1

1  1 1 1  1 1  Z3  Po,o  P1,1 P2,2  Po,2   P1,1 Po,2  P 2,2  2 2  2 2  2  2 1 1 1 1  1 1   e  b o  e  a  b1  e  2a  b 2  e  b 2  e  a  b1  e  b 2  e 2a  b 2  2 2 2  2 2  2 1 1 1  1  e  b o e  b1 e  b 2  e  3a  e  a  ea  e3a  4 4 4  4 1

 Z  1 1  1 1 1  1  e  b 2 Z1  2   e  a  ea    e  3a  e  a  ea  e3a  Z 2 2 4 4 4 4     1 

Z 1 1   3  e  2a  e 2a  Z2  2 2 

b2

1

Solución General:

b j

Z j1  1 a j 1 a j  1  e  e  Z  2 2  j

Pi, j  e

 ai  b j

Z j1  1  a j 1 a j  1  a i  e  e  e Z  2 2  j

4.2.3

Ejemplos usando el Modelo Ho – Lee

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Ejemplo 1: Parámetro de volatilidad a = 0,012 Supongamos que: Z1 = 91 Z2 = 83 Z3 = 75 Po , o  91/100  0,910000 1

83  1  0,012 1 0,012  0,012 e  e  0,901143  e 91  2 2 

P1,1 

1

P1,1 

83  1  0,012 1 0,012 0,012 e  e  0,923032  e 91  2 2 

P2, 2 

75  1  0,024 1 0.024  0,024 e  e  0,881932  e 83  2 2 

1

Po , 2

75  1  0,024 1 0,024  e  e  83  2 2 

1

 0,903354

1

P 2, 2

75  1  0,024 1 0,024 0,024  e  e  0,925297  e 83  2 2 

La tasa de interés anual en cada período será: (1 / Pi,j) – 1 El movimiento de las tasas de interés de un año será:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

13,34 10,97 10,70

9,89 8,34

8,07

Volviendo a los Bonos F, G y H del capítulo anterior, el movimiento en el precio de estos será entonces: Para el Bono F:

100

Para el Bono G:

92,30

100

90,11

100

Para el Bono H:

92,53

100

90,34

100

88,23

100

84,40 75 80,46

Ahora supongamos que a = 0,018

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Po , o  91/100  0,910000 1

83  1  0,018 1 0,018  0,018 e  e  0,895672  e 91  2 2

P1,1 

1

P1,1 

83  1  0,018 1 0,018 0,018 e  e  0,928504  e 91  2 2 

P2, 2 

75  1  0,036 1 0,036  0,036 e  e  0,871098  e 83  2 2

P0, 2 

75  1  0,036 1 0,036 e  e  83  2 2 

1

 0,903029

1

P 2, 2

75  1  0,036 1 0,036 0,036  e  e  0,936130  e 83  2 2

El movimiento de las tasas de interés de un año será: 14,78 11,65 10,74

9,89 7,70

6,82

Comparado con los valores obtenidos con a = 0,012: 13,34 10,97 10,70

9,89 8,34

8,07

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Ejemplo 2: Cuál es el valor de una Nota Flotante a dos años de madurez que paga un interés máximo del 10% (Cap al 10%)? Supongamos que la tasa de interés de un año sigue el siguiente camino: 1

2 11,00

9,89 8,34

Como la tasa máxima permitida es del 10,0%, la tasa del nodo 1,1 que es del 11,0%, debe ser acotada en el 10,0%, con lo cual el árbol quedaría de la siguiente forma. 1

2 10,0

9,89 8,34

Por lo tanto los pagos de la Nota Flotante en dos años serán 110 ó 108,34. Si llamamos Fi,j el valor de la Nota Flotante en cualquier nodo, entonces: F1,1 = P1,1 (110) = 0,901143 (110) = 99,1257 F-1,1 = P-1,1 (108,34) = 0,923032 (108,34) = 100,0000 1 1  F0,0 = P0,0  (99,1257 9,89)  (100  9,89) 2 2  

= 99,6021

Ejemplo 3: Cuál es el valor de una Opción Call Europea2 a dos años de plazo sobre el Bono H con un Precio de Ejercicio de 90?

La opción Call Europea, como se explicará más adelante en este libro es una opción para comprar el bono en una fecha futura definida con anticipación, en este caso 2 años.

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Del ejemplo 1 recordemos que el movimiento del precio del Bono H es:

92,53 84,40 90,34

75 80,46

88,23 Llamemos Fi,j el precio de la opción Call en un momento y estado determinados. F2,2 = Max [88,23 – 90 ; 0] = 0 F0,2 = Max [90,34 – 90 ; 0] = 0,34 F-2,2 = Max [92,53 – 90 ; 0] = 2,53 1 1  F1,1  P1,1 F2,2  F0,2  2 2  1 1   0,901143 (0)  (0,34) 2 2    0,1532

1 1  F-1,1  P-1,1 F0,2  F- 2,2  2 2  1 1   0,923032 (0,34) (2,53) 2 2   1,3246

1 1  Fo,o  Po,o  F1,1  F-1,1 2 2 

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

1 1   0,91  (0,1532)  (1,3246) 2 2   0,6724 El movimiento en el precio de la Opción será: 2,53 1,32 0,34

0,67 0,15

4.2.4

Duración y Volatilidad en el Modelo Ho – Lee

Medida básica de volatilidad:

Desviación Estándar de la tasa de interés respecto al siguiente período

Volatilidad de F:  1   F   1  F  1  F   1,1    Ln 1,1   Ln 1,1    Ln   2  F  2  F   2 F     o,o    o,o   o,o  

1   F   1  F  1  F    Ln 1,1    Ln 1,1   Ln 1,1   2   Fo,o   2  Fo,o  2  Fo,o    



2 1/2

    

1 Ln F1,1  Ln F1,1 2

La tasa de interés compuesta continuamente de un período en el estado i en el tiempo 1 está dada por -Ln Pi,1. Por su parte la desviación estándar de la tasa de interés compuesta continuamente está 1 dada por Ln P1,1  Ln P1,1 . 2 La duración de F será:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

 dF    d (Ln F) dr    F dr 

(Ln F) [ Ln F1,1  Ln F-1,1]  r [ Ln P1,1  Ln P-1,1]

Volatilidad de F =

(Desviación Estándar de la tasa de interés) ∙ (Duración de F)

1 Ln P1,1  Ln P1,1 2 

1 Ln e -a -b1  Ln e a -b1 2



1  a  b1  a  b1 2

 a  Desviación Estándar de la tasa de interésde un período

4.2.5

Volatilidad y Duración para los Bonos cero cupón usando Ho – Lee

Si F es un Bono Cero Cupón que madura en el período n, la Volatilidad de F está dada por: 1 Ln F1,1  Ln F1,1 2 

1 Ln Z n / Z1  D1 e -a(n -1)  Ln Z n / Z1  D1 e a(n -1) 2

 a(n  1)

Duración de F = a (n – 1) / a = n – 1 = Tiempo a la madurez al final del período actual

4.3

Black-Derman-Toy (BDT)

Este modelo pertenece a la familia de los modelos Log-r que se verán con más detalle en el capítulo 5. A diferencia de Ho-Lee este modelo no permite tasas de interés negativas y además permite que la volatilidad de la tasa de interés varíe con el tiempo, capturando así la estructura de volatilidades real. Al igual que en Ho-Lee, la tendencia de la tasa de interés depende del nivel de la tasa de interés. Tenemos entonces que BDT se ajusta no solo a la curva cero cupón del mercado, sino

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

también a la estructura de volatilidad del mercado, dos razones para que este modelo sea llamado de no-arbitraje. Adicionalmente BDT es un modelo de reversión a la media. La idea es que cuando la tasa de interés está muy por encima de la media, el coeficiente de reversión a la media es negativo y muy grande. Por el contrario, si la tasa de interés está muy por debajo de la media, el coeficiente de reversión a la media es positivo y muy grande. La forma general de BDT es: dLn rt = [δo(t) – δ1(t)∙Ln rt]dt + σ(t)∙dzt

(4.6)

Donde: Ln rt

= Logaritmo natural de la tasa de interés de corto plazo en el momento t

σ(t)

= Volatilidad en puntos básicos de los cambios en el logaritmo de las tasas de interés en el tiempo t.

δo(t) y δ1(t)

= Parámetros que varían con el tiempo y que deben ser estimados

dzt

= Variable aleatoria que está normalmente distribuida con media cero y varianza dt

La ecuación (4.6) puede escribirse en forma discreta como: ΔLn r(t) = [δo(t) – δ1(t)∙Ln r(t)]Δt + σ(t)∙Δt∙W(t)

(4.7)

Donde: Variable aleatoria que está normalmente distribuida con media cero y varianza τ

W(t) =

De (4.7) se desprende que: rt 1  rt  e[ o (t ) 1 (t ) Ln rt ]t  (t )

t

(4.8)

Esta es la expresión que utilizaremos para construir el modelo BDT en forma de árbol.

4.3.1

Construcción del Modelo

Si llamamos: τ μ(t)

= Δt = δo(t) – δ1(t)∙Ln r(t)

Entonces (4.8) puede rescribirse para obtener: rt 1  rt  e  (t )  (t )



(4.9)

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Para ajustarse a la estructura de volatilidades del mercado, BDT le permite a la volatilidad de la tasa de interés de corto plazo variar de un paso del árbol al siguiente. El hecho de que la volatilidad pueda cambiar en el tiempo puede generar problemas porque se tendrían árboles que no recombinan, tal como se muestra a continuación:

r  e  

r  e (    ') 

  ' 

r  e (    ')  r  e (    ') 

  ' 



r  e  

  ' 



r  e (    ') 

  ' 

Donde τ es el incremento en años de un período a otro en el árbol binomial (Δt). A diferencia del modelo Ho-Lee donde el shock se suma a la tasa de interés, en BDT el shock se multiplica, y es justamente por esto que no se presentan tasas de interés negativas. La única forma en que este árbol recombina es que σ = σ’, pero justo lo que el modelo BDT quiere hacer es permitir que la volatilidad cambie. Para solucionar este problema se le permite entonces al drift μ cambiar según la tasa de interés se encuentre en un punto alto o en un punto bajo. El árbol será entonces:

r  e  

  ' 

r  e (    ')  r  e (    '') 

  ' 



r  e  

r  e (    ') 



r  e (    '')  r  e (   ')  

  ' 

  ' 

 r  e (    '') 

  ' 

  ' 

( ' ' ' )   2(   ' )

σ se conoce como la volatilidad proporcional, la cual es igual a la volatilidad en puntos básicos dividida por la tasa de interés.

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

4.3.2

Implementación del Modelo

A continuación se presentan dos maneras de implementar BDT. La primera es más intuitiva que la segunda, aunque esta última permite proceder sistemáticamente de una manera más directa.

Primera manera de implementación: En primer lugar consideremos el siguiente árbol binomial de la tasa de interés de corto plazo:

ruu ru r

rud rd rdd

ru y rd se refiere a los valores que la tasa de interés de corto plazo puede tomar un período después, mientras que ruu, rud y rdd son los tres valores que la tasa de interés de corto plazo puede tomar dentro de dos períodos. El primer paso es determinar cuál será la tasa de interés de corto plazo que se utilizará como referencia. Para el caso colombiano esta tasa puede ser la DTF de 90 días o en su defecto, la tasa de los papeles de deuda soberana (TES) a 90 días. Sin embargo, para efectos de ilustración sobre este tema, se va a construir el árbol de las tasas anuales, con pasos igualmente anuales. Tomemos como referencia las tasas cero cupón y volatilidades mostradas en el artículo original de Fischer Black, Emanuel Derman y William Toy. Plazo (años) 1 2 3 4 5

Tasa 10% 11% 12% 12,5% 13%

Volatiidad 20% 19% 18% 17% 16%

Por ejemplo, la volatilidad del 19% para un cero cupón de 2 años sirve para determinar los dos valores posibles que puede adquirir dentro de un año un bono al que entonces le faltará 1 año al vencimiento. Para determinar los posibles valores que tomará la DTF de 90 días dentro de 90 días necesitamos conocer el precio de un bono cero cupón a 180 días de plazo. En este caso, con datos anuales, si queremos conocer los dos posibles valores que puede tomar la tasa de interés de un año dentro de un año, necesitamos conocer el precio hoy de un cero cupón a 2 años.

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Comencemos entonces por determinar los dos posibles valores que puede tomar la tasa de un año dentro de año, los cuales hemos llamado ru y rd. 1

Llamemos Pu y Pd los dos posibles valores que puede tomar dentro de un año un cero cupón al que hoy le faltan dos años al vencimiento. Estos dos valores corresponden a descontar un flujo de $1 durante un período a las tasas ru y rd, respectivamente.

ru 1

r rd

Igualmente, un cero cupón al que hoy le faltan dos años al vencimiento podrá tomar dos valores posibles dentro de un año, dependiendo de su volatilidad. Dentro de un año, al bono cero cupón que hoy tiene dos años al vencimiento le faltará entonces un año al vencimiento y así podemos escribir:

r 

 2  Ln  u  Donde σ2 se refiere a la volatilidad del cero cupón a dos años, la cual es conocida. 2  rd  En nuestro caso, tenemos que: 19% 

1  ru  Ln   2  rd 

(4.10)

La otra ecuación es la ya comentada del precio del cero cupón. En este caso:

1 Pu  1  ru

1 Pu  Pd  1 y Pd  . Adicionalmente tenemos que 2  Z2 . 1  rd 1 r

Z2 se refiere al precio de un cero cupón a dos años. Según nuestros datos podemos escribir: 1 Pu  Pd  2  0,81162 1  10%

El valor de Z2 se calcula así: Z 2 

(4.11) 1 con y2 = 11%. 1  y2 2

De (4.10) y (4.11) tenemos que ru = 14,32% y rd = 9,79% El árbol va evolucionando así:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

14,32% 10% 9,79%

Para encontrar los valores de ruu, rud y rdd, necesitamos el precio y volatilidad de un cero cupón al que hoy le faltan tres años al vencimiento. El precio de este bono será Z3 y lo podemos calcular así: Z3 

1  0,71178 1  12%3

En esta ocasión, Pu significa el precio dentro de un año de un cero cupón al que en ese momento le van a faltar dos años al vencimiento, en caso de que dentro de un año la tasa cero cupón a 3 años de plazo suba. Por su parte Pd significa el precio dentro de un año de un cero cupón al que en ese momento le van a faltar dos años al vencimiento, en caso de que dentro de un año la tasa cero cupón a 3 años de plazo baje. El modelo BDT básicamente lo que hace es calcular los posibles valores de Pu y Pd de las dos maneras posibles3: i) partiendo de ruu, rud y rdd. ii) partiendo de los dos posibles valores que puede tomar la tasa cero cupón dentro de un año, los cuales están en función de 1 la volatilidad de dicha tasa.

· Pu

· Pd

y 

 3  Ln  u  Donde σ3 es la volatilidad de la tasa cero cupón a 2  yd 

1 3

Llamemos yu y yd, los valores que puede tomar dentro de un año la tasa cero cupón de tres años, que para entonces será una tasa de dos años. Conociendo la volatilidad de la tasa cero cupón de tres años es posible tener yd en función de yu así:

tres años. Reemplazando tenemos:

El Árbol A debe ser equivalente al Árbol B. Árbol A

Árbol B

ruu

yu rud

y yd 1

rdd

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

yu  yd  e2 3

Ya podemos construir la primera ecuación para Pu y Pd así: 1 y 1  yu 2 expresión para Pu así: Pu 

Pu 

1  y

1 d

 e 2 3

Pd 

1 1  yd 2

Como ya tenemos yu en función de yd,, podemos escribir la



El valor hoy de un cero cupón a tres años será el valor esperado entre Pu y Pd descontado un período a la tasa de corto plazo vigente hoy (en este caso la de un año, que en nuestro ejemplo es del 10%). Tenemos entonces: 1 Pu  Pd  2  Z 3 . Como Pu y Pd están en función de yd, podemos obtener los valores de yu y yd y por 1  10% lo tanto los valores de Pu y Pd.

Ahora utilicemos los valores de ruu, rud y rdd para obtener también Pu y Pd: Dentro de tres años un cero cupón al que hoy le faltan tres años al vencimiento tendrá un valor de $1 por cada $1 de valor facial. El valor de ese bono en el nodo b del árbol de arriba será: Pb 

1 1  ruu

Por su parte el valor de ese bono en el nodo c será: Pc  El valor en el nodo d será: Pd 

1 1  rud

1 1  rdd

El valor de Pu será pues el valor esperado entre Pb y Pc descontado un período a la tasa ru, la cual ya es conocida. Por lo tanto: 1 1 1     2 1  ruu 1  rud  Pu   1  ru

(4.12)

Por su parte el valor de Pd será el valor esperado entre Pc y Pd descontado un período a la tasa rd, la cual ya es conocida. Por lo tanto:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

1 1 1     2 1  rud 1  rdd  Pd  1  rd

(4.13)

Es posible tener rud en función de ruu o rdd, con lo cual tendríamos dos ecuaciones con dos incógnitas. En efecto, no conocemos la volatilidad de la tasa de interés de corto plazo dentro de dos períodos, pero sí sabemos que la volatilidad entre dos nodos consecutivos debe ser la misma. Por lo tanto: 1

r 

 x  Ln  uu  y también  x  Ln  ud  . En este caso σx es la volatilidad de la tasa de un año 2  rud  2  rdd  dentro de dos años. Igualando las dos ecuaciones llegamos a: rud  (ruu  rdd )1 / 2

Segunda manera de implementación: En general, BDT asume que las tasas de interés siguen una distribución log-normal y por lo tanto la variación en el logaritmo natural de la tasa de interés de corto plazo puede expresarse como en (4.7). Retomando esta ecuación: ΔLn r(t) = [δo(t) – δ1(t)∙Ln r(t)]τ + σ(t)∙ΔW(t) Donde: Ln r (t) =

Logaritmo natural de la tasa de interés de corto plazo en el momento t

σ(t) =

Volatilidad en puntos básicos de los cambios en el logaritmo de las tasas de interés en el tiempo t.

δo(t) y δ1(t) =

Parámetros que varían con el tiempo y que deben ser estimados

ΔW(t) =

Variable aleatoria que está normalmente distribuida con media cero y varianza τ

τ =

Δt

ΔLn r (t) = Ln r(t + τ) – Ln r (t) El logaritmo de las tasas puede ser expresado en forma binomial así:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

[ o (t )  1 (t ) Ln r (t )]   (t )   Con probabilidad 1/2  Ln r(t +  ) – Ln r (t) =   [ o (t )  1 (t ) Ln r (t )]   (t )  Con probabilidad 1/2 

Estado ALTO

Estado BAJO

Note que el término δo(t) – δ1(t)∙Ln r(t) aparece tanto en el estado ALTO como en el BAJO. Dicho término es el drift (μ[r,t]) del logaritmo de la tasa de interés de corto plazo. δ1(t) es una medida de la velocidad de reversión a la media en términos logarítmicos. En el tiempo t, si el logaritmo de la tasa de interés de corto plazo es Ln r(t), entonces en t+τ el logaritmo de la tasa de interés puede tomar cualquiera de los siguientes dos valores: [Ln r (t + τ)ARRIBA – Ln r (t)] = [δo(t) – δ1(t)∙Ln r (t)]∙τ + σ(t)∙ 

(4.14)

ó [Ln r (t + τ)ABAJO – Ln r (t)] = [δo(t) – δ1(t)∙Ln r (t)]∙τ – σ(t)∙ 

(4.15)

Haciendo (4.14) – (4.15) tenemos el spread entre las dos tasas de interés posibles en el tiempo t+τ como una función de la volatilidad del logaritmo de los cambios en las tasas de interés.: [Ln r (t + τ)ARRIBA – Ln r (t + τ)ABAJO]/2 = σ(t)



Para encontrar una forma de proceder sistemáticamente con BDT debemos retomar la ecuación (4.8), según la cual podemos decir que: r(t + τ)ARRIBA = r∙exp (μ∙τ + σ  ) y r(t + τ)ABAJO = r∙exp (μ∙τ – σ  ) Obteniendo el logaritmo natural a ambos lados y en ambos casos: Ln [r(t +τ)ARRIBA] = Ln[r(t)] + µ(t)∙τ + σ(t)  y Ln [r(t + τ)ABAJO] = Ln[r(t)] + μ(t)∙τ – σ(t)  Llamemos bj = Ln (r) + μ∙τ Donde j representa cada período de tiempo.

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Tendremos entonces que: Ln [r(t + τ)ARRIBA] = bj + σ(t) 

Ln [r(t + τ)ABAJO] = bj – σ(t) 

r(t + τ)ABAJO = exp(bj – σ(t)  )

Luego: r(t + τ)ARRIBA = exp(bj + σ(t)  )

Adicionalmente, como nos vamos a mover en un árbol binomial, cada nodo representa un estado, tal como se muestra en el árbol de más abajo. Los valores dentro del árbol corresponden al estado en el que se está, al cual llamaremos i. Note que el término que incluye la volatilidad σ(t)  suma en el estado ARRIBA y resta en el estado ABAJO. Esto puede sistematizarse haciendo que dicho término esté afectado por el estado en que nos encontremos en el árbol (i). Así: exp[bj + i∙ σ(t)∙  ] = r(t + τ)ARRIBA∙τ

si i = 1 para el primer período

exp[bj + i∙ σ(t)∙  ] = r(t + τ)ABAJO∙τ

si i = –1 para el primer período

2 ............n

. . .

2 n-1

1 0

0 -1 -2

. . . . .

-n

Podemos decir que exp[–r(t+τ)ARRIBA∙τ] es el valor presente en el tiempo t+τ de $1 recibido un período adelante si se está en el estado ARRIBA en el tiempo t+τ. Llamando Pi,j el valor presente en el estado i y el tiempo j de $1 recibido un período más adelante, y aj el término de volatilidad, podemos generalizar diciendo que:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

P i, j

 e e

a ib j j (4.16)

La ecuación (4.16) se entiende porque usando tasas continuas, el valor de un bono cero cupón (Pi,j) es, en términos generales: Pi,j = e–r∙τ. Como se acabó de mostrar, en BDT la tasa de interés está dada por exp[bj + i∙σ(t)∙  ]. Remplazando en el valor de Pi,j llegamos a la expresión (4.16). Note que el término σ(t)∙  , que representa la volatilidad en cada período, se ha llamado aj. A su vez aj y bj se escogen en conjunto para ajustarse a la curva de volatilidades del mercado y a la curva de rendimientos del mercado, respectivamente.

4.3.3

Cómo proceder sistemáticamente con esta metodología

Llamemos:

 i,j =

Valor en el tiempo 1 de un dólar recibido en el tiempo j si se está en el estado 1 en el tiempo 1 y en el estado i en el tiempo j.

θi,j =

Valor en el tiempo 1 de un dólar recibido en el tiempo j si se está en el estado –1 en el tiempo 1 y en el estado i en el tiempo j.

Σ  i,j∙Pi,j =

Valor en el tiempo 1 de un dólar recibido en el tiempo j + 1 si se está en el estado 1 en el tiempo 1.

Σθi,j∙Pi,j =

Valor en el tiempo 1 de un dólar recibido en el tiempo j + 1 si se está en el estado – 1 en el tiempo 1.

Valor en el tiempo 0 de un dólar recibido en el tiempo j + 1 =

1  1 Po, o   i , j   i , j  Pi , j 2  i 2 Debemos asegurar que en cada período nuestra estimación del valor del bono cero cupón sea igual al valor de mercado del mismo y que también en cada período, la volatilidad estimada sea igual a la volatilidad de los bonos cero cupón. La volatilidad derivada de un árbol binomial, en cada período de tiempo, está dada por: 1  Ln( 2

 i

i , j Pi , j ) 

Ln(





i , j Pi , j )



Y este valor deberá ser igual a la volatilidad observada para cada período, la cual es igual a:

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

  Vi , j Como la volatilidad es igual en cada nodo de un mismo período, podemos omitir el subíndice i y tendremos entonces que: 1  Ln( 2



i , j Pi , j )

 Ln(





i , j Pi , j )



   V j 1

(4.17)

Lo cual es cierto para todo j ≥ 1 Donde: τ

Fracción de año que dura cada paso del árbol

Vj+1 = Volatilidad (desviación estándar) del retorno de un bono cero cupón con j períodos restantes a la madurez al finalizar el actual período. Vale la pena insistir en que Vj+1 no es la volatilidad del yield, sino la volatilidad del retorno del bono cero cupón. La expresión (4.21) permite convertir la volatilidad del yield a la volatilidad del retorno del bono. Este término incluye la duración (modificada) que para un cero cupón se sabe que corresponde a: D

T 1  yield

donde T es el plazo en años del bono cero cupón

Adicionalmente, en cada período: 1  2

 i

i , j Pi , j







i , j Pi , j 





Z j 1 Z1

(4.18)

Lo anterior es cierto para todo j  1 a y b se obtienen en cada período, de tal manera que se cumpla con (4.17) y (4.18). Para esto se podrá usar cualquier método numérico como Newton Raphson. Para proceder sistemáticamente con i, j y con θi,j se tiene: 1 2

1 2

(4.19)

1 2

(4.20)

i , j  Pi 1, j 1i 1, j 1  Pi 1, j 1i 1, j 1 i , j  Pi 1, j 1i 1, j 1  Pi 1, j 1i 1, j 1 i, j = 0 para todo |i| > j

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

θi,j = 0 para todo |i| > j

1,1 = 1

1,1 = 0

θ1,1 = 0

 1,1 = 1

4.3.4

Volatilidad y duración en BDT

La volatilidad respecto al yield se relaciona con la volatilidad respecto al retorno mediante la expresión: Volatilidad Respecto al yield =

Volatilidad respecto al retorno ( yield )(Duración)

Del mismo modo que en el Modelo Ho – Lee, en este caso la duración está dada por: Ln(



i , j Pi , j ) 

Ln(



i , j Pi , j )

(14.21)

Capítulo 4 – Modelos de Valoración en Árboles Binomiales

Lecturas Adicionales Bali, Turan G y Ahmet K. Karagozoglu. Marzo de 1999. “Implementation of the BDT Model with Different Volatility Estimators: Applications to Eurodollar Futures Options”. The Journal of Fixed Income. Black, Fischer, Emanuel Derman and William Toy. Enero-Febrero de 1990. “A One Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options”. Financial Analyst Journal. pp 33-39 Meier, Iwan. “Estimating the Term Structure of Interest Rates and the Pricing of Interest Rate Derivatives”. Studienzentrum Gerzensee. 2000. Tuckman, Bruce. 2002. Fixed Income Securities. Editorial John Wiley & Sons, Inc.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

CAPÍTULO 5 Modelos Estocásticos de Tasas de Interés 5.1 Introducción Este capítulo es un complemento del anterior, expandiendo los modelos de Ho-Lee y BDT a todos los tipos de modelos de tasas de interés estocásticos conocidos hoy en día. Aunque no tiene un tratamiento matemático detallado de los modelos, sí busca explorar cuáles son los supuestos que residen detrás de ellos. Contar con un buen modelo de tasas de interés es quizás el primer paso para el manejo adecuado de derivados y es la base sobre la cual el ingeniero financiero fundamenta todo su análisis. Es por esto que se ha incluido este capítulo en las primeras páginas de este libro, aunque como el lector notará, no es ciertamente un tema introductorio, como se supone debería comenzar un libro de esta clase. Sin embargo, debido a que desde el comienzo vamos a estar remitiéndonos a estos modelos, es importante entender cuáles son y cómo funcionan. La ingeniería financiera está basada en gran parte en el arte de modelar tanto la evolución histórica de las tasas de interés como la curva de rendimientos del mercado en un momento dado. Aunque por momentos el tratamiento matemático que exigen estos modelos es complicado, son fundamentales para poder pasar a aspectos prácticos como el manejo de un portafolio de derivados.

5.2 Modelos En primer lugar es importante tener en cuenta qué es un modelo de tasa de interés. Para expresarlo en pocas palabras, es una forma de interpolar las tasas que el mercado transa para contar con un valor de tasa de interés cero cupón en cada plazo. Unos modelos crean una curva spot que se ajusta perfectamente a la estructura de tasas del mercado en ese momento, modelos estos conocidos como de no arbitraje. Otros modelos ajustan matemáticamente los valores conocidos para dar una forma razonable de la curva de rendimientos, pero sin preocuparse porque los valores de mercado coincidan perfectamente con los que la curva esté produciendo en ese momento. Estos últimos se verán con detalle en el capítulo 6. Existe una gran cantidad de modelos de tasa de interés sobre los cuales es difícil asegurar que uno es absolutamente mejor que el otro. En ciertas condiciones unos modelos se adaptarán mejor que otros a lo que se quiera medir. Lo que sí se puede afirmar es que un buen modelo de tasas de interés deberá permitir lo siguiente:   

Ajustar la dinámica de las tasas de interés de corto plazo, es decir, su velocidad de reversión a la media y su volatilidad La dinámica de toda la curva de rendimientos del mercado, es decir, el número y forma de los componentes que determinan dicha curva La dinámica en el precio de determinados instrumentos financieros

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

La siguiente tabla resume la clasificación de los modelos de tasa de interés y sus subdivisiones, aunque en este capítulo nos concentraremos en los llamados modelos Afines. 1. Modelos Afines. 1.1. Gausianos Ejemplo: - Vasicek (77) - Hull y White (90, 94) 1.2.

CIR (Cox, Ingersoll, Ross) Ejemplo: - CIR (85) - Hull y White (90) - Jamshidian (95)

1.3.

La familia de modelos de tres factores Ejemplo: - Vasicek y Fong (91)

Modelos de Media Dinámica Ejemplo: - Hull y White (90, 94) - CIR Extendido

3. Modelos de Mercado 4. Modelos de Precios Kernel 5. Modelos Positivos 6. Modelos Log-r Ejemplo: - Black-Derman-Toy

Todos estos modelos de tasas de interés buscan capturar la dinámica de la tasa de interés de corto plazo en todo momento y la estructura de tasas de mercado en un momento dado. En general se basan en un proceso de difusión cuya dinámica es representada por las ecuaciones diferenciales de Ito1. Estos modelos son variaciones del siguiente modelo general: dXt = μ(Xt)dt + σ(Xt) dzt

(5.1)

Donde: μ(Xt) σ(Xt) dzt

= drift o tendencia del proceso = desviación estándar del proceso = proceso aleatorio que describe un movimiento Browniano

Los modelos se diferenciarán entonces en la manera en que describan el comportamiento de μ(Xt) y σ(Xt). En unos μ(Xt) será constante, mientras que en otros será una función lineal de la tasa de interés, o incluso funciones de orden superior. Del mismo modo, unos modelos asumirán σ(Xt)

Ver capítulo 14 para una descripción de un proceso de Ito.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

como una constante, mientras que otros la tratarán como una función lineal de la tasa de interés e incluso otros como una función exponencial. Como se mencionó, en este libro se han incluido en los primeros capítulos los modelos de tasas de interés porque se hará referencia a ellos con mucha frecuencia. Sin embargo, y aunque todo el desarrollo del lema de Itô y la formulación de Black-Scholes son temas de capítulos posteriores, es importante mencionar que todos los modelos estocásticos para simular la tasa de interés de corto plazo se derivan de la aplicación de los conceptos de cobertura dinámica (dynamic hedging). En el caso de opciones sobre acciones, la cobertura dinámica se refiere a la posición en el activo subyacente (acciones) y la posición en bonos libres de riesgo que debe tomarse con el fin de replicar en todo momento el precio de la opción. Todo lo anterior parte del supuesto de que el precio del activo subyacente (en este caso una acción), sigue un movimiento Browniano Geométrico, el cual puede modelarse a través de la siguiente expresión: dS = S∙(µ – δ)dt + S∙σ∙dz

(5.2)

Donde: S = precio del activo subyacente µ = tendencia o drift del activo subyacente δ = dividendo σ = volatilidad del activo subyacente El caso para acciones es, sin embargo, distinto al caso para bonos, pues en estos últimos existe una condición de borde conocida, como es el precio de éste al vencimiento. La idea con estos modelos de tasa de interés estocásticos es entonces modelar la tasa de interés de corto plazo de tal manera que produzca una estructura de tasas spot a todos los plazos que no permita oportunidades de arbitraje, tal como lo mostró O. Vasicek (1977)2. En este caso la cobertura dinámica aparece porque se va a tratar de hacerle cobertura a un bono con una madurez determinada (T1) con una posición determinada en otro bono con madurez T2. La posición en el bono con madurez en T2 se financia con otra posición de corto plazo, la cual tiene una tasa de interés de r. Ambos bonos se considerarán cero cupón, pues finalmente un bono con cupones no es más que una agregación de bonos cero cupón. El Lema de Ito permite relacionar el precio de un derivado o de un bono, en función de las variables que los afectan. Por ejemplo, para el precio de una opción (C), el cual es función de S y t, podemos escribir: dC( S , t ) 

C 1  2C C dS  (dS ) 2  dt 2 S 2 S t

(5.3)

La ecuación (5.3) será tema del capítulo 14, pero vale la pena traerla al escenario tempranamente, con el fin de entender los modelos de tasas de interés. Podemos escribir (5.3) para el caso de un bono:

Vasicek, O. An Equilibrium Characterization Of The Term Structure. Journal of Financial Economics. 1977. pp. 177-188.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

dP(r , t , T ) 

P 1 2P P dr  (dr) 2  dt r 2 r 2 t

(5.4)

En este caso P(r,t,T) se refiere al precio de un bono cero cupón, el cual es función de la tasa de interés de corto plazo, r, y del tiempo. La ecuación (5.1) podría escribirse de la siguiente manera para la tasa de interés de corto plazo: dr = µ(r)dt + σ(r)∙dz

(5.5)

Donde dz sigue un proceso aleatorio con media cero y varianza t. Remplazando (5.5) en (5.4) y teniendo en cuenta el Lema de Ito llegamos a:  P 1  2 P P  P dP(r , t , T )    (r )   (r ) 2   dt   (r )dz 2  r 2  t r  r  

(5.6)

Llamemos al término entre corchetes a(r,t,T)∙P(r,t,T) y al término que acompaña a dz, b(r,t,T)∙P(r,t,T). Podemos escribir: dP(r , t , T ) = a(r,t,T)∙dt + b(r,t,T)∙dz P(r , t , T )

(5.7)

Recordemos que estamos cubriendo un bono cero cupón que madura en T1 con una cantidad determinada (M) en bonos cero cupón que maduran en T2, la cual está financiada con una posición de corto plazo. Este portafolio, al que llamaremos V, tiene el siguiente valor: V = P(r,t,T1) + M∙P(r,t,T2) + W

(5.8)

Donde W es la posición que se tiene a corto plazo. La variación de este portafolio está dada por la siguiente expresión: dV = dP(r,t,T1) + M∙dP(r,t,T2) + r∙W∙dt

(5.9)

M debe ser tal que la sensibilidad de la posición que se tiene en el bono que madura en T1 ante cambios en la tasa de interés de corto plazo deber ser igual a la sensibilidad de la posición que se tiene en el bono que madura en T2. Esto implica que el valor de V deber ser cero y podemos escribir: W = –P(r,t,T1) – M∙P(r,t,T2)

(5.10)

De (5.8) podemos extraer la siguiente expresión: P(r , t , T1 ) P(r , t , T2 )  M . r r

Despejando para M tenemos:

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

M 

P(r , t , T1 ) / r P(r , t , T2 ) / r

(5.11)

1 P(r , t , T )  (r ) . De esta expresión P( r , t , T ) r b(r , t , T )  P(r , t , T ) P(r , t , T ) b (r , t , T1 )  P(r , t , T1 ) . Según esto, M   1   (r ) r b2 (r , t , T2 )  P(r , t , T2 )

Recordemos

que

b( r , t , T ) 

tenemos

que

(5.12)

Como este portafolio de bonos está cubierto, tenemos que dV = 0. Remplazando (5.7) en (5.9) para P(r,t,T1) y P(r,t,T2), tenemos: 0 = [a1(r,t,T1)∙dt + b1(r,t,T1)∙dz]∙P(r,t,T1) + M∙[a2(r,t,T2)∙dt + b2(r,t,T2)∙dz]∙P(r,t,T2) + r∙W∙dt Remplazando el valor de M y el valor de W que aparecen en (5.12) y (5.10), respectivamente, y evitando momentáneamente los indicadores r,t,T, tenemos:  b P b P  0  [a1  dt  b1  dz]P1  1 1 (a2  dt  b2  dz) P2  r   P1  1 1 P2 dt b2  P2 b2  P2   Haciendo las simplificaciones del caso llegamos a la siguiente expresión: a1  r a2  r (5.13)  b1 b2 La ecuación (5.13) es muy importante porque está diciendo que el radio de Sharpe es igual para ambos bonos. Podemos generalizar diciendo que este radio de Sharpe es igual a Ф, es decir: ar (5.14) ( r , t )  b Remplazando los valores de a y b que se desprendieron de la expresión (5.6) obtenemos la ecuación diferencial parcial (edp) que debe satisfacer cualquier bono cero cupón: 1 2P P P  (r ) 2 2  [  (r )   (r )  (r , t )]   rP  0 2 r t r

(5.15)

Cualquier modelo de tasa de interés produce una tasa de interés de corto plazo, en función de la cual pueden escribirse todas las tasas cero cupón a diversos plazos. Estas tasas a su vez producen un precio de los bonos cero cupón, el cual debe cumplir con (5.15). A continuación se describen las distintas familias de modelos que existen: Estos modelos producirán un precio de un bono cero cupón de la forma general: P[r(t),t,T] = A(t,T)e–B(t,T)r(t)

(5.16)

Dado el precio del cero cupón P[r(t),t,T], la tasa de interés a un plazo T – t será: R(t,T) = Ln(P) =

Ln[ A(t , T )]  B(t , T )  r (t ) . T t

La edp mostrada en (5.15) es del tipo parabólico o elíptico, cuya solución es de la forma:

(5.17)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

T T  T  1 2 P[r (t ), t , T ]  Et exp r ( )d   ( , r ( ))d  ( , r ( ))dz( ) 2t t  t 



(5.18)

5.3 Modelos Afines 5.3.1

Descripción

En los modelos “Affine” las tasas de interés spot son una transformación de las tasas de interés de corto plazo. Cox, Ingersoll y Ross (1985) demostraron que cualquier modelo de estos afines, debe producir una solución a la edp (5.15) igual a:



P[r (t ), t , T ]  Et* e R( r ,t ,T )



(5.19)

La ecuación (5.5) representa un modelo Afín en donde la media y la varianza de la tasa de interés de corto plazo dependen de su actual nivel. Como se vio en la ecuación (5.17),  1   1  Las tasas spot son de la forma: R(r , t , T )    A(t , T )    B(t , T )  r (t ) T t  T t 

(5.20)

Donde A y B son factores para permitir el ajuste de la tasa de interés a la estructura de tasas y volatilidades del mercado, bajo las condiciones de borde A(t,T) = B(t,T) = 0 para todo T = 0. Lo anterior con el fin de garantizar que la tasa de interés a un plazo de cero días es de cero. El lector puede estar intrigado por saber de dónde vienen las ecuaciones para A y para B. Para mostrarlo, es importante recordar que el precio de un bono cero cupón puede escribirse como se muestra en (5.16). De ahí se desprende la ecuación (5.20) y a su vez, de esta puede escribirse: R(r , t , T ) B(t , T )  r T t

(5.21)

Partiendo del Lema de Ito podemos escribir: R(r , t , T ) R (r , t , T )  r r (r , t )

R(r , t , T ) r

De (5.22) puede obtenerse

R(r , t , T ) para ser reemplazado en (5.21) y obtener la siguiente r

(5.22)

expresión para B(t,T): B(t , T ) 

R(r , t , T ) R (r , t , T )(T  t ) r r (r , t )

(5.23)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

La expresión (5.23) permite obtener B(0,T) partiendo de la estructura de volatilidades de las tasas spot. La tasa forward entre T1 y T2 con T2 > T1se desprende de la siguiente igualdad: e R( r ,t ,T1 )(T1 t )  e F ( r ,t ,T1 ,T2 )(T2 T1 )  e R( r ,t ,T2 )(T2 t )

Despejando para F tenemos: F (r , t , T1 , T2 ) 

R(r , t , T2 )  (T2  t )  R(r , t , T1 )  (T1  t ) T2  T1

(5.24)

En un modelo de un solo factor, R(r,t,T1) y R(r,t,T2) están perfectamente correlacionadas en un período de tiempo infinitesimal. Esto quiere decir que σR(r,t,T1) es igual a σR(r,t,T2) y es igual a σF y por lo tanto, reemplazando en (5.23), podemos escribir: F (r , t , T1 , T2 ) F (r , t , T1 , T2 ) 

B(t , T2 )  B(t , T1 ) r   r (r , t ) T2  T1

(5.25)

Reescribiendo (5.25) tenemos: B(t , T2 )  B(t , T1 ) 

F (r , t , T1 , T2 ) F (r , t , T1 , T2 )(T2  T1 ) r   r (r , t )

(5.26)

La ecuación (5.26) permite obtener B(0,T) partiendo de la estructura de volatilidades de las tasas forward. A su vez A(0,T) se obtiene partiendo de B(0,T) y de la actual estructura de tasas de interés del mercado.

5.3.2

Modelos Afines Gausianos

El más popular de los modelos Afines Gausianos es el Vasicek (1977), el cual se describe a continuación. 5.3.2.1

Modelo Vasicek

El modelo de Vasicek (1977), de gran aplicación práctica, pertenece a la familia de modelos “Affine” Gausianos en donde se asume que la tasa de interés de corto plazo exhibe un proceso de reversión a la media. Este es un modelo de equilibrio parcial de un factor3. El modelo propuesto por Vasicek es el proceso Ornstein-Uhlenbeck, en el cual la volatilidad es constante y la tasa de interés de corto plazo sigue el siguiente proceso: dr(t) = α[µ – r(t)]dt + σ∙dz

(5.27)

Este modelo es de un factor, pues la única fuente de incertidumbre corresponde a la tasa de interés de corto plazo.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Donde: α=

Velocidad de reversión a la media (µ)

μ=

Nivel de largo plazo hacia el cual tiende la tasa de interés de corto plazo

Combinando (5.27) con (5.15) se obtiene la edp para Vasicek, la cual está dada por: 1 2 2P P P   [ (   r )    ]   rP  0 2 2 r t r

La forma discreta de Vasicek será entonces: rt 1  rt   (  rt )t    t  t

Se deberá entonces correr una regresión de la forma: Yt 1  a  b  rt  t

En este caso Yt+1 = rt+1, donde r puede ser la tasa de interés a 90 días

ˆ 

1 b t

;

ˆ 

a 1 b

 2 t  Var (t )

El símbolo ^ sobre una letra determinada significa el estimativo obtenido luego de la regresión. Es importante que el término de error  t 

t  t

siga una distribución normal, sin

heteroscedasticidad o correlación serial. Es igualmente importante tener en cuenta que en este caso el mejor modelo no es el que tenga el más alto R2, sino el que además demuestre normalidad en los errores. Tal como se desprende de las ecuaciones (5.13) y (5.14), bajo la condición de no arbitraje el radio se Sharpe de todos los bonos debe ser igual. Igualmente, como lo demostró Vasicek (1977), es posible definir toda la estructura de tasas del mercado con solo dos bonos. Es por esto último que puede afirmarse que todos los bonos están correlacionados. Siendo así, es posible definir toda la curva de tasas del mercado a partir de un bono con madurez infinita y un bono a cortísimo plazo, el cual tendrá un rendimiento igual a r. Dicho portafolio, al que llamaremos Q, tendrá una proporción λ invertida en el bono de madurez infinita y una proporción 1−λ en el bono de muy corto plazo, donde: λ(t) = [μ(t,∞) − r(t)] / σ ²(t,∞) μ(t,∞) = El valor medio del retorno de un bono con madurez infinita σ ²(t,∞) = Varianza del bono con madurez infinita

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Un cambio infinitesimal en el portafolio Q puede expresarse de la misma manera que se hizo para el portafolio V, así: dQ = λQ[μ(t,∞)dt + σ(t,∞)dz] + (1−λ)Q·r·dt Dividiendo por Q a ambos lados llegamos a: dQ = λ[μ(t,∞)dt + σ(t,∞)dz] + (1−λ)·r·dt Q

En este punto es importante hacer algunas consideraciones: (i) El lado izquierdo de la ecuación anterior es igual a d(Ln Q) (ii) Cuando se pasa de una distribución normal a una lognormal, es importante tener en cuenta la desigualdad de Jensen, según la cual se tiene que el valor esperado del retorno no es μ(t,∞) sino μ(t,∞) − ½·σ²(t,∞) (iii) λ(t)·σ(t,∞) = Φ (iv) λ(t) = [μ(t,∞) − r(t)] / σ ²(t,∞) d(Ln Q) = λ·μ(t,∞)dt + λ(t)·σ(t,∞)·dz + r·dt −λ·r·dt − ½·λ²·σ²(t,∞)dt d(Ln Q) = λ·μ(t,∞)dt + Φ·dz + r·dt −λ·r·dt − ½·Φ²·dt d(Ln Q) = r·dt + ½·Φ²·dt + Φ·dz Integrando a ambos lados tenemos: T

 d ( Ln Q) =  r  dt  dz  1/ 2   dz 2

t T

Ln QT − Ln Qt =

 r  dt  dz  1/ 2   dz 2

  Qt = exp  r  dt  dz  1 / 2   2 dz QT  t  T



(5.28)

La ecuación (5.28) es de la forma de la ecuación (5.18). Por lo tanto podemos escribir: Q  P[r(t),t,T] = Et  t   QT 

(5.29)

La ecuación (5.29) quiere decir que el precio de un bono a cualquier plazo puede ser obtenido por la proporción entre el valor de un portafolio compuesto por un bono de madurez infinita y un bono al mismo plazo de r (portafolio Q), en las proporciones adecuadas (tal como se obtuvo el factor λ), y el valor esperado de ese mismo portafolio a la madurez del bono.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Como se comentó antes, los modelos de tasas de interés deben proveer una solución de la forma descrita en (5.16) a la edp. Para el caso particular de Vasicek, el valor de cualquier bono está dado por: 1  2 P[r (t ), t , T ]  exp (1  e  (T  t ) )(r  r )  (T  t )r  3 (1  e  (T  t ) ) 2  4   2     2 El yield-to-maturity de un bono cero cupón perpetuo. r =    2

Dado el precio del cero cupón P[r(t),t,T], la tasa de interés a un plazo T – t será: R(t,T) = Ln(P) =

Ln[ A(t , T )]  B(t , T )  r (t ) , y la expresión para dichas tasas spot será: T t

De nuevo, para el caso específico de Vasicek: A(t , T )  er [ B (t ,T )  t T ] B  2

/ 4

B(t , T )  (1  e (T t ) ) / 

Por lo tanto las tasas spot están dadas por: R(t , T )  r  [r (t )  r ]

1  e  (T t )  2 (T  t )  1  e  (T t )       (T  t )   (T  t ) 4  

5.3.2.1 Ventajas y desventajas del modelo Vasicek Ventajas: - Es un modelo de fácil tratamiento analítico y matemático, dado su condición de distribución de densidad de probabilidad Gausiana. - La tasa de interés de corto plazo revierte a la media Desventajas: - La tasa de interés de corto plazo puede tomar valores negativos - No es posible obligar a la tasa de interés de corto plazo a tomar valores que permitan replicar la estructura de tasas de interés del mercado en el momento cero4.

5.3.3

Modelos Afines CIR (Cox, Ingersoll y Ross)

Miremos ahora el desarrollo que Cox, Ingersoll y Ross (1985) hicieron para llegar a su modelo CIR, el cual es un modelo de equilibrio general. Es en general muy parecido al modelo Vasicek, pero

Este problema es resuelto en el modelo Vasicek Extendido ó también conocido como Hull y White, en el cual el nivel al cual converge en el largo plazo la tasa de interés de corto plazo, es una función determinística, de tal forma que permita obtener la estructura de tasas del mercado en el momento cero.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

mientras que en este último la volatilidad de la tasa de interés de corto plazo es constante, en el modelo CIR la volatilidad depende de la raíz cuadrada de la tasa de corto plazo. La tasa de interés de corto plazo sigue el siguiente proceso: dr = α[µ – r(t)]dt + σ∙r(t)1/2dz

(5.30)

Donde: α, μ y σ son constantes Note cómo esta es la misma expresión de los modelos CKLS, haciendo γ = ½. Comparemos (5.30), la expresión de la ecuación diferencial en los modelos CIR, con (5.27), la ecuación diferencial de Vasicek. El término que acompaña a dt es igual en ambos casos. La única diferencia radica en que en los modelos CIR la volatilidad de la tasa de interés de corto plazo depende de la raíz cuadrada del nivel de dicha tasa, mientras que en Vasicek la tasa de interés de corto plazo sencillamente no interviene. Del mismo modo que se obtuvo la edp para Vasicek se puede obtener la edp para los modelos CIR, simplemente haciéndole una transformación al radio de Sharpe: 

 r

(5.31)



Tendremos entonces que la edp para los modelos CIR es: 1 2 2P P P   r 2  [ (   r )  r  ]   rP  0 2 r t r

Observe que la anterior expresión para el modelo CIR sale de remplazar σ por σ·r½ en (5.15). El modelo CIR producirá una solución a la anterior edp, de la forma descrita en (5.16), pero en este caso con los siguientes valores de A y B:   2  e(     )( T  t ) / 2 A(t , T )     (T  t )  1]  2  [     ][e

B(t , T ) 

2 /  2

2[e (T  t )  1] [     ][e (T t )  1]  2

Con   (  ) 2  2 2 Como se ha comentado, las tasas spot a cualquier plazo en el modelo CIR son: R(t , T ) 

Ln[ A(t , T )] B(t , T )  r (t ) T t T t

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Note que la diferencia con el modelo Vasicek radica en que en este último σ no depende de r(t) mientras que en el CIR es una función exponencial. Como en los modelos Gausianos, la media es una función lineal de la variable de estado, pero se diferencian en que en este caso la volatilidad también depende de la variable de estado.

5.3.3.1

Versión discreta de los modelos CIR

La forma discreta de CIR será: rt 1  rt   (  rt )t    rt1 / 2  t  t

Multiplicando por rt1 / 2 a cada lado, tenemos: rt 1  rt1 / 2  (1    t )  rt1 / 2      t  rt1 / 2    t  t

(5.32)

Para estimar (5.32) deberemos correr una regresión de la forma: Yt  a  X 1 

b  t X1

Por lo tanto: ˆ 

1 a t

;

ˆ 

b 1 a

;

t    t  t

Deberá verificarse entonces la siguiente hipótesis nula: Hoηt~ N(0,1)

5.3.4

Modelos de la familia de tres factores

Estos modelos combinan variables de estado de la forma Gausiana con variables de estado de la forma CIR. Los tres procesos son: 1. La tasa de interés de corto plazo dr = α [μ(t) – r(t)]dt +

 (t ) dzr,t

2. La tendencia ó “drift” dμ = β[γ – μ(t)]dt + η∙  (t ) dzµ,t Donde  = 0, ½

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

3. La volatilidad dσ =δ[κ  σ(t)]dt + λ  (t ) dzσ,t Los modelos Gausianos y los CIR vistos anteriormente se consideran de un solo factor porque la tasa de interés de corto plazo es la única fuente de riesgo.

5.3.5

Modelos CKLS5

Muchos de estos modelos pueden generalizarse en lo que se llama el proceso CKLS, el cual tiene la siguiente forma general: dr(t )  [  r (t )]dt    r (t )  dz

0, Vasicek 1     , CIR 2 1, Brennan y Schwartz (80),Courtadon (82)

Cómo determinar el valor de γ? El primer paso es discretizar la tasa de interés de corto plazo: rt 1  a  b  rt    rt  t t 1

(5.33)

Donde η Multipliquemos cada término en (5.33) por r –γ rt 1  rt  aˆ  rt  bˆ  rt  rt  ˆ   t t 1

La idea es entonces asumir inicialmente un valor de γ y verificar la hipótesis nula: Hoηt~ N(0,1) Es importante insistir que el mejor estimativo de γ no es el que arroje el mejor R2. El mejor estimativo es el que permita aceptar Ho.

5.4 Modelos de Media Dinámica

Chan, Karolyi, Longstaff & Sanders (1992)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Los modelos de media dinámica más populares son Vasicek extendido y CIR extendido. Estos modelos son de la forma general: dr   (t )[ (t )  r (t )]dt   (t )r (t ) dz

(5.34)

Donde μ(t), α(t) y σ(t) son funciones determinísticas del tiempo. Cuando γ = 0 tendremos el modelo de Vasicek Extendido y cuando γ = ½ tendremos el modelo CIR Extendido. En estos procesos el camino seguido por la tasa de interés de corto plazo r(t) y por el nivel de reversión a la media μ(t) son: dr  [ (t )  r (t )]dt   (r )r (t ) dzr ,t

(5.35)

d   [   (t )]dt   ( ) (t ) dz ,t

(5.36)

5.4.1

Hull y White ó Vasicek Extendido

El modelo de Hull y White, conocido también como Vasicek Extendido permite ajustarse a una estructura inicial de tasas del mercado así como también a la estructura inicial de volatilidades del mercado. El modelo Vasicek Extendido es el mismo desarrollado por Ho-Lee, pero con reversión a la media como ingrediente adicional6. Fue desarrollado por Hull y White en dos trabajos: uno inicial de 1990, seguido por otro en 1994. La forma general del modelo desarrollado en su paper de 1990 era: dr(t) = α(t) [µ(t) − r(t)]dt + σ·dz

(5.37)

La ecuación (5.37) es la misma expresión general descrita en (5.34) pero con γ = 0. Este modelo sin embargo tiene problemas cuando se trata de ajustarse a la estructura de volatilidades del mercado. La principal razón para esto es que puede arrojar volatilidades que son muy distantes de las observadas en el mercado, a la vez que se hace difícil su tratamiento analítico. Como se ve, es un gran esfuerzo para obtener ajustes que son difícilmente creíbles. Por esta razón, los mismos autores propusieron en 1994 un modelo más simple, en donde la dinámica de la tasa de interés de corto plazo está dada por: dr(t) = [µ(t) − α· r(t)]dt + σ·dz

(5.38)

La ecuación (5.38) es la misma ecuación (5.34) pero haciendo α y σ constantes, con γ = 0. Cuando en adelante se haga referencia al modelo de Hull y White, se tratará del modelo descrito en (5.38), a menos que se indique lo contrario. Hull y White (1990, 1994a) demostraron que P(t,T ) = A(t,T )∙e–B(t,T)∙r(t) 7y por lo tanto la tasa spot a Ln[ A(t , T )]  B(t , T )  r (t ) cualquier plazo está dada por R(t,T) = , Donde: T t 6

De ahí su nombre de Vasicek Extendido, pues al igual que el modelo Vasicek, éste también es un modelo de reversión a la media. 7 El hecho de poder expresar de esta manera el precio de los bonos, hace que Hull y White pueda ser considerado dentro de los modelos Gausianos.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

 P(0, T )   2 B(t , T ) 2 [1  e 2 t ] Ln[ A(t , T )]  Ln   B ( t , T )  F ( 0 , t )   4  P(0, t )  B(t , T ) 

[1  e  (T  t ) ]

(5.39)

(5.40)



P(t,T) como hemos visto se refiere al precio en cualquier momento t de un bono cero cupón que madura en el período T. Por su parte F(0,t) se refiere a la tasa forward instantánea observada en el momento 0 y que aplica para un plazo t. Por lo tanto la expresión para F(0,t) será: F(0,t) = –∂Ln[P(0,t)] / ∂t Para el caso en que se esté obteniendo la estructura de tasas del mercado para el momento t=0, P(0,t) será igual a 1 y F(0,t) será la tasa forward instantánea observada en el momento 0 para un contrato que madura en el momento t, que también es el momento 0, por lo tanto será la tasa spot instantánea, que en nuestro caso es r(t). Por lo tanto la expresión (5.39) se convierte en: Ln[ A(0, T )]  LnP(0, T )  B(t , T )  r (t ) 

5.4.1.1

 2 B(t , T ) 2 [1  e 2 t ] 4

La Dinámica de Hull y White (HW) como la Suma de dos Procesos

La dinámica seguida por la tasa de interés de corto plazo en el modelo Hull y White puede ser separada en dos procesos: uno que parte de un valor inicial de cero más otro proceso adicional. Volvamos al proceso descrito por HW: dr(t) = [µ(t) − α· r(t)]dt + σ·dz

(5.41)

El proceso seguido por µ(t) corresponde al valor esperado de la tasa en cualquier momento futuro, regido por la tasa forward del mercado más la corrección por la desigualdad de Jensen, lo cual podemos escribir como: f (0, t ) 

2 (1  e  2 t ) 2 2

Además de la anterior expresión, se suma un término que recoge los cambios instantáneos en dicha tasa forward, con el fin de capturar la dinámica de la tasa de corto plazo. En total, tendremos entonces que:

 (t ) 

f (0, t ) 2    f (0, t )  (1  e  2 t ) T 2

(5.42)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Integrando (5.41) a ambos lados tenemos: t



r (t )  r ( s)e  (t  s )  e  (t  u )  (u )du   e  (t  u ) dz(u ) t



 r ( s)e  (t  s )   (t )   ( s)e  (t  s )   e  (t  u ) dz(u )

(5.43)

Donde:  (t )  f (0, t ) 

2 (1  e  t ) 2 2 2

(5.44)

Por lo tanto r(t) estará normalmente distribuida con media y varianza dadas por: E[r(t)] = r(s)e−α(t−s) + β(t) − β(s)e−α(t−s) Var[r(t)] =



2 1  e  2 (t  s ) 2

(5.45)



(5.46)

Definiendo el proceso x como: dx = −α·x(t)dt + σ·dz(t)

con x(0) = 0 t

Integrando a ambos lados obtenemos: x(t) = x(s)e

−α(t−s)



+  e  (t  u ) dz(u ) s

Y por lo tanto podemos escribir el proceso para r(t) como: r(t) = x(t) + β(t)

5.4.1.2

Implementación del Modelo Hull y White en Árboles Trinomiales

El proceso propuesto para dr(t) será pues la suma de dos procesos: uno que empieza en cero y que tiene un valor esperado en cada período igual a cero, al cual llamamos x(t), más otro que desplaza ese proceso una cantidad fija en cada período, con el fin de adaptarse a los valores posibles de r(t) y al que llamamos β(t). La aproximación propuesta aquí permite que los Δt en el árbol sean distintos de un período a otro. En general tenemos que Δtj = tj+1 − tj. Como se ve, j se refiere a cada período del árbol y varía desde cero hasta N, siendo N el número de períodos en que hemos dividido el árbol. En cada nodo, x toma el valor x(i,j), es decir, el valor de x en el nodo i del período j. Para cada período j, se tendrá un rango de valores para i, donde el mayor valor de i en un período será positivo y el menor valor de i para ese período será negativo. De (5.45) podemos deducir que: E[x(tj+1)\x(tj) = x(i,j)] = x(i,j) e

t j

=: M(i,j)

(5.47)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Var[x(tj+1)\x(tj) = x(i,j)] =





2  2t j =: V j2 1 e 2

(5.48)

Es importante tener en cuenta además que x(i,j) = iΔxj. La anterior expresión significa que habrá un Δxj que será igual en cada período, y cada nodo será igual al valor un nodo más abajo, más esta cantidad fija Δxj. Con esto se mantiene lo comentado anteriormente según lo cual en cada período el valor esperado de x es cero. En efecto, si i = 0, tenemos que x(0,j) = 0. Para Δxj tenemos la siguiente expresión: x j  V j 1 3  



3  2t j 1 1 e 2



(5.49)

Partiendo de x(i,j), el siguiente período pueden existir tres valores posibles. El árbol se estructura de tal manera que el nodo central en tj+1, al que llamaremos x(k,j+1), coincida con el valor esperado de x en tj+1. En otras palabras, partiendo de x(i,j), en tj+1 el árbol puede tomar tres valores posibles: x(k,j+1) en el nodo central, x(k+1,j+1) en el nodo superior y x(k−1,j+1) en el nodo inferior. Es importante notar que como el proceso para x comienza en cero y el valor esperado en cada período es también cero, M(i,j) es la “altura” de x en cada período dependiendo del nodo en que se esté. Por supuesto que esa “altura” puede ser positiva o negativa. Al dividir M(i,j) entre Δxj+1 se tendrá el nodo central. Por lo tanto:

 M (i, j )   k  round  x j 1   

(5.50)

Es decir, el valor del nodo central será tal que x(k,j+1) coincida con el valor esperado de x: M(i,j). La probabilidad de llegar al nodo superior x(k,j+1) la llamaremos pu; la probabilidad de llegar al nodo central la llamaremos pm, mientras que la probabilidad de llegar al nodo inferior la llamaremos pd. Podemos escribir: pu 

1  (k , j ) 2  (k , j )   6 6V j2 2 3V j

pm 

2  (k , j )  3 3V j2

pd 

2 1  (k , j )  (k , j )   6 6V j2 2 3V j

Haciendo: η(k,j) = M(i,j) − x(k,j+1) El árbol trinomial tendría la configuración mostrada en la siguiente gráfica:

(5.51)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

·x(k+1,j+1)

pu x(i,j)

·x(k,j+1) ·x(k−1,j+1)

Δtj Para obtener pu, pm y pd se procede de la siguiente manera: x(k+1,j+1)·pu + x(k,j+1)·pm + x(k−1,j+1)·pd = M(i,j)

(5.52)

[x(k+1,j+1)]²·pu + [x(k,j+1)]²·pm + [x(k−1,j+1)]²·pd = [M(i,j)]² + [Vj]²

(5.53)

Teniendo en cuenta que x(k+1,j+1) = x(k,j+1) + Δxj+1 y que x(k−1,j+1) = x(k,j+1) − Δxj+1 y además que pu + pm + pd = 1, podemos simplificar (5.52) y (5.53) para llegar a: x(k,j+1) + Δxj+1·(pu − pd) = M(i,j)

(5.54)

[x(k,j+1)]² + 2[x(k,j+1)·Δxj+1]·(pu − pd) + [Δxj+1]²· (pu + pd) = [M(i,j)]² + [Vj]²

(5.55)

Remplazando (5.51) en (5.54) y (5.55) tenemos que: Δxj+1·(pu − pd) = η(k,j) [Δxj+1]²· (pu + pd) = [M(i,j)]² + [Vj]² Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que puede ser resuelto fácilmente. Adicionalmente, puede obtenerse una expresión para pm, pues se sabe que pu + pm + pd = 1. Las expresiones para pu, pm y pd se muestran a continuación: pu 

V j2 2x 2j 1

pm  1 

pd 



V j2 x 2j 1

V j2 2x 2j 1



 (k , j ) 2 2x 2j 1 



 (k , j ) 2x j 1

 (k , j ) 2 x 2j 1

 (k , j ) 2  (k , j ) 2x 2j 1



2x j 1

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Podemos decir que x j 1  V j 3 , siempre y cuando el nivel k se escoja de tal manera que x(k,j+1) esté lo más cercano posible a M(i,j). Por lo tanto las expresiones para pu, pm y pd se pueden escribir así: pu 

1  (k , j ) 2  (k , j )   6 6V j2 2 3 V j

(5.56)

pm 

2  (k , j ) 2  3 3V j2

(5.57)

pd 

1  (k , j ) 2  (k , j )   6 6V j2 2 3 V j

(5.58)

El segundo paso consiste en calcular los βj que van a permitir desplazar el árbol de las x para llegar al árbol de r(t). β0 debe satisfacer que P(0,t1) = β0. Llamemos Q(i,j) el valor presente de un bono que paga $1 en el nodo (i,j), si dicho nodo es alcanzado. En un árbol trinomial, en la mayoría de los casos habrá tres maneras de llegar a un nodo. Quedan excluidos los nodos exteriores, donde sólo hay una manera de llegar a ellos y los nodos que siguen inmediatamente a los exteriores, en donde habrá dos maneras de llegar a ellos. Para hallar los valores de Q(i,j+1) se deberá tener en cuenta el punto desde el cual se alcanza cierto nodo, de acuerdo con su probabilidad. Consideremos el siguiente árbol trinomial de tres períodos:

· · ·

· h · l · m · ·

·a ·b ·c ·d ·e ·f ·g

Para hallar el valor de Q en el nodo d, deberemos primero traer $1 pagado en el momento 3 a valor presente en el período 2 y luego, de ahí, a valor presente en el momento 0, de acuerdo con los Q vigentes en el período 2 y que ya han sido previamente calculados. Trayendo $1 a valor presente en el momento 2 podemos ubicarnos en cualquiera de los tres nodos h, l ó m. Si el nodo d se alcanzó viniendo de h, se multiplicará el valor presente en el momento 2 de $1 recibido en el momento 3 por el valor de Q en el nodo h. Lo mismo para l y para m. Lo anterior quiere decir que el valor de Q en el nodo d dependerá de la probabilidad de venir desde los nodos h, l ó m. El valor de Q en el nodo d será por lo tanto el valor presente en el momento 2 de $1 recibido en el momento 3, descontado a valor presente hasta el momento 0 por los Q vigentes en h, l y m, afectados por sus respectivas probabilidades. Podemos escribir la expresión para Q(d,3) como:

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Q(d ,3)  Q(h,2)  q(h, d )  exp(rh  t2 )  Q(l ,2)  q(l , d )  exp(rl  t2 )  Q(m,2)  q(m, d )  exp(rm  t2 )

r(h,2), r(l,2) y r(m,2) se refieren a las tasas de interés en esos nodos. Como r(t) está dado por: r(t) = x(t) + β(t) Y además sabemos que x(i,j) = iΔxj. Podemos entonces escribir la expresión general para Q(i,j+1) como: Q(i, j  1) 

 Q(n, j)  q(n, i)  exp[(

 nx j )t j ]

q(n,i) es la probabilidad de moverse del nodo n en el período j al nodo i en el período j+1. En el ejemplo de arriba, son tres probabilidades: moverse de h a d, de l a d y de m a d. La sumatoria, como se ve, es sobre todos los nodos para los cuales esa probabilidad es positiva. Finalmente se debe asegurar que la evolución del árbol trinomial para la tasa de corto plazo se da de tal manera que se ajusta a la estructura de tasas de interés de mercado observadas. Si se está obteniendo el valor presente de un bono que paga $1 al final del período j+1, se descontará primero a valor presente hasta el período j, para luego de allí llevarlo hasta el momento 0. Podremos por lo tanto escribir: P(0, t j 1 ) 

 Q(i, j)  exp [(

 ix j )t j ]

(5.59)

Donde



se refiere a la sumatoria a lo largo de todos los nodos en un período dado.

De (5.59) puede despejarse βj para llegar a: 1 j  Ln t j

 Q(i, j)  exp( j  x

 t j )

(5.60)

P(0, t j 1 )

Por lo tanto el árbol trinomial para la tasa de interés de corto plazo lucirá así:

·x(k+1,j+1) + β

pu x(i,j) + βj = r(i,j)

Δtj

·x(k,j+1) + β

j+1

·x(k−1,j+1) + β

= r(k+1,j+1)

= r(k,j+1)

j+1

= r(k−1,j+1)

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

5.4.2

Modelo CIR extendido

Son de la forma general: drt  [ (t )   (t )r (t )]dt   (t )r (t )1 / 2 dz

(5.61)

Como este es un modelo Gausiano, entonces: R(t , T )  

A(t , T ) B(t , T )  r (t ) T t T t

Donde A(t,T) y B(t,T) satisfacen la edp: A(t , T )    (t )  B(t , T ) t B(t , T ) 1  1   (t ) B(t , T )   2 (t ) B(t , T ) 2 t 2

Sujeto a las condiciones de borde A(t,0) = B(t,0) = 0

5.5

Modelos Positivos

Todos los modelos hasta aquí considerados pueden arrojar tasas de interés negativas, lo cual no está en concordancia con lo observado en la práctica. Bajo esta motivación se han desarrollado otra serie de modelos que se conocen como Positivos, los cuales no permiten que se presenten tasas negativas. Algunos de estos modelos son el log-normal de Flesaker y Hughston, el modelo Gausiano cuadrado de Jamshidian y el log-r. A su vez uno de los modelos log-r más populares es el desarrollado por Black-Derman-Toy (BDT). Mientras que el modelo log-normal racional tiene problemas de calibración, los modelos log-r tienen problemas teóricos cuando se expresan en forma continua.

5.5.1

Modelos log-r

Este modelo pertenece a la familia de los Modelos Positivos y la tasa de interés de corto plazo sigue una distribución log-normal, haciendo que rt nunca pueda mostrar valores negativos. Como se mencionó más arriba, el modelo log-r más popular es el Black-Derman-Toy que ya se vio en el capítulo anterior. Este modelo se ha popularizado como modelo de árbol de valoración de instrumentos de renta fija. En el capítulo 4 se analizó en detalle BDT.

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

APÉNDICE 5.1 Resumen de los Modelos de Tasa de Interés Estocásticos de Un Factor Modelo

Proceso Estocástico

Merton (1973) Vasicek (1977) Dothan (1978) Rendleman y Bartter (1980) Courtadon (1982) Cox, Ingersoll y Ross (1985b)

dr = α∙dt + σ∙dz dr = α(µ−r)dt + σ∙dz dr = σ∙r∙dz dr = α∙r∙dt + σ∙r∙dz dr = α(µ−r)dt + σ∙r∙dz

Ho-Lee (1986) Hull y White (1990) Black-Derman-Toy (1990)

dr = α(µ−r)dt + σ∙ r dz dr = µ(t)∙dt + σ∙dz dr = α[µ(t)−r]dt + σ∙dz d ln(r) = [µ(t)+  ' (t ) ln (r)] + σ∙dz  (t )

Black-Karasinski (1991) Heath, Jarrow y Morton (1990;1992)

d ln(r) = α(t)[µ(t)−ln (r)]dt + σ(t)∙dz dr = a(t) + b(t)∙dz

Fuente: Meier, Iwan. Estimating the Term Structure of Interest Rates and the Pricing of Interest Rate Derivatives

Capítulo 5 – Modelos Estocásticos de Tasas de Interés

Lecturas Adicionales Chan, K. C., Karolyi, G. A., Longstaff, F. A. & Sanders, A. B. (1992), “An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate”, Journal of Finance 47, pp. 1209-1227. Cox, J. C., Ingersoll, J. E. & Ross, S. A. (1985a), “A Theory of the Term Structure of Interest Rates”, Econometrica 53, pp. 385-407. Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Hull, John C. y Alan White. “Pricing Interest Rate Derivative Securities”. Review of Financial Studies. 1990. 3(4), pp 573-92. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Jamshidian, F. “An Exact Bond Option Pricing Formula”, Journal of Finance. 1989. 44, pp 20509, March. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. Meier, Iwan. “Estimating the Term Structure of Interest Rates and the Pricing of Interest Rate Derivatives”. Studienzentrum Gerzensee. 2000. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Segunda Edición. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 2002. Vasicek, O. (1977), “An Equilibrium Characterization Of The Term Structure”, Journal of Financial Economics 5, pp. 177-188.

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

CAPÍTULO 6 Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés 6.1

Introducción

Tal como ya se ha visto, la estructura de tasas de interés consiste en un grupo de tasas cero cupón que existen en un mercado de capitales, para bonos libres de riesgo crediticio. En general la estructura de tasas de interés consiste en un vector de factores de descuento para diferentes períodos al vencimiento. La estructura de tasas de interés es utilizada por la industria financiera para valorar instrumentos financieros tales como bonos, papeles comerciales en el mercado spot y opciones y forwards en el mercado de derivados. También es utilizada por los bancos centrales para proyectar tasas de interés. Existen varios modelos paramétricos para ajustar todos los puntos sobre la curva spot o sobre la curva forward, tales como la familia de curvas de Nelson y Siegel. Otros modelos son no paramétricos, entre los que se cuentan las aproximaciones cúbicas ó los B-Splines. Todos estos modelos sirven para poder interpolar y así tener las tasas de interés cero cupón a cualquier plazo. Sin embargo, estos métodos de interpolación, por ser no-estocásticos, para nada determinan la dinámica de las tasas de interés y es justo en este punto donde radica la mayor diferencia con la función de los modelos de tasas de interés que se vieron en el capítulo 5.

6.2

Cómo obtener la curva cero cupón o curva spot

Existen tres tipos de curvas que se han analizado: la curva de rendimientos de mercado (yield curve), la curva spot o cero cupón y la curva forward. Las dos últimas son de gran utilidad en valoración de instrumentos porque permiten obtener un vector de factores de descuento. Por su parte la curva de rendimientos está muy afectada por los cupones y en este sentido no es útil para efectos de valoración de instrumentos. En efecto, dos bonos del mismo emisor con la misma madurez y mismo cupón anual, mostrarán dos yields distintos simplemente porque la frecuencia del pago de esos cupones es distinta. Por ejemplo, un bono par a 3 años que paga un cupón anual del 10% cada 6 meses, tendrá un yield del 10% semestre vencido (S.V.). Por su parte, el mismo bono que paga el cupón cada 3 meses tendrá un yield del 10% trimestre vencido (T.V.). Mientras que una tasa del 10% S.V. equivale al 10,25% efectivo anual (E.A.), una tasa del 10% T.V. equivale al 10,38% E.A. Se trata del mismo emisor, mismo plazo y mismo cupón anual; simplemente por cambiar la frecuencia del pago del cupón de semestral a trimestral, el yield aumenta 13pb. Para obtener la curva cero cupón puede utilizarse tanto la información del mercado de bonos como del mercado de dinero (money market). Realmente el mercado de dinero, que incluye entre otros instrumentos depósitos a tasa variable (CDT pagando con base en la DTF en el caso colombiano), FRA’s (Forward Rate Agreement) y Swaps, no está muy desarrollado en mercados emergentes y es escasa la información que de él puede obtenerse. En estos casos el mercado de

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

bonos, aunque líquido en un reducido número de papeles, provee al menos información de largo plazo, difícil de encontrar en el money market. En el caso colombiano por ejemplo, las instituciones financieras tienen muchos problemas cuando quieren hacer captaciones a tasa fija a plazos superiores a un año y por lo tanto la curva cero cupón para el sector privado sólo está disponible hasta un año. En Colombia los únicos instrumentos a tasa fija de largo plazo con buena liquidez son los títulos emitidos por el gobierno (TES). No habría entonces problema para construir una curva cero cupón del gobierno hasta 10 años. Como se mencionó anteriormente, la curva cero cupón en el sector privado puede construirse hasta un año. Si se quiere llevar esta curva a plazos más largos habrá que encontrar una forma racional de construir la curva del sector privado a partir de la curva del gobierno para luego “empalmarlas” y tener así una curva del sector privado entre 0 y 1 año y desde ahí hasta 10 años. Este punto, sin embargo, será tema de un capítulo posterior.

6.3

Vector de descuento para la curva del gobierno

Llamemos C una matriz con los flujos de caja de los bonos más líquidos. C también podría ser una matriz con datos del mercado de dinero pero por las razones ya expuestas nos concentraremos en el mercado de bonos. P es un vector con el precio de mercado de los bonos. P  C  ˆ  

Donde: ˆ es el vector de descuentos A partir del vector de descuentos se construye la curva cero cupón. Los errores ε deberán ser pequeños. La intuición nos lleva a suponer que el vector ˆ puede obtenerse utilizando Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) resolviendo el siguiente problema:



 *  arg min  ' \   P  C  ˆ ˆ



 *  (C ' C ) 1 C ' P Sin embargo esta aproximación no funciona bien por dos razones: primero que la matriz C tiene muchas columnas comparadas con el número de bonos en consideración; y dos que las columnas de C tienen muchos ceros. Habría tantos parámetros a estimar como fechas de flujos de caja. Mucho más atractivo sería estimar un número limitado de parámetros (3 ó 4 por ejemplo) y a partir de esos parámetros construir la curva spot. Justo modelos en los que sólo se estima un número limitado de parámetros son los que se analizarán en este capítulo. Sin embargo, antes de pasar a modelos de curvas parametrizadas y no parametrizadas, miremos en qué consiste una aproximación polinómica y por qué esta no funciona bien.

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

6.4

Ajuste Polinómico

Un polinomio de un grado alto puede acomodarse prácticamente a cualquier curva continua. Esta pareciera ser entonces la aproximación más obvia para ajustar la curva cero cupón. Sin embargo el problema que presenta un ajuste polinómico de grado alto es que es muy sensible a los datos a ajustar y cualquier variación mínima en estos arroja una curva completamente distinta. Pudiera argumentarse también que una interpolación lineal es la más sencilla de todas y que así debería ser el ajuste. Desafortunadamente, los mercados de tasas de interés no se comportan linealmente. Las siguientes dos gráficas muestran un ajuste polinómico de orden 6 para dos series de datos iguales, excepto por una ligera variación en el período de 2 años, en donde de 11,50% se pasó a 12,00%. Como se ve, el ajuste es completamente distinto al cambiar sólo este dato.

16.00%

Tiempo (Años) 0.25 0.50 0.75 1.00 2.00 3.00 5.00 7.00 10.00

15.00%

Tasa spot

14.00% 13.00% 12.00% 11.00% 10.00% 9.00% 8.00% 0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

Tasa 10.00% 10.50% 10.80% 11.00% 11.50% 12.00% 12.50% 12.70% 13.00%

10.00

Madurez

La curva CTES, tan ampliamente utilizada en Colombia durante tanto tiempo, no era más que un ajuste polinómico de las TIR de los TES. Por ser una curva de TIR’s no era cero cupón, aunque la práctica de mercado era utilizarla como si lo fuera. La forma general de esta curva se puede expresar así: r  o  1  t   2  t 2  3  t 3

Donde: βi t

= parámetros a determinar = Tiempo en años

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Tiempo (Años) 0,25 0,50 0,75 1,00 2,00 3,00 5,00 7,00 10,00

14.00% 13.00%

Tasa spot

12.00% 11.00% 10.00% 9.00%

Tasa 10,00% 10,50% 10,80% 11,00% 12,00% 12,00% 12,50% 12,70% 13,00%

8.00% 0

Madurez

6.5

Ajuste usando curvas parametrizadas

La ventaja de este tipo de ajuste radica en que solo hay que estimar un número limitado de parámetros y a partir de ahí se calcula el vector de factores de descuento. Tenemos entonces un vector P de precios de mercado y una matriz C de flujos de caja. Queremos encontrar el vector ˆ que haga P = C∙ ˆ + ε , haciendo ε muy pequeño. En lugar de obtener ˆ directamente usando MCO, lo cual no funciona tal como ya se explicó, lo que hacemos es poner ˆ a depender del tiempo a la madurez y cada δ(τ) dependerá de un grupo de parámetros: δ(τ) =τ \ a,b,c,...)  La idea es obtener unos parámetros óptimos a *, b *,......., a partir de los cuales se obtiene ˆ . Por ejemplo, Nelson y Siegel encontraron la siguiente aproximación: δ(τ) = δ (τ \a,b,c,d ) = a +(b+c∙τ)∙e-d. τ Como P = C∙ ˆ + ε



ε = P – C∙ ˆ

Lo que se busca es minimizar los errores al cuadrado (ε' ε) para obtener un conjunto óptimo de parámetros a*, b*, c*, d*.

