Guia para examen bimestral de matemáticas

Entiéndele a esto, y tendrás una muy buena calificación en el examen :D

Primero antes de ver lo que nos enseño la maestra, debes de saber esto: • el plano cartesiano se divide en dos ejes: • los dos ejes se cortan en un punto llamado el de “x” o abscisa (eje horizontal) origen, que es igual a cero el de “y” u ordenada (eje vertical)

Origen o “0”

Recuerda: que el origen siempre valdrá cero

Recuerda: “x” horizontal, “y” vertical

• al momento de ubicar algún punto, en el plano cartesiano, se empieza por el eje de “x” (horizontal) y después por el de “y” (vertical), siempre como punto de inicio el origen; ejemplo tenemos las coordenadas (3,5), el 3 corresponde al eje de “x” y el 5 al eje de “y”. Igual sucede en los números negativos, por ejemplo, en las coordenadas (-4, -5), el -4 corresponde al eje “x”, obviamente empiezas desde el origen, y te vas hacia la izquierda (porque ahí están los números negativos), y el -5 corresponde al eje “y”, te vas hacia abajo (porque ahí están los números negativos): Eje y = 5

Eje x = -4

Eje x = 3

Eje y = -5 Coordenadas: (3,5)

Coordenadas: (-4,-5)

Ahora si, ya que le entendiste a lo esencial, ahora vamos con las graficas‌

1. Graficas de función lineal: Su gráfica es una línea recta.

• Tipo 1: y=mx (donde M es el numero de “x” que vale “y”), todas pasan por el origen.

Ejemplo: y=x, y=2x, y=3x, y=4x

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Tip: al momento de tener que localizar cual función corresponde a cada grafica, solo tienes que ver en la función lineal, cuantas “x”, equivale la “y” (ejemplo: y=2x), en este caso “y” vale 2 “x”, ahora, en el plano cartesiano localiza en el eje de las “x”, el numero 1, después para que sea “y=2x”, en el eje de “y” debe de coincidir el numero 2, con el 1 del eje de “x”:

Eje y=2 (1X2=2)

y=2x

Eje x=1

Porque empecé por el 1 en “x”, para que sea mas fácil, si “x” fuera 2, entonces es: el doble de 2 (porque “y” vale 2 “x”), para la coordenada de “y”, quedaría: 4.

• Tipo 2 <parte 1>: y=mx + n (donde M es el numero de “x” que vale “y”, y “N” el valor que se le suma a la función ) Ejemplo: y=x + 2, y=2x + 4, y=3x + 2, y=4x + 1

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Tip: al momento de tener que localizar cual función corresponde a cada grafica (ya sabiendo localizar las de tipo 1), solo tienes que ver en la función lineal cual es el valor del numero que se le suma (ejemplo: y= 3x + 2), en este caso se le suma 2 a la función lineal, ahora en el plano cartesiano, debes de localizar en el eje de “y” el numero 2 (ahí es donde va a empezar la grafica), obviamente si y=3x, entonces el numero 1 del eje de “x”, debe de coincidir con el 5 en el eje de las “y” (ya que se sumo 2 + 3): Eje y=5 (3 veces “x” = 3X1=3, mas 2 que se le suma a la función = 5)

Numero en donde se empieza la grafica = 2

y=3x + 2 Eje x= 1

• Tipo 2 <parte 2>: y=mx - n (donde M es el numero de “x” que vale “y”, y “n” el valor que se le resta a la función ) Ejemplo: y=x - 2, y=2x - 4, y=3x - 2, y=4x - 5

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Tip: esto es casi lo mismo que en la parte 1: al momento de tener que localizar cual función corresponde a cada grafica (ya sabiendo localizar las de tipo 1), solo tienes que ver en la función lineal cual es el valor del numero que se le resta (ejemplo: y= 3x - 2), en este caso se le resta 2 a la función lineal, ahora en el plano cartesiano, debes de localizar en el eje de “y” el numero -2 (ahí es donde va a empezar la grafica), obviamente si y=3x: entonces el numero 1 del eje de “x”, debe de coincidir con el 1 en el eje de las “y” (ya que se sumo -2 + 3 = 1):

y=3x - 2

Eje y=1 (3 veces “x” = 3X1=3, menos 2 que se le resta a la función = 1)

