Fundamentos dos Cálculos Farmacêuticos
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Números e Numerais Um número é uma quantidade total, ou quantidade de unidades. Um numeral é uma palavra ou sinal, ou um grupo de palavras ou sinais, que expressa um número. Por exemplo, 3, 6 e 48 são numerais arábicos que expressam números que são, respectivamente, 3, 6 e 48 vezes a unidade 1. Existem muitos símbolos usados na matemática e na ciência que oferecem instruções para um cálculo específico ou que indicam um valor relativo. Alguns dos símbolos comuns em aritmética são apresentados na Tabela 1.1.
Tipos de Números Em aritmética, a ciência de calcular números positivos e reais, um número normalmente é (a) um número natural ou inteiro, como 549; (b) uma fração, ou subdivisão de um número inteiro, como 4/7; ou (c) um número misto, formado por um número inteiro e uma fração, como 37/8. Um número como 4, 8 ou 12, por si só, sem aplicação a qualquer coisa concreta, é chamado de número abstrato ou puro. Ele meramente designa quantas vezes a unidade 1 está contida nele mesmo, sem implicar que qualquer outra coisa esteja sendo contada ou medida. Um número abstrato pode ser somado, subtraído, multiplicado ou dividido por qualquer outro número abstrato. O resultado de quaisquer dessas operações sempre é um número abstrato que designa um novo total de unidades. Um número que designa uma quantidade de objetos ou unidades de medida, como 4 gramas, 8 mililitros ou 12 onças,* é chamado de número concreto ou denominado. Ele designa a quantidade total de tudo o que foi medido. Um número denominado pode ser somado ou subtraído de qualquer outro número da mesma denominação, mas ele só pode ser multiplicado ou dividido por um número puro. O resultado de qualquer uma dessas operações é sempre um número da mesma denominação. Exemplos:
10 gramas + 5 gramas = 15 gramas 10 mililitros − 5 mililitros = 5 mililitros 300 miligramas × 2 = 600 miligramas 12 onças ÷ 3 = 4 onças
A regra aritmética mais importante é a seguinte: números de denominações diferentes não têm nenhuma conexão numérica entre si e não podem ser empregados juntos em qualquer operação aritmética direta. Veremos inúmeras vezes que, caso as quantidades sejam somadas, ou se uma quantida* N. de T.: Para conversões intersistemas ver Capítulo 2, p. 52 ou Apêndice A, p. 375.
18 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA TABELA 1.1 ALGUNS SÍMBOLOS ARITMÉTICOS UTILIZADOS EM FARMÁCIAa Símbolo % ‰ + − ± ÷ / × < = > ≠ ≈ ≡ ≤ ≥ . , : :: ∞ x2 x3
Significado porcento; partes em cem por mil; partes em mil mais; soma; ou positivo menos; subtrair; ou negativo somar ou subtrair; mais ou menos; positivo ou negativo; expressão de amplitude, erro, ou tolerância dividido por dividido por vezes; multiplicado por o valor à esquerda é menor do que o valor à direita (p. ex., 5<6) é igual a, iguais o valor à esquerda é maior do que o valor à direita (p. ex., 6>5) não é igual a, não se iguala é aproximadamente igual a é equivalente a o valor à esquerda é menor ou igual ao valor à direita o valor à esquerda é maior que ou igual ao valor à direita vírgula decimal marcador decimal (vírgula) símbolo de razão (p. ex., a:b) símbolo de proporção (p. ex., a:b:: c:d) varia de acordo com; é proporcional a x ao quadrado x ao cubo
a
Tabela adaptada do Barron’s Mathematics Study Dictionary, de Frank Tapson, com a permissão do autor. Muitos outros símbolos (letras ou sinais) são usados em farmácia, como nos sistemas métrico e apotecário de pesos e medidas, em estatística, em farmacocinética, nas prescrições, em cálculos físicos, e em outras áreas. Muitos desses símbolos estão incluídos e são definidos em outras partes deste livro.
de for subtraída de outra, elas devem ser expressas com a mesma denominação! Quando aparentemente multiplicamos ou dividimos um número denominado por um número de denominação diferente, na verdade estamos utilizando o multiplicador ou divisor como um número abstrato. Se, por exemplo, 1 onça vale 5¢ e queremos achar o custo de 12 onças, não multiplicamos 5¢ por 12 onças, mas pelo número abstrato 12.
Numerais Arábicos O conhecido sistema numérico arábico é geralmente chamado de sistema decimal. Com somente 10 números – um zero e nove dígitos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) – qualquer número pode ser expresso por um sistema engenhoso, no qual diferentes valores são atribuídos aos dígitos de acordo com o lugar que ocupam. O lugar central é normalmente identificado por um sinal colocado a sua direita, chamado de vírgula decimal. Qualquer dígito que ocupe esse lugar expressa seu próprio valor – em outras palavras, um certo número de números um. O valor anterior de um dígito é aumentado dez vezes cada vez que este se move uma casa para a esquerda e, reciprocamente, seu valor é um décimo de seu valor anterior cada vez que este se move uma casa à direita. O zero demarca um lugar não ocupado por um dos dígitos. A simplicidade do sistema é demonstrada posteriormente pelo fato de estes 10 números decimais atenderem a todas as nossas necessidades quando trabalhamos com números inteiros positivos, e, com a ajuda de alguns sinais, o sistema é adequado para expressar frações, números negativos e números hipotéticos. O alcance prático do sistema é representado pelo seguinte esquema (que pode ser estendido à esquerda ou à direita, atingindo valores cada vez mais altos ou mais baixos):
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Etc.
º milhão º cem mil º dez mil º mil º cem º dez º um º um décimo º um centésimo º um milésimo º dez milésimos º cem milésimos º um milionésimo
Esquema do sistema decimal:
Etc.
Portanto, o valor total de qualquer número expresso no sistema arábico decimal é a soma dos valores de seus dígitos, determinados por suas posições. Exemplo: 5.083,623 significa: 5.000,000 ou 5 mil + 000,000 mais 0 cem + 080,000 mais 8 dez + 003,000 mais 3 unidades + 000,600 mais 6 décimos + 000,020 mais 2 centésimos + 000,003 mais 3 milésimos A universalização do uso desse sistema resultou da facilidade com que pode ser adaptado aos vários propósitos de cálculos aritméticos.
Numerais Romanos O sistema numérico romano surgiu por volta de 500 a.C. e foi usado na Roma Antiga e na Europa até cerca de 900 d.C., quando o sistema numérico arábico entrou em vigor. O sistema de numeração romano expressa uma variedade bastante grande de números por meio do uso de algumas letras do alfabeto, em uma simples notação “posicional” indicando a adição a ou a subtração de uma sucessão de bases que variam de 1 a 5, 10, 50, 100, e de 500 a 1.000. Os numerais romanos registram somente quantidades: eles são inúteis para cálculos. Para expressar quantidades no sistema romano, oito letras de valores fixos são empregadas (não há nenhuma letra para o valor zero): ss =½ I ou i =1 V ou v = 5 X ou x = 10 L ou l = 50 C ou c = 100 D ou d = 500 M ou m = 1.000 Outras quantidades são expressas combinando-se essas letras. Existem quatro regras gerais para lerse numerais romanos: 1 1. Uma letra repetida uma vez ou mais repete seu valor (p. ex., XX = 20; XXX = 30). 2. Uma ou mais letras colocadas depois de uma letra de maior valor aumenta o valor da letra maior (p. ex., VI = 6; XII = 12; LX = 60). 3. Uma letra colocada antes de uma letra de maior valor diminui o valor da letra maior (p. ex., IV = 4; XL = 40; CM = 900).
