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Longitud de un arco de una curva
Lcdo. Eliezer Montoya
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS Contenido: Integral definida: (3º) Aplicación: Longitud del arco de una curva. Matemática II –Sección F –Semestre 2 Lcdo Eliezer Montoya En los problemas 1 al 11 (Tomados del texto de Sáenz Jorge. (2003) Cálculo Integral con funciones trascendentes tempranas para ciencias e ingeniería. Pág. 363-364 – capítulo12-4 .Hallar la longitud de la curva dada, entre los puntos indicados x3 1 + ; 6 2x Desde x=1 hasta x=3 Sol:14/3
3/ 2 1 2 x + 2) ; ( 3 Desde x= 0 hasta x=3 Sol.12
y4 1 + 2; 4 8y Desde y=1 hasta y=2
6. y = ln x ; Desde x = 3
Sol.123/32
Sol. 1 +
1. y =
5. x =
9. y = ln ( sec x ) ; Desde x=0 Hasta x = π 3
(
Sol. ln 2 + 3
)
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2. y =
hasta x = 8
1 3 ln 2 2
Desde x = 0 hasta x =1
(
(
Sol. ln
10. y = sin −1 ( e − x ) ;
Sol. ln e + e 2 − 1
1 4. y 2 = 12 x ; x ( 3 x − 1) ; 3 Desde y =0 hasta y=6 Desde x=1 hasta x=4 Sol. Sol. 22/3 3 2 + ln 1 + 2 x 7. y = ln(cos x) ; 8. y = ∫ sec 4 t − 1 dt ; π Desde x = 0 6 Desde x=0 Hasta x = π 4 Hasta x = π 4
3. y =
)
2 +1 3
Sol. 1
x 11. y = a cosh ; a catenaria, desde x = 0 hasta x=b b Sol. = a sinh a
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)
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Algunas soluciones de los problemas antes mencionados: 2) Encontrar la longitud del arco formado por la curva y =
3/ 2 1 2 x + 2 ) desde ( 3
x=0 hasta x= 3 1º.-Calculemos la derivada de la función y =
3/ 2 1 2 dy dy du (por la x + 2) ⇒ = . ( 3 dx du dx u
1 regla de la cadena: la derivada de la función externa y = u 3 / 2 , por la derivada de 3 2 la función interna u = ( x + 2 ) , de esta manera 3 3/ 2 −1 d 1/ 2 dy d 1 2 1 3 2 1 2 . x 2 x 2 x2 + 2) = ( x2 + 2) = + = . + 2x + 0 ( ) ( ) ( dx dx 3 dx 2 3 2 1/ 2 dy = x ( x2 + 2) dx
(
)
2º.-La longitud del arco “s” la podemos calcular a través de:
s=∫
3
0
2
3 3 3 1/ 2 2 dy 1 + dx = ∫ 1 + x ( x 2 + 2 ) dx = ∫ 1 + ( x 4 + 2 x 2 )dx = ∫ x 4 + 2 x 2 + 1 dx 0 0 0 dx
)
(
3 x3 (3)3 = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) dx = + x = + (3) − 0 = (9 + 3) = 12 unidades 0 0 3 0 3 factorizando y simplificando raices 3
2
3
2
2
4) Encontrar la longitud del arco formado por la curva y 2 = 12 x ; desde y =0 hasta y=6 y2 1º Calculamos la derivada de x = ya que los limites de integración sugeridos están 12 sobre el eje y.