Numero que se le resta a la función = -2 Eje x= 1

Acabas de ver los tipos de funciones lineales que pueden venir en el examen, siguen las funciones cuadrรกticas (ahora si viene la bueno)

2. Graficas de función cuadrática: Su gráfica es una línea en forma de parábola.

• Tipo 1 <parte 1>: y=mx² (donde M es el numero de “x” al cuadrado que vale “y”), todas tienen en medio el eje de “y” y tocan el origen Ejemplo: y=x², y=2x², y=3x², y=4x²

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Tip: Como podrás observar: entre menor sea las veces que vale “y” a la “x²”, la parábola será mas “abierta”, toma como ejemplo “y=x²” (grafica roja), y “y=2x²” (grafica verde), la parábola roja esta mas “abierta” que la verde, porque se esta multiplicando por 1 la x² (función: y=x²), en la grafica verde se esta multiplicando por 2 la x² (función: y= 2x²).

Recuerda: entre mas cerrada este la parábola, mas valor tendrá el numero que se multiplique a la “x²” en la función.

continua en la siguiente pagina →→

Tip: al momento de tener que localizar cual función corresponde a cada grafica, tienes que hacer dos operaciones, primero tienes que elevar al cuadrado el valor que tome “x” en la función (ejemplo: (2)² = 2X2=4), después en la segunda operación ver cuantas “x²”, equivale la “y” (ejemplo: y=2x²), en este caso “y” vale 2 “x²”, ahora, en el plano cartesiano localiza en el eje de las “x”, el numero 1, después para que sea “y=2x²”, debes de elevar 1 al cuadrado, lo que seria igual a 1, después multiplicarlo por 2, lo que seria igual a 2, entonces si “x” es igual a 1, “y” tendría que ser 2, para que coincidieran.

Igual pasaría si “x” la sustituyéramos con 2, localizamos 2 en el eje de la “x”, después para que sea “y=2x²”, debes de elevar al cuadrado 2, lo que seria igual a 4, y después multiplicarlo por 2, lo que seria igual a 8, entonces si “x” es igual a 2, “y” tendría que ser 8 para que coincidieran.

Ya tienes dos coordenadas (1,2) y (2,8), para localizar la grafica que corresponde a la función: Eje y=8 (2 veces “x²” = 2X2=4, 4x2=8)

y=2x²

Eje y=2 (2 veces “x²” = 1X1=1, 1x2=2) Eje x= 1 Eje x= 1

• Tipo 1 <parte 2>: y=-mx² (donde M es el numero de “x” al cuadrado que vale “y”), todas tienen en medio el eje de “y” y tocan el origen Ejemplo: y=-x², y=-2x², y=-3x², y=-4x²

y 6 5 4 3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6

Tip: Esto es casi lo mismo que la parte 1, como puedes observar cuando este en negativo esta función, toda la parábola va a estar abajo, a lo contrario que pasaba cuando estaba positivo (estaba arriba), aun así todas las parábolas del tipo 1, siempre van a tocar el origen.

Haces lo mismos procedimientos para “y”, como se mostro en la parte 1, solo que el numero que te salga, se convierte en negativo (ejemplo “x = 1” “y =2”, aquí “y” se convierte en negativo así que quedaría: “x=1” “y=-2”) Recuerda: entre mas cerrada este la parábola, mas valor tendrá el numero que se multiplique a la “x²” en la función.

