4. Triángulos 4.1
D E F I N I C I Ó N , NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN D E LOS TRIÁNGULOS
E l t r i á n g u l o p u e d e d e f i n i r s e c o m o la porción
de un plano
que se encuentra
limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Si A , By C s o n tres p u n t o s c u a l e s q u i e r a n o alineados, e n t o n c e s los segm e n t o s AB,
AC y BC d e t e r m i n a n u n triángulo
(fig. 20). B
Figura 20
El t r i á n g u l o tiene u n a g r a n a p l i c a c i ó n , tanto e n la a r q u i t e c t u r a c o m o e n la i n g e n i e r í a , p o r su rigidez; es decir, la p r i n c i p a l p r o p i e d a d d e l t r i á n g u l o es, precisamente, la de ser indeformable. Los elementos de u n t r i á n g u l o son: lados, á n g u l o s y v é r t i c e s .
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
4. En cualquier triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos . A esta condición se le llama la desigualdad del triángulo: a + b> c b + c> a a +c> b
5.
M a r c a c o n u n a cruz los t r i á n g u l o s que n o se p u e d a n trazar.
a) 7, 6, 8
b) 9, 4, 3
c) 12, 12, 12
f ) 8, 1 2 , 2
g) 8, 7, 4
h) 5, 7, 13
d) 12, 5, 6
e) 4, 8, 9
i ) 9, 4 , 5
j ) 7, 5 , 4
¿ Q u é c o n c l u s i ó n puedes o b t e n e r acerca de las medidas de los lados de c u a l q u i e r t r i á n g u l o ? C o m e n t a tus ideas c o n tus c o m p a ñ e r o s .
Notación de triángulos Para representar u n t r i á n g u l o se utiliza el s í m b o l o A seguido de las letras que representan a los v é r t i c e s d e l t r i á n g u l o (fig. 2 1 ) .
Triángulo ABC Triángulo
=AABC
MNO=AMNO
Las letras que representan los vértices pueden ser las mismas con que se repre-
Figura 21
senten los ángulos.
Para representar los lados de los t r i á n g u l o s se r e c u r r e al uso de letras m i n ú s c u l a s : éstas c o r r e s p o n d e n a la m i s m a letra m a y ú s c u l a d e l á n g u l o opuesto (fig. 2 2 ) . M Podemos observar que: • < R tiene enfrente al lado r. • Í M tiene enfrente al lado m. •
Qtiene enfrente al lado q. Figura 22
Ejercicio Los siguientes t r i á n g u l o s n o t i e n e n letras que representen a sus lados n i a sus á n g u l o s . C o n base en los criterios s e ñ a l a d o s , escribe j u n t o a ellos las que consideres adecuadas.
Clasificación de los triángulos S e g ú n sus lados, los t r i á n g u l o s p u e d e n ser: •
Equiláteros.
C u a n d o sus tres lados son iguales (fig. 23a).
•
Isósceles. C u a n d o dos de sus lados son iguales (fig. 2 3 b ) .
•
Escalenos. C u a n d o sus tres lados son diferentes (fig. 23c)
Es i m p o r t a n t e s e ñ a l a r que los t r i á n g u l o s e q u i l á t e r o s t a m b i é n son isósceles, ya que dos de sus lados son iguales.
Figura 23 a
Figura 23 b
Figura 23 c
71
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
Sin e m b a r g o , los t r i á n g u l o s t a m b i é n se clasifican p o r sus á n g u l o s ; de esta m a n e r a tenemos: •
Acutángulos.
C u a n d o poseen tres á n g u l o s agudos (fig. 24a).
•
Rectángulos.
C u a n d o u n o de sus á n g u l o s es recto (fig. 2 4 b ) .
•
Obtusángulos.
C u a n d o poseen u n á n g u l o obtuso (fig. 24c).
Es p e r t i n e n t e hacer la a c l a r a c i ó n de que los t r i á n g u l o s a c u t á n g u l o s y los o b t u s á n g u l o s f o r m a n , a su vez, parte de los t r i á n g u l o s o b l i c u á n g u l o s .
Figura
24c
PARA RECORDAR
• • • • • •
Según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos. Según sus ángulos, los y
los triángulos
se clasifican en acutángulos,
rectángu-
obtusángulos.
En todo triángulo, pero mayor que su
cualquier lado es menor que la suma de los otros dos, diferencia.
Un triángulo
equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos
iguales.
Un triángulo
isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos
iguales (los
opuestos a los lados
iguales).
La suma de los ángulos de un triángulo
es 180°.
Ejercicios 1.
Si e n u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , u n o de los dos á n g u l o s agudos m i d e 37° 18', ¿ c u á n t o m i d e el o t r o á n g u l o agudo?
2.
