Book trigonometria by karolayne Abrantes

TRIGONOMETRIA

autor

DANIEL PORTINHA ALVES

1ª edição SESES rio de janeiro

2016

Conselho editorial luis claudio dallier, roberto paes e paola gil de almeida Autor do original daniel portinha alves Projeto editorial roberto paes Coordenação de produção paola gil de almeida, paula r. de a. machado e aline karina rabello Projeto gráfico paulo vitor bastos Diagramação bfs media Revisão linguística bfs media Revisão de conteúdo ernani jose antunes Imagem de capa niceregionpics | shutterstock.com

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2016. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) A474t Alves, Daniel Portinha Trigonometria / Daniel Portinha Alves. Rio de Janeiro: SESES, 2016. 152 p: il. isbn: 978-85-5548-286-1 1. Trignometria. 2. Triângulo retângulo. 3. Circunferência trigonométrica. 4. Interpretação geométrica. I. SESES. II. Estácio. cdd 510.1 Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063

Sumário Prefácio

1. Trigonometria no Triângulo Retângulo

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Relações Métricas no Triângulo Retângulo Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Ângulos Notáveis Relações Fundamentais Aplicações

11 16 20 23 25

2. Medidas de Arcos e o Círculo Trigonométrico

2.1 Medidas de arcos e ângulos 2.2 Arcos de circunferência 2.3 Medida de arcos e ângulos 2.3.1 Conversão de medidas 2.4 Circunferência Trigonométrica 2.4.1 Arcos e ângulos com mais de uma volta 2.4.2 Arcos côngruos

3. Razões Trigonométricas na Circunferência 3.1 Seno 3.1.1 Sinal do seno 3.2 Cosseno 3.2.1 Sinal do cosseno 3.3 Tangente 3.3.1 Sinal da tangente 3.4 Cotangente 3.4.1 Sinal da cotangente

30 30 32 35 36 38 39

43 45 45 48 48 50 52 53 54

3.5 Secante 3.5.1 Sinal da secante 3.6 Cossecante 3.6.1 Sinal da cossecante 3.7 Relação 1 3.8 Relação 2 3.9 Relação 3 3.10 Relação 4 3.11 Relação 5 3.12 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante 3.13 Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante 3.14 Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante

4. Transformações Trigonométricas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Cosseno da diferença Cosseno da soma Arcos ou ângulos complementares Seno da soma Seno da diferença Tangente da soma Tangente da diferença Arco dobro, arco triplo, arco metade

4.8.1 Arco dobro (2a) 4.8.2 Arco triplo (3a) 4.8.3 Arco metade 4.9 Transformação em produto 4.10 Identidades trigonométricas 4.10.1 Definição de Identidade Trigonométrica 4.10.2 Demonstração de identidades trigonométricas

5. Equações Trigonométricas 5.1 Equações do tipo cos x = a

55 57 58 59 60 61 62 63 63 65 66 67

75 76 78 79 81 82 83 84 84 84 85 86 87 90 91 91

97 98

5.2 Equações do tipo sen x = a 5.3 Equações do tipo tg x = a

6. Funções Trigonométricas

100 102

107

6.1 Correspondência entre um numero real e um ponto da circunferência trigonométrica. 6.2 Definição de função periódica e função limitada 6.3 Função seno 6.3.1 Tabela de valores do seno 6.3.2 Gráfico da função seno 6.4 Função cosseno 6.4.1 Tabela de valores do cosseno 6.4.2 Gráfico da função cosseno 6.5 Função tangente 6.5.1 Tabela de valores da tangente 6.5.2 Gráfico da função tangente 6.6 Função secante 6.6.1 Tabela de valores da secante 6.6.2 Gráfico da função secante 6.7 Função cossecante 6.7.1 Tabela de valores da cossecante 6.7.2 Gráfico da função cossecante

108 109 109 110 111 111 112 113 113 114 115 116 117 118 119 120 121

6.8 Função Cotangente 6.8.1 Tabela de valores da cotangente 6.8.2 Gráfico da função cotangente 6.9 Paridade das funções trigonométricas

122 122 123 124

Prefácio Prezados(as) alunos(as), Originada do grego, a palavra trigonometria, que pode ser dividida como trigono (triângulo) e metria (medida), é o estudo das medidas do triângulo. Este ramo da Matemática tem sido assunto de estudo de matemáticos há milhares de anos, e como você poderá ver, no decorrer do texto são abordadas inúmeras aplicações. Este material, não tem a pretensão de esgotar o assunto, todavia, nossa proposta é apoiar você no decorrer do curso. O texto é preparado para você que se inicia no estudo da trigonometria, contendo teoria e várias atividades. Nossa proposta é estudar os conceitos abordados na trigonometria a partir de uma interpretação geométrica, pois acreditamos que o entendimento geométrico facilita na visualização destes conceitos. Inicialmente falamos sobre o triângulo retângulo, suas definições e medidas. Dando continuidade, estudamos as diferentes formas de medir os ângulos e mergulhamos no estudo da trigonometria na circunferência e nas funções trigonométricas. No decorrer deste material, também são abordadas as identidades trigonométricas, bem como as operações com arcos e as equações trigonométricas. Finalizando, revisitamos as funções, com olhar mais algébrico, estudando cada função de forma mais analítica. Cada capítulo contém exemplos, curiosidades e também exercícios propostos, sempre procurando explorar o que foi estudado. Para ajudar no entendimento, todos os exercícios são resolvidos e comentados. Esperamos que goste do texto e que ajude você no desenvolvimento do conteúdo.

Bons estudos!

1 Trigonometria no Triângulo Retângulo

1. Trigonometria no Triângulo Retângulo A Trigonometria no Triângulo Retângulo, como você poderá ver a seguir, permite várias aplicações em situações cotidianas. Desde que os “esticadores de corda”, (nome dado aos agrimensores da antiguidade) definiram o triângulo retângulo com cordas e nós, o estudo sobre esta figura geométrica plana tem ocupado matemáticos por diversas gerações. O filósofo e Matemático Pitágoras, que viveu aproximadamente entre 570 a.C. e 495 a.C., natural da ilha de Samos na Grécia, fundou a escola Pitagórica, onde os sábios da época se reuniam para tratar de assuntos filosóficos. Apesar de mesmo antes de Pitágoras já serem estudadas as medidas no triângulo retângulo, é atribuído a este matemático o famoso teorema que leva seu nome. No decorrer deste capítulo você vai relembrar diversas aplicações geométricas, onde é possível calcular, a partir de algumas informações, a altura, comprimento e inclinação, obviamente, situações às quais nos deparamos todos os dias.

OBJETIVOS • Conhecer e aplicar as relações métricas em um triângulo retângulo; • Conhecer e aplicar as razões trigonométricas em um triângulo retângulo; • Calcular as razões trigonométricas nos principais ângulos notáveis; • Conhecer e aplicar as relações fundamentais da trigonometria no triângulo retângulo.

∆ABC → Triângulo ABC Â → Ângulo A ⊥ → Perpendicular α → Letra grega alfa β → Letra grega Beta ≅ → Aproximadamente ≠ → Diferente ⇔ → equivalente

10 •

capítulo 1

1.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo Entre as figuras geométricas planas temos uma com três lados a qual denominamos de triângulo. Obviamente, você já desenhou esta figura várias vezes e em diferentes formatos e tamanhos. No passado, matemáticos se dedicaram ao estudo desta figura, em especial a um determinado modelo, caracterizado por seus ângulos. Estamos falando do triângulo retângulo. Ele recebe este nome pelo fato de um dos seus ângulos internos medir um ângulo reto, isto é, noventa graus. A

Na figura você pode observar os lados BC (hipotenusa), AB e AC (catetos).

Obs.: A hipotenusa será oposta ao maior ângulo, consequentemente, será o maior lado do triângulo retângulo. Vamos agora traçar a altura deste triângulo relativa a hipotenusa: A

m D

capítulo 1

• 11

a = hipotenusa b = cateto c = cateto h = altura do triângulo m = projeção do cateto b sobre a hipotenusa n = projeção do cateto c sobre a hipotenusa

Você pode observar nesta figura três triângulos, todos eles retângulos. São os triângulos ABD, DCA e ABC. Podemos observar também que os três triângulos são semelhantes, uma vez que seus ângulos são congruentes. Observe os triângulos: A A

D D

Se você girar o triângulo menor no sentido horário (sentido dos ponteiros do relógio), poderá visualizar melhor. B

Você pode observar que os ângulos são congruentes, sendo assim, as figuras são semelhantes, o que nos permite criar relações entre os lados dos triângulos.

12 •

capítulo 1

Relações entre ∆ABD e ∆ADC: c n = ⇔ ch = nb b h

Em um triângulo retângulo qualquer, valem as relações: c h = ⇔ cm = bh b m n h = ⇔ h2 = mn h m

Relações entre ∆ABC e ∆ABD: a c = ⇔ c2 = an c n b c = ⇔ ch = nb (conforme já visto) h n a b = ⇔ ah = bc c h

Relações entre ∆ABC e ∆ADC: a b = ⇔ b2 = am b m a c = ⇔ ah = bc (conforme já visto) b h b c = ⇔ bh = cm (conforme já visto) m h

COMENTÁRIO Das relações encontradas, podemos definir: a2 = a . a a2 = a (m + n) a2 = am + na a2 = b2 + c2

capítulo 1

• 13

Podemos definir as relações: b2 = a . m c2 = a . n “Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogonal desse cateto sobre a hipotenusa.” a.h=b.c “Em um triângulo retângulo qualquer, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.” h2 = m . n “Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da altura relativa a hipotenusa é igual ao produto das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.” b.h=c.m c.h=b.n “Em um triângulo retângulo qualquer, o produto da medida de um cateto pela medida da altura relativa a hipotenusa, é igual ao produto da medida do outro cateto pela medida da projeção ortogonal do primeiro cateto sobre a hipotenusa.” a2 = b2 + c2 “Em um triângulo retângulo qualquer, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.”

14 •

capítulo 1

EXERCÍCIO RESOLVIDO Em um triângulo retângulo de catetos 3 cm e 4 cm, determine a medida da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa. Solução: a2 = b2 + c2 a2 = 32 + 42 a2 = 9 + 16 ⇔ a2 = 25 < = > a =

25 ⇔ a = 5cm

Para calcular a altura, utilizaremos a relação a . h = b . c ⇔ 5 . h = 3 . 4 ⇔ 5 . h = 12 Conclui-se que h = 12 cm. 5

CURIOSIDADE Todo triângulo com os lados proporcionais a 3,4 e 5 é chamado triângulo pitagórico. Por exemplo, o triângulo de lados 6 cm, 8 cm e 10 cm é um triângulo retângulo facilmente demonstrável: a2 = b2 + c2 102 = 62 + 82 ⇔ 100 = 36 + 64 ⇔ 100 = 100. As demais medidas manterão a proporção, neste caso, a altura será 4,8 cm.

No triângulo a seguir, retângulo em A, determine a medida dos segmentos AB , BD , BC e AD . As medidas são dadas em centímetros. A

4 D

capítulo 1

• 15

Solução: BC = a b2 = a . m ⇔ 62 = 4a ⇔ 36 = 4a ⇔ a = 9 cm BD = n a = m +n ⇔ 9 = 4 + n ⇔ n = 5 cm AB = c c2 = n . a ⇔ c2 = 5 . 4 ⇔ c =

45 ⇔ c = 3 5 cm

AD = h h2 = m . n ⇔ h2 = 5 . 4 ⇔ h =

20 ⇔ h = 2 5 cm

1.2 Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo No estudo dos triângulos retângulos podemos construir relações ente seus lados e seus ângulos. A partir do teorema de Tales para as paralelas é possível criar razões onde o resultado será uma constante.

CURIOSIDADE O Filósofo e Matemático Tales foi apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga. Não há precisão na data de seu nascimento, acredita-se ter sido entre 623 e 624 a.C. Um dos feitos de Tales que o tornou conhecido, foi a medição da altura de uma pirâmide. Utilizando estacas e analisando a sobra projetada pela luz solar, conseguiu efetuar cálculos precisos para a época. Segundo Tales “Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos trans-

versais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.” Este enunciado é conhecido até hoje como Teorema de Tales.

Analisando a figura, você pode observar o triângulo ∆EAD. Este triângulo é retângulo em D. Observe também os triângulos ∆IAF, ∆JAG e ∆KAG. Todos eles são semelhantes, visto que os ângulos são congruentes.

16 •

capítulo 1

K J I E

Sendo assim, é possível afirmar que a razão

ED IF é proporcional a razão , AE IA

podemos afirmar também que: ED = IF = JG = KH . Independente dos valores AE AI AJ AK dos segmentos, uma vez que existe esta proporção, o resultado da razão será sempre um número k. Neste caso, fizemos a razão entre o cateto oposto ao ângulo Â e a hipotenusa. ED IF JG KH = =k = = AE AI AJ AK

A esta razão, chamamos de seno do ângulo Â. Obviamente, se alterar a medida do ângulo, irá modificar o número k que nos dá o seno, todavia, se mantiver o ângulo, independente da medida dos segmentos, teremos sempre o mesmo valor. Também é possível construir uma razão entre o cateto adjacente ao ângulo A e a hipotenusa. Nesse caso teremos: AD AF AG AH = = = = k2 AE AI AJ AK

A esta razão k, que relaciona o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa, chamamos de seno. Temos então:

Seno do ângulo =

cateto oposto ao ângulo hipotenusa

Sobre a razão k2 encontrada, ela relaciona cateto adjacente ao ângulo com a hipotenusa. A esta razão, chamamos de cosseno e representamos da seguinte forma:

capítulo 1

• 17

Cosseno do ângulo =

cateto adjacente ao ângulo hipotenusa

Existe uma terceira relação que podemos verificar. Diz respeito a razão entre os catetos. Tomando ainda como base de estudos o ângulo Â, podemos verificar a proporção:

ED IF JG KH = = k3 = = AD AF AG AH Em relação ao ângulo A, temos uma razão onde estamos relacionando o cateto oposto ao ângulo A e o cateto adjacente ao ângulo A. A esta razão chamamos de tangente.

Tangente do ângulo =

cateto oposto ao ângulo cateto adjacente ao ângulo

Nas três razões estudadas, ou seja, seno, cosseno e tangente, estamos falando de ângulos definidos no intervalo 0o < ângulo < 90o . Observe que nossa análise partiu do ângulo Â, todavia, a mesma conclusão pode ser feita para o outro ângulo não reto do triângulo. Observe a figura a seguir: B β a

Podemos escrever as razões seno, cosseno e tangente. Seno α =

cateto oposto ao ângulo c = hipotenusa a

Cosseno α =

cateto adjacente ao ângulo b = hipotenusa a

Tangente α =

18 •

capítulo 1

Seno β =

cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo b

cateto oposto ao ângulo b = a hipotenusa

Cosseno α =

cateto adjacente ao ângulo b = hipotenusa a

Tangente α =

Seno β =

cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo b

cateto oposto ao ângulo b = hipotenusa a

Cosseno β =

cateto adjacente ao ângulo c = hipotenusa a

Tangente β =

cateto oposto ao ângulo c = cateto adjacente ao ângulo c

CURIOSIDADE É comum representarmos as razões trigonométricas por suas abreviaturas, assim: Seno = sen Cosseno = cos Tangente = tg

EXERCÍCIO RESOLVIDO Dado o triângulo retângulo abaixo, determine o seno, cosseno e tangente dos ângulos α e β. C β 10 cm

Seno β =

8 cm

cateto oposto ao ângulo 8 = = 0,8 hipotenusa 10

Cosseno β =

cateto adjacente ao ângulo 6 = = 0,6 hipotenusa 10

Tangente β =

Seno β =

6 cm

cateto oposto ao ângulo 8 = cateto adjacente ao ângulo 6

cateto oposto ao ângulo

= 0,6

capítulo 1

• 19

Seno β =

cateto oposto ao ângulo 8 = = 0,8 10 hipotenusa

Cosseno β =

cateto adjacente ao ângulo 6 = = 0,6 hipotenusa 10

Tangente β =

Seno β =

cateto oposto ao ângulo 8 = cateto adjacente ao ângulo 6

cateto oposto ao ângulo 6 = = 0,6 10 hipotenusa

Cosseno β =

cateto adjacente ao ângulo 8 = = 0,8 hipotenusa 10

Tangente β =

cateto oposto ao ângulo 6 = = 0,75 cateto adjacente ao ângulo 8

1.3 Ângulos Notáveis Por sua aplicabilidade, alguns ângulos são considerados notáveis, isto é, são utilizados com grande frequência, tornando assim, favorável a memorização dos valores de suas razões trigonométricas. Estes ângulos são 30o, 45o e 60o, e para determinar suas razões trigonométricas, vamos utilizar algumas figuras geométricas planas. C

30° a

D a

60° a/2

Observe o triângulo equilátero abaixo. Note que sua altura define dois triângulos retângulos congruentes, onde os ângulos internos são 30o, 60o e 90o.

