Los Triángulos

4. Triángulos 4.1

D E F I N I C I Ó N , NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN D E LOS TRIÁNGULOS

E l t r i á n g u l o p u e d e d e f i n i r s e c o m o la porción

de un plano

que se encuentra

limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

Si A , By C s o n tres p u n t o s c u a l e s q u i e r a n o alineados, e n t o n c e s los segm e n t o s AB,

AC y BC d e t e r m i n a n u n triángulo

(fig. 20).

B

Figura 20

El t r i á n g u l o tiene u n a g r a n a p l i c a c i ó n , tanto e n la a r q u i t e c t u r a c o m o e n la i n g e n i e r í a , p o r su rigidez; es decir, la p r i n c i p a l p r o p i e d a d d e l t r i á n g u l o es, precisamente, la de ser indeformable.

Los elementos de u n t r i á n g u l o son: lados, á n g u l o s y v é r t i c e s .

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

4.

En cualquier triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos . A esta condición se le llama la desigualdad del triángulo: a + b> c b + c> a a +c> b

5.

M a r c a c o n u n a cruz los t r i á n g u l o s que n o se p u e d a n trazar.

a) 7, 6, 8

b) 9, 4, 3

c) 12, 12, 12

f ) 8, 1 2 , 2

g) 8, 7, 4

h) 5, 7, 13

d) 12, 5, 6

e) 4, 8, 9

i ) 9, 4 , 5

j ) 7, 5 , 4

¿ Q u é c o n c l u s i ó n puedes o b t e n e r acerca de las medidas de los lados de c u a l q u i e r t r i á n g u l o ? C o m e n t a tus ideas c o n tus c o m p a ñ e r o s .

Notación de triángulos Para representar u n t r i á n g u l o se utiliza el s í m b o l o A seguido de las letras que representan a los v é r t i c e s d e l t r i á n g u l o (fig. 2 1 ) .

Triángulo ABC Triángulo

=AABC

MNO=AMNO

Las letras que representan los vértices pueden ser las mismas con que se repre-

Figura 21

senten los ángulos.

Para representar los lados de los t r i á n g u l o s se r e c u r r e al uso de letras m i n ú s c u l a s : éstas c o r r e s p o n d e n a la m i s m a letra m a y ú s c u l a d e l á n g u l o opuesto (fig. 2 2 ) .

M Podemos observar que: • < R tiene enfrente al lado r.

• Í M tiene enfrente al lado m.

•

Qtiene enfrente al lado q.

Figura 22

Ejercicio Los siguientes t r i á n g u l o s n o t i e n e n letras que representen a sus lados n i a sus á n g u l o s . C o n base en los criterios s e ñ a l a d o s , escribe j u n t o a ellos las que consideres adecuadas.

Clasificación de los triángulos S e g ú n sus lados, los t r i á n g u l o s p u e d e n ser: •

Equiláteros.

C u a n d o sus tres lados son iguales (fig. 23a).

•

Isósceles. C u a n d o dos de sus lados son iguales (fig. 2 3 b ) .

•

Escalenos. C u a n d o sus tres lados son diferentes (fig. 23c)

Es i m p o r t a n t e s e ñ a l a r que los t r i á n g u l o s e q u i l á t e r o s t a m b i é n son isósceles, ya que dos de sus lados son iguales.

Figura 23 a

Figura 23 b

Figura 23 c

71

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

Sin e m b a r g o , los t r i á n g u l o s t a m b i é n se clasifican p o r sus á n g u l o s ; de esta m a n e r a tenemos: •

Acutángulos.

C u a n d o poseen tres á n g u l o s agudos (fig. 24a).

•

Rectángulos.

C u a n d o u n o de sus á n g u l o s es recto (fig. 2 4 b ) .

•

Obtusángulos.

C u a n d o poseen u n á n g u l o obtuso (fig. 24c).

Es p e r t i n e n t e hacer la a c l a r a c i ó n de que los t r i á n g u l o s a c u t á n g u l o s y los o b t u s á n g u l o s f o r m a n , a su vez, parte de los t r i á n g u l o s o b l i c u á n g u l o s .

Figura

24c

PARA RECORDAR

• • • • • •

Según sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros, isósceles o escalenos.

Según sus ángulos, los y

los triángulos

se clasifican en acutángulos,

rectángu-

obtusángulos.

En todo triángulo, pero mayor que su

cualquier lado es menor que la suma de los otros dos, diferencia.

Un triángulo

equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos

iguales.

Un triángulo

isósceles tiene dos lados iguales y dos ángulos

iguales (los

opuestos a los lados

iguales).

La suma de los ángulos de un triángulo

es 180°.

Ejercicios 1.

Si e n u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , u n o de los dos á n g u l o s agudos m i d e 37° 18', ¿ c u á n t o m i d e el o t r o á n g u l o agudo?

