Μιγαδικοί – Επανάληψη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

1. ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Διαβάζω: Ορισμοούς , Αποδείξεις , Σχόλια , Πλαίσια Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών) Σελ.87: Ορισμοί (Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών) Σελ.88-90: Πράξεις στο C.Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89 με τα έντονα γράμματα Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού) Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα) Σελ.91: Απόδειξη: ( z +z = z + z ) Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0) Σελ.93: Παρατήρηση Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού) Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια Σελ.98: Απόδειξη: z  z = z  z Σελ.99: Οι εξισώσεις: z - z = ρ , ρ > 0 και z - z = z - z Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης 1

1

2

2

1

1

0

2

2

1

2

2. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Σελ. 96: Α11 , Α12 , Α14 , Β3 , Β4 , Β5 , Β6 , Β7 , Β8 Σελ.97: Β9 Σελ.101: Α3 , Α7 , Α8 , Β1 , Β2 , Β3 Σελ.102: Β4 , Β5 , Β6 , Β7 , Β8 , Β9 , Β10

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-2-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

3. ΠΡΟΣΕΞΕ ΚΑΙ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ:  ά  i i ν = i 4ρ + υ = i 4ρ i υ =  i 4 

 1 , αν  i , αν  υ υ i =i =  - 1 , αν  - i , αν

ρ

υ=0 υ=1 υ=2 υ=3

Παράδειγμα i2012 = ………………………………………………………… Λύση

4. Δυνάμεις του 1±i , α±αi , α±α 3 i , α 3 ± αi Βρες τα παρακάτω:

1  i   ........................

2 1  i   ........................

2 2  a  ai   a 2 1  i   ....................

2 2  a  ai   a 2 1  i   ....................

2

     a  a 3i   a 1  3i  3

a 3  ai  a 3 3

1  i 



20

3

3  i  ..............

3

3

 ..............

 ........................



3

2 3  2i  .......................

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-3-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

5. Να θυμάσαι: z + z = 2α δηλαδή z + z = 2Re(z)

ή Re(z) =

z - z = 2βi δηλαδή z - z = 2i Im(z) ή Im(z) =

z+z 2

z-z 2i

Παράδειγμα zw + zw = ........................... zw - zw = ............................  z z    ................................. w w z z    ................................. w w

6. Πρόσεξε: Αν είναι z  z1  z2i με z1 , z2  C τότε: z  z1  z2i  z1  z 2 i Είναι λάθος να πούμε ότι: z  z1  z 2i διότι ο z δεν είναι σε κανονική μορφή.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-4-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Επίλυση της Εξίσωσης : αz2 + βz + γ = 0 με α ,β ,γ

και α  0

Πρόσεξε ότι για να πάρεις τον παρακάτω τύπο πρέπει τα α,β,γ να είναι πραγματικοί αριθμοί!!!!!!!  Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις :    i  . z1,2  2 Παρατήρηση   Ισχύουν οι σχέσεις: z1  z2  . και z1 z2 





Παράδειγμα 1. άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού.

2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , zC. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-5-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

7. Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών: α) Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε παραγοντοποίηση. β) Αν η εξίσωση περιέχει τους z, z ή δυνάμεις του z (π.χ. z 2 , z 3 ),τότε θέτουμε z  x  yi και βρίσκουμε τα x, y .

8. ► Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β=0 ή δείχνουμε ότι: z = z . ► Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α=0 ή δείχνουμε ότι: z = - z .

Παράδειγμα Αν z , w μιγαδικοί με

zw 3

, να δείξετε ότι ο

z1  z  w 3  zw

είναι φανταστικός. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-6-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

9. Προσοχή 1. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα της μορφής: z1 2 + z2 2 = 0 και όταν z1  0 και z2  0 .Όταν δίνεται η σχέση z12  z22  0 , τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: z12  z2 2  0  z12   z2 2  z12  i 2 z2 2  z12  i 2 z2 2  0  ( z1  iz2 )( z1  iz2 )  0  z1  iz2  0 ή z1  iz2  0  z1  iz2ή z1  iz2

2. ΘΥΜΑΜΑΙ ΕΠΙΣΗΣ:

z z i   i  z i i2

10.