• Tipo 2: y=mx² +/- n (donde M es el numero de “x” al cuadrado que vale “y”, y “N” el valor que se le suma o resta a la función ), todas tienen en medio el eje de “y” Ejemplo: y=x² + 2, y=x² - 2, y= x² + 5, yy=x² - 6 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: al momento de tener que localizar cual función corresponde a cada grafica (ya sabiendo localizar las de tipo 1), solo tienes que ver en la función cuadrática cual es el valor del numero que se le suma o resta (ejemplo: y=x² + 2), en este caso se le suma 2 a la función lineal, ahora en el plano cartesiano, debes de localizar en el eje de “y” el numero 2 (ahí es donde va a estar la “punta” de la parábola), obviamente si y=x² + 2, entonces el numero 1 del eje de “x”, debe de coincidir con el 3 en el eje de “y”, ya que se sumo 1² = 1, 1 + 2= 3:

y=x² + 2

Eje y=3 ( x² + 2 = 1X1=1, mas 2 que se le suma a la función = 3)

Numero en donde esta la punta de la parábola = 2

Eje x= 1

Pasa lo mismo si se resta un numero a la función:

y=x² - 2

Eje y=-1 ( x² - 2 = 1X1=1, menos 2 que se le resta a la función = -1)

Eje x= 1

Numero en donde se esta la punta de la parabola = -2 recuerda: que en todos los tipos de parábola queda esto: entre mas cerrada este la parábola, mas valor tendrá el numero que se multiplique a la “x²” en la función.

Por ejemplo te puede venir en el examen, dos parábolas que inicien en el “2”, pero una esta mas serrada que otra, y vienen estas funciones: y= x² + 2

y= 2x² + 2

Sin hacer operaciones, se sabe que la primera función va a tener una parábola mas abierta que la segunda, porque es un numero menor las veces que se esta multiplicando la x² (en este caso 1 ves), y en la segunda función 2 veces.

• Tipo 3: y=(x +/- n)² (donde “N” es el valor que se le suma o resta a la función ) todas tocan el eje de “x” Ejemplo: y= (x + 2)², y= (x – 2)², y= (x + 5)², y= (x – 6)²

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Primero, como podrás observar todas tienen exactamente la misma forma que la función y=x², que es lo que las diferencia, el lugar en el eje de “x”, te habrás dado cuenta que el numero que se le suma o resta a la función, marca en donde estará la punta de la parábola solo que en el signo contrario, por ejemplo: y= (x² + 2), (grafica roja), el 2 ( que seria el numero que marca el lugar en donde empieza la parábola en el eje de “x”) se convierte en -2 (su signo contrario), notaras que coincide, eso mismo pasa en todas las graficas de este tipo, otro ejemplo seria y=(x - 6)² el numero que indica conde empieza en el eje de “x” es el -6, su signo contrario seria positivo y quedaría 6, la punta de la parábola de esta función estaría en 6 del eje de “x”.

En el caso de la función: y= (x + 2)², si el -1 del eje de “x”, en el eje de “y” le correspondería: (-1+2)² = (1)² = 1, las coordenadas serian (-1,1), así seria si se sustituyera el valor de la “x”, por cada numero (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, etc):

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Eje y=-1 ((x + 2)² = 1 mas dos es igual a 1, al cuadrado es igual a 1)

y=(x + 2)² Eje x= -1 Numero en donde esta la punta de la parábola, el signo contrario de 2, es -2

• Tipo 4 <parte 1>: y=(x + n)² +/- p (donde n es el valor que se le suma a la función dentro del paréntesis elevado al cuadrado y p el numero que se le suma o resta después del paréntesis).

Ejemplo: y= (x + 2) + 1, y= (x + 1)² + 3, y= (x + 3)² - 5, y= (x + 2)² - 4

y

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Antes de ver como se realiza, hay una forma rápida de identificar en este tipo de funciones, por ejemplo si tuvieras las graficas y las funciones, pero no sabes cual corresponde a cada una, primero debes de observar cuales son las coordenadas de la “punta” de la parábola, como un ejemplo, en la grafica roja, las coordenada son: (-2, 1), antes del siguiente paso, ves cuales de las funciones cuadráticas tienen esos dos números, en este caso seria: y= (x + 2)² + 1, esa es la ecuación que corresponde, pero en un dado caso de que también este la función: y= (x +1)² + 2, (que también tienen los mismos números) debes de saber antes que nada, que el numero que esta adentro del paréntesis que esta elevado al cuadrado, va a parecer en su signo contrario en las coordenadas, y el numero que se suma afuera del paréntesis va a parecer igual en las coordenadas, es decir en la función: y= (x+2)² + 1, el +2 se va a convertir en -2, y el 1 se queda igual, en las coordenadas si concuerdan esos dos números (-2, 1), y en el caso de la función y= (x +1)² + 2, el +1 se convierte en -1, y el dos se queda igual, no concuerdan los signos con las coordenadas anteriores que marca la grafica, así que por lo tanto se sabe que es la primera función y no la segunda.

