Índice Unidad I Capítulo 1
Introductorio
4
Capítulo 2
Definiciones algebraicas I
9
Capítulo 3
Definiciones algebraicas II
14
Capítulo 4
Teoría de exponentes I
19
Capítulo 5
Repaso I
24
Capítulo 6
Teoría de exponentes II
28
Capítulo 7
Teoría de exponentes III
33
Capítulo 8
Teoría de exponentes IV
38
Capítulo 9
Notación de polinomios
43
Unidad II Capítulo 10
Cambio de variable utilizando la notación de polinomios
48
Capítulo 11
Grados de expresiones algebraicas
53
Capítulo 12
Grados de un polinomio
58
Capítulo 13
Polinomios especiales
63
Capítulo 14
Multiplicación algebraica
68
Capítulo 15
Repaso II
73
Capítulo 16
Productos notables I
77
Capítulo 17
Productos notables II
82
Unidad III Capítulo 18
Productos notables III
87
Capítulo 19
Productos notables IV
92
Capítulo 20
División algebraica I
97
Capítulo 21
Repaso III
102
Capítulo 22
División algebraica II
106
Capítulo 23
División algebraica III
111
Capítulo 24
División algebraica IV
117
Capítulo 25
Factorización I
123
Unidad IV Capítulo 26
Factorización II
128
Capítulo 27
Factorización III
133
Capítulo 28
Repaso IV
138
Capítulo 29
Factorización IV
143
Capítulo 30
Factorización V
148
Capítulo 31
Fracciones algebraicas I
153
Capítulo 32
Fracciones algebraicas II
158
Capítulo 33
Fracciones algebraicas III
163
Álgebra
1
Capítulo
Introductorio Lectura: Origen del álgebra Es difícil establecer estrictamente el origen del álgebra, pero todo parece afirmar que la primera obra sobre álgebra nació en Grecia y fue su autor Diofanto de Alejandría, quien vivió aproximadamente por el año 250 de la era cristiana. Esa obra de Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático se dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto. En verdad, la cuna del Álgebra puede situarse en la civilización hindú, donde aparecieron los rudimentos de esa ciencia y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial con la India, allá por el año 750, el que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa combinación resultó el Álgebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa “reducción”, “suma”. FUENTE: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA- Repetto Linskens Fesquet
En este capítulo aprenderemos .. Números enteros .. Números positivos .. Cero .. Números negativos .. Símbolos de agrupación .. Notaciones
Colegios
4
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
NÚMEROS ENTEROS Enteros positivos
Z+ = {+1, +2, +3, ...}
Se denotan por Se
Z = { ... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
clasifican
Cero= {0}
en Enteros negativos
Z– = {...–3, –2, –1}
Para multiplicarlos se toma en cuenta
Para sumarlos se toma en cuenta que
Dos números
Dos números
enteros de mismo
enteros de distintos
signo se suman y
signos se restan y
se coloca el mismo
se coloca el signo
signo que llevan.
del mayor.
Para la división
La multiplicación de dos números del mismo signo genera producto positivo
La multiplicación de dos números de distinto signo genera producto negativo
Se aplica la misma regla que en la multiplicación
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Primer año de secundaria
5
1
Capítulo
Saberes previos 1. Completa correctamente usando los símbolos ">": (mayor que) ó "<": (menor que).
4. Efectúa las siguientes operaciones: • 65 + (35 – 18) –12
• 15
>
6
• 17
<
19
>3
• 11
2. Efectúa las siguientes operaciones: • 3 + 7 = 10
5
• 14 – 9 =
14
• 15 – 8 =
7
3. Efectúa las siguientes operaciones: • 9 × 7 =
• 8 × 6 =
63
• 64 ÷ 8 =
8
• 38 – 15 + (8 + 12 – 4) = • 43 – 16 + 24 – 6
• 9 + 5 =
48
• 54 ÷ 6 =
=
=
5. Efectúa las siguientes operaciones: • 3 + 7 × 5
=
• 4 × 6 + 3
=
• (3 × 8 – 6) ÷ 3 =
9
Aplica lo comprendido 1. Calcular:
4. Efectuar
• (+8) + (+4)
=
• (–3) . (+4)
=
• (+11) + (–6)
=
• (+7) . (–8)
=
• (–4) + (–5)
=
• (–4) . (–9)
=
• (–14) + (+7)
=
• (+5) . (+10)
=
2. Efectuar:
5. Simplificar
• +11 – 3
=
• (–32) : (+8)
=
• –7 – 5
=
• (+55) : (–11)
=
• +9 – 14
=
• (–36) : (–9)
=
• (–8) + (–12)
=
• (–49) : (+7)
=
3. Calcular: • (–1) – (+2)
=
-1-2
=
• –(–8) – (+5)
=
+8-5
= +3
• 5 – 4 + 6 – 3 =
=
=
=
• –8+2–1+5 Colegios
6
TRILCE
-3
Central: 6198-100
Álgebra Aprende más 1. Calcular:
9. Efectuar: (15 – 5) ÷ (–7 + 5)
(+3) – (–2) + (+4) – (–3) a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
b) –19 e) 18
c) –20
a) 11 d) 14
–5 + 3 + 3 – 1 + 8 b) 6 e) 10
c) 8
4. Efectuar:
c) 10
b) 18 e) 21
c) 19
10 (6 – 12) + (3 – 5)(–2) b) –55 e) –58
c) –56
(–7)(–5 + 8) – (3 – 5)(–6) b) –31 e) –35
c) –33
c) 50
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) –20 d) –23
b) –21 e) –24
c) –22
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. Efectuar:
8. Calcular: (4 – 2 + 1)(–3 + 1 – 2)
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b) 90 e) 60
14. Efectuar: – 5 – { (+4)(–2) – [ 4–(–1)(–3) ] }
7. Reducir:
a) –10 d) –13
a) 70 d) 80
13. Efectuar: – {7+[5–(–7–2)]}+5–{[9–(14–5)+3]–5}–8
6. Efectuar:
a) –34 d) –32
11. Si: P = (–3)(–4) + (–1)(+2) ÷ (+2)(–2) Q = 4 – [ 5 – (–3)(4 – 6)]
{ (–5+2) + [ (–9) – (–3) ] – 3} : (–2)(+2)
(–3)(–2) – (+2)(–4) + (–1)(–3)
a) –54 d) –57
c) 13
12. Efectuar:
5. Efectuar:
a) 17 d) 20
b) 12 e) 15
Hallar: P × Q
(–4)(+2) + (+3)(–1) b) 12 e) 11
B = – (–3 – 5) – (–2 – 7) Hallar: B – A
3. Calcular:
a) –10 d) –11
c) –3
A = – (–1 + 2) – (–1 – 3)
(–3) – (–4) + 8(–2) – (+3)
a) 4 d) 9
b) –5 e) –9
10. Si se sabe que:
2. Calcular:
a) –18 d) 44
a) –4 d) –8
b) –11 e) –14
c) –12
(− 16 − 4) ' (− 8 + 6) (+ 12) ' (− 4 − 2) a) –4 b) –5 d) –7 e) –8
c) –6
Primer año de secundaria
7
1
Capítulo
Practica en casa 1. Calcular: (+9) – (–5) + (+6) – (–8) 2. Calcular: (–5) – (–9) + (–4) – (+7)
10. Si: M = (–5)(–3) + (–2)(+3) + (+5)(–4) N = 8 – {3 – (–3)(5 – 7)}
3. Efectuar: (–4)(–3) – (+5)(–3) + (–2)(–3) 4. Efectuar: 5 (3 – 8) + (2 – 4)(–3)
Hallar: M × N 11. Efectuar: (–9 + 6) + [{(–15):(–3)} –4] × (–3)
5. Reducir: (–3)(–6+9) – (2–6)(–4) 6. Calcular: (5 – 3+2) × (–4 + 1 – 3) 7. Efectuar: (–13 – 5) ÷ (–11+2)
12. Efectuar: (–5)(–2) – [(–2)(+3) + (–5)(–3)] 13. Siendo: B = (+4)(–3) + [(–12) : (–2)] Hallar: B ÷ (–3)
8. Si se sabe que: A = –4 – 3 – 2 – 5
14. Dado: A = (–4 + 5)(–3)(+2) + 1
B=2+4–8
Hallar: (–7 + 2) : (A)
Hallar: A × B
15. Efectuar:
9. Si:
(− 23 − 5) : (7 − 19 + 5) 36 : (− 6 − 3)
P = – (–2 +3) – (–4 –3) Q = – (–2 – 6) – (–4 – 8) Hallar Q – P
Tú puedes 1. Si: m=2; b=5, calcular el valor de: {m – (m – b)} (m – b) a) –14 d) –16
b) –13 e) –17
4. Calcular el valor de: (30 + 5)2 – (30 + 5)(30 – 5)
c) –15 a) –804 d) –806
b) –803 e) –807
c) –805
2. Calcular el valor de la siguiente suma: 2002–2001+2000–1999+....+4–3+2–1 a) 101 d) 1001
b) 10001 e) 110
c) 2001
2×21; 3×22; 2×23; 3×24; 2×25; ..... ¿Cuál es el cociente entre los términos que ocupan las posiciones 20 y 21 en ese orden?
3. Se define: a ⊗ b = ab + b a # b = 2a – 4b
a) 60 41
b) 33 41
Siendo "a" y "b" números enteros, calcular el valor de: (2 ⊗ 5) # (–2)
d) 59 41
e) 17 41
a) 36 d) 37 Colegios
8
5. Dada la sucesión:
TRILCE
b) 360 e) 44
c) 61 41
c) 38
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Capítulo
2
Definiciones algebraicas I Lectura: el padre del álgebra Abu Jafar Mohammet ibn Mose Al - Jwarizmi fue uno de los mejores matemáticos árabes de la Edad Media. Si bien no sabemos mucho acerca de su vida privada, conocemos a profundidad su obra matemática que afortunadamente llegó a nosotros gracias a las traducciones al latín que de ella se hicieron durante la Edad Media y el Renacimiento. Al - Jwarizmi vivió del año 780 al 835. Nació en una ciudad llamada Jwarizm que actualmente se llama Jiva y está en Uzbekistán. Escribió varios textos, fundamentalmente de matemática, el más importante de todos ellos es, sin duda, "Al - jabar wa´l Muqabala, que es un tratado sobre cómo plantear y resolver ecuaciones para resolver problemas de la vida cotidiana. El libro empieza así: "Este interés por la ciencia, con la que Alá ha dotado al califa Al - Mamún, caudillo de los creyentes, me ha animado a componer esta breve obra sobre el cálculo por medio del álgebra, en la que se contiene todo lo que es más fácil y útil en aritmética, como por ejemplo todo aquello que se requiere para calcular herencias, hacer repartos justos y sin equívocos, resolver pleitos, realizar comercio y transacciones con terceros, todo aquello en donde esté implicada la agrimensura, la excavación de pozos y canales, la geometría y varios asuntos más. Con el paso de los siglos los matemáticos reconocieron que la obra de Al - Jwarizmi era tan importante que se hicieron varias traducciones al latín, que era el idioma en el que se escribía la ciencia en la Europa de esa época. Para finales del siglo XVI nadie tenía dudas ya: Al - Jwarizmi era el verdadero padre del álgebra. FUENTE: redescolar.ilce.edu.mx
En este capítulo aprenderemos .. Álgebra: definición .. Objetivo .. Expresión algebraica .. Término algebraico .. Clasificación con respecto al número de términos .. Ejercicios y problemas de aplicación
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Primer año de secundaria
9
2
Capítulo
Síntesis teórica
ÁLGEBRA
Definición
Objetivo
Expresión algebraica
Clasificación
Monomios
Término algebraico
Polinomios
• • • •
Colegios
10
TRILCE
Coeficiente Signo Parte literal Exponente
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Álgebra Saberes previos 2
1. Calcular: 5 – 3 + 7 × 2 16 2. Calcular: 4 + 5 × 12 3 24 3. Calcular: 15 ÷ 5 + 12 – 1
4. Calcular: (–2) + 52 – 3 53 3 3 2 5. Calcular: (–1) + (–2) + (–3) -18 6. Calcular: (–1)(–3) + (–2)(–4) + (–5)(2)
2
1
14
Aplica lo comprendido 1. Señale el coeficiente en el término algebraico: 4 5
–3x y
4. Señale la suma de exponentes de la parte literal del término algebraico: 5 2
4x y
-3 2. Señale la parte literal del término algebraico: 9 4
7 5. Señale el coeficiente:
2x y z
2
3. Indique el coeficiente del término algebraico:
2
(–2) (3) xyz
9
4x9
(–2)(–3) xz
6
Aprende más 4. Indique cuáles son binomios: 2 8 • x +y
1. De las expresiones algebraicas: 2 7 • 2x y • x+y+z
• x+y+z
3 2
• –3x y ; x–y ¿Cuántas son monomios?
2
• x +1 2 11
a) 1 b) 2 d) 4 e) 0 2. Indique cuáles son monomios: • –x+y 2 10 • 4 xy • –3xyz
2
2 2
2
10
10
d) –x+y; x+y+z
e) 4 xy ; –3xyz
–1
3. Señale cuántos binomios tenemos en: 8 • 3xyz 2 • x–y+z • x+y 2 2 5 • x y +z a) 0 d) 3 www.trilce.edu.pe
b) 1 e) 4
8
2
b) x +1 2
d) x +1; x +y
b) 4 xy –1
• x y
a) x +y
–1
a) –x+y c) –3xyz
c) 3
8
2 11
c) x y
e) x+y+z
5. Señale cuántos trinomios tenemos: 8 3 • 2x y z • 3xy+z+y • 12xy 2
2
• x +y +z
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
c) 2
Primer año de secundaria
11
2
Capítulo
6. Señale el coeficiente de: 4 3 15 (6+10 ÷ 2+3) x y z a) 11 d) 12
b) 8 e) 14
c) 13
a) 5 d) –3
7. ¿Cuál es el coeficiente de: x + x + x + x.... + x 1 44444 2 44444 3 20 veces
a) 16 d) 18
b) 7 e) 20
c) 17
3
b) 80x y 3
d) 84x y
c) 84
e) 160
9. Señale el coeficiente: 3x + 3x + 3x + ... + 3x + x + x + x + .... + x 1 44444 4 2 4 4444 4 3 1 4444 2 4444 3 50 veces
a) 150 d) 167
17 veces
b) 170 e) 170x
c) 150x
10. Señale la suma del coeficiente con el exponente de x, luego de reducir: 8 8 8 x + x + x + .... 180 veces a) 8 8 d) 180x
b) 180 8 e) 188x
2 9
x y + (n – 3) x y a) 0 d) 8
c) –4
13. Dado el polinomio: 2 3 n x +y +x ¿Cuál puede ser el valor de "n"? b) 2 e) –4
c) –2
14. Dada la expresión algebraica 2 3 2 x +y +z Las letras x; y, z, representan el valor de una cantidad. Señale (V) o (F). I. x puede representar una velocidad II. y puede representar el valor de una temperatura III. z puede representar el valor de un rendimiento a) VVV d) VVF
b) FFF e) FVV
c) VFV
c) 188
11. Si la siguiente expresión algebraica es un monomio. Calcular: n (n+5). 2 5
b) 4 e) –5
a) –1 d) –3
8. Señale el coeficiente de: 3 3 3 2x y + 2x y + 2x y + ... 80 veces a) 80
12. Dado el monomio: 3 8 2 9 3 8 ky z + 2y z + 4 y z Hallar: k+1
15. Señale la expresión reducida del siguiente monomio: (n − 5) x2 y2 + 2x3 yn + 2x3 yn + 2x3 yn + ..... + 2x3 yn 1 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 44 3 50 veces
3 5
b) 5 e) 24
c) 3
a) 50x y 3 5 d) 100x y
3 6
3 6
b) nx y 3 5 e) 2x y
c) 100x y
Practica en casa 5. Sumar los coeficientes de los siguientes términos algebraicos
1. Señale los monomios: 2 5
6 2
5
4x y ; –2x z ; x–y ; 4 xyzw
2
5 2
3 3
4 x y ; 5x y ; 6x y 2. Señale cuántos binomios tenemos: 3
6. Sumar los coeficientes de los siguientes términos 5 algebraicos: –3 xy ; –2 yz ; x y
2 3
xy ; x+y; y +3; x y ; 2x – 3y 3. Indique los trinomios: 2
2
2 xyw ; xyz ; x+y+z ; x – y – z 4 5
4. En el término algebraico: 4 x y z
3
2
7. Señalar el coeficiente de: (–3)(–11) x y 2
3
8. Hallar el coeficiente de: (–2) (2) zw
Señale la parte literal Colegios
12
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Álgebra 9. Indique el coeficiente de: x + x + x + .... + x 1 4444 2 4444 3
13. De los siguientes números: 1 , –3, 4 2 ¿Cuál puede ser un valor de "n" dado el polinomio: 10 n 12 x +y +z ?
43 veces
10. Indique el coeficiente de: 2 2 2 5x + 5x + 5x + .... 99 veces
14. Hallar el coeficiente: 4x + 4x + 4x + ...... + 4x + x + x + ...... + x 144 4 4 44 2 4 4 4 4 44 3 1 4 4 4 42444 3
11. Dado el monomio: 2 2 2 2 4 y z + (K – 4) x y Hallar: K+2
23 veces
45 veces
15. ¿Qué cantidades puede representar x, y, z en la expresión algebraica: • La estatura de una persona • El número de personas en un salón • El amor que siente una persona.
12. Dado el trinomio: 2 x + ky + 3 z + 5x + 8y Hallar: K – 1
Tú puedes 1. Sumar los exponentes de los siguientes términos algebraicos. 2 3 20 3x ; 4x ; 5x ; .... 22x a) 20 d) 220
b) 200 e) 240
2. Sumar los coeficientes monomios: 2 3 10 x ; 4x ; 9x ; .... 100 x a) 110 d) 385
b) 240 e) 421
c) 210
de
los
siguientes
c) 380
3. Hallar el valor de la suma de coeficientes incrementado en "a" unidades. 2 3 9 y ; 4y ; 9y ; .... ay a) 350 d) 366
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b) 360 e) 285
4. Hallar el coeficiente del siguiente monomio: (–1)1(–2) 2 (–3) 3 (+ 4) n x2 y2 2 2n + 2 a) 4 d) 12
b) 9 e) 81
c) 27
5. En un monomio el exponente de "x" excede en 3 al exponente de "y", y éste excede en 4 al exponente de "z" y éste excede en 5 al coeficiente cuyo valor es el menor entero positivo impar. Hallar la suma de exponentes de "x"; "y"; "z". a) 30 d) 29
b) 28 e) 27
c) 31
c) 362
Primer año de secundaria
13
3
Capítulo
Definiciones algebraicas II
Lectura: Joseph Louis Joseph Louis, conde de Lagrange. Este insigne matemático propugnó, en su Mécanique Analytique, los métodos abstractos que permiten un desarrollo algorítmico, es decir con símbolos matemáticos, sin ninguna representación concreta. Respecto de ello, dijo: "En mi obra no se hallarán figuras. Los métodos que en ella se exponen no exigen construcciones ni razonamientos geométricos mecánicos; solamente se requieren operaciones algebraicas sujetas a un proceso regular y uniforme".
FUENTE: "El mundo de la matemática" Editorial Clasa–Oceano. Edición 1985
En este capítulo aprenderemos .. Identificar términos algebraicos semejantes. .. Reducir términos algebraicos semejantes. .. Realizar adiciones y sustracciones de expresiones algebraicas identificando términos algebraicos semejantes.
Colegios
14
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Álgebra Síntesis teórica
Definiciones algebraicas II
Términos semejantes
Reducción de términos semejantes
Términos no semejantes
Adición de expresiones algebraicas
Sustracción de expresiones algebraicas
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Primer año de secundaria
15
3
Capítulo
Saberes previos 1. A partir del siguiente término algebraico: 3 4
T (x; y) = –8 x y
3. Efectúe las siguientes operaciones: • (+14) + (–8) =
Indique lo siguiente:
• (–9)+(+3) =
+6 -6
xy
• Variables: • Parte literal:
x³
• Coeficiente:
8
4. Efectúe las siguientes operaciones: • 16 – 10 =
6
• 13 – 20 =
-7
2. Efectúe las siguientes operaciones: • (+13) + (–12) = • (–9)+(–4) =
+1
-13
5. Efectúe las siguientes operaciones:
-1
• 7 + 8 – 16 =
-8
• 4 + 5 – 17 =
Aplica lo comprendido 1. Reducir:
4. Reducir: 2
m
T (x) = 4x ; S(x) = 5 x
4xy – 5xy
3. Reducir: 2
–8x + 3x – x
TRILCE
6
Son semejantes. Halle el valor de m.
-x
16
2
5. Si los términos algebraicos:
2. Reducir:
Colegios
2
-xy
6x
2
2
–2x y + x y – 4xy + 5xy
4x + 5x – 3x
2
6
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Álgebra Aprende más 1. Reducir: – 2ab + ab – 3ab + 2 ab a) –ab d) –2ab
b) ab e) 3ab
9. Sean los términos semejantes: a–1 b A (x; y) = 3x y 4 5 B (x; y) = –7x y Hallar: a – b
c) 2ab
2. Reducir: 3 xy + 2 xy – (4 xy – 7 xy) a) 6xy d) 9xy
b) 7xy e) 10xy
a) –2 d) 1
c) 8xy
3. Reducir: 5mn – [ 3mn + (5mn – 13 mn)] a) 6mn d) 11mn
b) 8mn e) 12mn
c) 10mn
b) 2 e) 5 2
5. De: –4 xy , restar 4xy 2
3
2
b) –6xy 2 e) –12xy
c) –8xy
2
6. De: 14 mn restar –mn a) 13mn d) 16mn
b) 14mn e) 17mn
c) 15mn
B (x; y) = –xy + 3xy – 4xy
a) –4xy 3 d) –5xy
b) –6xy 3 e) 4xy
2
3
2
3
3
3
c) –6x y
2
2
3
3
a) 3x y–8x yz
b) 8x yz–2x y
c) 4x yz–6x y
d) 3x y–xy
2
3
2
3
2
e) 6x yz–7x y 2
2
2
2
15. Efectuar: 5a b – 2b – (7b – 4a b) 2
2
a) 9a b–9b 2 2 c) 4a b–3b 2 2 e) 7a b–2b
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c) 5x–2y
E(x; y; z) = 5x yz – 8yx +x yz + 4yx –3x y
3
3
b) 5x–3y e) 5x+2y
14. Reducir la siguiente expresión:
Hallar: Q – P 3
2
b) 2x –2x+3 2 d) 2x –2x–2
a) x–2y d) 4x–y
c) –xy
8. Siendo: 3 3 3 P(x; y) = 5xy – 3xy – xy 3
12. Siendo: 2 P(x) = –x + 5x – 7 2 Q(x) = 3x – 7x + 5 Hallar: P(x) + Q(x)
13. Reducir la siguiente expresión: R (x; y) = 2x – 3y + x + 2y + 2x – y
Hallar: A – B
Q (x; y) = –xy – 4xy
b) –x–x +1 3 d) –x –x+2
2
A (x; y) = 5xy – 4xy – 2xy
b) 2xy e) 5xy
c) x+3
3
a) –x +x+2 3 c) –x –2 3 e) –x –x–2
a) 2x –2x+1 2 c) 2x –2x–3 2 e) 2x –2x+2
7. Siendo:
a) 3xy d) xy
b) x+1 e) x+2
11. Teniendo en cuenta que: 3 A (x) = –2x + 2x – 3 3 B (x) = –x + 2x – 1 Hallar: A(x) – B (x)
c) 3
2
a) –4xy 2 d) –10xy
c) 0
10. Sabiendo que: 2 T (x) = –x + 3x – 4 2 M(x) = –2x + x + 5 Hallar: T(x) + M(x) a) x d) x–1
4. Si: 6 T(x) = 3x es semejante con 2a–2 Q (x) = –8x Hallar: a a) 1 d) 4
b) –1 e) 2
2
2
b) 4a b–3b 2 2 d) 9a b+5b
Primer año de secundaria
17
3
Capítulo
Practica en casa 1. Reducir: 2 2 2 10x + 5x – 8x
9. Sean los términos semejantes: n–2 m–3 y T (x; y) = 9 x 4 5 Q (x; y) = 13 x y Hallar: m – n
2. Reducir: 5 5 14 xy – 19 xy
10. Sabiendo que: 5 3 P(x) = –x + 8x – 9 3 5 Q(x) = –4x + x + 7 Hallar: P(x) + Q(x)
3. Reducir: 2 2 –4 ab + 2 a b – 5 ab – 3 a b
11. Teniendo en cuenta que: 2 A(m) = –4m + 5m – 11 2 B(m) = –m + 3m + 3 Hallar: A(m) – B(m)
4. Si los términos algebraicos: n
A(x) = –11x ∧ B(x) = 5x
30
Son semejantes. Halle el valor de n.
12. Reducir la siguiente expresión: R (x; y) = 4x – 5y + 2x + 3y + 3x – 2y
5. Reducir: 11 abc – (3 abc – 4 abc – 5 abc) 5
6. De –40 ab restar 30 ab
13. Reducir la siguiente expresión: 2 3 2 3 2 E(m;n;p)=5m np–9pn +4m np+4n p– 11m pn
5
14. Efectuar: 6 6 6 6 5 ab – 11ab – (3ab – 7 ab )
7. De 56 xyz restar –xyz
15. Si: 3 P(x) = 8x – 3x 3 Q (x) = –4x – 14x 5 3 R(x) = x + 2x Hallar: P(x) + Q(x) + R(x)
8. Siendo: A (a; b) = 11 ab – 8 ab – ab B (a; b) = –ab + 4 ab – 5ab Hallar: A – B
Tú puedes b
3
3
1. Si se cumple que: 5x + ax = 11 x , calcular el valor de: a + b a) 2 d) 3
b) 5 e) 4
2. Siendo: A=mx
c)
m+3 2m+n
∧ B=nx
y
7
5 5
y
a) 19 d) 4
3 8
b) 2 x y 4 3 d) 9 x y 9
9
9
9
se obtuvo 55x , indique n a) 76 d) 100 Colegios
18
TRILCE
b) 81 e) 196
2
c) 49
7
Hallar la suma de todos los valores adoptados por "a" y "b".
2n–1 3m+1
3. Al sumar los términos: x +2x +3x +.....+nx
7
4x + 12x = ab x
6
Términos semejantes. Dar su suma a) 4 x y 5 7 c) 5 x y 6 6 e) 7 x y
4. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales tales que:
9
b) 15 e) 62
c) 29
5. El largo de un rectángulo mide (3x+2y). Si su perímetro mide (10x + 6y). ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo? a) 2x+y
b) 7x+4y
d) 4x+2y
e) x+2y
c) 7 x + 4y 2
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Capítulo
4
Teoría de exponentes I Lectura: René Descartes El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, 2
se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x , lo 2
escribía como 5 . En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que utilizó una notación prácticamente igual a la actual, 2
salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x lo ii
escribía como 5x . Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso; sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como 2
muchos hasta entonces, x como xx.
FUENTE: Link:www.epsilon.com
En este capítulo aprenderemos .. Notación de una potencia, explicando los elementos operativos: base – exponente – potencia. .. Definición de exponente cero y exponente unitario. .. Operación de multiplicación y división de potencias de bases iguales. .. Regla de signos de la potenciación.
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Primer año de secundaria
19
4
Capítulo
Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES I
• Definición
Potenciación
• Teorema
Definiciones
Exponente Natural
Exponente Cero
Teoremas
Exponente Unitario
Multiplicación de potencias de bases iguales
Colegios
20
TRILCE
División de potencias de bases iguales
Central: 6198-100
Álgebra Saberes previos 1. Efectuar:
4. Efectúe las siguientes operaciones:
• (–3)(–3) =
• 9 + 6 – 17 =
• (–4)(–4)(–4) = • 5 – 8 –20 =
2. Reducir:
• – 5 – 4 – 3 =
• x + x = • x + x + x =
5. Reducir:
• x + x + x + x =
8
3. Reducir: 7
8
8
x + 2x + x =
7
7
7
7
x +x +x +x +x =
4x
11
– 12x
11
=
Aplica lo comprendido 1. Efectuar:
4. Efectuar: 0
3
• 5
5
• (–11)
• 4 = • 2 =
=
• x . x . x . x . x
=
• m . m . m . m ..... m = 1 4444 2 4444 3 50 veces
• 45
=
0
=
0
=
• –9
2. Reducir:
0
5. Efectuar: 4
• x . x
5
=
3. Calcular: 2
• (–4) = 3
• (–5) =
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21 • m 7 m
=
; m≠0
3 8 • x .9x x
=
; x≠0
Primer año de secundaria
21
4
Capítulo
Aprende más 1. Efectuar: 2 2 (–3) – (–2) a) 2 d) 5
9. Reducir: x.x.x+x.x.x+x.x.x b) 3 e) 6
c) 4
d) x
2. Efectuar: 3 2 (–5) + (–7) a) –74 d) –77
b) –75 e) –78
c) –76
3. Reducir: 12 10 40 x .x .x 61
62
a) x 64 d) x
b) x 66 e) x
4. Reducir: x 40 ; x ! 0 x50 4 a) x 10 d) x
–10
b) x 20 e) x
c) x
c) x
63
5
a) 7 d) 1
b) 0 e) –7
c) 3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
7. Reducir: x6 ; x ! 0 x 4 . x5 –1 –2 b) x a) x –4 –5 d) x e) x
2
a) x 4 d) x
Colegios
22
TRILCE
4
e) x
c) 3
c) x
–3
2
c) x
3
8
c) 2x
9
a) x
8
b) 3x
d) x
6
e) x
8
15
11. Reducir: x5 + x5 + x5 ; x ! 0 x3 . x2 a) 1 b) 3 d) x e) 2
c) 4
12. Reducir: 2 5 3 4 x .y .x .y 6 9
b) x y
7 9
5 9
e) xy
9 5
c) x y
6
13. Efectuar: 6 3 (–2) – (–4) b) 32 e) 512
c) 128
14. Reducir: 40 51 21 20 (–x) . x . (–x) . (–x) a) –x
48
b) –x
10
d) –x
132
e) –x
37
15. Reducir:
2
c) –x
144
0
x9 . x − 3 . x5 ; x ! 0 x− 4
0
b) x 5 e) x
3
10. Reducir: x5 + x6 ; x ! 0 x− 3 x− 2
a) 64 d) 1024
6. Efectuar: 0 0 4x + (4x) ; x ! 0
x5 . x − 2 . x3
b) 2x
d) x y
0
8. Reducir:
3
a) x y
5. Reducir: 7(− 3)
a) 3x
c) x
3
a) x
3
b) x
5
d) x
4
e) x
7
c) x
6
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 2
4
9. Reducir: m . m . m . m + m . m . m . m
3
10. Reducir: x7 + x5 ; x ! 0 x− 3 x− 5
1. Efectuar: (–10) – (–3) 5
2. Efectuar: (–2) + (–3) 3. Reducir: x
13
.x
11
.x
31
8 8 8 11. Reducir: x +3x +5 x ; x .x
30
4. Reducir: x50 ; x ! 0 x
3
5. Reducir: 11(− 8)
6
4
x!0
7
12. Reducir: a . b . a . b . a
0
4
13. Efectuar: (–4) – (–2) 0
6
3
0
6. Efectuar: 9x + (17x) ; x ! 0 2 14. Reducir: (− x)3 x4
8 6 7. Reducir: x10 . x14 ; x ! 0 x .x
8. Reducir: x6 . x
− 32
.x
8
; x≠0
3
0
8 −2 3 15. Reducir: x . x − 3 . x ; x ! 0 x
0 43
Tú puedes 1. Reducir: 230 + 227 226 a) 16 d) 6
x
4. Si: x =3, halle el valor de: xx b) 18 e) 8
c) 4
256 veces
a) 5 d) 3
b) –7 e) 6
a) 9 d) 81 n
2. Resolver: 2 . 2 . 2 .... 2 = 16 + 16 + ... + 16 1 44 2 44 3 1 4444 2 444 43 (3x − 9) veces
x+1
b) 6 e) 24
c) 27
m
5. Si: 5 = 2 y 2 = 3; calcular:
c) 7
5n + 1 + 2m + 1 5n + 1 − 2m + 1 a) 7/3 d) 2
b) 6 e) 5
c) 4
3. Hallar el valor de "x" tal que: x–2 x+2 x–3 x+3 +2 +2 +2 = 198 2 a) 3 d) 6
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b) 4 e) 7
c) 5
Primer año de secundaria
23
5
Capítulo
Repaso I Lectura: Leyenda sobre el ajedrez Existen diversas leyendas sobre el origen del ajedrez, la más difundida de ella es la siguiente: Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho; al cabo de un rato, los científicos regresaron con una gran sorpresa: ¡no alcanzaba todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez!" FUENTE: red escolar.ilce.edu.mx
¿Por qué no alcanzaría el trigo?, la respuesta está en el exponente, pues al efectuar la operación, el número crece considerablemente, así tenemos que solo por el casillero 64 el número de granos que corresponde 64 es 2 cuyo resultado es:
9 223 372 036 854 780 000.
