Programa del Diploma
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas Para su uso durante el curso y en los exámenes Primeros exámenes: 2014
Publicado en marzo de 2012 © Organización del Bachillerato Internacional, 2012
5047
Índice Conocimientos previos
2
Unidades
3
Unidad 1: Álgebra
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones
4
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría
4
Unidad 4: Vectores
5
Unidad 5: Estadística y probabilidad
5
Unidad 6: Análisis
6
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
1
Fórmulas
Conocimientos previos A= b × h
Área del paralelogramo Área del triángulo
Área del trapecio
= A
1 (b × h) 2
= A
1 ( a + b) h 2
Área del círculo
A = πr 2
Longitud de la circunferencia
C = 2πr
Volumen de la pirámide
= V
1 ( área de la base × altura ) 3
Volumen del ortoedro (prisma rectangular)
V =l × a × h
Volumen del cilindro
V = πr 2 h
Área lateral del cilindro
A= 2πrh
Volumen de la esfera
Volumen del cono
V=
4 3 πr 3
V=
1 2 πr h 3
Distancia entre dos puntos ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
d=
Coordenadas del punto medio de un segmento de recta que tiene por extremos ( x1 , y1 , z1 ) y ( x2 , y2 , z2 )
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 , , 2 2 2
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 ) 2 + ( z1 − z2 ) 2
2
Unidades
Unidad 1: Álgebra 1.1
Término n-ésimo de una progresión aritmética
un = u1 + (n − 1)d
Suma de n términos de una progresión aritmética
S n=
Término n-ésimo de una progresión geométrica
un = u1r n −1
n n (2u1 + (n − 1)d )= (u1 + un ) 2 2
Suma de los n términos u1 (r n − 1) u1 (1 − r n ) , r ≠1 = S = n de una progresión r −1 1− r geométrica finita
1.2
Suma de una progresión geométrica infinita
S∞ =
Potencias y logaritmos
ax = b ⇔
Propiedades de los logaritmos
log c a + log c b = log c ab a log c a − log c b = log c b r log c a = r log c a
Cambio de base
1.3
u1 , r <1 1− r
log b a =
x = log a b
log c a log c b
Coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio
n n! = r r ! (n − r )!
Teorema del binomio
n n (a + b) n = a n + a n −1b + + a n − r b r + + b n 1 r
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
3
Unidad 2: Funciones y ecuaciones 2.4
Eje de simetría del gráfico de una función cuadrática
f (x ) = ax 2 + bx + c ⇒ eje de simetría
2.6
Relaciones entre las funciones exponencial y logarítmica
a x = e x ln a log a a x= x= a loga x
2.7
Soluciones de una ecuación cuadrática o cuadrática
ax 2 + bx + c= 0 ⇒
Discriminante
∆= b 2 − 4ac
x=
x=−
b 2a
−b ± b 2 − 4ac , a≠0 2a
Unidad 3: Funciones circulares y trigonometría 3.1
Longitud del arco
l =θr
Área del sector circular
1 A = θ r2 2
senθ cos θ
3.2
Identidad trigonométrica
3.3
Relación fundamental
sen 2θ + cos 2 θ = 1
Fórmulas del ángulo doble
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
tanθ =
cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2sen 2θ 3.6
Teorema del coseno Teorema del seno Área del triángulo
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C ; cos C =
a 2 + b2 − c2 2ab
a b c = = senA senB senC A=
1 ab sen C 2
4
Unidad 4: Vectores 4.1
Módulo de un vector
4.2
Producto escalar
v12 + v2 2 + v32
v =
v⋅w = v w cos θ v ⋅ w= v1w1 + v2 w2 + v3 w3
Ángulo entre dos vectores
4.3
Ecuación vectorial de una recta
cos θ =
v⋅w v w
r = a + tb
Unidad 5: Estadística y probabilidad 5.2
Media de un conjunto de datos
n
x=
∑fx
i i
i =1 n
∑f i =1
5.5
5.6
5.7 5.8
5.9
i
Probabilidad de un suceso A
P( A) =
Sucesos complementarios
P( A) + P( A′) = 1
Sucesos compuestos
P( A ∪ B )= P( A) + P( B ) − P( A ∩ B )
Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes
P( A ∪ B )= P( A) + P( B )
Probabilidad condicionada
P(A ∩ B ) = P(A) P(B | A)
Sucesos independientes
P( A ∩ B ) = P( A) P( B )
Valor esperado de una variable aleatoria discreta X
E( X = ) µ=
Distribución binomial
n r n−r 0,1, , n X ~ B(n, p ) ⇒ P( X = r) = p (1 − p ) , r = r
Media
E( X ) = np
Varianza
Var(= X ) np (1 − p )
Variable normal tipificada o estandarizada
z=
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
n( A) n(U )
∑ x P( X=
x)
x
x−µ
σ
5
Unidad 6: Análisis 6.1
6.2
y = f ( x) ⇒
Derivada de x n
f ( x) = xn ⇒
Derivada de sen x
f ( x ) = sen x ⇒ f ′( x ) = cos x
Derivada de cos x
f (x ) = cos x ⇒ f ′( x ) = −sen x
Derivada de tan x Derivada de e x Derivada de ln x Regla de la cadena Regla del producto Regla del cociente
6.4
dy f ( x + h) − f ( x ) = f ′( x) = lim → h 0 h dx
Derivada de f ( x)
Integrales inmediatas
f ′( x) = nx n −1
f ( x ) = tan ( x ) ⇒
f ′( x) =
f ( x) = ex ⇒
f ′( x) = ex
f ( x) = ln x ⇒
1 f ′( x) = x
y = g (u ) , u =f ( x) ⇒
du dv v −u dy = dx 2 dx dx v
⇒
n dx ∫x=
dy dy du = × dx du dx
dy dv du =u + v dx dx dx
y =uv ⇒
u y= v
1 cos 2 x
x n +1 + C , n ≠ −1 n +1
1
∫ x dx =ln x + C ,
x>0
∫ sen x dx = − cos x + C
∫ cos x dx = sen x + C ∫e 6.5
6.6
x
d= x ex + C
Área bajo una curva entre x=ayx=b
A = ∫ y dx
Volumen de revolución alrededor del eje x desde x = a hasta x = b
V = ∫ πy 2 dx
Distancia total recorrida desde el instante t1 a t 2
Distancia =
Matemáticas NM: cuadernillo de fórmulas
b
a
b
a
∫
t2
t1
v(t ) dt
6