ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
1. ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Διαβάζω: Ορισμοούς , Αποδείξεις , Σχόλια , Πλαίσια Σελ.86: Ορισμός (Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών) Σελ.87: Ορισμοί (Ισότητα μιγαδικών αριθμών , Γεωμετρική παράσταση μιγαδικών) Σελ.88-90: Πράξεις στο C.Προσέχω τις 2 προτάσεις στη σελ.89 με τα έντονα γράμματα Σελ.90: Ορισμός (Δύναμη μιγαδικού) Σελ.90: Απόδειξη (Δυνάμεις του i) Σελ.91: Ιδιότητες συζυγών (Όλη τη σελίδα) Σελ.91: Απόδειξη: ( z +z = z + z ) Σελ.92: Απόδειξη (Επίλυση της αz2 + βz + γ = 0) Σελ.93: Παρατήρηση Σελ.97: Ορισμός (Μέτρο μιγαδικού) Σελ.97: Τις ιδιότητες που βρίσκονται στο δεύτερο μπλε πλαίσιο Σελ.98: όλα τα μπλε πλαίσια Σελ.98: Απόδειξη: z z = z z Σελ.99: Οι εξισώσεις: z - z = ρ , ρ > 0 και z - z = z - z Σελ.124-5: τις ερωτήσεις κατανόησης 1
1
2
2
1
1
0
2
2
1
2
2. ΞΑΝΑΒΛΕΠΩ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: Σελ. 96: Α11 , Α12 , Α14 , Β3 , Β4 , Β5 , Β6 , Β7 , Β8 Σελ.97: Β9 Σελ.101: Α3 , Α7 , Α8 , Β1 , Β2 , Β3 Σελ.102: Β4 , Β5 , Β6 , Β7 , Β8 , Β9 , Β10
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-2-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
3. ΠΡΟΣΕΞΕ ΚΑΙ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ: ά i i ν = i 4ρ + υ = i 4ρ i υ = i 4
1 , αν i , αν υ υ i =i = - 1 , αν - i , αν
ρ
υ=0 υ=1 υ=2 υ=3
Παράδειγμα i2012 = ………………………………………………………… Λύση
4. Δυνάμεις του 1±i , α±αi , α±α 3 i , α 3 ± αi Βρες τα παρακάτω:
1 i ........................ 2 1 i ........................ 2 2 a ai a 2 1 i .................... 2 2 a ai a 2 1 i .................... 2
a a 3i a 1 3i 3
a 3 ai a 3 3
1 i
20
3
3 i ..............
3
3
..............
........................
3
2 3 2i .......................
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-3-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
5. Να θυμάσαι: z + z = 2α δηλαδή z + z = 2Re(z)
ή Re(z) =
z - z = 2βi δηλαδή z - z = 2i Im(z) ή Im(z) =
z+z 2
z-z 2i
Παράδειγμα zw + zw = ........................... zw - zw = ............................ z z ................................. w w z z ................................. w w
6. Πρόσεξε: Αν είναι z z1 z2i με z1 , z2 C τότε: z z1 z2i z1 z 2 i Είναι λάθος να πούμε ότι: z z1 z 2i διότι ο z δεν είναι σε κανονική μορφή.
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-4-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
Επίλυση της Εξίσωσης : αz2 + βz + γ = 0 με α ,β ,γ
και α 0
Πρόσεξε ότι για να πάρεις τον παρακάτω τύπο πρέπει τα α,β,γ να είναι πραγματικοί αριθμοί!!!!!!! Αν Δ < 0 τότε έχει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις : i . z1,2 2 Παρατήρηση Ισχύουν οι σχέσεις: z1 z2 . και z1 z2
Παράδειγμα 1. άσκηση Α14 σελίδα 96 σχολικού. 2. Να λυθεί η εξίσωση: z2 – i z + 2 = 0 , zC. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-5-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
7. Για την επίλυση εξισώσεων στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών: α) Αν η εξίσωση περιέχει μόνο τον μιγαδικό z και είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές , χρησιμοποιούμε τους τύπους της δευτεροβάθμιας ,ενώ αν είναι μεγαλυτέρου βαθμού κάνουμε παραγοντοποίηση. β) Αν η εξίσωση περιέχει τους z, z ή δυνάμεις του z (π.χ. z 2 , z 3 ),τότε θέτουμε z x yi και βρίσκουμε τα x, y .