dx d y 2 2 y y = = = dy dy 12 12 6 2º Determinamos la longitud del arco, denotada por “s”, usando: 2
s=∫
6
0
=
1 6 6 ∫0
2
6 6 6 dx y2 36 + y 2 y 1 + dy = ∫ 1 + dy = ∫ 1 + dy = ∫ dy 0 0 0 36 36 6 dy 1 6 36 + y 2 dy = ∫ 62 + y 2 dy 6 0
Esta integral la podemos resolver por medio de sustitución trigonometrica o por tablas de recurrencia
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Método #1. Por sustitución trigonométrica:
tan θ =
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1 6 2 6 + y 2 dy ∫ 0 6
y ⇒ y = 6 tan θ ∴ dy = 6 sec 2 dθ 6
y 2 + 62 ≡ (6 tan θ ) 2 + 62 ≡ (62 )(tan 2 θ + 1) ≡ y 2 + 62 ≡ 62 sec 2 θ ≡ 6 sec θ
Sustituyendo los valores antes encontrados y simplificando pasamos a integral: 1 1 y 2 + 62 dy = ∫ ( 6 sec θ ) ( 6 sec 2 θ dθ ) = 6 ∫ sec3 θ dθ ∫ 6 6 Esta integral la atacaremos por la técnica de integración por partes
∫ sec θ dθ = ∫ sec θ sec 3
2
otra
θ dθ = uv − ∫ vdu
u = sec θ ⇒ du = sec θ tan θ dθ dv = sec 2 θ dθ ⇒ v = tan θ
∫ sec θ dθ = sec θ tan θ − ∫ tan θ sec θ tan θ dθ = sec θ tan θ − ∫ tan 3
2
θ sec θ dθ
aplicando identidad trigonométrica
∫ sec θ dθ = sec θ tan θ − ∫ ( sec 3
2
θ − 1) sec θ dθ = sec θ tan θ − ∫ sec3θ dθ + ∫ secθ dθ =
trasnponiendo terminos semejantes al primer miembro
∫ sec θ dθ + ∫ sec θ dθ = sec θ tan θ + ∫ secθ dθ = 3
3
sumando terminos semejantes y despejando luego de calcular la integral del segundo miembro
∫ sec θ .dθ = ∫
sec θ (sec θ + tan θ ) sec 2 θ + sec θ . tan θ dθ = ∫ dθ = (sec θ + tan θ ) (sec θ + tan θ )
t = sec θ + tan θ dt ⇒ ⇒ ∫ = ln t + C = ln sec θ + tan θ + C 2 t dt = (sec θ . tan θ + sec θ )dθ 2 ∫ sec3θ dθ = sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ + C
∫ sec θ dθ = 3
sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ
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2
+C
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Por razones trigonometricas del triangulo rectángulo adjunto tenemos: y cateto opuesto tan θ = = 6 cateto adyacente
sec θ =
y 2 + 62 hipotenusa = 6 cateto adyancente
Podemos reescribir la integral en términos de
las funciones originales
y 2 + 62 y sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ 3 6 ∫ sec3θ dθ = 6 + C = + ln 6 6 2 =
y y 2 + 62 + 3 ln 12
y 2 + 62 y + +C 6 6
y 2 + 62 + y +C 6
Usando la cuenta anterior: 1 6 2 6 + y 2 dy = 6 ∫0 6 2
=
2
y y +6 + 3 ln 12
2
2
y +6 + y 6
= 0
6 62 + 62 + 3ln = 12
62 + 62 + 6 6
0 02 + 62 − + 3ln 12
2.62 2.62 + 6 6 2 − ln(1) = = + 3ln + 3ln 2 6 2 1 6 ∴ ∫ 62 + y 2 dy = 3 2 + ln 2 + 1 unidades 6 0
(
(
(
02 + 62 + 0 6
)
2 + 1 = 3 2 + 3 ln
(
)
2 +1 =
))
Método # 2: Implica buscar en la tabla de recurrencia para la integral de 1 6 s = ∫ 62 + y 2 dy .Usando la fórmula general siguiente: 6 0 u 2 a2 2 2 2 a + u du = a + u + ln u + a 2 + u 2 + C ∫ 2 2
Se tiene que:
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6 1 6 2 1 y 2 62 2 2 2 2 6 + y dy = 6 + y + ln y + a + y 6 ∫0 6 2 2 0 =
1 6
6 2
6 2 + 62 +
62 ln 6 + 62 + 62 2
1 0 2 62 2 − 6 + 0 + ln 0 + 62 + 02 2 6 2
6 2 6 10 2 62 2 + + − ln 0 + 62 + 0 2 ln 6 6 2 6 + 0 + 2 2 2 2 6
(
)
(
=
)
(
= 3 2 + 3ln 6 1 + 2 − 3 ln 6 = 3 2 + 3 ln 6 + 3ln 1 + 2 −3ln 6 = 3 2 + 3 ln 1 + 2 Nota: El método uno implica mayor análisis, mientras que el segundo el estudiante debe buscar dentro de la tabla de recurrencia la fórmula o teorema a usar. Por esto cada estudiante debe tratar de hacer y resolver muchos problemas, para construir el dominio adecuado y esperado.
