Revista Álgebra en tu vida (AETUV)

Vectores Producto puno Proyecciones Rectas y planos Tips para cuidar tu cuerpo Chistes Curiosidades y más.

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Índice Geometría y algebra de vectores…………………………………………………. 3-10 Rectas y planos……………………………………………………………………………….11-21 Aritmética modular………………………………………………………………………… 21-24 Métodos directos para resolver sistemas lineales………………………25-25 Conjunto generadores e independencia lineal……………………………..26-30 Aplicaciones………………………………………………………………………………………..31-36 Chistes………………………………………………………………………………………………….37 Autores………………………………………………………………………………………………..38

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Geometría y álgebra de vectores Vectores en el plano.

Segmento de recta dirigida que indica cual es la desplazamiento de un punto a otro.

Notación: U ! !"

Característica de un vector.

Tiene magnitud y dirección.

Es natural representar dichos vectores usando coordenadas.

Las coordenadas individuales (3 y 2 en el caso de a) se llaman los componentes del vector.

Con frecuencia es conveniente usar vectores columna en lugar de (o además de 3 vectores reglón. Otra representación de [3,2] es [ ] (el punto importante es 2 que los componentes están ordenados) Puede ocurrir que en realidad no pueda dibujar el vector [0,0] = !! desde el origen hacia si mismo. No obstante. Es un vector perfectamente bueno y tiene u nombre especial; el vector cero. El vector cero se denota 0.

El conjunto de todos los sectores con dos componentes se denota R2 (donde R denota el conjunto de números reales de donde se eligen los componentes de ! los vectores en R2). Por tanto, [-1,3.5], [! , 4] están todos en R2

Dos vectores se definen como iguales si tienen la misma longitud y la misma dirección. Por tanto !" = !"

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Ejemplo: Si A= (-1,2) y B= (3,4), encuentre !" y vuelva a dibujarlo (a) en posición estándar y (b) con su origen en el punto C=(2,-1) Solución: Calcular !" = [3 – (-1), 4-2] = [4,2]. Si entonces !" se traslada hacia !" donde C = (2, -1), entonces se debe tener D= (2 +4, -1 +2) = (6,1) vea la imagen.

Nuevos vectores a partir de otros anteriores La suma de vectores es la primera operación vectorial básica.

Si u = [u1, u2] y v= [v1, v2], entonces su suma u + v es el vector u + v= [u1 + v1, u2 + v2] La regla punta a origen: Dos vectores u y v en R2, traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u. La suma u + v de u y v es el vector desde el origen de u hasta la punta de v.

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Al trasladar u y v paralelos a ellos mismos, se obtiene un paralelogramo. Este paralelogramo se llama paralelogramo determinado por u y v. Ello conduce a una versión equivalente de la regla punta a origen para vectores en posición estándar.

La regla del paralelogramo Dados los vectores u y v en R2 (en posición estándar), su suma u + v es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal del paralelogramo determinado por u y v.

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GEEK TIPS

___________________________

SI, NO TIENES PLANES

MEJOR ESTÚDIALOSJ _______________________________ ________ No tienes planes este fin de semana, mejor estudia los diferentes planos que hay y sus componentes.

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Planos en IR3: Un plano debe tener 2 vectores de dirección sean u y v esos vectores dirección con la condición que no sea paralelos entre sí.

Planos en

IRn: Se define como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vector reglón o en columna.

Combinación Lineal: Un vector que sea una suma de múltiplos escalares de

otros vectores es una combinación lineal de dichos vectores. En otras palabras un vector v es una combinación lineal de vectores v1, v2,…….vk si existen escalares c1, c2…, ck tales que v=c1v1+c2v2+…+ckvk los escalares c2,…,ck se llaman coeficien tes de la combinación lineal.

Ejemplo :

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Vectores Binarios: son vectores cuyos componentes son un 0o un 1. En la imagen que se muestra y multiplicación.

a

continuación

se proporcionan las reglas de suma

Vectores binarios de longitud n: son el conjunto de toda las n-adas de 0 y 1 con toda la aritmética realizada.

Vectores

ternarios de longitud 5 : En general se tiene los conjuntos Zm = (0,1,2,…,m-1) de enteros modulo m corresponde a un reloj de m horas , como se muestra en la siguiente imagen . Un vector de longitud n cuyas entradas están en Zm se llama vector m-ario de longitud n . El conjunto de todos los vecotres m-arios de longitud n se denota por Znm. Ejemplo:

Producto punto Producto punto: es la suma del producto de las componentes de u y v. u y v deben tener la misma cantidad de componentes y el resultado es un escalar no un vector.