En este capítulo recordaremos .. La reducción de términos algebraicos semejantes, así como sus características. .. Teorías de exponentes .. Definiciones y teoremas que abarcan: exponente cero, unitario y multiplicación y división de potencias de bases iguales.
Colegios
24
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Saberes previos 1. Efectúe las siguientes operaciones: • 4 – 15 =
4. Reducir: 2
2
2
• 8a + 5a – 15a =
• –20 – 10 = 2. Efectúe las siguientes operaciones:
• 14xy – 19xy + 2xy = 5. Efectuar:
• –13 – 12 + 33 = • 4 + 5 – 18 =
3
(–5) =
3. Efectúe las siguientes operaciones:
2
(–9) =
(–4)(3) + (–2)(–5) = (–8)(4) – (–3)(5) =
Aplica lo comprendido 1. Reducir:
8. Desarrollar
4 5
4 5
4 5
las
potencias,
eliminando
los
paréntesis:
–14x y + 9x y – 4x y
4
2. Reducir:
• (–x) =
3
3
3
–3abc + abc – 4abc + 2abc
3
3. Si los términos algebraicos: n
T(x) = 40x ; S(x) = 2x
5
• (–x) = 9. Efectuar:
8
•
son semejantes. Halle "n"
0
x =
; x!0
0
; x!0
0
; x!0
• (–x) =
4. Reducir: 5 4
5 4
5 4
5 4
–9m n + 5m n – (2m n – m n )
• –3x = 0
• x8 =
5. De: 8
8abc restar 10 abc 6. Restar: 3
–xy de 5xy
3
7. Reducir: x .x . x . x . x ..... x 1 4444 2 4444 3 150 veces
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8
10. Efectuar: 4
6
• b . b . b • •
5
x16 + x8 x12 x 4
= =
; x≠0
m5 . m6 . m7 = m9
; m≠0
Primer año de secundaria
25
5
Capítulo
Aprende más 3
1. Reducir: 4mnp + 5mnp – (2mnp – 9mnp) a) 9mnp d) 3mnp
b) 8mnp e) 4mnp
10. Efectuar: (–4) – (–5)
c) 16mnp
2. Reducir: 4xw2 z − 63xw2 z + (8 xw2 z − 15 xw2 z@ 2
2
a) 9xw z 2 d) 7xw z
3. Si: T(x) = 8x Hallar: a
2
b) 11xw z 2 e) 8xw z
16
c) 9xw z
, es semejante con Q(x) = 11x
a) 1 d) 3
b) 2 e) 6
c) 4
4. Sabiendo que: 2 P(x) = –4x + 6x – 8 2 Q(x) = 11x – 13x + 9 Hallar: P(x) + Q(x) 2
a) 7x –11 2 c) 7x – x 2 e) 7x –7x+1
5
a) x 4 d) x
b) x 14 e) x
3
b) 2x 3 e) 5x
4
b) 2011 e) 2014 0
3
c) 2013
b) x 3 e) x
c) x
5
6
7
40
x!0 c) 3
4
2
16. Reducir: m . n . p . m . n . p
8
9 7
b) m n
9 8 14
9 8 13
c) m n p
d) m n p
9 8 15
e) m n p
17. Reducir: (–x) 3
2
4
b) 12x–12 e) 12x+12
c) x
; x≠0
14
a) mn p
b) –8x –2y +z 3 2 4 d) –x –y +z
b) 7x e) 9x
9
0
9 9 9 9 15. Reducir: x + x 5+ x 4+ x ; 2x .x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
5
c) x
16 18 6 12. Reducir: x13 + x15 + x3 ; x ≠ 0 x x x
a) x 18 d) x
4
4
c) 6x
a) –x d) –x
50
160
c) 10x–3
.x
41
. (–x)
b) –x
123
e) –x 2
2
21
.x
13
240
c) –x
111
125
3
4 2 −5 18. Reducir: x . x − 6 . x ; x 2 3 a) x b) x 5 6 d) x e) x
x!0 c) x
4
11 6 19. Reducir: m− 2 + m− 7 ; m ! 0 m m 13
a) m
13
d) 2m
20. Hallar "x", si: 5
9. De: (8x – 11) restar: (–4x + 1)
TRILCE
; x≠0
7
6
8. Reducir: P(x; y) = 5x – {–2x– [x – 2y]} + 2y
26
–16
2 3 4 14. Reducir: x6 . x − 3 . x5
7. Si se cumple que: 7x + ax = 13 x Calcular el valor de: m + a − 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Colegios
6
.x
c) –38
7 11
m
a) x–12 d) 11x–1
12
a) 2010 d) 2012
b) –2x +x+1 5 2 d) –2x –x +8
a) –8x +2y –z 3 4 c) –8x +y+z 3 2 4 e) –8x –2y –2z
a) x d) 8x
.x
3
2
6. Si: 3 2 4 P(x; y; z) = 5x + 2y + z 2 3 4 Q(x; y; z) = 8y – 9x + z 3 2 4 R(x; y; z) = –4x – 12y – 4z Hallar: P(x; y; z) + Q(x; y; z) + R(x; y; z) 2
13
a) 3x 3 d) 4x
b) 7x –6x+1 2 d) 7x +x+1
a) –2x +3 5 c) –2x –12x+4 3 2 e) –8x –2x –2
11. Reducir: x
b) –37 e) –32
13. Reducir: 2012(− 2011)
5. Teniendo en cuenta que: 5 A(x) = –4x – 8x – 2 5 B(x) = –2x + 4x – 6 Hallar: A(x) – B(x)
3
2a–2
a) –40 d) –89
2
a) 1 d) 0
13
12
b) 4m
c) m
8
e) m x+3
+5
b) –2 e) 3
x+2
+5
x+1
x
+5 +1=157 c) –1
Central: 6198-100
Álgebra Practica en casa 3 2 4
3 2 4
3 2 4
1. Reducir: 5x y z +2x y z – 9x y z 5
5
11. Efectuar:
5
5
2. Reducir: 4am – [8am – (7am – 11am )] 4 b–2
3. Si: 9x y
; es semejante con: –13x
a–2
y
a+b
Hallar:
5
6
8
• x . x . x . x
9
=
20 14 9 • m13 + m 7 + m2 m m m
4. Si: 8 A(x) = –4x + 23 8 B(x) = –30 + 5x Hallar: A(x) + B(x)
;m≠0
=
12. Reducir:
7
5. De: 9mnp resta 15mnp
x 4 . x5 . x11 ; x ! 0 x13
7
6. Restar: –5xw de 200wx 2
2
7. De: (5xy + 4xz ) restar (2xz – 2xy) 8. Reducir: 4 a . a . a + 5 a . a . a – 2 a . a . a 9. Efectuar:
n
6
13. Si se cumple que: 11x + mx = 18 x
6
Calcular el valor de: 3 m + n − 5
8
• (–m) = 7 • (–3) =
14. Reducir:
10. Efectuar: 0
• 3 + 2
2
=
0
• (–4) + (–2) • –23 . x • 711
4m5 + m5 + m5 + m5 ; m ! 0 14 m3 . m2
2
=
0
=
0
; x!0
15. Reducir: x.x.x + x.x.x + x.x.x + ... + x.x.x 1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 30 sumandos
=
Tú puedes 1. Dados:
10 veces
2
P = (C – 1) x + 3x + 3y 2 Q = 5x – 3 (x+y) Si: P – Q se reduce a 6 (x+y). hallar el valor de C. a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
2
c) 4
3
4. Si: a = 3 2
2. De a sustraer la suma de 3ab–6 y 3a –8ab+5 2
a) –a + 5 ab – 2 2
b) –3 a + 5 ab – 1 2
c) 3 a – 5 ab + 1 2
d) –3 a + 5 ab + 1 2
e) –2 a + 5 ab + 1
Hallar: a a) 1 d) 27
3a3
b) 3 e) 81
c) 9
5. Simplificar: 2n + 4 − 2 . 2n + 2 ; n ! N 2 . 2n + 3 a) 1/4 d) 1/3
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7 veces
6 44 7 44 8 6 4 4 4 7 4 4 4 8 15 . 15 . 15 .... 15 3. Reducir: 5 . 5 ....... 5 . 15 5 . 38 a) 25/6 b) 25/3 c) 25/2 d) 15/2 e) 7/3
b) 1/2 e) 4
c) 2
Primer año de secundaria
27
6
Capítulo
Teoría de exponentes II Lectura: El Álgebra en la astronomía Para los científicos que se ocupan de estudiar fenómenos y objetos de dimensiones muy grandes, como los que se estudian en astronomía, por ejemplo, es muy útil la potenciación, porque les permite trabajar y operar con números muy grandes con cierta facilidad. La distancia que nos separa de la nebulosa de Andrómeda, por ejemplo, es aproximadamente igual a: 95000000000000000000 km 18
La cual se puede escribir también como 95 × 10 , pues hay 18 ceros a la derecha del 95. Más aún, este número se puede escribir 20 19 17 como 0,95 × 10 o 9,5 × 10 o 950 × 10 . Así como los científicos usan números gigantescos, también utilizan números muy pequeños, como el que representa la masa de un protón, una de las partículas del átomo: 0,00000000000000000000000165 gramos como las potencias con exponente negativo representan inversos de potencias positivas, es decir, por ejemplo: 5–20 = 120 5 20
y el inverso de 5 es un número muy pequeño, son las potencias con exponente negativo precisamente las que permiten expresar números como la masa de un protón de manera más breve: 1,65 × 10
–24
gramos
El exponente –24 se obtiene contando los lugares a la derecha de la coma que tiene el número en cuestión hasta llegar al primer dígito distinto de cero (contando este dígito). FUENTE: www.rena.edu.ve
En este capítulo aprenderemos .. Definir la potencia de exponente entero negativo. .. Multiplicar potencias con exponentes iguales. .. Identificar y desarrollar potencias de potencias. .. Aplicar indistintamente y en forma correcta las definiciones y propiedades vistas.
Colegios
28
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES II
Definiciones
Teoremas Multiplicación de potencias
División de potencias Potencia de potencia
Exponente negativo
Bases de exponentes iguales
Bases de exponentes iguales
Consecuencia
Además recuerda que
a −n `bj = ?
n
(–a) = ?
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Primer año de secundaria
29
6
Capítulo
Saberes previos 1. Calcular:
4. Reducir:
• 3 + 5 = 7 7 • 11 − 5 = 3 3
2
=
• (–4)
3
=
• –2
2. Reducir: 4
• (–5)
2
• − 73
5
= 0
=
• x . x = 6
3
5. Efectuar:
2
• m . m . m = • 2 + 3 = 3 4
3. Reducir: 11 • x 4 = x
; x≠0
6 • m8 = m
; m≠0
• 2 − 11 = 3 2
Aplica lo comprendido
1. Efectuar: • 4
–1
• (–3) • 5
= –1
–1
• –2
3. Reducir:
= =
–1
=
• 9
–2
=
• 4
–3
=
Colegios
30
TRILCE
–2
36
4. Reducir: 155 − 35 55 5. Reducir:
2. Efectuar:
• (–5)
25
(x ) . (x )
x
x
2 .3 –6
x
=
Central: 6198-100
Álgebra Aprende más 1. Efectuar: 1 −1 1 −1 84B + 88B a) 11 d) 16
9. Reducir: x8 . 3x8 . 3x8 .... 3x8 ;3 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E 20 veces
b) 13 e) 12
c) 15
4
a) 33/144 d) 19/144 3. Calcular: 5 −3 83B a) 7/125 d) 27/125
b) 11/144 e) 13/144
c) 7/144
b) 11/125 e) 13/125
c) 17/125
18 19
19 20
b) x y 17 29 e) x y
18 19
c) x y
5. Calcular: 5− 4
a) 2/5 d) 1/5
b) 5 e) 1
c) –1
6. Hallar el equivalente de: –3 ; xy ! 0 (xy) 3 3
a) x y
3 –3
d) x y
7. Reducir: 1810 − 1020 910 a) 1 d) 4 8. Reducir:
b)
1 x y 3
c)
1 x y
3 3
3 3
e) x /y
16 26 4 8 4(x ) + 5x . x – 6 . x 4 ; x ! 0 x 12 12 12 b) 3x c) 15x a) 2x 12 12 d) 6x e) 4x
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c) 19/3
c) y
b) 4/9 e) 1/3
5
c) 5/4
13. Reducir: 2 − 3 + (− 3) − 2 − 1 + (2012) 0 9 a) 3/8 b) 9/8 d) 1/2 e) 3/7
c) 2/5
14. Reducir: 205 1024 # 125 a) 5 d) 625
c) 3
b) 11/3 e) 13/3
12. Calcular: −1 −2 −1 R = ; 8 25 B + 8 5 B E 11 3
15. Reducir: b) 2 e) 5
7
c) x
11. Reducir: (x2 y5) 4 (x3 y2) 3 ; xy ≠ 0 x17 (y 4) 5 3 4 b) y a) y 6 7 d) y e) y
a) 3/5 d) 2/7
0
5
b) x 12 e) x
10. Calcular: –1 –2 –1 (4 – 4 ) a) 17/3 d) 16/3
4. Reducir: 2 52 3 25 (x y ) . (x y ) a) x y 17 20 d) x y
10 veces
a) x 10 d) x
2. Calcular: –2 –2 3 –4
; x≠0
x15 . 9x15 . 9x15 ... 9x15E ;9 144444 4244444 43
=
b) 25 e) 3125 −1
m− 1 + n− 1 G m− 1 − n− 1
c) 125
; m≠n≠0
a) n − m m+n
b) m n
c) m + 1 m−n
d) m + n n–m
e) m + n n
Primer año de secundaria
31
6
Capítulo
Practica en casa −1 −1 1. Efectuar: ` 1 j + ` 1 j 3 8
2. Calcular: 2
–2
–5
x5 . 2x5 . 2x5 .... 2x5 ;2 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 E
9. Reducir:
8
20 veces 8 8
x . 4x . 4x ... 4x8E ; 144 4 4 44 2 4 4 4 44 3
–2
; x≠0
10 veces
10. Calcular: (5
–1
–2 –1
–5 )
−2 3. Calcular: 8 11B 5 4
52
(x2 y5) 4 (x3 y2) 4 11. Reducir: 4 13 2 10 ; xy ≠ 0 x . x . (y )
3 24
4. Reducir: (a . b ) (a b )
−1
0 5. Calcular: 4 − 5
−1 −2 12. Calcular: R = ;` 25 j + ` 5 j E 16 3
6. Hallar el equivalente de: (xy)
–4
; xy ! 0
5 7. Reducir: 185 − 240 6
37
8. Reducir: 5(x ) + 9x
–2 13. Reducir: ^2–3 + 8 + (–5h – 1 + (2013) 0 25
14. Reducir: 10
.x
11
31 + 8 x10 x
205 1000 # 128 −1
−1 −1 15. Reducir: = a − 1 + b − 1 G a −b
; a≠b≠0
Tú puedes
1. Simplificar: a) 9 d) 27
4. Calcular:
1 1 −3 1 1 − 8 9 B8 3 B − 8 B 8 B 1 8 B 9 3
3
b) 9 e) 1/9
c) 1/3
x 2x x 2. Efectuar: ` 2 j . ` 9 j . ` 8 j 3 4 27
a) 2/3 d) 9/4
b) 3/2 e) 4/9
3. Si se sabe que: x 2 = 5 .......... (1) y 3 = 7 .......... (2) xy Calcular: A = x6 y 7 .5 a) 0 b) 1 d) 3 e) 4 Colegios
32
TRILCE
53 + 52 + 5 + 1 5 + 5− 2 + 5− 1 + 1 −3
c) 1
a) 5 d) 625
b) 25 e) 3125
c) 125
5. Si: m m n 10 = x . y n
n
10 = x . y
m
Indicar el valor de: xy a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
c) 2
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Capítulo
7
Teoría de exponentes III Lectura: Christoph Rudolf La operación de radicación se expresa cuando usamos el símbolo . Este símbolo pudo ser una variante de la letra r, primera de la palabra en latín radix, que significa raíz. Fue introducida por Christoph Rudolf en 1525. El mismísimo Euler conjeturó en 1775 que se trataba de una forma estilizada de la letra r, inicial del término latino radix, "radical". Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual evolucionó a partir de un punto (signo que en ocasiones se utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un trazo oblicuo en la dirección del radicando. FUENTE: www.epsilom.com
En este capítulo aprenderemos .. Notación y definición de la operación de radicación (Radical – radicando – índice) .. Definición de las potencias de exponente fraccionario. .. Operaciones con radicales, tales como la multiplicación, división, potenciación y radicación. .. Identificar y desarrollar equivalentes de una raíz de raíz.
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Primer año de secundaria
33
7
Capítulo
Síntesis teórica
TEORÍA DE EXPONENTES III
Definición
Exponente fraccionario
Recuerda
• • • •
n a =b símbolo radical índice radicando o cantidad sub-radical raíz enésima de "a"
Se complementa con los
Teoremas
Multiplicación de reales
División de reales
Raíz de reales
Consecuencia y reglas prácticas
Colegios
34
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 1. Desarrollar las siguientes potencias: • (–12)
2
• (–10)
3
4. Desarrollar las siguientes potencias: • –3
–1
=
• –4
–2
=
2. Desarrollar las siguientes potencias: 5. Reducir las siguientes expresiones:
–1
• 4 = • (–3)
–2
4
4
• E(x) = 5x – 8x + 5x
=
−3 • 8 2 B = 5
4
• M (x; y) = 9xy + 5xy – 8xy + 4xy
3. Efectuar las siguientes operaciones: 2
5
2
• I(x; y; z) = 11x yz + z – 20 x yz
• 2 . 15 = 3 • − 4 # 14 = 7 • `– 2 j # `– 33 j = 11 5
Aplica lo comprendido 1. Calcular: •
64
3. Efectuar: =
• 4 81
=
• 3 125
=
•
5
32
=
2. Calcular: •
3
− 64
=
P = 144 − 8 . 3 − 8 + 4 81 4. Efectuar las siguientes potencias: • 161/2
=
• ^− 64h1/3
=
• − 493/2
=
5. Efectuar: • 5 7 . 5 6 . 5 3
• 7 − 1
=
• 5 − 32
=
•
• 9 − 512
=
14 • 7 50
•
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3 3
81 3
3
= = =
11
Primer año de secundaria
35
7
Capítulo
Aprende más 1. Efectuar: 1/2
) . (− 8)
(81
9. Calcular: − 1/2 10 . 3 64 + 4 . 8 16 B 125 121
2/3
a) 33
b) 34
d) 37
e) 38
c) 36
a) 14 d) 18
2. Calcular: 1/2 (16 × 9) a) 10 d) 15
b) 12 e) 14
c) 13
a) 0,25 d) 0,5 11. Sea:
3 5
4 6
b) x y
8 9
6 7
c) x y
e) x y
4. Efectuar: 21 ^3 ab h . ^ ab h4 b) a b
10 10
e) a b
d) a b
7 7
9 9
c) a b
125
0
a) 2 d) 7
b) 3 e) 9
2
b) 6x
d) 5x
2
e) 11x
a) 20x
2
d) 23x
2
36x6 9x 2
a) x
2
d) 2x
Colegios
36
x 48 +
2
c) 9x
TRILCE
2
b) 3 x . 3 y
c) 3 x . 15 y
d) 3 x . 4 y
x5 . x7
a) x 5/12 d) x
2
14. Efectuar: x 3 ; 5 y
2
; x!0
b) 21x
2
e) 24x
2
a) c) 22x
2
x30 2
e) 7x
2
c) 5x
2
x y
11/12
b) x 17/12 e) x
c) x
17/12
y!0 3 b) 5 x y
e)
3 c) 15 x y
x y
x: x ; x > 0 x
b) 3 x
d) 6 x
e) 4 x
a)
b) 3x
3
d) 3 3 y 15. Efectuar: 3
5 3
x.5 y
a) 3 x . 5 y
6
8. Efectuar: 3 4
12. Efectuar:
1/12
a) 4x
625 x 4 −
c) 3
13. Efectuar:
x12 + 5 x10 + 9x 4
7. Reducir:
b) 2 e) 5
− 2 −1
e) 3 x . 7 y
c) 5
6. Si "x" es un número positivo, reducir: 6
c) 0,3
− 3 −1
3
11 11
5. Calcular: 3− 2
A = 64 − 4
a) 1 d) 4
8 8
a) a b
b) 0,15 ! e) 0, 5
B = 12527 Hallar: (B+3)(A)
10 6
d) x y
c) 20
10. Efectuar: 0,5 (0,25)
3. Reducir: 5 x20 . y30 a) x y
b) 19 e) 21
c) 5 x
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Álgebra Practica en casa 1. Calcular: • •
5
6. Efectuar: (144
9
=
1024
=
• 3 343
=
• 7 167
=
=
• 7 − 1
=
) . (–27)
7. Calcular: (4 × 16 × 25)
−3 9. Calcular: 8 1 B 125
• 3 − 1000 =
4. Efectuar las siguientes potencias: • 36
• (–125) • –81
10. Reducir:
400 x8 −
81 x10 ; x ! 0 9x 2
11. Efectuar:
6 4
8 5
x96 +
x80
= 1/3
3/2
=
12. Efectuar: 3 a 5 b
=
5. Efectuar:
13. Efectuar:
• 4 8 . 4 3 . 4 11 •
1/2
− 20
3. Efectuar: U = 169 − 5 . 3 − 64 + 4 16
1/2
2/3
8. Reducir: 7 x28 . y 42 . z 49
2. Calcular: • 5 − 32
1/2
5
64 5 2
x. x
= 14. Efectuar: 3 x : z
=
12 • 6 21
=
• 3 4 13
=
15. Efectuar:
x.
3
x2 . 4 x3
Tú puedes 2 1. Reducir: ;
18
a) –1 d) –x
8
b) 1 2 e) x
4. Calcular el mayor valor de n, si:
4/3
8(x 4) 642B . x164 E
; x>0 c) x
n + 1/3 2. Efectuar: 3 − 1 . 3 3 − 1 . 3 ; n∈N,n≥2 1 . n 3n2 3 a) 1 b) 2 c) –1 d) 4 e) 3
3. Simplificar: a) 1 d) n www.trilce.edu.pe
n nn
n nn nn + n n
n
b) 0 e) –n
.
n + nn
1n 8nB c) –1
(n n )
1 n n
1 + 1/4 1/10
1 + 1/2 1 + 1/3E B = ;;8621 + 1/1@
a) 3 4
b) 2
d) 3 20
e) 5 3 4
E
c) 3 16
5. Luego de reducir: 3 4
a
4 3
a3
3
a 4 a3
4
a a2 a 3 a2 Dar el exponente de "a". a) 13 72 15 d) 72
b) 13 71 e) 11 70
c) 11 73
Primer año de secundaria
37
8
Capítulo
Teoría de exponentes IV Lectura: El filamento de una lámpara y el Álgebra Es un error pensar que en la práctica tropezamos tan sólo con segundas y terceras potencias, y que no existen exponentes de potencias superiores más que en los manuales de álgebra. Cuando un ingeniero busca el grado de solidez de un cuerpo se ve obligado operar a cada instante con cuartas potencias; y en otros cálculos (para hallar el diámetro de tubo conducto de vapor, por ejemplo) llega a operar incluso con la sexta potencia. Al estudiar la relación que existe entre la luminosidad de un cuerpo incandescente, – el filamento de una lámpara, por ejemplo– y su temperatura, se opera con potencias aún mayores. Así, que si calentamos un cuerpo de 2000 a 4000 grados absolutos, por ejemplo, o sea si elevamos su temperatura al doble, la luminosidad de 12
dicho cuerpo aumentará en 2 , es decir, en más de 4000 veces. FUENTE: tomado del libro "Álgebra recreativa. Autor: Yakov Perelman Link: http://www.sectormatematica.cl//librosmat/Perelman%20-%20Algebra%20recreativa.pdf
En este capítulo aprenderemos
.. Desarrollar ejercicios de Teoría de exponentes que involucren todo tipo de definición y propiedad estudiados en capítulos anteriores.
Colegios
38
TRILCE
Central: 6198-100
Capítulo
Síntesis teórica
8
TEORÍA DE EXPONENTES IV Presenta criterios complementarios
Descomposición
a− b
−c
a
n
n
nK
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2x + 3 3 4x − 1
bn
(x . y )
x
descomposición en factores
n
xnK
xn
Primer año de secundaria
39
8
Capítulo
Saberes previos 1. Reducir:
4. Desarrollar:
2
2
• x + x + x
2
• 8xy – 10 xy
=
• 5
–1
=
=
• 4
–2
=
5. Efectuar:
2. Reducir: 4
4
• x . x . x
4
5 • x3 x 3. Reducir: 43
3 5
=
• 5 210 # 315
=
• (x . y )
3
=
42
=
=
(a ) . (a )
Aplica lo comprendido 1. Calcular el valor de: M=2
–3
+4
–2
+8
4. Calcular el valor de: –1
E = 279
− 2 −1
2. Calcular el valor de: 5. Calcular el valor de:
25 # 52 # 92 32 # 42 # 152
−2
3. Indicar el exponente final de "x" luego de reducir: x8 . (x2) 3 ; x 4 . (x3) 2
R = 82B 5
−1 +8 2 B 25
x!0
Aprende más 3. Reducir: −1 −1 −1 ;8 2 B + 8 1 B E . ` 15 j 5 5 2
1. Simplificar: x+3 + 2x + 2 E= 2 x+1 2
a) 2 d) 4
b) 3 e) 7
c) 6
2. Al reducir la expresión: a x . 2a x , se obtiene: x
3/10
. Hallar el valor de "a".
a) 2 d) 10
Colegios
40
TRILCE
b) 3 e) 6
c) 5
a) 0 d) –1
b) 1 e) 2
c) 1/5
b) 36 e) 71
c) 60
4. Reducir: 4 4 . 66 125 a) 24 d) 48
Central: 6198-100
Álgebra 5. Simplificar:
11. Al simplificar 52 . 62 − 32 . 52 , se obtiene: 152 . 2 + 152
5
64x7 5 2x 2
a) x d) 3x
b) 4x e) 6x
a) 1 d) 6
c) 2x
a8 = an b4 Calcular el valor de "n".
8` b j B . a −2
a2 (aa − 8 .aa + 9) a 2a . a 2
a) a 4 d) a
b) a 8 e) a
c) a
3
a) 1 d) 4
x
7. Si: x =2. Calcular el valor de: –2x
+x
b) 3/4 e) 3/2
c) 1/2
b) 2 e) 5
c) 3
−2
2 −2
.85B E 3
# 10
b) 2/5 e) 11/5
a) 1 d) 4
c) 4/5
b) 2 e) 5
c) 3
15. Simplificar:
5x + 3x 5− x + 3− x
16 veces
x
b) 3 x e) 8
c) 15
x
10 veces 6 44 7 44 8 6 4 4 44 7 4 4 44 8 x . x . x .... x 4 x . 4 x .... 4 x 4 x . x ... x . ^3 x6 h 1 4 44 2 4 44 3 10 veces
10. Si el exponente final de "x" es 4 en la expresión: xn , calcular "n".
a) 4 d) 10
;8 4 B 3
2 # 3 4 # 36 M = 10 3 3 # (12 # 5) 2
9. Reducir:
x
c) 3
14. Reducir:
n+4 n+3 M = 2n 3 + 2n 2 2 + +2 +
a) 2 x d) 5
3
a) 1/5 d) 8/5
8. Calcular el valor de:
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
13. Al operar:
–x
a) 2 d) –1
x
c) 3
12. En la siguiente igualdad:
6. Reducir:
x
b) 2 e) 9
b) 6 e) 12
a) x 4 d) x
2
b) x 5 e) x
c) x
3
c) 8
Practica en casa x+3 + 5x + 2 1. Simplificar: E = 5 x+1 5 2
2. Si: x =4, donde x es un número natural. 8 –4 Calcular: x + x
x
4. Sabiendo que: 2 = 6. Calcular: 2
5. Reducir: 16 4 n
3. Calcular el valor de:
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64
2
05 8 @7
x+1
− 8 − 1/3
3n
6. Si: x =5, reducir: x –100
7. Calcular el valor de "x", en:
3
4x = 2x . 3 2
Primer año de secundaria
41
8
Capítulo
2x + 1 8. Calcular el valor de: 2 x 4
3 1/n 13. Efectuar: ^n b2n h^bnh . ^b − 1h donde: n ∈ N; n ≥ 2 y b ! 0
− 1/2 9. Calcular: 8 9 B + 3− 1 25
10. Si: A = 7 x . 7 x . 7 x .... 7 x , Hallar: 1 44444 2 44444 3
A
28 factores
5 10 5 15 11. Reducir: 8 a . 8 a a16 . a24
−2
12. Reducir: A = ;` 1 j 6
= 2 14. Efectuar: '8 4 2 B
2
1
2
G
2
2
2 3 xh ^x 15. Efectuar: x a .xa . xa .... a x a + a + a + .... + a 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3
− 2 1/2
+ ` 1j E 8
"a" sumandos
Tú puedes 1. Calcule el valor de "x" en la ecuación: 2x+1 x = 4 + 64 2 a) 1/2 d) 2
b) 1 e) 3
c) 3/2
2. Calcular el valor de:
n
n
a) 1001 d) 1004
2008
b) 1002 e) 1005
c) 1003
x1 = 4 x3 b) 8 e) 48
c) 72
3. ¿Cuántas parejas (x; y) de números reales positivos satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: xx + y = y3 ) x+y y = x6 . y3 a) 6 d) 11
n
5. Sea la siguiente sucesión:
2n # 6n + 3 3n + 1 # 4n a) 9 d) 16
n
4. Si: 4 + 4 + 4 + 4 = 2 Hallar "n".
b) 12 e) 4
c) 5
x2 =
4
x3 4 x3
x3 =
4
x3
4
x3 4 x3
h Calcular x10. a) c)
46−1 6 x 4 48−1 8 x 4 410−1 410
b)
47−1 7 x 4
d)
49−1 9 x 4
e) x
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42
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Capítulo
9
Notación de polinomios Lectura: Álgebra simbólica Una de las causas por las que la Matemáticas no avanzaron suficientemente hasta el siglo XVI fue sin duda la carencia de unos símbolos que ayudaran a los matemáticos a expresar sus trabajos de una manera más simple y que permitieran su lectura con mayor facilidad. Desde los babilonios (1700 a. de C.) hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se relataban con el lenguaje ordinario (Período retórico o verbal). Así, por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer para describir un problema: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (–). ¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?
En este texto sólo son legibles las letras x e y, así como la fórmula 2 y=x
A partir de Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comienzan a utilizar algunas abreviaturas (Período 2 abreviado o sincopado) Así, por ejemplo, para expresar la ecuación: 3x – 5x + 6, Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5 REBUS AEQUATUR ZERO, mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5 REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empieza a utilizar un lenguaje simbólico bastante parecido al actual (Período simbólico). Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así: Stevin (1585): 32 . 51 + 6 = 0 Vieta (1591): 3Q – 5N + 6 ae 0 Descartes (1637): 3xx – 5x + 6 = 0 Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en cualquier libro español. FUENTE: Link: sites.google.com/site/504expresionesalgebraicas/
En este capítulo aprenderemos .. Definición de un polinomio. .. Variables constantes. .. Valor numérico. .. Valor numérico utilizando notación de polinomios. .. Término independiente P(0). .. Suma de coeficientes P(1).
