Ολοκληρώματα - Επανάληψη by ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

1. ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του Θεωρήματος Σελ.329-330: Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος Σελ.330: τα μπλε πλαίσια Σελ.332: όλη Σελ.334: όλη Σελ.334-5: Απόδειξη του Θεωρήματος Σελ.336: το μπλε πλαίσιο Σελ.337: το μπλε πλαίσιο Σελ.342-345: ανάγνωση Σελ.346: το Σχόλιο Σελ.348: Η εφαρμογή είναι εκτός ύλης Σελ.354-9: τις ερωτήσεις κατανόησης

2. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Σελ.308 , 309: Α2 , Α3 , Α4 , Β1 , Β4 Σελ.338 , 339 , 340: Α5 , Α6 , Β1 , Β2 , Β3 , Β4 , Β5 , Β6 , Β7 , Β8 , Β9 , Β10 , Β11 , Β12 Σελ.349, 350, 351: Α1 , Α3 , Α5 , Β1 , Β2 , Β3 , Β4 , Β5 , Β8 , Β9 , Β10 , Β11 , Β12 Σελ.352, 353: Γ1, Γ2, Γ4 , Γ5 , Γ6 , Γ7 , Γ8 , Γ9 , Γ10

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-2-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑ ΓΟΥΣΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ

x + c

1 x

ln|x | + c

x ,   1

x 1 c  1

συνx

ημx + c

ημx

-συνx + c

7 8

 x 2

εφx + c

=1+εφ 2 x

 x  c

=1+σφ 2 x

 x 2

ex + c

αx

ax c ln a

1 x

 x   



dx ,   1

  x   

  x   

  x   

1   x   

e x 

  x 



ln  x    c

1  x    c   1 1   x     c  1    x     c  1



  x     c

1    x     c



e x   c

 1 a x   c  ln a

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-3-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Πρόσεξε επίσης τα εξής: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1 2

f ΄ ( x) f ( x) f ΄ ( x)  2 f ( x)

ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ln|f(x )| + c 1 c f ( x)

f΄(x )συν(f(x ))

ημ(f(x ))

-f΄(x )ημ(f(x ))

συν(f(x ))

5 6 7

f ΄ ( x)  2 f ( x ) f ΄ ( x)  2  f ( x )

f΄(x )e f ( x )

εφ(f(x )) σφ(f(x )) ef(x) + c

Μην ξεχνάς ότι στα Μαθηματικά χρειάζεται καλή παρατήρηση και καθαρό μυαλό: Παράδειγμα ► πρέπει να παρατηρήσεις ότι μια παράγουσα της: f ΄ ( x) είναι η: e f ( x) ► Αν μας δίνεται σχέση της μορφής:

g(x)  ef (x) πρέπει να σκεφτείς ότι γράφεται: f (x) g(x) = ef(x) f΄(x) άρα στη μορφή: (G(x))΄ = (ef(x) )΄ , όπου G μια παράγουσα της g ...

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-4-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

♦ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 











f ( x)dx   f ( x)dx 

f ( x)dx  0

 Αν f συνεχής στο [α , β] και f(x)  0 , τότε :





f ( x)dx  0

Θεώρημα 1ο Αν f , g συνεχείς συναρτήσεις στο [α , β] και λ , μ  

τότε:



  f ( x)dx    f ( x)dx    [ f ( x )  g ( x )] dx  f ( x ) dx     g ( x)dx    [  f ( x )   g ( x )] dx   f ( x ) dx      g ( x)dx

 



Θεώρημα 2ο Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α , β , γ  Δ , τότε ισχύει: 











f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx .

Θεώρημα 3ο Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α , β] . Αν f(x)  0 για κάθε x  [α , β] τότε και





f ( x)dx  0.

Ειδικά αν η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό , τότε :





f ( x)dx  0.

Το παραπάνω χρησιμοποιείται για την απόδειξη ανισοτικών σχέσεων στα ολοκληρώματα. Παράδειγμα δες άσκηση Γ10 σελ.353 σχολικού.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-5-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

♦ Η συνάρτηση: F(x)=

 f (t )dt

Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ , τότε η συνάρτηση : F(x) =

 f (t )dt

, x Δ

είναι μια παράγουσα της f στο Δ.