! ∙ ! = !1!1 + !2!2 … + !"#"

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Ejemplos: o Producto punto: 3 § ! = −2 ! = 4 -­‐8 2.5 § ! = 7 ! = 2 +14 = -­‐1.5

2 5 ! ∙ ! = (3 ∙ 2) + (-­‐2 ∙ 5) + (-­‐1 ∙ 4) = 6 – 10 -­‐4= −1 5 −4 ! ∙ ! = (2.5 ∙ 5) + (-­‐4 ∙ 7) + (2 ∙ 7) = 12.5 – 28 7

Teorema 1.2 u ∙ ! = v ∙ ! ! ∙ ! + ! = ! ∙ ! + ! ∙ ! !" ∙ v = c(u ∙ ! ) ! ∙ ! ≥ 0

Longitud de un vector: La longitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los componentes al cuadrado de un vector. ! = !1! + !2! … !"!

Teorema 1.3 ! = 0 si y solo si v=0 !" = ! !

Vector unitario

Se le llama vector unitario a cualquier vector cuya longitud sea 1 sin importar su dirección.

Normalización de vectores La normalización de vectores es un cualquier magnitud y se divide por unitario. !

! = !

Ejemplo: 3 Normalice el vector u= 5 1 ! = 3! + 5! + 1! = 9 + 25 + 1 = 3/ 35 !

V= !"= 5/ 35 1/ 35

proceso por el cual se toma un vector de un número para convertirlo en un vector !

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Teorema 1.4 ! ∙ ! ≤ ! !

Algunas definiciones importantes: Normalizar: Encontrar un vector unitario en la misma dirección con frecuencia se conoce como normalizar.

Distancia: la distancia d(u,v) entre los vectores d(u,v) = II u-v II

u y v en R^3 se define por

Ángulos: Para vectores u y v distintos en R^n cosΘ = u * v / II u II II v II Ortogonales: Dos vectores u y v en R^n son mutuamente ortogonales

si u* v = 0

Proyecciones: Si u y v son vectores en R^n y u no puede ser 0, entonces la proyección de v sobre u es el vector proy u(v) = (u * v / u * u ) u Ejemplos:

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RECTAS Y PLANAS

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Rectas y Planos Con Tips para cuidar tu cuerpo.

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Aplicaciones

Vectores fuerza: Los vectores pueden usarse para modelar fuerzas. Con frecuencia, múltiples fuerzas actúan sobre un objeto. En tales situaciones, el resultado neto de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto, es posible que la fuerza resultante sea cero. En este caso, el objeto claramente no se mueve en alguna dirección y se dice que esta en equilibrio. Cuando un objeto está en equilibrio y los vectores fuerza que actúan sobre él se ordenan de origen a la cola, el resultado es un polígono cerrado.

Ejemplo 1:

Ann jala el manubrio de un carro con una fuerza de 100N. Si el manubrio forma un Angulo de 20º con la horizontal, ¿cuál es la fuerza que tiende a jalar al carro hacia delante y cuál fuerza tiene a levantarlo del suelo?

Solución:

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Se ve que: II fx II = II f lI cos 20º y II fy II = II f II sen 20º Por tanto ll fy ll = 100(0.9397) = 93.97 y ll fy ll = 100(0.3420) = 34.20. De modo que el carro se jala hacia delante con una fuerza aproximadamente de 9.97 N y tiende a elevarse del suelo con una fuerza aproximadamente de 34.20N Ejemplo 2: La figura 1 muestra un pintura que cuelga del techo mediante dos alambres.

Si la pintura tiene una masa de 5kg y si los dos cables forman ángulos de 45 y 60 grados con el techo, determine la tensión del cable.

Suponga que la pintura está en equilibrio. Entonces los dos cables deben proporcionar suficiente fuerza ascendente para equilibrar la fuerza descendente de la gravedad. La gravedad ejerce una fuerza descendente de 5 X 9.8 = 49N sobre la pintura de modo que los dos cables deben jalar continuamente hacia arriba con 49N de fuerza. Sean f1 y f2 las tensiones en los cables y sea r su resultante. Se sigue que ll r ll = 4, pues está en equilibrio.