20 •

capítulo 1

30° h

60° a/2

Calculando a medida do cateto h em função da hipotenusa a. Pelo teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 2

a a a a 2 = h2 +   ⇔ h2 = a 2 −   ⇔ h2 = a 2 −   2 2 4 h2 =

3a2 3a2 a 3 ⇔h= ⇔h= 4 4 2 C

30° a 3 2

60° D

a 2

Seno, cosseno e tangente de 60o

Seno β = Seno 60o

a 3 cateto oposto ao ângulo h a 3 1 3 = = = 2 ⇔ ⋅ ⇔ hipotenusa a a 2 a 2

a cateto adjacente ao ngulo â a 1 1 2 Cosseno β = Cosseno 60o = = ⇔ ⋅ = hipotenusa a 2 a 2

Tangente β = Tangente 60o

a 3 cateto oposto ao ângulo a 3 2 = = 2 capítulo = ⋅ =1 3 a 2 a cateto adjacente ao ângulo 2

• 21

Cosseno β = Cosseno 60o

a cateto adjacente ao ângulo 2 a 1 1 = = ⇔ ⋅ = hipotenusa 2 a 2 a

a 3 cateto oposto ao â ngulo a 3 2 Tangente β = Tangente 60o = = 2 = ⋅ = 3 a cateto adjacente ao ângulo 2 a 2

Seno, cosseno e tangente de 30o

Seno

A = Seno 30o

a cateto oposto ao ângulo 2 a 1 1 = = ⇔ ⋅ = hipotenusa a 2 a 2

a 3 â cateto adjacente ao ngulo 3 a 3 1 Cosseno A = Cosseno 30o = = 2 ⇔ ⋅ = hipotenusa a 2 a 2 a â cateto oposto ao ngulo a 2 1 3 = 2 = ⋅ = ⇔ Tangente A = Tangente 30o = cateto adjacente ao ângulo a 3 2 a 3 3 3 2

Seno, cosseno e tangente de 45o Para definir estes valores, vamos observar um quadrado de lado a. B

A 45°

45° C

Calculando o valor do segmento AC . Aplicando a relação a2 = b2 + c2. d2 = a2 + a2 d2 = 2a2 ⇔ d = 2a2 ⇔ d = a 2 .

22 •

capítulo 1

Seno, cosseno e tangente de 45o

Seno C = Seno A = Seno 45o =

cateto oposto ao ângulo a a 1 2 = = = ⇔ hipotenusa d a 2 2 2

Cosseno C = Cosseno A = Cosseno 45o =

cateto adjacente ao ângulo a 1 2 a = = ⇔ = hipotenusa d a 2 2 2

Tangente C = Tangente A = Tangente 45o =

cateto oposto ao ângulo a = =1 cateto adjacente ao ângulo a

Agora é possível construir uma tabela:

SENO

COSSENO

TANGENTE

30º

1 2

3 2

3 3

45º

2 2

60º

3 2

1 2

1.4 Relações Fundamentais Algumas relações trigonométricas no triângulo retângulo podem ser definidas a partir destes conhecimentos iniciais. Observe mais uma vez o triângulo retângulo: B β a

capítulo 1

• 23

Tangente β =

seno β para (0o < β < 90o ) cos seno β

cateto oposto a β b = . Dividindo numerador e denominador cateto adjacente β c

pela hipotenusa, teremos: b a , você pode concluir que seno β = b e cosseno β = c , assim seno β c a a cos seno β a seno β Tangente β = . cos seno β II. Em qualquer triângulo retângulo, dados dois ângulos β e α complementares, isto é, (β + α = 90o ), sen α = cos β e senβ = cos α. (0o < β < 90o ) b seno β = e cosseno β = c a a seno α = c e cosseno α = b . a a Então: seno β = cosseno α = b e cosseno β = seno α = c a a

CURIOSIDADE Dessa propriedade temos que cosseno é igual ao complemento do seno, assim o nome Cosseno.

III. Em qualquer triângulo retângulo sen2 β + cos2 β = 1 ou sen2 α + cos2 α = 1. (0o < β < 90o ) Pelo teorema de Pitágoras, temos a2 = b2 + c2 c Como sen β = b e cosseno β = , temos: a a 2  c 2 b2 + c2 a2 sen2 β + cos2 β =  b  +   = = =1 a2 a2 a  a sen2 β + cos2 β = 1 IV. Outras Relações são as chamadas razões inversas. Ou seja:

24 •

capítulo 1

Secante α =

1 cosseno α

Cossecante α =

1 seno α

Cotangente α =

1 tangente α

1.5 Aplicações A possibilidade de atividades aplicadas sobre os triângulos retângulos é imensa, a seguir você poderá observar algumas aplicações sobre os conceitos estudados até agora.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a diagonal de um cubo de aresta x. Solução:

Inicialmente, calcula-se a diagonal da face, que é a diagonal de um quadrado de lado x. Pela definição vista anteriormente, temos que a diagonal do quadrado é x 2 . Temos agora um triângulo de catetos x e x 2 , basta calcular a hipotenusa. a2 = b2 + c2 a2 = x2 + (x 2 )2 ⇔ a2 = x2 +x2 . 2 ⇔ a2 = 3x2 a=

3x2 ⇔ a = x 3 u.c.

Em um triângulo retângulo, temos que o cosseno vale 0,4. Determine o seno, a tangente, secante, cossecante e cotangente. (Considere o primeiro quadrante)

capítulo 1

• 25

Aplicando a relação sen2 β + cos2 β = 1 sen2 β + (0,4)2 = 1 sen2 β = 1 – 0,16 ⇔ sen2 β = 0,84 ⇔ sen β =

0, 84 Como (0º < β < 90º )

sen β ≅ 0,92

0, 92 Tg β = sen β = ≅ 2,3 0, 4 cos β Secante α =

1 1 = ≅ 2,5 0 ,4 cosseno α

Cossecante α =

1 = 1 ≅ 1,09 0, 92 seno α

Cotangente α =

1 = 1 ≅ 0,43 2, 3 tangente α

Determine, em um triângulo retângulo, a medida aproximada de um cateto adjacente a um ângulo de 30 graus, sabendo-se que o cateto oposto ao ângulo mede 5,6 cm A razão que relaciona os catetos é a tangente. Tangente do ângulo = Tg 30º =

cateto oposto ao ângulo cateto adjacente ao ângulo

5, 6 , pela tabela, tg 30º = 3 ⇔ 3 = 5, 6 x 3 3 x

5, 6 16, 8 , 3 ≅ 1,73, então, 173 = ⇔ 1,73 x = 16,8 ⇔ x = ⇔ x ≅ 9,71 cm x 173 , 3

ATIVIDADES 01. Um engenheiro está projetando um edifício garagem. Ele terá de construir uma rampa que una dois pavimentos. Esta rampa terá comprimento de 12 metros e a diferença de altura entre os pavimentos é 2,5 metros. Qual a inclinação aproximada da rampa? 02. Ao decolar, um avião sobe formando um ângulo de 30º com a pista (horizontal). Na direção do percurso existe uma torre de transmissão de energia elétrica situada a 4 km do

26 •

capítulo 1

aeroporto e com altura igual a 120 metros. Verifique se, mantendo o trajeto, o avião pode colidir com a torre. 03. Uma pessoa deitada no chão vê o topo de um poste sob um ângulo de 60 graus. Se esta pessoa estivesse deitada 15 metros mais distante da base do poste, ela veria o topo sob um ângulo de 45 graus. Determine a altura do poste. Considere raiz quadrada de 3 como sendo 1,7.

45° 15

60° y

04. Um foguete é lançado sob um ângulo de 30º. A que altura se encontra depois de percorrer 16 km em linha reta? 05. Se cos(a)=

3 e sen(b)= 1 , com a e b no intervalo ]0º , 90º [ , determine 5 3

sen (a) + cos (b). 06. Uma escada está encostada em um prédio e faz com este um ângulo de 60 graus. Esta escada se apoia neste prédio a 13 metros do solo. Determine o comprimento da escada. 07. Calcule o valor de P nas expressões: a)

P = sen 30º + cos 45º - tg 60º

P = sec 45º - cossec 30º

RESUMO Neste capítulo você relembrou as relações métricas em um triângulo retângulo, bem como as relações trigonométricas e suas aplicações. As relações métricas no triângulo retângulo são: b2 = a . m ; c2 = a . n; a . h = b . c; h2 = m . n; b . h = c . m; c . h = b . m; a2 = b2 + c2

capítulo 1

• 27

As relações trigonométricas no triângulo retângulo são:

Seno β =

cateto oposto ao ângulo c = hipotenusa a

Cosseno β =

cateto adjacente ao ângulo b = hipotenusa a

Tangente β =

c cateto oposto ao ângulo = cateto adjacente ao ângulo b

Os principais ângulos notáveis com 0º < β < 90º

SENO

COSSENO

TANGENTE

30º

1 2

3 2

3 3

45º

2 2

60º

3 2

1 2

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelson; Fundamentos da Matemática Elementar, 3: Trigonometria; 8. Ed. Editora Atual; São Paulo; 2004. JUNIOR, Frank Ayres; Trigonometria; Coleção Schaum; Ed. Ao livro Técnico; Rio de Janeiro, 1958. PAZ, Antonio; Trigonometria; Ed. Minerva Books, Ltd; Nova Iorque; 1963

28 •

capítulo 1

2 Medidas de Arcos e o Círculo Trigonométrico

2. Medidas de Arcos e o Círculo Trigonométrico Neste capítulo vamos ampliar nossos conhecimentos para a trigonometria na circunferência. Até agora nos prendemos ao estudo da trigonometria no triângulo retângulo, assim, o estudo se deu no intervalo 0o < β < 90o, na circunferência poderemos ter intervalos bem maiores.

OBJETIVOS • Conhecer a circunferência trigonométrica; • Efetuar medidas de arcos e ângulos; • Converter medidas de arcos e ângulos; • Conhecer e analisar os arcos côngruos

π → Pi. Vale aproximadamente 3,14 o

→ grau

rad → Radiano gr → Grado

2.1 Medidas de arcos e ângulos É muito comum confundir na circunferência arco com ângulo. Aparentemente iguais, são medidas diferentes. O ângulo diz respeito a “abertura” ocasionada por duas semirretas, enquanto o arco é o segmento circular da circunferência, onde as extremidades são os pontos de interseção das semirretas com a circunferência.

2.2 Arcos de circunferência Vamos considerar uma circunferência com centro e O e ângulo central AÔB:

30 •

capítulo 2

A P Q

O B

O ângulo Ô é definido pelas semirretas OA e OB A interseção das semirretas OA e OB com a circunferência define os pontos A e B. e APB . Os pontos A e B limitam os arcos AQB Observe que, se os pontos A, B e O forem colineares, o diâmetro dividirá a circunferência em dois arcos congruentes. Cada arco é chamado de semicircunferência.

E se os pontos A e B forem coincidentes? Bem, nesse caso, temos o chamado arco nulo.

A=B

capítulo 2

• 31

2.3 Medida de arcos e ângulos Medir nada mais é que comparar, ou seja, quando estamos medindo, na verdade estamos comparando o objeto a ser medido por uma unidade fixa. Utilizaremos os graus, radianos ou grados. Inicialmente, vale lembrar algumas definições geométricas:

Ângulo central Ângulo central de uma circunferência é um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência.

Arco de circunferência É o segmento limitado pelas semirretas AO e OB sobre a circunferência de centro O.

A P Q

O B

e o menor BQA . Temos dois arcos, o arco maior APB

Arco orientado contido em uma circunferência é dito orientado quando, sobre Um arco AB este arco, é adotado um sentido.

32 •

capítulo 2

A O

e AC que estão em sentidos contrários, porém ambos Temos os arcos AB está no sentido anti-horário e com origem no ponto A. Diremos que o arco AC o arco AB está no sentido horário.

Medida em graus O símbolo é dado por o. Uma unidade de grau é o arco unitário, ou seja, 1 360 da circunferência.

O Q

é o arco, assim, podemos definir que a medida PÔQ é o ângulo central. PQ (em graus) de um ângulo central é igual a medida do arco de circunferência correspondente (em graus). Independente do raio da circunferência, a medida do ângulo (em graus) não será alterada.

capítulo 2

• 33

70° O

Medida em Radianos Os arcos podem ser medidos também em radianos. Neste caso, estamos nos referindo ao comprimento do arco. Você pode observar a circunferência a seguir, de centro O e raio r. Vamos considerar o arco AB , onde o comprimento deste arco é igual ao comprimento do raio da circunferência. Por definição, o arco AB mede 1 radiano (rad), e o ângulo central AOB, cor respondente do arco AB , igualmente, mede 1 radiano. Em outras palavras, medir um arco qualquer, implica em verificar quantas vezes o arco de 1 rad cabe nesse arco. B

B’

r O

É possível afirmar então, que a medida de um arco em radianos é dada pela razão entre o comprimento da circunferência e o raio da circunferência. Assim: med Arco =

34 •

capítulo 2

comprimento do arco 2πr = = 2π rad raio r

Sabemos que π é um número irracional que vale aproximadamente 3,1415. Iremos considerar em nossos cálculos, Pi com o valor 3,14.

CURIOSIDADE Uma maneira interessante para decorar as primeiras casas decimais é decorar o texto: Ama a 3

a 1

Deus 4

E 1

Segue Fielmente 5 9

Os 2

Passos 6

Dados 5

Por 3

Jesus 5

π = 3,1425926535

CURIOSIDADE Outra unidade de medida para arcos e ângulos é o GRADO. Na escala de grados, a circunferência mede 400 unidades. Assim, em uma análise comparativa, 400 gr = 360º = 2π rad. Atualmente, esta escala raramente é utilizada.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule a medida do arco AB em radianos, sabendo que o comprimento deste arco mede 15 cm e o raio da circunferência que o contém mede 3 cm. Solução:

med Arco =

comprimento do arco 15 = = 5 rad raio 3

2.3.1 Conversão de medidas Uma vez que podemos medir arcos e ângulos, tanto em graus quanto em radianos, é possível converter essas medidas. Vamos então construir uma relação entre elas.

capítulo 2

• 35

Você viu que a circunferência pode ser dividida em 360 unidades de um grau, ou seja, a circunferência mede 360 graus. Você viu também que a circunferência pode ser representada por 2π rad. Ou seja, 360o corresponde a 2π rad. Partindo de uma proporção simples, podemos representar: 360o ________ 2π rad 180o ________ π rad xo __________ y rad xo __________ y rad o Concluimos que: 360 . Y rad = 2π . xo ou ainda 180o . Y rad = π . xo

EXERCÍCIO RESOLVIDO Quantos radianos tem um arco de 315º ? Pela definição, 180º ___________ π 315º __________ y rad, logo, 180º . Y rad = π . 315o

2.4 Circunferência Trigonométrica Chamaremos de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico à circunferência representada sobre o plano cartesiano, com centro na origem, de raio unitário e sentido anti-horário.

B + C

1 A

36 •

capítulo 2

O ponto A será a origem de todos os arcos orientados. A circunferência trigonométrica pode ser dividida em quatro arcos, formando assim quatro quadrantes.

II C

I O A

III

Seja x a medida do arco: π a) Primeiro Quadrante: 0o < x < 90o ou 0 rad < x < rad 2 b) Segundo Quadrante: 90o < x < 180o ou π rad < x < π rad 2 c)

Terceiro Quadrante: 180o < x < 270o ou π rad < x < 3π rad 2

d) Quarto Quadrante: 270o < x < 360o ou 3π rad < x < 2π rad 2 Assim, diremos que um arco pertence a um dos quadrantes, se a extremidade do arco estiver em um dos quatro quadrantes. No exemplo a seguir, diremos está no segundo quadrante. que o arco AR

capítulo 2

• 37

90°

Medidas dos principais arcos: y π = 90° 2 2π π = 120° = 60° 3 3 3π = 135° 4

π = 45° 4

5π = 150° 6

π = 30° 6

π = 180°

7π = 210° 6

11π = 330° 6

5π = 225° 4 4π = 240° 3

7π = 315 ° 4 5π = 300° 3

3π = 270° 2

2.4.1 Arcos e ângulos com mais de uma volta Sabemos que os arcos são medidos no intervalo 0o a 360o ou em radianos 0 rad a 2π rad, todavia, alguns arcos são maiores que 360o ou 2π rad.

38 •

capítulo 2

Por exemplo, onde você marcaria a extremidade do arco que tem por medida 1.200o ? Estamos falando de arcos com mais de uma volta. Para encontrar a extremidade de um arco de 1.200o, basta verificar quantas voltas foram dadas, no caso, temos 1.200o dividido por 360o. Obviamente, são dadas 3 voltas e mais 120o , logo, a extremidade do arco é em 120o. 2.4.2 Arcos côngruos Você já deve ter observado que os arcos de medida 120o e 1.200o tem a mesma determinação positiva. Isto é, a mesma extremidade, assim, diremos que 120o e 1.200o são arcos côngruos. Sempre que dois ou mais arcos tiverem a mesma origem e mesma extremidade, e a diferença entre os arcos for um número inteiro de voltas, diremos que são arcos côngruos. De forma geral, podemos escrever da seguinte maneira: Em graus: α + k . 360o, com k ∈ Z. Em radianos; α + k. 2π, com k ∈ Z.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 30º . Solução: Em graus: 30º + k . 360º , com k ∈ Z. π Em radianos: + 2kπ, com k ∈ Z. 6

ATIVIDADES 01. Converter em radianos as seguintes medidas de arcos em graus: a)

270º

225º

45º

90º

30º

capítulo 2

• 39

02. Converter em graus as seguintes medidas de arcos em radianos: a) 2π d) 5π 5 30 b)

6π 4

π 8

11π 9

03. Verifique em que quadrante se encontra a extremidade dos seguintes arcos: a)

45º

260º

c) d)

301º 3π rad 2

5π rad 3

– 80º

– 230º

04. Determine a qual quadrante pertence cada arco: a)

430º

–1.860º

c) d)

1.740º – 25π rad 6

16π rad 3

05. Escreva a expressão geral para cada arco: a)

45º

60º

c) d)

90º 3π rad 2

π rad 18

06. Qual a menor determinação positiva do arco 3.280º ?

40 •

capítulo 2

07. Qual a expressão geral dos arcos com e extremidade em B?

B C A

D E

08. Calcule o menor dos Ângulos formados pelos ponteiros de um relógio que está assinalando 1 hora e 15 minutos. 09. Calcule o maior ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que está assinalando 1 hora e 40 minutos. 10. Determine o comprimento do arco AB definido numa circunferência de raio r = 8 cm, por um ângulo central de 60º .