Άρα:



 f (t )dt  f ( x) , για κάθε x  Δ.

♦ Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α , β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α , β] , τότε:





f (t )dt  G( x)a  G(  )  G(a) 

♦ Παρατηρήσεις 1)



g ( x)





 f (t )dt  f  g ( x)   g ( x)

 



  x f (t )dt    f (t )dt   f ( x) a

h( x)

3) Έστω F ( x)  g ( x ) f (t )dt , όπου f συνεχής στο Δ και g(x) , h(x)  Δ και g(x) , h(x) παραγωγίσιμες στο Δ . Για να υπολογίσουμε την F΄(x) παρεμβάλλουμε σημείο α Δ. Δηλαδή: F ( x)  

g ( x)

 

f (t )dt  

g ( x)

h( x)

f (t )dt  

f (t )dt

h( x)

f (t )dt

Άρα : F ( x)   f  g ( x)   g ( x)  f  h( x)   h( x)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-6-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα g ( x)

4) Αν F ( x)  a

h( x)  f (t )dt επειδή στο ολοκλήρωμα μεταβλητή

ολοκλήρωσης είναι το t , η h(x) θεωρείται σταθερά για το ολοκλήρωμα. Άρα:

F ( x )  h( x ) 

g ( x)



F ( x)  h( x) 

g ( x)

f (t )dt

 h( x)  

g ( x)

 h( x)  

g ( x)





f (t )dt και



f (t ) dt  h( x) 



g ( x)

f (t )dt



f (t ) dt  h( x)  f  g ( x)   g ( x)

f ( x)dx   f ( x)a  f (  )  f (a) 

♦ Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(x)=

1. Αν F(x)=



f ( t )dt

f ( t )dt με f συνεχής στο Df .

α. Αν Df = Δ ,τότε θα πρέπει τα α και x να ανήκουν στο Δ. β. Αν Df = Δ1∪Δ2 , τότε θα πρέπει τα α και x να ανήκουν στο ίδιο διάστημα. Άρα αν αΔ1 θα πρέπει α και x να ανήκουν στο Δ1. 2. Αν F(x)=



g( x )

f ( t )dt με f συνεχής στο Df . α και g(x) να ανήκουν στο Δ  x  Dg

α. Αν Df = Δ , τότε θα πρέπει: 

και

β. Αν Df = Δ1∪Δ2 , τότε θα πρέπει α και g(x) να ανήκουν στο ίδιο διάστημα. α και g(x) να ανήκουν στο Δ1

Άρα αν αΔ1 θα πρέπει:    x  Dg

και

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-7-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

3. Αν F(x)= h( x ) f ( t )dt με f συνεχής στο Df . g( x )

h(x) και g(x) να ανήκουν στο Δ  x  Dh  Dg

α. Αν Df = Δ , τότε θα πρέπει: 

και

β. Αν Df = Δ1∪Δ2 , τότε θα πρέπει:  h(x) και g(x) να ανήκουν στο Δ1    x  Dh  Dg

και

ή  h(x) και g(x) να ανήκουν στο Δ2    x  Dh  Dg

και

Παράδειγμα Γ6 σελ.352 σχολικού

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-8-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΠΡΟΣΟΧΗ Σε ασκήσεις που μας ζητούν να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Δ και χρειάζεται να εφαρμόσουμε Θ.Rolle στην παράγουσα μιας συνάρτησης, να θυμόμαστε ότι και η συνάρτηση :

 f (t )dt

, x Δ είναι μια παράγουσα της f στο Δ.

Παράδειγμα Αν f συνεχής στο [1,2] και

1 f (x)dx  3  0

να αποδείξετε

ότι υπάρχει x o  (1,2) τέτοιο ώστε f (x o ) + 2x o = x o 2 . Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-9-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Α) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες





f ( x) g ( x)dx   f ( x) g ( x)a   f ( x) g ( x)dx , a 

όπου f ΄ , g ΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α , β].

Μορφή1:

, Ρ(x): πολυώνυμο

Μορφή2: , Ρ(x): πολυώνυμο

Μορφή3:

, όπου F μια παράγουσα της f.

