Vectores Producto puno Proyecciones Rectas y planos Tips para cuidar tu cuerpo Chistes Curiosidades y más.
Julio Castillo Estudiante de Ingeniería en Ciencia de Alimentos Edad: 19 años Pasatiempos: Deporte, carros, motocicletas y escuchar música.
Gabriela Manrique: Estudiante de Ingeniería Mecatrónica Edad: 19 años Pasatiempos: Jugar Baloncesto, ver partidos de NFL ,MLB y NBA
Manuel Vásquez Estudiante de Licenciatura en Física. Edad: 19 años Pasatiempos: Ciencias y música.
Rodolfo Prieto Estudiante Ingeniería Química Edad: 21 años Pasatiempos: Futbol y la música.
1.1
Geometría y álgebra de vectores
Vectores en el plano. Segmento de recta dirigida que indica cual es la desplazamiento de un punto a otro. Notación: U ! !" Característica de un vector. Tiene magnitud y dirección. Es natural representar dichos vectores usando coordenadas. Las coordenadas individuales (3 y 2 en el caso de a) se llaman los componentes del vector. Con frecuencia es conveniente usar vectores columna en lugar de (o además de 3 vectores reglón. Otra representación de [3,2] es [ ] (el punto importante es 2 que los componentes están ordenados) Puede ocurrir que en realidad no pueda dibujar el vector [0,0] = !! desde el origen hacia si mismo. No obstante. Es un vector perfectamente bueno y tiene u nombre especial; el vector cero. El vector cero se denota 0. El conjunto de todos los sectores con dos componentes se denota R2 (donde R denota el conjunto de números reales de donde se eligen los componentes de ! los vectores en R2). Por tanto, [-1,3.5], [! , 4] están todos en R2
Dos vectores se definen como iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección. Por tanto !" = !"
Ejemplo: Si A= (-1,2) y B= (3,4), encuentre !" y vuelva a dibujarlo (a) en posición estándar y (b) con su origen en el punto C=(2,-1) Solución: Calcular !" = [3 – (-1), 4-2] = [4,2]. Si entonces !" se traslada hacia !" donde C = (2, -1), entonces se debe tener D= (2 +4, -1 +2) = (6,1) vea la imagen. Nuevos vectores a partir de otros anteriores La suma de vectores es la primera operación vectorial básica. Si u = [u1, u2] y v= [v1, v2], entonces su suma u + v es el vector u + v= [u1 + v1, u2 + v2] La regla punta a origen: Dos vectores u y v en R2, traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u. La suma u + v de u y v es el vector desde el origen de u hasta la punta de v.
Al trasladar u y v paralelos a ellos mismos, se obtiene un paralelogramo. Este paralelogramo se llama paralelogramo determinado por u y v. Ello conduce a una versión equivalente de la regla punta a origen para vectores en posición estándar. La regla del paralelogramo Dados los vectores u y v en R2 (en posición estándar), su suma u + v es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal del paralelogramo determinado por u y v.
GEEK TIPS
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SI, NO TIENES PLANES
MEJOR ESTÚDIALOSJ _______________________________ ________ No tienes planes este fin de semana, mejor estudia los diferentes planos que hay y sus componentes.
Planos en IR3: Un plano debe tener 2 vectores de dirección sean u y v esos vectores dirección con la condición que no sea paralelos entre sí.
Planos en
IRn: Se define como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vector reglón o en columna.
Combinación Lineal: Un vector que sea una suma de múltiplos escalares de otros vectores es una combinación lineal de dichos vectores. En otras palabras un vector v es una combinación lineal de vectores v1, v2,…….vk si existen escalares c1, c2…, ck tales que v=c1v1+c2v2+…+ckvk los escalares c2,…,ck se llaman coeficientes de la combinación lineal. Ejemplo :
Vectores Binarios: son vectores cuyos componentes son un 0o un 1. En la imagen que se muestra y multiplicación.
a
continuación
se proporcionan las reglas de suma
Vectores binarios de longitud n: son el conjunto de toda las n-adas de 0 y 1 con toda la aritmética realizada.
Vectores
ternarios de longitud 5 : En general se tiene los conjuntos Zm = (0,1,2,…,m-1) de enteros modulo m corresponde a un reloj de m horas , como se muestra en la siguiente imagen . Un vector de longitud n cuyas entradas están en Zm se llama vector m-ario de longitud n . El conjunto de todos los vecotres m-arios de longitud n se denota por Znm. Ejemplo:
Producto punto Producto punto: es la suma del producto de las componentes de u y v. u y v deben tener la misma cantidad de componentes y el resultado es un escalar no un vector. ! ∙ ! = !1!1 + !2!2 … + !"#"
Ejemplos: o Producto punto: 3 § ! = −2 ! = 4 -‐8 2.5 § ! = 7 ! = 2 +14 = -‐1.5
2 5 ! ∙ ! = (3 ∙ 2) + (-‐2 ∙ 5) + (-‐1 ∙ 4) = 6 – 10 -‐4= −1 5 −4 ! ∙ ! = (2.5 ∙ 5) + (-‐4 ∙ 7) + (2 ∙ 7) = 12.5 – 28 7
Teorema 1.2 u ∙ ! = v ∙ ! ! ∙ ! + ! = ! ∙ ! + ! ∙ ! !" ∙ v = c(u ∙ ! ) ! ∙ ! ≥ 0
Longitud de un vector: La longitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los componentes al cuadrado de un vector. ! = !1! + !2! … !"! Teorema 1.3 ! = 0 si y solo si v=0 !" = ! !