6.6

Tipos de curvas

Las curvas usadas para ajustar la estructura de tasas de mercado pueden clasificarse en paramétricas y no paramétricas y en estocásticas y no-estocásticas. Las curvas paramétricas se derivan de modelos de tasas de interés tales como la estructura de tasas de Longstaff y Schwartz ó Vasicek y Fong. Las curvas de Nelson y Siegel también se clasifican como paramétricas. Entre las curvas no paramétricas se cuentan los B-Splines y Splines cúbicos, los cuales no tienen su origen en modelos de tasas de interés. Los modelos estocásticos parten de una ecuación diferencial que explica el comportamiento de la tasa de interés de corto plazo y de ahí se deriva toda la estructura de tasas del mercado.

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Como ya se mencionó anteriormente, las curvas no paramétricas se usan para calibrar los modelos de tasas de interés que tratan de ajustarse a la curva de mercado en t=0, entre los cuales están Vasicek extendido y HJM. A su vez las curvas pueden ser lineales y no lineales. Las familias de curvas lineales consisten en obtener unas funciones de base y una combinación lineal de las funciones de base forma una curva de mercado. Una familia de curvas no lineales no consta de funciones de base y por lo tanto una curva en la familia no puede ser representada como una suma de curvas más simples.

6.6.1

Cómo usar las funciones de base

El vector de factores de descuento puede ser expresado como: K

 ( )   k  k ( ) k 1

k es un vector que expresa la combinación lineal entre las funciones de base k ( ) . Llamemos   k ( j ) k 1,....K ; j 1,........m . Por lo tanto ˆ  ' Como P = C ˆ +ε



P  C  '   . Llamemos D = C. '  P=D λ  

Existen entonces K parámetros a ser estimados. Normalmente K no es superior a 6 ó 7. Un ejemplo de funciones base lo constituyen los modelos “Affine”. Recordemos que en los modelos “Affine”, las tasas spot son “affine” en las variables de estado Xi. n

rt ( )  Ao ( )   Ai ( ) X i ,t i 1

Donde

Ai ( )i1,.....n

es un conjunto de funciones de base determinadas por el modelo que

dependen de los parámetros del modelo. Suponga que las tasas spot observadas son Rt (τj) para los distintos períodos τ1,….., τm. Supongamos además que nuestro modelo se adapta perfectamente a lo observado y que por lo tanto las únicas discrepancias obedecen a ruido blanco. Por lo tanto:

Rt (τj) = rt(τj) + εt,j donde εt,j es ruido blanco Llamemos:

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Rt = [Rt (τ1), , Rt (τm)]´, A = { Ai (τj)}i=1,.....n; j=1,.....m

a = [Ao (τ1),....., Ao(τm)]´ y

εt = (εt,1,…..,εt,m)´

Entonces:

Rt = a + A.Xt + εt Donde: Xt es un vector de variables de estado

6.7

Ajuste de la curva de rendimientos usando Splines

Los Splines corresponden al segundo método más directo para ajustarse a la curva de tasas de mercado. Si el ajuste polinómico presenta los problemas descritos anteriormente, entonces porqué no buscar un ajuste polinómico entre dos puntos, luego otro ajuste entre los dos puntos que le siguen y continuar así hasta haber ajustado toda la curva. Así, los Splines se definen como métodos de interpolación polinómica no paramétricos. Un Spline de orden k es una aproximación polinomial en cada intervalo, con polinomios de orden k diferenciables k – 1 veces en cualquier punto. Los puntos {ξo,…….,ξn }, ξp < ξp+1, p=0,....n – 1, que son aquellos en los cuales dos polinomios adyacentes confluyen, se llaman nodos. Un Spline de orden k tiene que ser diferenciable k – 1 veces en cada nodo ξp, p=1,….,n – 1.

12.50% 12.00% 11.50%

Tasa Spot

11.00% 10.50% 10.00% 9.50% 9.00% 8.50% 8.00% 0







Madurez



Los nodos se encuentran en ξo= 0;ξ1 = 2; ξ2 = 5; ξ3 = 9; ξ4 = 11



Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

6.7.1

Splines cúbicos

Aunque virtualmente los Splines pueden ser de cualquier orden, aquí nos concentraremos en Splines cúbicos porque estos proveen una gran flexibilidad para crear una curva continua y suave entre nodos. El principal objetivo a alcanzar con los Splines cúbicos es suavidad en el ajuste.

6.7.1.1 Metodología A continuación se va a seguir la metodología descrita en Peinar y Choudhry (1999)1. El primer caso consiste en obtener una serie de nodos a partir de bonos con cupones, utilizando la técnica de bootstrapping. Luego se utilizan los splines cúbicos para ajustar la curva spot interpolando entre nodos a través de polinomios cúbicos independientes entre cada par de nodos. En la figura se muestra el ajuste entre dos nodos usando splines cúbicos. Sin embargo este ajuste no se caracteriza por ser precisamente suave. Primero, la pendiente de cada polinomio es distinta en el nodo que comparten, como también lo es la curvatura de ambos polinomios.

Tasa Spot

xN+2 xN+1 xN

Para lograr un ajuste continuo y suave deberán cumplirse los siguientes requerimientos: Madurez

Requerimiento 1: El valor de cada polinomio es igual en los nodos que comparten Requerimiento 2: La primera derivada de cada polinomio es igual en el nodo que comparten Requerimiento 3: La segunda derivada de cada polinomio es igual en el nodo que comparten Requerimiento 4: La segunda derivada de cada polinomio es continua entre nodos. La forma general de los spline cúbicos es: y  ax3  bx2  cx  d . La segunda derivada: y´´ = 6ax + 2b es una línea recta y por lo tanto es continua, cumpliendo con el requerimiento (4). Separamos entonces la curva spot en varios nodos y consideramos un eje “x” distinto entre dos nodos. Para esto suponemos un eje “x” imaginario denotado por X mayúscula. Para xN tenemos que X=0 y para xN+1 tenemos que X = xN+1 – xN.

“Fitting the Term Structure of Interest Rate: Practical Implementation of Cubic Splines Methodology”. Rod Pienaar y Moorad Choudhry 1

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Tasa Spot

xN+1 xN

Los puntos xN y xN+1 delimitan el spline SN. Por lo tanto Xo=0 en xN. XN=xN+1 – xN. Podemos construir entonces un polinomio de la forma:

xN+2 SN+1

y  aX 3  bX 2  cX  d de tal manera que toque los puntos xN y xN+1.

Madurez

XN+1

Requerimiento 1: El polinomio debe tocar los extremos del spline. Ya que X = 0 al comienzo, entonces: yN  aN  03  bN  02  cN  0  d N

y N = dN

Si yN = dN aseguramos que el polinomio toca el nodo Xo. Para que el polinomio toque el segundo nodo: yN 1  aN ( xN 1  xN )3  bN ( xN 1  xN )2  cN ( xN 1  xN )  d N yN 1  aN  X N3  bN  X N2  cN  X N  d N

Pero como yN+1 = dN+1 entonces d N 1  aN  X N3  bN  X N2  cN  X N  d N

(6.1)

Requerimiento 2: En el nodo xN+1 tenemos dos polinomios que confluyen: uno a la izquierda y otro a la derecha. La primera derivada de uno y de otro deberá ser igual evaluada en xN+1. 3aN X N2  2bN X N  cN  3aN 1 X N2 1  2bN 1 X N 1  cN 1

Como X = 0 para el polinomio de la derecha: 3aN X N2  2bN X N  cN  3aN 1  02  2bN 1  0  cN 1

(6.2)

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Por lo tanto: cN 1  3aN X N2  2bN X N  cN

(6.3)

Requerimiento 3: Igualmente, para el nodo xN+1, la segunda derivada para el polinomio de la izquierda deberá ser igual a la segunda derivada del polinomio de la derecha evaluada en xN+1. 6aN X N  2bN  6aN 1 X N 1  2bN 1

Bajo el mismo criterio anterior: 6aN X N  2bN  6aN 1  0  2bN 1

Por lo tanto aN 

bN 1  bN 3X N

(6.4)

Cumpliendo con todos los requerimientos simultáneamente: Primero sustituimos (6.4) en (6.3): cN 1  3aN X N2  2bN X N  cN cN 1  3

bN 1  bN 2 X N  2bN X N  cN 3X N

cN 1  (bN 1  bN ) X N  2bN X N  cN cN 1  X N (bN 1  bN )  cN

(6.5)

Reemplazando (6.4) en (6.1) llegamos a que: cN   X N

(bN 1  2bN ) (d N 1  d N )  3 XN

(6.6)

La ecuación (6.6) también puede rescribirse para un período posterior así: cN 1 

(d N  2  d N 1 ) (b  2bN 1 )  X N 1 N  2 X N 1 3

Igualando (6.5) y (6.7):

(6.7)

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 2 X N bN 1  X N b N 2 X N 1b N 1 3 bN  2 

(d N 1  d N ) (d  d N 1 )  3 N 2 XN X N 1

(6.8)

X N 1

La solución a este sistema de ecuaciones se simplifica en la siguiente tabla: X

y (d) d1

X N 1

b2  b1 bo 3X 1

 X1

b2  2b1 d 2  d1  3 X1

b3  b2 b1 3X 2

 X2

b3  2b2 d 3  d 2  3 X2

b4  b3 3X 3

 X3

b4  2b3 d 4  d 3  3 X3

 X N 1

bN  2bN 1 d N  d N 1  3 X N 1

dN-1

 2 X 1b2  X 1b1  2 X 2b2  3

d 2  d1 d  d2 3 3 X1 X2

bN  bN 1  2 X b  X b  2 X b  3 d N 2  d N 3  3 d N 1  d N 2 N 3 N  2 N 3 N  3 N 2 N 2 X N 3 X N 2 3 X N 1 X N 2

 2 X N  2bN 1  X N  2bN  2  2 X N 1bN 1  3

d N 1  d N  2 d  d N 1 3 N X N 2 X N 1

X N 1

La solución consiste en determinar los parámetros a, b, c y d en cada nodo. Partimos entonces de dos valores, bo y b1 y a partir de ahí calculamos el resto de parámetros. Sin embargo, existen tantas soluciones como valores para bo y b1. En otras palabras podríamos tener infinitas soluciones. Estas soluciones serían de la forma mostrada en la siguiente gráfica, asumiendo puntos sobre una línea recta.

Ahora deberemos tratar de buscar una única solución, que además tenga una forma más parecida a la curva de rendimientos del mercado. Necesitamos por lo tanto una restricción adicional que

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

elimine las oscilaciones mostradas. Esta restricción es hacer la segunda derivada del primer spline yo’’ y la segunda derivada del último spline yN’’ iguales a una constante. La pregunta ahora es entonces qué valor asignarle a yo’’ y yN’’. Podemos hacer yo’’ = yN’’ = 0 en lo que se conoce como spline natural. Existen dos maneras de resolver este sistema: a través de iteración ó resolviendo un sistema de ecuaciones lineales por eliminación. En la solución por iteración partimos de un valor de cero para bo y de un número dado para b1. Obtenemos a, b y c y debemos iterar hasta que bN = 0. En la solución a través de un sistema de ecuaciones lineales por eliminación podemos rescribir la ecuación (6.8) así: X N bN  2( X N  X N 1 )bN 1  X N 1bN  2  3

d N 1  d N d  d N 1  3 N 2 XN X N 1

Este sistema puede ser escrito así: Xo

d d d d   3 1 o  2 1  X1   Xo  d  d d  d2    3 2 1  3 X 2   X1

2(Xo + X1)

2(X1+X2)

........

..... .....

 

.... 2(XN–2+XN–1)

XN–2

XN–1

d  d N  2 d N  d N 1    3 N 1  X N 2 X N 1  

En cada nodo conocemos los valores de x y d. La matriz b tendrá la siguiente forma: bo

b1 b1

b2 b2 ....

b3 .... ....

.... .... bN-2

.... bN-1

Para resolver este sistema hacemos bo = bN = 0. Una matriz de este estilo se conoce como matriz tri-diagonal. Este sistema es superior al iterativo.

6.7.2

B-Splines

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Algunas veces es mucho más conveniente encontrar un grupo de funciones de base y representar los Splines como una combinación lineal de éstas. Los B-Splines constituyen un buen grupo de funciones base. Definamos por ejemplo un B-Spline cúbico. Para un grupo de nodos entre 0 y n definidos como: o ,...,n y para p = 0,......n – 4, definamos:



p4  p4

 1   B p ( )  Max (   p )3;0  i   j   j  p  i  p,i  j 

 



(6.9)

B p ( ) son B-Splines cúbicos, cuyos valores son distintos de cero sólo en el intervalo

 p , p  4 . La forma exacta del B-Spline va a depender de la ubicación de los nodos.

Para definir un Spline se requieren n+3 parámetros y por lo tanto vamos a requerir de n+3 funciones para formar una B-Spline. Con la ecuación (6.9) tenemos n–3 B-Splines con nodos en o ,...,n. Por lo tanto se requieren otras seis B-Splines. Para obtenerlas determinamos seis nodos adicionales, tres anteriores y tres posteriores al intervalo o ,...,n . Por lo tanto los nodos adicionales son:

3,2,1,n1,n2,n3 Adicionalmente,

3  2  1  o  .....  n  n1  n2  n3 Ya es posible definir B p ( ) para p = –3,.....,n–1, dados n+3 B-Splines. La base es por lo tanto el conjunto de funciones {B (τ )} restringidas al intervalo [o ,n ] . p p  3,.....,n 1

Los factores de descuento se obtienen entonces como.

 ( )   ( | 3,.....,n1) 

n1

  p B p ( )

p 3

Donde   (3,.......,1) son los coeficientes a determinar, de tal manera que el B-Spline se ajuste a los datos observados. Para unos flujos de caja dados en los tiempos 1,......... m definimos B  {B ( )} y ˆ  ( ( ),...., ( )) de tal manera que p

p 3,....,n1, j 1,.....,m

ˆ  B . Utilizamos entonces MCO para encontrar el mínimo error al cuadrado   , con  definido como P  D , donde D  CB ' . Por lo tanto:

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

*  arg min{  |   P  D} 

Al final tendremos entonces una serie de B-Splines, cada uno ponderado por un factor λ, de tal manera que en cada período tenga el mejor ajuste posible al valor de la tasa de interés observada.

6.8

Curvas de Nelson & Siegel

En un artículo seminal publicado en 1987 en el Journal of Business, Charles R. Nelson y Andrew F. Siegel aportaron un modelo parsimonioso para modelar la estructura de tasas del mercado. La ventaja de estas curvas es que tienen un número limitado de parámetros y capturan bien la forma de la curva de rendimientos del mercado. Precisamente por requerir un número muy limitado de parámetros, más exactamente cuatro, se puede trabajar con un número muy limitado de datos. Sin embargo no es muy usada cuando se requiere un alto grado de exactitud. En esta metodología se parte del precio observado de bonos que se transan en el mercado, los cuales generalmente pagan cupones. Es una metodología muy utilizada por bancos centrales en todo el mundo. En estas curvas:

 ( )   ( \ a, b, c, d )  a  (b  c   )  e d Es una curva con cuatro parámetros a determinar: a, b, c y d. Una vez conocidos estos parámetros se puede obtener todo el vector de factores de descuento δ(τ). Se escogen a, b, c y d de tal manera que   P  C  ˆ sea muy pequeño, por ejemplo minimizando  '  . P se refiere al vector de precios de los bonos y C a la matriz de flujos de caja de los bonos en consideración en cada fecha. Este procedimiento es más estable que una regresión por MCO. Observe que no estamos estimando un parámetro por cada flujo de caja; en su lugar estamos estimando 4 parámetros en total y a partir de ahí reconstruimos el descuento para cada flujo de caja. La curva forward instantánea está dada por: f o ( )  o  (1  2   )  e k 

(6.10)

Donde: fo(τ) es la curva forward instantánea βo, β1, β2 y k, son los parámetros a estimar La tasa forward instantánea se entiende como la tasa vigente para un período infinitamente pequeño dentro de un período τ. (6.10) puede ser entendida como una constante más una función de Laguerre, la cual consiste de un polinomio multiplicado por un término exponencial (k) que mide la velocidad de decaimiento en el tiempo.

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

A partir de dicha curva forward determinamos la curva spot: 

r ( ) 

6.9

 f (s)ds 0



1  e  / k   o  1   2     2  e  / k  /k

(6.11)

Descomposición de Nelson & Siegel

La tasa de corto plazo es: r (0)  o  1 La tasa de largo plazo es: Lim r ( )  o  

Por lo tanto βo es la tasa de largo plazo a la que converge la estructura de tasas del mercado. Por esta razón βo debe ser positivo. Del mismo modo, βo + β1 debe también ser positivo. Bajos valores de k significan un decaimiento rápido en el tiempo en las variables del lado derecho en (6.10) y (6.11) y por lo tanto permitirán ajustar muy bien la curvatura en el corto plazo, mientras que para plazos largos no se ajustará bien si la curvatura es excesiva. Del mismo modo, altos valores de k significan un decaimiento lento en el tiempo en las variables del lado derecho en (6.10) y (6.11) y por lo tanto permitirán ajustar muy bien la curvatura en el largo plazo, mientras que para plazos cortos no se ajustará bien si la curvatura es excesiva. Así, el parámetro que resta,  2 , controla la ubicación de la protuberancia. La siguiente gráfica muestra cuál es la contribución de cada uno de los términos de la ecuación de Nelson & Siegel a la tasa spot. Las gráficas fueron construidas con βo = 4, β1 = −2, β2 = 10 y k = 1. 7 6 Tasa Spot r (t ) 5

Tasa Spot (%)

βo

3 2 1 0 1  e  / k     /k 

1 

-1 -2 -3 Tiempo a la Madurez

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

6.10

Obtención de la Curva Nelson y Siegel

Obtener la curva de Nelson y Siegel consiste entonces en resolver el siguiente problema no lineal: ( o* , 1* ,  2* , k * )  arg min  '  \   P  C  ˆ( \ o , 1,  2 , k ) (  o , 1 ,  2 , k )

Donde: ˆ ( ) es un vector de factores de descuento Resolver un problema no lineal como este puede ser complejo; sin embargo, puede transformarse en un problema lineal haciendo que k sea una constante. Al hacer k una constante obtenemos un grupo  o* , 1* ,  2* . A través de MCO. Deberá entonces correrse una regresión de las tasas forwards observadas contra las tasas forwards estimadas en (6.10).  o* , 1* ,  2* , k * serán los que minimicen los errores al cuadrado (  ' ) en dicha regresión. Para obtener las tasas forwards observadas se puede partir de las tasas spot (cero cupón). Si no existe un mercado de cero cupón, como es seguramente el caso en mercados emergentes, deberán calcularse las tasas cero cupón partiendo de bonos con cupones, tal como se explicó en este capítulo. La gráfica de abajo muestra cómo serían la curva spot (a la izquierda) y la curva forward (a la derecha). La curva spot se interpoló linealmente y observe la forma poco ortodoxa que adopta la curva forward. 11,0%

12,0%

10,5% 11,0%

9,5%

Tasas forward

Tasas de Interés Spot

10,0%

9,0% 8,5% 8,0% 7,5% 7,0%

10,0%

9,0%

8,0%

7,0%

6,5% 6,0%

6,0% 0

Tiempo (Años)

Lo que se quiere con estos métodos de ajuste, en particular con Nelson & Siegel, es encontrar una forma funcional para las tasas forward que arrojen una aproximación suave, tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

11.5%

Tasas forward

11.0% 10.5% 10.0% 9.5% 9.0% 8.5% 8.0% 0

Tiempo (Años)

Tenemos entonces que:

1 e  k 1  1 e  k  2 A     k  n 1 e

 1  e  k     2  e  k   1

   n  e k  n  

;

 o     1    2 

;

 f1  f  f   2      fn 

f  fˆ   Donde: f

fˆ ε

= Tasa forward observada = Tasa forward estimada = Término de error

A    fˆ  (  o* , 1* ,  2* , k * )  arg min   '  \    f   A   (  o , 1 ,  2 , k )

La solución no restringida a este problema será:

 *   A' A1 A' f Un procedimiento alternativo para implementar Nelson & Siegel es utilizando el Solver de Excel, para lo cual incluso puede partirse de bonos con cupones. A partir de estos bonos se construye la matriz C de flujos de caja. Por lo tanto:

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

P = C∙δ Donde: δ

= Vector de factores de descuento

Como δi = e r ( ) Con r(τ) como la curva spot definida en (6.11), entonces:    1  ek   2 k        i  exp  o   1  2    e   k  k  k      



El término de error será entonces ε = P − C∙δ Con el Solver se va a minimizar el error al cuadrado (ε´ε), variando los cuatro parámetros βo, β1, β2, k. Es posible encontrar problemas con el Solver por la gran cantidad de ceros en la matriz C; en tal caso es preferible partir de un k dado y estimar los betas. El procedimiento se repite para varios k hasta encontrar el que minimice los errores al cuadrado.

 '   P' P  2P' C   ' C' C 6.11

Cómo implementar Nelson & Siegel en Excel

Para implementar Nelson & Siegel en Excel comencemos por tomar los bonos del gobierno transados en un día determinado, incluyendo la fecha de vencimiento del papel, el cupón fijo y el precio observado en el mercado. Por ejemplo, supongamos que los papeles transados un día determinado fueron los siguientes:

Fecha de Vcto. 18-Mar-03 16-Abr-04 25-Jun-04 04-Feb-05 08-Nov-05 03-May-06 25-Jul-06 22-Ago-08 12-Feb-09 25-Ene-12

Cupón 12 15 15 15 15 15 15 15 15 15

Precio Observado 103,24900 107,50975 120,12573 111,31246 115,98800 120,83729 117,23271 113,81093 106,78589 105,89855

En seguida, partamos de unos valores iniciales de los cuatro parámetros βo, β1, β2, k. Desafortunadamente la estimación de la curva va a ser sensible a estos valores iniciales de los parámetros, por lo que lo mejor sería partir de los vigentes en días recientes. También puede adoptarse un βo que no sea superior a la TIR del papel más largo utilizado en el cálculo, pues

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

como se mostró, βo es el nivel al cual converge la curva en el largo plazo. Igualmente, dado que r (0)  o  1 , quiere decir que β1 puede adoptarse inicialmente como r(0) – βo, donde r(0) es la tasa de interés del papel más corto tenido en cuenta en el cálculo. Los otros dos parámetros pueden suponerse inicialmente como β2 = −1 y τ = 1. Con esos valores iniciales calculamos una curva cero cupón inicial. El siguiente paso es estimar el valor presente de los flujos de cada papel, es decir, de los cupones y el principal, utilizando para esto la curva cero cupón inicial. Este paso luce de la siguiente manera en Excel: Fecha del Flujo 18-Mar-03

Flujo 112

Dias al Vcto. del Flujo 327.00

Tiempo Anualizado 0.895890411

Tasa Spot 0.08270472

Factor de Descuento 0.928584063

Valor Presente 104.0014151

FechaFlujo 16-Abr-03 16-Abr-04

Flujo 15 115

Dias al Vcto. del Flujo 356.00 721.00

Tiempo Anualizado 0.975342466 1.975342466

Tasa Spot 0.08426335 0.101317216

Factor de Descuento 0.921100965 0.818619251

Valor Presente 13.81651448 94.14121384

Fecha Flujo 25-Jun-02 25-Jun-03 25-Jun-04

Flujo 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 61.00 426.00 791.00

Tiempo Anualizado 0.167123288 1.167123288 2.167123288

Tasa Spot 0.066810014 0.087894568 0.104094025

Factor de Descuento 0.988896594 0.902502519 0.798049554

Valor Presente 14.83344891 13.53753779 91.77569868

Fecha Flujo 04-Feb-03 04-Feb-04 04-Feb-05

Flujo 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 285.00 650.00 1015.00

Tiempo Anualizado 0.780821918 1.780821918 2.780821918

Tasa Spot 0.080389394 0.098348121 0.112048015

Factor de Descuento 0.939159643 0.839339094 0.732284941

Valor Presente 14.08739464 12.59008641 84.21276819

Fecha Flujo 08-Nov-02 08-Nov-03 08-Nov-04 08-Nov-05

Flujo 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 197.00 562.00 927.00 1292.00

Tiempo Anualizado 0.539726027 1.539726027 2.539726027 3.539726027

Tasa Spot 0.075308416 0.094444540 0.109085462 0.120137270

Factor de Descuento 0.960169054 0.864660170 0.758018728 0.653604387

Valor Presente 14.40253581 12.96990255 11.37028091 75.16450453

Fecha Flujo 03-May-02 03-May-03 03-May-04 03-May-05 03-May-06

Flujo 15 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 8.00 373.00 738.00 1103.00 1468.00

Tiempo Anualizado 0.021917808 1.021917808 2.021917808 3.021917808 4.021917808

Tasa Spot 0.063273541 0.085162089 0.102005072 0.114813802 0.124406032

Factor de Descuento 0.998614144 0.916650829 0.813633003 0.706835105 0.606317904

Valor Presente 14.97921216 13.74976243 12.20449505 10.60252657 69.72655895

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Fecha Flujo 25-Jul-02 25-Jul-03 25-Jul-04 25-Jul-05 25-Jul-06

Flujo 15 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 91.00 456.00 821.00 1186.00 1551.00

Tiempo Anualizado 0.249315068 1.249315068 2.249315068 3.249315068 4.249315068

Tasa Spot 0.06875477 0.089395567 0.105239935 0.117251586 0.126209582

Factor de Descuento 0.983004481 0.89432751 0.789213995 0.683186535 0.584905911

Valor Presente 14.74506722 13.41491265 11.83820992 10.24779802 67.26417979

Fecha Flujo 22-Ago-02 22-Ago-03 22-Ago-04 22-Ago-05 22-Ago-06 22-Ago-07 22-Ago-08

Flujo 15 15 15 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 119.00 484.00 849.00 1214.00 1579.00 1944.00 2309.00

Tiempo Anualizado 0.326027397 1.326027397 2.326027397 3.326027397 4.326027397 5.326027397 6.326027397

Tasa Spot 0.070533508 0.090767366 0.106286174 0.118038083 0.126789511 0.133159226 0.137646111

Factor de Descuento 0.977266533 0.886601190 0.780965305 0.675300232 0.577818833 0.492032905 0.418636168

Valor Presente 14.65899800 13.29901785 11.71447958 10.12950348 8.66728249 7.380493582 48.14315927

Fecha Flujo 12-Feb-03 12-Feb-04 12-Feb-05 12-Feb-06 12-Feb-07 12-Feb-08 12-Feb-09

Flujo 15 15 15 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 293.00 658.00 1023.00 1388.00 1753.00 2118.00 2483.00

Tiempo Anualizado 0.802739726 1.802739726 2.802739726 3.802739726 4.802739726 5.802739726 6.802739726

Tasa Spot 0.080835767 0.098690562 0.112307420 0.122543150 0.130089953 0.135506322 0.139242230

Factor de Descuento 0.937170470 0.837014908 0.729957864 0.627507469 0.535374818 0.455523524 0.387814305

Valor Presente 14.05755706 12.55522362 10.94936797 9.412612031 8.030622268 6.832852857 44.59864508

Fecha Flujo 25-Ene-03 25-Ene-04 25-Ene-05 25-Ene-06 25-Ene-07 25-Ene-08 25-Ene-09 25-Ene-10 25-Ene-11 25-Ene-12

Flujo 15 15 15 15 15 15 15 15 15 115

Días al Vcto. del Flujo 275.00 640.00 1005.00 1370.00 1735.00 2100.00 2465.00 2830.00 3195.00 3560.00

Tiempo Anualizado 0.753424658 1.753424658 2.753424658 3.753424658 4.753424658 5.753424658 6.753424658 7.753424658 8.753424658 9.753424658

Tasa Spot 0.079827844 0.097917203 0.111721473 0.122106502 0.129771830 0.135281913 0.139091559 0.141566634 0.143000916 0.143629809

Factor de Descuento 0.941628679 0.842239858 0.735197095 0.632346638 0.539635904 0.459170216 0.390884028 0.333662182 0.286004498 0.246379434

Valor Presente 14.12443018 12.63359787 11.02795643 9.485199575 8.094538567 6.887553240 5.863260423 5.004932732 4.290067463 28.33363488

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Como se nota, la frecuencia del pago de cupones es anual. Con la curva cero cupón inicial calculamos el factor de descuento al pago de cada cupón y principal y con esto obtenemos el valor presente de dichos flujos. La sumatoria de la última columna en cada papel es el precio calculado con base en esa curva cero cupón que hemos llamado “inicial”. Finalmente, cada uno de estos precios, en este caso un total de 10, los comparamos contra los precios observados para cada papel y obtenemos el “error”, calculado como Precio Observado – Precio Estimado. Luego cada error es elevado al cuadrado y calculamos la sumatoria de dichos errores al cuadrado. El último paso es utilizar el Solver de Excel para minimizar la celda que contiene la sumatoria de los errores al cuadrado, cambiando las celdas en donde están los parámetros de Nelson & Siegel. Los nuevos parámetros así obtenidos son los parámetros a utilizar ese día para construir la curva cero cupón. Es muy importante tener en cuenta que los precios observados que se ingresan al modelo se refieren al precio sucio o precio de liquidación. Igualmente, al aplicar los betas estimados, Nelson & Siegel nos arroja tasas continuas. Para convertirlas a tasas efectivas anuales, procedemos de esta manera:

e rc t = (1 + rE.A)t.

Donde rc se refiere a la tasa continua y rE.A a la tasa efectiva anual. Despejando para rE.A tenemos:

rE. A  erc  1 .

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Ejercicios 1. El 13 de octubre de 2004 el gobierno de Colombia sacó al mercado un nuevo papel, con vencimiento el 12 de septiembre de 2014, el cual pagaría cupón del 13,5% anual. Hasta ese momento el papel del gobierno con la vida más larga que estaba en circulación era uno con vencimiento en abril de 2012. Este nuevo papel a 10 años se convertía entonces en la emisión más larga disponible hasta ese momento en el mercado. Observe que aunque el papel se vendió en oferta primaria el 13 de octubre, la fecha de emisión registrada fue el 12 de septiembre de 2004, con lo cual los pagos de cupones son los 12 de septiembre y el vencimiento igualmente es un 12 de septiembre. La razón de esto es que para que un papel sea “repeable” ante el Banco de la República debe tener al menos un mes desde la fecha de emisión. Cuánto estaría Usted dispuesto a pagar por este papel en términos de TIR si ese día los betas del mercado, obtenidos a través de Nelson & Siegel eran: βo = 15,857339 β1 = −9,341641 β2 = 1,540581  = 2,673536

2. Suponga que en el mercado se transan papeles cero cupón a estos plazos y tasas: 1 año = 8,0% 2 años = 9,2% 3 años = 10,6% 4 años = 11,2% 5 años = 11,9% Usted quiere valorar un papel a cinco años que paga cupón del 12% anual semestre vencido. Para esto estime la curva cero cupón usando la metodología de Nelson & Siegel. Parta de los siguientes valores iniciales: βo = 14,5255 β1 = −9,8126 β2 = 3,0208 τ = 2,0177

3. Suponga que se quiere emitir un bono a 10 años con pagos de cupón anuales. Si el cupón es del 13%, ¿Cuánto esperaría Usted pagar por este papel?. Parta de los betas del punto anterior. ¿Cuál será la TIR de ese papel?. ¿A qué precio espera Usted que se cotice un bono cero cupón a tres años?

4. El trader de TES de un banco cree que puede utilizar la curva de Nelson & Siegel para determinar qué TES están potencialmente más caros que otros y así tener argumentos de compra o venta. Para esto planea primero obtener la curva cero cupón de TES, luego utiliza esta curva para valorar los mismos TES que utilizó para obtener la cero cupón, obteniendo un nuevo precio teórico, que por supuesto no tiene que coincidir con el observado. Con ese precio teórico obtiene la TIR teórica de cada TES y la compara contra la TIR observada. Aquellos papeles que muestren la mayor diferencia entre las TIR estarán proporcionalmente

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

más caros o más baratos, dependiendo de si la TIR observada está por encima o por debajo de la teórica, respectivamente. Si los TES que se transaron el 17 de marzo de 2006 se muestran abajo, cuáles papeles estarían proporcionalmente caros y cuáles baratos?

Fecha de Vcto 27-Sep-06 09-Nov-07 22-Ago-08 10-Jul-09 12-Feb-10 26-Abr-12 12-Sep-14 24-Jul-20

Cupon 6,0 12,0 15,0 12,5 13,0 15,0 13,5 11,0

Precio Sucio Observado 102,79800 112,86600 118,48000 116,53800 120,35000 137,00000 137,03600 130,90400

Capítulo 6 – Modelos No-Estocásticos de Tasa de Interés

Lecturas Adicionales Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. Meier, Iwan. “Estimating the Term Structure of Interest Rates and the Pricing of Interest Rate Derivatives”. Studienzentrum Gerzensee. 2000. Nelson, Charles R. y Andrew F. Siegel. “Parsimonious Modeling of Yield Curves”. Journal of Business. Octubre de 1987. Pienaar, Rod y Moorad Choudhry . “Fitting the Term Structure of Interest Rate: Practical Implementation of Cubic Splines Methodology”.

Capítulo 7 - FRA

CAPÍTULO 7 FRA (Forward Rate Agreement) 7.1

Definición

Un FRA se define como un acuerdo entre dos partes para intercambiar tasas de interés a partir de un momento dado y por un período determinado. Así, una de las partes entregará en el futuro una tasa de interés variable mientras que la otra parte entregará una tasa de interés fija, establecida desde el comienzo del FRA y conocida como tasa FRA. Un FRA es el equivalente en el mercado de las tasas forward teóricas. Quien compra un FRA tiene expectativas de alza de las tasas de interés. Es un captador teórico de dinero. Quien vende un FRA tiene expectativas de baja en las tasas de interés. Es un colocador de dinero teórico. Llamemos F = Fo(t,τ) la tasa FRA acordada en el tiempo 0 para que empiece a regir a partir del tiempo t por un período τ. La tasa F es fija y como en el tiempo 0 no hay intercambio de capital, el valor del FRA en el tiempo 0 es de 0. En el momento t quien posee el FRA recibirá:

C

[r (t , )  F ]   r (t , ) 1  r (t , )   r (t , )

(7.1)

Donde: α=

Fracción de año en que aplica la tasa F. Por ejemplo, en un período de 3 meses α = 0,25.

r(t,τ) = Tasa forward implícita a partir del período t por un período τ. Este valor puede ser positivo o negativo y corresponde al valor presente en el tiempo t de la diferencia entre pedir prestado ó captar a la tasa r en el tiempo t por un período  y pedir prestado o captar a la tasa F por un período  . Ya dijimos que F equivale a la tasa de mercado de las tasas forward teóricas. Por lo tanto: [1+r(0,t)∙α(0,t)]∙[1+Fo(t,τ)∙α(t,τ)] = [1+r(0,t +τ)∙α(0,t + τ)] Fo (t , ) 

1  r (0, t   )   (0, t   )  1 1  r (0, t )   (0, t )  (t , )  (t , )

Donde las tasas de interés están expresadas en forma nominal. determinando la tasa FRA de 3 meses dentro de 6 meses: α(0,t) = 0,5 α(t,  ) = 0,25 α(0,t +  ) = 0,75

Por ejemplo, si estamos

Capítulo 7 - FRA

Es fácil notar que α(t,τ)= τ, α(0,t) = t 1  P(0, t )

y α(0,t +τ) = t + τ. Por lo tanto:



Fo(t,)   1   P(0, t   )  Donde: P(0,t) = Precio de un bono cero cupón que madura en un período t P(0,t +τ) = Precio de un bono cero cupón que madura en un período t +τ. Si estuviésemos usando tasas efectivas anuales en lugar de tasas nominales, la tasa FRA podría expresarse como: t 

1  r (0, t   )  Fo (t , )  t 1  r (0, t )

1

Donde r(0,t) y r(0,t + τ) están en términos efectivos. t y τ se representan como fracción de año. Para construir un mercado de FRA’s se necesitan entonces dos cosas desde el punto de vista del mercado: 1. 2.

Que exista una tasa de interés variable de referencia, publicada con una alta frecuencia. Que en el mercado se encuentren cotizaciones para dicha variable a diferentes plazos.

En el caso colombiano existen varias tasas de interés variables de referencia como son la DTF, la TBS que publica la Superintendencia Bancaria y la tasa de los títulos de tesorería TES. Para la DTF se encuentran cotizaciones para 90, 180 y 360 días, por lo cual la curva de rendimientos del mercado para la DTF sólo puede construirse hasta un año de plazo y por tal motivo sólo podrían construirse FRA’s con vencimiento máximo a un año. Con la DTF de 90 días y la de 180 días puede construirse la tasa forward de 90 días dentro de 90 días. Con la DTF de 180 días y la de 360 días puede construirse la tasa forward de 180 días dentro de 180 días.

7.2

Términos de un FRA

La información relevante en los FRA’s es la siguiente: Fecha del contrato: Momento en el que se pactan las condiciones del contrato FRA Fecha de liquidación: Fecha en la que se produce el diferencial o liquidación de intereses Fecha de vencimiento: Fecha de vencimiento del período garantizado por el contrato FRA Período de contratación: Número de días desde la fecha de inicio hasta la fecha de vencimiento establecida en el contrato FRA, y sobre el que se aplicará el diferencial. La siguiente gráfica ilustra esta información en un FRA:

Capítulo 7 - FRA

FRA 3/6 3 meses

3 meses Período de riesgo de tasa de Interés cubierto por el FRA 3/6

Fecha de contrato

Fecha de liquidación

Fecha de vencimiento

Período de contratación

Ejemplo 7.1: Suponga una Tesorería que compra un FRA en la modalidad 3/6. siguientes: Tasa FRA (Fija) E.A. Plazo de liquidación Período de contratación Valor Nominal

Las condiciones son las

= 13,50% = 90 días = 90 días = $1.000’000.000

Suponga que la DTF en la fecha de liquidación es del 13,00% E.A. El primer paso consiste en convertir las tasas efectivas anuales en Nominales Trimestre Vencido (TV). Las tasas nominales serían: 13,50% E.A. 13,00% E.A.

= 12,87% Nominal TV. = 12,41% Nominal TV.

El flujo de intereses a la tasa FRA será (1):

$1.000'000.000  12,87%  $32’175.000 4

El Flujo de intereses a la tasa de liquidación será (2): $1.000'000.000  12,41%  $31’025.000 4 El pago que la Tesorería le debe hacer al cliente en la fecha de liquidación será: (1 − 2) = $32’175.000 − $31’.025.000 = $1’150.000 El paso final es traer ese pago al valor presente (VP) en la fecha de liquidación: VP de la liquidación = $1’115.394

Capítulo 7 - FRA

7.3

Cobertura de FRA’s

En portafolios grandes de FRA’s y cuando este mercado se haya vuelto muy líquido, FRA’s de compra y FRA’s de venta cancelarán en buena parte los riesgos asociados con ellos. Sin embargo siempre van a existir desfases en cuanto a madurez de los FRA’s y montos, lo que genera un riesgo residual que el manejador del portafolio deberá conocer en todo momento con el fin de saber cuál es la exposición total de su portafolio al cambio de las variables que lo afectan. Si está ofreciendo FRA’s hasta un año de plazo sobre la DTF para el caso colombiano, los riesgos relacionados con cambios en la tasa de interés se resumen entonces en cambios en la curva de rendimientos de la DTF. Cuando apenas se está construyendo un portafolio de FRA’s o de cualquier otro derivado, se hace necesario una cobertura sintética para evitar sorpresas desagradables cuando las tasas de interés se mueven. A continuación se explica cómo una entidad financiera que esté en el mercado de FRA’s deberá hacer la cobertura de uno de ellos en particular, más que como una aplicación práctica, para entender cuáles son los riesgos asociados a un FRA que se deben conocer. Supongamos inicialmente que un banco compra un FRA y por lo tanto recibirá en el período t la tasa de interés variable vigente por un tenor τ (DTF(t,τ)) y entregará la tasa FRA, fija, pactada con su contraparte (F(t,τ)), ambas tasas expresadas en términos efectivo anual. Si ambas partes intercambian flujos al final del período t +τ, los flujos para el banco serían: 100[1+DTF(t, τ )]t/360

100[1+FRA(t, τ )]t/360

Para anular los flujos mostrados en la gráfica de arriba el banco deberá tener entonces en el período t +τ un ingreso en tasa fija y una salida de flujos en tasa variable. Para conseguir la entrada de flujos fija, deberá invertirse en t = 0 a una tasa F durante un período de t + τ días. Los recursos para dicha inversión provendrán de una captación que haga a tasa variable, repreciando al final del período t.

Capítulo 7 - FRA

100[1+F(0,t+τ )](t+τ )/360

Inversión

100

Captación 100{ [1+DTF(0, t)] t/360-1}

100 [1+DTF( t, τ )] t/360

El neto de los flujos del FRA y la captación y la colocación es:

100[1+F(0,t+τ)](t+τ)/360

100{ [1+DTF(0, t)] t/360-1}

100[1+FRA(t, τ)] τ/360 Como en un FRA no hay intercambio de flujos al inicio, el valor presente debe ser igual a cero. Trayendo estos tres flujos a valor presente tenemos:

Capítulo 7 - FRA

100[1+F](t+τ)/360∙FD2 – 100[1+FRA(t, τ)](t + τ)/360∙FD2 – 100{[1+DTF(0,t)t/360]–1}∙FD1 = 0 Donde: FD1 FD2

= Factor de descuento para un período t = Factor de descuento para un período t + τ

Despejando FRA(t,τ) tenemos:





  FD1 FRA(t,τ) = (1  F)(t  ) / 360  1  (1  DT F(0, t ))t / 360  FD 2  

360/( t  )

Esta es la tasa FRA(t,τ) que resultará de una cobertura sintética. La utilidad para el banco se da por la diferencia entre esta tasa calculada y la tasa que realmente cobrará, la cual llamaremos FRA(t,τ)C. Por lo tanto FRA(t,τ)C < FRA(t,τ)

Suponga ahora que la Tesorería vende un FRA. Sus flujos futuros son como se muestra en la siguiente gráfica:

100[1+FRA(t,τ)] τ/360

100[1+DTF(t, τ )] τ/360

Para cubrir sus riesgos deberá entonces hacer una captación cero cupón a un plazo t +τ una tasa fija F(0,t + τ) e invertir esos recursos a tasa variable (DTF) un plazo t + τ repreciando al final del período t.

Capítulo 7 - FRA

100[1+F(0,t+τ)](t+τ)/360

Captación

100{ [1+DTF(0, t)] t/360-1}

100[1+DTF(t, τ )] τ/360

Inversión

100

El ingreso de 100[1+DTF(t, τ)] τ/360 al final del período t + τ conseguido a través de la inversión se compensa con la salida de flujos como obligación del banco en el FRA. El neto para el banco entre los flujos del FRA y los flujos provenientes de la captación y la inversión se resumen en la siguiente gráfica:

100[1+FRA(t,τ)] τ/360

100{ [1+DTF(0, t)] t/360-1}

100[1+F(0,t+τ)](t+τ)/360 Trayendo estos tres flujos a valor presente tenemos:

Capítulo 7 - FRA

100[1+FRA(t, τ)](t + τ)/360∙FD2 − 100[1+F](t+ τ)/360∙FD2 + 100{[1+DTF(0,t)t/360]−1}∙FD1 = 0 Despejando FRA(t, τ) tenemos:





  FD1 FRA(t, τ) = (1  F)(t  ) / 360  (1  DTF (0, t ))t / 360  1  FD 2  

360/( t  )

Esta es la tasa FRA(t, τ) que resultará de una cobertura sintética. La utilidad para el banco se da por la diferencia entre esta tasa calculada y la tasa que realmente cobrará, la cual llamaremos FRA(t,τ)V. Por lo tanto FRA(t, τ)V > FRA(t, τ)

7.4

Valor en el tiempo de un FRA

El valor presente en tiempo 0 del FRA de venta será igual al valor presente de los derechos en tasa fija (Fv) menos el valor presente de las obligaciones en tasa variable DTF(t, τ). En ese punto el derecho deberá ser igual a la obligación y por lo tanto el valor del FRA será igual a cero. Una vez el tiempo empiece a correr para el FRA, su valor seguirá siendo el valor presente de los derechos menos el valor presente de las obligaciones, el cual se resume en la siguiente ecuación para un FRA de venta:  ( F  DTF (t , ))   DTF (t , )  1 FRAv  Nv  v    1  DTF (t , )   DTF (t , ) 1  DTF (0, t )   DTF (0, t ) 

Donde: Nv es el monto del FRA de venta Fv es la tasa FRA de venta pactada La tasa futura implícita DTF(t,τ) puede escribirse como función de DTF(0,t) y DTF(0,t+τ) así: 1  DTF (0, t   )   (0, t   )  1 DTF (t , )    1  1  DTF (0, t )   (0, t )   (t , )

Por lo tanto la expresión para el valor del FRA de venta en cualquier momento es:  ( Fv  DTF (t , ))   DTF (t , )  FRAv  N v   1  DTF (0, t   )   DTF (0, t   ) 

(7.2)

El valor presente en cualquier momento de un FRA de compra será:  ( DTF (t , )  Fc )   DTF (t , )  FRAc  N c   1  DTF (0, t   )   DTF (0, t   ) 

(7.3)

Capítulo 7 - FRA

Fv y Fc están fijos mientras que las distintas DTF y los distintos α varían diariamente. Por ejemplo, si es un FRA 3/6, en el momento 0 tenemos que DTF(t,τ) será la tasa futura implícita de 90 días dentro de 90 días, mientras que DTF(0,t) será la DTF de 90 días. Pasado un día, DTF(t,τ) será la tasa futura implícita de 90 días dentro de 89 días y DTF(0,t) será la DTF a 89 días. Como en el mercado no existe DTF para 89 días, esta deberá salir de una extrapolación de la curva de rendimientos de la DTF.

7.5

Cambio en el valor del FRA ante cambios en la tasa de interés

Un FRA siempre tendrá exposición a dos tasas de interés, DTF(0,t) y DTF(0,t+τ) y por lo tanto para cada uno habrá que hacer un análisis DV10 sobre cada una de las dos tasas. Las expresiones para las variaciones en el valor de un FRA cuando cambia las tasas DTF(0,t) y DTF(0,t+τ) pueden escribirse así: FRAV   (0, t ) DTF (0, t )

(7.4)

FRAV   (0, t   )1  DTF (0, t )   (0, t ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )  DTF (0, t   ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )2 

( FV  DTF (t , ))   (t , )   (0, t   ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )2

FRAC   (0, t ) DTF (0, t )

(7.5)

(7.6)

FRAC  (0, t   )1  DTF (0, t )   (0, t ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )  DTF (0, t   ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )2 

( DTF (t , )  FV )   (t , )   (0, t   ) 1  DTF (0, t   )   (0, t   )2

(7.7)

Para determinar la sensibilidad del valor de un FRA ante cambios en la tasa de interés se puede seguir cualquiera de los siguientes dos procedimientos: 1. Análisis DV10: Se determina la variación de cada FRA ante cambios en las tasas de referencia del mercado. En nuestro caso las tasas de referencia o tasas clave pueden corresponder a los plazos de 1, 5, 15, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 y 360 días y 2, 3, 5, 7 y 10 años. Miremos por ejemplo cómo se calcula la sensibilización del valor de un FRA cuando cambia la tasa de 90 días. Primero se asume un cambio de 10pb en la DTF de 90 días. La variación de las tasas entre 60 y 90 días será lineal entre 0 para la tasa de 60 días y 10pb para la tasa de 90 días.

Capítulo 7 - FRA

Igualmente la variación para las tasas entre 90 y 120 días variará linealmente entre 10pb para la DTF de 90 días y 0 para la de 120 días. La siguiente gráfica ilustra este punto.

Tasa

10pb

60d



Curva original

90d

120d

Plazo

El mismo procedimiento se aplica para cada una de las tasas clave. Así, el manejador del portafolio tendrá un DV10 para la tasa de 1 día, otro para la tasa de 5 días y así sucesivamente para cada tasa clave. Finalmente, el manejador sabrá en cuánto cambia el valor de su portafolio cuando la tasa de un día sube 10pb; en cuánto cambia el valor si la que sube 10pb es la tasa de 5 días, etc. Con base en dicha información sabrá qué hacer para controlar las pérdidas posibles de su portafolio cuando las tasas de interés se mueven. Por ejemplo, suponga que el análisis DV10 indica que si la tasa de 180 días sube 10pb, el valor del portafolio se reduce en $1.000 millones. ¿Qué hacer?. Es evidente que si el manejador del portafolio quiere estar completamente inmune a cambios en la tasa de interés de 180 días, deberá buscar un instrumento financiero que le produzca una ganancia de $1.000 millones si la tasa de interés de 180 días sube 10pb. Este instrumento puede ser agregar un FRA de compra 3/6 a su portafolio, por un monto tal que su valor presente sea de $1.000 millones. Note que el valor de dicho FRA de compra aumenta cuando sube la tasa de 180 días, pues en ese caso la tasa futura implícita es mayor a la inicialmente calculada. El análisis DV10 ofrece una gran ventaja porque permite modelar movimientos en la curva de rendimientos de cualquier forma, es decir, puede asumirse que los movimientos son paralelos, con lo cual cada tasa clave se mueve en la misma magnitud; o asumir que la curva se empina, con lo cual se asumen cambios grandes en las tasas clave de largo plazo y cambios pequeños en las tasas de corto plazo. A continuación se explica el procedimiento a seguir en caso de que alguna o las dos tasas del FRA no coincidan con una tasa clave. Por ejemplo, suponga que hace 50 días se hizo un FRA 3/6 de compra. Hoy a ese FRA le faltarán 40 días para determinar la tasa de interés de 90 días que se pagará. Las tasas que afectan el valor de este FRA son las spot para los plazos de 40 y 130 días, ninguna de ellas reconocida como tasa clave. La primera de ellas, la de 40 días, se encuentra entre

Capítulo 7 - FRA

las tasas clave de 30 y 60 días, mientras que la segunda, la de 130 días, se encuentra entre las tasas clave de 120 y 150 días. Como el interés se centra en calcular la variación en el valor del FRA cuando se mueven las tasas clave, podemos decir que: FRA FRA r40 . Cuando la tasa clave de 30 días se mueve 10pb hacia arriba, la tasa de 40   r30 r40 r30 días se moverá ⅔ de ese cambio, es decir, 6,67pb. Por su parte cuando la tasa clave de 60 días se mueve 10pb hacia arriba, la tasa de 40 días se moverá ⅓ de ese cambio, es decir, 3,33pb. Por lo tanto podemos rescribir esta última expresión para decir:

FRA FRA   0,000667 r30 r40

FRA FRA r40 FRA     0,000333 r60 r40 r60 r40

Este procedimiento se repite para cada FRA para al final agregar todos los riesgos a cada una de las tasas clave y saber en cuánto cambia el valor del portafolio cuando se mueve cada una de las tasas claves. 2. Se obtiene la variación de cada FRA ante cambios en la tasa de interés de corto plazo, caso en el cual se requiere un modelo de tasa de interés para determinar la evolución que sigue la tasa de interés de corto plazo y cómo esta se relaciona con la tasa de interés de más largo plazo. Por ejemplo, para el caso colombiano puede utilizarse como tasa de interés de corto plazo la DTF de 90 días o en su defecto la tasa de los papeles soberanos (TES) a ese mismo plazo. De (7.2) y (7.3) tenemos que la variación en el valor del FRA, tanto de compra como de venta, ante variaciones en la tasa de interés de corto plazo, rt será: FRAv DTF (t ,  ) 1  DTF (t , )   (t , )1 1  DTF (0, t )   (0, t )1FRAv  1  DTF (0, t )   (0, t )   1    (t ,  )  rt rt FRAv   (0, t )

DTF (0, t ) rt

1  DTF (0, t )   (0, t )1

Por su parte:

FRAc DTF (t ,  ) 1  DTF (t , )   (t , )1 1  DTF (0, t )   (0, t )1 1  FRAc  1  DTF (0, t )   (0, t )     (t ,  )  rt rt FRAc   (0, t )

Tanto para el FRA de compra como para el de venta: DTF (t , ) 

1 1  DTF (0, t   )   (0, t   )   1  (t , )  1  DTF (0, t )   (0, t ) 

DTF (0, t ) rt

1  DTF (0, t )   (0, t )1

Capítulo 7 - FRA

Por lo tanto:  DTF (0, t   )    (0, t   )1  DTF (0, t )   (0, t )  DTF (t , ) 1  rt      2 rt  (t , )  1  DTF (0, t )   (0, t )       DTF (0, t )    (0, t )1  DTF (0, t   )   (0, t   ) 1  rt    2  (t , )  1  DTF (0, t )   (0, t )   

DTF (0, t ) DTF (0, t   ) y se obtienen dependiendo del modelo de tasas de interés que se rt rt haya asumido. Por ejemplo, si se asume que el modelo Vasicek es el que mejor representa la relación entre la tasa de interés de corto plaza y la tasa de interés a cualquier otro plazo, y retomado esta relación: DTFt (0, T )  DTF  [ DTF (0,90)t  DTF ]

1  e T  2T  1  e T   T 4  T

   

Donde: DTFt(0,T) =

Tasa de interés spot a un plazo T.

DTF(0,90)t =

Tasa de interés de corto plazo (DTF de 90 días) en el momento t.

DTF =



Por lo tanto

7.6

    2    2    2 

1  e T DTF (0, t ) DTF (0, t ) = = T rt DTF (0,90)t

Manejo dinámico de un portafolio de FRA’s

Como se comentó anteriormente, un manejo más dinámico de un portafolio de FRA´s no necesariamente requiere la cobertura de cada FRA vía captaciones y colocaciones. Por el contrario, FRA´s de compra y de venta pueden cruzarse hasta determinar un valor presente de este portafolio y la sensibilidad del mismo a movimientos en la tasa de interés. Aunque el capítulo 16 se dedica por completo al análisis de cada uno de los riesgos a los que está expuesto un portafolio de derivados, hace especial énfasis en un portafolio de opciones.

Capítulo 7 - FRA

Considerando que estamos analizando un portafolio de FRA’s, a continuación se introducen los más importantes riesgos. Llamemos p el valor presente del portafolio de FRA’s en el cual por supuesto habrán FRA’s de compra y de venta. El valor presente del portafolio será la sumatoria del valor presente de cada FRA. p  VP ( FRAc )  VP ( FRAv )

Donde VP significa valor presente. Por su parte la sensibilidad del portafolio a cambios en la tasa de interés, la cual llamaremos Delta, es igual a la sumatoria de la sensibilidad de cada FRA. p  rt



FRAc  rt



FRAv = Delta rt

Igualmente la sensibilidad del Delta del portafolio a variaciones en la tasa de interés, la cual llamaremos Gamma, es la sumatoria de los Gammas de cada FRA. 2 p  rt2



 2 FRAc  rt2



 2 FRAv = Gamma rt2

Así las cosas, es posible hacerle cobertura Delta y Gamma a un portafolio de FRA’s respecto a un cierto plazo de tasa de interés utilizando tres bonos cero cupón así: q1  Bt (T1 )  q2  Bt (T2 )  q3  Bt (T3 )  p

q1 

Bt (T1 ) B (T ) B (T ) p  q2  t 2  q3  t 3  rt rt rt rt

q1 

 2 Bt (T1 )  2 Bt (T2 )  2 Bt (T3 )  2 p  q   q   2 2 3 rt2 rt2 rt2 rt

Donde: qi = Cantidades necesarias de cada bono Bt(Ti ) = Precio de cada bono La forma matricial de las ecuaciones 1, 2 y 3 es:

(1) (2)

(3)

Capítulo 7 - FRA

 Bt (T1 )    q1   Bt (T1 ) q    r t  2   q3     2 B (T ) t 1  2  rt

Bt (T2 ) Bt (T2 ) rt  2 Bt (T2 ) rt2

Bt (T3 )    Bt (T3 )  rt     2 Bt (T3 )   rt2 

1

 p       p   r   t     2 p   2  rt 

  1  A su vez Bt (Ti )  1  Ri  Ti     1  DTF (t , Ti  t )   (t , Ti  t ) 

Donde Ri es la tasa de inversión o captación, según se deba estar largo o corto en el bono, respectivamente. Como en los casos anteriores rt puede ser la tasa de interés DTF a un plazo clave determinado, por ejemplo 90 días. En este caso diríamos que rt =DTF(0,90). Generalicemos diciendo que rt =DTF(0,m). Por lo tanto: 2

  DTF (t , Ti  t ) Bt (Ti ) 1    1  Ri  T1    (t , T1  t )   DTF (0, m) DTF (0, m)  1  DTF (t , Ti  t )   (t , Ti  t )  DTF (t , Ti  t ) se calcula como se explicó en el numeral 7.5, tendiendo en cuenta que DTF (0, m)

DTF (t , Ti  t ) 

7.7

1  DTF (0, Ti )   (0, Ti )  1  1 .  (t , Ti  t )  1  DTF (0, t )   (0, t ) 

Carry-Theta

El Carry-theta se define como la variación del precio del activo, en este caso el FRA, con respecto al tiempo: FRA/t . Por ejemplo, para el FRA de compra: Como  (t , ) 

 360

y  (0, t ) 

T t  (t , )  (0, t ) 1 entonces 0 y  360 t t 360

Llamemos K = [1 + DTF(t,τ).α(t,τ)].[1 + DTF(0,t).α(0,t)]

Capítulo 7 - FRA

FRAc  t

DTF (t , )   (t , ) t K



DTF (t , )  F   (t , )  1  DTF (t , )   (t , )  DTF (0, t )   (0, t )  DTF (0, t ) 

t

 

DTF (t , )  F   (t , )  1  DTF (0, t )   (0, t )  DTF (t , )   (t , ) 

t



A su vez:   DTF (0, t   )     (0, t   )  DTF (0, t   )   1  DTF (0, t )   (0, t )     DTF (t , ) 1 t     t  (t , )  1  DTF (0, t )   (0, t ) 2   

1  (t , )



1  DTF (0, t   )   (0, t   )  DTF (0, t )   (0, t )  DTF (0, t ) t  1  DTF (0, t )   (0, t ) 2



Si se está usando el modelo Vasicek, entonces: DTF (0, t )   2e  t  t  (1  e  t )      2t  1  e  t    r   t t 2  t  2t 2   

 drt 1  e  t  2  1  e  t         t 4  t   dt

Y DTF (0, t   )   2e  (t  )  t  (1  e  (t  ) )      2 (t   )  1  e  (t  )      r   t t 2   (t   )   2 (t   )2   



drt 1  e  (t  )  2  1  e  (t  )      dt  (t   ) 4   (t   ) 

drt   (   rt ) dt

Capítulo 7 - FRA

Ejercicios: 1. Cuál es la tasa futura implícita de 90 días dentro de 90 días si un papel cero cupón a 90 días se transa al 98% de descuento sobre un valor facial de $100 y un papel a 180 días de plazo, pagando cupones del 10% anual cada 90 días tiene una TIR del 9%. 2. Usted quiere llevar a cabo un FRA 3/6 en donde Usted entrega tasa de interés DTF de 90 días y a cambio recibe tasa fija. Si Usted es el trader de FRA’s, a qué tasa estaría dispuesto a cotizar este FRA? Suponga que la tasa de interés DTF a 90 días es del 8% E.A. mientras que la DTF a 180 días es del 8.4% E.A.

Capítulo 7 - FRA

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

CAPÍTULO 8 Forwards 8.1 Definición Un forward se define como un acuerdo entre dos partes para comprar o vender un activo en una fecha futura, a una tasa establecida al inicio del acuerdo. Los forwards están diseñados para tener un costo igual a cero al inicio de la operación. Los FRA’s ya vistos hacen parte de la familia de los forwards. En este capítulo vamos a concentrarnos en los forward de tipo de cambio y forward sobre acciones.

8.2 Valoración La forma más clara de valorar un forward es a través de una estrategia libre de arbitraje. Por ejemplo, si usted es un importador y sabe que dentro de tres meses tendrá una salida de flujos en dólares proveniente de sus compras en el exterior y quiere asegurarse de una vez una tasa de cambio para esos flujos, tiene entonces dos opciones: a) Entra en un contrato forward de compra ó b) Toma un crédito en pesos, compra esos dólares desde ya y los mantiene por tres meses. Asumiendo que nos movemos en un mundo perfecto, sin costos de transacción y ningún otro tipo de fricciones, tanto la estrategia descrita en a) como la descrita en b) deben representar el mismo costo económico para un importador. De alguna manera podemos decir que el valor presente de los flujos comprometidos en la estrategia a) debe ser igual al valor presente de los flujos comprometidos en la estrategia b). VP(a) = VP(b) En la estrategia a) Usted se compromete a pagar una tasa futura F por los dólares que va a comprar. Suponiendo tasas de interés compuestas y continuas, tenemos que el valor presente de la tasa F pagada en el futuro será: F e

 rp t

Donde: rp= Tasa de descuento en pesos t = Tiempo en años del contrato forward, que para el caso del importador es de 0,25 A cambio de esa tasa F el importador recibe en el futuro un dólar con valor presente igual a 1 e  rd t donde:

rd = Tasa de descuento en dólares Como un forward no tiene ningún costo inicial, el valor presente del flujo en dólares convertido a pesos debe ser igual al valor presente del flujo en pesos, es decir:

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

F e

 rp t

= So  e

 rd t



F  So  e

( rp rd )t

En la estrategia b) Usted compra esos dólares en t = 0. Como estamos diseñando una estrategia que no represente ningún desembolso en t = 0, Usted deberá entonces tomar un crédito en pesos y comprar dólares por un monto igual al valor presente de sus pagos dentro de tres meses. El valor presente de cada dólar que necesite en el futuro será: 1 e  rd t

En efecto, si Usted invierte e  rd t a una tasa rd durante un período t, tendrá e rd t  e  rd t  1 dólar al final del período t. Para determinar el monto en pesos que Usted necesita tomar, simplemente establezca el valor de esos dólares, en pesos. Monto en Pesos = e  rd t  S o Donde: So = Tasa de cambio peso/dólar spot Resumiendo, la estrategia b) tiene los siguientes pasos: 

Capte en pesos un monto de e  rd t  S o

  

Compre e  rd t dólares Invierta esos dólares por un período t a una tasa rd Recibe un dólar al final



Paga S o  e

( rp  rd )t

pesos al final por la captación hecha al inicio

La venta del dólar que recibe al final deberá permitir pagar la captación en pesos. Como ese dólar se vende a F entonces:

F  So  e

rp t

 erd t

En la práctica se deben reemplazar las tasas continuas por tasas de interés discretas, por lo que la expresión para F sería: F  So 

(1  rp ) t (1  rd ) t

Como rp y rd son tasas anuales, t debe ser entendido como una fracción de año. Por ejemplo, para un período de tres meses t = 90 días/360 días = 0,25 años.

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

F es entonces la cotización forward a la que deberán comprarse los dólares futuros para evitar arbitrajes.

8.3 Arbitraje en contratos forward Suponga que Usted encuentra en el mercado una cotización forward F  F . Usted podría ganar una utilidad libre de riesgo teniendo una posición corta en F y replicando el forward con una captación ó endeudamiento en pesos y una inversión o colocación en dólares. Los pasos a seguir en esta estrategia son: 

Venda un contrato forward a una tasa F .



Endéudese en pesos por un monto igual a



Compre



Invierta esos dólares a una tasa rd.

1 (1  rd )t

So (1  rd )t

dólares a So.

Al final Usted:    

Recibe 1 dólar Entrega ese dólar a su contraparte por concepto de la venta futura de dólares Recibe F por concepto del acuerdo al que Usted llegó con su contraparte para venderle un dólar. (1  rp ) t Paga S o  por concepto de la captación en pesos (1  rd ) t

Los dos flujos en dólares se cancelan. Por su parte, como F  S o 

(1  rp ) t (1  rd ) t

, su salida de pesos es

menor a su entrada, siendo esta última igual a F . Así Usted habrá realizado una ganancia libre de riesgo.

8.4 Forward sobre acciones Acabamos de ver el ejemplo de un forward sobre tasa de cambio. En el caso de mercados emergentes también son de amplio uso los forwards sobre tasa de interés (FRA), los forwards sobre acciones y los forwards sobre commodities. A continuación vamos a concentrarnos en forwards sobre acciones. En primer lugar suponga una acción que no paga dividendo. Este caso es incluso más simple que el forward sobre tasa de cambio que vimos anteriormente. Aquí una parte se compromete a comprar o a vender en una fecha futura una acción a un precio determinado desde la firma del acuerdo forward. Sigamos el procedimiento visto anteriormente para determinar la cotización forward de dicha acción.

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Si Usted es comprador de la acción a futuro puede entrar en un contrato forward (estrategia a) ó puede comprar la acción desde ya y tenerla durante el mismo período de vigencia del forward (estrategia b). En la estrategia a) los flujos involucrados son una salida de F pesos, correspondiente a lo que Usted se comprometió a pagar por la acción y una entrada de pesos igual al valor de mercado de la acción al vencimiento del forward. Ambos flujos se dan al vencimiento del contrato forward. Los pasos para la estrategia b) son:    

Obtenga un crédito (ó haga una captación) en pesos a una tasa rp por el valor de mercado de una acción al momento de iniciar la operación forward. Llamemos este valor de mercado de la acción en t = 0, So. Compre la acción y téngala hasta el vencimiento del forward Al final del período véndala y reciba ST donde ST corresponde al precio de la acción al vencimiento del contrato forward Pague el crédito

Como VP(a) = VP(b)



 F e

 rp t

 ST  e

 rp t

 r t

 ST  e p  S o     VP de la venta de la acción

Crédito Tomado

Transformando las tasas continuas y compuestas en tasas discretas y resolviendo para F: F  S o  (1  rp ) t

La diferencia entre esta expresión para F y la obtenida para el forward sobre tasa de cambio peso/dólar es que en esta no se incluye ningún término en el denominador. La razón es que el término del denominador, que en el caso del forward sobre tasa de cambio correspondía a la tasa de interés en dólares, se interpreta como el dividendo que ofrece el activo subyacente. Cuando se compran dólares y se invierten, el dividendo que ofrecen corresponde a la tasa de interés en dólares. En este caso asumimos una acción que no paga dividendos, por lo cual el término desaparece. Para una acción que paga dividendos la expresión sería: F  So 

(1  rp ) t (1   ) t

Donde:

δ = yield anual del dividendo de la acción

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

8.5 Cómo cotizar forwards de tipo de cambio En términos generales un banco que cotiza forwards de cualquier tipo marca siempre dos puntas: una de compra y una de venta. Para el caso de forward sobre tipo de cambio, ambas cotizaciones utilizan la misma forma general: F  So 

(1  rp ) t (1  rd ) t

Las dos puntas se generan, dependiendo de qué tasas, bid (compra) ó ask (venta), se usen para So, rp y rd . Por ejemplo, suponga un banco que acaba de realizar una operación forward para comprar dólares a futuro. Como más adelante recibirá dólares producto de esta compra futura, esos dólares le servirán para pagar un crédito ó una captación en dólares contraída al inicio del forward. Esos dólares recibidos al comienzo los vende y los recursos en pesos así obtenidos son invertidos. El capital y los rendimientos de esta inversión en pesos se utilizan entonces para pagar la compra de los dólares al final del forward. Así las cosas, en pesos deberá utilizar la tasa a la que el mercado recibe recursos inmediatamente (bid del mercado), ó tasa baja, mientras que el crédito ó captación en dólares deberá hacerse a la tasa a la que el mercado presta recursos inmediatamente (ask del mercado) ó tasa alta. Igualmente, los dólares que se venden al comienzo se venden a la tasa baja porque es la tasa a la que el mercado está dispuesto a recibirlos inmediatamente. Tenemos entonces que las tasas que el banco deberá utilizar tanto para compra como para venta futura de dólares son: Operación futura de dólares de la Tesorería Compra Venta

Baja Alta

Alta Baja

En este caso en donde la Tesorería compra dólares a futuro, tenemos dos tasas bajas en el numerador y una tasa alta en el denominador, por lo que la tasa forward será más baja que la tasa forward a la que vende dólares, en la cual tiene dos tasas altas en el numerador y una baja en el denominador. Ejemplo 8.1: Si las tasas del dólar spot son:

Bid $2.340

Ask $2.342

Si las tasas de interés en Colombia son:

Bid 11%

Ask 10%

Si las tasas de interés en dólares son:

Bid 3%

Ask 2%

Plazo: 90 días

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Las cotizaciones Forward de venta (FV) y Forward de compra (FC) son:

 FV 

$2.342 (1  11%)90/360  $2.392,03 (1  2%)90/360

 FC 

$2.340 (1  10%)90/360  $2.378,78 (1  3%)90/360

Ejemplo 8.2: Si las entidades financieras están dispuestas a comprar dólares dentro de 30 días a una devaluación del 7,20% anual, mientras que están dispuestas a vender dólares a ese plazo a una devaluación del 8,70%, cuáles son las tasas de cambio futuras a las que las entidades financieras compran y venden dólares a 30 días?. Suponga que las entidades financieras compran dólares en el mercado spot a $2.325 mientras que los venden a $2.327. Punta de compra = $2.325  (1+7,20%)30/360 = $2.338,51 Punta de venta = $2.327  (1+8,70%)30/360 = $2.343,23 Diferencia = $4,7 Si esas mismas devaluaciones se mantienen a 270 días, cuáles son las tasas de cambio a las que las entidades financieras compran y venden dólares en ese plazo? Punta de compra = $2.325  (1+7,20%)270/360 = $2.449,45 Punta de venta = $2.327  (1+8,70%)270/360 = $2.477,24 Diferencia = $27,79 Como era de esperarse, en la medida en que la vida del forward es mayor, más grande será la diferencia.

Una forma de aproximarse rápidamente al precio de cotización forward es usar el diferencial de tasas de interés en pesos y en dólares. Es importante insistir en que con el diferencial de tasas no se obtiene la cotización exacta, sino una rápida aproximación. El siguiente ejemplo ilustra este punto: Ejemplo 8.4: Suponga las siguientes tasas en pesos y dólares a un plazo de 60 días: Tasa de interés en pesos (rp) = 12%

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Tasa de interés en dólares (rd)= 4% Si la tasa de cambio (So) = $2.325 Cuál es la tasa de cambio forward calculada y cuál la tasa de cambio forward utilizando una aproximación con diferencial de tasas de interés?. F

$2.325 (1  12%)60/360  $2.353,90/ dolar (1  4%)60/360

Utilizando el diferencial de tasas:

F = $2.325  [1+ (12% – 4%)]60/360 = $2.355,01

8.6 Valor de un Forward de tipo de cambio Suponga un forward de compra, en donde Usted se compromete a comprar dólares a futuro a una tasa Fc y a cambio recibe el nocional en dólares. Los flujos son como se muestra en la siguiente gráfica:

Fc × N Donde: N Fc

= Nocional en dólares = Cotización forward de compra

Para un forward de venta en el cual Usted vende dólares a futuro, su ingreso está dado por los pesos que recibe al vender los dólares, mientras que su salida de caja está dada por los dólares que vendió. El diagrama de flujos es como se muestra en la siguiente gráfica:

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Fv × N

N Donde: N

= Nocional

= Cotización del forward de venta

Resumiendo, el poseedor de un forward de compra tendrá entonces un flujo positivo en dólares correspondiente a los dólares que le ingresan por la compra y un flujo negativo en pesos, correspondiente al costo en pesos de los dólares que compró. Con base en esto el valor de un forward de compra (Vc) está dado por:   St Fc Vc  N     t / 360 (1  rp )t / 360   (1  rd )

Como se deduce de la fórmula anterior, las variables que hacen que el valor del forward cambie son: La cotización spot del dólar (St) La tasa de interés en dólares (rd) La tasa de interés en pesos (rp) El plazo del forward ( t) Por su parte, el valor de un forward de venta en cualquier momento del tiempo será:   Fc St VV  N    t / 360 t / 360  (1  rd )  (1  rp ) 

8.7 Sensibilidad del valor de un forward a las variables que lo afectan Observe que las variables que afectan el valor de un forward son: tasa de cambio (So), tasa de interés en dólares (rd), tasa de interés en pesos (rp) y el tiempo (t).

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Para conocer qué tan sensible es un forward a estas variables que lo afectan, obtenemos las derivadas parciales del valor del forward de compra con respecto al spot, a la tasa de interés en pesos, a la tasa de interés en dólares y al plazo. Estas mismas derivadas en un forward de venta son iguales pero con signo cambiado. V N  St (1  rd )t / 360

Unidades:

V t  N  Fc   (1  rp ) 1(t / 360)  rp rp 360

Unidades: dólares 

Pesos = Pesos dólar

V t   N  St   (1  rd ) 1 (t / 360)  rd rd 360

Unidades: dólares 

Pesos = Pesos dólar

pesos = dólares pesos dólar

Observe que las variaciones respecto a las tasas de interés están afectadas por los cambios en esas tasas (Δrp y Δrd). Si se quiere determinar la variación en el valor del forward cuando las tasas de interés suben 10pb, Δrp y Δrd serán iguales a 0,001. V d (a u ) du es de la forma  au  Ln(a)  t dx dx 

V N  Fc  Ln(1  rp ) St  Ln(1  rd )      t 360  (1  rp )t / 360 (1  rd )t / 360 



V N  St  Ln(1  rd ) Fc  Ln(1  rp )      t 360  (1  rd )t / 360 (1  rp )t / 360 

Note que la variación del valor del forward de compra con respecto al plazo está expresada en su V variación negativa  debido a que cuando pasa un día el plazo t disminuye. t

Ejemplo 8.4: Suponga un forward con las siguientes condiciones: Nocional (N ) = US$1 millón Fc = $2.400 Plazo (t) = 180 días S = $2.325 rd = 4% rp = 12%

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Cuál es el valor del forward de compra y su variación respecto a las variables que lo afectan?   2.325 2.400 Vc1  1'000.000    $12.063.232,93 180/ 360 180/ 360  (1  12%)  (1  4%)  V 1'000.000  S  $980.580,68 porque en este caso ΔS = $1 S (1  4%)180/ 360

Suponga que la cotización del dólar sube un peso a $2.326. Con S = $2.326 esto implica que Vc2 = $13.043.813,60 La variación en el valor de este forward cuando la tasa de cambio sube un peso es igual a: Vc2 – Vc1 = $980.580,67 Esta diferencia es prácticamente igual a la obtenida con la derivada ($980.580,68) Ahora miremos las variaciones respecto a cambios en la tasa de interés en pesos, para la cual usaremos nuevamente las derivadas parciales: V 180  1.000.000 2.400  (1  12%) 1 (180/ 360)  $1.012.404.838 rp 360

Asumiendo que rp sube 1%, la variación calculada con la derivada será: V  rp  $1.012.404.8381%  $10.124.048 rp

Ahora, la variación calculada obteniendo la diferencia entre los dos valores del forward será Vc calculada con rp=13% menos Vc calculada con rp=12%. Con rp=13% tenemos que Vc = $22.119.986 Esto quiere decir que la diferencia será $22.119.986−$12.063.232,93 = $10.056.753 La variación entre la diferencia calculada remplazando en la fórmula del valor del forward y la diferencia calculada usando derivadas parciales es del 0,67%. Ahora miremos la variación respecto a cambios en la tasa de interés en dólares: V 180  1.000.000 2.325  (1  4%) (180/3601) rd 360  $  1.096.081.764

Por cada 1% de incremento en la tasa de interés en dólares, el cambio en el valor del forward será: V  rd  1.096.081.7641%  −$10.960.817,6 rd

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Si rd pasa del 4% al 5%,   2.325 2.400 Vc  1.000.000   180/360 180/360 (1  12%)  (1  5%)   Vc  $1.180.831

ΔVc = $12.063.232 – $1.180.831 ΔVc = $10.882.401 La diferencia entre el cambio calculado con la derivada y el cambio calculado con la variación en el valor del forward será: diferencia = 10.960.817 – 10.882.401 = 78.416 ≈ 0,7%

Finalmente determinemos la variación respecto al paso del tiempo: 

V 1.000.000  $2.325 Ln(1  4%) 2.400 Ln(1  12%)      180/ 360 t 360 (1  12%) p / 360   (1  4%)  465.522

V V es aproximadamente la mitad que . Quiere decir que si el spot S t sube 50 cts. cada día, es suficiente para compensar la pérdida por paso del tiempo.

Es importante notar que 

Ahora evaluemos el valor del forward luego de que ha pasado un día:   $2.325 $2.400 Vc  1.000.000    Vc  $11´597.611 179/ 360 179/ 360  (1  12%)  (1  4%) 

Diferencia = 12.063.232 – $11.597.611 = $465.620 $465.620 – $465.522 = 98 ≈ 0,021% El siguiente cuadro resume los más importantes riesgos relacionados con forwards. En él se incluye el valor del portafolio (V ), la variación del valor con respecto al spot (S), a rp, a rd y al plazo (t).

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

V = 12.063.232

Pesos

V = 980.580 S

Pesos Pesos/dólar

= 8,13% de V

V = 10.124.048 rp

Pesos puntosporcentuales

= 83,93% de V

V = −10.960.817 rd

Pesos puntosporcentuales

= 90,86% de V

V = −465.522 t

Pesos Día

= −3,86% de V





8.8 Prueba de estrés Igualmente es útil un análisis de casos extremos. Esto quiere decir, cuánto tienen que moverse en sentido adverso cada una de las variables para acabar con el valor del portafolio?. Esto se puede determinar obteniendo la relación entre el valor del portafolio ( V ) y cada una de las derivadas parciales. Si la tasa de cambio baja $12,3, el valor del portafolio se reduce V 12´063.232   12,30  a cero. V 980.580 S

V 12´063.232   1,19 V 10´124.048 rp



V 12´063.232   1,10 V  10´960.817 rd

V V

 t

12´063.232  25,91   465.522

Si la tasa de interés en pesos baja 119 pb, el valor del portafolio se reduce a cero.

Si la tasa de interés en dólares sube 110 pb el valor del portafolio se reduce a cero.

En 25,9 días, si todo lo demás permanece igual, el valor del portafolio desaparece

8.9 Descomposición de las utilidades del portafolio Como se ve, el cambio de valor en el portafolio, que finalmente se traduce en el estado de ganancias y pérdidas del mismo, depende del cambio en todas las variables que lo afectan. Dichas variables

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

son el spot peso/dólar, la tasa de interés en pesos, la tasa de interés en dólares y el paso del tiempo, entre otras. El capítulo 16 se dedicará enteramente a analizar cada uno de los riesgos de un portafolio, en lo que comúnmente se conoce como análisis de las letras griegas. Por el momento llamemos Delta (Δ) el riesgo del portafolio con respecto al spot; rhop (ρp) el riesgo con respecto a la tasa de interés en pesos; rhod (ρd) el riesgo con respecto a la tasa de interés en dólares; y Carry Theta (el riesgo contra el paso del tiempo). Con base en lo anterior podemos construir lo que en la literatura anglosajona se conoce como explicación y reconciliación del estado de ganancias y pérdidas (P&L explanation and reconciliation). Como un portafolio de forwards depende básicamente de cuatro variables: (i) tasa de cambio spot, (ii) tasa de interés de pesos, (iii) tasa de interés en dólares y (iv) tiempo, la descomposición del P&G permite saber debido al cambio en qué variables fue que se produjo la utilidad o la pérdida. Suponga los valores para cada una de las variables que se muestran en el siguiente cuadro:

Descomposición del P&G Delta P&G

50 pesos = Δ  (cambio en el Spot)

ρp P&G

− 5 pesos = ρp  (cambio en la tasa de interés en pesos)

ρd P&G

3 pesos = ρd  (cambio en la tasa de interés en dólares)

Carry Theta P&G

10 pesos = θ  cambio en el plazo)

Quiere decir que de una utilidad de $58 en el portafolio durante un determinado período, $50 provinieron del cambio en el spot, $3 del cambio en la tasa de interés en dólares, $10 por el paso del tiempo y una pérdida de $5 se generó por cambios en la tasa de interés en pesos. 8.10

Cobertura de forwards respecto a las tasas de interés

Una creencia generalizada es que para hacer cobertura respecto a las tasas de interés para un forward de compra, por ejemplo, es necesario buscar un forward de venta al mismo plazo, con el fin de compensar las tasas de interés al mismo plazo. En la práctica es muy difícil encontrar forwards a plazos muy específicos para garantizar una cobertura perfecta. Por ejemplo, si el manejador de un portafolio vendió un forward de compra a 40 días, difícilmente podrá encontrar en el mercado un forward de compra a los mismos 40 días. Sin embargo, lo anterior no es problema en la práctica porque en realidad sólo existen algunas tasas de interés de referencia del mercado y el resto se derivan de ellas. Así, si el manejador de portafolio necesita hacer cobertura para un forward de 40 días, puede utilizar forwards a 30 y 60 días, pues la tasa de interés de 40 días se deriva de la tasa de interés de 30 días y la de 60 días. La forma en que las tasas de interés se derivan de las tasas de referencia con que se cuenta puede variar, pero por el momento vamos a asumir, como lo hemos venido haciendo, que se hace a través de interpolación lineal.