Μορφή4: Συνήθως γράφουμε σε μορφή παραγώγου την εκθετική. Η εφαρμογή του τύπου της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες γίνεται δύο φορές και δημιουργείται μια εξίσωση με άγνωστο το αρχικό ολοκλήρωμα)

Β) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση





f  g ( x)  g ( x)dx   f (u )du , u u2 1

όπου f , g ΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις , u = g(x) , du = g ΄(x)dx και u1 = g(α) και u2 = g(β).

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 10 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Ολοκλήρωση Ρητών συναρτήσεων α) Θα παρατηρούμε μήπως το ο λοκλήρωμα γράφεται στη μορφή

, το οποίο είναι ίσο με:

β) Αν ο αριθμητής έχει μικρότερο βαθμό από τον παρονομαστή τότε θα αναλύου με το κλάσμα σ ε άθροισμα απλών κ λασμάτ ων. γ) Αν ο αριθμητής έχει ίσο ή μεγαλύτερο βαθμό από τον παρονομαστή τότε θα εκτελού με τη διαίρεση των πολυωνύ μων και θα καταλήγουμε σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής β). Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων ειδικής μορφής

Άρτιες δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Χρησιμοποιούμε τους τύπους:

Περιττές δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Απ’ τις περιττές δυνάμεις αποσπάμε έναν παράγοντα και συνεχίζουμε με αντικατάσταση. Π.χ = Θέτουμε: u=συνx άρα du=-ημxdx ………

► Πρόσεξε επίσης και τα: Τα γράφω στη μορφή:

και και

. αντίστοιχα και

θέτω u = συνx στο πρώτο και u = ημx στο δεύτερο ... ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 11 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 1η Κατηγορία Ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f , τον άξονα x΄x και τις ευθείες : x = α και x = β. Τρόπος εργασίας α) Εξετάζουμε τη συνέχεια της f στο [α , β]. β) Βρίσκουμε τις ρίζες της f(x) = 0 στο [α , β]. γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της f στο [α , β]. δ)  Αν f(x)  0 για κάθε x  [α , β] τότε: Ε =





 Αν f(x)  0 για κάθε x  [α , β] τότε: Ε = -

f ( x)dx. 



f ( x)dx.

 Αν η f δεν έχει σταθερό πρόσημο στο [α , β] και π.χ γ , δ είναι ρίζες της f(x) = 0 με γ < δ και το πρόσημο της f δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: x α γ δ β f(x) + + Τότε: Ε =















f ( x) dx  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 

Προσοχή Αν δε δίνεται το διάστημα ολοκλήρωσης δηλαδή μας ζητάνε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf και τον άξονα x΄x , τότε το διάστημα ολοκλήρωσης [α , β] θα έχει άκρα α και β τις ακραίες ρίζες της f(x) = 0.

2η Κατηγορία Ζητάμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες : x = α και x = β. Τρόπος εργασίας α) Εξετάζουμε τη συνέχεια της h(x) = f(x) – g(x) στο [α , β]. β) Βρίσκουμε τις ρίζες της h(x) = 0 στο [α , β]. γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της h στο [α , β]. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 12 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

δ)  Αν h(x)  0 για κάθε x  [α , β] τότε: Ε =





h( x)dx  





 f ( x)  g ( x)  dx.

 Αν h(x)  0 για κάθε x [α , β] τότε: Ε=-







 f ( x)  g ( x)  dx   g ( x)  f ( x)  dx. 

h( x)dx  

 Αν η h δεν έχει σταθερό πρόσημο στο [α , β] και π.χ γ , δ είναι ρίζες της h(x) = 0 με γ < δ και το πρόσημο της h δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: x α γ δ β h(x) + 











ό : E   h( x) dx    h( x)dx   h( x)dx   h( x)dx  a











 f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx    f ( x)  g ( x)  dx

Προσοχή Αν δε δίνεται το διάστημα ολοκλήρωσης δηλαδή μας ζητάνε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf και Cg , τότε το διάστημα ολοκλήρωσης [α , β] θα έχει άκρα α και β τις ακραίες ρίζες της h(x) = 0 δηλαδή της f(x) – g(x) = 0.

