Estrategia didáctica 2.2.2.3. Diagrama de Árboles Comentario: En esta estrategia se construirán árboles. El propósito es que el alumno note que estos diagramas son muy útiles para organizar mejor la información que ha reunido en la práctica anterior. 1. Considera dos sucesos: Casarte antes de los 24 años, y Titularte antes de los 24. Construye un gráfico en el que consideres sólo estos dos sucesos. Considera que existen 4 posibilidades: Casarte y Titularte; casarte y no titularte; no casarte y titularte y no casarte y no titularte. Organiza la información de la siguiente manera: Dibuja un punto a partir del cual traces a su derecha dos segmentos separados un ángulo de 45° aproximadamente (puede ser menor o mayor). Al final de un segmento coloca la letra C (que significa “casarse”) y al término del otro coloca las letras NC (que significa “no casarse”). Luego dibuja dos segmentos con la misma forma que los dos primeros a la derecha de la letra C (has lo mismo para las letras NC). Tendrás 4 segmentos terminales en los que colocarás de arriba abajo respectivamente, las letras T, NT, T, NT (significan T: titularte y NT: no titularte.) 2. Al arreglo anterior se le llama diagrama de árbol y cada una de las letras representa un suceso. Si recorres el árbol a partir del primer punto que dibujaste y a lo largo de una rama hasta el suceso T o NT, has reproducido una de las 4 posibilidades que existen para que estos sucesos ocurran y que son los mismos que enunciaste en el punto anterior de esta práctica. Coloca entre cada uno de los segmentos del árbol, a la mitad, las posibilidades que asignaste a cada uno de los sucesos de que te ocurrieran. 3. Ahora usa los sucesos C: Ser católico y D: Divorciarse. Construye el diagrama de árbol para ambos y asígnale las posibilidades de que ocurran para una persona en particular. 4. Considera ahora los siguientes sucesos: Católico, Protestante, Religión bíblica no evangélica, Judaica, Otras Religiones (budistas, musulmanes, etc.) y Sin Religión. Para todos ellos juntos construye un diagrama de árbol en el que a partir de cada religión construyas dos ramas en las que evalúes la posibilidad de que una persona con esa creencia se divorcie o no se divorcie. 5. Repite el árbol anterior pero considerando su construcción sólo para mujeres.
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6. Hazlo ahora también para hombres. ¿Crees que las posibilidades de que una mujer siendo católica se divorcie sea mayor de que siendo una mujer sin religión se divorcie? ¿porqué? ¿qué piensas acerca de las posibilidades de que los hombres se divorcien según sean protestantes católicos o ateos? 7. ¿Qué consideras más probable, que un alumno casado se titule o que no siendo casado se titule? ¿de que siendo casado no se titule o de que no siendo casado no se titule?
Los diagramas de árbol sirven para que se describa y se plantee de mejor manera un problema. En cada rama se tienen todos los posibles sucesos de interés y al final de cada rama anterior se ramifican todos los sucesos posibles posteriores por rama. Esto se verá a continuación.. 1. Es posible que hayas construido, en la práctica anterior, un árbol que tuviese la siguiente forma:
T 0.3 C 0.1
0.7
0.95
0.9
NT
T
NC 0.05 NT
Donde C: casarse y T: titularse. Los porcentajes que alguien pudo haber asignado, como 10% para casarse, está representado como proporción (divide el porcentaje entre 100) de
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0.1, y así también para los demás valores. Esto se hace con propósitos de realizar cálculos. Estas proporciones se les llamará probabilidades. Puedes observar que hay 4 ramas que pueden resumirse con letras como sigue: 1) C-T, 2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. A las primeras probabilidades con que se inicia en el árbol, se les llamará “probabilidades iniciales o probabilidades a priori”. Al segundo grupo de probabilidades se les llamará “probabilidades condicionales”, porque al leerlas se usa la palabra “si”. Por ejemplo, para el árbol anterior se tiene:
Probabilidades iniciales 0.1 es la probabilidad de casarse. 0.9 es la probabilidad de no casarse
Probabilidades condicionales 0.3 es la probabilidad de titularse si una persona se casa. 0.7 es la probabilidad de no titularse si una persona se casa. 0.95 es la probabilidad de titularse si una persona no se casa. 0.05 es la probabilidad de no titularse si una persona no se casa. Reproduce estos textos para los siguientes árboles: a) El que construiste en el punto 1 de la práctica 1. b) Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2. En cada caso clasifica las probabilidades por sus nombres.