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Dado que r40 = α·r30 + (1 – α)·r60. Entonces

V V r40 V V r40 y     r30 r40 r30 r60 r40 r60

V se obtiene de las ecuaciones que ya vimos anteriormente para la sensibilidad del valor de un r40

forward, mientras que

r40 r   . De la misma manera podemos escribir: 60  1   r30 r40

Como la interpolación es lineal, para este caso α = 2/3 y (1 − α) = 1/3.

Ejemplo 8.5: Suponga que se cuenta con las siguientes tasas de interés de referencia: Plazo (días)

Tasa

1 2 3 4 5 7 15 30 60 90 180 270 360 540 720

9,00% 10,00% 11,00% 11,50% 12,00% 12,30% 12,00% 12,05% 13,00% 12,30% 12,20% 12,30% 12,50% 12,50% 14,00%

Suponga además que se tiene un forward de compra con las siguientes características: Plazo Spot

Fc Nocional (US$)

= 40 días = $2.329/US$ = $2.370/US$ = 1.000.000 = 4%

Si el manejador de este portafolio tiene definidas las tasas de 30 días y de 60 días como tasas clave, entonces la tasa de interés a 40 días de plazo se encuentra en algún punto entre estas dos tasas clave.

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

r40 = α∙r30 + (1 – α)∙r60.



2 3

(1   ) 

1 3

La tasa de interés a 40 días de plazo será una combinación lineal de las tasas de 30 y 60 días. Así, la tasa a 40 días será: r40 = ⅔×12,05% + ⅓×13,00% = 12,37% V 40 1  12,37%-1-(40/360) = $231.327.697  1.000.000 2.370 r40 360

V V r40 = $231.327.697  α. Si la tasa de 30 días sube 1%, la tasa de 40 días subirá dos   r30 r40 r30 tercios de ese cambio, es decir, 0,67%. Por lo tanto la sensibilidad a la tasa de 30 días será:

$231.327.697  α  1% = $1.542.184 V V r40 = $231.327.697  (1−α). Si la tasa de 60 días sube 1%, la tasa de 40   r60 r40 r60 días subirá un tercio de ese cambio, es decir, 0,33%. Por lo tanto la sensibilidad a la tasa de 60 días será:

Por su parte,

$231.327.697  (1−α)  1% = $771.092

8.11

Cobertura de forwards respecto a la tasa de cambio

El cubrimiento del riesgo frente a variaciones en la tasa de cambio es muy importante, sobre todo teniendo en cuenta la alta volatilidad de la tasa de cambio en mercados emergentes. Mientras que el manejador de un portafolio de forwards puede esperarse algunos días para hacer la cobertura contra tasas de interés, la cobertura contra tasa de cambio deberá hacerla permanentemente. V = $980.580 dólares, quiere decir que cualquier incremento de un peso en la tasa de S cambio producirá un incremento en el valor del portafolio de forwards de $980.580, pero igualmente una caída de un peso en la tasa de cambio producirá una caída de $980.580 en el valor del portafolio. Para mantener el valor del portafolio inmune a cambios en el precio del dólar, el manejador de dicho portafolio deberá entonces venderse en 980.580 dólares.

Así, si

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Ejercicios: 1. Suponga que la tasa a la que las entidades financieras compran dólares es de $2.820 y venden a $2.823. A su vez, las tasas de captación en pesos a 90 días están en niveles del 9% y las de inversión al 9,5%. Finalmente, las tasas a las que las entidades consiguen créditos en dólares es del 1,5% y la tasa a la que prestan en dólares es del 2,5%. Si Usted fuera a cotizar un forward de tasa de cambio en donde Usted comprara dólares a futuro, qué tasa de cambio futura espera que le cobre una entidad financiera?. (Nota: tenga en cuenta que la entidad financiera hace lo contrario a lo que Usted está haciendo, es decir, si Usted está comprando a futuro, la entidad necesita tener esos dólares y para eso necesita comprarlos desde hoy e invertirlos).

2. Suponga un portafolio de forwards de tasa de cambio compuesto por los siguientes forwards: Primero: Forward de compra por un monto de US$5 millones a 120 días de plazo Segundo: Forward de venta por un monto de US$10 millones a 80 días de plazo Tercero: Forward de compra por un monto de US$6 millones a 360 días de plazo Las tasas de interés en pesos y dólares se muestran a continuación: PLAZO (Días) 60 90 180 360

TASA PESOS (rp) 8,5% 9,0% 10,0% 10,5%

TASA DÓLARES (rd) 1,0% 1,5% 2,0% 2,5%

La tasa de cambio hoy es de $2.750. ¿Cuáles son las devaluaciones calculadas con base en las tasas de interés para cada plazo, cuál es el riesgo delta, el riesgo rho pesos y el riesgo rho dólares total de su portafolio?

3. Suponga que hoy la tasa de cambio es de $2.750/dólar. Usted quiere cotizar un forward con un plazo de 6 meses al vencimiento con una devaluación del 9% donde Usted compra dólares a futuro. La base para este cálculo es 360/365. De repente su cliente lo llama a decirle que quiere cambiar la base a 360/360 o subir la devaluación 10 puntos básicos. Qué propuesta le haría Usted a su cliente?

Capítulo 8 – Forwards de Tipo de Cambio

Capítulo 9 - Swaps

CAPÍTULO 9 Swaps 9.1 Introducción Un swap es un acuerdo entre dos partes para intercambiar flujos futuros de Caja durante un período determinado y en unas fechas preestablecidas a unas tasas acordadas. Los dos tipos de swaps más comunes son el swap de tasa de interés y el swap de tasa de cambio, este último también conocido como cross-currency swap. En el primero se tiene un flujo de caja atado a una tasa de interés variable (DTF por ejemplo) y se quiere intercambiarlo por un flujo fijo. Una variación al swap de tasa de interés se da cuando se tienen flujos ligados a una tasa de interés variable y se quieren cambiar a que dependan de otra tasa o índice, también variable. En Colombia se han popularizado los swaps de tasa de interés en donde se intercambian flujos que están atados a la tasa de interés DTF por flujos ligados a la variación del índice de precios al consumidor (IPC). En el swap de tasa de cambio se tiene una serie de flujos en dólares, a Libor + x por ejemplo, y quiere evitarse el riesgo cambiario, pasando dichos flujos en pesos a DTF+y. Adicionalmente se intercambian los principales durante la vida del swap.

9.2 Tipos de swaps 9.2.1

Swap de Tasa de Cambio (Cross Currency Swap)

En el swap de tasa de cambio existen dos flujos de caja, en monedas distintas: Uno en dólares y otro en pesos. Una parte se compromete entonces a entregar dólares mientras que la otra contraparte se compromete a entregar pesos. Al final o durante la vida del swap, se intercambian también principales. El pago en pesos del principal se hará a la tasa de cambio pactada al inicio del swap. El flujo en dólares puede ser a Libor + x y el de pesos a DTF+y. Por ejemplo, una empresa con deuda en dólares a Libor+5%, pagando intereses semestrales y que no quiera correr el riesgo de tasa de cambio, podría entrar en un swap por medio del cual una contraparte le responde por sus pagos de deuda a Libor+5% cada seis meses, mientras que ella (la empresa), se compromete a entregarle a su contraparte, cada seis meses, DTF+7% sobre un monto en pesos igual al monto en dólares multiplicado por la tasa de cambio del día en que se inició el swap. La siguiente gráfica ilustra cómo es el intercambio de flujos en un swap de tasa de cambio.

Capítulo 9 - Swaps

Principal en Dólares Libor+x Empresa con Deuda en US$

Banco DTF+y Principal en Pesos

9.2.2

Swap de Tasa de Interés

Existen dos modalidades: tasa variable por fija o tasa variable por otra tasa variable (por ejemplo DTF por IPC) Tasa variable por Tasa fija: Un swap de tasa de interés fija es un acuerdo entre dos partes para intercambiar flujos fijos de pago de intereses por un flujo de pago de intereses sobre una tasa variable, que puede ser DTF, IPC u otra, sobre un horizonte de tiempo fijo. Tasa variable por tasa variable: Este swap de tasa de interés es un acuerdo entre dos partes para intercambiar flujos de pago de intereses denominados en una tasa de interés, por ejemplo la DTF, por flujos, igualmente en pesos, sobre una base de intereses distinta como puede ser el IPC. Características:     

Todos los pagos están denominados en la misma moneda No hay intercambio de principal Normalmente los pagos de interés entre las partes se “netean” Puede ser diseñado a la medida de las necesidades, pero estos no deberán variar durante la vida del swap El costo al inicio del swap es cero

Aplicaciones:  



El swap de Tasa de Interés fija por variable evita el riesgo de tasas de interés, lo cual es especialmente útil cuando existen expectativas de tasas al alza y Usted tiene deuda en tasa variable El swap de DTF por IPC reduce la incertidumbre porque puede cambiar flujos en una variable muy volátil como lo es la DTF por flujos mucho más estables en una variable macroeconómica como el IPC. También tiene aplicaciones desde el punto de vista del manejo de activos. Si un inversionista tiene activos cuyo rendimiento está en tasa fija y tiene expectativas de tasas de interés al alza,

Capítulo 9 - Swaps

entrará en un swap de Tasa de Interés para recibir tasa variable y entregar tasa fija, obteniendo así provecho en caso de que sus expectativas de tasas de interés al alza se realicen. El intercambio de flujos entre las partes en un swap de tasa de interés fija por variable se muestra en la siguiente gráfica: Tasa Variable (DTF) Empresa con deuda en DTF

Banco Tasa Fija (r)

Por su parte, en un swap de tasa de interés variable por variable (DTF por IPC) será: Tasa Variable (DTF) Empresa con deuda en DTF

Banco

Tasa Variable (IPC)

9.3 Precio de un swap 9.3.1

Swap de tasa de cambio

El precio inicial de todo swap es igual a cero, por lo cual la suma del valor presente de todos los flujos involucrados en él debe ser igual a cero. Dicho en otras palabras, el valor presente de las obligaciones debe ser igual al valor presente de los derechos. En el caso del swap de tasa de cambio, el valor presente de los flujos en dólares, convertido a pesos al multiplicarlo por la tasa de cambio al inicio, debe ser igual al valor presente de los flujos en pesos. En nuestro ejemplo, el valor presente de los flujos semestrales de Libor+5% y del principal en dólares del final, multiplicado por la tasa de cambio del día en que se inició el swap, debe ser igual al valor presente de los flujos semestrales a DTF+7% y del principal en pesos al final. Generalizando, el valor presente de los flujos de intereses en dólares, ligados a la Libor es: n

 i 1

( Libor  x)  Montoen dolaresi  ZDi p

Donde: p= número de períodos de pago de intereses al año x= spread sobre Libor de la deuda en dólares ZDi = factor de descuento para cada pago de intereses en dólares n= número de períodos de pago de intereses durante la vida del swap Por su parte el valor presente de los flujos de intereses en pesos, ligados a la DTF es:

Capítulo 9 - Swaps

 i 1

( DTF  y )  Montoen pesosi  ZPi p

Donde: y= ZPi =

spread sobre DTF de la deuda en pesos factor de descuento para cada pago de intereses en pesos

Como el valor presente de los flujos en dólares convertido a pesos debe ser igual al valor presente de los flujos en pesos y asumiendo que todo el principal se paga al final:  n ( Libor  x)  ZDi  (Montoen dolares)    1  ZDn   S o = p  i 1 



 n ( DTF  y)  ZPi  (Montoen pesos)   1  ZPn  p  i 1  Donde: So = tasa de cambio el día en que se inicia el swap pero como (Monto en pesos) = (Monto en dólares)  So, entonces:

 n ( Libor  x)  ZDi   n ( DTF  y )  ZPi  =  ZD n      ZPn p p  i 1   i 1 

(9.1)

En la ecuación (9.1) todos los términos son conocidos, excepto los factores de descuento ZDi y ZPi. Suponiendo que el pago de intereses es semestral y que las tasas de interés de descuento son la Libor y la DTF para dólares y pesos, respectivamente:

ZDi 

1  Libor  1   2  

Pero el valor presente de los flujos ligados a la Libor, usando como tasa de

descuento la Libor es el valor presente de un bono par, es decir, 1. Esto quiere decir que:

 n Libor  ZDi   n DTF  ZPi   ZD  1 dólar y del mismo modo: n      ZPn  1 peso p p  i 1   i 1  Generalizando: VP (flujos en dólares) = 1 

 p  ZD i 1

Capítulo 9 - Swaps

VP (pesos) = 1 

 p  ZP i

i 1

Donde VP significa valor presente. Igualando: 1 

n x y =  ZD 1   ZPi   i i 1 p i 1 p

i 1



 i 1

n x y  ZDi =   ZPi p i 1 p

 x   ZDi  y   ZPi Como x, ZDi y ZPi son conocidos, podemos obtener el valor de y, es decir, el spread sobre DTF que hace el valor presente de los flujos en dólares igual al valor presente de los flujos en pesos.

9.3.2

Swap de tasa de interés

Suponga un swap de tasa de interés en el cual una parte entrega tasa fija r y recibe a cambio una tasa variable ri. Los flujos serían de la siguiente forma:

…….. r

Como un swap no implica desembolsos en el tiempo 0, su precio será igual a cero y por lo tanto: r  Z1  r  Z 2  ..... r  Z n  r1  Z1  r2  Z 2  ...... rn  Z n

Donde Zi es el factor de descuento en el período i tomado de la curva cero cupón en moneda local 1 (pesos), calculado como Zi  (1  Ri )t Donde Ri = Tasa de descuento de la curva cero cupón Si el swap es en pesos, Zi coincidirá con los ZPi mostrados en el caso del swap de tasa de cambio.

Capítulo 9 - Swaps

 n  r   Zi    i 1 



r  Z i

ri  Z i



i 1

r

i 1 n

Z

i 1

La expresión

r Z i

corresponde al valor presente de los cupones de una nota flotante, es decir,

i 1

una nota en la que el cupón varía de acuerdo con la tasa de interés de referencia, lo mismo que lo hace la tasa de descuento. En una nota flotante completa, es decir, incluyendo el pago del principal al final, el valor presente es igual al valor facial porque puede tratarse como un bono par1.  n  Según esto, en un bono par  ri  Z i   Z n  1  i 1 



Por lo tanto



r

 n   ri  Z i   1  Z n  i 1 



1 Zn n

Z

(9.2)

i 1

Esa es entonces la tasa fija que iguala el valor presente de los flujos entrantes con el valor presente de los flujos salientes, conocida como tasa swap. Para calcular el valor de un swap de tasa de interés en un momento distinto al inicial, se deberá traer a valor presente tanto la parte fija como la variable y calcular la utilidad como la diferencia, dependiendo de quién paga fija y quién paga variable. Podemos entonces escribir: U = Vf – Vv Donde: Vf =

Valor presente de los flujos tasa fija

Vv =

Valor presente de los flujos tasa variable

Los flujos a tasa variable pueden tratarse como una nota flotante, incluyendo el pago del principal al final. Para compensar por la inclusión de este flujo correspondiente al pago del principal al final, el cual ciertamente no hace parte de un swap de tasa de interés, se deberá incluir el mismo

Un bono par es aquel en que el precio es igual al valor facial y por lo tanto el pago de cupones es igual a la tasa interna de retorno (TIR)

Capítulo 9 - Swaps

flujo en la parte fija. De esta forma estamos sumando y restando el mismo flujo, así es que el efecto final sobre el valor del swap es cero.

Para calcular el valor presente de una nota flotante, miremos el siguiente análisis: Suponga unos flujos como los de la gráfica, los cuales están a tasa variable ri con el pago de principal de 1 al final. La frecuencia de pago de cupones es semestral.

En 4 el valor presente de los flujos que se dan r 1 5 2 . A su vez note que en 5 es igual a Vv4 = r4 1 2 el flujo r1 está determinado por la tasa de interés vigente en el momento 0. Así, el flujo r5 r 1 4 2 =1 corresponde a la tasa de interés vigente en 4, a la que llamamos r4. Por lo tanto Vv4 = r4 1 2 En 4 el valor presente de los flujos en 4 corresponde al valor en ese punto de los flujos que se r dieron en 5 más el flujo que se da en 4. Es decir, en 4 el valor de la nota flotante es Vv4 + 4 . 2 Pero como el flujo r4 corresponde a la tasa de interés vigente en 3, se puede decir que el valor de r la nota flotante en 4 es igual a 1+ 3 . Por lo tanto el valor en 3 de los flujos que se dan en 4 y 5 es 2 r3 1 2 = 1. Así podemos continuar hasta decir que el 1 el valor de la nota flotante es de de Vv3 = r3 1 2 r1 1+ y como el flujo r1 depende de la tasa de interés del inicio ( ro ), la cual es conocida, entonces 2 r el valor de la nota flotante en 1 es 1+ o . Ahora, si el tiempo transcurrido entre 0 y 1 no es de 6 2 meses sino digamos de 3 meses, el valor presente de la nota flotante en 0 será: ro 2 Vvo = r01 1 4 1

Capítulo 9 - Swaps

Note que la tasa de descuento es ro–1, es decir, la tasa de interés vigente para el período entre 0 y 1  r  1, esto es, tres meses. Si llamamos =Z1, entonces Vvo = 1  o   Z1 r01 2  1 4 Como se dijo anteriormente, si para el flujo flotante se asumió un pago ficticio de 1 al final, para el cálculo del valor presente de la pata fija también deberá considerarse ese pago de 1 al final. El valor presente de la pata fija será entonces:  n  Vfo = r   Z i   1  Z n con r como la tasa fija acordada. Para este caso en particular n=5 por lo  i 1   r  5 que Vfo =   Z i   1  Z 5 2  i1 



Como U = Vfo – Vvo entonces: U=

r  5   r    Z i   Z 5 – 1  o   Z1 2  i 1  2 



9.4 Valoración de Swaps Al inicio de un swap, bien sea de tasa de cambio o de tasa de interés, el valor presente del derecho debe ser igual al valor presente de la obligación, razón por la cual el valor del swap es de cero. En cualquier día distinto al inicio, el swap generará una utilidad o una pérdida, dependiendo de cómo se hayan movido las variables que lo afectan. Como se explicó en el numeral anterior, el valor de un swap en todo momento es igual al valor presente de los flujos del derecho menos el valor presente de los flujos de la obligación.

9.4.1

Swap de Tasa de Cambio

El valor presente de un swap de tasa de cambio será entonces igual al valor presente de los dólares, multiplicado por la tasa de cambio del inicio, menos el valor presente de los flujos en pesos. Cuando los flujos en alguna de las dos monedas involucradas en este tipo de swaps está ligado a una tasa fija, la única preocupación deberá ser entonces la tasa de descuento que se va a utilizar para traer esos flujos a valor presente. Sobre estas tasas de descuento volveremos más adelante. Cuando los flujos dependen de una tasa de interés variable, la cual puede ser Libor para el caso de dólares ó DTF ó IPC para el caso de pesos, pueden considerarse como si fueran una nota flotante y valorarlos de esta manera. A continuación se explica cómo se haría dicha valoración:

Capítulo 9 - Swaps

Kpesos DTF+x DTF+x DTF+x DTF+x

DTF+x

Libor+y Libor+y Libor+y Libor+y

Libor+y Kdólares

Suponga un swap como el que se muestra en la gráfica, donde el derecho está en pesos a DTF+x mientras que la obligación está en dólares a Libor+y; al final del período se intercambian principales. Tanto los pagos en pesos como los pagos en dólares tienen dos componentes, uno tasa variable, que puede ser DTF ó Libor y el otro tasa fija, que puede ser x ó y. Aislemos el flujo en pesos que corresponde estrictamente a un pago variable. Se tendría algo como se muestra en la siguiente gráfica: Kpesos DTF

DTF

Al valorar este flujo como una nota flotante tendríamos que en el punto 1:     DTF / p DTF / p  DTF  VPpesos  K pesos    .......  1  ZPn  1 n p  DTF   DTF    1   1     p p    

(9.3)

Donde: p= Número de pagos de intereses al año n= Número de flujos pendientes hasta el vencimiento menos 1 ZPn = Factor de descuento correspondiente al plazo del n-ésimo+1 flujo, que es cuando se paga el principal t= Período comprendido entre el día de valoración y el próximo intercambio de flujos

Como ocurre con una nota flotante, el primer flujo es conocido y en este caso igual a la DTF vigente al momento del pago de intereses anterior. En el ejemplo dicho flujo se ha llamado DTF . Por ser una nota flotante, la cual es valorada a par, el valor presente en el punto 1 de los

Capítulo 9 - Swaps

flujos distintos al primero sería igual a Kpesos. El valor presente al momento de la valoración de todos los flujos será entonces igual a Kpesos descontado durante un período t más el valor presente del primer flujo que como se dijo está fijo y es igual a DTF / p . Según esto, (9.3) puede escribirse de nuevo así:

VPpesos 

 DTF   1 t  p  1  DTFt  360 K pesos

(9.4)

Es importante notar que DTFt corresponde a la DTF vigente para un plazo t y cambia todos los días, según cuando se esté haciendo la valoración. En forma análoga puede decirse que el valor presente en dólares es: VPdólares 

 Libor   1 t  p  1  Libort  360 K dólares

Como Kpesos = Kdólares.So, donde So es la tasa de cambio del día en que se firmó el swap, podemos decir que:

Vvar iable  VPpesos  VPdólares 

  Libor  K dólares  So  DTF K dólares  St    1     1 t t p p     1  DTFt  1  Libort  360 360

(9.5)

Donde: Vvariable =

Valor del componente variable del swap

Hasta aquí la valoración del componente variable. Para valorar el componente fijo del swap que como recordamos está representado en los spreads x y y, se procede como si se estuviera valorando un bono tasa fija, para lo cual se requiere la curva cero cupón hasta el plazo de vigencia del swap. Los flujos remanentes son como se muestran a continuación:

x/p

y/p

El valor presente de los flujos fijos en pesos será:

Capítulo 9 - Swaps

VPpesos  K pesos

 p  ZP x

i 1

Donde: ZPi =

Factor de descuento de los flujos en pesos

A su vez: ZPi 

1 donde RPi es la tasa cero cupón en pesos a cada plazo (1  RPi )i

Del mismo modo VPdólares  K dólares 

 p  ZD y

i 1

Donde: ZDi = ZDi 

Factor de descuento de los flujos en dólares 1 donde RDi es la tasa cero cupón en dólares a cada plazo (1  RDi )i

Con los valores presentes en pesos y dólares para los flujos fijos y variables, se puede obtener el valor del swap en cualquier momento como: Vswap = (VPpesos – VPdólares)variable + (VPpesos – VPdólares)fijo   DTF / p S S 1 Libor / p 1 Vswap  K dólares  So     t   t   t t t S S  1  DTF  t o o 1  DTFt  1  Libort  1  Libort   t 360 360 360 360  n

 i 1

9.4.2

S x  ZPi  t p So



 p  ZD  y

(9.6)

i 1

Swap de tasa de interés

En un swap de tasa de interés en donde se intercambian flujos en tasa fija por flujos en tasa variable (DTF ó IPC), el procedimiento para valorar la parte variable es el mismo que se utilizó en el numeral anterior para valorar los flujos que estaban a tasa variable y el procedimiento para valorar los flujos a tasa fija es el mismo que se utilizó para valorar el componente fijo en el swap de tasa de cambio. Por lo tanto el valor de un swap de tasa de interés en todo momento será:

Capítulo 9 - Swaps

   n TF  DTF / p 1 Vswap  VPfijo  VPvar iable  K pesos    ZPi    1  ZPn  t t  i1 p  1  DTFt  1  DTFt  360 360  



(9.7)

Donde: ZPn = Factor de descuento al plazo en que se paga el principal TF = Tasa swap a la que se acordó cambiar los flujos variables

El primer término entre corchetes corresponde al valor presente de los flujos a tasa fija. El segundo y términos corresponden al valor presente de una nota flotante, incluyendo el pago de principal al final. Sin embargo, observe que a diferencia del swap de tasa de cambio, en el swap de tasa de interés no se intercambian principales porque estamos hablando de la misma moneda. Por esta razón debe descontarse el valor presente del principal, lo cual se refleja en el último término de los corchetes.

9.5 Tasas de descuento para valoración Hemos utilizado ZPi y ZDi para significar los factores de descuento de los flujos fijos en pesos y dólares, respectivamente. A estos factores de descuento corresponden tasas cero cupón de RPi y RDi para significar igualmente tasas de descuento en pesos y dólares, respectivamente. Dichas tasas de descuento podrán ser activas o pasivas, dependiendo de si quien está valorando el swap está recibiendo o entregando el flujo. En mercados en desarrollo es difícil contar con esas tasas activas y pasivas, en moneda local y extranjera, a diferentes plazos, razón por la cual lo más aconsejable es referirse siempre a la curva de riesgo soberano local, tanto en pesos como en dólares. En el caso colombiano por ejemplo, las tasas se pueden determinar sumándole unos puntos a la curva cero cupón de los TES para los flujos en moneda local y sumándole unos puntos a la curva de los Bonos Yankees2. Por ejemplo, si quien está valorando el swap recibe el flujo en dólares, deberá descontar su derecho de acuerdo con el riesgo crediticio en dólares de su contraparte, que puede considerarse como riesgo soberano en dólares más unos puntos. Esos puntos variarán de acuerdo con la calidad crediticia de la contraparte. El proceso de determinar cuántos puntos sobre la curva soberana en dólares se utilizarán para descontar el flujo en dólares puede ser algo subjetivo sobre todo si no se trata de una entidad financiera, porque en economías en desarrollo no se tiene una referencia clara de las tasas a las que puede emitirse en dólares. Por esto, la mejor alternativa es determinar una tabla en donde de acuerdo con la calificación interna de la entidad le corresponde un spread sobre curva soberana en dólares. Para el caso colombiano por ejemplo, si quien está valorando su derecho en dólares tiene una contraparte calificada AAA localmente, podría decir que a los de esta calificación le corresponde el mismo riesgo país y que el spread sobre bonos Yankees es cero. En la medida en que la calificación de su contraparte se va deteriorando, el spread va aumentando. 2

Los bonos Yankees son los bonos emitidos por Colombia en Estados Unidos

Capítulo 9 - Swaps

Si quien está valorando el derecho en dólares es una entidad financiera, es posible tener una referencia de la tasa en dólares a la que podría hacerle un préstamo a su contraparte. Como generalmente esta tasa está referida a la Libor y no como una tasa fija, la metodología que propongo consiste en tomar la tasa swap a ese plazo y sumarle los puntos sobre Libor a los que la entidad financiera le presta a la contraparte, que los podemos llamar y. En efecto, la tasa swap es la tasa a la que se intercambia la Libor por tasa fija en dólares a ese plazo. Este es un mercado muy líquido y se encuentran cotizaciones fácilmente. Esa tasa swap más el spread y es el equivalente en tasa fija al que la entidad le prestaría en dólares a su contraparte. Esa tasa se compara contra la TIR de los bonos soberanos del país emitidos en Estados Unidos (Yankees para el caso colombiano) y esa diferencia se le traslada a toda la curva cero cupón soberana en dólares. Si este mercado de bonos soberanos del país emitidos en Estados Unidos no es muy líquido, puede obtenerse la diferencia con respecto a la curva de los Bonos del Tesoro Americano y sumarle esa diferencia a toda la curva cero cupón de Bonos Americanos. Para valorar su obligación en pesos, esta entidad deberá utilizar la tasa a la que puede conseguir recursos en moneda local en el país, vía captación o emisión de bonos. Generalmente estas tasas están dadas en relación a una tasa variable. En el caso colombiano por ejemplo, las entidades privadas no pueden captar tasa fija a plazos muy largos, sino que lo hacen a DTF+spread o IPC+spread. La metodología de cálculo propuesta es entonces convertir esas tasas variables en tasa fija, preguntando en el mercado a qué tasa swap se está intercambiando la DTF o el IPC, según el caso. Así, a dicha tasa swap se le suma el spread para obtener la tasa fija de captación en pesos. Como también se tiene la referencia de la tasa fija a la que el gobierno capta recursos a ese plazo, esa diferencia se le suma a la curva de los TES para obtener la curva de descuento en moneda local de esos flujos. Por ejemplo, si el swap es a 5 años de plazo, la entidad puede suponer que es capaz de emitir bonos ligados a DTF a un spread x. En el mercado alguien puede cambiarle la DTF por una tasa fija del 10%, por lo cual su captación en términos fijos se haría al 10%+x. Si x es igual a 3%, entonces su captación sería al 13%. Supongamos que la TIR de los papeles soberanos en moneda local a ese plazo es del 12%. Quiere decir que la entidad está captando 1% por encima de gobierno. Luego se toma la curva cero cupón a todos los plazos y se le suma 1% para obtener la tasa de descuento a todos los plazos.

9.6 Cobertura de un Swap que el banco deberá hacer 9.6.1

Swap de tasa de cambio

Como ya se ha explicado para el caso de forwards de tipo de cambio, de acciones y de tasa de interés, el manejador de un portafolio no tiene que hacer la cobertura sintética de cada operación, pues entre compras y ventas muchos de los riesgos se cancelan. Así, su labor consiste básicamente en determinar el residual de esos riesgos para hacer la cobertura. Sin embargo, para efectos didácticos sobre los riesgos inherentes en un swap, a continuación se explica cómo se haría la cobertura sintética de una operación en particular. Un banco que entra en un swap de tasa de cambio en el que recibe DTF+y y entrega a cambio Libor+x deberá efectuar las siguientes operaciones con el fin de no tomar ningún riesgo de mercado:

Capítulo 9 - Swaps



 

Captar el monto del swap en pesos a DTF+Y. Es importante que los pagos de interés y el plazo de esta captación coincidan con los pagos de interés que la contraparte en el swap debe efectuar a sus acreedores. Si hay amortizaciones de capital durante la vida del swap, deberá hacerse una captación para cada plazo. Comprar dólares con esa captación Invertir los dólares a Libor+X bajo las mismas condiciones de frecuencia de pago de intereses y amortizaciones que la deuda del cliente

Los flujos para una Tesorería serían como se muestra en la gráfica siguiente:

Libor+X

Libor+x Banco

DTF+Y

Empresa

Libor+x

DTF+y

Captando en DTF y recibiendo recursos de su cliente en DTF, el banco está asegurando que no corre riesgo por cambios en esta tasa de interés. La relación entre x y X no es tan clara. Si el banco logra encontrar inversiones en dólares con un buen riesgo (AA¯ ó mejor) a un spread X, la utilidad provendrá de la diferencia entre (y – Y) y (X– x).

x puede ser mayor o menor que X. Cuando x es mayor que X, la Tesorería tendrá un faltante de (x  X )  (Monto en Dólares) y deberá p comprarlos al inicio del swap si no quiere tomar ningún tipo de riesgo cambiario. Si por el contrario x es menor que X, el banco tendrá un excedente de dólares en cada período de pago de ( X  x)  (Monto en Dólares) y deberá venderlos al inicio del swap si no quiere intereses igual a p tomar ningún tipo de riesgo cambiario.

dólares en cada período de pago de intereses igual a

Suponga que x>X, por lo cual el banco tendrá un faltante de dólares en cada período de pago de intereses y deberá comprar esos dólares con anticipación. Para hacerlo puede, bien sea realizar forwards de compra de dólares o sintetizar dichos forwards. Cuando el swap tiene un plazo menor o igual a un año es fácil realizar operaciones de compra de dólares vía forward. Sin embargo, dadas las limitaciones en muchos de los mercados emergentes, es muy difícil comprar dólares forward a plazos superiores a un año. Para comprar esos dólares que le hacen falta en cada período de pago de intereses, el banco deberá hacer captaciones adicionales en pesos, una para cada período de pago de intereses. Para el caso colombiano, estas captaciones podrán hacerse a tasa fija para plazos menores o iguales a un año y a tasa variable para plazos superiores a un año. Con esos pesos captados el banco compra dólares y los invierte a tasa fija, al mismo plazo de la captación. Las cosas se complican porque esos spreads de captación en pesos a cada plazo son diferentes entre sí y por supuesto, diferentes a Y. Para los plazos mayores a un año, que son aquellos sobre los que es difícil encontrar forwards de compra, el banco deberá captar:

Capítulo 9 - Swaps

( x  X )  (Montoen dolares)  So

pesos, donde rd,i es la tasa de inversión en dólares (la d significa i  rd ,i   p  1  p   dólares) en tasa fija durante un plazo igual al período de pago de intereses i. Así, si los pagos de intereses son semestrales y queremos conocer la captación para comprar los dólares que el banco necesitará en el período 3, es decir, dentro de 18 meses, i es igual a 3 y rd,i es la tasa de inversión en dólares a tasa fija a un plazo de 18 meses. El banco necesitará dólares siempre que x > X. El monto en pesos sobre el cual la contraparte pagará al banco una tasa de DTF+spread para los tres períodos será el mismo en cada uno de esos períodos e igual a: (Montoen dólares)  So  (x – X).(Monto en dólares)  So 

1 n 1  p i  3  rd ,i i 1   p  



En general:   1 n 1  Monto en pesosj = (Montoen dólaresj)  So  1  ( x  X )   p k  i  rd , k  1   p  Donde j varía desde 1 hasta n.



   k      

(9.8)

Note que (Monto en dólaresi) = Amortizacióni + Balancei i

Donde: Balancei = Monto inicial en dólares –

 Amortizacion

j 1

Como el término dentro de la sumatoria solo aplica para plazos superiores a un año, i  3 en caso de pagos de interés semestrales o i ≥ 5 en caso de pago de intereses trimestrales. En este ejemplo, donde los pagos de intereses son semestrales, i comienza en 3 y solo pueden hacerse captaciones en pesos a tasa fija durante un año. Para 18 meses (i=3), la captación deberá hacerse a tasa variable (DTF+Y18) Para calcular el spread sobre DTF que el banco le va a cobrar a su cliente, denominemos: j

 rp  1   p 1 F j  So   cuando el plazo es menor o igual a un año y F j  So  cuando el j j  rd   rd  1   1   p p   plazo es mayor a un año. Esta separación entre plazos mayores y menores a un año se debe a que

Capítulo 9 - Swaps

cuando el plazo es menor a un año, las captaciones pueden hacerse a tasa fija en pesos, mientras que a plazos superiores a un año, las captaciones deben hacerse a tasa variable. (Montoen pesos j )  y j  (Montoen dolares j )  So  YS j  p  Fj 

(Montoen dolares j )  So 

(x  X )  (Montoen dolares j )  p

n 1 1  (x  X )  Yj  p r k i  1  d , k p 



  

(9.9)

Donde: Yj =

spread sobre DTF de una captación de la Tesorería a cada plazo

Donde: YS j = tasa de captación en pesos a cada plazo ponderada por monto Como lo hemos dicho, i ≥ 3 en caso de pagos de interés semestrales o i ≥ 5 en caso de pago de intereses trimestrales.

Reagrupando:   n (Montoen dolares j )  So  (x  X ) (x  X ) 1 yj   YS j  F j    Yj  (Montoen pesos j ) So p r k i   1  d , k  p 



   k      

(9.10)

De nuevo, i ≥ 3 en caso de pagos de interés semestrales o i ≥ 5 en caso de pago de intereses trimestrales.

 Amortizacion  Y i

A su vez YS j se calcula como

i j

Montoen dolaresi

Donde:

Amortización i =

Amortización de capital en cada período en términos de dólares

Como (Monto en dólares)j  So = (Monto en pesos)j

Capítulo 9 - Swaps



9.6.2

  n (x  X ) (x  X ) 1  y j  YS j  F j    Yj  So p r k i   1  d , k  p 



   k      

(9.11)

Swap de tasa de interés

Un banco que le ofrezca a un cliente cambiarle su deuda en DTF por tasa fija, tendrá entonces una salida de recursos en DTF en cada período de pago de intereses, mientras que recibe una tasa fija r. Si va a cubrirse sintéticamente, dicho banco deberá entonces hacer una captación a tasa fija e invertirse a tasa variable al mismo plazo del swap y con pagos de intereses que coincidan con las fechas de intercambio de flujos en el swap. Así las cosas, los flujos para el banco serían: DTF+Y%

DTF+y% DTF+y%

Banco

Empresa r%

En el caso de un swap de DTF por IPC, el banco tendrá entonces una salida de recursos en DTF en cada fecha de pago de intereses y recibirá IPC+z%. Para evitarse los riesgos de tasa de interés, dicho banco deberá entonces captar en IPC e invertirse en DTF. Así las cosas, los flujos para el banco serían: DTF+Y%

DTF+y% DTF+y%

Banco IPC+Z%

Empresa IPC+z%

9.7 Ejercicios para cálculo de Swaps Ejercicio 1: En agosto de 2001 Inversiones El Rey, una empresa dedicada al negocio de las inversiones en portafolio, decidió contactar al grupo de Tesorería de un prestigioso banco local, para que esta última diseñara las condiciones bajo las cuales El Rey podría cambiar su deuda en dólares por deuda en pesos colombianos. Las condiciones de la deuda en dólares adquirida por El Rey son las siguientes: Monto: Plazo: Pagos: Modalidad: Tasa de interés:

Us$4 millones 2 años semestre vencido Bullet Libor + 2,5%

Capítulo 9 - Swaps

Aunque no existe un mercado desarrollado de swaps, el banco puede buscar la manera de cubrirse sintéticamente para poder ofrecerle dicho swap a El Rey. El mercado de capitales colombiano no está plenamente desarrollado y las Tesorerías sólo tienen la posibilidad de hacer captaciones en pesos a tasa fija a seis meses y a un año. Estas tasas de captación en términos efectivo anual son de 12,04% y 12,23% para 6 meses y un año, respectivamente. Para captar a 18 meses y a dos años en pesos, se debe ofrecer una tasa variable ligada a la DTF con pagos de intereses semestre vencido. Los spreads sobre DTF a los que esta Tesorería capta a 18 meses y a dos años son de 1,30% y 1,50%, respectivamente (Nota: recuerde que los spreads se suman sobre las tasas nominales trimestre anticipado y no sobre tasas efectivas anuales). Finalmente, suponga que la Tesorería tiene capacidad de invertirse en dólares a 2 años con pago semestre vencido a Libor+1,5%. La tasa de cambio spot al momento de iniciar el swap es de $2.307 por dólar. Cuáles son las condiciones bajo las que esta Tesorería podría ofrecerle el crédito en pesos a El Rey para no asumir ningún tipo de riesgo de mercado? Cuál sería la ganancia para esa Tesorería si logra invertirse en dólares a Libor + 4% a dos años y acuerda con el cliente una tasa en pesos igual a DTF +5%? Existe riesgo cambiario en este caso? Por qué? Tasas TES Plazo (Años) 0,5 1,0 1,5 2,0

Tasas AAA en USD Plazo Tasa (Años) 0,5 2,50% 1,0 3,00% 1,5 3,20% 2,0 3,50%

Tasa 9,50% 10,00% 10,50% 11,00%

Ejercicio 2: Simultáneamente con el crédito anterior, El Rey adquirió un nuevo crédito con un banco internacional por US$50 millones a una tasa de Libor + 3,2% con pago de intereses trimestre vencido y un plazo de tres años. El Rey desea entrar en un swap para convertir dicho crédito en pesos a DTF+ y%. A diferencia del crédito anterior, en este El Rey debe hacer pagos de capital durante los tres años de vida del crédito, tal como se describe a continuación:

Abono a Capital (mm de US$)

Semestre 1

Semestre 2

Semestre 3

Semestre 4

Semestre 5

Semestre 6

Por motivos de cupo con El Rey, dicha Tesorería sólo puede acceder a hacer el swap por US$10 millones y propone que el siguiente esquema para los abonos de capital:

Capítulo 9 - Swaps

Abono a Capital (mm de US$)

Semestre 1

Semestre 2

Semestre 3

Semestre 4

Para llevar a cabo dicho swap, la Tesorería puede conseguir en el mercado internacional una nota estructurada de la República de Colombia a Libor +3,5% bajo las mismas condiciones de pagos de capital descritas en el cuadro anterior y con pagos de interés trimestre vencido. Asumiendo que la Tesorería puede captar a tasa variable con modalidad trimestre vencido (TV) a 6 meses a DTF+1,0%, a un año a DTF+1,2%, a 18 meses a DTF+1,5%, a dos años a DTF+1,8%, a 2,5 años a DTF+2% y a 3 años al 2,5%, estructure dicho swap. Tasas TES Plazo (Años) 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00

Tasas AAA en USD Plazo Tasa (Años) 0,25 2,30% 0,50 2,50% 0,75 2,75% 1,00 3,00% 1,25 3,10% 1,50 3,20% 1,75 3,40% 2,00 3,50% 2,25 3,55% 2,50 3,60% 2,75 3,65% 3,00 3,70%

Tasa 9,25% 9,50% 9,75% 10,00% 10,25% 10,50% 10,75% 11,00% 11,20% 11,40% 11,50% 11,60%

Ejercicio 3: ABC, una compañía de energía, posee actualmente en sus pasivos 50.000 millones de pesos a una tasa igual a DTF +3,5% a un plazo de 5 años. El vicepresidente financiero de ABC se aproxima a una Tesorería del sistema financiero, buscando un swap para su deuda, bien sea a tasa fija o a IPC. Debido a las limitaciones del sistema financiero, dicha Tesorería solo puede ofrecerle un swap de DTF a tasa fija durante tres años máximo, mientras que le ofrece un swap de DTF a IPC hasta por cuatro años. Las tasas fijas de captación y colocación en pesos, en términos efectivo anual, se muestran en el siguiente cuadro: Período

Captación

Colocación

3 meses 6 meses 9 meses 12 meses 24 meses 36 meses

12,10% 12,50% 12,55% 12,60% 14,50% 15,50%

14,10% 14,50% 14,55% 14,60% 15,50% 16,50%

Capítulo 9 - Swaps

Si adicionalmente dicha Tesorería está en capacidad de colocar sus recursos a tres años a un spread sobre la DTF del 2%, cuál es la tasa fija que durante tres años le puede asegurar a ABC si solo puede cubrir dicho swap sintéticamente?. En todos los casos los pagos de intereses son trimestre vencido y no hay pagos de capital en los siguientes cuatro años de vigencia del crédito. Qué riesgo está corriendo la Tesorería en caso de que pacte un swap tasa fija por tres años y sólo pueda captar en tasa fija a dos años?. La misma Tesorería está en capacidad de captar dicho monto ($50.000 millones) a cuatro años con modalidad trimestre vencido (TV) a un spread sobre el IPC del 7,5% y de colocar sus recursos a cuatro años TV a un spread sobre la DTF del 2%. Qué spread sobre IPC le puede ofrecer a ABC para que esta última haga un swap de su deuda de DTF a IPC?

Capítulo 9 - Swaps

APÉNDICE 9.1 Casos de Swaps CASO 1: SWAP DE TASA DE CAMBIO Y TASA DE INTERÉS (CROSS CURRENCY SWAP) I. Introducción La ley 50 de 1991 y la ley 100 de 1993 dieron lugar a la creación de los fondos de cesantías y pensiones, respectivamente, quienes podrían ser manejados por las llamadas administradores de fondos de pensiones (AFP) en Colombia. Desde ese momento la seguridad social no era más monopolio del Instituto del Seguro Social (ISS) y otros competidores de carácter privado ganaron importancia. Los fondos de pensiones privados empezaron entonces una competencia con el ISS por las pensiones obligatorias de los colombianos, así como por las pensiones voluntarias y las cesantías. El crecimiento de las AFP privadas en términos de activos manejados ha sido acelerado, en detrimento del crecimiento del ISS. A este hecho contribuyeron varios factores, entre ellos la creencia entre los colombianos de que era mejor depositar sus ahorros en entidades de carácter privado que en una entidad pública como el ISS, presuntamente contaminada con todos los vicios y malas prácticas de muchas instituciones públicas en el país. No es difícil entender por qué las AFP se han convertido en los participantes más importantes en el mercado de capitales colombiano. Otras estadísticas sustentan este punto: de los $42.000 millardos de TES3 en circulación hacia mediados de 2002, el 10% estaba en manos de las AFP privadas. Igualmente de USD7.700 millones de Bonos Yankees4 emitidos por el gobierno, cerca del 23% estaba en manos de estos administradores. La Superintendencia Bancaria es el ente encargado de regular las prácticas de inversión de las AFP en Colombia y con ese ánimo ha emitido diversas normas para controlar su exposición ante diversos riesgos tanto de mercado como de crédito. En cuanto al riesgo de crédito, las AFP no pueden invertir en emisiones que no sean calificadas y además, si calificadas, sólo pueden tomar posiciones en aquellas que se ubiquen por encima de AA. Sobre el riesgo de mercado, las AFP sólo pueden tomar una posición limitada en alguna moneda extranjera. Específicamente, la norma les permite invertir máximo el 10% del valor de su portafolio en activos distintos a deuda soberana de Colombia denominados en una moneda distinta al peso colombiano. En deuda soberana de Colombia pueden tener invertido máximo el 50% del total de su portafolio, sin importar si ésta está denominada en pesos, dólares, euros o cualquier otra moneda. En cualquier caso, si la posición en moneda extranjera supera el 20% del valor de su portafolio debe estar cubierta.

Los TES o Títulos de Tesorería, son bonos emitidos por el gobierno colombiano. Los Bonos Yankees corresponden a deuda denominada en dólares emitida por el gobierno colombiano en los mercados internacionales. 4

Capítulo 9 - Swaps

Para cumplir con esta reglamentación, las AFP recurrieron al mercado de forwards peso-dólar que para entonces ya se encontraba suficientemente desarrollado en el país y había ganado una liquidez importante. Las AFP entonces invertían activamente en Bonos Yankees e inmediatamente entraban en una operación forward por medio de la cual estaban vendiendo dólares a futuro, provenientes del rendimiento que dichos Bonos ofrecían. Con una disponibilidad de recursos líquidos que sobrepasaba la oferta de títulos por parte de los emisores en el país, las AFP llegaron a tener una porción muy importante de la deuda soberana de Colombia que estaba en circulación5. Para cumplir con la norma, las AFP también se convirtieron en activos participantes del mercado de forwards como vendedores de dólares a futuro. Esta importante participación en el mercado de forwards también hizo que sus decisiones de cobertura afectaran notablemente la evolución de la tasa de cambio. Cuando hacían una inversión en dólares y la cubrían vía forwards, las entidades financieras que ofrecían este tipo de derivado debían salir al mercado spot a vender dólares con el fin de cerrar su exposición. Una venta masiva de dólares a futuro por parte de las AFP implicaba entonces una venta masiva de dólares de las entidades financieras en el mercado spot, lo que presionaba la tasa de cambio hacia abajo, manteniendo el peso revaluado, tal como se observa en la gráfica 1. Gráfica 1. Evolución de la tasa de cambio – enero a mayo de 2002 2,500 2,400 2,300 2,200 2,100

Estabilidad en la tasa de cambio

2,000 1,900 1,800

1-may-02

1-mar-02

1-ene-02

1-nov-01

1-sep-01

1-jul-01

1-may-01

1-mar-01

1-ene-01

1-nov-00

1-sep-00

1-jul-00

1-may-00

1-mar-00

1-ene-00

1,700

Fuente: Banco de la República

II. Situación de los mercados Hacia mediados de julio de 2002 los spreads de la deuda colombiana empezaron a subir impulsados por el deterioro en la situación de Brasil, lo que produjo pánico entre los inversionistas internacionales con posiciones en mercados emergentes, especialmente en Latinoamérica. Los inversionistas locales como AFP también sentían temor por lo que pudiera ocurrir con la región y muchas decidieron liquidar parte de su portafolio en Bonos Yankees. Al las AFP vender su posición en estos bonos, las entidades financieras con las que habían hecho las 5

Incluso este hecho explica en buena parte por qué la deuda de Colombia se mantenía relativamente estable en precio mientras que prácticamente la deuda del resto de la región se deterioraba como consecuencia de las crisis en Argentina y luego en Brasil.

Capítulo 9 - Swaps

coberturas deberían entonces comprar dólares en el spot para cerrar la exposición cambiaria de su portafolio de forwards. Parte de los dólares que necesitaron las entidades financieras provenían de la liquidación de inversiones en dólares por parte de las AFP privadas; sin embargo, buena parte de estas liquidaciones no se monetizaron y se produjo un faltante de dólares en el mercado que disparó el precio del dólar de $2.517 a $2.580 en apenas tres días transcurridos entre el 23 y el 26 de julio de 2002. Luego hacia los primeros días de agosto el FMI anunció un paquete de ayuda a Brasil por valor de USD 30 mil millones, lo cual produjo tranquilidad en los mercados mundiales, incluyendo Colombia. Este hecho a su vez produjo una caída de cerca de $100 en la cotización del dólar en menos de una semana. Finalmente la intranquilidad volvió a aparecer por cuenta de una situación política enrarecida en Brasil cuando las encuestas empezaron a dar como seguro ganador al candidato de izquierda Luis Inacio Lulla Da Silva y el dólar se cotizó rápidamente por encima del los $2.800. Todos estos hechos produjeron una altísima volatilidad en el mercado cambiario en Colombia, haciendo que cualquier agente del mercado que quisiera cobertura se viera sujeto a unas condiciones de mercado muy variables y que muchas veces se encontraban en un nivel poco conveniente para sus intereses al momento de tener que hacer la cobertura. Existía la sensación en el mercado de que no había mecanismos de cobertura de largo plazo para protegerse contra el riesgo de tasa de cambio. III. El Proceso de Apertura Económica En 1991 comenzó en Colombia un proceso de Apertura Económica, liderado por Rudolf Hommes, Ministro de Hacienda del Presidente César Gaviria. Dicho proceso implicó con el tiempo grandes y profundos cambios en la composición accionaria de muchas empresas en Colombia. Muchas empresas familiares se abrieron a otros accionistas externos y otras que se dedicaban a varias actividades a la vez, hicieron escisión de sus diversos negocios, haciendo que cada empresa que se creaba de dicha escisión se dedicara única y exclusivamente a una cierta actividad. El cambio llegó a empresas como Carulla, que por años había estado manejada por la familia del mismo nombre y que para poder competir con pesos pesados como Éxito y Cadenalco, recibió inyección de capital proveniente de New Bridge, un fondo de capital privado (private equity), cuya participación accionaria le dio a esta empresa una mayor presencia a nivel nacional. El mismo Grupo de Empresas de Antioquia (GEA) recompuso sus inversiones en el sector comercio, unificando las administraciones para Almacenes Éxito y Cadenalco. A su vez Éxito se unía en una alianza estratégica (joint venture) con Casino de Francia para aprovechar la experiencia de este último en su competencia con Carrefour, otro grande del comercio en Francia que por esos días ya se había asentado en Colombia. Otras empresas como Bavaria, que hasta entonces habían mantenido un portafolio muy variado de inversiones en industrias distintas a la cervecera, decide escindir su negocio cervecero de su portafolio de inversiones, creando dos empresas, Bavaria y Valores Bavaria. Mientras que la primera se dedicaría únicamente al negocio cervecero, la segunda se dedicaría a manejar el resto de inversiones del Grupo Santo Domingo. Esta situación se repitió en algunas empresas del GEA como Suramericana, en donde era necesario separar la actividad aseguradora de la actividad de inversiones, con el fin de facilitar la llegada de potenciales socios extranjeros. Para tal fin se crearon tres empresas de la original Suramericana: Suramericana de Inversiones, Suramericana de Seguros de Vida y Suramericana de Capitalización.

Capítulo 9 - Swaps

Todas estas estrategias fueron exitosas y es así como algunas empresas de la época, entre las que se cuentan a Suramericana, Bavaria y Corfinsura, empezaron a recibir inyecciones de capital por parte de la International Financial Corporation (IFC), el brazo de inversión en el sector privado del Grupo Banco Mundial. IV. El swap Hacia mediados de agosto de 2002 una de estas empresas, a la que llamaremos ABC, comenzó a recibir capital en forma de deuda proveniente de la IFC. Los desembolsos estaban programados para hacerse en dos tramos, uno hacia el 12 de agosto de 2002 y el otro hacia el 31 de agosto de 2002. Para el 12 de agosto se esperaba la entrada de US$22,8 millones, mientras que para el 31 de agosto se esperaba que llegaran los restantes US$47,2 millones, para ajustar US$70 millones. Las condiciones detalladas del crédito eran como sigue: Monto:

US$70 millones

Tasa de Interés:

Libor + 2,75%

Frecuencia de pago de intereses:

Cada 180 días los 15 de septiembre y marzo

Amortizaciones de principal:

US$7 millones cada 6 meses comenzando al finalizar el año 2

Fecha de Madurez:

Marzo 15 de 2009

Primer pago de intereses:

Septiembre 15 de 2002

ABC quería entrar en un Cross-Currency-Swap (Swap de Tasa de Cambio) con el fin de cubrir su recién adquirida deuda en dólares. La tesorería del Banco del Caribe6 estaba dispuesta a ser su contraparte en el swap y esto obligó a toda su mesa de estructuración de productos financieros a determinar cuáles eran las condiciones de tasa en que podían realizar esta operación swap. El Banco del Caribe le ofreció a ABC cambiarle su deuda atada a Libor por deuda en pesos a DTF o a IPC. En opinión del Banco del Caribe era mucho más atractivo para ABC tener la deuda en pesos ligada al IPC y no a la DTF. La mesa de estructuración de productos financieros del Banco del Caribe piensa ofrecerle una cobertura de largo plazo vía swap de tasa de cambio a una AFP con el fin de cubrirle sus inversiones en dólares y a la vez utilizar esta parte como cobertura del swap que está a punto de cerrar con ABC. Los Bonos Yankees ofrecen un cupón del 10% fijo en dólares, pagadero semestre vencido los días 23 de enero y julio. Una AFP estaría dispuesta a entregar dicho cupón a cambio de un rendimiento en pesos según se muestra en el cuadro siguiente:

Es un nombre supuesto.

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Cuadro 1.

Spread sobre IPC al que una AFP está dispuesta a cambiar un cupón del 10% en dólares según Duración del título

Plazo (Años)

Spread sobre IPC (%)

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5

9,05 9,15 9,50 9,73 10,00 10,30 10,60 10,90 11,20 11,40

Al Banco del Caribe se le genera un problema adicional porque mientras que recibe tasa fija de la AFP, se compromete a entregar tasa variable (Libor) a ABC. Las negociaciones entre el Banco del Caribe y cada una de sus dos contrapartes transcurrieron muy bien al punto que pudo cerrar la negociación con ambas partes el mismo día (2 de agosto de 2002) y con la misma tasa de cambio ($2.654/dólar). Sin embargo, ABC apenas recibiría el primer desembolso de dólares por parte de la IFC el 12 de agosto y no quería estar expuesto a tasa de cambio. Tabla: Tasas de interés de los bonos cero cupón en Estados Unidos y Colombia por plazo Plazo (Años)

0,5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5

Tasa de interés en EEUU (%) 1,20 1,30 1,50 1,80 2,00 2,10 2,40 2,60 2,80 3,00 3,15 3,35 3,50

Tasa de Interés en Colombia (%) 8,50 10,00 10,90 11,70 12,45 13,20 13,65 14,10 14,55 15,00 15,15 15,25 15,35

Capítulo 9 - Swaps

Preguntas:

1. Por qué cree Usted que el Banco del Caribe le recomendó a ABC tener su deuda en pesos ligada al IPC y no a la DTF? 2. Cómo puede estructurarse un swap con una AFP de tal manera que le sirva al Banco del Caribe para cubrir su exposición con el swap que está a punto de firmar con ABC? 3. Cómo puede el Banco del Caribe cerrar su exposición de tasa de interés en dólares? 4. Cómo puede ABC cubrir su riesgo cambiario entre el día en que firmó el swap con el Banco del Caribe (2 de agosto) y el día en que recibiría los dólares (12 y 31 de agosto de 2002)? 5. Cuál es el spread sobre IPC al que ABC estaría dispuesto a cambiar su deuda en Libor+2,75, de acuerdo a los diferenciales de tasa de interés vigentes en ese momento? 6. Si el Banco del Caribe está esperando ganarse un margen del 3% anuales en términos de devaluación por esta operación, a qué tasa debió cerrar el swap con ABC?. 7. Si el Banco del Caribe recibe flujos en dólares de la AFP los 23 de enero y julio y le entrega a ABC dólares los 15 de marzo y septiembre, a qué riesgos está expuesta? 8. Si ABC puede deshacer la operación en cualquier momento, a qué riesgos quedaría expuesto el Banco del Caribe? 9. Cuáles son los riesgos totales de la operación para el Banco del Caribe? 10. Si el Banco del Caribe no hubiera conseguido una AFP para cerrar el swap que tenía pactado con ABC, qué operaciones debió haber realizado en el mercado de bonos para cerrar estos riesgos?. 11. Cuál es la devaluación implícita del swap que el Banco del Caribe va a cerrar con la AFP?. (Para esto averigüe el nivel del IPC vigente al momento de este swap).

Capítulo 9 - Swaps

CASO 2: SWAP DE TASA DE CAMBIO (CROSS CURRENCY SWAP)

Introducción

El Grupo Banco Mundial (World Bank Group), cuenta con varias empresas miembros, entre ellas: el International Bank for Reconstruction and Development, la International Development Association, la Multilateral Investment Guarantee Agency y la International Finance Corporation (IFC). Como miembro del Grupo Banco Mundial, la IFC debe trabajar en sintonía con las demás empresas miembros, aunque cuenta con independencia legal y financiera. Específicamente, la IFC se encarga de promover el crecimiento sostenible en países en vías de desarrollo a través de la financiación de proyectos del sector privado, la movilización de capitales en los mercados financieros internacionales y proveyendo servicios de asesoría a empresas y gobiernos. La IFC participa, en asocio con inversionistas privados a través de crédito y equity, en la financiación de proyectos en países que están en vías de desarrollo, ayudando así a expandir los negocios de estas empresas y a crear nuevos puestos de trabajo. A comienzos de 2002 el Banco Nacional de París (BNP Paribas), se acercó a altos funcionarios de la IFC en Washington con una propuesta novedosa para ellos y en general para el resto de entidades multilaterales como el mismo Banco Mundial (WB) ó para el Banco Interamericano de Desarrollo (BID): la posibilidad de emitir bonos a largo plazo en Colombia, denominados en moneda local, aprovechando las bajas tasas de interés que en ese momento existían en el país. La propuesta llamó la atención de los funcionarios de la IFC, quienes desde la alta dirección en la capital de los Estados Unidos, le pidieron a los banqueros del BNP Paribas números concretos sobre la tasa a la que podían emitir los bonos a un plazo mínimo de cinco (5) años y el monto que el mercado estaría dispuesto a tomar. La IFC es una entidad con la mejor calificación a nivel internacional (AAA de Standard & Poors y Aaa de Moody´s) y esperaba obtener una tasa de colocación muy baja por la colocación de sus bonos en Colombia. Aunque el riesgo IFC es mucho mejor al de la República de Colombia, la mejor referencia para estimar la tasa de colocación de los bonos IFC eran los títulos de tesorería (TES) con un vencimiento similar al de los bonos de la IFC.

II.

La colocación de Bonos

El BNP Paribas como estructurador de la emisión convocó a un grupo de instituciones financieras en Colombia quienes serían las encargadas de hacer la colación de los bonos. Este grupo de instituciones estaba compuesto por Corfinsura como agente líder y por Suvalor, Comisionistas de Colombia e Inversionistas de Colombia como co-directores de la colocación. A este grupo se sumó otro paquete de instituciones que participarían en la venta de los bonos, conformado por Citivalores, Corporación Financiera Colombiana, Corredores Asociados y Santander Investment Valores Colombia. Los primeros sondeos indicaban que dada la alta calidad crediticia de la IFC, los bonos podrían salir a unos 70-90pb por debajo de los TES tasa fija con vencimiento en agosto de 2007, los

Capítulo 9 - Swaps

cuales tenían la duración más cercana a la emisión de la IFC. Hacia mediados de marzo de 2002 dichos TES se estaban transando a una tasa del 14,53%, por lo que se esperaba colocar los bonos IFC a tasas entre 13,60% y 13,80%. De cualquier modo, al final quedó establecido en el prospecto de colocación que el pago de intereses debería ser inferior a la suma de: (i) la tasa de interés de los TES con vencimiento agosto 22 de 2008 y (ii) 0,5% anual. Otras de las conclusiones de este sondeo previo era que las condiciones de pago de intereses debían ser similares a la de los TES, es decir, el cupón debía pagarse una vez al año. Igualmente se decidió colocar los bonos por el mecanismo de subasta holandesa.7. El monto establecido fue de COP$350 mil millones, el equivalente aproximadamente a US$150 millones, de acuerdo con la tasa de cambio de esos días. Los primeros COP$233 mil millones se colocarían en un primer tramo y los restantes COP$117 mil millones se dejarían para una colocación posterior. La IFC destinaría esos recursos captados en Colombia para inversión en otros países donde hace presencia. Por esto requería los pesos captados para comprar dólares que finalmente saldrían de Colombia rumbo a inversiones en otros países. Como parte de todo el proceso, BNP Paribás debería trazar una estrategia con una entidad financiera en Colombia para poder comprar esos dólares sin afectar considerablemente el mercado cambiario, el cual movía un promedio diario de US$200 millones.

III.

El swap con IFC

La colocación y todos los procesos relacionados con esta marchaban de acuerdo a lo esperado. Sin embargo la operación tenía otro componente adicional que había que resolver para poder salir con la emisión. Como la IFC por estatutos no puede tener pasivos en una moneda distinta a dólares, el BNP Paribás debería además llevar a cabo un swap con la IFC mediante el cual le cambiaba ese pasivo denominado en pesos por un pasivo en dólares. La gráfica siguiente muestra cómo era el intercambio de flujos que debería darse entre la IFC y el BNP Paribás.

Principal en COP

Principal en USD Tasa Fija en COP

BNP Paribás

IFC

Tasa Fija en COP

Tenedores de Bonos

Tasa de Intérés en USD

Principal en COP Aunque para BNP Paribás este tipo de operaciones swap no era nueva, sí lo era el hecho de tener que buscar una contraparte en Colombia que le permitiera cubrir el riesgo al que quedaba expuesto por la operación con la IFC. Como el BNP había adquirido un pasivo en pesos a tasa fija debido al swap con la IFC y un activo en dólares por la misma operación, para hacer la 7

En la subasta holandesa se asignan participaciones a pro-rata, comenzando por las tasas de interés más bajas.

Capítulo 9 - Swaps

cobertura debería buscar un activo denominado en pesos tasa fija y un pasivo denominado en dólares. Estas posiciones las podría conseguir a través de una empresa en Colombia con deuda en dólares con intenciones de convertirla a pesos. Eran varias las empresas con una deuda de este tipo, pero dada la estabilidad que por esos días mostraba la tasa de cambio peso/dólar, no muchas de ellas estaban dispuestas a entrar en una operación swap de este estilo. Como es común en economías con una pobre cultura del riesgo, siempre se asume que el futuro se va a comportar como el pasado inmediato.

IV.

El swap con EPM

BNP Paribás encontró en Empresas Públicas de Medellín (EPM) interés por cambiar su deuda denominada en dólares a pesos, lo cual le permitiría a esta empresa con asiento en la capital Antioqueña, cubrirse del riesgo cambiario por un monto de US$100 millones durante 5 años. La deuda total a largo plazo en moneda extranjera de EPM a final de 2001 era de COP$1’338.846 millones, lo que a la tasa de cambio al finalizar el año representaba US$ 584 millones. Quiere decir que la operación con BNP le estaba cubriendo el riesgo cambiario por el 17,1% del total de su deuda externa de largo plazo a diciembre 31 de 2001. En promedio esta deuda de EPM estaba a una tasa de Libor+3,00%. Era una propuesta interesante sin duda, la cual EPM estaba considerando seriamente. Sin embargo, para poder tomar la decisión de entrar en el swap todavía había que definir otros puntos como el tratamiento contable que se le daría a esta operación y sobre todo, qué tan atractiva era la tasa que BNP Paribás estaba proponiendo. Para EPM una propuesta que significara una devaluación implícita entre el 11% y el 12% anual era atractiva. Esto se ajustaba perfectamente a la propuesta de BNP y EPM decidió, luego de salvar otros inconvenientes adicionales, entrar como contraparte del BNP en la operación swap de tasa de cambio. Según este acuerdo EPM se comprometía a entregar una vez al año (la misma frecuencia de los TES) una tasa fija en pesos igual a la tasa a la que saldrían los bonos emitidos por la IFC, mientras que tendría el derecho de recibir Libor más un spread. Con esta contraparte los flujos totales para BNP Paribás fueron como se muestra en la siguiente gráfica:

Capítulo 9 - Swaps

Principal en COP

Principal en USD Tasa Fija en COP(rp)

BNP Paribás

Tasa de Intérés en USD (rd)

IFC

Tasa Fija en COP

Tenedores de Bonos

Ppal.en COP rd

rp Principal en COP

EPM

Principal en USD

Como puede verse, la IFC no podía quedarse con los pesos que iba a captar a través de la emisión de bonos. Necesitaba convertir esos pesos a dólares para poderlos sacar del país. Existían varias alternativas para esto: una, que EPM tuviera dólares en una cuenta de compensación en el exterior y que transfiriera US$100 millones a una cuenta de la IFC; con eso esta entidad multilateral le consignaría en Colombia el monto de la emisión de los bonos. Sin embargo, para el momento de la operación las actividades internacionales de EPM no eran significativas y no contaba con esos recursos en cuentas del exterior. Si el swap involucraba intercambio de monedas al inicio, EPM debería comprar los dólares para entregárselos al BNP, quien a su vez se los entregaría a la IFC. Finalmente el BNP Paribás tenía todo listo: el pre-mercadeo de la emisión de bonos de la IFC y el swap con EPM como contraparte. Así las cosas, el 21 de marzo de 2002 se realizó la emisión de bonos de la IFC, según las condiciones mostradas en el Anexo 1. Mirando en retrospectiva, para EPM el swap fue en excelente negocio, pues desde el 21 de marzo hasta finales de octubre el peso se había devaluado cerca de un 22%, al pasar de $2.279,60 a $2.791,46.

Capítulo 9 - Swaps

Términos de la Emisión de Bonos (Serie A):

Emisor:

International Financial Corporation (IFC)

Monto:

COP$233.000’000.000

Fecha de Emisión:

Marzo de 2002

Fecha de vencimiento:

Marzo de 2007

Pago de Intereses:

Anual

Tasa Cupón:

13,70%

Precio:

Par

Evolución de la TIR de los TES con vencimiento agosto de 2008 16.0% 15.5%

14.5% 14.0% 13.5%

21-mar-02

7-mar-02

21-feb-02

7-feb-02

24-ene-02

10-ene-02

27-dic-01

13-dic-01

29-nov-01

15-nov-01

1-nov-01

18-oct-01

4-oct-01

20-sep-01

6-sep-01

13.0%

23-ago-01

TIR

15.0%

Capítulo 9 - Swaps

Tasas cero cupón en pesos y dólares para varios plazos

Plazo (Años)

Tasa de interés en EEUU (%)

0,5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

1,20 1,30 1,50 1,80 2,00 2,10 2,40 2,60 2,80 3,00

Tasa de Interés en Colombia (%) 8,50 10,00 10,90 11,70 12,45 13,20 13,65 14,10 14,55 15,00

Devaluaciones Forward Peso/Dólar Plazo (Días) 15 30 45 60 90 120 150 180 270 360

Compra

Venta

1,0% 1,2% 1,4% 1,6% 1,8% 2,0% 2,3% 2,5% 2,8% 3,0%

3,0% 3,2% 3,4% 3,6% 3,8% 4.0% 4,3% 4,5% 4,8% 5,0%

Preguntas: 1. Si el swap de BNP Paribás con EPM se hizo con una devaluación implícita del 9,8% al año, cuál estima Usted que fue el spread sobre Libor que EPM recibiría del banco francés?

Capítulo 9 - Swaps

2. En caso de que hubiera intercambio de monedas al inicio en el swap entre EPM y BNP, cuáles serían las consecuencias de no manejar adecuadamente la compra de dólares por parte de EPM? 3. De acuerdo con la respuesta a la pregunta 1 y suponiendo que el margen de intermediación para el BNP Paribás es del 1% por año, en dólares, cuál sería el spread sobre Libor que debería recibir de la IFC?. Qué devaluación implícita representa esto para la IFC?. Cómo compara esa devaluación con las devaluaciones del mercado forward? 4. Usted considera que EPM tiene todo el riesgo cambiario sobre esos US$100 millones cubierto a través del swap, o quedaría algún remanente?

Capítulo 9 - Swaps

Lecturas Adicionales Andersen, Torben Jul.. “Currency and Interest Rate Hedging”. New York Institute of Finance. Segunda Edición, 1993. Brown, Keith y Donald Smith. “Interest Rate and Currency Swaps: A Tutorial”. The Research Fundation of the Institute of Chartered Financial Analysts. Dattatreya, Ravi y Kensuke Hotta. “Advanced Interest Rate and Currency Swaps”. Ed. Irwin. Primera Edición 1994. Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1996.

Capítulo 10 - Opciones

CAPÍTULO 10 Opciones 10.1

Definición

Una opción se define como un derecho, mas no como una obligación, para comprar o vender un determinado activo en una fecha futura a un precio preestablecido desde el comienzo. La gran diferencia respecto a un forward radica en que en éste se tiene la obligación de comprar o vender en la fecha futura, mientras que en la opción se tiene el derecho, el cual se ejercerá o no dependiendo de las condiciones. Adicionalmente, mientras que un forward no tiene prima al inicio, en una opción sí existe un desembolso inicial.

10.2

Clasificación

Las opciones se han clasificado según el derecho que le otorguen a su tenedor, según el momento en que el tenedor puede ejercer su derecho y según la relación entre el precio del activo subyacente y el precio al que se puede ejercer la misma. 

De acuerdo con el derecho que le otorgan a su tenedor pueden ser:

Call Put

Una opción Call u opción de compra le otorga a su tenedor el derecho de comprar un activo subyacente en una fecha futura a un precio determinado al que llamaremos K. Una opción Put u opción de venta le otorga a su tenedor el derecho de vender un activo subyacente en una fecha futura a un precio determinado al inicio. De acuerdo a las anteriores definiciones, quien compre una opción Call es porque tiene expectativas de un mercado al alza (mercado bullish). Por esto quien vende una opción Call tendrá pagos negativos al vencimiento en caso de que el mercado esté al alza. Paralelamente, quien compre una opción Put espera que el mercado esté a la baja y por eso un vendedor de opciones Put tendrá pagos negativos si el mercado está a la baja. 

De acuerdo al momento en que el tenedor puede ejercer la opción pueden ser:

Europeas Americanas Bermudina (de Bermudas)

Una opción Europea sólo puede ejercerse al final. Si es una opción Call, se ejercerá si ST > K. De otro modo no se ejercerá y su valor será de cero.

Capítulo 10 - Opciones

En este caso ST se refiere al precio del activo subyacente al vencimiento y K al strike price o precio al que se acuerda ejercer la opción. Por lo tanto el pago al vencimiento de una opción Call tipo Europea será: Max[ST – ;0] Si es una opción Put, se ejercerá si K > ST. De otro modo no se ejercerá y su valor será de 0. Así las cosas el pago al vencimiento de una opción Put será Max[K–ST ; 0] Por su parte las opciones Americanas son aquellas que se pueden ejercer en cualquier momento. Su precio será más alto que el de las opciones Europeas, pues deberá pagarse una prima adicional por el derecho de ejercer en cualquier momento. Una opción Bermudina es aquella que se puede ejercer en momentos discretos durante su vida. Una opción de estilo podría lucir así: opción Put Bermudina a 180 días, con strike K, la cual puede ser ejercida puntualmente cada 30 días. 

Existe otro tipo de opción conocida como opción Asiática, la cual es una variación de la Europea. Una opción Asiática puede ejercerse solo el día del vencimiento, pero no se compara el precio del activo ese día contra el strike, sino un promedio del precio del activo durante un período determinado contra el strike.

Por ejemplo, una opción Call Asiática tendrá el siguiente pago al vencimiento: Max[S  K ;0] . En este caso S se refiere al promedio del precio del activo durante los últimos n días antes del vencimiento. 

De acuerdo a la relación entre el precio del activo subyacente y el precio al que se puede ejercer la opción.

In-the-Money (ITM) At-the-Money (ATM) Out-of-the-Money (OTM)

Una opción Call estará ITM si St > K donde St es el precio del activo subyacente en el momento t. Será ATM si St = K y será OTM si St < K. Por su parte una opción Put será ITM si St < K, será ATM si St = K y será OTM si St > K. La siguiente tabla resume estas restricciones:

CALL PUT

ITM So > K So < K

ATM So = K So = K

OTM So < K So > K

Adicionalmente, y de mucha utilidad especialmente en opciones sobre tasa de cambio, las acciones pueden ser clasificadas en In-the-Money-Forward (ITMF), At-the-Money-Forward (ATMF) y Outthe-Money-Forward (OTMF), dependiendo de la relación entre K y la cotización del Forward, F.

Capítulo 10 - Opciones

10.3

Diagramas de pagos (pay-off)

Como se dijo, una opción Call Europea será ejercida sólo si ST > K y en tal caso su tenedor recibirá un pago igual a ST– K. Si ST < K la opción no se ejerce y su tenedor no recibe nada. Con esto en mente, si el spot al vencimiento es de Pago al COP$2.400/US$ y el precio de ejercicio de vencimiento COP$2.300/US$, el pago que el tenedor de una opción Call peso/dólar recibe al vencimiento es de COP$2.400 – COP$2.300 = $100/US$.

Para el vendedor de una opción Call el diagrama de pagos al vencimiento es: Pago al vencimiento

Por su parte el comprador de una opción Put Europea tendrá pagos a su favor si K > ST y este será de K – ST. Si K < ST su pago será igual a cero. Por lo tanto el diagrama de pagos para el tenedor de una opción Put será:

Capítulo 10 - Opciones

Pago al vencimiento

Para el vendedor de una opción Put tipo Europeo el pay-off al vencimiento será como se muestra en la siguiente gráfica: Pago al vencimiento

-K

10.4

Composición del valor de las opciones. Valor intrínseco y valor extrínseco

La gráfica siguiente muestra el pago al vencimiento (pay-off ) de una opción Call tipo Europeo al vencimiento y su valor en cualquier momento durante la vida de la opción.

Capítulo 10 - Opciones

Como se nota, el valor de una opción puede dividirse entre valor extrínseco y valor intrínseco. El valor intrínseco se refiere al pay-off que su propietario va a recibir al vencimiento, o en otras palabras, la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio del activo subyacente al vencimiento de la opción.

Valor extrínseco Valor intrínseco K

Si la cotización forward es el valor más probable del activo en un momento dado, el valor intrínseco será la diferencia entre el valor del activo en un momento dado y la cotización forward, pero nunca será negativo.

Valor extrínseco

Una opción que es Out-of-the-Money en el forward (OTMF) no tendrá valor intrínseco. Sólo opciones In-the-Money en el forward (ITMF) tendrán valor intrínseco. Por su parte el valor extrínseco se refiere a la incertidumbre de si la opción va a ser ejercida o no y por lo tanto será una función de: i) qué tan ITM (ó OTM) está la opción, y ii) la distribución de probabilidades de cada evento al vencimiento. Puede decirse entonces igualmente que el valor extrínseco se refiere al valor que la opción toma por darle a su propietario la opción de adquirir un determinado pago o pay-off si se dan ciertas circunstancias. Para opciones sobre tasa de cambio, el valor extrínseco también puede interpretarse como la porción del precio de una opción que es sensible a factores tales como:     

El tenor o duración del contrato en consideración. Por ejemplo, una opción que tenga doce meses al vencimiento normalmente costará más que una opción que expira en una semana, aunque su relación no sea lineal La tasa de interés en las dos monedas envueltas La tasa de cambio La volatilidad de la tasa de cambio Oferta y demanda, así como la liquidez de dichas opciones en el mercado

Otra forma de decir lo anterior es que el valor intrínseco viene dado por su relación con el forward mientras que el valor extrínseco es todo lo demás. Para una Call, cuando el forward sobre el activo subyacente está por debajo del strike price de la opción (OTMF), ésta sólo toma valor proveniente de su valor extrínseco. Cuando el forward del activo subyacente está por encima del precio de ejercicio (ITMF), el valor de una Call tiene ambos componentes, uno extrínseco y uno intrínseco, siendo el valor intrínseco igual a F−K, siendo F el valor del forward al vencimiento y K el strike de la opción. Por ejemplo, si se compra una opción Call a 3 meses para comprar dólares a $2.500/dólar, la relación entre la cotización del forward y los valores intrínseco y extrínseco es:

Capítulo 10 - Opciones

Cotización Forward a 3 meses 2.267 2.309 2.350 2.389 2.425 2.460 2.494 2.527 2.558 2.588 2.617 2.645 2.672

Prima

V. Intrínseco

V. Extrínseco

2 5 11 20 32 47 65 85 107 131 156 182 208

0 0 0 0 0 0 0 27 58 88 117 145 172

2 5 11 20 32 47 65 59 49 43 39 37 36

La siguiente gráfica ilustra la relación de la tabla anterior: 250 Prima

V. Intrínseco

V. Extrínseco

200

Pesos

150 100 50 0 2,200

2,250

2,300

2,350

2,400

2,450

2,500

2,550

2,600

2,650

2,700

Forward

10.5

Estrategias de Trading con Opciones

10.5.1 Straddles Un Straddle le permite al usuario tomar una posición respecto a la volatilidad del mercado y no respecto a la dirección del mismo. Definición Un Straddle consiste en la compra (o venta) simultánea de una opción Call y una opción Put, ambas con el mismo precio de ejercicio y fecha de expiración.