RESUMO Arcos e ângulos podem ser medidos em graus, radianos ou Grados; contido em uma circunferência é dito orientado quando, sobre este arco é Um arco AB adotado um sentido; A medida de um arco em radianos é dada pela razão entre o comprimento da circunferência e o raio da circunferência; Uma circunferência tem 360 graus, ou 2π Radianos ou 400 grados;

capítulo 2

• 41

Chamaremos de circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico à circunferência representada sobre o plano cartesiano, com centro na origem, de raio unitário e sentido anti-horário; A circunferência trigonométrica é dividida em quatro quadrantes: Primeiro Quadrante – 0º < x < 90º ou 0 rad < x < Segundo Quadrante – 90º < x < 180º ou

π rad 2

π rad < x < π rad 2

Terceiro Quadrante – 180º < x < 270º ou π rad < x < 3π rad 2 Quarto Quadrante – 270º < x < 360º ou 3π rad < x < 2π rad 2 Arcos com mesma extremidade são denominados arcos côngruos.

42 •

capítulo 2

3 Razões Trigonométricas na Circunferência

3. Razões Trigonométricas na Circunferência Neste capítulo você vai estudar as razões trigonométricas de forma diferente. Até agora, nosso estudo foi sobre o triângulo retângulo, porém, após você conhecer a circunferência trigonométrica, vamos analisar o comportamento destas razões estudando ângulos que não precisam mais ser agudos. Colocaremos a circunferência trigonométrica sobre um par de eixos perpendiculares, onde o centro da circunferência é o ponto de interseção destes eixos.

B + C

1 A

OBJETIVOS • Reconhecer seno, cosseno e tangente como razões trigonométricas na circunferência; • Reconhecer na circunferência a cossecante, secante e cotangente como respectivas razões inversas do seno, cosseno e tangente; • Deduzir as relações fundamentais da trigonometria na circunferência; • Reduzir as razões trigonométricas ao primeiro quadrante, independente do quadrante que estiverem; • Conhecer valores das razões trigonométricas para ângulos notáveis no primeiro quadrante.

44 •

capítulo 3

3.1 Seno Você estudou anteriormente que o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Observe na figura a seguir que, a projeção ortogonal do segmento OP sobre o eixo OX , o raio e o segmento PQ formam um triângulo retângulo. Sabemos que a medida do raio da circunferência é 1, assim, temos que a hipotenusa tem a mesma medida do raio. y π 2

P’ π

seno O

1 α

0 Q A 2π x

3π 2

Sabemos que:

Seno α =

cateto ao ângulo PQ = = PQ hipotenusa 1

Logo, podemos definir o seno α como a medida algébrica de PQ . Como PQ = P ' O , podemos garantir que a projeção do segmento OP sobre o eixo vertical equivale ao seno do ângulo formado pela semirreta OP com o eixo OX . Assim, para qualquer número real x pertencente ao intervalo fechado [0, 2π], sendo P sua imagem, diremos que a ordenada OP´ é o seno de x em relação ao sistema xOy. 3.1.1 Sinal do seno É importante lembrar que para qualquer número real x, o seno x (ou sen x) terá uma única imagem. Desta forma, o valor do seno x será positivo, se e somente se, x estiver no primeiro ou segundo quadrantes, e negativo se x pertencer ao terceiro ou quarto quadrantes. capítulo 3

• 45

–

Observe a tabela a seguir:

1º QUADRANTE

0<x<

π 2

positivo

0 ≤ senx ≤ 1

crescente

2º QUADRANTE

π <x<π 2

positivo

0 ≤ senx ≤ 1

decrescente

3º QUADRATE

π < x < 3π

negativo

0 ≤ senx ≤ -1

decrescente

3π < x < 2π 2

negativo

0 ≤ senx ≤ -1

crescente

4º QUADRANTE

Você pode observar que o seno terá valor máximo para x = π e valor mínimo 2 para x = 3π . 2

CURIOSIDADE Alguns valores notáveis

ÂNGULO 0º

30º

46 •

capítulo 3

ARCO

SENO

0 rad

π 6

1 2

45º

π 4

2 2

60º

π 3

3 2

90º

π 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os arcos a seguir, identifique a que quadrante pertencem e o sinal do seno. a) 8π 3 8 × 180 = 480° ≡ 120° => segundo quadrante => seno posit ivo 3 b)

3π 4

3 × 180 = 135° => segundo quadrante => seno positivo 4

π 9

180 = ( 20° )=> primeiro quadrante => seno positivo 9 d)

10π 3

2π 5

10 ×180 = 600° ≡ 240° => terceiro quadrante => seno negativo 3

2 ×180 = 72o => primeiro quadrante => seno positivo 5

capítulo 3

• 47

3.2 Cosseno Analogamente ao estudo do seno, você pode chegar a conclusões interessantes sobre o cosseno. Sabemos que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. Então, conforme a figura abaixo, dado o ângulo α, teremos que:

Cosseno α =

cateto adjacente ao ângulo OQ = = OQ hipotenusa 1 y π 2

P 1

β α 0 cosseno Q 2π x

3π 2

Podemos definir então que o cosseno de α ou cos α é a medida algébrica do segmento OQ, projeção ortogonal do segmento OP. Em outras palavras, o cosseno de um número x, onde x pertence ao intervalo [0,2π], tendo P como imagem, é dado pela abscissa Q do ponto P em relação ao sistema xOy. 3.2.1 Sinal do cosseno Para os valores do cosseno, teremos que será positivo no primeiro e quarto quadrantes, sendo negativo no segundo e terceiro quadrantes.

48 •

capítulo 3

–

Observe a tabela a seguir:

1º QUADRANTE

2º QUADRANTE

3º QUADRANTE

4º QUADRANTE

π 2

positivo

0 ≤ senx ≤ 1

decrescente

π <x<π 2

negativo

-1 ≤ senx ≤ 0

decrescente

3π 2

negativo

-1 ≤ senx ≤ 0

crescente

positivo

0 ≤ senx ≤ 1

crescente

0<x<

π<x<

3π < x < 2π 2

Você pode observar que o cosseno terá valor máximo para x = 0 ou x = 2π e valor mínimo para x = π.

CURIOSIDADE Alguns valores notáveis

ÂNGULO

ARCO

COSSENO

0º

0 rad

30º

π 6

3 2

45º

π 4

2 2

capítulo 3

• 49

60º

π 3

1 2

90º

π 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os arcos a seguir, identifique a que quadrante pertence e o sinal do cosseno. a) 11π 3 8 × 180 = 660° ≡ 300° => quarto quadrante => cosseno posit ivo 3 b)

3π 4

3 × 180 = 135° => segundo quadrante => cosseno negativo 4 c)

π 12 180 = (15° )=> primeiro quadrante => cosseno positivo 12

10π 3

15 ×180 = 170° => segundo quadrante => cosseno negativo 10 e)

2π 5

2 ×180 = 72° => primeiro quadrante => cosseno positivo 5

3.3 Tangente Podemos definir os valores da tangente a partir do conhecimento do seno e cosseno, pois, como você sabe, a tangente é a razão entre o seno e o cosseno.

50 •

capítulo 3

tangente α = tg α =

seno α cossenoα

A respeito dos valores notáveis, podemos definir:

ÂNGULO

ARCO

SENO

COSSENO

TANGENTE

0º

0 rad

0 1

3 3

30º

π 6

1 2

3 2

1 2 3 2

45º

π 4

2 2

2 2 2 2

60º

π 3

3 2

1 2

3 2 1 2

90º

π 2

1 0

∃

Note que não há tangente de 90 graus, pois não existe divisão por zero. Mas, por que isso acontece? Para responder esta e outras perguntas que venham a aparecer, vamos construir a interpretação da tangente. y

π 2

Q P

0 P’ A 2π

3π 2

capítulo 3

• 51

No estudo da tangente, iremos construir uma reta paralela ao eixo vertical. Esta reta toca a circunferência trigonométrica no ponto (1,0). Observe os triângulos POP´ e QOA. Como eles são semelhantes, vale a igualdade:

PP′ QA , temos que tg α = PP′ QA . = = OP′ OA OP′ OA Como AO = 1, temos que tg α = QA . O valor da tangente é dado pela medida algébrica do segmento determina do pela interseção da semirreta OQ e a reta T. Esta reta é paralela ao eixo Oy e toca a circunferência no ponto A. π Observe que para arcos medindo , 3π e seus côngruos, a tangente não é 2 2 definida, uma vez que dentro da geometria euclidiana, as retas paralelas não tem ponto de interseção. 3.3.1 Sinal da tangente Como os valores da tangente são definidos pela medida algébrica do segmento determinado sobre a reta T, teremos valores positivos acima do eixo das abscissas e valores negativos abaixo deste eixo. Obviamente, teremos resultados positivos no primeiro e terceiro quadrantes, e resultados negativos no segundo e quarto quadrantes.

52 •

capítulo 3

–

Observe a tabela a seguir: π 2

1º QUADRANTE

0<x<

2º QUADRANTE

π <x<π 2 π < x < 3π

3º QUADRATE

3π < x < 2π 2

4º QUADRANTE

positivo

crescente

negativo

crescente

positivo

crescente

negativo

crescente

3.4 Cotangente As razões seno cosseno e tangente possuem razões inversas. Inicialmente, vamos estudar a razão inversa da tangente. Sabemos que tg α = a razão inversa é

seno α , então cos seno α

cosseno α . Chamaremos a esta nova razão de cotangente. seno α

A cotangente pode ser facilmente interpretada a partir da representação a seguir. Seja c a reta paralela ao eixo Ox, tocando a circunferência trigonométrica no ponto A (0,1). y π 2

B P

Q’

3π 2

0 P’ Q 2π

A’

capítulo 3

• 53

Como os triângulos POP´e BOQ são congruentes, vale a proporção: Cotg α =

OP ' OQ = , Como QB = 1 , temos que cotg α = OQ . PP ' QB

Como AB = OQ , podemos afirmar que cotg α é a medida algébrica do segmento AB .

Se α mede 0, π ou 2π, a reta OP fica paralela ao eixo Ox, assim, a cotangente não será definida.

CURIOSIDADE ÂNGULO

ARCO

TANGENTE

1/TG

COTANGENTE

0º

0 rad

1 0

∃

30º

π 6

3 3

1 3 3

45º

π 4

1 1

60º

π 3

1 3

3 3

90º

π 2

∃

1 0

3.4.1 Sinal da cotangente A cotangente tem o mesmo sinal da tangente. Assim:

54 •

capítulo 3

–

EXERCÍCIO RESOLVIDO Localize os arcos indicados e a seguir dê o sinal da cotangente de cada um deles. π 5π , , 240º 6 6 Solução: π = 180 = 30º Primeiro quadrante, sinal positivo 6 6 5π = 5 ⋅180 = 900 150o, segundo quadrante, sinal negativo 6 6 6 240º, terceiro quadrante, sinal negativo.

3.5 Secante Ao estudar as razões trigonométricas no triângulo retângulo, você já viu que o cosseno de um ângulo qualquer é dado pela razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Seja a reta s, tangente a circunferência trigonométrica no ponto P, tocando o segmento OP , neste caso o raio da circunferência.

capítulo 3

• 55

y A

π 2

π Q’

α P’

2π Q

A’ 3π 2

Cosseno α =

cateto adjacente ao ngulo OP′ = , como OP = 1 , temos que cos hipotenusa OP

α = OP ´, ou seja a medida algébrica do segmento OP ´. Se construirmos a razão OP , fazendo OP = 1 , teremos 1 , ou seja, OP OP o inverso do cosseno de α. Chamaremos a esta razão de secante. Assim, secante α = 1 . cos α Além desta definição, podemos observar que os triângulos ΔOPP´e ΔOPS são semelhantes. Sendo assim, vale a proporção: OP′ OP . Sendo OP = 1 , temos: = OP OS′ 1 1 . Concluimos que a secante é a razão inversa do OP′ = , isto , OS = OP′ OP′

cos α =

cosseno, assim, será a medida algébrica do segmento OS, ou seja, a abscissa OS do ponto S. Como a interseção da reta s com o eixo Ox determina o segmento OS, quando a reta for paralela a este eixo, a secante não será definida. Isto ocorre para α = π e α = 3π , além dos seus côngruos. 2 2

56 •

capítulo 3

3.5.1 Sinal da secante A secante manterá os mesmos sinais do cosseno:

–

Será crescente no primeiro quadrante e segundo quadrante, e será decrescente no terceiro quadrante e quarto quadrante.

CURIOSIDADE Alguns valores notáveis

ÂNGULO

ARCO

SECANTE

0º

0 rad

30º

π 6

2 3 3

45º

π 4

60º

π 3

90º

π 2

∃∃

capítulo 3

• 57

EXERCÍCIO RESOLVIDO Localize os arcos indicados e a seguir dê o sinal da secante de cada um deles. 11π b) 5π 6 6

Solução: 11π 11⋅180 = = 11⋅ 60o = 660o ≡ 300o - Quarto quadrante, sinal positivo 6 6

5π 5 ⋅180 900 = = = 150o , segundo quadrante, sinal negativo 6 6 6

3.6 Cossecante Análogo ao estudo da secante, temos a cossecante ou cossec. Você já aprendeu que a secante é a medida algébrica do segmento determinado pelo centro da circunferência e a interseção do eixo Ox com a reta s. Na cossecante, faremos um estudo parecido, pois neste caso, utilizaremos o eixo Ou. Observe a figura a seguir: π 2

P s π Q’

α Q

2π

3π 2

Dado um valor real qualquer no intervalo [0,2π], chamaremos de cossecante deste número x a ordenada OC do ponto C. Note que a reta s é tangente à circunferência no ponto P. Assim, é perpendicular ao raio.

58 •

capítulo 3

Observe que para α igual a 0, π ou 2π, esta reta fica paralela ao eixo Oy, assim, não define valores para a cossecante nesses arcos. 3.6.1 Sinal da cossecante A cossecante manterá os mesmos sinais do seno:

–

Será crescente no segundo quadrante ou terceiro quadrante, e será decrescente no primeiro quadrante ou quarto quadrante.

CURIOSIDADE Alguns valores notáveis

ÂNGULO

ARCO

COSSECANTE

0º

0 rad

∃∃

30º

π 6

45º

π 4

60º

π 3

2 3 3

90º

π 2

capítulo 3

• 59

EXERCÍCIO RESOLVIDO Localize os arcos indicados e a seguir dê o sinal da cossecante de cada um deles. 12π b) 3π 5 7

Solução: 12π 12 ⋅180 = = 12 ⋅ 36o = 432o ≡ 72o - Primeiro quadrante, sinal positivo 56 5

3π 3 ⋅180 540 = = ≅ 77o8 ’ , primeiro quadrante, sinal positivo 7 7 7

Relações Fundamentais Uma vez definidas as razões trigonométricas na circunferência, você poderá observar que algumas relações podem ser criadas entre elas.

3.7 Relação 1 Para todo a real pertencente ao intervalo [0,2π] vale a relação: sen2 α + cos2 α = 1 π 2

2π

α O

3π 2

De acordo com o desenho acima, é fácil você verificar que o segmento OQ corresponde ao cosseno do Ângulo α, e o segmento PQ corresponde ao seno do

60 •

capítulo 3

mesmo ângulo. Como estamos analisando a circunferência trigonométrica o raio é unitário, ou seja, OP = 1 . Temos então um triângulo retângulo com as seguintes medidas: P

sen α

α O

cos α

Aplicando o teorema de Pitágoras triângulo retângulo temos: (sen α)2 + (cos α)2 = 12 sen2 α + cos2 α = 1

CURIOSIDADE Muitos autores consideram esta relação como sendo a Relação Fundamental da Trigonometria.

3.8 Relação 2 π Para todo número α real pertencente ao intervalo [0,2π], com α ≠ ou 2 sen α α ≠ 3π/2, vale a relação tg α = . cos α Quando definimos as razões trigonométricas no triângulo retângulo, já observamos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno. Observe a figura: y

π 2

Q P

0 P’ A 2π

3π 2

capítulo 3

• 61

Observe que os triângulos ΔQOA e ΔPOP´são semelhantes. Assim, vale a proporção AQ = PP′ . Sabemos que a tangente é dada pela OA OP′ razão entre cateto oposto e cateto adjacente, assim, AQ é a tangente do ânguOA lo dado. Você pode perceber que OP′ é o cosseno do ângulo enquanto que PP′ é o seno do mesmo ângulo. Substituindo temos: tg α = sen α cos α

3.9 Relação 3 Para todo número α real pertencente ao intervalo [0,2π], com α ≠ 0 ou α ≠ π ou α ≠2π vale a relação cotg α = cos α sen α y

π 2

B P

Q’

3π 2

0 P’ Q 2π

A’

De igual maneira, podemos observar a semelhança entre os triângulos ΔBOQ e ΔPOP´. Vale então a proporção OQ = OP′ . Fica claro que OQ é a BQ PP′ BQ cateto adjacente cotangente de α, pois, por definição, temos . Fica claro tamcateto oposto bém que OP′ corresponde ao cosseno de α e PP′ corresponde ao seno α. Assim: cotg α = cos α sen α

62 •

capítulo 3

3.10 Relação 4 Para todo número x real pertencente ao intervalo [0,2π], com α ≠ π ou α ≠ 3π , 2 2 vale a relação sec α = 1 cos α y

π 2

π Q’

α P’

2π Q

A’ 3π 2

Sendo ΔPOS e ΔPOP´ triângulos semelhantes, vale a relação:

OP OS . Como OP = 1 (raio) e OP´o cosseno de α, temos: = OP′ OP sec α , então: 1 = cos α 1 sec α = =

1 cos α

3.11 Relação 5 Para todo número x real pertencente ao intervalo [0,2π], com α ≠ 0 ou α ≠ π ou 1 α ≠ 2π, vale a relação cossec α = . sena α

capítulo 3

• 63

Observe a representação da cossecante de α: π 2

P’

s π Q’

α Q

2π

3π 2

Os triângulos ΔCOP e ΔXPP´ O são semelhantes. Assim, vale a proporção: OC OP , como OP = 1 , OP′ = sen α e OC a cossec α, substituindo temos: = OP OP′

cossec α 1 . Então: = 1 sen α cossec α =

1 sena α

EXERCÍCIO RESOLVIDO π Sabendo que sen x = 3 e < x < π , calcule cos x, tg x, sec x, cotg x e cossec x. 2 5 Resolução: Aplicando a relação fundamental da trigonometria temos: 2 9 sen2x + cos2 x = 1 ⇔  3  + cos2 x = 1 ⇔ cos2 x = 1 ⇔ cos x = 25 5

16 25

como o sinal do cosseno no segundo quadrante é negativo, temos que cos x = - 4 5 3 sen x 3 tg x = = 5 =4 cos x 4 5 -4 cos x 4 cotg x = = 5 =3 sen x 3 5 1 1 5 sec x = = =cos x 4 4 capítulo 3 5 1 1 5 cossec x = = = 3 sen x 3 5

64 •

3 sen x 3 tg x = = 5 =4 cos x 4 5 -4 cos x cotg x = = 5 =3 sen x 5 1 1 5 sec x = = =4 cos x 4 5 1 1 cossec x = = = 3 sen x 5

4 3

5 3

Redução ao primeiro quadrante Até agora você estudou as razões trigonométricas no primeiro quadrante. Desta forma, achou valores para as razões trigonométricas. Agora veremos como calcular as razões trigonométricas nos demais quadrantes. Isso é possível reduzindo cada arco ao primeiro quadrante através da simetria.