En este caso: la función seria: y= (x + 2)² - 4, si en el eje de “x” es -1, en el eje de “y” tendrías que: (-1 + 2)² - 4 = (1) ² - 4 = 1 – 4 = -3, el eje “y” seria igual a -3, las coordenadas serian (-1,-3):

Eje x= -1

y=(x + 2)² -4

Numero que esta adentro de los paréntesis de la función, cambia a signo contrario, de 2 a -2 Numero que esta afuera de los paréntesis de la función, se queda igual: -4

Eje y=-3 ((x + 2)² 4 = -1 mas dos es igual a 1, al cuadrado es igual a 1 – 3 es igual a -3

• Tipo 4 <parte 2>: y=(x - n)² +/- p (donde n es el valor que se le resta a la función dentro del paréntesis elevado al cuadrado y p el numero que se le suma o resta después del paréntesis).

Ejemplo: y= (x - 2) + 1, y= (x - 1)² - 3, y= (x - 3)² + 5, y= (x - 2)² - 4

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Esto es igual que en la parte 1, un ejemplo mas seria, por decir grafica morada, las coordenadas de la “punta” de su parábola es (2, -4), vemos cual de las funciones tienen esos dos números, seria y= (x – 2²) – 4, ahora, cambiamos el -2 a su signo contrario, que seria 2 (porque es el numero que esta adentro del paréntesis, el -4 se queda igual, vemos si concuerdan con las coordenadas: (2, 4), si concuerdan, esa es la grafica correspondiente a esa función.

El procedimiento es el anterior de la parte 1, solo se cambia el “+” por el “-” en el paréntesis que esta elevado al cuadro, y en ves de hacer una suma se hace una resta.

• Tipo 5: y= x² + mx (donde m es el numero de “x” que se le resta o suma a la ecuación”). Todas pasan por el origen Ejemplo: y= x² + 2x, y= x² - 3x, y= x² + 3x, y= x² - 5x

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Antes de ver como se realiza, hay una forma rápida de identificar en este tipo de funciones, por ejemplo si tuvieras las graficas y las funciones, pero no sabes cual corresponde a cada una, primero debes de ver en que numero del eje “x” pasa la grafica, después convertir ese numero a sus signo contrario y buscar cual función tiene ese numero, por ejemplo: la grafica azul, pasa por el numero -3 en el eje de “x”, lo conviertes en su signo contrario, seria 3, buscas cual función tiene ese numero, la cual seria: x² + 3x, esa seria la función con su grafica correspondiente.

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En este caso la función seria: y= x² - 3x, si es 1 en eje “x”, el eje “y” para que concuerde con la grafica, tendría que ser: (1)² - 3(1) = 1 – 3 = -2, el eje “y” seria –2, las coordenadas quedarían (1,-2):

Eje x= -1

y= x² - 3x Eje y=-2 (x² - 3x, sustituimos por 1= (1)² - 3(1) = 1 – 3 = -2

Numero en donde esta la punta de la parábola, el signo contrario de -3, es 3

Recuerda que este es solo un ejemplo: tu puedes sustituir los valores por -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 etc, para hacer la grafica, en dado caso de que venga en el examen, si no solo con identificar la ecuación que corresponde cada grafica, con eso tienes.

• Tipo 6 <parte 1>: y= (x +/- m)(x +/- m)(donde m es el numero dentro del paréntesis que se le resta o suma a la ecuación”).

Ejemplo: y= (x + 2)(x-3), y= (x + 3)(x - 1), y= (x + 3)(x – 2), y= (x – 2)(x +1)

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Antes de ver como se realiza, hay una forma rápida de identificar en este tipo de funciones, es parecido a las del tipo 5, para saber cual grafica corresponde a cada función, localizas en la grafica, cuales son los dos numero con los que cruza la parábola en el eje “x” después los dos números, los conviertes en su signo contrario, y buscas cual es la función que contenga esos dos números y signos, por ejemplo: en la grafica verde, los dos números del eje “x” donde cruza la parábola son -3 y 1, después los conviertes a sus signo contrario, y quedaría 3 y -1 ves cuales funciones contienen esos dos números y signos, la cual seria: (x + 3)(x 1), esa la función correspondiente a la grafica.