Capítulo 10 - Opciones

Utilidad ó pérdida

Spot al vencimiento Compra de un Straddle

Spot al vencimiento Venta de un Straddle

Características        

Flexible. Un Straddle puede ser hecho a la medida de las necesidades del inversionista La prima por un Straddle es mayor que la prima para una opción Call sencilla o que para una opción Put sencilla con el mismo precio de ejercicio, ya que un Straddle involucra dos opciones El precio de ejercicio para un Straddle puede establecerse en cualquier nivel. Para precios de ejercicio que no estén At-the-Money Forward (ATMF), una pieza del Straddle estará In-theMoney (ITM) mientras que la otra estará Out-of-the-Money (OTM). Solamente una pieza del Straddle será ejercida al vencimiento Existen dos puntos de equilibrio, es decir, dos puntos en los cuales el tenedor no realiza ni pérdida ni utilidad en un Straddle. Estos puntos de equilibrio están localizados a cada lado del precio de ejercicio. La distancia entre estos puntos de equilibrio depende del nivel de la volatilidad implícita La compra de un Straddle le permite a Usted beneficiarse del movimiento en el spot sin importar en que dirección se da ese movimiento. La ganancia potencial es ilimitada mientras que la pérdida está limitada al valor de la prima La venta de un Straddle le reportará al tenedor un perfil de utilidades ó pérdidas con un potencial de ganancias limitado, representado por el valor de la prima recibido, mientras que el potencial de pérdidas es ilimitado

Aplicaciones   

Straddles se emplean para tomar posiciones respecto a volatilidad del mercado La compra de un Straddle es una estrategia adecuada cuando se espera que el mercado tenga una alta volatilidad, por ejemplo, antes de que se de a conocer una importante estadística económica o antes de elecciones La venta de un Straddle le permite a Usted ganar si el spot permanece estable. Esta estrategia se puede utilizar cuando se esperan leves movimientos en el spot, por ejemplo durante períodos de vacaciones o durante períodos de estabilidad política y económica.

Capítulo 10 - Opciones

Ejemplo de un Straddle Situación:

El inversionista A espera que haya mucha volatilidad en el mercado, pero no tiene claro en qué dirección se dará el movimiento

Objetivo:

Obtener provecho de esa visión de mercado, es decir, comprar un straddle si se piensa que habrá mucha volatilidad en el activo subyacente (dólar por ejemplo) o venderlo si se cree que permanecerá estable.

Parámetros:

Spot de referencia: COP$2.300/US$. Devaluación forward: 9,5%. Volatilidad: 20%

Estrategia:

El inversionista A compra un Straddle con un período de expiración de 3 meses. Así las cosas el inversionista A hace lo siguiente:  Compra una opción Put sobre la tasa de cambio COP$/US$ ATMF, lo cual implica un precio de ejercicio de COP$2.352,78/US$. La opción expira en 3 meses y la prima es del 5% en pesos  Compra una opción Call sobre la tasa de cambio COP$/US$ ATMF, lo cual implica un precio de ejercicio de COP$2.352,78/US$. La opción expira en 3 meses y la prima es del 5% en pesos

Diagrama de pagos al vencimiento

Utilidad ó pérdida en COP$

500 400 300 200 100 0 -1001700

1900

2100

2300

2500

2700

2900

3100

-200 -300 -400 Tasa de cambio COP$/US$ al vencimiento

Descripción Estrategia

El inversionista A compra opciones Call y Put sobre la tasa de cambio peso/dólar con el mismo precio de ejercicio, nocional y plazo al vencimiento

Fecha de Inicio

El inversionista A paga una prima al vendedor de las opciones Call y Put necesarias para estructurar esta estrategia

Fecha de Expiración

En la fecha de expiración de las opciones, la que está In-the-Money (ITM) será ejercida por el inversionista A. La utilidad obtenida por este ejercicio compensará la prima pagada. Cuando la ganancia

Capítulo 10 - Opciones

excede la prima pagada, la estrategia representará una ganancia total. La máxima pérdida corresponde a la prima pagada por estructurar esta estrategia. 10.5.2 Strangles Un Strangle le permite al usuario tomar una posición respecto a la volatilidad del mercado y no respecto a la dirección del mismo.

Definición Un Strangle consiste en la compra (o venta) de una opción Call Out-of-the Money (OTM) y la compra (o venta) simultánea de una opción Put Out-of-the-Money (OTM), ambas con el mismo plazo al vencimiento

Utilidad ó pérdida

Spot al vencimiento Compra de un Strangle

Spot al vencimiento Venta de un Strangle

Características       

Flexible. Un Strangle puede ser adaptado a las necesidades específicas de su tenedor, pues puede llegar a un acuerdo con un banco sobre cualquier precio de ejercicio La prima a pagar por un Strangle es mayor que la prima que se paga por una opción Call o por una opción Put, ya que esta estrategia involucra dos opciones Solamente una de las dos partes de un Strangle puede ser ejercida al vencimiento Existen dos puntos de equilibrio, es decir, dos puntos en los cuales el tenedor del Strangle no realiza ni pérdida ni ganancia. Estos puntos de equilibrio están localizados a cada lado del precio de ejercicio. La distancia entre estos puntos de equilibrio depende del nivel de la volatilidad implícita y la escogencia de los precios de ejercicio La compra de un Strangle representa una ganancia potencial ilimitada, mientras que la pérdida está limitada al precio pagado por las opciones La venta de un Strangle le reportará a su tenedor un perfil de utilidades ó pérdidas con un potencial de ganancias limitado, representado por el valor de la prima recibido, mientras que el potencial de pérdidas es ilimitado

Capítulo 10 - Opciones

Aplicaciones  

Para tomar posiciones de mercado La compra de un Strangle le permite a su tenedor beneficiarse de movimientos del activo subyacente sin importar la dirección La venta de un Strangle le permite al vendedor ganar en caso de que el precio del subyacente permanezca dentro de un rango



Ejemplo de un Strangle Situación:

El inversionista A espera que la tasa de cambio peso/dólar se mantenga en un rango entre COP$2.290/US$ y COP$2.310/US$ durante los próximos dos meses

Objetivo:

Con el fin de ganar la máxima utilidad posible con base en la expectativa anterior, el inversionista A está dispuesto a tener una pérdida ilimitada en caso de que la tasa de cambio se ubique por fuera de este rango

Estrategia:

El inversionista A vende un Strangle que expira en dos meses:  Vende una opción Put sobre la tasa de cambio con un precio de ejercicio de COP$2.280/US$ que expira en dos meses y con una prima del 5% en pesos  Vende una opción Call sobre la tasa de cambio con un precio de ejercicio de COP$2.380/US$ que expira en dos meses y con una prima del 5% en pesos

Parámetros:

Spot de referencia: COP$2.300/US$ Devaluación forward: 9,5% Volatilidad: 9,9%

Diagrama de pagos al vencimiento Utilidad ó pérdida en COP$

200 100 0

2000

-100

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

Tasa de cambio COP$/US$ al vencimiento -200 -300 -400 -500

Descripción Estrategia

El inversionista A vende opciones Call y Put sobre la tasa de cambio peso/dólar con el mismo nocional y plazo al vencimiento pero con distintos precios de ejercicio

Capítulo 10 - Opciones

Fecha de Inicio

El comprador paga la prima correspondiente al Strangle al inicio de la operación

Fecha de Expiración

Si el spot al vencimiento del Strangle está entre los dos precios de ejercicio, ninguna de las opciones será ejercida y por lo tanto el inversionista A hará utilidades correspondientes a la prima de las dos opciones que vendió. Si al vencimiento del Strangle el spot está por fuera del rango entre COP$2.280/US$ y COP$2.380/US$, una pieza del Strangle será ejercida. Sólo si la pérdida proveniente de la pieza que se ejecutó es mayor que la prima inicialmente recibida, la estrategia como un todo generará una pérdida. Pérdidas que resulten de la venta de un Strangle son potencialmente ilimitadas, mientras que las ganancias están limitadas al valor de las primas de las opciones vendidas

10.5.3 Spreads Esta estrategia puede ser usada tanto para hacerle cobertura a una exposición cambiaria como para reflejar una posición de mercado Definición Esta es una estrategia que involucra al menos dos opciones, de las cuales al menos una opción es comprada y al menos una opción es vendida Características    

Hay dos o más opciones involucradas en un Spread Habrá al menos una venta y una compra involucradas en un Spread, pero un Spread puede hacerse solo con Puts o sólo con Calls o con ambas. Las diferentes opciones involucradas en el Spread no tienen que ser por el mismo nocional, ni por el mismo precio de ejercicio, ni con la misma fecha de expiración Flexible. Siempre se puede diseñar un Spread que se adapte a sus necesidades específicas

Aplicaciones  

Esta estrategia se puede usar como una herramienta de cobertura o para tomar una posición de mercado Este conjunto de estrategias también se pueden usar para expresar una visión de mercado donde tanto la utilidad como la pérdida puede ser o limitada o ilimitada

Capítulo 10 - Opciones

   

El Spread más popular es el forward de rango (conocido en la literatura anglosajona como range forward) Un ejemplo de un Spread consiste en dos opciones con distintas fechas de expiración. A este Spread se le conoce como Spread horizontal Otro ejemplo de Spread consiste en opciones con diferentes precios de ejercicio. A este Spread se le conoce como spread vertical Los Spreads también pueden incluir variaciones en el nocional para cada una de las opciones.

Caso especial de Spread – Collar Un Collar es un spread conformado por una posición larga en una Call (Put) y una posición corta en una Put (Call), ambas Out-of-the-Money (OTM) y por el mismo plazo. Esta estrategia puede estructurarse para tener cero costo inicial, fijando un strike y obteniendo el otro de tal modo que la prima de la opción comprada y la de la opción vendida se igualen. Esta estrategia se conoce por tres nombres: Collar cero-costo, forward de rango y Opción Túnel. Ejemplo de Spread – Collar Un Collar le permite a su usuario vender o comprar un activo (en este caso hablemos de dólares), dentro de un rango determinado con anticipación y el cual puede estructurarse para tener cero costo inicial. Esto marca una diferencia importante con los forward normales, pues en éstos la compra o venta del activo se hace a un solo precio futuro determinado desde el inicio. El Collar involucra la compra de una opción Call o Put Out-of-the-Money (OTM) y simultáneamente la venta de una opción, bien sea Call o Put, Out-of-the-Money (OTM) Se estructura para que su costo al inicio sea cero.

Situación:

El cliente A es un exportador colombiano que espera recibir en tres meses flujos en dólares por US$5 millones y debe hacerles cobertura de acuerdo con las políticas internas de la compañía

Objetivo:

Realizar dicha cobertura pero a un costo inicial de cero, debido a restricciones de presupuesto

Parámetros:

Spot: COP$2.300/US$

Estrategia:

El inversionista A compra un Collar a tres meses:  Compra una opción Put sobre la tasa de cambio a un precio de ejercicio COP$2.200/US$ con una fecha de expiración de tres meses a una prima COP$200 por cada dólar de nocional, sobre un nocional de US$5 millones  Vende una opción Call sobre la tasa de cambio con un strike COP$2.400/US$ con una fecha de expiración de tres meses a una prima COP$200 por cada dólar de nocional, sobre un nocional de US$5 millones  La prima neta es cero

de de de de

Capítulo 10 - Opciones

Diagrama de pagos al vencimiento Utilidad ó pérdida en COP$

300 200 100 0 -1002000

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

-200 -300

Tasa de cambio COP$/US$ al vencimiento

-400 -500 -600

Descripción Estrategia

El inversionista A vende opciones Call y compra opciones Put sobre la tasa de cambio peso/dólar con el mismo nocional y plazo al vencimiento pero con distintos precios de ejercicio

Fecha de Inicio

Esta estrategia se estructura para tener un costo de cero al inicio, haciendo que varíen los precios de ejercicio.

Fecha de Expiración

A la fecha de expiración del Spread, si la tasa de cambio se ha movido a la baja, el inversionista A ejercerá la opción Put a COP$2.200/US$. Si la tasa de cambio se movió al alza, la contraparte del inversionista ejercerá la opción Call a un precio de ejercicio de COP$2.400/US$. Si la tasa de cambio al vencimiento está entre los dos precios de ejercicio nadie ejercerá y el inversionista A venderá sus dólares a la tasa de cambio de mercado

Comparación entre forward normal y un Collar Volviendo al ejemplo anterior, suponga que el exportador puede hacer un forward normal en donde se compromete a vender dólares a futuro a un precio de $2.300/US$. La otra alternativa es hacer un Collar cero costo entre $2.200 y $2.400. Asumamos que la prima de la opción Put con un strike de $2.200 es igual a la prima de la opción Call con un strike de $2.400. El exportador está asegurando que, independientemente del tipo de cambio en el futuro, siempre va a vender dólares a $2.300/US$. La siguiente gráfica ilustra la tasa de cambio a la que estaría vendiendo los dólares el exportador para distintos escenarios de tasa de cambio en el futuro:

Capítulo 10 - Opciones

2,450 en el Collar

en el forward

2,400

Tasa de venta

2,350 2,300 2,250 2,200 2,150 1,800

2,300

2,800

3,300

3,800

Tasa de cambio futura

Observe que, como se dijo, en el forward normal el exportador asegura una única tasa de cambio de venta futura, en este caso $2.300/US$. En el Collar podría estar vendiendo dólares más baratos que en el forward normal, en caso de que la tasa de cambio en el futuro esté por debajo del strike bajo (en este caso $2.200/US$). Hasta aquí sin duda que es más atractivo el forward normal. Ahora, si el spot se ubica entre los dos strikes ($2.200/US$ y US$2.400/US$ en este caso), ninguna de las dos opciones es ejercida y por lo tanto el exportador termina vendiendo sus dólares al spot de ese momento. Finalmente, si el spot se ubica por encima del strike alto ($2.400/US$ en este caso), la opción Call es ejercida y el exportador termina vendiendo los dólares al strike alto. En este punto el Collar se hace más atractivo que el forward normal.

Ejemplo de Spread - Spread Vertical También pueden estructurarse para tener un costo inicial de cero, ajustando los precios de ejercicio o el nocional involucrado en cada opción. Sin embargo, la mayoría de estos Spreads incluyen el intercambio de una prima al inicio de la operación. Los Spreads verticales se usan para reflejar una visión del mercado y a menudo son usados como parte de una cobertura mayor.

Situación:

El inversionista B cree que la tasa de cambio peso/dólar se moverá al alza durante el próximo mes, pero no por encima de COP$2.400/US$.

Objetivo:

Reflejar esta visión del mercado a través de una estrategia que ofrezca un rendimiento atractivo de acuerdo con el riesgo asumido

Parámetros:

Spot: COP$2.300/US$

Estrategia:

El inversionista B compra un Spread Vertical a un mes:

Capítulo 10 - Opciones

  

Compra una opción Call sobre la tasa de cambio a un precio de ejercicio COP$2.300/US$ con una fecha de expiración de un mes a una prima COP$200 por cada dólar de nocional, sobre un nocional de US$5 millones Vende una opción Call sobre la tasa de cambio a un precio de ejercicio COP$2.4007US$ con una fecha de expiración de un mes a una prima COP$160/US$ La máxima pérdida potencial es la prima neta pagada de COP$40/US$

de de de de

Diagrama de pagos al vencimiento

Utilidad ó pérdida en COP$

80 60 40 20 0 2000 -20

2100

2200

2300

2400

2500

2600

2700

Tasa de cambio COP$/US$ al vencimiento -40 -60

Descripción Estrategia

El inversionista B compra opciones Call y vende opciones Put sobre la tasa de cambio peso/dólar con diferentes precios de ejercicio pero con el mismo plazo y nocional

Fecha de Inicio

El inversionista B paga al inicio una prima neta igual a la diferencia en el precio de ambas opciones

Fecha de Expiración

A la fecha de expiración del Spread, si la tasa de cambio se ha movido a la baja y está por debajo de COP$2.300/US$, ninguna de las dos opciones será ejercida. Si la tasa de cambio está entre COP$2.300/US$ y COP$2.400/US$ a la fecha de expiración, el inversionista B ejercerá la opción Call con el precio de ejercicio de COP$2.300/US$ y la utilidad derivada de esto compensará la prima pagada al inicio. Si la tasa de cambio al vencimiento está por encima de COP$2.400/US$, las ganancias derivadas del ejercicio de la opción Call con el precio de ejercicio de COP$2.300/US$ serán contrarrestadas por pérdidas en el ejercicio de la opción Call vendida. Así, esta estrategia tendrá limitadas tanto la ganancia como la pérdida

Capítulo 10 - Opciones

Ejercicios: 1. Suponga que su expectativa es que la tasa de cambio peso/dólar va a permanecer estable en los próximos 90 días y quiere sacar provecho de dicha visión de mercado. Para eso Usted está dispuesto a asumir pérdidas en caso de que el comportamiento de la divisa no sea ese, es decir, si se presenta bien sea una alta revaluación ó una alta devaluación. Cómo podría generar dicha estrategia?

2. Existen muchas formas de combinar opciones Call y Put con forwards para crear estrategias de inversión que permitan tomar posición sobre una expectativa determinada en una variable. Una de esas estrategias por ejemplo es el forward participativo. Otras estrategias son el Forward de Rango y el Straddle. A continuación se describen cada uno de ellos. a) El Forward de Rango es un forward en donde Usted quiere limitar su pérdida en caso de presentarse, pero está dispuesto a limitar también su utilidad, en caso de presentarse. El diagrama de pagos al vencimiento luciría de la siguiente manera: Utilidad ó pérdida

K1 K2

Tasa de Cambio al Vencimiento

Es como un forward donde Usted compra dólares a futuro con el ingrediente adicional de que si la tasa de cambio termina por debajo de K1, su pérdida no será superior a K1. A cambio de esto, Usted limita su utilidad en el sentido que en ningún caso va a estar por encima de K2. Cómo podría crear una figura de estas utilizando forwards y opciones?

b) Suponga que Usted tiene una opinión sobre la evolución del dólar en los próximos 90 días, según la cual éste deberá presentar mucha volatilidad. Usted no sabría decir si al final de ese período el dólar va a estar por encima o por debajo del actual nivel, pero justamente su expectativa de volatilidad le permite esperar que va a estar lejos del nivel de hoy. Usted quiere sacar provecho de esa expectativa, esperando ganar si efectivamente el dólar termina muy por encima o muy por debajo del nivel actual, y aceptando pérdidas en caso de que no

Capítulo 10 - Opciones

haya volatilidad y el dólar termine muy cerca de su actual nivel. El diagrama de pagos dentro de 90 días que Usted espera tener es el siguiente: Utilidad ó pérdida

STRADDLE

Esta estrategia se conoce en el mercado como Straddle. Cómo podría crear esta figura utilizando opciones?

3. Suponga que sale un nuevo título al mercado, el cual paga en la fecha de expiración (dentro de un año) un monto que está ligado al precio del Kilowatio de energía en ese momento, S*, de la siguiente manera: Precio Kilowatio 0  S*  50

Pago 0

50  S*<100

3S* − 150

100  S*<150

250 – S*

S*  150

100

Suponga que Usted conoce el precio de opciones Call Europeas a un año sobre el precio del Kilowatio de energía con strikes de $50, $100 y $150. Muestre cómo podría usar los precios de estas Calls para encontrar el valor de este nuevo título.

Capítulo 10 - Opciones

4. Evalúe la siguiente afirmación: “Es una tontería y una pérdida de dinero proteger el precio de una acción a través de la compra de una Put. Una estrategia de stop-loss le da la misma protección y no cuesta nada”.

5. Si una empresa hace un split de su acción de 3 a 2, qué ajuste esperaría Usted que se hiciera en las opciones Put que se habían emitido sobre dichas acciones?

6. Suponga que actualmente la tasa de cambio peso/dólar es de $2.300, la volatilidad es del 12%, la tasa de interés en pesos es del 10% y la de dólares del 4%. Estructure un Collar cero-costo para un exportador. 7. Una firma de Banca de Inversión está ofreciendo para la venta un bono cero cupón convertible en acciones de la compañía XYZ. La propuesta funciona de la siguiente manera: El bono paga $100 dentro de dos períodos. En cualquier momento al vencimiento o antes de éste, el tenedor del bono puede intercambiar éste por una acción de XYZ. La firma de Banca de Inversión ha dejado 5 acciones de XYZ como colateral para cada bono convertible. Se da por entendido que la firma puede en cualquier momento cumplir con todas sus obligaciones y no hacer ningún otro pago simplemente dándole al tenedor del bono convertible total propiedad sobre estas cinco acciones. Sobre cada período, el retorno total de la acción de XYZ puede ser 200% o 50%. Al final de cada período, la acción pagará 1/5 del retorno total como un dividendo en efectivo al inversionista que haya tenido la acción durante ese período. El restante 80% del retorno total será el precio de la acción al que uno puede comprar la acción de XYZ para ser tenida en propiedad durante el siguiente período. En otras palabras, en cada período el precio de la acción ex-dividendo podrá subir 60% o caer 60%. El actual precio ex–dividendo de XYZ es de $100 y la tasa de interés es de 10% por período. El bono convertible se transa a $105. Si el Banco de Inversión cubre totalmente esta posición, cuál será la utilidad que hace en este negocio?. 8. Suponga que la acción de ABC se vende por $100 hoy en día. La acción no paga dividendo. Usted está considerando la posibilidad de comprar 1.000 acciones de ABC pero le preocupa una posible caída del mercado. Por lo anterior Usted decide adoptar una estrategia que le protegerá completamente en caso de pérdida mientras que le permite disfrutar de una fracción X del alza, en caso de presentarse. Su horizonte de inversión es de un año. En otras palabras, dentro de un año su portafolio debe valer $100.000 más X veces la valorización de la acción de ABC, en caso de presentarse. En el mercado se encuentran disponibles opciones Europeas a un año de plazo, cada una cubriendo una acción de ABC con un strike de $100. El precio de la Call es de $20 y el de la Put de $15. Dados estos precios, cuál es el máximo valor de X que Usted espera obtener?

Capítulo 10 - Opciones

APÉNDICE 10.1 Caso de Opciones UNA COMERCIALIZADORA INTERNACIONAL Y LA COBERTURA QUE LE PROVEE A SUS SOCIOS Objetivo: El objetivo de este caso es entender las diferencias entre la cobertura que ofrecen los forwards y la cobertura que ofrecen las opciones. Además, pretende ofrecer una perspectiva sobre cómo pueden usarse las opciones para controlar eventos extremos sin dejar de favorecerse cuando el activo subyacente, en este caso el dólar, se mueve hacia el lado favorable. 1. Introducción Jorge Ramírez seguía mirando por la ventana de su oficina con una preocupación que era evidente. Trataba de entender cómo era posible que una moneda llamada débil como el peso, pudiera llevar ya más de dos años de valorización frente al dólar, con todas las implicaciones negativas que eso tenía sobre la empresa para la que trabajaba. En economías emergentes siempre existía en la mente de los empresarios y hasta del mismo gobierno, la idea de que la moneda local debía devaluarse inexorablemente año tras año frente al dólar. Al fin y al cabo estamos hablando de una economía desarrollada y sólida frente a una débil y apenas emergiendo. Inclusive no faltan argumentos de orden financiero y macroeconómico para justificar que esto sea así. Por un lado, por paridad de intereses la devaluación debería ser el diferencial entre las tasas de interés de los dos países, el cual sin duda alguna debe ser positivo, justificando una devaluación de la moneda local frente al dólar. Por otro lado, el PPP relativo indica que la devaluación nominal de equilibrio debería ser igual al diferencial de inflaciones, con lo cual, de nuevo, deberíamos tener devaluación del peso y no revaluación como venía ocurriendo recientemente. A pesar de las consideraciones anteriores, Ramírez había visto al peso colombiano (COP) fortalecerse frente al dólar, tal como se muestra en la gráfica 1. Los años de alta devaluación del peso, que tanto habían beneficiado a los exportadores del país, se estaban viendo neutralizados por estos años de dura revaluación. Gráfica 1. Tasa de cambio peso/dólar 2,900 2,800 2,700 2,600 2,500 2,400 2,300 2,200

Fuente: Corfinsura.com

2-Mar-06

2-Dic-05

2-Sep-05

2-Jun-05

2-Mar-05

2-Dic-04

2-Sep-04

2-Jun-04

2-Mar-04

2-Dic-03

2,000

2-Sep-03

2,100

2-Jun-03

Tasa Representativa del Mercado

3,000

Capítulo 10 - Opciones

2. Descripción del negocio Jorge Ramírez era el gerente financiero de ABC1, empresa comercializadora de banano a nivel internacional. De hecho el banano se había convertido en una de las más importantes exportaciones no tradicionales de Colombia, siendo Estados Unidos y Europa sus principales destinos. ABC es propiedad de un grupo de fincas dedicadas al cultivo del banano, ubicadas en la región del Urabá Antioqueño y el departamento del Magdalena. ABC le compra el banano a estas fincas para posteriormente venderlo en los mercados internacionales. La base de clientes-propietarios era muy amplia, desde pequeños finqueros hasta dueños de grandes extensiones. La relación entre ABC y los finqueros se explica de manera muy simple: ABC compra a los cultivadores de banano la producción ya seleccionada, empacada y lista para ser despachada, pagando en pesos un precio determinado en dólares. La fruta se factura los viernes pero se paga el jueves siguiente. Es decir, al productor se le factura un monto igual a multiplicar el número de cajas vendidas, por el precio por dólar de cada caja, por la TRM2 del viernes. Por ejemplo, si el precio fijado era de US$2, y la TRM en el momento de la negociación (viernes) está en $2.400/US$, entonces ABC le pagará al finquero (jueves siguiente) un monto en pesos de $4.800 (US$2×$2.400). Este precio que ABC reconoce al finquero (precio de compra interno) sigue el mismo comportamiento del precio internacional del banano. El mismo viernes ABC le factura a las grandes comercializadoras internacionales como Del Monte, Chiquita, Estándar y Dolle, un monto en dólares equivalente al número de cajas por el precio en dólares de cada una. El pago se recibe, al igual que en el mercado local, al jueves siguiente. Simplemente existe un margen entre el precio internacional del banano y el precio de compra interno, margen que representa la utilidad para ABC. De cualquier modo, lo importante en este caso es notar la dependencia absoluta del precio que recibe el finquero con el dólar. Épocas devaluacionistas favorecían tanto al comercializador como al productor, mientras que épocas de revaluación del peso producían el efecto contrario.

3. Incentivos a las coberturas Los productores de banano, al igual que todos los exportadores colombianos, empezaron a ver sus márgenes reducirse aceleradamente, al tiempo que el peso se fortalecía frente al dólar. De tal magnitud fue esta situación que entre 2005 y el primer trimestre de 2006 el gobierno nacional había gastado cerca de COP$316.000 millones en subsidios a diferentes grupos de exportadores, con el único fin de incentivarlos a ir a los mercados de coberturas de tipo cambio y asegurar así que se protegieran contra caídas adicionales en la cotización peso/dólar. De darse estas caídas adicionales en el tipo de cambio, pondrían en peligro la viabilidad de muchas de estas empresas con una alta dependencia en las exportaciones. En un país como Colombia, con niveles de desempleo todavía en niveles tan altos como el 12%, esa situación realmente le preocupaba al gobierno. El primer paquete de ayudas que ofreció el gobierno estaba dirigido a los floricultores y bananeros, sumando COP$300.000 millones que se entregarían directamente a estos productores, de acuerdo 1

Nombre ficticio Tasa Representativa del Mercado, calculada diariamente por el Banco de la República con base en el promedio ponderado de las tasas de compra y venta de divisas de las operaciones interbancarias y de transferencias, desarrolladas en las ciudades de Bogotá, Medellín, Cali y Barranquilla por los intermediarios plenos del mercado que se encuentran autorizados en el estatuto cambiario es decir: Bancos Comerciales, Corporaciones Finacieras F. E. N. y Bancoldex. 2

Capítulo 10 - Opciones

con el monto en dólares exportado en 2004. El exportador enviaba al gobierno el monto que quería cubrir en 2005, que en ningún caso podía superar el monto de las exportaciones en 2004. El subsidio se entregaría en los primeros meses del 2005. Adicional a lo anterior, el incentivo, que era de COP$200 por cada dólar exportado en 2004, sería entregado siempre y cuando el floricultor o bananero demostrará que había adquirido una cobertura en el mercado, bien fuera a través de forwards o a través de opciones. Este subsidio se conoció como el ICC (Incentivo a las Coberturas Cambiarias) y como se ve, alcanzaría para incentivar exportadores que hubieran vendido hasta US$1.500 millones en el exterior durante 2004. El segundo paquete de subsidios, que sumaba COP$16.000 millones, estaría destinado a los siguientes sectores: caña de azúcar, palma africana, cacao, carne de bovino, tilapia, leche y derivados para exportación, camarón, plátano, frutales y tabaco. Este incentivo, sin embargo, difería mucho del ICC, pues ya no se entregaba directamente al exportador. Más bien, lo que el gobierno colombiano estructuró fue una figura según la cual la BNA (Bolsa Nacional Agropecuaria), compraba unas opciones Put a los bancos y luego se las vendía a los productores ya mencionados. Lo que el gobierno estaba subsidiando entonces era el costo de la prima de estas opciones hasta un 80%; el restante 20% debería ser asumido por el exportador. La BNA cada semana cotizaba opciones Put europeas con vencimientos mensuales que iban entre uno y seis meses. Para cada plazo se cotizaba una opción con un strike igual al tipo de cambio vigente en ese momento (opción ATM), una con un strike 1% por encima (ITM) y una con un strike 1% por debajo (OTM). En total, cada semana se cotizaban 18 opciones. El exportador podía escoger el plazo y strike, dentro de las alternativas que le ofrecía la BNA. Con una prima promedio de COP$58 por opción, el monto del subsidio más el aporte de los exportadores alcanzaba para unos US$340 millones de exportaciones. La tabla 1 muestra las exportaciones de 2004 por sector.

4. El problema para ABC Aunque ABC en su actividad de comercialización no tenía un riesgo cambiario considerable, pues su exposición sólo era por los ocho días transcurridos entre la fecha de la facturación a sus clientes en el exterior y la fecha en que se recibían esos recursos, sí accedió al ICC con el fin de suscribir contratos forward de venta y así poderle asegurar a sus clientes-propietarios una tasa de cambio fija para todo el año. Para ese momento las devaluaciones del mercado se encontraban muy cercanas a cero, con lo cual los forwards se estaban cerrando casi al nivel del spot de ese momento ($2.450/US$). Lo anterior parecía ser la solución que ABC estaba buscando a todos sus problemas. Sin embargo, la coyuntura que ABC enfrentaba era muy especial porque sus socios (dueños) le estaban demandando protección a sus ingresos vía el aseguramiento de un piso del dólar, pero que si la tendencia revaluacionista se revertía y de nuevo volviera a tenerse devaluación, ellos pudieran disfrutar de ese mayor precio del dólar. El piso se fijó en $2.400, cerca de $50 por debajo del nivel que tenía el dólar en ese momento. Esto quiere decir que si el dólar caía otros $50, esa pérdida debía asumirla el finquero, pero si caía por debajo de ese nivel, ABC entraba a responder garantizando el piso de $2.400. En otras palabras, la cobertura que ABC les proponía a los finqueros era ante el evento “catastrófico” de que el dólar bajara otros $50. La gráfica 2 muestra cómo sería el ingreso que obtendrían los productores de banano por cada dólar vendido, de acuerdo con el modelo al que se llegó con ABC.

Capítulo 10 - Opciones

Tabla 1. Exportaciones de algunos sectores en 2005.

Subsectores

EXP(2004) Millones Participación Cupos (Millones de Pesos Pesos) Carne de Bovino $30.443 3,39% $542,12 Cacao $43.793 4,87% $779,87 Leche y Derivados para $53.430 5,95% $951,47 exportación Frutas Incluido Plátano $58.336 6,49% $1.038,85 Tabaco $85.251 9,49% $1.518,14 Camarón y Tilapia $114.592 12,75% $2.040,64 Palma Africana $143.528 15,97% $2.555,93 Azúcar $369.272 41,09% $6.575,97 TOTAL SECTORES $898.644 100,00% $16.003 SELECCIONADOS ASIGNACIÓN DE CUPOS PROGRAMA DE PROTECCIÓN DE PRECIO Maíz, Sorgo, Soya $4.833 TOTAL Maíz, $4.833 Sorgo, Soya

Fuente: Ministerio de Agricultura

De continuar la revaluación ABC no tenía ya ningún problema, pues estaría vendiendo dólares a una tasa de cambio ya establecida a través de los forwards, generando así una utilidad, la cual se transmitía directamente a los finqueros a través del reconocimiento de una tasa piso. Sin embargo, y de manera irónica, el problema para ABC era que se presentara una devaluación del peso, pues en ese momento le debería reconocer al finquero el mayor precio del dólar, mientras que sus ingresos no reaccionaban de la misma manera, pues ya habían quedado fijos con los forwards de venta suscritos desde el comienzo del año cuando accedió al ICC. ABC vendía al año cerca de US$75 millones, con un margen operacional del 10%. Si el dólar se movía entre $2.400 y $2.450 ABC

2.400

Ingresos por US$ (en COP$)

Gráfica 2. Ingreso del productor por dólar exportado propuesto a la comercializadora

2.400

Precio del dólar

Capítulo 10 - Opciones

podía ver un incremento en sus ingresos, pues estaba vendiendo sus dólares más caros que el precio que les reconocía a los finqueros. Sin embargo, un alza de COP$50 en la cotización del dólar por encima de los $2.450 de los forward, representaría para ABC una caída en los ingresos de COP$3.750 millones, sin duda una pérdida muy sensible para esta comercializadora. Los COP$50 por debajo del spot de ese momento que estaban negociando los finqueros y ABC tenía una justificación en el costo que podría tener una cobertura como la que los finqueros querían3. Jorge Ramírez y todo el equipo de ejecutivos de ABC eran consientes del peligro de no hacer nada. Sin embargo estaban en una encrucijada, pues ya habían cerrado una cantidad importante de forwards. Aunque entendían la ventaja de estos instrumentos como protección contra una mayor revaluación, les preocupaba que ABC estaba descubierta en caso de una devaluación del peso. Incluso llegó a pensarse que una buena estrategia sería cerrar los forwards ya contratados con forwards contrarios, para poder así sacar provecho de la devaluación del peso, en caso de que esta se presentara. Por supuesto que el supuesto detrás de este pensamiento era que ya no había más espacio para que continuara la revaluación y que la única vía que le quedaba a la tasa de cambio era subir.

Preguntas: 1. Usted cree que el gobierno acertó en la manera como se estructuró el ICC? ¿Qué incentivos perversos podrían tener los floricultores y bananeros a través del ICC? 2. ¿Qué ventajas o desventajas le ve a la forma como se estructuró el segundo paquete de subsidios, respecto a como se hizo en el ICC? 3. Usted considera que efectivamente ABC está cubierto con los forwards que ha venido haciendo? Si no, explique a qué riesgos está expuesto. 4. ¿Qué alternativa de cobertura le propondría Usted a ABC?. ¿Cuál sería el costo por dólar aproximado de esta cobertura, asumiendo que se hace a un plazo de 180 días?. 5. Cómo podría llegarse a esta estrategia de cobertura propuesta en el punto 4, dado que ya se tienen forwards de venta cerrados y no pueden deshacerse?. 6. Usted adoptaría la estrategia considerada por la Junta de ABC de deshacer los forwards (en caso de que se pudiera), para quedar descubiertos, esperando un movimiento hacia arriba en la tasa de cambio?.

La volatilidad histórica era del 10%, la tasa de interés en pesos era del 6% y como se dijo, la devaluación del mercado forward estaba en el 0%.

Capítulo 10 - Opciones

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

CAPÍTULO 11 Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call 11.1 Paridad PUT- CALL para Opciones Europeas que no pagan dividendo Considere dos portafolios: uno compuesto por una opción Call Europea (portafolio A) y otro por una Opción Put Europea, una acción y una posición corta en bonos cero riesgo (portafolio B). Los siguientes serán los flujos de caja al inicio y al vencimiento de las opciones: Portafolio A: Valor Actual Compra Call

Valor en la fecha de expiración ST ≤ K ST > K ST  K –

Portafolio B: Valor Actual Compra la acción Compra Put Corto Bonos en K∙e-rT TOTAL

S P − K∙e-rT S + P − K∙e

-rT

Valor en la fecha de expiración ST ≤ K ST > K ST ST K − ST – −K

−K

–

ST – K

Donde: ST K r

= Precio de la acción al vencimiento = Precio de ejercicio de la opción = Tasa de descuento

Como los portafolios A y B tienen el mismo valor en la fecha de expiración, su valor actual debe ser el mismo: C = P + S – K∙e–rT Reexpresando: C + K∙e–rT = P + S Quiere decir que estar largo en una opción Call y largo en bonos por valor de K∙e–rT es igual a estar corto en una opción Put y corto en una acción.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

11.2 Paridad PUT- CALL para Opciones Europeas que pagan dividendo Es importante recordar que los derivados se mueven en un mundo neutral al riesgo, distinto al mundo en que se mueve el activo subyacente que es el mundo “real”. Cuando el activo paga un dividendo de D en una fecha futura que caiga dentro del tiempo en que está activa la opción, el precio de éste al vencimiento, en un mundo neutral al riesgo, será ST − D y por lo tanto una opción Call pagará Max[(ST − D) − K;0]. De acuerdo con esto, la paridad Put-Call para un activo que paga un dividendo D en una fecha futura será: Portafolio A: Valor Actual Compra Call

Valor en la fecha de expiración ST ≤ K ST > K – [(ST − D) − K]

Portafolio B: Valor Actual Compra la acción Compra Put Corto Bonos en [K + D]∙e-rT TOTAL

S P

Valor en la fecha de expiración ST ≤ K ST > K ST ST [K − (ST − D)] –

− [K + D]∙e-rT

−[K + D]

S + P − K∙e-rT

–

[(ST − D) − K]

Tenemos entonces la siguiente relación: C  P  (S  d )  K  e r T donde d se refiere al valor presente del dividendo pagado.

Cuando se trata de Paridad Put-Call donde el activo subyacente es una moneda, la expresión es la siguiente:

C  P  S  e rd T  K  e foránea1.

 r p T

donde rp se refiere a la tasa de interés local y rd a la tasa de interés

11.3 Oportunidades de Arbitraje derivadas de la paridad Put-Call Supongamos inicialmente que C > P + S – K∙e–rT. En tal caso el portafolio del lado izquierdo, es decir, el valor de la opción Call, es más caro que el portafolio del lado derecho. Debido a que la opción Call está valorada a un precio relativamente alto, la estrategia de arbitraje consiste en vender la opción Call (vender lo que está caro) y estar largo en el portafolio del lado derecho (comprar lo que está barato). Estar largo en el portafolio del lado derecho quiere decir estar largo la opción Put, estar largo en la acción y pedir prestado K∙e–rT en papeles cero riesgo. Del mismo modo, si C < P + 1

Esta expresión puede obtenerse de Black-Scholes (BS). Para opciones sobre monedas BS puede escribirse  r T

 r T

así: C  S  e d  N (d1 )  K  e p  N (d 2 ) y P  K  e p  [1  N (d 2 )]  S  e d  [1  N (d1 )] . Despejando los paréntesis, se llega a la expresión de Paridad Put-Call para opciones sobre monedas.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

S – K∙e–rT va a ser preferible comprar la opción Call que replicarla sintéticamente utilizando una opción Put. Hasta este momento hemos ignorado los requerimientos de margen, costos transaccionales, impuestos, encajes, y lo más importante, la diferencia entre las tasas de interés de captación y colocación.

11.4 Restricciones de Arbitraje en el valor de una Call Existen cinco proposiciones básicas de arbitraje para opciones Call, según se describen en Cox y Rubinstein (1985). A continuación se exponen estas restricciones, tal como aparecen en la publicación de los autores mencionados. La primera tiene que ver con los límites de arbitraje, la segunda con el precio de ejercicio, la tercera con el plazo al vencimiento, la cuarta con el pago al vencimiento de la opción y la quinta con las condiciones para el ejercicio óptimo de una opción Call. A continuación se enumeran dichas proposiciones y una corta demostración de las mismas. Proposición 1: El valor de una opción Call nunca es menor que el valor más grande entre: a) Cero b) El valor de la acción menos el precio de ejercicio c) El valor de la acción menos el valor presente del precio de ejercicio menos el valor presente del máximo dividendo que se espera pague la acción durante el resto de la vida de la opción. En términos matemáticos: S ≥ C ≥ Max[0 ; S – K ; S – K∙e-rT – DMAX] Donde: DMAX es el valor presente del máximo dividendo que se espera que pague la acción durante el tiempo de vigencia de la opción. Demostración: Si C < 0, es posible hacer una ganancia sin riesgo comprando la opción Call y manteniéndola hasta su vencimiento. Con esta estrategia vamos a tener un ingreso inmediato igual a C y una cantidad mayor o igual a cero a la fecha de madurez de esta opción Call. Ahora, si C < S – K, compre la opción Call y ejérzala inmediatamente. Al ejercer la opción obtiene S – K, lo cual es mayor de lo que se pagó por la opción, C. Es importante anotar que esta afirmación es válida para opciones Americanas. Para opciones Europeas, C podría ser menor que S–K. Si C < S – K∙e–rT – DMAX , es posible asegurar una ganancia estando corto una acción, colocando K∙e–rT en bonos cero riesgo, invirtiendo un monto igual a DMAX y comprando una opción Call. Esta estrategia nos arroja una utilidad inmediata (en tiempo cero t=0) de S – K∙e–rT – DMAX – C . Mantenemos el portafolio hasta la madurez de la opción Call, momento en el cual liquidamos DMAX para responder por los pagos de dividendos en los que incurrimos al estar cortos en la acción. Si los

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

dividendos que debemos pagar son menores a los esperados, quedamos incluso con una diferencia en caja positiva. A la madurez de la opción también debemos salir a recomprar la acción; si el valor de esta (ST) está por encima del precio de ejercicio, ejercemos la opción Call, recibiendo un pago al vencimiento de (ST – K). Igualmente liquidamos los bonos y con (ST – K) recompramos la acción. En este caso el portafolio al vencimiento tiene un valor de cero pero es importante recordar que ya habíamos hecho una ganancia en t=0. Ahora, si ST < K, entonces liquidamos los bonos, los cuales nos representan unos ingresos por K y compramos la acción a ST < K , con lo cual hacemos una ganancia igual a K – ST . La siguiente tabla ilustra esta relación de arbitraje:

Fecha de Expiración ST ≤ K ST > K –ST –S* ---ST –K K K K – ST ----

HOY S –C –K∙e–rT

Corto la acción Largo la Opción Largo Bonos

Si C > S simplemente venda la opción y compre la acción. Si la opción es ejercida en cualquier momento, usted recibe K y vende la acción, con lo cual realiza una ganancia de ST – K. Si la opción no es ejercida, usted tiene la acción, la cual tiene un valor en el mercado mayor o igual a cero. C S=C

C=S - K.e-rt + DMAX

El área sombreada muestra los puntos en los que NO se debe ubicar el precio de una opción Call, porque sino de otra manera hubiera arbitraje.

K.e-rt + DMAX

Proposición 2: Esta proposición tiene que ver con el precio de ejercicio a) El valor de una opción Call nunca puede ser menor que al valor de una opción Call idéntica con un precio de ejercicio mayor: C(K1)  C(K2) cuando K2 > K1 Partamos de la relación de arbitraje C = S –K∙e–rT – DMAX . Para K1 y K2 tenemos: C(K1) = S – K1∙e–rT – DMAX y C(K2) = S – K2∙e–rT – DMAX

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

C(K1) y C(K2) solo se diferencian en el término K1 y K2 . Note que el término Ki∙e–rT está precedido del signo menos, por lo tanto mientras mayor sea Ki menor será C(Ki). Si K2 > K1, C(K1) > C(K2) b) La diferencia en el valor de dos opciones Call que sólo se diferencian en su precio de ejercicio nunca es mayor que la diferencia en sus precios de ejercicio. K2 – K1  C(K1) – C(K2) si K2 > K1 Supongamos que lo contrario aplica, es decir, K2 – K1 < C(K1) – C(K2) Si el lado derecho es mayor que el lado izquierdo de la desigualdad, es porque el valor del lado derecho es muy alto o el valor del lado izquierdo es muy bajo. Si el lado derecho es muy alto es porque C(K1) es muy grande o C(K2) es muy bajo. Por lo tanto deberá vender el que tiene un valor alto y comprar el que tiene un valor bajo, es decir, comprar C(K2) y vender C(K1). Como K2 > K1 entonces C(K1) > C(K2), de tal suerte que al hacer esta operación tendremos al inicio una utilidad igual a C(K1) – C(K2). Adicionalmente, como K2 > K1 capte el valor presente de K2 e invierta el valor presente de K1. Supongamos que al vencimiento el precio de la acción (ST) termina por debajo de K1. Los valores de C(K1) y C(K2) son iguales a cero. Por su parte deberá pagar K2 por la captación que hizo al comienzo y recibirá K1 por la inversión que hizo. Esto le produce una pérdida de K2 –K1. Como la utilidad al inicio era de C(K1) – C(K2) y C(K1) – C(K2) > K2 –K1, la utilidad es mayor que la pérdida, lo que implica posibilidad de arbitraje. Si al vencimiento ST está entre K1 y K2, entonces al vencimiento el valor de C(K1) será ST – K1 y el valor de C(K2) será de cero. Como usted es vendedor de C(K1) entonces su desembolso al vencimiento será de ST – K1. El valor presente de la utilidad hecha al vencimiento deberá ser mayor al neto de los flujos al inicio, es decir: VP[K1 – ST∙K1 – K2] > VP[K1]–VP[K2] + C(K2) – C(K1)  Como C(K2) = 0, VP[K1] – VP[ST]  C(K1) VP[K1] – VP[ST] corresponde al valor de una opción Put con un precio de ejercicio de K1, y siempre será un valor positivo, por lo tanto siempre será cierto que VP[K1]–VP[ST]>–C(K1), queriendo decir que habrán oportunidades de arbitraje. Finalmente analicemos lo que pasa si ST termina por encima de K2. En ese caso usted recibirá al vencimiento ST –K2 +K1 –ST +K1 –K2. El valor presente de este flujo deberá ser mayor que el neto de los flujos al inicio. Es decir: VP[2K1 – 2K2] > VP[K1] – VP[K2] + C(K2) – C(K1)

 VP[K1 – K2] > C(K2) – C(K1) Esto es una incongruencia porque habíamos partido diciendo que K2 – K1 < C(K1) – C(K2) y como K2 – K1 > VP[K2 – K1] podemos afirmar que C(K1) – C(K2) > VP[K1 – K2].

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c) Para tres opciones Call que solo se diferencian en el precio de ejercicio, con strikes K3 > K2 > K1, el valor de la Call intermedia nunca es mayor que el promedio ponderado de los valores extremos de las Calls, donde las ponderaciones son (K3 – K2)/(K3 – K1) para la primera Call y (K2 – K1)/(K3 – K1) para la tercera Call:  K  K2   K  K1    C ( K1 )   2   C ( K3 ) C ( K 2 )   3  K3  K1   K3  K1 

(11.1)

K2 = λ∙ K1 + (1 – λ)∙K3

(11.2)

 λ = (K3 – K2)/( K3 – K1) y (1 – λ) = (K2 – K1)/(K3 – K1)

(11.3)

Suponga que la relación no se cumple y que C(K2) > λ∙C(K1 ) + (1 – λ)∙C(K3). En este caso usted vende C(K2) y compra λ unidades de C(K1) y (1 – λ) unidades de C(K3). Si el precio de la acción se ubica por debajo de K2 su contraparte no ejerce la opción Call y usted eventualmente podría ejercer C(K ) si K1 < S < K2. En el peor de los casos, cuando S < K1 el valor de su portafolio será cero. Si S > K2 su contraparte ejercerá la opción y usted tendrá que pagar (S – K2). Si K2 < S < K3 entonces usted ejercerá C(K1), obteniendo un pago al vencimiento de λ∙(S – K1). Para que λ∙(S – K1) > (S – K2) tiene que cumplirse que:  K3  K 2     ( S  K1 )  ( S  K 2 )  ( K3  K 2 )  ( S  K1 )  ( K3  K1 )  ( S  K 2 )  K3  K1 

Simplificando: S < K3 . En otras palabras, si S < K3 el pago al vencimiento que usted recibe por ejercer C(K1) es mayor de lo que usted debe pagar cuando le ejercen C (K2), y así usted realiza una utilidad. Si S > K3 usted ejerce tanto C(K1 ) como C(K3), obteniendo un pago al vencimiento de λ∙C(K1) + (1 – λ)∙C(K3), mientras que tendría que pagar (S – K2). Como K2 = λ∙K1 +(1 – λ)∙K3, su pago al vencimiento positivo es de (S – K2), el cual es igual a lo que usted debe pagar, lo cual para usted no representa ni ganancia ni pérdida.

La siguiente gráfica muestra las áreas de arbitraje desde el punto de vista del precio de ejercicio.

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Cuando K = 0 entonces C = S. Como K  0, entonces el límite superior de C es S. Puntos donde C > S no se pueden arbitrar. El literal b) implica que la pendiente de la línea de C en términos de K tiene pendiente negativa y su valor máximo es –1. Así las cosas la ecuación es C = S – K y cualquier punto por debajo no permite arbitraje.

S C=S - K

K=S

Proposición 3: Esta proposición tiene que ver con el plazo al vencimiento de la opción: El valor de una Call nunca puede ser menor que el valor de una opción idéntica, con un menor plazo al vencimiento. Supongamos que esto no es cierto y que C(t1) > C(t2). En tal caso compre C(t2) y venda C(t1), lo cual le da una utilidad inmediata. Cuando C(t1) sea ejercida, bien sea porque llegó a la madurez, o porque las condiciones se dieron para su ejercicio prematuro, tendremos un precio de la acción de S’ y el tiempo al vencimiento será t’. El valor de su portafolio será entonces: C(t’) – Max[0 ; S’ – K] Si es positivo entonces venda C(t’) y realiza una ganancia. Si es negativo, entonces ejerza su opción y obtenga un pago al vencimiento de Max[0 ; S’ – K], con lo cual realiza una ganancia de cero. Proposición 4: El valor de una opción Call debe ser mayor que (S – K) en cualquier momento distinto a la fecha de expiración de la opción o justo antes de la fecha del pago de dividendos. Para probar esto, supongamos que C = S – K en algún momento entre dos fechas de pago de dividendos. Es posible asegurar una ganancia arbitrando así: compre la Call, venda la acción, invierta el valor presente del precio de ejercicio y cierre toda la posición justo antes del próximo pago de dividendos. La utilidad de esta estrategia será por lo menos el interés ganado por la inversión. Además, de todo lo anterior es posible concluir lo siguiente sobre las opciones Call:

Proposición 5: Esta proposición tiene que ver con las condiciones para el ejercicio óptimo de una opción Call Americana. a) Una Call Americana nunca se debe ejercer en ningún momento, excepto la fecha de expiración de esta o justo antes de la fecha de pago de dividendos. b) Si el valor presente de los dividendos que se van a pagar durante el tiempo que le queda a la opción Call es en todo momento menor al valor presente de los intereses que pueden ser

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

generados sobre el valor del precio de ejercicio durante el plazo que le resta a la Call, entonces esta no puede ser ejercida antes de la fecha de expiración. c) Si en algún momento es óptimo ejercer la opción Call, entonces NUNCA es óptimo NO ejercer otra opción Call idéntica que tenga un precio de ejercicio más bajo o un menor tiempo a la fecha de expiración. La restricción a) tiene sentido porque si bien el comprador de una opción Call pagó Co por ella, en cualquier momento (S – K) puede ser mayor que Co pero nunca deberá ser mayor que C(t), siendo C(t) el valor de la opción Call en cualquier momento. Para probar la restricción b), considere que el valor máximo de los dividendos es DMAX y que el valor presente de los intereses es [K.erT – K].e–rT = K – K.e–rT. Si DMAX < K – K.e–rT, entonces tenemos que K > DMAX + K.e–rT ó – DMAX – K.e–rT > – K. Sumando S a ambos lados: S – K∙e–rT – DMAX > S – K. Recordemos de la proposición 1 que C ≥ S – K∙e–rT – DMAX . Por lo tanto, esto implica que C > S – K. Si esto fuera cierto, entonces no es óptimo ejercer la opción, tal como se demostró en la proposición 4. Note las implicaciones que esto tiene para opciones sobre tasa de cambio. En este caso los dividendos corresponden al interés generado por los dólares. Esto implica entonces que:

S  S  erd T  K  K  erT

(11.4)

Donde: S r rd

= Tasa de cambio peso/dólar = Tasa de interés en pesos = Tasa de interés en dólares.

Rescribiendo la anterior ecuación: S  [1  e rd T ]  K  [1  e rT ] Para una opción ATM (S = K), tenemos que [1  e rd T ]  [1  e rT ] . En general r > rd por lo que efectivamente e  rd T  e  rT , con lo cual no es óptimo ejercer opciones Call sobre dólares antes del vencimiento. Solamente opciones altamente ITM sobre dólares podrían ser ejercidas antes del  1  e rT  vencimiento; es decir, si S  K   entonces la opción sobre dólares puede ser ejercida.  rd T  1  e  La proposición 5 se refiere a que puede ser óptimo ejercer una opción Call justo antes de la fecha de pago de dividendos. En el caso de opciones Call sobre dólares, en donde los intereses generados por éstos se asimilan a un flujo continuo de dividendos, puede ser óptimo ejercer las opciones Call en cualquier momento, siempre y cuando para ambos tipos de opciones se cumplan ciertas condiciones. Cuáles son esas condiciones es lo que vamos a explorar a continuación. La decisión de ejercer o no una opción Call está basada en una comparación entre el pago al vencimiento que ésta proporciona (S – K) y el actual valor de dicha opción. Para una opción que paga dividendos, el pago al vencimiento de una opción Call justo antes del día de pago de

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

dividendos es (S – D) – K. Justo después de que se paga el dividendo y suponiendo que la opción se ejerció, la posición tendrá un valor de (S – D) – K + D = S – K. Por lo tanto el valor de una Call justo antes del pago de dividendos debe ser Max[S – K ; C(S – D,τ,K)] donde τ es el tiempo al vencimiento. Si (S – K) > C(S – D,τ,K), quien posea la opción la ejercerá. Si por el contrario (S – K) < C(S – D,τ,K) entonces venderá la opción. Es claro que cambios en el precio de una acción tienen efectos sobre el precio de una opción; en otras palabras el valor de C está afectado por S, tal como lo refleja Black-Scholes. Si la opción está correctamente valorada, existe un valor de S llamado Sm tal que Sm – K = C(Sm – D,τ,K) y para cualquier valor mayor de S, S – K > C(S – D,τ,K)2. Por lo tanto Sm es el valor mínimo de la acción al que la opción se debe ejercer; en otras palabras, la opción será óptimo ejercerla siempre que S > Sm, donde Sm se conoce como el contorno de óptimo ejercicio. Esta comparación entre S y Sm debe hacerse justo antes del pago de dividendos en el caso de una opción sobre una acción que paga dividendos. Si S > Sm entonces se deberá ejercer inmediatamente y si Sm > S es mejor continuar con la opción al menos hasta justo antes del próximo pago de dividendos. Para una opción Call sobre dólares, en donde el pago de dividendos es continuo, la comparación entre el contorno de óptimo ejercicio (Sm) y el spot (S) debe hacerse en todo momento. El capítulo 20 ofrece una demostración alternativa de porqué no es óptimo ejercer opciones Call Americanas sobre acciones que no pagan dividendos antes del vencimiento.

11.5 Restricciones de Arbitraje Sobre Opciones Put Proposición 1: Esta proposición tiene que ver con los contornos de arbitraje: El valor de una Put nunca es menor al mayor valor entre: a) Cero b) El precio de ejercicio menos el valor de la acción c) El valor presente del precio de ejercicio, más el valor presente de los mínimos dividendos que serán pagados durante el resto de la vida de la opción, menos el precio de la acción. Además el valor de una Put nunca es mayor que su precio de ejercicio. En términos matemáticos: K ≥ P ≥ Max[0; K – S , DMIN +K∙exp(–rT) – S] Donde DMIN es el valor presente de los mínimos dividendos a ser pagados por la acción durante la vigencia de la opción.

Proposición 2: Esta proposición tiene que ver con el precio de ejercicio: Existen 3 restricciones de arbitraje relacionados con el precio de ejercicio: a) El valor de una Put nunca puede ser menor al valor de una opción Put idéntica con diferente precio de ejercicio P(K2) ≥ P(K1) si K2 > K1 2

Note que aquí estamos asumiendo que cualquier cambio en el precio de la acción se refleja con menor intensidad en el precio de la opción. Esto es cierto, tal como se puede demostrar usando Black-Scholes.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

b) La diferencia en los valores de dos opciones que solo se diferencian en el precio de ejercicio nunca es mayor que la diferencia en los precio de ejercicio. K2 – K1 ≥ P(K2) – P(K1) si K2 > K1 c) Para tres opciones Put que solo se diferencian en sus precio de ejercicio, siendo estos K1, K2 y K3, donde K3 > K2 > K1, el valor de la Put intermedio nunca es mayor al promedio ponderado del valor de las Put de los extremos, donde las ponderaciones son (K3 – K2)/(K3 – K1) para la primera Put y (K2 – K1)/ (K3 – K1) para la tercera Put:  K  K2   K  K1    P( K1 )   2   P( K3 ) P( K 2 )   3  K3  K1   K3  K1 

La siguiente gráfica ilustra estas relaciones de arbitraje: P P=K

Si K > S (opción In-The-Money), el valor de la Put debe ser mayor o igual a K – S. Además, en ningún caso P > K.

P=K-S

Si S > K (opción Out-of-the-Money), P siempre tiene que ser menor que K.

K P=K-S

S=K

Es importante notar que las gráficas de P contra S y P contra K están trocadas para las Call y para las Put. Es decir, la gráfica de P contra K para las Puts tiene la misma forma que la gráfica de C contra S para las Call y la gráfica de P contra S para las Puts tiene la misma forma que C contra K para las Call. Esto tiene implicaciones importantes que veremos más adelante.

Proposición 3: Esta proposición tiene que ver con el tiempo al vencimiento. El valor de una Put nunca puede ser menor al valor de otra opción Put con un menor tiempo al vencimiento:

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

P(t2) ≥ P(t1) si t2 > t1

Proposición 4: Esta proposición tiene que ver con el ejercicio óptimo de una opción: Existen dos restricciones de arbitraje relacionadas con el momento óptimo para ejercer una opción Put. a) Si hasta un periodo t’ al vencimiento, el valor presente de los dividendos mínimos que se deben pagar durante este período es en algún momento mayor al valor presente de los dividendos que se pueden obtener sobre el precio de ejercicio durante un periodo t’, entonces la Put nunca debe ser ejercida antes del final del período. b) Si en algún momento es óptimo ejercer una Put, entonces nunca es óptimo dejar sin ejercer una Put que sólo se diferencie en que tiene un mayor precio de ejercicio o un menor tiempo al vencimiento. Las proposiciones 1, 2 y 3 son en esencia similares a las que vimos para las opciones Call. La proposición 4, sin embargo, tiene implicaciones muy distintas para las opciones Put que para las opciones Call. El incentivo para ejercer una opción Call antes del vencimiento o entre fechas de pago de intereses era poder recibir dividendos. Sin embargo, para poder recibir los dividendos, la opción podría ser ejercida justo antes del pago de estos. Por el contrario, si el poseedor de una Call ejerce tempranamente, pierde la posibilidad de tener una opción en caso de que las cosas cambien y además deja de recibir los intereses del precio de ejercicio. Mostramos cómo para el caso de opciones Call sobre dólares no era óptimo ejercer temprano si r > rd, relación que se cumple en la generalidad de los casos. El poseedor de una opción Put, por el contrario, tiene el incentivo de ejercer temprano para recibir los intereses sobre el precio de ejercicio. A cambio de esto deberá resignar la posibilidad de tener flexibilidad si las circunstancias cambian y además dejará de recibir los dividendos de la acción. En general, si K – K∙e-r.t ≥ DMIN, entonces el poseedor de la opción Put tendrá incentivos para ejercer temprano y en general ese es siempre el caso. Para el caso particular de opciones Put sobre dólares, habrá incentivos para ejercer temprano si

K  K  erT  S  S  erd T Donde: S r rd

= Tasa de cambio peso/dólar = Tasa de interés en pesos = Tasa de interés en dólares.

 K  [1  erT ]  S  [1  erd T ] Para opciones ATM (S = K), si r > rd habrá incentivos para ejercer temprano. En general r siempre es mayor que rd y por lo tanto siempre será óptimo ejercer una opción Put sobre dólares antes del vencimiento.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

Así como para las opciones Call encontramos que existía un precio mínimo de la acción (Sm) por encima del cual la opción debería ser ejercida inmediatamente, en las opciones Put existe un precio máximo SM por debajo del cual la opción debe ser ejercida inmediatamente porque K – S > P(S – D,τ, K).

11.6 Relaciones de arbitraje entre Opciones y Forwards 11.6.1 Introducción Miremos este análisis suponiendo un forward sobre tasa de cambio. En realidad un forward puede ser interpretado como una combinación de opciones. Recordemos cómo luce el pago al vencimiento (pay-off ) de un forward de compra:

Utilidad

El segmento a’a’’ en la línea luce similar al pay-off para un comprador de una opción call con un precio de ejercicio de F. Por su parte el segmento aa’’ luce similar al pay-off para un vendedor de una opción Put con un precio de ejercicio también de F.

a’

F a’’

Para determinar analíticamente porqué en opciones existen forwards involucrados o viceversa, recordemos a qué es igual d1 en Black-Scholes: Ln d1  





  r  r   2 / 2  T / 360 p d K 

  T / 360

(11.5)

El lector también recordará que la cotización forward viene dada por: F  So  e

( r p  rd )T / 360

(11.6)

Obteniendo logaritmo natural a ambos lados: Ln( F )  Ln(So )  (rp  rd )  T / 360

La ecuación (11.5) también puede ser escrita como:

(11.7)

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

d1 





LnSo   LnK   rp  rd   2 / 2  T / 360

(11.8)

  T / 360

Reemplazando (11.7) en (11.8) tenemos: d1 

Ln( F )  Ln( K )  ( 2 / 2)  T / 360   T / 360

(11.9)

La ecuación (16.5) puede ser escrita como: d1 

Ln( F / K )  ( 2 / 2)  T / 360   T / 360

(11.10)

Como se ve en (11.10), las tasas de interés ya no participan dentro de d1 pero sí lo hace F. Implícitamente esas tasas están involucradas en F.

11.6.2 Relaciones de arbitraje entre forwards y opciones A continuación analizaremos cuándo puede presentarse arbitraje entre forwards y opciones y cuándo el uso de uno de estos instrumentos es óptimo sobre el otro. Diagramas de pago para quien necesita comprar dólares a futuro:

P&G

En este caso la opción es óptima porque la utilidad siempre es mayor a la que se obtiene con el forward.

K Fc

Spot al vencimiento

Ahora consideremos una combinación de una posición larga en una opción Call y un Forward de venta.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

P&G

Neto:

En este caso se presenta arbitraje porque el pago al vencimiento neto siempre va a ser positivo. La estrategia consiste entonces en estar largo en una opción Call y largo en un forward de venta. En otras palabras, habrá arbitraje siempre que Fv esté a la derecha de BE, donde BE es el break-even, es decir, el punto en que la utilidad de la opción es cero. Ahora contestemos la pregunta, cuánto tiene que ser el valor intrínseco de una opción para no arbitrar?. El siguiente cuadro ilustra estos valores de valor intrínseco:

ITM OTM

CALL F−K 0

PUT K−F 0

Donde K = Precio de ejercicio de la opción

11.6.3 Otras relaciones de arbitraje P&G Opción Call

Spot al Vencimiento

Forward Venta

Considere inicialmente las líneas continuas que representan el pago al vencimiento para una opción Call y para un forward de venta. Suponga que se presenta un incremento en la tasa de interés en pesos y por lo tanto sube la cotización forward, tal como lo muestra la línea punteada correspondiente al forward. Para que no se presente arbitraje la prima de la opción debe entonces subir. En otras palabras, cuando suben las devaluaciones de las cotizaciones forward, una opción Call vale más.

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

Ejercicios: 1. El precio forward de una onza de paladio para entrega dentro de un año es de US$600. El precio actual de algunas opciones Europeas a un año de plazo sobre una onza de paladio se muestran a continuación: Strike 550 640

Precio Call 155 -

Precio Put 110 160

Basado en los anteriores precios calcule el precio que falta de la opción Call.

2. El actual precio de una tonelada de cacao es de $1.050 y el precio forward de compra de una tonelada de cacao con entrega dentro de un año es de $1.100. Un contrato forward que se hace por fuera de mercado sobre una tonelada de cacao para entrega dentro de un año y cuyo precio de compra es de $1.000 requiere el pago de un monto inicial de $90 del comprador al vendedor. Opciones Europeas a un año de plazo, cada una cubriendo una tonelada de cacao y con un strike de $1.050, también se encuentran en el mercado. Si la Put se transa a $50, cuál deberá ser el precio de la Call?

3. El precio actual de la acción ABC es de $32. Suponga que Usted observa los siguientes precios de opciones Call y Put Europeas sobre la acción de ABC, a un plazo de un año: Precio de Ejercicio 20 30 40

Precio de la Call 12 8 5

Precio de la Put 3 8 14

Si no existen oportunidades de arbitraje, a) Cuál es el valor de una opción Call Europea con un precio de ejercicio de cero, a un plazo de un año? b) Cuál es la tasa de interés implícita a un año de plazo?

Capítulo 11 – Relaciones de Arbitraje para Opciones y Forwards y Paridad Put-Call

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. “Options Markets”. Ed. Prentice Hall. 1985 Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

CAPÍTULO 12 Productos Especiales con Forwards y Opciones 12.1

Forward Participativo

Los forwards participativos pertenecen a la llamada segunda generación de productos derivados para cubrirse contra otras monedas. Es de gran aplicación para corporaciones que manejan otras divisas, como multinacionales, exportadores o importadores. Las características más importantes de los Forwards Participativos son las siguientes: a. El Forward Participativo es un contrato para comprar o vender una moneda extranjera (dólares por ejemplo), en una fecha futura, con una pérdida limitada (o tasa piso) y un potencial ilimitado de ganancia en caso de que la tasa de cambio se mueva a su favor. b. En caso de que la tasa de cambio se mueva a favor del comprador del Forward Participativo, su beneficio estará dado por un porcentaje de la ganancia total, el cual está determinado con anticipación. c. El Forward Participativo no implica ningún desembolso de dinero al inicio del mismo. Aquí el comprador del Forward Participativo paga por tener una pérdida limitada, sacrificando un porcentaje de la ganancia d. Un contrato para un Forward Participativo especifica la tasa piso, la tasa de participación, la fecha de expiración del forward y el monto del forward. El comprador del Forward Participativo especifica bien sea la tasa piso o el porcentaje de participación y el banco determina el resto Si es un exportador y sabe que le entrará un flujo futuro de dólares, a través de un Forward Participativo podrá garantizar una tasa mínima de venta de los dólares. Tasa de Cambio Efectiva

Suponga que el exportador no quiere vender sus dólares a futuro a una tasa de cambio por debajo de m. Observe cómo si la tasa de cambio al vencimiento se coloca por debajo de m, el exportador siempre va a recibir m. Si la tasa de cambio se coloca por encima de m, el exportador participa de esa ganancia en un porcentaje α con el banco.

 m

Ahora bien, el diagrama de P&G del exportador lucirá distinto a este. Si la tasa de cambio al vencimiento es de cero, como está vendiendo sus dólares a m, hará una ganancia de m. Si la tasa de cambio al vencimiento es de m, su ganancia será de cero porque también está vendiendo sus dólares a m. Entre 0 y m el Forward Participativo le generó una ganancia al exportador. Si por el contrario la tasa de cambio al vencimiento está por encima de m, el Forward Participativo le empezará a generar una pérdida al m

Spot al vencimiento

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

exportador porque deberá vender sus dólares a una tasa de cambio efectiva menor. Aunque el Forward Participativo le genera una pérdida al exportador, su P&G total puede ser positivo porque está vendiendo sus dólares a una tasa mayor. Más adelante se obtendrá el punto de equilibrio por encima del cual se empiezan a hacer ganancias para el exportador.

P&G m



Spot al vencimiento

Mientras que un Forward normal habría generado una pérdida como la mostrada en la línea punteada, puesto que los dólares se estarían vendiendo a un tasa de cambio por debajo del spot vigente al vencimiento, con un Forward Participativo la pérdida se reduce para el exportador en un porcentaje α. . El pay-off de este forward Participativo y de su portafolio replicante se muestra en la siguiente tabla:

Forward Participativo Compra 1 Put con strike=m Vende (1 – α) Calls con strike =m TOTAL

0<S<m m–S m– S 0

S>m (1– α)∙(m–S) 0 (1– α)∙(m–S)

m–S

(1– α)∙(m–S)

Como el costo para el comprador del Forward Participativo es cero al inicio de este, entonces:  p  (1   )  c  0

Donde: c = precio de una opción Call p = precio de una opción Put

Despejando para α:

 1

p c

Otra forma de replicar un Forward Participativo es utilizando forwards normales. La siguiente tabla muestra esta forma de replicar el Forward Participativo:

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Forward Participativo Forward de Venta (F) Compra α Calls con strike=m Sub-Total Capta VP(F–m)=(F–m)e-r∙t TOTAL

0<S<m m–S F–S 0 F–S m–F m–S

S<m (1 – α)∙(m – S) F–S α∙(S – m) F – S – α∙(m – S) m–F (1 – α)∙(m – S)

Como igualmente esta operación no tiene ningún costo al inicio, tenemos que:    c  ( F  m)  e r t  0



( F  m)  e  rt c

Es posible establecer una relación entre el porcentaje de participación (α) y la desviación de la tasa mínima de la cotización forward [(F–m)/F]. Dividiendo en la ecuación anterior por F a ambos lados: F m F ( F  m) e  r t  Llamando W = tenemos que   W   e  r t   c F c F F W c r t   e Lo cual quiere decir que existe una relación positiva entre el porcentaje de  F participación (α) y la desviación de la tasa mínima de la cotización forward.

Supongamos que se quiere replicar un forward participativo de compra en donde el porcentaje de participación (α) sea del 20% a través del 80% de un forward normal y una posición larga en una opción Call por el 20% del nominal. La siguiente gráfica ilustra los pay-offs de estos dos instrumentos:

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Monto Final en Pesos

80% Fc

80% de un forward de compra

Spot al Vencimiento

Monto Final en Pesos

20% C

Compra del 20% de una opción Call con un strike de FP.

Spot al Vencimiento

Monto Final en Pesos

Forward participativo del 20%. FP

Spot al Vencimiento

Esta opción es más interesante porque en la tradicional de comprar el 100% de un forward de compra y adicionalmente vender el 20% de una put, el costo como se ve cuenta sobre el 100% del forward, el cual se compra al Ask del mercado ó tasa alta, y sobre el 20% de la opción Put, la cual se vende al Bid del mercado ó tasa baja. En este caso en cambio, el costo cuenta sobre el 80% del valor del forward de compra y sobre el 20% del valor de la opción Call.

Ejemplo 1: Si la actual tasa de cambio es de $2.634,93/dólar y las entidades financieras compran dólares a 6 meses con una devaluación del 5%, qué tasa de participación le podrá ser ofrecida a un cliente que quiera vender dólares a futuro a un plazo de 6 meses a través de un forward participativo, si la tasa de venta del forward participativo está $10 por debajo de la tasa del forward normal?. Suponga que

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

la tasa de interés en pesos a 180 días de plazo es del 8,5%, en dólares del 2% y la volatilidad del dólar es del 15% anual.

12.2

Inversión en Pesos Indexada al Tipo de Cambio

El rendimiento de una inversión de este tipo, como el de cualquier inversión, está dado por:  V f  Vi r    Vi

 360  V f  360      1   p  Vi  p

Donde: r Vf Vi p

= rendimiento = valor final = valor inicial de la inversión en pesos = plazo en días al vencimiento

Una inversión de este estilo paga un rendimiento igual a la rentabilidad en pesos más una porción adicional en caso de presentarse devaluación. El rendimiento de una inversión de este tipo tiene entonces dos componentes: uno en pesos y otro en dólares. El valor final del componente en pesos (Vf1) está dado por: Vf1 = Vi∙[1+ip∙(p/360)] Donde: ip = Tasa de interés de una inversión en pesos en términos nominal vencido Por su parte el monto total en pesos (Vfp) está dado por la suma de los dos componentes (Vf1 más el rendimiento en dólares) V fp  V f 1 

Vi  MaxS F  K ;0 Si

Donde:

Si SF

= tasa de cambio al inicio de la inversión = tasa de cambio al final de la inversión

Como al inversionista se le ofrece un porcentaje de la devaluación, entonces: V fp  V f 1   

Vi  MaxS F  K ;0 Si

(12.1)

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Donde:

α = Porcentaje de la ganancia con la que participa el inversionista en caso de que SF > K Max[SF – K ; 0] corresponde al pay-off al vencimiento de una opción Call. El número total de   c  V opciones Call involucradas es   i . Si llamamos c el costo de una opción Call, Vi    1 Si  Si  corresponde al total de inversión inicial que el inversionista debe hacer y recibirá rendimientos sobre Vi.

Dividiendo en (12.1) a ambos lados por Vi: V fp Vi



Vf 1 Vi



1  MaxS F  K ;0 Si

(12.2)

Re-escribiendo la expresión (12.2) en términos de rendimientos: p  1   1  i p       MaxS F  K ;0 Vi  360  Si

V fp

(12.3)

V fp  360 Llamemos t p    1   Vi  p

Donde:

tp = Rentabilidad total de esta inversión en pesos t p  ip   

1 360  MaxS F  K ;0  Si p

Reordenando y asumiendo que K = Si  360  t p  i p    MaxDevaluación  ;0 p  

12.3

(12.4)

Nota ligada al rendimiento accionario con capital garantizado

Considere una Nota cero cupón que le entrega al inversionista el capital depositado inicialmente más el máximo entre un rendimiento mínimo establecido y un porcentaje del rendimiento accionario, medido este último bien sea sobre un índice general de acciones o sobre el rendimiento de un fondo de acciones o incluso sobre una acción en particular.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Al vencimiento esta Nota entrega:  I  Pago = Max (1  rmin )t ; 1  (TP ) f  1  M  Io  

(12.5)

Donde: rmin TP If Io M Pago t

= Rentabilidad Mínima ofrecida expresada en términos efectivo anual = Tasa de Participación en la rentabilidad accionaria = Valor del Índice o Fondo de Acciones al vencimiento de la Nota = Valor del Índice o Fondo de Acciones al inicio de la Nota = Monto invertido = Pago que el inversionista recibe al final = Tiempo en años de la Nota

La ecuación (12.5) la podemos rescribir como:   If  Pago  M (1  rmin ) t  Max0 ; 1  (TP )  1  (1  rmin ) t   M    Io 

(12.6)

Reordenando términos:   TP I (1  rmin ) t      Pago  M (1  rmin ) t   Max0 ; I f  I o  o I TP    o   

(12.7)

Recordemos que una opción Call Europea tiene un pago al final igual a: Max [0 ; S* – K]

(12.8)

Donde: S* K

= Precio del activo subyacente al vencimiento de la opción = Precio de ejercicio

La ecuación (12.7) tiene un gran parecido con la expresión (12.8). En efecto, If es el valor de la unidad del fondo al vencimiento, justamente el precio del activo subyacente al vencimiento (S*). Por su parte la segunda parte de la expresión (12.7), que está luego del término If, representa el precio de ejercicio de la opción; por lo tanto:  (1  rmin )t  K  I o  1   TP  

(12.9)

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Este tipo de Notas tiene entonces dos componentes: uno dado por la rentabilidad mínima ofrecida y otro dado por el rendimiento de un activo más de especulación como las acciones. Para lograr la rentabilidad mínima ofrecida, el estructurador deberá entonces invertir una cantidad N < M en un activo de renta fija, como deuda pública (TES para el caso colombiano), por ejemplo, haciendo que: N (1+rZ)t = M(1+rmin)t Donde: rZ =

Rentabilidad efectiva anual a un plazo t de un papel de deuda soberana (TES para el caso colombiano).

 1  rmin Por lo tanto: N  M    1  rZ

  

El estructurador dispone entonces de M–N para invertir en opciones Call Europeas sobre el índice accionario, que tengan un precio de ejercicio como el mostrado en (12.9). El número de opciones M Call a comprar será de  TP . Al final se debe cumplir que lo que el estructurador dedica a Io comprar papeles libres de riesgo más lo que dedica a comprar opciones Call debe ser menor o igual al aporte inicial del inversionista. Si cada opción Call tiene un precio igual a c, entonces:

M N  c   TP  M . Io

 1  rmin   1  rZ

 1  rmin Como N  M    1  rZ

  , entonces: 

 TP   c  1 Io 

 1 r min En otras palabras, c  1   1  r   Z

  

 I  o  TP

Los pasos a seguir los podríamos describir así: 1. 2. 3. 4.

Determine la TP a ofrecer Con TP y los K disponibles en el mercado, obtiene rmin Con rmin y rZ determina N Obtenga el precio de una opción Call al strike K   1  r t  I min  o 5. Verifique que c  1     1  rZ   TP

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Si la opción que se consiga en el mercado sobre el valor del índice accionario o sobre el valor de la unidad del fondo es ATM, es decir, K = Io, puede reemplazarse en (12.9) para obtener: 0

(1  rmin ) t TP

(12.10)

De (12.10) se desprende que rmin = 0. En este caso al inversionista se le garantiza que pase lo que pase con el mercado accionario, en el peor de los casos va a recibir su capital invertido al vencimiento. Si un producto como estos se está ofreciendo en una economía en desarrollo, lo más probable es que el estructurador no logre conseguir opciones sobre un índice accionario (probablemente ni exista un índice accionario) o sobre un fondo que invierta en acciones y por lo tanto deberá replicar la opción para lo cual deberá entrar en un perfecto manejo del riesgo Delta. Para una mejor comprensión de cómo manejar el Delta, remítase al capítulo 16. Una variación de esta Nota es una, igualmente cero cupón, en la que el pago al final es la rentabilidad mínima ofrecida más un porcentaje del rendimiento del índice accionario. Observe que mientras la Nota vista anteriormente paga el máximo entre la rentabilidad mínima ofrecida y el rendimiento accionario, esta variación paga la rentabilidad mínima más el porcentaje ofrecido de la rentabilidad de las acciones. En este caso: I f  Pago = M × (1 + rmin)t + M × (TP) Max  1;0  Io 

Reordenando términos: Pago = M × (1 + rmin)t +

M × (TP) Max[ I f  I o ;0] Io

(12.11)

Esto es exactamente igual a un bono que paga una rentabilidad igual a la rentabilidad mínima y que tiene un precio de P más M×TP/Io opciones sobre estas acciones con un strike de Io. Si cada opción tiene un precio de C, el estructurador deberá comprar el bono y con el remanente (M−P), comprar M opciones. Esto quiere decir que C × × (TP) debe ser menor o igual a M−P. Io

12.4

Depósito en doble moneda (DDM)

Se define como una inversión de corto plazo que le permite a su tenedor obtener una rentabilidad mayor que el de un depósito a término, sin importar la moneda en que se de el retorno. Por ejemplo, si se trata de un DDM entre pesos y dólares, el tenedor notará que la tasa de rentabilidad que le ofrecen en dólares (rd) es mayor que la de un depósito a término en dólares y que la rentabilidad que le ofrecen en pesos (rd) es mayor que la ofrecida por un depósito a término en pesos. El vendedor del DDM tendrá el derecho de decidir, el día del vencimiento (un mes por ejemplo), en qué moneda otorga el rendimiento.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Este es un producto adecuado para inversionistas que trabajan con varias monedas y cuyo interés es aumentar el rendimiento de sus depósitos en efectivo por encima de las tasas de mercado.