3.12 Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante Vamos construir um arco qualquer com extremidade no segundo quadrante. Sejam as coordenadas do arco definidas por (a,b) π 2

M’(–a, b)

M(a, b)

π–x

–a

A 2π

3π 2

capítulo 3

• 65

Observe que na circunferência trigonométrica, o ponto M´ em relação ao + AM ′ = π. eixo Oy, é simétrico ao ponto M. Ou seja, AM Você pode perceber que a simetria é em relação ao eixo dos senos, nesse caso, a temos que os valores do cosseno serão simétricos e os valores do seno se mantém. No sentido anti-horário podemos definir então que sen x = sen (π - x) e cos x = –cos(π - x). Como tg é a razão entre seno e cosseno, temos que tg x = -tg(π - x). Obviamente: cotg x = - cotg (π - x); sec x = - sec(π - x) e cossec x = (π - x). Segundo quadrante para primeiro quadrante: sen x = sen (π - x) cos x = -cos(π - x) tg x = -tg(π - x) cotg x = - cotg (π - x) sec x = - sec(π - x) cossec x = cossec (π - x).

EXEMPLO sen 130º = sen (π - 130º ) = sen (180º - 130º ) = sen 50º cos 130º = - cos (π - 130º ) = - cos (180º - 130º ) = - cos 50º

3.13 Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante Na redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante, temos uma simetria em relação ao centro da circunferência. Observe que tanto seno quanto cosseno terão valores simétricos. Assim, dado um arco x qualquer com extremidade no terceiro quadrante, ao reduzirmos para o primeiro quadrante teremos que descontar o acréscimo sobre π, assim, teremos (x - π).

66 •

capítulo 3

π 2

M(a, b)

x–π –a

2π

a –b M’(–a, –b) 3π 2

É possível concluir então que: Terceiro quadrante para primeiro quadrante sen x = - sen (x - π) cos x = -cos(x - π) tg x = tg(x - π) cotg x = cotg (x - π) sec x = - sec(x - π) cossec x = - cossec (x - π)

3.14 Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante Na redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante, temos uma simetria em relação ao eixo dos cossenos. Observe que nos pontos M e M´as ordenadas são simétricas. π 2

M(a, b)

2x – π a

2π

–b

M’(a, –b)

3π 2

capítulo 3

• 67

É fácil observar que dado um arco com extremidade no quarto quadrante, sua redução ao primeiro quadrante se dá pela medida do arco que complementa uma volta na circunferência trigonométrica, ou seja, dado um arco x qualquer, sua redução ao primeiro quadrante se dá por 2π - x. Podemos concluir que: Quarto quadrante para primeiro quadrante sen x = - sen (2π - x) cos x = cos(2π - x) tg x = - tg(2π - x) cotg x = - cotg (2π - x) sec x = sec(2π - x) cossec x = - cossec (2π - x)

EXERCÍCIO RESOLVIDO Reduzir ao primeiro quadrante: a) cotg 7π 6 b)

sec 320º

cos 170º

Solução: a) 7π = 7 ⋅180 = 210º ⇔ cotg 7π = cotg 210º = cotg (210º - 180º) = cotg 30º 6 6 6 b)

sec 320º = sec (360º - 320º) = sec 40º

cos 170º = - cos(180º - 170º) = -cos 10º

ATIVIDADES 01. Verifique o sinal do seno para os seguintes arcos: a) 2π 7 b)

7π 5

68 •

capítulo 3

3π 2

π 5

02. Resolva as expressões: a) b)

Sen 270º – 3 sen 90º Sen π - sen π + 2 sen π 6 6

03. Verifique o sinal do cosseno para os seguintes arcos: π a) 7 b)

7π 5

3π 22π

04. Resolva as expressões: a) b)

cos 270º – 3 cos 90º π cos – 3 cos π + 2 cos π 3 6

cos 180º - sen 270º + sen 60º

05. Verifique o sinal da tangente para os seguintes arcos: a) π 7 b)

7π 5

3π 2

2π 5

06. Resolva as expressões: a) b)

tg 180º – 3 cos 90º π π cos – 3 tg π + 2 tg 3 6

cos 180º - sen 270º - tg 60º

capítulo 3

• 69

07. Verifique o sinal da cotangente para os seguintes arcos: a) 6π 7 b)

9π 5

π 6

2π 9

08. Resolva as expressões: a) b)

cotg 180º – 3 cotg 45º π π π cotg – 3 tg + 2 tg 3 4 6

09. Qual o sinal da expressão w = sec 260º - sen 160º ? 10. Resolva as expressões: a) b)

sec 180º - 3 cos 180º π π cotg – 3 sec 3 4

11. Localize o quadrante e determine o sinal. a) b)

cossec 340º cossec 4π 3

cossec 120º

12. Qual o sinal das expressões: a) b)

cos 180º - 3 cossec 190º π π cotg – 3 cossec 3 4

sen 120º + cossec 60º

13. Sabendo que cos x = 0,8; e 0 < x < zões trigonométricas.

π , determine o valor das demais ra2

14. Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressão y = cos2x + 3 tg2 x

70 •

capítulo 3

15. Calcule m de modo a obter sen x = 2m + 1 e cos x = 4m +1 16. reduza ao primeiro quadrante: a) cossec 2π 7 b)

sen 240º

cotg 320º

cos 120º

17. Resolva as expressões: a)

cos 240º - sen 210º + cotg 225º

cossec 135º + cotg 135º + cos 135º - sen 135º

RESUMO Observando a figura representativa para o ângulo α,

A’

α Q

B’

podemos concluir que:

seja, a medida algébrica do segmento OR Oy , ou Cosseno é a projeção de OP sobre o eixo Ox , isto é, a medida algébrica de OQ . Seno é a projeção de OP sobre o eixo

Tangente é a razão entre seno e cosseno, geometricamente representado pela medida algébrica do segmento AT .

capítulo 3

• 71

Cossecante é a razão inversa do seno, na circunferência trigonométrica é representado pela medida algébrica do segmento OC . Secante é a razão inversa do cosseno, representado pela medida algébrica do segmento OS . Cotangente é a razão inversa da tangente. Representada pela medida algébrica do segmento

BM . As relações fundamentais da trigonometria na circunferência são: sen2x + cos2 x = 1 tg x = sen α

cos α

cotg x = cos α

sen α

sec x = =

1 cos α

cossec x =

1 sena α

Para reduzir uma razão trigonométrica ao primeiro quadrante utilizamos as seguintes relações: Do segundo para o primeiro quadrante: sen x = sen (π - x) cos x = -cos(π - x) tg x = -tg(π - x) cotg x = - cotg (π - x) sec x = - sec(π - x) cossec x = cossec (π - x). Do terceiro para o primeiro quadrante: sen x = - sen (x - π) cos x = -cos(x - π) tg x = tg(x - π) cotg x = cotg (x - π) sec x = - sec(x - π) cossec x = - cossec (x - π)

72 •

capítulo 3

Do quarto para o primeiro quadrante: sen x = - sen (2π - x) cos x = cos(2π - x) tg x = - tg(2π - x) cotg x = - cotg (2π - x) sec x = sec(2π - x) cossec x = - cossec (2π - x)

capítulo 3

• 73

74 •

capítulo 3

4 Transformações Trigonométricas

4. Transformações Trigonométricas Neste capítulo você vai conhecer operações trigonométricas envolvendo soma e subtração de arcos. Dados dois arcos, a e b, é possível deduzir as expressões que nos permitam calcular o cosseno, seno e tangente de (a + b) ou (a - b).

OBJETIVOS • Deduzir as fórmulas para cálculo do seno, cosseno e tangente da soma e diferença de arcos; • Deduzir as fórmulas para cálculo do seno, cosseno e tangente de arcos duplos, triplos e arco metade; • Deduzir as fórmulas trigonométricas para transformação em produto; • Demonstrar identidades trigonométricas.

4.1 Cosseno da diferença Inicialmente vamos estudar o cosseno da diferença, e para tal, vamos analisar a seguinte representação dos arcos a e b. B D

C a

a-b b

Observe que os pontos B e D são respectivamente as extremidades dos arcos b e a, assim, podemos definir as coordenadas cartesianas destes pontos:

76 •

capítulo 4

B (cos b, sen b) e D (cos a, sen a). Obviamente o ponto C, extremidade do arco (a - b), tem coordenadas C (cos (a - b), sen (a - b)). Como estamos sobre a circunferência trigonométrica, o ponto A tem coordenadas (1,0). e BOD tem a mesma medida, pois Além disso, observe que os arcos AOC ambos correspondem à medida (a - b).

CURIOSIDADE Numa mesma circunferência, a arcos iguais correspondem cordas iguais. C

B O

Observe que os segmentos AC e BD formam a ângulos. Como os ângulos opostos pelo vértice são congruentes, temos que os arcos definidos na circunferência por estes ângulos e COD , então, AC e CD . também são congruentes. Assim, Se AOB

Por definição sabemos que, numa mesma circunferência, a arcos iguais correspondem cordas iguais. Assim, as distância AC e BD são congruentes. A geometria analítica nos garante que d AC = dBD, ou seja (XC – XA)2 + (YC – YA)2 = (XD - XB)2 +(YD - YB)2. Substituindo as coordenadas: (cos(a - b) – 1)2 + (sen(a - b) – 0)2 = (cos a – cos b)2 + (sen a – sen b)2 Desenvolvendo os quadrados: cos2(a - b) - 2cos (a - b) + 1 + sen2(a - b) = cos2a – 2cos a . cos b + cos2b + sen2 a - 2sen a . sen b + sen2b

capítulo 4

• 77

Pela relação Fundamental da trigonometria, sabemos que sen2 x + cos2 x = 1 Substituindo cos2 (a – b) + sen2 (a – b) por 1, temos: - 2cos (a - b) + 1 + 1 = 1 – 2cos a . cos b + 1 - 2sena . sen b 2 – 2cos (a - b) = 2 – 2 cos a . cos b - 2 sen a . sen b Subtraindo 2 em cada membro: - 2 cos (a - b) = - 2 cos a . cos b - 2 sen a . sen b Dividindo a expressão por (-2), vem encontramos a expressão que define o cosseno da diferença de dois arcos. cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Conhecidos sen α = 3 , 0 < α < α , cos β = , 3π < α < 2π, calcule cos (α - β). 3 2 5 2 Solução: cos2α = 1- sen2 α = 1 - 9 = 16 ; α está no primeiro quadrante, cos α = 4 . 25 25 5 sen2 β = 1- cos2 β = 1 - 1 = 8 ; β é do quarto quatrante, sen β = - 2 2 9 9 3 Calculando: cos (α - β) = cosα . cosβ + senα . senβ 4 . 1 + 3 . - 2 2 = - 4−6 2 5 3 5 15 3

4.2 Cosseno da soma Para definir uma expressão que represente o cosseno da soma de dois arcos, basta definir (a + b) como (a – (-b)), utilizando a expressão do cosseno da diferença: cos(a + b) = cos [a –(-b)] = cos a . cos (-b) – sen a . sen (-b)

78 •

capítulo 4

Lembrando do capítulo anterior, quando estudamos redução ao primeiro quadrante: sen (-α) = - sen α cos (-α) = cos α tg (-α) = - tg α

Concluindo, temos a expressão que define o cosseno da soma de dois arcos: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine cos 105o, utilizando os cossenos de 60º e 45º . Sabemos que 105º = 60º + 45º cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b cos 105º = cos(60º + 45º ) = cos 60º . cos 45º - sen 60º . sen 45º cos 105º = 1 . 2 - 3 . 2 ⇔ cos 105º = 2 - 6 2 2 2 2 4 4 cos 105º =

2− 6 4

4.3 Arcos ou ângulos complementares Dois arcos são ditos complementares quando a soma é π , isto é, 90 graus. 2 Exemplos: 80o e 10o ; π e 5π . Obviamente, as relações que iremos definir 12 12 também valem para os côngruos de π . 2 Definimos então, que dado um arco de medida α qualquer, seu complementar é dado por ( π – α). 2

capítulo 4

• 79

Se dois arcos são complementares, o seno de um é igual ao cosseno do outro. Isto é: cos ( π – α) = sen α e sen ( π – α) = cos α 2 2 Demonstração: cos ( π – α) = cos π cos α + sen π sen α 2 2 2 Sabemos que cos π = 0 e sen π = 1, assim, cos ( π – α) = sen α 2 2 2 Fazendo x = π – α, temos: 2 sen x = cos ( π – x), conforme acabamos por demonstrar. 2 sen ( π – α) = cos [ π - ( π - α)] = cos ( π - π + α) 2 2 2 2 2 sen ( π – α) = cos α 2 Geometricamente, temos que: B P’ α

t D α

P A

Seja t a bissetriz dos quadrantes ímpares, sejam P e P´ respectivas extre e BOP ′ são congruentes. midades dos arcos α e π – α. Obviamente AOP 2 Como OP = OP′ , temos um triângulo isósceles. Sendo a reta t também bissetriz do triângulo ΔPOP´, temos PD = P′D . Conclui-se que P e P´ são simétricos em relação a reta t.

80 •

capítulo 4

Logo, podemos concluir que arcos complementares têm extremidade simétrica em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. As demais fórmulas são facilmente encontradas: π  sen  − α  2   = cos α = cotg α π tg ( – α) = π  sen α 2 cos  − α  2 

cotg ( π – α) = 2

1 1 = tg α = π  cot g α tg  − α  2 

1 1 = cossec α sec ( π – α) = = π  sen α 2 cos  − α  2 

cossec ( π – α) = 2

1 1 = sec α = π  cos α sen  − α  2 

EXERCÍCIO RESOLVIDO Simplifique a expressão y =

sen 10o ⋅ cos (−50o ) ⋅ tg 65o

(

)

cos −80o ⋅ sen (−40o ) ⋅ cot g 25o

Solução: Aplicando as relações de mudança de sinal, teremos: y=

sen 10o ⋅ cos 50o ⋅ tg 65o cos 80o ⋅ sen (−40o ) ⋅ cot g 25o

observe que 10º e 80º graus são complementares, o mesmo acontecendo para 50º e 40º e ainda 65º e 25º, então: y=

sen 10o ⋅ cos 50o ⋅ tg 65o ⇔ y = -1 sen 10o ⋅ (− cos 50o ) ⋅ t g 65o

4.4 Seno da soma Dados dois arcos quaisquer a e b, vamos deduzir a expressão para sen (a + b). Sabemos que os arcos (a+b) e π - (a + b) são complementares, temos então sen 2

capítulo 4

• 81

(a + b) = cos [ π - (a + b)] = cos [( π - a) + b]. Pela expressão do cos (a - b) vem: 2 2 sen (a + b) = cos [( π - a) + b] = cos ( π - a). cos b + (sen π - a). sen b 2 2 2 Sabemos que cos ( π – a) = sen a ; sen ( π – a) = cos a , substituindo 2 2 sen (a + b) = sen a . cos b + cos a . sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine sen 750. Solução: 750 = 300 + 450 , logo sen 750 = sen (300 + 450) sen (300 + 450) = sen 300.cos 450 + sen 450 . cos 300 sen (300 + 450) = 1 . 2 + 2 . 3 = 2 + 6 = 2 2 2 2 4 4

2+ 6 4

4.5 Seno da diferença Pra definir o seno da diferença, basta calcular sen (a - b), fazendo a - b = a + (-b). sen (a - b) = sen[a + (-b)] = sen a . cos (-b) + sen (-b). cos a Utiliando as relações para mudança de sinal: sen (a - b) = sen a . cos b – sen b . cos a

EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine sen 150. Solução: 150 = 600 - 450 , logo sen 150 = sen (600 - 450)

82 •

capítulo 4

sen (600 - 450) = sen 600 . cos 450 - sen 450 . cos 600 sen (600 - 450) = 3 . 2 - 2 . 1 = 6 - 2 = 2 2 2 2 4 4

6− 2 4

4.6 Tangente da soma Dados dois arcos com medidas a e b a tangente de (a+b) é dada por: tg (a + b) =

sen (a + b) sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b = Dividindo por cos a . cos b = cos (a + b) cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b

sen a ⋅ cos b + cos a ⋅ sen b sen a ⋅ cos b sen b ⋅ cos a + cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b . Simplificando: = cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b cos a ⋅ cos b sen a ⋅ sen b − cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b cos a ⋅ cos b

sen a sen b + tg(a + b) = cos a cos b = tg a + tg b sen a ⋅ sen b 1 − tg a ⋅ tg b 1− cos a ⋅ cos b

tg(a + b) = = tg a + tg b 1 − tg a ⋅ tg b

ATENÇÃO Esta fórmula somente é aplicável se a ≠ π + kπ, b ≠ π + kπ e a + b ≠ π + kπ. 2 2 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule tg 75º o o tg 75º = tg (45º + 30º) = tg 45 + tg 30