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Al usar la ley de senos, se tiene

Il f1 ll = ll f2 ll = ll r ll

Sen 45º sen 30º sen 105º

De modo que

Il f1 ll = ll r ll sen 45º = 49(0.7071) = 35.87 y ll f2 ll = ll r ll sen 30º

Sen 105º

0.9659

sen 105º

49(0.5) = 25.36 0.9659

por tanto, las tensiones en los cables son aproximadamente 35.8N y 25.36N

Vectores código: A lo largo de la historia, la gente ha transmitido información usando códigos.

En ocasiones la intención es disfrazar el mensaje a enviar, como cuando cada letra en una palabra sustituye con otra diferente de acuerdo con una regla de sustitución.

Un ejemplo familiar de tal código es el código Morse, con su sistema de puntos y rayas. Muchos acances tecnológicos recientes dependen de códigos y se les encuentra todos los días si estar al tanto de ellos: comunicaciones satelitales, reproductores de discos compacto, los códigos universales de producto (UPC) asociados con los códigos de barras que se encuentran en las mercancías y los números internacionales normalizados de los libros (ISBN) que se encuentran en todo libro publicado en la actualidad, son sólo algunos ejemplos.

En esta sección se usaran vectores para diseñar códigos que detecten errores que pueden ocurrir en la transmisión de datos. Los vectores que surgen en el estudio de los códigos no son vectores en Rn, sino en Zn2 o, de manera mas general Znm. Dado que las computadoras representan los datos en términos de 0 y 1 ( que pueden interpretarse como encendido/apagado, cerrado/abierto, Falso/verdadero), comience por considerar códigos binarios, que consisten de vectores con entradas en Z2.

Definición: Un código binario es un conjunto de vectores vinarios llamados vectores código. El proceso de convertir un mensaje en vector código se llama codificación, y el proceso inverso se llama decodificación.

Ejemplo 1: Código universal de producto O UPC

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Es un código asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. Las barras negras y blancas que se escanean con un laser en un mostrador de verificación en una tienda, corresponden a un vector 10-ario u=[u1, u2, … u11, d] de longitud 12. Los primeros componentes forman un vector de Z1110 que dan la información de fabricante y el producto; el ultimo componente d es un digito de control elegido de modo que c · u = 0 en Z10, donde el vector de control c es [ 3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] Esto es después de reordenar, 3( u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11) + (u2 + u4 + u6 +u8 + u10) donde d es el digito de control En otras palabras, el digito de control se elige de modo que el lado izquierdo de esta expresión sea un múltiplo de 10.

Para el UPC que se muestra en la figura 2 puede determinar que el digito de control es 6, y realizar todos los cálculos en Z10. c · v = 3·0 +7 +3·4 + 9 + 3·2 + 7 + 3·0 + 2 + 3·0 + 9 + 3·4 + d = 3 ( 0 + 4 + 2 + 0 + 0 +4) + (7 +9 +7 +2+ 9) + d =3(0) +4+ d = 4 + d Ejemplo 2: El código de numero internacional, normalizado de libros de 10 dígitos (ISBN10) es otro cogido de digito de control muy utilizad. Esta diseñado para detectar más tipos de errores que el código universal de producto.

El vector código es un vector Z1011 los primeros nueve componentes proporcionan el país, editor e información del libro, el decimo componente es el digito de control. Su ponga que el ISBN-10 de un libro es 0-534-34450-x.

Se registra como vector. b = [0,5,3,4,3,4,4,5,0,x] donde el digito de control es la letra x Para el código ISBN-10, el vector de control es c= [10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] y se requiere que c·b= 0 en Z11 c·b= 10 · 0 + 9 · 5 + 8 · 3 + 7· 4 + 6 · 3 + 5 · 4 + 4 · 4 + 3 · 5 + 2 · 0 + d donde d es el digito de control. Comience por realizar todas las multiplicaciones en Z11 ( por ejemplo 9 · 5 = 1), pues 45 es 1 mas que el menor múltiplo cercano de 11 a saber, 44. En un reloj de 11 horas , las 45 en punto es 1 en punto) La suma simplificada es: 0+1+2+6+7+9+5+4+0+d y al suar en Z11 se obtiene 1 + d. En digito de contro d debe elegirse ahora de modo que el resultado sea 0; por tanto, en Z11, d= 10.