3η Κατηγορία Στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπως:  το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg , τον x΄x και τις ευθείες x = α και x = β ή  το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg , τον x΄x και την ευθεία x = α ή  το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg και τον x΄x ή  το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις Cf , Cg , Ch κ.λ.π Τρόπος εργασίας Είναι απαραίτητη η γραφική παράσταση των συναρτήσεων:  Βρίσκω τα κοινά σημεία των γραμμών που ορίζουν το χωρίο , λύνοντας τα συστήματα των εξισώσεών τους.  Αφού βρω στο διάγραμμα το ζητούμενο εμβαδόν , το χωρίζω σε τμήματα με κατακόρυφες ευθείες. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 13 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

 Σε αυτά τα τμήματα εντοπίζω ποιες συναρτήσεις βρίσκονται «πάνω» και ποιες «κάτω». Π.χ Ch

Cg Cf α





τότε:   a  g ( x)  h( x)  dx    g ( x)  f ( x) dx

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 14 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

 ΜΗΝ ΞΕΧΝΑΣ: Το ολοκλήρωμα







f ( x ) dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών

των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.

 Να δεις και την Γ4 σελ.352 του σχολικού (αναδρομικός τύπος) καθώς και τη Γ2 σελ.352 (το

  x dx )

 Θα ήταν δύσκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό που περικλείεται από Cf και τον xx΄ , όταν ο τύπος έχει λογάριθμο που δεν ορίζεται το «ln0». Τότε θα πάμε με όριο όταν x τείνει στην απαγορευμένη τιμή που δίνει την απροσδιοριστία ln0 Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση:  x ln x, x  0 f ( x)   ,x 0 0

i) Να δειχθεί f συνεχής στο [0, +∞) ii) Να υπολογιστεί το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από Cf ,τον xx΄ και την ευθεία x = 1. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 15 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Προσοχή στον υπολογισμό ορίου συνάρτησης σε ολοκλήρωμα όταν x τείνει στο ± ∞ με το κριτήριο παρεμβολής.

Παράδειγμα α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: f(t) =

1 . t 2 1

β) Να υπολογίσετε το όριο: lim



x 1

x x

1 dt . 2 t 1

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 16 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Για την ισότητα συναρτήσεων θυμάμαι: Όταν οι συναρτήσεις έχουν ίσες παράγωγους, διαφέρουν κατά c και αν c = 0 , τότε αυτές είναι ίσες. (δες άσκηση Γ5 σελ.352)



Για το ολοκλήρωμα:

 x



   f (t)dt  dx .

Το υπολογίζουμε εφαρμόζοντας τη μέθοδο κατά παράγοντες:

 x



      f (t)dt  dx    x    f (t)dt  dx  ... 







Παράδειγμα 1 Να υπολογίσετε το:

1 x



0  1 1 t 2 dt dx .

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 17 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Παράδειγμα 2 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : RR , οι οποίες για κάθε xR ικανοποιούν τις σχέσεις: i) f(x) > 0 και g(x) > 0 1  f ( x )  x e 2t 1  g ( x )  x e 2t ii) iii)  dt  dt 0 g ( x  t ) 0 f (x  t) e2 x e2 x Δ1. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο R και ότι f(x) = g(x) για κάθε xR. Δ2. Να αποδείξετε ότι: f(x) = e x , xR. ln f ( x) Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: lim . x 0 1 f   x Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της x

 

συνάρτησης F ( x)   f t 2 dt τους άξονες x΄x και y΄y και 1

την ευθεία με εξίσωση x = 1. Θέμα 4 ο 2011 Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 18 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Πρόσεξε την εύρεση τύπου συνάρτησης f(x) από σχέση της που εκτός ίσως της f ΄(x) να υπάρχει και ορισμένο ολοκλήρωμά της. (χρειάζεται να θέσεις το





f ( x)dx = κ)

Παράδειγμα 1 Αν f(x) = x2 – x - 0 f ( x)dx για κάθε xR να βρείτε τον τύπο 2

της f) Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 19 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Παράδειγμα 2 Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο για την οποία 2