1− tg 45o ⋅ tg 30o

tg 75o =

3+ 3 =2+ 3− 3

⇔ tg 75º =

3 3 3 1− 1⋅ 3 1+

capítulo 4

• 83

4.7 Tangente da diferença Ao definir uma expressão para tg da diferença de dois arcos, ou seja tg (a – b), vamos escrever como tg [a + (-b)]. Assim: tg (a – b) = tg [a + (-b)] =

tg a + tg (−b)

tg a + (−tg b)

1 − tg a ⋅ tg (−b) 1 − tg a ⋅ (−tg b)

. Assim:

tg (a – b) = tg a − tg b 1 + tg a ⋅ tg b

ATENÇÃO Esta fórmula somente é aplicável se a ≠ π + kπ, b ≠ π + kπ e a - b ≠ π + kπ. 2 2 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcule tg 15º

3 1− o − tg 30o tg 45 3 tg 15º = tg (45º - 30º) = ⇔ tg 75º = 1+ tg 45o ⋅ tg 30o 3 1+ 1⋅ 3 o 3− 3 tg 75 =

3+ 3

=2-

4.8 Arco dobro, arco triplo, arco metade Uma vez conhecidas as expressões para soma de arcos, podemos definir outras expressões para dobro, triplo, quádruplo etc. 4.8.1 Arco dobro (2a)

Seno sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 sen a . cos a sen 2a = 2 sen a . cos a

84 •

capítulo 4

Cosseno cos 2a = cos (a + a) = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a desta expressão decorre: cos 2a = 1 – sen2 a – sen2a = 1 – 2 sen2a cos 2a = cos2a – (1 – cos2a) = cos2a – 1 + cos2a = –1 + 2 cos2a Concluindo: cos 2a = cos2 a – sen2 a cos 2a = 1 – 2 sen2a cos 2a = 1 – 1 + 2 cos2a

Tangente tg 2a = tg (a + a) = tg 2a =

tg a + tg a 2tg a = 1 + tg a ⋅ tg a 1 − tg 2 a

2tg a 1 − tg 2 a

4.8.2 Arco triplo (3a)

Seno sen 3a = (2a + a) = sen 2a . cos a + sen a . cos 2a sen 3a = (2 sen a . cos a) cos a + sen a . (cos2 a – sen2 a) sen 3a = 2 sen a . cos2 a + sen . cos2 a – sen3 a sen 3a = 3 sen a . cos2a – sen3a sen 3a = 3 sen a . (1 - sen2a) – sen3a sen 3a = 3 sen a – 3 sen3 a = sen3 a sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a

capítulo 4

• 85

Cosseno cos 3a = cos (2a + a) = cos2a . cos a - sen2a . sen a cos 3a = (2 . cos2a – 1) . cos a – ( 2 sen a . cos a) . sen a cos 3a = (2 . cos2a – 1) . cos a – 2 sen2a . cos a cos 3a = (2 . cos2a – 1) . cos a – 2 (1 – cos2a) . cos a cos 3a = 2 cos3a – cos a – 2 cos a + 2 cos3a cos 3a = 4 cos3a – 3 cos a

Tangente 2tg a + tg a tg a + tg a − tg 2 a 2 1 tg 3a = tg (2a + a) = = 1 − tg 2a ⋅ tg a 1 − 2tg a ⋅ tg a 1 − tg 2 a

tg a (1 − tg 2 a ) + 2tg a

tg 3a =

1 − tg 2 a 1 − 2tg 2 a 1 − tg 2 a

tg a (1 − tg 2 a ) + 2tg a =

1 − tg 2 a 1 − tg 2 a − 2tg 2 a 1 − tg 2 a

tg a − tg 3 a + 2tg a 1 − tg 2 a − 2tg 2 a

3 tg 3a = 3tg a − tg a 2 1 − 3tg a

ATENÇÃO Não esquecer a restrição da tangente, neste caso a ≠ π . 2

4.8.3 Arco metade Uma vez conhecidas as funções circulares de x, como fazer para calcular as funções trigonométricas de x , ou seja, a metade. Vamos então calcular sen, cos e tg de x . 2 2 Se fizermos x = a, temos x = 2a. Fica evidente a necessidade de calcular 2 sen a, cos a e tg a, uma vez conhecido cos 2a. Para cos 2a temos as relações:

86 •

capítulo 4

cos 2a = cos2a – sen2a = 1 – 2sen2a ⇔ sen2a = 1 − cos 2a 2 cos 2a = cos2a – sen2a = 2 cos2a - 1 ⇔ cos2a = 1 +cos 2a 2 1 − cos 2a 2 1 − cos 2a sen a 2 tg2 a = = = cos2 a 1 + cos 2a 1 + cos 2a 2 Fazendo a = x e 2a =x, temos: 2 sen2 x = 1 − cos x 2 2 cos2 x = 1 +cos x 2 2 tg2 x = 1 − cos x 2 1 + cos x

EXERCÍCIO RESOLVIDO Calcular sen 22o 30’ Solução: 22o 30’ =

45o 2

sen 22 30’ = 1+ cos 45 = 2 2

sen 22o 30’ =

1−

2 2 = 2− 2 4 2

2− 2 2− 2 = 4 2

4.9 Transformação em produto No estudo algébrico é comum simplificarmos expressões através da fatoração. Na trigonometria também podemos utilizar esses recursos. Expressões do tipo sen p ± sen q, cos p ± cos q ou tg p ± tg q poderão ser simplificadas. Vamos deduzir algumas fórmulas que ajudarão na simplificação de expressões trigonométricas, bem como na resolução de algumas equações trigonométricas.

capítulo 4

• 87

As expressões de soma e diferença de arcos são conhecidas: a) cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b b) cos(a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b c) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a d) sen (a – b) = sen a . cos b - sen b . cos a Efetuando as operações A + B; A – B; C + D e C – D, encontraremos as chamadas fórmulas de Werner. sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a . cos b sen (a + b) – sen (a – b) = 2 sen b . cos a cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a . cos b cos (a + b) – cos ( a – b) = -2 sen a . sen b Ao primeiro contato, estas quatro relações deduzidas já nos ajudam na transformação de somas e diferenças em produtos. Todavia, fica limitado, pois será necessário calcular os valores de a e b. Por exemplo, como calcular a soma de cos 12o + cos 4o ? Isto nos obriga a fazer um sistema: a + b = 12 a–b=4 Vamos encontrar a = 8 e b = 4 após resolver o sistema linear. Assim, escreveríamos: cos 12o + cos 4o = 2 cos 8o . cos 4o No desejo de facilitar as resoluções, podemos construir as fórmulas, partindo do sistema linear: a+b=p a–b=q 2a = p + q ⇔ a = p + q 2

88 •

capítulo 4

2b = p – q ⇔ b = p − q . Substituindo nas fórmulas de Werner, teremos: 2 p+q sen p + sen q = 2 sen . cos p − q 2 2 sen p – sen q = 2 sen p − q . cos p + q 2 2 cos p + cos q = 2 cos p + q . cos p − q 2 2 p+q cos p – cos q = -2 sen . sen p − q 2 2 A respeito das tangentes, sabemos que tg x = sen x . Assim, basta escrever a cos x tangente em função do seno e do cosseno. tg p + tg q = sen p + sen p = sen p ⋅ cos q + sen q ⋅ cos p . Simplificando: cos p ⋅ cos q cos p cos p sen (p + q) tg p + tg q = cos p ⋅ cos q sen (p − q) Analogamente temos tg p - tg q = cos p ⋅ cos q

CURIOSIDADE O matemático e físico alemão Johannes Werner (1468-1528) usou as chamadas fórmulas de Werner para simplificar cálculos envolvendo comprimentos que aparecem em astronomia. Estas fórmulas passaram a ser amplamente utilizadas por matemáticos e astrônomos perto do fim do século XVII, como método de conversão de produtos em somas e diferenças.

EXERCÍCIO RESOLVIDO Simplifique a expressão y = cos 5x + cos 3x Solução:

sen 5x − sen 3x

Transformando o numerador em produto: cos 5x + cos 3x = 2 cos 4x . cos x Idem no denominador: sen 5x – sen 3x = 2 sen x . cos 4x

capítulo 4

• 89

Logo,

cos 5x + cos 3x 2 ⋅ cos 4x ⋅ cos x cos x = cotg x = = sen 5x − sen 3x 2 ⋅ sen x ⋅ cos 4x sen x

4.10 Identidades trigonométricas No capítulo anterior você deduziu relações fundamentais da trigonometria. São elas: sen2x + cos2 x = 1 tg x = sen x cos x cotg x = cos x

sen x

sec x = =

1 cos x

cossec x =

1 sen x

A partir destas relações, podemos construir e demonstrar outras. Da relação sen2x + cos2 x = 1 podemos concluir que: sen2x = 1 - cos2 x e que cos2 x = 1 - sen2x Das relações trigonométricas fundamentais, também podemos afirmar que: sec2x = 1 + tg2x cossec2x = 1 + cotg2x

ATIVIDADE Mostre que sec2x = 1 + tg2x, para todo x Real Solução:

2 2 2 tg2x + 1 = sen x + 1⇔ cos x + sen x =

cos2 x

90 •

capítulo 4

cos2 x

1 2 = sec2 x = sec x cos2 x

4.10.1 Definição de Identidade Trigonométrica Em várias situações encontraremos funções que se igualam. Isto é, dadas duas funções f(x) e g(x), chamaremos de identidade à igualdade f(x) = g(x), se para todo x, x pertence ao domínio de f(x) e x pertence ao domínio de g(x). Em outras palavras, toda igualdade que envolve funções trigonométricas verificada para todos os valores do domínio dessas funções é uma identidade trigonométrica.

EXEMPLOS sec2x = 1 + tg2x é uma identidade trigonométrica, pois para qualquer valor x, com x ≠ π + 2 kπ, a igualdade permanece válida. No caso da igualdade sen x + cos x = 1, para x ∈ R, não podemos afirmar que a igualdade é válida para todo x. Assim, não é uma identidade e sim uma equação trigonométrica.

4.10.2 Demonstração de identidades trigonométricas Para demonstrar uma identidade trigonométrica, podemos utilizar diferentes formas. 1. Desenvolver a primeira expressão até encontrar a segunda expressão; sen x . sec x = tg x sen x . 1 = tg x cos x

sen x = tg x cos x tg x = tg x 2.

Desenvolver ambas expressões até encontrar um resultado comum tg x sen x , para x ≠ π + kπ = 1 + tg 2 x sec x 2 Fazendo f(x) = tg x e g(x) = sen x 1 + tg 2 x sec x

sen x sen x tg x cos x cos x sen x f(x) = = = = ⋅ cos2 x = sen x ⋅ cos x 2 2 1 1 + tg x sec x cos x cos2 x capítulo 4

• 91

g(x) = sen x = sen x == sen x ⋅ cos x 1 sec x cos x Partindo separadamente de cada função, chegamos a um valor comum. Isto demonstra que a identidade é verdadeira. Se f(x) ≡ h(x) e g(x) ≡ h(x), então f(x) ≡g(x) 3. Construir uma função h(x) = f(x) – g(x) e provar que h(x) = 0. sec2x – sen2x = tg2x + cos2x sec2x – sen2x - tg2x - cos2x = 0 1 1 - sen2x - cos2x = 0 2 cos x cos2 x sen2 x 1 - cos2x - sen2x = 0 − 2 cos x cos2 x 1 −sen2 x - (cos2x + sen2x) = 0 cos2 x cos2 x -1=0⇔ 1–1=0⇔0=0 cos2 x

ATIVIDADES 01. Sendo (a - b) = π , determine y = (sen a + cos b)2 + (sen b – cos a)2. 3 02. Determine o valor de A = sen 105° + cos 105°. 03. Se x e y são dois arcos complementares, calcule A = (cos x - cos y)2 + (sen x + sen y)2. 04. Determine o cos π . 12 05. Simplifique a expressão: cos(a + b).cos b + sen(a + b).sen b. 06. Simplifique a expressão

sen (a − 30o ) + cos(60o − a ) sen (a + 60o ) + sen( a − 60o )

07. (PUC – SP ADAPTADA) Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, determine tg y. 08. Calcule a expressão E = cos215o – cos275o.

92 •

capítulo 4

π sen ( π − x ) − cos( − x ) 2 09. Simplifique a expressão . cos(2π − x ) 10. Calcular a expressão X = cos 75o . cos 15o . π 11. Se cos x = 12 e 0 < x < , calcule tg 2x. 2 13 12. Sendo tg x =3, calcular tg x. 2 13. Sendo cos a = cos 30o, a pertencente ao segundo quadrante, calcule cos 2a. 14. Transforme a expressão sen 50o + sen 40o em produto.

sen a − sen b 15. Se a – b = π determine o valor de W = . cos a + cos b 2 16. Simplificar a expressão X =

sen 50o + cos 50o . sen 85o

17. Determine m, tal que sen2x = 2m – 1. 18. Seja b um número real, onde b>0 e b ≠ 2. Se tg α e tg β são raízes da equação x2 – 3(b+2)x + b2 – 3 = 0, determine tg (α + β). 19. Determine o valor da expressão A = sen 3x − cos 3x .

sen x

cos x

20. Sendo a = 0,6, determine cos 4a. 21. Sendo tg 10o = 0,18, calcule sen 20o e cos 20o. 22. Calcule cos π . cos 5π . 12 12 23. Prove a identidade cos x . tg x . cossec x = 1 24. Mostre que

tg x sen x . = 2 1+ tg x sec x

25. Prove que ( 1- cos2x) (cotg2x + 1) [sen2x + (1 – sen2x)] = 1.

capítulo 4

• 93

26. Demonstre que sec2x = sen2x = tg2x + cos2x 27. Calcule o valor de m, sendo m pertencente ao conjunto dos números Reais, tal que sen x = 2m + 1 e cos x = m. 28. Prove que Cossec2x = 1 + cotg2x, para todo x pertencente ao conjunto dos números Reais. 29. Sabendo que sec x = 3, calcule o valor da expressão w = sen x + 2 tg2x.

RESUMO Soma e Subtração de dois arcos cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b sen (a+b) = sen a cos b + sen b . cos a sen (a - b) = sen a . cos b – sen b . cos a tg(a+b) = = tg (a – b) =

tg a + tg b 1− tg a ⋅ tg b

tg a − tg b 1+ tg a ⋅ tg b

Arco dobro, arco triplo, arco metade sen 2a = 2 sena. cos a cos 2a = cos2 a – sen2 a cos 2a = 1 – 2 sen2a cos 2a = 2cos2a – 1 tg 2a =

2tg a 1− tg2 a

sen 3a = 3 sen a – 4 . sen3 a cos 3a = 4 cos3a – 3.cos a 3 tg 3a = 3tg a − tg a

1− 3tg2 a

sen2 x = 1− cos x 2 2

1 + cos x cos2 x = 2 2

94 •

capítulo 4

tg2 x = 1− cos x 2 1+ cos x Transformação em produto sen p + sen q = 2 sen p + q . cos p − q

sen p – sen q = 2 sen p − q . cos p + q

cos p + cos q = 2 cos p + q . cos p − q

cos p – cos q = -2 sen p + q . sen p − q

tg p + tg q = sen (p + q)

cos p ⋅ cos q

tg p - tg q = sen (p − q)

cos p ⋅ cos q

Identidades trigonométricas 01. Desenvolver a primeira expressão até encontrar a segunda expressão; 02. Desenvolver ambas expressões até encontrar um resultado comum; 03. Construir uma função h(x) = f(x) – g(x) e provar que h(x) = 0.

capítulo 4

• 95

96 •

capítulo 4

5 Equações Trigonométricas

5. Equações Trigonométricas Neste capítulo vamos estudar as equações trigonométricas simples do tipo cos x = a, sen x = a e tg x = a. De forma geral, podemos considerar como equações trigonométricas, a toda equação onde a incógnita está submetida a uma função trigonométrica. A partir destas equações consideradas fundamentais, é possível resolver outras de maior complexidade.

OBJETIVOS • Conhecer e resolver equações trigonométricas simples do tipo cos x = a; • Conhecer e resolver equações trigonométricas simples do tipo sen x = a; • Conhecer e resolver equações trigonométricas simples do tipo tg x = a.

CONCEITO Resolver uma equação trigonométrica em um conjunto U, é definir para que valores de x, onde x pertence a U, a equação é verdadeira, isto é, em uma equação do tipo cos x = a, para que valores de x, cos x vale a.

5.1 Equações do tipo cos x = a Para uma equação do tipo cos x = a dentro do conjunto Universo, U = [0;2π], é necessário determinar todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0;2π] que satisfazem a equação. Se a equação for impossível, então teremos como conjunto solução S = Ø.

EXEMPLO Resolver a equação trigonométrica cos x = 1, onde pertence ao intervalo [0; 2p].

98 •

capítulo 5

X’

–1

X 1

Y’

Para termos cos x = 1, o arco de medida x deve ter extremidade no ponto X. Assim, a equação será verdadeira para os valores 0 e 2π. S = {0, 2π} De forma análoga, se tomarmos a equação cos x = -1, necessitamos saber para que valores de x a equação cos x vale -1, ou seja, para que medidas do arco x temos como resposta -1. Neste caso, o cosseno tem valor -1 quando x = π, assim S = {π}. Obviamente, quando o conjunto Universo não é definido, a resposta deve ser indicada para todos os côngruos, assim, sendo U = R, a solução da equação cos x = 1, poderá ser definida como: S = { x ∈R| x = 2kπ}, onde k ∈ Z

Em termos gerais, dado um valor a, com -1 < a < 1, se x = a é solução da equação cos x = a, as soluções da equação serão todos os números congruentes a α e todos os números congruentes a –α.