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Primer año de secundaria
43
9
Capítulo
Síntesis teórica
NOTACIÓN DE POLINOMIOS
Definición
• Variables • Constantes o parámetros
Valor numérico
En un polinomio: P(x) Suma de coeficientes Término independiente
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Álgebra Saberes previos 1. Indicar la relación de orden en: (>, <) según corresponda: • –5
M = (–4 + 3)(–2) + (+5)(–1)
–10
4. Efectuar:
8
• 4
3. Reducir:
N = (5 – 4)(6 – 6) + 7 (3 – 2) 3
• –3
5. Efectuar:
2. Efectuar:
2
2
2
P=4 –3 +2 –1
2
• (–2)(–4) + (–5)(–1) = 4
2
5
• (–1) (3) + (2) (–1) =
Aplica lo comprendido 1. Si: P(x+4) = x+5
4. Si: P( x + 3 ) = 2x – 1 2 2
Calcular: P(7)
Calcular: P(3)
2. Si: P(2x–3) = 3x – 2
5
6
5. Sea: P(x) = (x+3) + (x–4) – 3
Calcular: P(3)
6
Calcular la suma de coeficientes 3. Sean P(x) = 5x + 3 Calcular: P(–3) + P(–2) + 15
Aprende más 2
1. Sean: P(x; y) = 3x + 2y Calcular: E = P(2; 3) a) 14 d) 12
b) 10 e) 18
2. Si: P(x) = 2x – 1 Calcular: M = P (0) + P (8) P (4) a) 7 b) 2 d) 1 e) 3
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c) 16
3. Calcular "P(5a)" Si: P(x) = − x +3a 5 a) a+4 b) a d) –5a e) –3a
c) 2a
4. Sabiendo que: P(x) = 3x+5a, toma el valor de 17 para x=4. Calcular "a" c) 5
a) 0 d) 2
b) 1 e) 3
c) 7
Primer año de secundaria
45
9
Capítulo
5. Si: P(x+3) =2x – 5 Calcular P(6). a) 8 d) –6
b) 4 e) 1
c) –3
a) 0 d) 3
2
6. Si: P(2x–3) = x + 1 Calcular: P(1) + P(5) a) 5 d) 30
b) 42 e) 22
b) 14 e) 20
c) 16
c) 18
8. Sabiendo que el polinomio: 2 P(x) = (4x+3) (x–5)+9+a Presenta como suma de coeficientes –180. Calcular "a". a) 10 d) –9
b) 6 e) –6
c) 7
b) 44 e) 43
c) 81
2
10. Sea: P(x+3) = x – 3x + 6, presenta: P(7)=m+1 Calcular: P(m) a) 30 d) 20
b) 24 e) 16
c) 2
12. Si: P( 2 ; 2 ) = xy Calcular: P(5; 3) a) 36 d) 83
b) 49 e) 63
c) 36
c) 47 5
2
13. Sea el polinomio: P(x) = 2x + x – x + 3 + a Si P(1) = 14 + 2 P(0) Calcular: a+15 a) –15 d) 8
b) 0 e) –8
c) 15
14. Si: P( x − 3 ) = 5( x + 1 ) 2
Calcular: P(1) + 5
9. Hallar el término independiente de: 4 5 P(x) = (2x+3) (x+1) +6 a) 87 d) –42
b) 1 e) 4 x+1 y−1
7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 4 5 P(x) = (x+1) + (x–1) a) 16 d) 22
11. Sea: P(x–4) = ax + 30 4 Donde: P(–9)=5. Calcular "a".
a) 13 d) 16
3
b) 14 e) 18
c) 15
15. Sea el polinomio: 4 6 2 P(2x–1) = (3x+1) (5x–1) –1024 Calcular: P(1) a) 0 d) –1
b) 1024 e) 1
c) –1024
Practica en casa 1. Sea P(x; y) = 7x – 2y. Calcular P(1; 2) 2. Si: P(x) = 3x+2. Calcular M = P (1) P (0) 3. Calcular: P(2a). Si: P(x) = x + a 2 4. Si: P(x) = x+a. Calcular: P (2a) P (4a)
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46
TRILCE
5. Sabiendo que: P(x) = 3x+2a, toma el valor de 17 para x=5. Calcular "a". 6. Si: P(3x+2)=x+6, calcular: P(8) + P(0,5) 7. Calcular la suma de coeficientes del polinomio: 10 6 P(x) = (2x–1) (x+1)
8. Hallar el término independiente de: 30 4 P(x) = (5x–1) (x+2) –10
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Álgebra 9. Si: P(x) = 3mx+9, hallar "m", si para x=3. P(x) vale 0 2
10. Sea: P(x+1) = x + 2x + 4, presenta: P(2) = m–2, calcular: "m+2" 11. Sea: P(x–2) = mx + 4 4 Donde: P(0) = 12 , calcular: m + 1 2 12. Si: P( x – 3 3
;
y+4 ) 4
13. Sea el polinomio: 4 3 5 P(x) = x – 3x + 2x + m Si: P(1) = 12. Calcular "m"
14. Si: P( 7x2− 3 ) = 7x Calcular: P(5)
2
15. Sea: P(x) = x – 3x + 1 Calcular: P(m–3) + P(m+3)
= x+y
Calcular: P(3; 1)
Tú puedes 1. Se sabe que el polinomio: 7 6 P(x) = (5x–4) + 2(3–4x) +2–n Tiene como suma de coeficientes a 2. Calcular "n". a) 1 d) 5
b) 4 e) 3
c) 2
2. ¿Para qué valor de "a" se cumple que: P(x) = ax+2, si se sabe que P(5) = a+10? a) 4 d) 5
b) 6 e) 1
c) 2
4. Calcular: E=P(3) + P(10), sabiendo que: P(x) = )2x − 3; si x > 5 x − 2 ; si x # 5 a) 18 d) 20
b) 19 e) 17
c) 16
5. Sea el polinomio: 2 3 4 5 P(x; y) = x + y + x + y Calcular: P (− 1; 0) + P (0; − 1) M= P (− 2; 2) a) –4 d) 1/5
b) 2/3 e) 0
c) –1/2
3. Sabiendo que: P(x; y) = P(2; 3) en P(x; y) = 2x + 3y – 1 P (x; y) Reducir: 4 a) 2 d) 5
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b) 3 e) 6
c) 4
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10
Capítulo
Cambio de variable utilizando la notación de polinomios Lectura: Los polinomios en otras ciencias: Si investigaste en la web, es probable que encontraras muchos polinomios con nombre propio: Polinomios de Lagrange, Hermite, Newton, Chevichev... copiamos aquí un extracto de un blog que habla de los polinomios de Zernike y su aplicación en óptica para corregir defectos visuales. ... Las matemáticas, con los polinomios de Zernike, nos ofrecen un método para descomponer superficies complejas en sus componentes más simples. Así, con este procedimiento matemático podemos jerarquizar y definir todas las aberraciones visuales. Un esquema que está presente con mucha frecuencia en las consultas de cirugía refractiva es el de las diferentes aberraciones agrupadas y jerarquizadas: Lo de la jerarquía es fundamental, porque según cuál sea el grupo de la aberración, tendrá más o menos importancia, será más o menos fácil de corregir, etc. Por ejemplo, el número 4 corresponde a la miopía (y su inverso, la hipermetropía), y el 3 y 5 corresponden al astigmatismo... Extracto de la página FUENTE: http://ocularis.es/blog/?p=29
En este capítulo aprenderemos .. Conociendo P(x), hallar P(F(x)) .. Conociendo P(F(x)), hallar F(x) o P(x)
Colegios
48
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Álgebra Síntesis teórica
Cambio de variable utilizando la notación de polinomios
P(x) o
P[F(x)]
Conocido : P(x)
Conocido : P[F(x)]
Calculamos : P[F(x)]
Calculamos : P(x) o F(x)
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Primer año de secundaria
49
10
Capítulo
Saberes previos
1. Encontrar el valor de "x" en:
4. Efectúe:
4x – 3 = 13
3 (4–1) + 5 (2–3) 5. Efectúe:
2. Reducir: 3 (x+1) – 2 (x–2) – 7
5 (3+2)–4(6–1)
3. Reducir: 5 (x+3) – 3(x–1) – 2x
Aplica lo comprendido 1. Si: P(x) = 3x – 4
4. Si: P(x+1) = x
Determine: P( m – 3)
Determine: P(m)
2. Si: P(x) = –3x – 1
5. Si: P(x – 2) = x+3
Determine: P(m) + P(–m)
Determine: P(2m)
3. Si: P(x) = –8x + 5 Determine: P(2m–1)
Aprende más 4. Sabiendo que: P(x) = –x+2 Calcular: P(m–3) – P(m+3) + 6
1. Si: P(x) = 4x + 3 Determine: P(m+3) a) 2m–4 c) 4m+15 e) m+8
b) 5m–3 d) 3m–6
b) 3m–7 e) 6m+4
c) 6m–9
3. Sabiendo que: P(x) = 4x–7 Calcular: P(m+3)–P(m–4) a) 20 d) 30
Colegios
50
TRILCE
b) 28 e) 29
b) 13 e) 11
c) 14
5. Si: P(x) = 3x+1 y F(x) = 4x–3 Calcular: P(F(1))
2. Si: P(x) = 3x–6 Determine: P(2m–1) a) 2m–1 d) m–3
a) 15 d) 12
c) 24
a) 9 d) 5
b) 3 e) 4
c) 6
6. Sean los polinomios: P(x) = –2x+3 F(x) = –3x+1 Calcular: F(P(–2)) a) –14 d) 18
b) –20 e) –10
c) 32
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Álgebra 12. Si: P(x) = 7x – 9 ∧ P(F(x)) = 4x – 12
7. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 7 F(x) = –2x – 1 Determine: P(F(m)) a) –7m+2 d) –2m–6
b) 5m–3 e) –6m–10
Calcular "7 F(x) + 3" c) –m+4
b) 1 e) 3
c) 4
b) 2m–7 e) 7m–1
c) 4m+6
10. ¿Para que valor de "m" se cumple: P(m)=F(m) Si: P(x) = 3x – 7 F(x–2) = x+5 a) 5 d) 7
b) 4 e) 8
c) 9
11. Sean los polinomios: P(x) = 3x – 1 F(x) = 4x – 5 Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x)) a) 14 d) –7
b) –19 e) –15
c) 6x
a) 4 d) 9
b) 2 e) 1
c) 5
14. Si: P(x) = 3x – 4 ∧ F(x) = 5x – 1 Expresar P(x) en términos de F(x)
9. Si: P(x+4) = x – 3 F(x–1) = 2x – 8 Calcular P(F(m+3)) a) 5m–3 d) 3m–5
b) 4x e) 7x+3
13. Si: P(x) = 4x – 7 ∧ F(x) = 5x – a Calcular "a" para que: P(F(1)) = F(P(2)) + 2
8. Sean los polinomios: P(x) = 2x–10 F(x+3)=x–1 Determine: P(3m) – 3 F(2m) a) 2 d) 5
a) 7x–2 d) 2x–5
c) –13
a) 7 F(x) + 1 4
b) 5 F(x) + 2 5
c) 3 F(x) + 4 3
d) 3 F (x) – 17 5
e) 2 F (x) + 1 3 15. ¿Para qué valor de "m", se cumple: P(2 F(x)) = 2 P(x) – 19 Si: P(x) = 3mx + 1 F(x) = x – 3 a) 6 d) 4
b) 1 e) –2
c) –3
Practica en casa 1. Si: P(x) = 3x – 1 Calcular: P(m+2)
2. Si: P(x) = –x+1 Calcular: P(m–1) 3. Si: P(x) = 2x – 4 Calcular: P(2m–1) – P(2m+1) 4. Si: P(x) = 7x – 4 Calcular: P(m+2) – P(m)
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2
5. Si: P(x) = x + 3 F(x) = 2x + 4 Calcular: P(F(0)) 6. Sean los polinomios: P(x) = 4x – 3 F(x) = –2x + 4 Calcular: F(P(m)) 7. Sean los polinomios: P(x) = 5 – x F(x) = 2x – 1 Calcular: P(F(m))
Primer año de secundaria
51
10
Capítulo
8. Sean los polinomios: P(x) = x+9 G(x) = 2x – 4 Calcular: 6 P(3m) – 9 G(m)
12. Si: P(x) = 3x – 4
9. Si: P(x+1) = x – 1 F(x+3) = 2x – 7 Calcular: P(F(m))
13. Si: P(x) = 7x – 1
F(x) = 5x – m Calcular "m" para que: P(P(1)) = F(3) – 14
F(x) = 5 – 2x Expresar P(x) en términos de F(x)
10. ¿Para qué valor de "m" se cumple: P(m) = F(m) Si: P(x) = 4 –x F(x) = x – 12
14. Si: P(2x+3) = 3x – 1
11. Sean los polinomios: P(x) = x + 3
15. Si: P(2x+3) = 3x+1
Calcular: P(P(P(7)))
Calcular: P(P(P(7)))
F(x) = 2x – 3 Calcular: M = P(F(x)) – F(P(x))
Tú puedes 2
2
4. Sea: P(3x+1) = x – 4
1. Sea: P(x) = 4x – 3 ; x H 0 Calcular: P ( x ) + 3 2 a) x+3
b) x
d) 2x
e)
4
Calcular: M = P (7) − P (− 2) 3 c)
x –3
x /2
b) –6x+3 e) –8x+3
b) 9 e) 6
c) 1
5. Sean: P(x+1) = 4x – 7 ∧
2. Si: P(x) = –2x + 1 Calcular: P(P(P(x))) a) 5x–3 2 d) x –3
a) 3 d) 12
G(x – 3) = –3x + 5 3
c) 8x +1
Calcular: P(x) + G(x) + 15 a) x d) x+3
b) –4 e) x–6
c) 12
3. Sea: P(2x–3) = 2x+5 Calcular el valor de "x" que verifica: P(3x) + P(4x) = 65 a) 5 d) 9
Colegios
52
TRILCE
b) 8 e) 7
c) 6
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Capítulo
11
Grados de expresiones algebraicas Lectura: Hacer que las películas cobren vida Muchas de las técnicas de animación que se usan en la producción de películas se basan en las matemáticas. Los personajes, el paisaje de fondo y el movimiento se crean usando programas informáticos que combinan píxeles para obtener formas geométricas que luego son archivadas y manipuladas mediante las matemáticas que se usan en los gráficos de ordenador El programa informático codifica en cada píxel todas las características que pueden ser importantes para la vista, tales como la posición, el movimiento, el color y la textura. El programa usa vectores, matrices y aproximaciones poligonales a las superficies curvas que determinan el grado de oscuridad de cada píxel. Cada fotograma de una película generada por ordenador se compone de más de dos millones de píxeles y puede llegar a tener alrededor de cuarenta millones Titanes de Ischigualasto: http://sanjuan.cfired.org.ar de polígonos. La cantidad tan enorme de cálculos necesaria convierte a los ordenadores en herramientas imprescindibles, pero sin la ayuda de las matemáticas el ordenador no sabría que cálculos hacer. En palabras de uno de los animadores... todo se controla con matemáticas... ¡aquellas pequeñas "x", "y" y "z" que aprendimos en el colegio cobran de pronto relevancia. Más información: Mathematics for computer Graphics Aplications. Michel E Mortenson (1999) FUENTE: Link: http:\\webpages.ull.es/users/revmate/momentos705abr/mm– 2.pdf
En este capítulo aprenderemos .. Definición de grado .. Clases de grados de un monomio – Grado relativo – Grado absoluto
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Primer año de secundaria
53
11
Cap铆tulo
S铆ntesis te贸rica
GRADOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Definici贸n
Grados de un monomio
Grado relativo
Colegios
54
TRILCE
Grado absoluto
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Álgebra Saberes previos 1. Encontrar el valor de "x" en:
4. Reducir:
2 (x+3) – 1 = 3
M = 2 (3 +4) – 3 (4 – 2)
2. Al igualar 2m–3 con 7, el valor de "m" es: 3. Reducir: N = 4 + (–3) + 5 – (–3)
5. Indicar la relación de orden usando los símbolos >; <. • 42
72
• 12
14
• –14
–10
Aplica lo comprendido 3. Sea el monomio: P(x; y) = x
1. Sea el monomio: M(x; y) = 4x
a+3 a+4
y
a+3 2a+7
y
Cumple: GA = 30+a
Si: GA = 17
Calcular: GR(x) . GR(y)
Calcular: GR(x)
4. Sea M(x; y) = 2ax
4 a+3
2. Si: N(x; y) = –2ax y
a+3 4+a
y
con coeficiente 12. Calcular GA.
cumple: GA=12 Calcular el coeficiente
5. Hallar el GA de: 45 67
M(x; y) = 2 (x ) (y )
Aprende más 1. En el siguiente monomio: M(x; y) = 3x Se sabe que GA=15, hallar; GR(x) a) 6 d) 10
b) 13 e) 8
a+3 4
y
a) 10 d) 13
c) 11 4 7
m+2 3
2. Si los monomios: M(x; y) = x y ; N(x; y) = x y presentan igual GA. Determine el valor de "m". a) 8 d) 10
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b) 14 e) 6
c) 3
3. Calcular: GR(x) + GA del monomio: a+2 4+a y , si el GR(y) = 6 P(x; y) = 5ax b) 2 e) 14
c) 15
n
4. Si: P(x) = 3mx , presenta grado 5 y coeficiente 2 15. Calcular (m+n) a) 101 d) 102
b) 103 e) 100
c) 104
Primer año de secundaria
55
11
Capítulo
4 m+2
5. Si el GR(x) = m–5 de: M(x; y) = 5x y Calcular: GA a) 13 d) 14
b) 17 e) 16
c) 15
6. Sean los monomios 4 m+2 P(x; y) = 7x y 4 m+2 G(x; y) = 2mx y 4 m+2 Tales que al restar generan el monomio: x y Según ello, calcular: GA(P) a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
7. El monomio: M(x; y) = 5ax presenta un coeficiente –10 Calcular el GR (x) GR (y)
y
b) 2 e) 5
c) 3 3m–3 2m+1
8. Para el monomio: R(x; y) = 4mx y cuyo GA=13. Calcular la suma de coeficientes de R(x; y) y el GR(x) a) 19 d) 16
b) 14 e) 18
c) 20
4a–2 a+4
y 9. Sea: M(x; y) = 5x Calcular GA, si GR(x) = GR(y) a) 10 d) 16
a) 42 d) 5
b) 10 e) 70
c) 16
11. Para qué valor de "m" el monomio: 5+m 2m–3
y M(x; y) = x Se verifica: GR(x) = GR(y) – 4 a) 10 d) 15
b) 12 e) 14
c) 9
12. Si: GR(x) = 7, determinar el GA de: 2 3a+1 2a–1
4–a a+5
a) 1 d) 4
3m–1 2m–7
10. Sea: P(x; y) = –mx y Un monomio que cumple: GA=17. Calcular: E = GR(x) . GR(y)
b) 14 e) 8
c) 12
M(x; y) = –5a x a) 8 d) 12
y
b) 11 e) 10
c) 9
13. Dado: a+1 5–a a–1 y z F(x; y; z) = –x GA=8, calcular GR(z) a) 1 d) 5
b) 4 e) 3
c) 2
a+1 a–2
14. En A(x; y) = (a–1) x y se cumple: Coeficiente + GR(x) = 6, hallar GA. a) 1 d) 8
b) 6 e) 5
c) 7
15. El monomio: a 2a 3 3a 25 a2 M(x; y) = 4 (x ) . (xy) . (y ) . (xy ) . (x ) Cumple: GR(x) = GR(y), entonces calcular el coeficiente. a) 16 d) 2048
b) 1024 e) 64
c) 49
Practica en casa 1. En el siguiente monomio: a+2 7 y M(x; y) = 5x Se sabe que GA=19, hallar GR(x)
m
4. Si: P(x) = 4mx , presenta grado 7. Calcular el coeficiente. 6 m
2. Si los monomios: 5 6 m+2 4 y P(x; y)=4x y ; N(x; y)=x Presentan igual GA. Hallar "m" 3. Calcular: GR(x) + GA del monomio: 5+a 3+a y P(x; y)=4ax Si el GR(y)=10
Colegios
56
TRILCE
5. Si el GR(x) = m+2 de M(x; y) = 4x y Calcular el GA.
6. En el monomio: P(x; y) = (n–3)x GR(x) + GR(y) + 5 = 19 Calcular el coeficiente.
4+n n
y , se cumple:
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Álgebra 7. El monomio: F(x; y) = 3ax
7–a a+1
a+5 a a+4
12. Dado: F(x; y; z) = –3x yz Donde: GA=15, calcular GR(z)
y
Presenta coeficiente 9. Calcular: GR (x) GR (y) m+2 3m–1
8. Para el monomio: P(x; y) = 5mx y , cuyo GA=21, calcular la suma del coeficiente de P(x; y) y el GR(x).
13. Si el GR(x)=12, determinar el GA de: 2a+4 a y M(x; y) = 2x 2a a+4
14. En P(x; y) = (2a–3) x y , cumple: Coeficiente + GR(y) = 13, hallar GA.
2a–1 a+3
y 9. Sea el monomio: N(x; y) = 3x Se cumple: GR(x) = GR(y), calcular: GA 4m m+1
10. Sea: M(x; y) = –mx y cumple GA=21, calcular: E = GR(x) × GR(y)
, un monomio que
15. Del monomio: 23 5m 23 3 2m M(x; y) = 4m(x ) . (x ) . (xy ) . (y ) se cumple GR(x)=GR(y). Calcular el coeficiente.
11. Para que valor de "m" el monomio: 3+m 2m–4 y , verifica: GR(x) = GR(y) M(x; y) = x
Tú puedes 4+m n–2
1. Si los monomios M(x; y) = 4mx y ∧ n–4 m–1 , cumplen que la suma de N(x; y) = nx y coeficientes aumentado en el GA de M(x; y) resulta igual al GA de N(x; y) disminuido en 3n y aumentado en 27. Calcular "m+n" a) 4 d) 12
b) 8 e) 6
c) 5
2. Calcular GR(x) + GR(y), si el monomio: P(x; y) = (m+n)x coeficiente 10. a) 30 d) 29
2m+2n m+n–3
y
b) 27 e) 25 4 7
presenta un c) 22 4 7
4 7
4n
3m
5
7
4. Al multiplicar (x ) . (y ) . x . y , se reduce 21 40 a un monomio: M(x; y) = x y , según ello, calcular "m + n" a) 15 d) 56
b) 19 e) 39
c) 44
5. Si los coeficientes de los monomios: a a+b 4 b ab 6 y ∧ N(x; y) = (3 –2) x y , M(x; y) = (2 – 1) x son iguales y enteros. Calcular el máximo valor que toma el Gr(x) del monomio M(x; y). a) 6 d) 4
b) 2 e) 1
c) 5
3. Si se cumple: (5–n)x y +(7–2n)x y =–24x y Calcular el GR(x) del monomio: 2 n+3 4+n
P(x;y) = n x a) 12 d) 18
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y
b) 10 e) 16
c) 15
Primer año de secundaria
57
12
Capítulo
Grados de un polinomio Lectura: Por una comunicación más segura en internet No podríamos comprar, pagar recibos o realizar negocios a través de Internet de una forma segura sin las matemáticas de la criptografía. Aunque están basadas en resultados algebraicos probados hace siglos, las sofisticadas técnicas actuales de cifrado han sido formuladas apenas en los últimos treinta años. La criptografía de clave pública permite al usuario divulgar la clave de cifrado para que todos puedan usarla, pero manteniendo la clave de descifrado en secreto. Uno de estos algoritmos, denominado RSA, es la clave utilizada hoy para codificar los modernos navegadores de Internet. El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (National Institute of Standars and Technology, NIST) estadounidense ha adoptado un Estándar de Codificación Avanzado que se usará en las comunicaciones electrónicas en los próximos años. Este nuevo estándar usa permutaciones, aritmética modular, polinomios, matrices y campos finitos para transmitir la información de forma libre pero segura. Más información: "Communications Security for The Twenty–first Century". Susan Landau. Notices of the American Mathematical Society, April 2000 FUENTE: Link: http:\\www.webpages.ell/users/revmat/momentos/05abr/mmk– 4.pdff
En este capítulo aprenderemos .. Grados de un polinomio – absoluto – relativo .. Ejercicios de aplicación
Colegios
58
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
GRADOS DE UN POLINOMIO
Clases de grado
Grado absoluto
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Grado relativo
Primer año de secundaria
59
12
Capítulo
Saberes previos 1. Indicar el número de términos de cada expresión: presenta
términos
• N(x;y)=3x –2y –xy presenta
términos
• P(x;y)=x+y–7
términos
• M(x;y)=4x+2y–3 2
3
presenta
3. Reducir: P = 5x + 2y – 3x – y – x + y 4. Reducir: 2 2 F=x y–3x y 5. Resolver:
2. Reducir: M = 4x + 7x – 9x – 2x + x – 2x
4 (x – 1) = 3 (x + 1)
Aplica lo comprendido 1. Sea el polinomio: 5 3
6 7
3. Si: GA=12 en el polinomio: a+2 4 2 y–3x y F(x; y) = x Calcular "a"
9
P(x; y) = 4x y – 2x y +3x y Calcular: GA + GR(x) + GR(y)
4
4. Si: GR(y) =18, en: P(x; y) = 2x y – 3xy 2. Sea el polinomio: 4
5 6
G(x; y) = xy – 2x y + 7x
a+9
Calcular "a".
4
5. Sea el polinomio:
Calcular: GR(x) – GR(y)
4 5
6
4a
P(x; y) = –2x y + 3axy – 2x donde la suma de coeficientes es 8. Calcular GR(x)
Aprende más 4
5
1. Sea el polinomio: P(x) = x + 3x – 2x +6
a
a) 10 d) 6
Su grado es igual al número de términos, según ello, calcular el término independiente.
60
TRILCE
b) 12 e) 10
c) 9
2
2. Del polinomio: M(x) = 4x + 3x + 2x – 7a
Colegios
6
polinomio P(x)
El término independiente es:
e) –32
4
6 términos y de grado 9. Calcular el grado del
La suma de coeficientes es:
d) –49
5
m
Se observa que el resultado es un polinomio de
Su grado es:
b) –28
4
F(x) = x + x – nx – 2x+p
términos
a) 7
5
P(x) = x + x + 3x – 2x – 1 y
Completar según corresponda: Presenta
3. Al sumar los polinomios:
c) 4
4. Sea el polinomio: m 2
5 3
4 5
P(x; y) = 4x y + 3x y – 6x y Cuyo GA=13, calcular "m–3" a) 9 d) 7
b) 8 e) 11
c) 10
Central: 6198-100
Álgebra 4 a+2
5 7
5. Si: F(x; y) = x y –2x y Presenta GA=20, hallar "a". a) 3 d) 16
b) 8 e) 24
c) 14
6. En: R(x; y) = (x3 y) (x3 y) (x3 y) .... (x3 y) 4 2 44444 3 Hallar GA 1 44444 20 veces a) 20 b) 80 c) 40 d) 108 e) 16 5 6
3 4
6 3
b) 6 e) 2 4
3
c) 4 n 7
8. Si: P(x; y) = 4x +ny – 2x y Presenta GA + GR(y) = 25 Calcular "n–2" a) 11 d) 6
b) 13 e) 7
c) 9
9. Para: m+2 m–1 m m–2 m+3 m+1 y +2x y –3x y Q(x; y) = x Tenemos que: GA = 12 Hallar "m" a) 1 d) 5
b) 4 e) 3 a+1 b–1
c) 2 a+2 b–2
y +2x y 10. Si: M(x;y) = x Además: GR(x)=7 ; GR(y) = 3 Calcular "ab" a) 20 d) 18
b) 28 e) –14
a) 11 d) 15
b) 13 e) 17
–x
a+3 b–3
y
c) 16
c) 14
12. Dado el polinomio 2 m+3 5 m–4 4 m+5 6 m–2 +4x y +3x y +x y P(x,y)=7x y Si : GR(x) + GR(y) + GA = 32 Hallar "m" a) 4 d) 7
7. Si: P(x; y) = 3x y – 2x y – x y Presenta GR(x) = m+3 Calcular "m". a) 3 d) 1
11. Sea el polinomio: a+5 a–1 a–2 a+9 a+7 a–2 P(x,y)=2x y +3x y +4x y De grado absoluto "33", Calcular el valor de "a"
b) 5 e) 8
c) 6
13. En el polinomio: m+1 3 m+4 8 m+2 10 y + 2x y + mx y P(x,y) = 3x + Donde m ∈ Z ; Hallar la suma de coeficientes de dicho polinomio, si se sabe que el GR(x) es igual a "7". a) 12 d) 7
b) 9 e) 8
c) 10
14. Dado el polinomio: a a+1 2a a+3 a–6 a+7 2a a+2 +5x y –ax +ay +7x y P(x;y)=2x y Si su grado absoluto es 33; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y". a) 20 y 17 d) 15, 20
b) 18 y 17 e) 19, 16
c) 17, 17
15. Calcular el valor de m+n con la condición de que el polinomio. 2m+n–4 m+n+2
P(x;y)=x
y
2m+n–3 m+n+1
+x
y
2m+n–2 m+n
+x
y
Sea de GA=28 y la diferencia de grados relativos a "x" e "y" sea igual a 6. a) 17 d) 10
b) 15 e) 9
c) 13
Practica en casa 7
4
1. Sea el polinomio: P(x) = x – 2x + 3 A : grado del polinomio B : números de términos del polinomio Calcular: A × B
m 7
5 4
3. Sea el polinomio: P(x;y) = 3x y + 2x y – 3xy Cuyo GA=12. Calcular "m"
3 5
4 n+2
4. El polinomio: P(x; y) = 2x y – 3x y 2. Se sabe que en el polinomio: a 4 2 P(x) = 3x + 2x – 5a + x + x El grado del polinomio es igual al número de términos, según ello calcular el término independiente.
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Presenta GR(y) = 12, calcular: GA.
3 a+3
5. Si: P(x; y) = x y
5
– 2x y
Presenta GA=12, calcular GR(y)
Primer año de secundaria
61
12
Capítulo
4 5
a+2 3
5 6
11. El polinomio: P(x; y) = x y – 2x y –3x y Presenta: GA=15, calcular "a+3"
6. En: M(x; y)= (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 (x3 y2) 5 .... (x3 y2) 5 1 44444444 2 44444444 3 30 veces
Hallar GA.
a–1 a
13 5
2 6
7. Si: P(x; y) = 4x y – 7x y – 3xy Presenta GR(x) = m–2 Calcular "m"
a+1 a
y –3x 12. Si: Q(x; y) = 3x y +2x Si: GR(x)=5, calcular GR(y)
6
a+1 a–3
y
13. Hallar "m", si GA=45 3 m
4 m
Siendo: Q(x; y) = 2 (x y) – 3 (x y) n+5 4
4 6
8. Si: G(x; y) = 3x y – 5x y Presenta GA + GR(y) = 30, calcular "n".
14. Dado el polinomio: n n+2
P(x;y)=5x y m+3 m+1
m–2 m–1
9. Si: Q(x;y)=x y +2x y Presenta GA=18, hallar "m"
–3x
m+3
a+4 b+1
–ax
n–5
+ay
n+8
2n n+3
+7x y
Si su grado absoluto es 37; calcular el grado relativo a "x" y el grado relativo a "y".
y
15. Calcular el valor de “a+b” con la condición de que el polinomio.
10. En el polinomio: a b+3
2n n+4
+5x y
5+a b+4
P(x; y) = x y – 2x y –x y Presenta GR(y)=8, GR(x)=6, calcular "ab".
P(x;y)=x
2a+b–3 a+b+3
y
+x
2a+b–2 a+b+2
y
+x
2a+b–1 a+b
y
Sea de GA=31 y la diferencia de grados relativos de "x" e "y" sea igual a 3.
Tú puedes 4. Dado el monomio:
1. Sabiendo que el polinomio: P(x; y) =
a−3 4x c + 2 y
b+3 1 −c xy −
2
Presenta el mismo grado absoluto en cada uno de sus términos, determine el valor de "a + b +1". a) 4 d) 15
b) 12 e) 9
c) 5
b) 4 e) 29 4
3. Si: mx y; 3x
c) 15
a) Diferentes c) Iguales e) Semejantes
TRILCE
Indicar el GR(x) a) 120 d) 200
b) 164 e) 144
c) 181
5 7–n
G(x; y) = x y
n 12/n
+x y
– 4y
n–2
Hallar la suma de valores que puede tomar "n". a) 11 d) 15
b) 16 e) 12
c) 13
y , son términos semejantes. 5 3
62
23 24
n+1 m
5 m+2
¿Qué podemos afirmar de (m+2)x y ; nx y
Colegios
5 6
5. Sea el polinomio:
2. Sabiendo que "a" y "b" son números naturales 7 7 b 7 tales que verifican: 4x + 12x = a x , hallar la suma de los valores adoptados por "a" y "b". a) 19 d) 7
3 4
R(x; y) = xy . x y . x y . .... . x y
+ x2 y2
?
b) Constantes d) Hay 2 correctas
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Capítulo
13
Polinomios especiales Lectura: El Álgebra en Química, Economía y Medicina El lenguaje que utiliza el álgebra se fundamenta en expresiones algebraicas. Existe una clase importante de expresiones algebraicas llamada "Polinomios". El estar familiarizado con polinomios y saber operar con ellos es fundamental en nuestro desarrollo matemático. Sus aplicaciones son múltiples en la economía, las ciencias sociales, las ciencias naturales, la ingeniería, la computación y la medicina, entre otras. Por ejemplo: • En ingeniería se utilizan métodos numéricos de interpolación en los cuales se utilizan, polinomios. • En química se utilizan polinomios para el cálculo de mezclas, es decir, calcular el porcentaje de cada compuesto químico presente en la mezcla, así como sus variantes para modificar dicha mezcla. • En la economía y las ciencias sociales se utilizan polinomios para representar el comportamiento de relaciones o funciones donde ocurren patrones. • En la medicina y las ciencias naturales se utilizan polinomios para representar y estudiar el comportamiento de organismos vivos y la naturaleza. • En esta lección conoceremos lo que es un polinomio y nos familiarizaremos con el vocabulario y los conceptos básicos, incluyendo cómo se realizan operaciones entre ellos. FUENTE: http://math118.files.wordpress.com/2011/01/leccic3b3n–1–introduccic3b3n–polinomios–suma–resta22.pdf
En este capítulo aprenderemos .. Polinomio homogéneo. .. Polinomio ordenado. .. Polinomio completo. – Propiedad sobre el número de términos. .. Polinomio completo y ordenado .. Polinomios idénticos. – Aplicar propiedad .. Polinomio idénticamente nulo. – Aplicar propiedad.