20 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA 4. Uma barra colocada sobre uma letra ou letras aumenta o valor 1.000 vezes (p. ex., XV = 15, mas –– X V = 15.000). Exemplos: ii = 2
xxx = 30
cxi = 111
Ixxxviii = 88
iii = 3
xiii = 13
dl = 550
xciv = 94
iv = 4
xiv = 14
mv = 1.005
cdxliv = 444
vi = 6
xviii = 18
cd = 400
cdxc = 490
vii = 7
xix = 19
mc = 1.100
ix = 9
ci = 101
cm = 900
cmxcix = 999 MCDXCII = 1.492
Deve-se notar que as datas são geralmente expressas em letras maiúsculas. Os numerais romanos são usados em farmácia apenas ocasionalmente em prescrições: (1) para designar o número de unidades de dosagem prescrito (p. ex., cápsulas no C); (2) para indicar a quantidade do medicamento a ser administrada (p. ex., colheres de chá ii); e (3) em casos raros, nos quais o sistema de medida comum ou apotecário são usados (p. ex., grãos iv).a PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Escreva em numerais romanos (a) 28 (f ) 37 (b) 64 (g) 84 (c) 72 (h) 48 (d) 126 (i) 1.989 (e) 99 2. Escreva em numerais arábicos (a) xli (c) MCMLIX (b) cl (d) MDCCCXIV
3. Interprete a quantidade descrita nas frases a seguir, retiradas de prescrições (a) Cápsulas no xlv (b) Gotas ij (c) Tabletes no xlviii (d) Onças no lxiv (e) Pastilhas no xvi (f ) Adesivos transdérmicos no lxxxiv
Frações Comuns e Decimais Às vezes, a aritmética utilizada na farmácia requer a manipulação de frações comuns e decimais. A breve revisão a seguir poderá ser útil para o leitor, mesmo que ele possua um conhecimento prévio envolvendo o uso de frações. Frações Comuns Um número na forma 1/8, 3/16, e assim por diante, é chamado de fração comum, ou simplesmente fração. Seu denominador, ou segundo número, ou, ainda, número inferior, sempre indica o número
a Nas prescrições, os médicos ou outros profissionais da saúde podem utilizar numerais romanos em letra maiúscula ou minúscula. Quando a letra minúscula i é usada, deve ter o ponto para distingui-la da letra l. Às vezes, um j pode ser usado em vez de um i no final de uma seqüência (p. ex., viij). Seguindo o costume latino, os numerais romanos são geralmente colocados depois de um símbolo ou termo (p. ex., cápsulas no xxiv ou onças fluidas xij).
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de partes de alíquota nas quais 1 é dividido; seu numerador, primeiro número ou número superior, especifica o número de partes que nos interessa. O valor de uma fração é o quociente (isto é, o resultado da divisão de um número por outro) quando seu numerador é dividido pelo seu denominador. Se o numerador for menor que o denominador, a fração é chamada própria e seu valor é menor que 1. Se o numerador e denominador forem iguais, seu valor é 1. Se o numerador for maior que o denominador, a fração é chamada imprópria e seu valor é maior que 1. Dois princípios devem ser compreendidos por qualquer pessoa que tente fazer cálculos com frações comuns. No primeiro princípio, multiplicando-se o numerador aumenta-se o valor de uma fração, e multiplicando-se o denominador diminui-se o seu valor, mas quando numerador e denominador são multiplicados pelo mesmo número, o valor não se altera. 2 3´ 2 6 = = 7 3 ´ 7 21
Este princípio nos permite reduzir duas ou mais frações a uma denominação comum, quando necessário. Geralmente desejamos o menor denominador comum, que é o menor número divisível por todos os outros denominadores. Esse denominador é facilmente encontrado testando-se sucessivos múltiplos do maior denominador até que alcancemos um número divisível por todos os outros denominadores. Então, multiplicamos tanto o numerador quanto o denominador de cada fração pelo número de vezes que seu denominador é contido no denominador comum. Exemplo: Reduza as frações 3/4, 4/5 e 1/3 a um denominador comum. Ao testarmos sucessivos múltiplos de 5, descobrimos que 60 é o menor número divisível por 4, 5 e 3; 4 está contido 15 vezes em 60; 5, 12 vezes; e 3, 20 vezes.
Respostas
De acordo com o segundo princípio, dividir o numerador diminui o valor de uma fração, e dividir o denominador aumenta o seu valor, mas quando tanto o numerador quanto o denominador são divididos pelo mesmo número, o valor não se altera.
Este princípio nos permite reduzir uma fração de difícil manuseio a termos menores mais convenientes, seja durante uma série de cálculos ou quando registramos o resultado final. Para reduzirmos uma fração a termos menores, dividimos o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. Exemplo: Reduza 36/2.880 aos seus menores termos. O maior divisor comum é 36 36 36 ¸ 36 1 = = , resposta. 2.880 2.880 ¸ 36 80
Além de aprender bem esses dois princípios, o aluno deve seguir duas regras antes de tentar usar um atalho.
22 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Regra 1. Antes de executar qualquer operação aritmética que envolva frações, reduza todo número misto a uma fração imprópria. Para isso, multiplique o inteiro, ou número inteiro, pelo denominador da fração, some o numerador e escreva o resultado em cima do denominador. Por exemplo, antes de tentar multiplicar 3/4 por 11/5, primeiro reduza 11/5 a uma fração imprópria: 1 15 =
(1 ´ 5) + 1 6 = 5 5
Se o resultado final de um cálculo for uma fração imprópria, você pode, se quiser, reduzi-lo a um número misto. Para isso, simplesmente divida o numerador pelo denominador e expresse o restante como uma fração comum, não como uma fração decimal: 6
5
= 6 ¸ 5 = 1 15
Regra 2. Ao executar uma operação que envolva uma fração e um número inteiro, expresse (ou pelo menos visualize) o número inteiro como uma fração que tenha 1 como seu denominador. Pense em 3, como 3/1, 42 como 42/1, e assim por diante. Essa visualização é desejável quando uma fração é subtraída de um número inteiro, e é necessária quando uma fração é dividida por um número inteiro. Adição de Frações Para somar frações comuns, reduza-as a um denominador comum, some os numeradores e escreva a soma em cima do denominador comum. Caso sejam usados números inteiros e mistos, o procedimento mais seguro (embora não seja o mais rápido) é aplicar as Regras 1 e 2. Se a soma for uma fração imprópria, você poderá reduzi-la a um número misto. Exemplo: Na preparação de várias fórmulas, um farmacêutico utilizou 1/4 onça (oz.), 1/12 oz., 1/8 oz. e 1/6 oz. de um produto. Calcule a quantidade total do produto que foi utilizada. O menor denominador comum das frações é 24, 1
4
= 6 24 , 112 = 2 24 , 18 = 3 24 , e 1 6 = 4 24
6+2+3+4 15 oz . = oz . 24 24 15 oz . = 5 oz ., resposta. 24 8
Subtração de Frações Para subtrair uma fração de outra, reduza-as a um denominador comum, subtraia e escreva a diferença em cima do denominador comum. Se um número inteiro ou misto estiver envolvido, primeiro aplique as Regras 1 ou 2. Se a diferença for uma fração imprópria, você poderá reduzi-la a um número misto. Exemplos: Um paciente hospitalizado recebeu 7/12 litros de uma infusão intravenosa prescrita. Se ele não tivesse recebido o 1/8 litro final, que fração de um litro ele teria recebido? O menor denominador comum é 24. 7
12
= 14 24 e 18 = 3 24
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14 - 3 11 litros = litros, resposta . 24 24
Se 3 onças fluidas (fl. oz.) de uma mistura líquida contiverem 1/24 fl. oz. do produto A, 1/4 fl. oz. do produto B, e 1/3 fl. oz. do produto C, quantas onças fluidas do produto D são necessárias? O menor denominador comum é 24. 1
24
= 1 24 , 1 4 = 6 24 , e 1 3 = 8 24
1+ 6 + 8 15 5 fl. oz. = fl. oz. = fl. oz. 24 24 8
Interprete 3 fl. oz. como 3/1 fl. oz., e reduza-o a uma fração cujo denominador seja 8: 3
1
fl. oz. = 24 8 fl. oz.
Subtraindo: 24 - 5 19 fl. oz. = fl. oz. 8 8
Altere a diferença para um número misto: 19
8
fl. oz. = (19 ¸ 8) fl. oz. = 2 3 8 fl. oz., resposta.