Y α 0 0

a –α Y’

cos x = a ⇔ x = α + 2kπ e x = - α + 2kπ, k ∈ Z capítulo 5

• 99

COMENTÁRIO Seja a equação cos x = a dentro do intervalo [-1; 1].

a Q

w Observe que os extremos do arco são os pontos P e Q, além disso, estão situados no primeiro ou no segundo quadrante. Assim, o valor de xo sempre estará no intervalo 0 ≤ xo ≤ π. Chamaremos de arco-cosseno de a ao número xo. Indicaremos por xo = arc cos a. Se tomarmos todos os valores reais para os quais cos x = a, a notação arc cos a indica apenas os valores encontrados no intervalo [0; π]. Por exemplo, na equação cos x = - 1 , temos como resposta os arcos 2π , 4π , - 4π , 2 3 3 3 2π 8π . Todavia, apenas 3 pertence ao primeiro ou segundo quadrante, assim: 3 arc cos − 1  = 2 π .

 2

arc cos a = x com -1 ≤ a ≤ 1 equivale a cos x = a com 0 ≤ x ≤ π. Podemos escrever que o conjunto solução da equação cos x = a, onde -1 ≤ a ≤ 1 no conjunto universo U = [0; 2π] é S = { arc cos a; 2π - arc cos a}.

5.2 Equações do tipo sen x = a Dado um número real a, precisamos determinar os valores de x que irão satisfazer a equação sen x = a. É preciso definir que a pertence ao intervalo [-1; 1].

100 •

capítulo 5

EXEMPLO Resolver em R a equação sen x = 1.

Y 1 X’

X –1 Y’

Sabemos que sen x = 1 quando x = π ou para qualquer um dos seus côngruos. Assim, se 2 o conjunto Universo for definido como U = R teremos como resposta S = { π + 2kπ, k ∈Z}. 2 Se U = [0; 2π], temos S = { π }. 2 Se tomarmos a pertencente ao intervalo [-1; 1], supondo uma solução x = α, temos que as soluções da equação serão todos os côngruos de α. Assim: Sen x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = (π - α) + 2kπ, k ∈ Z Resolver a equação sen 4x = 1 . 2 Solução: Fazendo 4x = t e calculando t. Sen 4x = 1 ⇔ sen t = 1 ⇔ t = π + 2kπ ou t = 5π + 2kπ 2 2 6 6 Substituindo t e calculando x: 4x = π + 2kπ ⇔ x = π + kπ 6 24 2 4x = 5π + 2kπ ⇔ x = 5π + kπ 6 24 2 S = { π + kπ ou 5π + kπ , k ∈ Z} 2 24 2 24

capítulo 5

• 101

COMENTÁRIO Análogo ao estudo do cosseno, vamos considerar a equação sen x = a nos intervalo -1 ≤ a ≤ 1.

P a

Conforme a figura, temos os pontos P e Q, onde P pertence ao primeiro ou quarto quadrante. Você pode observar que o arco obtido pertence ao intervalo - π ≤ xo ≤ π . Chama 2 2 remos ao número xo de arco seno a, ou simplesmente xo = arc sen a. De todos os números reais x para os quais sen x = a, arc sen a indica apenas os valores contidos no intervalo [ - π 2 ; π ]. 2 Se tomarmos sen x = 1 , temos como soluções x = π x = 5π ; x = 7π , etc. 2 6 6 6 Todavia , apenas xo = π está definida no intervalo . Logo arc sen 1 = π . 6 2 6 Se arc sen a = x com -1 ≤ a ≤ 1, então sen x = a com - π ≤ xo ≤ π . 2 2

5.3 Equações do tipo tg x = a As equações trigonométricas na forma tg x = a possuem solução para todo valor a pertencente ao conjunto dos números Reais. Supondo x = α como solução da equação, então todos os côngruos a alfa são solução da equação. Além disso, temos também que todos os congruentes a α + π também são solução para a equação.

102 •

capítulo 5

a 0

α+π

tg x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = (α + π) + 2kπ = α + (2k + 1)π

EXEMPLO Resolver a equação tg x = 1. Solução: Uma solução é x = π , pois tg π = 1. Assim: tg x = 1 ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z. 4 4 4

COMENTÁRIO Seja a equação tg x = a. Observe na figura os pontos P e Q, onde apenas P está situado no primeiro ou no quarto quadrante. T

P x0 a

x0 Q

A medida do arco xo está no intervalo aberto -

a T

π π < xo < . Chamaremos a este número de 2 2

arco tangente a e representamos por xo = arc tg a.

capítulo 5

• 103

A notação arc tg a indica apenas o número real x que se encontra no intervalo aberto - π < xo < π . 2 2 Tomemos a equação tg x = -1. As soluções possíveis para x são 3π , - π , 7π , etc. Porém, 4 4 4 apenas - π se encontra no intervalo - π < xo < π . Assim, arc tg (-1) = - π 4 2 2 4 Se arc tg a = x então tg x = a com - π < xo < π 2 2

ATIVIDADES 01. Resolva a equação sen x = - 1, sendo U = [0. 2π]. 02. Resolva a equação sen2x =

1 . 4

03. Determine os valores de x que satisfazem a equação 4 sen4 x - 11 sen2 x + 6 = 0. 04. Resolva a equação 2 cos2 x = 1 – sen x. 05. Determine os valores de x que satisfazem a equação cos x = -

1 . 2

06. Determine os valores de x que satisfazem a equação cos 2x = cos x. 07. Resolva a equação cos2x + cos x = 0 , no conjunto dos números Reais. 08. Resolva a equação 4 cos2x = 3, no conjunto dos números Reais. 09. Resolva a equação cos (x- π ) = 1, no conjunto dos números Reais. 4 10. Determine o valor de x na equação tg x = 1. 11. Resolva a equação tg x + 1 = sec2 x. 12. Resolva a equação tg 3x = tg 2x.

104 •

capítulo 5

13. Resolva a equação cotg x = sen2x. 14. Resolva a equação sen x =

cos x

3 .

15. Determinar a tal que a = arc cos 16. Resolver a equação cos x =

3 . 2

1 no conjunto universo U = [0;2π]. 1+ m2

17. Resolver a equação sen x = - 2 . 5 18. Calcule sen (arc tg

2 ).

19. Resolver a equação tg x = tg 7π no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. 5 20. Determine os valores de x que satisfazem a equação 1 – 2 cos x = 0, sendo [0; 2π[.

RESUMO cos x = a ⇔ x = α + 2kπ e x = - α + 2kπ, k ∈ Z sen x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = (π - α) + 2kπ, k ∈ Z tg x = a ⇔ x = α + 2kπ ou x = (α + π) + 2kπ = α + (2k + 1)π arc cos a = x com -1 ≤ a ≤ 1 equivale a cos x = a com 0 ≤ x ≤ π. Se arc sen a = x com -1 ≤ a ≤ 1, então sen x = a com - π ≤ xo ≤ π 2 2 Se arc tg a = x então tg x = a com - π < xo < π 2 2

capítulo 5

• 105

JUNIOR, Frank Ayres; Trigonometria; Coleção Schaum; Ed. Ao livro Técnico; Rio de Janeiro, 1958. PAZ, Antonio; Trigonometria; Ed. Minerva Books, Ltd; Nova Iorque; 1963

106 •

capítulo 5

6 Funções Trigonométricas

6. Funções Trigonométricas As funções trigonométricas constituem tema importante no estudo da trigonometria, visto suas aplicações no dia a dia. Neste capítulo vamos tratar das funções trigonométricas de forma específica. Uma importante propriedade das funções trigonométricas é a sua periodicidade, o que faz com que sejam empregadas constantemente no estudo de fenômenos da natureza. Para um bom entendimento deste assunto, é necessário relembrar os conceitos básicos de função. Em outras palavras, você deve se perguntar: o que é uma função? Por definição, sabemos que, dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função de A em B, é a correspondência que associa a cada elemento de A um único elemento de B.

OBJETIVOS • Definir funções periódicas; • Conceituar as funções trigonométricas; • Construir gráficos das funções periódicas; • Aplicar as funções periódicas em modelos matemáticos no dia a dia.

6.1 Correspondência entre um numero real e um ponto da circunferência trigonométrica. Seja a circunferência trigonométrica. P x

M O

108 •

capítulo 6

Sabemos que para todo arco orientado MP terá uma medida algébrica x radianos. Em outras palavras, um arco de medida x, determina um único ponto P na circunferência trigonométrica.

6.2 Definição de função periódica e função limitada Para darmos continuidade ao nosso estudo, é preciso lembrarmos alguns conceitos importantes.

CONCEITO Uma função f, de domínio Real, é dita periódica se existe um real p, p≠0, tal que f(x +p) = f(x), para todo x pertencente ao esse domínio Real. O menor valor positivo de p que satisfaz a condição acima é denominado período da função. Uma função f, de domínio Real, é dita limitada se existe um valor real M positivo, tal que –M ≤ f(x) ≤ M, para todo x pertencente ao domínio.

6.3 Função seno

CONCEITO Chamaremos de função seno à função que a cada número real x associa f(x) = sen x. O Domínio da função seno é o conjunto dos números Reais. A imagem da função seno é dada pelo intervalo fechado [-1, 1]. A função seno é periódica e seu período é 2π. A função seno é uma função limitada. Quanto a monotonicidade, a função seno é crescente no primeiro quadrante e quarto quadrante, sendo decrescente no segundo quadrante e terceiro quadrante. 0

π 2

3π 2

2π

1 0

0 –1

capítulo 6

• 109

6.3.1 Tabela de valores do seno Na tabela a seguir, estão registrados os valores do seno dos arcos notáveis do circulo trigonométrico: ARCO

SENO

ARCO

SENO

7π 6

1 -2

π 6

1 2

5π 4

π 4

2 2

4π 3

2 2 3 2 -

π 3

3 2

3π 2

π 2

5π 3

2π 3

3 2

7π 4

3π 4

2 2

11π 6

2 2 1 2 -

5π 6

1 2

2π

-1

π 2

3π 4

2π 3

π 3

1 3 2

π 4

2 2 1 2

5π 6

π 6

2π –1 2

7π 6

11π 6

2 2 3 – 2 –1 –

5π 4

4π 3

5π 3 3π 2

110 •

capítulo 6

7π 4

3 2

6.3.2 Gráfico da função seno Utilizando os pares (x,y) da tabela, onde f(x) = sen x, e observando na circunferência os valores do seno, é possível construir o gráfico da função seno no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. y

1 2 2

2 – 2 1

3π 2 π 6

π 4

π 3

π 2

3π 4

2π x

2π

6.4 Função cosseno

CONCEITO Chamaremos de função cosseno à função que a cada número real x associa f(x) = cos x. O Domínio da função cosseno é o conjunto dos números Reais. A imagem da função cosseno é dada pelo intervalo fechado [-1, 1]. A função cosseno é periódica e seu período é 2π. A função cosseno é uma função limitada. Quanto a monotonicidade, a função cosseno é decrescente no primeiro e segundo quadrantes e crescente no terceiro e quarto quadrantes. 0

π 2

3π 2

2π

1 0

0 –1

capítulo 6

• 111

6.4.1 Tabela de valores do cosseno Na tabela a seguir, estão registrados os valores do cosseno dos arcos notáveis do circulo trigonométrico: ARCO

COSSENO

ARCO

COSSENO

7π 6

3 2 -

π 6

3 2

5π 4

2 - 2

π 4

2 2

4π 3

1 - 2

π 3

1 2

3π 2

π 2

5π 3

1 2

2π 3

1 2 -

7π 4

2 2

3π 4

2 2

11π 6

3 2

2π

3 2

5π 6 p

-1

3π 4

2π 3

π 3

π 4

5π 6

π 6

– π

2 –1 2 2

3 2 1 2

3 – 2

2 2

7π 6

11π 6 5π 4

112 •

capítulo 6

0 1 2π

4π 3

5π 3

7π 4

6.4.2 Gráfico da função cosseno Utilizando os pares (x,y) da tabela, onde f(x) = cos x, e observando na circunferência os valores do seno, é possível construir o gráfico da função cosseno no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. y 1

0 0

π 6

π 4

π 3

π 2

3π 2

2π

–1

6.5 Função tangente Como já estudamos, a tangente é a razão entre seno e cosseno. Para um arco π , 2 onde seno vale 1 e cosseno vale 0, teremos uma indeterminação, ou seja tg π = 1 . Neste e em outros casos a tangente não é definida. Na figura a seguir 2 0 temos a representação da tangente: y

π 2

Q P

0 P’ A 2π

3π 2

capítulo 6

• 113

Seja P a imagem do valor real x tal que x ≠ π + kπ. A reta que passa pelo 2 ponto o e pelo ponto P toca o eixo das tangentes em Q, definindo um segmento AQ . A medida algébrica deste segmento é a tangente de x.

CONCEITO Denominamos como função tangente a função que associa cada real x, onde x ≠ π + k ∈x, 2 o valor real AT = tg x, ou seja, f(x) = tg x. O Domínio da função tangente é dado por {x ∈R | x ≠ π + kπ, k ∈ Z} 2 A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais. A função tangente é periódica e seu período é π. Não existe valor máximo e valor mínimo na função tangente. A função tangente é crescente nos quatro quadrantes. π 2

0 0

3π 2

2π

6.5.1 Tabela de valores da tangente Na tabela a seguir, estão registrados os valores da tangente dos arcos notáveis do círculo trigonométrico:

114 •

ARCO

TANGENTE

ARCO

TANGENTE

7π 6

3 3

π 6

3 3

5π 4

π 4

4π 3

capítulo 6

ARCO

TANGENTE

ARCO

TANGENTE

π 3

3π 2

∃

π 2

∃

5π 3

- 3

7π 4

-1

11π 6

3 3 -

2π

2π 3

3π 4

3 -1

5π 6

3 3 0

3π 4

2π 3

π 3

π 4 π 6

5π 6

2π

7π 6 5π 4

4π 3

11π 6 7π 4 5π 3

3 3

–

3 3

–1 – 3

6.5.2 Gráfico da função tangente Utilizando os pares (x,y) da tabela, onde f(x) = tg x, e observando na circunferência os valores da tangente, é possível construir o gráfico da função tangente no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.

capítulo 6

• 115

π 2

3π 2

2π

Você pode observar no gráfico que, quando x se aproxima de π , a tangente 2 fica cada vez maior, tendendo para infinito positivo. Quando x se aproxima de π no segundo quadrante, a tangente se aproxima do infinito negativo. 2

6.6 Função secante Já estudamos que, a todo número real x está associado um único número real cos x, ou seja f(x) = cos x. Assim, podemos definir que quando cos x diferente de zero, ou seja, x ≠ π + kπ, existe, sendo único, o inverso 1 = sec x. 2 cos x

CONCEITO Definimos função secante como uma função de R – { π + kπ, k ∈ Z} em R, dada por 2 f(x) = sec x = 1 . cos x O Domínio da função secante é dado por { x ∈ R | x ≠ π + kπ, k ∈ Z}. 2 A Imagem da função secante é dada por { y ∈ R | y ≤ -1 ou y 1}. O período da função é 2π. A função secante é crescente nos dois primeiros quadrantes e decrescente no terceiro e quarto quadrantes.

116 •

capítulo 6

π 2

3π 2

–1

2π

6.6.1 Tabela de valores da secante ARCO

SECANTE

ARCO

SECANTE

7π 6

2 3 - 3

π 6

2 3 3

5π 4

- 2

π 4

4π 3

-2

π 3

3π 2

∃

π 2

∃

5π 3

2π 3

-2

7π 4

3π 4

- 2

11π 6

2 3 3

5π 6

2 3 - 3

2π

-1

capítulo 6

• 117

2π 3

3π 4

π 3

π 4

5π 6

–2

– 2

–

2 3 3

π 6

2π

7π 6

2 3 3

11π 6 5π 4

4π 3

5π 3

7π 4

3π 2

6.6.2 Gráfico da função secante

2 1

π 4 –1 –

118 •

capítulo 6

π 2

3π 4

5π 4

3π 2

7π 4

2π

Note que, quando x se aproxima de π ou de 3π , o cosseno de x se aproxima 2 2 de zero, assim o valor absoluto da sec x tende ao infinito.

6.7 Função cossecante Já estudamos que, a todo número real x está associado um único número real sen x, ou seja f(x) = sen x. Assim, podemos definir que quando sen x ≠ 0, ou seja, x ≠ kπ, existe, sendo único, o inverso 1 = cossec x. sen x

CONCEITO Definimos função cossecante como uma função de R – {kπ, k ∈ Z} em R, dada por f(x) = cossec x = 1 . cos x O Domínio da função cossecante é dado por { x ≠ R | x ≠ kπ, k ∈ Z}. A Imagem da função cossecante é dada por { y ≠ R | y ≤ -1 ou y ≠ 1}. O período da função é 2π. A função cossecante é crescente no segundo quadrante e terceiro quadrante, sendo decrescente no primeiro quadrante e quarto quadrante. 0

π 2

3π 2

2π

–1

capítulo 6

• 119

6.7.1 Tabela de valores da cossecante

120 •

ARCO

COSSECANTE

ARCO

COSSECANTE

∃

7π 6

π 6

5π 4

- 2

π 4

4π 3

2 3 - 3

π 3

2 3 3

3π 2

-1

π 2

5π 3

2 3 - 3

2π 3

2 3 3

7π 4

- 2

3π 4

11π 6

-2

5π 6

2π

∃

capítulo 6

2π 3

3π 4

π 2

π 3

π 4

5π 6

π 6

2π

7π 6

11π 6 5π 4

4π 3

–1

3π 2

7π 4

5π 3

– 2

–2

6.7.2 Gráfico da função cossecante y

2 1 5π 4 π 4

π 2

3π 4

3π 2

7π 4 2π

–1 –

capítulo 6

• 121

6.8 Função Cotangente

CONCEITO Denominamos função cotangente à função que a cada valor real x, sendo x ≠ kπ, define o número f(x) = cotg x. O domínio da função cotangente é dado por { x ∈ R | x ≠ kπ, k ∈ Z}. A imagem da função cotangente é o conjunto dos números Reais. O período da função é π. A função cotangente é decrescente nos quatro quadrantes. π 2

3π 2

2π

6.8.1 Tabela de valores da cotangente

ARCO

122 •

COTANGENTE

ARCO

COTANGENTE

∃

7π 6

π 6

5π 4

π 4

4π 3

3 3

π 3

3 3

3π 2

π 2

5π 3

3 3 -

2π 3

3 3 -

7π 4

-1

capítulo 6

ARCO

COTANGENTE

ARCO

COTANGENTE

3π 4

-1

11π 6

- 3

5π 6

- 3

2π

∃

6.8.2 Gráfico da função cotangente A função cotangente não é limitada, a seguir o gráfico de um ciclo de variação da cotangente. y

π 2

1 –1

π 3π 4

π 4

π 2

3π 2

2π x

capítulo 6

• 123

6.9 Paridade das funções trigonométricas A respeito do sinal das funções, é importante levantar o estudo das funções pares e das funções ímpares.