Αντισυζυγής Αν z = α + βi , α , β τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός: w = β – αi (ή w = - β + αi ). Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) δηλ w = -i z α + βi = i(β – αi) δηλ z = i w -β + αi = i(α + βi) δηλ -w = i z  Για παράδειγμα: z 4κ+2 + w 4κ+2 = ( i w )4κ+2 + w 4κ+2 = - w Παράδειγμα Υπολόγισε το παρακάτω: (3-i)2010 + (1+3i)2010 Λύση

4κ+2

+w

4κ+2

=0

 Οι διανυσματικές ακτίνες των z και w είναι κάθετες. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-7-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

11.

Προσοχή Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα: z2 – 3z +2 > 0 σημαίνει ότι: z2 – 3z +2 R Δηλαδή: z 2  3z  2  z 2  3z  2 Λύση

Μια άσκηση με δυνάμεις: Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠0 με Να δείξετε ότι: α.

3 3 z  z 1 2

β.

z1 z2   1. z2 z1

2010 2010  z1  z  +  2  =2    z2   z1 

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-8-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

12.

Μέτρο μιγαδικού

αν z = α + β i , τότε: z = και

α2 + β2

ΟΧΙ

z =

α 2 + βi 

2

ΝΑ ΘΥΜΑΣΑΙ ΠΑΝΤΑ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ γ) z1z2 = z1  z 2 ε)

β) z = z  z 1 1 δ) = z z 2

α) z = z = - z

z z1 = 1 , z2  0 z2 z2

Παράδειγμα z = 3  z = ................... iz = ................... και μία άσκηση: Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με: z1 = 1 , z2 = 3 , z3 = 5

.

Να δείξετε ότι: 1 z1  z2  z3  z2 z3  9 z1 z3  25z1 z2 15 Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

-9-

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

13.

Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών

z1 - z2



z1 + z 2  z1 + z 2

Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων. Παράδειγμα Αν z  2 και w = 3 - 4i να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z+w Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 10 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

14.

Μέτρο διαφοράς μιγαδικών Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ1 , Μ2 οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε

z1 - z 2 = M1M 2 ΠΡΟΣΟΧΗ: Για το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών ισχύει επίσης:

z1  z2  z1    z2  . Άρα:

z1  ( z2 )  z1  ( z2 )  z1  ( z2 ) . Συνεπώς:

z1 - z 2 ≤ z 1 - z 2 ≤ z 1 + z 2 . Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύει: z1  z2  z3  1 και z 1 + z 2 + z 3 = 1 , να δείξετε ότι:

1 1 1 2    1 . β) z1  2 z2  9 . z1 z2 z3 Λύση α)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 11 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

15.

Η εξίσωση: z - z1 = z - z2 παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα . Η εξίσωση: z - z 0 = ρ , ρ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ .

Παράδειγμα 1. Η εξίσωση 2 z  3  2i  2 παριστάνει: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

2. Σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: z  2  i  z  2i .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 12 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

16.

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού

► Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: z  z   , ρ > 0 και μας 0 ζητούν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z , τότε: max z = (KO) + ρ min z = (KO) – ρ  , όπου Κ η εικόνα του z0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .

Β Κ Α Ο

► Όταν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο. Για να βρούμε το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε)

Μ

Ο

min z  ()  d (O,  )

ε

Παράδειγμα εφαρμογή 2 σελ.99 , Α7 σελ.101 , Β8 σελ.102 , Γ3 σελ. 123 σχολικού ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 13 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

17. Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών. Αν Μ,Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, w τότε: α) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w είναι σταθερός ,τότε μέγιστη τιμή του z  w , είναι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ελάχιστη η ΝΑ=    .

y B K

A N x

O ε

y

β) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε ευθεία ε και ο w είναι σταθερός,τότε ελάχιστη τιμή της z  w , είναι η d ( ,  ) (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει).

Ν x

O

γ) Αν οι μιγαδικοί z, w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), y τότε μέγιστη τιμή της z  w ,είναι η ΜΝ=2ρ. Ν (ελάχιστη τιμή δεν υπάρχει).

Κ

Μ

x

O

δ) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο y w σε ευθεία ε ,τότε η ελάχιστη τιμή της z  w , είναι η ΝΑ= d ( ,  )   (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει).

ε Κ

x

O

ε) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ,R), τότε η ελάχιστη τιμή της z  w , είναι η ΚΛ-ρ-R και η μέγιστη ΚΛ+ρ+R. x2

y2

  1 ,τότε 2 2 μέγιστη τιμή της z  w ,είναι η ΑΑ΄=2  ,δηλ. ο μεγάλος άξονας και ελάχιστη τιμή η ΒΒ΄=2  , δηλ. ο μικρός άξονας.