2. Las probabilidades anteriores se representan de manera que se lean tal y como las escribiste, pero también con el propósito de distinguirlas. Se usa el símbolo P(C), que significa “la probabilidad de C”, donde C es el suceso que la letra describe, para probabilidades iniciales, y P(T|C) para denotar la “probabilidad de T si C” (o la probabilidad de T dado C, -o dada la ocurrencia de T), para las probabilidades condicionales. La barra vertical se lee “si” o “dado que”. Por ejemplo, si escribimos P(C)= 0.1, queremos decir que la probabilidad de que una persona se case es de 0.1 (o que el 10% de las personas están casadas); si anotamos que P(T|C) = 0.8 queremos decir que la probabilidad de que una persona se titule si se casa es de 0.8 o lo que es lo mismo que el 80% de las personas tituladas están casadas.
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Representa con esta notación todas y cada una de las probabilidades que escribiste en el punto anterior. 1. En este punto te habrás dado cuenta que hemos descrito los fenómenos sólo con dos probabilidades: la probabilidad inicial y la probabilidad condicional. Pero cada una de ellas describe el suceso (evento), de manera independiente al otro. Necesitamos construir una probabilidad que considere la posibilidad de que ambos eventos ocurran, es decir que considere la posibilidad de la ocurrencia de todo el proceso completo. No sólo necesitamos la probabilidad de que alguien se case o de que alguien se titule si se casa, sino de que haga ambas cosas: de que se case y se titule. En el árbol que se presentó en la práctica 3, hay 4 ramas que fueron descritas en esa misma práctica como 1) C-T, 2) C-NT, 3) NC-T y 4) NC-NT. Estas son las 4 formas en que puede ocurrir este proceso con dos eventos que denotaremos como 1) C y T, 2) C y NT, 3) NC y T y 4) NC y NT. Es decir, usaremos la palabra “y” para indicar la posibilidad de que ambos procesos ocurran. Denotaremos la probabilidad de que sucedan como P(C y T), P(C y NT), P(NC y T) y P(NC y NT) respectivamente. 2. ¿Cómo se calcula una probabilidad de este tipo?. Usaremos el árbol para entenderlo. Dado que esta probabilidad es el resultado de dos eventos, es razonable usar las probabilidades de ambos para construirla. La manera más adecuada es que las probabilidades que se lean sobre las ramas correspondientes a la probabilidad que se desea calcular se deben multiplicar para hallar el valor de esta última. Por ejemplo, para calcular P(C y T) = (0.1)(0.3) = 0.03. Calcula los valores de las otras 3 probabilidades de la misma manera. A esta regla la llamaremos regla de la multiplicación. A cada una de las probabilidades obtenidas las llamaremos de una manera particular: probabilidades finales. (No las encontrarás con este nombre en los libros, es sólo una manera de distinguirlas de las que ya tenemos y de las que encontraremos en prácticas próximas). Calcula todas las probabilidades finales de cada uno de los árboles que obtuviste en las siguientes prácticas: a) El que construiste en el punto 1 de la práctica 1. b) Los que construiste en los puntos 3 y 4 de la práctica 2. En cada caso interpreta las probabilidades.
3. Habrás notado que las probabilidades tienen una particularidad. Para las probabilidades iniciales, la suma de todas ellas es 1 (o bien el porcentaje de todos los eventos es de 100%); para las probabilidades condicionales, la suma también es uno, según la condición o dada la condición (¡verifícalo!). Esta misma propiedad también
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la tienen las probabilidades finales. Si sumas todas ellas, la suma debe ser uno. ¿Puedes explicar porqué es así? ¿qué razones prácticas explican este resultado?
EJERCICIOS
1. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Si realiza un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande? 2. La probabilidad de que un automóvil al que se le llena el tanque de gasolina también necesite un cambio de aceite es de 0.25, la probabilidad de que necesite un filtro de aceite es de 0.40 y la probabilidad de que necesite cambio de aceite y filtro es de 0.14. (a) Si se necesita un cambio de filtro, ¿cuál es la probabilidad de que necesite un cambio de aceite?; (b) Si necesita cambio de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que necesite cambio de filtro?
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