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En este caso, la función seria: y= (x + 3)(x – 2), si en el eje “x” vale 1, en el eje “y” para que concuerde con la grafica debe de valer: (x + 3)(x – 2) = (1 + 3)(1 - 2) = (4)(-1) = -4:

y= (x + 3)(x – 2)

Numero en donde pasa un extremo de la parábola, el signo contrario de 3, es -3 Eje y=-4 (x + 3)(x – 2) = (1 + 3)(1 - 2) = (4)(-1) = -4

Eje x= 1

Numero en donde pasa un extremo de la parábola, el signo contrario de -2, es 2

• Tipo 6 <parte 2>: y= x² +/- mx +/- m (donde m es el numero de x que se sumo o resta a la función y n es el valor que se suma o resta a la función).

Ejemplo: y= x² -1x - 6, y= x² + 2x - 3, y= x² + 1x - 6, y= x² -1x - 2

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tiip: Como podrás observar son las mismas graficas que en la parte 1, que quiere decir esto, que son las mismas funciones, solo que es su forma desarrollada y no factorizada, este tipo de casos, debes de primero factorizar la función y después hacer el mismo procedimiento que en la parte 1, por ejemplo: si quieres encontrar cual es la grafica que corresponde a la función: y= x² + 2x – 3, para que no tengas que hacer las operaciones, primero factoriza la función: dos números que multiplicados meden 3 y restados 2 y que el mayor sea positivo, serian: +3 y 1, lo cual quedaría: (x + 3)(x – 1), después de hacer esto, toma los dos números de los paréntesis (3 y -1), los conviertes en su signo contrario (-3 y 1), después localizo en la grafica esos dos puntos en el eje “x”, y si concuerdan con alguna grafica, los dos puntos, esa es la función que le corresponde.

Aquí no es necesario dar un ejemplo de graficar la función, es lo mismo que en la parte 1

• Tipo 7: y= x²/n (donde n es el numero que divide a x al cuadrado) todas tienen en medio el eje “y” y cruzan por el origen.

Ejemplo: y= x², y= x², y= x², y= x² 1 2 3 4

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Como te darás cuenta (a lo contrario que pasa en las graficas de las funciones del tipo 1), entre mayor se divida la “x²” la parábola estará mas “abierta” y entre menor numero se divida, estará mas “cerrada”. Otra observación es que en la función x²/1 es igual a la función x², para que no te confundas por si viene en el examen.

De este tipo de ecuaciones no vendrán muchas como en los otros tipos, aquí no es necesario decirte como se grafica la función, solo recuerda, que en la mayoría de estas funciones de tipo 5, en el 1 entero del eje “x” el eje “y” no es entero, si no un numero decimal (ejemplo: y= x²/2, eje “x” si vale 1, en eje “y”, valdrá 0.5)

Acabas de ver los tipos de funciones cuadrรกticas que pueden venir en el examen, por ultimo siguen algo de las funciones cubicas

3. Graficas de función Cubica: tienen forma de “s” •Tipo 1: y= x³, cruzan por el origen.

Ejemplo: y= x³

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tipo: En este tipo, solo nos enseñaron: y=x³ y no sus consiguientes (2x³, 3x³, 4x³, etc.), así que va hacer muy fácil diferenciarla de las graficas de funciones cuadráticas ya que es la única que tiene forma de “s” (recuerda que cruza por el origen) No es necesario saber graficar las coordenadas, es muy fácil, por ejemplo: en el eje “x” si vale 1, el eje “y” valdrá la tercera potencia de 1, que es 1, igual con el 2, la tercera potencia de 2, es 8.