Multiplicação de Frações Para multiplicar frações, multiplique os numeradores e escreva a resposta em cima do produto dos denominadores. Se um dos dois for um número misto, primeiro aplique a Regra 1. Se o multiplicador for um número inteiro, simplesmente multiplique o numerador da fração e escreva o produto em cima do denominador. Exemplo: Se a dose de um medicamento de um adulto são 2 colheres de chá cheias (col. chá), calcule a dose para uma criança se esta for 1/4 da dose do adulto. 1 2 col. chá 2 1 ´ = = col. chá, resposta. 4 1 4 2
Divisão de Frações Na divisão de frações, é importante que o aluno compreenda o significado de recíproco. Por definição, o recíproco de um número é 1 dividido pelo número. Por exemplo, o recíproco de 3 é 1/3, Se você aplica a Regra 2 e considera 3 igual à fração 3/1, seu recíproco é igual à inversão dessa fração. Portanto, de forma geral, quando a é uma fração, seu recíproco é 1/a e tem o mesmo valor da fração invertida. Assim, o recíproco de 1/4 é 4/1 ou 4, e o recíproco de 21/2, ou 5/2, é 2/5. Se a fração 3/4 é interpretada como 3 dividido por 4, então se deve enfatizar que dividir por 4 é exatamente igual a multiplicar pelo recíproco de 4, ou 1/4. Esse método de calcular a divisão das frações é chamado de método recíproco, e demonstra a relação recíproca, ou relação inversa, entre a multiplicação e a divisão. Para dividir por uma fração, então, apenas inverta seus termos e multiplique. Quando uma fração é dividida por um número inteiro, primeiro interprete o número inteiro como uma fração cujo denominador é 1, inverta-a para obter a sua recíproca e multiplique-a.
24 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Exemplos: Se 1/2 onça é dividida em 4 partes iguais, quanto conterá cada parte? Interpretando 4 como 4/1: 1 4 1 1 1´1 1 oz. ¸ = oz. ´ = oz. = oz., resposta. 2 1 2 4 2´4 8
Um fabricante deseja preparar amostras de um ungüento dentro de envelopes lacrados de alumínio, cada envelope contendo 1/32 onça de ungüento. Quantas amostras podem ser preparadas com 1 libra (16 onças) de ungüento? 16 1 16 32 16 ´ 32 ¸ = ´ = = 512 amostras, resposta. 1 32 1 1 1´1
Se a dose para uma criança de um xarope para tosse é 3/4 de colher de chá e isso representa 1/4 da dose para um adulto, qual é a dose para um adulto? 4 3´ 4 3 1 3 col. chá ¸ = col. chá ´ = col. chá = 3 col. chá, resposta. 4 4 4 1 4 ´1
Frações Decimais Uma fração cujo denominador é 10 ou qualquer potência de 10 é chamada de fração decimal, ou simplesmente decimal. O denominador de uma fração decimal nunca é escrito, porque a vírgula decimal indica o valor de posicionamento dos numerais. O numerador e a vírgula decimal são suficientes para expressar a fração. Portanto, 1/10 é escrito 0,1, 45/100 é escrito 0,45, e 65/1.000 é escrito 0,065. Todas as operações com frações decimais são realizadas da mesma forma como são feitas com números inteiros, mas é preciso ter cautela ao colocar a vírgula decimal em seu lugar apropriado nos resultados. Uma fração decimal pode ser alterada para uma fração comum escrevendo-se o numerador em cima do denominador e (se desejado) reduzindo-a a termos mais baixos: 0,125 = 125/1.000 = 1/8 Uma fração comum pode ser alterada para uma fração decimal dividindo-se o numerador pelo denominador (note que o resultado pode ser uma fração decimal repetida ou infinita): 3/ 1/
= 3 ÷ 8 = 0,375 3 = 1 ÷ 3 = 0,3333.... 8
Porcentagem O termo por cento e seu sinal correspondente, %, significa “por uma centena”. Assim, 50 por cento (50%) significa 50 partes em cada 100 do mesmo item. As frações comuns podem ser convertidas em porcentagem dividindo o numerador pelo denominador e multiplicando por 100. Exemplo: Converta 3/8 para por cento. 3/ × 8
100 = 37,5%, resposta.
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Frações decimais podem ser convertidas a por cento se multiplicadas por 100. Exemplo: Converta 0,125 para por cento. 0,125 × 100 = 12,5%, resposta. Exemplos de expressões equivalentes a frações comuns, frações decimais e porcentagem são apresentados na Tabela 1.2. TABELA 1.2 EQUIVALÊNCIAS ENTRE FRAÇÕES COMUNS, FRAÇÕES DECIMAIS E PORCENTAGEM Fração comum
Fração decimal
Porcentagem (%)
Fração comum
1/1.000 1/500 1/100 1/50 1/40 1/30 1/25 1/15 1/10 1/9 1/8 1/7 1/6
0,001 0,002 0,01 0,02 0,025 0,033 0,04 0,067 0,1 0,111 0,125 0,143 0,167
0,1 0,2 1 2 2,5 3,3 4 6,7 10 11,1 12,5 14,3 16,7
1/5 1/4 1/3 3/8 2/5 1/2 3/5 5/8 2/3 3/4 4/5 7/8 8/9
Fração decimal 0,2 0,25 0,333 0,375 0,4 0,5 0,6 0,625 0,667 0,75 0,8 0,875 0,889
Porcentagem (%) 20 25 33,3 37,5 40 50 60 62,5 66,7 75 80 87,5 88,9
PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Some as seguintes frações: (a) 5/8 + 9/32 + 1/4 (b) 1/150 + 1/200 + 1/100 (c) 1/60 + 1/20 + 1/16 + 1/32 2. Encontre a diferença: (a) 31/2 – 15/64 (b) 1/30 – 1/40 (c) 21/3 – 11/2 (d) 1/150 – 1/400 3. Encontre o produto: (a) 30/75 × 15/32 × 25 (b) 21/2 × 12 × 7/8 (c) 1/125 × 9/20 4. Qual é a recíproca de cada número abaixo? (a) 1/10 (b) 31/3 (c) 12/1 (d) 3/2 (e) 17/8 (f ) 1/64 5. Encontre o quociente: (a) 2/3 ÷ 1/24
(b) 1/5.000 ÷ 12 (c) 61/4 ÷ 1/2 6. Resolva cada uma das seguintes expressões: (a) (1/120 ÷ 1/150) × 50 = ? (b)
1 12 × 1.000 = ? 100
(c) 3/4 × ? = 48, 1
(d)
500
5
× ? = 5.
7. Qual parte fracional: (a) de 64 é 2? (b) de 1/16 é 1/20? (c) de 1/32 é 2? 8. Qual fração decimal: (a) de 18 é 21/4? (b) de 25 é 0,005? (c) de 7.000 é 437,5? 9. Escreva os números abaixo como decimais e some-os: 3/ 75 3 5 13 1.000, /100, /20, /8, /25
26 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA 10. Escreva os números abaixo como decimais e some-os: 3/ , 1/ , 65/ 19 3 5 20 1.000, /40, /8 11. Quantas doses de 0,000065 grama podem ser feitas com 0,130 grama de um fármaco? 12. Dê a fração decimal e os equivalentes porcentuais para cada uma das seguintes frações comuns: (a) 1/35 (b) 3/7 (c) 1/250 (d) 1/400 13. Se o estudo clínico de um novo fármaco demonstrasse que ele atendeu aos critérios de efetividade em 646 dos 942 pacientes testados no estudo, como seriam os resultados expressos como uma fração decimal e como uma porcentagem?
14. Um farmacêutico possuía 3 onças de cloridrato de hidromorfona. Ele usou o seguinte: 1/ onça 8 1/ onça 4 11/2 onça Quantas onças de cloridrato de hidromorfona restaram? 15. Um farmacêutico possuía 5 gramas de sulfato de codeína, que foram usados para preparar o seguinte: 8 cápsulas, cada uma contendo 0,0325 grama 12 cápsulas, cada uma contendo 0,015 grama 18 cápsulas, cada uma contendo 0,008 grama Quantos gramas de sulfato de codeína restaram depois que ele preparou as cápsulas? 16. A literatura sobre um produto farmacêutico indica que 26 dos 2.103 pacientes submetidos a um estudo clínico relataram dor de cabeça depois de ingerir o produto. Calcule (a) a fração decimal e (b) a porcentagem de pacientes que informaram essa reação adversa.
