Teoria de Control

PUBLICACION DIGITAL

Judith Aguirre C.I. 11.882.314 SAIA A Profesora: Marienny Arrieche

Desarrollo 1- ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?

En un sistema de control en tiempo discreto, si se alimenta con un pulso unitario, la salida debe llegar a cero en un tiempo finito. Así decimos que el sistema es estable, sino lo hace, bien sea la salida se vuelve oscilante o tiende al infinito, el sistema es inestable.

Para un sistema discreto: 1. El sistema es estable, si los polos de lazo cerrado las raíces de la ecuación característica quedan localizados dentro del círculo unitario en el plano Z. 2. Si un polo simple está ubicado en Z=1 o en Z=-1, el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos está sobre el círculo unitario. Polos múltiples localizados sobre el círculo unitario dan como resultado un sistema inestable.

3. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z.

Desarrollo 2- ¿Cuáles son los pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto?

Para analizar el error en estado permanente para los sistemas de Control en Tiempo Discreto tenemos que:

a. A partir del diagrama de bloques determinar la señal de error E(z), como la diferencia de la señal de entrada y la de realimención. b. El error en estado permanente viene dado por: 𝑒𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚 1 − 𝑧 −1 𝐸 𝑧 𝑧→1

c. Dependiendo del tipo se error, se busca la transformada R(z): Error de aceleración: 𝑇2 𝑧 + 1 𝑧 𝑅 𝑧 = (1 − 𝑧 −1 )3

Error de posición: 1 𝑅(𝑧) = 1 − 𝑧 −1

Error de velocidad: 𝑇𝑧 −1 𝑅(𝑧) = 1 − 𝑧 −1 2

Desarrollo 3- ¿Qué es Tiempo de levantamiento?

Es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%

4- ¿Qué es Sobrepaso máximo?

Sobrepaso máximo (Mp): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.

Desarrollo 5- Qué diferencia (s) existe entre el cálculo y dibujo de las trazas del Diagrama de Bode en Tiempo Continuo y en Tiempo Discreto.

El procedimiento es el mismo, sólo que debemos llevar del dominio de Z al dominio W mediante la transformación bilineal, luego se aplica el mismo procedimiento que en tiempo continuo.

Práctica:

Considere la siguiente ecuación característica:

Determine el valor K y examine su estabilidad a través del Criterio de Jury (6 Pts).

Solución: 𝑷 𝒛 = 𝟏 +

𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 𝒛 + 𝟎, 𝟓𝟐𝟑𝟐 𝒛 – 𝟏 𝒛 − 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑

=

𝒛– 𝟏

𝒛 − 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 𝒛 + 𝟎, 𝟓𝟐𝟑𝟐 =𝟎 𝒛 – 𝟏 𝒛 − 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑

De donde: 𝑷 𝒛 = 𝒛– 𝟏 =𝟎

𝒛 − 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 𝒛 + 𝟎, 𝟓𝟐𝟑𝟐

Expandiendo el polinomio resulta: 𝑷 𝒛 = 𝒛𝟐 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑𝒛 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑𝒛 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎 =𝟎

Práctica: Agrupamos términos semejantes: 𝑷 𝒛 = 𝒛𝟐 + (𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑)𝒛 + (𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌) = 𝟎 N=2; a2=1; 𝒂𝟏 = 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 y 𝒂𝟎 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌 El arreglo de Jury es:

Práctica: Para n=2, el número de filas es : 2*2-3=1; solo una fila, por lo cual las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad son: 𝟏)𝑷(𝟏) > 𝟎: 𝑷 𝟏 = 𝟏𝟐 + 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 𝟏 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌 > 𝟎  𝟏𝟐 + 𝟏. 𝟕𝟐𝟗𝟑𝒌 − 𝟏 > 𝟎  𝒌>𝟎 𝟐) 𝑷 −𝟏 > 𝟎, 𝒏 = 𝟐 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓:

𝑷 −𝟏 = 𝟏𝟐 − 𝑲𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌 > 𝟎  𝟐. 𝟐𝟕𝟎𝟔 − 𝟎. 𝟓𝟑𝟏𝟑𝒌 > 𝟎  𝒌<

𝟐.𝟐𝟕𝟎𝟔 𝟎.𝟓𝟑𝟏𝟑

= 𝟒. 𝟐𝟕𝟑𝟕

Práctica: 3) 𝒂𝟎 < 𝒂𝟐  𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌 < 𝟏  −𝟏 < 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟑 + 𝟎. 𝟓𝟗𝟒𝟎𝒌 < 𝟏 𝟏.𝟏𝟑𝟓𝟑

𝟎.𝟖𝟔𝟒𝟕

 − <𝒌< 𝟎.𝟓𝟗𝟒𝟎 𝟎.𝟓𝟗𝟒𝟎  −𝟏. 𝟗𝟏𝟏𝟑 < 𝒌 < 𝟏. 𝟒𝟓𝟓𝟕

De las condiciones 1, 2 y 3 tenemos que el sistema es estable si 0<k<4.2737

Práctica:

2. Dado el siguiente sistema de lazo cerrado. Determine su estabilidad a través del método de Transformación Bilineal y el Criterio de Estabilidad Routh. (6 pts) 𝑷 𝒛 = 𝟐𝟕𝒛𝟑 + 𝟐𝟕𝒛𝟐 + 𝟗𝒛 + 𝟏 = 𝟎

