INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C CALCULO PROFESORA: OFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES. PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
ALUMNO: GUTIERREZ VALENCIA MONICA GUADALUPE.
3° “A” CICLO ESCOLAR 2013 - 2014
SEMESTRE “A”
Primer parcial Semestre A
Segundo parcial Semestre A
Tercer parcial Semestre A
Cuarto parcial Semestre A
Índice
Cuarto parcial: Trabajo especial de (máximo, mínimo)
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C CALCULO PROFESORA: OFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES. PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS TRABAJO ESPECIAL DE CALCULO.
ALUMNO: MENA JUAREZ IVAN. GUTIERREZ VALENCIA MONICA GUADALUPE.
3° “A” CICLO ESCOLAR 2013 - 2014
SEMESTRE “A”
INTRODUCCION. En este trabajo se verán distinto se vera MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS, donde podemos ver que con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución. La derivada es determinar donde una función alcanza sus valores máximos y mínimos. (Extremos).dando así el estudio de los valores extremos de una función con los extremos relativos, extremos absolutos y el teorema del valor extremo. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos.
ÍNDICE MAXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (LOCAL Y ABSOLUTO) 5 EJEMPLOS ANALÍTICOS DE CÓMO HALLAR PUNTOS MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CONCAVIDAD DE LA CURVA
“MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN (LOCAL Y ABSOLUTO)” Definición Máximo relativo (máximo local). La función f tiene un máximo relativo (o máximo local) en un número c si en algún intervalo (a, b) que incluya a c es define un mínimo relativo (o local) de f.
para todo x en el dominio de f. Análogamente se
Definición Máximo absoluto. La función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en el número c si
para todo x en el dominio de f. Un mínimo global se define de manera análoga.
Nota: Un máximo global es necesariamente local. Para saber si una función contiene un máximo local o global es necesario no solo conocer los puntos en que la derivada es igual a cero, es necesario conocer como es el comportamiento de la derivada alrededor de ese punto.
Máximo relativo de una función. Una función f alcanza un máximo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno reducido de x0, es decir E*(x0, h) = (x0 - h, x0 + h) - {x0}, tal que f(x) < f(x0) para todos los puntos de dicho entorno reducido.
Mínimo relativo de una función Una función f alcanza un mínimo relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno reducido de x0, es decir E*(x0, h) = (x0 - h, x0 + h) - {x0}, tal que f(x) > f(x0) para todos los puntos de dicho entorno reducido.
Entorno reducido: E*(x0, h) = E(x0, h) - {x0} = (x0 - h, x0) ∪ (x0, x0 + h)
Ejemplo de mínimos y máximos. Tomemos la función f(x)=x3−3x Empezaremos derivando la función y igualándola a cero. Resolveremos la ecuación y nos quedaremos con los puntos solución. f′(x)=3x2−3⇒3x2−3=0⇒x2=1⇒x=±1 Ahora sabemos que en los puntos 1 y −1 tenemos máximos o mínimos. Vamos a ver qué son usando la segunda derivada: f′′(x)=6x: f′′(1)=6>0 f′′(−1)=−6<0 y por lo tanto, en x=−1 tenemos máximo y en x=1 tenemos un mínimo. Veamos el gráfico para ver claramente el ejemplo:
Ejemplo: Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2
Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2
Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 Para x = 2.1
es positivo
dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo
Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo. Ejemplo: Determinar si la gráfica de la función y = x2 – 3x + 6 presenta un máximo o un mínimo, mediante el método de la derivada. 1)
dy/dx = 2x – 3
2)
2x – 3 = 0, donde x = 3/2 = 1.5
3)
Tomar dos valores cercanos a x = 3/2
Para x = 1
dy/dx = 2(1) – 3 = 3 – 2 = -1 es negativo
Para x = 2
dy/dx = 2(2) – 3 = 4 – 3 = 0 es positivo
La gráfica va de negativo a positivo, entonces la gráfica presenta un valor mínimo; va de decreciente a creciente. Para conocer la coordenada en y del valor mínimo; sustituimos x = 3/2 en la función: y = (3/2)2 – 3(3/2) + 6, de donde y = 15/4 Ejemplo f(x) = x3 − 3x + 2 f'(x) = 3x2 − 3 = 0 f''(x) = 6x f''(−1) = −6 Máximo f''(1) = 6 Mínimo f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo (−1, 4)
Mínimo (1, 0)
Determina los puntos máximos y mínimos para la función: f(x) = 3x2 – 12x + 15, utiliza el criterio de la primera derivada.