Notação Exponencial Muitas medidas físicas e químicas envolvem tanto números muito grandes quanto muito pequenos. Como freqüentemente é difícil controlar números de tal magnitude, mesmo para executar as operações aritméticas mais simples, é mais adequado empregar a notação exponencial, ou potências de 10, para expressá-los. Assim, podemos expressar 121 como 1,21 × 102, 1.210 como 1,21 × 103, e 1.210.000 como 1,21 × 106. Da mesma forma, podemos expressar 0,0121 como 1,21 × 10-2, 0,00121 como 1,21 × 10-3, e 0,00000121 como 1,21 × 10-6. Quando números são escritos dessa maneira, a primeira parte é chamada de coeficiente, geralmente escrito com um número à esquerda da vírgula decimal. A segunda parte é o fator exponencial ou potência de 10. O expoente representa o número de casas que a vírgula decimal foi movida – positivo à esquerda e negativo à direita – para formar o exponencial. Assim, quando convertemos 19.000 para 1,9 × 104, movemos a vírgula decimal 4 casas à esquerda; conseqüentemente, temos o expoente 4. Quando convertemos 0,0000019 para 1,9 × 10-6, movemos a vírgula decimal 6 casas à direita; conseqüentemente, temos expoente negativo -6. Na multiplicação de exponenciais, os expoentes são somados. Por exemplo, 102 × 104 = 106. Na multiplicação de números expressos exponencialmente, os coeficientes são multiplicados de forma habitual, e então esse produto é multiplicado pela potência de 10 encontrada algebricamente a partir da soma dos expoentes. Exemplos: (2,5 × 102) × (2,5 × 104) = 6,25 × 106, ou 6,3 × 106 (2,5 × 102) × (2,5 × 10-4) = 6,25 × 10-2, ou 6,3 × 10-2 (5,4 × 102) × (4,5 × 103) = 24,3 × 105 = 2,4 × 106
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Na divisão de exponenciais, os expoentes são subtraídos. Por exemplo, 102 ÷ 105 = 10-3. Na divisão de números expressos exponencialmente, os coeficientes são divididos de forma habitual e o resultado é multiplicado pela potência de 10 encontrada algebricamente pela subtração dos expoentes. Exemplos: (7,5 × 105) ÷ (2,5 × 103) = 3,0 × 102 (7,5 × 10-4) ÷ (2,5 × 106) = 3,0 × 10-10 (2,8 × 10-2) ÷ (8,0 × 10-6) = 0,35 × 104 = 3,5 × 103 Note que em cada um desses exemplos o resultado é arredondado para o menor número significativo de casas, sendo expresso apenas com um número à esquerda da vírgula decimal. Na adição e subtração de exponenciais, as expressões devem ser alteradas (movendo-se os pontos decimais) para formas que tenham qualquer potência comum de 10, e então os coeficientes são apenas somados ou subtraídos. O resultado deve ser arredondado para o menor número de casas decimais e deve ser expresso com um só número à esquerda da vírgula decimal. Exemplos: (1,4 × 104) + (5,1 1,4 5,1 × 103 = 0,51 Total: 1,91
× × × ×
103) 104 104 104, ou 1,9 × 104, resposta.
(1,4 × 104) – (5,1 × 103) 1,4 × 104 = 14,0 × 103 – 5,1 × 103 Diferença: 8,9 × 103, resposta. (9,83 × 103) + (4,1 9,83 4,1 × 101 = 0,041 2,6 Total: 12,471 12,5
× × × × × ×
101) + (2,6 × 103) 103 103 103 103, ou 103 = 1,25 × 104, resposta.
PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Escreva os números a seguir na forma exponencial: (a) 12.650 (b) 0,0000000055 (c) 451 (d) 0,065 (e) 625.000.000 2. Escreva os números a seguir na forma numérica comum: (a) 4,1 × 106 (b) 3,65 × 10-2 (c) 5,13 × 10-6
(d) 2,5 × 105 (e) 8,6956 × 103 3. Calcule o produto: (a) (3,5 × 103) × (5,0 × 104) (b) (8,2 × 102) × (2,0 × 10-6) (c) (1,5 × 10-6) × (4,0 × 106) (d) (1,5 × 103) × (8,0 × 104) (e) (7,2 × 105) × (5,0 × 10-3) 4. Calcule o quociente: (a) (9,3 × 105) ÷ (3,1 × 102) (b) (3,6 × 10-4) ÷ (1,2 × 106) (c) (3,3 × 107) ÷ (1,1 × 10-2)
28 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA 6. Calcule a diferença: (a) (6,5 × 106) − (5,9 × 104) (b) (8,2 × 10-3) – (1,6 × 10-3) (c) (7,4 × 103) – (4,6 × 102)
5. Calcule a soma: (a) (9,2 × 103) + (7,6 × 104) (b) (1,8 × 10-6) + (3,4 × 10-5) (c) (4,9 × 102) + (2,5 × 103)
Razão, Proporção e Variação Razão A magnitude relativa de duas quantidades é denominada razão. Às vezes, a razão é definida como o quociente de dois números. Quando duas quantidades estão sendo comparadas, o quociente é sempre expresso como uma operação, não como um resultado; em outras palavras, ele é expresso como uma fração, e a fração é interpretada como a operação de dividir o numerador pelo denominador. Portanto, uma razão nos fornece o conceito de uma fração comum que expressa a relação entre seus dois números. A razão entre 20 e 10, por exemplo, não é expressa como 2 (ou seja, o quociente de 20 dividido por 10), mas sim como a fração 20/10. Da mesma forma, quando a fração 1/2 é interpretada como uma razão, ela é tradicionalmente escrita 1:2, e não é lida como “um meio”, mas sim como “1 para 2”. Todas as regras que governam as frações comuns também se aplicam a uma razão. O princípio de que, se os dois os termos de uma razão são multiplicados ou divididos por um mesmo número, o valor permanece inalterado, o valor sendo o quociente do primeiro termo dividido pelo segundo, é particularmente importante. Por exemplo, a razão 20:4 ou 20/4 tem o valor de 5; se ambos os termos forem divididos por 2, a razão passa a ser 10:2 ou 10/2; novamente, temos o valor de 5. Os termos de uma razão devem ser do mesmo tipo, porque o valor de uma razão é um número abstrato que expressa quantas vezes maior ou menor é o primeiro termo (ou numerador) em relação ao segundo termo (ou denominador).b Os termos podem ser números abstratos ou números concretos da mesma denominação. Assim, podemos ter uma razão de 20 para 4 (20/4) ou 20 gramas para 4 gramas (20 gramas/4 gramas). Para reconhecer essa relação claramente, devemos interpretar que a razão expressa, em seu denominador, o número de partes que uma certa quantidade (usada para comparação) contém e, em seu numerador, o número dessas partes que a quantidade que estamos medindo contém. Quando duas razões têm o mesmo valor, elas são equivalentes. Um aspecto interessante das razões equivalentes é que o produto do numerador de uma e o denominador de outra sempre se igualam ao produto do denominador de uma e ao numerador da outra; ou seja, os produtos cruzados são iguais: Porque 2/4 = 4/8, 2 × 8 (ou 16) = 4 × 4 (ou 16). Também é verdade que se duas razões forem iguais, os seus recíprocos serão iguais: Porque 2/4 = 4/8, então 4/2 = 8/4. Descobrimos também que o numerador de uma fração é igual ao produto entre o seu denominador e a outra fração: Se 6/15 = 2/5, então 6 = 15 ´ 2 5 æç ou è
b
15 ´ 2 ö ÷ = 6, 5 ø
A razão de um galão para três quartilhos não é 1:3, porque o galão contém 8 quartilhos, e, portanto, a razão é 8:3.