2.

¿ C u á l es la m e n o r c a n t i d a d de á n g u l o s agudos e n u n t r i á n g u l o ?

3.

E n c u e n t r a el valor d e l á n g u l o e x t e r i o r X d e l siguiente t r i á n g u l o rectángulo.

A

4.

B

H a l l a el valor de los á n g u l o s A y C si el A ABC es isósceles.

4 A

A

5.

=

C

¿ C u á n t o m i d e cada u n o de los á n g u l o s i n t e r i o r e s de u n t r i á n g u l o equilátero?

6.

E n el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o de la p á g i n a siguiente, e n c u e n t r a u n a exp r e s i ó n para el v a l o r d e l á n g u l o A.

m

_ L . H U *

i

1KIGONOMETRIA

4 A=.

c=.

4

1.

H a l l a el valor de los á n g u l o s A y B si el A A B C es r e c t á n g u l o .

A

* A= 4 B=.

B

8.

Encuentra el valor de los á n g u l o s que se p i d e n , sabiendo que 4_ AB» 4 BCD son rectos y que ED \ \ BC .

4

ACB=_

¿,BDC=_ Á BDE=_ r

¿ ACD = _ r

É DOC=_ r

Á BOC=_ r

¿ AOB r

=_

2^A0D=.

74

45°

t.2

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

La bisectriz es la línea que divide un ángulo por la mitad. El punto donde se cruzan las tres bisectrices de los ángulos se llama incentroy está localizado a la misma distancia de los tres lados (fig. 25a).

Incentro

Figura

Baricentro

Baricentro o gravicentro

C

25a

La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con el v é r t i c e opuesto. El p u n t o donde se cruzan las tres medianas se llama baricentro o

\

Baricentro

Figura

25b

gravicentro (fig. 25b).

La mediatriz es la línea perpendicular a un segmento que pasa por su p u n t o m e d i o . El punto donde se cruzan las tres medíatríces se llama árvuncentroy está a la misma distancia de los tres v é r t i c e s (fig. 25c).

Figura 25c

m

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

Ortocentro

Figura

25d

La altura es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas se llama ortocentro (fig. 25d).

L a a l t u r a de AB es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a AB que pasa p o r el v é r t i c e C. L a a l t u r a de BC es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a B C q u e pasa p o r el v é r t i c e A. L a a l t u r a de AC es la l í n e a p u n t e a d a p e r p e n d i c u l a r a AC que pasa p o r el v é r t i c e B.

Ejercicios 1.

Traza las rectas q u e se te p i d e n y escribe e n cada caso el n o m b r e d e l p u n t o d o n d e se c r u z a n . a)

Las m e d i a t r i c e s de cada u n a de las figuras. V e r i f i c a que el p u n to d o n d e se c o r t a n e s t á a la m i s m a d i s t a n c i a de los tres v é r t i c e s t r a z a n d o u n a c i r c u n f e r e n c i a . Esta es la c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s crita del t r i á n g u l o .

TRIÁNGULOS

b)

Las bisectrices de cada figura. V e r i f i c a que e l p u n t o d o n d e se cort a n e s t á a la m i s m a d i s t a n c i a de los tres lados d e l t r i á n g u l o trazand o la c i r c u n f e r e n c i a c o n ese c e n t r o y t a n g e n t e a los lados. Esta es la c i r c u n f e r e n c i a i n s c r i t a .

b)

Las medianas de cada figura. Verifica que el p u n t o d o n d e se c o r t a n divide cada u n a de las medianas en dos segmentos cuya l o n g i t u d e s t á en r a z ó n 2:1.

c)

Las alturas de cada figura. C o n otros colores traza sus medianas y sus mediatrices. Verifica que los tres p u n t o s ( d o n d e se c o r t a n las medianas, d o n d e se c o r t a n las alturas y d o n d e se c o r t a n las mediatrices) están en una línea.

77

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

2.

Resuelve los siguientes p r o b l e m a s . a)

U n a persona d e d i c a d a al r a m o de las c o m u n i c a c i o n e s tiene tres antenas r e p e t i d o r a s instaladas e n d i f e r e n t e s p u n t o s de l a c i u d a d y desea c o n s t r u i r su c e n t r o de t r a n s m i s i o n e s e n u n l u g a r q u e q u e d e a la m i s m a d i s t a n c i a de las tres antenas. L o c a l i z a g r á f i c a m e n t e e l p u n t o para la central.

b)

L a casa de u n estudiante queda a la m i s m a distancia de tres calles que f o r m a n u n t r i á n g u l o . Localiza g r á f i c a m e n t e el p u n t o d o n d e e s t á su casa y la r u t a m á s corta de ella a cada u n a de las calles.