Solución. Paso 1 Se obtiene la derivada de la función: f1(x) = 6x – 12 Paso 2 La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: f1(x)= 6x – 12; 6x – 12 = 0 donde x=2 Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico. Paso 3 Se da un valor menor y uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la derivada. Para x = 2 se toman los valores 1 y 3 f1(1) = 6(1) – 12 = - 6 < 0 y f1(3) = 6(3) – 12 = 6 > 0
El cambio negativo a positivo, entonces la función tiene un valor mínimo en x= 2. Paso 4 El valor crítico se evalúa en la función: f(2) = 3(2)2 – 12(2) + 15 f(2) = 3 Por consiguiente, el punto mínimo es (2,3) 2.- Obtén los puntos máximos y mínimos para la función: f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 15 Solución Paso 1 Se obtiene la derivada de la función: f1(x) = 6x2 – 6x – 12 Paso 2
La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación: f1(x) = 6x2 – 6x – 12 6x2 – 6x – 12 = 0 x2 – x – 2 = 0 (x – 2)(x + 1) = 0 Los valores críticos son: x1 = 2, x2 = -1
“CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN” La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente: Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo cóncava hacia abajo en el intervalo
y
Teorema 5 Si f es una función tal que cóncava
cuando
hacia
, entonces la gráfica de f es arriba
sobre
.
Demostración:
Si
y como
sobre
, entonces se tiene que
es creciente
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,
se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6 Si f es una función tal que cóncava
cuando
hacia
, entonces la gráfica de f es abajo
sobre
.
Demostración:
De la hipótesis: decreciente sobre
, y como
, se obtiene que
es
por lo que según la definición dada sobre concavidad, la
gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre
.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si Luego,
entonces si
y,
Como
,
entonces
ellos
es positiva. Además
es
creciente
, si en
. los
intervalos
es decreciente en el intervalo
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo
y,
pues en él
,
pues
en
es negativa.
y cóncava hacia abajo en el
intervalo
.
La representación gráfica de la función
es la siguiente:
Representación gráfica de la función Observe
que
es
creciente
Representación gráfica de la función f:
en
y
y
decreciente
en
.
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos intervalo
y cóncava hacia abajo en el
.
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición Se dice que
es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si
existe un intervalo
tal que
sobre
, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba
, y cóncava hacia abajo sobre
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos1: 1. El
punto
es
pues para
un
punto
es positiva si ,
y
de
inflexión
de
la
curva
, y negativa si cóncava
con
hacia
abajo
2. Determinemos los puntos de inflexión de la función f con ecuación
tiene
que
Resolvamos las desigualdades
por
,
, de donde f es cóncava hacia arriba
Gráficamente se tiene:
Se
Ecuación
lo
que
para
.
Como esos
si
entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en intervalos.
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo
Luego los puntos puntos
y
pues en él
.
son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto son de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
Teorema 7 Si
es un punto de inflexión de la gráfica de f y si
existe,
entonces Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplo2: Considere la función f con ecuación Note que
cóncava
si
hacia
abajo
. La segunda derivada de f es
,y,
para
si
Se
tiene
inflexión. Evaluando la segunda derivada de f en lo expresado en
Luego, f es cóncava hacia arriba para
entonces
que
resulta que el
es
teorema
un
punto
,y
de
con lo que se verifica anterior.
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
Teorema 8 Si: I. f es una función continua sobre un intervalo I,II. es un punto interior de I tal que
,ó
existe, y
III. Si existe un intervalo
con
,
tal que:
1.
cuando y un punto de inflexión de la gráfica de f.
cuando
, entonces
es
2.
cuando y un punto de inflexión de la gráfica de f.
cuando
, entonces
es
cuando
,
3.
cuando bien,
y
cuando no
es
un
y punto
o
cuando de
inflexión
entonces de
la
gráfica
de f.
Demostración: Es similar a la dada para el Teorema 4, sustituyendo f por y
por
,
.
Ejemplo3:
1. Sea f una función con ecuación continua en todo su dominio por
ser
de f es
igual
,
que
es
una
con . Note que f es una función función polinomial. La segunda derivada
a
cero
si
y
solo
si
ó
Así Observemos la solución de las desigualdades
,y
por medio de la siguiente tabla:
.
1. Como punto
de
De
acuerdo
como inflexión.
para inflexión con
para
y según el
para el
punto
y
para
punto 2
l
de
entonces del ese
es Teorema mismo
, entonces
un 8.
teorema,
es un punto de
2. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
, con
Como se tiene que
Además
es mayor que cero para
en su dominio, y por lo tanto
nunca se hace cero y que
no existe.
, por lo que f siempre es cóncava hacia arriba
no es punto de inflexión.
CONCLUSION: Los máximos y mínimos absolutos se definen como la posición o punto en que se encuentra el punto critico de una función en una curva. Estos se dan dependiendo el tipo de función que se tenga, por ejemplo: Cuando el punto crítico se encuentra en la parte inferior de la curva, determina que la función es creciente, siendo el punto critico el mínimo absoluto ya que su derivada es igual a 0. Cuando el punto crítico se encuentra en la situación contraria es decir en el punto superior de la curva, se determina una función decreciente, por lo que el punto critico se denomina máximo absoluto.
BIBLIOGRAFÍA http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo/inflexion http://personales.upv.es/sanmollp/Derivadas/Pag27.htm http://www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html http://www.sectormatematica.cl/contenidos/concavyc.htm