CÁLCULOS FARMACÊUTICOS
æ e 2 = 5 ´ 6 15 ç ou è
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5´ 6 ö ÷ = 2. 15 ø
E o denominador de uma é igual ao quociente de seu numerador dividido pela outra fração: 15 = 6 ÷ 2/5 (ou 6 × 5/2) = 15, e 5 = 2 ÷ 6/15 (ou 2 × 15/6) = 5. Uma aplicação prática extremamente útil desses fatos é encontrada na proporção. Proporção Uma proporção é a expressão da igualdade entre duas razões. Ela pode ser expressa de três formas diferentes: (1) a:b = c:d (2) a:b :: c:d (3) a = c b
d
Cada uma dessas expressões pode ser lida da seguinte forma: a está para b assim como c está para d, e a e d são chamados extremos (significando “membros externos”) e b e c são as médias (“membros medianos”). Em qualquer proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Esse princípio nos permite achar o termo desconhecido de qualquer proporção, quando os outros três termos forem conhecidos. Se o termo desconhecido for a média, ele será o produto dos extremos dividido pela média dada; se for um extremo, será o produto dos meios dividido pelo extremo dado. Usando essa informação, podemos derivar as seguintes equações fracionárias: Se
a c = , então b d a=
bc bc ad ad ,b = ,c = ,ed = . d c b a
Em uma proporção que é ajustada adequadamente, não importa a posição dos termos. No entanto, algumas pessoas preferem colocar o termo desconhecido na quarta posição – ou seja, no denominador da segunda razão. É importante nomear as unidades em cada posição (p. ex., mL, mg, etc.) para assegurar a relação apropriada entre as razões de uma proporção. O uso de razões e proporções possibilita a solução de muitos dos problemas de cálculos farmacêuticos incluídos neste livro. Exemplos: Se 3 comprimidos contêm 975 miligramas de aspirina, quantos miligramas existem em 12 comprimidos? 3 (comprimidos) 975 (miligramas) = 12 (comprimidos) x (miligramas)
x=
12 ´ 975 miligramas = 3.900 miligramas, resposta . 3
30 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Se 3 comprimidos contêm 975 miligramas de aspirina, quantos comprimidos deverão conter 3.900 miligramas? 975 (miligramas) 3 (comprimidos) = x (comprimidos) 3.900 (miligramas) x = 3´
3.900 comprimidos = 12 comprimidos, resposta . 975
Se 12 comprimidos contêm 3.900 miligramas de aspirina, quantos miligramas existem em 3 comprimidos? 12 (comprimidos) 3.900 (miligramas) = 3 (comprimidos) x (miligramas) x = 3´
3.900 miligramas = 975 miligramas, resposta . 12
Se 12 comprimidos contêm 3.900 miligramas de aspirina, quantos comprimidos deverão conter 975 miligramas? 12 (comprimidos) 3.900 (miligramas) = x (comprimidos) 975 (miligramas)
x=
12 ´ 975 comprimidos = 3 comprimidos, resposta . 3.900
As proporções não precisam conter números inteiros. Se frações comuns ou decimais forem fornecidas nos dados, elas podem ser incluídas na proporção, sem alterar o método. Para facilitar o cálculo, recomenda-se que as frações comuns sejam convertidas para frações decimais antes de estabelecer a proporção. Exemplo: Se 30 mililitros (mL) representam 1/6 do volume de uma prescrição, quantos mililitros representarão 1/ do volume? 4 1/ 6
= 0,167 e 1/4 = 0,25
0,167 (volume) 30 (mL) = 0,25 (volume) x (mL)
x = 44,91 ou ≈ 45 mL, resposta. Variação Nos exemplos anteriores, as relações eram claramente proporcionais. A maioria dos cálculos farmacêuticos envolve relações simples e diretas: duas vezes a causa, o dobro do efeito, e assim por diante. Ocasionalmente, elas envolvem relações inversas: duas vezes a causa, metade do efeito, e assim por diante, como quando diminuímos a concentração de uma solução, aumentando a quantidade de diluente.c
c Ao representarmos uma proporção inversa, não devemos esquecer que toda proporção afirma a equivalência de duas frações; assim, ambos os numeradores devem ser menores ou maiores que os seus respectivos denominadores.
CÁLCULOS FARMACÊUTICOS
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Veja um problema típico de proporção inversa: Se 10 quartilhos de uma solução a 5% são diluídos a 40 quartilhos, qual é a porcentagem de concentração da dilução? 10 (quartilhos) x (%) = 40 (quartilhos) 5 (%)
x=
10 ´ 5 % = 1,25%, resposta . 40
Análise Dimensional Ao realizarem cálculos farmacêuticos, alguns alunos preferem usar um método chamado de análise dimensional (também conhecido como análise fatorial ou método fatorial). Esse método envolve o seqüenciamento lógico e a colocação de uma série de razões (chamadas fatores) em uma equação. As razões são preparadas a partir dos dados apresentados e, também, pela seleção de fatores de conversão, e contêm tanto as quantidades aritméticas como suas unidades de medida. Alguns termos são invertidos (aos seus recíprocos) para permitir o cancelamento de unidades idênticas no(s) numerador(es) e denominador(es) e deixar apenas os termos desejados da resposta. Uma das vantagens de se empregar a análise dimensional é a consolidação de vários passos aritméticos em uma única equação. Para resolver problemas utilizando a análise dimensional, o aluno que não está familiarizado com o processo deve considerar os seguintes passos:2,3 Passo 1. Identifique a quantidade dada e sua unidade de medida. Passo 2. Identifique a unidade desejada na resposta. Passo 3. Estabeleça o caminho para conversão de unidades (partindo da quantidade e unidade dadas para obter a resposta aritmética na unidade desejada) e identifique os fatores de conversão necessários. Isso pode incluir: (a) um fator de conversão para a quantidade e unidade dadas, e/ou (b) um fator de conversão para chegar à unidade desejada na resposta.
CÁPSULA DE CÁLCULOS FARMACÊUTICOS Razão e Proporção • • •
Uma razão expressa a magnitude relativa de duas quantidades semelhantes (p. ex., 1:2, expresso como “1 para 2”). Uma proporção expressa a igualdade de duas razões (p. ex., 1:2 = 2:4). Os quatro termos de uma proporção são descritos da seguinte forma:
a : b = c : d, ou a : b :: c : d, ou
• •
a c = b d
e são expressos como “a está para b assim como c está para d.” Dados três dos quatro termos de uma proporção, o valor do quarto, ou termo desconhecido, pode ser calculado. O método razão e proporção é uma ferramenta útil para a resolução de muitos problemas de cálculos farmacêuticos.
32 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Passo 4. Estabeleça as razões nas devidas unidades, de tal forma que, com o cancelamento de unidades de medida nos numeradores e denominadores, reste somente a unidade desejada na resposta. Passo 5. Execute o cálculo multiplicando os numeradores, multiplicando os denominadores, e dividindo o produto dos numeradores pelo produto dos denominadores. O esquema geral demonstrado aqui e na “Cápsula de Cálculos Farmacêuticos: Análise Dimensional” pode ser útil para a utilização do método. Caminho para conversão de unidades Quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade desejada
Cálculo da conversão
Quantidade desejada
=
Exemplos de Cálculos que Utilizam a Análise Dimensional Quantas onças fluidas (fl. oz.) há em 2,5 litros (L)? Passo 1. A quantidade dada é 2,5 L. Passo 2. A unidade desejada para a resposta é onças. Passo 3. Os fatores de conversão necessários são aqueles que converterão litros em onças. Como aprenderemos mais adiante, esses fatores de conversão são os seguintes: 1 litro = 1.000 mL (para converter os 2,5 L dados para mililitros), e 1 onça = 29,57 mL (para converter mililitros para onças). Passo 4. A configuração do caminho para conversão de unidades: Caminho para conversão de unidades Quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade desejada
2,5 L
1.000 mL
1 fl. oz.
1L
29,57 mL
Cálculo da conversão
Quantidade desejada
=
Nota: O caminho para conversão de unidades é configurado de tal forma que todas as unidades de medida serão anuladas, exceto a unidade desejada na resposta, onças, que é colocada no numerador. Passo 5. Faça o cálculo: Caminho para conversão de unidades Quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade desejada
Cálculo da conversão
2,5 L
1.000 mL
1 fl. oz.
2,5 × 1.000 × 1
1L
29,57 mL
1 × 29,57
=
Quantidade desejada
2.500
=
29,57
ou 2,5 L ´
1.000mL 1 fl. oz. 2,5 ´ 1.000 ´ 1 2.500 ´ = = = 84,55 fl. oz. 1L 29,57 mL 1 ´ 29,57 29,57
84,55 fl. oz.