PARA RECORDAR

•

El punto donde se cruzan las mediatrices es el c i r c u n c e n t r o .

•

El c i r c u n c e n t r o está a la misma distancia de los tres vértices.

•

La bisectriz divide el ángulo en dos ángulos

•

El punto donde se cruzan las bisectrices se llama i n c e n t r o .

•

El incentro está a la misma distancia de los tres lados.

•

La mediana es una línea que va del punto medio de un lado al vértice

iguales.

opuesto.

•

El punto

donde se cruzan

las medianas

se llama b a r i c e n t r o o

gravicentro.

•

La altura es una linea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto.

•

El punto donde se cruzan las alturas se llama o r t o c e n t r o .

•

El c i r c u n c e n t r o , el gravicentro y el o r t o c e n t r o están en una

línea.

4.3 DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS

T e o r e m a 7. Los ángulos interiores de un triángulo

suman 18CP.

Q

d / c \ e

,

1

(

r

e

c

t

a

.

Hipótesis Tesis

son los á n g u l o s i n t e r i o r e s d e l t r i á n g u l o

a, by c 2^a+

¿,b+É c=

180°

^c + ±e=

180°

r

Demostración

Sea / la paralela a AB p o r C por formar u n á n g u l o llano p o r ser alternos i n t e r n o s e n t r e paralelas 2^b= ¿ a+ r

%i

4_¿>+ 4 . c = 1 8 0 °

p o r ser alternos i n t e r n o s e n t r e paralelas por sustitución

79

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

Ejercicio

Teorema 8.

Un ángulo externo de un triángulo

es igual a la suma de los ángulos

internos no adyacentes a él

Hipótesis

4_ s

es u n á n g u l o e x t e r n o d e l t r i á n g u l o

4_ my 4_ n

son á n g u l o s i n t e r n o s n o adyacentes a 4 5

2$. s= 2{. m + 2{. n

Tesis Demostración

4_ra+ 4_ n+ 4 . p= 1 8 0 ° + 4 s= 1 8 0 °

4_ra+4_n+4_jfr=4/?+4s m+

n=

s

p o r el t e o r e m a 7 p o r ser adyacentes p o r la p r o p i e d a d transitiva p o r q u e u n a i g u a l d a d n o se altera si a los dos m i e m b r o s se les resta la misma cantidad

porque

4 m+ 4 n + 4_ jfr- 4_ jfr = 4 /> + 2^ s - 2^ p 2^

m+ 2^ n= 2$. p

Ejercicios 1.

A p l i c a n d o e l t e o r e m a a n t e r i o r , e n c u e n t r a e l v a l o r de los รก n g u l o s del siguiente t r i รก n g u l o .

ร ABC = r

4

ACB =

2^BCD =

C

2.

D

Resuelve los siguientes t r i รก n g u l o s c a l c u l a n d o e l v a l o r de los รก n g u l o s q u e se te p i d e n .

B

81

2. Resuelve los siguientes p r o b l e m a s . a)

¿ C u á l es la a l t u r a de u n a a n t e n a de t e l e v i s i ó n q u e p r o y e c t a u n a somb r a de 12 m e t r o s ( m ) e n e l m i s m o i n s t a n t e e n q u e u n e d i f i c i o de 15 m y adyacente a ella, p r o y e c t a u n a s o m b r a de siete metros?

b)

U n a p e r s o n a de 1.78 m de estatura ve la p a r t e s u p e r i o r de u n e d i f i c i o q u e se p r o y e c t a e n u n c h a r c o de agua. L a d i s t a n c i a de l a p e r s o n a al p u n t o d o n d e se refleja la i m a g e n es de 3.5 m y la distancia de ese p u n t o a la base d e l edificio es de 35 m . ¿ C u á l s e r á la a l t u r a d e l e d i f i cio?

c)

N o es p o s i b l e m e d i r e l a n c h o de u n r í o d i r e c t a m e n t e , y u n a p e r s o n a d e c i d e h a c e r l o de la s i g u i e n t e m a n e r a :

d)

E l p e r í m e t r o de u n t r i á n g u l o es de 11 c m y es semejante a u n t r i á n g u l o de lados 6, 7 y 9. ¿ C u á n t o m i d e n los lados d e l t r i á n g u l o ?

4.4

E L T E O R E M A DE PITÁGORAS

Se cree que m u c h o t i e m p o antes de que P i t á g o r a s postulara p o r p r i m e r a vez el t e o r e m a que lleva su n o m b r e , el c o n c e p t o sobre el que se f u n d a m e n t a ya era c o n o c i d o p o r los pueblos de O r i e n t e .