6) Encontrar la longitud del arco formado por la curva y = ln x desde x = 3
hasta x = 8
dy d 1 = ( ln x ) = dx dx x 2º Determinamos la longitud del arco, denotada por “s”, usando:
1º Calculamos la derivada de y = ln x ⇒
s=∫ =∫
8 3
8 3
2
dy 1 + dx = ∫ dx
8 3
2
1 1 + dx = ∫ x
8 3
1+
1 dx = ∫ x2
8 3
x2 + 1 dx x2
x2 + 1 dx x
Método # 1: Para resolver la integral s = ∫
8 3
x2 + 1 dx .Usemos sustitución x
trigonométrica tan θ =
x ⇒ x = tan θ ∴ dx = sec 2 dx 1
Figura 1-A
x 2 + 1 = (tan θ ) 2 + 1 = sec 2 θ = sec θ
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x2 + 1 ∫ x dx = La rescribimos asi: sec θ . sec2 θ dθ sec θ .(tan 2 θ + 1)dθ sec θ = = ∫ sec θ . tan θ dθ + ∫ dθ (1) ∫ tan θ ∫ tan θ tan θ La integral del primer sumando es ∫ sec θ . tan θ dθ = sec θ + C
(2)
1 sec θ cos θ dθ c o La integral del segundo sumando es ∫ dθ = ∫ s θ dθ = ∫ dθ = ∫ = csc θ dθ sin θ tan θ sin θ ∫ sin θ . cos θ cos θ dicha integral la podemos calcular: Por sustitución o cambio de variable t = csc θ − cot θ (csc θ − cot θ ) csc θ − csc θ cot θ d d csc = = θ θ θ ∫ ∫ (csc θ − cot θ ) dt = − csc θ cot θ − (− c sc 2 θ )dθ (csc θ − cot θ ) 2 dt = csc θ − csc θ cot θ dθ 2
dt = ln t + C = ln csc θ − cot θ + C t sustituimos (3) y (2) en (1)
∫ ∫
(3)
x2 + 1 sec θ dx = ∫ sec θ . tan θ dθ + ∫ dθ = sec θ + ln csc θ − cot θ + C x tan θ
Por el triángulo rectángulo de la figura 1-A tenemos 1 sec θ = = x2 + 1 cos θ
1 x2 + 1 = sin θ x 1 1 cot θ = = tan θ x
csc θ =
Nos queda:
∫
x2 + 1 dx = x 2 + 1 + ln x
x2 + 1 1 − + C = x 2 + 1 + ln x x
x2 + 1 − 1 +C x
Integral indefinida que usaremos para evaluar integral definida en el arco buscado:
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s=∫
x2 + 1 dx = x 2 + 1 + ln x
8 3
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8
x2 + 1 − 1 x
3 2 3 + ln 2 2
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2 1 = 3 + ln − 2 + ln 8 3
1 − 2 + ln = 3
3 1 3 = 3 − 2 + ln1 − ln 2 − ln1 + ln 3 = 1 + ln = 1 + ln ua = 1, 2027ua 2 2 2
Método # 2: Para resolver la integral de la longitud del arco s = ∫
8 3
1 + x2 dx x
Usemos integrales por reducción o tablas que dice así:
∫
a2 + u2 a + a2 + u2 du = a 2 + u 2 − a ln +C u u
s=∫
8
x2 + 1 1 + 1 + x2 dx = 1 + x 2 − ln x x
8 3
3 4 = 3 − ln 2 2
4 3 = 3 − ln − 2 − ln 8 3
3 ln 2 ln 3 + ln 3 − = − 2 − ln = 3 − 2 − ln 2 + ln 2 + ln 3 − ln 3 = 1 − ln 2 − 2 2 3
3 ln 2 −2 ln 2 + ln 2 + 2 ln 3 − ln 3 − ln(2) + ln(3) = 1 + 1 ln 3 ua = 1, 20ua =1+ =1+ = 1+ 2 2 2 2 2
x
8) Encontrar la longitud del arco de y = ∫ sec 4 t − 1 dt en el intervalo x = 0 0
a x=π
4