¿ C u á l es la m e n o r c a n t i d a d de á n g u l o s agudos e n u n t r i á n g u l o ?
3.
E n c u e n t r a el valor d e l á n g u l o e x t e r i o r X d e l siguiente t r i á n g u l o rectángulo.
A
4.
B
H a l l a el valor de los á n g u l o s A y C si el A ABC es isósceles. 4 A
A
5.
=
C
¿ C u á n t o m i d e cada u n o de los á n g u l o s i n t e r i o r e s de u n t r i á n g u l o equilátero?
6.
E n el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o de la p á g i n a siguiente, e n c u e n t r a u n a exp r e s i ó n para el v a l o r d e l á n g u l o A.
m
_ L . H U *
i
1KIGONOMETRIA
4 A=.
c=.
4
1.
H a l l a el valor de los á n g u l o s A y B si el A A B C es r e c t á n g u l o . A
* A= 4 B=.
B
8.
Encuentra el valor de los á n g u l o s que se p i d e n , sabiendo que 4_ AB» 4 BCD son rectos y que ED \ \ BC .
4
ACB=_
¿,BDC=_ Á BDE=_ r
¿ ACD = _ r
É DOC=_ r
Á BOC=_ r
¿ AOB r
=_
2^A0D=.
74
45°
t.2
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO
La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad. El punto donde se cruzan las tres bisectrices de los ángulos se llama incentroy está localizado a la misma distancia de los tres lados (fig. 25a).
Incentro
Figura
Baricentro
Baricentro o gravicentro
C
25a
La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con el v é r t i c e opuesto. El p u n t o donde se cruzan las tres medianas se llama baricentro o
\
Baricentro
Figura
25b
gravicentro (fig. 25b).
La mediatriz es la línea perpendicular a un segmento que pasa por su p u n t o m e d i o . El punto donde se cruzan las tres medíatríces se llama árvuncentroy está a la misma distancia de los tres v é r t i c e s (fig. 25c).
Figura 25c
m
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
Ortocentro
Figura
25d
La altura es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas se llama ortocentro (fig. 25d).
L a a l t u r a de AB es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a AB que pasa p o r el v é r t i c e C. L a a l t u r a de BC es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a B C q u e pasa p o r el v é r t i c e A. L a a l t u r a de AC es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a AC que pasa p o r el v é r t i c e B.
Ejercicios 1.
Traza las rectas q u e se te p i d e n y escribe e n cada caso el n o m b r e d e l p u n t o d o n d e se c r u z a n . a)
Las m e d i a t r i c e s de cada u n a de las figuras. V e r i f i c a que el p u n to d o n d e se c o r t a n e s t á a la m i s m a d i s t a n c i a de los tres v é r t i c e s t r a z a n d o u n a c i r c u n f e r e n c i a . Esta es la c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s crita del t r i á n g u l o .
TRIÁNGULOS
b)
Las bisectrices de cada figura. V e r i f i c a que e l p u n t o d o n d e se cort a n e s t á a la m i s m a d i s t a n c i a de los tres lados d e l t r i á n g u l o trazand o la c i r c u n f e r e n c i a c o n ese c e n t r o y t a n g e n t e a los lados. Esta es la c i r c u n f e r e n c i a i n s c r i t a .
b)
Las medianas de cada figura. Verifica que el p u n t o d o n d e se c o r t a n divide cada u n a de las medianas en dos segmentos cuya l o n g i t u d e s t á en r a z ó n 2:1.
c)
Las alturas de cada figura. C o n otros colores traza sus medianas y sus mediatrices. Verifica que los tres p u n t o s ( d o n d e se c o r t a n las medianas, d o n d e se c o r t a n las alturas y d o n d e se c o r t a n las mediatrices) están en una línea.
77
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
2.
Resuelve los siguientes p r o b l e m a s . a)
U n a persona d e d i c a d a al r a m o de las c o m u n i c a c i o n e s tiene tres antenas r e p e t i d o r a s instaladas e n d i f e r e n t e s p u n t o s de l a c i u d a d y desea c o n s t r u i r su c e n t r o de t r a n s m i s i o n e s e n u n l u g a r q u e q u e d e a la m i s m a d i s t a n c i a de las tres antenas. L o c a l i z a g r á f i c a m e n t e e l p u n t o para la central.
b)
L a casa de u n estudiante queda a la m i s m a distancia de tres calles que f o r m a n u n t r i á n g u l o . Localiza g r á f i c a m e n t e el p u n t o d o n d e e s t á su casa y la r u t a m á s corta de ella a cada u n a de las calles.
PARA RECORDAR
•
El punto donde se cruzan las mediatrices es el c i r c u n c e n t r o .
•
El c i r c u n c e n t r o está a la misma distancia de los tres vértices.