CONCEITO Dada uma função f de Domínio D, tal que , se x  D, então –x  D. Se para todo x pertencente a D se tem f(-x) = f(x), a função f é dita PAR. Se para todo x pertencente a D se tem f(-x) = -f(x), a função d é chamada ÍMPAR.

Você já viu que: sen (-x) = -sen x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x sec (-x) = sec x cossec (-x) = - cossec x Podemos conceituar que:

CONCEITO Seja x um número real pertencente ao Domínio das funções trigonométricas. Podemos definir que f(x) = cos x e f(x) = sec x são tais que f(-x) = f(x), isto é cos x e sec x são funções PARES. As demais funções, ou seja, f(x) = tg x, f(x) = cotg x, f(x) = sen x e f(x) = cossec (x) são funções ÍMPARES.

ATIVIDADES 01. Determine o conjunto imagem da função f(x) = 2 sen x. 02. Mostre que a função definida por f(x) = x . sen x é par.

124 •

capítulo 6

03. Determine o domínio da função f(x) = tg 2x. 04. Para que valores de m existe x tal que sen x = 2m - 5? 05. Esboce o gráfico da função y = sen x + cos x. 06. Determine para que valores de m a equação sen x = 2m – 9 tem solução. 07. Dada a função y = 1 + sen (2x - π ), definido para todo real x. Obtenha os valores de 2 x no intervalo [0,1], , tais que y = 1. 08. Esboce o gráfico da função f(x) = 1 + 2 sen x. 09.

Em uma indústria a produção em determinado setor é dado pela função P(t) = 10 – 15 cos( tπ ), onde t é a hora do dia, com 0 < t ≤ 24 e P a produção na indústria 12 em milhares de unidades na hora t. Qual a produção na quarta hora de trabalho? 10. Qual o valor máximo da função y = 5 + 5 cos 20x. 11. (ITA-SP) Determinar os valores de a, 0 < a < , e a ≠ π para os quais a função f: R →R 2 dada por f(x) = 4x2 – 4x – tg2a assume seu valor mínimo igual a -4. 12. Qual o número de soluções da equação cos2x + sen x -1 = 0, sendo x um arco pertencente ao intervalo [0, 2π]? 13. Determine o valor de y na expressão y = cotg 30º + cotg π/2 + cotg 330º. 14. (ITA - 96) Seja α  [0, π ], tal que sen α + cos α = m . 2 Então, o valor de

sen 2α é: α + cos3 α

sen3

2(m2 - 1) / m(4 - m2)

2(m2 + 1) / m(4 + m2)

capítulo 6

• 125

2(m2 - 1) / m(3 - m2)

2(m2 - 1) / m(3 + m2)

2(m2 + 1) / (3 - m2)

15. Quais valores k pode assumir para tornar possível a igualdade sen x = 2k – 5?

π  16. (FEI-SP) A expressão f ( t ) = 2 − 2 cos  t  , 0 ≤ t ≤ 12 6  Representa a variação da profundidade do trabalho de uma ferramenta de corte em relação ao tempo de operação. Em que instante essa profundidade é máxima? a)

t=9

t = 12

t=6

t=3

t=2

17. (F. OSWALDO CRUZ – SP) Sendo α um ângulo agudo e tg α = 2, como se pode calcular sen α e cos α ? 18. Represente graficamente a função y = sen 2x. 19. (FATEC – SP Adaptada) Em que condições a equação 5sec x = m admite solução real? 20. Determine os valores de m para os quais é possível a igualdade sec x = 3m – 2. 21. (Cefet-PR) Se f(x)= √3 . cossec (2x) + cos (8x) , f( π ) é igual a: 6 a) 3 2 b)

c) d)

1 5 2

22. Qual é o periodo e o conjunto imagem da função f(x) = cos4x – sen4x? 23. Determine o domínio da função f(x) = (tg x + π ). 3

126 •

capítulo 6

24. Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em °C) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois (t = 72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = 15 + 5 sen ( π t + 3π ), onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início 12 2 da observação e H(t) a temperatura (em ºC) no instante t. a) Resolva a equação sen ( π t + 3π ) = 1, para t ∈ [0, 24]. 12 2 b)

Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação.

RESUMO Um arco de medida x, determina um único ponto P na circunferência trigonométrica. Uma função f, de domínio Real, é dita periódica se existe um real p, p≠0, tal que f(x +p) = f(x),  se para todo x pertencente ao esse domínio Real. O menor valor positivo de p que satisfaz a condição acima é denominado período da função. Uma função f, de domínio Real, é dita limitada se existe um valor real M positivo, tal que –M ≤ f(x) ≤ M, para todo x pertencente ao domínio. Função seno Chamaremos de função seno à função que a cada número real x associa f(x) = sen x. O Domínio da função seno é o conjunto dos números Reais. A imagem da função seno é dada pelo intervalo fechado [-1, 1]. A função seno é periódica e seu período é 2. A função seno é limitada e ímpar. Quanto a monotonicidade, a função seno é crescente no primeiro quadrante e quarto quadrante, sendo decrescente no segundo quadrante e terceiro quadrante. Função cosseno Chamaremos de função cosseno à função que a cada número real x associa f(x) = cos x. O Domínio da função cosseno é o conjunto dos números Reais. A imagem da função cosseno é dada pelo intervalo fechado [-1, 1]. A função cosseno é periódica e seu período é 2. A função cosseno é uma função limitada.

capítulo 6

• 127

Quanto a monotonicidade, a função cosseno é decrescente no primeiro e segundo quadrantes e crescente no terceiro e quarto quadrantes. Função tangente Denominamos como função tangente a função que associa cada real x, onde x ≠ π + kx, 2 o valor real AT = tg x, ou seja, f(x) = tg x. O Domínio da função tangente é dado por {xR | x ≠ π + k, k ∈ Z}. 2 A imagem da função tangente é o conjunto dos números reais. A função tangente é periódica e seu período é π. Não existe valor máximo e valor mínimo na função tangente. A função tangente é crescente nos quatro quadrantes. Função secante Definimos função secante como uma função de R – { sec x =

1 . cos x

O Domínio da função secante é dado por { x  R | x ≠

π + k, k ∈ Z} em R, dada por f(x) = 2 π + k, k ∈ Z}. 2

A Imagem da função secante é dada por { y  R | y ≤ -1 ou y ≥ 1}. O período da função é 2π. A função secante é crescente nos dois primeiros quadrantes e decrescente no terceiro e quarto quadrantes. Função cossecante Definimos função cossecante como uma função de R – {k, k ∈ Z} em R, dada por f(x) = cossec x =

1 . cos x

O Domínio da função cossecante é dado por { x  R | x ≠ k, k ∈ Z}. A Imagem da função cossecante é dada por { y  R | y ≤ -1 ou y ≥ 1}. O período da função é 2π. A função cossecante é crescente no segundo quadrante e terceiro quadrante, sendo decrescente no primeiro quadrante e quarto quadrante.

128 •

capítulo 6

Função cotangente Denominamos função cotangente à função que a cada valor real x, sendo x ≠ k, define o número f(x) = cotg x. O domínio da função cotangente é dado por { x  R | x ≠ k, k ∈ Z}. A imagem da função cotangente é o conjunto dos números Reais. O período da função é π. A função cotangente é decrescente nos quatro quadrantes. Paridade das funções Dada uma função f de Domínio D, tal que , se x  D, então –x  D. Se para todo x pertencente a D se tem f(-x) = f(x), a função f é dita PAR. Se para todo x pertencente a D se tem f(-x) = -f(x), a função d é chamada ÍMPAR. f(x) = cos x e f(x) = sec x são funções PARES. f(x) = tg x, f(x) = cotg x, f(x) = sen x e f(x) = cossec (x) são funções ÍMPARES. Tabela de valores para arcos notáveis

ARCO

SENO

COSSENO

TANGENTE

SECANTE

∄∃

π 6

1 2

3 2

3 3

2 3 3

π 4

2 2

π 3

3 2

1 2

2 3 3

3 3

π 2

∄∃

2π 3

3 2

-2

2 3 3

3π 4

2 2

5π 6

1 2

3 2

p

1 2

-1

3 -1

3 3 0

COSSECANTE COTANGENTE

3 3

- 2

-1

2 3 3

- 3

∄∃

∃∄

capítulo 6

• 129

-1

ARCO

SENO

COSSENO

TANGENTE

SECANTE

1 2

3 2 -

3 3

2 3 - 3

- 2

7π 6

5π 4

2 2

- 2

4π 3

3 2

1 2

-2

∄∃

1 2

- 3

-1

3π 2

-1

5π 3

3 2

7π 4

2 2

1 2

3 2

11π 6

2π

3 3

COSSECANTE COTANGENTE

3 3

2 3 3 -1

2 3 3

3 3

- 2

-1

2 3 3

-2

- 3

∃∄

∄∃

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, A. C; WAGNER, Eduardo. Trigonometria: números complexos. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005. IEZZI, Gelson; Fundamentos da Matemática Elementar, 3: Trigonometria; 8. Ed. Editora Atual; São Paulo; 2004. JUNIOR, Frank Ayres; Trigonometria; Coleção Schaum; Ed. Ao livro Técnico; Rio de Janeiro, 1958. PAZ, Antonio; Trigonometria; Ed. Minerva Books, Ltd; Nova Iorque; 1963

GABARITO Capítulo 1 01. 20º 02. Não haverá colisão 03. 36,42 m 04. 8 km

130 •

capítulo 6

05. 12 + 10 3 15 06. 26 m 07. a)

3 − 3 2

-1

Capítulo 2 01. a)

3π 2

5π 4

π/4

π/2

π/6

72º

270º

22,5º = 22º 30´

30º

220º

1º Quadrante

3º Quadrante

4º Quadrante

Sobre o eixo, entre o terceiro e quarto quadrante

4º Quadrante

2º Quadrante

1º Quadrante

4º Quadrante

02.

03.

04.

capítulo 6

• 131

4º Quadrante

3º Quadrante

45º + 360º . k, k ∈ Z

60º + 360º . k, k ∈ Z

c) d)

90º + 360º . k, k ∈ Z 3π + 2kπ, k ∈ Z 2

π + 2kπ, k ∈ Z 18

05.

06. 40º localizado no 1º Quadrante 40º + 360º k, k ∈ Z 07. a)

360: 5 = 72º

72º + 360º . k, k ∈ Z 08. 52º 30´ 09. 190º 10. 8,37 cm

Capítulo 3 01. a)

2π = 2 ⋅180 360 ≅ 51º ⇔ primeiro quadrante é positivo = 7 7 7

7π = 7 ⋅180 1.260 = 252 ⇔ terceiro quadrante é negativo = 5 5 5

3π = 3 ⋅180 = 270 ⇔ sobre o eixo vertical, abaixo do eixo horizontal, é negativo 2 2

π = 180 = 36º ⇔ primeiro quadrante é positivo 5 5

02. a) b) 03.

- 1 – 3 . 1 = -1 – 3 1 -0+2. 3 ⇔ 1+ 2 2 2

π 180 ≅ 25,7 primeiro quadrante, cosseno positivo = 7 7

7π = 7 ⋅180 1.260 = 252 ⇔ terceiro quadrante, cosseno negativo = 5 5 5

132 •

capítulo 6

3π = 3 ⋅180 = 270 ⇔ sobre o eixo vertical, abaixo do eixo horizontal, é nulo 2 2

2π 2 ⋅180 360 = 72º primeiro quadrante, cosseno positivo = = 5 5 5

0–3.0=0

1 - 3. (-1) + 2. 3 = 1 + 3 + 2 2 2

-1 – 0 +

04.

05.

3 = 7 + 2

3 = -1 + 3 2 2

π 180 ≅ 25,7 primeiro quadrante, tangente positivo = 7 7

7π = 7 ⋅180 1.260 = 252 ⇔ terceiro quadrante, tangente negativa = 5 5 5

3π = 3 ⋅180 = 270 ⇔ sobre o eixo vertical, tangente não é definida 2 2

2π 2 ⋅180 360 = 72º primeiro quadrante, tangente positiva = = 5 5 5

06. a) b)

0–3.0=0 1 1 - 3 . 0 + 2. 3 ⇔ +2 3 2 2 3 3

-1 – (-1) -

6π 6 ⋅180 1.080 ≅ 154º segundo quadrante, cotangente negativa = = 7 7 7

9π 9 ⋅180 1.620 = 324º quarto quadrante, cotangente negativa = = 5 5 5

π = 180 = 30º primeiro quadrante, cotangente positiva 6 6

2π 2 ⋅180 360 = 40º primeiro quadrante, cotangente positiva = = 9 9 9

3 ⇔ -1 + 1 -

3 =-

07.

08. a) b)

0 – 3 . 1 ⇔ -3 3 -3.1+2. 3

3 ⇔

3 - 3 + 2 3 ⇔ -3 + 7 3 3 3

09. 260º está no terceiro quadrante, onde a secante é negativa. 160º está no segundo quadrante, onde o seno é positivo.

capítulo 6

• 133

- sec – sen, assim teremos um valor final negativo. 10. a) b) 11. a)

-1 – 3 . (-1) ⇔ -1 + 3 ⇔ 2 3 -3. 2 ⇔ 3 - 3 2 3 3

cossec 340º - quarto quadrante – sinal negativo cossec 4π - terceiro quadrante – sinal negativo 3

cossec 120º - segundo quadrante – sinal positivo

a) b)

-1 - 3 3 -3. 3

sen 120º é segundo quadrante, então é positivo. cossec 60º é primeiro quadrante,

12. 2 Como a parcela maior é negativa, permanece sinal negativo.

sinal positivo. A soma de dois positivos é positiva. 13. cos x = 0,8 = 8 = 4 . Como sec x = 1 , temos que sec x = 5 10 5 4 cos x Aplicando o teorema fundamental da trigonometria: 2 sen2x + cos2 x = 1 ⇔ sen2x +  4  = 1 ⇔ sen2 x = 1 - 16 ⇔ sen x = 25 5

9 25

como o sinal do seno no primeiro quadrante é positivo, temos que sen x = 3 5 3 tg x = sen x = 5 = 3 4 4 cos x 5 4 cos x cotg x = = 5 = 4 3 3 sen x 5 sec x =

1 = 1 = 5 4 4 cos x 5

cossec x =

1 = 1 = 5 3 sen x 3 5

14. cos x =

134 •

1 1 ⇔ sec x 3

capítulo 6

2 sen2x + cos2 x = 1 ⇔ sen2x +  1  = 1 ⇔ sen2 x = 1 - 1 ⇔ sen x = 8 = 8 3 9 9 3 8 tg x = sen x = 3 = 8 1 cos x 3 2 y = cos2x + 3 tg2 x ⇔  1  + 3. ( 8 )2 ⇔ 1 + 3 . 8 ⇔ 1 + 24 ⇔ 217/9 9 3 9

15. Pelo teorema fundamental da trigonometria: (2m+1)2 + (4m +1)2 = 1 (4m2 + 4m +1) + (16m2 + 8m +1) = 1

16.