ισχύει: f ( x)  (10 x3  3x)  f (t )dt  45 . 0

α. Να αποδείξετε ότι f(x)=20x 3 +6x−45. β. Δίνεται επίσης μια συνάρτηση g δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR . Να αποδείξετε ότι g ( x)  g ( x  h) . g ( x)  lim h0 h γ. Αν για τη συνάρτηση f του ερωτήματος (α) και τη συνάρτηση g του ερωτήματος (β) ισχύει ότι g ( x  h)  2 g ( x)  g ( x  h) lim  f ( x)  45 και h0 h2 g(0)=g΄(0)=1, τότε i. να αποδείξετε ότι g(x)=x 5 +x 3 +x+1 ii. να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι 1−1 Θέμα 4 ο 2008 Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 20 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Την αντίστροφη συνάρτηση f -1 , όχι μόνο μπορώ να τη βρω, αλλά και χωρίς τον υπολογισμό του τύπου της μπορώ να λύσω εξισώσεις (περνώντας f), να βρω εξισώσεις εφαπτομένων ευθειών στο γράφημά της και τις συμπεριφορές του γραφήματός της με αυτό της f , να βρω παράγωγό της σε σημείο, να υπολογίσω ορισμένο ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 1. α. Να δείξετε ότι ορίζεται η f -1. β. Αν γνωρίζουμε ότι η f-1 είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε την  f 1  3 .

 

γ. Να υπολογίσετε το

1 1 f  x  dx . 3

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 21 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Αν προηγείται η έκφραση κοίλη – κυρτή το Θ. Τ. Μ. λύνει πιο όμορφα τις ανισοτικές σχέσεις. Αν μου ζητούν να βρω και εφαπτομένη τότε μέσω της κυρτότητας αποδεικνύω ανισώσεις και βρίσκω εμβαδόν μεταξύ της Cf και της εφαπτομένης.

Παράδειγμα 1 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = e λ x , λ > 0. α. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα . β. Δείξτε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι η y = λex. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ. γ. Δείξτε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, της εφαπτομένης της στο σημείο Μ και του άξονα y΄y, είναι Ε(λ) = δ.

e2. 2λ

Υπολογίστε το

lim

λ  

λ2  Ε(λ) . 2  ημλ

Θέμα 3 ο 2005 Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 22 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Παράδειγμα 2 Δίνεται η συνάρτηση F ( x)  

1 . dt ln t

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το πρόσημο της F. β) Να αποδείξετε ότι η F είναι κοίλη και να βρείτε την εφαπτομένη της CF στο σημείο της με x0 = e. γ) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη CF τον άξονα x΄x και την ευθεία x = 3, να αποδείξετε ότι 2E  3  e . Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 23 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Δώσε μεγάλη προσοχή στην παρακάτω πρόταση: Αν μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε ένα διάστημα Δ και

, τότε υποχρεωτικά α = β !

(Πρόσεξε θέλει απόδειξη η παραπάνω πρόταση)

Παράδειγμα Αν f συνεχής και f(x)≠0 για κάθε xR , lim f ( x )  3 και x 2

1 z

f ( x )dx  0 με zC,

α. να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του z. β. Να υπολογίσετε το όριο:

1  f (2011) x 2  4  lim . x  f (1993)  2 ln x  3  

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 24 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1. Έστω ο μιγαδικός z με z<2. α. Αν w 

1 , να δειχθεί ότι: Re(w)< 1 .  z 2 4

β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση(2-x)ex- z=0 έχει μοναδική λύση ξ στο διάστημα (1,2). γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) 

f ( x) 

ex  z , x  1 . Να δειχθεί ότι ex  z x

1 .  1

2. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R που ικανοποιεί τη σχέση : (f΄(x) - f(x)) (x2 + 1) = 2 x f(x) για κάθε xR και η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης στην αρχή των αξόνων είναι κάθετη στην ευθεία y = -x. α) Να βρεθεί ο τύπος της f. β) Να δειχθεί ότι η y = -x δεν έχει δύο κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της f. γ) Να βρεθεί το: xlim  

f (t ) dt , κ>1. e x

δ) Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(α) μεταξύ της γραφικής παράστασης της f, του x΄x, της x=0 και της x=α>0. ε) Να βρεθούν, αν υπάρχουν, οι ασύμπτωτες της Ε(α). 3. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x) = ln(x+1) + x3 + x + e , x>-1. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f-1. β) Να λύσετε την εξίσωση f-1(x)=0. γ) Αν γνωρίζετε ότι η f-1 είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, να βρείτε το( f-1)΄(e). 4. Οι συναρτήσεις f και g έχουν συνεχή παράγωγο στο R και x