CÁLCULOS FARMACÊUTICOS
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CÁPSULA DE CÁLCULOS FARMACÊUTICOS Análise Dimensional • • • •
Trata-se de um método alternativo ao método de razão e proporção para resolução de problemas de cálculos farmacêuticos. O método envolve o seqüenciamento lógico e colocação de uma série de razões para incorporar múltiplos passos aritméticos em uma única equação. Ao aplicarmos determinados fatores de conversão à equação – tais como recíprocos – as unidades indesejadas de medida são canceladas, restando o resultado aritmético e a unidade desejada. Esquema de análise dimensional:
Caminho para conversão de unidades Quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade dada
Fator de conversão para a quantidade desejada
Cálculo da conversão
Quantidade desejada
=
Nota: O problema também pode ser resolvido por razão e proporção: Passo 1. 1 (L) 1.000 (mL) = ; x = 2.500 mL 2,5 (L) x (mL)
Passo 2. 29,57 (mL) 1 (fl. oz.) = 2.500 mL x (fl. oz.) x = 84,55 fl. oz., resposta .
Uma prescrição médica requer que 1.000 mililitros de uma infusão intravenosa de dextrose sejam administrados durante um período de 8 horas. Utilizando-se uma administração intravenosa que libera 10 gotas/mililitro, quantas gotas por minuto deveriam ser administradas ao paciente? Resolução por razão e proporção: 8 horas = 480 minutos (min) 1.000 mL ´
1.000 gotas 1 ´ = 21 gotas por minuto, resposta. 1 mL 480 min
Nota: “Gotas” foram colocadas no numerador e “minutos” no denominador para chegar à resposta no termo desejado, gotas por minuto.
34 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA
PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Se uma injeção de insulina contém 100 unidades de insulina em cada mililitro, quantos mililitros devem ser injetados para que um paciente receba 40 unidades de insulina? 2. O elixir pediátrico Digoxina* (LANOXINA) contém 0,05 mg de digoxina em cada mililitro de elixir. Quantos miligramas de digoxina seriam administrados com uma dose de 0,6 mL? 3. Em um estudo clínico, o fármaco triazolam provocou sonolência em 30 dos 1.500 pacientes testados. Quantos pacientes de uma determinada farmácia poderiam esperar efeitos semelhantes, em uma contagem de 100 pacientes? 4. Uma fórmula para 1.250 comprimidos contém 3,25 gramas (g) de diazepam. Quantos gramas de diazepam deveriam ser usados para preparar 350 comprimidos? 5. Se 100 cápsulas contêm 500 mg de um ingrediente ativo, quantos miligramas do ingrediente estarão contidos em 48 cápsulas? 6. Cada comprimido de TYLENOL COM CODEÍNA** contém 30 mg de fosfato de codeína e 300 mg de paracetamol. Se ingerisse dois comprimidos diariamente durante uma semana, quantos miligramas de cada fármaco o paciente tomaria? 7. Um xarope para tosse contém 10 mg de dextrometorfan hidrobromida por 5 mL. Quantos miligramas do fármaco estão contidos em um recipiente de 120 mL do xarope? 8. Se um fluido intravenoso é ajustado para liberar 15 mg de um medicamento por hora a um paciente, quantos miligramas do medicamento são liberados por minuto? 9. O medicamento biotecnológico filgrastim (NEUPOGEN) está disponível em frascos que contêm 480 microgramas (mcg) de fil-
grastim por 0,8 mL. Quantos microgramas de medicamento seriam administrados em cada injeção de 0,5 mL? 10. Um frasco com 100 comprimidos de um fármaco custa ao farmacêutico R$ 42,00. Qual seria o custo de 24 comprimidos? 11. Quantos comprimidos de 0,1 mg conterão a mesma quantidade de fármaco que 50 comprimidos que contêm 0,025 mg cada um do mesmo fármaco? 12. Aciclovir (ZOVIRAX) suspensão contém 200 mg de aciclovir em cada 5 mL. Quantos miligramas de aciclovir estão contidos em um quartilho (473 mL) de suspensão? 13. Um aerossol inalatório dosificador contém 225 mg de sulfato de metaproterenol que é suficiente para 300 inalações. Quantos miligramas de sulfato de metaproterenol são administrados a cada inalação? 14. Um produto vitamínico pediátrico contém o equivalente a 0,5 mg do íon fluoreto em cada mililitro. Quantos miligramas do íon fluoreto seriam fornecidos por um dispositivo que libera 0,6 mL? 15. Se uma vitamina pediátrica contém 1.500 unidades de vitamina A por mililitro de solução, quantas unidades de vitamina A são administradas a uma criança que recebe 2 gotas da solução de um conta-gotas calibrado para liberar 20 gotas por mililitro de solução? 16. Um elixir contém 40 mg de fármaco em cada 5 mL. Quantos miligramas do fármaco seriam utilizados para preparar 4.000 mL do elixir? 17. Um elixir de sulfato ferroso contém 220 mg de sulfato ferroso em cada 5 mL. Se cada miligrama de sulfato ferroso contém o equivalente a 0,2 mg de ferro elementar, quantos miligramas de ferro elementar estariam representados em cada 5 mL do elixir?
* N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Digoxina (Glaxo). ** N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Tylex (Janssencilag).
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18. A uma temperatura constante, o volume de um gás varia inversamente em relação à pressão. Se um gás ocupa um volume de 1.000 mL a uma pressão de 760 mm, qual é o seu volume a uma pressão de 570 mm? 19. Se uma solução oftálmica contiver 1 mg de fosfato de dexametasona em cada mililitro de solução, quantos miligramas de fosfato de dexametasona estariam contidos em 2 gotas, se o conta-gotas utilizado liberasse 20 gotas por mililitro? 20. Um recipiente de spray nasal de 15 mL libera 20 sprays por mililitro de solução, sendo que cada spray contém 1,5 mg de fármaco. (a) Qual é o número total de sprays que serão liberados? (b) Quantos miligramas de fármaco estão contidos no recipiente de 15mL de spray? 21. Uma preparação de penicilina V potássica possui 400.000 unidades em cada comprimido de 250 mg. Quantas unidades um paciente receberia se tomasse quatro comprimidos por dia durante 10 dias? 22. Se um pacote de 5 g de um suplemento de potássio provê 20 miliequivalentes do íon potássio e 3,34 miliequivalentes do íon cloreto, (a) quantos gramas do pó proveriam 6 miliequivalentes do íon potássio, e (b) quanto miliequivalentes do íon cloreto seriam providos por essa quantidade de pó?
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23. Se um elixir de cloreto de potássio contém 20 miliequivalentes do íon potássio a cada 15 mL de elixir, quantos mililitros darão ao paciente 25 miliequivalentes do íon potássio? 24. A concentração sérica do fármaco antibacteriano ciprofloxacina aumenta proporcionalmente com a dose de fármaco administrada. Se uma dose de 250 mg de fármaco resulta em uma concentração sérica de 1,2 microgramas de fármaco por mililitro, quantos microgramas de fármaco seriam esperados por mililitro de sangue, se for administrada uma dose de 500 mg de fármaco? 25. A dosagem do fármaco tiabendazol (MINTEZOL)* é determinada em proporção direta ao peso do paciente. Se a dose de um fármaco para um paciente que pesa 150 libras é de 1,5 gramas, qual seria a dose para um paciente que pesa 110 libras? 26. Se 0,5 mL de uma vacina para o vírus da caxumba contiver 5.000 unidades de antígeno, quantas unidades haveria em cada mililitro, se 0,5 mL de vacina fosse diluído com 2 mL de água para injeção? 27. Uma amostra de ginseng oriental contém 0,4 mg de componentes ativos em cada 100 mg de pó. Quantos miligramas de componentes ativos estariam contidos em 15 mg do pó da planta?
Números Significativos Quando contamos objetos com exatidão, qualquer número no numeral que expressa o número total de objetos deve ser considerado em relação ao seu valor de face. Esses números podem ser chamados de absolutos. Quando registrarmos uma medida, o último número à direita deve ser considerado uma aproximação, uma admissão de que o limite de precisão possível ou de exatidão necessária foi alcançado e que quaisquer números adicionais à direita não seriam significativos – em outras palavras, seriam insignificantes para um determinado propósito, ou seriam desnecessários. Um número denominado, como 325 gramas, é interpretado da seguinte forma: O 3 significa 300 gramas, nem mais nem menos, e o 2 significa exatamente 20 gramas a mais; mas o 5 final significa aproximadamente 5 gramas a mais, ou seja, 5 gramas mais ou menos alguma fração de um grama. Se essa fração é, para um determinado propósito, desprezível, depende da precisão com que a quantidade foi (ou será) pesada.