Pago que recibe el tenedor de DDM

En un DDM típico, se fija una tasa de cambio de referencia (K). Si el peso se devalúa por encima de K, el tendedor del DDM recibirá un retorno denominado en pesos (rp). Si por el contrario el peso se revalúa por debajo de K, el tenedor del DDM recibirá un retorno denominado en dólares (rd).

M (1  rp )t M  ST (1  rd ) t So

Pago que recibe el tenedor de DDM

Spot al vencimiento

ST ≤ K

ST > K

[M/So]×ST[1+rd]t

M[1+rp]t

Donde: M = Monto invertido en pesos So = Tasa de cambio peso/dólar el día en que se abre el DDM ST = Tasa de cambio el día en que vence el DDM Cuando ST = K, ambos pagos son iguales y por lo tanto: [M/So]×K×[1+rd]t = M[1+rp]t

(12.12) t

 1  rp   Reorganizando términos: K  So   1  rd  Note la similitud de la expresión para K con el valor justo de un dólar forward.

(12.13)

Cuando se vende un número α de opciones Put con un strike K, el diagrama de pagos al vencimiento será:

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Pago que hace el Vendedor de α Puts

Spot al vencimiento

−α∙Max[K − ST ; 0]

Esta gráfica es similar a la del pago al vencimiento del DDM, salvo porque hay que “levantarla” en una cantidad A. Observe que cuando ST = 0, el vendedor de α opciones Put deberá pagar α∙K, mientras que el tenedor del DDM no recibe nada. Para que en ese punto sean iguales, podemos escribir: −α∙K + A = 0 De donde A = α∙K

(12.14)

Como α es la pendiente del pago que hace el vendedor de las Puts y es igual a la pendiente del pago variable que recibe el tenedor del DDM, podemos escribir:



M [1  rp ]t K

(12.15)

Reemplazando (12.13) en (12.15):



M [1  rd ]t So

(12.16)

Reemplazando (12.16) y (12.13) en (12.14): A = M∙[1+rp]t

(12.17)

Lo anterior quiere decir que “levantar” los pagos del Put en una cantidad fija A es equivalente a hacer una inversión en el momento inicial por el valor presente de A. Esa tasa a la que el estructurador puede invertirse en pesos al plazo del DDM llamémosla r. Por lo tanto la inversión inicial será por: M  [1  rp ]t [1  r ]t

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

¿Cuál es la utilidad para el estructurador?. Como éste recibe M más los ingresos provenientes de la venta de las opciones, mientras que debe desembolsar el valor de la inversión, la utilidad, hecha en el momento inicial será: U M 

M  [1  rp ]t [1  r ]t

  p

(12.18)

Donde: U = Utilidad p = Precio de cada Put Para hacer utilidad, la expresión del lado derecho en (12.18) debe ser mayor que cero. Haciendo algo de álgebra llegamos a que para hacer utilidad: [1  rp ]t  So p  1 t t  [1  r ]  [1  rd ]

(12.19)

Un contrato de DDM podría lucir así: Tomador del DDM: Fecha: Período del depósito: Moneda del depósito: Moneda alternativa: Tasa de cambio de conversión (K): Tasa se cambio actual: Tasa garantizada en pesos: Tasa garantizada en dólares:

12.5

AAA Hoy 1 mes Pesos Dólares 2.500 2.480 11% 5%

Forward Extra ó Forward Plus

El comprador de un forward Extra asegura, desde el momento en que suscribe el contrato, una tasa máxima de compra de dólares, al tiempo que se beneficia de una revaluación del peso, hasta un límite pre-determinado. Por otro lado el forward Extra de venta le garantiza a su tenedor una tasa mínima de venta de dólares, al tiempo que se beneficia de una devaluación, hasta un límite predeterminado. Dos tasas de cambio aparecen en este forward: i) la tasa de activación; ii) la tasa extra del forward. Ejemplo: Se trata de un forward Extra de compra. La tasa de cambio de activación es $2.400 mientras que la tasa extra del forward es de $2.700. Si el dólar nunca se transa a $2.400 o por debajo durante la vida del forward y al vencimiento se encuentra por encima de $2.700, el tenedor compra dólares a $2.700. Por su parte, si se encuentra por debajo de $2.700, el tenedor compra dólares a la tasa de mercado.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Si por el contrario en algún momento durante la vida del forward extra, el dólar se puso a $2.400 o por debajo, el tenedor deberá comprar los dólares a $2.700. La siguiente gráfica ilustra los pagos de este forward Extra cuando la tasa de cambio nunca alcanza el nivel de $2.400: 2,750 2,700 2,700

2,650 2,650

Forward

2,600 2,600 2,550 2,550

Ventaja en el Forward Extra

2,500 2,450 2,400 2,400 2,350 1,900 1,900

2,100

2,300 2,400 2,500 2,500

2,700 2,700

2,900 2,900

3,100

Para estructurar este forward Extra, miremos primero cómo garantizar que si el dólar en algún momento durante la vida del forward alcanza los $2.400, el tenedor de éste los compra a $2.700. Esto se consigue con la venta de una opción Put knock-in, con un nivel de activación de $2.400 y un strike (K) de $2.700. Así, si en algún momento la tasa de cambio es igual o inferior a $2.400, el vendedor de esta Put tendrá la obligación de comprar dólares a $2.700 cuando el comprador de esta Put la ejerza. Si el dólar nunca alcanza este nivel de $2.400, la opción Put nunca se activa. Para garantizar que el comprador del forward Extra comprará dólares a la tasa de $2.700 cuando el dólar está por encima de $2.700, deberá comprar una opción Call con un strike (K) de $2.700. Así, si el dólar termina al vencimiento del forward por encima de $2.700, se ejerce la opción Call, comprando dólares a la tasa de $2.700. Si el dólar termina entre $2.400 y $2.700 sin haber tocado nunca el nivel de $2.400, ninguna de las dos opciones se ejerce y por lo tanto el tenedor del forward Extra comprará dólares a la tasa de mercado vigente. En resumen, este forward Extra de compra se estructura: i) ii)

Comprando una Call con K = $2.700 Vendiendo una Put con K = $2.700 y nivel de activación λ = $2.400

Es importante tener en cuenta que para que este forward Extra sea cero costo, ambas primas deben ser iguales. Si se establece inicialmente el nivel máximo al que se quiere comprar dólares, en este caso $2.700, se calcula la prima de la Call Europea (c). Luego deberá determinarse el nivel de activación de la Put knock-in cuya prima sea igual a c. En nuestro ejemplo suponíamos que ese nivel de activación era $2.400.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

12.6

Opción Gaviota

Es una estrategia compuesta por tres opciones, las cuales pueden ajustarse en sus strikes para que tengan un costo de cero. La opción Gaviota es como una opción Túnel subsidiada mediante la venta de una Call o de una Put. Por ejemplo, suponga que se tiene un importador al que le preocupa una subida en el tipo de cambio. Sin embargo, todavía cree que el dólar puede bajar un poco antes de empezar la escalada alcista y quiere protección para ambos eventos: una leve caída en los próximos días y un alza posterior. Para estructurar una estrategia que le provea la cobertura que quiere sin costo inicial haría lo siguiente, considerando que el spot Peso/dólar está en $2.335/dólar y la tasa forward es de $2.350/dólar. 1. El cliente compra una opción Call peso/dólar con un strike de $2.335/dólar 2. El cliente vende una Put peso/dólar con un strike de $2.290, que es el precio hasta el cual cree que puede bajar el dólar 3. El cliente vende una Call peso/dólar con un strike de $2.390, que el nivel que hace que la estrategia tenga costo cero. El diagrama de pagos al vencimiento para esta opción Gaviota se muestra a continuación: 100 50 0 2,100

2,200

2,300

2,400

2,500

2,600

-50 -100 -150 -200

Si el dólar termina por debajo de $2.290 (nivel mínimo al que el cliente espera que llegue el tipo de cambio), su estimación del nivel mínimo habrá fallado y empezará a generar pérdidas por cuenta de la Put que vendió y que le están ejerciendo. Si el dólar termina entre $2.290 y $2.335 ninguna de las tres opciones se ejerce y por lo tanto el cliente comprará sus dólares a mercado, dejando así su P&G estable. Si el dólar termina entre $2.335 y $2.390 el cliente ejerce la Call que compró, comprando así dólares a $2.335, generando utilidades en su P&G. Finalmente, si el dólar termina por encima de $2.390 el cliente ejerce su opción Call pero también le ejercen la que vendió. Sin embargo, como el strike de la Call que el cliente compró está por debajo

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

del strike de la opción Call que vendió, hace una utilidad que es igual a la diferencia de los strikes, en este caso de $55.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Ejercicios: 1. Actualmente el spot peso/dólar es de $2.310/dólar. La devaluación de compra del mercado forward a 90 días es el 3,30% (base 365/365). Cuál será la tasa de cambio de un forward participativo de compra a 90 días, si la participación en las pérdidas es del 30%. La tasa de interés en pesos en términos continuos es del 8,46% (base 365/360) . A continuación se dan algunas primas de opciones PUT para varios strikes. Strike (K) 2.324,90 2.330,45 2.339,48 2.400,00

Prima Put por dólar 24,6615 30,2841 35,6148 48,2906

2. Suponga que la acción de Microsoft se está transando actualmente a US$100. La acción no paga dividendos. Usted consideró la posibilidad de comprar 1.000 acciones pero le preocupaba una caída del mercado y que su portafolio se le desvalorizara. A cambio de eso Usted ha decidido seguir una estrategia que lo protegerá completamente de pérdidas mientras que le permite disfrutar de una fracción X del potencial de subida en el precio de la acción. Su horizonte de inversión es un año. En otras palabras, dentro de un año su portafolio deberá valer US$100.000 más X veces la ganancia, en caso de que ésta ocurra, calculada sobre un portafolio de acciones de Microsoft cuyo valor es de US$100.000. Opciones Europeas a un año de plazo, cada una cubriendo una acción de Microsoft y con un strike de US$100 están disponibles en el mercado. El precio de la Call es de US$20 y el precio de la Put es de US$15. Dados estos precios, cuál es el máximo valor de X que Usted espera obtener?. 3. Existen dos tipos de contratos forwards sobre petróleo. Cada uno tiene un período de tres años al vencimiento. Un tipo es un contrato forward estándar. A través de este contrato, el vendedor entrega 100 barriles de petróleo y recibe del comprador un pago igual al precio forward pactado por cada barril entregado. El otro tipo de contrato forward le da al vendedor algo más de flexibilidad. En este el vendedor puede entregar cualquier cantidad de barriles entre 75 y 125 en la fecha de vencimiento. Como en el anterior, al vencimiento el vendedor recibe del comprador una cantidad igual al precio forward pactado por cada barril entregado. En ninguno de estos dos tipos de contrato forward se intercambia dinero al inicio. Tres opciones Europeas a tres años de plazo, cada una cubriendo un barril de petróleo, pueden ser compradas o vendidas bajo las siguientes características: Strike 20 25 30

Precio Call 10 8 7

Precio Put 6 8 11

Con base en esta información, cuál es el precio correcto del contrato forward estándar?. Cuál es el precio correcto del contrato forward flexible?.

Capítulo 12 – Productos Especiales con Forwards y Opciones

Lecturas Adicionales Gadkari, Vilas; Guy Randolph y Salvador Demafeliz. “Participating Forward Contract-Another New Currency Exposure Management Tool”. Salomón Brothers Inc., Bond Market Research. Noviembre de 1986. Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1996.

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

CAPÍTULO 13 Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo 13.1

Precio esperado de un activo financiero

Podemos escribir lo siguiente: Sk – Sk−1 = Ek−1[Sk – Sk−1] + σk·ΔWk

(13.1)

Quiere decir que el cambio en el precio de un activo un período después puede ser modelado como el valor esperado en el cambio más un término que recoge lo que no es predecible y que por lo tanto sigue un proceso aleatorio.

St Valor esperado Cambio inesperado

La gráfica muestra lo que podría ser la evolución del precio de un activo. Este movimiento puede ser representado por su valor esperado, tal como en la línea recta con pendiente positiva, más unos cambios inesperados, representados por la volatilidad del activo y un proceso aleatorio, tal como se describe en (13.1)

tiempo ΔWk describe ese proceso aleatorio mientras que σk·corresponde a la raíz cuadrada de la varianza. Aquello que no es predecible puede decirse que corresponde a información nueva que afecta el precio del activo. Por ejemplo un trader de acciones está recibiendo constantemente nueva información que de una u otra forma ayudará a formar el nuevo precio de ese activo. Precisamente por ser “nueva” información, no es predecible. Para entender mejor de dónde sale (13.1), digamos que como ΔWk sigue un proceso aleatorio, entonces: Ek−1[ΔWk] = 0

(13.2)

Wk es el acumulado de los cambios hasta el período k. Por lo tanto: Wk = ΔW1 + ΔW2 + ….+ ΔWk

(13.3)

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

A continuación se va a estudiar la manera en que se llaga al término que recoge la información nueva (σk·ΔWk). Para esto se seguirá la metodología usada por Merton (1990) y descrita en Neftci (2000). Para esto Llamemos Vk la varianza de ΔWk : Vk = Eo[ΔWk2] La varianza de los errores acumulados será: n

V

k 1



Eo [Wk2 ]

k 1

 n  = Eo  Wk   k 1 



(13.4)

Note que asumimos que el intervalo [0,T] ha sido dividido en n sub-intervalos. A continuación tengamos en cuenta tres supuestos: Supuesto 1: V > A1 > 0,

(13.5)

Es decir, se le pone un límite inferior a V. En este caso A1 no depende de n. Este supuesto es muy interesante porque dice que podemos hacer que n→∞, es decir, podemos dividir el período [0,T] en un número extraordinariamente grande de intervalos y la varianza siempre será positiva. Este es un supuesto que no es difícil de aceptar, pues de no ser así estaría diciendo que en la medida en que logro tener observaciones más frecuentes del precio estamos eliminando el riesgo, algo que ciertamente no ocurre en la práctica. Supuesto 2: V < A2 < ∞,

(13.6)

Como en el supuesto 1, aquí tampoco A2 depende de n. Este supuesto le está poniendo un límite superior a V. Sobre este supuesto es igualmente fácil lograr consenso: mientras más frecuentes sean las observaciones, la volatilidad no tiene porqué crecer indefinidamente.

Supuesto 3:

Vk  A3 , Vmax

0 < A3 < 1,

(13.7)

Donde Vmax = max [Vk, k = 1,……n], es decir, Vmax es la máxima volatilidad registrada en los n subk

intervalos. A3 es independiente de n. Lo que este supuesto dice es que la incertidumbre de los mercados financieros no se concentra en algún o algunos períodos en especial. Este puede ser quizás el supuesto donde puede haber alguna controversia, pero aceptarlo facilita mucho el tratamiento matemático. Ahora, para llegar a la expresión σk·ΔWk que es la que hemos dicho que recoge la información nueva, debemos demostrar que la varianza de ΔWk es proporcional a h, donde h es la magnitud de cada sub-intervalo y por lo tanto:

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

h

T n

(13.8)

En resumen, lo que se quiere demostrar es que: E[ΔWk]² = σk²h

(13.9)

Donde σk es una constante finita que no depende de h. Sigamos el siguiente procedimiento para demostrar (13.9): De acuerdo con el supuesto 3, Vk > Vmax·A3 Tomando la sumatoria a ambos lados tenemos: n

V

> n·Vmax·A3, es decir, V > n·Vmax·A3

k 1

Del supuesto 2 tenemos que: V < A2 Por lo tanto A2 > n·Vmax·A3.

Reemplazando el valor

de n por T/h, llegamos a:

A2 h A h  Vmax y como por definición Vmax > Vk, entonces, 2   Vmax  Vk , lo cual implica que: A3 T A3 T

A2 h   Vk A3 T

(13.10)

(13.10) es el límite superior para Vk, el cual sólo depende de h. Ahora recordemos el supuesto 1: V > A1 > 0. Y del supuesto 3: Vk > A3·Vmax. n

Como V =

 k 1

Vk , entonces

V

> A1

(13.11)

k 1

Si (13.11) es cierta, podríamos utilizar Vmax en lugar de Vk y la desigualdad se mantiene, es decir: n·Vmax > A1 De (13.12) obtenemos: Vmax 

(13.12) A1 n

Del supuesto 3 teníamos que: Vmax 

(13.13) Vk A3

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

Por lo tanto la siguiente desigualdad se cumple:

Es decir, Vk  A1  A3  Vk  A1  A3 

Vk A1  A3 n

1 . Remplazando n por T/h, llegamos a: n

h T

(13.14)

La ecuación (13.14) es el límite inferior de Vk. Por lo tanto, combinando (13.10) y (13.14): h A2 h   Vk  A1  A3  T A3 T

(13.15)

Como se ve, los límites superior e inferior dependen de unas constantes (A y T) y del término h. por lo tanto podemos decir que es factible encontrar una constante σk que depende de k, de tal manera que Vk sea proporcional a h. Por lo tanto: Vk = E[ΔWk]² = σk²h

(13.16)

En este punto tenemos la alternativa de involucrar σk² dentro del término ΔWk o dejarlo aparte. Si lo separamos entonces puede decirse que E[ΔWk]² = h y por lo tanto la varianza de σk·ΔWk será igual a σ²h. Retomemos la ecuación (13.1): Sk – Sk−1 = Ek−1[Sk – Sk−1] + σk·ΔWk

(13.17)

La expresión (13.17) corresponde a la representación de un proceso estocástico en un período de tiempo pequeño y finito h. Ya mostramos que si h se hace muy pequeño, entonces: Var(ΔWk) = E[ΔWk]² = h La pregunta que sigue es entonces: ¿Qué puede hacerse con el término Ek−1[Sk – Sk−1] en (13.17)?. Este término recordemos representa la variación que se espera tenga el precio de un activo en el siguiente período. Por lo tanto este término en sí mismo puede ser una función A(Ik−1,h), es decir, es una función que depende de la información disponible en el período k−1 (Ik−1) y del tiempo (h). A continuación representemos A(Ik−1,h) como una serie de expansión de Taylor alrededor de h = 0. A(Ik−1,h) = A(Ik−1,0) + Ah(Ik−1,0)(h−0) +

Ah(Ik−1,0) =

A( I k 1 ,0) h

1 Ahh(Ik−1,0)(h−0)² 2

Ahh(Ik−1,0) =

 2 A( I k 1 ,0) h 2

(13.18)

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

Observe que si los períodos de tiempo (h) son muy pequeños, h² será despreciable y se podrá igualar a cero. Igualmente, si todavía no ha transcurrido el tiempo, no se tendrá información disponible y por lo tanto A(Ik−1,0) = 0. Así las cosas, la expresión (13.18) se convierte en: A(Ik−1,h) = Ah(Ik−1,0)h

(13.19)

Llamemos Ah(Ik−1,0) = α(Ik−1)h

(13.20)

Por lo tanto podemos escribir (13.17) como: Sk – Sk−1 = α(Ik−1)h + σk·ΔWk

(13.21)

El término α(Ik−1) depende de la información disponible en el período k−1 y en la medida en que el tiempo pasa, el stock de información cambiará, por lo que a también es función del tiempo, es decir, Sk – Sk−1 = α(Ik−1,kh)h + σk·ΔWk

(13.22)

Para obtener la ede en forma infinitesimal, hacemos h→0 y por lo tanto (13.22) se convierte en: dSt = α(It,t) dt + σt·dWt

(13.23)

Por ejemplo, si decimos que dSt sigue un proceso con una tendencia constante, entonces es porque la función que marca la tendencia es de la forma y(x) = αx y la derivada de y(x) con respecto a x será igual a α, que es el término que aparece en (13.23). Esto clarifica el hecho de que α(It,t) representa la derivada de una función.

13.2

Procesos de Wiener

Todos los modelos para determinar la evolución futuro del precio de acciones, dólar, commodities o tasas de interés, parten de la base de que estas variables siguen un proceso de Wiener. Este modelo es muy útil cuando no ocurren cambios fuertes en el precio del activo subyacente, es decir, cuando no se presentan saltos en un período de tiempo muy corto. Para que un proceso estocástico sea un proceso de Wiener debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. El proceso comienza en 0, es decir, Wo = 0 2. Los incrementos en W son independientes y no están correlacionados. Esto a su vez quiere decir que el valor esperado de los cambios es cero y como el proceso comienza en cero, la media de W es cero. 3. E[(Wt – Ws)²] = t – s, con s ≤ t. Quiere decir que la varianza del proceso es igual a la magnitud en que se subdivide cada sub-intervalo 4. Wt es continuo en el período t, es decir, en períodos de tiempo infinitesimales (dt), el cambio en W es infinitesimal. Hasta aquí las características que describen un proceso de Wiener. Observe que nada se dice explícitamente sobre la distribución de ΔW. Sin embargo, al decir que los cambios en W son independientes y no están correlacionados estamos asumiendo que su valor esperado es de cero, característica propia de la distribución normal. Cuando explícitamente decimos que los cambios en W siguen una distribución normal con media cero y varianza t – s, estamos refiriéndonos a un

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

proceso que sigue un Movimiento Browniano Puro (MBP). El teorema de Lévy comprueba lo que el lector probablemente ya ha descubierto, esto es, que un proceso que sigue un MBP es igual a un proceso de Wiener.

13.3

Movimiento Browniano Puro

Podemos entonces decir que un proceso (Bt) sigue un MBP si cumple las siguientes condiciones: 1. 2. 3. 4.

El proceso comienza en cero, es decir, Bo = 0 Los incrementos en Bt son independientes y no están correlacionados Bt es continuo en el período t. Bt – Bs siguen una distribución normal con media cero y varianza t – s.

Podemos demostrar la condición 2 según la cual el cambio ΔB durante un corto período de tiempo h es cero, diciendo: ΔB =   h

(13.24)

Donde ε es una variable aleatoria que sigue una distribución normal, esto es, con media 0 y varianza t – s. ΔB sigue un “Random Walk” ó paseo aleatorio, es decir, los valores de ΔB en dos intervalos de tiempo h son independientes entre sí. E(ΔB) = h  E(ε)

Como E(ε) = 0, E(ΔB) = 0

Varianza anual de ΔB = 1. Como el período se sub-divide en n sub-períodos, cada uno de magnitud h, la varianza en un período h será: Var(ΔB) = E[ΔB – E(ΔB)]2 = E(ΔB)2 – 2E(ΔB)E[E(ΔB)] + E[E(ΔB)]2 = E(ΔB)2 Como ΔB =   h



E[ε2] = Var[ε] = 1

E(ΔB)2 = E[ε2].E[h]

E[h] = h

 Var(ΔB) = 1  h = h El incremento de B durante un período de tiempo relativamente largo (T ) será: B(T) – B(0) Quiere decir que T = h.n Donde n denota el número de sub-períodos en que se dividió T. Así:

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

B(T ) – B(0) =



 h

Por lo tanto:

i 1

 n  E[B(T ) – B(0)] = E   i  h   i 1  n   = h .E   i  =  i 1 



Como E[εi] = 0

h . E[ε1+ ε2+….+ εn]

 E[B(T ) – B(0)] = 0

 n  Var[B(T) – B(0)] = Var   i  h   i 1 



 n  n  = E   i  h  E   i  h   i1   i1 2 2   n    n   n  n     = E h    i  – 2   i  h  E   i  h  +  E   i  h    i 1    i1    i1   i1    n  2   n  2      = h  E  i  Como E   i   = Eε1²+ε2²+….+εn²  i 1    i 1       2 Y E[εi ] = Var[εi]  E[ε1²+ε2²+….+εn²] = n. Var[εi]



 Var[B(T) – B(0)] = h·n·Var[εi]



Como Var[εi] = 1

 Var[B(T) – B(0)] = h.n = T

13.4

Movimiento Browniano puro en tiempo continuo

Un movimiento Browniano es un “Random Walk” que ocurre en tiempo continuo. Un “Random Walk” puede expresarse como: St = St−1 + εt Donde: St = St−1= εt =

Valor de una variable en el momento t Valor de la misma variable en el momento t–1 Término aleatorio

Quiere decir que en un “Random Walk” el precio en el período t es igual al precio en el período anterior más un término aleatorio.

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

Si hacemos εt infinitamente pequeño, entonces tendremos un movimiento Browniano. Llamemos W un movimiento Browniano. Recordemos las características de W: 1. 2. 3. 4.

Wo = 0 Wt  s  Wt tiene una distribución normal con media µ y varianza s Wt  s1  Wt es independiente de Wt  Wt  s 2 Wt es continuo

Asumamos que queremos calcular el movimiento de Wt en un período de tiempo muy corto utilizando una distribución binomial. Wt  h  Wt  Yt  h  h

(13.25)

Donde: Yt h

=  1 con una probabilidad del 50%. = Período de tiempo muy corto

La expresión (13.25) es la misma expresión que se obtiene para la desviación estándar para un período corto de tiempo, partiendo de la desviación estándar para un período más largo de tiempo. 2 2 Recuerde por ejemplo que  anual   mensual 12 ó  anual   mensual  12 . Generalizando:

 T   t  t ó  t   T  1t Del mismo modo Wt+h − Wt puede ser entendida como la desviación estándar sobre un período muy corto de tiempo, donde Yt+h es la desviación estándar para un período más largo de tiempo. Como Yt puede ser  1, significa que sigue una distribución binomial con media 0 y varianza 1. Por lo tanto Y  h también es binomial con media 0 y varianza h. Tratemos ahora de determinar cuánto se ha movido W en un período de tiempo T partiendo de Wo. Para esto separemos el intervalo T en n períodos, cada uno de duración h  n  T h  WT  W0  (W1h  W0 )  (W2h  W1h )  ....  (Wnh  W( n 1) h )





(Wkh  W( k 1) h ) 

k 1

Como n  T  WT  W0  T  h

Y

k 1 n



Ykh n k 1

 h

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

De acuerdo al teorema del Límite Central (TLC), cuando en una distribución binomial el número de períodos tiende a infinito, la distribución tiende a ser normal

 Cuando n   entonces WT – W0 ~ N(0,T) Si h  0 y llamamos Wt+h – Wt = dW entonces: dW  Yt  h T



Reemplazando en la expresión de WT  W0 entonces WT  W0  dWt porque WT  W0 está 0

conformado por una sucesión infinita de intervalos.

13.5

Movimiento Browniano Aritmético (MBA)

Hasta ahora vimos un caso particular del movimiento Browniano; aquel en el cual el cambio esperado en W es cero y la varianza en el período t – s es t – s. Podemos generalizar el movimiento Browniano para un caso en el que la varianza pueda tomar cualquier valor y la media no esté restringida a cero. A continuación obtenemos la expresión para el movimiento Browniano aritmético. Para este caso hemos fijado el período y a su vez lo hemos dividido en n sub-períodos, cada uno de longitud h. Si el período es igual a 1 (T = 1) entonces 1  n  h

Sub-período: t Innovación:

t+h

t+2h

t+3h

 hY1  hY2  hY3

………. ……….

t+nh t+1

La innovación en cada sub-período corresponde a la porción aleatoria del incremento en S y es igual a   h  Yk con varianza σ²·h. Por lo tanto, el cambio en S en cualquier sub-período es: S[t  k  h]  S[t  (k  1)h]    h    h  Yk

Es importante notar que tanto la media como la varianza de St+1 – St no están afectadas por el número de sub-períodos. Generalizando: St+h – St = α·h + σY

Por el TLC (Teorema del Límite Central), St está distribuido en forma normal ST  S0 



   n    Y T

k 1



T n

   

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

  T    T 

 k 1

Yk n

Si h→dt entonces: dSt = α dt + σ dWt Donde: α= σ² =

media instantánea por unidad de tiempo varianza instantánea por unidad de tiempo

Esa es la expresión para un movimiento Browniano aritmético. Por lo tanto: ST  S0 ~ N (  T , 2  T )

Algunas características del movimiento Browniano aritmético son las siguientes: 1. ST está normalmente distribuida porque se deriva de la suma de muchos procesos normalmente distribuidos 2. El término α·dt es el “drift” o tendencia del proceso. Note que no es aleatorio porque no involucra a dWt. 3. El término σ·dWt es la desviación estándar del proceso. Es un término aleatorio porque depende de dWt. Este proceso tendrá una varianza de σ ² por unidad de tiempo. Sin duda el movimiento Browniano aritmético tiene un alcance mucho más amplio que el movimiento Browniano “puro” que vimos inicialmente. Sin embargo, tiene algunas limitaciones: 1. St puede llegar a ser negativo y por lo tanto no es un buen modelo para utilizar como un modelo de precios. En efecto, aunque α, σ y dt son siempre positivos, dWt puede tomar valores negativos haciendo que la expresión para St se vuelva negativa. 2. La media instantánea y la desviación estándar no son proporcionales a St. Esto no es real porque ciertamente no es igual una media o una desviación estándar cuando el precio es $10/acción a cuando el precio es $100/acción Ambas limitaciones pueden ser eliminadas con el movimiento Browniano geométrico

13.6

Movimiento Browniano Geométrico

El movimiento Browniano geométrico (MBG) es una modificación al movimiento Browniano aritmético con el fin de hacer la media instantánea y la desviación estándar proporcional a St así: dSt = α·St dt + σ·St dWt

dSt    dt    dWt St

Esta es la expresión para el retorno de un activo y no para el precio, como hasta el momento se había considerado. El retorno entonces está distribuido normalmente con media instantánea α y varianza σ ².

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

Si el retorno sigue una distribución normal, entonces los precios siguen una distribución lognormal. Gracias a esta distribución log-normal los precios no pueden llegar a ser negativos. Más adelante comentaremos en detalle sobre las bondades de la distribución log-normal. 13.7

El proceso Ornstein-Uhlenbeck

Este proceso es muy utilizado para modelar el comportamiento en el precio de commodities y de tasas de interés porque sigue una reversión a la media. Quiere decir que cuando la variable se encuentra muy lejos de la media, habrá un “drift” ó tendencia para llevarla hacia dicha media. Si por ejemplo el precio está muy por encima de la media, el drift será muy grande y negativo. Si por el contrario el precio se encuentra ligeramente por debajo de la media, el drift será positivo y de poca magnitud. La forma general de este proceso es: dSt   (  St )dt    dWt

Donde: α= σ= dWt = λ=

media desviación estándar proceso de Weiner velocidad de la reversión

Así, si St está por encima de α, el drift será negativo. Si α es mayor que St, el drift será positivo. Si λ es muy grande, la reversión ocurre más rápidamente. Tanto para tasas de interés como para precios de commodities, con este proceso St puede ser negativo.

13.8

Proceso de Itô

Es el más general de todos los procesos, porque tanto la media como la desviación estándar dependen del valor de la variable en un momento dado. El proceso de Itô está dado por la siguiente expresión: dSt = α(St,t) dt + σ (St,t) dWt Más adelante ampliaremos el concepto del Proceso de Itô y su aplicación para modelar el precio de una acción. 13.9

Diferenciabilidad y Continuidad

Para todos los procesos que hemos visto tenemos que St es una función continua pero NO es diferenciable. A continuación demostraremos estos dos puntos:

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

13.9.1 Continuidad



Se define como Lim E St h  St  2 h0



Si este límite es igual a cero, entonces la función será continua, queriendo decir que cuando ha transcurrido un período de tiempo infinitamente pequeño, el valor de la función no deberá haber cambiado.



 Lim E St  h  St  h 0







2  Lim E    h    Y  h   

  Lim E

2 2 3/ 2 2 2  Lim E   h  2      Y  h    Y  h 2



 h 2   2  h porque E(Y ) = 0



y E(Y ²) = 1

0 Esto implica entonces que la función es continua

13.9.2 Diferenciabilidad  S  S  2  St h  St S t Si , se requiere que E  t h    converja para que la función sea diferenciable h t h     y por lo tanto que la derivada exista. 2    2  h2  2  h   St  h  St       2  como se demostró para continuidad Lim E  Lim  2   h h 0 h       h 0  h

  2  h2  2  h   2 2     Lim    Lim    h0  h  h2 h 2  h0 

Para entender intuitivamente la razón de este comportamiento, piense en una acción. graficáramos el comportamiento del precio de una acción en todo instante, éste sería:

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

En los puntos como el señalado con un círculo, es evidente que, aunque el precio es continuo, no existe derivada y por lo tanto la función no es diferenciable.

tiempo

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

APÉNDICE 13.1 Desigualdad de Jensen El postulado básico de la desigualdad de Jensen es que en funciones convexas como puede ser el precio de una acción, las ganancias son mayores que las pérdidas. La desigualdad de Jensen se genera cuando el retorno de un activo se toma como el logaritmo del precio en un momento sobre el precio un período anterior y no como la diferencia porcentual entre dos precios consecutivos. Para ilustrar esto, considere que xt, el retorno de la acción, sigue un movimiento Browniano: dxt    dt    dWt

Por lo tanto, St  e xt donde St es el precio de la acción en un momento dado Recuerde que dx ~ N ( ,  2 dt) . Al ser normal, implica que es simétrica alrededor de la media α. Sin embargo, para St, que es función de xt, las cosas no son iguales. S=ex

Note cómo aunque xo  x y xo  x son simétricos alrededor de xo , e xo x y e x o  x no son simétricos alrededor de e xo . palabras, ganancias > pérdidas.

e(xo +Δx)

En otras

E (S )  E (e x )  e E ( x )  e xo  S o E (e x ) corresponde al punto medio entre

e xo x y e x o  x , el cual, por la característica de convexidad es mayor que e E ( x ) que xo x xox xo+x corresponde al valor de la función de S en xo que es el punto intermedio entre xo  x y xo  x . Generalizando: e (xo −Δx)

E f ( x)  f E ( x) la cual es conocida como desigualdad de Jensen. Para una función convexa E f ( x)  f E( x) mientras que para una función cóncava E f ( x)  f E ( x) .

La desigualdad de Jensen tiene repercusiones muy importantes porque nos sugiere la idea de utilizar derivadas de orden superior a 1 si queremos determinar el precio de una acción.

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

de }Error curvatura

f’(xo) xo

f ( xo  x)  f ( xo )  f ' ( xo )  x 

Evidentemente la primera derivada no es suficiente para determinar el precio de una acción porque entonces se generaría un error por curvatura. Para involucrar derivadas de orden superior a 1 podemos entonces basarnos en las series de expansión de Taylor. A continuación se muestra una serie de este estilo:

1 1  f ' ' ( xo )  (x) 2   f ' ' ' ( xo )  (x)3  ...... 2 6

Donde: f '=

pendiente en el punto xo  f

f '' =

2 ajuste por cambio en pendiente =  f

x

x 2 f ' ' ' = ajustes por cambio en la tasa de cambio de la pendiente

Ahora, la pregunta obligada es entonces hasta qué orden ir con la expansión de Taylor. La respuesta la encontramos en todo el desarrollo del lema de Itô que se vio a lo largo de este capítulo.

Capítulo 13 – Cómo Determinar la Evolución del Precio de un Activo

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. “Options Markets”. Ed. Prentice Hall. 1985 Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. McDonald, Robert L. “Derivatives Markets”. Editorial Addison Wesley. 2004. Neftci, Salih. “An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives”. Elsevier Academic Press. Segunda Edición. 2000. Neftci, Salih. “Principles of Financial Engineering”. Elsevier Academic Press. Primera Edición. 2004. Tuckman, Bruce. 2002. “Fixed Income Securities: Tools for Today’s Markets”. Editorial John Wiley & Sons, Inc.

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

CAPÍTULO 14 Dinámica del Precio de los Derivados 14.1 Lema de Itô El lema de Itô permite conocer el comportamiento de funciones que tienen como parámetros funciones estocásticas. Es el equivalente a la regla de la cadena en el cálculo determinístico o convencional. Recuerde que en el cálculo convencional el diferencial total de una variable (f) que es función de otra (x) está dado por: df(x) =

f  dx x

(14.1)

La expresión (14.1) se desprende de las series de expansión de Taylor, a partir de las cuales una función f(x) alrededor de (xo) está dada por: f(x) – f(xo) = fx(xo)·Δx + (½)·fxx(xo)(Δx)² + R,

(14.2)

2 f f Donde fx= y fxx= 2 x x En (14.2) R representa los términos de orden superior a 2. La ecuación (14.2) quiere decir que el cambio estimado en una variable (f(x) – f(xo)) es igual a la primera derivada evaluada en el punto xo por el cambio en x más un medio de la segunda derivada de la función con respecto a x evaluada en xo por el cambio en x al cuadrado más otra serie de términos de orden superior a 2. Si Δx es pequeño pero no despreciable, los términos (Δx)² y de orden superior son de una magnitud despreciable comparados con Δx. En el límite, es decir, cuando Δx→0, la ecuación (14.2) se convierte en (14.1). A continuación la pregunta obligada es: ¿Cómo es la serie de expansión de Taylor para funciones que dependen de dos variables, por ejemplo x y t ?. La respuesta es que es análoga a la expresión (14.2) para cada una de las variables, más los términos cruzados entre las dos variables. La siguiente expresión muestra cómo queda: f(xt,t) – f(xo,to) = fx(xo,to)·Δx + ft(xo,to)·Δt + (½)·fxx(xo,to)(Δx)² +(½)·ftt(xo,to)(Δt)² + fxt(xo,to)·Δx·Δt + R, (14.2) La expresión (14.2) puede ser escrita de la siguiente forma: Δf(xt,t) = fx(xo,to)·Δx + ft(xo,to)·Δt + (½)·fxx(xo,to)(Δx)² +(½)·ftt(xo,to)(Δt)² + fxt(xo,to)·Δx·Δt + R (14.3)

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Recordemos que en el cálculo convencional los términos Δx², Δt² y Δx·Δt son de magnitud despreciable. Lo que a continuación vamos a explorar es si lo mismo puede decirse cuando f es función de una variable estocástica y del tiempo1. Este es el caso del proceso de difusión (MBG) que se asume sigue el precio de una acción (S), dado por: ΔSt = αt·Δt + σt·ΔW

(14.4)

Si llamamos Δt = h, tenemos: ΔSt = αt·h + σt·ΔW

(14.5)

En este caso lo que en la ecuación (14.3) llamamos xt es ahora equivalente a St y por lo tanto f será función de St y t. Con esta nueva nomenclatura, la ecuación (14.3) se transforma en: Δf(St,t) = fs(So,to)·ΔS + ft(So,to)·h + (½)·fSS(So,to)(ΔS)² +(½)·ftt(So,to)(h)² + fSt(So,to)·ΔS·h + R (14.6) Reemplazando (14.5) en (14.6) tenemos: Δf(St,t) = fs(So,to)·[αt·h + σt·ΔW] + ft(So,to)·h + (½)·fSS(So,to)[αt·h + σt·ΔW]² + (½)·ftt(So,to)(h)² + fSt(So,to)·[αt·h + σt·ΔW]·h + R

(14.7)

La importancia de (14.7) radica en que Δf(St,t) puede representar el cambio en el precio de un derivado, una opción Call por ejemplo. Este cambio es función del tiempo y del activo subyacente sobre el que se emite la opción. Pero, cuáles son los términos en (14.7) que pueden considerarse despreciables y por lo tanto dejarse a un lado para así encontrar una ecuación más simplificada?. Por el momento podemos decir que la variable t que representa el tiempo es determinística y por lo tanto aplican los conceptos del cálculo convencional que ya vimos. Esto quiere decir que los términos que involucran h² o de orden superior pueden tomarse como cero. Ya en el capítulo 13 habíamos dicho que E[(ΔW)²] es de una magnitud en el orden de h. Esto marca una gran diferencia respecto al cálculo convencional, en donde todos los diferenciales de orden dos o superior eran despreciables. En este caso tenemos que no es despreciable y que además ΔW es del orden h½. Ahora la pregunta es entonces qué factores pueden considerarse como despreciables. Note que en general, durante un período muy pequeño de tiempo h un término cualquiera no deberá cambiar mucho; sin embargo, unos cambiarán tan poco comparados con el cambio de otros, que los primeros podrán obviarse. Poniendo esto en términos matemáticos, podemos decir que un término es despreciable si: g ( x) →0 h

(14.8)

El tiempo por naturaleza es una variable determinística, por lo que podemos decir que f es función de una variable determinística y de una variable estocástica.

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

La expresión (14.8) quiere decir que el cambio en un término tiende a cero comparado con el cambio pequeño en el tiempo, h. Miremos el primer término: fs(So,to)·[αt·h + σt·ΔW]. Dividiendo por h tenemos: f S ( So , to )   t  h f S ( So , to )   t  W . El primer término no depende de h mientras que el segundo  h h sí. En el límite, es decir, cuando h→0, el segundo término es muy grande y por lo tanto no se considera despreciable. En resumen, ambos términos no pueden despreciarse.

Analicemos el siguiente término en (14.7), ft(So,to)·h. Al dividir este término por h, pierde su dependencia de dicho factor y por lo tanto no es despreciable. El siguiente término, (½)·fSS (So,to)[αt·h + σt·ΔW]² queda convertido en: (½)·fSS (So,to)·α²t·h² + fSS (So,to)·αt·h·σt·ΔW + (½)·fSS (So,to)·σ²t·(ΔW)² Al dividir por h tenemos que el primer término quedaría (½)·fSS(So,to)·α²t·h y en el límite es igual a cero. El segundo término queda reducido a fSS(So,to)·αt·σt·ΔW al dividirlo por h. Sin embargo recordemos que ΔW es de una magnitud del orden h½ y en el límite este término tiende a cero por lo cual también es despreciable. Finalmente, en el último término recordemos que ·(ΔW)² es de un orden de magnitud igual a h, por lo que al dividirlo por h no tiende a cero y así no puede decirse que sea despreciable. El siguiente término que aparece en (14.7), (½)·ftt(So,to)(h)² ya habíamos dicho que podía hacerse igual a cero. Por su parte el último término en (14.7), fSt(So,to)·[αt·h + σt·ΔW]·h puede separarse en dos términos: fSt(So,to)·αt·h² y fSt(So,to)·σt·ΔW·h Al dividir por h, el primer término se hace cero en el límite. El segundo término por su parte queda dependiendo de ΔW que como ya se dijo, tiene un orden de magnitud de h½ y por lo tanto en el límite es igual a cero. Así las cosas, (14.7) queda reducida a: Δf(St,t) = fs(So,to)·[αt·h + σt·ΔW] + ft(So,to)·h + (½)·fSS (So,to)·σ²t·(ΔW)²

(14.9)

En el límite h es igual a dt y como habíamos dicho que (ΔW)² era igual a h, en el límite será igual a dt. Por lo tanto (14.9) puede escribirse en su forma diferencial como: df = fs·dS + ft·dt + (½)·fSS·σ²t·dt

(14.10)

Ya hemos comentado que la ecuación diferencial estocástica que describe el movimiento del precio está dada por: dSt = α(St,t)dt + σ(St,t)dWt

(14.11)

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Sustituyendo (14.11) en (14.10) llegamos a:  f f 1  2 f 2  f dft   t    dt   t dWt 2 t  t 2 St St  St 

(14.12)

La expresión (14.12) se conoce como el Lema de Itô.

14.2 Lema de Itô multivariado En esencia es similar al lema de Itô para una sola variable, más la expresión que relaciona las variables exógenas S1, S2,….., Sn. Si asumimos que sólo dos variables participan en el proceso S1, S2 y que dW1 y dW2 son dos procesos de Wiener con correlación ρ, entonces podemos decir que: f  f (S1, S2 , t )

Donde dS1  1 (S1, S2 , t )dt  1 (S1, S2 , t )dW1 dS2   2 (S1 , S2 , t )dt   2 (S1 , S2 , t )dW2

(14.13) (14.14)

La función f puede ser el precio de un derivado, una opción por ejemplo, mientras que S1 y S2 puede ser el precio de dos activos subyacentes, los cuales a su vez dependen del tiempo. Entonces: df  f1  dS1  f 2  dS2  f t  dt 



1 f11  (dS1 ) 2  f 22  (dS2 ) 2  2 f12  dS1  dS2 2



(14.15)

Reemplazando (14.13) y (14.14) en (14.15) llegamos a la siguiente expresión: df  f1[1  dt   1  dW1 ]  f 2 [ 2  dt   2  dW2 ]  f t  dt 

1 f11[12 dt 2  21 1dt  dW1   12 dW12 ]  2

1 f 22[ 22 dt 2  2 2 2 dt  dW2   22 dW22 ]  f12[1 2 dt 2  1 2 dt  dW2   1 2 dt  dW1   1 2 dW1  dW2 ] 2 (14.16)

Recordemos que dW es de un orden de magnitud igual a h½ por lo que dW1×dW2 tiene un orden de magnitud de h. Al dividir ese término por h, pierde su dependencia de h y en el límite, cuando h tiende a cero, no es despreciable. Adicionalmente, si la correlación entre dW1 y dW2 es de ρ, entonces: dW1×dW2 = ρ·dt

(14.17)

La demostración de (14.17) es como sigue: La varianza de dW1 es igual a la varianza de dW2 y es igual a dt. Por simplicidad, remplacemos esos dos procesos por otros procesos, igualmente aleatorios, con media igual a la de dWi, es decir, igual a

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

cero, y varianza igual a 1. Esos nuevos procesos aleatorios llamémoslos W1* y W2*. Por lo tanto la varianza de Wi será igual a la varianza de Wi*2 por el escalar dt. Así las cosas: dW1×dW2 = dW1* dt ×dW2* dt = dW1*·dW2*dt E(dW1*·dW2*) = Cov(dW1*, dW2*) = ρσ1σ2 = ρ Por su parte términos como αi·dt² son despreciables porque dt², que en forma discreta lo hemos escrito como h², al dividirlo por h se convierte en h y en el límite, cuando h tiende a cero, el término desaparece. Con lo anterior, la expresión (14.16) se convierte en df = ( f1  1  f 2   2  f t 

1 1  f11   12  f 22   22  f12     1   2 )dt  f1  1  dW1  f 2   2  dW2 2 2 (14.17)

Ejemplo: Suponga una función de producción Cobb-Douglas: Q  La  K b Donde: L K Q a,b

= Cantidad de fuerza laboral utilizada = Cantidad de capital utilizado = Producción = determinantes de los retornos a escala de los factores de producción

L y K siguen un MBG. Cuál es la expresión para el crecimiento en la producción dQ/Q ? dL   L  dt   L  dzL  dL   L  L  dt   L  L  dWL L dK   K  dt   K  dzK  dK   K  K  dt   K  K  dWK K 1 1 dQ  QL  dL  QK  dK   QLL  (dL) 2   QKK  (dK ) 2  QKL  K  L  dK  dL 2 2 1 1   dQ   QL   L  L  QK   K  K   QLL   L2  L2   QKK   K2  K 2  QLK  L  K     L   K dt  2 2   QL   L  L  dzL  QK   K  K  dWK

QL  a  La 1  K b ; 2

QK  b  La  K b 1

Llamemos σ1 la desviación estándar de dW1* y σ2 la desviación estándar de dW2*. Por lo tanto σ1 = σ2 = l

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

QLL  a  (a  1)  La 2  K b

;

QKK  b  (b  1)  La  K b2 ; QLK  a  b  La 1  K b 1

1 dQ  (a  La 1  K b   L  L  b  La  K b 1   K  K   a(a  1)  La  2  K b   L2  L2 2 1   b(b  1)  La  K b  2   K2  K 2  a  b  La 1  K b 1     L   K  K  L)dt 2  a  La 1  K b   L  dWL  L  b  La  K b 1   K  dWK  K

1 1  dQ  (a  Q   L  b  Q   K   a(a  1)  Q   L2   b(b  1)  Q   K2  a  b  Q     L   K )dt 2 2  a  Q   L  dWL  b  Q   K  dWK



dQ 1 1  (a   L  b   K   a(a  1)   L2   b(b  1)   K2  a  b     L   K )dt  Q 2 2

a   L  dWL  b   K  dWK dQ conserva el MBG Q

Note cómo

14.3 Tipos de soluciones de la ecuación diferencial estocástica (ede) Recordemos la forma general de la ede que describe la dinámica del precio de un activo: dSt = α(St,t) dt + σ(St,t) dWt

(14.18)

La ede en (14.18) depende de un proceso aleatorio y por lo tanto su solución también tendrá esta dependencia. Esto marca una diferencia importante respecto a la solución de una ede convencional en donde no existe ningún componente aleatorio. Inclusive, una ede tiene dos tipos de soluciones: una débil y una fuerte. La diferencia, aunque sutil, es de grandes implicaciones. Para entender mejor cada una de estas dos soluciones, es importante reconocer que la solución a la ede deberá partir de:



dSu   ( Su , u )du   ( Su , u )dWu 0

(14.19)

La solución que se desprenda de (14.19) deberá cumplir con (14.18). Además, podemos desarrollar la parte izquierda de (14.19) y llegar a:



St  So   ( Su , u)du   (Su , u)dWu 0

(14.20)

En la solución fuerte dWt es dado exógenamente y en ese sentido el lector reconocerá que es similar a la solución de una ecuación diferencial determinística, es decir, que no tiene ningún componente aleatorio. Sin embargo, esta no es la real situación a la que se enfrenta un trader en el mercado.

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Este último reconoce que existe en cada momento información nueva, que es impredecible, reflejada en el término dWt, cuya distribución se forma simultáneamente con St. Note que en la solución fuerte, dado que dWt está dado, sólo hay que buscar la función que satisfaga St. Por el contrario, en la solución débil sólo son dados la tendencia o “drift” (α(St,t)) y el término de difusión (σ(St,t)) y es necesario resolver para encontrar el par {St,Wt}.

14.4 Solución de una ede convencional Suponga una ede de la forma más sencilla: dxt  a  dt xt

(14.20)

Tomando la integral a ambos lados: t dxu  a  dt 0 x 0 u



(14.21)

La solución a (14.21) es: Ln(xt) – Ln(xo) = a·t

(14.22)

Resolviendo (14.22): xt = xo·ea·t

(14.23)

(14.23) es la solución a (14.20) y a continuación se comprueba derivando (14.23) con respecto a t: dxt dx  a  xo  e a t . Pero xo·ea·t es igual a xt por lo que t  a  xt dt dt

14.5 Solución a ede Consideremos una ede específica en donde α(St,t) es igual a una constante que llamaremos α y σ(St,t) también se hace igual a una constante a la que llamaremos σ. Esta ecuación tendrá la siguiente forma: dSt = α dt + σ dWt

(14.24)

La solución a (14.24) será una función St que dependerá de α, σ, So, t y Wt. Como depende de Wt, esta solución se dice que es un proceso estocástico. Integrando (14.24) a ambos lados: t

 dS



  du   dWu

Llegamos a: St – So = α t + σ[Wt − Wo]

(14.25)

(14.26)

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Recordemos que Wt es un proceso de Wiener con Wo = 0. Por lo tanto (14.26) se convierte en: St – So = α t + σ Wt

(14.27)

Miremos si (14.27) cumple con la ede en (14.24): De acuerdo con el Lema de Ito, podemos escribir: dSt 

St S 1  2 St dt  t dWt  dt t Wt 2 Wt 2

(14.28)

S t =α y t expresión (14.28) la podemos escribir así:

De (14.27) obtenemos:

 2 St St = σ. Por lo tanto = 0. Así las cosas, la Wt Wt 2

dSt = α dt + σ dWt. Esta es justamente la ecuación (14.24) por lo que (14.27) sí es una solución a (14.24). Ahora consideremos la ede utilizada en Black-Scholes. Esta es de la forma: dSt = αSt dt + σSt dWt

(14.29)

Dividendo por St e integrando a ambos lados: t

 0

dSu   du +  dWu Su 0 0



(14.30)

Aplicando el cálculo convencional decimos que: Ln(St) – Ln(So) = α t + σ Wt

(14.31)

Por lo tanto: St = So e t  Wt

(14.32)

Verifiquemos si (14.32) es una solución a la ede (14.29). De acuerdo al Lema de Ito, dSt 

St S 1  2 St dt  t dWt  dt t Wt 2 Wt 2

Obteniendo

(14.33)

S t St  2 St , y de (14.32) tenemos: t Wt Wt 2

S t = α So e t  Wt t

;

St = σ So e t  Wt Wt

 2 St = σ² So e t  Wt 2 Wt

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Por lo tanto, remplazando en (14.33) tenemos: dSt = α So e t  Wt dt + σ So e t  Wt dWt +

1 σ² So e t  Wt dt 2

1 Reorganizando términos llegamos a: dSt = So e t  Wt [α dt+ σ² dt + σ dWt] 2

(14.34)

Remplazando (14.32) en (14.34): dSt = St [α dt +

1 σ² dt + σ dWt] 2

(14.35)

Pero (14.35) no cumple con la ede (14.29). Es decir, (14.32) no es una solución a la ede (14.29). Está sobrando el término ½ St σ² dt. Intentemos ahora una solución de la forma: St = So e

1 (   2 ) t  Wt 2

(14.36)

En este caso: 1

(   2 ) t  Wt S t = (α−½ σ ²) So e 2 t

;

(   2 ) t  Wt St = σ So e 2 Wt

(   2 ) t  Wt  2 St 2 e = σ² S o Wt 2

Remplazando en (14.33) tenemos: dSt = (α−½ σ ²) So

1 (   2 ) t  Wt e 2

·dt + σ So

1 (   2 ) t  Wt e 2

(   2 ) t  Wt 1 ·dWt + σ² So e 2 ·dt 2

Reorganizando términos: dSt = So e

1 (   2 ) t  Wt 2

·[α dt + σ dWt]

(14.37)

Reemplazando (14.36) en (14.37): dSt = St [α dt + σ dWt]

(14.38)

En este caso es claro que (14.36) sí es una solución a la ede (14.29)

14.6 Lognormalidad y Movimiento Browniano Geométrico Si x, el retorno porcentual de una acción, sigue una distribución normal, y xt = Ln(St) donde St es el precio de la acción en un momento dado, entonces éste seguirá una distribución lognormal. A su vez, una variable que se comporte en forma lognormal seguirá un movimiento Browniano

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

geométrico. En la derivación de Black-Scholes, uno de los supuestos más importantes es que el precio del activo subyacente sigue una distribución lognormal. Si dxt = α·dt + σ·dWt es decir, sigue un movimiento Browniano aritmético, entonces, de acuerdo al Lema de Itô: 1 dSt  S x dt  St dt  S xx 2 dt  S x dWt 2

(14.39)

Donde: Sx 

S ( xt , t ) S ( xt , t ) , St  x t

S xx 

 2 S ( xt , t ) x 2

Teniendo en cuenta que xt = Ln(St), entonces St = e xt . Por lo tanto: Sx = e xt

;

St  0

;

S xx  e xt

Reemplazando en (14.39) llegamos a la siguiente expresión: dSt = e xt α dt +

1 xt e σ² dt + e xt σ dWt. Agrupando términos: 2

1 dSt = e xt (    2 )dt  e xt   dWt 2

Donde ½·σ² es la corrección por la desigualdad de Jensen3. Como S4 = ex , entonces

dS  1        2 dt    dW S  2 

dS 1 Si definimos    2 como  , entonces    dt    dWt la cual es la expresión del 2 S movimiento Browniano geométrico.

14.7 Valoración de Derivados Hasta el momento hemos visto la ecuación diferencial estocástica (ede) que gobierna el precio de los activos y el Lema de Itô, el cual permite conocer la dinámica del precio de los derivados a través de su ede. Recordemos que si el precio de un activo está dado por la expresión:

Para una explicación de la desigualdad de Jensen, remítase por favor al Anexo 13.1 Esta expresión debió haberse escrito como: St; sin embargo, solo se anota como S para no confundir con ∂St/∂t, término al que también se le ha dado la notación de St. 4

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

dSt = α(St,t)·dt + σ(St,t) dWt

(14.40)

Entonces, a través del Lema de Itô sabemos que la ede para el precio de un derivado está dada por:  f f 1  2 f 2  f df ( St , t )   t    dt   t  dWt 5 2 t   S  t 2  S St t  t 

(14.41)

Donde ft es el precio del derivado en un momento dado. Observe un hecho importante: el precio de ambos activos, el del subyacente y el del derivado, dependen del componente aleatorio dWt. Si α y σ son conocidos, dWt se convierte en la única fuente de incertidumbre. Esto hace pensar que si tomamos una posición larga en uno de los dos y una posición corta en el otro, estaremos eliminando la única fuente de incertidumbre y así tendremos un portafolio libre de riesgo. Para explorar más en detalle este punto considere un portafolio Pt compuesto por el derivado y el activo subyacente: Pt = Φ1 f(St,t) + Φ2 St 6

(14.42)

En este caso, Φ1 y Φ2 son las cantidades a invertir en el derivado y en el subyacente, respectivamente. El cambio total en el portafolio (dPt) será: dPt = Φ1 df(St,t) + Φ2 dSt

(14.43)

Reemplazando (14.40) y (14.41) en (14.43) obtenemos: dPt = Φ1[fS dS + ft dt + ½ fSS σt²dt] + Φ2 dSt

(14.44)

Para eliminar la fuente de incertidumbre, que en este caso es dSt, la cual como lo hemos dicho depende de dWt, debemos hacer Φ1 = 1 y Φ2 = −fS Esto significa que por cada unidad del derivado que tengamos en posición larga, debemos tomar una posición corta igual a fS en el subyacente, con el fin de eliminar el riesgo. Así las cosas, la expresión (14.42) se convierte en: Pt = f(St,t) − fS St

(14.45)

Y la ecuación (14.44) en: dPt = ft dt + ½ fSS σt²dt

(14.46)

Este es el cambio en el valor del portafolio libre de riesgo. Sabemos igualmente que un portafolio cero riesgo deberá rentar la tasa libre de riesgo, la cual llamaremos r. En un período de tiempo infinitesimal (dt), Note que aquí se ha utilizado αt y σt para representar α(St,t) y σ(St,t), respectivamente. Para ser estrictos, deberíamos decir que los coeficientes Φ1 y Φ2 no son constantes y que varían con el tiempo, por lo cual deberían llevar el subíndice t. Sin embargo, debido a que estamos trabajando con un período de tiempo infinitesimal, asumimos, sin incurrir en errores prácticos grandes, que son constantes. 5 6

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

r·Pt·dt = ft dt + ½ fSS σt²dt

(14.47)

Reemplazando (14.45) en (14.47), r·f − r fS St − ft − ½ fSS σt² = 0

(14.48)

La ecuación (14.48) es la ecuación diferencial parcial (edp) que rige el precio de un derivado. De esta ecuación conoceremos algunas condiciones de borde, dependiendo del derivado con el que estemos tratando. Por ejemplo, si se trata de una opción Call, las condiciones de borde serán: f(ST,T) = C(ST,T) Donde C(ST,T) = max[ST – K ; 0] La ecuación de Black-Scholes es una solución a la edp (14.48)

14.8

Dinámica del precio de futuros

Suponga que α es el retorno esperado en una acción y que ésta paga un dividendo continuo δ. Por lo tanto: dSt = (α − δ)St dt + σ St dWt

(14.49)

Sabemos además que el precio futuro de la acción en un mundo neutral al riesgo está dada por: F (St , t )  St  e( r  )(T t )

(14.50)

Donde r es la tasa libre de riesgo. Es decir, en un mundo neutral al riesgo, el retorno esperado del activo subyacente es la tasa libre de riesgo. Aplicando series de expansión de Taylor: dF = FS dS + Ft dt +

1 FSS(dS)² 2

(14.51)

Y de acuerdo al lema de Itô: dF = FS (α − δ)S dt + Ft dt +

FS 

1 FSS σ²S ² dt + FS σ S dW 2

F  e( r  )(T  t ) ; Ft  (r   )  F ; FSS  0 S

Reemplazando estas expresiones en la ecuación (14.52) obtenemos:

(14.52)

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

dF  S  e( r  )(T t ) (   )dt  (r   ) F  dt  e( r  )(T t )  S  dW

(14.53)

Teniendo en cuenta que F  St  e( r  )(T t ) , la expresión (14.53) se transforma en: dF  F  (   )dt  (r   ) F  dt  e( r  )(T t )  S  dW

(14.54)

Reorganizando términos: dF  (  r )dt    dW F

(14.55)

Comparando (14.55) con (14.49) puede notarse que el valor esperado en el retorno de una acción ( E (dS / S )) es mayor que el valor esperado en el retorno del precio del futuro (E(dF/F)) por una cantidad igual a (r – δ)dt para acciones que pagan dividendo y de r·dt para acciones que no pagan dividendo.

14.9 Valoración de un Activo que Paga un Dividendo Continuo Considere un activo financiero que paga un dividendo continuo igual a x·dt por siempre. Suponga que la tasa del pago de dividendos sigue un movimiento Browniano geométrico así: dx    dt    dW x

¿Cuál es el valor de ese título? Asuma que no existe prima de riesgo Llamemos f(x) el valor del activo. Es importante notar que el valor del activo no depende del tiempo porque se trata de una perpetuidad. Recuerde que el valor presente de una perpetuidad está dado por la expresión VP = C/i donde C es el pago en cada período y i es la tasa de descuento de los pagos. De acuerdo al Lema de Itô:  df  f x    x  dt  f t  dt 

1  f xx  x 2   2  dt  f x    x  dW 2

1 Como ft  0 entonces  df  f x    x  dt   f xx  x 2   2  dt  f x    x  dW 2

El valor del título tiene dos componentes: uno dado por las ganancias de capital y el otro por los dividendos ganados. Por lo tanto el valor esperado del retorno en el título está dado por:

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

[ f x    x  1  f xx  x 2   2  x]dt 2 E (df / f )  f

Como no existe prima de riesgo, este valor esperado debe ser igual al retorno obtenido por una inversión libre de riesgo [ f x    x  1  f xx  x 2   2  x]dt 2   r  dt f

Para resolver esta ecuación diferencial, partamos de la condición de borde f(0) = 0, es decir, si éste no gana dividendos, su valor en el mercado será igual a cero. Por intuición supongamos que la solución es de la forma f(x) = k·x fx  k    [k  x    x]dt  f  r  dt f xx  0

Como f  k  x  [ f    x]dt  f  r  dt f  dt(  r )  x  dt  0  f ( x) 

x que no es más que el valor presente de una perpetuidad creciente r 

Capítulo 14 – Dinámica del Precio de los Derivados

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. “Options Markets”. Ed. Prentice Hall. 1985 Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. McDonald, Robert L. “Derivatives Markets”. Editorial Addison Wesley. 2004. Neftci, Salih. “An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives”. Academic Press. Segunda Edición. 2000. Neftci, Salih. “Principles of Financial Engineering”. Elsevier Academic Press. Primera Edición. 2004. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1996.

Capítulo 15 – Black-Scholes

CAPÍTULO 15 Black-Scholes 15.1 Introducción Contrariamente a lo que se piensa, los intentos por modelar el precio de opciones no son nuevos. El primer modelo fue la tesis de grado para aspirar al título de doctorado de Bachelier (1900), en donde se asumía que el precio del activo subyacente seguía un movimiento Browniano Aritmético. Hoy en día este es un supuesto que no se considera válido para modelar el precio de acciones, tal como se explicó en el capítulo anterior. Sprenkle (1964) asumió que el precio del subyacente seguía un movimiento Browniano Geométrico y calculó el valor de una opción como el valor presente de los pagos al vencimiento. Para esto requería determinar el retorno esperado del activo y un factor de descuento que reflejara el grado de aversión al riesgo del inversionista. La falla del modelo de Sprenkle es que no usa en ninguna parte la tasa de interés y por lo tanto el valor del dinero en el tiempo es desconocido. Boness (1964) incorporó en un modelo, no sólo el grado de aversión al riesgo del inversionista, sino también la tasa de interés. El problema de su modelo está en que descuenta los pagos al vencimiento de la opción a la misma tasa de descuento que el activo subyacente. Samuelson (1965) solucionó este problema pero todavía requería dos tasas de descuento: una para el activo subyacente y otra para la opción. Tanto Bachelier como Sprenkle, Boness y Samuelson, utilizaron modelos de equilibrio general, el cual les permitía de alguna manera determinar cómo inversionistas aversos al riesgo descuentan activos riesgosos. La idea revolucionaria de Black-Scholes (1973) y Merton (1973), que se fundamenta en un modelo de equilibrio parcial, fue que la opción podía ser cubierta completamente usando bonos libres de riesgo y una posición en el activo subyacente, lo que lleva a la conclusión de que ambos pueden ser descontados a la tasa libre de riesgo y que el retorno esperado de ambos activos no era necesario.

15.2 Portafolio Replicante Otro de los grandes aportes de Fischer Black y Myron Scholes fue explicar las opciones como un portafolio compuesto por un número determinado de unidades del activo subyacente y un número de unidades de Bonos libres de riesgo. Llamemos Δ el número de unidades del activo subyacente y B el número de unidades de los Bonos libres de riesgo. Supongamos que se trata de una opción Call ATM, es decir, K = So. Supongamos que la opción vence un período después y que no paga dividendo. Después de un período, la opción puede tomar dos posibles valores, tal como se muestra en la siguiente gráfica:

Capítulo 15 – Black-Scholes

Cu = S∙u − S

Cd = 0

Cu es el valor de la opción en caso de que el precio se mueva al alza desde S hasta u∙S. Por lo tanto u se define como 1+σ. Si la opción termina OTM el precio será cero. La opción puede ser replicada con un portafolio consistente en una posición larga de Δ unidades en el activo subyacente y una posición corta de B unidades en Bonos libres de riesgo. Por lo tanto al inicio el valor de este portafolio será: Δ∙S – B Al vencimiento este portafolio puede tomar cualquiera de los dos valores posibles que se muestran en la gráfica siguiente:

S.u − B(1+r) t

S − B

S.d − B(1+r) t Podemos entonces escribir las siguientes dos ecuaciones: S∙u – S = Δ∙S∙u – B∙(1+r)t

(15.1)

0 = Δ∙S∙d – B(1+r)t

(15.2)

Resolviendo (15.1) y (15.2) obtenemos que  

u 1 ud

Capítulo 15 – Black-Scholes

Este resultado para Δ coincide con el Delta que se obtendrá en el capítulo 16, dedicado a las letras griegas, y es el mismo CS que aparece en la edp de Black-Scholes como se ve en (15.17). Quiere decir que un portafolio de opciones puede replicarse utilizando Bonos libres de riesgo y una posición de Δ unidades en el activo subyacente. Sin embargo ese Δ varía de período en período por lo que la replicación solo será posible si el Δ se está revisando permanentemente, pues este solo es válido para un precio del activo dado; en la medida en que este precio cambie, lo mismo deberá ocurrir con Δ. Si la acción paga un dividendo fijo de X, el árbol es como se muestra a continuación: Δ(u∙S−X) + Δ∙X + B(1+r)t= Δ∙u∙S + B(1+r)t ΔS + B Δ(d∙S−X) + Δ∙X + B(1+r)t = Δ∙d∙S + B(1+r)t

Se debe escoger Δ y B de tal manera que: Δ∙u∙S + B(1+r)t = C(u∙S−X )

(15.3)

Δ∙d∙S + B(1+r)t = C(d∙S−X )

(15.4)

Donde C(u∙S−X ) y C(d∙S−X ) se refieren al valor de la opción un período después cuando el precio sube y cuando baja, respectivamente. Desarrollando para Δ y para B obtenemos: 

C (u  S  X )  C (d  S  X ) (u  d ) S

(15.5)

B

u  C (d  S  X )  d  C (u  S  X ) (u  d )  (1  r )t

(15.6)

15.3 Valoración considerando neutralidad al riesgo Es muy interesante notar cómo en la ecuación de Black-Scholes, que determina el precio de una opción Europea, no interviene ningún factor que establezca el grado de aversión al riesgo del inversionista. En otras palabras, sea el inversionista amante al riesgo o averso a éste, siempre deberá pagar lo mismo por una opción. Antes de pasar a una demostración matemática de porqué el grado de aversión al riesgo no hace parte de la valoración de opciones, comentemos intuitivamente el porqué de esta situación. El hecho importante es que quien compra una opción está conformando un portafolio compuesto por el activo subyacente a la opción y bonos libres de riesgo. Por ejemplo, quien compra una opción Call tiene una posición corta en el activo subyacente y una posición larga en bonos libres de riesgo. Estas posiciones para nada dependen del grado de aversión al riesgo; sea amante o averso

Capítulo 15 – Black-Scholes

al riesgo, siempre que compre una opción Call, sobre acciones por ejemplo, tendrá el mismo portafolio de acciones y bonos libres de riesgo. La demostración matemática la hacemos desde dos orillas distintas. Una, usando un modelo de equilibrio general como el CAPM y la segunda, incluyendo el grado de aversión al riesgo en la edp.

15.3.1 Usando CAPM dSt    dt    dWt St

Recordemos que

Aplicando el Lema de Itô llegamos a la ede que describe la dinámica del precio de una opción: 1   dC  CS    S  Ct   CSS   2  S 2  dt  CS    S  dW 2  

(15.7)

De acuerdo con el método CAPM el retorno esperado de un activo se compone del retorno de una inversión libre de riesgo más el retorno esperado por el riesgo adicional que se está asumiendo.



En general: E dC

  [r    RP ]dt S

(15.8)

Donde: RPS = prima de riesgo del activo subyacente β = sensibilidad del precio de la opción ante cambios en el precio del activo subyacente Este término β puede entenderse como una elasticidad, es decir, cuál es el cambio porcentual en el precio de la opción ante un cambio porcentual en el precio del activo subyacente. Por lo tanto β será: β=

C / C . Usando la notación CS  C / S llegamos a la siguiente expresión para β: S / S

  CS 

S C

(15.9)

Reemplazando (15.9) en (15.8):



E dC

  r  C



S   RPS  dt C 

Ahora dividamos por C en (15.7) a ambos lados:

(15.10)

Capítulo 15 – Black-Scholes

dC  CS C 1 C C       S  t   SS   2  S 2  dt  S    S  dW C C C 2 C C 

(15.11)

Tomando el valor esperado a ambos lados y entendiendo que E[dW] = 0, C 1 C  dC   C  E     S    S  t   SS   2  S 2  dt C 2 C C  C 

(15.12)

Reemplazando el término de la izquierda en (15.12) por (15.10) tenemos que: S Ct 1 CSS 2 2     CS r  CS  C  RPS    C    S  C  2  C    S     

(15.13)

Reorganizando términos: 1 CS    S  Ct   CSS   2  S 2  r  C  CS  S  RPS 2

(15.14)

Por lo tanto: 1 CS  S (  RPS )  Ct   CSS   2  S 2  r  C  0 2

(15.15)

Recuerde que RPS se define como el exceso de rentabilidad del activo subyacente sobre la rentabilidad de los bonos libres de riesgo y por lo tanto RPS = α – r, de donde tenemos que: r = α − RPS

(15.16)

Reemplazando (15.16) en (15.15): CS  S  r  Ct 

1  CSS   2  S 2  r  C  0 2

(15.17)

La ecuación (15.17) es justamente la edp para una opción Call y es la misma ecuación (14.48) del capítulo 141. Observe cómo RPS se anula, haciendo que la edp no dependa del grado de aversión al riesgo.

15.3.2 Incluyendo el grado de aversión al riesgo en la edp En este caso partimos del supuesto de que estamos trabajando con un retorno esperado en el activo subyacente igual a α. p  u  S  (1  p)  d  S  S  e t 1

En efecto, note que σt es igual a σ·St, por lo que σt² = σ²·St²,

Capítulo 15 – Black-Scholes

Donde p es la probabilidad real de que el activo subyacente suba. Resolviendo para p: e t  d El valor del portafolio replicante cuando ha pasado un tiempo t es entonces ud   S  e t  B  er t y por lo tanto el retorno esperado será: p



  S  e t  B  e r t S  B

El valor esperado de una opción Call en el tiempo t será entonces: e t  d u  e t  Cu   Cd ud ud

Cu  p  Cd  (1  p) 

valor

presente

ese

valor

esperado

será:

Reemplazando  por su valor encontrado: PV 

PV 

 1  e t  d u  e t  C   Cd  .  u   ud ud 

 e t  d  S  B u  e t  C   Cd  u  t rt  ud S e  Be  u  d 

Como   S  u  B  er t  Cu

(15.18)

  S  d  B  er t  Cd

(15.19)

Despejando B  er t en (15.18) y (15.19) e igualando: Cu    S  u  Cd    S  d De donde  

Cu  Cd S (u  d )

 PV 

S  B   S  e t  B  e r t

  t Cu  Cd d  Cu u  Cd    e ud u  d u  d  

 PV 

S  B   S  e t  B  er t

d  Cu u  Cd    t   S  e  u  d  u  d   

De (15.3):

S 

Cu  B  e r t u

(15.20)

De (15.4):

S 

Cd  B  e r  t d

(15.21)

Capítulo 15 – Black-Scholes

Igualando (15.20) y (15.21):

d  Cu  u  Cd Cu  B  e r t Cd  B  e r t de donde: B  er t   ud u d





S  B   S  e t  B  er t  PV    S  B que no es más que el valor al   S  e t  B  er t inicio del portafolio replicante. Sabiendo que el valor presente no depende de la tasa real de descuento, para qué preocuparse por obtener la probabilidad real de que el subyacente suba y baje. Puede perfectamente asumirse que estamos en un mundo neutral al riesgo y que la tasa de descuento a utilizar es la tasa libre de riesgo.  PV 

15.4 Lema de Itô y Valoración de Opciones De nuevo asumamos que el precio de una acción sigue un MBG dS    dt    dW S



dS  S (  dt    dW )

Llamemos C(St,t) el valor de la opción. Basados en el lema de Itô podemos expresar C en función de St y t. 1 dC  CS  dS  Ct  dt   CSS   2  S 2  dt 2

(15.22)

1 Sustituyendo dS tenemos: dC  CS  S (  dt    dW )  Ct  dt   CSS   2  S 2  dt 2 dC , es decir, la variación en el precio de la opción ante dS dC cambios en el precio de la acción.  CS . Quiere decir entonces que cuando vendemos una dS opción, cualquier cambio en el precio de la acción dS producirá un cambio en el precio de la opción igual a CS. Si queremos tener un portafolio inmune a cambios en el precio de la acción, debemos tomar una posición en un activo de tal manera que un cambio dS en el precio de la acción produzca un cambio igual a −CS en éste. Dicho activo pueden ser acciones, pero...cuántas? Suponga que Usted compra CS acciones. Su flujo de caja saliente será de dV  CS . Perfecto!!!!!. Tenemos entonces un portafolio compuesto por una V  CS  S y dS posición corta en la opción y una posición larga en C S acciones a un precio S . Adicionalmente,

Ahora concentrémonos en el término

si queremos hacer que no haya intercambio de dinero en t=0, debemos hacer un préstamo por la diferencia en el valor de ambos portafolios, esto es, por CS ∙S−C. Tenemos entonces:

Capítulo 15 – Black-Scholes

Flujo de Caja +C –CS ∙S CS ∙S – C 0

Venda 1 Call Compre CS Capte la diferencia SUMA

Seguidamente podemos expresar el cambio instantáneo en el valor del portafolio dP así: dP   dC   corto CALL

CS  dS  l arg o C S acciones

 r (CS  S  C )dt   préstamo por la diferencia

1    dC  CS    S  Ct   CSS   2  S 2  dt  CS    S  dW 2    CS  dS  CS    S  dt  CS    S  dW

 r (CS  S  C)dt  r (CS  S  C)dt

SUMA = dP 1   Cancelando términos: dP   Ct   CSS   2  S 2  r  C  r  S  CS  dt 2  

Note cómo dP es no-estocástico, es decir, depende totalmente del tiempo. Como lo habíamos mencionado antes, el objetivo del portafolio es hacer dP = 0 1   2 2 Ct  2  CSS    S  r  C  r  S  CS   0  

(15.23)

(15.23) es la ecuación diferencial parcial (edp) para el precio de una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendos. Cualquier expresión para C(S,t) debe satisfacer (15.23). La fórmula de Black-Scholes es justamente una solución a (15.23). Suponga que tenemos la capacidad de “adivinar” la solución a esta ecuación diferencial y que concluimos que C (S , ; K , r , 2 )  S  N (d1 )  K  er N (d 2 )

 K   r  12 

Ln S

Donde: d1 

 

2

 

d 2  d1   

N () es la distribución de probabilidad normal acumulada

Capítulo 15 – Black-Scholes

El apéndice 15.1 muestra que Black-Scholes cumple con la edp.

15.5 Variaciones en Black-Scholes 15.5.1 Dividendo continuo Suponga una acción que paga un dividendo continuo representado como un porcentaje  del precio de la acción. El portafolio libre de riesgo consiste en:

C  CS  S

Venda una Call Compre C S acciones

CS  S  C

Capte la diferencia

dP  dC  CS  dS  CS    S  dt  r (CS  S  C )dt 

(15.24)

dividendo

Retomemos la edp para el precio de una opción: 1    dC  CS    S  Ct   CSS   2  S 2  dt  CS    S  dW 2  

(15.25)

Black-Scholes asume que el precio del activo subyacente sigue un MBG, por lo que su ede está dada por: dSt = α·St dt + σ·St dWt

(15.26)

Esto quiere decir que la expresión CS dS puede escribirse como: CS dS = CS α·St dt + CS σ·St dWt

(15.27)

Reemplazando (15.25) y (15.27) en (15.24), 1   dP  0   CS    S  Ct   CSS   2  S 2  dt  CS    S  dW  CS    S  dt  CS    S  dW  2   CS    S  dt  r (CS  S  C )dt 1 2

Reacomodando términos: Ct   CSS   2  S 2  r  C  CS  S (r   )  0 Solución: C  S  e   N (d1 )  K  e r N (d 2 )

Capítulo 15 – Black-Scholes

 K   (r   )  12 

Ln S d1 

2

 

 

15.5.2 Forward sobre una acción a) Portafolio replicante: Si usted tiene un forward para vender a futuro la acción, tendrá una posición corta en este activo. Para eliminar el riesgo deberá comprar un cierto número de unidades de la acción y para ello deberá captar ese dinero. Llamemos V el valor del forward en cualquier momento. El número de acciones a comprar es igual a VS. Para esto deberá captar un monto igual en pesos igual a: VS.S. Un cambio infinitesimal en el portafolio (dP) será igual a:

dP  

dV 



cambio en el valor del forward

VS  dS  cambio en el valor de la posiciónen acciones

 VS  rd  S  dt  rp  VS  S  dt  0   retornode los dólares

(15.28)

cos to de los pesos

Y como se ve, debe ser igual a cero pues ese es un portafolio con cero riesgo. Por el Lema de Ito sabemos que: dV = VS∙dS + ½∙VSS (dS)² + Vt∙dt

(15.29)

Reemplazando (15.29) en (15.28) llegamos a: −VS ∙dS − ½∙VSS ∙(dS)² − Vt∙dt + VS∙dS + VS∙rd∙S∙dt − VS∙rp∙S∙dt = 0

(15.30)

Sabemos que el valor del forward está dado por: V  F e

rp t

 S  e rd t

(15.31)

De (15.31) podemos obtener: V  e  rd t S

(15.32)

V r t  F  rp  e p  S  rd  e  rd t t

(15.33)

Reemplazando (15.32) y (15.33) en (15.30) llegamos a: ( r  r )t

F  S  e p d que es la expresión para el precio forward. Note que VSS es igual a cero pues VS no depende de S.