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Primer año de secundaria
63
13
Capítulo
Síntesis teórica
Polinomio homogéneo
Polinomio completo
POLINOMIOS ESPECIALES
Polinomio ordenado
Polinomios idénticos
Polinomio idénticamente nulo
Colegios
64
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 3
2
4. Si: P(x) = x+3
1. Del polinomio: P(x; y) = 5x +zy –5 Identificar las variables y los coeficientes. 3 4 2
2. Sea M(x; y) = 5x y z Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(M) 4 5
3
Evaluar: P(3) 2
5. Si: P(x) = x + 5x + 1 Evaluar P(–2)
6 2
3. Sea: P(x;y) = 3x y –2x y+x y Calcular: GR(x) + GR(y) + GA(P)
Aplica lo comprendido 1. Indique qué polinomio no es homogéneo: 2 3
3 2
5 5
• P(x; y) = x y + x y – x y 4 6
3 7 2
9
7
3
• T(x) = –5x + 3x – x – x + 6 Polinomio ordenado en forma
5 5
• R(x; y) = x y – 2x y z + x y 3 12
• T(x; y) = x y
12 3
10 2 3
–x y +x y z
2
3
4
b
2
4
2
• R(x) = 3x – 2x + x + 6 – x – x
3
2
• T(x) = x – x + 1 3. Respecto al polinomio ordenado, completar correctamente: 9 5
4
3
2
Son polinomios completos y ordenados. Halle "a+b".
5. Se cumple que: 2
7 3
a
Q(x) = x – x – 2x + x + x + 1
• P(x) = x – x + x – x + 2 5
3
4. Si: P(x) = 3 – x + x – 7x + 5x ;
2. Indique qué polinomio es completo:
2 2
• P(x; y) = x y – 8x y + x y – xy
7
2
3x + 5x + 3 ≡ (a – 1) x + bx + c Halle: a + b + c
Polinomio ordenado en forma con respecto a
Aprende más a 8
10 3
9 4
a
1. Si: P(x; y) = 3x y – x y + x y
es homogéneo. Determine el valor de "a". a) 2 d) 6
b) 3 e) 5
c) 4
2. Sea el polinomio homogéneo: 2 7
a 8
5 b
R(x; y) = ax y + (b – 1) x y + 2 x y Halle la suma de coeficientes a) 9 d) 6
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b) 11 e) 13
c) 12
b
2
c
3. Si P(x) = x + 2x – x +x+x Es completo y ordenado. Halle a + b + c a) 7 d) 10
b) 8 e) 13
c) 9
4. Sea el polinomio completo y ordenado en forma creciente: m–1 n–3 p–2 q–1 P(x) = x +x +x +x Halle: m+n+p+q a) 11 d) 14
b) 13 e) 16
c) 12
Primer año de secundaria
65
13
Capítulo
5. Sea el polinomio completo y ordenado: m+5
m+4
m+3
m+2
m+1
P(x)=x +x +x +x +mx Determine la suma del término independiente con "m". a) –1 d) 1
b) 0 e) 2
c) –2
6. Si se cumple que: 2 x(x+2)+3 ≡ ax +bx+c Halle: a+b+c a) 6 d) 11
b) 7 e) 13
c) 8
2
7. Sean: P(x) = 3x + x + 5 ; n–1 q(x) = ax +bx+5 Polinomios idénticos. Halle a+b+n a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
8. Si se cumple que: 3
2
(a–1)x + (b–1)x + (c–1)x + d – 1 ≡ 0 Halle: a + b + c + d a) –1 d) 1
b) 3 e) 2
c) 4
2
9. Si: P(x) = (a–2) x + (b – 3)x + (ab–c) es idénticamente nulo. Halle: a+b+c a) 11 d) 14
b) 12 e) 15 4
P(x) = x – x – 2x + x Completo, halle "n" a) 1 d) 5
a) 5 d) 20
b) 6 e) N.A.
c) 15
12. Si el polinomio: a–18 a–b+15 c–b+16 +32x +18x P(x) =18x Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular (a + b + c) a) 88 d) 68
b) 32 e) 92
c) 36
13. Hallar la suma de coeficientes en el siguiente polinomio: 7 a+3 18 12 a+10 + 3x y – 5ay P(x;y) = 2ax y Sabiendo que es homogéneo a) 27 d) 12
b) –10 e) –57
c) 13
14. Calcular: "b–a" sabiendo que el polinomio: b–1 a–1 b–3 P(x)=x +x +x +2 es completo y ordenado. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. Hallar: (10a + 4b) sabiendo que P(x,y) = x
a–2b a+b
y
b 3b–9
–15x y
+2x
a–b 8
y
Es un polinomio homogéneo
10. Dado el polinomio: 2
c) 13
11. Hallar: a + b + c en el siguiente polinomio homogéneo: a+6 b+a c c 2 b+2 –2ax +x y –x y P(x; y)=10x
n+2
n
a) 60 d) 200
+x +7
b) 2 e) 3
b) 100 e) 240
c) 160
c) 4
Practica en casa 1. Indique qué polinomio no es homogéneo 7 3
3 7
4 6
• P(x; y) = x y + x y – x y + x 9 7
7 9
10
10 7
• R(x; y) = x y – x y + x y 8
4 4
3 5
• T(x; y) = x – x y + 2x y + y
8
2
3
a
3. Si: P(x) = 4+x–x +9x +6x ; m 4 3 2 Q(x) = x +7x –x +x –6x+1 Son polinomios completos y ordenados. Halle: a+m 2
2. Indique qué polinomio es completo: 5
3
4
• P(x) = x + 2x – x – x + x 3
2
2
2
• Q(x) = 7x – 5 + x – x 4
2
2
4. Se cumple que: 5x +2x+3 ≡ (a+1)x +bx+c Halle: a+b+c
3
5. Si: (3–a) x +bx ≡ 0 , halle: a–b
• R(x) = x – 7x + 1 – 3x + x
Colegios
66
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra 6. Se cumple que: 3
2
(a+1) x + (b–1) x + (c+2) x + d – 1 ≡ 0 Halle: a + c b+d
11. Sea el polinomio idénticamente nulo: 10 9 8 P(x)=(a1–10)x +(a2–9)x +(a3–8)x +...+(a10–1)x Halle: a1 + a2 + a3 + ... + a10 2
12. Si: P(x; y) = xn y3 + x7 + xm yn es homogéneo, halle: m . n
7. Sea el polinomio homogéneo: P(x;y) = x
a–2 7
19
b 15
y – x y+x y
a
3
; halle: a+b
b
c
8. Si: P(x) = x + x + x + x – x Es completo y ordenado. Hallar a+b+c m+1
n–2
p–5
q–6
9. Si: P(x) = x +x +x +x Es completo y ordenado en forma decreciente, determine m+n+p+q
13. Si el polinomio: m–5 m–4 m–3 m–2 m–1 +x +x +x +x P(x) = x Es completo y ordenado, halle "m" 14. Si: 2 2 (a – 5)x + (2b – 3)x + 3c – 5 ≡ 3x + 5x + 4 Halle: (a–b) c + b (a – c) 2
15. Si: P(x) = (a+b) x + (b – c) x + c – 3 Es idénticamente nulo. Halle: b − a c
2
10. Si: x(3x+2)+1 ≡ ax + bx+c Halle: a+b + c
Tú puedes 2
2
1. Si: P(x; y) = 2xa − 2 y + x2 y + xyb − 7 Es homogéneo, halle el mínimo valor para "a+b" a) –6 d) –3
b) –5 e) –2
c) –4
2. En el polinomio completo y ordenado: 2
3
b) 2 e) 5
c) 3
3. Si el polinomio de segundo grado: 3 2 P(x) = (3 a + 1) x + (3 – a) x + 19x – a Es idéntico al polinomio: r Q(x) = (mx + n) , halle: E = m + n – a + r a) 1 d) 4
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b) 2 e) 5
19
18
y además: a1 + a21 = 310, halle a21 a) 40 d) 70
b) 50 e) 80
c) 60
a
P(x) = x(a + 3) + xa (a + 1) + x(7 − a) − 2 + .... + a Halle el término independiente donde a > 0 a) 1 d) 4
20
4. Si: P(x) = 20 x + 19x + 18x + ... + x Es idéntico a: 20 19 Q(x)=(a1–a2)x +(a2–a3)x +....(a20–a21)x
5. Si el polinomio: n/5 7–n n–2 P(x) = (a – n) x + (b – a) x + (c – 2b) x Es idéntico a: c–2 a n–4 Q(x) = –x + (a–1) x – 3x Halle: a+b+c+n a) 11 d) 14
b) 12 e) 15
c) 13
c) 3
Primer año de secundaria
67
14
Capítulo
Multiplicación algebraica Lectura: Una ecuación matemática fue resuelta luego de 140 años Philip T. Gressman y Robert M. Strain, dos matemáticos estadounidenses, lograron resolver la ecuación de Blotzmann, un problema imposible de resolver creado por un físico austríaco del siglo XIX, clave en la teoría cinética de los gases. Luego de 140 años, estos dos matemáticos de la Universidad de Pennsylvania hicieron historia poniéndole fin a un problema sin resolver. Según relata la agencia Europa Press, a fines de la década de 1860, los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron esta ecuación para predecir cómo los elementos gaseosos distribuyen materiales en sí mismos en el espacio, y la forma en que responden a los cambios en parámetros como la temperatura, la presión o la velocidad. Gressman y Strain estaban intrigados por esta ecuación misteriosa. Utilizando modernas técnicas matemáticas en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico, los científicos demostraron la ecuación. Sin embargo, solo pudieron encontrar soluciones para los gases en equilibrio perfecto. Ludwig Boltzmann fue un pionero de la mecánica estadística y su constante es un concepto fundamental de la termodinámica. FUENTE: diario El Comercio
En este capítulo aprenderemos .. Definición de multiplicación algebraica. .. Factores .. Producto .. Identidad .. Caso de multiplicación:
Colegios
68
TRILCE
– Monomio × monomio
– Polinomio × monomio
– Polinomio × polinomio
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Álgebra Síntesis teórica
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
Definición
Factores
Identidad
Producto
Casos de multiplicación
monomio × monomio
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monomio × polinomio
polinomio × polinomio
Primer año de secundaria
69
14
Capítulo
Saberes previos
1. ¿Qué exponente debe tener "x" para que el 4
n
3
polinomio: x +2x +3x +7x–11 ; sea completo 2. Ordene descendentemente los términos del polinomio: 5
7
4. Calcular (n+K) si el polinomio: 3
n
es completo 5. ¿Qué exponentes faltan que el polinomio: 10
x
2
x – 2x + 4x – 5
K
x + 2x + 3x + 11
9
7
5
4
3
+ x +3x + 2x – 3x + 11x + 7x–1
sea completo?
3. ¿Cuál debería ser el valor de "m+n" para 4
3
n
m
que el polinomio: x +x +3x +7x+6x ; sea completo y ordenado
Aplica lo comprendido 1. Calcula el producto: 2
3
4. Efectuar: (3x+5)(2x–4)
5
(2x )(3x )(–4y ) 2. Calcula el producto:
5. Calcula el producto:
3 3
3x y (y+2z)
(2x + y)(3x – y)
3. Calcula el producto: xyz (x+y–z)
Aprende más 1. Señale el producto: 3
4
4. Señale el producto:
5
4 5
(2x )(3x )(2x ) a) 12 d) 12x
10
b) 12x
60
e) 12x
12
c) 6x
12
5
15
d) –6x
2
14
e) –30x
c) 10x
10
7 11
d) 6x y Colegios
70
TRILCE
4
término de mayor grado. b) 10 e) 11
c) 8
6. Determine el producto:
5 8
2 3
3
a) 6 d) 24
14
(3x y )(2x y ) a) 6x y
4 3 7
e) –x y z
2x (3x + 4x – 5) y señale el coeficiente del
3. Señale el producto: 2 3
4 3 7
c) –8x y z
5. Determine el producto:
6
b) 30x
15
4 3 5
b) –8x y z
4 3 7
(–3x )(–2x )(–5x ) a) 6x
4 3 5
a) 8x y z d) x y z
2. Señale el producto: 3
3 2
(–4x z )(2y z )
2 3
2 3
5 5
–3x y (2x y – 4x y ), señale el coeficiente del 2 11
b) 6x y
7 11
e) 18x y
7 10
c) 6x y
término de menor grado a) –6 d) 12
b) 10 e) –12
c) 15
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Álgebra 7. Reducir: (3x+2)(2x+5)+2x(5x–3) 2
12. Hallar "a+b+c", si: 2
(3x+7)(2x–5) ≡ ax + bx + c 2
a) 16x +10
b) 16x +7x+10
2
2
c) 6x +15x+10
d) 16x +13x+10
2
a) –35 d) –30
b) 35 e) 29
c) 30
13. Hallar m–n, si:
e) x +19x
2 3
5
5
2 8
7 3
2x y (3x +y ) ≡ mx y + nx y 8. Al multiplicar: (3x – 5)(2x+1) y adicionarle: 7x+5 se obtiene: a) 6x
2
2
b) 6x +10
d) –6x
2
e) x
2
c) 6x –1
2
b) –4 e) N.A. 2
c) 4 2
14. Si: (4x–2y)(3x+4y) ≡ ax + by + cxy Hallar: (a–11)(b+9)(c–9) a) 1 d) 4
9. Reducir: 2 3 3 4 2 (2x+3y)(3x +5y )–(6x +15y +9x y) a) 4xy
3
b) 10xy
3
d) 8xy
3
e) 15xy
3
c) 7xy
3
b) 3 e) 6
b) 2 e) 5
c) 3
15. Si F(x) y P(x) son binomios completos y ordenados descendentemente y al multiplicarlos se obtiene g(x) ordenado de igual forma, halle el coeficiente
10. Señale el coeficiente del término de primer 2 grado del producto de: (3x +1+2x)(x+2) a) 2 d) 5
a) 4 d) 5
c) 4
del término de primer grado de g(x) si F(x) y P(x) solo difieren en el signo del término independiente. a) F.D. d) –1
b) 1 e) N.A.
c) 0
11. Calcular el coeficiente del término de tercer 3 2 grado de: (3x + 2x–7)(2x +5–x) a) 4 d) 17
b) 12 e) 19
c) 15
Practica en casa 2
5
9. Efectuar: (3x+2y)(5x–7y)
1. Efectuar: (2x )(3x y) 4 5
2
2. Efectuar: (–3x y )(–5x y) 3
2
5
3. Efectuar: (2x y)(3x z)(4x y) 4. Efectuar: (–7xy)(–3yz)(2zw) 4
4 2
6. Efectuar: x y (xy + x y –5z) 2
2
2
11. Efectuar: (x +x+1)(x –x+1) 12. Hallar "a+b+c", si: 2
5. Efectuar: x (2x –x+5)
5
2
(x+3)(2x–5) ≡ ax +b+cx
3
8 4
3
10. Efectuar: (x +2x–7)(x +3x–1)
2
n
5
4
13. Si: x (2x+3) ≡ ax +bx , calcular: a+b+n
7. Efectuar: 2xy (3x +2y +2xy)
14. Reducir: xy(xy+z)+3z(yx+1) – (xy)(xy)
8. Efectuar: (x+y)(2x–y)
15. Reducir: (x+1)(2x+1)+(x–1)(2x–1)+x(x+1) – x
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Primer año de secundaria
71
14
Capítulo
Tú puedes 1. Si: x = 2 ; hallar el menor valor de: 2 x
x (x+1) – x (x+3) + x (x+2) a) 1/2 d) 1/4
b) 1/32 e) 1/8
c) 1/16
2
(x+1)(2x–1)+(x–1)(2x+1)–4x +x
a) 5 d) 2
a) 3 d) 2
2
e)
2 –2
72
TRILCE
a+1
c) 5
b) 2abc
c) –2
n
2
c) 3abc
2 2 2
d) 4abc
2 +2 b)
2
b) 4 e) 1
a) abc
e) a b c n
3
5. Si: x (x –1) + (a–4)(x+2) = (x –x) Hallar: "a+n" a) 9 d) 10
Colegios
5
4. Reducir: 2 2 2 2 2 2 ab(ab+c)+ac(ac+b)+bc(bc+a)–a b –a c –b c
2. Halle el valor numérico de: para x =
5
3. Si: (2x+1) (3x+2) = (6x +2+7x) Hallar "a".
b) 6 e) 12
5
c) 8
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Capítulo
15
Repaso II Lectura: La sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de Pisa). La sucesión se describe de la forma siguiente: F(0) = 0; F(1) = 1; F(n) = F(n–1) + F(n–2) En la naturaleza encontramos como se cumple la sucesión de Fibonacci, por ejemplo: Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci. El número de pétalos de una flor es generalmente un término de Fibonacci. Hay flores con 2 pétalos, 3, 5, 8, 13, 21, 34, pero muy rara vez es un número que no esté en esta sucesión. FUENTE: www.sabiask.com
En este capítulo recordaremos Teoría de exponentes con ejercicios de aplicación. .. Operaciones con bases iguales. .. Operaciones con exponentes iguales. .. Operaciones con radicales. .. Ecuaciones exponenciales.
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Primer año de secundaria
73
15
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar:
0 0 0 3. Efectuar: 53 + 5 − 3 + 5(− 3)
• 5
0
=
• 3
–4
= 2 3 0 4. Efectuar: x 4 . x3 . x6
−2 • 8 2 B 5
=
1/2
=
• 36
5. Calcular: 3 x3 . y6
2. Reducir: m .m + m . m + m . m + m . m =
Aplica lo comprendido 1. Reducir:
6. Calcular:
2
x6 . x − 3 . x(− 3) x− 5
2
; x!0
3
–2
+ 11
–2
7. Efectuar: 2. Efectuar:
16
1 1 3 8 5 B + 8 8 B − 12 . 8 5 B −1
−1
– 49
1/2
+8
1/3
−1
8. Calcular: 3
3. Calcular: 5 − 11
1/2
22 − 4
125 # 64 # 1000
9. Si "x" es positivo, reducir: • 6 x18
4. Reducir: 25
2 34
(xy ) . (x y ) x13 . (y 4) 2
• 7 x14 ; x≠0 , y≠0
10. Calcular: 3
5. Calcular:
125 8
−1
25 − 1 5 −2 ;8 31 B + ; E E 19
Colegios
74
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Aprende más 1. Reducir: x2 . y3 . x2 . y3 . x2 . y3 ....... 1 444444 2 444444 3 20 potencias 60 40
a) x y 30 20 d) x y
8522 − mB
40 60
c) x y
4. Efectuar: 64
a) 3 d) 10
b) 12 e) 5
c) 7
12. Calcular P(4) + P(6) si: P(x–5) = 3x + 2 a) 64 d) 46
x!0 2
b) x 4 e) x
c) x
5
b) 23 e) 25
b) 60 e) 62
c) 48
13. Calcular la suma de los coeficientes del polinomio: 4 3 P(x) = (4x – 2) (3x – 1)
2m − 1
a) 22 d) 26
852− 2B
10 60
b) x y 20 30 e) x y
2. Reducir: x 4 . x6 . x 8 . x 9 ((x2) 3) 4 a) x 3 d) x 3. Reducir:
11. Calcular el Grado relativo de "z" en el monomio: 12 M(x; y; z) = n x y n − 5 z11 − n
c) 24
a) 142 d) 128
b) 144 e) 216
c) 256
14. Calcular: F(1) + F(–1) si: F ( 2x − 1 ) = x2 + 6x − 7 3
2 −1
a) –3 d) 11
a) 5 d) 625
b) 125 e) 2 2
3
4
12 9
5
8 11
b) a b 7 6 e) a b
5 20 6. Reducir: ( 3 x3 )5 (9x ) 80 a) x b) 84 d) x e)
a) 1 d) 4 8. Reducir: 4
85
–3
a) 1/64 d) 3/64 9. Efectuar: a) x 4 d) x
9 6
c) a b
6 16. Reducir: 8
c) x
95
–3
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a) 3 d) 14
8
x 42 ; (x > 0)
x 2 2x
c) 4x
18. Simplifique: a) 1 d) 15 3
10. Calcular "abc" en el polinomio completo y ordenado: a–5 b–6 a–3 c–7 P(x) = x +x +x +x a) 350 d) 250
a
0
3 7
x8 + b) e)
b) 10 e) 40
a) 1 d) 4
c) 3
+ 1 + (2444) 27 b) 65/64 c) 4 e) 63/64
+ (–3)
a) 50 d) 20 2a
3
24a
c) 70
21 − a
B
b) 12 e) 9
c) 6
5 5 17. Reducir: 85 3 B
752 − 16 152 b) 2 e) 5
7. Reducir:
15. Calcular m+n en el polinomio homogéneo m 32 4 56 2 n3 P(x; y)=(x y ) + (x y ) +(x y )
6
x!0 x 77 x
c) 7
c) 25
5. Reducir: a . b . a . b . a . b a) a b 9 12 d) a b
b) –1 e) 21
b) 100 e) 210
c) 70
b) 2 e) 5
c) 3
−1 −1 1 −2 + 1 −3 `4j ` 27 j
b) 5 e) 20
3 65 3 @ . 25
c) 10
19. Reducir: ( 12 + 48 − 75) 2 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
x x 20. Reducir: 7− x + 3 − x 7 +3 x x a) 7 b) 3 x d) 2 e) x+2
c) 21
x
Primer año de secundaria
75
15
Capítulo
Practica en casa 3 −1
4 3 58 1. Reducir: (a3 b2 c4 )11 (a b c )
9. Calcular: (0, 125) − 27
2
3
( − 3) . x6 . x − 2 . x5 2. Reducir: x (x2) 3
10. Efectuar: 3 x 7 y
; x≠0
4x − 10
11 − x B 3. Reducir: 85 4
46 3 4. Reducir: ( 2 2x 2) (2x )
5. Reducir:
3
8+
11. Efectuar:
4
13. Calcular: P(–3) + P(7) si : P(2x–5) = 4x – 1
6. Reducir: 5–2 + (–2) –3 + 1 + (1536) 0 8 3
7. Efectuar:
8. Reducir:
;87
5
x18 +
14. Calcular el término independiente del polinomio: 3 2 P(x) = (3x + 2) (2x + 3)
x30
15. Calcular a+b en el Polinomio Homogéneo a–1 4 12 b+1 6 P(x; y) = (xy ) + (xy) + (x y)
3 7
23
a3 . 6 a5
12. Calcular "mnp" en el polinomio completo y ordenado: m–3 n–1 m–1 p–5 P(x) = x +x +x +x
; x≠0 19
7
3 7 3 7 B E
Tú puedes 1. Reducir si:
m− 1 642
P=
2
m− 1 42
a) 1 3 d) m
4. Halle: x + x + 1, en: m
m+ 2 22
b) m e) –m
1 (1/2) ` 4j
;m>0 c) m
2
4x
a) 3/4 d) 1/4
b) 1 e) 1/8 x
2. Si: 2
2x
= 5 . 2x , halle:
a) 1/15 d) 1/50
x 22 + 1 –5
3. Halle: x x
x − 2/15
a) 1/2 d) 1/5
Colegios
76
–9
5 –15 5
TRILCE
–2/15
y
5. Si: (0,1) . (0,2) = 2 Hallar "xy"
210x 2 a) d)
= 1 2
0,2
.5
b) 1/25 e) 1/60
c) 7/4 0,3
c) 1/40
–10
b) 5 –20 e) 5
c) 5
b) 1/3 e) a o c
c) 1/4
en:
= 215/4
Central: 6198-100
Capítulo
16
Productos notables I Lectura: Nicolás Copérnico VARSOVIA (Agencias). Los restos del astrónomo Nicolás Copérnico (1473-1543) recibieron hoy sepultura en el altar de la catedral de Frombork, en el norte de Polonia, en una ceremonia encabezada por el líder de la Iglesia católica polaca, el arzobispo Jozef Kowalczyk. Los arqueólogos descubrieron sus restos hace cinco años durante excavaciones realizadas en la catedral y tests de ADN confirmaron después que el cráneo y los huesos pertenecían realmente al famoso astrónomo y matemático nacido en 1473 que, tras estudiar en Cracovia e Italia, pasó la mayor parte de su vida en Frombork desde 1503 hasta su muerte hace 467 años. En su obra más famosa, “De Revolutionibus Orbium Coelestium” (de las revoluciones de las esferas celestiales) defendía la teoría de que el sol y no la Tierra, era el centro del universo. Su teoría heliocéntrica, publicada poco antes de su muerte y muy disputada entonces, revolucionó la ciencia y la observación del mundo. FUENTE: diario El Comercio - 2011
En este capítulo aprenderemos .. Binomio al cuadrado .. Binomio conjugado .. Identidades de Legendre
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Primer año de secundaria
77
16
Cap铆tulo
S铆ntesis te贸rica
PRODUCTOS NOTABLES I
Trinomio cuadrado perfecto
Concepto
Diferencia de cuadrados (multiplicaci贸n de binomios conjugados)
(Binomio al cuadrado)
Trinomio cuadrado Identidades de perfecto Legendre (Binomio al cuadrado)
Colegios
78
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Saberes previos Efectuar:
3. (x+4)(x+4)
1. (x+3)(2x-7)
4. (2x+y)(2x–y)
2. (2x+1)(2x–1)
Aplica lo comprendido 2
2
4. (6a +2)(2–6a )
Efectuar: 2
1. (2x +3)
2
3
2. (3x –7y)
22
22
5. (3a+b ) +(3a–b ) 2
3. (5x+6)(5x–6)
Aprende más 1. Efectuar (x+3)(x–3) – (x+5)(x–5) 2
a) 2x +34
b) 8x
d) 16
e) 2x
5. Efectuar 2 (x–1)(x+1)(x +1) + 1 c) –34
2
d) 2x
2
c) 12x
2
e) 2x +1
2
d) 18x
2
b) 16
c) 18
e) 16x
c) 4x
b) 12 e) 6
c) 15
a) 0
b) 16x
d) 16
e) 8
(3) (5) (17) (257) + 1
a) 16 d) 3
b) 4 e) 6
c) 2
8. Calcular
4. Efectuar 2 2 (2x+1) – (2x–1) + 8x
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a) 10 d) 8 16
2
(3x+2) + (3x–2) – 8 a) 2x +34
e) x
4
7. Calcular
3. Efectuar 2
3
( 7 + 2 ) ( 7 − 2 ) ( 3 + 1 ) ( 3 − 1)
b) –1
d) –x
2
b) x
6. Calcular
2. Efectuar 2 (x+5)(x+7) – (x+6) a) 2x
4
a) 2x
( 5 + 2 ) 2 − ( 5 − 2 ) 2 − 160
c) 12x
a) 12
b) 10
d) 2
e) 0
c) 6
Primer año de secundaria
79
16
Capítulo
9. Calcular 2 2 (101)(99)–100 + (201)(199)–200 a) 0 d) 1
b) 2 e) –2
c) –1
b) 1
d) –1
e) –2
c) 0 2
11. Si a+b=7 y ab=3, calcular a +b a) 23 d) 46 2
x
Calcular: x2 + 12 x
a) 16 d) 15
10. Calcular 2 2 179 –2 (179)(178) + 178 a) 2
13. Si: x + 1 = 4
b) 43 e) 52
2
c) 49
b) 25 e) 21
c) 29
b) 9 e) 11
c) 25
14. Si x − 1 = 5 , x
Calcular: x2 + 12 x
a) 27 d) 23 x
2
b) 6 e) 4
c) 18
15. Si x + 1 = 7 ,
12. Si x +y =22; x+y=6, calcular xy a) 5 d) 9
b) 14 e) 17
c) 7
Calcular x4 + 14 x
a) 21 d) 23
Practica en casa 1. Efectuar (1+x)(x–1) – (4+x)(x–4)
9. Calcular 2
(152)(148)–150 + (122)(118) – 120
2. Efectuar 2 (2+x)(x+8) – (5+x)
10. Calcular
3. Efectuar 2 2 2 (5x+1) + (5x–1) – 50 x
11. Si a+b=9 y ab=2. Calcular a +b
2
2013 – 2 (2013)(2011) + 2011 2
2
2
2
2
4. Efectuar 2 2 (x+5) – (x–5) – 20x
12. Si x +y =82; x+y=10. Calcular xy
5. Efectuar 2 4 (x + 4)(x+2)(x–2) – x
13. Si x + 1 = 6 . Calcular x2 + 12
6. Calcular
14. Si x − 1 = 3 . Calcular x2 + 12
( 5 − 3 ) ( 5 + 3 ) ( 7 − 1) ( 7 + 1 )
7. Calcular 8
(2) (4) (10) (82) + 1
2
x
x
x
x
15. Si x + 1 = 5 Calcular x8 + 18 x
x
8. Calcular
( 3 + 8)2 − ( 8 − 3)2 − 8 6
Colegios
80
TRILCE
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Álgebra Tú puedes 2
1. Reducir:
8− 1
6(x + 1) 2 (x − 1) 2 (x2 − 1) 3 (x2 + 1) 5 (x 4 − 1) 3@ 2
a) x 4 d) x
8
b) x 16 e) x
c) 1
2. Calcular: 16
b) 2 e) 8
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b) 6 e) 64
2
–2 2
2
–2 2
(x +x ) + (x –x ) a) 81 d) 36
b) 94 e) 9
1 8x (x − 1 + x ) − x B
a (a + 2) + 1
c) 3
3. Hallar el valor numérico de: 4 4 (a+b) (a–b) para: a = 3 + 2 2 ; b = 3 − 2 2 a) 8 d) 48
+1
c) 47
5. Hallar "a" (a > 0)
3 # 5 # 17 # 257 + 1
a) 1 d) 4
4. Si: x + 1 = 5x
a) 1 d) 9
b) 2 e) 8
= ( x + 1)18 ( x − 1)18 c) 3
c) 24
Primer año de secundaria
81
17
Capítulo
Productos notables II
Lectura: ¿Sabes quién es Pierre Fermat? Google lanzó "doodle" en su honor El nuevo doodle que presenta en esta ocasión Google está dedicado al matemático francés Pierre de Fermat, nacido el 17 de agosto de 1601. Apodado como el ‘Príncipe de los aficionados’ fue uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII, junto a René Descartes, además de un destacado jurista. En esta ocasión, el nuevo doodle refiere al “cálculo diferencial” inventado por Pierre de Fermat antes que Newton y Leibniz, por lo que en la portada se muestra una pizarra verde en donde se aprecia los símbolos de sumas y restas pintados con tiza, y que forman parte de una fórmula que hoy en día ayuda a muchos científicos en el análisis matemático. FUENTE: Diario El Comercio - 2011
En este capítulo aprenderemos .. Binomio al cubo .. Suma de cubos .. Diferencia de cubos
Colegios
82
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
PRODUCTOS NOTABLES II
Desarrollo del binomio al cubo
Suma o diferencia de cubos
Trinomio cuadrado Multiplicación de dos perfecto binomios con término común (Binomio al cuadrado)
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Primer año de secundaria
83
17
Capítulo
Saberes previos 4. Efectuar:
1. Si: x+ 1 =3 x 2 Hallar: x + 12 x 2. Si: a+a
–1 2
=
Hallar: a +a
3
3
(a+5)(a–5) + (5+b )(5–b ) 5. Calcular:
6
( 5 + 2) ( 5 − 2) + ( 7 + 3) ( 7 − 3)
–2 2
3. Reducir: (4a+3b) – (4a–3b)
2
Aplica lo comprendido 1. Desarrollar: (a+3)
3
3
2
4. Calcular: (a+3)(a–5)+(a+1) – (a+1)(a –a+1)
2
2
2. Efectuar:(a+2)(a –2a+4)+(a–2)(a +2a+4)
2
4
2
2
5. Efectuar: (a +1)(a +1–a )(a +1)
3
3. Efectuar: (x+3)(x+4) – (x+5)(x+2)
Aprende más 1. Efectuar 2
(x+2)(x –2x+4) – x 3
a) x –8 d) 6
3
b) 8 2 e) x –8
c) –3x
2. Efectuar 2
a) –12 d) –14
2
(x–3)(x +3x+9)–(x–2)(x +2x+4) 2
a) 2x d) –12x
b) –19 2 e) x +1
c) 12x
2
(x+1)(x –x+1)+(x–1)(x +x+1) 2
a) 2x 3 d) –2x
b) 2 3 e) 2x
c) –2
84
TRILCE
c) 12
b) –22 e) 4
c) –25
b) 17 e) 20
c) 18
6. Si: x + y = 3 xy = 1 3 3 Hallar: x + y a) 16 d) 19
Colegios
b) –2 e) –10
5. Reducir: 2 2 2 2 2 2 4 (a +8)(a +3)–(a +4)(a +7)+(a +5)(a –5)–a a) –4 d) –29
3. Efectuar 2
4. Si: A = (x+1)(x+4) B = (x+3)(x+2) C = (x+5)(x–2) D = (x+2)(x+1) Hallar: A – B + C – D
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Álgebra 7. Efectuar
11. Calcular
3
3
(3 5 + 3 2 ) 3 − 3 3 10 (3 5 + 3 2 )
(x+2) – x – 8 2
b) 16x+x –8
a) 0 2
c) 12x+ 2x 8
d) 12x+6x
2
e) 12x 3
2
2
3
a) 3x +3x
b) x +3x
c) 3x
d) 3x
e) 7
3
3
3 − 1) ( 4 −
a) 10 d) 8
3
3
2) (
9+
3
3
2 + 1)
c) 15
d) 3
e) 6
e) –2
a) 40
b) 43
d) 46
e) 52
3
c) 49 3
14. Si x2 + y2 = 18 + xy ; x+y= 2 . Calcular x +y a) 5 d) 9
b) 6 e) 4 2
3
c) 7
3
15. Si x–y=2; x –y =40. Calcular xy
(3 2 − 1) (3 2 + 1) (3 16 + 3 4 + 1)
b) 4
d) 1
c) –1
3
10. Calcular a) 16
b) 2
13. Si a+b=4 y ab=2. Calcular a +b
3 + 1) (
b) 12 e) 6
a) 0 2
9. Calcular (
d) 2
c) 6
(3 2 − 1) 3 + 3 3 2 (3 2 − 1)
(x–1) + 3x + 1
3
b) 10
12. Calcular
8. Efectuar
e) x
a) 12
c) 2
a) 16
b) 14
d) 15
e) 17
c) 18
Practica en casa 1. Efectuar: 2 (x+5)(x –5x+25) – 125 2. Reducir: 2 2 (x+4)(x –4x+16)+(x–4)(x +4x+16) 3. Efectuar: 2 2 (x–4)(x +4x+16) – (x–1)(x +x+1)
4. Reducir: (a+4)(a+2)–(a+7)(a–1)+(a+3)(a–2)–(a+6) (a+1)
6. Efectuar: (5+y)(5+3y)–(2+3y)(2+5y)+12(y+1)(y–1)–9
7. Efectuar: 2 2 (x –2x+4)(x+2)+(x–2)(x +2x+4) 8. Efectuar: 3 3 (x–3) – x + 27 9. Efectuar: 3 (x+1) – 3x – 1
5. Reducir: (xy+1)(xy+7)+(xy+2)(xy–10)+2(3+xy)(3–xy) www.trilce.edu.pe
Primer año de secundaria
85
17
Capítulo
10. Si: a+b=2
13. Calcular:
ab=3 3
Hallar: a +b
(3 5 − 1) (3 9 − 2 3 3 + 4) (3 25 + 3 5 + 1) (3 3 + 2)
3
11. Si: a – b = 5
2
ab = 3 3
Hallar: a – b
2
14. Si: x +y = 12 – xy; x – y = 3 3 Calcular: x – y
3
12. Si: x + 1 = 3 x
3
3
3
15. Si: x+y=5; x + y = 35
3 Hallar: x + 13 x
Calcular: xy
Tú puedes 1. Reducir: ( a + 1) ( a − 1) (a2 + a + 1) − ( b + 1) ( b − 1) (b2 + b + 1)
a) a d) a–b
b) b e) 2
c) a+b
4. Reducir: 2 2 (x –4)(x–3)(x+1)–[x(x–1)–4] a) 4 d) 2
b) –4 e) 6 2
2. Calcular: 3
^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h − 9^3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 h
a) 3 d) 0
b) 6 e) 12
c) 9
c) 0
2
5. Si: (ab) +(cd) =3 y abcd=2 Calcular: 6 6 6 6 a b +c d a) 6 d) 12
b) 8 e) 7
c) 9
2 3. Si: `x + 1 j = 3 (x>0) x Hallar: x5 + 15 x
a) a d) 7
Colegios
86
TRILCE
b) – 3 e) 6
c)
3
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Capítulo
18
Productos notables III
Lectura: El matemático que agitó la bolsa El Gurú de la gestión cuantitativa - James Simons Wall Street no es Hollywood, pero también fabrica mitos. Warren Buffet, Peter Lynch, Mark Mobius o Bill Gross son algunas de sus leyendas. Se trata de profesionales que han aportado un estilo propio al mundo de la inversión. En este Olimpo bursátil también tiene su hueco James Simons. El fundador de Renaissance Technologies, una de las entidades de hedge funds más importante del mundo con cerca de 20 000 millones de dólares bajo gestión, ha comunicado que se retira en 2010. Muchos le consideran un pionero en el uso de sistemas matemáticos combinados con aplicaciones informáticas para batir el mercado. Su adiós coincide con el deseo de los reguladores de poner coto a los sistemas de inversión inteligentes (robots), que este erudito contribuyó a desarrollar, por distorsionar el comportamiento bursátil. La vida de Simons encaja como un guante en el mito del sueño americano. Hijo de un zapatero, nació hace 71 años en los suburbios de Boston. Dotado con una habilidad innata para los números, colaboró con el Departamento de Defensa descifrando códigos secretos. Además, obtuvo el Premio Veblen, la mayor distinción en el ámbito de la geometría, con sólo 38 años. Antes de fundar Renaissance, Simons fue presidente del Departamento de Matemáticas de la Universidad Stony Brook. En esta época tuvo el primer contacto con el mercado invirtiendo parte de sus ahorros en la compraventa de divisas. FUENTE: El país.com/oct–2009
En este capítulo aprenderemos .. A reconocer un trinomio cuadrado perfecto (TCP). .. A transformar un TCP en binomio al cuadrado (2 formas). .. A practicar: multiplicación de binomios conjugados. .. A practicar identidades de Legendre. Importante: El trinomio cuadrado perfecto se representará por TCP.