Tiene forma de “s” porque a diferencia de las parábolas (funciones cuadráticas) se eleva al cuadrado un numero negativo, y queda positivo, pero al elevar al cubico un numero negativo, queda negativo (ejemplo: -3 X -3 = 9, 9 X -3 = -27)

• Tipo 3: y=(x +/- n)³ (donde “N” es el valor que se le suma o resta a la función ) todas tocan el eje de “x” Ejemplo: y= (x + 2)³, y= (x – 2)³, y= (x + 5)³, y= (x – 6)³

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8

-7 -6

-5 -4 -3

1

-2 -1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Tip: Primero, como podrás observar todas tienen exactamente la misma forma que la función y=x³, que es lo que las diferencia, el lugar en el eje de “x”, te habrás dado cuenta que el numero que se le suma o resta a la función dentro del paréntesis, lo marca solo que en el signo contrario, por ejemplo: y= (x³ + 2), (grafica roja), el 2 ( que seria el numero que marca el lugar en donde pasara la línea en forma de “s” en el eje de “x”) se convierte en -2 (su signo contrario), notaras que coincide, eso mismo pasa en todas las graficas de este tipo, otro ejemplo seria y=(x - 6)³ el numero que indica donde pasara la mitad de la línea en forma de “s” en el eje de “x” es el -6, su signo contrario seria positivo y quedaría 6, la línea en forma de “s” de esta función pasara en el 6 sobre el eje de “x” (grafica morada).

Aquí no es necesario mostrarte, como se grafican las coordenadas, es el caso del las funciones cubicas, casi no vendrán en el examen, solo lo esencial, así que es muy fácil identificarlas.

Acabas de ver los tipos de funciones cubicas que pueden venir en el examen, por ultimo lo mas importante que tuviste que haberte aprendido

1. Graficas lineales: son una línea recta: 1. tipo 1: y=mx (todas pasan por el origen) - ejemplos: y=x, y=2x, y=3x, y=4x - identificación: siempre serán graficas proporcionales, entre mas inclinada este la línea recta, mayor será el numero que se multiplicara la “x” (ejemplo y= 3x esta mas inclinada que y=2x) 2. tipo 2: y = mx +/- n - ejemplos: y=x + 2, y=2x - 4, y=3x + 2, y=4x – 1 - identificación: siempre serán graficas proporcionales, que pasa en el eje “y” el numero que se le sume o reste a las funciones (si es x + 2 pasa por el 2, si es 2x – 4 pasara por el -4, si es x + 2 pasara por el + 2).

2. Graficas cuadráticas: son una línea en forma de parábola: 1. tipo 1: y=mx² (todas tienen en medio el eje “y”, y tocan el origen) - ejemplos: y=x², y=2x², y=3x², y=4x² -identificación: siempre tendrán como “punta” de la parábola el origen, estarán arriba si la función sea positiva (ejemplo: 2x²), y abajo si sea negativa (ejemplo: -2x²), entre mas sea las veces que se multiplique “x²”, la parábola esta mas “cerrada”, y entre menos sea las veces que se multiplique estará mas “abierta” (ejemplo: y= 2x² es mas “abierta” que y= 3x²).

2. tipo 2: y=mx² + n (todas tienen en medio el eje “y” y nunca tocaran el origen) - ejemplos: y=x² + 2, y=x² - 2, y= x² + 5, y=x² - 6 - identificación: siempre tendrán la “punta” de la parábola en el eje “y”, el numero que se le suma o resta a la ecuación después de elevarlo al cuadrado será el que dirá en que lugar del eje “y” se encuentra la punta de la parábola (ejemplo: y=x² - 2, el numero es -2, la “punta” de la parábola se encontrara en el -2 del eje “y”).