στ) Αν οι μιγαδικοί κινούνται σε έλλειψη

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 14 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

18.

ΘΥΜΑΜΑΙ:

1. f ( z, w)  0  f ( z, w)  0 , δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής παράστασης αυτής είναι ίση με μηδέν. Παράδειγμα Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 = z1z2 Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 15 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

2. f ( z, w)  f ( z, w) , δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:

z1  2 z2  3z3 

1 z2 z3  2 z1z3  3z1z2 2

Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 16 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

3. Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο) . Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε 2

την ιδιότητα z  z  z .Δηλαδή: α) Αν z, w 



 z  w  z  w  z   w .

β) Αν 



z, w  z  w  z  w  z  w  z  w 2

2

 zz  ww

γ) Γενικά: 







2

2

 f ( z )   g ( z )  f ( z )  g ( z )  f ( z )  g ( z )  f ( z )  g ( z ) 

 f ( z)  f ( z)  g ( z)  g ( z) . Παράδειγμα 1.άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού 2. Αν (1 + iz) ν = (1 – iz) ν να δείξετε ότι zR. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 17 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

4. Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, w, u ,τότε: α) ΑΒΓ ισόπλευρο  ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ  z  w  w  u  u  z . β) ΑΒΓ ισοσκελές  ΑΒ=ΒΓ  z  w  w  u . 

γ) ΑΒΓ ορθογώνιο με   900  2  2  2  z  w  z u  wu . Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 και z1 = z 2 = z3 = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z 1 , z 2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 . Λύση 2

2

2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 18 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

19.

Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z : α) Γράφουμε τον μιγαδικό στη μορφή z  x  yi και χρησιμοποιούμε τον τύπο z  x 2  y 2 . β) Αν ο μιγαδικός βρίσκεται σε μια παράσταση με πράξεις μιγαδικών τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου. γ) Βρίσκουμε πρώτα το z

z 2  z  z 2  z  2

2

2 z

κάνοντας χρήση της ιδιότητας

z

2 z

και μετά βρίσκουμε το

μέτρο του z δ) Αν έχουμε μια ισότητα μέτρων ,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, κάνουμε χρήση της ιδιότητας

z   z  z   z  2

2

2

2 z

z

2 z

και μετά βρίσκουμε το

μέτρο του z

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 19 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

20. ΠΡΟΣΟΧΗ σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w τότε: Α. Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: z - z1 = z - z2 ή z - z 0 = ρ , ρ > 0

και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του z. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i)iz, τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 20 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

Β. Αν δεν μπορεί να συμβεί το Α. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λi το μιγαδικό για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 21 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΘΥΜΑΜΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ:

Αριθμητική Πρόοδος

Γεωμετρική Πρόοδος

Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.

Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.

αν+1 = αν + ω

ή αν+1 - αν = ω

αν+1 = αν  λ

ή

 1  

αν = α1 + (ν – 1)ω

αν = α1  λν-1

α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν

α , β , γ  0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν



S  =

 2



 

 2  

2

1   

  1 S  1  ,  1  1

 21    1   2

Παράδειγμα Αν 1 + z + z2 + … + z2009 = 0 με z ≠1 και zC, να δείξετε ότι: z2010 = 1. Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 22 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Κέντρο κύκλου

Εξίσωση κύκλου

O(0 , 0)

C : x2 + y2 = ρ2

Κ(x0 , y0)

C : (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2

C : x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0

    ,   2  2  4 2 2   Ακτίνα :   2

Απόσταση 2 σημείων Αν Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) τότε:

Απόσταση σημείου από ευθεία Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε :

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 23 -

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα

ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ AKOMA: Έστω z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης: z2 + αz + 1 = 0 με α(-2 , 2) και w C με w≠-2i. Αν ισχύει: z1  w  2i 

2005

 z2  w  2i 

2004

 0 , τότε:

1. Να δείξετε ότι: α. w  2i  1 και β. w  2i  2. Αν u 

1 . w  2i

z1 z2  , να δείξετε ότι: u = α2 – 2. z2 z1

3. Αν v  z12  wi  2 

4009

, να δείξετε ότι: v= - i .

4. Να δείξετε ότι: w  uv  1   2 . Λύση

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr

- 24 -