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Primer año de secundaria
87
18
Capítulo
Síntesis teórica
PRODUCTOS NOTABLES III
Trinomio cuadrado perfecto TCP Repaso
Dándole forma Formas de reconocer Regla práctica
Legendre
TCP
binomio al cuadrado
Diferencia de cuadrados
Colegios
88
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Saberes previos 2
En cada caso calcule el TCP 1. (x+3)
32
4. (2x –3y )
2 5
3
5. (xy +2yzw)
22
2. (x –3y ) 3. (x+5yz)
2
2
Aplica lo comprendido 2
2
2
1. x + 6 xy + 9 y ; es equivalente a:
2
2
4. a + b – 2 ab; es equivalente a:
2
2. 4a + 12ab + 9b ; es equivalente a: 2
5. 9x – 6x + 1; es equivalente a: 2
2
3. 4z + 20xz + 25x ; es equivalente a:
Aprende más 2
2
1. Si: (3x + 2y) = Ax + Bxy + Cy Hallar: A + B + C a) 13 d) 8
b) 19 e) 5
2
4
2 2
monomio Ka b se convierte en un TCP, señale K.
c) 25
2
2. Si: Ax + Bx + C, es un TCP; señale la relación entre A, B y C. a) 2 AC=B 2 d) 4AC=B
b) AC=4B 2 e) AC=4B
4
4. Dado el binomio: a + 4b , si al adicionarle el
c) 2AB=C
a) 2 d) 16
b) 4 e) 1 2
c) 8
2
5. Dado: x + 4xy + 9y , la expresión que se debe adicionar para que se convierta en un TCP.
2
3. Dado: 9x + 18 xy, indique que monomio se debe agregar para que se convierta en TCP. 2
a) y 2 d) 9y
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2
b) 6y 2 e) 25y
c) 36y
2
a) xy d) 4xy
b) 2xy e) 6xy
c) 3xy
Primer año de secundaria
89
18
Capítulo
6. Efectuar: 2 2 x + 6x +16 – (x+3) a) 1 d) 6x
11. Si: a + b = 5 ab = 2 4 4 Hallar: a + b
b) 0 e) 7
c) –4x
7. Efectuar: 2 2 (x+2) – 2 (x+2)(x+1) + (x+1) 2
a) 2x d) –12x
b) –19 e) 1
c) 12x
8. Efectuar: 2 2 2 (x+1) + (x–1) – 2x 2
a) 2x 3 d) –2x
a) 439 d) 430
b) 433 e) 300
c) 431
12. Si: 2 2 x + 10x + 27 ≡ (ax + b) + c Calcular: abc a) 10 d) 16
b) 24 e) 15
c) 12
13. Si: 2 2 4x – 12x + m ≡ (2x – n)
b) 2 3 e) 2x
c) –2
a) 15 d) 9
9. Efectuar: 2 2 2 2 2 (x + 5) – (x – 5) – 10 x a) 0 2 c) 12x e) 12x
Calcular: m+n b) 12 e) 4
20
b) 16x+x 2 d) 10x
4 10. Si: x + 1 = 3. Hallar: x + 14 x x a) 44 b) 45 d) 47 e) 81
2
10 14
14. Si: 4x + 12x y + 9y Hallar: A + B + m + n a) 29 d) 31
c) 7 28
m
b) 30 e) 32 2
2
n2
≡ (Ax + By ) c) 28 2
15. Si: (3x–1) + (3x+1) ≡ 2 (ax + b) Calcular: ab c) 46
a) 6 d) 15
b) 4 e) 9
c) 8
Practica en casa 2
2
4
2
1. Si: (5x +3y) ≡ Mx + Nx y + Py Hallar: M + N + P
2
2
2. Si: 2mx + 3nx + p Es un TCP, señale la relación entre: m, m y p
4
2 2 2
4. Dada la expresión: 6 a + y + K a y 2 Hallar K , si es un TCP 5. Hallar el valor positivo de "K" 2 2 x – 11 xy + 9y + Kxy es un TCP
Colegios
90
TRILCE
Indique a qué expresión se debe agregar para que se obtenga un TCP. 7. Hallar "K", si:
2
3. Dada la expresión: 25x + 10 xy Indique qué monomio se debe agregar para que la expresión se convierta en un TCP 4 4
6. Reducir: 2 2 (x+y) +(x–y) +(1+x)(1–x)+(1+y)(1–y)–2
2
2
(m+2n) –(m–2n) +m(m+2n)+2n(m+2n)+Kmn Es un TCP 2
2
8. Hallar "K", si: (a+3b) + (a+b) + Kb Es un TCP
2
9. Hallar "P", si: 2 22 2 2 4 4 4 2 2 (x +y ) + (x+y) (x–y) –(x +y )+px +5x y es un TCP
Central: 6198-100
Álgebra 13. Si:
4 10. Si: x + 1 = 4 . Hallar: x + 14 x x
4
2 5
10
2
3
32
2
52
6
x –14x y +49y +36a –12ab +b ≡ ≡(Ma+Nb ) +(Ax +By ) Hallar: (M – N + A – B)
11. Si: a+b = 3 ab = 1 4 4 Hallar: a + b
14
7 4
8
m
n2
14. Si: 9x +42x y + 49y ≡ (Ax +By ) Señale: A + B + m + n
12. Si: 2 2 2 2 2 2 4a +4ab+b +25x +30xy+9y ≡(Ma+Nb) +(Ax+By) Hallar: M + N + A + B
15. Si: ( 5 x + 2 y) 2 + ( 5 x −
2 y) 2 + Kxy
Es un TCP. Hallar P( 10 ) en P(x) = Kx + 1
Tú puedes 1. 9 x10 + 3x5 y + y2 + a 40 + 2, 5a20 b3 + 25 b6 4 16 m
n2
p
q2
Es equivalente a: (Ax +By ) + (Ma + Nb ) Señale: A+B+M+2N–m+n+p+q a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 25
3
a2 – 2ab + b2
b) 2c e) 0
c) a–b
4x5 (x > 0) 4
2
Calcule el valor numérico de: x –6x –x
2, 25x 4 + y 4 + 3x2 y2 + 0, 04a 4 + 0, 8a2 b2 + 4b 4 − − (1, 5x2 + 0, 2a2) 2
a) y 2 2 d) y +2b
1024
10
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2
c) y +b
9
c) 2
b) b 2 2 e) 2y +b
3. Si: a+b=2 y a=b a) 2 d) 4
a) 2a d) b–a 5. Si: x(x +1)=9 –
2. Reducir:
Hallar: a
4. Reducir: a2 + 2ab + b2 – Si: b > a > 0
+b
2
a) 9 d) – 3
b) 3 e) 3
c) –9
2
–1
1024
b) 2 e) 8
Primer año de secundaria
91
19
Capítulo
Productos notables IV Lectura: Un matemático calcula el record definitivo de los 100 metros planos en 9.29 El matemático holandés John Einmahl, de la Universidad de Tilburgo, ha calculado el récord definitivo de 14 disciplinas atléticas y, entre ellas, el masculino de los 100 metros que él estima en 9.29 segundos apoyándose en la teoría de los valores extremos y en proyecciones estadísticas. Einmahl no pretende predecir los récords posibles en un futuro lejano sino, como lo dice expresamente su estudio, los récords que podrían darse bajo las condiciones actuales. La base de los cálculos de Einmahl son las mejores marcas de 1.546 atletas masculinos y 1024 atletas femeninas de élite de cada disciplina estudiada que luego somete a complicadas elaboraciones matemáticas con ayuda de un ordenador. Según los cálculos de Einmahl, el récord del maratón entre los hombres, que posee el keniano Paul Tergat (2h.04:55) es especialmente notable puesto que el matemático holandés considera que sólo podría ser mejorado en 49 segundos. Entre las mujeres, en cambio, el récord de la británica Paula Radcliffe, de 2h.15:25, podría ser claramente mejorado en 8 minutos y 50 segundos. Curiosamente, también en las pruebas de velocidad, en las que habitualmente se cree que se está muy cerca del límite de lo humanamente posible, los cálculos de Einmahl apuntan a posibles mejoras. No sólo el récord de los 100 metros, que podría ser bajado de los 9.77 de Asafa Powell a 9.29, podría mejorar sino también el récord de 200 metros, en manos de Michael Johnson en 19.32, está casi un segundo por encima de lo posible. La teoría de los valores extremos, la especialidad de Einmahl, suele utilizarse para calcular cosas como “la mayor pérdida posible” en caso de catástrofes naturales, por lo que las compañías de seguros recurren con frecuencia a esta disciplina para determinar el monto de sus pólizas. FUENTE : EFE
En este capítulo recordaremos .. Diferencia de cuadrados. .. Binomio al cubo. .. Suma o diferencia de cubos. .. Binomios con término común.
Colegios
92
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
PRODUCTOS NOTABLES IV
Diferencia de cuadrados
Binomio al cubo
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Suma o diferencia de cubos
Binomios con un término común
Primer año de secundaria
93
19
Capítulo
Saberes previos 2
2
2
4
1. Efectuar: (a + 3)(a – 3)
4. Efectuar: (x – 2)
2
2. Efectuar: (a + 1)(a – a + 1) 3. Efectuar: (a + 2)
2
5. Efectuar: (x + 3)(x – 7)
3
Aplica lo comprendido 1. Reducir: (x+1)(x–1)+(x+2)(x–2)+(x+3)(x–3)
2
3
3
4. Reducir: (x+1) + (x–1) – 2x
3
2
2. Reducir: (x+3)(x –3x+9) + (x–3)(x +3x+9) 5. Reducir: (x+4)(x–4) – (x+8)(x–2) 3. Reducir: (x+1)(x+5)+(x+3)(x–9)
Aprende más 4. Efectuar:
1. Reducir: 2
2
2
2
(a+2)(a–2)(a +4)– (a + 2 )(a – 2 )
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) – (x +5x+5)
a) –6 d) –18
a) 2x d) –1
b) –8 e) –14
2
c) –2
2
2
2
(x + 6x + 3)(x + 6x + 7) – (x + 6x + 5) a) 12x d) 6x
b) 0 e) 7
c) –4
3. Efectuar: 2
2
(x + x + 2)(x + x – 2) – (x + x) 2
a) 2x d) –4x
Colegios
94
TRILCE
b) 2 3 e) 2x
c) –2x
b) –18 e) 15
c) 27
5. Si:
2. Efectuar:
2
2
b) –4 e) 4
2
c) 12x
2
a+b=3
ab = 5 3
Hallar: a + b a) 18 d) –27
3
6. Si: x + 1 = 3 ; hallar: x3 + 13 x x a) 0
b)
d) 2 3
e) –2 3
3
c) – 3
Central: 6198-100
Álgebra 2
7. Reducir:
11. Si: x – 3x + 1 = 0
3
3
2
2
(a+b) +(a–b) +2a(5b –a ) 2
2
b) 16 ab 2 e) 12 ab
a) 6 ab 2 d) 4 ab 8. Reducir:
c) 10 ab
5− 1
6(x − 1) 2 (x2 + x + 1) 2 (x3 − 1) 3@ 2
a) x d) 1
b) x e) 0
+1 c) x
x
a) 10
b) 24
d) 18
e) 27
a) 3x
2
2
2
c) 12x
2
2
b) 3x –10
2
c) 3x –24
2
d) 3x –17
b) x e) 12xy
c) 12
12. Reducir: (x+3)(x+5)+(x+4)(x–6)+(x–7)(x+1)
3
9. Efectuar: 2 (x+y–3)(x–y+3) + (y–3) a) 0 2 d) 10y
2
Calcular: x3 + 13
e) 3x –16
13. Reducir: (x+1)(x+3)+(x+3)(x+2)–(3+5x)(3–2x) 2
a) 0 2 d) 8x
c) 12x
b) 10x 2 e) –8x
2
2
14. Si: x – 4x + 1 = 0
10. Si:
x + 3 xy + 9y = 17 ............ (1)
2
Calcular: x2 + 12 + x3 + 13
x = 5 + 3y ..... (2)
a) 75 d) 60
2
3
3
Hallar: x – 27y + 11 a) 85 d) 96
b) 86 e) 80
c) 95
x
x
b) 72 e) 48
c) 66
2
15. Si: x + 1 =
5x 1 Calcular: x + 6 x 6
a) 16 d) 15
b) 14 e) 19
c) 18
Practica en casa 1. Reducir: 2 2 2 (x+3)(x–3)(x +9)–(x + 5 )(x – 5 )
6. Si: x + 1 = 7 ; hallar: x3 + 13 x x
2. Reducir:
6(x + 2) 2 (x − 2) 2 (x2 − 4) 5@
1/7
+ ( 3 x + 1) ( 3 x − 1) + 5
3. Efectuar: 2 2 2 2 (x – x + 5)(x – x + 7) – (x – x + 6) 4. Efectuar: 2 2 2 2 (x – 3x + 5)(x – 3x – 5) – (x – 3x – 5) + 50 5. Si: a + b = 5 ab = 7 3 3 Hallar: a + b
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7. Reducir: 3
3
(a+2b) + (a – 2b) + 2a ( 5 b+a)(
5 b–a)
8. Efectuar: (a – b + 6)(a – b – 6) – (a – b)
2
2
2
9. Si: x + 5xy + 25 y = 10
x = 3 + 5y 3
3
Hallar: x – 125y + 10
Primer año de secundaria
95
19
Capítulo
10. Calcular el valor de: (3 2 + 3 3 ) (3 4 − 3 6 + 3 9 ) + + (3 4 − 3 3 ) (3 16 + 3 12 + 3 9 )
13. Reducir: (3+x)(3+2x)+(5+2x)(5–3x)+(3x–7)(2x+5)
2
14. Si: x – 3x + 1 = 0 Calcular: x2 + 12 + x3 + 13 x x
2
11. Si: x – 5x + 1 = 0 Calcular: x3 + 13 x
2
15. Si: x + 1 =
3x 1 Calcular: x + 6 x 6
12. Reducir: (a+11)(a+5)+(a–3)(a–2)+(a+9)(a–20)
Tú puedes –1
5
1. Si: a+a = 8 . Hallar: a +a
–5
4. Reducir: 2 2 4 2 8 4 8 8 (x –x+1)(x +x+1)(x +x +1)(x +x +1)–x (x +1)
a) 29 2
b) 45 2
c) 50 2
d) 58 2
e) 56 2 2. Efectuar, utilizando productos notables: 25
3 # 5 # 17 # 257 + 1
a) 1,7 d) 1,2
b) 1,4 e) 1,3
c) 1,1
a) 1 2 d) x
b) 0 e) x
c) x
4
5. Hallar el valor numérico de: 3 E = x – 3x + 15 para: x= 3 3 + 2 2 + 3 3 − 2 2 a) 20 d) 17
b) 21 e) 19
c) 20
3. Hallar el valor numérico de: 4 4 (x+y) – (x–y) Para: x= 7 + 2 ; y= 7 − 2 a) 12 47
b) 112 47
d)
e) 100 47
Colegios
96
TRILCE
47
c) 112 7
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Álgebra
División algebraica I Lectura: Invención del número cero El número cero fue inventado tres veces: por los babilónicos (alrededor del 500 a.C), por los mayas (hacia el 50 a.C) y por los indios (aproximadamente hacia el 500). El dígito cero desempeña un rol importante en un sistema posicional, por que permite distinguir, por ejemplo, entre los números 309, 390 y 39. Antes de la invención de caracteres marcadores de posición, los babilónicos dejaban la posición correspondiente vacía, lo cual a menudo generaba malentendidos y dudas. Leonardo Fibonacci introdujo el cero en Europa en el siglo XI. Caracteres numéricos mayas: el cero se simboliza como un caracol. Tomado de: "Gran enciclopedia del saber (National Geographic) Informática y matemática"
En este capítulo aprenderemos .. División algebraica – Definición .. Elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo. .. Algoritmo de la división: D = d . q + R .. División exacta e inexacta. .. Grados de lo polinomios cociente y residuo. .. División entre monomios. .. División de un polinomio entre un monomio. .. Ejercicios
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Primer año de secundaria
97
20
Capítulo
Síntesis teórica
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
Definición
Algorítmo de la división
Propiedades
• División exacta • División inexacta
Casos de división
monomio ÷ monomio
Colegios
98
TRILCE
polinomio ÷ monomio
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Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes divisiones: a) + 5 −1 b) − 12 +4
=
c) − 20 −2
=
=
4. Efectuar: 10 a) x 3 x
=
13 b) x12 x
=
5. Dados los polinomios:
2. Efectuar la siguiente multiplicación:
5
3
P(x) = x +2x –5x+3 2
(x+3)(x+5) =
3
Q(x) = 8x + 7x + 4 Entonces:
3. Reducir: a) 5x+2x–4x
=
a) Grado de P(x)
=
b) 5x+2y+3x+7y
=
b) Grado de Q(x)
=
Aplica lo comprendido 1. En la siguiente división: 2
x +2x
3. A partir de la siguiente división: 3
2
x +6x +11x+7
x x+2
2
x +3x+2
0
El grado del dividendo es: 3
2
El dividendo es: x + 2x El divisor es
:
El cociente es
:
El residuo es
:
El grado del divisor es
:
El grado del cociente es
:
El grado máximo del residuo es :
2. Del ejercicio anterior, la división ¿es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta:
6 4. Efectuar: 8x 2 4x 3 2 5. Efectuar: x + 6x x
Aprende más 2. De la siguiente división:
1. En una división, se tiene: Divisor = x + 3 Cociente = x + 5 Residuo = 2 Hallar el dividendo:
3
Hallar:
2
b) x +8x+16
2
d) x +7x+17
a) x +6x+16 c) x +9x+16 2
e) x +8x+17
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2
x +6x +11x+7 2 x +3x+2 Grado del Grado máximo + cociente del residuo
2 2
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
Primer año de secundaria
99
20
Capítulo
4 7
5
3. Efectuar: (–12x y ) ÷ (3xy ) a) 4xy
7
2 3
b) –3x y
3 2
11. Efectuar:
4 7
c) 6x y
4 5
d) –4x y
3
e) 4x y
3
c) 3x –3xy+y 3
3 7
2
2
2
b) 4x–7y +2y
2
2 4
d) 4x+7y –2y
2
c) 4x–7y +2x y
3 2 6. Efectuar: 4x + 6x − 8x 2x
2
e) 4x+7y –2x 2
b) 2x +3x–8
2
d) x +3x–4
m 18
2
7. En una división exacta, el divisor es (x +5) y el cociente es (x+1). Hallar el dividendo. 2
a) x +x+5
b) x +x +5x+5
c) x +x +5
d) x +5
2
4 p
"p–(m+n)" a) 0 d) 3
b) 1 e) 4 a 7
c) 2
8 b
3 2
14. Al dividir: (x y +x y ) entre (x y ) se obtiene
3
3
2
(–12x y ) entre (nx y ), calcular el valor de
e) 2x –3x+4
3
4
3 7
2
3
4
13. Si (–4x y ) es el cociente que resulta de dividir
2
c) 2x +3x–4
2
5 9
a) 4x+7y +2x
2
2
un polinomio homogéneo de grado 13. Calcular
e) x +5x+5 m+8
13
8. Al dividir (12x ) entre (6x ), el grado del cociente es 7. Calcular el valor de "m". a) 9 d) 12
b) 10 e) 13 − 18x 4 y7 z3 9. Efectuar: 6xy2 z3 b) –3xy
c) 11
el valor de "a × b". a) 100 d) 130 15. Al dividir (x
b) 110 e) 140 m+2
+3x
n–5
c) 120
+8x
p+1
3
el cociente obtenido es un polinomio completo 5
3 5
y ordenado. Calcular:
c) 3x y
3 5
e) 3x y z 3 2
a) 1 d) 7
mn + np + mp − 1
b) 3 e) 9
c) 5
5 3
para obtener (–54xy z )? 2
2
a) 9xy z
b) 6xy z
2
3 6
c) –9xy z
d) –3–x y z
5
e) 3x3y z
Practica en casa 1. En la siguiente división: 2
2x +x + 3x + 1
2. A partir de la siguiente división:
x+1 2
2x – x + 4 –3
5
4
2
x + 2x – x +3 2
x – 2x + 1 El grado del cociente es:
El cociente es: Colegios
100
TRILCE
3
–7x ) entre (x )
10. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (6y z )
3
2
2
2
e) x +10x
3 6
2
4 5
d) x +10x–4
d) –3x y z
3
d) 6x +xy+y
para obtener (16x y – 28x y +8x y )
b) x – 10x – 4
a) 3xyz
2
2
2
a) x +3x–8
2
3 5
2
3
3
b) –2x +3x y–4xy
12. ¿Por cuál polinomio debe multiplicarse (4x y )
5. Efectuar: (x + 10x – 4x) ÷ (x) c) x +10x+4
2
e) –x +3x y+4xy
c) 8 ab
2
a) x – 10x + 4
2
a) 2x –3x y+4xy
4 3 4. Efectuar: 24 a 3 b2 −8 a b a) 3 ab b) –4 ab d) –8 ab e) –3 ab 3
6x 4 y − 9x3 y2 + 12x2 y3 3xy
Central: 6198-100
Álgebra 7
4
3. Efectuar: (18x ) ÷ (9x )
3 a 4 b5 11. Efectuar: 4a b − 12 2 2a b
10 4. Efectuar: − 15 m4 −5 m 8
4 2
12. ¿Qué polinomio debe multiplicar a (x y ) para 5 3
6 4
obtener (3x y + 8x y )?
5
4
5. Efectuar: (x + 8x ) ÷ (x )
4 6
13. Si (3x y ) es el cociente que resulta de dividir a b
2 3
(12 x y ) entre (4x y ), entonces:
4 3 6. Efectuar: x + 3x − 5x x
a=
7. En una división exacta, el divisor es (x+3) y el cociente es (x+9). Calcular el dividendo.
b= a 7
2 3
8. Al dividir (20x
m+7
5 4
4 6
obtiene: mx y + nx y . Luego:
3
) entre (5x ), el grado del
cociente es 10. Calcular el valor de "m".
9. Efectuar:
9 b
14. Al efectuar (12 x y + 18 x y ) ÷ (6 x y ), se
− 21 x 4 y7 3 x3 y6
a=
m=
b=
n = a
10
13 b–3
15. Al efectuar (x +5y +x y
4 8
) ÷ (x y )
Se obtiene un polinomio homogéneo de grado 15. Luego: 4 9
10. ¿Qué monomio debe multiplicar a (8x y ) para 9 13
obtener (–32x y )?
a= b=
Tú puedes 1. En una división exacta, el dividendo es 3 2 2 (x +6x +5x+p), el divisor es (x +m) y el cociente es (x+q). Calcular el valor de m+p+q a) 34 d) 41
b) 36 e) 44
c) 38
2. Si los cocientes de la siguientes divisiones: Bx A y CxB representan términos semejantes. AxB BxC Calcular el valor de: A + C B a) –1 b) 2 c) –2 d) 1 e) 0 A
B
C
3. Si se cumple: Mx – Nx = 5x Calcular el cociente de la siguiente división: (3A + 7B) xM (6B − C) xN 4 5 a) 8x b) x c) 2x 6 d) 3x e) 1 www.trilce.edu.pe
4. En una división, se tiene: Dividendo = P(x) Divisor
2
= x – 6x + 5
Cociente = Q(x) Residuo
= ax + b
Si se cumple: P(5) – P(1) = 12, calcular el valor de "a". a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3 3
5. Al dividir un polinomio P(x) entre x , el resto es: 2
x +x+7, halle el término independiente. a) 0 d) 4
b) 2 e) 7
c) 3
Primer año de secundaria
101
21
Capítulo
Repaso III Interpretación geométrica del trinomio al cuadrado Calculamos el área del cuadrado de lado "a+b+c"
c
ac
bc
c2
b
ab
b2
bc
a
a2
ab
ac
a
b
c
FUENTE: http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg
En este capítulo recordaremos .. Productos notables con ejercicios de aplicación.
Colegios
102
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 1. Desarrollar: • (m + n) • (x+3)
4. Desarrollar:
2
=
2
• (m+x)
= • (n–2)
2. Desarrollar: • (x+y)(x–y)
=
• (m+8)(m–8)
=
2
2
2
• (y+5) + (y–5)
=
2
=
3
=
5. Desarrollar:
3. Reducir: • (a+b) +(a–b)
3
• (x+8)(x+4)
=
• (m–3)(m–9)
=
=
Aplica lo comprendido 2
1. Efectuar: (x+5) – x (x+10) 2
6. Efectuar: (x + 4)
3
7. Efectuar: (m – 5)
3
2
2. Efectuar: (y–7) – (y–8) + 2y 2 2 3. Reducir: (m + 5) + (m2 − 5) − 50 ; m ≠ 0 m 2 2 4. Reducir: (x + 9) 2 − (x − 9) 2 ; x ≠ 0 (x + 1) − (x − 1)
8. Desarrollar: (x+5)(x–8) 9. Reducir: (m–6)(m+7) + m (m+1) 3
10. Reducir: (x+1) + (x–1)
2
5. Reducir: (x+3)(x–3)(x +9) + 81
3
Aprende más 1. Desarrollar: (5m+4)
2
2
a) m +16
3
3. Reducir: (2m+1) –6m(2m+1)–1 2
a) m
2
d) 8m
b) 25m +40m+16
2
c) 5m +20m+16
d) 25m +16
3
3
3
b) 2m 3
c) 4m
e) 16m
3
2
e) 25m +40m+4 2. Desarrollar: (7m–3) 2
a) 49m –9 2
c) 49m +42m+9
3
4. Desarrollar: (7x–5y) –105xy(7x–5y)+125y
2 2
b) 7m –9 2
d) m –9
a) x
3
d) (8x)
3
b) (6x)
3
e) (9x)
3
c) (7x)
3
3
2
e) 49m –42m+9
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Primer año de secundaria
103
21
Capítulo
2
3
a) –20 d) –21
b) –22 e) –23
c) –24
6. Reducir: (x + 1 ) 2 − (x − 1 ) 2 x x a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 2
d) 64x
b) 16x 2
c) 32x
e) 128x 2
2
a) 6x d) 24x
2
2
4
8. Reducir: (x + 5) – x – 5x (2x + 1) + 5x a) 10
b) 15
d) 25
e) 30
9. Desarrollar: (a + b + c) 2
2
2
2
2
2
2
2
a) a +b +c
b) 0 e) 3
c) 20
3
2
b) 12x e) 30x
2 2
2
b) a +b +c –abc
c) 18x
2 15. Si: m + 2 = 5 , Hallar: m + 42 m m a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
16. Reducir: 2
(x + 1) (x − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) + 1 4
a) x 8 d) x
b) x 16 e) x
17. Reducir: 2
c) 1
3
c) 3
2
a) –1 d) 2
3
14. Reducir: (x+2) + (x–2) – 2x (x –12x) – 24x
x!0
7. Reducir: (4x + 2003) 2 + (4x − 2003) 2 − 4006 a) 4x
2
13. Si: x+y=3, reducir: (x+y) – x (9y+x ) – y
5. Reducir: (x–8)(x+4) – (x+2) + 16+ 8x
a) 1 d) 4
c) x
6
(x2 + 2y) (x2 − 2y) + (x2 + 2y) 2 − 2x 4 x2 y b) 2 c) 3 e) 5
c) a +b +c +2(ab+bc+ac) 2
d) a +b +2abc
2
2
e) a +b +c +a+b+c
10. Reducir: 6(x + 8) (x + 5) − (x + 7) (x + 6) + x @2 − (x + 2) 2 a) –4x d) –32x
b) –8x e) –24x
c) –16x
18. Si: x + y = 5
xy = 1
Hallar x – y ;
x>y
a)
21
b)
20
d)
6
e)
17
c)
31
2
11. Si: x + 3x = 8, hallar el valor numérico de: (x+1)(x+2)(x+5)(x–2) a) –10 d) –40
b) –20 e) –50
c) –30
12. Si: a + b = 5
ab = 2 2
Hallar: a + b
2
a) 20
b) 21
d) 23
e) 24
c) 22
19. Si: x + y = 7
xy = 20 y Hallar: x + y x a) 3/20 b) 9/20 d) 7/20 e) 13/20
c) 11/20
4 1 20. Si: x + 1 = 5 , Hallar: x + x x2 a) 21 b) 22 d) 24 e) 25
c) 23
Practica en casa 2
4. Desarrollar: (5x – 11y)
2. Desarrollar: (5x – 3)
2
5. Reducir: (x–6)(x+2)–(x+2) +10
3. Desarrollar: (4x – 5)
2
2 2 6. Reducir: ` 4x + 1 j − ` 4x − 1 j x x
1. Desarrollar: (7n+2)
Colegios
104
TRILCE
2
2
x !0
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2
Álgebra 7. Reducir: (3x + 1005) 2 + (3x − 1005) 2 − 2010 2
2
4
8. Reducir: (x +3) – x – 3x (2x + 1) 9. Desarrollar: (x+y+2)
2
10. Reducir: 6(x + 4) (x + 7) − (x + 5) (x + 6) + x @2 2
11. Si: x + 5x = 60, hallar el valor numérico de: (x+2)(x+4)(x+1)(x+3)
a+b=7 ab = 2 2
2 15. Si: x+ 3 = 5, Hallar: x + 92 x x
16. Reducir:
(x2 − 1) (x2 + 1) (x 4 + 1) − 1
17. Si: x+y=7 xy = 1 Hallar: x – y ;
x>y
18. Si: x+y=6 xy = 20 y Hallar: x + y x
12. Si:
Hallar: a + b
14. Reducir: 3 3 3 2 (x+2) + (x – 2) – 2x + 24x
2 4 19. Si: x + 1 = 7 , hallar: x 2+ 1 x x
13. Si: x + y = 3 3
2
Reducir: (x+y) – y (9x + y ) – x
3
20. Si: a – 2b = 3, hallar el valor numérico de: a2 – 9 4b (a – b)
Tú puedes 1. Si: x – 3y = 5
Hallar el valor numérico de: (x + 5) (x − 5) y (2x − 3y) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si el polinomio: 2 2 P(x; y) = 25x + 4axy + 16y Es un trinomio cuadrado perfecto. Hallar el máximo valor que toma "a". a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
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b) 122 e) 125
a) 10
b) 12
d) 9
e) 16
(ab ! 0) c) 4
5. Simplificar: A=(a+b+c)(a+b+d)+(a+c+d)(b+c+d)–
c) 11
–(a+b+c+d) a) ab+cd
3. Si: x + 1 = 3, Hallar: x5 + 15 x x a) 121 d) 124
2 2 4. Calcular: 2 a + b + 3a + 4b ab b a 2 Sabiendo que: (a+b) = 4 ab
d) ab+c
2
b) ab–cd
c) ab–c
2 2
e) a b –cd
c) 123
Primer año de secundaria
105
22
Capítulo
División algebraica II Lectura: Problemas árabes Uno de los métodos más antiguos para resolver las ecuaciones de segundo grado es el método geométrico de "completar el cuadrado" atribuido a Al–Khwarizmi.