20m2 + 12m + 1 = 0 ⇔ m = −12 ± 144 − 80 ⇔ −12 ± 8 40 40 m = - 1 ou m = - 1 . 2 10 a)

cossec 2π = cossec 2 ⋅180 = cossec 360 ≅ cossec 51º Já está no primei7 7 7 ro quadrante.

sen 240º ⇔ - sen (x - π ) = - sen (240º - 180º ) = - sen 60º

cotg 320º ⇔ - cotg (2π - x) = - cotg (360º - 320º ) = - cotg 40º

cos 120º ⇔ - cos (π - x) = - cos (180º - 120º) = - cos 60º

cos 240º = - cos 60º = - 1 2

17.

sen 210º = - sen 30º = - 1 2 cotg 225º = cotg 45º = 1 1 1 1 - – (- ) + 1 = - 1 + +1=1 2 2 2 2 b)

cossec 135º = cossec (π - x) = cossec (180º - 135º ) = cossec 45º =

cotg 135º = - cotg (π - x) = - cotg (180º - 135º ) = - cotg 45º = - 1 cos 135º = - cos (π - x) = - cos (180º - 135º ) = - cos 45º = - 2 2 sen 135º = sen (π - x) = sen (180º - 135º) = sen 45º =

2 2

capítulo 6

• 135

2 + (-1) + (⇔ -1

2 )- 2 ⇔ 2 2

2 - 1-

2 - 2 ⇔ 2 2

2 - 1- 2 2 ⇔ 2

Capítulo 4 01. 02. cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y cos (45° + 60°) = cos 45° . cos 60° – sen 45° . sen 60° 1 cos (105°) = 2 . - 2 . 3 2 2 2 2 cos (105°) =

2 6 − 4 4

A partir do seno da soma de dois arcos, temos: sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x sen (45° + 60°) = sen 45° . cos 60° + sen 60° . cos 45° sen (105°) = 2 . 1 - 3 . 2 2 2 2 2 sen (105°) =

2 6 + 4 4

Vamos agora encontrar o valor de A: A = sen 105° + cos 105° A= 2+ 6 + 2− 6 4 4 4 4 A= 2 2

2 2

03. A = cos2x – 2cos xcos y + cos2y + sen2x + 2sen x cos y + sen2y A = (cos2x+ sen2x ) + (sen2y + cos2y) – 2(cos x . cos y – sen x . sen y) A = 1 + 1 – 2 . cos (x + y) A = 2 – 2 cos 90o A = 2 – 2.0 ⇔ A = 2 π 04. cos π = cos ( π + ) 6 12 4 = cos π cos π - sen π sen π 4 6 4 6 =

2 . 3 - 2 . 1 ⇔ 6 2 = − 2 2 2 2 4 4

136 •

capítulo 6

6− 2 4

2 –1-

05. Cos (a + b) . cos b + sen (a + b) . sen b = (cos a . cos b – sen a . sen b) . cos b + (sen a . cos b + sen b . cos a) . sen b = cos a . cos2b – sen a . sen b cos b + sen a . cos b . sen b + sen2b . cos a = cos a(cos2b + sen2b) = cos a . 1 = cos a 06. 07. tg (a+b) =

tg a + tg b 1− tg a ⋅ tg b

Sabendo que tg (x + y) = 33 e tg x = 3, temos: 33=

3tg y 1− 3 ⋅ tg y

33 – 99 . tg y = 3 + tg y 100 . tg y = 30 tg y= 30 100 tg y = 0,3 08. Como você aprendeu, cos 75o é complementar do sen 75o. E = cos215o – cos275o E = cos215o – sen215o. Você já viu que cos 2x = cos2x – sen2x E = cos 30o ⇔ E = 3 2 09. Como você já estudou, valem as relações: Sen (π-x) = sen x cos ( π - x) = sen x 2 cos (2π - x) = cos x

π  sen ( π − x ) − cos  − x  0 2  sen x − sen x = = =0 cos x cos x cos (2π − x ) 10. Como você aprendeu, cos 75o é complementar do sen 75o. E = sen15o – cos15o Sabemos que sen 2x = 2sen x . cos x o o o X = 2sen 15 cos15 = sen 30 = 1 . 1 = 1 2 2 4 2 2

capítulo 6

• 137

2 11. sen2 x = 1 – cos2x . sen2x = 1 – 12  13  sen x = 5 13

tg x = 13 = 5 13 12 13

tg 2x = 2tg x = 1− tg2 x

12. Como tg 2x =

5 12 = 120 119 52 1− 12 2⋅

2tg x temos que tg x = 2tg 2 2⋅3 = 2 x 1− 32 1− tg x 1− tg2 2

  13. sen2a = 1 – cos2a ⇔ sen2a = 1 -  5  ⇔ sen a = 12 13  13 2

 2  12  cos 2a = cos2a – sen2a =  5  - −  = - 119 13   13  169 o o  o  o 14. 2 sen  50 + 40  . cos  50 + 40  2 2    

2. sen 45o . cos 5o = 2 .

2 . cos 5o = 2

2 . cos 5o

 a-b   a+b   a-b  2sen   ⋅ cos   sen   90o  2   2   2  15. W = = = tg =tg 45o = 1  a+b   a-b   a-b  2 2cos   ⋅ cos    cos   2   2   2  16. cos 50o = sen 40o  50+ 40   50+ 40    .cos   2 sen45o .cos 5o 2 cos 5o cos 5o  2   2  X = 2sen = =2 . = 2. = 2 sen85o cos 5o sen85o 2 sen 85o

17. Como sabemos -1 ≤ sen x ≤ 1 e também, 0 ≤ sen2x ≤ 1 0 ≤ 2m – 1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2m ≤ 2 ⇔ 1 ≤ m ≤ 1 . Assim, { m ∈ R | 1 ≤ m ≤ 1} 2 2 18. Se tg α e tg β são raízes da equação x2 – 3(b + 2)x + b2 – 3 = 0, determine tg (α + β). Pelas relações de soma e produto das raízes, você pode observar que: tg α + tg β = 3 (b + 2) tg α . tg β = b2 – 3 3 b + 2) 3 (b + 2) 3 tg(α + β) = = tg α + tg β = ( = = 2 1− tg α ⋅ tg β 1− (b − 3) 4 − b2 2b

138 •

capítulo 6

19. A = sen 3x cos x-sen x cos 3x =

sen x .cos x

sen 3x-x sen 2x 2 senxcosx = = =2 sen x .co os x sen x .cos x sen x .cos x

20. cos 2a = 2cos2a – 1 ⇔ 2 . (0,6)2 -1 = -0,38 cos 4a = 2 cos22a – 1 = 2 . (-0,28)2 – 1 = - 0,84 o 21. sen 20o = 2 tg 10 = 2 . (0,18) = 0,35 2 2 2

1+tg 10

cos 20o =

1 + (0,18)

1 - tg210o (1-0,18)2 = 0,94 = 1+tg2102 1 + (0,18)2

1 22. = 1 [cos ( π + 5π ) + cos ( π − 5π )] = [cos π + cos (- π )] 2 2 2 3 12 12 12 12 1 1 = 1 (0 + cos π ) = . = 1 2 2 2 3 4 23. cos x .

sen x 1 =1 ⋅ cos x sen x

cos x ⋅ sen x ⋅1 = 1 1⋅ cos x ⋅ sen x 1=1

sen x sen x sen x sen x cos x cos x 24. = ⇔ = sen2 x sec x sen2 x + cos2 x sec x 1+ cos2 x cos2 x sen x sen x sen x cos x sen x = ⇔ ⋅ cos2 x = 1 sec x cos x sec x cos2 x sen x . cos x = sen x ⇔ sen x .

sec x

1 sen x = sec x sec x

25. Você já viu que 1- cos2x = sen2x

 cos2 x + sen2 sen2 x 

(sen2x) 

x  . (sen2x + cos2x) = 1  

2 2 sen2x . cos x + sen x . 1 = 1

sen2 x

sen2x .

2 1 . = 1 ⇔ sen x . 1 = 1 ⇔ 1.1=1 sen2 x sen2 x

26. Seja f(x) = sec2x - sen2x Seja g(x) = tg2x + cos2x

capítulo 6

• 139

Fazendo f(x) – g(x) = sec2x - sen2x – (tg2x + cos2x ) sec2x - sen2x – tg2x - cos2x = sec2x – tg2x – (sen2x + cos2x) = 1–1=0 27. sen2x + cos2 x = 1 (2m + 1)2 + m2 = 1 ⇔ 4m2 + 4m + 1 + m2 -1 = 0 5m2 + 4m = 0 , onde as raízes são m =0 ou m = - 4 5 28. cotg2x + 1 =

1 = cossec2x sen2 x sen2 x + + 1= = 2 cos x cos2 x cos2 x

29. Como sec x = 3, temos que sec2x = 1 + tg2x; Então: tg2x = sec2x – 1 ⇔ tg2x = 9 – 1 = 8 w = 3 + 2 . 8 ⇔ w = 19

Capítulo 5 01. O único arco cujo seno é -1, no intervalo [0. 2π] é 3π . Assim, S = { 3π } 2 2 02. sen x =

1 ,=> sen x = C 4

sen x = 1 , quando x = π ou x = π - π = 5π . 2 6 6 6 S = { π + 2kπ ou 5π + 2kπ, k ∈} 6 6 03. Fazendo sen2 x = y temos: 4y2 – 11y + 6 = 0. As raízes são 2 e 3/4 Como sen2 x = y, vem: sen x = x=

2 e sen x =

2 não é válido.

3 . Como o maior valor de seno é 1, sen 2

Assim, temos que x = π + 2kπ e x = 2π + 2kπ 3 3 04. Fazendo cos2 x = 1 – sen2x, temos 2(1 – sen2 x) = 1 – sen x -2sen2 x + sen x + 1 = 0. Fazendo sen x = y, temos -2y2 + y + 1 = 0. As raízes são y = - 1 e y = 1 2 sen x = - 1 ⇔ x = 4π ou 11π 2 3 6

140 •

capítulo 6

π 2 sen x = 1 ⇔ x = S = { 4π + 2kπ, 11π + 2kπ, π + 2kπ, k ∈ Z} 3 6 2 05. No primeiro quadrante, o arco cujo cosseno vale 1 é π . Os arcos correspondentes no 2 3 segundo e terceiro quadrantes são respectivamente 2π e 4π . 3 3 S = { 2π + 2kπ ou 4π + 2kπ, k ∈ Z} 3 3 06. 2x = x + 2kπ ou 2x = -x + 2kπ S = { x ∈ R | x = 2kπ ou x = 2kπ } 3 07. Fazendo cos x = y, temos y2 + y = 0 As raízes são y = 0 e y = -1 Se cos x = 0, então x = π ou x = 3π 2 2 Se cos x = -1, então x = π. S = { π + 2kπ, 3π + 2kπ, π + 2kπ, k ∈ Z} 2 2 08. cos2x = 3/4 => cos x =

3 ou cos = - 3 2 2

S = { ± π + 2kπ ou ± 5π + 2kπ} 6 6 09. Neste caso, cos = 0 x - π = 2kπ 4 S = { π + 2kπ} 4 10. tg x = 1 quando x = π 4 S = { π + kπ} 4 11. 1 + tg x = 1 + tg2 x tg2x – tg x = 0 tg x (tg x – 1) = 0 tg =0 ou tg x = 1 S = {kπ ou π + kπ, k ∈ Z} 4

capítulo 6

• 141

12. 3x = 2x + kπ x = kπ, k ∈ Z 13.

1 2tg x ⇔ tg2x = 1 = tg x 1+ tg2 x tg x = ± 1 S = { π + kπ ou - π + kπ} 4 4

14. Como tg x = sen x , temos tg x =

cos x tg x =

3 para x = π . 3

S = { π + kπ} 3 15. a = arc cos

3 ⇔ cos a = 3 e 0 ≤ a ≤ π, assim a = π . 2 6 2

1 < 1, basta escrever: 1+ m2 1 ; 2π - arc cos 1 } S = {arc cos 1+ m2 1+ m2

16. como 0 <

17. Temos x = arc sen (- 2 ) + 2kπ e x = π - arc sen (- 2 ) + 2kπ 5 5 S = { arc sen (- 2 ) + 2kπ ou x = π - arc sen (- 2 ) + 2kπ, k∈ Z} 5 5 18. Seja arc tg 2 = a tg a = 2 e - π < xo < π 2 2 sen2 a = sen a =

2 2 tg2 a = = 2 1+ tg a 1+ 2 3 2 6 = 3 3

19. Temos como solução geral que tg x = tg 7π implica que x = 7π + kπ 5 5 No intervalo dado temos: K = 0 => x = 7π 5 K = 1 => x = 7π + π = 12π (Não pertence ao intervalo [0, 2π] 5 5

142 •

capítulo 6

2π 7 π K = -1 => x = -π= 5 5 K = 2 => x = 17π (Não pertence ao intervalo [0, 2π] 5 K = -2 => x = - 3π (Não pertence ao intervalo [0, 2π] 5 S = { 2π , 7π } 5 5 20. 1 – 2 cos x = 0 cos x = 1 2 x = π + 2kπ ou x = 5π + 2kπ. Observe que para k ≠ 0, os valores de x não perten3 3 cem ao intervalo dado. S = { π , 5π } 3 3

Capítulo 6 01. Para todo x real, sen x está entre -1 e 1. -1 ≤ 2 sen x ≤ 1 -2 ≤ f(x) ≤ 1. Im(f)={y  R Z -2 ≤ y ≤ 2} 02. Calculando f(-x) f(-x) = (-x) . sen (-x) = (-x) . (-sen x) f(-x) = x . sen x = f(x) como f(-x) = f(x), a função é par 03. Fazendo 2x = t, por definição, teremos tg t somente se t ≠ π + k. 2 2x ≠ π + k. => x ≠ π + kπ 2 4 2 D = { x ∈ R | x ≠ π + kπ , k ∈ Z} 4 2 04. -1 ≤ 2m – 5 ≤ 1 4 ≤ 2m ≤ 6 ⇔ 2 ≤ m ≤ 3

capítulo 6

• 143

05.

2 1 0 0 –1

π 2

3π 2

2π

–2

06. Condição é -1 ≤ sen x ≤ 1 -1 ≤ 2m - 9 ≤ 1 ⇔ 8 ≤ 2m ≤ 10 ⇔ 4 ≤ m ≤ 5 S = { m ∈ R | ⇔ 4 ≤ m ≤ 5} 07. 1 + sen (2x - π ) = 1 2 sen (2x - π ) = 0, sabemos que sen x = 0, quando os arcos medem 0 e . 2 2x - π = 0 ⇔ 2x = π => x = 1 2 4 2

08.

2x - π =  ⇔ 2x = 3π => x = 3 2 2 4

144 •

capítulo 6

ARCO

F(X)

π 2

3π 2

-1

2π

3 2 1 0 0 –1

09. P(6) = 10 -15 cos( P(6) = 10 -15 cos

π 2

3π 2

2π

4π ) 12

π 3

P(6) = 10 – 15 . 0,5 => P(6) = 2,5 milhares 10. Sabemos que o valor máximo ocorre quando cos 20x é máximo, ou seja, cos 20x = 1 Assim: y = 5 + 5 – 1 = 10, y = 10 11.

−∆ 4a

(

− 16 − 4 ⋅ 4 (− tg2 a ) 16

)

= -4

−16 − 16tg2 a = -4 então -1 – tg2 a = -4 16

– tg2 a = -3. Assim, tg2 a = 3, ou seja, tg a =  π 2π S={ , } 3 3

12. cos2x = 1 – sen2x 1 – sen2x + sen x -1 = 0 – sen2x + sen x = 0 ⇔ sen x( sen x – 1) = 0 então senx = 0 o u sen x = 1 π sen x = 0 implica que x = 0 ou x = 2 sen x = 1 implica que x =  ou x = 2 S = {0, π , , 2} 2

capítulo 6

• 145

13. Cotg 30o = 3 ; cotg π/2 = 0 ; cotg 330o = - 3 y = 3 + 0 - 3 , logo y = 0 14. Elevando ambos os membros da expressão ao quadrado temos: (sen α + cos α )2 = m2 => sen2 α + 2 . sen α . cos α + cos2 α = m2 Simplificando:1 + 2 . sen α . cos α = m2 α 1 + sen 2α = m2 sen 2 = m2 - 1 De forma análoga, elevamos ao cubo: Como (a + b)3 = a3 + b3 + 3(a +b) . ab. temos (sen α + cos α )3 = m3 . sen3 α + cos3 α + 3 (sen α + cos α ) (sen α . cos α ) = m3 x como sen α + cos α = m e sen α . cos α = sen 2 , temos: 2 2 sen3  + cos3  = m3 - 3 (m) . m − 1 2 Basta substituir na equação dada e teremos 2

m2 − 1 m (3 − m2 )

15. -1 ≤ sen x ≤ 1, então -1 ≤ 2k - 5 ≤ 1. Desenvolvendo temos 2 ≤ k ≤ 3 16. a função cosseno tem seus valores definidos entre -1 ≤ cos x ≤ 1. Como temos -2 cosseno, o menor valor do cosseno atribuirá o maior valor da função. Assim, temos que cosseno vale -1 quando o arco mede . πt = π, logo, t = 6 – C 6 17. Fazendo sen x

cos x

= 2, onde sen α = 2 cos α. Substituindo na relação fundamental

da trigonometria: 4 cos2 α + cos2 α = 1 1 cos2 α = . Existem duas possibilidades: 5 1. cos α = 1 e sen α = 2 5 5 2. cos α = - 1 e sen α = - 2 5 5

146 •

capítulo 6

18.

SEN 2X

π 4

π 2

3π 4

3π 2

-1

2π

1 0 0 –1

π 2

3π 2

2π

19. Como sec x ≤ -1 ou sec x  1, temos: 5sec x ≤ 5-1 ou 5sec x ≤ 51 Como 5sec x é sempre positiva, temos: 0 < m ≤ 1 ou m  5 5 20. A igualdade somente é possível se 3m – 2 ≤ -1 ou 3m – 2  1. Resolvendo as inequações: 3m – 2 ≤ -1 => m ≤ 1 3 3m – 2  1 => m  1. Assim, m ≤ 1 ou m  1 3 21. Substituindo π temos: f( π x)= 6 6 f( π )= 6

3 . cossec (2 π ) + cos ( 8 ) 6 6

3 . cossec ( π ) + cos ( 4π ) = 3 3

3 .((2 3 ) + (- 1 ) 2 3

f( π )= 2 - 1 . Logo f( π )= 3 - Letra A 2 6 2 6

capítulo 6

• 147

22. Fatorando a expressão temos: f(x) = (cos2x – sen2x)( cos2x + sen2x) f(x) = cos 2x . 1 f(x) = cos 2x Imagem é a imagem do cosseno, ou seja, [-1,1] Perídodo p = 2π =  2 23. Sabe-se que existe tg x, se e somente se x ≠ π + k, k  Z 2 x + π ≠ π + k => x ≠ π + k . Assim, D(f) = {xR| x ≠ π + k, k  Z} 3 2 6 6 24. Seja H(t) = 15 + 5 sen ( π t + 3π ), a função descrita no problema, então: 12 2 a)

sen ( π t + 3π ) = 1 ⇔ π t + 3π = π + 2k (k  Z) ⇔ t = –12 + 24 . k (k  Z) 12 2 12 2 2

Para t ∈ [0; 24], resulta t = 12.

A temperatura é máxima quando sen ( π t + 3π )=1, assim: 12 2 Hmáxima = 15 + 5 . 1 = 20 °C b)

Essa temperatura ocorreu (no 1° dia de observação) às 15 horas.

148 •

capítulo 6

ANOTAÇÕES

capítulo 6

• 149

ANOTAÇÕES

150 •

capítulo 6

ANOTAÇÕES

capítulo 6

• 151

ANOTAÇÕES

152 •

capítulo 6

Book trigonometria

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