8. ► Για να δείξουμε ότι ο z είναι πραγματικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: β=0 ή δείχνουμε ότι: z = z . ► Για να δείξουμε ότι ο z είναι φανταστικός : τον γράφουμε στη μορφή z = α + βi και αποδεικνύουμε ότι: α=0 ή δείχνουμε ότι: z = - z .
Παράδειγμα Αν z , w μιγαδικοί με
zw 3
, να δείξετε ότι ο
z1 z w 3 zw
είναι φανταστικός. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-6-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
9. Προσοχή 1. Στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών μπορεί να αληθεύει μια ισότητα της μορφής: z1 2 + z2 2 = 0 και όταν z1 0 και z2 0 .Όταν δίνεται η σχέση z12 z22 0 , τότε μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: z12 z2 2 0 z12 z2 2 z12 i 2 z2 2 z12 i 2 z2 2 0 ( z1 iz2 )( z1 iz2 ) 0 z1 iz2 0 ή z1 iz2 0 z1 iz2ή z1 iz2
2. ΘΥΜΑΜΑΙ ΕΠΙΣΗΣ:
z z i i z i i2
10.
Αντισυζυγής Αν z = α + βi , α , β τότε ως αντισυζυγής του z ορίζεται ο μιγαδικός: w = β – αi (ή w = - β + αi ). Παρατηρούμε ότι: β – αi = -i(α + βi) δηλ w = -i z α + βi = i(β – αi) δηλ z = i w -β + αi = i(α + βi) δηλ -w = i z Για παράδειγμα: z 4κ+2 + w 4κ+2 = ( i w )4κ+2 + w 4κ+2 = - w Παράδειγμα Υπολόγισε το παρακάτω: (3-i)2010 + (1+3i)2010 Λύση
4κ+2
+w
4κ+2
=0
Οι διανυσματικές ακτίνες των z και w είναι κάθετες. ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-7-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
11.
Προσοχή Δεν ισχύει η διάταξη στους μιγαδικούς. Επομένως αν μου δοθεί η ανισότητα: z2 – 3z +2 > 0 σημαίνει ότι: z2 – 3z +2 R Δηλαδή: z 2 3z 2 z 2 3z 2 Λύση
Μια άσκηση με δυνάμεις: Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 ≠0 με Να δείξετε ότι: α.
3 3 z z 1 2
β.
z1 z2 1. z2 z1
2010 2010 z1 z + 2 =2 z2 z1
Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-8-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
12.
Μέτρο μιγαδικού
αν z = α + β i , τότε: z = και
α2 + β2
ΟΧΙ
z =
α 2 + βi
2
ΝΑ ΘΥΜΑΣΑΙ ΠΑΝΤΑ ΤΙΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ γ) z1z2 = z1 z 2 ε)
β) z = z z 1 1 δ) = z z 2
α) z = z = - z
z z1 = 1 , z2 0 z2 z2
Παράδειγμα z = 3 z = ................... iz = ................... και μία άσκηση: Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 με: z1 = 1 , z2 = 3 , z3 = 5
.
Να δείξετε ότι: 1 z1 z2 z3 z2 z3 9 z1 z3 25z1 z2 15 Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
-9-
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
13.
Μέτρο αθροίσματος μιγαδικών
z1 - z2
z1 + z 2 z1 + z 2
Χρησιμοποιείται κυρίως για απόδειξη ανισοτικών σχέσεων. Παράδειγμα Αν z 2 και w = 3 - 4i να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z+w Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 10 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
14.
Μέτρο διαφοράς μιγαδικών Αν z1 , z2 είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί και Μ1 , Μ2 οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα , τότε
z1 - z 2 = M1M 2 ΠΡΟΣΟΧΗ: Για το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών ισχύει επίσης:
z1 z2 z1 z2 . Άρα:
z1 ( z2 ) z1 ( z2 ) z1 ( z2 ) . Συνεπώς:
z1 - z 2 ≤ z 1 - z 2 ≤ z 1 + z 2 . Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύει: z1 z2 z3 1 και z 1 + z 2 + z 3 = 1 , να δείξετε ότι:
1 1 1 2 1 . β) z1 2 z2 9 . z1 z2 z3 Λύση α)
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 11 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
15.
Η εξίσωση: z - z1 = z - z2 παριστάνει τη μεσοκάθετο του Μ1Μ2 , όπου Μ1 , Μ2 είναι οι εικόνες των z1 , z2 αντίστοιχα . Η εξίσωση: z - z 0 = ρ , ρ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο την εικόνα Ρ(x0,y0) του z0 και ακτίνα ρ .
Παράδειγμα 1. Η εξίσωση 2 z 3 2i 2 παριστάνει: …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… 2. Σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: z 2 i z 2i .