F
K
5
5x
25
Al–Khwarizmi consideraba cinco tipos de ecuaciones 2 2 2 de segundo grado: ax = bx; ax =b; ax +bx=c; 2 ax =bx+c donde a, b, c eran positivos y a=1. (Los números negativos y complejos aparecieron mucho después). He aquí uno de sus ejemplos: 2
B
Resolver la ecuación: x +10x=39
C
x
x2
Se construye un cuadrado ABCD, con AB=AD=x. Se extienden los lados AB y AD de forma que DE=BF=5. (5 es la mitad de 10, el coeficiente de x).
5x
Se completa el cuadrado AFKE. El área de AFKE 2 se puede expresar como: x +10x+25, pero la 2 ecuación a resolver es: x +10x=39
A
x
D
5
E
Por lo tanto, hay que agregar 25 a los dos miembros de la ecuación, lo que da: 2
x + 10x + 25 = 39 + 25 – 64 Los dos miembros de la ecuación son ahora cuadrados perfectos: 2
(x+5) – 8x
2
Puesto que se tiene: AF=AE=x+5=8, la solución será x=3. Tomado de: "Historia e historias de matemáticas" Mariano Perero
En este capítulo aprenderemos .. División algebraica II. .. Método de Horner – Esquema – Procedimiento .. Ejercicios
Colegios
106
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Álgebra Síntesis teórica
DIVISIÓN ALGEBRAICA II
División entre polinomios
Método de Horner
• Esquema • Procedimiento
Aplicaciones
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Primer año de secundaria
107
22
Capítulo
Saberes previos
1. Efectuar las siguientes operaciones: a) 4 + 5 =
b) –3+8 =
c) 4 – 3 =
d) 5 – 8 =
2. Efectuar las siguientes operaciones: a) (+4)(–5) =
b) (12) ÷ (3) =
c) (–3)(+2) =
d) (–8) ÷ (2) =
4. Dado el polinomio: 4 2 P(x) = 5x + 3x + 6x + 1 Completar: a) Coeficiente principal = b) Grado del polinomio = c) Término independiente = d) Suma de coeficientes =
3. En la siguiente división: 2x 2 + 3x + 5 x+2 El dividendo es
:
El divisor es
:
5. El polinomio: 4
3
2
P(x) = x + 8x – 5x + x + 7 respecto a la variable.
Está completo y
Aplica lo comprendido 1. La división:
• Dada la siguiente división x 2 + 7x + 1 x−2
6x 2 + 5x + 7 2x + 3 Se representa mediante el siguiente esquema de Horner: 2 3
6
5
:
4. El residuo es
:
7
¿Cuál es el error?
5. La siguiente división:
2. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Horner: 3 2
3. El cociente es
9
–3 6
5 2
3
1
7
x 2 − 3x + 5 x−4 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta
Señalar: a) El cociente
=
b) El residuo
=
Colegios
108
TRILCE
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Álgebra Aprende más 8. Calcular el cociente de la siguiente división: 6x3 + 19x2 + 18x + 9 3x + 5
2 1. Luego de efectuada la división: x + 5x − 4 x −1 Completar: 2
a) Dividendo
= x + 5x – 4
a) 2x +3x+1
2
b) x +2x+1
b) Divisor
=
c) x +2x+3
d) 2x +x+3
c) Cociente
=
e) 3x +2x+1
d) Residuo
=
2
Dividendo
A
7
Divisor
B
x+2
Cociente
C
x+3
Residuo
D
x +5x+13
9. Calcular el residuo de la siguiente división: 4x3 + 5x2 − 2x − 3 4x − 3 a) 9 b) 12 c) 3 d) 0 e) 6 10. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división x3 + 5x2 − 6x + 1 ? x2 − x − 1 a) x+7 b) x+6 c) x+5 d) x+4 e) x+3
2
2 3. Luego de efectuar la división: x + 7x + 13 x+5 Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) El dividendo es
: x + 7x + 13
2
(
)
b) El divisor es
: x–5
(
)
c) El cociente es
: x–2
(
)
d) El residuo es
: 3
(
)
4. Obtener el residuo de la siguiente división: 4x 2 − 5x + 9 x−3 a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
b) 3x+2 e) 3x+4
c) 2x+3
2 6. Si el residuo de la división: 6x − 11x + m 3x − 1 Es 4, calcular el valor de "m"
b) 5 e) 8
c) 6
7. Obtener el cociente de la siguiente división: x3 + 5x2 + 6x + 8 x+4 2
b) x –x+2
2
2
a) x +x+2 c) x +x–2 2
e) x +x+1 www.trilce.edu.pe
11. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 3x3 + 2x2 + 6x + 13 x2 − x + 2 a) 3x+5 b) 5x–3 d) 5x+3 e) 0
c) 3x–5
12. Luego de efectuar la siguiente división: 6x3 − 25x2 + 3x − 5 , el cociente es: 3x 2 − 5x + 2 a) 2x+5 b) 2x–5 c) –2x+5 d) –2x–5 e) 5x+2 3 2 13. Luego de efectuar: 5x + 42x + 7 − 2x x +1−x
2 5. Luego de efectuar: 6x + 7x + 2 2x + 1 Indicar el cociente
a) 4 d) 7
2
2
2 2. Luego de efectuar la división: x + 5x + 13 x+2 Relacionar correctamente
a) 3x–2 d) 2x–3
2
2
d) x –x–2
Indicar el residuo a) 4x+2 d) 2x+4
b) 5x+3 e) 3x+5
c) 0
3 x2 + Ax + B 14. Si la siguiente división: x + 7 x 2 + 2x − 1
Es exacta, calcular: A + B a) 3 d) 9
b) 4 e) 10
c) 7
4 3 2 15. Si la división: x + 3x 2+ 5x + Ax − B x +x−2
es exacta, calcular A+ B a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
Primer año de secundaria
109
22
Capítulo
Practica en casa 8. Calcular el cociente de la siguiente división: x3 + 4x2 + 6x + 9 x+3
2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x + 5 x−1 Completar:
a) Cociente b) Residuo
= =
9. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 2 x−1
2 2. Luego de efectuar la división: x + 4x + 5 x+3 Relacionar correctamente:
10. Hallar el residuo de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2
Dividendo
A
x+1
Divisor
B
2
Cociente
C
x +4x+5
Residuo
D
x+3
2
11. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 + x − 2 x2 + x − 1
2 3. Luego de efectuar la división: x + 6x + 8 x+2 Indicar verdadero (V) o falso (F)
a) El cociente es b) El residuo es c) La división es exacta
: x+4 : 16
( ( (
) ) )
4. Calcular el residuo de la siguiente división: x 2 − 3x + 2 x−6 2 5. Luego de efectuar: 5x − x + 2 , Indicar el cociente x−1 6. Obtener el cociente de la siguiente división: 6x 2 + 5x − 4 2x − 1
3 2 12. Luego de efectuar la división: 5x +212x + x + 3 x + 2x − 1 El residuo es: 2 3 13. Luego de efectuar: 7x − 22+ 12x − 7x 3x + x − 2 Indicar el residuo 3 2 14. Si la siguiente división: x + 27x + Ax + B x + 5x − 3 Es exacta, calcular el valor de "A+B"
15. Dada la división exacta: 2x 4 − 9x3 + 2x2 + 8Ax + B x 2 − 5x + 1 Calcular el valor de "A + B"
2
7. Si el residuo de la división: x − 5x + m x−3 Es 3, calcular el valor de "m"
Tú puedes 1. Calcular "m+n+2" si la división: 6x5 − 17x 4 + 7x3 + mx2 + nx + p , es exacta 3x3 − 4x2 + 5x − 7 a) 22 b) 18 c) –11 d) 25 e) 28 2. Si el residuo de la siguiente división: 3x5 − 8x 4 − 5x3 + 26x2 + mx + n x3 − 2x2 − 4x + 8 Es –5x+2, calcular 2m+n" a) –20 b) –50 c) –3 d) –40 e) –70 3. Al efectuar la siguiente división: 6x3 − 12x2 + 4Ax + A , 3x 2 + 3 El residuo toma la forma "mx+m". Calcular el valor de "A+m" a) 10 Colegios
110
TRILCE
b) 24
c) 30
d) 31
4. Calcular la suma de coeficientes del cociente de: 6x5 − x 4 + 4x3 − 10x2 + Ax − 6 3x − 2 Sabiendo que el residuo de la división es 2. a) 1 d) 5
b) 2 e) 7
c) 4
5. Calcular el cociente de la siguiente división exacta: ax 4 + (a − b) x3 + bx2 + (b − c) x + c ax2 − bx − c 2
2
a) ax + bx + c
b) x + x – 1
c) ax + x + b
d) x + bx + c
2
2
2
e) x – bx – c
e) 32 Central: 6198-100
Capítulo
23
División algebraica III Lectura: Sobre el papiro de Rhind L
o
s
egipcios resolvieron ecuaciones lineales por el método de la falsa posición. Este método también fue utilizado por los babilonios, contemporáneamente con los egipcios, y posteriormente por los árabes. El siguiente problema aparece en el Papiro Rhind (S. XVIII a.C): "Un montón, sus dos tercios, su mitad, todos juntos hacen trece. ¿Cuál es la cantidad?" El problema se reduce a la ecuación: x + 2 x + 1 x = 13 3 2 Los egipcios encontraban la solución de este tipo de ecuación a través de un método llamado regla de falsa posición. En primer lugar atribuían un valor falso al montón, por ejemplo, 12: 12 + 2 (12) + 1 (12) = 12 + 8 + 6 = 26 3 2 Luego, mediante una regla de tres simple se obtiene el valor verdadero del montón, que en este caso es 6. Valor verdadero = 12 # 13 = 6 26
E s t e método es un ejemplo del uso de aproximaciones, en que se parte de un valor falso y se procura corregirlo para mejorar el resultado. En este caso permite obtener la solución exacta por la estructura del problema. FUENTE: (http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV8_n1_2007/De%201a%20Resolucion_de_Ecuaciones/2_ EcuacionesPolinomicas.pdf)
En este capítulo aprenderemos .. División algebraica III .. División entre polinomios .. Método de Ruffini – Esquema – Procedimiento .. Aplicación
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Primer año de secundaria
111
23
Capítulo
Síntesis teórica
DIVISIÓN ALGEBRAICA III
División entre polinomios
Método de Ruffini
Regla
Aplicación
Colegios
112
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:
3. Ordenar el polinomio de forme descendente: 3
a) 7 – 2
=
b) –4 + 5
=
c) – 6 – 2
=
d) 2 – 5
=
&
P(x) = 5 + x – 6x + x P(x) =
2
• Dada la siguiente división: 3x 2 − 5x + 7 x−2 Contesta las siguientes preguntas:
2. Efectuar las siguientes operaciones: 4. a) (5)(2)
=
b) (3) (–4)
=
c) (–2)(–3)
=
d) (–1) (5)
=
El dividendo es
:
El divisor es
:
El cociente es
:
El residuo es
:
5.
Aplica lo comprendido 1. La división: x2 − 8x + 10 x+3 Se representa mediante el siguiente esquema de Ruffini: 1
–8 10
7 1 7
–2
5 –10
7
5
B
5
A
0
Calcular: "A + B"
3
• A partir de la siguiente división:
Es correcto 2. El siguiente esquema corresponde a una división efectuada por el método de Ruffini: 2 –3
3. Del siguiente esquema de Ruffini:
7
5
2x 2 − 5x + 3 x −1 Responde:
–6 –3 2
1
2
4. El cociente es:
Señalar: a) Cociente b) Residuo
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: :
5. La división, ¿es exacta o inexacta?
Primer año de secundaria
113
23
Capítulo
Aprende más 6. Obtener la suma de coeficientes del cociente de:
2 1. Luego de efectuar la división: x + 2x − 9 x−3 Completar:
2x2 + 3x + 4x3 + 7 x+1
a) Dividendo =
a) 3
b) 4
b) Divisor
= x–3
d) 6
e) 7
c) Cociente
=
d) Residuo
=
c) 5
7. A partir del siguiente esquema de Ruffini: 5 1
2 2. Luego de efectuar la división: x + 7x + 14 x+2 Relacionar:
2 –3
5 b d 5 7
c
e
Calcular el valor de: (b+c+e) ÷ (a+d)
Dividendo
A
x+2
Divisor
B
4
Cociente
C
x +7x+14
Residuo
D
x+5
2
a) 1
b) 2
d) 4
e) 6
c) 3
8. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x + 3 x−2 es:
2 3. Luego de efectuar la división: 3x − 7x + 6 x+1 Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
a
2
b) 3x + 6x + 14
2
d) x + 1
a) El dividendo es
: 3x + 7x + 6
(
)
a) 3x – 6x + 14
b) El divisor es
: x–1
(
)
c) 3x – 6x – 14
c) El cociente es
: 3x + 4
(
)
e) 3x + 6x – 14
d) El residuo es
: 10
(
)
2
2
2
9. Calcular el residuo de la siguiente división: 4. Calcular el cociente de la siguiente división: x3 + 3x2 − 13x − 15 x+5 2
b) x – 2x + 3
2
2
d) x – 2x – 3
a) x + 2x + 1
2
c) x + 2x + 3
2x 4 + 3x3 − x2 + 2x + 6 x+2 a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6
2
e) x – 2x – 1
10. Si el residuo de la siguiente división:
5. Hallar el residuo de la siguiente división: 2x3 − x2 + 3x − 2 x+2 a) 28
b) –28
d) –29
e) 30
Colegios
114
TRILCE
c) 29
2x3 + 7x2 − 2x + m x+3 Es igual a 17, calcular el valor de "m". a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
Central: 6198-100
Álgebra 13. Hallar el residuo de la siguiente división: 3x 4 − 2x3 + 6x2 + 11x + 10 3x − 2 a) 21 b) 20 c) 23 d) 24 e) 25
3 2 11. Al efectuar la división: x + 5x + mx + 15 x+2 El término independiente del cociente es 8. Calcular: m + residuo
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
14. De la siguiente división: ax3 + (b − a) x2 + (3c − b) x + 5c x−1 Calcular el valor de "a+b", si la suma de coeficientes del cociente es 51, y el residuo de la misma es 56.
12. ¿Cuál es el cociente de la siguiente división: 3x3 + 8x2 + 7x + 6 3x + 2 2
b) x + 2x + 1
2
2
d) x +2x – 1
a) x – 2x + 1
2
c) x – 2x – 1
a) 13 d) 41
2
e) x + 1
b) 24 e) 50
c) 30
Practica en casa 1. Luego de efectuar la división:
5. Hallar el residuo de la siguiente división: 2x3 + x2 + 3x + 10 x+1
x2 + 9x + 20 x+6 Completar: a) Cociente
:
b) Residuo
:
6. Calcular el cociente de la siguiente división: 2x3 + x2 − 7x − 6 x−2
2. Luego de efectuar la división: x 2 − 5x + 7 x−3
7. A partir del esquema de Ruffini: 5
Relacionar correctamente:
–1
Dividendo
A
x–3
Divisor
B
1
5
3
B
–5
1
–4
–1
A
3
Calcular el valor de A + B
2
Cociente
C
x –5x+7
Residuo
D
x–2
8. El cociente de la siguiente división: 3x3 + 2x2 + 3 ; es: x+2
3. Luego de efectuar la división: 3x 2 + 2x − 5 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F):
9. Calcular el residuo de la siguiente división:
a) El cociente es
: 3x+5
(
)
b) El residuo es
: 10
(
)
(
)
c) La división es exacta
4
4. Obtener el cociente de la siguiente división:
3x 4 + 5x3 − 10x2 + 7x + 4 x+3 10. Si el residuo de la siguiente división: 2x3 + 9x2 + 3x + A x+2 Es igual a 20, calcular el valor de "A"
x3 + 5x2 − 10x − 8 x−2 www.trilce.edu.pe
Primer año de secundaria
115
23
Capítulo
11. En el siguiente diagrama de Ruffini: 1 A 1
2
–3
2
1
B
0
3
0
C
14. Luego de efectuar la siguiente división: mx3 + (n − 3m) x2 + nx + 5 x−3 El residuo obtenido es 41, calcular "m" si la suma de coeficientes del cociente es 18.
Calcular el valor de "A+B+C" 3 2 12. Al efectuar la división: x + 6x + Ax + 30 x+4 El término independiente del cociente es 7
Calcular: A + residuo
15. A partir de la división: (A − 5) x3 + (B − A) x2 + (C − B) x + A + B x−1 Obtener la suma de coeficientes del cociente, si el residuo es igual a 14.
13. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división 2x3 + 3x2 + 3x + 7 ? 2x + 1
Tú puedes 3. Calcular el cociente de la siguiente división:
1. Calcular el valor de: 4 A − B + 7B + 2A B A
x36 − 5x18 + 8 x9 + 2
Si luego de efectuar:
a) x – 2x – x + 2
Ax3 + 3x2 − 5x − B x−2
b) x
3
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
A
G
E
F
A
B
C
E
B
D
B
A
F
Indicar el cociente de la división: 3
2
a) x + x + x + 1 3
2
b) –x + x – x + 1 3
2
c) 2x – x + x – 1 3
2
d) –x – 2x + x – 1 3
2
e) x – x + x – 1
Colegios
116
TRILCE
27
– 2x9 + 2
27
– 2x
18
–x +2
27
– 5x
18
+4
e) x
18
9
+x +2 9
4. Al efectuar la división:
exacta efectuada por el método de Ruffini: A
+ 2x
d) x
2. El siguiente esquema representa una división
A
27
c) x
El residuo obtenido es "7B+2"
2
Ax 4 + (A − A2 + 1) x3 + x2 − A2 x + A2 − 7 x − A +1 La suma de coeficientes del cociente y residuo obtenidos es cero. Calcular el valor de "A". a) –1 d) 2
b) 0 e) 3
c) 1
5. Si Q(x) es un polinomio que representa el cociente de la siguiente división: AMx3 + (AP + BN) x + BP + (AN + BM) x2 Ax + B El cuál verifica: Q(1) = 0, calcular el valor de: 4M + N + P + M + 8N + P + M + N + 14P M N P a) 18 d) 23
b) 19 e) 27
c) 21
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Capítulo
24
División algebraica IV Lectura: Problemas babilónicos Existe más de medio millón de tablillas cuneiformes que todavía están siendo descifradas e interpretadas; abarcan un periodo que va desde el año 2100 a.C hasta el año 300 a.C, época del famoso rey Nabucodonosor. De esas tablillas, unas 300 se relacionan con las matemáticas, unas 200 son tablas de varios tipos: de multiplicidad, de recíprocos, de cuadrados, de cubos, etc. Los problemas que se plantean tratan acerca de cuentas diarias, contratos, préstamos, interés simple y compuesto. En geometría los babilonios conocían, entre otras cosas, el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos semejantes; el álgebra hay problemas de segundo e incluso algunos de tercero y cuarto grado; también resolvían sistemas de ecuaciones, hay un ejemplo de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. El problema siguiente ilustra el carácter algebraico de la geometría de los babilonios, quienes utilizaban para resolverlo, un método parecido al que usaríamos hoy día. Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área de 600. Cuando se multiplica por sí misma la diferencia entre el largo y el ancho, y ese resultado se multiplica por 9, da una superficie equivalente al cuadrado del largo. ¿Cuáles son el largo y el ancho? x y
Zx . y 600 = ] 2 2 [9 (x − y) = x ]3 (x − y) = x \
Resolviendo este sistema, se obtiene: x=30, y =20 Tomado de "Historias e historias de matemáticas" Mariano Perero
En este capítulo aprenderemos .. División algebraica IV .. Teorema del residuo .. Procedimiento .. Ejercicios
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117
24
Capítulo
Síntesis teórica
TEOREMA DEL RESTO
Regla
Aplicaciones
Casos especiales
Aplicaciones
Colegios
118
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Álgebra Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones: a) 8 – 5
=
4. Si: x – A = 0
b) 1 – 6 + 7 =
c) (3)(–5) =
d) (–4)(–2)
=
2. Efectuar las siguientes operaciones a) (3)
2
c) (–5)
2
3
=
b) (4)
=
d) (–2)
= 3
=
3. Efectuar:
x=A
Calcular "x" en las siguientes ecuaciones: a) x – 4 = 0
x=
b) x – 8 = 0
x=
c) x + 5 = 0
x=
5. Luego de efectuar la división: 6x2 − 5x + 7 , completar: x −1 Dividendo =
2
Divisor
3
Cociente =
a) (5) – 10 = b) (2) – 5 (2) + 4 =
Residuo
= =
Aplica lo comprendido 1. Efectuar las siguientes operaciones: 2
a) (5) + 8
x2 − x + 5 x−2
=
2
b) (3) – 2 (4) – 1 = 3
c) (4) – 5 (8) + 10
Residuo = = 4. Obtener el residuo de la siguiente división:
2. Sabiendo que: x–A=0 x+A=0
3. Calcular el residuo de la siguiente división:
x=A
x2 + 5 x−3
x = –A
Calcular "x" en las siguientes ecuaciones:
5. La siguiente división:
a) x – 3 = 0
x=
x 2 − 3x + 2 x−2
b) x – 5 = 0
x=
¿Es exacta o inexacta?
c) x – 4 = 0
x=
d) x – 1= 0
x=
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Justifica tu respuesta
Primer año de secundaria
119
24
Capítulo
Aprende más
1. Dada la siguiente división: x 2 − 5x + 7 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo = 2. Relacionar correctamente:
8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división x5 + x3 + 8 x+1 a) 0 d) 5
A
x=4
x+4=0
B
x = –7
x+7=0
C
x = –4
x–4=0
D
x=7
3. Dada la siguiente división: x 2 − 2x + 8 x−1 Indicar verdadero (V) o falso (F): 2
c) 4
5. Calcular el residuo de la siguiente división: x2 + x + 1 x−2 a) 6 b) 7 c) –7 d) –8 e) 0
b) 4 e) –5
c) 0
10. Hallar el residuo de la siguiente división: (3x − 2) 5 + 8x − 4 x−1 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 (x − 2) 7 + Ax − 1 x−3 Es igual a 15, calcular el valor de "A" a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 8) 4 + 7 (x − 2) 3 − x x−3 a) 0 b) 2 c) 5 d) 7 e) 8 13. Luego de efectuar la división: 5x7 + (M − 1) x 4 − 2 x−1 Se obtiene por residuo 14, calcular "M" a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
6. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 − 5x + 2 x−2 a) –4 b) –1 c) 0 d) 2 e) 3
14. Hallar el residuo de la siguiente división: 5x10 + x8 − 2x2 + 10 x2 − 1 a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
7. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 + 2x2 − 7 x+1 a) –3 b) 4 c) –5 d) 6 e) –6
15. Calcular el residuo de la división: (x2 + x + 4) 2 + (x2 + x + 3) 4 + x2 + x + 6 x2 + x + 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Colegios
120
a) –3 d) 5
11. Si el residuo de la siguiente división:
a) El dividendo es : x –2x+8 ( ) b) El divisor es : x+1 ( ) x = 1 ( ) c) Su divisor =0 d) El residuo es : 11 ( ) 4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 8 x−3 b) –2 e) –1
c) 3
9. Si la división: x3 + 5x + A − 13 x−2 Es exacta, calcular el valor de "A"
x–7=0
a) 0 d) 1
b) 1 e) 6
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Álgebra Practica en casa 1. Dada la siguiente división: x2 − x + 9 x−2 Completar: a) Dividendo = b) Divisor = c) Divisor = 0 x = d) Residuo =
8. ¿Cuál es el residuo de la siguiente división: x3 + x2 + 3 x+1 9. Si la división: x3 + 4x + A − 8 x−1 Es exacta, calcular el valor de "A".
2. Relacionar correctamente: x+6=0
A
x=5
x–5=0
B
x = –6
x+5=0
C
x = –5
x–6=0
D
x=6
10. Hallar el residuo de la siguiente división: (x − 1) 4 + 2x + 3 x−2 11. Si el residuo de la siguiente división: (x − 4) 3 + Ax − 1 x−5 Es igual a 35, calcular el valor de "A".
3. Dada la siguiente división: x 2 − 3x + 6 x −1 a) El dividendo es : x –3x–6
(
)
12. Obtener el residuo de la división: (x2 − 3) 5 + 5 (x − 1) 3 − x x−2
b) El divisor es
(
)
13. Luego de efectuar la división:
(
)
(
)
Indicar verdadero (V) o falso (F) 2
: x–1
c) Su divisor =0
x = 1
d) El residuo es : 4
4. Obtener el residuo de la siguiente división: x2 − 10 x−4 5. Hallar el residuo, luego de efectuar: x 2 + 3x + 1 x−4
2x10 + (M − 5) x7 − 3x x−1 Se obtiene por residuo 9, calcular "M". 14. Hallar el residuo de la siguiente división: 13x14 − 7x10 + 5x6 + 1 x2 − 1 15. Calcular el residuo de la siguiente división: (x3 + x − 6)10 + 4 (x3 + x − 5) 3 + 8 x3 − 7 + x
6. La siguiente división: x3 − 5x − 12 x−3 ¿Es exacta o inexacta? Justifica tu respuesta: 7. Hallar el residuo de la siguiente división: x3 + 10 x+1
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121
24
Capítulo
Tú puedes
1. Si el residuo de la siguiente división: 1 + 2x + 3x2 + 4x 4 + ..... + nxn − 1 x−1 2 Es igual a "n –7n" Calcular: n 5 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
4. Luego de efectuar la siguiente división: Mx2M + 13 + (4M + 3) xM + 17 − M (x + 1) 2 + 2 x−1 El residuo obtenido es 8. Calcular el valor de M. a) 1 d) 4
2. Calcular el residuo de la siguiente división: x3n + 15 + 7n2 xn + 5 − 5nx2n + 10 xn + 5 − 2n 3 a) 0 b) n 3 3 d) 3n e) 4n
c) 2n
3
b) 2 e) 5
c) 3
5. Hallar el residuo de la siguiente división: (x + n) (x − n − 1) (x − n − 2) (x + n + 1) x2 − x − n2 2 a) n b) 3n c) n +2 2 d) 3n+2 e) 3n +2n
3. Hallar el residuo de la siguiente división: x999 x99 − 10 9 9 9 9 a) 9x b) 7x c) 6x 9 9 e) 4x d) 7 x
Colegios
122
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Capítulo
25
Factorización I Lectura: Jean Le Rond D'Alembert Científico y pensador francés de la Ilustración (París, 1717-1783). Sus investigaciones en matemáticas, física y astronomía le llevaron a formar parte de la Academia de Ciencias con sólo 25 años; y resultaron de tal relevancia que aún conservan su nombre un principio de física que relaciona la estática con la dinámica y un criterio de convergencia de series matemáticas. FUENTE: www.biografiasyvidas.com/biografia/d/d_ alembert.htm
En este capítulo aprenderemos .. Definición de factorización .. Factor .. Factor primo .. Propiedades de factorización .. Método de factorización .. Método factor común .. Método de agrupación de términos
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Primer año de secundaria
123
25
Capítulo
Síntesis teórica
FACTORIZACIÓN
Propiedades
Definición
Factor
Métodos de factorización Método agrupación de términos Método del factor común
Colegios
124
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Álgebra Saberes previos Efectuar las siguientes multiplicaciones:
4. xz (x + 1)
1. xy (z + w) 5. (x + y) (x + z) 2 2 3
4
2
5
2. x y z (x + yz + xy ) 2
3. (a + b) (b + c)
Aplica lo comprendido 1. Factorizar: 2
2
4. Factorizar: 2
x a+x b–x c 2. Factorizar: 5
5
x y+x z+x
(a+x)(b+c) + (a+b)(a+x)
5. Factorizar: 5
(a+b+c)x – (a+b+c) y
3. Factorizar: x (a+b) + y (a+b) + z (a+b)
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125
25
Capítulo
Aprende más
1. Señale un término de uno de los factores primos 5
2
2 2
de: xy + x y + x z 2
a) x 3 d) x
c) y
2
2
a) a +c
2
3
b) x +y
4 2
e) x +y
3
d) x y
4
2
c) x +y
2
5 3
b) b 2
c) a 3
d) a +b
2
8
5
b) x +y
5
9
e) x +y
9
5
9
7
9
c) x +y
6
15 18
c) 4
b) x+1
2
e) x–1
n
2
+x
2
c) x +x+1
c) x
n–3 n–4
e) x
Colegios
126
TRILCE
2
(x +x–1)
3 2 2
b) x+z
d) x+yz
e) y+xz
a) y + z d) x + z
c) y+z
b) x e) z
c) y
12. Factorizar: 3 3
2 2
2 3
de factores primos: a) 1 d) 4
b) 2 e) 5 2
n
d) x
2
3
e indicar un
factor primo: a) x
b) x
d) x + y
e) x + y
2
2
c) y
2
3
2
2
14. Factorizar: 2x – 2xy + y – x y e indique un factor primo. b) y + 2 e) y – 2
c) 2y – x
15. Señalar un factor primo de: 2 2 2 2 mn (x + y ) + xy (m + n )
2
b) x (x –x+1) n–5
c) 3
13. Factorizar: x + x y + xy + y
a) x + 2 d) x – y
n–3
a) x (x +x+1)
c) y+z 2
a) x+y
3
7. Factorizar: n–5
4
2
n+2
2
–x
e) y +x
2
6. Señale un factor de:
n–4
2
3
b) 3 e) 6
d) x +x
2
2
5
x y –x y +x y
a) x +1
2
b) y +x
x + x y + m x + m y e indicar el número
monomio de: a) 2 d) 5
2
primo:
5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no
x
2
2
8 26
+x
e) b+c
11. Factorizar: x + xy + xz + yz e indicar un factor
+x y
n+1
2
4 3
e) b–a +a b
2 5
a) y–z
3
4. Factorizar y señalar un factor primo:
n
2
c) b +c
x y + x yz + x z + x z
6 6
a) a
x +x
2
10. Señale un factor primo:
a b –a b +a b
2 2
2
2
d) y+x
2
3. Señale el factor primo que se repite más:
d) x +y
b) b +x
y – yz + x y – x z
a) x+y
a) x +y
2 2
9. Señale un factor primo de:
x y +x y
17 21
2
2
8 2
x y
2 2
d) a +x
2. Señale un factor primo:
2 4
2 2
a b +a c +x b +x c
b) xy e) xz
4 5
8. Señale un factor primo:
2
(x +x–1)
a) x + y
b) m + n
d) nx + my
e) x + ny
c) mx + y
2
(x +x–1)
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Álgebra Practica en casa 1. Señale los factores primos de: 4 xyz + x + xy
8. Factorizar: 4
2 2
2 2
2 2
a +a b +a c +b c
2. Señale los factores primos de: 7 8 2 12 x y +x y
9. Señale el factor primo de mayor grado de: 2
3
2
x y – yz + x w – wz 3. Señale el factor primo que más se repite: 8 5 2 8 5 4 a b –a b +a b
3
10. Factorizar: 6
4
7
5 2
a y + x yz + x z + x z 4. Factorizar e indicar un factor primo no mononio de: 23 15 19 12 a b +b a 5. ¿Cuántos términos tiene el factor primo no monomio de: 9 4 3 6 14 19 x y –x y +x y 6. Señale los factores primos de: n+4 n+6 n+17 +y +x x
2
11. Factorizar: a + ab + ac + bc 7
5 5
3 2
4
3 2
2
3 5
12. Factorizar: x + x y + m x + m y 13. Factorizar: x + x y + xy + y 3
2 2
4
3
14. Factorizar: 5a – 5 a b + b – ab 2
2
2
2
15. Factorizar: ab (m + n ) – mn (a + b )
7. Factorizar: n–6 n–7 n–4 +x –x x
Tú puedes 4. Sumar los factores primos de:
1. Señale un factor primo de: 2 2 (ax+by) + (ay–bx) a) ax+by
b) ay–bx
2
e) a +b
d) b +y
2
2
2
2
c) a +x
2
2
2. Indicar la suma de factores de: (x + 3)(x + 2) + (x + 5)(x + 4) – 3(x + 4) a) 3x + 9
b) 3x + 8
d) 3x – 8
e) 3x + 1
2
2
a (b+c) + b (a+c) + c (a+b) + 2abc
c) 3x + 7
a) a+b+c
b) 2(a+b+c)
d) a+b
e) b+c 2
c) 3(a+b+c)
2
5. Un factor de x(x + 5y) + x – 25y es: a) x + y
b) x – y
d) x + 5y
e) x – 3y
c) x + 5
3. Un factor de: 2 b (a+6c) + 2ac + 3b ; es: a) a+b
b) b+c
d) c+3b
e) a+3b
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c) a+2b
Primer año de secundaria
127
26
Capítulo
Factorización II Método de las identidades Lectura: El concepto de infinito es 2000 años más antiguo de lo pensado El primer uso matemático del concepto de real de infinito se ha visto retrasado unos 2000 años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis de las páginas de un pergamino en el que un monje medieval de Constantinopla copió la labor del griego Arquímedes. El concepto de infinito es una de las cuestiones fundamentales en las matemáticas y aún hoy es un enigma. El pergamino reproduce 348 páginas escritas por Arquímedes, siendo esta la copia más antigua de los antiguos genios griegos. En él, se han encontrando pruebas de que Arquímedes ya dió un “uso sistemático del concepto de infinito en una parte del documento llamado Teoremas del Método de la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos de una hora. Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo. FUENTE: LIVE SIENCE
En este capítulo aprenderemos
.. Factorizar el TCP .. Transformándolo en un binomio al cuadrado
Colegios
128
TRILCE
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Álgebra Síntesis teórica
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Método de las identidades
Métodos del TCP
Formas de reconocerlo
Factorizando TCP
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Binomio al cuadrado
Primer año de secundaria
129
26
Capítulo
Saberes previos
Factorizar:
5
62
2
2
4. (x – y )
2
2
2
1. (a+b) – (b + a ) 5. (a + b) 4
4
2
22
2. x + 2y – (x + y ) 3
3. (a + b)
2
Aplica lo comprendido 3
3
4. (x+y) – x – 6 xy (x+y)
Factorizar: 2
2
2
1. (x+y) + (x–y) – 2x + xy 2
2
5. (x+y)(x–y) + y (y + 7x)
2. (x+y) – (x–y) – 6 xyz 2
2
3. (a+b) – b – 5 ab
Aprende más 1. Factorizar y señalar el número de factores primos no repetidos de: 4
un factor primo:
3 2
22
a + 2 a b + (ab ) a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
a) x + 2 d) x – 5
c) 4
2
4
4
2
2
2
2
b) a +b 2
d) a +b +1
2
e) a +b
2
c) a +b –1 4
3
5
6
3
2
3
5
a) x +y d) x +y Colegios
130
TRILCE
10
3
3
e) 2x +y
b) 2x + 3
d) 2 x – 4
e) 2x + 4
c) 2x + 1
un factor primo:
3 5
b) x +y
a) 2x – 1
2
+ 2x y 3
+ 2x+1 – 3(x+1);
6. Luego de factorizar: x –6x+9 +4(x–3) ; indique
3. Señale un factor primo de: x +y +x +y
2
c) x – 2
indique la suma de sus factores primos.