•
La bisectriz divide el ángulo en dos ángulos
•
El punto donde se cruzan las bisectrices se llama i n c e n t r o .
•
El incentro está a la misma distancia de los tres lados.
•
La mediana es una línea que va del punto medio de un lado al vértice
iguales.
opuesto. •
El punto
donde se cruzan
las medianas
se llama b a r i c e n t r o o
gravicentro. •
La altura es una linea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto.
•
El punto donde se cruzan las alturas se llama o r t o c e n t r o .
•
El c i r c u n c e n t r o , el gravicentro y el o r t o c e n t r o están en una
línea.
4.3 DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS
T e o r e m a 7. Los ángulos interiores de un triángulo
suman 18CP.
Q
d / c \ e
,
1
(
r
e
c
t
a
. Hipótesis Tesis
son los á n g u l o s i n t e r i o r e s d e l t r i á n g u l o
a, by c 2^a+
¿,b+É c=
180°
^c + ±e=
180°
r
Demostración
Sea / la paralela a AB p o r C por formar u n á n g u l o llano p o r ser alternos i n t e r n o s e n t r e paralelas 2^b= ¿ a+ r
%i
4_¿>+ 4 . c = 1 8 0 °
p o r ser alternos i n t e r n o s e n t r e paralelas por sustitución
79
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
Ejercicio
Teorema 8.
Un ángulo externo de un triángulo
es igual a la suma de los ángulos
internos no adyacentes a él
Hipótesis
4_ s
es u n á n g u l o e x t e r n o d e l t r i á n g u l o
4_ my 4_ n
son á n g u l o s i n t e r n o s n o adyacentes a 4 5
2$. s= 2{. m + 2{. n
Tesis Demostración
4_ra+ 4_ n+ 4 . p= 1 8 0 ° + 4 s= 1 8 0 °
4_ra+4_n+4_jfr=4/?+4s m+
n=
s
p o r el t e o r e m a 7 p o r ser adyacentes p o r la p r o p i e d a d transitiva p o r q u e u n a i g u a l d a d n o se altera si a los dos m i e m b r o s se les resta la misma cantidad
porque
4 m+ 4 n + 4_ jfr- 4_ jfr = 4 /> + 2^ s - 2^ p 2^
m+ 2^ n= 2$. p
Ejercicios 1.
A p l i c a n d o e l t e o r e m a a n t e r i o r , e n c u e n t r a e l v a l o r de los รก n g u l o s del siguiente t r i รก n g u l o .
ร ABC = r
4
ACB =
2^BCD =
C
2.
D
Resuelve los siguientes t r i รก n g u l o s c a l c u l a n d o e l v a l o r de los รก n g u l o s q u e se te p i d e n .
B
81
2. Resuelve los siguientes p r o b l e m a s . a)
¿ C u á l es la a l t u r a de u n a a n t e n a de t e l e v i s i ó n q u e p r o y e c t a u n a somb r a de 12 m e t r o s ( m ) e n e l m i s m o i n s t a n t e e n q u e u n e d i f i c i o de 15 m y adyacente a ella, p r o y e c t a u n a s o m b r a de siete metros?
b)
U n a p e r s o n a de 1.78 m de estatura ve la p a r t e s u p e r i o r de u n e d i f i c i o q u e se p r o y e c t a e n u n c h a r c o de agua. L a d i s t a n c i a de l a p e r s o n a al p u n t o d o n d e se refleja la i m a g e n es de 3.5 m y la distancia de ese p u n t o a la base d e l edificio es de 35 m . ¿ C u á l s e r á la a l t u r a d e l e d i f i cio?
c)
N o es p o s i b l e m e d i r e l a n c h o de u n r í o d i r e c t a m e n t e , y u n a p e r s o n a d e c i d e h a c e r l o de la s i g u i e n t e m a n e r a :
d)
E l p e r í m e t r o de u n t r i á n g u l o es de 11 c m y es semejante a u n t r i á n g u l o de lados 6, 7 y 9. ¿ C u á n t o m i d e n los lados d e l t r i á n g u l o ?
4.4
E L T E O R E M A DE PITÁGORAS
Se cree que m u c h o t i e m p o antes de que P i t á g o r a s postulara p o r p r i m e r a vez el t e o r e m a que lleva su n o m b r e , el c o n c e p t o sobre el que se f u n d a m e n t a ya era c o n o c i d o p o r los pueblos de O r i e n t e . Se piensa que los b a b i l o n i o s c o n o c í a n el t e o r e m a " c o n t a n d o " los mosaicos
Teorema de Pitágoras: En
triangulares, comunes e n sus edificios. E n la p á g i n a siguiente, a la i z q u i e r d a , te
todo triángulo
presentamos u n d i s e ñ o de mosaicos f o r m a d o p o r t r i á n g u l o s , u t i l í z a l o para ha-
la suma del cuadrado de
rectángulo,
cer t ú m i s m o la prueba: suma los t r i á n g u l o s (que a su vez f o r m a n cuadrados) que
los catetos es igual al cua-
c o n f o r m a n la superficie a y b, l u e g o ve de c u á n t o s t r i á n g u l o s se c o m p o n e c. E n
drado de la hipotenusa.
la m i s m a figura 32, a la derecha, observa c ó m o sucede los m i s m o si modificamos el t r i á n g u l o .