* N. de T.: Exemplo de especialidade farmacêutica disponível no Brasil: Thiaben (Uci Farma).
36 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Portanto, números significativos são números sucessivos que expressam o valor de um número denominado de forma suficientemente precisa para um determinado propósito. A exatidão varia com o quantidade de números significativos, que são todos absolutos em valor, com exceção do último, que é chamado de incerto. Qualquer um dos dígitos em um número denominado válido deve ser considerado significativo. No entanto, se o zero é significativo ou não, depende de seu posicionamento ou de fatos conhecidos sobre um determinado número. A interpretação do zero pode ser resumida da seguinte maneira: 1. Qualquer zero entre dígitos é significativo. 2. Zeros iniciais à esquerda do primeiro dígito nunca são significativos: eles são incluídos meramente para indicar a localização da vírgula decimal e, assim, atribuir um valor para os dígitos que os sucedem. 3. Um ou mais zeros finais à direita da vírgula decimal podem ser considerados significativos. Exemplos: Considerando-se que os seguintes números são todos denominados: 1. Em 12,5, há três números significativos; em 1,256, há quatro números significativos; e em 102,56, há cinco números significativos. 2. Em 0,5 há um número significativo. O dígito 5 indica quantos décimos nós temos. O 0 nãosignificativo simplesmente chama a nossa atenção para a vírgula decimal. 3. Da mesma forma, em 0,05, há apenas um número significativo, assim como em 0,005. 4. Em 0,65, existem dois números significativos, assim como em 0,065 e 0,0065. 5. Em 0,0605 existem três números significativos. O primeiro 0 indica a vírgula decimal, o segundo 0 indica o número de casas à direita da vírgula decimal ocupadas pelos números restantes, e o terceiro 0 contribui significativamente para o valor do número. Em 0,06050, há quatro números significativos, porque o último 0 também contribui para o valor do número. Como já foi apontado, um dos fatores que determina o grau de aproximação para apurar a medida é a precisão do instrumento utilizado. Seria incorreto argumentar que 7,76 mililitros foram medidos em um instrumento calibrado em unidades de 1 mililitro, ou que 25,562 gramas foram pesados em uma balança com sensibilidade para pesar 0,01 grama. Devemos distinguir de forma clara números significativos de casas decimais. Ao registrarmos uma medida, o número de casas decimais que incluímos indica o grau de precisão com o qual a medida foi feita; por outro lado, a quantidade de números significativos indica o grau de exatidão necessário para um determinado propósito. Às vezes, precisamos registrar um valor “correto para (tantas) casas decimais.” Nunca devemos confundir essa expressão comum com a expressão “correto para (tantos) números significativos”. Por exemplo, se o valor 27,625918 é arredondado para cinco casas decimais, escreve-se 27,62592; mas quando esse valor é arredondado para cinco números significativos, escreve-se 27,626. Regras de Arredondamento 1. Ao arredondar uma medida, diminua ao máximo o números de casas, pois, dessa forma, terá apenas um número incerto. Por exemplo, ao usar uma régua calibrada em centímetros, seria correto registrar uma medida como 11,3 centímetros, mas seria incorreto registrá-la como 11,32 centímetros, pois os 3 (décimos) são incertos e nenhum outro número deveria vir a seguir. 2. Ao eliminar números supérfluos em um cálculo, adicione 1 ao último número se este for igual ou maior do que 5. Por exemplo, 2,43 pode ser arredondado para 2,4, mas 2,46 deve ser arredondado para 2,5.
CÁLCULOS FARMACÊUTICOS
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3. Ao adicionar ou subtrair números aproximados, inclua apenas o número de casas decimais do número, de forma que o resultado final tenha o mínimo de casas decimais possíveis. Por exemplo, ao adicionar 162,4 gramas + 0,489 gramas + 0,1875 gramas + 120,78 gramas, o resultado da soma é 283,8565 gramas, mas com o arredondamento é 283,9 gramas. Entretanto, quando um instrumento tem a capacidade de pesar com precisão todas as quantidades em um determinado cálculo, o arredondamento pode ser considerado inapropriado. Em relação ao que foi descrito acima, existe uma suposição feita em cálculos farmacêuticos de que todas as medidas descritas em uma prescrição ou na manipulação de uma fórmula são executadas com igual precisão pelo farmacêutico. Assim, por exemplo, se as quantidades 5,5 gramas, 0,01 grama, e 0,005 grama são especificadas em uma fórmula, elas podem ser somadas como se fossem pesos exatos, cujo resultado seria 5,515 gramas. 4. Ao multiplicar ou dividir dois números aproximados, retenha apenas a quantidade de números significativos do número que tiver a menor quantidade de números significativos. Por exemplo, se multiplicar 1,6437 gramas por 0,26, a resposta pode ser arredondada de 0,427362 gramas para 0,43 gramas. 5. Ao multiplicar ou dividir um número aproximado por um número absoluto, o resultado deve ser arredondado para a mesma quantidade de números significativos do número aproximado. Assim, se 1,54 miligramas são multiplicados por 96, o produto, 243,84 miligramas, pode ser arredondado para 244 miligramas, ou para três números significativos.
PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Informe a quantidade de números significativos em cada das quantidades em itálico: (a) Uma onça é igual a 29,57 mililitros. (b) Um litro é igual a 1.000 mililitros. (c) Uma polegada é igual a 2,54 centímetros. (d) O custo de um ingrediente é de R$1,05 por quilo. (e) Um grama é igual a 1.000.000 microgramas. (f ) Um micrograma é igual a 0,001 miligrama. 2. Arredonde os números abaixo para três números significativos: (a) 32,75 (b) 200,39 (c) 0,03629 (d) 21,635 (e) 0,00944 3. Arredonde os números abaixo para três casas decimais: (a) 0,00083 (b) 34,79502
(c) 0,00494 (d) 6,12963 4. Se uma mistura de sete ingredientes contiver os seguintes pesos aproximados, qual o total aproximado do peso combinado dos ingredientes? 26,83 gramas, 275,3 gramas, 2,752 gramas, 4,04 gramas, 5,197 gramas 16,64 gramas e 0,085 grama. 5. Efetue os cálculos abaixo, mantendo apenas os números significativos nos resultados: (a) 6,39 – 0,008 (b) 7,01 – 6,0 (c) 5,0 – 48,3 gramas (d) 24 × 0,25 grama (e) 56,824 ÷ 0,0905 (f ) 250 ÷ 1,109
38 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA Estimativa Uma das melhores formas de conferir se um cálculo numérico é razoável é estimar a resposta. Se chegarmos a uma resposta errada, usando um método errado, uma repetição mecânica do cálculo pode não revelar o erro. Entretanto, um resultado absurdo, tal como a colocação do vírgula decimal no lugar errado, provavelmente não passará despercebido se antes for realizada uma estimativa. Como é imprescindível que os farmacêuticos garantam a exatidão de seus cálculos empregando todos os recursos possíveis, os alunos de farmácia são aconselhados a utilizar a estimativa como um desses recursos. A habilidade de estimar é obtida com a prática constante. Portanto, os alunos de farmácia devem adquirir o hábito de estimar a resposta para cada problema, antes de tentar resolvê-lo. A estimativa é empregada como um dos meios para julgar a racionalidade do resultado final. É importante conferir a exatidão de cada cálculo, primeiro somando a coluna para cima e depois para baixo. Conseqüentemente, o aluno deve seguir invariavelmente este procedimento: (1) estimar, (2) calcular, (3) conferir. O processo de estimativa é basicamente simples. Primeiro, os números dados em um problema são arredondados mentalmente para números ligeiramente maiores ou menores que contenham menos números significativos; por exemplo, 59 seria arredondado para 60, e 732 para 700. A seguir, os cálculos necessários são executados, até onde for possível, mentalmente, e o resultado, embora seja um pouco maior ou menor que a resposta exata, é aproximado o bastante para servir como uma estimativa. Na adição, podemos obter uma estimativa razoável do total somando primeiro os números da coluna que estiver mais à esquerda. Os números remanescentes descartados de cada número provavelmente indicam mais ou menos do que a metade do valor de uma unidade da ordem que acabamos de adicionar e, conseqüentemente, ao somatório da coluna mais à esquerda, adicionamos metade para cada número na coluna. Exemplo: Some os seguintes números: 7.428, 3.652, 1.327, 4.605, 2.791 e 4.490. Estimativa: Os números na coluna de milhares somam 21.000, e com cada número que contribui 500 ou mais em média, ou cada par que contribui 1.000 ou mais, obtemos 21.000 + 3.000 = 24.000, resposta estimada (resposta certa, 24.293). Na multiplicação, o produto dos dois dígitos posicionados mais à esquerda, somados a um número suficiente de zeros para dar o posicionamento correto ao valor do resultado, serve como uma boa estimativa. O número de zeros providos deve ser igual ao número total de números descartados. A aproximação para a resposta correta é mais precisa se os números descartados são usados para arredondar o valor dos números retidos. Exemplo: Multiplique 612 por 413. Estimativa: 4 × 6 = 24, e como descartamos quatro números, temos que prover quatro zeros, o que resulta em 240.000, resposta estimada (resposta certa, 252.756). Na divisão, os números dados podem ser arredondados para aproximações convenientes, mas, novamente, é necessário ter cuidado para preservar o posicionamento correto ao valor do resultado. Exemplo: Divida 2.456 por 5,91. Estimativa: Os números podem ser arredondados para 2.400 e 6. Podemos dividir 24 por 6 mentalmente, mas precisamos lembrar dos dois zeros substituídos por 56 em 2.456. A resposta estimada é 400 (resposta certa, 416).