ισχύει f΄(x) > 0 και g ( x)  x  f ( xt )dt για κάθε xR. 1

α) β)

Να αποδείξετε ότι g΄(x) = f(x2) – f(x) για κάθε xR. Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 25 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(0 , 1) ώστε 2ξf΄(ξ2) = f΄(ξ) .

γ)



5. Αν f συνεχής στο R με α.

 f (t)dt  2  0

f (t)dt   f (t)dt , να αποδείξετε ότι: 1

f (t)dt .

β. Η συνάρτηση g(x) =

1 x f (t)dt ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του x 0

θεωρήματος του Rolle στο [1 , 2]. γ. Υπάρχει ξ(1 ,2) τέτοιο, ώστε f(ξ) =

 f (t)dt . 0

6. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(z) = z + i , με z C και τους μιγαδικούς για τους οποίους 5 3

α. Να δείξετε ότι z  i 

f (z)  2 (1). f (z)

4 για κάθε zC που ικανοποιεί την (1). 3

β. Ποιος από τους μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει η (1) έχει το μεγαλύτερο μέτρο και ποιος το μικρότερο; γ. Να βρείτε τη γραμμή στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού w = z – 3. δ. Αν z1 = 2 – i να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου w  z1 . ε. Αν z2 = λ -1 + (λ – 2) i , λ  R να βρείτε την ελάχιστη τιμή του μέτρου z  z 2 . 7. Έστω συνάρτηση f :(0,+∞)  R με f ( x)  e  



f (t ) dt t2

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f(x) e x είναι σταθερή. β. Να βρείτε τον τύπο της f. γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και κυρτότητας της f. δ. Να δείξετε ότι :

e   f ( x)dx  e. 1

ε. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo(1,2) τέτοιο ώστε 2

1

f ( x)dx  e

1 x0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 26 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΜΕΡΙΚΕΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ 

Δώσε προσοχή στον υπολογισμό της πρώτης και δεύτερης παραγώγου που θα χρειασθεί για την μελέτη συνάρτησης, η οποία έχει τύπο με βάση και εκθέτη μεταβλητή. ( π.χ f(x) = xx )



Προσοχή στον υπολογισμό ορίου συνάρτησης σε ολοκλήρωμα όταν x τείνει στο ± ∞ με το κριτήριο παρεμβολής.



Όταν δούμε f(x) ≠0: μπορώ να διαιρέσω με f(x) αλλά αν ξέρω ότι η f είναι και συνεχής έχω «διατήρηση προσήμου»;



Η τριγωνική ανισότητα στους μιγαδικούς δεν έπεσε ποτέ σε συνδυασμό με Bolzano ή για κριτήριο παρεμβολής.



Το εμβαδό όχι ως ζητούμενο αλλά ως δεδομένο,· μπορεί να δώσει προϋποθέσεις γνωστών θεωρημάτων όπως αν δίνεται σε ανισότητα και ζητείται ισότητα ή προσδιορισμός συντεταγμένων στο γράφημα.



Με ακρότατα εκφράσεων συνάρτησης να μελετηθούν μέγιστα – ελάχιστα μέτρων μιγαδικών. (Aν z = x + (x-1)2i)



Οι ασύμπτωτες όχι μόνο να υπολογίζονται αλλά με τη βοήθεια τους να βρεθούν και όρια ύστερα από υπέρβαση των γνωστών απροσδιοριστιών.



