3.6 Combinação linear de vetores Seja V um espaço vetorial tal que v1, v2 ,..., vn ďƒŽ V e a1, a2,..., an ∈ â„?.
EntĂŁo, o vetor
v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn ĂŠ uma combinação linear de v1, v2 ,..., vn e v ďƒŽ V. OBS: O conjunto W de todos os vetores de V que sĂŁo combinaçþes lineares de {v1 , v2 , . . . , vn } ĂŠ um subespaço vetorial de V. Este conjunto ĂŠ chamado subespaço gerado por v1, v2 ,..., vn e pode representado por: W = [ v1, v2 ,..., vn ] = {v ďƒŽ V / v = a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn } 3.7 Exemplos: a) Considerando os vetores v1=(1, 0, 0) e v2=(0, 1, 0), escrever v = (2, 3, 0) como combinação linear de v1 e v2 e que w = (1, 2 ,3) nĂŁo ĂŠ uma combinação linear de v1 e v2. b) Considerando os vetores v1 = (1, 2, -1) e v2 = (6, 4, 2), mostrar que o vetor v = (9, 2, 7) ĂŠ combinação linear de v1 e v2 e que o vetor w = (4, -1, 8) nĂŁo ĂŠ combinação linear de v1 e v2. c) Seja V = â„?3 e u = (3, 4, 5) ďƒŽ â„?3 . Determine o subespaço gerado por u, isto ĂŠ, encontrar S = [u]. d) Seja V = â„?đ?&#x;‘ , encontre S = [v1, v2], em que v1 = (2, 0, 1) e v2 = (0, 3, 3).
3.8 DependĂŞncia e IndependĂŞncia Linear Seja V um espaço vetorial e A = { v1, v2 ,..., vn } ďƒŽ V. Consideremos a equação: a1 v1 + a2 v2 +. . . + an vn = 0
(1)
Vejamos: 
O conjunto A Ê linearmente independente (LI), ou os vetores v1, v2 ,..., vn são LI, se, e somente se, a equação (1) admitir apenas a solução trivial, ou seja: a1 = a2 =...= an = 0 .

Se existirem soluçþes ai  0, então o conjunto A ou os vetores v1, v2 ,..., vn são linearmente dependente (s) (LD).
3.9 Exemplos: Verifique se os vetores abaixo sĂŁo LI: a) V = â„?3 , v1 = (2, -1, 3); v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3, 1). b) V = â„?3 , v1 = (1, 0, 0); v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). c) V = â„?4 , v1 = (2, 2, 3, 4); v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2). d) V = M(2, 2), đ??´ = {
−1 2 2 −3 3 −4 , , } −3 1 3 0 3 1
3.10 Teorema: O conjunto A = { v1, v2 ,..., vn } é LD se, e somente se pelo menos um desses vetores for combinação linear dos demais. OBS: Esse teorema é equivalente a: O conjunto A = { v1, v2 ,..., vn } é LI se, e somente se nenhum desses vetores for combinação linear dos demais. 3.11 Base e Dimensão
Seja V um espaço vetorial. O conjunto v1 , v2 ,..., vn de vetores de V será uma base de V se:
(i) v1 , v2 ,..., vn é LI ; (ii) v1 , v2 ,..., vn V .
Teorema 1: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1, v2 ,..., vn . Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD. Corolário 1: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e é denotado por dim V. OBS. Se V tem uma base consistindo em n vetores, dizemos que V tem dimensão n. O subespaço {0} de V é dito ter dimensão “0”. V é dito de dimensão finita se há um número finito de vetores que cobre V; Caso contrário, dizemos que V tem dimensão infinita. Teorema 2: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Corolário 2: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. Teorema 3: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U dim V e dim W dim V. Além disso: dim (U + W) = dim U + dim W - dim(U W) .
Teorema 4: Dada uma base B = v1 , v2 ,..., vn
de V, cada vetor de V é escrito de
maneira única como combinação linear de v1, v2 ,..., vn .
Definição: Sejam B = v1 , v2 ,..., vn , base de V e v V , onde v a1v1 a2 v2 ... an vn , com a1, a2, ...,an R . Os números a1, a2, ...,an serão denotados como as coordenadas de
v em relação a base B, sendo indicadas por: a1 a v 2 B an
OBS. Considera-se nesse estudo que a base B = v1 , v2 ,..., vn
é ordenada.
3.12 Exemplos: Verificar se B é base de V. Em caso afirmativo, identificar a dimensão do espaço vetorial. a) V = R2; B = {(1, 0) ; (0, 1)} b) V = R2; B = {(1, 1) ; (0, 1)} c) V = R2; B = {(0, 1) ; (0, 2)} d) V = R3; B = {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0), (0, 0, 1} e) V = R3; B = {(1, 0, 0) ; (0, 1, 0)}
1 2 1 f) V = R ; B 2 , 1 , 0 3 0 1 3
3.13 Mudança de Base
Sejam B = u1 , u2 ,..., un
e B´ = w , w ,..., w 1
2
n
duas bases ordenadas de um mesmo
espaço vetorial V. Dado v V , podemos escrevê-lo como: (1)
v x1u1 x2 u2 ... xn un
v y1w1 y 2 w2 ... y n wn
As coordenadas de v em relação as bases são dadas por:
x1 x v 2 B xn
e
y1 y v 2 B` y n
Como B é base de V, podemos escrever os elementos de B´ como combinação linear dos elementos de B, ou seja: w1 a11u1 a21u2 ... an1un
(2)
w2 a12 u1 a22 u2 ... an 2 un wn a1n u1 a2n u2 ... ann un
Substituindo (2) em (1):
v y1w1 y 2 w2 ... y n wn
v y1(a11u1 a21u2 ... an1un ) y 2 (a12 u1 a22 u2 ... an 2 un ) ... y n (a1n u1 a2n u2 ... ann un ) Como v x1u1 x2 u2 ... xn un e as coordenadas em relação a uma base são únicas, segue que: x1 a11y1 a12y 2 ... a1n y n
(3)
x2 a21y1 a22y 2 ... a2n y n xn an1y1 an 2y 2 ... ann y n
Na forma matricial:
(4)
Denota-se por I B
B`
x1 a11 a12 ... a1n y1 a a ...a 2n y 2 x2 21 22 x a a ...a y n n1 n 2 nn n
a11 a12 ... a1n a21 a22 ...a2n B` , sendo I B chamada matriz mudança da base B´ an1 an 2 ...ann
para a base B. Teorema 5: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se B e B´ são duas bases de B` B` V, então I B admite o cálculo da matriz inversa ( I B é invertível) e além disso, tem-se que ( I B )-1 = I B ` . B`
B
3.13 Exemplos: a) Sejam B = {(2, -1) ; (3, 4)} e B´={ (1, 0); (0, 1)} bases de R2. Encontre I B e I B ` . B`
B
b) Sejam B = {(1, 1 , 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} e B´ = {(1, 2, 0); (1, 3, 2); (0, 1, 3)} bases de R3. Determine: b1) I B
B`
b2) I B ` B
b 3) As coordenadas de v (3, 2, 1) R3 em cada uma das bases.