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PROBLEMAS PRÁTICOS 1. Estime as somas: (a) 5.641 (b) 3.298 2.177 368 294 5.192 8.266 627 3.503 4.835 2. Estime os produtos: (a) 42 × 39 = (b) 365 × 98 = (c) 596 × 204 = (d) 6.549 × 830 = (e) 8.431 × 9.760 = (f ) 2,04 × 705,3 = (g) 0,0726 × 6.951 = (h) 6,1 × 67,39 =
(c) R$ 75,82 37,92 14,69 45,98 28,91 49,87
3. Estime os quocientes: (a) 171 ÷ 19 = (b) 184 ÷ 2.300 = (c) 160 ÷ 3.200 = (d) 86.450 ÷72 = (e) 98.000 ÷ 49 = (f ) 1,0745 ÷ 500 = (g) 1,9214 ÷ 0,026 = (h) 458,4 ÷ 8 =
RESPOSTAS PARA OS PROBLEMAS PRÁTICOS Numerais Romanos (p. 20) 1. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i)
xxviii lxiv lxxii cxxvi xcix xxxvii lxxxiv xlviii MCMLXXXIX
2. (a) (b) (c) (d)
41 150 1.959 1.814
3. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
45 2 48 64 16 84
Frações Comuns, Frações Decimais e Porcentagem (p. 25) 1. (a) (b) (c)
37/
32 ou 13/ 600 77/ 480
1 5/32
2. (a) 209/64 ou 3 17/64 (b) 1/120 (c) 5/6 (d) 1/240 3. (a) 225/48 ou 4 11/16 (b) 105/4 ou 26 1/4 (c) 9/2.500 4. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
10/
1
3/
10
1/
12
2/
3
ou 10
8/
15 64/ 1
ou 64
5. (a) 48/3 ou 16 (b) 1/60.000 (c) 25/2 ou 12 1/2
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40 HOWARD C. ANSEL E MITCHELL J. STOKLOSA 6. (a) (b) (c) (d)
62 1/2 15 64 12.500 1/
7. (a) 32 (b) 4/5 (c) 64/1 8. (a) 0,125 (b) 0,0002 (c) 0,0625 9. 2,048 10. 1,565 11. 2.000 doses 12. (a) (b) (c) (d)
0,028 ou 2,8% 0,43 ou 43% 0,004 ou 0,4% 0,0025 ou 0,25%
5. (a) 8,52 × 104, ou 8,5 × 104 (b) 3,58 × 10-5, ou 3,6 × 10-5 (c) 2,99 × 103, ou 3,0 × 103 6. (a) 6,441 × 106, ou 6,4 × 106 (b) 6,6 × 10-3 (c) 6,94 × 103, ou 6,9 × 103 Razão, Proporção, Variação e Análise Dimensional (p. 34) 1. 0,4 mL de injeção de insulina 2. 0,003 mg de digoxina 3. 2 pacientes 4. 0,91 g de diazepam 5. 240 mg 6. 420 mg de fosfato de codeína e 4.200 mg de acetaminofeno
13. 0,68 ou 68%
7. 240 mg de dextrometorfan
14. 1 1/8 onças de cloridrato de hidromorfona
8. 0,25 mg
15. 4,416 gramas de sulfato de codeína
9. 300 mcg de filgrastina
16. 0,012 ou 1,2%
10. R$ 10,08 11. 121/2 comprimidos
Notações Exponenciais (p. 27)
12. 18.920 mg de aciclovir
1. (a) (b) (c) (d) (e)
1,265 × 104 5,5 × 10-9 4,51 × 102 6,5 × 10-2 6,25 × 108
13. 0,75 mg de sulfato de metoproterenol
2. (a) (b) (c) (d) (e)
4.100.000 0,0365 0,00000513 250.000 8.695,6
17. 44 mg de ferro elementar
3. (a) (b) (c) (d) (e)
17,5 × 107 = 1,75 × 108 16,4 × 10-4 = 1,64 × 10-3 6,0 × 100 = 6 12 × 107 = 1,2 × 108 36 × 102 = 3,6 × 103
4. (a) 3,0 × 103 (b) 3,0 × 10-10 (c) 3,0 × 109
14. 0,3 mg do íon fluoreto 15. 150 unidades de vitamina A 16. 32.000 mg 18. 1.333 mL 19. 0,1 mg de fosfato de dexametasona 20. (a) 300 sprays (b) 450 mg 21. 16.000.000 unidades 22. (a) 1,5 g (b) 1 miliequivalente do íon cloreto 23. 18,75 mL 24. 2,4 microgramas de ciprofloxacina
CÁLCULOS FARMACÊUTICOS
25. 1,1 g de tiabendazol 26. 2.500 unidades de antígeno
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(d) 6,0 g (e) 628 (f ) 225
27. 0,06 mg Estimativa (p. 39) Números Significativos (p. 37) 1. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
quatro quatro três três sete um
2. (a) (b) (c) (d) (e)
32,8 200 0,0363 21,6 0,00944
3. (a) (b) (c) (d)
0,001 34,795 0,005 6,130
4. 330,8 g 5. (a) 6,38 (b) 1,0 (c) 240 g
1. (a) 20.500 (19.881) (b) 14.500 (14.320) (c) R$ 240,00 (R$ 253,19) 2. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h)
40 × 40 = 1.600 (1.638) 360 × 100 = 36.000 (35.700) 600 × 200 = 120.000 (121.584) 7.000 × 800 = 5.600.000 (5.435.670) 8.000 × 10.000= 80.000.000 (82.286.560) 2 × 700 = 1.400 (1.438,812) (7 × 70) = 490 (504,6426) 6 × 70 = 420 (411,079)
3. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h)
170 ÷ 20 = 8,5 (9,0) 180 ÷ 2.000 = 0,09 (0,08) 16 ÷ 320 = 1/20 ou 0,05 (0,05) 8.400 ÷ 7 = 1.200 (1.200,7) 9.800 ÷ 5 = 1.960 (2.000) 0,01 ÷ 5 = 0,002 (0,002149) 19 ÷ 0,25 = 19 × 4 = 76 (73,9) 460 ÷ 8 = 57,5 (57,3)
REFERÊNCIAS 1. “Roman Numerals.” Infoplease. © 2000-2004 Pearson Education, publishing as Infoplease. 16 Aug. 2004. http:/ /www.infoplease.com/ipa/A0001734.html. 2. Disponível em: http://www2.austincc.edu/barnes/da.html. Acessado em 20/08/2004. 3. Craig GP. Clinical Calculations Made Easy. 2nd Ed. Baltimore: Lippincott Williams & Wilkins, 2001.