Capítulo 15 – Black-Scholes

b) Valoración neutral al riesgo El valor del contrato forward V  e  r  “Pay-off esperado” = 0 0  er  [St  e( r  )  F ] 0  St  e   F  e r  F  St  e( r  )

c) Aproximación por Black-Scholes Definamos V(St,t) como el valor del contrato

Venda 1 forward Compre VS acciones Compre la diferencia

Flujo de Caja V −S·VS S·VS – V 0

dP  dV  VS  dS  VS    S  dt  r (VS  S  V )dt 1    VS  dS  Vt  dt   VSS   2  S 2  dt  VS  dS  VS    S  dt  r (VS  S  V )dt 2   1 0  Vt   VSS   2  S 2  (r   ) S  VS  rV 2 1 0  Vt   VSS   2  S 2  (r   ) S  VS  rV 2

La condición de borde es: V (ST , T )  ST  F Se puede intentar una solución del estilo: V  S  ea  F  eb ;   T  t Vt  a  S  ea  b  F  eb VS  ea VSS  0 0  [a  S  ea  b  F  eb ]  0  (r   )  S  ea  r (S  ea  F  eb )  S  ea [a  (r   )  r ]  F  eb (b  r )

Quiere decir que la solución propuesta satisface la edp cuando a   y b  r V (S , t )  S  e   F  e r 

Capítulo 15 – Black-Scholes

15.5.3 Opciones Europeas sobre futuros Flujo de Caja

C

Compre una opción Call Venda C F futuros2 Capte la diferencia

C

dP  dC  CF  dF  r  C  dt 1     CF  dF  Ct  dt   CFF   2  F 2  dt   CF  dF  r  C  dt 2   1     Ct   CFF   2  F 2  r  C dt 2  

1 2

0  Ct   CFF   2  F 2  r  C De acuerdo a lo visto hasta el momento es posible intuir una solución a esta edp. Recuerde que:

F  S  e ( r  )

(15.34)

Y que la solución de Black-Scholes para una acción que paga dividendo continuo es: C  S  e   N (d1)  K  er N (d2 )

De (15.34): S  e   F  e r  Esto implica que la solución podría lucir así: C  F  er   N (d1 )  K  er N (d 2 )

 K   r  12 

Ln S

Donde: d1 

 

2

 

d 2  d1   

15.5.4 Opción sobre tasa de cambio Opción para comprar un dólar a un precio de K pesos por dólar. Suponga que la tasa de cambio dE peso/dólar sigue un proceso:    dt    dW E

Recuerde que al inicio el costo de un contrato de futuros es igual a cero

Capítulo 15 – Black-Scholes

Portafolio

Flujo de caja en Pesos

C  CE  E

Venda 1 opción Compre C E dólares Capte en pesos

CE  E  C

dP  dC  E(CE  rd )dt  CE  dE  (CE  E  C )rp  dt

Donde: rp = tasa de interés en pesos rd = tasa de interés en dólares E = tasa de cambio peso/dólar La ecuación diferencial parcial será: 1 0  Ct   CEE  E 2   2  (rp  rd )  CE  E  rp  C 2

Note que esta solución es exactamente igual a la que se obtuvo para una acción que paga un dividendo continuo. En este caso rd   . Por lo tanto podemos decir que la solución de esa edp será: C  E  e rd   N (d1 )  K  e

 K   (r

Ln E

Donde: d1 

 r p 

N (d 2 )

1   rd )   2  2 

 

d 2  d1   

15.6 Interpretación de N(d1) y N(d2) Cuando se trata de opciones sobre tasa de cambio d2 puede ser escrita como 1   Ln S   rp  rd   2  K  2  . La edp que rige el precio del activo está dada por:  t

 

dS ( r  r ½ 2 ) t  t Wt  (rp  rd )dt    dz . La solución de esta edp es: St 1  St  e p d donde la S expresión rp − rd − ½·σ² corresponde al valor esperado del retorno del activo en un mundo neutral al riesgo. El numerador de la expresión para d2 tiene entonces dos componentes: por un lado Ln(S/K) que se refiere al retorno obtenido por ejercer una opción Call Europea a un strike K, si el precio del activo subyacente termina en el nivel actual So. El segundo componente es el valor esperado del retorno del activo subyacente en un mundo neutral al riesgo. Este retorno, por supuesto, se suma al obtenido anteriormente, haciendo que el retorno total esperado sea dicha sumatoria. La gráfica siguiente ilustra este punto:

Capítulo 15 – Black-Scholes

retorno total

En la medida en que So esté más por encima de K o que el valor esperado del retorno sea mayor, la probabilidad de ejercer la opción será mayor y por lo tanto N(d2) será mayor. Así pues, N(d2) corresponde a la probabilidad de que al vencimiento de la opción, el precio del activo subyacente termine por encima del strike K. La división por  t que aparece en d2 simplemente corresponde a la normalización del retorno, es decir, a cuántas volatilidades equivale el retorno total.

Por su parte d1 puede ser escrita como d1  d 2   t . Es importante recordar que a futuro, y considerando que hay incertidumbre, el precio de un activo puede ser representado como un evento binomial, en donde sólo pueden darse dos valores posibles: un valor máximo correspondiente al retorno esperado más una volatilidad y un valor mínimo correspondiente al retorno esperado menos una volatilidad, así: Si d2 corresponde al retorno total esperado, d2 +  t corresponderá entonces al máximo retorno esperado del activo subyacente al vencimiento de la opción. Por lo tanto N(d1) será la probabilidad de que al vencimiento la opción haga un pago que esté entre cero y el E[St+Δt] St máximo valor esperado, que en este caso es E[St+Δt]+  t −K. Como este es el pago que debería hacer el vendedor de la opción, éste E[St+Δt] −σ debería tener una posición en el activo subyacente que le permita estar preparado incluso para cubrir esos eventos de precios extremos. Estar preparado no significa, en el caso de la venta de opciones Call, comprar la totalidad del nominal de la opción, sino el nominal afectado por la probabilidad de ocurrencia de ese peor escenario, en este caso N(d1). N(d1) − N(d2) corresponde entonces a la probabilidad de que el precio del activo subyacente se mueva una vez la volatilidad.

E[St+Δt] +σ

Capítulo 15 – Black-Scholes

Ejercicios: 1. Usted trabaja para una entidad financiera y quiere comprar una opción Call Europea a 90 días de plazo con un strike de 100, pero no encuentra a alguien que se la pueda vender. Sin embargo, Usted sabe que puede sintetizar la opción, es decir, replicarla tomando una posición en cada uno de sus componentes. La tasa de interés es del 9% a 90 días de plazo. La opción es ATM. La volatilidad del activo es del 10% anual. Qué posición (larga o corta y monto) deberá tomar, tanto en el activo subyacente como en bonos libres de riesgo?. A continuación se dan algunos valores para la distribución normal estándar acumulativa: Valor Z 0,2578 0,3567 0,4750 0,5465 0,8745

Dist. Normal Estándar Acumulativa 0,6012 0,6393 0,6826 0,7076 0,8091

Capítulo 15 – Black-Scholes

APÉNDICE 15.1 Demostración que Black-Scholes cumple con la edp 1 La edp está dada por: Ct  Css 2 S 2  r  C  r  S  Cs  0 2

Y la fórmula B/S es: C  S  N (d1 )  K  e r  N (d 2 )

 T t Por lo tanto: Ct  S  N ' (d1 ) 

d (d1 ) d (d 2 )  r  K  e r N (d 2 )  K  e r  N ' (d 2 )  dt dt d (d 2 ) d (d1 )    dt dt 2 

Como d 2  d1    entonces:

Y así: Ct 





d (d1 )    S  N ' (d1 )  K  e  r  N ' (d 2 )  K  e  r r  N (d 2 )  N ' (d 2 ) dt 2   

En el apéndice (13.1) se demuestra que S  N ' (d1)  K  er  N ' (d 2 )  0    Por lo tanto: Ct   K  e r r  N (d 2 )  N ' (d 2 )  2  

En el apéndice (16.1) también se demuestra que Cs  N (d1) Css  N ' (d1) 

d (d1) dS

y como

d (d1) 1  dS S   

entonces: Css  N ' (d1 ) 

1 S   

Reemplazando en la edp:

   K  e  r r  N (d 2 )  N ' (d 2 ) 2  

Cancelando términos:

 S  1  r  + 2 N ' (d1 )   − r  S  N (d1 )  r  K  e  N (d 2 ) +  r  S  N (d1) =0

Capítulo 15 – Black-Scholes

 K  e  r N ' (d 2 )

 2 

1  S =0 N ' (d1 )  2 

Tomando factor común tenemos:

 2 

S  N ' (d )  K  e 1

 r



N ' (d 2 ) =0

Lo cual es cierto porque S  N ' (d1 )  K  er N ' (d2 )  0

Capítulo 15 – Black-Scholes

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. “Options Markets”. Ed. Prentice Hall. 1985 Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. McDonald, Robert L. “Derivatives Markets”. Editorial Addison Wesley. 2004. Neftci, Salih. “An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives”. Academic Press. Segunda Edición. 2000. Neftci, Salih. “Principles of Financial Engineering”. Elsevier Academic Press. Primera Edición. 2004. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1996.

Capítulo 16 - Griegas

CAPÍTULO 16 Griegas 16.1 Introducción La utilidad o pérdida (P&G) de todo portafolio estará determinada por el cambio en las variables que determinan su valor en cualquier momento del tiempo. Por esto se hace necesario que el manejador de portafolios tenga muy claro cuál es el riesgo al que está expuesto ante movimientos en dichas variables. A cada uno de estos riesgos se les ha asignado un nombre correspondiente a una de las letras griegas. Recordemos la ecuación de Black-Scholes para una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendos: C  So N (d1 )  K  e rt N (d 2 )

(16.1)

Donde: Ln d1  

Ln d2  

  (r   2 / 2)T K 

(16.2)

  (r   2 / 2)T K 

(16.3)

 T

16.2 Delta Delta (Δ) se refiere a la variación del precio de la opción cuando cambia el precio del activo subyacente. Analíticamente:



C S

(16.4)

Delta es pues la pendiente de una tangente a la función del precio de la opción, tal como se muestra en la siguiente figura.

Capítulo 16 - Griegas

Precio de la Opción

3 2 1

Precio del Subyacente De (16.1) tenemos que Δ = N (d1) para una opción Call Europea que no paga dividendo1. Para una opción Put Europea que no paga dividendo, Δ = N (d1) – 1. Para la opción Call, Δ es positivo pues N (d1) siempre es positivo. Esto quiere decir que el tenedor de una opción Call estará largo dólares y para hacer cobertura Δ deberá vender N (d1) unidades del activo subyacente. Así las cosas, si estamos hablando de una acción como el activo subyacente, deberá vender N(d1) acciones, mientras que si estamos hablando de dólares como subyacente deberá vender N (d1) dólares. Para la opción Put, Δ es negativo pues N (d1) < 1 y por lo tanto su tenedor tiene una posición corta en el activo subyacente. Para hacer cobertura Δ su tenedor deberá comprar N(d1) – 1 unidades del activo subyacente en el mercado spot. Para una opción Call Europea sobre una acción que paga un dividendo de q, Delta está dado por:   e qT N (d1 )

Para una opción Put Europea sobre una acción que paga un dividendo de q, Delta está dado por:   e qT N (d1 )  1

Delta para Opciones Call Europeas:

Por favor refiérase al Anexo 16.1 para una demostración de que el Delta de una Call Europea es N(d1)

Capítulo 16 - Griegas

Delta

In the Money

At the Money

Out of the Money

Tiempo al Vencimiento

Quien posee una opción Call está expuesto a riesgo Delta, tal como ya se vio. Quien posea el activo subyacente como acciones o dólares también tiene riesgo Delta, pues cualquier cambio en el precio del activo afecta el valor de su portafolio. Igualmente, quien posea contratos forward también está expuesto a riesgo Delta. En efecto, recuerde que la cotización forward peso/dólar está dada por: F

So (1  rp )t

(16.5)

(1  rd )t

F  1  rp    Por lo tanto el Delta para un forward será:   S  1  rd 

(16.6)

Todo esto quiere decir que la exposición al riesgo Delta en que incurre un comprador de una opción Call puede ser cubierta bien sea con una posición corta en el activo subyacente o vendiendo el activo a futuro vía forwards. El valor de una opción Call tipo Europea en cualquier momento del tiempo, se muestra en la siguiente gráfica: 70

Valor de la Opción

60 50 40 30 20 10 0 0

100

-10

Precio de la acción

120

140

160

180

Observe que esta gráfica muestra el valor que para su tenedor, representa una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendos. Esta es una opción ATM con strike (K) de $100. Para hacer la cobertura Delta habrá que acortarse en un número de acciones igual a N(d1). Si asumimos por ejemplo que la tasa de interés en pesos (rp) es del 9%, σ=14% y t=0,5 años, entonces Delta será igual a 0,6834. La relación entre precio por acción y utilidad para su tenedor de un

Capítulo 16 - Griegas

portafolio compuesto por 0,6834 unidades de la acción se muestra en la siguiente gráfica:

P&G de posición corta en acciones

0 0

100

-20

120

140

160

180

Observe que se trata de una relación lineal. En la medida en que el precio de la acción más baja, mayor será la utilidad para alguien que tiene una posición corta en esta acción. Por el contrario, en la medida en que el precio es mayor que $100, se entra en un área de pérdidas.

-40

Precio de la acción

La siguiente gráfica ilustra la posición larga en opciones Call Europeas, la posición corta en el activo subyacente, en nuestro ejemplo una acción que no paga dividendos y el neto entre ambas. 80

Valor de la Opción Call

Valor Neto del Portafolio

Observe que la línea punteada, que representa los pagos con los que el Valor Neto manejador de portafolios queda luego 40 de hacer la cobertura Delta cuando el 20 precio del activo subyacente es de $100, tiene un mínimo justo cuando el 0 precio de este activo es de $100. Es 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 así porque en ese punto el valor del -20 portafolio no cambia cuando se presentan pequeños cambios en el -40 Precio de la acción precio de la acción, es decir, en ese punto V / S =0. Eso es justamente lo que la cobertura Delta hace, es decir, hacer que el portafolio de opciones tenga la mínima sensibilidad a cambios en el precio del activo subyacente en un precio dado. 60

Pagos de la posición corta en acciones

Si el portafolio está Delta neutral, quiere decir que el precio del subyacente es aquel para el que tenemos el mínimo valor del valor del portafolio, pues en ese punto la pendiente de la tangente es igual a cero, es decir, cambios en el precio del subyacente no producen cambios en el valor del portafolio. Sin embargo qué hay sobre la curvatura de la función?; en otras palabras, aun estando Delta neutral, da igual que la función que relaciona el precio del subyacente y el valor del portafolio sea como se muestra en la gráfica de arriba, o que sea más cerrada (más convexa)?. Este punto se explora en el siguiente numeral. Para estar Delta neutral en una opción deberá entonces calcularse en todo momento la derivada del valor de la opción con respecto al precio del activo subyacente, tal como ya se mostró. Por lo tanto para estar Delta neutral el manejador del portafolio deberá comprar y vender permanentemente unidades del activo subyacente en lo que se conoce como cobertura dinámica.

Capítulo 16 - Griegas

En esa estrategia de cobertura dinámica se incurre en costos que son los que justifican el precio de la opción.

16.3 Efectos de la cobertura Delta sobre el P&G En esta parte del capítulo se analizará el efecto que sobre el P&G tiene el hecho de que el precio del activo subyacente, una acción por ejemplo, cambia y por lo tanto deberá actuarse en el mercado comprando o vendiendo este activo con el fin de mantener el portafolio Delta neutral.

Valor Neto del Portafolio

80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

100

120

140

160

180

Precio de la acción

Partamos de un portafolio compuesto por una posición larga en una opción Call Europea ATM y una posición corta en el activo subyacente que en nuestro caso será una acción que no paga dividendo. El precio actual del activo es $100. En ese momento deberán venderse tantas acciones como ∂C/∂S indique. Para una volatilidad del activo de 15%, una tasa de interés en pesos del 9% y un plazo al vencimiento de la opción de un año, Delta es de 0,7501, las cuales tendrán un valor en el mercado en ese momento igual a 0,7501  $100 = $75,01. Supongamos ahora que el precio de la acción se mueve de $100 a $105, lo cual produce un incremento en el valor del portafolio igual a $0,557, utilidad que se desprende de la utilidad de $3,717 que produce la posición larga en la opción Call y la pérdida de $3,160 por la posición corta en la acción. Ahora bien, si cuando el precio de la acción es de $105 se quiere mantener el portafolio Delta neutral, se recalcula el valor de ∂C/∂S con S igual a $105. En ese momento Delta es igual a 0,8414. Como inicialmente el Delta era 0,7501, quiere decir que deberán comprarse 0,0913 (0,8414−0,7501) acciones de más a un precio de $105 por acción. La siguiente gráfica muestra cómo queda la gráfica de P&G del portafolio contra precio de la acción cuando inicialmente el precio es de $100 y luego cuando pasa a $105.

Capítulo 16 - Griegas

100

Valor Neto del Portafolio

90 80

Cuando S=$100

70 Cuando S=105

60 50 40 30 20 10

Utilidad

0 0

100

120

140

160

180

Precio de la acción

Ahora supongamos que el precio se devuelve de $105 a $100. En $105 teníamos un portafolio compuesto por una posición larga en una opción Call Europea y una posición corta en 0,8414 acciones, las cuales tienen un valor de mercado de $88,347 (0,8414  $105). Cuando el precio baja a $100 la opción representa una pérdida de $3,717 mientras que las acciones representan una utilidad de $4,2070 (0,838  $5), para una utilidad neta de $0,49. Cuando el precio pasó de $100 a $105 y luego se devolvió a $100 la utilidad total fue de $1,047 ($0,49+$0,557). Obsérvese que sin importar si el movimiento en el precio es al alza o a la baja, este portafolio produce utilidad. Esto obedece a que en este ejemplo el portafolio tiene una posición larga en opciones y por lo tanto el Gamma (Г) es positivo, tal como se verá más adelante. Esto puede verificarse en la gráfica, notando que cuando el precio estaba originalmente en $100 y estábamos Delta neutral, cualquier movimiento sobre la curva produce un mayor valor del portafolio. Ahora la pregunta es: qué pasa si somos vendedores de opciones y por lo tanto el Gamma es negativo?. En tal caso el manejador del portafolio está corto en la opción y para cubrir el riesgo Delta deberá estar largo en acciones. Recordemos que inicialmente, cuando el precio es de $100, el Delta de la opción Call es de 0,7501. Quiere decir que deberán comprarse 0,7501 acciones a un precio unitario de $100, lo cual implica un desembolso total de $75,01. El portafolio estará entonces compuesto por una posición corta en una opción Call cuyo valor de mercado es de $11,02 y una posición larga en 0,7501 acciones cuyo valor de mercado es de $75,01. La relación entre el P&G generado por este portafolio y el precio de la acción se muestra en la siguiente gráfica:

Capítulo 16 - Griegas

Precio de la acción

0 0

100

120

140

160

180

Valor Neto del Portafolio

-10 -20 -30 -40 -50 -60 -70

Obsérvese que cuando la opción está ATM y estamos Delta neutral, el valor mínimo del portafolio coincide con el precio de ejercicio. Cualquier movimiento sin importar si es a la izquierda o a la derecha producirá pérdidas en el portafolio. De nuevo asumamos que el precio de la acción sube a $105. En ese momento se hace el rebalanceo para volver a estar Delta neutral, lo cual implica tener una posición larga en 0,8414 acciones. Como ya se habían comprado 0,7501 cuando el precio era de $100, esto implica que deberán comprarse 0,0913 acciones adicionales, a un precio de $100. Así las cosas el portafolio de acciones tendrá un valor de mercado de $73,34 el cual se desprende de una posición larga en acciones por valor de $88,347 y una posición corta en una opción por valor de $15,01. La posición corta en la opción genera una pérdida de $3,9911 mientras que la posición larga en acciones genera una utilidad de 0,7501  $5 = $3,75. Precio de la acción 0

100

120

140

160

180

Valor Neto del Portafolio

-10

pérdida

-20 -30 -40 -50 -60

Cuando S=$100 Cuando S=105

-70 -80 -90 -100

En resumen, si se está Г positivo (compró una opción) y no rebalancea, está esperando que el precio se mueva, no importa en que dirección, y que no regrese a su posición original. Si se está Г negativo (vendió opciones) y no rebalancea, está esperando que el precio regrese a su nivel

Capítulo 16 - Griegas

inicial. Sin embargo dejemos el tema de Gamma para más adelante cuando veamos la sensibilidad del Delta de la opción ante cambios en el precio del activo subyacente.

16.4 Otros ejemplos de cobertura Delta Miremos otros dos ejemplos de cobertura Delta. El primero con la Nota sobre el rendimiento de un fondo accionario que garantiza el capital que se explicó en el capítulo 12 referido a productos especiales con forwards y opciones y el segundo sobre una opción peso/dólar. Para hacer la cobertura dinámica el manejador del portafolio deberá comprar y vender permanentemente unidades del fondo según se lo indique el valor de Delta. Suponga las siguientes características de la Nota: Plazo:

180 días

Valor inicial de La Unidad:

$100

Volatilidad:

23%

Tasa de Interés:

9,0% Delta

Día

Valor de la Unidad (Pesos)



t (Años)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

100 101 102 101 102 103 104 103 102 103 104 105 105 105 106 105 104 106 107 108 110

23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 23.00% 20.00% 20.00% 20.00%

0.500 0.497 0.494 0.492 0.489 0.486 0.483 0.481 0.478 0.475 0.472 0.469 0.467 0.464 0.461 0.458 0.456 0.453 0.450 0.447 0.444

( Unidades del Fondo por opción) 0.64 0.66 0.68 0.66 0.68 0.70 0.72 0.70 0.68 0.70 0.72 0.74 0.74 0.74 0.76 0.74 0.72 0.76 0.81 0.83 0.86

Unidades del Fondo - Delta

Inversión en el Fondo (Pesos)

Compra (+) / Venta (-) de Unidades

38,389,949 39,729,659 41,030,322 39,693,363 41,002,305 42,268,848 43,490,290 42,248,942 40,946,253 42,229,167 43,466,239 44,655,078 44,652,999 44,651,019 45,796,754 44,647,368 43,432,224 45,802,247 48,524,182 49,632,998 51,615,662

3,838,994,933 4,012,695,599 4,185,092,886 4,009,029,711 4,182,235,137 4,353,691,375 4,522,990,135 4,351,641,005 4,176,517,855 4,349,604,227 4,520,488,840 4,688,783,233 4,688,564,879 4,688,357,023 4,854,455,920 4,687,973,599 4,516,951,315 4,855,038,232 5,192,087,426 5,360,363,777 5,677,722,811

0 1,719,809 1,690,169 -1,743,200 1,698,092 1,664,624 1,627,873 -1,663,584 -1,716,894 1,680,450 1,643,121 1,602,804 -2,080 -1,980 1,566,971 -1,585,546 -1,644,445 3,189,499 3,149,992 1,558,114 2,885,082

Costo de la Captación

721,571 747,140 772,216 746,981 772,216 796,881 820,907 797,029 772,204 797,186 821,518 845,135 845,252 845,372 868,358 845,838 822,243 869,617 924,523 947,205

Costo Acumulado

721,571 1,468,711 2,240,927 2,987,907 3,760,123 4,557,004 5,377,911 6,174,940 6,947,144 7,744,330 8,565,847 9,410,982 10,256,234 11,101,606 11,969,965 12,815,802 13,638,046 14,507,663 15,432,186 16,379,391

El costo que se muestra corresponde al pago de intereses por la captación interbancaria para realizar la compra de acciones que garanticen la cobertura Delta. En la tabla de arriba se ha mostrado el costo para los primeros 20 días de vida de la Nota, asumiendo algunos valores del valor de la unidad. La columna “unidades del fondo” se calcula como N(d1)  (Número de Opciones a Comprar). El número de opciones a comprar a su vez se calcula como el monto dedicado a comprar opciones sobre el costo de una opción Call al inicio de la Nota. El portafolio así manejado siempre permanece Delta neutral porque ante cualquier cambio en el precio de la unidad del fondo se cambia el número de unidades a mantener en el fondo para replicar la opción. El mismo tratamiento serviría para manejar un portafolio de opciones sobre tasa de cambio. Supongamos por ejemplo que al inicio se vende una opción Call ATM con un strike de $2.890 a 90 días de plazo y que la tasa de interés libre de riesgo en pesos es del 8%, mientras que la tasa de interés libre de riesgo en dólares es del 4%. La volatilidad anual de la tasa de cambio para

Capítulo 16 - Griegas

nuestro ejemplo es del 20%. El nocional de la opción es de 1 dólar. Cómo hacer la cobertura delta? Día Inicial: En el mismo momento en que se vende la opción, para estar Delta neutral deberán comprarse Δ dólares. Con Δ=0,55 deberán entonces comprarse 55 centavos de dólares, que a un precio de $2.890 por dólar, representan una inversión de $1.601,2. Para comprar estos dólares deberá hacerse una captación a un costo del 8% anual. Así las cosas tenemos un portafolio compuesto por una posición corta en una opción Call, una posición larga en 0,55 dólares y una posición corta en bonos por valor de $1.601,2. Día Uno: Suponga que la tasa de cambio subió a $2.900. El nuevo valor de Δ es de 0,5673. Esto implica que el manejador del portafolio deberá estar comprado en 0,5673 dólares. Desde el día cero su posición era de 0,55 dólares, lo cual quiere decir que necesita comprar 0,017 dólares adicionales (0,5673 – 0,55). Estos dólares tienen un costo de 0,017  2.900 = $50,2. Estos pesos deberán obtenerse de una captación adicional por $50,2. El portafolio está ahora compuesto por una posición corta en una opción Call, una posición larga de 0,5673 dólares y una posición corta de $1.651,4 en bonos. Ese día, la valoración del portafolio arrojará una utilidad de $0,31 calculada así: la posición larga de 0,55 dólares que venía desde el día cero arroja una utilidad por la devaluación del peso igual a 0,55  (2.900 – 2.890) = $5,5. Por su parte la posición corta en la opción representa una pérdida de $4,83 porque al subir la tasa de cambio la opción vale más y como el manejador está corto, esto es un menor valor de su portafolio. Igualmente, la posición corta en bonos representa un pago de intereses durante un día por valor de $0,36. La posición larga en dólares también genera un ingreso por intereses pero para este ejemplo supongamos que es muy pequeño y no afecta considerablemente el resultado. Día dos: Supongamos ahora que la tasa de cambio cae a $2.850. El nuevo valor de delta es de 0,498, lo cual quiere decir que para estar delta neutral el manejador del portafolio deberá vender 0,56730,498 = 0,0693 dólares. La posición larga de 0,5673 dólares que se traía arroja una pérdida de $28,4 calculada como 0,5673  (2.900 – 2.850). La opción, que al final del día uno tenía un valor de $133,16, ahora vale $105,7, lo cual significa una utilidad de $27,4 gracias a la posición corta que se tiene. Finalmente, la posición corta de $1.651,4 en bonos representa un pago de $0,37 por concepto de intereses. Esto quiere decir que el segundo día la pérdida es de $1,37.

16.5 Gamma 16.5.1 Definición Gamma (Г) se refiere a la variación de Delta cuando cambia el precio del activo subyacente. Como se intuye, Gamma es entonces a la segunda derivada del precio de la opción ante cambios en el precio del activo subyacente y es una medida del grado de convexidad. Analíticamente:



  2 C  S S 2

(16.7)

Capítulo 16 - Griegas

Tanto para una opción Call como para una opción Put Europeas sobre una acción que no paga dividendo, tenemos que:



N ' (d1) So  T

Donde: N ' (d1 ) 

(16.8)

1  d12 / 2 e 2

(16.9)

Г siempre va a ser positiva cuando se compran opciones y siempre va a ser negativa cuando se venden opciones. La siguiente gráfica ilustra la relación entre el Gamma del comprador de una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendo, con strike = $100, σ=15%, tasa de interés en pesos = 8% y plazo al vencimiento de 180 días. 0.045 0.040 0.035

Gamma

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0.000 40

100

120

140

160

Precio de la acción

Para una opción Europea, bien sea Call o Put, sobre una acción que paga dividendo, la expresión de Gamma será: 

N ' (d1)e qT So T

(16.10)

La siguiente gráfica muestra cómo sería Gamma para diversos tiempos al vencimiento, según la opción esté In-The-Money, Out-of-The-Money o At-The-Money. Como se ve, cuando la opción está ATM y se acerca al vencimiento el Gamma se vuelve muy grande. Esto no ocurre si la opción está ITM o OTM. Un Gamma tan grande quiere decir que el Delta del portafolio tiene una altísima sensibilidad a los cambios en el precio del activo y que por lo tanto se deberá hacer estar muy pendiente del menor cambio en el precio del activo para hacer rebalancear el portafolio de acuerdo al nuevo Delta.

Capítulo 16 - Griegas

0.14

At-The-Money

Out-of-the-Money

In-The-Money

0.12 0.10

Gamma

0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Tiempo al Vencimiento (Años)

Quien posea o venda opciones va a tener exposición a riesgo Gamma, tal como se ha visto. Sin embargo, a diferencia del riesgo Delta que puede ser cubierto con el activo subyacente o con contratos forward, el riesgo Gamma no puede ser cubierto con este tipo de instrumentos sencillamente porque ni la compra del subyacente ni los forward tienen Gamma. Por lo tanto para neutralizar el riesgo Gamma deberán comprarse instrumentos no lineales como opciones. En efecto, el valor de un portafolio compuesto únicamente por el activo subyacente es So. Delta, la primera derivada, será igual a 1 mientras que Gamma, la segunda derivada, será igual a cero. Igualmente habíamos visto que Delta para un forward sobre tipo de cambio peso/dólar está dado por: 

F  1  rp    S  1  rd 

(16.11)

Delta no depende de S y por lo tanto la derivada será cero. Quiere esto decir que la única manera de hacer cobertura Gamma será a través de instrumentos financieros que posean Gamma, por ejemplo, otra posición en opciones. Esta es justamente la razón por la que es difícil alcanzar un desarrollo temprano en el mercado de opciones. No basta con tener el conocimiento y la técnica desarrollada por una entidad financiera para ingresar en este mercado. De hacerlo de manera solitaria estaría acumulando riesgo Gamma cada vez que vende opciones. Para contra-restar este riesgo deberá encontrar a alguien que le venda opciones. Para aliviar el costo de tener que comprar opciones, las cuales en un mercado en desarrollo pueden ser costosas, podrá comprarlas muy OTM, las cuales tienen un precio bajo pero protegen a la entidad ante eventos extremos en el precio del subyacente. Δ y Г se utilizan como aproximaciones al precio real de una opción. Cuando las variaciones en el precio del activo subyacente son muy pequeñas, Δ puede ser suficiente para determinar el precio de la opción, del mismo modo en que el precio de un bono puede ser replicado solo con Duración cuando los cambios en la tasa de interés son pequeños. Sin embargo, cuando las variaciones en el

Capítulo 16 - Griegas

precio del activo subyacente son grandes, aproximaciones de orden 2 (segunda derivada o Г) o superiores se hacen necesarias para obtener el precio de la opción, del mismo modo en que cuando hablábamos de bonos necesitábamos recurrir a calcular la convexidad. Esto se ilustra mejor en la gráfica siguiente:

b2 b1

Si el precio del activo se mueve desde a hasta x, Δ estaría proyectando una variación en el precio de la opción igual a b1. Sin embargo, el cambio real en el valor de la opción fue de b1+b2. Si introducimos una variación de orden mayor que uno, tal como Gamma, nos estaremos aproximando cada vez más al valor real de la opción.

Las series de expansión de Taylor son la a x S herramienta matemática para determinar el cambio de una variable en términos de las derivadas de distinto orden de sus componentes. La expresión general para las series de Taylor es: f ( x)  f (a)  f ' (a)(x  a) 

f ' ' (a)(x  a) 2 f ( n 1) (a)(x  a)( n 1)  ...   Rn 2! (n  1)!

Si lo que se quiere obtener es la variación del precio, debemos entonces determinar el valor de f ( x)  f ( a )

16.5.2 Convexidad (Gamma) y el cambio en el precio de una opción

V

a’ S

Esta gráfica muestra el cambio en el valor de un portafolio compuesto por una posición larga en opciones y una posición corta en el activo subyacente, que para el caso puede ser una acción que no paga dividendo. Digamos que la convexidad de este portafolio es muy alta, tal como se observa en la gráfica. En So está Delta neutral y Г es muy grande por lo que si el spot se mueve, el poseedor de este portafolio siempre va a ganar de manera importante.

Capítulo 16 - Griegas

V

a’ S

Esta gráfica muestra la relación entre el precio de una acción y el cambio en el valor de un portafolio compuesto igualmente por una posición larga en opciones y una posición corta en acciones, pero menos convexo que el anterior. En So está Delta neutral y Г es positivo pero pequeño, por lo que si el spot se mueve, el poseedor de este portafolio siempre va a ganar pero no tanto como en el caso de la gráfica de encima, que es más convexa.

Como se ve, Г va a determinar el P&G del portafolio. La pérdida es limitada y la ganancia ilimitada porque Gamma es positivo en ambos casos. De aquí la ventaja de tener Gamma positivo, pues el área de pérdidas está muy limitada (zona del segmento aa’), mientras que movimientos por fuera del segmento aa’ van a producir utilidad. Para alguien que quiera llegar a ser market-maker de opciones en un mercado en desarrollo resulta más complejo el manejo de Gamma porque al comienzo sólo puede vender opciones ya que seguramente será un mercado ilíquido, al menos mientras pasan varios años y los agentes del mercado se acostumbran a este tipo de instrumentos, y por lo tanto le va a ser muy difícil comprar opciones para alcanzar cobertura Gamma. En la medida en que vende opciones su portafolio va alcanzando un Gamma muy negativo, lo cual quiere decir que su área de utilidades está muy limitada, mientras que variaciones hacia arriba o hacia abajo en el precio del activo subyacente producirán pérdidas importantes. Por esto debe ponerse especial énfasis en el monto que se debe manejar en venta de opciones para no poner en juego toda una institución en caso de que un evento extremo ocurra. Un día como septiembre 11 provocó un salto repentino en la tasa de cambio, subiendo en cuestión de segundos $100 y más. Semejante salto no permite hacer el ajuste progresivo en Delta y todo se vuelve riesgo Gamma, produciendo pérdidas importantes si no se tiene cobertura a este riesgo. Por lo anterior, es recomendable que el manejador de portafolios de opciones haga algunas compras de opciones así sean costosas dada la iliquidez de los mercados. Esto con el fin de involucrarle Gamma positivo a su portafolio. Una forma de disminuir el costo de esas compras es adquiriendo opciones Call y Put OTM. Recuerde que Gamma alcanza un pico cuando el precio del activo se acerca al precio de ejercicio (strike). Las opciones OTM son baratas comparadas con las ATM o las ITM y tienen la ventaja que ante un cambio fuerte en el precio compensa el alto Gamma generado por la venta de opciones porque en ese caso la opción comprada OTM se puede volver ATM, produciendo un Gamma positivo muy grande. Por el contrario las opciones vendidas ATM se volverán ITM o OTM ante cambios fuertes en el precio del activo subyacente. En el neto podrá tenerse un Gamma negativo, pero de una magnitud menor al que se tuviera si no se hubieran comprado opciones. Como se ve, tener Gamma negativo no es bueno, pero sí lo es contar con un Gamma positivo.

Capítulo 16 - Griegas

Finalmente recordemos que para opciones Europeas sobre una acción que no paga dividendos, N ' (d1 ) . Por lo tanto, si lo que se quiere es tener una mayor convexidad o un mayor  So  T Gamma, deberá tenerse una acción con una volatilidad implícita (σ) baja o con un corto tiempo al vencimiento (T) Cuando más alto es Г, más difícil y más frecuente debe ser el rebalanceo.

16.5.3 Formas de Delta y Gamma para posiciones largas y cortas en Call y Put Europeas sobre acciones que no pagan dividendo Г y Δ adquieren esa forma debido a los supuestos de distribución normal en la rentabilidad del activo subyacente. Si la distribución no fuera normal, Г y Δ adquieren una forma distinta. Para Delta: X

Precio del subyacente

Delta - Venta Put

Delta de Venta de una Put

-0.2

Delta - Compra Put

Delta de Compra de una Put

0.0

-0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2

Precio del subyacente

Precio del subyacente Delta de Venta de una Call

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

Precio del subyacente

Delta - Venta Call

Delta de compra de una Call

Delta - Compra Call

1.2

Precio del subyacente

CapĂtulo 16 - Griegas

Precio del subyacente Precio del subyacente KX

Gamma de Venta de una Call

Out of the Money

In the Money

Precio del subyacente

Gamma - Venta Call

Precio del subyacente Precio del subyacente

Gamma - Venta Put

Gamma

Gamma - Compra Gamma de Compra de una Put Call

GammaGamma - Compra Put de Compra de una Put

Para Gamma:

At the Money

Tiempo a la Madurez

K X

Precio del subyacente

Capítulo 16 - Griegas

16.5.4 Manejo de Delta y Gamma en un portafolio de opciones sobre tasa de cambio

Gamma

Gamma (Г) tiene su punto más alto cuando el strike es igual al forward, tal como se ve en la siguiente gráfica:

Forward

Como Г mide el riesgo de rebalanceo, la opción At-The-Money es la más riesgosa desde el punto de vista del rebalanceo. Esto porque como se nota, cuando K coincide con la cotización forward, Г alcanza el punto más alto. Ejemplo: Supongamos que el precio actual del dólar es de $2.305 y que tenemos dos portafolios (A y B), ambos delta neutral. En ese punto igualmente conocemos el valor de Gamma, el cual es de −10.000 para el portafolio A y de −1.000.000 para el portafolio B. Si el precio del dólar sube tres  pesos hasta $2.308, el cambio en el spot ( S ) es de +$3. Como sabemos que   , entonces S tenemos que     S por lo que  =−10.000  3 y −1.000.000  3 para Г de −10.000 y −1.000.000, respectivamente. Es decir, para volver a estar delta neutral, el manejador del portafolio A deberá buscar una posición con un Δ de la misma magnitud y signo contrario, es decir, una posición con un Δ de +30.000. Para esto deberá comprar US$30.000 a un precio de $2.308. Por su parte el manejador del portafolio B deberá buscar una posición con un Δ de +3.000.000. Para esto deberá comprar US$3.000.000 a un precio igualmente de $2.308. Ahora supongamos que el precio del dólar regresó a su nivel inicial, es decir, pasó de $2.308 a $2.305. Para volver a estar Delta neutral el manejador del portafolio A deberá vender US$30.000, esta vez a un spot de $2.305. Por su parte el manejador del portafolio B deberá vender US$3.000.000 igualmente a un spot de $2.305. Durante estas operaciones de compra y venta de dólares cuando el spot pasó de $2.305 a $2.308 y luego retornó a $2.305, el portafolio A habrá incurrido en una pérdida de $3×US$30.000 = $90.000, pues compro dólares a $2.308 y los vendió a $2.305. De manera análoga, el portafolio B habrá perdido $3×US$3.000.000 = $9.000.000

Capítulo 16 - Griegas

Interesantemente, si el spot hubiera bajado de $2.305 a $2.302 y luego hubiera retornado a $2.305, también se hubiera generado una pérdida de la misma magnitud. Esto porque para mantener los portafolios delta neutral, el manejador del portafolio A debió haber vendido US$30.000 a $2.302 y luego, cuando el spot se devolvió a $2.305, comprado US$30.000 a $2.305. Como el lector notará, sin importar hacia dónde se mueve el precio del dólar, siempre se va a producir una pérdida cuando se está Gamma positivo y el precio retorna a su nivel inicial. Si se está Gamma negativo y el precio exhibe el mismo comportamiento aquí mostrado, se hubiera generado una ganancia en lugar de pérdida. Sin embargo, si el precio del dólar en lugar de subir y luego bajar o bajar y luego subir, hubiera mantenido una tendencia (subido durante varios días seguidos o bajado durante varios días seguidos), al estar Gamma negativo se hubiera generado una pérdida. El hecho de subir y luego bajar o bajar y luego subir es lo que comúnmente conocemos como volatilidad. Quiere esto decir que ante escenarios de alta volatilidad es preferible estar Gamma negativo, lo cual quiere decir vender opciones. Como se ve, la pérdida (o ganancia) depende de dos factores: el valor de Gamma y el cambio en el spot. Aquí se genera entonces un dilema para el manejador de portafolios: rebalancear frecuentemente corriendo el riesgo de entrar en pérdidas en caso de que Г sea muy grande, o no rebalancear frecuentemente, permitir que Г crezca y no tener así mucha certeza de cómo se va a afectar el P&G.

16.6 Theta El theta (θ) de un portafolio de derivados es la tasa a la cual cambia el valor del portafolio debido únicamente al paso del tiempo, es decir, dejando todo lo demás constante. También se le conoce como time decay. Partiendo de Black-Scholes tenemos que para una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendo:

 

So N ' (d1 )  rKe  rT N (d 2 ) 2 T

1  e Donde: N ' (d1 )  2

(16.12)

d12 2

Para la opción Put será:

 

So N ' (d1 )  rKe  rT N (d 2 ) 2 T

Para una opción Call Europea sobre una acción que paga un dividendo continuo de δ:

(16.13)

Capítulo 16 - Griegas

 

So N ' (d1 ) e  T   So N (d1 )e  T  rKe  rT N (d 2 ) 2 T

(16.14)

Para una Put:

 

So N ' (d1 ) e  T   So N (d1 )e  T  rKe  rT N (d 2 ) 2 T

(16.15)

Las últimas dos ecuaciones pueden adaptarse para obtener el θ para opciones Europeas sobre tasa de cambio peso/dólar haciendo δ = rd Donde: rd

= tasa de interés en dólares Precio del activo

Theta Compra CALL

Theta siempre será negativa para el tenedor de una opción Call Europea y su punto mínimo se alcanza cuando St = K, es decir, para opciones ATM. En opciones ATM tenemos entonces que el paso del tiempo le resta valor a la opción considerablemente más rápido que si está OTM ó ITM. Adicionalmente, opciones CALL muy ITM se castigan más fuertemente por el paso del tiempo que opciones CALL muy OTM. Opciones Call Europeas ATM con un tiempo de madurez muy corto van a tener un Theta muy negativo, es decir, se van a ver muy afectadas por el paso del tiempo. Opciones a muy largo plazo no se verán muy castigadas por el paso del tiempo sin importar si son ATM, ITM o OTM. Esta última conclusión nos da paso para hablar de la relación existente entre Delta, Gamma y Tetha.

16.7

Relación entre Delta, Gamma y Theta

Retomemos la conclusión que acabamos de obtener: Opciones Call Europeas ATM con un tiempo de madurez muy corto van a tener un Theta muy negativo, es decir, se van a ver muy afectadas por el paso del tiempo. Opciones a muy largo plazo no se verán muy castigadas por el paso del tiempo sin importar si son ATM, ITM o OTM. Observe que esta misma conclusión se obtuvo para

Capítulo 16 - Griegas

el Gamma. Es decir, mientras que cuando se está largo en una opción ATM a muy corto plazo se tiene un Gamma positivo y muy alto, lo cual genera utilidades importantes ante cualquier cambio en el precio del activo subyacente, para ese mismo tipo de opción el Theta es negativo y muy grande, lo cual quiere decir que el paso del tiempo en buena parte compensa la ganancia que se obtiene por Gamma. De hecho lo anterior puede de derivado de la ecuación (15.17) que se refiere a la edp que debe cumplir una opción: θ + r·S·∆ + ½·σ²·S²·Γ = r·C

(16.16)

Si se está Delta neutral, la anterior expresión se convierte en: θ + ½·σ²·S²·Γ = r·C

(16.17)

O escrita de otra manera: θ = r·C – ½·σ²·S²·Γ

(16.18)

Theta Compra PUT

Observe que cuando Gamma se hace muy grande (opción ATM a corto plazo), Theta se mueve proporcionalmente pero con signo cambiado. De nuevo, lo que esto está indicando es que Theta compensa en parte la ganancia obtenida por Gamma.

Precio del activo

Capítulo 16 - Griegas

Tiempo a la madurez

Out-of-the-Money

Theta

In-the-Money At-the-Money

La gráfica siguiente muestra el P&G neto de un portafolio compuesto por una posición larga en una opción Call Europea (convexidad positiva o Gamma positivo) y una posición corta en el activo subyacente, de tal manera que se alcance siempre la cobertura Delta. Lo único que cambia en este caso es el tiempo de la opción; la demás información permanece constante. Observe cómo el simple hecho de que el tiempo pasa va haciendo que este portafolio tenga un menor valor. Por su puesto, mientras más convexo sea el portafolio, es decir, mientras más Gamma tenga, más se verá afectado también por el paso del tiempo.

90 T=0,25

P&G neto del Portafolio

T=1 T=2

T=3

60 50 40 30 20 10 0 0

100

120

140

160

180

Precio de la acción

Retomando la ecuación (17.l6), es importante notar cómo cuando Г = 0 la volatilidad no tiene ningún efecto sobre el precio de la opción. A su vez, cuando a una opción se le quita la volatilidad (σ = 0), nos queda la siguiente ecuación fundamental:

Capítulo 16 - Griegas

C C rS   r  C Esta corresponde a la ecuación fundamental de un forward. Cuando a t S  

Theta( )

Delta ( )

un forward se le quita el Delta queda la ecuación fundamental de una inversión en una moneda: C C  r C   r  t t C 

Theta( )

Integrando en ambos lados:

C

 C   r  t

lo cual implica que Ln(C) = r·t + K en donde al final

tenemos que C = er.t + K. Esto quiere decir que el valor futuro de una posición en una moneda no es más que el capital más los intereses, continuos en este caso, que éste genera.

16.7 Vega El Vega de un portafolio de derivados es la variación de este con respecto a cambios en la volatilidad. En efecto la volatilidad no es constante y al igual que para las tasas de mercado, existe una estructura de volatilidades de mercado, una para cada plazo. En general los plazos cortos tendrán una volatilidad más alta que los plazos largos, debido a que en el largo plazo los movimientos en el precio tienden a compensarse, haciendo más suave la volatilidad. Los cambios en el corto plazo, por el contrario, se magnificarán al poderlos en términos anuales.



C 

(16.19)

Donde: C

= Valor del portafolio de derivados

Partiendo del valor de una opción Europea Call o Put, que no paga dividendos,

  So T N ' (d1 )

(16.20)

Si la acción paga dividendo,   So T N ' (d1 ) e T

(16.21)

Si es una opción peso/dólar, reemplazamos δ por rd.

Vega

Capítulo 16 - Griegas

Precio del Subyacente K

Cuando se está largo en una opción se tiene un Vega positivo y por lo tanto un aumento en la volatilidad producirá un aumento en el valor del portafolio. En este punto la pregunta es entonces cómo producir un aumento en la volatilidad que a su vez aumente el valor del portafolio. Recordemos que a menor plazo mayor volatilidad, por lo que a medida que pasa el tiempo es posible valorar la opción a una volatilidad implícita mayor a la reportada cuando se adquirió. Si la opción está ATM este efecto del cambio en volatilidad sobre el valor del portafolio será mayor que cuando está ITM ó OTM. Gamma y Vega son siempre positivas. Si un portafolio está compuesto sólo por una opción Call, tendrá un Г y ν positivos. Para estar Gamma neutral se deberá aumentar la volatilidad y el plazo al vencimiento; sin embargo, al aumentar el plazo al vencimiento ν se hará todavía más grande. Esto muestra por qué no se puede estar simultáneamente cubierto en Gamma y Vega. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de Vega en la medida que la vida de la opción se reduce, según ésta esté In-The-Money, At-The-Money o Out-of-The-Money. Como se ve, en la medida en que el tiempo al vencimiento se acerca a cero, el Vega de todas las opciones se acerca a cero, lo cual no ocurría con el Gamma, en donde se hacía muy grande para opciones ATM. En realidad existe una relación directa entre el Gamma y el Vega de una opción. Despejando de las ecuaciones (16.8) y (16.17) encontramos que ν=S²·σ·T·Γ. En la medida en que el Gamma de una opción aumenta, lo mismo hace el Vega. Sin embargo, cuando el tiempo se acerca a cero, el término T que multiplica a Gamma hace que el Vega sea cero.

Capítulo 16 - Griegas

At-The-Money

Out-of-the-Money

In-The-Money

Vega

40 30 20 10 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

Tiempo al Vencimiento (Años)

16.8 Rho El Rho (ρ) de un portafolio se refiere a la sensibilidad del mismo con respecto a variaciones en la tasa de interés.



C r

(16.22)

Para una opción Call Europea que no paga dividendo, la expresión para Rho es:

  K  T  e rT N (d 2 )

Rho - Compra de CALL

(16.23)

Precio del Subyacente

K Para una opción Put Europea sobre una acción que no paga dividendo, la expresión para Rho es:

Capítulo 16 - Griegas

   K  T  e rT N (d 2 )

(16.24) Precio del Subyacente

Rho - Comrpra de PUT

Note que si se trata de opciones sobre tasa de cambio, existirán dos Rhos, uno para la tasa de interés en cada una de las dos monedas involucradas. Para una opción sobre la tasa de cambio peso/dólar tendremos que el Rho pesos está dado por (16.23) para una opción Call y por (16.24) para una opción Put. Rho dólares para una opción Call Europea está dado por:

d 

C  T  e  rd T  So  N (d1 ) rd

(16.25)

Y Rho dólares para una opción Put Europea está dado por:

d 

P  T  e  rd T  So  N (d1 ) rd

(16.26)

16.9 Griegas y su efecto sobre el P&G En el capítulo de forwards ya habíamos visto los efectos de las griegas sobre el P&G. Para las opciones también es posible determinar los efectos de estas letras sobre el P&G. Para comenzar, retomemos las series de expansión de Taylor, esta vez para una función con varios parámetros: y(x+єx, z+єz) = y(x,z) +

y y y y 1 2 y 1 2 y 2 + x + z + x  z + R (16.27) (  x ) (z ) 2 + 2 2 x z x z 2 x 2 z

Aplicando esta expresión a una opción que es función del precio del activo subyacente, del tiempo y de la volatilidad, y anulando las derivadas cruzadas, tal como se demostró en el lema de Ito, tenemos:

Capítulo 16 - Griegas

C(S+єS, σ+єσ, t+єt) = C(S,σ,t) +

C C C 1  2C 1  2C 2 + S +  + t + ( ) 2 + (  S )  2 S 2 S t 2  2

1  2C +R 2 t 2

Recordemos que Delta=

(16.28) C C C  2C , Vega= , Theta= y Gamma= 2 . Además, haciendo los S  t S

 2C  2C y iguales a cero y llamando C(S+єS, σ+єσ, t+єt) – C(S,σ,t) el P&G del  2 t 2 portafolio de opciones, tenemos que la expresión (16.28) puede ser escrita como:

términos

P&G = Delta×∆S + Vega×∆σ + Theta×∆t + ½Gamma×(∆S)²

(16.29)

Lo que esto quiere decir es que el P&G de un portafolio de derivados puede separarse en la contribución de Delta, más la contribución de Theta, más la contribución de Vega, más la contribución de Gamma. Para un manejador de un portafolio de estos es muy importante saber de dónde viene su utilidad o su pérdida. La contribución de Delta al P&G se da por la tendencia del activo subyacente; la contribución de Vega se da por los cambios en la volatilidad del activo subyacente; la contribución de Theta será negativa si se está largo en opciones y positiva si se está corto; finalmente, la contribución de Gamma será positiva al P&G si se está largo en opciones y negativa si se está corto.

Capítulo 16 - Griegas

Ejercicios 1. Suponga que el precio actual de un activo que no paga dividendos es de $100. Utilice Black Scholes para calcular el precio de una opción Call ATM a 6 meses de plazo sobre este activo. La volatilidad del activo es del 10% mientras que la tasa de interés es del 6%. Vuelva a utilizar Black Scholes para recalcular el precio de dicha opción asumiendo que el precio del activo subió $1, que la volatilidad subió 0,1% y que ha pasado un día para esta opción. Luego calcule el P&G utilizando la contribución de cada una de las griegas. Compare ambos resultados. 2. Es posible crear una estrategia con opciones donde se esté largo Gamma y corto Vega?. A qué le estaría apostando un trader con esta estrategia? 3. Usted acaba de vender una opción Call ATM sobre una acción que no paga dividendo. El precio de la acción es de $100, la volatilidad de 15%, rp es de 9% y el plazo de la opción es de 180 días. ¿Cómo haría la cobertura DELTA durante los primeros tres días si la tasa interbancaria es del 7% y el precio de la acción tiene el siguiente comportamiento: DÍA

PRECIO

0 1 2 3

100 105 110 107

Capítulo 16 - Griegas

APÉNDICE 16.1 Demostración de que Delta de una Opción Call Europea es: N(d1) El precio de una Opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendo está dado por: C  S  N (d1 )  K  e r  N (d 2 )

Por lo tanto: C d (d1) d (d 2 )  N (d1)  S  N ' (d1)   K  e r  N ' (d 2 )  S dS dS

d (d1) d (d 2 )  dS dS

Tenemos entonces que:



C d (d1)  N (d1)  S  N ' (d1)  K  e r  N ' (d 2 ) S dS



Tratemos de demostrar que S  N ' (d1)  K  er  N ' (d 2 )  0





S Ln   r   2 / 2  K Sabemos que d1   

 

d12 e 2

Y que: N ' (d1) 

2

d 22 e 2 



;

N ' (d 2 ) 

2



Como d2  d1    , entonces N ' (d 2 ) 

1  d12  2d1   2 e 2

2



1   2  2d1  Y por lo tanto: N ' (d 2 )  N ' (d1)  e 2





S Por su parte d1   Ln   r   2 / 2  K



Capítulo 16 - Griegas

2 S Y por lo tanto: ed1   e(r  / 2)  K





1   2  2d1  S r La expresión e 2 será igual a e

Y por lo tanto N ' (d 2 )  N ' (d1) 

S r e K

Y así: S  N ' (d1)  K  er  N ' (d 2 )  0

Capítulo 16 - Griegas

Lecturas Adicionales Hull, John C. 2002. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Quinta Edición. Editorial Prentice Hall. James, Jessica y Nick Webber. 2000. “Interest Rate Modelling”. Editorial John Willey & Sons. Lyuu, Yuh-Dauh. 2002. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. McDonald, Robert L. “Derivatives Markets”. Editorial Addison Wesley. 2004. Neftci, Salih. “Principles of Financial Engineering”. Elsevier Academic Press. Primera Edición. 2004. Tuckman, Bruce. 2002. “Fixed Income Securities: Tools for Today’s Markets”. Editorial John Wiley & Sons, Inc.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

CAPÍTULO 17 Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile) 17.6

Introducción

Es importante recordar que Black-Scholes asume que la volatilidad a cualquier plazo es proporcional a la volatilidad anual y que esta última es constante para cualquier plazo y cualquier precio de ejercicio en un activo determinado:

  T Por ejemplo, la volatilidad mensual se calcula así:

 mensual   anual 

1 12

Así, para una opción cercana al vencimiento, ΔT es muy pequeño y así mismo es la volatilidad. Del mismo modo, en la medida en que la opción se acerca al vencimiento, Г es muy grande.

17.6

Estructura de la volatilidad

Supongamos un portafolio de opciones peso/dólar. De alguna manera el manejador del portafolio debe procurar que la gráfica de Г contra la cotización forward se aplane más (línea continua) y por lo tanto que el máximo riesgo Г sea menor. Para hacer esto debe aumentar la volatilidad   T . Como ΔT no es una variable que controle, entonces debe aumentar la volatilidad a la que está registrando dicha opción. El lector podrá concluir entonces que σ no es constante y que por el contrario, similar a las tasas de interés, tiene un “term structure”. La forma de este “term structure”, sin embargo, es distinta a la de las tasas de interés. Mientras que para éstas últimas la tasa debe ir aumentando con el plazo, la volatilidad va disminuyendo cuando aumenta el plazo.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

Baja Volatilidad

Delta

Alta Volatilidad

K Forward

Baja Volatilidad

Gamma

Alta Volatilidad

K Forward

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)



Existe un razonamiento intuitivo detrás de esta forma de la estructura de volatilidades. Cuando el plazo es muy largo, las desviaciones en el precio tienden a corregirse, haciendo que la volatilidad disminuya. Para plazos cortos, sin embargo, es posible que se presenten desajustes en el precio y el tiempo es muy corto para corregirlos, por lo cual la volatilidad aparece siendo muy alta. Para entender por qué un incremento en la volatilidad suaviza Г, recuerde la expresión para Gamma:

t 

N ' (d1 ) S T

 N ' (d1 ) 1    2 . Note que siempre va a ser negativa, lo que quiere decir   S t  que en la medida en que σ aumente, Γ disminuye.

Quiere decir que

Cuando la volatilidad aumenta Delta se hace menor y Gamma también es menor. De esta forma, al reducir la volatilidad se está consiguiendo el objetivo de disminuir el Gamma del portafolio y con este la necesidad de hacer rebalanceo más seguido.

17.6

Volatilidad implícita

Como ya se dijo, Black-Scholes asume que la volatilidad es la misma para un activo determinado, sin importar el plazo al vencimiento o el precio de ejercicio de la opción. Tampoco puede decirse que los agentes del mercado son fieles seguidores de Black-Scholes sino que cada uno valorará las opciones a su manera hasta formar un precio de mercado que es observable. En lugar de tomar una volatilidad y resolver Black-Scholes para el precio de la opción, lo que se hace es tomar el precio de mercado de la opción y resolver Black-Scholes para la volatilidad. En otras palabras, se determina la volatilidad que haría que el modelo Black-Scholes corresponda con el precio de mercado de la opción. Suponga que el precio de mercado de una opción Call Europea sobre una acción que no paga dividendos es C. La volatilidad implícita es la volatilidad que hace que se cumpla: C  S N (d1 )  Ke  rt N (d 2 )

Donde como siempre: S Ln   (r   2 / 2)t K d1     t

d 2  d1   t

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

17.6

Sonrisa de la Volatilidad (Volatility Smile)

Volatilidad Implícita

Considere varias opciones Call Europeas sobre acciones que no pagan dividendo. Partiendo del precio al que la opción se transa en el mercado y usando Black-Scholes es posible determinar la volatilidad implícita. Si graficáramos los distintos precios de ejercicio de esas opciones contra la volatilidad implícita obtendríamos la siguiente forma:

Precio de Ejercicio

La volatilidad implícita es mínima cuando la opción es ATM y crece cuando se pone OTM ó ITM. Si el precio de mercado coincidiera con el precio que se obtiene utilizando Black-Scholes, no se presenta la forma de “sonrisa en la volatilidad”. Si se quiere que Black-Scholes arroje el mismo precio que el mercado, se deberá ir cambiando la volatilidad y así se irá obteniendo la gráfica de arriba. El hecho de que exista volatility smile no es para nada intuitivo. Lo intuitivo sería suponer que la volatilidad del activo subyacente es una sola, sin importar el precio de ejercicio de la opción1. Esto incluso no es consistente con un mundo en donde no existe arbitraje, la base sobre la que está fundada la teoría de valoración de opciones. Incluso una de las críticas que se le hacen al modelo de Black-Scholes es que la volatilidad sea constante, pero lo que aquí se estaría viendo es que no es así. Dos preguntas saltan a la vista en este momento: la primera, por qué variando el strike cambia la volatilidad2? La segunda pregunta es por qué mientras más ITM ó OUT están las opciones, se transan con una volatilidad implícita más alta?. 1

Chance, Don. “Rethinking Implied Volatility”. Financial Engineering News. Enero 2003

Para reforzar esta pregunta, es claro que la volatilidad del activo dependa de ciertos factores, pero ciertamente el strike al que se vende o compra la opción no es algo que deba afectar la volatilidad del activo, al menos intuitivamente.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

La respuesta a la primera pregunta viene por el lado del procedimiento utilizado para obtener la volatilidad implícita. Se está obligando al modelo Black-Scholes a arrojar como resultado el precio observado en el mercado de la opción; es algo así como: con BS el precio debería ser uno, pero si el mercado dice otra cosa entonces es porque el ajuste deberá venir por la única variable que tiene algo de subjetividad en BS, esto es, la volatilidad3. La respuesta a la segunda pregunta pareciera tener relación con el hecho de que los traders de este tipo de instrumentos le asignan una mayor probabilidad de ocurrencia a eventos extremos de la que la distribución log-normal considera, es decir, los traders asumen que se presenta kurtosis en la distribución de los precios y por lo tanto las colas son más gordas que las arrojadas por una distribución lognormal. En efecto, la distribución log-normal asume que la volatilidad es constante, mientras que, como se ha dicho, el mercado la trata como se variara con el tiempo. Igualmente la volatility smile se ha atribuido al hecho de que se presentan saltos en el precio del subyacente y que por lo tanto la distribución tampoco es lognormal.

σ Implícita

Log-Normal

17.6

Nivel y Simetría de la Volatility Smile (VS)

Es muy importante reconocer que entonces que si BS reflejara el precio real de mercado, no habría VS y la gráfica de precio de ejercicio contra volatilidad implícita sería una línea horizontal. El trader puede en cualquier momento entonces juzgar si en un momento determinado momento la curvatura de la gráfica es muy pronunciada o no. En la gráfica de abajo, considere dos VS, una más acentuada (la línea punteada) que la otra. Mientras más ITM o más OTM estén las opciones, más grande la diferencia entre las dos líneas en el sentido de que para la línea punteada la volatilidad implícita es mayor. El trader podría juzgar que la línea punteada muestra un mercado histérico y que en su criterio no debería ser así y quiere sacar provecho de su visión del mercado. Con la expectativa de que las volatilidades bajen para

En efecto, en el mercado “cash” existe un precio para la tasa de interés y un precio para el activo subyacente. El mercado que marca el precio para la volatilidad es justamente el de opciones, pero es el instrumento que se quiere valorar. 3

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

Volatilidad Implícita

esas opciones ITM ó OTM, va a querer vender tantas como pueda, esperando que el precio caiga si su expectativa es realizada.

Precio de Ejercicio

Volatilidad Implícita

El otro tema tiene que ver con la simetría de la VS. En criterio del trader esta relación puede haber roto la simetría que para él digamos que debería ser mayor. La situación es como la que se presentan en la gráfica de abajo.

Precio de Ejercicio

Supongamos que el ala izquierda de la VS es como se muestra por la línea punteada, mientras que el ala derecha es como aparece dibujada por la línea continua en la gráfica. A criterio del trader, esta relación no debería ser así, sino más bien como se muestra por la línea continua, tanto para el ala izquierda como para el ala derecha. Si la relación es perfectamente simétrica como se muestra en la

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

VS continua, una opción Put ITM debería valer lo mismo que una opción Call OTM. Para entender mejor esto, piense en un forward de venta como el que se muestra en la siguiente gráfica: Pago al vencimiento

El ala izquierda del forward, que se muestra rellena, puede ser replicada como la compra de una opción Put. Por su parte el ala derecha puede ser replicada como la venta de una opción Call. La cotización del forward está por encima del precio spot del activo, por lo que la opción Put estará ITM con respecto al spot mientras que la opción Precio al Call estará OTM igualmente con vencimiento respecto al spot. Como el precio al inicio de un forward es de cero, la composición a través de opciones también tendrá un precio inicial de cero, por lo que en este caso la opción Put se comprará con el producido por la venta de la Call y no sobrará dinero. Si no fuera así, se presentarían oportunidades de arbitraje. Por ejemplo, si el precio de la Put está por debajo del precio de la Call, se podría crear una estrategia de arbitraje comprando la opción Put, vendiendo la Call y haciendo un forward de compra. El strike de las opciones es la tasa a la que se compran dólares a futuro (F). Los pagos al vencimiento serán:

Forward de Compra Compra Put (K = F) Vende Call (K = F) NETO

S<F S−F F–S 0 0

S≥F S–F 0 F–S 0

Al vencimiento los pagos se anulan, pero como si el precio de la Put está por debajo del precio de la Call, se habrá hecho utilidad en el momento inicial con cero riesgo. Lo anterior nos sirve de pie para ilustrar el punto: volviendo sobre la gráfica de volatilidad implícita contra precio de ejercicio, la simetría puede haberse roto en algún momento pero el trader espera que ésta se recupere muy pronto.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

Volatilidad Implícita

Vol Delta-25 PUT Vol Delta-25 CALL 25

50 ATM

Delta

Recuperar la simetría implica que el ala izquierda caiga hasta alcanzar la altura del ala derecha. Como están las cosas, la volatilidad para una opción Put con un Delta-25 es muy alta y su precio será muy alto. Apostarle a que la volatilidad de estas Puts va a bajar implica venderlas mientras se compran Calls con Delta-25. Esa diferencia entre la volatilidad implícita para la Put y para la Call con Delta-25 se conoce como

reversa del riesgo4.

17.6

Modelos GARCH

Hasta el momento hemos utilizado la volatilidad histórica o la volatilidad implícita para estimar el precio de opciones y otros derivados. Sin embargo, en ambos casos la volatilidad es una constante, tal como lo admite BS. Existen modelos que permiten hacer estimaciones de la volatilidad futura, con el fin de ser usada en los modelos de valoración de opciones. Uno de estos métodos es el GARCH5. Un modelo GARCH siempre se expresa en términos de dos parámetros: p y q así:

 t2   o  1 t21   2 t22  .....  p t2 p  1 t21   2 t22  .....  q t2q Donde εt-i representa el retorno del activo subyacente en el período t−i. Como se ve, p representa el número de rezagos en el retorno, mientras que q representa el número de rezagos en la varianza. El modelo GARCH (1,1) es el más utilizado, el cual se representa así:

 t2  o  1 t21  1 t21

(17.1)

El modelo GARCH permite tener una estimación en todo momento de la volatilidad diaria. Por esto entonces deben usarse series de retornos y volatilidades con una frecuencia diaria. El retorno diario (εt-i) se calcula así: t  i 

4 5

Pt i  Pt i 1 Pt i 1

Risk-reversal en la literatura Anglosajona GARCH por sus siglas en ingles de: General Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

Por su parte para calcular la volatilidad de los retornos debemos determinar qué tan atrás nos queremos ir. A este período lo llamamos m, de tal manera que para estimar la última volatilidad vamos a utilizar los m retornos más recientes. Para calcular la volatilidad un período más atrás, quitamos el retorno más reciente y añadimos uno anterior al último usado para la primera volatilidad estimada. En resumen nos vamos moviendo diariamente hacia atrás en bloques de m días para estimar así la volatilidad. Con esta serie de retornos y volatilidades podemos estimar (17.1).  t2 depende pues del retorno anterior, de la volatilidad estimada un período atrás y de un tercer factor que llamaremos volatilidad de largo plazo, el cual está implícito en la constante αo. En realidad αo puede descomponerse en dos términos: la volatilidad de largo plazo (V) y la ponderación que se le da a V (θ1). Así las cosas:

 t2  1V  1 t21  1 t21

(17.2)

Como θ1, α1 y β1 son ponderadores, la suma de los tres debe ser igual a 1:

θ1 + α1 + β1 = 1 El modelo GARCH nos permite pues tener estimaciones de la volatilidad futura día a día. Si 2 queremos estimar la volatilidad k días más adelante debemos obtener el valor esperado de  t k. Despejando en (17.2) tenemos:

E[ t2 k ]  E[1V  1 t2 k 1  1 t2 k 1 ]

Tengamos en cuenta que  t2 k 1  E[ t  k 1   ]2 y como E[ ]  0 , entonces:

 t2 k 1  E[ t2 k 1 ] . Por lo tanto: E[ t2 k ]  1V  1 t2 k 1  1E[ t2 k 1 ]

Repitiendo varias veces este procedimiento y teniendo en cuenta que θ1 = 1 – α1 – β1, tenemos que: E[ t2 k ]  V  (1  1 )k ( t2  V )

(17.3)

Así, si tenemos una opción a la que le faltan 90 días al vencimiento, aplicando (17.3) obtenemos el valor esperado de la varianza durante ese período. Al día siguiente, cuando le falten 89 días al vencimiento, deberá utilizarse la varianza esperada para los próximos 89 días. Como se ve, con (17.3) es posible construir la estructura de volatilidades del mercado, para obtener una gráfica, tal como se hizo para la estructura de tasas del mercado.

Capítulo 17 – Manejo de la Volatilidad en Opciones y la “Sonrisa” de la Volatilidad (Volatility Smile)

Lecturas Adicionales Chance, Don. “Rethinking Implied Volatility”. Financial Engineering News Bulletin. 2003 Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Neftci, Salih. “Principles of Financial Engineering”. Elsevier Academic Press. Primera Edición. 2004.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

CAPÍTULO 18 Árboles Binomiales 18.1

Introducción

Hasta el momento hemos visto una aproximación continua al precio de una opción Call. Otra forma de determinar el precio de una opción es a través de árboles binomiales, que es la forma discreta de hacerlo. Los árboles binomiales son de gran utilidad para resolver el precio de instrumentos financieros con opciones embebidas y para resolver opciones tipo Americano. El procedimiento usado en los árboles binomiales que aquí veremos fue desarrollado por Cox, Ross y Rubinstein en 1979, es decir, posterior a la aparición en 1973 de la célebre fórmula de Black-Scholes.

18.2

Procedimiento

Suponga que partimos del precio inicial de una acción y de la volatilidad esperada. Si el precio inicial So = 100 y la volatilidad anual  = 20%, tendremos que el precio de la acción deberá seguir el siguiente camino en un período de un año. So.u

120

u  (1   )



100

So d  (1   ) 80

So.d

Cuando se asume que la volatilidad es discreta, u = (1+σ t ) y d = (1−σ t ). Igualmente puede asumirse que la volatilidad tiene un comportamiento continuo y por lo tanto esto implica que u  e t mientras que d  e t , según el modelo de Cox, Ross y Rubinstein, el cual se ha constituido en el más usado en la práctica. Este modelo parte de un mundo neutral al riesgo en el cual la rentabilidad esperada del activo subyacente es la tasa libre de riesgo (rf) en caso de que no pague dividendo ó de rf − δ en caso de que pague dividendo, donde δ es el dividendo continuo que paga el activo. El valor esperado del activo un período en el futuro será: p * S  u  (1  p*)  S  d

(18.1)

Por lo tanto (18.1) será igual a la rentabilidad esperada en un mundo neutral al riesgo: p * S  u  (1  p*)  S  d  S  e

( r f  ) t

(18.2)

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

De (18.2) obtenemos: e

p* 

( r f  ) t

d

(18.3)

ud

Esta es la expresión para la probabilidad neutral al riesgo cuando el activo paga dividendo. Finalmente, recordemos que el incremento en el precio un período después corresponde al valor esperado más la volatilidad, mientras que la caída en el precio corresponde al valor esperado menos la volatilidad. La diferencia entre el precio en la posición superior y el precio en la posición inferior es de 2∙σ. La gráfica ilustra esto:

u.St +σ E[St+Δt]

−σ d.St Quiere entonces decir que

u  e 2 d

t

(18.4)

En un mundo neutral al riesgo el valor esperado de un activo es el obtenido con el forward. Para una acción que paga dividendo, el precio justo del forward es: Ft ,t t  St e

( rf  ) t

Quiere decir que en un mundo neutral al riesgo la rentabilidad esperada del activo es la tasa libre de riesgo menos el dividendo continuo (rf − δ). Como es sabido, la volatilidad indica cuánto movernos por encima y por debajo del valor esperado. ( r  ) Si el valor esperado es e f , debemos entonces sumarle y restarle la volatilidad para obtener el cambio hacia arriba (u) y hacia abajo (d) en el precio. u e

( r f  ) t  t

d e

( r f  ) t  t

(18.5) (18.6)

Como se mencionó anteriormente, el modelo más usado es el de Cox, Ross y Rubinstein que hace algunas simplificaciones a (18.5) y (18.6), llegando a las expresiones: u  e

d  e

t

(18.7) (18.8)

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Estas expresiones en general funcionan bien, salvo cuando Δt es muy grande o cuando σ es muy pequeño.

Volviendo a nuestro ejemplo, la siguiente ecuación deberá cumplirse: 120 p * 80  (1  p*) = 100 (1  rf )

Resolviendo para p*: p* 

1  S  rf 2

Podemos generalizar la expresión para p* en caso de períodos menores a un año y con u y d en forma discreta así:

So.(1+)t/360 Donde t es el número de días de cada período

So So.(1)t/360

So  (1   )t / 360  p *  So  (1   )t / 360  (1  p*)  So (1  rf )t / 360

 p* 

(1  r f ) t / 360  (1   ) t / 360

(18.9)

(1   ) t / 360  (1   ) t / 360

Por ejemplo, si r f =10%,  =20% y el período es de seis meses, p* 

(1  10%)180 / 360  (1  20%)180 / 360 (1  20%)180 / 360  (1  20%)180 / 360



p*  76,8%

En cada extremo del árbol al que corresponde un precio de la acción, corresponde también un precio de la opción:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

So.u Cu So C So.d Cd Como se vio anteriormente, una venta de una opción Call puede ser cubierta con una posición larga en un número  de acciones y una posición corta en bonos libres de riesgo. Tendríamos entonces un portafolio compuesto por una posición corta en la opción, una aposición larga en acciones y una posición corta en bonos libres de riesgo. Así las cosas, dicha posición tendrá la siguiente evolución:

.S.u + B.(1+rf ) t/360 .S+B

Donde B es la posición inicial en bonos libres de riesgo Cu    S  u  B  (1  rf )t / 360

(18.10)

Cd    S  d  B  (1  rf )t / 360

(18.11)

C  S  B

(18.12)

.S.d + B.(1+rf ) t/360 El valor del portafolio al final del período 1, en caso de un incremento en el precio de la acción, deberá ser cero para evitar relaciones de arbitraje. Del mismo modo, el valor del portafolio al final del período 1, en caso de una caída en el precio de la acción, deberá también ser igual a cero.   S  u  B  (1  rf )t / 360  Cu  0

(18.13)

  S  d  B  (1  rf )

(18.14)

t / 360

 Cd  0

Despejando B  (1  rf )t / 360 en (18.13) y (18.14) e igualando:   S  u  Cu    S  d  Cd





Cu  Cd S u  S d

(18.15)

La expresión (18.15) corresponde a un activo que no paga dividendos. La expresión que generaliza Δ, incluyendo el dividendo es:   e  t

Cu  Cd S u  S d

(18.16)

 es el número de acciones a comprar en t=0 para garantizar que el valor del portafolio en t=1 es cero, sin importar la evolución del precio de la acción.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Recordemos que C    S  B



C  S

Δ entonces también es entendida como la variación en el precio de la opción ante cambios en el precio de la acción. Por su parte la expresión que muestra la posición a tomar en bonos libres de riesgo (B) es: Be

18.3

rf t

u  Cd  d  Cu ud

(18.17)

Árboles Binomiales cuando la acción paga dividendos

La mejor forma de entender el tratamiento que se le da al dividendo es considerarlo una reducción en el precio de la acción igual al valor del dividendo luego de pagado éste. El porqué de esto es como sigue: piense que el precio de una acción corresponde al valor presente de todos los dividendos futuros que dicha acción va a pagar (modelo de Gordon). Un instante antes de pagar el próximo dividendo, dicho pago estará sumando al valor presente; sin embargo, un instante después de pagarse éste, ya no cuenta más dentro del cálculo del precio y por lo tanto éste se cae. El pago del dividendo puede ser de dos maneras. i) como un pago fijo de X en un momento determinado. ii) como un porcentaje del precio. Comencemos analizando cómo serían los árboles cuando el dividendo es un pago fijo X. Suponga un árbol de dos pasos, donde al final del período 1 se paga un dividendo de X.

u∙So−X So

u²∙So − u∙X u∙d∙So − d∙X u∙d∙So − u∙X

d∙So−X d²∙So − d∙X Como se ve, al final del período 1 el precio va a ser el que se tendría cuando la acción no paga dividendos (u∙So ó d∙So) menos el pago del dividendo. Cuando el precio sube en el primer período, éste será de So∙u−X. Luego puede subir a u∙(So∙u−X) o bajar a d∙(So∙u−X). Si el precio bajó en el primer período, éste será de So∙d−X para luego tener dos alternativas: i) subir a u∙(So∙d−X) o bajar a d∙(So∙d−X). Observe que este árbol no recombina, es decir, en el nodo que aparece encerrado en forma punteada los dos valores coinciden; sin embargo en este son distintos, lo cual quiere decir que el número de nodos va aumentando en la proporción 2n donde n es el número del período en que estamos ubicados.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Ejemplo 1: ¿Cuál será el precio de una opción Call Europea para comprar una acción dentro de dos años a $40 si el precio actual es $100, u=1,5 y d=0,5. Construya un árbol de dos períodos (anual). La tasa de interés es del 10% y la acción paga un dividendo de $20 al final del período 1. El árbol del precio de la acción sería así:

150 120−20=100 80

50 30

40−20=20 10 Ahora calculemos p*: p* 

(1  r )  d 1,1  0,5   0,6 ud 1,5  0,5

El siguiente árbol muestra el precio de la acción y debajo el cálculo del valor de la opción Call Europea.

80 C=[0,6×63,63]/1,1 C=34,70

120−20=100 Cu=[0,6×110+0,4×10]/1,1 Cu=63,63 40−20=20 Cd=[0,6×0+0,4×0]/1,1 Cd=0

150 Cuu = Max[150−40;0]=110 50 Cud(1) = Max[50−40;0]=10 30 Cud(2) = Max[30−40;0]=0 10 Cdd = Max[10−40;0]=0

Ahora miremos el caso cuando el dividendo se paga como porcentaje del precio. Este dividendo puede ser pagado en una fecha específica o en varias a lo largo del árbol binomial. El árbol binomial para este caso tiene la gran ventaja de que recombina, cosa que no ocurre para árboles binomiales cuando el dividendo conocido es un monto fijo en pesos, tal como se acabó de ver.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

∙S ∙u ∙(1−δ) o

∙ So∙u

∙

∙S ∙u²∙(1−δ) o

So∙u∙(1−δ)

∙S ∙(1−δ)

So∙(1−δ)

∙

So∙d

∙

So∙u³∙(1−δ)

So∙u²∙(1−δ)

∙ ∙

So∙d∙(1−δ)

∙S ∙d²∙(1−δ)

So∙d²∙(1−δ)

Fecha de pago de dividendos

∙

So∙d³∙(1−δ)

∙S ∙d ∙(1−δ) o

Donde δ corresponde al dividendo como porcentaje del precio. En la gráfica de arriba, el dividendo es pagado solo en una fecha. Es posible que se tengan varios pagos de dividendo y el tratamiento sería exactamente el mismo.

18.4 Árboles Binomiales para tasas de cambio Suponga que queremos construir un árbol binomial para la tasa de cambio peso/dólar. La forma de construirlo es la misma utilizada para una acción que paga dividendos, donde la tasa de interés foránea equivale al dividendo. Lo anterior implica que la probabilidad neutral al riesgo será: e

p* 

( rp rd ) t

d

ud

(18.18)

Donde: rp = Tasa de interés local (en este caso en pesos) rd = Tasa de interés foránea (en este caso en dólares) Por su parte las expresiones para u y d serán: u e

( rp rd ) t  t

d e

( rp rd ) t  t

(18.19) (18.20)

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor de una opción Put Europea a un año de plazo para comprar dólares a $2.450 si actualmente el spot peso/dólar está en $2.390?. Asuma que la volatilidad del dólar es del 15%. La tasa de interés en pesos es del 9,5% y la de dólares del 4%. Construyamos un árbol con pasos trimestrales. calculemos los valores de p*, u y d.

u  e(9,5%4%)0, 2515%

0, 25

= 1,0928

d  e(9,5%4%)0, 2515%

0, 25

= 0,9406

p* 

Esto implica que Δt=0,25.