3. tipo 3: y=(x + n)² (todas tocan el eje “x”, y nunca pasaran por el origen) - ejemplos: y= (x + 2)², y= (x – 2)², y= (x + 5)², y= (x – 6)² -identificación: siempre tendrán la punta de la parábola en el eje “x”, el numero que se le suma o resta a la función dentro del paréntesis, será el que dirá en que lugar del eje “x” se encuentra la punta de la parábola, solo que en su signo contrario (ejemplo: y= (x + 2)², el numero es 2, su signo contrario es -2, la “punta” de la parábola se encontrara en el -2 sobre el eje “x”) 4. tipo 4: y=(x +/- n)² +/- n - ejemplos: y= (x + 2) + 1, y= (x + 1)² + 3, y= (x + 3)² - 5, y= (x + 2)² - 4 - identificación: la punta de la parábola se encontrara dependiendo los valores de los dos números de la función, el que esta adentro del paréntesis, corresponde al eje de “x” (se cambiara a su signo contrario), y el que esta afuera corresponde al eje de “y” (se quedara igual con el signo), (ejemplo: y= (x + 2)² + 1, los números son 2 y 1, el numero dos cambiara a su signo contrario, y quedaría -2, el 1 se quedara igual, localizamos las coordenadas: -2 (eje “x”), 1 (eje “y”) que es done se encontrara la “punta” de l aparabola.

5. tipo 5: y= x² + mx (todas pasan por el origen) - ejemplos: y= x² + 2x, y= x² - 3x, y= x² + 3x, y= x² - 5x -identificación: lo sabrás dependiendo donde están los dos extremos de la parábola, un extremo pasa por el origen, y el otro pasara en el eje de “x” que te lo marcara el numero de “x” que se suma o se resta a la función, solo que en su signo contrario (por ejemplo: x² - 3x, un extremo pasara por el origen, después tomamos el numero -3, lo cambiamos a su signo contrario: +3, el otro extremo estará en el 3 del eje de “x”.

6. tipo 6: y= (x +/- m)(x +/- m) ó y= x² +/- mx +/- m (nunca pasaran por el origen) - ejemplos: y= (x + 2)(x - 3), y= (x + 3)(x - 1), y= x² + 1x - 6, y= x² -1x - 2 - identificación: lo sabrás dependiendo donde están los dos extremos de la parábola, si la función viene de la forma: y= x² +/- mx +/- m (ejemplo: y= x² -1x – 2), tendrás que factor izarla para que quede de la forma: y= (x +/- m)(x +/m), (ejemplo: y= (x + 3)(x – 2)), los extremos pasaran sobre el eje “x”, el lugar donde estarán te lo marcaran los dos números de la función, solo que en su signo contrario (ejemplo: y=(x + 3)(x – 2), lo números son 3 y -2, su signo contrario es -3 y 2, un extremo de la parábola pasara sobre -3, y el otro sobre 2 del eje “x”).

7. tipo 7: y= x²/n (todos tienen en medio el eje “y”, y tocan el origen) - ejemplos: y= x², y= x², y= x², y= x² 1 2 3 4 -identificación: siempre tendrán la punta de la parábola sobre el origen, a lo contrario que pasa en el tipo 1(la parábola será mas “cerrada”, entre mayor sea el numero que multiplique a “x²”), aquí será alreves, entre mayor sea el numero que divida la “x²”, la parábola estará mas “abierta”, casi siempre cuando el eje “x” sea un entero, el eje “y” no será exacto (ejemplo: x² /2, el eje “X” es 1, y el eje “y” es 0.5) 3. Graficas al cubo: son una línea en forma de “s” 1. tipo 1: y= mx³ (cruza por el origen) - ejemplos: y= x³ - identificación: aquí solo se vio esta forma en su numero mas sencilla: y= x³ (no se vio y= 2x³, y= 4x³, etc.), esta tiene la particularidad de tener forma de “s” 2. tipo 2: y=(x +/- n)³, (todas tocan el eje “x” y nunca pasaran por el origen) - ejemplos: y= (x + 2)³, y= (x – 2)³, y= (x + 5)³, y= (x – 6)³ - identificación: siempre pasara la línea en forma de “s” en el eje “x”, el numero que se le suma o resta a la función dentro del paréntesis, será el que dirá en que lugar del eje “x” se encuentra, solo que en su signo contrario (ejemplo: y= (x + 2)³, el numero es 2, su signo contrario es -2, la línea en forma de “s” pasara en el -2 sobre el eje “x”)

Espero que te ayude esta guía, para el examen bimestral de matemáticas, cualquier duda que tengas pregúntame por facebook, suuuueeerteee ..