Vector unitario Se le llama vector unitario a cualquier vector cuya longitud sea 1 sin importar su dirección. Normalización de vectores La normalización de vectores es un proceso por el cual se toma un vector de cualquier magnitud y se divide por un número para convertirlo en un vector unitario. ! ! = ! ! Ejemplo: 3 Normalice el vector u= 5 1 ! = 3! + 5! + 1! = 9 + 25 + 1 = 35 3/ 35 ! V= !"= 5/ 35 1/ 35
Teorema 1.4 ! ∙ ! ≤ ! !
Algunas definiciones importantes: Normalizar: Encontrar un vector unitario en la misma dirección con frecuencia se conoce como normalizar. Distancia: la distancia d(u,v) entre los vectores d(u,v) = II u-v II
u y v en R^3 se define por
Ángulos: Para vectores u y v distintos en R^n cosΘ = u * v / II u II II v II Ortogonales: Dos vectores u y v en R^n son mutuamente ortogonales
si u* v = 0
Proyecciones: Si u y v son vectores en R^n y u no puede ser 0, entonces la proyección de v sobre u es el vector proy u(v) = (u * v / u * u ) u Ejemplos:
RECTAS Y PLANAS
Rectas y Planos Con Tips para cuidar tu cuerpo.
Aplicaciones
Vectores fuerza: Los vectores pueden usarse para modelar fuerzas. Con frecuencia, múltiples fuerzas actúan sobre un objeto. En tales situaciones, el resultado neto de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, es posible que la fuerza resultante sea cero. En este caso, el objeto claramente no se mueve en alguna dirección y se dice que esta en equilibrio. Cuando un objeto está en equilibrio y los vectores fuerza que actúan sobre él se ordenan de origen a la cola, el resultado es un polígono cerrado.
Ejemplo 1:
Ann jala el manubrio de un carro con una fuerza de 100N. Si el manubrio forma un Angulo de 20º con la horizontal, ¿cuál es la fuerza que tiende a jalar al carro hacia delante y cuál fuerza tiene a levantarlo del suelo? Solución:
Se ve que:
II fx II = II f lI cos 20º y II fy II = II f II sen 20º Por tanto ll fy ll = 100(0.9397) = 93.97 y ll fy ll = 100(0.3420) = 34.20. De modo que el carro se jala hacia delante con una fuerza aproximadamente de 9.97 N y tiende a elevarse del suelo con una fuerza aproximadamente de 34.20N Ejemplo 2: La figura 1 muestra un pintura que cuelga del techo mediante dos alambres. Si la pintura tiene una masa de 5kg y si los dos cables forman ángulos de 45 y 60 grados con el techo, determine la tensión del cable.
Suponga que la pintura está en equilibrio. Entonces los dos cables deben proporcionar suficiente fuerza ascendente para equilibrar la fuerza descendente de la gravedad. La gravedad ejerce una fuerza descendente de 5 X 9.8 = 49N sobre la pintura de modo que los dos cables deben jalar continuamente hacia arriba con 49N de fuerza. Sean f1 y f2 las tensiones en los cables y sea r su resultante. Se sigue que ll r ll = 4, pues está en equilibrio. Al usar la ley de senos, se tiene
Il f1 ll = ll f2 ll = ll r ll Sen 45º sen 30º sen 105º De modo que Il f1 ll = ll r ll sen 45º = 49(0.7071) = 35.87 y ll f2 ll = ll r ll sen 30º Sen 105º 0.9659 sen 105º 49(0.5) = 25.36 0.9659 por tanto, las tensiones en los cables son aproximadamente 35.8N y 25.36N
Vectores código: A lo largo de la historia, la gente ha transmitido información usando códigos. En ocasiones la intención es disfrazar el mensaje a enviar, como cuando cada letra en una palabra sustituye con otra diferente de acuerdo con una regla de sustitución. Un ejemplo familiar de tal código es el código Morse, con su sistema de puntos y rayas. Muchos acances tecnológicos recientes dependen de códigos y se les encuentra todos los días si estar al tanto de ellos: comunicaciones satelitales, reproductores de discos compacto, los códigos universales de producto (UPC) asociados con los códigos de barras que se encuentran en las mercancías y los números internacionales normalizados de los libros (ISBN) que se encuentran en todo libro publicado en la actualidad, son sólo algunos ejemplos. En esta sección se usaran vectores para diseñar códigos que detecten errores que pueden ocurrir en la transmisión de datos. Los vectores que surgen en el estudio de los códigos no son vectores en Rn, sino en Zn2 o, de manera mas general Znm. Dado que las computadoras representan los datos en términos de 0 y 1 ( que pueden interpretarse como encendido/apagado, cerrado/abierto, Falso/verdadero), comience por considerar códigos binarios, que consisten de vectores con entradas en Z2. Definición: Un código binario es un conjunto de vectores vinarios llamados vectores código. El proceso de convertir un mensaje en vector código se llama codificación, y el proceso inverso se llama decodificación.