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 12 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
16.
Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου μιγαδικού
► Αν για τον μιγαδικό z ισχύει: z z , ρ > 0 και μας 0 ζητούν να βρούμε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z , τότε: max z = (KO) + ρ min z = (KO) – ρ , όπου Κ η εικόνα του z0 και ρ η ακτίνα του κύκλου με κέντρο το Κ .
Β Κ Α Ο
► Όταν η εικόνα του μιγαδικού z κινείται σε ευθεία (ε), τότε έχει μόνο ελάχιστο μέτρο. Για να βρούμε το μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, φέρνουμε κάθετη από την αρχή των αξόνων στην ευθεία (ε)
Μ
Ο
min z () d (O, )
ε
Παράδειγμα εφαρμογή 2 σελ.99 , Α7 σελ.101 , Β8 σελ.102 , Γ3 σελ. 123 σχολικού ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 13 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
17. Μέγιστη και ελάχιστη τιμή μέτρου διαφοράς μιγαδικών. Αν Μ,Ν είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, w τότε: α) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w είναι σταθερός ,τότε μέγιστη τιμή του z w , είναι η ΝΒ=ΝΚ+ρ και ελάχιστη η ΝΑ= .
y B K
A N x
O ε
y
β) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε ευθεία ε και ο w είναι σταθερός,τότε ελάχιστη τιμή της z w , είναι η d ( , ) (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει).
Ν x
O
γ) Αν οι μιγαδικοί z, w κινούνται σε κύκλο (Κ,ρ), y τότε μέγιστη τιμή της z w ,είναι η ΜΝ=2ρ. Ν (ελάχιστη τιμή δεν υπάρχει).
Κ
Μ
x
O
δ) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο y w σε ευθεία ε ,τότε η ελάχιστη τιμή της z w , είναι η ΝΑ= d ( , ) (μέγιστη τιμή δεν υπάρχει).
ε Κ
x
O
ε) Αν ο μιγαδικός z κινείται σε κύκλο (Κ,ρ) και ο w σε κύκλο (Λ,R), τότε η ελάχιστη τιμή της z w , είναι η ΚΛ-ρ-R και η μέγιστη ΚΛ+ρ+R. x2
y2
1 ,τότε 2 2 μέγιστη τιμή της z w ,είναι η ΑΑ΄=2 ,δηλ. ο μεγάλος άξονας και ελάχιστη τιμή η ΒΒ΄=2 , δηλ. ο μικρός άξονας.
στ) Αν οι μιγαδικοί κινούνται σε έλλειψη
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 14 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
18.
ΘΥΜΑΜΑΙ:
1. f ( z, w) 0 f ( z, w) 0 , δηλαδή αν μια παράσταση με μιγαδικούς είναι ίση με μηδέν ,τότε και η συζυγής παράστασης αυτής είναι ίση με μηδέν. Παράδειγμα Αν z1 + z2 = z3 και οι εικόνες των μιγαδικών αυτών κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι: z2z3 + z1z3 = z1z2 Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 15 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
2. f ( z, w) f ( z, w) , δηλαδή μια παράσταση μιγαδικών και η συζυγής της έχουν ίσα μέτρα. Παράδειγμα Αν οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 κινούνται σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα 2, να δείξετε ότι:
z1 2 z2 3z3
1 z2 z3 2 z1z3 3z1z2 2
Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 16 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
3. Όταν έχουμε μια ισότητα μιγαδικών, σε πολλές περιπτώσεις χρησιμοποιούμε ότι και τα μέτρα των μιγαδικών είναι ίσα (χωρίς να ισχύει το αντίστροφο) . Μετά υψώνουμε στο τετράγωνο τα δύο μέλη και χρησιμοποιούμε 2
την ιδιότητα z z z .Δηλαδή: α) Αν z, w
z w z w z w .
β) Αν
z, w z w z w z w z w 2
2
zz ww
γ) Γενικά:
2
2
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
f ( z) f ( z) g ( z) g ( z) . Παράδειγμα 1.άσκηση Γ6 σελίδα 123 σχολικού 2. Αν (1 + iz) ν = (1 – iz) ν να δείξετε ότι zR. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 17 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
4. Αν Α,Β,Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, w, u ,τότε: α) ΑΒΓ ισόπλευρο ΑΒ=ΒΓ=ΓΑ z w w u u z . β) ΑΒΓ ισοσκελές ΑΒ=ΒΓ z w w u .
