3. ESPAÇOS VETORIAIS 3.1 Definição Seja V um conjunto não vazio, sobre o qual estão definidas as operaçþes adição e multiplicação por escalar, isto Ê,
 u, v ďƒŽ V temos: u + v ďƒŽ V e,  u ďƒŽ V e ď Ą ďƒŽ â„? (conj. dos num. reais), temos: ď Ą u ďƒŽ V V com essas operaçþes ĂŠ chamado espaço vetorial real se forem verificados 8 axiomas: Em relação Ă adição: Sejam os vetores u, v, w ďƒŽ V (A1) (A2) (A3) (A4)
(u + v) + w = u + (v + w) u+v=v+u Existe um Ăşnico elemento neutro neutro 0 ďƒŽ V tal que u + 0 = 0 + u = u Existe um Ăşnico elemento simĂŠtrico -u ďƒŽ V tal que u + (-u) = 0
Em relação Ă multiplicação: Sejam os vetores u,v ďƒŽ V e os escalares ď Ą , ď ˘ ďƒŽ ďƒ‚ (M1) (M2) (M3) (M4)
( ď Ą . ď ˘ )u = ď Ą ( ď ˘ u) ( ď Ą + ď ˘ )u = ď Ą u + ď ˘ u ď Ą (u + v) = ď Ą u + ď Ą v 1u = u
Observação: Os elementos de um espaço vetorial V podem ser polinômios, matrizes, números, funçþes, desde que as operaçþes definidas neste conjunto satisfaçam os oito Axiomas. Mas independente de sua natureza os elementos de um Espaço Vetorial V serão chamados vetores. 3.2 Exemplo: Verifique em cada caso se V Ê um espaço vetorial: a) V = conjunto das matrizes 2x2
ďƒŹďƒŠ x y ďƒš ďƒź ou V = M(2x2) = ďƒďƒŞ : x, y, z, w ďƒŽ ďƒ‚ďƒ˝ , com as ďƒş ďƒŽďƒŤ z wďƒť ďƒž
operaçþes usuais. b) V = como:
đ?’‚ đ?’ƒ đ?’„ / đ?’‚, đ?’ƒ, đ?’„ ∈ â„?
= conj. das matrizes linha M(1x3) e as operaçþes definidas
đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 + đ?‘?1 đ?‘?2 đ?‘?3 = đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 (Cuidado, adição nĂŁo usual) đ?›ź ∙ đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž3 = đ?›ź ∙ đ?‘Ž1 đ?›ź ∙ đ?‘Ž2 đ?›ź ∙ đ?‘Ž3 (Multiplicação usual) c) V ={(x, y) ďƒŽ ďƒ‚ 2}, conjunto dos vetores em ďƒ‚ 2 e as operaçþes definidas: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e ď Ą (a,b)= ( ď Ą 2a, ď Ą 2b) d) V = M(m,n) = conjunto das matrizes do tipo mxn, com as operaçþes usuais (de adição e de multiplicação por escalar). e) V = ďƒ‚ n = {(x1, x2, x3, ... , xn): xi ďƒŽ ďƒ‚ }, 1 ď‚Ł i ď‚Ł n ; com as operaçþes de adição e de multiplicação por escalar usuais.
f) V = P3 = conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 3 (incluindo os polinômios de grau zero) ou P3 = { a0 + a1x + a2x2 + a3x3: ai }, com as operações usuais. g) V = {(x, x2) / x } com as operações definidas por: (x1, x12) + (x2, x22) = (x1 + x2, (x1+ x2)2 (x, x2) = (x, 2x2) OBS: Matrizes, vetores, polinômios podem estar associados da seguinte maneira:
a b c A= , d e f A M(2,3),
v = (a, b, c, d, e, f), v 6 ,
p(x) = a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + fx5 p(x) P5
Pode-se dizer que a, b, c, d, e, f são as coordenadas de A, v e p(x). Por isto, matrizes, vetores, polinômios são chamados de maneira geral vetores. 3.2 Subespaços Vetoriais O subconjunto S de V (espaço vetorial) que atende os critérios abaixo é chamado de subespaço de V. (i) S ≠ (ii) 0 S (iii) u, v S, (u + v) S (iv) e u S, (u) S OBS: (1) O subespaço vetorial S é um espaço vetorial. (2) Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços (chamados subespaços triviais), o conjunto 0 e o próprio espaço vetorial V. 3.3 Teorema: Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais de V (espaço vetorial). Então: (i) S1 S2 é um subespaço de V. (ii) S1 + S2 é um subespaço de V. OBS:
(1) S1 S2 = {v V : v S1 e v S2} (2) S1 + S2 = { v = u + w / u S1 e w S2}. (3) Todo elemento de S1 + S2 é um vetor soma de 2 vetores, um vetor de S 1 e o outro de S2.
3.4 Soma direta de subespaços Sejam S1 e S2 subespaços vetoriais de V. V é a soma direta de S1 e S2 (Representado por V = S1 S2 se: V = S1 + S2 e S1 S2 = { 0 }.
3.5 Exemplo: Verificar em cada caso se S Ê subespaço de V. a) V = �2 com as operaçþes usuais e � =
1
đ?‘Ľ, đ?‘Ś / đ?‘Ś = 2 đ?‘Ľ .
b) V = �2 com as operaçþes usuais e � =
đ?‘Ą, đ?‘Ą + 1 / đ?‘Ą ∈ â„? .
c) V = �2 com as operaçþes usuais e � =
đ?‘Ľ, đ?‘Ľ / đ?‘Ľ ∈ â„? .
d) V = �2 com as operaçþes usuais e � =
đ?‘Ľ, đ?‘Ś /đ?‘Ś = đ?‘Ľ 2 , đ?‘Ľ ∈ â„? .
e) V = �3 com as operaçþes usuais e � =
đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ / đ?‘Žđ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘Ś + đ?‘?đ?‘§ = 0 .
Intersecção e Soma de Subespaços
f) V = M(3 x 3), S1 =
đ?‘Ž1 0 0
đ?‘Ž2 đ?‘Ž5 0
đ?‘Ž3 đ?‘Ž6 ; ai ďƒŽ ďƒ‚ e S2 = đ?‘Ž9
S1 ďƒ‡ S2.
đ?‘Ž1 đ?‘Ž4 đ?‘Ž7
0 đ?‘Ž5 đ?‘Ž8
0 0 ; aiďƒŽ ďƒ‚ . Determine đ?‘Ž9
g) V = ďƒ‚ 3 , S1 = {(0, 0, x): x ďƒŽ ďƒ‚ } Reta no eixo z; S2 = {(a, a, 0): a ďƒŽ ďƒ‚ } Reta no plano xy; Determine S1 + S2 . ďƒŹďƒŠa b ďƒš ďƒź h) V = M(2 x 2); S1 = ďƒďƒŞ ďƒş ďƒ˝ e S2 = 0 0 ďƒŤ ďƒťďƒž ďƒŽ e S1 ďƒ‡ S2 .
ďƒŹ ďƒŠ0 0 ďƒš ďƒź ďƒďƒŞ ďƒş ďƒ˝ onde a, b, c, d ďƒŽ ďƒ‚ . Determine S1 + S2 c d ďƒŤ ďƒťďƒž ďƒŽ