ALGEBRA LINEAL Curso inicial JULIAN
Algebra de Matrices
Colegio Americano de Puebla
Álgebra de Matrices
Definición 1: Multiplicación de una matriz por un escalar: Si A = aij entonces la matriz αA, está dada por
( )
es una matriz de m x n y si α es un escalar,
! αa α a12 α a1n 11 # # α a21 α a11 α a2n α A = (α aij ) = # # #" α am1 α am2 α amn
$ & & & & &%
Ejemplo:
⎡ 1 − 3 4 2⎤ A = ⎢⎢ 3 1 4 6⎥⎥ ⎢⎣− 2 3 5 7⎥⎦
⎡ 1(2) − 3(2) 4(2) 2(2)⎤ Entonces 2 A = ⎢⎢ 3(2) 1(2) 4(2) 6(2)⎥⎥ ⎢⎣− 2(2) 3(2) 5(2) 7(2)⎥⎦
Sea
Esto es
⎡ 2 − 6 8 4 ⎤ 2 A = ⎢⎢ 6 2 8 12 ⎥⎥ ⎢⎣− 4 6 10 14 ⎥⎦
Definición 2:
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Algebra de Matrices Producto de dos matrices: Sea A = aij una matriz de m x n y sea B = bij una matriz n x p. Entonces el producto
( ) A(a ) B (b ) es una matriz C (c ) de m x p, en donde ij
ij
( )
ij
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + + ain bnj Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación. Ejemplo:
⎡ 1 3⎤ ⎡3 − 2⎤ ⎡ 1 3⎤ ⎡3 − 2⎤ Sea A= ⎢ y B= ⎢ tenemos que AB= ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢5 6 ⎥ = 5 6 − 2 4 − 2 4 ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 1(−2) + 3(6) ⎤ ⎡ 1(3) + 3(5) ⎡18 16 ⎤ ⎢− 2(3) + 4(5) − 2(−2) + 4(6)⎥ = ⎢14 28⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Sistema de Ecuaciones Inconsistente: Es aquel sistema de ecuaciones que no tiene solución. Se dice entonces, que un sistema que tiene al menos una solución es consistente. Sistemas inconsistentes: Resolvamos el sistema
2 y + 3z = 4 ⎧ ⎪ ⎨ 2 x − 6 y + 7 z = 15 ⎪ x − 2 y + 5 z = 10 ⎩
La Matriz aumentada para este sistema es:
⎡0 2 3 4 ⎤ ⎢2 − 6 7 15⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 − 2 5 10⎥⎦
Usando operaciones con renglones para simplificar la matriz aumentada a la forma escalonada por renglones obtenemos: ⎡1 0 8 15 ⎤ ⎢ 3 5 ⎥ ⎢0 1 2 2 ⎥ ⎢0 0 0 −1⎥ ⎣ ⎦ Del último renglón tenemos la ecuación 0 x + 0 y + 0 z = −1 lo que es imposible, por lo tanto, el sistema no tiene solución.
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Algebra de Matrices
Sistemas consistentes: Sistemas de ecuaciones con un número infinito de soluciones: Resolvamos el sistema
⎧2 x + 4 y + 6 z = 18 ⎪ ⎨4 x + 5 y + 6 z = 24 ⎪2 x + 7 y + 12 z = 30 ⎩ La matriz aumentada para el sistema es:
⎡2 4 6 18 ⎤ ⎢4 5 6 24 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣2 7 12 30 ⎥⎦ Pasando esta matriz a la forma escalonada por renglones: ⎡1 0 − 1 1⎤ ⎢0 1 2 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 0⎥⎦
⎧ x Esto es equivalente al sistema: ⎨ ⎩
− z =1 y + 2z = 4
Despejando tenemos x = 1 + z y y = 4 − 2 z
La solución del sistema es entonces ( 1 + z, 4 − 2 z, z ) para cualquier z (z arbitraria)
SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS. 4
Algebra de Matrices
El sistema general de m ecuaciones lineales con n incógnitas se escribe de la siguiente manera:
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm Este sistema se llama homogéneo si todas las constantes b1 , b2 , b3 ,, bm son cero Es decir:
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = 0 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0 Para un sistema homogéneo siempre hay una solución, llamada solución trivial y es cuando x1 = x2 = x3 = = xn = 0 Por lo tanto tenemos sólo dos casos posibles: a) Que la solución trivial sea la única solución b) Que exista un número infinito de soluciones, llamadas soluciones no triviales Solución de un sistema de ecuaciones homogéneo con solución trivial única.