Se piensa que los b a b i l o n i o s c o n o c í a n el t e o r e m a " c o n t a n d o " los mosaicos

Teorema de Pitágoras: En

triangulares, comunes e n sus edificios. E n la p á g i n a siguiente, a la i z q u i e r d a , te

todo triángulo

presentamos u n d i s e ñ o de mosaicos f o r m a d o p o r t r i á n g u l o s , u t i l í z a l o para ha-

la suma del cuadrado de

rectángulo,

cer t ú m i s m o la prueba: suma los t r i á n g u l o s (que a su vez f o r m a n cuadrados) que

los catetos es igual al cua-

c o n f o r m a n la superficie a y b, l u e g o ve de c u á n t o s t r i á n g u l o s se c o m p o n e c. E n

drado de la hipotenusa.

la m i s m a figura 32, a la derecha, observa c ó m o sucede los m i s m o si modificamos el t r i á n g u l o .

91

_ EJEMPLOS

1.

E n c o n t r a r la m e d i d a de la hipotenusa, si b = 16 y a = 34.

C o m o e l d a t o b u s c a d o es l a h i p o t e n u s a , a p l i c a remos la f ó r m u l a :

e= a

2

+

Sustituyendo, tenemos: 2

<? = 3 4 + 16

2

c = V 3 4 2 + 16 c -

2.

2

37.57

E n c o n t r a r la l o n g i t u d d e l cateto b, si a = 15 y c- 39.

C o m o se d e s c o n o c e el cateto b: *

•

c -é

i

2

b =

b = ^ - t f Sustituyendo: 2

6 = 3 9 - 15

2

v

6=36

3.

Encontrar la l o n g i t u d del cateto a, si b= 58 y c = 96.

C o m o se desconoce el cateto a, se aplica la m i s m a fórmula: (f = c 2

g

a = v <? - é

2

Sustituyendo, tenemos:"

a ~ 76.49

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

Ejercicios 1.

C o n los datos q u e se te p r o p o r c i o n a n , e n c u e n t r a e l v a l o r d e l l a d o f a l t a n t e e n los siguientes t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s .

2.

E n c u e n t r a e l d a t o q u e falta o l o q u e se p i d e ; c o n s i d e r a q u e p a r a todos los casos t o m a r e m o s c c o m o la h i p o t e n u s a y a y b c o m o los catetos. a)

«=38

¿=76

c=

b)

a=

¿=86

¿=123

c)

«=45

b=

¿=56

d)

«=35

¿=46

e)

a =76

b=

¿=98

f)

a=

¿=34

¿=122

¿=

1KIAJMUULUÒ

g)

L a l o n g i t u d de la d i a g o n a l d e l s i g u i e n t e r e c t á n g u l o .

25 cm

34 cm h)

L a l o n g i t u d de l a d i a g o n a l d e l s i g u i e n t e c u a d r a d o .

26 c m

i)

L a altura del siguiente t r i á n g u l o e q u i l á t e r o .

42 cm

j)

L a a l t u r a d e l s i g u i e n t e t r i á n g u l o i s ó s c e l e s , si la base es e l l a d o distinto.

38 cm

97

GEOMETRÍA

Y

TRIGONOMETRÍA

3.

L a escalera d e l p r i m e r o a l s e g u n d o piso de u n a t i e n d a d e p a r t a m e n t a l m i d e seis m e t r o s e n f o r m a v e r t i c a l y nueve e n f o r m a h o r i z o n t a l . C a l c u l a l a d i s t a n c i a q u e se r e c o r r e a l ascender a l s e g u n d o piso.

9 m

4.

A l v o l a r u n p a p a l o t e , u n n i ñ o suelta 200 m e t r o s de c u e r d a . Si la d i s t a n c i a desde la p a r t e d i r e c t a m e n t e debajo d e l p a p a l o t e hasta d o n d e se e n c u e n t r a e l n i ñ o es de 89 m e t r o s , ¿a q u é a l t u r a e s t á e l p a p a l o t e , si c o n s i d e r a m o s q u e de la m a n o d o n d e sostiene l a cuerd a al piso hay 1.50 metros?

5.

¿ Q u é l o n g i t u d d e b e t e n e r u n cable p a r a sostener u n poste de seis m e t r o s de a l t u r a , si q u e d a a n c l a d o a o c h o m e t r o s de la base d e l poste?

6.

L a base de u n a escalera de siete m e t r o s de l a r g o q u e d a a c i n c o m e t r o s de la p a r e d d o n d e se apoya. ¿ Q u é a l t u r a alcanza sobre la pared?

7.

Para p l a t i c a r c o n J u l i e t a , R o m e o necesitaba alcanzar l a v e n t a n a de la casa de su amada, la c u a l estaba a u n a a l t u r a de o c h o m e t r o s . ¿ Q u é l o n g i t u d d e b e r í a t e n e r la escalera p a r a l l e g a r a la v e n t a n a , si n o p o d í a c o l o c a r l a a m e n o s de c i n c o m e t r o s de l a pared?