Seguidamente

e (9,5%4%)0, 25  0,9406 = 0,4813 1,0928  0,9406

A continuación se presenta el árbol. Cada nodo muestra en la parte superior la tasa de cambio peso/dólar y en la parte inferior el valor de la opción. 3.408,6 0 3.119,1 0 2.933,8 0

2.854,2 0 2.684,6 0

2.611,8 35,9

2.525,1 0

2.456,6 70,98

2.390 105,7 2.248,0 175,4

2.310,7 140,1 2.114,4 280,4

2.173,4 276,6

1.988,8 423,5 1.870,7 579,3

El valor de la opción sería pues de $105,7.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

18.5 Cálculo de la volatilidad histórica En el cálculo de u y d puede usarse la volatilidad histórica del activo subyacente. La forma del cálculo es como sigue: Suponga que se tienen datos del precio del activo con una frecuencia semanal. Al hacer el Ln(St/St−1) se obtiene el cambio porcentual semanal del precio. A esa serie de logaritmos se le calcula la desviación estándar y se obtiene así la desviación estándar de los retornos con una frecuencia semanal. La función de Excel para la desviación estándar es =desvest. Como en la valoración de opciones se utiliza la desviación estándar en forma anual, en nuestro caso de datos semanales diríamos que σanual = σsemanal× 52 donde 52 significa el número de semanas en un año. En forma genérica podríamos decir que σanual = σperíodo× n donde n es el número de períodos para los cuales se calculó la volatilidad en un año. La siguiente tabla resume cómo se haría el cálculo de la volatilidad

18.6 Árboles Binomiales con varios períodos Hasta ahora hemos visto cómo usar los árboles binomiales para un solo período. Ahora miremos cómo se puede extender dicho análisis a varios períodos. El árbol binomial tendría la siguiente forma:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

So.u.u Cuu

p * Cuu  (1  p*)  Cud con p* calculado de la misma forma en que lo hicimos para un período. El valor en t=1 de dicho valor esperado es:

So.u Cu So.u.d Cud

So C

El valor esperado de la opción entre Cuu y Cud es:

p * Cuu  (1  p*)  Cud al cual llamamos Cu . (1  rf )t / 360

Por su parte el valor esperado de la opción entre Cud y Cdd es:

So.d Cd So.d.d Cdd

p * Cud  (1  p*)  Cdd . esperado es:

El valor en t=1 de dicho valor

p * Cud  (1  p*)  Cdd , al cual llamamos Cd . (1  rf )t / 360

A su vez, el valor esperado de la opción en t=1, es decir, el valor esperado entre Cu y Cd es: p * Cu  (1  p*)  Cd y su valor presente será:

p * Cu  (1  p*)  Cd , al que llamamos C. (1  rf )t / 360

Reemplazando Cu y Cd:  p * Cuu  (1  p*)  Cud      (1  p*)   p * Cud  (1  p*)  Cdd  p *      (1  rf )t / 360 (1  rf )t / 360     C (1  rf )t / 360

Reacomodando términos: C 

p 2  Cuu  2 p  (1  p)  Cud  (1  p) 2  C dd

(1  r

) t / 360



(18.21)

Cuando el precio de la acción se mueve de S a S∙u entre t=0 y t=1, debemos reacomodar el portafolio para que tenga un valor de cero en t=2, independientemente del cambio en el precio de la acción. En efecto, en ese punto estaremos cortos en la opción, la cual tendrá un precio igual a Cu, largos en Δu acciones, cada una a un precio de S∙u y cortos en B2. Como el valor de ese portafolio en t=2 deber ser igual a cero, no importa hacia donde se mueve el precio de la acción, esto implica:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

 Cuu   u  S  u 2  B2  (1  r f ) t / 360  0

(18.22)

 Cud   u  S  u  d  B2  (1  r f ) t / 360  0

(18.23)

Despejando B2  (1  r f ) t / 360 en ambas ecuaciones e igualando: u 

Cuu  Cud S  u (u  d )

(18.24)

Igualmente, si entre t=0 y t=1 el precio se movió de S a dS, en ese punto deberemos reacomodar el portafolio si queremos que éste tenga un valor de cero en t=0 sin importar hacia donde se muevan los precios. Así:  Cud   d  S  d  u  B2  (1  r f ) t / 360  0

(18.25)

 C dd   d  S  d 2  B2  (1  r f ) t / 360  0

(18.26)

Igualando (18.25) y (18.26):  d 

Cud  Cdd S  d (u  d )

(18.27)

Ejemplo 2: Imagine un bono que paga tasa flotante y que se convierte en un bono tasa fija por lo que resta hasta la madurez si la tasa de interés es igual o superior al 7,5%. Miremos las condiciones del bono: Madurez: Cupón:

3 años Tasa de 6 meses + 0,50% pagadero cada 6 meses. Si la tasa de interés alcanza el 7,50% en una fecha de reprecio del bono, el bono se convertirá en tasa fija con un cupón del 7,50%, pagable cada 6 meses.

Asumiendo que la estructura de tasas del mercado es plana y que la desviación estándar anualizada de la tasa de interés es del 1%, cuál es el precio de este bono si actualmente la tasa de interés es del 3,99%. Supongamos que la evolución de las tasas de interés puede ser modelada a través del siguiente árbol binomial:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

14.72%

12.48%

10.47% 10.30% 8.28% 8.15% 6.30%

6.13% 6.05% 4.15% 4.03%

3.99%

2.21% 2.05%

1.97%

0.11% -0.01% -1.79%

-1.95% -3.85%

-5.79%

Note cómo sólo se ha modelado la tasa de interés durante dos años y medio, pues el valor de la misma dentro de tres años es irrelevante para el precio del bono, ya que tanto el cupón como la tasa de descuento se calculan con base en la tasa de interés vigente en 2,5 años. La evolución del pago del cupón será:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

7.5%

7.5% 7.5% 6.30%

6.13%

7.5%

6.05% 4.15% 4.03%

3.99%

2.21% 2.05%

1.97%

0.11% -0.01% -1.79%

-1.95% -3.85%

-5.79%

Este ejemplo ilustra perfectamente la manera de utilizar los árboles binomiales para valorar opciones. Como dichas opciones se resuelven de atrás hacia delante, se asume que llegan al vencimiento sin vencerse. Siendo así, si al vencimiento la tasa de interés es del 6,30% se asume que llegó hasta ahí sin ejercerse, es decir, nunca tocó el límite de 7,5% y por lo tanto el cupón en ese nodo será de 6,30%. Luego, en los nodos de un período antes al vencimiento se asume que la opción llegó hasta ahí sin ejercerse, por lo que se hace el mismo análisis, comparando contra el valor presente de los pagos un período después. La evolución del precio del bono será:

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Fi,j: 96.64%

100%

95.41%

95.99%

98.59%

100%

98.95% 97.51% 99.49% 98.67% 100% 99.75%

99.29%

100%

99.88%

100% 100% 100% 100% 100%

100%

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Ejercicios: 1. Dada la evolución de la tasa de interés de 180 días mostrada en el siguiente árbol, cuál será el precio de un bono que paga un cupón del 10% anual cada 6 meses y que tiene la opción de ser llamado por el emisor en un año y medio a un precio de $115?.

14.72%

12.48%

10.47% 10.30% 8.28% 8.15% 6.30%

6.13% 6.05% 4.15% 4.03%

3.99%

2.21% 2.05%

1.97%

0.11% -0.01% -1.79%

-1.95% -3.85%

-5.79%

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

2. Cuál es el precio de una opción Put Europea a un año de plazo sobre una acción que no paga dividendo. El actual precio de la acción es de $100, la tasa libre de riesgo del 7% y la volatilidad del precio de la acción es del 13%. Elabore un árbol trimestral. 3. Cuál es el precio de una opción Call Europea a un año de plazo sobre una acción que paga un dividendo del 5% del precio al final del sexto mes. El actual precio de la acción es de $100, la tasa libre de riesgo del 7% y la volatilidad del precio de la acción es del 13%. Elabore un árbol trimestral.

Capítulo 18 – Árboles Binomiales

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. 1985. Options Markets. Ed. Prentice Hall. Hull, John C. 2000. Options, Futures, and Other Derivatives. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall. Lyuu, Yuh-Dauh. 2002. Financial Engineering and Computation. Ed. Cambridge University Press.

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

CAPÍTULO 19 Versión discreta de Black-Scholes 19.1 Distribución Binomial y el Supuesto de Log-Normalidad En este punto es importante retomar algunos conceptos de normalidad que ya antes hemos visto y que van a ser de gran importancia. Como los precios de una acción no pueden ser negativos, optamos por trabajar en términos de logaritmo natural. Así: S  u  S  e t / n  u  e t / n 1 tiempo t. Por lo tanto d  . u

donde n es el número de períodos en que se ha dividido el

* Así como el retorno de una acción está dado por S

donde S * es el valor futuro de la acción,

* cuando se trabaja en logaritmos el retorno estará dado por Ln S  .  S

Si para llegar a S* la evolución del precio fue u·u·d·u·d·d·u entonces: S* = S·u·u·d·u·d·d·u



S*  u u d u  d  d u S

Llamando:



S*  u4  d 3 S



 S*  Ln   4  Ln(u )  3  Ln(d )  S 

j = Número de alzas (n – j) = Número de bajas



 S*  Ln   j  Ln(u )  (n  j )  Ln(d )  S 



* E  Ln S   E ( j )  Ln(u )  n  Ln(d ) d   S 

 S*  Ln   j  Ln(u )  n  Ln(d ) d  S 



* * *   Var  Ln S    Ln S   E  Ln S   S S S          

(19.1) 2

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

* * * *   =  Ln S   2  Ln S   E  Ln S    E  Ln S   = S S S S              2

  S*  Ln S  

   *   u   2  Ln S S    E ( j )  Ln   n  Ln(d )  d        u  E ( j )  Ln d   n  Ln(d )    

  u  u = j 2   Ln   2  j  n  Ln   Ln(d )  n 2  Ln(d )2  d   d 

      u  u u 2   j  Ln   n  Ln(d )   E ( j )  Ln   n  Ln(d )  E ( j ) 2   Ln  d d       d  u 2  n  E ( j )  Ln   Ln(d )  n 2  Ln(d )2 d



Cancelando términos: *   u  Var  Ln S  =  Ln  S       d 

  j  E ( j ) 2

*   u   Var  Ln S  =  Ln    S    d 

 j  E ( j ) 2

y como

= Var(j)

 Var(j)

(19.2)

La evolución de S fue modelada asumiendo que sigue una distribución binomial. Por lo tanto * Ln S  también sigue una distribución binomial. Gracias al Teorema del Límite Central (TLC),  S cuando en una distribución binomial el número de observaciones es lo suficientemente grande, esta * tiende a ser normal. Por lo tanto Ln S  tendrá una distribución normal con media µ·t y  S desviación estándar   t . En efecto, recuerde que: dS    dt    dz S







Ln(S) = µ·t + σ·z + A



S  e  t   z So



dS    dt    dz S



S  e  t   z  A

Ln S     t    z  So 



S  S o  e  t  z

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Como z  t



Ln S    t    t    S o  media desviacion estándar

Una función que sigue una distribución de probabilidad normal se puede estandarizar para obtener una función de probabilidad normal estándar, la cual tiene media cero y desviación estándar de 1. La función de densidad normal estándar está dada por: 1  (1 / 2) x 2 e 2

N´(x) 

(19.3)

La densidad de probabilidad acumulada será entonces: z

N ( z) 

 N´(x)dx

(19.4)



* * Si Ln S  es normal, entonces S es log-normal. S  S lognormalidad son:

   

* Media de Ln S     t  S * Varianza de Ln S    2  t  S S * es asimétrica hacia la derecha S * Probabilidad  S  0   0  S 

La forma de una distribución log-normal es como sigue:

Algunas de las consecuencias de

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

La log-normalidad tendrá las siguientes implicaciones sobre el movimiento de la acción:   

S* > 0 El precio se puede mover hacia arriba sin límite Iguales cambios relativos en S* alrededor de su media son igualmente probables.

19.2 Desarrollo A continuación vamos a obtener la fórmula de Black-Scholes siguiendo una aproximación a través de árboles binomiales. Este es el mismo procedimiento que aparece en Cox y Rubinstein. Suponga que la evolución del precio de una acción puede seguir cualquiera de los caminos mostrados en el siguiente árbol:

t=0

Probabilidad

u3.d

p3(1 - p)

u2 u2.d u u2.d2

p2(1 - p) 2

u.d3

p(1 - p) 3

(1-p) 4

u.d

u.d2

d d2

Donde: p = Probabilidad de que el precio suba de un período a otro (1−p) = Probabilidad de que el precio baje de un período a otro

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

La probabilidad de un determinado camino con j alzas y n−j bajas es: j n j p (1  p)

Donde: n

= Número de períodos en el árbol

Número de caminos con j alzas y n−j bajas: n! j!(n  j )!

Adicionalmente:

 j!(n  j)!  p n!

 (1  p) n  j  1

j 0

Probabilidad de al menos “a” alzas: n n! j n j [a; n, p]    p  (1  p) j  a j!(n  j )!

(19.5)

Consideremos por ejemplo una opción Call tipo Europea, que al final del período t paga a su tenedor Max[ST − K ; 0] donde ST es el precio de la acción al vencimiento. En un árbol binomial, en donde hemos dividido el período t en n sub-períodos, el pago al vencimiento luciría de la siguiente forma:

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

u2.S u.S u.d.S

S d.S

un.S

Call: Max[un.S  K ; 0]

un-1.d.S

Call: Max[un-1.d.S  K ; 0]

  

un-2.d2.S



d2.S

Valor de la opción Call al vencimiento Max[un·S − K ; 0] Max[un−1·d·S − K ; 0] Max[un−2·d²·S − K ; 0]



u2.dn-2.S

Call: Max[u2.dn-2.S  K ; 0]

u.dn-1.S

Call: Max[u.dn-1.S  K ; 0]

dn.S

Call: Max[dn.S  K ; 0]

Probabilidad

Número de caminos posibles

pn p (1−p) pn−2(1−p)2

1 n n! j!(n  j )!



n−1

 Max[u ∙d ∙S − K ; 0]

p (1−p)

Max[u.d n−1∙S − K ; 0] Max[d n∙S − K ; 0]

p(1−p)n−1 (1−p)n

n−2

Call: Max[un-2.d2.S  K ; 0]

n−2

n! j!(n  j )! n 1

El valor esperado de la opción Call al vencimiento será: Cvenc  Max[u n  S  K ;0]  p n  Max[u n 1  d  S  K ;0]  p n 1 (1  p)  n  Max[u n  2  d 2  S  K ;0]  p n  2 (1  p) 2 

Generalizando:

n!  ................... Max[d n  S  K ;0]  (1  p) n j!(n  j )!

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Cvenc. 





  j!(n  j)!  p n!

 (1  p) n j  Max[u j  d n j  S  K ;0]

(19.6)

j 0

Como sólo cuentan los valores de la sumatoria cuando el precio de la acción al vencimiento está por encima de K, pues el resto son cero, nos interesa conocer cuál es el número mínimo de alzas que se requieren en el precio de la acción para que u j·d n– j·S > K. Llamando “a” el menor entero no negativo tal que: u a·d n– a·S > K    Ln K n  S  d  Luego de algún álgebra sencilla se puede demostrar que a  u Ln  d C

venc.







  j!(n  j)!  p n!

 (1  p) n  j  [u j  d n  j  S  K ]

(19.7)

j a

Para obtener el valor presente de la opción Call descontamos el valor al vencimiento por el factor 1 (1  r ) n f

Donde: rf

= Tasa de interés libre de riesgo

 n    j n! u j  d n j  n  j     p  (1  p) C S     j!(n  j )! (1  r f ) n  j  a    n    j n!  n n  j      p  (1  p) K  (1  r f )    j!(n  j )!   j a 



Donde: C

= Valor presente del pago al vencimiento de la opción Call

Generalizando: C  S  [a; n, p' ]  K  (1  r f ) n  [a; n, p]

Donde [a; n, p] es una función de distribución binomial referida a la probabilidad de que la suma de n variables aleatorias, cada una de las cuales puede tomar el valor de 1 con una probabilidad de p

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

ó 0 con una probabilidad de (1−p), sea mayor ó igual a “a”. La suma de esas n variables aleatorias es j. [a; n, p] = P[ j  a]

A su vez P[ j  a] = 1 − P[ j  a] Como “a” se refiere a un número entero, si queremos expresar la probabilidad en términos de ≤ en lugar de < debemos escribirlo así: 1 − P[ j  a] = 1 − P[ j  a  1]



[a; n, p] = 1 − P[ j  a  1]

P[ j  a  1] = 1 − [a; n, p]

Para estandarizar la variable aleatoria j restamos la media y dividimos por la desviación estándar. Miremos ahora cómo determinar esa media y desviación estándar: Si la probabilidad de obtener 1 en un período es p y la probabilidad de obtener 0 es (1−p), entonces E ( j) = [p·1 + (1 – p)·0]·n = n·p Para determinar la varianza en cada período, es importante recordar que en una distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria puede tomar el valor de 1 con una probabilidad p ó 0 con una probabilidad (1 – p). La media o valor esperado en cada período será: p·1 + (1 – p)·0 = p. La varianza será entonces la suma de las desviaciones de los valores posibles, 1 ó 0, con respecto a la media, ponderados por sus respectivas probabilidades  Varianza en cada período = p  (1  p) 2  (1  p)  (0  p) 2  p  (1  p)

Teniendo entonces en cuenta que E ( j ) = n  p 

Var ( j ) = n  p  (1  p)

 j n p a 1  n  p   1 − [a; n, p] = P[ j  a  1] = P   n  p  (1  p)   n  p  (1  p)

j  n p fue generada en un proceso binomial y por el TLC, en la medida en que n   el n  p  (1  p) proceso sigue una distribución normal.

Ya habíamos comprobado que:





* E  Ln S   p  Ln(u )  Ln(d )  n S  d   * 2 Var  Ln S  = p  (1  p)  Ln(d )  n   S 

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

En la medida en que n   , entonces:

  u  p  Ln  d   Ln (d )  n    t    

(19.8)

p  (1  p)  Ln(d ) 2 n   2  t  tn

Como u  e

De (19.8): 2  p  n   



p

* Como S

d e

(19.9)   t

t t    n   t n n

1 1  t    2 2  n

* sigue una distribución log-normal, Ln S  sigue una distribución normal: S  S





* * Ln S  ~ N   t ;  2  t . Por esta condición de log-normalidad E  S  no es e  t sino S    S 2 * 1  t  1 2 t . Por lo tanto, Ln  E  S  =   t    2  t e S  2  

El retorno en cada período de una variable que sigue una distribución binomial será: p  u  (1  p)  d . El retorno compuesto sobre n períodos será entonces:

 p  u  (1  p)  d n , lo cual quiere decir que A su vez sabemos que

p

 *  n E S    p  u  (1  p)  d  S  

(1  rf )t / n  d ud

y despejando (1  r f ) t / n

(1  rf )t / n  p  u  (1  p)  d

  

* * E S   (1  rf )t y por lo tanto Ln  E  S   t  Ln(1  rf )  S    S  1 t  Ln(1  rf )    t    2  t 2 1 2   Ln(1  rf )    2

en esta ecuación:

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Reemplazando µ en p 

1 1 p   2 2

1 1  t tenemos que:    2 2  n

1 Ln(1  rf )    2 t 2 cuando n     n

Volviendo a la expresión para 1  [a; n, p] tenemos que de la fórmula binomial:

  



 Ln K K n S  d      Ln S  n  Ln(d )   a 1  u u Ln  Ln  d  d  que a − 1 sea un entero.

donde  es un número entre 0 y 1 para hacer

Ya hemos visto que la media y la varianza para el retorno continuo y compuesto sobre una acción están dadas por: u d

  p  Ln   Ln(d )



a 1  n  p  n  p  (1  p)



 u   

 2  p  (1  p)   Ln  d



 S    n    Ln du 

Ln K

 n

 

A su vez, sabiendo que Ln S   j  Ln u  n  Ln(d ) , que   p  Ln u  Ln(d ) y que d d  S   *  Ln S   n 2 S   u  j  n p 2     p  (1  p)   Ln   , es posible encontrar que n  p  (1  p)  n  d  *



 

  *   u  K  Ln S S     n Ln S    n    Ln d      1  [a; n, p] = P     n  n      

1   Cuando n   entonces   n    t   Ln(1  r f )    2   t 2  

Igualmente, cuando n  

u Ln   0 d

  n   t

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Reemplazando el valor de   n hallado en la expresión para 1  [a; n, p] ,   K  (1  r f ) t  Ln S 1  [a; n, p]  N ( z)  N    t  

     1     t   2  

Que es justamente el mismo término d1 que aparece en Black-Scholes

19.3 Algunos Cálculos Importantes Usando Árboles Binomiales 19.3.1 Volatilidad y retorno esperado de una opción Llamemos m el retorno esperado de una acción: m  q  u  (1  q)  d Donde: q = Probabilidad real de un incremento en el precio de la acción Desviación estándar del retorno de la acción v  q  (u  m) 2  (1  q)  (d  m) 2



v  (u  d )  q  (1  q)

Por su parte mC , el retorno esperado de una opción: mC 

q  Cu  (1  q)  Cd  C

19.3.2 Delta y elasticidad de la Opción 

Cu  C d S (u  d )

Llamemos  la elasticidad precio de la opción respecto al precio de la acción, es decir, Como  

C S , entonces       S C

Para Calls: 1    0 y   1 Para Puts:  1    0 y   0

C S

C. S

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Así, la volatilidad en el retorno de una opción es: vC 

Cu  Cd 

q  (1  q)



vC    v

Como para una Call   1 , una Call siempre es más riesgosa que una acción

19.3.3 Alfa y Beta para una acción y para una opción Para una acción: De acuerdo con el modelo CAPM m  rf    (mM  rf ) Donde: mM



= Rentabilidad esperada del mercado



m  rf mM  r f

Igualmente, m  r f      (mM  r f )



  m  r f    (mM  r f )

Para una opción: mC  r f   C  (mM  r f )

Así como vC    v , también  C    



mC  r f      (mM  r f )



C     

mC  r f mM  r f

Igualmente, mC  r f   C   C  (mM  r f ) Como  C    



mC  r f   C      (mM  r f )

 C  mC  r f      (mM  r f )  C  mC  r f       m    r f



      m    r f      (mM  r f )

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

 C      mC  r f    m    r f Si llamamos ˆ C  (mC  r f )    (m  r f )



 C      ˆ C . Esto quiere decir que como

  1 , el alfa de una opción Call tiende a ser mayor que el alfa de una acción. El único caso en que

esto no es así es cuando ˆ C es negativo y muy grande. Esto se puede dar si m es considerablemente más grande que mC , lo cual normalmente no debe ser así porque al ser más riesgosa una opción que una acción, el retorno esperado en la opción deberá ser mayor que el retorno esperado de la acción.

Capítulo 19 – Versión Discreta de Black-Scholes

Lecturas Adicionales Cox, John C. y Mark Rubinstein. 1985. Options Markets. Ed. Prentice Hall. Hull, John C. 2002. Options, Futures, and Other Derivatives. Quinta Edición. Editorial Prentice Hall. Lyuu, Yuh-Dauh. 2002. Financial Engineering and Computation. Ed. Cambridge University Press.

Capítulo 20 – Opciones Americanas

CAPÍTULO 20 Opciones Americanas 20.1 Introducción Los árboles binomiales pueden también utilizarse para valorar opciones Americanas. Como las opciones Americanas pueden ejercerse en cualquier momento, la decisión de ejercer se tomará siempre y cuando el valor presente de los flujos esperados si no se ejerce hoy sea menor al pago que dicha opción ofrece hoy. De una opción Americana lo único que se conoce con certeza es el pago al vencimiento, el cual es Max[S*−K ; 0] para una opción Call ó Max[K−S* ; 0] para una Put. Suponga una opción Call Americana cuyo período de vigencia lo hemos dividido en dos. Esta opción puede ser representada mediante un árbol binomial así: 4

u2∙S

Max[u2∙S − K ; 0]

u∙S 5

u∙d∙S

Max[u∙d∙S − K ; 0]

d∙S 3

d 2∙S Max[d 2∙S − K ; 0]

Si la opción no es ejercida sino hasta el vencimiento, el pago será Max[u2∙S−K ; 0] siempre y cuando el precio del activo subyacente (una acción por ejemplo) se ubique en 4; será de Max[u∙d∙S−K ; 0] si en 5 y de Max [d2∙S−K ; 0] si en 6. En 2 el análisis es como sigue: Si la opción es ejercida en 2, el pago será de Max[u∙S − K ; 0]. Si no se ejerce, en el próximo período el precio de la acción se podrá ubicar bien sea en 4 ó en 5. El valor esperado en 2 de los flujos que se obtendrían si la opción se deja un período adicional será:

c2 

p * Max[u 2  S  K ;0]  (1  p*)  Max[u  d  S  K ;0] (1  r )t

Donde: p* = probabilidad neutral al riesgo de que el precio de la acción suba de un período a otro. r = tasa libre de riesgo t = tiempo entre un período y otro

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Si Max[u∙S−K ; 0] > c2 es óptimo ejercer la opción; de otro modo se esperaría hasta el siguiente período. Generalizando, el análisis en cada nodo consiste en comparar el pago si la opción se ejerce en ese punto con el valor presente en cada nodo de los pagos si la opción se asume que se mantiene viva hasta el vencimiento. Ejemplo 1: El precio actual de una acción que no paga dividendo es de $100. La volatilidad anual es del 20%. La tasa libre de riesgo para un año de plazo es del 13%. Construya un árbol binomial con intervalos trimestrales para determinar el precio actual de una opción Put Americana a un año de plazo con un precio de ejercicio de $105. La volatilidad trimestral será:  anual  0,25  20%  1  10% 2 Evolución del precio de la acción: 146,41 133,10 119,79 121 108,90 110 98,01 99

100

89,10

90 81

80,19

72,90 65,61

Para hallar p*:

Capítulo 20 – Opciones Americanas

p*  110  (1  p* )  90  100 (1  13%)0.25



p*  0.6551

Por lo tanto:

0 Max105  133,1 ; 0  0

 0,6551 0  (0,3449)  2,34  Max 105  121;  (1  13%) 0.25    0,78

 0,6551 0,78  0,3449  6,81 Max 105  110;0;  (1  13%) 0.25    2,77  0,6551 2,77  0,3449  15  Max 105  100;   6,78 (1  13%) 0.25  

 0.6551 0  0,3449  6,99  Max 105  108,90;  (1  13%) 0.25    2,34

 0,6551 2,34  0,3449 15,9  Max 99  105;  (1  13%) 0.25    6,81

 0,6551 6,81  0,3449  20,84  Max 105  90;  (1  13%) 0.25    15

105- 98,01=6,99

 0,6551 6,99  (0,3449)  24,81 Max 105  89,1;  (1  13%) 0.25    15,9

 0,6551 15,9  0,3449  32,1 Max 105  81;   20,84 (1  13%) 0.25  

 0,6551 24,81  (0,3449)  39,39  Max 105  72,9;  (1  13%) 0.25    32,1

105- 80,19=24,81

105-65,61=39,39

El valor de la opción Put Americana será de $6,78 Ejemplo 2: ¿Cuál es el valor de una opción Put Americana a un año de plazo para comprar dólares a $2.450 si actualmente el spot peso/dólar está en $2.390?. Asuma que la volatilidad del dólar es del 15%. La tasa de interés en pesos es del 9,5% y la de dólares del 4%. Construyamos un árbol con pasos trimestrales. calculemos los valores de p*, u y d. u  e(9,5%4%)0, 2515%

0, 25

= 1,0928

Esto implica que Δt=0,25.

Seguidamente

Capítulo 20 – Opciones Americanas

d  e(9,5%4%)0, 2515% p* 

0, 25

= 0,9406

e (9,5%4%)0, 25  0,9406 = 0,4813 1,0928  0,9406

A continuación se presenta el árbol. Cada nodo muestra en la parte superior la tasa de cambio peso/dólar y en la parte inferior el valor de la opción. 3.408,6 0 3.119,1 0 2.933,8 0

2.854,2 0 2.684,6 0

2.611,8 35,9

2.525,1 0

2.456,6 70,98

2.390 119,9 2.248,0 203,3

2.310,7 140,1 2.114,4 335,6

2.173,4 276,6

1.988,8 461,2 1.870,7 579,3

El valor de la opción sería pues de $119,9.

20.2 Cuándo ejercer las Opciones Americanas? Aquí se ofrece una perspectiva distinta a la mostrada en el capítulo 11 sobre por qué no es óptimo ejercer opciones Call Americanas antes del vencimiento, siempre y cuando éstas sean sobre un subyacente que no paga dividendos. Igualmente por qué la situación no es tan clara cuando el activo paga dividendos o cuando se trata de opciones Put. Consideremos primero las opciones Call Americanas. Supongamos una opción de este estilo ITM, es decir, el precio de ejercicio está por debajo del precio del activo subyacente, el cual asumiremos que no paga dividendo. Si el precio de ejercicio es de K y el precio actual es de S1, la opción en ese momento paga S1 − K si fuera ejercida. Al ser ejercida, el tenedor de la opción toma una posición

Capítulo 20 – Opciones Americanas

larga en el activo subyacente, el cual tendrá un valor de S2 en el tiempo t2, es decir, al vencimiento de la opción. La comparación de flujos entre quien ejerce la opción antes del vencimiento y quien la ejerce al vencimiento es como se muestra a continuación:

Se ejerce antes del vencimiento:

Se ejerce al vencimiento:

C2=Max[S2 −K;0]

2 C

K t1

t1 t2

La gráfica muestra que quien ejerce la opción en algún momento t1 antes del vencimiento, paga un precio K por dicho activo, el cual no paga dividendo, y a cambio recibe el activo. Como se dijo, este activo al vencimiento tendrá un precio de mercado igual a S2. Si la opción se ejerce al vencimiento, ese día su tenedor recibirá S2 − K si ésta termina ITM o cero en cualquier otro caso. En ambos casos, cuando se ejerce antes y cuando se espera hasta el vencimiento, el comprador de la opción paga un precio C por ella. El valor presente de los flujos que se tienen cuando la opción se ejerce antes del vencimiento es: VP1 = S2∙δ2 − C − K∙δ1

(20.1)

El valor presente de los flujos que se tienen cuando la opción se ejerce al vencimiento es: VP2 = C2∙δ2 − C

(20.2)

Donde:

δi

= Factor de descuento en el tiempo i.

Como los pagos en el tiempo 2 son posteriores a los pagos en el tiempo 1, tenemos siempre que la curva de rendimientos sea plana o monotónicamente creciente:

δ1 > δ2 Haciendo (20.2) − (20.1) tenemos que:

(20.3)

Capítulo 20 – Opciones Americanas

VP2 − VP1 = δ2(C2 − S2) + K∙δ1

(20.4)

Si C2 es igual a 0 es porque K > S2 y por lo tanto (20.4) puede ser escrita como: VP2 − VP1 = K∙δ1−δ2∙S2 y por (20.3) sabemos que esta expresión es mayor que cero. Si C2 es mayor que cero e igual a S2−K entonces (20.4) puede ser escrita como: VP2 − VP1 = K∙(δ1−δ2) y por (20.3) sabemos que esta expresión es mayor que cero. Como se ve, es eficiente esperar hasta el vencimiento para ejercer esta opción Call sobre un activo que no paga dividendo. Pero, ¿Qué tal si se trata de una opción Call Americana para comprar dólares?. ¿Sigue siendo válido que es financieramente eficiente esperar hasta el final para su ejercicio?. En tal caso el dividendo equivale a la tasa de interés en dólares. Así, quien ejerce la opción de comprar un dólar en cualquier momento antes del vencimiento recibirá ese dólar en el momento t1, el cual invertirá a la tasa de interés vigente en ese momento para un período τ = t2 – t1. Esa tasa de interés puede calcularse como la tasa forward vigente para un período τ dentro de t1 años. Llamemos esa tasa forward en dólares (1 f t1* ) 



f t1* . Es fácil de demostrar que:

1*  2*

(20.5)

Donde:

 i*

= Factor de descuento en dólares en el tiempo i.

Los flujos son como se muestra en la siguiente gráfica: Se ejerce antes del vencimiento:

Se ejerce al vencimiento:

S2. (1

C2=Max[S2 −K;0]

* 

 f t1

)

C K

El valor presente de los flujos que se tienen cuando la opción se ejerce antes del vencimiento es: VP1 = S 2 (1 f t1* )   2  K  1  C

(20.6)

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Si al vencimiento la opción termina ITM, el valor presente de los flujos que se tienen cuando la opción se ejerce al vencimiento es: VP2 = S2.δ2 – C – K.δ2

(20.7)

Para que sea óptimo ejercer la opción antes del vencimiento, VP1 deberá ser mayor que VP2. Haciendo (20.6) – (20.7) tenemos que: VP1 – VP2 = S2  (1 ft1* )  2  K  1  (S2  K )   2  0

(20.8)

Sustituyendo (20.5) en (20.8) y luego de algún álgebra, debería cumplirse que: S2

1*   K  K 1  S2 * 2 2

(20.9)

Si llamamos RF la relación de factores de descuento en pesos y RF* la relación de factores de descuento en dólares, tenemos que: S2 RF  1  K RF *  1

(20.10)

La ecuación (20.10) es incierta. Si la opción termina muy ITM y la pendiente de la curva de rendimientos en pesos no está mucho más empinada que la curva de rendimientos en dólares, hubiera sido mejor ejercer la opción antes del vencimiento. Si al vencimiento la opción termina OTM, C2 será igual a cero y la siguiente expresión deberá cumplirse para que hubiera sido mejor ejercer la opción antes del vencimiento: S2 RF  K RF *

(20.11)

S2 < 1. Para determinar si hubiera sido K mejor ejercerla antes del vencimiento, tendríamos que conocer la relación entre RF y RF*. Si la pendiente de la curva de rendimientos en pesos es mayor que la pendiente de la curva de rendimientos en dólares, definitivamente hubiera sido mejor esperar hasta el vencimiento para ejercer la opción.

Si la opción está OTM es porque S2 < K y por lo tanto

Consideremos ahora el caso de una opción Put Americana que termina ITM sobre un activo que no paga dividendo. La gráfica de flujos se muestra a continuación:

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Se ejerce al vencimiento:

Se ejerce antes del vencimiento:

K (1 f t1 )

K − S2

S1 C



VP1 = K 1 f t1

 

 S1  C

VP2 = K∙δ2 − S2∙δ2 − C

(20.12) (20.13)

Haciendo el álgebra necesaria llegamos a que se debe cumplir la siguiente expresión para que sea mejor ejercer la opción antes del vencimiento: K

S1  RF  S 2 RF  1

(20.14)

Note la diferencia entre una opción Call y una opción Put Americana sobre un activo que no paga dividendo. En el primer caso nunca es óptimo ejercer la opción antes del vencimiento mientras que en el segundo caso dependerá del nivel del precio en el momento en que la opción es ejercida (S1). Si decimos que S2 = α∙S1 entonces (20.14) se transforma en: K RF    S1 RF  1

(20.15)

Si la opción se ejerció en el momento 1 fue porque K > S1 y por lo tanto el lado izquierdo de (20.15) será mayor que 1. Si S2 > S1 entonces α será mayor que 1 y el lado derecho de (20.15) será menor que uno por lo que definitivamente fue mejor ejercer la opción antes del vencimiento. Si S2 < S1 entonces α será menor que 1 y el lado derecho de (20.15) será mayor que uno por lo que para determinar si hubiera sido mejor ejercer la opción antes del vencimiento tendría que conocerse además la relación entre K y S1, algo que por supuesto no puede saberse a-priori.

20.3

Una Aproximación Analítica al Precio de las Opciones Americanas

Barone-Adesi y Whaley desarrollaron un modelo que es una aproximación cuadrática al precio de una opción Americana. Este modelo arroja como resultado el valor de una opción Europea más una prima por la opción de ejercicio temprano que tienen las Americanas.

Capítulo 20 – Opciones Americanas

De acuerdo con esta metodología, el valor de una Call Americana Ct está dado por: S  Ct  ct  A2  *t  S 

Siempre y cuando St < S*

(20.16)

Si St ≥ S* el valor de Ct será St – K

(20.17)

Donde: ct = Precio de una opción Europea





A2 

S * 1  e (T  t ) N [d1 ( S * )] q2

q2 

1  n  (n  1) 2  4k 2

con n 

2(r   )



k

2r  (1  e  r (T  t ) ) 2

N[d1(S*)] = Distribución Normal Estándar acumulativa como la calculada en Black-Scholes (BS) para una opción Europea, siendo una función de S*. El valor de S* es aquel para el cual: S* – K = ct(S*,K,T – t) + {1 – e–δ (T – t)N[d1(S*)]}∙[S*/q2]

(20.18)

Para resolver esto, debemos utilizar un método de optimización como puede ser Newton-Raphson. En Excel, la función buscar objetivo nos permite hacerlo directamente. Por ejemplo, encontremos el valor de una opción Call Americana ATM a 90 días de plazo sobre una acción que paga un dividendo del 2%. El actual precio de esta acción es de $100, la volatilidad es del 9% y la tasa de interés es del 7%. En este caso St = $100, K = $100, r = 7%, δ = 2%, σ = 9% y T – t = 0,25 Si fuera una opción Europea, podemos utilizar BS para obtener: ct = St∙e–δ(T – t)∙N(d1) – K∙e–r(T – t)∙N(d2) d1 

(20.19)

Ln( St / K )  (r    0,5 2 )(T  t )  T t

Llegamos entonces a que ct = $2,46 con N(d1) = 0,6180. Por su parte N[d1(S*)] = 1. La expresión para ct(S*,K,T – t) es igual a (20.18) pero con S* en lugar de St. ct(S*,K,T – t) = S*∙e–δ(T – t)∙N[d1(S*)] – K∙e–r(T – t)∙N[d2(S*)]

(20.20)

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Si empezamos con un valor de S* de 190, tenemos que: n = [2(0,07 – 0,02)]/0,092 = 12,35 q2 

k = [2×0,07]/[0,092(1 – e–r(T – t))] = 996,32.

1  12,35  (12,35  1) 2  4  996,32 = 26,40. 2

Remplazando en (20.18) tenemos: 190 – 100 = 4,68 + [1 – e–0,02×0,25×1,0]∙[190 / 26,40] Ciertamente esta igualdad no se cumple. Aplicando la función buscar objetivo obtenemos que S*=180,68 con lo cual el valor de A2 es: A2 





180,68 1  e0,020, 25 1 = 0,034 26,40

Por lo tanto la opción Call Americana tiene un valor igual al de la Call Europea. Para las Put la expresión es:  S  Pt  pt  A1  *t*  S 

siempre y cuando St > S**

Pt = K – St si St ≤ S**

(20.21) (20.22)

Donde: A1 





S ** 1  e (T  t ) N [d1 ( S ** )] q1

1  n  (n  1) 2  4k q1  2

Con n y k igual que como se calcularon para las Call. Para las Put, el valor crítico de S** será aquel que haga cumplir: K – S** = pt(S**,K,T – t) + {1 – e–δ (T – t)N[–d1(S**)]}∙[S**/q1]

(20.23)

Las expresiones (20.16) y (20.21) pueden utilizarse para calcular las griegas en las opciones Americanas. Por ejemplo, delta para la Call Americana corresponde a ∂Ct/∂St. Derivando la expresión (20.16) tenemos:

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Ct  St

ct S t

A S *  St  2 S   2*  *   A2  q2  *t  S St  S  S 

Delta _ Call Europea

Como ∂S*/∂St = 0, entonces, Ct ct S    A2  q2  *t  St St S 

q 2 1

 1   * S 

q 2 1

 1   * S 

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Ejercicios: 1. Si la volatilidad anual del precio de una acción es del 15%, construya un árbol con la evolución trimestral del precio de dicha acción durante 3 años, sabiendo que el dividendo pagado es del 10% anual cada 3 meses. El actual precio de la acción es de $100 y la tasa libre de riesgo a 3 meses es del 8,0%. ¿Cuál será el precio de una opción Call Americana con un precio de ejercicio de $100? 2. El precio actual de una acción que no paga dividendo es de $100. La volatilidad anual es del 20%. La tasa libre de riesgo para un año de plazo es del 13%. Construya un árbol binomial con intervalos trimestrales para determinar el precio actual de una opción Put Americana a un año de plazo con un precio de ejercicio de $105. 3. ¿Cuál es el valor de una opción Put Americana (en US$) a seis meses de plazo sobre el Euro (€) si la actual tasa de cambio es US$1,05/€ y el strike es US$1,10/€. La tasa de interés en Europa es 3,1% y la tasa de interés en USA es 5,5%. La volatilidad US$/€=10%. 4. Cuál es el precio de una opción PUT Americana a un año para vender dólares ATM?. La actual tasa de cambio es $2.300, σ=15%, rp=10% y rd=3%. Utilice pasos trimestrales 5. Cuál será el precio de una opción Put Americana para vender dólares a un strike de $2.500 por dólar dentro de un año si actualmente el dólar se cotiza a $2.400?. La volatilidad de la tasa de cambio peso/dólar asuma que es del 12%. La tasa de interés en dólares es del 4% mientras que la de pesos es del 10%. Asuma pasos trimestrales para construir el árbol binomial. 6. Asuma que la DTF de 90 días puede seguir los caminos mostrados en el árbol binomial. El árbol tiene intervalos de 90 días. Cuál es el precio de un bono a un año de plazo sobre un nocional de $100 millones que paga cupón trimestral del 12% anual trimestre vencido si la tasa de descuento es la DTF+3? Cuál es el precio de una opción Call Europea para comprar ese bono dentro de 6 meses a un precio de $102 millones?.

10,0 9.4 9,0

8,9 8,6

8,5

8,1

8,2

8,0

7,5

7,4

7,1

7,0 6,5

6,0

Capítulo 20 – Opciones Americanas

7. Una firma de Banca de Inversión está ofreciendo para la venta un bono cero cupón convertible en acciones de la compañía XYZ. La propuesta funciona de la siguiente manera: El bono paga $100 dentro de dos períodos. En cualquier momento al vencimiento o antes de éste, el tenedor del bono puede intercambiar éste por una acción de XYZ. La firma de Banca de Inversión ha dejado 5 acciones de XYZ como colateral para cada bono convertible. Se da por entendido que la firma puede en cualquier momento cumplir con todas sus obligaciones y no hacer ningún otro pago simplemente dándole al tenedor del bono convertible total propiedad sobre estas cinco acciones. Sobre cada período, el precio total de la acción de XYZ puede subir 100% o bajar 50%. Al final de cada período, la acción pagará 1/5 del retorno total como un dividendo en efectivo al inversionista que haya tenido la acción durante ese período. El restante 80% del retorno total será el precio de la acción al que uno puede comprar la acción de XYZ para ser tenida en propiedad durante el siguiente período. En otras palabras, en cada período el precio de la acción ex-dividendo podrá subir 160% o caer 60%. El actual precio ex–dividendo de XYZ es de $100 y la tasa de interés es de 10% por período. El bono convertible se transa a $105. Si el Banco de Inversión cubre totalmente esta posición, cuál será la utilidad que hace en este negocio?.

Capítulo 20 – Opciones Americanas

Lecturas Adicionales Barone-Adesi, G., & R.E. Whaley. “Efficient Analytic Approximation of American Option Values”. Journal of Finance, 42, 301-320. Junio 1987. Cox, John C. y Mark Rubinstein. 1985. Options Markets. Editorial Prentice Hall Hull, John C. 2002. Options, Futures, and Other Derivatives. Quinta Edición. Editorial Prentice Hall. Lyuu, Yuh-Dauh. 2002. Financial Engineering and Computation. Editorial Cambridge University Press.

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

CAPÍTULO 21 Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés 21.1 Introducción Existen varias metodologías utilizadas para obtener el precio de derivados sobre tasas de interés. Entre ellas se pueden mencionar: 1. Monte Carlo 2. Obteniendo la ecuación diferencial parcial (edp) y resolviéndola utilizando las condiciones de borde adecuadas Ya dedicaremos un capítulo especial a las simulaciones de Monte Carlo. A continuación nos concentraremos en un método basado en la edp, el cual desembocará en la celebrada fórmula de Black (1976).

21.2 Valoración de Opciones Europeas sobre bonos El pay-off o pago al vencimiento de una opción Call que madura en el tiempo T1 sobre un bono que madura en el tiempo T2 donde T2 > T1 es: V(T1,T2) = Max[P(T1,T2) − K ; 0] Donde P(T1,T2) = Precio en el momento T1 del bono cero cupón que madura en T2. Llamemos Ct(T1,T2) el valor en cualquier momento t < T1 de una opción Call Europea, el cual será igual a:   T rS  dS   t  Ct(T1,T2) = Et e  Max( PT ( S )  K ;0),  

Solucionando la edp para hallar Ct(T1,T2) tiene un resultado análogo al que se obtiene para una acción que no paga dividendo. Recordemos que la expresión de Black-Scholes para este activo está dado por: C = S∙N(d1) – K∙e–r∙t∙N(d2) Con d1 

Ln( S / K )  (r  0,5 2 )t  t

(21.1) (21.2)

A su vez, recordemos que bajo la condición de no arbitraje el precio forward (F) está dado por:

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

F = S∙er∙t

(21.3)

Remplazando (21.3) en (21.1) y (21.2) llegamos a: C = e–r∙t∙[F∙N(d1) – K∙N(d2)] d1 

(21.4)

Ln( F / K )  0,5   2  t  t

(21.5)

Para obtener la expresión para una opción Call Europea sobre este bono podemos hacer uso del mismo análisis. En el momento T1 vencerá la opción para comprar un bono al que en ese momento le falten T2–T1 años al vencimiento. El mejor estimativo hoy del precio de ese bono es el precio forward de un bono de T2–T1 años a la madurez dentro de T1 años. La tasa futura implícita la calculamos como: 1 + f(T1,T2–T1) =

P(t , T1 ) P(t , T2 )

Por lo tanto el valor justo del forward sobre ese bono (F ) será

F

P(t , T2 ) P(t , T1 )

(21.6)

1 : 1  f (T1 , T2  T1 )

(21.7)

A su vez e–r∙t∙puede escribirse como P(t,T1), donde P(t,T1) es el precio en el momento t de un bono cero cupón que madura que el momento T1. La expresión 21.4 quedaría así al adaptarla para bonos:  P(t , T2 )  N (d1 )  K  N (d 2 ) C = P(t,T1)∙   P(t , T1 ) 

(21.8)

Reacomodando términos tenemos: C = P(t,T2)N(d1) – K∙P(t,T1)N(d2)

(21.9)

A su vez d1, que viene de 21.5, quedaría así: d1 

 P(t , T2 )  1 Ln     t  t  K  P(t , T1 )  2 1

(21.10)

Hasta aquí el modelo de Black que como se ve, mantiene el supuesto de que la volatilidad del precio del forward es constante y que las tasas de interés siguen un comportamiento log-normal. Además, no se asume una estructura de tasas de interés ni mucho menos una relación entre las tasas de interés a distintos plazos. Sin embargo, partiendo del mismo modelo de Black, pueden utilizarse modelos para la estructura de tasas de interés de corto plazo que produzcan una estructura para

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

todas las tasas de interés del mercado y una estructura para las volatilidades de dichas tasas1. Estos modelos de tasas de interés no tienen la volatilidad constante, sino que asumen que ésta sigue un proceso estocástico. Dependiendo de modelo de tasas de interés que se utilice producirá una formulación para la volatilidad (  t ) y por lo tanto, una formulación para el valor de las opciones. Por ejemplo, si se está utilizando Hull & White2, el valor de una opción Call Europea está dado por: Ct(T1,T2) = P(t,T2)∙M∙N(d1) – P(t,T1)∙K∙N(d1 – δ)3

(21.11)

Donde: M = Nominal del bono



1  e  1

d1 

 (T2 T1 )





2 1  e  2 (T1  t ) 2



 P(t , T2 )  1 Ln      P(t , T1 ) K  2 1

Si se está utilizando el modelo Vasicek, donde como se mencionó en el capítulo 5, la tasa de interés de corto plazo sigue un proceso dr = α[µ – r(t)]dt + σ∙dz, el valor de una opción Call Europea tendrá el mismo valor expresado en (21.11), pero esta vez con:



 1  e 2 T1 1  e  (T2 T1 )  2





21.3 Valoración de Opciones sobre Bonos con Cupones Jamshidian (89) demostró que en un modelo de un solo factor, una opción Europea sobre un bono con cupones es equivalente a un conjunto de opciones Europeas sobre cada cupón donde cada cupón se trata como un bono cero cupón. Suponga que hay un bono que paga cupones Ci en los tiempos Ti, i=1,……n. El bono madura en Tn, con un cupón al final igual a Cn. El valor en el tiempo t del bono con cupones será Pt[(Ci,Ti),rt] donde como se ve, depende de la tasa de interés de corto plazo rt. El valor del bono va cambiando en la medida en que cambia la tasa de interés y por lo tanto habrá una tasa de interés r* de tal manera que:

Por ejemplo, los modelos de Ho-Lee, Vasicek y Hull&White que se vieron en el capítulo 5. Es importante recordar que en el modelo de Hull & White la tasa de interés de corto plazo r(t) sigue el siguiente proceso: dr = α(µ – r)dt + σ∙dz 2

Note que es la misma expresión de Black con    t

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

 C P (T , r )  K *

i t

Donde K es el precio de ejercicio de la opción.

i 1

Recordemos que el precio de un bono cero cupón está dado por la expresión: P[r(t),t,T] = A(t,T)e–B(t,T)r(t) Para el caso de Vasicek tenemos que A(t , T )  er [ B (t ,T )  t T ] B  2

/ 4

y B(t , T )  (1  e (T t ) ) / 

De acuerdo con lo mostrado, se trata de encontrar el valor de r* de tal manera que, dados A(t,T) y B(t,T), se llegue al precio de ejercicio del bono (K).  n  El pago de la opción al vencimiento será: V = Max 0; Ci Pt (Ti , r )  K   i 1 



Si llamamos Ki = Pt(Ti,r*), entonces V =

 C  Max0; P (T , r )  K  i

i 1

Por lo tanto el pago si la opción es ejercida es igual al pago de un portafolio de opciones sobre los bonos cero cupón P(t,Ti), con precios de ejercicio Ki, i=1,….n. En general, la misma expresión 21.11 puede utilizarse para valorar bonos con cupones. Recordemos que un bono puede determinarse un cero cupón que representa el capital más el valor presente de los intereses que paga durante la vida. En este caso digamos que el precio del bono con cupones es B(t,T2) y que el valor presente de los cupones que paga durante la vida de la opción es de I. Por lo tanto: B(t,T2) = P(t,T2) + I. Por lo cual P(t,T2) = B(t,T2) – I. Remplazando esta expresión en 21.11 tenemos: Ct(T1,T2) = [B(t,T2) – I]∙M∙N(d1) – P(t,T1)∙K∙N(d1 – δ)

(21.12)

21.4 Cobertura a Opciones sobre Bonos Ya habíamos visto cómo en el modelo Vasicek el proceso para la tasa de interés de corto plazo r(t) es: dr = α[μ − r(t)]dt + σ∙dz Y la tasa de interés de largo plazo viene dada por: R(t , T )  r  [r (t )  r ]

1  e  (T  t )  2 (T  t )  1  e  (T  t )       (T  t )   (T  t ) 4  

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

Al determinar los riesgos que el manejador de un portafolio de opciones sobre tasa de interés está tomando, se hace necesario encontrar la sensibilidad del precio de la opción a variaciones en el precio de los bonos que intervienen en la valoración de dicha opción. Para conocer la valoración de dichos bonos, es necesario contar con la tasa de interés a cada plazo, y esto último es justamente lo que los modelos de tasa de interés permiten. Como se ve, en el modelo Vasicek la tasa de interés de corto plazo r(t) es la única fuente de riesgo. Como en la fórmula para determinar el precio de una opción Call participan el precio de los bonos P(t,T1) y P(t,T2), entonces para hacer cobertura se necesitarán esos mismos dos instrumentos. P(t,T1) se refiere al precio en el momento t de un bono cero cupón que madura en el momento T1 y Pt(t,T2) el precio en el momento t de un bono cero cupón que madura en T2. Hacer cobertura para una opción sobre tasa de interés no es más que tener un portafolio con esos dos bonos, de tal manera que se iguale el valor de la opción y que a su vez dicho portafolio tenga la misma sensibilidad a la tasa de interés de corto plazo que la opción. Así las cosas: q1∙P(t,T1) + q2∙P(t,T2) = C q1 

(21.13)

P(t , T1 ) P(t , T2 ) C  q2   r (t ) r (t ) r (t )

(21.14)

Donde: q1

= Cantidad del Bono P(t,T1)

= Cantidad del Bono P(t,T2)

Como

C C P(t , T1 ) C P(t , T2 )     r (t ) P(t , T1 ) r (t ) P(t , T2 ) r (t )

Entonces comparando (21.14) y (21.15): q1 

De (21.11):

(21.15)

C P(t , T1 )

C N (d   ) (d )   K  N (d   )  K  P(t , T1 ) P(t , T1 ) (d   ) P(t , T1 )

 (d ) 1 Donde  P(t , T1 )   P(t , T1 )

N (d   ) e 0,5( d  )   (d   ) 2

e 0,5( d  ) Por lo tanto q1   K  N (d   )  K  P(t , T1 )   P(t , T1 ) 2 2

Del mismo modo:

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

q2 

c N (d ) (d )  M  N (d )  P(t , T2 ) (d ) P(t , T2 )

 (d ) 1 Donde  P(t , T2 )   P(t , T2 )

N (d ) e 0,5( d )  (d ) 2

Cuando un banco vende una opción Call la cobertura que éste deberá hacer consiste entonces en comprar q2 unidades de P(t,T2) y vender q1 unidades de P(t,T1).

21.5 Cobertura con Duración y Convexidad En la vida práctica, especialmente hablando de mercados emergentes, no siempre se puede encontrar el instrumento que se está buscando. Por ejemplo, pude ser posible que no se encuentren bonos cero cupón con una madurez determinada o que simplemente no existan dichos bonos. Idealmente deberán usarse bonos cero cupón para hacer la cobertura de opciones, pero incluso esta puede hacerse usando bonos con cupones, verificando por duración y convexidad. Un bono con precio B tendrá una duración con respecto a la tasa de interés de corto plazo rt dada por: Dr(P) = 

1 P  P r

Duración es entonces el equivalente a estar Delta neutral para el caso de opciones sobre acciones o sobre tipo de cambio. En un bono cero cupón: P = e R (t ,T )(T t ) P  (T  t )e  R (t ,T )(T  t ) R(t , T ) D[ R(t , T )][P(t , T )]  



P  (T  t )  P R(t , T )

1  (T  t )  P(t , T ) P(t , T )



D[ R(t , T )][P(t , T )]  T  t

La duración de un bono cero cupón no es más que el plazo al vencimiento Si usted necesita estar largo en un bono Pt(T) y no puede encontrar en el mercado esa madurez específica, pero en cambio tiene otros dos bonos cero cupón Pt(T1) y Pt(T2), la cobertura se hace así: q1∙Pt(T1) + q2∙Pt(T2) = Pt(T) q1 

Pt (T1 ) P (T ) P (T )  q2  t 2  t r r r

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

Definiendo el porcentaje a invertir en cada bono como wi  qi 

Pt (Ti ) Pt (T )

w1 + w2 = 1 w1∙Dr(T1) + w2∙Dr(T2) = Dr(T) Por lo tanto, la duración de un portafolio es el promedio ponderado de las duraciones de sus componentes. Miremos por ejemplo la duración de Vasicek. Recordemos que las tasas de interés spot en un proceso de Vasicek eran: 1  e  (T t )  2 (T  t )  1  e  (T t )    R(t , T )  r  [r (t )  r ]    (T  t )   (T  t ) 4   corto plazo.

donde r(t) es la tasa de interés de

Llamando DrVt la duración de Vasicek, tenemos que: 1   (e  R (t ,T )(T  t ) ) P(t , T ) r (t ) 1 R(t , T ) (T  t ) P(t , T ) = P(t , T ) r (t )

DrVt [ P(t , T )]  

R(t , T ) 1  e  (T  t )  r (t )  (T  t )



DrVt [ P(t , T )] 

1  e  (T  t )



Convexidad: Mientras que la Duración puede ser entendida como cobertura Delta, convexidad puede ser entendida como cobertura Gamma. Convexidad (c) se define como: cr ( P)  

1 2P  P r 2

La convexidad de un bono cero cupón será entonces: crt (T ) [ P(t , T )]  

1 2  e  R (t ,T )(T  t ) P(t , T ) R(t , T ) 2

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

1  (T  t )  [e  rt (T )(T  t ) ] P(t , T ) R(t , T )

= − (T − t)2 Ahora, si queremos tener un portafolio que sea delta y gamma neutral necesitaremos tres instrumentos. Las tres ecuaciones a resolver serán entonces: w1 + w2 + w3 = 1 w1  D1 + w2  D2 + w3  D3 = D w1  c1 + w2  c2 + w3  c3 = c

21.6 Caps Un Cap se define como un instrumento financiero que le permite a su tenedor garantizar un pago máximo de intereses a un plazo determinado. Para alguien con deuda en una tasa de interés variable como puede ser la DTF para el caso colombiano, un Cap le permitiría pagar una DTF máxima, a la que llamaremos DTF*, en caso de que la tasa de interés DTF se coloque por encima de DTF*. Un Cap típico puede ser un contrato por un año en donde cada 3 meses su tenedor recibe la diferencia entre la tasa de interés observada y una tasa de interés acordada (DTF*), en caso de que DTF > DTF*. Recibirá cero en caso contrario. La opción de recibir dicho pago cada 3 meses se conoce como Caplet. En otras palabras, un Cap es una sucesión de Caplets. El pago de cada Caplet será: Ci+1 = (Ti+1 – Ti)∙Max[0 ; DTFi – DTF*]

(21.16)

Donde: Ci+1 = Pago del Caplet en el momento i+1, con i = 0,......,n–1. Con n siendo el número de Caplets. El pago de cada Caplet luce igual al pago de una opción Put sobre un bono cero cupón con un vencimiento igual al plazo del Caplet. En otras palabras un Cap no es más que una secuencia de opciones Put. La ecuación (21.16) es el pago de un Caplet en el momento i+1. El equivalente de ese pago en t (momento actual) será:



Donde τ = Ti+1 – Ti Max[0; DTFi  DTF *] [1  DTFt (Ti )]Ti DTFt(Ti) = DTF vigente el día de la valoración para un plazo Ti, es decir, a un plazo igual al tiempo en que calcula el pago del Caplet.

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

1 es igual al pago en t de un bono cero cupón que paga 1 en Ti+1. Llamemos a [1  DTFt (Ti 1 )]Ti1 esta expresión P(t,Ti+1). Por lo tanto podemos escribir:

Valor Presente Ci+1 = P(t,Ti+1)∙Max[0;DTFi – DTF*]

(21.17)

Por lo tanto (21.17) es el valor presente (en el momento t) del pago que hace una opción Put para vender un bono cero cupón en el momento Ti y el cual se vence en el momento Ti+1, con un valor facial de $1. Retomando la ecuación (21.6), pero escrita para tasas de interés, podemos decir que la fórmula de Black para el precio de cada Caplet es: Ci+1 = τ∙P(t,Ti)[Ft(Ti,Ti+1)∙N(d1) – DTF*∙N(d2)]

(21.18)

Donde P(t,Ti+1) es el valor en tiempo t de un bono cero cupón con vencimiento en el tiempo Ti+1, Ft(Ti,Ti+1) es la tasa forward de mercado que aplica en el momento i para un plazo Ti+1–Ti y τ es el tiempo transcurrido entre Ti+1 y Ti.  P(t , Ti ) 1  1 A su vez Ft(Ti,Ti+1) =   P(t , Ti 1 )   d1 

 i Ti

Ft (Ti , Ti 1 ) 1   i Ti DTF * 2

;

d 2  d1   i Ti

σi es la volatilidad que se debe usar para el i-ésimo Caplet, la cual corresponde a la volatilidad de la tasa de interés DTF para un período i+1. Una forma de calcular la volatilidad de la DTF para cada tenor Ti, es tomar bloques con n datos para la DTF y calcularles la volatilidad a cada uno. Al final se tendrá una serie de volatilidades, a las cuales puede obtenérseles la media para así calcular la volatilidad en ese período.

Cobertura de un Caplet: La cobertura de un Caplet es en términos generales similar a la cobertura sobre bonos. Es decir, para hacerle cobertura a un Caplet se deberá estar largo en un bono y corto en otro. Podemos escribir (21.18) de esta forma:    1  P(t , Ti )  Ci 1    P(t , Ti 1 )  1  N (d1 )  DTF * N (d 2 ) P ( t , T )    i 1     q1  P(t , Ti1 )  q2  P(t , Ti )  C

q1 

P(t , Ti1 ) P(t , Ti ) C  q2   r (t ) r (t ) r (t )

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

A su vez:

 q1 

P(t , Ti1 ) P(t , Ti ) C C C     r (t ) P(t , Ti1 ) r (t ) P(t , Ti ) r (t ) C P(t , Ti 1 )

;

q2 

C P(t , Ti )

 P (t , Ti )  1 C =  t  1  N (d1 )  DTF * N (d 2 ) P(t , Ti 1 )  Pt (t , Ti 1 )   

 P(t , Ti ) 1     Pt (t , Ti 1 )    N (d1 ) 2  P(t , Ti 1 )  

= −N(d1) – DTF*∙N(d2)∙τ C = N(d1) P(t , Ti )

Para la cobertura deberá estar largo N(d1) unidades del bono P(t,Ti) y corto en N(d1) + DTF*∙N(d2)∙τ unidades de P(t,Ti+1)

21.7 Floors Un Floor se define como un instrumento financiero que le permite a su tenedor garantizar que recibirá un pago mínimo de intereses a un plazo determinado. Para alguien con una inversión en DTF, un Floor le permitirá recibir un interés mínimo DTF* en caso de que la tasa de interés DTF se ubique por debajo de DTF*. Un Floor típico puede ser un contrato por un año en donde cada 3 meses su tenedor recibe la diferencia entre la tasa de interés pactada (DTF*) y la tasa de interés observada (DTF), en caso de que DTF < DTF*. Recibirá cero en caso contrario. La opción de recibir dicho pago cada 3 meses se conoce como Floorlet. El pago de cada Floorlet será: Gi = τ∙Max[0 ; DTF* – DTFti ] El pago de cada Floorlet luce igual al pago de una opción Call sobre un bono cero cupón a ese plazo. En otras palabras, un Floor no es más que una secuencia de Floorlets. En efecto, el valor de Gi en t será:

 (1    DTFi )

Max[0; DTF *  DTFi ]

(21.19)

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

Podemos rescribir (21.19) como:  1    DTF *  Max 0;  1  1    DTFi 

(21.20)

1    DTF * es el valor en t de un bono cero cupón que paga 1+ τ∙DTF* en i+1. 1    DTFi

La ecuación (21.20) no es más que el pago en de una opción Call con madurez t sobre un bono cero cupón que madura en t+1 y que tiene un valor facial de 1+τ∙DTF*. La fórmula de Black para el precio de cada Floorlet es: Gi = τ∙P(t,ti+1)[DTF*∙N(−d2) − Ft(ti,ti+1)∙N(−d1)]

Capítulo 21 – Instrumentos Derivados Sobre Tasa de Interés

Lecturas Adicionales Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. Hull, John C. y Alan White. “Hull-White on Derivatives”. Risk books. 1996. Hull, John C. y Alan White. “Pricing Interest Rate Derivative Securities”. Review of Financial Studies. 1990. 3(4), pp 573-92. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Jamshidian, F. “An Exact Bond Option Pricing Formula”, Journal of Finance. 1989. 44, pp 20509, March. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002. Tuckman, Bruce. “Fixed Income Securitites”. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 1996.

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

CAPÍTULO 22 Opciones Exóticas 22.1 Introducción Con el término de opciones exóticas se conocen todas aquellas opciones que están hechas a la medida de las necesidades de un agente en particular y que por lo tanto no se transan en las bolsas de valores. Las opciones exóticas entonces, se venden en el mercado OTC1. Algunas opciones exóticas pueden valorarse aplicando algunas variaciones en la fórmula de Black-Scholes, mientras que otras requieren la utilización de árboles o de simulaciones Monte Carlo. Las opciones exóticas pueden clasificarse de la siguiente manera: 1.

Independientes del Camino (Path-Independent): El pago al vencimiento no depende para nada de la evolución del precio del activo subyacente durante la vida de la opción. Por ejemplo, en una opción Call Europea sencilla, cuyo precio de ejercicio es de $100, el pago al vencimiento será de $10 si el precio del activo terminó en $110, independiente de si durante la vida de la opción el precio del subyacente llegó a ser de $150 o si bajó hasta $50. a. Opciones Compuestas: Son opciones sobre opciones b. Opciones Binarias:

Tienen pagos discontinuos

c. Opciones con múltiples subyacentes i. Quantos: Por ejemplo opciones sobre un índice accionario en otra moneda (por ejemplo una opción sobre el Índice S&P500 en donde el riesgo es el índice y la tasa de cambio) ii. Canasta (Baskets): Opciones sobre un grupo de activos (por ejemplo sobre un grupo de acciones)

iii. Maxmin: Se basan en el máximo o mínimo valor de un activo dentro de una canasta iv. Intercambios (Exchanges): En este caso uno o varios activos son intercambiados por otros en lugar de hacer pago en efectivo

d. Opciones con pago al vencimiento: la prima se paga al final 1

Por sus siglas en ingles Over The Counter, que traducido al español sería algo así como Sobre el Mostrador, para querer decir que no tiene el formalismo de una bolsa de valores

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

e. Opciones contingentes: la prima se paga dependiendo del precio del activo subyacente al vencimiento

Dependientes del Camino (Path-Dependent). El pago de la opción depende de la evolución del precio del activo subyacente. Según la forma en que se mueva, el pago al vencimiento será mayor o menor. a. Asiáticas: El pago al vencimiento depende del promedio del activo subyacente durante un período anterior al vencimiento b. Look-back: el pago de estas opciones depende del mejor precio observado del activo subyacente durante la vida de la opción u otro período menor que se especifique c. Barrera (Barriers): Su valor cambia radicalmente si el precio del activo subyacente alcanza un cierto nivel. i. Knock-in: automáticamente se activa si el precio del activo subyacente alcanza un cierto nivel especificado ii. Knock-out: automáticamente se cancela si el precio del activo subyacente alcanza un nivel especificado d. Shouts y Ladders: Las opciones Shouts permiten acomodar las condiciones de una opción cuando el precio del activo subyacente ha cambiado mucho, haciendo que el tenedor de la opción asegure una determinada ganancia. Por ejemplo, si un inversionista compra una opción Call con un precio de ejercicio de $100 y antes de la madurez el precio del activo está en $120, recibirá $20 y una nueva opción Call con un precio de ejercicio de $120. Las opciones Ladder son opciones en donde la operación descrita anteriormente se puede hacer un cierto número de veces. e. Chooser: le dan a su tenedor el derecho a decidir en una fecha futura, pero antes de una madurez establecida, si su opción es Call o Put.

A continuación se explican algunas de estas opciones 22.2 Opciones Compuestas Hay cuatro tipos de opciones compuestas: Opción Call en Call, opción Put en Put, opción Call en Put y opción Put en Call. Por lo tanto, las opciones compuestas tendrán dos precios de ejercicio involucrados y dos fechas de ejercicio. Supongamos que tenemos una opción compuesta Call en Call. Al final del período t1 el tenedor de esta opción tiene el derecho a pagar K1 para a cambio recibir una opción Call que madura en t2

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

(vida de la opción 2 es t2 – t1) que le va a permitir comprar el activo subyacente a un precio K2. La opción Call compuesta sólo será ejercida en t1 si el valor de la opción Call a una madurez t2 y a un precio de ejercicio K2 es mayor que K1. Recordemos que el valor de una opción Call Europea sobre una acción que paga dividendo es: C  So  e t  N (d1 )  K  ert  N (d 2 )

(22.1)

Donde N(d1) representa el número de unidades del activo subyacente que debe tener para replicar la opción y N(d2) representa la probabilidad de que el activo termine por encima del precio de ejercicio en la fecha de madurez de la opción. Para este tipo de opción compuesta, si en t1 el precio de la opción Call vigente para el período t2 es mayor que K1, entonces el tenedor deberá hacer un pago igual a K1. Así las cosas, en el valor de esta opción compuesta deberá entrar un término igual al del lado derecho en (22.1), el cual podremos escribir como: K1  e rt1  N (a2 )

En este caso a2 representa la probabilidad de que el precio de la acción Call vigente para t2 sea mayor que K1. Si llamamos S* el precio del subyacente que hace que el precio de la opción Call vigente para t2 sea mayor que K1, entonces, de la misma manera: S  Ln o*   (r     2 / 2) t1 S a1     t1

;

a2  a1   t1

Ahora, ese no es el único pago posible por parte del tenedor de la opción. Si al final de t2 el precio del subyacente está por encima del precio de ejercicio K2, el tenedor de la opción deberá pagar K2; la probabilidad de que esto se de es una probabilidad combinada porque primero depende de que se haya recibido la opción en t1, lo cual tiene una probabilidad de N(a1) y segundo, depende de que en t2 el precio del subyacente esté por encima de K2, lo cual tendrá una probabilidad igual a N(b2). Así pues: S  Ln o   (r     2 / 2) t2 K b1   2   t2

;

b2  b1   t2

Habrá que determinar entonces la probabilidad conjunta de que: S(t1) > S* y que S(t2) > K2 Esta probabilidad se encuentra usando una función acumulativa bivariada normal a la que llamaremos M. Por lo tanto, este término será:

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

K 2  er t 2  M (a2 ; b2 ; t1 / t2 )

Finalmente, el primer término que aparece en (22.1) equivalente en una opción Call sobre Call deberá ser: So  e t 2  M (a1; b1; t1 / t2 )

El valor de una opción Call sobre una opción Call será entonces: So  e t2  M (a1; b1; t1 / t2 )  K 2  e r t2  M (a2 ; b2 ; t1 / t2 )  K1  e rt1  N (a2 )

22.3 Opción “Chooser” En este tipo de opciones el tenedor puede escoger (antes de la madurez) si la opción es Call o Put, luego de que ha pasado un período de tiempo determinado con anticipación. Son opciones caras y se utilizan cuando el inversionista considera que va a haber un incremento en la volatilidad, sin una visión clara sobre en qué dirección se moverá el activo subyacente. El tenedor escogerá que la opción sea Call o Put dependiendo de cuál de las dos tienen el mejor precio. En otras palabras él escogerá: Max(C,P) Donde: C P

= Valor de la Opción Call = Valor de la Opción Put

Supongamos que la escogencia entre Call y Put puede hacerse en el tiempo t1 y que las opciones tienen una madurez en t2. Para opciones sobre acciones que pagan dividendo: C  S1  e (t 2 t1 ) N (d1 )  K  e r (t 2 t1 ) N (d 2 ) S  Ln 1   (r     2 / 2)(t 2  t1 ) K d1     t2  t1

Donde: S1

= Precio de la acción en t = t1

De acuerdo con la paridad PUT-CALL:

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

P  C  K  e r (t 2 t1 )  S1  e (t 2 t1 )

Max (C,P) = Max [C ; C  K  e r (t 2 t1 )  S1  e (t 2 t1 ) ] = C + Max [0 ; K  er (t2 t1 )  S1  e (t2 t1 ) ] = C + e (t2 t1 ) Max [0 ; K  e( r )(t2 t1 )  S1 ] Esta opción está compuesta por lo siguiente: 1. Una opción Call con un precio de ejercicio de K y madurez de t2.  (t 2 t1 ) 2. opciones Put con madurez t y precio de ejercicio K  e(  r )(t 2 t1 )

El valor de esta opción puede ser calculado en todo momento agregando los numerales 1 y 2.

22.4 Opciones Barrera Estas son opciones en donde le pago depende de si precio del subyacente alcanza cierto nivel durante un período de tiempo determinado. Las opciones barrera más populares son las knock-in y las knock-out. Las primeras son aquellas que se activan si el precio del subyacente llega a un determinado nivel, mientras que las segundas se desactivan si el precio del subyacente alcanza un nivel dado. A su vez las knock-in pueden ser up-in ó down-in. La primera se activa si el precio del activo supera el nivel de la barrera. La segunda se activa si el precio del activo cae por debajo de la barrera. Las knock-out por su parte pueden ser up-out ó down-out. En la primera la opción se desactiva si el precio del activo supera el de la barrera, mientras que en la segunda la opción se desactiva si el precio del activo se pone por debajo de la barrera.

22.4.1 Valoración de Opciones Barrera a través de opciones Monte Carlo La forma más utilizada para valorar este tipo de opciones es a través de simulaciones Monte Carlo2. Suponga que el precio de una acción tiene el siguiente comportamiento: dP    dt    dW P

d[ Ln( P)]    dt    dW



La ecuación diferencial puede discretizarse para obtener la siguiente expresión: Ln( P)    t  W t Pt  Pt 1  e  t  W 2

t



Ln( Pt )  Ln( Pt 1 )    t  W t

(22.2)

Por favor refiérase al capítulo 23 para una descripción detallada de las simulaciones Monte Carlo.

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

Donde: W

= Proceso normal estándar

Supongamos que queremos valorar una opción Call Europea con un precio de ejercicio (K) de $100 que se activa si el precio de la acción en cualquier momento llega a $110. La madurez (T) es de 3 meses. Generemos un proceso aleatorio utilizando (22.2). Hagamos Δt = 1 día, μ = 90 y σ = 20%. Preguntemos si en cualquier Δt a lo largo de un determinado camino el precio de la acción así generado es igual o superior a $110. Si la respuesta es afirmativa, entonces obtenga el valor de la opción Call al vencimiento como Max[0 ; ST − K]. Si la respuesta es negativa, el valor de la opción para ese camino será de cero. Finalmente, un promedio del valor de la opción para cada camino al vencimiento nos dará el valor futuro de la opción. Obteniendo el valor presente de ese valor tenemos el valor de dicha opción Call a hoy.

22.4.2 Valoración Analítica de las Opciones Barrera Merton (1973) y Reiner y Rubistein (1991) proveyeron las fórmulas para valorar las 8 tipos de opciones barrera. Las siguientes son las formulaciones: 1. Cuando la barrera (H) está por debajo o es igual al strike (K), aplican los siguientes valores para la Call: Cupin  CBS Donde CBS significa el valor obtenido con Black-Scholes

Cup out  CBS 2m

H H Cdownin  S  e  t   N ( y )  K  e  r t   S S Cdownout  CBS  (Cdownin \ H  K )

2m  2

N(y  t )

2. Cuando la barrera (H) está por debajo o es igual al strike (K), aplican los siguientes valores para la Put: Pup out   S  e

  t

N ( x1 )  K  e

 r t

N ( x1   t )  S  e

  t 

H   S

H  K  e  r t   S Pdownout  PBS  ( Pdownin \ H  K )

N ( y1 ) 2m  2

N ( y1   t )

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

H Pdown in   S  e  t N ( x1 )  K  e  r t N ( x1   t )  S  e  t   S  K e

 r t 

H   S

2m  2

N ( y)  N ( y1 )

N ( y  

t )  N ( y1   t )



Pupin  PBS  ( Pup out \ H  K )

3. Cuando la barrera (H) está por encima del strike (K), aplican los siguientes valores para la Call: Cup out  CBS H Cdown out  S  e  t N ( x1 )  K  e  r t N ( x1   t )  S  e  t   S

N ( y1 )

H  K  e  r t   S

2m  2

N ( y1   t )

Cdownin  CBS  (Cdownout \ H  K )

Cup in  S  e

  t

N ( x1 )  K  e

 r t

N ( x1   t )  S  e

  t 

H   S

H  K  e  r t   S

N ( y)  N ( y1 )

2m  2

N ( y  

t )  N ( y1   t )



4. Cuando la barrera (H) está por encima del strike (K), aplican los siguientes valores para la Put: Pdownin  PBS Pdownout  0 2m

H H Pupin   S  e  t   N ( y )  K  e  r t   S S Pup out  PBS  ( Pupint \ H  K )

2m  2

N ( y   t )

Para todas las anteriores ecuaciones se tiene que: y

Ln( H 2 / SK )  m t  t

m

r    0,5 2

2

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

x1 

Ln( S / H )  m t  t

y1 

Ln( H / S )  m t  t

Broadie, Glasserman y Kou (1997) propusieron un ajuste al valor de la barrera, pues en la práctica el precio del activo no se reporta en forma continua sino en forma discreta, cada cierto tiempo. Es decir, la práctica más común es que para determinar si el precio del activo ha tocado o no la barrera, se compara el precio del activo a una hora del día contra H. Por ejemplo, puede ser que se va a comparar todos los días el punto medio entre bid-ask de las 10 de la mañana contra el valor de la barrera. El ajuste para H es:

H  H  e 

t/m

Para opciones “up”, que tocan la barrera viniendo desde abajo, α=0,5826. Para opciones “down” que tocan la barrera viniendo desde arriba, α = –0,5826. m es el número de veces que el precio del activo es reportado en el período t. Por ejemplo, si es una opción “up”, el valor original de H es de 2.400, la volatilidad es del 9%, el período de la opción es de un año y se va a revisar una vez al día contra el valor de H (en este caso m = 252, asumiendo que éste es el número de días hábiles del año), entonces el nuevo valor de H será: H  2.400 e0,58260,09

1 / 252

 2.407,94

22.5 Opciones Binarias Este tipo de opciones tienen pagos discontinuos. La más común de este tipo de opciones, referida en casi todos los textos, es la opción Call cash-or-nothing (efectivo o nada). Esta opción pagará una suma fija Q si el precio del activo subyacente termina por encima del precio de ejercicio (K ) y cero si termina por debajo. Recordemos que N(d2) es la probabilidad de que el precio del subyacente termine por encima del precio de ejercicio. Por lo tanto el pago esperado al vencimiento será Q∙N(d2). El valor presente de ese pago será Q  e rT  N (d 2 ) que es justamente el valor de una opción de esta clase. El valor de una opción Put cash-or-nothing es Q  e rT  N (d 2 ) El diagrama de pagos para quien compra una opción Call cash-or-nothing (CON) se muestra en la siguiente gráfica:

Pago al vencimiento

Q K

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

Otro tipo de opción binaria es la opción Call asset-or-nothing (activo o nada). Esta opción paga nada si el precio del activo subyacente termina por debajo del precio de ejercicio y paga el precio del subyacente si termina por encima. Como para replicar la opción deberán tenerse N(d1) unidades del subyacente, el valor total de esta posición es So∙N(d1), donde So es el precio al inicio de la opción. La anterior expresión es válida para una acción que no paga dividendo. Si pagara dicho dividendo la expresión sería So∙e−δ.t∙N(d1). El valor de una opción Put asset-or-nothing es So∙e−δ.t∙N(−d1).