2 2
a +b +a +b +2a b a) a –b
b) x + 4 e) x +1
5. Luego de factorizar: x
2. Señalar un factor primo de: 2
2
4. Luego factorizar: x – 4x + 4 + x – 2, indique
3
c) x +y
4
a) x + 2
b) x + 9
d) x + 6
e) x – 3
c) x –1
5
Central: 6198-100
Álgebra 2
7. Factorizar: (x + 2) + 2(x + 2) + 1; indicar un factor primo a) x + 1
b) 2x + 3
d) x + 5
e) 2x + 5
c) x + 3
2
8. Factorizar: (x + 3) + 6(x + 3) +9; indicar un factor primo. a) x + 3
b) x – 3
d) x – 6
e) 2x + 1 2
2
c) x + 6
2
b) x – 1
2
d) x + x + 4
2
c) x + x + 2 2
e) x + 2
a) 2x – y
b) y
d) x – y
e) 2x + y
10. Luego de factorizar: 4 2 3 x +4x + 4 +x + 2x; indique el número de factores primos: b) 2
d) 4
e) 5
c) x +2y
2
2
13. Luego de factorizar: x – 6xz + 9z + xy – 3yz; indique un factor primo: a) x – z
b) x + 9
d) x + yz
e) x – 3z
c) x – 3
14. Factorizar: 2 2 2 P(x)=x (x+5) +6x(x+5)+9–5x(x +5x+3), indicar un factor primo. a) x + 1
2
b) x + 2
2
2
e) x + 9
2
c) 3 2
11. Luego factorizar: x – 4xy + 4y + xz – 2yz, indique un factor primo: a) x + 2
b) x + 4
d) x – z
e) x +z–y
2
c) x + 5
2
d) x + 3
a) 1
2
2
9. Factorizar: (x + x) + 4 (x + x) +4 Indique un factor primo: a) x +x
2
12. Luego de factorizar: x + 2xy + y – x (x + y); indique la suma de sus factores primos.
15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2 P(x,y) = (3x + 2y) + 8 (3x + 2y) + 16 Hallar: "a + b+ c" a) 5
b) 6
d) 8
e) 9
c) 7
c) x –2y
Practica en casa 1. Señalar el número de factores primos de: 4 3 4 42 x + 2 x y + (xy )
2
5. Factorizar: x + 2x+1 – 5(x+1)+4 2
2. Señalar un factor primo de: 3 3 6 6 3 3 a +b +a +b +2a b
6. Factorizar: x – 10x + 25 +7(x–5) 2
7. Factorizar: (x + 3) + 2(x + 3) + 1 3. Señale un factor primo de: 8 4 16 8 8 4 a +b +a +b +2a b 4. Sumar con coeficientes de un factor primo de: 4 4 2 2 2 x + 25y + 10 (xy) – x – 5y
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2
8. Factorizar: (x + 5) + 8(x + 5) +16 2
2
2
9. Factorizar: (x + x) + 10 (x + x) +25
Primer año de secundaria
131
26
Capítulo
4
2
3
14. Factorizar:
10. Factorizar: x +2x + 1 +x +x
2
2
2
P(x)=a (a+3) +10a(a+3)+25–4a(a +3a+5) 2
2
11. Factorizar: x – 6xy + 9y + xz – 3yz 2
2
12. Luego de factorizar: x +4xy+4y – 5x(x+2y); indique la suma de sus factores primos. 2
15. Se sabe que: (ax + by + c), es un factor primo del polinomio: 2
P(x,y) = (5x + 3y) + 12 (5x + 3y) + 36 Hallar: "a + b+ c"
2
13. Factorizar: a – 4ab + 4b +ac – 2bc
Tú puedes 4. Sumar los factores repetidos de:
1. Señale un factor de: (y+1)(y+2)(y+3)(y+4) + 1 a) c) e)
2
2
2
y +y+1 2 y +y+4 2 y +y+2
b) y + y + 3 2 d) y + y + 5
2
2
b) 2x 2 e) –3x
c) 3x
3. Señale el número de factores primos de: 4 4 2 2 (x+y) – (x–y) + 16 x y a) 1 d) 4
Colegios
132
TRILCE
16
a) 2x
16
b) 2 e) 5
16
32
16
16
b) 2x –2
16
16
16
c) 2 (x +y )
2. Señale el término cuadrático de un factor primo 3 2 de: (x + 2)(x – 4x + 4x) + 2x (x – 4) + 1 a) x 2 d) –2x
2
(x–y)(x+y)(x +y )...(x +y )+y +2x +1
2
e) 2y
d) 2(x +1)
16
5. Señale un término del factor primo de: 2 2
2
2
2
2
a (a +1)+b (b +1)+2ab(ab+1)+(a+b)(2a +2b ) a) a
3
b) 2a
d) a
2
e) b
2
c) 2b
2
3
c) 3
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Capítulo
27
Factorización III
Lectura: El arte de plantear ecuaciones El idioma de álgebra es la ecuación. "Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades. Basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico", escribió el gran Isaac Newton (*) en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal. En otras palabras el álgebra es el idioma universal que traspasa lenguas y fronteras. Fuente: PROBLEMAS Y GENIALIDADES MATEMÁTICAS – YAKOV PERELMAN
(*) Al hablar de Sir Isaac Newton, no existe una faceta en la que podamos encasillarlo, entre el gran recorrido de su vida ha tenido roles como físico, filósofo, matemático, inventor, alquimista y científico. Su mayor logro y el porque es mayormente recordado es por la ley de la gravitación universal y las leyes de la mecánica clásica. FUENTE: www.cultura10.com/isaac-newton-y-sus-grandes-descubrimientos/
En este capítulo aprenderemos .. Método de las identidades .. Diferencia de cuadrados .. Reconocer la diferencia de cuadrados .. Transformar diferencia de cuadrados
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suma y diferencia
Primer año de secundaria
133
27
Capítulo
Síntesis teórica
FACTORIZACIÓN: MÉTODO IDENTIDADES
Diferencia de cuadrados
Reconocer: Diferencia de cuadrados
Factorización Diferencia de cuadrados Suma × diferencia
Colegios
134
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 2
4. (x + 2)(x – 2)(x + 4)
• Efectuar: 2
2
1. (a + 5)(a – 6) 2
3
5
3
5
2. (a + b )(a – b ) 4
5. (2a + 1)(2a – 1)(4a + 1)
4
3. (3 – x )(x + 3)
Aplica lo comprendido 1. Factorizar: 2
a – 4y
14
2. Factorizar: x
10
– 4y
14
4. Factorizar: 4
(a+b) – z
4
5. Factorizar: 4
a – 625
3. Factorizar: 4
x –y
4
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Primer año de secundaria
135
27
Capítulo
Aprende más 1. Factorizar y señalar un factor: 2
2
x + y + 2xy – z a) x+y d) x–y+z
9. Señalar el número de factores primos:
2
2
b) x–y e) x–y–z
c) x+y+z
2
2
2. Señale un factor de: 4a – 12ab + 9b – c a) 2a+3b
b) 2a–3b
d) 2a–3b–c
e) 2a+3b–c
c) 2a+3b+c
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
b) x + z
d) 2x + z
e) x + 2z
c) x – 2z
b) 2x–z+1
2
c) 2x–z +1
2
a) 0
b) 1
d) 3
e)
2
c) 2
b) 2x+7 e) x+2
c) 2x–1
7. ¿Cuántos factores primos hay en la expresión: 2
P(x; y) = (9x – 4y )(x – 25 y ) b) 4 e) 1
b) 1
d) 5
e) 6
c) 4
12. Factorizar e indicar un factor primo: 4
2
2
2
8 2
2
b) x +2
2
c) x +z+2
2
d) x +z +2
e) x –z
2
primo
2
a) 2
2
2
2
4
4
P(x; y) = (36x – 25 y )(x – 4y )(x – 4y ); 2
c) 5
Indicar el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 6
e) 7
2
P(x; y) = 9x + 1 – 6x + 9z
Indicando el número de factores primos c) 3
c) 4
14. Factorizar: P(x) = x
14
2
– x – 6x – 9
Indicando el número de factores primos obtenidos: a) 1 d) 4
8. Factorizar:
b) 2 e) 5
2
13. Factorizar:
6. Factorizar: (x+2) – (2x+3) ; e indicar un factor
a) 1 d) 4
4
2
e) x+z
2
obtienen al factorizar:
a) x +z
2
5. Señale un factor de: 4x + 4x – 4z + 1
a) 3 d) 2
10. ¿Cuántos factores primos lineales (1er. grado) se
(x +4x +4) – z
2
2
e) 1
8
2
a) x – z
2
d) 5
c) 4
x – 16
e indicar un factor primo
a) 3x+5 d) x–1
b) 3
11. ¿Cuántos factores primos tiene:
c) 2
2
2
a) 2
4
4. Luego de factorizar: x – (x + z) ,
2
4
P(a; b) =a – b – a + b
(x+y)(x–y)+z(2y–z)
d) 2x –z +1
2
2
3. Sumar los coeficientes de un factor primo de:
a) 2x+2z+1
2
(a +b +2ab) – x
b) 2 e) 5
c) 3
15. Factorizar: 2
2
2
P(a; b; c) = 9a + 3a – 4b + 2b – c – c + 4bc Indicando un factor primo a) 3a + 2b – c
b) 3a – 2b + 8c
c) a – b + c
d) a + b + c
2
2
2
e) a – 2b + 4c
Colegios
136
TRILCE
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Álgebra Practica en casa 2
1. Factorizar: 2 2 2 x +49y z + 14xyz – 9
9. Factorizar: (5x + 3) – (3x – 5)
2. Factorizar: 2 2 23 9a + 25b – 30ab – (z )
10. Factorizar: 8 8 4 4 P(x, y) = x – y – x + y
3. Factorizar: 2 3 2 3 5 3 5 (x +y )(x –y ) + z (2y – z )
11. Factorizar: x +2xy+y – z
2
4. Sumar los factores primos de: (4a+7b)(4a–7b) – 3c (3c+14b)
2
2
12. Factorizar: 2 2 4 2 2 4 P(a, b,c) = a – 6ab +9b – b +4bc – 4c
5. Señale los factores primos de: 4 2 8 9x + 6x – 16 z + 1 6. Factorizar: 4x –(x + 5)
2
2
13. Factorizar: 2 2 2 2 4 4 P(x,y) = (49x –4y ) (x – 9y ) (x – 81y )
2
14. Factorizar: 10 2 P(x) = x – x – 10x – 25
7. Factorizar: 4 4 P(x,y) = x – y
15. Factorizar: 2 2 2 P(a,b,c)= 4x + 2x – 9y + 3y – z – z + 6yz
8. Factorizar: 2 2 2 2 P(x,y) = (25x – 4y ) (x – 36y )
Tú puedes 4. Factorizar y restar los factores primos: 4 4 a b + 64
1. Sumar los factores primos de: 4 2 2 4 4 4 x +6x y + 4y – x y – 1 2
2
2
a) 2(x +y ) 2
2
c) 2 (x +2y )
2
b) 2 (2x +y )
a) 2ab
d) 2xy
d) 8ab
2 2
e) 2x y
2
2
2
2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 6ab
2 2
e) 2a b
5. Sumar los factores primos de: 6 5 4 x + 2x + x – 9
2. ¿Cuántos factores primos tiene: (a + b – c – 1) – 4 (ab+c)
b) 4ab
3
3
a) 2 (x – x)
2
3
c) 3
b) 2 (x +3) 2
c) 2 (x + x )
3
d) 2 (x +x)
e) 2 (x+1)
3. Señale la suma de coeficientes de un factor de: 2 (x+1)(x +2x)(x+3)+(1+z)(1–z) a) 2
b) 3
d) 5
e) 10
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c) 4
Primer año de secundaria
137
28
Capítulo
Repaso IV Repaso: El sentido de los números "Si la matemática fuera una ciencia, como la astronomía o la mineralogía, podríamos definir su objeto. Pero nadie ha podido ni podrá definirla. Inútilmente aplicaremos los occidentales, nuestro propio concepto científico del número, a la ciencia de que se ocupaban los matemáticos de Atenas y Bagdad. En verdad, el tema, el propósito y la metodología de la ciencia que en estas ciudades llevaba el nombre de matemática, eran muy diferentes de nuestra matemática. Porque no hay una sola matemática; hay muchas. Esto, que denominamos historia "de realización progresiva de un ideal una pluralidad de procesos un nacimiento repetido de distintos son incorporados, transfigurados elementos finales; un brote nada fija, una madurez, en suma una engañemos. El mundo antiguo creó El espíritu occidental, histórico, había poseía —pero exteriormente y sin asimilarla; mejorando —engañosamente— una realidad que en no le era adecuada.
la" matemática, suponiéndola una único e inmutable es, en realidad, cerrados entre sí, independientes; y nuevos mundos de la forma, que y, por último, analizados hasta sus más que orgánico, de duración decadencia y una muerte. No nos su matemática casi desde la nada. aprendido la matemática antigua, y la debió, pues, crear la suya modificando y el fondo aniquilaba la matemática euclidiana, que
Pitágoras llevó a cabo lo primero. Descartes, lo segundo. Pero los dos actos son, en el fondo, idénticos". Oswald Spengler "La decadencia de occidente
En este capítulo recordaremos División algebraica .. Método de Ruffini .. Esquema .. Regla .. Aplicaciones
Colegios
138
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 1. Dada la siguiente división:
4. En la siguiente división: x3 − 7x2 + 5x + 2 x−2 Relacionar:
2x 4 − 2x3 + 7x2 − 4x + 6 x−5 Completar: El grado del polinomio dividendo es :
Polinomio divisor
A –8
El grado del polinomio divisor es
:
Polinomio cociente
B x–2
El grado del polinomio cociente es
:
Residuo
C x –7x +5x+2
Polinomio dividendo
D
2. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: 1
3
2
3 1
1
5. Si en una división sabemos que el dividendo es
–2 1
0
x +2x –5x+2, el cociente x –x–2 y el residuo
1
3
3. Completa los recuadros en el siguiente esquema de división: –8 1/5
7
1
–1 –2
1
2
2
8. Calcular el divisor
15 –5 –10
Aplica lo comprendido En los siguientes ejercicios, calcular el cociente y residuo: 1. Dividir: x3 + x2 + 2x − 2 ; x ! 1 x−1 2. Dividir: 4x3 − 5x2 + 3x − 3 ; x ! 1 x−1 3. Dividir 2x3 + 5x2 + 3x − 2 ; x ! − 1 x+1 4. Dividir: 2x3 + x2 − x + 1 ; x ! 2 x−2
6. Dividir 6x 4 − 4x3 + x2 + 10x − 2 ; x ! − 1 3x + 1 3 7. Dividir: 2x3 − x2 + 5x + 6 ; x ! − 1 2x + 1 2 8. Dividir: 6x 4 + 3x3 + x2 − 6x − 1 ; x ! 1 2x − 1 2 9. Dividir 3x 4 + x3 + 6x2 + 5x − 1 ; x ! − 1 3x + 1 3 10. Dividir 15x 4 − 8x3 − 9x2 + 7x + 1 ; x ! 1 5x − 1 5
5. Dividir: 2x3 + x2 − 5x + 2 ; x ! − 2 x+1
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Primer año de secundaria
139
28
Capítulo
Aprende más
4 3 1. Luego de dividir: 2x + 6x + x + 3 x+3 Indicar su cociente 3
a) 2x –1 3
d) x –1
3
3 4 9. Dividir: 40x − 2x + 8 − 128x , 2x + 1 cociente 3
b) x +1
c) x –3
3
3 2. Dividir: 2x − 3x + 1 , Indicar su cociente x+2 2
b) x –4x+5
2
2
d) 2x –4x+5
2
c) 2x –5 2
e) x +4x–5 4 3 3. Dividir: x + 5x − 9 x−3 E indicar el término independiente del cociente.
a) 72
b) 71
d) 75
e) 76
c) 73
5 4 4. Hallar el resto en: 8x + 16x − 5x + 9 x+2
a) 17 d) 20
b) 18 e) 21
c) 19
4 3 5. Hallar el residuo en: 5x + 16x − 8x + 2 x+3
a) –2 d) 1
b) –1 e) 2
2
b) 2x +4
2
e) 2x +5
d) 2x +3
2
2
c) 2x +7
2
7. Hallar la suma de coeficientes del cociente en: 8x 4 + 5x2 + 2x3 + 3x + 6 2x + 1 a) 4
b) 5
d) 7
e) 8
c) 6 2
8. Calcular el resto en: 27x + x − 6x + 15 3x − 1 a) 10
b) 13
d) 17
e) 19
Colegios
140
TRILCE
2
b) 64x –52x–27 2
d) 64x –52x+27
2
e) –64x +52x–27 2 4 3 10. Hallar el resto en: x − x − 6x + 6x + 3x ; x = 1 2x − 1 2
a) –1
b) –2
d) –4
e) –5
c) –3
11. Indica la suma de coeficientes del cociente luego de dividir: 3x3 + 52x − 63 − 32x2 −9 + x a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
12. Hallar "m", para que la división: 3x3 − 5x2 − x + m ; sea exacta: x−1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
14. Calcular (b – a) si la división: x 4 + 2x3 − 5x2 + ax + b ; es exacta: x+1 a) 3
b) 4
d) 6
e) 7
c) 5
15. Sabiendo que la división es exacta: 3x 4 − 2x3 − 5x2 + ax − 8 x−2 2
4
su
13. Determina el valor de "n", si la división presenta residuo nulo. 2x3 − 5x2 − 7x + (n − 6) x−3 a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
c) 0
2 3 6. Al dividir: 4x + 2x + 3x + 6 ; x ! − 2 x+2 El cociente es:
a) 2x +1
2
c) 64x –27
e) 2x +1
a) 2x +4x–5
2
a) –64x +52x–27
Indicar
c) 15
Hallar: a +1 a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
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Álgebra 16. Calcula el producto de coeficientes del cociente de: 3 x 4 − 2x3 + 3 x2 − 5x + 7 − 3 x− 3 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
a) –5 d) –8
e) 8
17. Determina el valor de "m" para que el polinomio 3
2
P(x)=x –7x +5x+m–3, sea divisible por "x–1" a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3
2
3 x − 8 x − ( 12 − 1) x − 6 x + m − 3 x− 6 Se obtiene residuo nulo. Hallar "m" a) 1 d) 4
b) –6 e) –9
c) –7
20. Hallar el residuo de la división: 5ax 4 − a2 x3 + 5x2 − 6ax + 2a ; x ! a 5x − a 5 Si la suma de coeficientes del cociente es (a–2)
18. Al dividir: 4
19. Si el residuo de dividir: 4x3 + 5x6 + αx + 4 ; x ! 1 x−1 es 6, hallar "a"
b) 2 e) 5
a) 0 d) –3
b) –1 e) –4
c) –2
c) 3
Practica en casa 1. Completar el siguiente diagrama de Ruffini 2
3
–5 9
–3 2
–3
6 12
7. Al dividir: 4x2 + 2x3 + 3x + 6 ; x ! − 2 x+2 Indicar su cociente
–2 12
3 2 2. Hallar el resto en: x − x + x − 30 ; x ! 2 x−2
4 3 3. Dividir: 2x + 2x − 14x − 5 ; x ! 3 x−3 E indicar el término independiente del cociente.
4 4. Hallar el residuo en: 3x − 5x + 2 ; x ! − 2 x+2
5. Hallar el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 ; x ! − 1 x+1
3 2 8. Hallar el resto en: 2x − 3x + x + 1 ; x ! 1 x−1
9. Dada la división exacta: 3x 4 − 2x3 + ax2 − x − 2 ; x ! 2 x−2
10. Hallar el resto de dividir: x9 + x 8 + x 2 + x + 1 ; x ! 1 x−1
11. Dada la división exacta: 3x3 − 2x2 − 15x − 18 ; x ! 3 x−3 2 Indicar el cociente disminuido en 3x +6
2 6. Hallar el residuo: 3x − 5x + 6 ; x ! 1 x−1
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141
28
Capítulo
12. Calcular el valor de "m", si la división: 2x3 − (m − 2) x2 + 5 es exacta; x ≠ –1 x+1
14. Dividir: 27x 4 − 6x2 + x + 15 ; x ! 1 3x − 1 3 Dar la suma de coeficientes del cociente.
13. Señala el resto en: 2 x 4 + x3 − 8 x2 + 2x + 32 ; x ! − 2 x+ 2
15. Indicar el residuo en: x 4 − 1 + 2 x 2 − 3x ; x ! − 2 x+2
Tú puedes 1. En la siguiente división:
4. Hallar el resto en la siguiente división:
x36 + x35 + x34 + ... + x + m x+1 Calcular el valor de "m" si el residuo es –6 a) –4 d) –7
b) –5 e) –8
c) –6
a) 6 d) 9
2. Al dividir: nx3 + n2 x2 − nx + n3 + n2 x+n+1 Se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es igual a f(n). Calcular: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) a) 383 d) 386
b) 384 e) 387
x5 + nx + 2 x−1 Sabiendo que la suma de coeficientes del cociente es 10.
c) 385
b) 7 e) 10
5. Halle el residuo en: x1001 − x700 + 2 x−1 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
c) 8
c) 3
3. Determinar el resto en: 6x8 + 4x5 + (n + 1) x2 − n 10x − 10 a) 10 d) 13
Colegios
142
TRILCE
b) 11 e) 14
c) 12
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Capítulo
29
Factorización IV Lectura: John Milnor obtiene el premio Abel de matemáticas Jhon Milnor matemático estadounidense, ha obtenido el premio Abel de matemáticas por sus "descubrimientos pioneros en topología, geometría y álgebra", según el acta del jurado. Oyvind Osterud, presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Letras, entidad que creó el galardón como complemento a los actuales premios Nobel, lo ha anunciado hoy en Oslo. Dotado con seis millones de coronas, de euros, el premio Abel reconoce importancia e influencia a las desde 2003. Milnor, de 80 años, ha tenido conformar el escenario actual según el jurado, muestra rasgos una gran perspicacia, una vívida una belleza suprema. Un ejemplo de las esferas lisas exóticas en nacimiento de la topología En 1962, cuando solo tenía 31 medalla Fields, reservada para galardón de manos del rey Harald en de mayo.
equivalente a tres cuartos de millón aportaciones de extraordinaria ciencias matemáticas y se entrega precisamente gran influencia en de las matemáticas, y su trabajo, de la investigación de altura: imaginación, notables sorpresas y es su descubrimiento, inesperado, siete dimensiones, que señaló el diferencial. años, Milnor obtuvo la prestigiosa matemáticos jóvenes. Recibirá el una ceremonia en Oslo el próximo 24
Son numerosos los resultados, las conjeturas y los conceptos matemáticos que llevan el nombre de Milnor, por ejemplo, esferas exóticas de Milnor, fibraciones de Milnor, número de Milnor, teoría kneading de Milnor-Thurston y conjeturas de Milnor en la teoría de nudos, la teoría K, la teoría combinatoria de grupos y la dinámica holomórfica. Sin embargo, la importancia de la obra de Milnor va mucho más allá de los espectaculares resultados de su investigación. Ha escrito, además, libros sumamente influyentes que muchos consideran como modelos de excelente escritura matemática y también de divulgación. EL PAÍS - Madrid - 23/03/2011
En este capítulo aprenderemos .. Factorización por identidades – Suma de cubos – Diferencia de cubos .. Aspa simple
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143
29
Capítulo
Síntesis teórica
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
Aspa simple
Factorización por identidades
• Suma de cubos • Diferencia de cubos
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Álgebra Saberes previos 4. (x–7)(x+1)
• Efectuar: 2
1. (x+2)(x – 2x+4)
3
6
3
5. (2x+3)(3x–5)
2. (a – 3)(a + 3a + 9)
3. (x+3)(x+5)
Aplica lo comprendido • Factorizar:
2
4. x – 10x + 24
3
1. x + 8
2
9
2. a – b
6
5. x – 3x –10
2
3. x + 3x + 2
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145
29
Capítulo
Aprende más 9. ¿Cuántos factores primos tiene:
1. Señale el factor primo repetido de: 3
3
6
6
a) a+1
b) a+2
c) a–2
3
d) a–1
e) a –1
3
2
a + b + a + ab + b 2
d) a–b+1
e) a+b
c) a–b–1
3. ¿Cuántos factores primos tiene:
e) 6
2
a) a+b
b) a+b+7
d) a–b+7
e) a–b–7
c) a+b–7
11. Sumar los factores primos de:
6
a – 64
4
2
4x – 17x + 4
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
4. Factorizar y señale un factor: 6
3 3
4
b) a +ab+b
c) 2–ab+b
2
3
2
3
d) a +b +ab
3
e) a –b +1
3
a) a+b
b) a–b
d) a+b–ab
e) a+b+1
c) a+b+ab
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
2
c) 4
2
2 2
a) x–a
b) x+a
d) x+b
e) x–ab
c) x–b
14. Señale un factor primo de: 3
3
2
(4x +4x+1)(2x+1) – y – 8 – 6y – 12y a) 2x–y
b) 2x+y
d) 2x+y–1
e) 2x+y+1
c) 2x–y–1
2
2
(x +5x+6)(x –5x+6)(x –3x–10)(x +3x–10) b) 3x e) 6x
3
x (x+1) – 8 a) x+1
b) x–2
d) x+3
e) x–3
c) x–1
15. Sumar los factores lineales:
7. Sumar los factores primos de: a) 8x d) 5x
2
[x + ab] – [(a+b) x]
2
6. Indique un factor de:
2
e) 6x
(x – ab) – (a–b) x
2 2
a + b + ab (3a + 3b – a b )
2
d) 5x
c) 3x
13. Señale cuál no es un factor primo de:
5. Señale un factor de:
2
b) 4x
2
2
a) a–b
a) 2x
12. ¿Cuántos factores primos tiene:
4
a + b + 2a b + ab + a b
3
d) 5
c) 4
a + b + 2 (ab–a–b) – 35
b) a –ab+1
3
b) 3
2
2
a) a+b+1
6
a) 2
10. Indique un factor primo de:
2. Factorizar e indique un factor de: 3
3
x – 9x + 8
(a – 1)(a – 8)(a – 1)
c) 4x
6
4
3
2
a – 30a + 27a + 300a – 1000 a) 2a+3
b) 2a+1
d) 2a–1
e) 2a+5
c) 2a–3
8. Sumar 2 factores primos de: 2
2
2
(6x +19x+15)(10x +11x–6)(21x –26x+8) a) 2x+8
b) 2x+6
d) 3x+2
e) 5x+8
Colegios
146
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c) 3x+1
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Álgebra Practica en casa 1. Factorizar: 3 2 (x + 8) + x – 2x + 4
8. Sumar los factores lineales de: 3 3 6 3 (a – 27)(a – 125)(a – 9a +8)
2. ¿Cuántos factores primos tiene: 7 6 x –a x
9. Sumar los factores primos de: 4 2 2 4 9x – 82 x y + 9y 10. ¿Cuántos factores primos tiene: 2 2 32 4 6 2 3 2 (x + a b ) – (a + b + 2a b ) x
3. Factorizar e indicar los factores primos: 6 6 3 3 4 4 x + y – 2x y – xy + x y
4
2
22
11. Factorizar: x – (2ax + a – b )
4. Factorizar: 3 3 2 2 x – y – xy (3x – 3y + x y )
2
4
2
24 4
12. Factorizar: (x – ab) – (a – b ) x
5. Factorizar: 2 3 2 (9x + 6x + 1)(3x + 1) – a – 125 – 15y – 75y 6. ¿Cuántos factores primos tiene: 3 3 3 x (x – 28) + 3
13. Sumar los factores primos de: 2
2
2
2
(x +15x–14)(x +9x+18)(x –10x+21)(x +11x–12) 14. ¿Cuántos factores lineales tiene: 3 3 3 3 x (x + a + b) + a b
7. Sume los factores primos de: 2 2 4x + 9y + 3y (4x – 5) – 2 (5x+7)
15. Factorizar: 2 (ax + bx + cx) – (ax + cx)(a+b+c) + ac
Tú puedes 4. Restar los factores primos de: 6 4 2 x + 7x + 2x + 6x + 7x + 1
1. Señale un factor primo: 2 2 6 (a+b) [(a+b) + (c +bc+ac)3] + x a) a+b+x d) a+b+c+x
b) a+b+x
2
2
c) a+x
e) b+x
b) 2 e) 2x
a) 2x d) 5x
b) 3x e) 6x
c) 4x
5. Sumar los coeficientes del factor trinomio: 3 6 9 2 3 x + y + z – 3xy z
2. Restar los factores de: 2 x (x+1) + a (2x + 1) + a + 10 a) 1 d) x
2
c) 3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3. Señale un factor de: 3 2 3 2 (a +1) x + (a+1) x – a (3x – 1) + a a) (a+1)x + a
b) ax–1
c) (a+1)x–a
d) x–a
e) ax+1 www.trilce.edu.pe
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147
30
Capítulo
Factorización V Lectura: Paolo Ruffini (Valentano, 1765 - Módena, 1822) Matemático y médico italiano. Nacido en Valentano, ciudad que pertenecía entonces a los Estados Pontificios, cursó estudios de medicina en la Universidad de Módena, pero una vez finalizados se dedicó casi por entero a la investigación matemática. Desde 1787 ejerció la docencia como profesor de matemáticas en la Universidad de Módena. Ganó la cátedra de análisis de la escuela militar de esta ciudad, que hubo de abandonar en 1798 al ser expulsado por negarse a pronunciar el juramento de fidelidad a la República Cisalpina creada por Napoleón Bonaparte. Fue restituido en su puesto por las tropas austriacas un año más tarde. Tras recuperar sus dominios, el duque de Módena le nombró rector de la Universidad de Módena (1814), en la que ocupó las cátedras de clínica médica, medicina práctica y matemáticas aplicadas. Paolo Ruffini es conocido como el descubridor del llamado método de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binomio x-a. Sin embargo, no fue ésta su mayor contribución al desarrollo de la matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y superiores, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel. FUENTE: biografiasyvidas.com
En este capítulo aprenderemos .. Factorizar por divisores binomio .. Regla: .. Posibles ceros – Factor binomio – División Ruffini
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Álgebra Síntesis teórica
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
"ceros" del polinomio
Factor binomio
Aplicando Ruffini
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149
30
Capítulo
Saberes previos
1. Hallar el resto: 5
4
(x + 2x – 3x + 7) ÷ (x–1)
2. Hallar el resto: 3 4 (x +2x – 7) ÷ (x+2)
4. Hallar el cociente: 4
3
(x + 2x + 7) ÷ (x+3)
5. Hallar el cociente: 4
3
(x + 2x + 7) ÷ (x+3) 3. Hallar el cociente: 3 2 (x + 3x + 7x + 2) ÷ (x+1)
Aplica lo comprendido 1. Hallar los posibles valores que anulan al polinomio: 3 2 x + ax – 6
2. Hallar los posibles ceros de: 5 2 x + ax – 7x – 10
4. Si un polinomio se anula para x=–7, entonces un factor es:
5. Si un polinomio se anula para x=5 y x=–2, entonces dos de sus factores son:
3. Si un polinomio se anula para x=3, entonces un factor es:
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Álgebra Aprende más 3
2
1. Señale un factor primo: x + 7x – 5x – 3 a) c) e)
2
2
x +x+1 2 x + 8x + 3 2 x + 8x – 3
b) x + 7x + 3 2 d) x + 5x + 3
2. Señale el término independiente de un factor 3
2
primo de: x – 5x + 11x + 17 a) –1 d) 16
b) –17 e) 15
9. Hallar el valor numérico de un factor primo de: 3
x – 13x – 12, para x=11 a) 7 d) 13
b) 9 e) 15
c) 14
10. Señale un factor primo de: 2
2
2(x+1)(x –x+1)+(1–x)(1+x+x )+x(8x+11)–23
c) 17
a) x–4
b) x–5
c) x+1
d) x+5
e) x+6
3. Señalar el factor primo de mayor grado: 3
11. Sumar los factores primos de: 2 2 2 x (x – 46) – 5 [` x + 2j + ` x − 2j ] 2 2 a) 3x+5 b) 3x–9 c) 3x–6
x – 5x + 12 2
2
a) x + 3x + 4
b) x +3x+5
c) x –3x–4
d) x +3x–5
2
2
2
e) x –3x+4
d) 3x–5
4. Sumar los coeficientes del factor primo no lineal: 3
2
x + x – 12 b) 4 e) 10
3
c) 7
Señale el otro factor primo:
b) 4x
5
d) 4x
2
e) 4x
4
c) 4x
6
2
d) x + 4x + 9
2
c) x – 4x – 1
13. Si (x–3) es un factor de: 3
2
x + (K+1)x – (5K+3) x – 7K – 1 Señale la suma de los otros dos factores primos.