Το γνωστό «οι ίσες συναρτήσεις είναι ίσες, όταν έχουν ίσες παράγωγους, διαφέρουν κατά c και c = 0» είναι μια μέθοδος που πρέπει να θυμάσαι.(δες άσκηση Γ5 σελ.352)



Όταν γνωρίζω ρίζα της f και μονοτονία της , μπορώ να βρω το πρόσημό της.







f ( x)dx =c)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 27 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

(π.χ Αν f(x) = x2 – x - 0 f ( x)dx για κάθε xR να βρείτε τον 2

τύπο της f) 

Την αντίστροφη συνάρτηση f -1 , όχι μόνο μπορώ να τη βρω, αλλά και χωρίς τον υπολογισμό του τύπου της μπορώ να λύσω εξισώσεις (περνώντας f), να βρω εξισώσεις εφαπτόμενων ευθειών στο γράφημά της και τις συμπεριφορές του γραφήματός της με αυτό της f , να βρω παράγωγό της σε σημείο, να υπολογίσω ορισμένο ολοκλήρωμα.



Στην απόδειξη ανισοτικών σχέσεων με μονοτονία μπορεί να χρειαστεί να φτάσουμε μέχρι 2η ή 3η παράγωγο!.. μέχρι να βρούμε ρίζα.



Όταν έχω ανισοϊσότητα στα δεδομένα που ισχύει για κάθε x, θυμάμαι….. το Fermat.



Αν προηγείται η έκφραση κοίλη – κυρτή το Θ. Τ. Μ. λύνει πιο όμορφα τις ανισοτικές σχέσεις. Αν μου ζητούν να βρω και εφαπτομένη τότε μέσω της κυρτότητας αποδεικνύω ανισώσεις, βρίσκω εμβαδόν μεταξύ της Cf και της εφαπτομένης.



Αν το άθροισμα των τετραγώνων πραγματικών αριθμών είναι μηδέν τότε και οι δύο μηδέν δίνει λύση αν φανούμε παρατηρητικοί. Φυσικά δε θα παρασυρθούμε να πούμε το ίδιο για μιγαδικούς.



Θα ήταν δύσκολο να υπολογίσουμε το εμβαδό που περικλείεται από Cf και τον xx΄ όταν ο τύπος έχει λογάριθμο που δεν ορίζεται το «ln0». Τότε θα πάμε με όριο όταν x τείνει στην απαγορευμένη τιμή που δίνει την απροσδιοριστία ln0



Προσοχή στη θεωρία μας. Αποτελεί την εκκίνηση του διαγωνίσματος.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 28 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα 

Η σωστή εύρεση του πεδίου ορισμού και ο σωστός υπολογισμός της 1ης και 2ης παραγώγου χρειάζεται σχεδόν πάντα για τη μελέτη συνάρτησης.



Να φρεσκάρεις τον υπολογισμό απλών ολοκληρωμάτων (και των μεθόδων ολοκλήρωσης) που ζητούνται και για υπολογισμό εμβαδού.



Πρόσεξε δυνάμεις μιγαδικών – δυνάμεων του i , του 1 + i , ιδιότητες μέτρου , τριγωνική ανισότητα και τους βασικούς γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών.



Όταν μου ζητούν «υπάρχει x0…» ή « να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα » σκέφτομαι προφανή ρίζα, Bolzano , σύνολο τιμών , Rolle στην παράγουσα .



Να κοιτάς πάντα τα προηγούμενα ερωτήματα. Μπορεί να τα χρειαστείς για να λύσεις τα επόμενα.

ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΣΕ ΟΛΕΣ ΚΑΙ ΟΛΟΥΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!! ΝΑ ΔΙΑΒΑΣΕΤΕ ΞΑΝΑ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΝΑ «ΦΡΕΣΚΑΡΕΤΕ» ΤΡΟΠΟΥΣ ΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. ΝΑ ΕΧΕΤΕ ΨΥΧΡΑΙΜΙΑ ΚΑΙ ΝΑ ΠΑΡΑΤΗΡΕΙΤΕ ΚΑΛΑ ΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ. ΚΑΘΑΡΟ ΜΥΑΛΟ ΠΑΝΩ ΑΠ΄ ΟΛΑ! ΟΧΙ ΕΠΙΠΟΛΑΙΑ ΛΑΘΗ ΒΙΑΣΥΝΗΣ! ΝΑ ΦΥΓΕΤΕ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΙΘΟΥΣΑ!! ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΝΑ ΒΓΕΙΤΕ «ΝΙΚΗΤΕΣ» ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΗΝ ΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ!!

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 29 -