C A
P T T TI T. o
La transformada de Laplace 9.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS La TFTC es una herramienta poderosa para el análisis de señales y sistemas en TC, pero tiene sus li-itaciones. Existen algunas señales útiles que no tienen una TFTC, incluso en el sentido generalizajue permite impulsos en la TFTC de una señal. La TFTC expresa señales como combinaciones 'rales de senoides complejas. La transformada de Laplace expresa señales como combinaciones li- _es de exponenciales complejas, las cuales son las funciones propias de las ecuaciones diferenciales . describen a los sistemas LIT en tiempo continuo. Las senoides complejas son un caso especial de 7'?nenciales complejas. Por lo tanto, la transformada de Laplace es más general que la TFTC. La -->formada de Laplace puede describir funciones que la TFTC no puede. Caracteriza por completo - respuestas al impulso de sistemas LIT; dado que las describe como combinaciones lineales de ex;«: vencíales complejas, las funciones propias de los sistemas LIT encapsulan de manera directa las cancterísticaS de un sistema en una forma poderosa. Muchas técnicas de análisis y diseño de sistemas « b a s a n en la transformada de Laplace. ^ [ F T T V O S nFT, C A P Í T I I T O
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Formular un nuevo método de transformada, la de Laplace. que es aplicable a más señales y sistemas que la de Fourier. Definir la gama de señales a las cuales se aplica la transformada de Laplace. Mostrar la relación entre las transformadas de Laplace y las de Fourier. Mostrar la relación entre la transformada de Laplace de la respuesta al impulso de un sistema LIT y las funciones propias de ese sistema. Deducir e ilustrar las propiedades de la transformada de Laplace, en especial aquellas que no tienen una contraparte directa en la transformada de Fourier Mostrar cómo es posible utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales.
f J FORMULACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE : EDUCCIÓN Y
DEFINICIÓN
Otando se extiende la serie de Fourier a la transformada de Fourier, se deja que el periodo fundamen«i de la señal periódica aumente hasta infinito para hacer que las frecuencias discretas en la SFTC le combinen en el continuo de frecuencias / en la TFTC. Esto lleva a dos definiciones alternativas de b transformada de Fourier, OO
X(jcd) =
/ Y.{t)e-'''"'
dt
(9.1)
x(0
OO
X(/)=
/
Y.{t)e~''-^'f'dt
x(0=
/ /
X(/)
df.
(9.2)