γ) ΑΒΓ ορθογώνιο με 900 2 2 2 z w z u wu . Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z 1 , z 2 , z 3 ισχύουν οι σχέσεις : z 1 + z 2 + z 3 = 0 και z1 = z 2 = z3 = 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των z 1 , z 2 , z 3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας 1 . Λύση 2
2
2
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 18 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
19.
Για να βρούμε το μέτρο ενός μιγαδικού z : α) Γράφουμε τον μιγαδικό στη μορφή z x yi και χρησιμοποιούμε τον τύπο z x 2 y 2 . β) Αν ο μιγαδικός βρίσκεται σε μια παράσταση με πράξεις μιγαδικών τότε χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μέτρου. γ) Βρίσκουμε πρώτα το z
z 2 z z 2 z 2
2
2 z
κάνοντας χρήση της ιδιότητας
z
2 z
και μετά βρίσκουμε το
μέτρο του z δ) Αν έχουμε μια ισότητα μέτρων ,τότε υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο, κάνουμε χρήση της ιδιότητας
z z z z 2
2
2
2 z
z
2 z
και μετά βρίσκουμε το
μέτρο του z
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 19 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
20. ΠΡΟΣΟΧΗ σε ασκήσεις που μας ζητούν να βρούμε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού z ο οποίος ικανοποιεί μια σχέση ή συνδέεται με μια σχέση με ένα άλλο μιγαδικό w τότε: Α. Προσπαθώ να καταλήξω σε μια σχέση της μορφής: z - z1 = z - z2 ή z - z 0 = ρ , ρ > 0
και επομένως γνωρίζω σε ποια γραμμή κινούνται οι εικόνες του z. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=(- 3 +i)iz, τότε να βρείτε το γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 20 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
Β. Αν δεν μπορεί να συμβεί το Α. τότε θέτουμε στη σχέση μας όπου z = x+yi το μιγαδικό του οποίου το γεωμετρικό τόπο των εικόνων θέλουμε να βρούμε και w= κ+λi το μιγαδικό για τον οποίο συνήθως γνωρίζουμε σε ποια γραμμή ανήκουν οι εικόνες του, άρα γνωρίζουμε μια σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Στόχος μας είναι να εκφράσουμε τα κ , λ συναρτήσει των x και y και να τα αντικαταστήσουμε στη σχέση που ικανοποιούν τα κ και λ. Παράδειγμα Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν |z|=2 και w=2z+ z , τότε να βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 21 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
ΘΥΜΑΜΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΥΣ ΤΥΠΟΥΣ:
Αριθμητική Πρόοδος
Γεωμετρική Πρόοδος
Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού.
Μια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος , αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του με πολλαπλασιασμό επί τον ίδιο πάντοτε μη μηδενικό αριθμό.
αν+1 = αν + ω
ή αν+1 - αν = ω
αν+1 = αν λ
ή
1
αν = α1 + (ν – 1)ω
αν = α1 λν-1
α , β , γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν
α , β , γ 0 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν
S =
2
2
2
1
1 S 1 , 1 1
21 1 2
Παράδειγμα Αν 1 + z + z2 + … + z2009 = 0 με z ≠1 και zC, να δείξετε ότι: z2010 = 1. Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 22 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Κέντρο κύκλου
Εξίσωση κύκλου
O(0 , 0)
C : x2 + y2 = ρ2
Κ(x0 , y0)
C : (x – x0)2 + (y – y0)2 = ρ2
C : x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0 με Α2 + Β2 – 4Γ > 0
, 2 2 4 2 2 Ακτίνα : 2
Απόσταση 2 σημείων Αν Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) τότε:
Απόσταση σημείου από ευθεία Αν Μ1(x1,y1) και ε:Αx+By+Γ = 0 τότε :
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 23 -
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου Επανάληψη πριν το Διαγώνισμα
ΚΑΙ ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ AKOMA: Έστω z1 , z2 οι ρίζες της εξίσωσης: z2 + αz + 1 = 0 με α(-2 , 2) και w C με w≠-2i. Αν ισχύει: z1 w 2i
2005
z2 w 2i
2004
0 , τότε:
1. Να δείξετε ότι: α. w 2i 1 και β. w 2i 2. Αν u
1 . w 2i
z1 z2 , να δείξετε ότι: u = α2 – 2. z2 z1
3. Αν v z12 wi 2
4009
, να δείξετε ότι: v= - i .
4. Να δείξετε ότι: w uv 1 2 . Λύση
ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ – 2109311913 – kentromeletis@otenet.gr
- 24 -