⎧2 x + 4 y + 6 z = 0 ⎪ ⎨4 x + 5 y + 6 z = 0 ⎪3x + y − 2 z = 0 ⎩
⎡2 4 6 0⎤ → ⎢⎢4 5 6 0⎥⎥ ⎢⎣3 1 − 2 0⎥⎦
⎡1 0 0 0⎤ → ⎢⎢0 1 0 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 0⎥⎦
Lo que nos lleva a una solución trivial única (0, 0, 0)
⎧ x + 2 y − z = 0 ⎪ ⎨ 3x − 3 y + 2 z = 0 ⎪− x − 11 y + 6 z = 0 ⎩
⎡1 0 ⎢ → ⎢0 1 ⎢⎣0 0
1 9 −5 9
0⎤ ⎥ 0⎥ 0 0⎥⎦ 1 5 Lo que nos lleva a un número infinito de soluciones no triviales. − 9 x3 , 9 x3 , x3 2 − 1 0⎤ ⎡ 1 → ⎢⎢ 3 − 3 2 0⎥⎥ ⎢⎣− 1 − 11 6 0⎥⎦
(
) 5
Algebra de Matrices
VECTOR RENGLON DE n COMPONENTES: Es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:
(x1
x2 x3 xn )
VECTOR COLUMNA DE n COMPONENTES: Es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ n ⎠ Cualquier vector cuyos elementos sean todos cero se llama vector cero Para denotar un vector se usan letras minúsculas negritas como u, v, a, b, c, etc. PRODUCTO ESCALAR:
Sean
⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a ⎟ a = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a ⎟ ⎝ n ⎠ a· b =
y
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ b = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ ⎝ n ⎠
dos vectores. El producto escalar de a y b, denotado por
(a1b1 + a2b2 + + anbn )
El producto punto se llama con frecuencia producto punto o producto interno de los vectores. El producto escalar de dos n-vectores es siempre un escalar, es decir, un número. TEOREMA: Sean a, b, c tres n-vectores y sean α y β dos escalares. Entonces i. a · 0 = 0 ii. a · b = b · a iii. a · (b + c) = a · b + a · c iv. (α a) · b = α (a · b)
Al tomar el producto escalar de a y b es necesario que los dos vectores tengan el mismo número de componentes. 6
Algebra de Matrices SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Tomemos nuevamente al sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm Y sea
a12 a1n ⎤ a22 a2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ am 2 amn ⎦
⎡ a11 ⎢ a A = (aij ) = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣am1
la matriz de coeficientes, el vector
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ x = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ n ⎠
y el vector
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ b = ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ b ⎟ ⎝ n ⎠
El sistema de ecuaciones lineales se puede escribir como:
Ax = b Que es la representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Si b es el vector 0 de m x 1 entonces el sistema es homogéneo y se puede escribir como:
Ax = 0 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = 0 am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0 7
Algebra de Matrices
Balanceo de Reacciones Químicas. Reacción Química de la fotosíntesis
CO2 + H 2O → C6 H12O6 + O2 Se buscan enteros positivos que no tengan un divisor común diferente de 1
x1 (CO2 ) + x2 (H 2O ) → x3 (C6 H12O6 ) + x4 (O2 ) Entonces tenemos:
C : x1 = 6 x3 O : 2 x1 + x2 = 6 x3 + 2 x4 H : 2 x2 = 12 x3 C : x1 −
6 x3
=0
O : 2 x1 + x2 − 6 x3 − 2 x4 = 0 H:
2 x2 − 12 x3
=0
⎡1 0 − 6 0 0⎤ ⎢2 1 − 6 − 2 0⎥ ⎢ ⎥ Pasando la forma escalonada por renglones tenemos la matriz ⎢⎣0 2 − 12 0 0⎥⎦ ⎡1 1 / 2 − 3 − 1 0⎤ ⎢0 1 − 6 ⎥ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 1 − 1 / 6 0⎥⎦
La forma escalonada reducida por renglones es
⎡1 0 0 − 1 0⎤ ⎢0 1 0 − 1 0⎥ ⎢ ⎥ de aquí tenemos: ⎢⎣0 0 1 − 1 / 6 0⎥⎦
x1 = 6
x1 − x 4 = 0 x2 − x4 = 0 1 x3 − x 4 = 0 6
x2 = 6 entonces
x3 = 1 x3 = 6
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Algebra de Matrices
FRACCIONES PARCIALES Pasos para hallar la descomposición en fracciones parciales de f ( x) g ( x) 1) Si el grado de f(x) en el numerador no es menor que el grado de g(x) en el denominador, use la división larga para obtener una forma apropiada.
2) Factorice el denominador g(x) en un producto de factores lineales px + q o a factores cuadráticos irreducibles de la forma (ax 2 + bx + c ) tal que g(x) sea un producto de factores diferentes de la forma ( px + q )m o positivos
(ax
2
+ bx + c
n
)
donde m y n son enteros
3) Regla A: Para cada factor de la forma ( px + q )m con m ≥ 1 la descomposición de fracciones parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma Am A1 A2 + ++ 2 px + q ( px + q ) ( px + q )m
n
4) Regla B: Para cada factor de la forma (ax 2 + bx + c ) con n ≥ 1 la descomposición de fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma An x + Bn A1 x + B1 A2 x + B2 + ++ 2 2 ax + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
(
5) Halle los números Ak
y
)
(
n
)
Bk señalados en el paso 3) y 4)
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