22.5.1 Paridad Put-Call en Opciones Binarias Supongamos una opción Call cash-or-nothing (CON) que paga un monto Q si termina ITM. Los pagos al vencimiento de esta opción serán: Flujo de Caja Inicial Compra Call CON Vende Put CON Invierte el Valor presente de Q (K∙e-rT) TOTAL

–C P − Q∙e-rT –C = P– Q∙e-rT

Valor en la fecha de expiración ST ≤ K ST > K 0 Q –Q 0 Q Q 0

Como se ve, la compra de una opción Call CON puede replicarse con la venta de una PUT CON que pague Q si el precio del activo al vencimiento termina igual o por debajo del strike (K) y con la inversión igual al valor presente del monto que paga la Call CON al vencimiento (Q). La Paridad Put-Call para las opciones CON es entonces: C = Q∙e-rT – P

22.5.2 Griegas en Opciones CON 22.5.2.1

Delta

C 1  Qe rt N ' (d 2 ) S  S t

Donde N'(d2) se refiere a la derivada de N(d2) con respecto a d23. Teniendo en cuenta la paridad Put-Call, tenemos que

N '(x) =

1  x2 e 2

2

P C  S S

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

22.5.2.2

Gamma

 2C 1  Qe rt 2 2 (d 2   t ) N ' (d 2 ) 2 S  S t

Teniendo en cuenta la paridad Put-Call, tenemos que 22.5.2.3

2P  2C  2 2 S S

Vega

C  d   Q  e  r t N ' ( d 2 )   2  t  S   

Teniendo en cuenta la paridad Put-Call, tenemos que 22.5.2.4

P C   

Theta

C d  Q.e  rt  r  N (d 2 )  Qe rt N ' (d 2 ) 2 t t

Y para el caso de la Put:

P d  Qe rt  r  N (d 2 )  Qe r t  N ' (d 2 ) 2 t t

  1   S  (r    0.5 2 )  0.5    Ln   (r    0.5 2 )t  d 2  t   K   Tal que:  t  2t

22.6 Opción cuya prima se paga al final Esta opción le permite al inversionista pagar la prima por la opción al vencimiento en lugar de cuando es adquirida. El valor al vencimiento de una opción Call de este tipo es Max[ST − K ; 0] − C Donde: C

= Prima que se paga al vencimiento

El valor presente (VP) de dicho valor será: VP = {E[Max(ST – K) ; 0] – C}e –r.τ = VP{E[Max(ST – K)} – C∙e –r.τ Donde:

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

= Valor Esperado

Por Black-Scholes sabemos que VP{E[Max(ST – K) ; 0]} = So  N (d1 )  K  e r t N (d 2 ) Donde: S  Ln o   (r   2 / 2)t K d1     t

Como en t = 0 no hay intercambio de flujos, VP = 0.



So  N (d1 )  K  e r N (d 2 )  C  e r t  0

Por lo tanto C  So  er t N (d1 )  K  N (d 2 )

22.7 Opción con prima contingente Es un tipo de opciones en las que el inversionista también paga la prima de la opción a la madurez, pero a diferencia del caso anterior, en este la prima solo es pagada si la opción está ITM (ST > K para Call y ST < K para Put). Miremos como sería la gráfica para una opción Call contingente: Pago al vencimiento

K K+C

-C

El valor al vencimiento de una opción de este tipo será: E[Max(ST – K) ; 0] – E[C]

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

N(d2) es la probabilidad de que el precio de la acción termine al vencimiento por encima del precio de ejercicio (K). Por lo tanto E[C] = C∙N(d2) Y el valor presente será entonces: E[Max(ST – K) ; 0] e −r τ − C∙N(d2)e −r τ = Valor de una Call usando BS – C∙N(d2)∙e −r τ VP = St  e t  N (d1 )  K  ert  N (d 2 )  C  N (d 2 )ert Donde: δ = dividendo continuo Como en el momento cero no hay intercambio de dinero, VP = 0 y así: C  St  e( r  )t

N (d1 ) K N (d 2 )

Donde: S  Ln o   (r     2 / 2)t K d1   

 

Otra forma de entender esta opción es como la compra de una opción normal más la venta de una opción cash-or-nothing. En efecto, una opción Call con prima contingente tiene un diagrama de pagos como el que se muestra en la gráfica de arriba. Los diagramas de pagos de la compra de una opción normal y la venta de una cash-or-nothing se muestran a continuación:

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

Pago al vencimiento

K S

Opción Normal

Opción Cash-or-nothing

Pago al vencimiento

Pago al vencimiento Compra opción prima contingente Compra opción Normal Venta opción Cashor-Nothing NETO

Precio al vencimiento S* < K S* ≥ K 0 S−K−C 0

S−K

−C

S−K−C

Si C’ es el precio de una opción normal (compra), esta debe ser igual al precio de la opción cashor-nothing (venta), que está dado por: C∙e−r.t∙N(d2) donde C es la prima contingente que pagaría. A su vez C’ está dado por Black-Scholes y es igual a: C’ = St∙e−δ.t∙N(d1) − K∙e−r.t∙N(d2) Por lo tanto: St∙e−δ.t∙N(d1) − K∙e−r.t∙N(d2) = C∙e−r.t∙N(d2) Despejando para C: C  St  e ( r  ) t 

N (d1 ) K N (d 2 )

Para tener una idea de qué tanto más puede costar una opción con prima contingente con respecto a una opción normal obtengamos C/C’:

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

N (d1 ) K C N (d 2 )  C ' St  e  t  N (d1 )  K  e  r t  N (d 2 ) St  e ( r  ) t 

Después de algunas simplificaciones llegamos a: C e rt  C ' N (d 2 )

Por ejemplo, suponga una opción Call a 180 días de plazo para comprar dólares con un strike de $2.400. El precio del dólar es de $2.400, la tasa de interés local es del 9% mientras que la tasa de interés en dólares es del 4%. La volatilidad de la tasa de cambio es del 11%. El término er.t es igual a 1,05 mientras que N(d2) es igual a 0,61. Quiere decir que la prima contingente es 1,7 veces más alta que la prima de una opción normal.

Capítulo 22 – Opciones Exóticas

Lecturas Adicionales Broadie, M., Glasserman, P., Kou, S.G., “A Continuity Correction for Discrete Barrier Options”, Journal of Mathematical Finance, Octubre 1997. Hull, John C. 2005. Options, Futures, and Other Derivatives. Sexta Edición. Editorial Prentice Hall. Lynagh, Stephen. 1996. Exotic Options. “Harvard Business School”. Reiner, E. & Rubinstein, M., “Breaking Down the Barriers”, Risk 4, 8, pp. 28-35 (septiembre 1991) Reiner, E. & Rubinstein, M., “Exotic Options”, Working Paper 1992.

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

CAPÍTULO 23 Simulaciones Monte Carlo 23.1 Introducción Las simulaciones Monte Carlo se constituyen en otra técnica de valoración de instrumentos financieros. Monte Carlo es especialmente útil cuando no se tiene una solución analítica al precio del instrumento y por lo tanto se requiere hacer una serie de simulaciones que siguen ciertos parámetros. Monte Carlo entonces simula el valor futuro de un instrumento para luego descontar estos flujos a valor presente y hallar su precio. Monte Carlo está basado en una distribución neutral al riesgo, lo que implica que el activo subyacente tiene el mismo rendimiento que la tasa libre de riesgo y luego los flujos se descuentan también a la tasa libre de riesgo. Para simular dichos pagos futuros se asume que siguen una cierta distribución estadística. Para finalizar con esta introducción a simulaciones Monte Carlo, digamos que es especialmente útil para valorar opciones cuyo precio depende del camino que tome el precio del activo subyacente.

23.2 Valoración utilizando probabilidad neutral al riesgo Llamemos p* la probabilidad neutral al riesgo de que el activo subyacente se mueva hacia arriba en un período. u.S p*

p*  u  S  (1  p* )  d  S S 1 r

S 1p*

d.S

Donde: r p* 

= Tasa libre de riesgo 1 r  d ud

Esta es la probabilidad que debe utilizarse para calcular el valor esperado de pagos futuros, los cuales a su vez deberán descontarse a la tasa libre de riesgo. Así, el valor de una opción en cada nodo será:

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

C

p*  Cu  (1  p* )  Cd 1 r

Aunque este ejemplo se refiere a la valoración neutral al riesgo usando árboles binomiales, cuando se usa Monte Carlo, en donde se parte de algún modelo para pronosticar la evolución del activo subyacente, como por ejemplo un modelo de precio de acciones, dichos modelos involucran la tasa de interés y entonces deberá considerarse que dicha variable corresponde a la tasa libre de riesgo.

23.3 Valoración utilizando probabilidades reales Cuando se utilizan probabilidades reales se deben tomar los diferentes caminos a seguir por el precio del activo subyacente y trabajar con la probabilidad de cada camino. Cuando estamos usando las probabilidades reales para valorar una opción, la tasa de descuento es distinta en distintos nodos. Tendremos entonces un grupo de tasas de descuento diferente para cada camino posible. Suponga que: S = 100 u = 1,10 d = 0,90

X = 100

133.10

121 108.90

110 99

100

89.10

Existen 8 caminos posibles para alcanzar los precios finales, pues como se sabe el número de caminos es igual a 2n donde n es el número de períodos, 3 en este caso. Supongamos que de acuerdo con la serie histórica, la probabilidad de que el precio del subyacente suba en un período determinado es del 48%. Esto se determina contando el número de observaciones en las que el precio subió de un período a otro y dividiéndolo por el número total de observaciones. El siguiente cuadro muestra los diferentes caminos posibles y la información relevante en cada uno de ellos:

81 72.90

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Camino

uuu uud udu duu udd dud ddu ddd

Tasas de descuento a lo largo del camino

25% 25% 25% 25%

28% 28% 28% 32%

20% 20% 35% 35%

Probabilidad del camino

Pago

0,1106 0,1198 0,1198 0,1198

33,10 8,90 8,90 8,90

SUMA

Valor esperado del pago Descontado 2,8702 0,8359 0,7952 0,7846

5,2859

En la tabla de arriba, u significa in incremento en el precio de un período a otro, mientras que la d se refiere a una caída en el precio de un período a otro. Por ejemplo la nomenclatura uuu significa que el precio tuvo un incremento durante tres períodos consecutivos, mientras que udu significa que el precio subió el primer período, luego bajó el segundo período y finalmente el último período tuvo de nuevo un incremento. La probabilidad del camino se calcula como p nu  (1  p)nd donde nu y nd es el número de movimientos al alza y número de movimientos a la baja en un camino, respectivamente. Por ejemplo para el camino uuu tenemos que nu = 3 y nd = 0 por lo que la probabilidad del camino uuu es 0,483 = 0,1106. El valor esperado del pago descontado para el camino uuu será: (133,10  100)  0,483  e(0, 251 / 3 0, 281 / 3 0, 201 / 3)  2,8702

Observe que al estar trabajando con las probabilidades reales se hace necesario conocer la tasa de descuento a lo largo de cada camino. Esto hace que sea muy difícil descontar el pago esperado de una opción. Justamente la valoración neutral al riesgo hace que no sea necesario conocer la verdadera tasa de descuento a lo largo de cada camino posible.

23.4 Árboles Binomiales vs. Simulaciones Monte Carlo Considere una opción Asiática, la cual paga con base en el precio promedio del activo subyacente, en lugar del precio final. Esta claramente es una opción cuyo pago depende del camino que tome el precio de la acción y por lo tanto los árboles binomiales no son de mucha utilidad. En una opción Call Asiática el pago al vencimiento será entonces: Max[ S  X ;0] . Suponga que So = 100; u = 1,10 , d = 0,90 y dividendo = 5%. Si estuviésemos utilizando árboles binomiales para valorar esta opción tendríamos:

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

114,12 109,20 93,37

104,50

76,39

85,50

Camino A: u u d B: u d u C: d u u

Precio Promedio 101,77 96,81 92,06

Si X = 95, la opción Call estará In-The-Money en los caminos A y B.

89,35

100

Tres caminos conducen al pago final de 93,37; son ellos:

73,10 62,50

En el modelo binomial usual resolvemos hacia atrás los pagos, hasta traerlos a valor presente. Sin embargo, cuando las opciones dependen del camino que sigue la acción, es necesario tener en cuenta la probabilidad de ocurrencia de cada camino, considerando para ello probabilidades neutrales al riesgo.

En nuestro ejemplo, existen 8 caminos posibles. Si p* es la probabilidad neutral al riesgo de que la acción suba en un período, la siguiente tabla muestra dichos caminos y el pago de cada uno de ellos:

uuu uud udu udd duu dud ddu ddd

Probabilidad

Precio final de la acción

Precio promedio de la acción

p*3

114,12 93,37 93,37 76,39 93,37 76,39 76,39 62,50

106,96 101,77 96,81

p .(1 – p ) p*2.(1 – p*) p*.(1 – p*)2 p*2.(1 – p*) p*.(1 – p*)2 p*.(1 – p*)2 (1– p*)3 *2

92,06

Pago de la opción Asiática X = 95 11,96 6,77 1,81 0 0 0 0 0

Pago esperado = 11,96  p*3  6,77  p*2  (1  p* )  1,81 p*2  (1  p* ) Incluso al nivel de este ejemplo, donde existen 8 caminos posibles, el uso de árboles binomiales es factible. Sin embargo, el número de caminos aumenta exponencialmente respecto al número de períodos así: Número de caminos = 2n Donde n: Número de períodos

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Cuando n = 10 el número de caminos asciende a 1.024 y los árboles binomiales se hacen prácticamente inmanejables. En ese punto Monte Carlo se hace importante.

23.5 Implementación de Monte Carlo Los pasos básicos a seguir para implementar una simulación por Monte Carlo son los siguientes: 1. Use un generador de números aleatorios para determinar los posibles caminos que seguirá el activo subyacente. Este generador aleatorio deberá ajustarse a un cierto modelo para el activo subyacente, una acción por ejemplo. 2. Calcule el pago de la opción a lo largo del camino seguido por la acción. Por ejemplo, para una opción Americana se deberá calcular Max[S  X ;0] 3. Repita este procedimiento muchas veces, teniendo un camino distinto de la acción en cada corrida. 4. Obtenga un promedio del pago de la opción a lo largo de estos caminos 5. Descuente el pago promedio para obtener el valor presente Otras consideraciones implican lo siguiente: 1. Se busca que los retornos simulados de las acciones se generen de acuerdo a una distribución de probabilidad que sea consistente con el comportamiento empírico esperado. Esto significa que por ejemplo la volatilidad de los retornos simulados de una acción deberán corresponder con la volatilidad de los retornos observada. 2. Como se dijo, en Monte Carlo trabajamos con probabilidad neutral al riesgo. Esto quiere decir que debemos hacer que el promedio del retorno de una acción en las simulaciones sea igual a la tasa libre de riesgo y no al verdadero valor esperado de la acción. Luego deberemos descontar los pagos a la tasa libre de riesgo y no a la tasa ajustada por riesgo. Partimos de la ecuación diferencial del Movimiento Browniano: dS    St  dt    St  dW

Donde µ es el retorno esperado. Sin embargo, en un mundo neutral al riesgo el retorno esperado es la tasa libre de riesgo (r) , por lo que la ecuación anterior puede ser escrita así: dS  r  S t  dt    S t  dW

En forma discreta esta ecuación toma la forma: S  r  t    Wt  t S

La ecuación (23.1) representa el estimador del retorno de la acción. S

S distribuida con media r  t y desviación estándar   t . En otras palabras:

(23.1)

está normalmente

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo



S  N   t; t S



Sabemos que St  St t  e

S

. De manera interesante, E[ St ] no es igual a St  t  er t como lo

explica la desigualdad de Jensen. Puede demostrarse que E[e Wt

E[ St ] = S t t  E[e rt  Wt

t

] = S t t  e rt E[e Wt

Quiere decir que E[ St ] = St  t  e( S / S )  (1 / 2

t

] = e1 / 2

] = St  t  e( r 1 / 2

t

. Por lo tanto:

) t

Esto implica que:

E[St ]  St  t  e( r 1 / 2

) t   t  Z ( t )

Z(t) es un proceso aleatorio con media 0 y varianza 1. Esto se desprende del hecho de que W(t+Δt)–W(t) tiene una media de cero y desviación estándar de

t

Nuestro generador de números aleatorios producirá diferentes valores de Z(t) y con eso y la fórmula de arriba construiremos el valor que deberá tomar la acción en cada período. El generador aleatorio tomará entonces números de la distribución normal estándar. En Excel la función que permite esto es DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO( )).

Por ejemplo, supongamos que tenemos una hoja de cálculo con 20 caminos y cada camino es de 10 períodos. El primer paso es generar números aleatorios que siguen una normal estándar usando la función DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO( )).

Período: Camino: 1 2 3 . . . 20

............

Z1,1 Z2,1 Z3,1 . . . Z20,1

Z1,2 Z2,2 Z3,2 . . . Z20,2

Z1,3 Z2,3 Z3,3 . . . Z20,3

............ ............ ............ . . . ..............

Z1,10 Z2,10 Z3,10 . . . Z20,10

En el siguiente paso calculamos el retorno de la acción para cada período de duración Δt:

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Período:

............

Camino: 1

e( r 1 / 2

) t   t  Z (1,1)

............

e( r 1 / 2

) t   t  Z (1,10)

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 2,1)

............

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 2,10)

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 3,1)

............

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 3,10)

. . . 20

. . .

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 20,1)

. . . ..............

. . .

e( r 1 / 2

) t   t  Z ( 20,10)

Llamemos cada una de las celdas de la matriz anterior (1+R1,1), (1+R1,2) etc. Finalmente, obtenemos el precio de la acción para cada camino. Note que se tienen 11 columnas puesto que se requiere una para ingresar el actual precio de la acción.

Período: Camino: 1 2 3 . . . 20

So So So . . . So

So.(1+R1,1) So.(1+R2,1) So.(1+R3,1) . . . So.(1+R20,1)

S1,1.(1+R1,2) S2,1.(1+R2,2) S3,1.(1+R3,2) . . . S20,1.(1+R20,2)

.....

Pago de una Call Europea

.....

S1,9.(1+R1,10) S2,9.(1+R2,10) S3,9.(1+R3,10) . . . S20,9.(1+R20,10)

Max[S1,10–K,0] Max[S2,10–K,0] Max[S3,10–K,0] . . . Max[S20,10–K,0] PROM(PAGO)

Note que Si,9(1 + Ri,10) = Si,10 Las primeras once columnas del último panel serán iguales para cualquier tipo de opción porque lo que muestran es el camino a seguir por el activo subyacente. La única columna que varía según el tipo de opción que se esté considerando es la última. El paso final será entonces descontar el promedio de los pagos (PROM(PAGO ( )) a la tasa libre de riesgo para así obtener el valor presente. C  e rT [ PROM ( PAGO)]

La duración de cada sub-período la calculamos como: t 

T n

Donde n es el número de sub-períodos. En la medida en que n se haga muy grande el cálculo por Monte Carlo se aproximará a Black-Scholes. Los inputs para Monte Carlo serán entonces: r

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

23.6 Otras aplicaciones de Monte Carlo Además de su uso para valorar opciones Europeas, Monte Carlo es muy útil resolviendo opciones Asiáticas y otras exóticas tales como opciones Knock-in y Knock-out. Como se vio en el capítulo 22 las opciones Knock-in son aquellas que entran a escena si ciertas condiciones mínimas ó máximas se dan. Por ejemplo, si el precio de la acción alcanza un nivel de $100 en cualquier momento, se creará una opción Call Europea. Las opciones Knock-out son aquellas que salen de escena si ciertas condiciones mínimas ó máximas se dan. Por ejemplo, se tiene una opción Call Europea que perderá su vigencia si el precio de la acción alcanza $100. El algoritmo para una opción Call knock-in que entra en vigencia si un precio mínimo se alcanza sería: 1. Genere números aleatoriamente con una distribución normal estándar 2. Obtenga un número grande de caminos posibles 3. Pregunte si el precio de la acción en cada período es menor al mínimo requerido para que la opción Knock-in entre en vigencia 4. Si el precio es menor al mínimo requerido la opción Knock-in entrará en vigencia y para ese camino en particular se aplicará al final el pago de una opción Call Europea, esto es: Max[S – K ; 0] 5. Si en ningún momento a lo largo del camino se alcanza el mínimo requerido, no hay pagos para ese camino 6. Obtenga el promedio de los pagos al final 7. Descuente dicho promedio a la tasa libre de riesgo

23.7 Comparación entre Monte Carlo y Black-Scholes Obtengamos una valoración de una opción Call Europea utilizando la fórmula de Black-Scholes y una valoración utilizando Monte Carlo, con el fin de comparar ambos resultados. La información es la siguiente: r t

So σ K

= 8% = 3 meses = 100 = 10% = 100

Black-Scholes: C  So  N (d1 )  K  e r t N (d 2 )

d1 

LnSo / K   (r   2 / 2)  t  t



d1 

Ln100/ 100  (0.08  0.102 / 2)  0.25  0.43 0.10  0.25

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

d 2  d1    t

N(d1) = 0,6646



d 2  0.43  0.10  0.25  0.38

N(d2) = 0,6462

C  100 0.6646  100 e 8%0.25  0.6462



C = 3,1196

Monte Carlo: Utilizamos una simulación de Monte Carlo con 1.500 caminos y con Δt=0,25/30 = 0,0083 años El valor promedio de los pagos finales es de 3,1999 y el valor presente de este promedio, descontado a una tasa libre de riesgo del 8% será: 3,1999  e-8%.0,25 = 3,1365 el cual está muy próximo al valor obtenido con Black-Scholes (BS).

23.7.1 Black-Scholes vs. Monte Carlo Para Opciones Barrera El resultado, sin embargo, es muy distinto entre BS y Monte Carlo, cuando se está valorando cierto tipo de opciones barrera. Esto se da por la razón mencionada en el capítulo 22 según la cual BS asume que la comparación contra la barrera se hace en tiempo continuo, cuando en realidad en la práctica esta comparación se hace en tiempo discreto (una vez al día). En general en las opciones Call Down-out y en las Put Up-out, el valor obtenido mediante BS, sin hacer el ajuste, es menor al valor obtenido bajo simulaciones de Monte Carlo. Para opciones Call Downin y Put Up-in, el resultado obtenido con BS sin ajuste es mayor al que se tendría bajo simulaciones Monte Carlo. Esta diferencia es más grande mientras más cerca esté la barrera del precio del activo al inicio. Recordemos que el ajuste propuesto por Broadie, Glasserman y Kou (1997) está dado por la siguiente expresión:

H  H  e 

t/m

Donde para opciones “up”, que tocan la barrera viniendo desde abajo, α=0,5826. Para opciones “down” que tocan la barrera viniendo desde arriba, α = –0,5826. m es el número de veces que el precio del activo es reportado en el período t. Considere por ejemplo una opción Call Down-in sobre la tasa de cambio COP/USD. El nivel inicial de la tasa de cambio es de 2.300, el strike (K) es de 2.290 y la barrera está ubicada en 2.295. La opción es a un plazo de 20 días, la tasa de interés en pesos (rp) es de 8,62% y la tasa de interés en dólares (rd) es de 4,68%. La volatilidad (σ) es del 10,08%. Aplicando BS sin el ajuste llegamos a un precio de la opción de $29,1169; por Monte Carlo, con pasos de un día, el valor obtenido es de $19,89. Ahora, haciendo el ajuste en H, el nuevo valor de la barrera es de: H  2.295 e0,582610,08%

( 20 / 360) / 20

= 2.287

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Con este ajuste, el nuevo precio con BS es de $20,3475 y este precio está dentro del intervalo de confianza al 95%.

23.8 Exactitud de Monte Carlo Para determinar la exactitud de una estimación por Monte Carlo necesitamos saber la desviación estándar de dicha estimación. Recuerde que una estimación por Monte Carlo es una media de un gran número de corridas, donde cada corrida corresponde, en nuestro ejemplo anterior, a la estimación de los 1.500 distintos caminos a seguir por el precio de la acción. En una opción Call Europea, la estimación por Monte Carlo implica que: Cn 

1 n

 C (S ) i

i 1

Donde: C(Si) es el precio obtenido en cada corrida, el cual depende de los precios estimados (Si). C n es el precio de la opción obtenido como un promedio de las n corridas Por el Teorema del Límite Central (TLC) sabemos que, sin importar la distribución de probabilidad de los Si, el promedio C n seguirá una distribución normal si el número de observaciones es lo suficientemente grande. Llamemos σc la desviación estándar de una corrida y σn la desviación estándar de n corridas. Tenemos que si los Si son independientes uno de otro, 1 n

 n2    c2 Es importante notar que la desviación estándar de la estimación de Monte Carlo es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de corridas. En el ejemplo nuestro, la desviación estándar de los 1.500 caminos en una corrida es de 3,7101. Si hacemos 300 corridas, entonces

n 

3,7101  0,21 300

El precio estimado de la opción es de 3,1196, por lo que una desviación estándar de 0,21 representa el 6,87%, el cual es considerado un porcentaje significativo. Esto puede comprobarse cuando se obtiene el intervalo de confianza para C n que como se dijo, sigue una distribución normal. Recordemos que este intervalo está dado por:

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

z

Cn  

Donde z corresponde a la distribución de probabilidad acumulada para la z n distribución Normal Estándar. Con un 95% de confianza, z es igual a 1,64. Despejando µ tenemos: C n + z.σn > µ > C n − z.σn En nuestro caso tenemos que: 3,1196 + 1,64  0,21 > µ >3,1196 − 1,64  0,21 3,464 > µ > 2,775 Es decir, con un 95% de confianza el valor de la opción se encuentra entre 2,775 y 3,464.

23.9 Simulación de saltos en el precio de las acciones A veces es conveniente simular saltos en el comportamiento del precio de las acciones. Sin embargo, con la distribución log-normal utilizada hasta el momento es muy poco probable que se presenten saltos grandes en el precio de la acción. Un salto del 20% en un día tiene una probabilidad casi de cero. Aun saltos del 5% son eventos muy poco probables. Por ejemplo, si el actual precio de la acción (So) es de $100, σ = 10% y rf = 8%, la probabilidad de que el precio de la acción caiga el 5% estará dada por:

Pf = $100 e

1 2 1 1   0,1 Z  8%  0,1  2 365   365

(23.2)

Donde Pf es el precio después de la caída. Por lo tanto Pf = $95   95   1 2  1  365 Despejando Z de (24.2) tenemos: Z   Ln    8%   0,1   2  365 0,1   100  

Resolviendo: Z = −9,83 Esto quiere decir que cuando la desviación estándar es del 10%, un retorno del –5% en un día es un evento de –9,83 desviaciones estándar. Recordemos que Z sigue una distribución normal estándar y por lo tanto su probabilidad de ocurrencia será lo más parecido a cero que Usted haya visto; de hecho es casi imposible que se presente. Existe sin embargo una manera de simular fuertes saltos en un modelo que asume log-normalidad en precios y es a través de la distribución de Poisson. La distribución de Poisson cuenta el número de eventos que se presentan en un determinado período de tiempo, en donde el evento es el salto en el precio de la acción. Podemos utilizar la distribución log-normal para determinar la magnitud del salto. La distribución Log-normal de Poisson asume que los saltos son independientes y cada salto puede ser distinto a otro. Recordemos que el precio sin asumir saltos estaba dado por St e(ˆ  .5 Donde:

) h  h W

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

= Variable Normal Estándar = Retorno esperado sin tener en cuenta saltos = Dividendo esperado = longitud de cada período de tiempo (Δt)

ˆ

δ h

El salto, que tiene una magnitud log-normalmente distribuida ( Y ) está dado por: Yi  e J  0.5 J  J Z i 2

Donde:

J

= Salto esperado

= Desviación estándar del logaritmo de la magnitud del salto = Variable normal estándar

J

Cuando se presenta un salto, el precio antes del salto es S y el precio después del salto es S·Y. El salto acumulado tendrá una magnitud igual a: m

Y  e

m ( J  0.5 J2 )  J

 Zi i 1

i 1

Así las cosas, el precio de la acción en t+h será: Sˆt  h  Sˆt  e

(ˆ   0.5 2 ) h  h W

e

m ( J  0.5 J2 )  J

 Zi i 1

(23.3)

Para simular el precio con saltos necesitamos:   

Seleccionar W de una distribución Normal Estándar Seleccionar m de la Distribución de Poisson Seleccionar tantos Z como m hayan, cada uno con una distribución Normal Estándar

Para seleccionar m, recuerde que la distribución de Poisson está dada por: f (m) 

e h (h) m m!

(23.4)

Donde: f (m) λ  h

= Probabilidad de m eventos en el intervalo h = Tasa a la que se espera ocurran los eventos por unidad de tiempo (un año por ejemplo) = Número esperado de saltos en el intervalo h.

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Seleccione entonces la probabilidad con la que desea trabajar (95% por ejemplo). probabilidad será f(m). En (23.4) despeja y obtiene m.

Dicha

Como ˆ es el retorno esperado sin tener en cuenta saltos, podemos escribir:

ˆ    k Donde:

 k

= Retorno esperado total de la acción = porcentaje esperado de cada salto

k  e J  1

Podemos rescribir (23.3) como: (   k  0.5 Sˆt  h  Sˆt  e

) h  h W

e

m ( J  0.5 J2 )  J

 Zi i 1

(23.5)

Donde:

J J

= Media esperada de la magnitud del salto = Desviación estándar de la magnitud del salto

Por ejemplo, supongamos que α = 10% y σ = 20%. En promedio se presentan 3 saltos por año (λ=3) con  J = –5% y  J = 8%. Además δ = 0 y Sˆt =100 Con un 95% de probabilidad y asumiendo que h = 1 día: e 31 / 360(3 1 / 360) m ; Resolviendo, m es incluso menor que 1. Sin embargo, como m debe m! ser un número entero, asumimos que es igual a 1. 0,95 

Como k  e J  1 , entonces k = –4,9%. Supongamos además que una generación de números aleatorios con una distribución Normal Estándar produce W = 0,38 y Z = 1,69 Por lo tanto: Sˆt 1  100 e(0,103( 0,049)  0,50, 2

 Sˆt 1  1001,0905 = 109,05

)1 / 360 0, 2 1 / 3600,38

 e( 0,05 0,50,08

)  0, 081, 69

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Cuando h es muy pequeño (un día por ejemplo), es razonable asumir que solo puede presentarse máximo un salto en dicho período y con cierta probabilidad. La demostración de esto es como sigue: De acuerdo a la distribución de Poisson f (m) 

e h (h) m m!

Usando series de expansión de Taylor, la probabilidad de que no se hayan presentado saltos después del período h es: 1 2

f (0) = e  h  1  h  (h) 2  ..... La probabilidad de un salto es: 1 2

f (1) = e h (h)  h  (h)2  (h)3  ..... f (2) sólo involucra términos de h2 y superiores Cuando h es muy pequeño (h  0), los términos h2 se hacen muy pequeños y pueden tomarse como iguales a cero.

 f (m  2)  0 y

f (1)  h

Cuando h es grande (1 mes por ejemplo), podemos simular (23.5) en Excel utilizando la función =DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO( )) para generar W y Zi. Cuando h es muy pequeño (1 día por ejemplo) y por lo tanto m = 1, podemos usar el siguiente procedimiento para su implementación en Excel: Primero calcule la probabilidad de un salto en un día como número de días en que hubo saltos sobre número de días total. Llame a esta probabilidad p*.

Sˆt 1  Sˆt  Y1  Y2 Donde Y1  e(ˆ   0.5

)1 / 360 1 / 360 W

Y2  e( J  0.5 J  J Z ) Dummy 2

Donde: Dummy = 1 si ocurre un salto y 0 si no.

(23.6) (23.7)

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Para cada celda haga que Excel genere un número aleatorio de una distribución uniforme. Dicha función es = ALEATORIO( ). Llamemos a este número A. Si p* < A hay un salto; de otro modo no hay salto. Si hay salto generamos otra variable aleatoria Normal Estándar Z y computamos: e( J  0.5 J )  J Z 2

La expresión en Excel sería: =EXP{SI(ALEATORIO( ) < p*,1,0)× ( J  0.5   J2   J  DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO()) ) } Observe que el número aleatorio generado se mueve entre 0 y 1, siguiendo una distribución uniforme cuya media es 0,5. Esto quiere decir que estos números aleatorios van a estar por debajo de p* con una probabilidad de p*. Como la probabilidad real encontrada de que se presenten saltos es p*, entonces cada vez que el generador de números aleatorios produzca un número por debajo de p* se habrá presentado un salto. Para determinar la media y desviación estándar de los saltos puede adoptarse la siguiente metodología: Primero tome la serie de precios del activo que quiere simular y ahí obtenga la serie de los rendimientos anuales. A esta serie calcúlele la media (α) y la desviación estándar. Luego calcule el cambio porcentual en el precio del activo de un día para otro o de una semana a otra, según la frecuencia de los datos con los que está trabajando. Obtenga la media y la desviación estándar de estos cambios. Ahora defina un salto: por ejemplo, los saltos serán todos aquellos movimientos que están por fuera de la media de los cambios más o menos un número determinado de desviaciones estándar, por ejemplo 2. Una vez definido esto ya se tienen identificados los saltos. A esa serie de saltos calcúlele la media (αJ) y la desviación estándar (σJ). Luego vuelva y calcule la desviación estándar de los retornos anuales, pero sin contar los saltos (σ). Con esta información aplique (23.6) y (23.7) para obtener Y1 y Y2, respectivamente. Los saltos también pueden apreciarse en una gráfica de Ln[St/St−1] contra el tiempo. Miremos el caso para la cotización del peso colombiano contra el dólar con datos diarios.

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

5.0% 4.0%

2.0% 1.0%

4-Sep-05

4-Abr-05

4-Nov-04

4-Jun-04

4-Ene-04

4-Ago-03

4-Mar-03

4-Oct-02

4-May-02

4-Dic-01

4-Jul-01

4-Feb-01

4-Sep-00

4-Abr-00

-2.0%

4-Nov-99

-1.0%

4-Jun-99

0.0%

4-Ene-99

Ln(St/St-1) (COP/USD)

3.0%

-3.0% -4.0% -5.0%

Pueden apreciarse los puntos de mayor volatilidad, correspondientes a saltos en la cotización del tipo de cambio peso/dólar. Es importante notar que en este caso la palabra salto no necesariamente quiere significar movimientos bruscos hacia arriba en el precio. Un salto también puede darse cuando el movimiento brusco se da hacia abajo.

23.10 Cómo simular precios de acciones correlacionados Suponga que tenemos el proceso seguido por dos precios de acciones: 1 Ln( St )  Ln( So )  ( S   S2 ) t   S t S 2 1 2 Ln( Pt )  Ln( Po )  ( P   P ) t   P t P 2

Si la correlación entre S y P es de ρ, entonces no podremos simular ambos precios independientemente, sino que más bien la generación de uno estará sujeta a la generación del otro, vía la correlación entre ambos. Si ε1 y ε2 son procesos independientes y normalmente distribuidos N(0,1), entonces:

 S  1  P  1   2 1   2

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Como se nota, S está distribuida normalmente N(0,1). Como Corr( S ,  P ) = ρ, entonces  P está también normalmente distribuida N(0,1). E[  S , P ] = E[1 ( 1   2 1   2 )]   E[12 ] Este análisis en válido para dos precios de acciones. Para generalizar en el caso de n variables debemos proceder así: Llamemos ρi,j la correlación entre dos variables i, j. ε1, ε2,...., εn denota las variables aleatorias N(0,1) y 1 ,  2 ,.....  n las n variables correlacionadas. Tendremos entonces que: i

 (i)   ai , j j j 1

Donde ai , j son coeficientes escogidos de tal manera que las correlaciones entre dos variables correspondan con lo observado. Para esto será necesario que: E[  (i),  (k)] = ρi,j Para obtener los diferentes  (i) utilizamos una solución recursiva, es decir, para obtener  (2) utilizamos  (1). Luego con  (2) calculamos  (3) y así hasta obtener  (n). La fórmula genérica para ai , j es: ai , j 

j 1  1   i , j  a j , k ai , k  cuando i > j ai , j  k 1 



i 1

ai ,i  1   ai2,k k 1

La matriz ai , j se conoce como Descomposición de Cholesky de la matriz de correlaciones original. Para el caso de 3 variables correlacionadas, tenemos que:

1  1 2  1, 21   2 1  12, 2

3  1,31 

 2,3  1,3 1, 2 1  12, 2

 2  1  12,3 

(  2,3  1,3 1, 2 ) 2 1  12, 2

3

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Ejercicios: 1. Calcule el valor de una opción Call que se activa si el precio en algún momento llega a $90. (knock-in option) a 90 días de plazo sobre una acción que no paga dividendo. El precio actual de la acción es de $100, la tasa libre de riesgo de 6% y la desviación estándar del 15%. Utilice intervalos de 1 día para la simulación de Monte Carlo. 2. Calcule el valor de una opción Put que se desactiva si el precio en algún momento llega a $115. (knock-out option) a 90 días de plazo sobre una acción que no paga dividendo. El precio actual de la acción es de $100, la tasa libre de riesgo de 6% y la desviación estándar del 15%. Utilice intervalos de 1 día para la simulación de Monte Carlo. 3. Calcule el valor de una opción Call Europea a 6 meses de plazo sobre una acción que no paga dividendo. El actual precio de la acción es de $100. La volatilidad es del 15% y la tasa libre de riesgo es del 6%. Haga el cálculo utilizando Black-Scholes, Árboles Binomiales y Monte Carlo. Compare. 4. Calcule utilizando simulaciones Monte Carlo el valor de una opción Put Asiática a 180 días de plazo para vender dólares ATM. Esta opción Asiática toma como precio al vencimiento el promedio aritmético de los últimos 20 días. Asumamos que rp=10% y rd=4%. Calcule la volatilidad del dólar. En este caso rp se refiere a la tasa de interés en pesos y rd a la tasa de interés en dólares, ambas libres de riesgo.

Capítulo 23 – Simulaciones Monte Carlo

Lecturas Adicionales Campbell, John Y., Andrew W. Lo y A Craig Mackinlay. “The Econometrics of Financial Markets”. Princeton University Press. 1997. Glasserman, Paul. “Monte Carlo Methods in Financial Engineering”. Ed. Springer. 2004. Hull, John C. “Options, Futures, and Other Derivatives”. Cuarta Edición. Editorial Prentice Hall, 2000. James, Jessica y Nick Webber. “Interest Rate Modelling”. Ed. John Willey & Sons. 2000. Lyuu, Yuh-Dauh. “Financial Engineering and Computation”. Ed. Cambridge University Press. 2002.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

CAPÍTULO 24 Derivados de Crédito 24.1 Introducción Opciones, swaps, forwards y FRA’s constituyen el grupo de derivados de mercado más popular en el mundo. Sin embargo, otro grupo de derivados utilizados para cubrir o tomar posiciones en riesgo de crédito se han venido popularizando en los últimos años. Este tipo de productos se conocen como derivados de crédito. Los derivados de crédito más utilizados son:   

Credit Default Swap (Swap de Default Crediticio) Credit-Linked Notes (Notas Ligadas a un Riesgo Crediticio) Swaps de Retorno Total (Total Return Swaps)

Miremos a continuación en qué consiste cada uno de ellos:

24.2 Credit Default Swaps (CDS) Es el más popular de los derivados de crédito. Es un contrato en el cual una parte (comprador de cobertura) se compromete a pagar una prima a su contraparte (vendedor de cobertura) durante un período de tiempo determinado, sobre un nocional previamente establecido. El acuerdo se firma con un crédito específico como subyacente, al que llamaremos entidad de referencia. Así, si esta entidad de referencia entra en default durante el período que dura este acuerdo swap, el vendedor de cobertura se compromete a entregarle al comprador de cobertura el nocional y el swap se da por terminado. Si no hay evento de default, el comprador de cobertura simplemente habrá pagado una prima, como quien paga un seguro de un carro y nunca reclama por este. Se utilizan para aislar el riesgo de crédito y transferir dicho crédito a tomadores de riesgo, sin necesidad de comprar o vender físicamente los activos y por lo tanto, sin desembolsos iniciales de capital. Piense por ejemplo en alguien que desea tener exposición a la DTF pero quiere evitar el riesgo crediticio que implica adquirir un papel con un rendimiento ligado a esta tasa de interés. Lo que debería hacer entonces es adquirir el papel en mención y luego entrar como comprador de cobertura en un CDS. Así, tendrá su capital garantizado, mientras que el rendimiento finalmente estará ligado a la DTF. La estructura se resume en la siguiente gráfica:

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

a) No hay Default

Vendedor de Cobertura

Prima (p)

Comprador de Cobertura

b) Si hay Default

Vendedor de Cobertura

Nocional (N)

Comprador de Cobertura

La liquidación del CDS entre el comprador y el vendedor de cobertura, en caso de que se presente un evento de crédito, se hará de una de las siguientes dos formas: físicamente o en caja. En la primera el comprador de cobertura entrega unos títulos en default, mientras recibe el nocional por parte del vendedor de cobertura. En la segunda el comprador de cobertura simplemente recibe en caja la diferencia entre el nocional de los títulos y su valor de mercado.

24.3 Credit-Linked Notes (CLN) Un CDS es por decirlo de alguna manera, la materia prima para constituir una CLN. Una CLN requiere la creación de un Vehículo de Propósito Especial (VPE), que puede ser una fiduciaria. En este caso es la fiduciaria quien emite la CLN, la cual será adquirida por un inversionista quien actúa como vendedor de cobertura. Adicionalmente se establece un CDS entre un comprador de cobertura y la fiduciaria. El inversionista hace un pago inicial, equivalente al monto sobre el cual se va a estructurar el CDS. Estos recursos son invertidos por la fiduciaria en un colateral de altísima calidad (CAC)1, el cual será el respaldo en caso de que el riesgo que se está cubriendo haga default. Así, la fiduciaria tendrá dos fuentes de ingreso: una, la prima pagada por el comprador de cobertura y dos, los rendimientos recibidos por el CAC. De este rendimiento total se descartan los costos de estructuración y comisiones y el resto se traslada al inversionista como rendimiento por su inversión. El capital inicial puesto por el inversionista deberá ser igual al nocional sobre el que se estructura el CDS. Dos cosas pueden ocurrir entonces: la entidad de referencia hace default ó la entidad de referencia continúa honrando su deuda durante la vida del CLN. Miremos a continuación qué pasa en cada uno de estos dos posibles eventos: a) La entidad de referencia no hace default: 1

El colateral de alta calidad deberá ser preferiblemente una entidad con rating AAA a nivel internacional. Treasury Bills y emisiones de entidades multilaterales como Banco Mundial, International Financial Corporation (IFC) ó Banco InterAmericano de Desarrollo (BID) cumplen con esta condición.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

En este caso el inversionista recibió un rendimiento por su capital y el comprador de cobertura pagó una prima por un seguro que nunca tuvo que reclamar. El final del CLN coincide con el pago del principal del CAC y los recursos así obtenidos son transferidos al inversionista por su inversión inicial. b) La entidad de referencia hace default En este caso el CDS entre el comprador de cobertura y el VPE se da por terminado. El CAC se liquida y los recursos así obtenidos son transferidos al comprador de cobertura, quien a cambio entrega bien sea los títulos en default emitidos por la entidad de referencia ó el valor de mercado de los mismos. Por su parte el inversionista recibe el valor de mercado de los papeles emitidos por la entidad de referencia ó en su defecto los títulos físicos, los cuales seguro tendrán un valor de mercado muy por debajo de su valor nominal. La siguiente gráfica ilustra la estructura de una CLN y cómo fluye la caja en cada uno de los posibles eventos:

Estructura: R=r+p

Inversionista

VPE

CAC Nocional (N)

Nocional (N) p

Comprador de Cobertura

a) No se presenta evento de default:

Inversionista

R=r+p

VPE

CAC Nocional (N)

Nocional (N) p

Comprador de Cobertura

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

b) Hay evento de default: Valor de Mercado de los Títulos

Inversionista

VPE

R=r+p

Nocional (N)

CAC Nocional (N)

Comprador de Cobertura

Como se ve, la compensación de una CLN puede estructurarse de dos maneras distintas: en caja ó físicamente. Si es en caja el comprador de cobertura recibe la diferencia entre el valor nominal de los títulos emitidos por la entidad de referencia y el valor de mercado. Si es físicamente, el comprador de cobertura recibe el valor nominal de los títulos emitidos por la entidad de referencia, pero deberá entregar los títulos en default. En cualquier caso la forma de liquidación, sea física o en caja, se determina al inicio del contrato.

Ventajas: i) ii) iii)

iv)

Se manejan plazos largos. Al menos en mercados desarrollados es posible conseguir cobertura hasta por 10 años. En mercados emergentes plazos de 5 años pueden conseguirse No tiene ningún costo inicial El costo es fijo y determinado desde el comienzo. Si no hay evento de crédito entonces el costo se conoce para toda la vida del CDS. Si se presenta evento de crédito entonces parte del costo puede recuperarse La prima es proporcional hasta la fecha de un default. Si usted compra protección por 5 años y ocurre un default al final del primer mes, la prima que usted debe es 1/12 de la prima anual. En mercados desarrollados se ha logrado un alto nivel de estandarización. Para mercados emergentes esto son buenas noticias porque gran parte de los contratos existentes pueden ser adaptados relativamente fácil al medio.

Desventajas: i) ii)

El pago ante un evento de crédito es indeterminado ya que depende de los precios de mercado de la deuda externa después de dicho evento. El plazo del CDS es crucial porque el comprador de cobertura no recibe ningún pago si no ocurre un evento de crédito. Es difícil tener el criterio suficiente para determinar qué plazo

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

iii)

es el mejor. Usted puede comprar protección por dos años y si el evento de crédito ocurre en el mes 25, usted no recibe ningún pago. El costo de renovar un CDS puede ser alto si las condiciones de crédito se han deteriorado.

24.4 Swap de Retorno Total (Total Return Swap) En un Swap de Retorno Total (SRT) un inversionista (quien recibe el retorno total) entra en un contrato de derivados para recibir todos los flujos de caja asociados con un activo de referencia, sin adquirir realmente dicho activo. A cambio de esos flujos, el inversionista hace pagos periódicos a DTF más un spread a su contraparte (el pagador del retorno total). En caso de que el emisor del activo de referencia haga default durante la vida del swap, el inversionista asume las pérdidas asociadas a este hecho. Si no ocurre default del emisor del activo subyacente, a la madurez del mismo el pagador del retorno total paga la diferencia entre el precio en ese momento del activo de referencia y su precio al momento en que se firmó el contrato.

Ventajas: i) ii)

iii)

iv)

No tiene ningún costo inicial. Las ganancias o pérdidas, de acuerdo con una valoración mark-to-market se pagan periódicamente El plazo de un SRT es menos crítico que en un CDS. Esto se debe a que el SRT se basa en el valor de mercado de bonos que permanecen en circulación. Al expirar el SRT, este pagará de acuerdo al valor de mercado de los bonos. A diferencia del CDS, el SRT puede extenderse sin pagos adicionales. Esto se debe a que el SRT paga el valor de mercado a la madurez con base en el valor de mercado de los bonos subyacentes. En mercados desarrollados se consiguen plazos hasta de 5 años

Desventajas: i) El costo total es indeterminado. Si el mercado mejora y usted está en un SRT en donde paga los flujos originados por un bono, el SRT expira produciéndole una pérdida igual a la diferencia entre el valor de mercado al comienzo del contrato y el valor de mercado al vencimiento.

24.5 Eventos de Crédito A lo largo de este capítulo nos hemos referido constantemente a derivados de crédito que derivan sus pagos cuando un evento de crédito ocurre; la pregunta obligada es entonces, qué se considera un evento de crédito?. A continuación se resumen los hechos considerados eventos de crédito según el contrato ISDA2:

El contrato ISDA, por sus siglas en inglés de International Swaps Dealers Association, es un contrato estándar para operaciones con derivados financieros en los Estados Unidos. De este contrato se extraen la mayoría de los términos en los que se redactan contratos Marco en otros países.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

1. Incumplimiento de Pagos: Si después de un período de gracia, determinado posteriormente luego de una fecha de pago, una entidad de referencia no ha cumplido con sus pagos en una cantidad mayor a un monto límite3, se considera que ha ocurrido un evento de crédito. 2. Aceleración de obligaciones: Si una o más obligaciones se vencen y deben ser pagadas antes de lo establecido originalmente, como resultado de un default, se dice que ha ocurrido un evento de crédito 3. Reestructuración: Si hay un deterioro en la calidad crediticia y uno o más de los siguientes hechos ocurren con respecto a una obligaciones, se dice que hay un evento de default: i) ii) iii) iv) v)

Una disminución en la tasa o la cantidad de intereses o principal respecto a los que se habían programado inicialmente Una postergación o aplazamiento en una fecha de pago de intereses o amortizaciones de capital Un cambio en el ranking de prioridades de pago Un cambio en la moneda en que se deberían haber hecho los pagos de intereses o principal Si los tenedores de una obligación crediticia son obligados a intercambiar esta por otra de menor calidad.

4. Moratoria: Si la entidad de referencia rechaza la validez de una o más obligaciones o declara la moratoria con respecto a una o más obligaciones, se dice que ha ocurrido un evento de crédito. Esto fue lo que ocurrió en el evento de crédito de Argentina.

24.6 Aplicación de Derivados de Crédito en Mercados Emergentes Los derivados de crédito están actualmente en etapa de crecimiento en mercados desarrollados, pero esto no implica que no tengan simultáneamente un gran potencial en mercados emergentes. Miremos cómo podrían estructurase en mercados emergentes este tipo de productos.

25.6.1 Credit Default Swap Suponga un fondo de inversión en Colombia que desea tener exposición a la DTF. Suponga además que en el mercado no hay mucha oferta de papeles ligados a DTF y que al manejador del fondo le es ofrecido un papel de este tipo pero por disposiciones internas no puede tomar exposición crediticia en ese emisor; dicho manejador de fondos va a querer entrar en un CDS como comprador de cobertura, evitando así el riesgo crediticio, al tiempo que logra el objetivo de quedar expuesto a la DTF.

25.6.2 Nota Estructurada Para estructurar una Nota Estructurada se hace necesario contar con un VPE, que puede ser por ejemplo una fiduciaria. Suponga que se va a estructurar una Nota Estructurada en Colombia, 3

Este monto límite se conoce en la literatura anglosajona como threshold.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

denominada en pesos, tanto en la prima que paga el comprador de cobertura como en el rendimiento que recibe el inversionista. Como ya se explicó, en una Nota Estructurada (CLN), la fiduciaria debe invertir los recursos recibidos del inversionista en un colateral de alta calidad. No existe ningún emisor colombiano que pueda llamare “Cero Riesgo”. Podríamos decir que el gobierno es el mejor riesgo, pero ciertamente hoy por hoy la República de Colombia, como emisor, está lejos de ser cero riesgo. La fiduciaria tiene entonces la alternativa de invertir en un activo de muy buena calidad denominado en dólares, pero entonces se le genera un problema adicional, como es que tiene una fuente de ingresos en pesos (la prima que paga el comprador de cobertura) y otra en dólares (el rendimiento del colateral de alta calidad). Como el rendimiento que se compromete a entregarle al inversionista está denominado en dólares, deberá entrar en un swap de tasa de cambio para cambiar el rendimiento en dólares a pesos. Miremos entonces gráficamente cómo sería la estructura de una Nota Estructurada en un mercado como el colombiano:

Estructura:

Mesa de Swaps

r (en USD)

Inversionista

r (en pesos)

Fiduciaria

r (en USD)

CAC Nocional (N en USD)

Nocional (N en pesos) p (pesos)

Comprador de Cobertura Dos cosas pueden entonces ocurrir: la entidad de referencia hace default o por el contrario continúa honrando su deuda hasta el final. Miremos qué pasaría en cada caso: No hay evento de default:

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

Mesa de Swaps

N (en USD)

Inversionista

N (en pesos)

Fiduciaria

N (en USD)

CAC Nocional (N en USD)

Nocional (N en pesos) p (pesos)

Comprador de Cobertura En este caso la inversión en el CAC llega a su final y la fiduciaria recibe el nocional en dólares. Vía el swap de tasa de cambio, que también llega a su final, la fiduciaria entrega esos dólares del nocional y recibe a cambio un monto en pesos igual a la inversión inicial que hizo el inversionista. Ese nocional en pesos es transferido completamente al inversionista, mientras que el comprador de cobertura no recibe ningún pago.

Se presenta default de la entidad de referencia: En este caso deberá venderse el CAC antes del vencimiento y simultáneamente liquidar el swap a precios de mercado. Liquidar el swap a precios de mercado significa que como la fiduciaria tiene una obligación en dólares y un derecho en pesos, deberá descontar a valor presente los flujos restantes del swap en pesos y restarle el valor presente de los flujos en dólares convertido a pesos al multiplicarlo por la tasa de cambio vigente. Si la devaluación en el momento de default es muy alta, la fiduciaria tendrá una perdida por el swap, la cual podrá ser compensada por una ganancia con la venta del CAC4. Si la devaluación es muy baja, los ingresos que la fiduciaria recibe, producto de la venta del CAC son menores que en el primer caso, pero este faltante puede ser compensado con una ganancia en el swap.

En efecto, como el CAC está denominado en dólares, al multiplicar dichos dólares por la tasa de cambio vigente, la cual se ha asumido está alta, significa más pesos.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

Mesa de Swaps

N (en USD)

Inversionista

N (en pesos)

N (en USD)

Fiduciaria

Títulos en default

CAC Nocional (N en USD)

N (en pesos)

Comprador de Cobertura

El nocional es transferido de la fiduciaria al comprador de cobertura, quien en ese momento entregará a cambio unos títulos en default o el valor de mercado de los mismos, según como se haya acordado desde el inicio. Es importante aclarar que estructurar una figura de estas en mercados emergentes, involucra un riesgo adicional para la fiduciaria, como es la calidad crediticia de la entidad que está haciendo el swap de tasa de cambio. Aunque el riesgo para el inversionista es la fiduciaria y en menor medida el llamado CAC, la calidad crediticia de la fiduciaria puede verse seriamente deteriorada en caso de que la entidad que estructuró el swap de tasa de cambio entre en default5.

24.7 Cómo determinar la prima en un CDS Es claro que el precio de un CDS depende básicamente de cuatro factores:    

Calidad crediticia de la entidad de referencia Tasas de recuperación esperadas en la entidad de referencia y el vendedor de cobertura Calidad crediticia del vendedor de protección Correlación entre la probabilidad de default de la entidad de referencia y el vendedor de protección

En realidad este punto no es muy claro, pues si la entidad que estructuró el swap está domiciliada en el país emergente, el hecho de entrar en default puede coincidir con una mala condición económica generalizada en el país, lo cual finalmente se traduce en una alta devaluación. Como la fiduciaria tiene una obligación en dólares y un derecho en pesos con dicha entidad, si esta última no cumple con los flujos restantes puede significar un beneficio para la fiduciaria, pues podrá vender esos dólares a una tasa de cambio más alta.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

Aunque el comprador de cobertura ejerce su seguro en caso de default por parte de la entidad de referencia, también es cierto que tiene un riesgo asociado con la calidad crediticia del vendedor de cobertura, pues si este hace default, tendría que salir al mercado a buscar una nueva cobertura, con el riesgo de que la prima pueda estar más alta de lo que estaba pagando inicialmente. A continuación se propone un método libre de arbitraje. Pueden existir otros métodos basados en modelos de riesgo de crédito, pero este es más fácil de implementar. Supongamos que tenemos una inversión en la entidad de referencia al mismo plazo del CDS que paga un rendimiento variable igual a Rf+S donde Rf es la tasa libre de riesgo y S el spread sobre el activo libre de riesgo. Para poder realizar esta inversión, los recursos deberán salir de un fondeo cuyo costo es de Rf+F. F es el spread sobre el activo cero riesgo del costo del fondeo. Adicionalmente compramos cobertura sobre la entidad de referencia a un costo anual de P. Como esta es una inversión cero riesgo y no implica un desembolso inicial de recursos propios pues la inversión se fondea a la tasa especificada y el CDS no tiene ningún costo inicial, la rentabilidad deberá ser igual a cero. Por lo tanto: (Rf+S) – (Rf+F) – P = 0 Por lo tanto P = S – F

(24.1)

Quiere decir que la prima deberá ser igual a la diferencia de los spreads sobre la tasa libre de riesgo entre una inversión en la entidad de referencia y el costo del fondeo. Miremos el caso colombiano donde alguien está interesado en comprar cobertura sobre una entidad de referencia. El costo de su fondeo es DTF+F y el rendimiento de una inversión en un papel de la entidad de referencia al mismo plazo del CDS es de DTF+S. Si el costo de la prima es de P, entonces, de nuevo P = S – F, donde S y F son los spreads sobre DTF de una inversión en la entidad de referencia y del costo del fondeo, respectivamente. Es válido comparar el costo de esta prima contra la rentabilidad que se obtendría si se hiciera una inversión en un activo libre de riesgo como los Bonos del Tesoro Americano. Como el fondeo está en pesos, mientras que el rendimiento está en dólares, es necesario hacer un swap de tasa de cambio para cambiar el rendimiento a pesos. Si llamamos Rf la rentabilidad de los Bonos del Tesoro Americano en términos de dólares y D la devaluación a la que es posible vender esos dólares a futuro, entonces: rf = R f + D Donde: rf

= rentabilidad cero riesgo en pesos6

Para que no haya arbitraje debe cumplirse que rf = DTF + F 6

En realidad esta rentabilidad no es completamente cero riesgo, pues existe el riesgo crediticio de la entidad que está realizando el swap de tasa de cambio. Para que fuera cero riesgo tendría que garantizarse que la entidad que hace el swap de tasa de cambio sea igualmente cero riesgo, lo cual es casi imposible de conseguir

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

Donde: DTF + F

= Costo del fondeo

En efecto esta relación se mantiene en términos generales. Por ejemplo, con un costo de fondeo de 8,3% separado entre una DTF de 7,3% y un F de 1%, dado que la rentabilidad de los Bonos del Tesoro Americano a 3 años es del 2,3%, debería ser cierto que la devaluación implícita a la que pueden venderse dólares a 3 años sea del 6%, lo cual coincide con lo observado en el mercado.

Capítulo 24 – Derivados de Crédito

CASO 3: DERIVADOS DE CRÉDITO Introducción Durante los últimos años se ha popularizado en Estados Unidos el uso de derivados de crédito como los Credit Default Swaps (CDS), los Total Return Swaps (TRS) y los Credit Linked Notes (CLN), los cuales permiten tener exposición a variables de mercado pero evitando el riesgo de crédito7. En Colombia todavía estos productos aparecen como algo novedoso, pero sin duda tendrán un crecimiento importante en los próximos años. Hacia finales de 2002, el equipo de estructuración del Banco ABC, pensando en nuevos productos para ofrecerle al mercado, entendió que un tipo de derivados de crédito, las CLN, podrían tener un importante mercado en Colombia, debido a que por esos días el riesgo crediticio del país se encontraba muy deteriorado. Lo que siguió fue una agresiva estrategia comercial para determinar el mercado potencial de estas Notas y aspectos tales como el valor de la prima y rentabilidad de la Nota.

Ambiente Político y Económico En agosto de 2002 un nuevo presidente, el liberal disidente Alvaro Uribe Vélez, había tomado posesión como nuevo presidente de los colombianos en medio de una gran expectativa por lo que pudiera ser su eficacia en la lucha contra los grupos irregulares, luego de unas frustradas negociaciones entre la guerrilla de las FARC y el gobierno del saliente presidente Andrés Pastrana Arango. Las condiciones en las que el presidente Uribe encontró a Colombia denotaban la dura situación que debería enfrentar. El déficit fiscal era superior al 4% del PIB, el nivel de la deuda estaba cercano al 60% del PIB y lo más preocupante, la tasa de desempleo era del 18%. Adicionalmente el crecimiento de la economía escasamente alcanzaba el 1,5% anual. Con estas cifras era evidente que la calidad crediticia del país se había deteriorado y no era pues sorprendente que agencias calificadoras de riesgo como Standard & Poors y Moody’s estuvieran pensando en una nueva baja en la calificación. Todas estas razones consideradas por los analistas como fundamentales, sumadas a otras razones de orden microeconómico, llevaron a que las tasas de rendimiento ofrecidas por los Títulos de Tesorería (TES)8 alcanzaran máximos históricos los días previos a la posesión de Álvaro Uribe. Así las cosas, aun cuando muchos inversionistas argumentaban que todo su negocio estaba en Colombia y que si el país hacía default no había nada que hacer pues irremediablemente ellos también harían default, muchos otros, pertenecientes al sector financiero, mostraron interés por un producto que pudiera cubrirles el riesgo crediticio de Colombia, pues lo utilizarían como “materia prima” para otros productos que pensaban ofrecer tales como fondos de capital garantizado. 7

Por favor remítase al Anexo 1 para una descripción de lo que es un CDS y un TRS. Los TES son los bonos emitidos por el gobierno colombiano. Las denominaciones emitidas hasta la fecha eran IPC (Índice de Precios al Consumidor), UVR (Unidad de Valor Real), TRM (Tasa Representativa del Mercado) y Tasa Fija, en plazos hasta de 10 años. 8

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Gráfica 1. Evolución de la Rentabilidad de los TES 18 17

Rentabilidad (%)

16 15 14 13 12 11 10 9 8 01-Oct-00 09-Ene-01 19-Abr-01 28-Jul-01 05-Nov-01 13-Feb-02 24-May- 01-Sep-02 10-Dic-02 20-Mar-03 02

Descripción del Producto Se quería estructurar una Nota en donde un Vehículo de Propósito Especial (VPE), que podría ser una fiduciaria, realizaba un CDS con un comprador de cobertura (CC). Según este acuerdo el CC se comprometía a pagar una prima (p) por un período de tiempo determinado al VPE. Simultáneamente el VPE emitiría una Nota Estructurada de contenido crediticio, la cual podría ser comprada por un inversionista que quisiera tomar riesgo Colombia. Para cubrir el riesgo Colombia, se pensó entonces en que el activo subyacente para la Nota que se estaba estructurando serían Títulos de Tesorería (TES), emitidos por la República de Colombia. Estos serían los títulos que el CC entregaría a la fiduciaria en caso de que Colombia hiciera default como cumplimiento al CDS entre ambas partes. Evidentemente era necesario definir una canasta de TES que el CC podría entregar, con el fin de no dejar la alternativa abierta a cualquier título o cualquier plazo. La canasta se redujo entonces a los TES más líquidos del mercado, tanto en tasa fija como ligados a IPC y UVR. La inclusión de los TES ligados a IPC y UVR era de suma importancia, pues los compradores de este tipo de papeles lo hacían por razones estratégicas y no especulativas, lo que significa que mantenían esos papeles por un período largo de tiempo y por supuesto estarían interesados en comprarles cobertura durante un período de dos a tres años. La estructura de la Nota es la siguiente: Un CDS es por decirlo de alguna manera, la “materia prima” para constituir una Nota de estas. Se establece entonces un CDS entre un CC y la fiduciaria. Por otro lado el inversionista hace un pago inicial, equivalente al monto sobre el cual se va a estructurar la Nota. Estos recursos son invertidos por la fiduciaria en un colateral de altísima calidad (CAC)9, el cual será el respaldo en caso de que Colombia haga default. Así, la fiduciaria tendrá dos fuentes de ingreso: una, la prima pagada por el 9

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CC y dos, los rendimientos recibidos por el CAC. De este rendimiento total se descartan los costos de estructuración y comisiones y el resto se traslada al inversionista como rendimiento por su inversión. El capital inicial puesto por el inversionista deberá ser igual al nocional sobre el que se estructura la Nota. Como ya se explicó, en una Nota de estas la fiduciaria debe invertir los recursos recibidos del inversionista en un colateral de alta calidad. No existe ningún emisor colombiano que pueda llamare “Cero Riesgo”. Podríamos decir que el gobierno es el mejor riesgo, pero ciertamente hoy por hoy la República de Colombia, como emisor, está lejos de ser cero riesgo. La fiduciaria tiene entonces la alternativa de invertir en un activo de muy buena calidad denominado en dólares, pero entonces se le genera un problema adicional, como es que tiene una fuente de ingresos en pesos (la prima que paga el CC) y otra en dólares (el rendimiento del CAC). Como el rendimiento que se compromete a entregarle al inversionista está denominado en pesos, deberá entrar en un swap de tasa de cambio para cambiar el rendimiento en dólares a pesos.

Mesa de Swaps

r (en USD)

Inversionista

R>TES

r (en pesos)

Fiduciaria

r (en USD)

CAC Nocional (N en USD)

Nocional (N en pesos) p (pesos)

Comprador de Cobertura Dos cosas pueden ocurrir entonces: Colombia hace default ó Colombia continúa honrando su deuda durante la vida de la Nota. Miremos a continuación qué pasa en cada uno de estos dos posibles eventos:

c) Colombia NO hace default: En este caso la inversión en el CAC llega a su final y la fiduciaria recibe el nocional en dólares. Vía el swap de tasa de cambio, que también llega a su final, la fiduciaria entrega esos dólares del nocional y recibe a cambio un monto en pesos igual a la inversión inicial que hizo el inversionista. Ese nocional en pesos es transferido completamente al inversionista, mientras que el CC no recibe ningún pago.

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d) Colombia hace default En este caso deberá venderse el CAC antes del vencimiento y simultáneamente liquidar el swap a precios de mercado. Liquidar el swap a precios de mercado significa que como la fiduciaria tiene una obligación en dólares y un derecho en pesos, deberá descontar a valor presente los flujos restantes del swap en pesos y restarle el valor presente de los flujos en dólares convertido a pesos al multiplicarlo por la tasa de cambio vigente. Si la devaluación en el momento de default es muy alta, la fiduciaria tendrá una perdida por el swap, la cual podrá ser compensada por una ganancia con la venta del CAC10. Si la devaluación es muy baja, evento muy poco probable, los ingresos que la fiduciaria recibe producto de la venta del CAC son menores que en el primer caso, pero este faltante puede ser compensado con una ganancia en el swap. El nocional es transferido de la fiduciaria al CC, quien en ese momento entregará a cambio unos TES en default o el valor de mercado de los mismos, según como se haya acordado desde el inicio. Es importante aclarar que estructurar una figura de estas en mercados emergentes como Colombia, involucra un riesgo adicional para la fiduciaria, como es la calidad crediticia de la entidad que está haciendo el swap de tasa de cambio. Aunque el riesgo para el inversionista es la fiduciaria y en menor medida el llamado CAC, la calidad crediticia de la fiduciaria puede verse seriamente deteriorada en caso de que la entidad que estructuró el swap de tasa de cambio entre en default11. La siguiente gráfica ilustra cómo fluye la caja en cada uno de los posibles eventos: No se presenta evento de default:

En efecto, como el CAC está denominado en dólares, al multiplicar dichos dólares por la tasa de cambio vigente, la cual se ha asumido está alta, significa más pesos para la fiduciaria. 11 En realidad este punto no es muy claro, pues si la entidad que estructuró el swap está domiciliada en Colombia, el hecho de entrar en default puede coincidir con una mala condición económica generalizada en el país, lo cual finalmente se traduce en una alta devaluación. Como la fiduciaria tiene una obligación en dólares y un derecho en pesos con dicha entidad, si esta última no cumple con los flujos restantes del swap puede significar un beneficio para la fiduciaria, pues podrá vender esos dólares producto de la venta del CAC a una tasa de cambio más alta, sin incurrir en la pérdida por la valoración del swap de tasa de cambio a precios de mercado.

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Mesa de Swaps

VP (en USD)

Inversionista

R>TES

VP (en pesos)

V (en USD)

Fiduciaria

CAC Nocional (N en USD)

Nocional (N en pesos) p (pesos)

Comprador de Cobertura Colombia hace default:

Mesa de Swaps

N (en USD)

Inversionista

R>TES

N (en pesos)

N (en USD)

Fiduciaria

TES en default

CAC Nocional (N en USD)

N (en pesos)

Comprador de Cobertura Donde: VP V

= Valor presente de los flujos futuros = Valor de mercado del CAC

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Para que la fiduciaria tenga suficientes fondos para cumplir con su obligación con el CC, deberá cumplirse que: [VP (en pesos) – VP (en USD) + V]  TRM  N (en pesos)

Potenciales Compradores de Cobertura Una de las primeras tareas llevadas a cabo por el equipo de estructuración del Banco ABC fue determinar los compradores potenciales de cobertura. Se pensó que bancos y fondos de pensiones y cesantías (AFP) podrían estar interesados en este tipo de productos. Sobre el terreno, luego de muchas visitas a clientes, se encontraron con la sorpresa de que los fondos de pensiones y cesantías no mostraban el interés supuesto. El principal argumento era el hecho de estar en Colombia, lo cual inexorablemente los ligaba al riesgo Colombia. El segundo argumento era el monto, pues era tal el tamaño de sus portafolios en Colombia que realmente cualquier momento que pudiera ofrecérseles resultaba pequeño. Otra de las razones, no manifestada directamente por los fondos pero conocida por el mercado, era el hecho de que se dedicaban en gran medida a labores de especulación, algo para lo que realmente no estaban diseñados las AFP. Finalmente otra de las razones, tampoco expresada directamente por las AFP pero que sin duda ejercía una influencia muy fuerte eran las disposiciones del ente regulador, en este caso la Superintendencia Bancaria, las cuales los obligaba a cumplir con una rentabilidad mínima, media en una proporción del 50% como la rentabilidad promedio de todos las AFP. Así, ninguno de ellos quería pagar una prima que por supuesto mejoraría las condiciones de riesgo crediticio, pero con el costo de ofrecer una menor rentabilidad. Por otra parte algunos bancos sí mostraron un gran interés, pensando en la posibilidad de crear unos fondos en Colombia con capital garantizado, sin importar lo que pasara con la calidad crediticia del país. Este tipo de clientes se perfilaban como los mayores compradores de cobertura. Otros inversionistas con mayor nivel de sofisticación se mostraron interesados pero sólo si el Banco ABC actuara como market maker de cobertura, esto es con disponibilidad permanente para comprar o vender cobertura. Por supuesto que esto no era viable en un mercado en donde el mercado de coberturas de crédito no tenía absolutamente ninguna liquidez12.

Compradores Potenciales de las Notas (CN) Las AFP pasaron de ser compradoras de cobertura a compradoras de las Notas. Confirmando que para ellas el nombre del juego es rentabilidad, estaban dispuestas a seguir incrementando su exposición al riesgo Colombia comprando estas Notas. Los CN siempre iban a referenciar la rentabilidad de la Nota a la rentabilidad de los TES con plazo similar. Por esto era necesario que la rentabilidad de estas Notas estuvieran un spread por encima de la rentabilidad de los TES, spread que se determinó, de acuerdo con visitas a clientes, que podría estar entre 70 y 100 puntos básicos (pb). En general existía un argumento adicional a la rentabilidad para comprar este tipo de Notas: como no existía un mercado líquido de ellas, no había forma de hacerles valoración mark-to-market como 12

De hecho este producto era el primer derivado de crédito que se estaba estructurando en Colombia

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sí podía hacérsele a los TES. De acuerdo con la Resolución número 033 de Superbancaria, las inversiones deberían clasificarse así: i) Inversiones Negociables: Aquellas que podían venderse en cualquier momento. Deberían ser valoradas diariamente contra el mercado y esta utilidad o pérdida debería ir contra el P&G. ii) Inversiones al Vencimiento: Debían dejarse hasta el vencimiento y no se valoran a precios de mercado. Se valoran a TIR de compra y esta utilidad se lleva al P&G. iii) Inversiones Disponibles para la Venta: La entidad debe dejarlas como no negociables al menos durante el presente año fiscal. Al finalizar el año fiscal podrá reclasificarla como Negociable o al Vencimiento y no podrá cambiar esa clasificación. Una inversión como las Notas se clasifican como Inversiones al Vencimiento, lo que permite su valoración a TIR de compra. Por esta razón, alguien que compraba un TES debería valorarlo a precios de mercado, dejando así su utilidad expuesta a las fuertes variaciones en la rentabilidad de estos papeles. Por el contrario quien comprara una Nota de estas, no tendría que valorarla a precios de mercado, estabilizando mucho más su P&G.

Plazo de las Notas El plazo de las Notas se convertía en otro factor esencial para definir la prima que debería pagar el CC. Aunque la situación del país era complicada en materia económica y social, la llegada del nuevo presidente sirvió para mejorar considerablemente el clima de confianza entre los inversionistas locales y extranjeros, tal como lo revelaba el spread que pagaba la deuda colombiana denominada en dólares sobre los Bonos del Tesoro de los Estados Unidos. Gráfica 2. Spreads de la deuda colombiana sobre Bonos del Tesoro Americano 1,400 1,200

Spread (bp)

1,000 800 600 400 200 0 12-Sep-98

31-Mar-99

17-Oct-99

04-May-00

20-Nov-00

08-Jun-01

25-Dic-01

13-Jul-02

29-Ene-03

Este moderado optimismo hacía que un año no fuera un plazo al que los CC mostraran mucho apetito. Plazos de dos años y superiores se hacían mucho más atractivos, pues el gobierno no tenía asegurada la financiación de su presupuesto. Adicionalmente la situación de violencia social que sacude a Colombia siempre es un aspecto que mantiene preocupados a los inversionistas, sobre todo aquellos domiciliados en el exterior, y es una fuerte razón para mantenerse al margen de las oportunidades que Colombia pueda ofrecer.

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Esta percepción del alto riesgo que todavía representaba Colombia para plazos mayores a 2 años se notaba en la prima que los CC debían pagar por cubrir el riesgo Colombia en Estados Unidos (EU). Hacia mediados de enero de 2003, las primas por plazo en EU estaban en los siguientes niveles:

Plazo (Años) 1 2 3 4 5

Prima (%) 2,83 5,33 6,60 7,10 7,60

Note cómo el salto más fuerte se presenta entre los plazos de uno a dos años. Quiere esto decir que si bien los inversionistas están tranquilos sobre la capacidad de Colombia de honrar su deuda en el próximo año, la situación cambia de manera importante a un plazo de dos años. En tres años también se nota un incremento importante y de ahí en adelante los incrementos son considerablemente menores. En otras palabras, de este análisis se deduce que la percepción es que si Colombia pasa con éxito los próximos tres años, estará muy bien posesionado para seguir cumpliendo con sus obligaciones. Dos y tres años eran entonces los plazos más adecuados para ofrecer cobertura en Colombia.

Determinación de la Prima Con toda esta información se podía tener una idea de cuál sería la prima que el comprador de cobertura estaría dispuesto a pagar para plazos de dos y tres años. Una inversión en un TES, cubierta con un CDS y teniendo en cuenta el costo del fondeo debería tener una rentabilidad muy cercana a cero porque el riesgo crediticio se ha cubierto completamente. La siguiente tabla muestra la rentabilidad de los TES en el mercado secundario: Plazo (Años)

Rentabilidad TES (%)

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 6,0

9,00 10,00 10,60 11,50 12,00 13,60 14,84

El valor de la prima (p) será entonces: p

1  rTES 1 1  rfondeo

Asumiendo que el costo de fondeo es del 6,0% a dos años y del 7,0% a 3 años, la prima será:

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p 2 años =

1  10,60%  1 = 4,35% 1  6,00%

p 3 años =

1  12,00%  1 = 4,67% 1  7,00%

Anexo 1 1.

Credit Default Swaps (CDS)

Es el más popular de los derivados de crédito. Es un contrato en el cual una parte (comprador de cobertura) se compromete a pagar una prima a su contraparte (vendedor de cobertura) durante un período de tiempo determinado, sobre un nocional previamente establecido. El acuerdo se firma con un crédito específico como subyacente, al que llamaremos entidad de referencia. Así, si esta entidad de referencia entra en default durante el período que dura este acuerdo swap, el vendedor de cobertura se compromete a entregarle al comprador de cobertura el nocional y el swap se da por terminado. Si no hay evento de default, el comprador de cobertura simplemente habrá pagado una prima, como quien paga un seguro de un carro y nunca reclama por este. Se utilizan para aislar el riesgo de crédito y transferir dicho crédito a tomadores de riesgo, sin necesidad de comprar o vender físicamente los activos y por lo tanto, sin desembolsos iniciales de capital. Piense por ejemplo en alguien que desea tener exposición a la DTF pero quiere evitar el riesgo crediticio que implica adquirir un papel con un rendimiento ligado a esta tasa de interés. Lo que debería hacer entonces es adquirir el papel en mención y luego entrar como comprador de cobertura en un CDS. Así, tendrá su capital garantizado, mientras que el rendimiento finalmente estará ligado a la DTF. La estructura se resume en la siguiente gráfica:

a) No hay Default

Vendedor de Cobertura

Prima (p)

Comprador de Cobertura

b) Si hay Default

Vendedor de Cobertura

Nocional (N)

Comprador de Cobertura

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Swap de Retorno Total (Total Return Swap)

En un Swap de Retorno Total (TRS) un inversionista (quien recibe el retorno total) entra en un contrato de derivados para recibir todos los flujos de caja asociados con un activo de referencia, sin adquirir realmente dicho activo. A cambio de esos flujos, el inversionista hace pagos periódicos a DTF más un spread a su contraparte (el pagador del retorno total). En caso de que el emisor del activo de referencia haga default durante la vida del swap, el inversionista asume las pérdidas asociadas a este hecho. Si no ocurre default del emisor del activo subyacente, a la madurez del mismo el pagador del retorno total paga la diferencia entre el precio en ese momento del activo de referencia y su precio al momento en que se firmó el contrato.

Ventajas: v) vi)

vii)

viii)

No tiene ningún costo inicial. Las ganancias o pérdidas, de acuerdo con una valoración mark-to-market se pagan periódicamente El plazo de un TRS es menos crítico que en un CDS. Esto se debe a que el TRS se basa en el valor de mercado de bonos que permanecen en circulación. Al expirar el TRS, este pagará de acuerdo al valor de mercado de los bonos. A diferencia del CDS, el TRS puede extenderse sin pagos adicionales. Esto se debe a que el TRS paga el valor de mercado a la madurez con base en el valor de mercado de los bonos subyacentes. En mercados desarrollados se consiguen plazos hasta de 5 años

Desventajas: i) El costo total es indeterminado. Si el mercado mejora y usted está en un TRS en donde paga los flujos originados por un bono, el TRS expira produciéndole una pérdida igual a la diferencia entre el valor de mercado al comienzo del contrato y el valor de mercado al vencimiento.

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Preguntas: 1. Qué tipo de cliente tendría más potencial para ser comprador de cobertura entre uno con un portafolio puramente especulativo como una firma comisionista de Bolsa ó uno con un portafolio estructural ó de largo plazo como debería ser un fondo de pensiones? 2. Cuáles son los riesgos totales a los que se ven enfrentados los compradores de cobertura (CC)? 3. Qué riesgo crediticio está corriendo el comprador de estas Notas (CN)? 4. Por qué las Notas deberían ofrecer un spread sobre la rentabilidad de los TES y no simplemente venderse a la misma rentabilidad? 5. Qué riesgos de mercado está corriendo la fiduciaria en caso de que Colombia entre en default? 6. El CC siempre va a comparar el costo de la prima con la rentabilidad que el obtuviera si invirtiera en Bonos del Tesoro Americano y les hiciera la cobertura a pesos. Suponga que la rentabilidad de los Bonos Americanos es del 2,0% a dos años y del 2,3% a tres años y que las devaluaciones forward para dos y tres años son de 5,0% y 5,5%, respectivamente. Existen oportunidades de arbitraje?

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Lecturas Adicionales Bomfim, Antulio N. “Credit Derivatives and Their Potential to Synthesize Riskless Assets”. The Journal of Fixed Income. Diciembre de 2002 Das, Satyajit. “Credit Derivatives and Credit Linked Notes”. Ed. Wiley Frontiers in Finance. Segunda Edición, 2000. JP Morgan. Emerging Markets Research. Emerging Markets Today. Beinstein, Eric. Junio 6 de 2002. Morgan Stanley Fixed Income Research – Latinoamérica. Special Report: “Credit Derivative Primer”. Abril 22 de 2002.