Solución: A partir de la transformación bilineal: 𝒛=

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

Tenemos: 𝑷 𝒘 = 𝟐𝟕 Multiplicando por: 𝒘 − 𝟏 𝒘+𝟏 𝑷 𝒘 = 𝟐𝟕 𝒘−𝟏

𝟑

𝟑

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

𝟑

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

+ 𝟐𝟕

𝟐

+𝟗

𝒘+𝟏 +𝟏=𝟎 𝒘−𝟏

nos queda:

𝒘+𝟏 𝒘 − 𝟏 𝟑 + 𝟐𝟕 𝒘−𝟏

𝟐

𝒘−𝟏

𝟑

+𝟗

𝒘+𝟏 𝒘−𝟏

𝒘−𝟏

𝟑

+ 𝒘−𝟏

𝟑

=𝟎

Práctica: Simplificando: 𝑷 𝒘 = 𝟐𝟕 𝒘 + 𝟏

𝟑

+ 𝟐𝟕 𝒘 + 𝟏 𝟐 (𝒘 − 𝟏) + 𝟗 𝒘 + 𝟏 𝒘 − 𝟏

𝟐

+ 𝒘−𝟏

𝟑

=𝟎

Desarrollando productos notables y aplicando propiedad distributiva resulta: 𝑷 𝒘 = 𝟐𝟕 𝒘𝟑 + 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 + 𝟏 + 𝟐𝟕 𝒘𝟑 + 𝒘𝟐 − 𝒘 − 𝟏 + 𝟗 𝒘𝟑 − 𝒘𝟐 − 𝒘 + 𝟏 + 𝒘𝟑 − 𝟑𝒘𝟐 + 𝟑𝒘 −𝟏=𝟎 Agrupando términos semejantes, nos queda: 𝑷 𝒘 = 𝟔𝟒 𝒘𝟑 + 𝟗𝟔𝒘𝟐 + 𝟒𝟖𝒘 + 𝟖 = 𝟎

Dividiendo por 64: 𝑷 𝒘 = 𝒘𝟑 + 𝟏. 𝟓𝒘𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓𝒘 + 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎

Práctica: Del criterio de Routh:

𝒘𝟑 𝒘𝟐 𝒘𝟏 𝒘𝟎

1 1.5 A B

0.75 0.125 0 0

Donde : 𝟏. 𝟓 ∗ 𝟎. 𝟕𝟓 − 𝟏 ∗ 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟕 𝟏. 𝟓 𝟎. 𝟏𝟐𝟓𝑨 − 𝟎 𝑩= = 𝟎. 𝟏𝟐𝟓 𝑨 𝑨=

Los elementos de la primera columna (1, 1.5, 0.667, 0.125) son todos positivos, luego el sistema es estable, según el criterio de Routh.

Práctica:

3. Dado el sistema de control de lazo cerrado, encuentre la expresión del error, así como la constante de error de aceleración estática, Ka. (3 pts).

Solución: Del diagrama de bloques tenemos: E(s)=R(s)-D(s)C(s);

(I)

C(s)=E*(s)G(s)H(s); (II) Sustituyendo (II) en (I), nos queda: E(s)=R(s)-D(s) E*(s)G(s)H(s);

Con lo cual: E*(s)=R*(s)-D*(s) E*(s)GH*(s); 



E*(s)(1+D*(s) GH*(s))=R*(s) 𝑹∗(𝒔) 𝑬 ∗ (𝒔) = 𝟏+𝑫∗ 𝒔 𝑮𝑯∗ 𝒔

Práctica: Finalmente, la expresión del error es:

𝑬(𝒛) =

𝑹(𝒛) 𝟏+𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛)

El error en estado estacionario es:

𝒆𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 − 𝒛−𝟏 𝑬(𝒛) = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 − 𝒛−𝟏 𝒛→𝟏

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 ∶

𝑻𝟐 𝒛 + 𝟏 𝒛 𝑹 𝒛 = (𝟏 − 𝒛−𝟏 )𝟑

𝒛→𝟏

𝑹(𝒛) 𝟏+𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛)

Práctica: Luego:

𝒆𝒔𝒔 = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 − 𝒛→𝟏

= 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏

𝒛−𝟏

𝑻𝟐 𝒛+𝟏 𝒛 (𝟏−𝒛−𝟏 )𝟑

𝟏+𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛)

=

𝑻𝟐 𝒛+𝟏 𝒛𝟑 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏 𝟏+𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛) (𝒛−𝟏)𝟐

𝑻𝟐 𝒛+𝟏 𝒛𝟑 𝒛−𝟏 𝟐 +𝑫 𝒛 𝑮𝑯 𝒛 𝒛−𝟏 𝟐

𝑻𝟐 𝒛+𝟏 𝒛𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏 𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛)(𝒛−𝟏)𝟐

Asi: Ka=1/ess 𝑫(𝒛)𝑮𝑯(𝒛)(𝒛 − 𝟏)𝟐 𝐊𝐚 = 𝐥𝐢𝐦 𝒛→𝟏 𝟐𝑻𝟐 Que es nuestra constante de aceleración.