1º Calculamos la derivada de: x dy d d = sec 4 t − 1 dt = [ g ( x) − g (0)] = f ( x) = sec 4 x − 1 ∫ dx dx 0 dx x
⇒
d f (t )dt = f ( x) → por el primer Teorema fundamental del Cálculo dx ∫0
∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇒ F´( x) =
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f ( x)
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2º.-La longitud del arco “s” la podemos calcular a través de:
s=∫
2
π /4 dy 1 + dx = ∫ 1+ 0 dx
π /4
0
π /4 ⇒s=∫
π /4
0
2
sec x dx = tan x 0
(
sec 4 x − 1
)
2
dx = ∫
π /4
0
1 + sec4 x −1 dx = ∫
π /4
0
sec 4 x dx
π = tan − tan ( 0 ) = 1 − 0 = 1 4
10. Encontrar la longitud del arco de y = sin −1 ( e − x ) ; desde x = 0 hasta x =1
1º Calculamos la derivada de la función y = sin −1 ( e − x )
d −x (e ) dy dy du d −1 − x e− x dx y = sin ( e ) ⇒ = . ⇒ sin ( e ) = = dx du dx dx −x 2 1 − e −2 x e 1 − ( ) u −1
−x
2º.-La longitud del arco “s” la podemos calcular a través de: 2
−2 x 1 1 1 1− e e− x e −2 x + e −2 x dy s = ∫ 1 + dx = ∫ 1 + dx = ∫ 1 + dx = dx ∫0 −2 x 0 0 0 1 − e −2 x 1 − e −2 x dx 1− e Realizando operaciones de fracciones en la cantidad subradical, simplicando luego nos queda:
2
1
2
ex ) 1 1 1 1 e ( 1 1 1 e2 x =∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 x 2 − 2 x 2 x 0 1− e 0 0 0 0 1 1 e −1 e −1 ( ex ) −1 1− 2x 2x e e Realizando ahora un cambio de variables o sustitución de t = e x asi dt = e x dx 1
1 x e = e t = e e 0 e dt dx ⇒ ⇒ e = 1 ∫0 x 2 ∫1 t 2 − 1 x (e ) −1 dt = e dx Dicha integral la podemos hallar a través de sustitución trigonometrica o por tablas e dt 1
∫
1
x
t 2 −1
Método #01 .Por la técnica de sustitución trigonométrica tenemos
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ex x 2
(e )
dx −1
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t hipotenusa sec θ = = 1 catetoa adyacente
Como
t = Secθ dt = sec θ .tan θ .dθ Hacemos 2 2 t − 1 = sec 2 θ − 12 2 = tan θ = tan θ
∫
dt 2
t −1
=∫
sec θ tan θ dθ sec θ .(sec θ + tan θ ) = ∫ sec θ dθ = ∫ dθ = tan θ dθ ( sec θ + tan θ )
otro cambio de variables dw w = ( sec θ + tan θ ) ⇒∫ = ln w + C = ln sec θ + tan θ + C w 2 dw = ( sec θ tan θ + sec θ ) dθ Devolviendo la sustitución trigonométrica nos queda:
∫
∫
e
1
dt
= ln sec θ + tan θ + C = ln t + t 2 − 1 + C =
2
t −1
e
dt
2
= ln e + e 2 − 1 − ln 1 + 12 − 1 = ln e + e 2 − 1 − ln 1
= ln t + t − 1
2
t −1 ∴∫
1 dt
e
1
2
= ln e + e 2 − 1 unidades
t −1
Método # 02 Usando tablas de recurrencia tenemos:
∫
du 2
2
= ln u + u 2 − a 2 + C
u −a Coinciden las respuestas hechas por el análisis del método anterior. e dt ∴∫ = ln e + e 2 − 1 unidades 2 1 t −1
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