Ejemplo 1: Código universal de producto O UPC Es un código asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barras negras y blancas que se escanean con un laser en un
mostrador de verificación en una tienda, corresponden a un vector 10-ario u=[u1, u2, … u11, d] de longitud 12. Los primeros componentes forman un vector de Z1110 que dan la información de fabricante y el producto; el ultimo componente d es un digito de control elegido de modo que c · u = 0 en Z10, donde el vector de control c es [ 3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] Esto es después de reordenar, 3( u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11) + (u2 + u4 + u6 +u8 + u10) donde d es el digito de control En otras palabras, el digito de control se elige de modo que el lado izquierdo de esta expresión sea un múltiplo de 10. Para el UPC que se muestra en la figura 2 puede determinar que el digito de control es 6, y realizar todos los cálculos en Z10. c · v = 3·0 +7 +3·4 + 9 + 3·2 + 7 + 3·0 + 2 + 3·0 + 9 + 3·4 + d = 3 ( 0 + 4 + 2 + 0 + 0 +4) + (7 +9 +7 +2+ 9) + d =3(0) +4+ d = 4 + d Ejemplo 2: El código de numero internacional, normalizado de libros de 10 dígitos (ISBN10) es otro cogido de digito de control muy utilizad. Esta diseñado para detectar más tipos de errores que el código universal de producto. El vector código es un vector Z1011 los primeros nueve componentes proporcionan el país, editor e información del libro, el decimo componente es el digito de control. Su ponga que el ISBN-10 de un libro es 0-534-34450-x. Se registra como vector. b = [0,5,3,4,3,4,4,5,0,x] donde el digito de control es la letra x Para el código ISBN-10, el vector de control es c= [10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] y se requiere que c·b= 0 en Z11 c·b= 10 · 0 + 9 · 5 + 8 · 3 + 7· 4 + 6 · 3 + 5 · 4 + 4 · 4 + 3 · 5 + 2 · 0 + d donde d es el digito de control. Comience por realizar todas las multiplicaciones en Z11 ( por ejemplo 9 · 5 = 1), pues 45 es 1 mas que el menor múltiplo cercano de 11 a saber, 44. En un reloj de 11 horas , las 45 en punto es 1 en punto) La suma simplificada es: 0+1+2+6+7+9+5+4+0+d y al suar en Z11 se obtiene 1 + d. En digito de contro d debe elegirse ahora de modo que el resultado sea 0; por tanto, en Z11, d= 10.
Ecuación Lineal Una Ecuación lineal en la n variables x1, x2.......xn es una ecuación que puede escribirse en la forma A1 x1
+
A2x2 +……… AnXn = b
Donde los coeficientes A1,A2….. An constantes.
y el termino constante b son
Matrices Forma escalonada por renglones Una matriz esta en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades: 1. Cualquier renglón consiste completamente de ceros esta en la parte baja. 2. En cada renglón distinto de 0, el primer elemento distinto de 0 (llamado elemento pivote) esta en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo el.
Sistema de ecuaciones lineales Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, cada una con las mismas variables. Ejemplo 2X – Y = 3 X +3Y = 5 Tiene [2,1] como solución, pues es una solución para ambas ecuaciones.
Sustitución hacia Atrás Ejemplo X - Y – Z Y +3Z = 5 5Z = 10
= 2
Trabajando hacia atrás se descubre sucesivamente que z = 2 y Y = 5 – 3(2) = -1 y X = 2 + (-1) + 2 = 3 de modo que la solución única es [3,-1,2] Operaciones elementales con renglones Las siguientes operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz.
1. Intercambiar dos renglones 2. Multiplicar un rengl贸n por una constante distinta de 0 3. Sumar un m煤ltiplo de un rengl贸n a otro rengl贸n Equivalentes por renglones Las matrices A y B son equivalentes por renglones si existe una secuencia de operaciones elementales con renglones que convierta A en B. TEOREMA 2.1 Las matrices A y B son equivalentes por renglones si y solo si pueden reducirse a la misma forma escalonada por renglones.
CHISTES
Era una fiesta de vectores y todos bailaban. Pero un escalar estaba solo sentado en una esquina y le preguntan:- Porque esa cara tan triste! – el responde: - Es que mi vida no tiene sentido
Tomate un tiempo para divertirte.
Qué es un hijo complejo? El resultado de una madre real y un padre imaginario.
¿Qué es un oso polar? Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.
¿Qué le dijo un vector a otro? ¿Tienes un momento?