Ecuación Lineal Una Ecuación lineal en la n variables x1, x2.......xn es una ecuación que puede escribirse en la forma

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A1 x1

+

A2x2 +……… AnXn = b

Donde los coeficientes A1,A2….. An constantes.

y el termino constante b son

Matrices Forma escalonada por renglones Una matriz esta en forma escalonada por renglones si satisface las siguientes propiedades: 1. Cualquier renglón consiste completamente de ceros esta en la parte baja.

2. En cada renglón distinto de 0, el primer elemento distinto de 0 (llamado elemento pivote) esta en una columna a la izquierda de cualquier elemento pivote bajo el.

Sistema de ecuaciones lineales Es un conjunto finito de ecuaciones lineales, cada una con las mismas variables.

Ejemplo 2X – Y = 3 X +3Y = 5 Tiene [2,1] como solución, pues es una solución para ambas ecuaciones.

Sustitución hacia Atrás Ejemplo X - Y – Z Y +3Z = 5 5Z = 10

= 2

Trabajando hacia atrás se descubre sucesivamente que z = 2 y Y = 5 – 3(2) = -1 y X = 2 + (-1) + 2 = 3 de modo que la solución única es [3,-1,2] Operaciones elementales con renglones

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Las siguientes operaciones elementales con renglones pueden realizarse sobre una matriz.

1. Intercambiar dos renglones 2. Multiplicar un renglón por una constante distinta de 0 3. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón Equivalentes por renglones Las matrices A y B son equivalentes por renglones si existe una secuencia de operaciones elementales con renglones que convierta A en B. TEOREMA 2.1 Las matrices A y B son equivalentes por renglones si y solo si pueden reducirse a la misma forma escalonada por renglones.

Métodos directos para resolver ecuaciones lineales.

Matrices Para el sistema 3x – y + 2z =3 -4x + 3z = 2 X + 2y - z= -1 Matriz de coeficiente 3 −1 2 −4 0 3 1 2 −1 Matriz aumentada 3 −1 2 3 −4 0 3 2 1 2 −1 −1 Matrices en forma escalonada Para que una matriz este en forma escalonada debe cumplir con los siguientes requisitos: • Si hay un reglon conformado solo por ceros este esta en la fila inferior.

• En cada renglón distinto de cero la primera entrada diferente de cero se localiza en una columna izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella.

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Ejemplos 3 −2 0 6 0 0

de Matrices en 2 1 2 1 0 0 0 0 0

forma escalonada 1 7 3

Operaciones elementales de renglón: • Intercambio de dos renglones • Multiplicación por una contante diferente de 0 • La adición de un múltiplo de un renglón a otro renglón Teorema 2.1 Las matrices A y B son equivalentes por renflones si y solo si pueden reducirse a la misma forma escalonada por renglones Rango El rango de una matriz es el numero de renglones distintos de cero en su forma escalonada por renglones.

Teorema 2.2 teorema del rango Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con n variables. Si el sistema es consistente entonces, numero de variables libres =n – rango (a) Teorema 2.3 Si [Al0] es un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales on n variables, donde m < n, entonces el sistema tiene un numero infinito de soluciones.

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TIPS PARA GENERAR UNA ACTITUD DE INDEPENDENCIA

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Conjuntos generadores e independencia lineal

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Aplicaciones Existen demasiadas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales para hacerles justicia en una sola sección. Esa sección presentara algunas aplicaciones para ilustrar la diversidad de escenarios en que surgen.

Aplicación de recursos Una gran cantidad de aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales involucran asignar recursos limitados sujetos a un conjunto de restricciones.

Ejemplo 2.27 Una bióloga coloco tres cepas de bacterias (denominadas I, II, III) en un tubo de ensayo, donde se alimentaran de tres diferentes fuentes alimenticias (A, B, C). Cada día 2300 unidades de A, 800 unidades de B y 1500 unidades de C se colocan en el tuvo de ensayo y cada bacteria consume cierto numero de unidades de cada alimento por día, como se muestra en la tabla 2.2 ¿cuántas bacterias de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento.

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Balanceo de ecuaciones químicas.