91
_ EJEMPLOS
1.
E n c o n t r a r la m e d i d a de la hipotenusa, si b = 16 y a = 34. C o m o e l d a t o b u s c a d o es l a h i p o t e n u s a , a p l i c a remos la f ó r m u l a :
e= a
2
+
Sustituyendo, tenemos: 2
<? = 3 4 + 16
2
c = V 3 4 2 + 16 c -
2.
2
37.57
E n c o n t r a r la l o n g i t u d d e l cateto b, si a = 15 y c- 39. C o m o se d e s c o n o c e el cateto b: *
•
c -é
i
2
b =
b = ^ - t f Sustituyendo: 2
6 = 3 9 - 15
2
v
6=36
3.
Encontrar la l o n g i t u d del cateto a, si b= 58 y c = 96. C o m o se desconoce el cateto a, se aplica la m i s m a fórmula: (f = c 2
g
a = v <? - é
2
Sustituyendo, tenemos:"
a ~ 76.49
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
Ejercicios 1.
C o n los datos q u e se te p r o p o r c i o n a n , e n c u e n t r a e l v a l o r d e l l a d o f a l t a n t e e n los siguientes t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s .
2.
E n c u e n t r a e l d a t o q u e falta o l o q u e se p i d e ; c o n s i d e r a q u e p a r a todos los casos t o m a r e m o s c c o m o la h i p o t e n u s a y a y b c o m o los catetos. a)
«=38
¿=76
c=
b)
a=
¿=86
¿=123
c)
«=45
b=
¿=56
d)
«=35
¿=46
e)
a =76
b=
¿=98
f)
a=
¿=34
¿=122
¿=
1KIAJMUULUÒ
g)
L a l o n g i t u d de la d i a g o n a l d e l s i g u i e n t e r e c t á n g u l o .
25 cm
34 cm h)
L a l o n g i t u d de l a d i a g o n a l d e l s i g u i e n t e c u a d r a d o .
26 c m
i)
L a altura del siguiente t r i á n g u l o e q u i l á t e r o .
42 cm
j)
L a a l t u r a d e l s i g u i e n t e t r i á n g u l o i s ó s c e l e s , si la base es e l l a d o distinto.
38 cm
97
GEOMETRÍA
Y
TRIGONOMETRÍA
3.
L a escalera d e l p r i m e r o a l s e g u n d o piso de u n a t i e n d a d e p a r t a m e n t a l m i d e seis m e t r o s e n f o r m a v e r t i c a l y nueve e n f o r m a h o r i z o n t a l . C a l c u l a l a d i s t a n c i a q u e se r e c o r r e a l ascender a l s e g u n d o piso.
9 m
4.
A l v o l a r u n p a p a l o t e , u n n i ñ o suelta 200 m e t r o s de c u e r d a . Si la d i s t a n c i a desde la p a r t e d i r e c t a m e n t e debajo d e l p a p a l o t e hasta d o n d e se e n c u e n t r a e l n i ñ o es de 89 m e t r o s , ¿a q u é a l t u r a e s t á e l p a p a l o t e , si c o n s i d e r a m o s q u e de la m a n o d o n d e sostiene l a cuerd a al piso hay 1.50 metros?
5.
¿ Q u é l o n g i t u d d e b e t e n e r u n cable p a r a sostener u n poste de seis m e t r o s de a l t u r a , si q u e d a a n c l a d o a o c h o m e t r o s de la base d e l poste?
6.
L a base de u n a escalera de siete m e t r o s de l a r g o q u e d a a c i n c o m e t r o s de la p a r e d d o n d e se apoya. ¿ Q u é a l t u r a alcanza sobre la pared?
7.
Para p l a t i c a r c o n J u l i e t a , R o m e o necesitaba alcanzar l a v e n t a n a de la casa de su amada, la c u a l estaba a u n a a l t u r a de o c h o m e t r o s . ¿ Q u é l o n g i t u d d e b e r í a t e n e r la escalera p a r a l l e g a r a la v e n t a n a , si n o p o d í a c o l o c a r l a a m e n o s de c i n c o m e t r o s de l a pared?