3
de: x – 7x + 19x + 2 a) –x
2
e) –x + 2x – 1
6. Señale el término cuadrático de un factor primo 4
b) x – 4x – 1
2
2
3
2
a) x – 4x – 9
x + 3x – 2x – 9x – 2 a) 4x
2
ax + 3ax + 5x – 9; es (x–1)
5. Multiplicar los términos de un factor primo de: 4
12. Si un factor de: 3
a) 1 d) 9
e) 3x+6
2
d) –7x
b) –3x 2
e) x
2
c) –5x
2
2
a) 2x+5
b) 2x+6
d) 2x+4
e) 2x+8
c) 2x+7
14. Sumar los factores primos de: 2
7. Sumar los factores primos de: 3
2
x + 6x + 11x + 6 a) 3x+3 d) 3x+6
b) 3x+5 e) 3x+2
2
x (x+1)(x+2)+(x+3) – (x–3) – 30x + 12 c) 3x+4
a) 3x+2
b) 3x–2
d) 3x–3
e) 3x–1
c) 3x+3
15. Sumar los factores lineales de: 8. Sumar dos de los factores primos de: 3
2
x – 10x + 31x – 30 a) 2x+5
b) 2x–7
d) 2x–6
e) 2x
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c) 2x+7
6
4
2
x – 2x – 11x + 12 a) 2x
b) 3x
c) 4x
d) 2x–2
e) 2x+2
Primer año de secundaria
151
30
Capítulo
Practica en casa 3
2
3
2
3
2
1. Factorizar: x + 4x + 8x + 5
9. Hallar el valor numérico de un factor primo de: 3 2 x + x – 33x + 63, para x=13
2. Factorizar: x – 12x + 18 x – 7 10. Factorizar: 2 2 2 2(x–2)(x +2x+4) – (x+2)(x –2x+4)+(x–7) –49
3. Factorizar: x + 5x – 12 3
11. Factorizar:
4. Factorizar: x + 6x – 7 5. Sumar los coeficientes del factor no lineal de: 4
3
2
x + x + 3x + 10x + 7
3
6. Señale el término lineal de un factor de: 4
2 2 (x + 3)6x (x – 3) + 5@ + 3 ;` x + 1j + ` x – 1j E – 5 3 3
3
2
x – x – 5x – 6x + 11
3
2
13. Un factor de: x + (4K + 1) x + 13 Kx + 24 es (x+2), calcule los otros dos factores
7. Sumar los factores primos de: 3
2
12. Si un factor de: ax + 2ax + 11x – 3 es (x+1), señale el otro factor:
14. Hallar los factores lineales de: 6 4 2 x + 17x – 12x – 6
2
x + 10x – 13x – 22 8. Sumar los factores lineales de: 3
15. Sumar los factores primos de: 6 4 2 x – 14x + 49x – 36
2
x + 4x – 11x – 30
Tú puedes 1. Sumar los factores lineales de: 3 3 2 2 2 x (x–6) + 7x (x–6) + 11x – 66x + 5 a) 2x–1
b) 2x–3
d) 2x–7
e) 2x–9
c) 2x–6
2. Señale el factor repetido de: 3
2
2
x + 11x y + 40xy + 48y a) x+3y
b) x+y
d) x+4y
e) x+4y
4. Sumar los factores lineales: 7
6
5
4
3
2
x +6x +11x +6x +x +6x +11x+6 a) 3x+5
b) 2(3x+2)
d) 3x+5
e) 3(x+2)
c) 3(3x+2
5. ¿Cuántos factores cuadráticos tiene
3
x c) x+2y
2
36
+ 5x
a) 1 d) 4
24
+ 3x
12
–9
b) 2 e) 5
c) 3
3. Señale el factor cuadrático primo: 3 2 2 x – ax + x + a – a (x+1) 2
b) x –a
2
e) x +a
a) x +1 d) x +1–a Colegios
152
TRILCE
2
2
c) x +1+a
2
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Capítulo
31
Fracciones algebraicas I Lectura: Más sobre el papiro de Rhind En el Papiro de Ahmes, llamado así en honor del escriba que lo copiara alrededor del 1650 a C. (o Papiro Rhind, por quien lo comprara en 1858) aparecen las fracciones unitarias –de numerador 1– usadas por los egipcios junto con la fracción 2/3. Con ellas eran capaces de resolver muchísimos problemas. Por ejemplo: los seis primeros problemas del papiro consisten en efectuar el reparto de una, dos, seis, siete, ocho y nueve hogazas de pan entre 10 hombres. Veamos dos ejemplos de sus soluciones que nos darán ideas para completar las restantes: a) Divida un pan entre 10 hombres. Cada hombre recibe 1/10. Prueba: 1/10 1h 1/5 2h 1/3 1/15 4h 2/3 1/10 1/30, luego 10 hombres: 2/3 1/5 1/10 8h 1/30. Total 1 hogaza, lo cual es correcto. Divida 2 panes entre 10 hombres b) Cada hombre recibe 1/5. Prueba: 1/5 1h 1/3 1/5 2h 2/3 1/10 1/30 4h 1 2/3 1/10 1/30. Total 2 hogazas, lo cual es correcto 8h FUENTE: http:/www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos .. Definición del mínimo común múltiplo de dos o más polinomios. .. Definición del máximo común divisor de sos o más polinomios. .. Definición de la fracción algebraica. .. Clasificación – Fracciones algebraicas homogéneas. – Fracciones algebraicas heterogéneas. .. Simplificación de fracciones algebraicas. .. Fracciones algebraicas irreductibles.
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Primer año de secundaria
153
31
Capítulo
Síntesis teórica
FRACCIONES ALGEBRAICAS I
Conceptos preliminares
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Los polinomios deben estar factorizados
Máximo Común Divisor (MCD)
Fracciones homogéneas Clasificación Fracciones heterogéneas Fracciones algebraicas N (x) ; existe si D(x) ≠ 0 D (x)
Simplificación
Fracciones irreductibles
Colegios
154
TRILCE
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Álgebra Saberes previos 2
3
2
4. Factorizar: S(x) = x – 9x + 26 x – 24
1. Factorizar: P(x) = 3x – ax 2
2. Factorizar: Q(x) = x – 36 3
5. Factorizar: M(a; b) = a + 8b
2
3
3. Factorizar: R(x) = x –3x – 4
Aplica lo comprendido 1. Dados los monomios: M(x)=x
4. Indique cual de las siguientes expresiones son fracciones algebraicas::
8
N(x) = x
P(x) = x − 4 x
4
Hallar el MCM(M; N) y MCD(M; N)
Q(a) = m − 3 a
2. Dados los monomios: 4 3 M(x; y) = x y 5 2 P(x; y) = x y 3 Q(x; y) = x y Hallar el MCM(P; M; Q) y MCD(P; M, Q)
a2 + y2 5
S(x; y) =
5. Simplificar: 2 R (x) = x2 − 25 x + 5x
3. Dados los polinomios: P(x) = x(x–3) + 4 (x–3) 2 Q(x) = x – 9 Hallar el MCD(P; Q)
Aprende más 1. Sean los polinomios: 6 4 P(x) = x (x–1) 4 8 Q(x) = x (x–1) Halle el MCM de P y Q a) x(x–1) 6
d) x (x–1)
8
3. Sean los polinomios: 2
R(x) = x –16 2
b) x (x–1)
6
4
4
6
e) x (x–1)
4
c) x (x–1)
8
7
9
5
6
S(x) = x . (x+2) Hallar el MCD de P y S a) x (x+2)
7
6
b) x (x+2)
5
6
5
9
5
6
d) x (x+2)
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e) x (x+2)
a) x+4 d) x–1
b) x–4 e) x–8
c) x+1
4. Sean los polinomios: R(x) = 2x+1 S(x) = x–3 Halle el MCD y MCM de R y S, respectivamente:
2. Sean lo polinomios: P(x) = x . (x+2)
S(x) = x +5x+4 Hallar el MCD de R y S
7
c) x (x+2)
2
a) 1; 2x +5x–3 2
c) –1; 2x +5x–3
2
b) 0; 2x –x+3 2
d) 1; 2x –5x+3
2
e) 1; 2x +2x–1
Primer año de secundaria
155
31
Capítulo
5. Indique la alternativa que contenga una fracción algebraica: a) x + 5 103
b) x + 4 2 2 x +5 e) x3
2 d) x + 5 x
c) x − 3 4
6. ¿Cuál es la condición para "x" tal que la fracción algebraica: F (x) = x + 3 , se encuentre bien definida 2x − 4 a) x=2 c) x=4 b) x≠2 e) x=3 d) x≠4 7. Simplificar: a) 1 –1 d) 4
x+5 2x + 10 b) e)
–1
2 –1 5
c) 3
–1
4x − y + 3z 8x − 2y + 6z b) 1/3 c) 1/4 e) 1/6
8. Simplificar: F (x; y) = a) 1/2 d) 1/5
3x + 3y 5x − 5y 9. Simplificar: T (x; y) = − x+y x−y a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) –5 10. Reducir: E (x) = 2x − 8 x−4 x−4 a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
c) 3
x2 − y2 +y x+y 11. Reducir: F (x; y) = 3x –1 –1 a) 2 b) 3 –1 –1 d) 4 e) 6
c) 4
–1
2 12. Simplificar: x −23x − 4 x −1 Luego, indique la suma del numerador y el denominador de la fracción irreductible.
a) x–5 d) 2x–3
b) 2x–4 e) 2x–6
c) 2x–5
2 13. Reducir: T (x) = e x2 – 9 – 3 – 4x o x x x – 3x 2 a) x b) 3x c) x d) 4x e) 5x
14. Sin importar que valor numérico tomen la variables de la siguiente fracción algebraica: mx2 + by2 + p 2x 2 + 3y 2 + 5
F (x; y) =
Ésta siempre se reduce a 2. Halle el valor de m+n+p. a) 5 d) 25
b) 10 e) 30
c) 20
x3 − 6x2 + 11x − 6 + 5x x−1 15. Simplificar: 3x2 + 18 –1
–1
a) 2 –1 d) 6
b) 3 –1 e) 7
c) 5
–1
Practica en casa 1. Sean: 7 9 3 P(x; y; z) = x y z 3 10 8 Q(x; y; z) = x y z Calcule: MCM MCD
4. Calcule el valor que no debe tomar "x" para que la fracción algebraica: F(x) = x x+3
5. Simplificar:
x 2 − 7x x 2 − 6x − 7
2. Indique que fracción es algebraica (x!5; x!–6) x + 7 ; x − 2 ; 5x − 3 x−5 x+6 2−1
6. Sean: 7
5
P(x) = x (x+1) (x–2) 3. ¿Qué fracción hay que extraer para que las fracciones sean homogéneas x ; x−1 ; 5 ; 2 x − 2 −2 + x x − 2 2 − x Colegios
156
TRILCE
4
4
6
Q(x) = x (x+1) (x–2)
y
8
Halle: MCM MCD
Central: 6198-100
Álgebra 7. Sean: F(x)= x − 7 ; G(x) = 2 x+3 5−x Indique qué valor debe tomar "x" para que las fracciones sean homogéneas.
12. Sean: 5
4
A(x) = (x+3) (x+7) (x–2) 6
B(x) = (x+3) (x+7)(x+2)
9
3
Si el MCD de los polinomios A(x); B(x) es: m
4
2
8. Simplificar: x 3(x − 8x + 15) , x ! 0; 5; –3 x (x − 5) (x + 3)
2 9. Simplificar: x2 − 25 ; x ! 0, 5 x − 5x
10. Simplificar: (x + 3) (x + 6) (x − 5) (x − 8) ; x ! − 6; 5; − 8; − 3 (x − 5) (x + 8) (x + 6) (x + 3)
n–4
13. Indique el valor de "x" que hace que las fracciones: x +1 ; x − 1 , sean homogéneas x (x − 2) + 5 x (x − 3) + 9
2 14. Simplificar: x −2 5x − 6 , x ≠ 0,6 x − 6x
15. Luego de simplificar: x (x − 3) F(x) = (x − 3) (x + 5)
11. Halle el MCM de los polinomios: n m+5
n
(x+3) (x+7) , calcule: E = m+n
m–3
G(x) = (x − 7) (x − 5) ; x ! − 5, 3, 7 (x + 5) (x − 7)
P(x; y) = x y (x+1) (y–3) n+3 m+2 n–2 m–7 Q(x; y) = x y (x+1) (y–3)
Halle el MCD de los denominadores
Tú puedes mx + ny , se 12x + 3y reduce a una constante para cualquier valor que tomen sus variables. Hallar el valor de: m + 1 n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1. Si la fracción algebraica: F (x; y) =
2. Simplificar:
a 4 + 4 − 2 ; a 2 − 1E a−1 (a − 1) 2 + 1
a) a 4 d) a
3
b) a e) –a
c) a
2
3. Simplificar: (x > 0) 1 E = `1 + 1 j`1 + 1 j`1 + 1 j .... `1 + x x+1 x+2 x + 100 j a) c) e)
–1
x (x+1) –1 x (x–1) –1 x (x+102)
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4. Simplificar: (a ≠ ±b) E = c 2 a + b 2 mc 2 a − b 2 m a + 2ab + b a − 2ab + b a) (a –b )
2
2 –2
b) (a –b )
2
24
e) (a –b )
d) (a –b )
2
2 –3
2
2 –1
2
2 –2
c) (a –b )
a 4 + a2 + 1 − a2 − 1 2 5. Reducir: a − a 2+ 1 (a + 1) − (a − 1) 2 a) 2
–1
b) 3
–1
d) 5
–1
e) 6
–1
c) 4
–1
–1
b) x (x+101) –1 d) x (x+100)
Primer año de secundaria
157
32
Capítulo
Fracciones algebraicas II Lectura: ¿Por qué no todos los números son enteros? En la matemática las fracciones o números racionales surgen como necesidad de ampliación del campo numérico de los números enteros. Los números enteros no dan solución a la ecuación: bx=a, donde b es distinto de cero, cuando a no es múltiplo de b. Por ejemplo, en las ecuaciones: 3x=5(1) o 2x=7(2), no se encontrará ningún valor para "x" que las satisfaga que sea entero. Se expresa entonces el valor de x como una fracción de la forma a/b (5/3 o 2/7 para nuestros ejemplos), siendo a y b un par de números enteros (naturales para nuestro estudio) con b distinto de cero. Dos o más fracciones que resultan solución de una misma ecuación se denominan equivalentes y se conviene que definen el mismo número racional. Por ejemplo, para la ecuación (1) las fracciones 10/6 o 15/9 resultan equivalentes a 5/3, qué es el número racional representante de esa clase de fracciones equivalentes, mientras que 2/7 será el número racional que representa la clase de fracciones equivalentes con él, por ejemplo: 4/14; 10/35; 1000/3500; etc. (Como representantes de las clases de fracciones equivalentes se eligen las fracciones irreductibles, es decir que no pueden simplificarse) FUENTE: http://www.godmatematica.org.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos .. Suma de fracciones algebraicas: homogéneas heterogéneas .. Diferencia de fracciones algebraicas homogéneas heterogéneas
Colegios
158
TRILCE
Central: 6198-100
Álgebra Síntesis teórica
FRACCIONES ALGEBRAICAS II
Adición de fracciones algebraicas
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Sustracción de fracciones algebraicas
Primer año de secundaria
159
32
Capítulo
Saberes previos 4. Indique que fracción de las dadas a continuación es algebraica:
1. Efectuar: 2x+6 – (7x+2)
F(x) = x 3
2. Reducir: 5 (x–2)–3(x–2) x − 1; x son fracciones homogénea. x+2 x+a Halle "a".
3. Si:
2 Q(m) = m a
E(x; y) = x y 5. Sumar: x + 10 − x 5 5
Aplica lo comprendido 1. Calcular: 5 + x + 3 − x ; x ! 0 x x
4. Sumar: x + 2 + x + 2 ; (x ≠ –2) x−5 5−x
2. Calcular: x + 3 − x − 6 ; x ! 0 x x 5. Calcular:
x + 2 ; (x ≠ –2) x+2 x+2
4. Efectuar:
2 + 3 ; x!!1 x−1 x+1
3. Luego de sumar: 1 − 1 ; Indicar el numerador x x+1 (x ≠ 0; –1)
Aprende más 1. Reducir: x + 5 + x + 1 ; x ! − 3 x+3 x+3 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
2. Reducir: 2x2 + 5 − x2+ 3 ; x ! ! 2 x −4 x −4 a) (x–2) d) x–2
–1
–2
b) (x–2) 3 e) (x–2)
Colegios
160
TRILCE
b) –2 e) –5
b) 5x2 − 1 x −1
d) x + 1 5x
e)
5. Calcular:
1 +x x+5
c) 5x2 + 1 x −1
5x x2 − 1
2
c) x –2
3. Calcular: x − 4 − 5 + 4x ; x ! 3 x+3 x+3 a) –1 d) –4
a) x − 1 x
c) –3
2 a) x + 5 x+5
2 b) x + 5x + 1 x+5
2 d) x + 1 x+5
2 e) x + 10 x+5
2 c) x − 5x + 1 x+5
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Álgebra 6. Sumar: x + 1 con x − 1 ; x ! ! 1 x−1 x+1 2x 2 x2 − 1 d) 22x x −1 a)
2 b) 2 (x2 + 1) x −1
11. Calcular: x2 − 2 + (x − 21) (x − 4) ; x ! 0 ; 2, 4 x − 4x x − 2x c)
2x 2 x −1
2 e) 2 (x2 − 2) x −1
12. Reducir:
7. Reducir: x + 1 + x + 2 − 3 + 2x ; x ! 5 x−5 x−5 x−5 a) 0
b) x
d) x–5
e)
c) –x
x x−5
b) 2 e) 5
c) 3
b) x + 1 3 e) 3 + x 3
b) 8 e) 20
2x2 − 50 − 10x ; x ! ! 5, 0 x (x + 5) x2 − 25
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
a) 1 d) –2
c) 3
b) –1 e) 3 –1
c)
c) 2
–1 –1
. (a+b)
(a ≠ 0 ∧ b ≠ 0) x x+1
10. Si se cumple que: A + B = 8 x − 2 ; x ! 1, − 2 x + 2 x − 1 x2 + x − 2 Hallar: A . B a) 4 d) 16
c) 3
14. Calcular: E = (a +b )
9. Efectuar: 3 + x − 1 ; x ! 1, 0 x x−1 x−1 a) 3 x d) 3 + x x
b) 2 e) 5
2 13. Reducir: ax2 + a2 + 2ax + 2x x −a x − ax a − x
8. Efectuar: x + 8 − 5 + x + x − 7 ; x ! 4 x−4 x−4 x−4 a) 1 d) 4
a) 1 d) 4
c) 12
a) a d) a
b) ab 2
e) ab
c) b 2
15. Calcular: 1 1 −1 1 x 2 − 2x ` x − 1 + x + 1j + 2x − 2x a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Practica en casa 1. Calcular: 3 − x + 2x − 3 ; x ! 0 x x 2. Calcular: 5 − x − 5 ; x ! 0 x x 3. Efectuar: 1 − 1 ; x ! 0 x x 2 2 4. Efectuar: x + 7 + 7 + x ; x ! 3 3−x x−3
5. Reducir:
x 2 + x ; x ! 0, − 1 x2 + x x2 + x
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6. Reducir: 2x + 10 + x + 11 ; x ! − 7 x+7 x+7
7. Efectuar: x − 2 + 1 ; x ! − 1 x+1
8. Efectuar: x + 2 − x − 2 ; x ! ! 2 x−2 x+2
9. Si se cumple: A + B = 5 x − 1 ; x ! − 1, 2 x + 1 x − 2 x2 − x − 2 Hallar: A.B
Primer año de secundaria
161
32
Capítulo
10. Reducir:
13. Reducir:
x + 1 − 5 ; x ! 5, − 2 x−5 x+2 x−5
a2 + b2 + b a (a + b) b (a + b) a
donde a+b ≠ 0 ∧ a, b ≠ 0
11. Reducir:
14. Calcular:
2x − 3 + 6 − x − x + 3 ; x2+x–1 ! 0 x + x − 1 x2 + x − 1 x + x2 − 1 2
12. Calcular:
2 (a − 1 + b − 1) (a − 1 . b − 1) ( a + ab ) − 1 a a
15. Reducir:
3
4x + 12x2 − 36 ; x ! ! 3, 0 x (x + 3) x −9
1 1 − 1 x 2 − x 4x + x 2 ` x − 2 − x + 2 j − 4 + 4x
2
Tú puedes 1. Calcular la suma de fracciones algebraicas: 2x + 3y − 6z x (y − x) − 5z + 6z − 3y − 2x 5z + x (x − y) a) –3 d) 1
b) –2 e) 2
x −x 4. Si: F(x) = 5 − 5 2 Calcular: F (x) F (2x)
c) –1
x
2. Luego de reducir las fracciones algebraicas: x 2 + x + 1 − x 2 + 2 + 2x − 1 2x 2 + x 2x 2 − x − 1 x 2 − x Indicar la suma denominador a) x+1 d) x+2
del
b) x+3 e) x+4
numerador
c) x+5
3. Sumar: S = 1 + 1 + 1 + .... + 21 2 6 12 n +n Donde n ∈ N n n+1 d) n n−1 a)
Colegios
162
TRILCE
b) n + 1 n e) n − 1 n
con
–x –1
–x
x –1
x
–x –1
a) (5 +5 )
b) (5 –5 )
c) 5
–x
d) (5 –5 )
e) 5
x
el 5. Si: 1 = 1 − 1 ; x, y, z ! 0 z y x Calcular:
E=
a) x d) –1
x − z − xz x − y y − z y2 b) 0 e) y
c) 1
c) 1
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Capítulo
33
Fracciones algebraicas III Lectura: Algoritmo de la división Dividir fracciones resulta dificultoso si el dividendo no es múltiplo exacto del divisor y la regla "La división de dos fracciones se transforma en una multiplicación al invertir la segunda" es muy útil, pero es necesario conocer en qué propiedades se apoya: Para justificar el hecho de que se invierte el divisor existen varios caminos. Por ejemplo: El Algoritmo de la división Transformar ambas fracciones en equivalentes de igual denominador. De esta forma se obtiene un entero o unidad común para ambas fracciones y por lo tanto la relación de división se reduce a dividir los numeradores entre sí. Ejemplos: • Sea dividir 7/12 : 1/12, esto puede ser pensado como ¿cuántas veces cabe un doceavo en 7 doceavos? La respuesta es 7 y proviene de dividir 7 : 1/12 : 12 = 7/1 = 7.
68794 57 19 54 5
7 9827
• Sea 3/5 : 2/3 = 9/15 : 10/15 = 9/10 (usando un razonamiento similar en este caso, pero como el cociente de numeradores no es entero se deja indicado con una fracción). En general: a/b : c/d = ad/bd : bc/bd=ad : bc/bd : bd = ad : bc = ad/bc. (lo que responde a la regla citada en un comienzo) FUENTE: http//www.gpdmatematica. orga.ar/publicaciones/fraccionesmodulo2.pdf
En este capítulo aprenderemos .. Multiplicación de fracciones algebraicas. .. División de fracciones algebraicas.
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Primer año de secundaria
163
33
Capítulo
Síntesis teórica
FRACCIONES ALGEBRAICAS III
Multiplicación
Colegios
164
TRILCE
División
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Álgebra Saberes previos 1. Simplificar: x2+ 1 ; x ! ! 1 x −1
−1 4. Simplificar: ` x − 2 j` x − 2 j x x
2 2. Simplificar: x + 5x ; x ! − 5 x+5
3. Efectuar:
5. Sumar: 1 + 1 x
x − 5 x−8 x−8
Aplica lo comprendido 1. Multiplicar: x . x+1 y x+2
4. Dividir: x ' x+5 x+5 x−6
2. Multiplicar: x . x+1 x−1 x+2
5. Dividir: 1 x 3 x
3. Multiplicar: x − 1 . 2x x−3 x+1
Aprende más 1. Efectuar: E = ` x + 1j`1 + 3 j : x ! − 1, 2 x+1 x−2 a) x + 1 x−2 d)
x x−2
b) 2x + 1 x−2 e)
c) x + 2 x−1
2x x−2
2
b) x
d) 2x
e) x–2
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a) x − 1 x d) x − 1 x−3
b) x − 1 x+1 e) x − 1 x+3
c) x + 3 x−1
x . x + 1 ; x ! 1, 2 x−1 x−2 B (x) = x + 1 . x x−1 x−2 Determinar: A (x) B (x)
4. Sean: A (x) =
2 2 2. Reducir: x − 4 . x − 25 + 10 − 3x x−5 x+2
a) x
3. Dividir: x − 2 ' x − 2 x+3 x−1
c) x
3
a) 1
b) 2
c) x
d) –x
e) x+1
Primer año de secundaria
165
33
Capítulo
1 ; x ! 0, − 1 1 + x− 1
5. Efectuar: a) x + 1 x x d) − 1 x
x x+1 e) x − 1 x+1 b)
c)
x x−1
11. Efectuar: c
1 1+ 1 x y
6. Efectuar:
a)
x+y xy
b)
x+y x
d)
xy x+y
e)
x x+y
c)
y x+y
d) x − 1 x+1
e) x − 1 x+2
>
1 x+y
1 −
a) y d) 4y
9. Reducir:
1 x−y
1 ' x+1
1−
c)
x x−1
2 + x #4 2y H
b) 2y e) 5y
a) 1 d) –x
b) x e) x+1
13. Calcular: b) x + 1 x−1
c) 3y
1
1−
a) x d) 0
1 1+ 1 x
c) 1
−x
b) x–1 e) –x
c) 1
14. Si: a+b+c=0 Calcule: a+b + b+c a + c b + a # (a + c) # (a + b) c2 + ab a) 1 d) –c
b) –1 e) a
c) –b
x + 1+ x − 1 15. Reducir: x − 1 x + 1 − 1 1−x − 1+x 1+x 1−x
1 x+1 x
b) 2 e) 3
c) 3
1+ 1 x +1 1 x + 12. Calcular: x+1 –1
x x+1
8. Reducir:
a) 1 d) x
c) ab
x+y + x m ' (x + y) 1 + xy − 1 b) 2 e) y
a) x d) 2x
1+ 1 x 7. Calcular: 1 1− x a)
a−b +1 a 10. Reducir: + b ' a−b a+b −1 a+b a−b a) a/b b) a/2 d) b/a e) 1/b
c) x
2 a) (x + 1) 2x 2 d) (x − 1) 2x
b) x − 1 2x 2 e) (x + 2) 2x
c) x + 1 2x
Practica en casa 4. Dividir:
2. Multiplicar: x − 1 . x + 2 ; x ! 0 x x
x 3 5. Dividir: ; x ! 0, 1 x x−1
3. Multiplicar:
Colegios
166
x ' x−1; x!2 x−2 x−2
5 1. Multiplicar: x3 . x ; y ! 0 y y
TRILCE
5x . x − 2 3x + 1 x + 2
2 2 6. Calcular: x − 9 . x − 4 ; x ! 3, − 2 x+2 x−3
Central: 6198-100
Álgebra 7. Dividir: x − 11 ' x ; x ! − 5 x+5 x+5
−1
−1 12. Calcular: c 1 + x m x
x x 8. Dividir: + 1 ; x ! 0, − 1 x
9. Calcular:
13. Reducir:
1 ; x ! 0, 1 1−1 x
10. Sean: A(x) = x + 1 . x−5 x B(x) = − 7 . x−5
1− 1 x +1 x 1 − 14. Efectuar: ; x ! 0, 1 x− 1
x−7 x−1 x+1 ; x−1
x ! 5, 1 −1
−1 −1 15. Reducir: c 1 − a m − ^1 − a − 1h a
Calcular: A ÷ B
11. Reducir:
; x ≠ {0, –1}
1− 1 x ; x ! 0, − 1 1+ 1 x
Tú puedes 1. Si: aK =S aaa....a ; bK =S bbb....b K digitos
K digitos
Calcular: a b a b a b 4 c 1 + 2 + ... + 100 mc 1 + 2 + ..... + 100 m b1 b2 b100 a1 a2 a100
a) 5 d) 1000
b) 10 e) 200
c) 100
2 2 2. Reducir: (3a + 2b) 2 − (3a − 2b) 2 (2a + 3b) − (2a − 3b) a) 1 b) 2 d) 4 e) 5
c) 3
3. De la expresión: 1 x =1 + 1 1+ 1+ 1 1+ 1
4. Si: x = a + 1 ; y = ab + a ab + 1 ab + 1 x+y−1 Calcule: x−y+1 a) a
b) b
d) 1
e) 2
c) a+b
a + 1 2 3a + 3 ` 3a − 1j − 3a − 1 − 4 5. Calcular: R = 2 3 ` a + 1 j − 13a + 13 + 4 3a − 1 3a − 1 a) 1
b) a
d) 3a
e) –1
c) 2a
...
Se puede afirmar que: 2
b) x –x+1=0
2
d) x –1=0
a) x –x–1=0 c) x +x+1=0
2 2
2
e) x +2x–1=0
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Primer año de secundaria
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