Cuando ocurre una reacción química, ciertas moléculas se combinan para formar nuevas moléculas. Una ecuación química balanceada es una ecuación algebraica que proporciona los numero relativos de reactivos y productos en la reacción y tiene el mismo numero de átomos de cada tipo en los lados izquierdo y derecho. La ecuación usualmente se escribe con los reactivos a la izquierda, los productos a la derecha y una flecha entre ellos para mostrar la dirección de la reacción.

Ejemplo 2.29 La combustión de amoniaco (NH3) en oxigeno produce nitrógeno (N2) y agua. Encuentre una ecuación química balanceada para esta reacción.

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Modelos económicos lineales Una economía es una sistema muy complejo con muchas interrelaciones entre sus diversos sectores y los bienes y servicio que se producen y consumen. Determinar los precios óptimos y los niveles de producción sujetos a las metas económicas deseadas requiere sofisticados modelos matemáticos. El algebra lineal resulta ser una poderosa herramienta en el desarrollo y análisis de tales modelos económicos. En esta sección se introducen dos modelos basados en el en trabajo del economista de Harvard, Wassily Leontief, en la década de 1930. Sus métodos, a los que

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con frecuencia se les refiere como análisis input-output, ahora son herramientas estándar en la economía matemática y los usan ciudades, corporaciones y países completos para planificación y pronósticos económicos.

Ejemplo 2.33 La economía de una región consiste de tres industrias o sectores: servicios, electricidad y producción de petróleo. Por simplicidad, se supone que cada industria produce un solo articulo (bienes o servicios) en un año dado y que el ingreso ( output ) se genera a partir de la venta de este articulo. Cada industria compra artículos de las otras industrias, incluida ella misma, para generar su output. Ningún articulo se compra fuera de la región y ninguna salida se venda fuera de la región. Mas aun, para cada industria se supone que la producción iguala exactamente al consumo. En este sentido, esta es una economía cerrada que esta en equilibrio. La tabla 2.4 resume cuanta output de cada industria consume cada industria.

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Juegos Lineales Existen muchas situaciones en las que se debe considera un sistema físico que solo tenga numero finito de estados. En ocasiones dichos estados pueden alterarse con la aplicación de ciertos procesos, cada uno de los cuales produce resultados finitos. Por ejemplo, una bombilla puede estar encendida o apagada, y un interruptor puede cambiar el estado de la bombilla de encendido a apagado y viceversa. Los sistemas digitales que surgen en ciencias de la computación con frecuencia son de este tipo. De manera mas frívola, muchos jugos de computadora presentan acertijos en los que cierto dispositivo debe ser manipulado por varios interruptores para producir un resultado deseado. L finitud de tales situación es perfectamente adecuada para el análisis mediante aritmética modular, y con frecuencia los sistemas lineales sobre algún ZP desempeñan un papel. Los problemas que involucran este tipo de situación con frecuencia se llaman juegos lineales finitos Ejemplo 2.36 Considere una hilera solo con tres luces, cada una de las cuales puede estar apagad, ser azul claro o azul oscuro. Debajo de las luces hay 3 interruptor, A B y C cada uno de los cuales cambia los estados de luces particulares al siguiente estado. El interruptor A cambia los

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estados de las primeras dos luces, interruptor B las tres luces y el interruptor C las ultimas dos luces. Si las 3 luces inicialmente están apagadas, ¿es posible oprimir los interruptores en cierto orden de modo que las luces estén apagadas, azul claro y azul oscuro, en ese orden.

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CHISTES Era una fiesta de vectores y todos bailaban. Pero un escalar estaba solo sentado en una esquina y le preguntan:- Porque esa cara tan triste! – el responde: - Es que mi vida no tiene sentido

Tomate un tiempo para divertirte.

Qué es un hijo complejo?

El resultado de una madre real y un padre imaginario.

¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas. ¿Qué le dijo un vector a otro? ¿Tienes un momento?

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Julio Castillo Estudiante de Ingeniería en Ciencia de Alimentos Edad: 19 años Pasatiempos: Deporte, carros, motocicletas y escuchar música.

Gabriela Manrique: Estudiante de Ingeniería Mecatrónica Edad: 19 años Pasatiempos: Jugar Baloncesto, ver partidos de NFL ,MLB y NBA

Manuel Vásquez Estudiante de Licenciatura en Física.

Edad: 19 años Pasatiempos: Ciencias y música.

Rodolfo Prieto Estudiante Ingeniería Química Edad: 21 años Pasatiempos: Futbol y la música.

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